Модифицированные характеристики структурных свойств функций и точность аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.5

ПУЕРОВ ГЕОРГИЙ ЮРЬЕВИЧ

МОДИФИЦИРОВАННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ И ТОЧНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2003

Работа выполнена на кафедре математического анализа Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Васильевич Жук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Соломонович Виденский;

доктор физико-математических наук, профессор Игорь Карлович Даугавет.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет.

тационного совета К 212.199.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических и технических наук при Российском государственном педагогическом университете имени А. И. Герцена по адресу: 191186, Санкт-Петербург, наб. р. Мойки д. 48, корп. 1, ауд. 226.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГПУ им. А. И. Герцена.

Защита состоится

Автореферат разослан

Учёный секретарь диссертац ионного совета к. ф.-м. н., доцент

,1

Емельянов А. П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории приближения часто рассматриваются оценки значений полунорм (которые так или иначе характеризуют точность приближения) через ту или иную характеристику структурных свойств функций. В частности, классической является задача об оценках отклонений различных методов приближений, при этом в качестве характеристики структурных свойств функции, как правило, рассматриваются их модули непрерывности. В настоящее время получено большое количество результатов, относящихся к этой тематике, которым посвящена обширная литература. Однако в некоторых других естественно возникающих ситуациях вопрос о связи между значениями полунорм, заданных на некотором классе функций, и структурными свойствами функций остается еще недостаточно исследованным. Это, в частности, относится к непосредственному сравнению методов приближения между собой. В этом случае оказывается, что в качестве характеристики структурных свойств можно взять модуль непрерывности не самой функции, а ее первообразной. Последнее позволяет рассматривать более широкие классы функций, причем полученные оценки оказываются более тонкими, чем традиционные оценки через модули непрерывности самой функции. Рассматривая другие модификации модулей непрерывности, удается в ряде случаев получить двусторонние оценки, точные (если не обращать внимания на константы) для каждой индивидуальной функции. При этом оценки сверху через модули непрерывности первообразной получаются как следствие. Изучению этого круга вопросов посвящена глава I.

В главе II изучаются модификации модулей непрерывности, основанных на суммах довольно общего вида (модифицированных разностях)

^¡ГвьДж + а**),

подчиненных условиям

= 0 г = 0...т-1,

Такая проблематика восходит к работам С. Н. Бернштейна (1947, 1948), где введены с помощью кодифицированных разностей, аналогичных описанным выше, некоторые обобщения классов Липшица:

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I 3 БИБЛИОТЕКА ]

специальные однородные классы. С. Н. Вернштейном были установлены прямые и обратные теоремы приближения функций, принадлежащих специальным однородным классам, а также выяснены условия, при которых различные специальные однородные классы эквивалентны между собой, а также эквивалентны классам Липшица.

В главе III изучается связь между структурными свойствами функций и скоростью убывания их коэффициентов Фурье: рассматриваются оценки сверху значений полунорм, определенных через коэффициенты Фурье, в метрике ХХ(Т). Этой тематике посвящен ряд работ. История вопроса подробно изложена С. А. Теляковским (1994).

Таким образом, представляется актуальным исследовать связь между модифицированными характеристиками структурных свойств и точностью аппроксимации периодических функций.

Цель работы.

1. Получить оценки сверху величины типа

&(/,*)-/(®,*/п)|

в терминах модулей непрерывности первообразных, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразные.

2. Исследовать сходимость рядов Фурье и сходимость рядов, сопряженных с рядами Фурье с использованием модулей непрерывности первообразных в метрике Хг1(Т).

3. Получить двусторонние оценки полунорм разности сумм Фейе-ра и Абеля—Пуассона периодических суммируемых функций в терминах модулей непрерывности третьего порядка первообразных и модулей непрерывности второго порядка сумм Абеля—Пуассона.

■ - 4. Определить главный член уклонения функции Стеклова первого порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона. Оценить соответствующие остатки через модули непрерывности первообразных или модули непрерывности функций Стеклова.

5. Изучить модифицированные разности довольно общего вида, аналогичные рассмотренным С. Н. Вернштейном в связи со специальными однородными классами, и соответствующие им модули непрерывности.

6. Исследовать связь между структурными свойствами периодических суммируемых функций и скоростью убывания их коэффи-

циентов Фурье с использованием модулей непрерывности дробного порядка относительно наилучших приближений в метрике £Х(Т).

Методика исследования. Используются результаты и техника теории аппроксимации функций и теории тригонометрических рядов Фурье.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены новые оценки для отклонений сумм Фурье, сопряженных сумм Фурье, а также для коэффициентов Фурье, установлены двусторонние оценки полунорм разности сумм Фейе-ра и Абеля—Пуассона, выделен главный член уклонения функции Стеклова первого порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона, исследованы новые модификации модулей непрерывности.

Достоверность результатов, обеспечивается использованием общеизвестных положений и методов анализа. Все основные положения диссертации представлены в виде теорем и сопровождаются подробными доказательствами.

