Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А. Ильюшина и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов

Голиков, Сергей Николаевич

Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А. Ильюшина и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Голиков, Сергей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А. Ильюшина и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов»

Автореферат диссертации на тему "Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А. Ильюшина и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов"

московским государственный университет

им. М.ВЛомоносова механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 539.3

□ ~ __■ ;.,.......^^

Голиков Сергей Николаевич

Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А.Ильюшнна и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов

Специальность 01.02.04 - механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 О ДЕК 2009

Москва 2009 г.

003487502

Работа выполнена на кафедре Теории Упругости Механико-Математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Быков Дмитрий Леонидович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, ст.н.с. Пшеничное Сергей Геннадьевич Доктор физико-математических наук,

профессор Шачнев Владимир Алексеевич

Ведущая организация: ФГУП "ФЦДГ'Союз".

Защита диссертации состоится « 18 » декабря 2009 г. в 16:00 часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.91 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119991, РФ, г.Москва, ГСП-1, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « 16 » ноября 2009 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 501.001.91 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

С.В.Шешенин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Развитие современной техники неразрывно связано с появлением новых материалов, обладающих свойствами, отличающими их от всех ранее известных. Примерами могут служить материалы, изготовленные с использованием нанотехнологий, в которых частицы, имеющие размеры от одного до нескольких десятков нанометров, соединяются тем или иным способом с материалами, структурные размеры которых могут достигать от десятых долей до нескольких миллиметров.

В результате появляются новые материалы с более высокими физико-механическими характеристиками по сравнению с теми, которые имелись у материалов, не соединяемых с наночастицами. Появление таких материалов находит широкое внедрение в новой технике, однако это становится возможным только при более тщательном, чем прежде, изучении свойств уже известных материалов.

Эта подложка при длительном пребывании в космическом пространстве может получать повреждения, вызванные действием различных термо-силовых факторов. Поэтому вопрос о долговечности отражателей будет зависеть^ от -правильной оценки их прочности при длительной эксплуатации. Следовательно, учёт повреждений подложки и деформирования нанопокрытия приобретает решающее значение.

Из этого примера можно сделать вывод о необходимости тщательного исследования любых современных материалов, предназначенных для применения в технике. В настоящей диссертации основное внимание уделяется разработке новых методов расчёта прочности наполненных полимерных материалов (НПМ), обладающих характерными свойствами, связанными с технологией их изготовления.

НПМ имеют различную структуру, связанную с её фазами: "связующим" и "наполнителями". В качестве связующих обычно выбирают каучукообразные материалы, приклеенные к наполнителям и образующие композит, в общем случае, многофазной структуры.

В представленной работе рассматривается частный случай НПМ, а именно, предполагается, что имеются только две фазы материала: жёсткий, недеформируемый наполнитель, имеющий некоторую кристаллическую форму, и эластичное связующее, склеенное с частицами наполнителя. Деформирование такого НПМ проявляется за счёт деформирования или разрушения связующего, а также за счёт отрыва (нарушения "адгезии") наполнителей от связующего.

Допуская, что все частицы наполнителя имеют близкие характерные размеры и распределены по объёму НПМ равномерно, приходим к имитационной модели реального материала, представляющей собой квазиоднородный и квазиизотропный материал. Это упрощает постановку задачи, но, как будет показано в дальнейшем, оставляет проблему исследования сопротивления подобных материалов достаточно сложной.

Суть задачи, решаемой в диссертации, сводится к следующему: найти и использовать применительно к конкретным примерам новые определяющие соотношения нелинейной теории вязкоупругости, позволяющие учитывать физические свойства НПМ, которые выявляются при экспериментальных лабораторных исследованиях НПМ с "пониженной адгезионной прочностью". Последнее соответствует тому, что разрушение таких материалов начинается главным образом с отслоения наполнителей от связующего и только затем нарушается "когезионная" прочность, т.е. происходит разрыв связующего.