Теоретическая значимость. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в теории аппроксимации функций и теории рядов Фурье, в частности в прямых и обратных теоремах теории аппроксимации и их модификациях, а также при изучении сходимости различных методов приближения.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы при исследовании различных вопросов теории приближения функций и гармонического анализа.

Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Получены оценки сверху для величин типа

|ЗД,х)-/>,7г/п)|

в терминах модулей непрерывности первообразных, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразные.

2. Получены результаты относительно сходимости рядов Фурье и сходимости рядов, сопряженных с рядами Фурье, в метрике -Ь1(Т).

Оценки ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных. Как следствие из полученных результатов вытекают аналоги в метрике Ь1 (Т) признаков Дини—Липшица, Жордана, Юнга.

3. Установлены двусторонние оценки полунорм разности сумм Фейера и Абеля—Пуассона периодических суммируемых функций. Неравенства получены в терминах модулей непрерывности третьего порядка первообразных и модулей непрерывности второго порядка сумм Абеля—Пуассона. В первом случае оценки сверху и снизу совпадают (с точностью до постоянных) для функций принадлежащих наиболее важным классам функций, а во втором — для каждой индивидуальной функции.

4. Выделен главный член уклонения функции Стеклова первого порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона. Оценки соответствующих остатков ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных или модулей непрерывности функций Стеклова. Во втором случае удается получить двусторонние оценки, причем оценки сверху и снизу совпадают с точностью до постоянных для каждой индивидуальной функции.

5. Рассмотрены модифицированные разности довольно общего вида. Показано, что модули непрерывности, соответствующие введенным обобщенным разностям, оцениваются сверху и снизу через обычные модули непрерывности. Таким образом, если не принимать во внимание постоянные, то классы функций, определяемые модифицированными модулями непрерывности, совпадают с классами функций, определяемыми обычными модулями непрерывности.

6. Установлены оценки снизу модулей непрерывности дробного порядка относительно наилучших приближений в метрике ¿1(Т) периодических суммируемых функций через их коэффициенты Фурье. Установлены многомерные аналоги полученных неравенств.

Личный вклад соискателя. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно

Апробация работы. Все основные результаты диссертации докладывались на С.-Петербургском межвузовском семинаре по конструктивной теории функций под рук. проф. Г. И. Натансона (ноябрь 1998 г., апрель 1999 г., октябрь 1999 г., февраль 2000 г., декабрь 2000 г., апрель 2001 г., ноябрь 2001 г., март 2002 г.), а также на международной научно-теоретической конфереции "V Царскосельские чтения" (апрель 2001 г.).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовало 5 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трех глав (первая глава включает в себя введение и четыре параграфа, вторая и третья — введение и два параграфа каждая), списка литературы из 29 наименований. Общий объем работы составляет 104 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит постановки задач, историю вопросов и обзор полученных результатов.

Первая глава посвящена изучению аппроксимативных свойств методов приближения, построенных на базе рядов Фурье, с помощью модификаций модулей непрерывности. В параграфах 1 и 2 данной главы рассматриваются вопросы сходимости тригонометрических рядов Фурье и рядов сопряженных с ними. Как известно, "естественной" суммой ряда, сопряженного с рядом Фурье функции f, является сопряженная функция

/м-га/м),»/(„ц

Возникает задача количественной оценки величины

&(/,*)-/(®,1г/п)| (1)

в терминах структурных свойств функции /. В § 1 установлено две теоремы: в теореме 1 оценки ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных, в теореме 2 — в терминах модифицированных вариаций, определяемых через первообразную. Как обычно,

— периодическая первообразная функции / — Со(/)> (/, Л, [о, 6]) — модуль непрерывности порядка г в пространстве С([о,6]), шг(/,Н)

— модуль непрерывности порядка г в пространстве С(Т). Пусть

а = х0 < хх < • • • < хп = Ь (2)

— разбиение отрезка [а, Ь], К{ = [xi,xi+l], / & £1([а,Ь]). Полагаем

Щг, [а, Ч) = вир -\КА-'

где верхняя грань берется по всем разбиениям вида (2). Величину W(f,[a,b}) назовем модифицированной вариацией (Виноградов О. Л., Жук В. В., 1999). Пусть 7.д(*) = f(x + t) - f{x - t), (t) — первообразная no t функции 7x,i(i)-Вместо (1) мы оцениваем некоторую другую величину: выделено одно слагаемое так, чтобы остаток оценивался только в терминах модулей непрерывности второго порядка функции Положим

х« = [ Dn(t)dt--±-[ ctgtfidt,

Jo 27Г Jhn

где Dn — сопряженное ядро Дирихле. Для *еп справедливо соотношение

■к \ 2п)п1

где 7 = 0.5772... — постоянная Эйлера.

Как обычно, <$£(/) — симметричная разность второго порядка с шагом h функции /. Полагаем

Теорема 1.1.1. Пустъ f € ^(Т), n G N, х € R . Тогда Sn(f,x) ~ f(x, ~)+>cn-Si(f^1\x)\

\ nf 7Г » I

п-1 ^ 7Г \

fc=0

Из теоремы 1 вытекает ряд следствий, в том числе некоторые известные результаты.