Практически такое явление начинается в высоконаполненных полимерных материалах, когда объём наполнителя в несколько раз превосходит объём связующего. В настоящее время наиболее подходящей для применения на практике и описания указанных явлений является "Нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов" (НЭТСВУМ), получившая теоретическое развитие и экспериментальную проверку в работах Д.Л.Быкова, Д.Н.Коновалова, В.Э.Апетьяна. Этой теории предшествовали многие работы в области линейной и нелинейной теорий вязкоупругости отечественных и зарубежных авторов, среди которых наиболее важное значение имеют монографии А.А.Ильюшина и Б.Е.Победри, Ю.Н.Работнова, В.В.Москвитина. В этих монографиях была проведена важная с практической точки зрения систематизация опубликованных в нашей стране и за рубежом работ, посвящённых развитию теорий термо-вязкоупругости по состоянию на начало 70-х годов прошлого столетия. В последующих статьях указанных авторов, а также их учеников и соратников были развиты идеи, предложенные ранее А.А.Ильюшиным, в том числе эффективный "метод аппроксимаций" для решения задач линейной теории вязкоупругости.

Развитие механики полимерных материалов протекало в тесной связи с созданием экспериментальных установок для проведения опытов, позволяющих уточнять механические характеристики таких материалов. Одновременно с этим совершенствовалась вычислительная техника, расширяющая возможность использования всё более сложных определяющих соотношений, которые могли с высокой точностью описывать результаты экспериментов, имитирующих реальные режимы нагружения конструкций.

Если в 50-е - 70-е годы прошлого века, когда происходило интенсивное развитие линейной теории вязкоупругости, в основном преобладало представление ядер релаксации и ползучести в виде функций времени, содержащих от 2-х до 4-х материальных констант материала, подлежащих экспериментальному определению в конкретных опытах, то уже в конце прошлого столетия и в настоящее время стало широко использоваться представление указанных ядер с помощью сумм большого числа убывающих экспоненциальных функций, позволяющих описывать кривые ползучести и релаксации с погрешностью не более 1%. Наличие численных программ значительно облегчило идентификацию таких функций и, что важно, эти виды представления ядер релаксации и ползучести стали входить в стандартные пакеты для решения задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости.

рядов Прони и других комбинаций из убывающих экспоненциальных функций, заставляет во многих задачах отдавать предпочтение последним.

Следует заметить, что ранее в работах А.К.Малмейстера была реализована идея о получении для железобетонной конструкции ядра ползучести, пригодного для одновременного описания деформационного процесса при постоянном растяжении и при циклическом нагружении. Это удалось сделать благодаря введению не одного, а двух собственных времён ползучести, что является частным случаем подхода по увеличению числа неизвестных констант (на примере отрезков рядов Прони) для расширенного описания одновременно различных деформационных процессов.

В монографии А.А.Адамова, В.П.Матвеенко, Н.А.Труфанова, И.Н.Шардакова "Методы прикладной вязкоупругости" указан другой метод описания ядер ползучести и релаксации при одновременной реализации различных режимов нагружения. При этом аналитические представления ядер не сводились к отрезкам рядов Прони, а брались в виде других ранее известных функций времени (в частности, в виде ядра М.А.Колтунова). В этом случае использовались также "усреднённые" ядра, которые для конкретных видов испытаний давали вполне удовлетворительное согласование с данными экспериментов.

Цель работы. Целью работы является исследование и разработка методов идентификации НЭТСВУМ, а также расчёт конструкций из НПМ с учётом конечных деформаций.

Для достижения этой цели предстояло решить следующие задачи:

1. Вычислить сопряжённые ядра релаксации и ползучести с целью их использования в модифицированном методе аппроксимаций;

2. Провести идентификацию НЭТСВУМ различными методами, в том числе и методом генетического алгоритма;

3. Вывести инкрементальные соотношения НЭТСВУМ для расчёта конструкций методом конечных элементов;

4. Произвести расчёт конструкций из НПМ модифицированным методом аппроксимаций А.А.Ильюшина и методом конечных элементов при малых деформациях;

5. Произвести расчёт конструкций из НПМ методом конечных элементов при учёте физической и геометрической нелинейности материала.

Научная новизна работы. В диссертации предложена модификация метода аппроксимаций А.А.Ильюшина, заключающаяся в специальном выборе ядер релаксации и ползучести, отвечающих постановке решаемой задачи линейной теории вязкоупругости. При идентификации НЭТСВУМ использован метод «генетического алгоритма», для которого указаны области допустимого изменения 16-ти неизвестных механических параметров ядер релаксации. Используя инкрементальные представления соотношений НЭТСВУМ и логарифмические меры деформаций, впервые произведён расчёт неосесимметричного плоского деформирования вязкоупругого цилиндра, имеющего внутренний вырез типа "мальтийский крест" и заключённого в упругую оболочку, при действии внутреннего давления с учётом физической и геометрической нелинейности материала.

Достоверность основных положений и выводов базируется на физической и математической корректности постановки решаемых задач, использовании апробированных численных методов расчёта систем инкрементальных уравнений и сопоставлении найденных решений, полученных разными методами. Физическая корректность подтверждается хорошим совпадением результатов расчётов, проведённых ранее в рамках НЭТСВУМ, с данными многочисленных экспериментов, включая случаи использования логарифмических мер деформаций. Математическая корректность подтверждается применением широко известного метода конечных элементов, анализом полученных решений и их сопоставлением при использовании различных методов расчёта.

Научно-практическая значимость работы.

Диссертация посвящена решению практических задач современной техники, связанных с обеспечением прочности конструкций, сделанных из наполненных полимеров с низкой адгезионной прочностью. Их особенность состоит в зависимости ядер релаксации и ползучести от конкретных деформационных процессов уже при малых деформациях, то есть неуниверсальности механических характеристик. Кроме того, низкая адгезионная прочность приводит к необходимости одновременно учитывать физическую и геометрическую нелинейность материала. В диссертации предложены методы учёта указанных особенностей: применительно к линейной теории вязкоупругости - на основе модифицированного метода аппроксимаций А.А.Ильюшина, а применительно к нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов — на основе инкрементального метода численного интегрирования НЭТСВУМ с использованием логарифмических мер деформаций.

Разработанные в диссертации методы позволяют найти практические применения для прогнозирования прочности конструкций из НПМ.

Расчетом задач методами НЭТСВУМ можно получить не только напряжённо-деформированные состояния, позволяющие при известных критериях разрушения судить о несущей способности конструкций, но и рекомендации технологам по совершенствованию материалов из наполненных полимеров, исходя из анализа их повреждённости в процессах нагружения.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва 2005-2008 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости МГУ под руководством проф. И.А.Кийко (2004-2009 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов МГУ под руководством проф. Б.Е.Победря.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, из них 1 статья в центральном журнале и 5 тезисов докладов.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения с обзором литературы, трёх глав, выводов и списка литературы, включающего 76 наименований отечественных и зарубежных источников. Работа изложена на 105 страницах машинописного текста содержит 42 рисунка.

Некоторые из основных результатов диссертации получили внедрение в производственную практику предприятия ФГУП ФЦДТ "Союз".

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении об основана актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи данной работы, приведена аннотация содержания диссертации с обзором литературы.

В первой главе описывается разработанный в диссертации модифицированный метод аппроксимаций А.А.Ильюшина.

В п. 1.1 рассматривается общая постановка решения задач линейной теории вязкоупругости методом аппроксимаций А.А.Ильюшина.

Соотношения линейной теории вязкоупругости между тензорами напряжений и деформаций берутся в виде:

а(0= )к{1-тув{т), 5,(0= '.И'-г^э, (г),

(1)

6{1)=\пв{1-т)<1ст (г), э, (Г) = \П (I - т) (г),

здесь Sy(t), зl, (<) - девиаторы тензоров напряжений и деформаций; ст(<) - среднее напряжение; 0(t) - объёмная деформация; 2G(t),K(t) - ядра сдвиговой и объёмной релаксации; IJ(t), ng(t) - ядра сдвиговой и объёмной ползучести.

Применим к этим соотношениям интегральное преобразование Лапласа-Карсона (Л-К):

f{s) = s]e-s,f{t)dt,

здесь /(() - функция-оригинал, возрастание которой при о не превосходит убывания экспоненциальной функции е~'', у>0; f'(s) - изображение функции /(î) в пространстве Л-К; j - положительная действительная переменная.

Учитывая известные свойства преобразования Л-К, выражения напряжений и деформаций (1) в определяющих соотношениях примут вид:

Будем называть простым нагружением конструкции случай, когда все массовые и поверхностные нагрузки меняются пропорционально некоторой функции времени À(t), причём Я(0) = 0.