Следующая теорема содержит оценки в терминах модифицированных вариаций.

Теорема 1.1.2. Пусть f Е £г(Т), п е N, г€И Тогда

37Г

к=1

V п/ я" n п г—:

Введем еще ряд обозначений. Через ¡Зкп обозначим взятые в порядке возрастания нули функции

лежащие в промежутке (0, ж). Кроме того, положим 0оп = 0, (Зпп — Рп - Ап, вкп = \ркп,(3к+1п\- Заметим, что ¡Зкп ж В § 2 установлены две теоремы о сходимости рядов Фурье (теорема 1) и о сходимости рядов, сопряженных с рядами Фурье (теорема 2). Оценки ведутся в терминах первообразных, применяется техника, связанная с использованием корней функций типа сп.

Теорема 1.2.2. Пусть / <Е ^(Т), п - 1 £ N. Тогда

к=О

Как следствие из полученных теорем вытекают аналоги в ме- • трике ЬХ(Т) классических признаков Дини—Липшица, Жордана, Юнга.

В § 3 устанавливаются две теоремы, содержащие двусторонние оценки величины

Здесь ?«(/) и <гт(/) суть, соответственно, суммы Абеля — Пуассона и Фейера; Р — полунорма класса А, то есть полунорма в С(Т), подчиненная естественным условиям: 1) существует постоянная М > 0, не зависящая от /, такая, что Р(/) < М¡¡/¡(; 2) полунорма Р инвариантна относительно сдвига. В первой теореме (теорема 5) получено неравенство

Р(?х(/) - СГ„_1(/)) ^ СпЦ/*-1^).

Кроме того, дается оценка сверху модуля непрерывности первообразной

к=п

Таким образом, оценки сверху и снизу совпадают (с точностью до постоянных) для наиболее важных классов функций. Простой пример показывает, что неравенство СР(Тх(/) —

<гп_1(/)) получено быть не может. Возникает задача найти величину, эквивалентную по порядку

Р(1Рх(/)-*„_!(/))

и получить оценки точные (с точностью до постоянных) для всех функций из Ь1(Т). Это удается сделать, если вместо модуля непрерывности первообразной функции /, рассмотреть модуль непрерывности суммы Абеля—Пуассона. Точнее, имеет место двусторонняя оценка (теорема 8)

С^^/),^ Р(3»А(/) -*„_!(/)) ^ СзШа(з»х(/),£).

Заметим, что введенный модуль непрерывности второго порядка суммы Абеля—Пуассона оценивается сверху через модуль непрерывности третьего порядка первообразной функции / :

Теорема 1.3.5. Пусть / € Х-^Т), п € М, полуворма Р <= А. Тогда имеют место оценки

1) Р(?х(Л -*»-!(/)) < с™з(/(-1},-),

к=п

Следствие 1.3.1. Пусть п € К, / € С(Т). Тогда

Следствие 1.3.2. Пусть / 6 £1(Т), п £ М, функция ш такова, что

ш(г) > 0 при 4 > О,

к=п 4 '

Тогда следующие соотношения равносильны

и (,<->

2) P(?i(f) ~ "»-!(/)) < Сш •

Следствие 1.3.3. Пусть f € £1(Т), n £ N, Тогда следующие условия равносильны

2) / эквивалентна g £ W^(T).

Здесь, как обычно, ||-|| — стандартная норма в С(Т), W^(T)— множество функций / £ С(Т) таких, что /' абсолютно непрерывна, а /" ££°°(Т).

Следствие 1.3.4. Пусть f £ £1(Т), п £ N. Тогда следующие условия равносильны

1) (Я -= 0 ' п

2) / = const почти всюду.

Теорема 1.3.8. Пусть / £ LX(T), п £ N, полунорма Р е А. Тогда имеют место оценки

1) Р(3»х(/) - *„_!(/)) < Со;2(^(/),

2) «а(0»1(/), CP(3>i(/) - <r„-i(/))-

Следствие 1.3.5. Пусть / £ L1(Т), n £ N, полунорма Р 6 А. Тогда

fe=n

Следствие 1.3.6. Пусть / £ i1(T), neN, функция ш такова, что выполнены условия (3). Тогда следующие соотношения равносильны

1:

В следствиях 7 и 8 рассматриваются модули непрерывности относительно стандартной нормы в С(Т).

Следствие 1.3.7. Пусть f G £г(Т), е N. Тогда следующие условия равносильны

2) / эквивалентна у 6 W<^(T).

Следствие 1.3.8. Пусть / £ i1(T), тг G N. Тогда следующие условия равносильны

v I

2) / = const почти всюду. [

В § 4 рассматривается задача по определению главного члена i

уклонения функции Стеклова первого порядка Sh,i{f) от сумм Фей- |

ера и Абеля—Пуассона. Оценки ведутся в терминах модулей непре- j

рывности третьего порядка первообразных или модулей непрерывности второго порядка функций Стеклова. Во втором случае удается получить двустороннюю оценку, причем оценки сверху и снизу совпадают с точностью до постоянных. Заметим, что имеет место i

неравенство

Таким образом, и в это случае имеет место оценка через модуль непрерывности третьего порядка первообразной.