Общие уравнения, определяющие математическую модель рассматриваемой задачи, можно представить в виде

уравнений равновесия: <у¡¡ j = Xf (*) Л (i),

граничных условий: =а? =и<1^{1)>

где связь деформаций перемещений и, : £t] = } +

Пользуясь формулами Сомильяна, полученными в теории упругости, можно записать изображения искомых функций в виде

и] (s) = Л*(j)Ц (2G*(s),K*(s),n'(5),П'д (i),x,m) + V (j)p, (2G* (5),(j), П' (J),я; (5),X, m).

В формуле для u'(s) x - координаты точки тела, а т — параметр его геометрии.

Из формул (2) следуют равенства: 2G*(j)/7*(j) = I, к'(j)П'0(л) = I. Учитывая эти зависимости между 2G*(s) и n*(s), считая, что коэффициент Пуассона v = const, можно представить выражение и'(s) в виде

В этом выражении опущены все аргументы, не зависящие от параметра s. Это означает, в частности, что граничные условия записываются относительно геометрии тела, не зависящей от времени.

Аппроксимацию этих функций в пространстве изображений можно проводить разными способами. Одним из них является представление указанных функций отрезками рядов Лорана. В качестве примера рассмотрим такое представление для функции I, [2G* (sjj

1,(20'(s)) = ai+b,2G'(s) + c,^-j +.....

Найдя искомые коэффициенты а^Ь^с,,...., мы можем добиться аппроксимаций функции f,(2G'(s)) с необходимой точностью в пространстве изображений, после чего построить её оригинал в виде

li(x) = aj+bi2G(t) + cin(t) +..........(3)

Здесь мы воспользовались равенством 2G'(s)n"(s) = 1. Зная функции 2G(s) и n(s), можно найти приближённое решение задачи. Используя формулу (3), находим оригинал перемещений

u,{t)='\j,{t~T)dA{r). (4)

Рассматривая для простоты только первые слагаемые в правой части формулы (4), получим

I I

и, (/) = а,Л (t) + b, J2G (/ - г) dX (г) ¡Л (t -т)ёЛ(т) + ... о о

Таким образом, модификация метода аппроксимаций А.А.Ильюшина состоит в следующем:

1) Для использования метода аппроксимаций на основе преобразований Л-К необходимо, чтобы ядра релаксации и ползучести находились из одного и того же опыта;

2) При выборе эксперимента для нахождения ядер релаксации и ползучести следует руководствоваться соображениями о наилучшем достижимом совпадении соответствующего деформационного процесса с процессом реального нагружения конструкции.

В п. 1.2 рассматривается определение сопряжённого ядра Л (/) через ядро й(г) из экспериментов на релаксацию £•(() = £•„■&(<) и растяжение образца с постоянной скоростью деформаций с (<) = с0 ■ г.

Закон связи напряжений и деформаций для одноосного представления Больцмана-Вольтерра имеет вид:

Из этого уравнения может быть найдено ядро релаксации Л (г), если из какого-либо опыта известны значения ст(г) и г (г). Это интегральное уравнение можно переписать в виде, разрешенном относительно г(/). Из теории Вольтерра

известно, что е (') = \п ((- г) й<т (г). (6)

Подставив соотношение (5) в (6), получим уравнение:

' Гг ^

£(0= ; (7)

О 40 /

согласно которому

1) при релаксации £•(/) = «•„ А (г), где А(г) = ||)' | - функция Хевисайда,

получим 1 = /7 (?)./? (0) + г)Л'(г)^г

, при«>0; (8)

2) при £ = Е0 ■ (, получим

I I

<=_[/7(/-г)Л(г)Л- или'= |/7(г)Д(/-г)</г. (9)

о о

Уравнения (8) и (9) решаются с помощью метода квадратурных формул, суть которого состоит в замене интегрального уравнения аппроксимирующей системой алгебраических уравнений относительно дискретных значений искомой функции и решении этой системы. В основе такой замены лежит приближение интеграла квадратурными формулами.

Пусть I = 1,2,3,..., (гтх - 0) / А, тогда

1 )е(0 = еоШ П(°) = -Ш,ПМ

._I_¿1_

1 2

«(о)' 1 ' М

В п. 1.3 модифицированным методом аппроксимаций А.А.Ильюшина решается тестовая задача о растяжении вязкоупругого бруса с прямоугольным поперечным сечением. Далее производится сравнение с решением, рассчитанным по методу конечных элементов при использовании инкрементальных соотношений линейной теории вязкоупругости. Получено хорошее совпадение решений.

В п. 1.4 модифицированным методом аппроксимаций А.А.Ильюшина решается задача о полом вязкоупругом цилиндре, заключённом в упругую оболочку, с неосесимметричным вырезом типа "мальтийский крест" при действии внутреннего давления. Сравнение данного решения с решением, полученным при использовании инкрементальных соотношений линейной теории вязкоупругости, даёт хорошее совпадение.

Во второй главе диссертации рассматривается нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ) и её идентификация.

В п.2.1 даны необходимые сведения о НЭТСВУМ.

Рассматривается обобщённая модель Максвелла (рисунок 1), образуемая путем соединения параллельно расположенных элементарных моделей Максвелла.

Чтобы расширить область применения теории вязкоупругости, считается, что константы Ек и щ в обобщенной модели Максвелла, при определенных условиях нагружения начинают меняться во времени и зависят от вида напряженно-деформированного состояния, что делает рассматриваемую модель физически нелинейной.

Трудности расчета конструкций на основе нелинейной модели возрастают по сравнению с расчетами, проводимыми при использовании линейной модели. Имея это в виду, заменим величины Ек и цк на произведения Ек<р{г) и //,./(<), где (о(<) и /(г) - некоторые функции времени, подлежащие определению в дальнейшем с использованием экспериментальных данных.

Связь одномерных напряжений <т(г) и деформаций с(/) в НЭТСВУМ записывается в виде

N I . / \

где = + - ядро сдвиговой релаксации; t.(t)=j^-ldr - приведенное

время; tp(t) - функция старения и f{t) - функция изменения вязкости, характеризующие необратимое изменение и старение материала.

Для использования данной теории имеет большое значение правильное понимание структуры удельной работы внутренних сил, представляемой в виде

A(t) = \a(T)de(T) = Ae(t) + Au(t) + A»(t) + Ac(t), о

где

- удельная мгновенно-обратимая энергия;

- удельная замедленно-обратимая энергия;

- удельная запасённая энергия;

- удельная рассеянная энергия;

- удельная энергия старения.

В числе необратимых процессов, протекающих при нагружении и нагреве НПМ, можно выделить процесс изменения внутренней структуры материала, который будем считать его "повреждённостью" и процесс изменения температуры материала в результате деформирования. Исходя из этого, стремясь при решении практических задач избегать применения связанных задач нелинейной теории термовязкоупругости, можно принять следующую "пороговую" модель для выделения удельной поглощённой энергии AJt), расходуемой исключительно на повреждённость материала.

dAa(t)/dt=ка [w. {t)-ws}H(m (t)-ws), do)

где w, — пороговая мощность энергии рассеивания; Н(х) - функция Хевисайда; ка = e~i,: - коэффициент поглощения энергии, с помощью которого выделяется часть "избыточной" мощности рассеяния W. (;) - IVS, поглощаемая в процессе накопления повреждений (0 < ка < 1).

В п.2.2 рассматривается задача о нахождении ядра релаксации при начальном приближении в виде ядер обобщённой модели Максвелла, определяемых из опыта на релаксацию с малой деформацией.

В п.2.3 находится ядро релаксации из опыта на растяжение образца с постоянной скоростью деформаций при монотонной и немонотонной зависимости напряжений от деформаций.

В п.2.4 указан приближённый метод идентификации функций старения и вязкости.

4 =

А =

2>Д0

U=i

ыЩ ç(l)

кй At о /(г) cW £î2£tnV(r)

В п.2.5 представлено краткое изложение метода генетического алгоритма. Далее, при использовании данного метода, рассматривается идентификация НЭТСВУМ из опытов на растяжение образца с постоянной скоростью деформации при наличии немонотонной зависимости напряжений от деформаций (рисунок 2).

3 25 2 1.5

0.5

6 *,.««

Рисунок 2. Зависимость о-,, (?) от времени / при растяжении образца с постоянной скоростью деформации ¿„ = 0.01472 1¡мин. Крестиками показаны экспериментальные значения напряжений в моменты времени (,, пунктиром показана теоретическая кривая, найденная при использовании метода ГА.

В третьей главе диссертации рассматривается решение задач при использовании НЭТСВУМ с учётом конечных деформаций.