Теорема 1.4.2. Пусть / € ^(Т), п £ N. полунорма Р е А. Тогда имеют место оценки

ч <*(%.</),э

л

п

Следствие 1.4.1. Пусть / £ С(Т), п е 14, полунорма Р Е А. Тогда

И'— <*>

п

Неравенство (4) для стандартной нормы в С(Т) было установлено А. В. Ефимовым (1958).

Вторая глава посвящена изучению модифицированных разностей довольно общего вида, аналогичных тем, которые определяли специальные однородные классы С. Н. Бернштейна, и соответствующих модулей непрерывности.

В качестве модельного примера рассмотрим обобщенные модули непрерывности, основанные на формулах численного дифференцирования.

Как известно, имеют место следующие формулы численного дифференцирования:

Здесь ,

n

Pnif, xo,x) = Pn{f, xo> x0 + th) =

k=O

— интерполяционный многочлен Ньютона. В качестве обобщенных разностей D™'n(f,x0) возьмем hmdmPnd[ff0^ Ясно, что D™'n(f, iq) имеют вид

^¡2akf(xQ + akh), при этом этом легко видеть, что выполнены условия

при р = 0,...,т-1, ф 0.

Если / € С(Т), то модули непрерывности, соответствующие введенным обобщенным разностям, определим равенством

Qnm(f,h)= вир P(D?'n(f)). тн

Оказывается, что для модулей непрерывности, основанных на формулах численного дифференцирования, выполнены двусторонние оценки

С 1(n,m)wm(f,h) ^ íC(f,h) < C2{n,m)cjm{f,h).

Эти неравенства получаются как следствие следующей теоремы, являющейся основным результатом главы II.

Теорема 2.1.1. Пусть f 6 С(Т), ж <Е R, h > 0, m G N, полунорма Р Е A, a = {ак}кег< а = {ak}kez — последовательности вещественных чисел, причем среда ак нет разных, удовлетворяющие условиям:

последовательность a ограничена;

=0 прип = 0,...,т-1, ^Га/ьа™^0; (5)

(tez jsez

Х>к +о°!

fceZ

существует такой индекс feo € Z, что

afeo # 0» Ы!<** - а/ЬоГт < +00-

fcez\{fc0}

Положим

V?(f,х) = У"akf(x + akt), Om(f,h) = sup P(Dtm(/))•

Тогда имеют место оценки

Ci(a,a,m,ko)um{f,h) < Om{f,h) ^ C2(a,a,m)wm(f,h).

Следствие 2.1.1. Пусть f € C(T), x € R, h > 0, m 6 N, полунорма Pg Л, последовательности вещественных чисел а — {ak}k€Z и a = {o;fe}feez таковы, что лить конечное число ak отлично от 0, выполнены условия (5). Тогда имеют место оценки

(а, а, ш)а/т(/, Л) < От(/,к) < С2(а,а,ш)а/т(/,/г).

Третья глава посвящена изучению связи между структурными свойствами периодических суммируемых функций и скоростью убывания их коэффициентов Фурье. Оценки сверху значений полунорм, определенных через коэффициенты Фурье, ведутся в терминах модулей непрерывности дробного порядка относительно наилучших приближений в метрике £1(Т).

Теорема 3.1.1. Пусть г £ М+, т,п € К, т > п. Тогда для любой / £ Ь1 (Т) выполнена оценка

Следствие 3.1.1. Пусть г 6 К+, т,п £ М, т > п. Тогда для любой / € £г(Т) выполнена оценка

I\ к 2 А; 2/1

Следствие 3.1.2. Пусть г > О, m,n G N, тп > п. Тогда для

Следствие 3.1.3. Пусть m, п б N, m ^ п. Тогда для любой

В качестве следствия получены некоторые результаты С. А. Те-ляковского и В. Э. Гейта. В § 2 установлены многомерные аналоги полученных неравенств.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В. В. Жуку за постоянное внимание к работе.

1. Пуеров Г. Ю. О скорости сходимости тригонометрических рядов Фурье и рядов, сопряженных с ними //Сборник научных трудов "Методология и история математики". Том II. Под ред. Н. М. Матвеева. С.-Пб. 2000. С. 132-143. 0,75 п. л.

2. Пуеров Г. Ю. Модули непрерывности, основанные на формулах численного дифференцирования. V Царскосельские чтения. Том VIII. Материалы конференции. Под ред. В. Н. СкворцовагС.-Пб. 2001. С. 58-61. 0,25 п. л.

3. Пуеров Г. Ю. Оценки полунорм разности сумм Фейера и Абеля— Пуассона периодических суммируемых функций //Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. I. 2002, вып. 2 (№9). С. 32-39. 0,5 п. л.

4. Пуеров Г. Ю. О приближении функций Стеклова периодических суммируемых функций суммами Абеля—Пуассона и Фейера //Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях. Сборник научных трудов. С.-Пб. 2002. С. 135-141. 0,4375 н. л.

5. Пуеров Г. Ю. Оценки снизу наилучших приближений и модулей непрерывности суммируемых функций через их коэффициенты Фурье. С.-Пб. Деп. в ВИНИТИ №596 В2003 от 02.04.2003.14 с. 0,875 п. л.

любой / EL1 (Т) выполнена оценка

/ € Lx(Т) выполнена оценка

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

I

г

Подписано в печать О*"- ^ & Тираж 100 экз. Заказ №799 Санкт-Петербург, ООО "АБЕВЕГА", Московский пр., д. 2/6 Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД № 69-299

•18364

г

i

Введение 2

Обозначения 10

Глава I. Изучение аппроксимативных свойств методов приближения, построенных на базе рядов Фурье с помощью модификаций модулей непрерывности Введение

§ 1. Точечные оценки скорости сходимости рядов, сопряженных с тригонометрическими рядами Фурье

§ 2. Оценки в метрике L1(T) скорости сходимости, тригонометрических рядов Фурье и рядов, сопряженных с ними

§ 3. Оценки полунорм разности сумм Фей-ера и Абеля—Пуассона периодических суммируемых функций

§ 4. О приближении функций Стек лова периодических суммируемых функций суммами Абеля—Пуассона и Фей-ера 64

Глава II. Модифицированные модули непрерывности 79

Введение 79

§ 1. Оценки модифицированных модулей непрерывности через обычные модули непрерывности

§ 2. Модули непрерывности, построенные на основе формул численного дифференцирования

Глава III. Оценки снизу наилучших приближений и модулей непрерывности суммируемых функций через их коэффициенты Фурье Введение

§ 1. Оценки в одномерном случае 91

§ 2. Оценки в многомерном случае 98

В теории приближения часто рассматриваются оценки значений полунорм (которые так или иначе характеризуют точность приближения) через ту или иную характеристикуктурных свойств функций. В частности, классической является задача об оценках отклонений различных методов приближений, при этом в качестве характеристикиктурных свойств функции, как правило, рассматриваются их модули непрерывности. В настоящее время получено большое количество результатов, относящихся к этой тематике, которым посвящена обширная литература (см., например, [9, 23]). Однако в некоторых других естественно возникающих ситуациях вопрос о связи между значениями полунорм, заданных на некотором классе функций, иктурными свойствами функций остается еще недостаточно исследованным. Это, в частности, относится к непосредственному сравнению методов приближения между собой. При этом оказывается, что в качестве характеристикиктурных свойств можно взять модуль непрерывности не самой функции, а ее первообразной. Последнее позволяет рассматривать более широкие классы функций, причем полученные оценки оказываются более тонкими, чем традиционные оценки через модули непрерывности самой функции. Рассматривая другие модификации модулей непрерывности удается в ряде случаев получить двусторонние оценки, точные (если не обращать внимания на константы) для каждой индивидуальной функции. При этом оценки сверху через модули непрерывности первообразной получаются как следствие.

Изучению этого круга вопросов посвящена глава I. Сделаем краткий обзор полученных здесь результатов. Пусть / принадлежит Ь1 (Т) — пространству 27г-периодических суммируемых на [—тг, 7г] функций, с нормой ||/||i = |/(í)| dt, + y^(afe(/) cos кх + bk(f) sin кх) (1) fc=i ее тригонометрический ряд Фурье, оо sin кх — bk(f) cos кх) (2) fc=i ряд, сопряженный с рядом (1), 5„(/, х) и 5„(/, х) — п-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно, г Пх + г) -И'-*) гдел >

Jh 27Г V2 ж) — функция Стеклова второго порядка функции /.

В § 1 главы I устанавливаются оценки сверху для величин типа

М/,я) = |£п(/,я) - /(я,7г/п)|.

Как известно, сопряженная функция /(•) = Нт^о /(•, Ь) является "естественной" суммой ряда (2). В случае если /(х) существует, то /(ж, 7г/п) будет сходится к /(ж) и из признака сходимости для 0П(/, ж) получается признак сходимости для сопряженного ряда. Соответственно, представляют интерес оценки величины 0П(/, х) через различные характеристики структурных свойств функции /. В частности, отталкиваясь от классического признака Юнга сходимости сопряженного ряда, Ф. Морицем [25] были получены оценки с>п(/, х) для ограниченной / 6 Хх(Т) в терминах колебаний функции /(ж -М) — f(x — ¿) на подходящих подинтервалах, а также в терминах вариаций функции f(x-{-t) — f{x — t) в случае, если / имеет ограниченную вариацию. Нашей основной задачей было получение соответствующих оценок в терминах модулей непрерывности первообразной функции /, а также модифицированных вариаций, определяемых через первообразную.

Такая проблематика подсказана результатами В. В. Жука [10]. С другой стороны, в работах Ф. Морица [25] и Ф. Морица и А. Сиддики [26] содержатся оценки в метрике Ь1(Т) величин

-5п(/)||1, \\Snif) ~ /(-,тг/гг) аналогичные описанным выше. Объединяя оба подхода, нам удалось получить две теоремы, приведенные в § 2, где величины

НЗД, •) - 5(5ап/2,2(/, • + а„/2) + 5вп/2,2(/, • - ап/2))||ь п(/г)-/Ып)||ъ оцениваются сверху через интегральные модули непрерывности первообразной функции /.

Центральное место в главе I занимают параграфы 3 и 4. Пусть С(Т) — пространство 2тг-периодических непрерывных на К функций с нормой ||/|| = тах|/(£)|, Р — полунорt ма в С(Т) инвариантная относительно сдвига и мажорируемая нормой ||о>г(/, К) — модуль непрерывности порядка г в пространствах С(Т) относительно полунормы Р. Если а > 0, п 6 М, / Е ЬХ(Т), то

3>в(/>Я:) = 5>-в ]к]ск(/)егкх, кеж

Тп-1&х)= £ (1 ~Щск(№к* суммы Абеля—Пуассона и Фейера функции /.

Известно [9, с. 262], что для f Е С(Т) отклонения сумм Фейера Р^ — <тп1(/)) оцениваются сверху и снизу через величину где — функция, сопряженная к

Аналогичные оценки получены и для сумм Абеля—Пуассона ?а(/) функции / е С(Т) [9, с.277].

С другой стороны было установлено [9, с.283], что если / € С(Т), а £ (О, Г], то имеет место оценка р (/ - ?«(/) - «(Й+1) - ^Са;2(/'

В § 3 устанавливаются две теоремы, содержащие двусторонние оценки величины

Р(ЭМ/)-<Гп !(/))• п

В первой теореме оценки получены посредством модуля непрерывности третьего порядка первообразной функции /, во второй — посредством модуля непрерывности второго порядка суммы Абеля—Пуассона

2 (ом/),-). п/

В первой теореме оценки сверху и снизу совпадают (с точностью до постоянных) для функций принадлежащих наиболее важным классам функций, а во второй — для каждой индивидуальной функции.

В § 4 рассматривается задача по определению главного члена уклонения функции Стек лова первого порядка от сумм Фейера и Абеля—Пуассона функции /.

Задача найти главный член уклонения функции / от метода приближения 11п(/) впервые была решена Е. В. Воронов-ской [5] для приближения дважды дифференцируемых функций полиномами Бернштейна.

Для периодических функций таких, что сс»2(/, /г) ^ СН, М. Заманский (см. [29, 8]) показал, что отклонение функции / от ее сумм Фейера можно представить в виде

А. В. Ефимов [8] обобщил этот результат, показав, что

В § 4 получено ряд результатов такого типа для отклонений функций Стеклова первого порядка от сумм Абеля— Пуассона и Фейера, причем оценки ведутся в терминах модулей непрерывности первообразных или модулей непрерывности функций Стеклова первого порядка. Во втором случае удается получить двустороннюю оценку, причем оценки сверху и снизу совпадают с точностью до постоянных.

В главе I рассматривались некоторые обобщения модулей непрерывности функции / : модули непрерывности первообразной функции Стеклова первого порядка 5/гд(/), суммы Абеля—Пуассона У ± (/). Эти модификации получают

71 ся как композиция обычных модулей непрерывности и соответствующих аппаратов приближения.

В главе II изучаются модификации модулей непрерывности, основанные на суммах довольно общего вида (модифицированных разностях)

Такая проблематика восходит к работе С. Н. Бернштейна [2], где рассматривается обобщение класса Липшица: специальный однородный класс 5д (р, а) порядка д — множество функций / : К. —> К удовлетворяющих при любом к и некотором М > О условию к г— 1 где к а1 = 1 < а2 < ''' < г=1

С. Н. Бернштейном были установлены прямые и обратные теоремы для приближения функций / € 8ч(р,а) целыми функциями конечной степени. Также рассматривался вопрос об эквивалентности между собой двух различных специальных классов одного порядка. При этом была введена характеристика класса 59(р,а), определяемая как минимальное т £ N такое, что к о. г=1

Оказалось, что все специальные классы порядка q, имеющие одну и ту же характеристику т, эквивалентны между собой. Если, кроме того </^т<д-|-1,то все эти специальные классы эквивалентны классу Липшица Ыр(к,а), где к = т — 1, 0 < а = д — & = + 1 — га ^ 1.

В главе II изучаются модифицированные разности довольно общего вида, аналогичные тем, которые определяли специальный однородный класс, и соответствующие модули непрерывности. В качестве модельного примера рассмотрим обобщенные модули непрерывности, основанные на формулах численного дифференцирования.

Пусть ж 6 1, к > О, т,п € М, т ^ п, положим

IV к=гп

Если / € С(Т), то модули непрерывности, соответствующие введенным обобщенным разностям, определим равенством вир Р(^т'п)(/)).

Как известно, имеют место следующие формулы численного дифференцирования (см., например, [14, с. 150-156])

Здесь п

Р„(/, ®о, = Р„(/, ®0, «о = С? А ®о) к—О интерполяционный многочлен Ньютона. В качестве модифицированных разностей ж о) взяты величины Ясно, что ее о) имеют вид т с1гпРп(/,хо,Х п ¿хт

Х = Х0 при этом этом легко видеть, что выполнены условия ^ака>1= 0 при р = 0,.,т-1, УФ 0

Оказывается, что для модулей непрерывности, основанных на формулах численного дифференцирования, выполнены двусторонние оценки, которые получаются как следствие более общей теоремы, являющейся основным результатом главы II,

Таким образом, если не принимать во внимание постоянные, то классы функций, определяемые модифицированными модулями непрерывности, совпадают с классами функций, определяемые обычными модулями непрерывности.

В главе III изучается связь между структурными свойствами функций и скоростью убывания их коэффициентов Фурье: рассматриваются оценки сверху значений полунорм, определенных через коэффициенты Фурье, в метрике Х1(Т). Этой тематике посвящен ряд работ (см., например, [22]).

В. Э. Гейт [6] показал, что для каждой функции / € Ь1(Т) выполнена оценка наилучшего приближения к=п+1

Усилив ряд предшествующих результатов, С. А. Теляков-ский [21] установил следующую оценку снизу модуля непрерывности о;г(/,Н)1 через коэффициенты Фурье а/с(/) и Ьк(/). Пусть в, если з нечетно, Г з + 1, если в нечетно, 1 в2 = \ 3 + 1, если в четно, ^ з, если в четно.

Тогда для произвольной / € ¿1(Т) имеет место неравенство

В § 1 установлены оценки, из которых приведенные выше результаты получаются как следствие. В § 2 установлены многомерные аналоги полученных неравенств.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

В работе мы будем использовать следующие обозначения. Как обычно, R, М+, Z, Z+, М суть соответственно множества вещественных, вещественных неотрицательных, целых, целых неотрицательных, натуральных чисел. Через С(Т) будем обозначать пространство 27г-периодических непрерывных на R функций с нормой ||/|| = max|/(i)|, L1(T) — простран

1R ство 27г-периодических функций /, суммируемых на [—7г,7г] с нормой \\f\\i = |/(i)l dt, L°°(T)— пространство почти всюду ограниченных 27г-периодических функций, И^(Т)— множество функций / € С(Т) таких, что абсолютно непрерывна, a € L°°(Т). Если Р — полунорма в С(Т), то будем говорить, что Р принадлежит классу А, если выполнены следующие условия: 1) существует постоянная М > О, не зависящая от /, такая, что P(f) ^ -&f||/||; 2) полунорма Р инвариантна относительно сдвига. Пусть г Е Z+, i 6 R, положим г

Art(f,x) = (-1 r+rC™f(x + mt), х) = &Th(f,x-rh/2). тп—О

Для последовательности Л = {Л/.}, как обычно, вместо Aj(A, к) пишем ДГАfc. Если / € С(Т), Р € А, то модуль непрерывности порядка г с шагом h определяется равенством ur(f,h)= sup Р(Д?(/)).

Пусть г G N, a G (0,г], тогда Lip(r, «) = {/€ С(Т) : ыг(/, /г) ^ Mha при некотором М > 0}. Если / е ^(Т), то wr(/,h)i= sup ||W,-)||i 0<t</i модуль непрерывности порядка г в пространстве L1(T). Пусть / G Т), h > О, тогда m(/,z) = - / /(яг-ht) А, п J-h/2

ShM>*) = 5м(5м(/),®) = ~ У* /(* + «) (l - Л функции Стеклова с шагом h первого и второго порядка, соответственно.

Пусть / 6 -^(Т), тогда coskx + bk(f) sin кх) = ^ Afc(/,z) /с=1 fc=o (i) fcez тригонометрический ряд Фурье функции /, соответственно, в вещественной и комплексной форме, оо sin/гж — bk(f) cos кх) (2) к~1 ряд, сопряженный с рядом (1), £п(/,х) и Sn(f,x) — п-е частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Через / или 5(/) обозначаем функцию, сопряженную к /. Как обычно п

ТЛ / ч 1 1 v^ , sin n+ 1/2)£ Dn(t) = — + - > cos fct = —;— nW 2тг 27Г sin i/2 '

А/Ч n . , cos i/2 — cos(n -f l/2)i

Dn(t) = -> sinAi =-Ц-—Г-Ц-——, w 27Г sin i/2 суть ядро Дирихле и сопряженное ядро Дирихле.

Если / е Ь1(Т), к 6 N то /(~к) — к-я периодическая первообразная функции / — со(/), такая, что = 0.

Пусть п € Z+, тогда Нп— множество тригонометрических полиномов порядка не выше гг, Н — множество всех тригонометрических полиномов. Если / € С(Т), то Еп(/) = ЫТ£Нп Р(/-Г),если/ Е ^т.тоЕпС/)! =т£Т€я. Ц/-ТЦ1. Если а > 0, п Е М, / е Ь1{Т), то fcez к= — п суммы Абеля—Пуассона и Фейера функции /. Пусть а = х0 < хх < • • • < хп = Ь (3) разбиение отрезка К — [а, Ь], Кг = [а^, £¿+1]. Полагаем

71 — 1 г=0 где верхняя грань берется по всем разбиениям вида (3). Величина У^, К) — вариация функции / на К. Обозначим через У(Т) множество 27г-периодических функций / : М —> Е, таких, ЧТО [—7Г, 7г]) < 00.

Будем обозначать абсолютные положительные постоянные через С, положительные величины, которые могут зависеть только от 5 — через С (в). При этом в разных случаях значения С и С (в) могут быть различны. Если различные постоянные будут встречаться в одной формуле, то мы будем их снабжать индексами, например, Сг(з), (^2(5).

1. Бари Н. К. Тригонометрические ряды. М., 1961.

2. Бернштейн С. Н. О свойствах однородных функциональных классов. Собр. соч. в 4-х т. Т. 2. М., 1954, с.421-432.

3. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. Элементарная теория. М., 1965.

4. Виноградов О. Л, ЗКук В. В. О точности представления средних В.А. Стеклова функций двух переменных обобщенной ограниченной вариации сингулярными интегралами //Вестник С.-Петербургского университета. Сер. I. 1999. Вып. 4 (№22). С. 13-21.

5. Вороновская Е. В. Определение асимптотического вида приближения функций полиномами С. Н. Бернштейна// Докл. АН СССР. 1932. С. 79-85.

6. Гейт В. Э. О структурных и конструктивных свойствах синус- и косинус-рядов с монотонной последовательностью коэффициентов Фурье // Изв. вузов. Математика. 1969. №7. С. 39-47.

7. Дзядык И. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.

8. Ефимов А. В. О приближении некоторых классов непрерывных функций суммами Фурье и суммами Фейера //Изв. АН СССР. Сер. матем., 1958. Т. 22, №1. С. 81-116.

9. Жук В. В. Аппроксимация периодических функций. Л., 1982.

10. Жук В. В. Введение в теорию приближения функций вещественной переменной. СПб., 1993.

11. Жук В. В., Кузютин В. Ф. Аппроксимация функций и численное интегрирование. СПб., 1995.

12. Жук В. В., Натансон Г. И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. Л., 1983.

13. Жук В. В., Натансон Г. И. Свойства функций и рост производных приближающих полиномов. //Докл. АН СССР. 1973. Т. 212, №1. С. 19-22.

14. Мысовских И. П. Лекции по методам вычислений. М., 1962.

15. Пуеров Г. Ю. О скорости сходимости тригонометрических рядов Фурье и рядов, сопряженных с ними //Сборник научных трудов "Методология и история математики". Том И. Под ред. Н. М. Матвеева. С.-Пб. 2000. С. 132-143.

16. Пуеров Г. Ю. Модули непрерывности, основанные на формулах численного дифференцирования. V Царскосельские чтения. Том VIII. Материалы конференции. Под ред. В. Н. Скворцова. С.-Пб. 2001. С. 58-61.

17. Пуеров Г. Ю. Оценки полунорм разности сумм Фейера и Абеля—Пуассона периодических суммируемых функций //Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. I. 2002, вып. 2 (№9). С. 32-38.

18. Пуеров Г. Ю. О приближении функций Стек лова периодических суммируемых функций суммами Абеля—Пуассона и Фейера //Методика преподавания математики в высших и средних учебных заведениях. Сборник научных трудов. С.-Пб. 2002. С. 135-141.

19. Пуеров Г. Ю. Оценки снизу наилучших приближений и модулей непрерывности суммируемых функций через их коэффициенты Фурье. С.-Пб. Деп. в ВИНИТИ №596 В2003 от 02.04.2003. 14 с.

20. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. М., Л. 1964.

21. Теляковский С. А. Оценки снизу интегрального модуля непрерывности функции через ее коэффициенты Фурье //Мат. заметки. 1992. Т. 52. №5 С. 107-112.

22. Теляковский С. А. Оценки модуля непрерывности в метрике L функции одной переменной через коэффициенты Фурье// Укр. мат. журнал. 1994. Т. 46. №5. С. 626-632.

23. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М. 1960.

24. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М., 1962.

25. Moricz F. A quantitative version of the Yong test for the Convergence of conjugate series / / Journal of Approximation Theory 81, 207-216 (1995).

26. Moricz F., Siddiqi A. H. A quantitative version of the Dirichlet-Jordan test in L1-norm. //Rendiconti del Circolo Matemático di Palermo. 1996. Serie II. Tomo XLV. P. 19-24.

27. Salem R. New teorems on the convergence of Fourier series. //Ргос. Koninklijke Nederlanse Akademie van Wetenschappen, Indag. Math. 16. 1954. P. 550-555.

28. Taberski R. Differenses, moduli, and derivations of fractional orders // Ann. Soc. Math. 1977. Ser. I: Comn. Math. XIX. P. 389-400.

29. Zamansky M. Classes de saturation de certains procedes d'appromaxion des series de Fourier des fonctions continues et applications a quelques problèmes d'appromaxion// Ann. Sei. Ecole norm, sup., 66. 1949. P. 19-93.