В п.3.1 описана суть решения задач при использовании НЭТСВУМ. Модель описывается системой соотношений инкрементального типа. Последовательность вывода этих соотношений включает три этапа. На первом этапе делается допущение о "вмороженности" главных направлений тензора истинных напряжений в материал частицы и формулируются три скалярных соотношения связи наследственного типа между главными истинными напряжениями и логарифмическими деформациями. Форма этих соотношений аналогична форме соотношений эндохронной теории. На втором этапе выводятся скалярные соотношения инкрементального типа, основанные на допущении о постоянстве скоростей логарифмических деформаций и скоростей изменения приведённых времён на малых интервалах времени [/, г+д/]. На третьем этапе инкрементальные соотношения формулируются в тензорном виде и обобщаются на случай произвольной истории деформирования материальной частицы.

Алгоритм численного решения пространственных краевых задач для предложенной системы инкрементальных определяющих соотношений основан на конечно-элементной дискретизации слабой формы уравнений равновесия, отнесённой к конфигурации тела в начале текущего временного шага. Учёт зависимостей материальных функций старения и функций скоростей приведенных времён от параметров состояния проводится в рамках явной схемы.

„X V .

у *

х"

м'

. У

.х

■ / /

■ _I_I_I_1_1_I_

В п.3.2 рассматриваются определяющие соотношения между истинными напряжениями и логарифмическими мерами деформаций в рамках НЭТСВУМ.

Вначале предполагается, что главные оси тензора истинных напряжений неподвижны относительно материала частицы. Тогда деформированное состояние частицы может характеризоваться тремя логарифмическими деформациями:

sa(i) = \nXa(t), где - растяжение материального волокна, направленного вдоль главной оси тензора истинных напряжений с номером а (а = 1,2,3).

Связь между главными истинными напряжениями aa(t) и логарифмическими деформациями еа (i) принимается в следующем виде:

a{t) = <pl{l) = (П)

о о

*(O=ZMOA(O=s«(O-40(O. ^Щ^Д/),sa(f)=<ra(t)-a(t), (12) ;=i -> J /=i

K{t) = +KN+V G(/) = ¿G/^- +Gn+1,

11=I W—I

где e(t) - логарифмическая объёмная деформация; Э„ (<) - компоненты девиатора логарифмических деформаций (а = 1,2,3); a(t) - среднее истинное напряжение; Sa(t) — главные компоненты девиатора истинных напряжений; K(i), G(t) - ядра объёмной и сдвиговой релаксации соответственно; Кх, ...,KN+t, G1; ...,GVtl, г,, ...,rv - набор неотрицательных параметров ядер; р2(') ~ функции старения;

'i(')> '2(0 - приведённые времена.

Соотношения (11), (12) могут быть представлены в следующем виде:

N+1 Ai+l

*■„(/) = ^ (/) X К„0^ {,) + 2<р2 (/) X С„Э^ (0, (13)

(14)

где а = 1,2,3; л = 1, ...,N + 1; гЛЧ1=оо.

Каждому из уравнений (11) может быть поставлена в соответствие структурная модель в виде системы параллельно соединённых одномерных стареющих вязкоупругих элементов типа "пружина-демпфер" с синхронным изменением коэффициентов жёсткости упругих элементов, описываемым функцией %(<), и синхронным изменением коэффициентов вязкости демпфирующих элементов, описываемым функцией /*(<)• В рамках этих структурных моделей функции О1"1 (() и э£"'(г) могут интерпретироваться, как деформация п-го упругого элемента соответствующей модели.

В п.3.3 приведён вывод инкрементальных соотношений НЭТСВУМ.

Для вывода инкрементальных соотношений на основе соотношений наследственного типа (13), (14) принимается допущение о постоянстве скоростей логарифмических деформаций и скоростей изменения приведенных времён <,(г), /2(г) на интервале [/, г+дф

= + г-/), « = 1,2,3,

дГ <15)

'*(гН*(') + £7(*-')> АГ,=д/,(|+д<)-д/,(<), к = 1,2.

ДГ

При этом допущении функции О1"1 (т) и Э^ (г) на интервале [;, ;+д/] будут иметь следующий вид:

0М(г) = 0М(,)ехр -

г-Г д< г„

Д0 / ч ^[ дЛ Г -? Д<4 7 еЛ г„

Э«(г) = эМ(0«Р

л' г, ] д* 4 д? Г„

(16)

(1-е-*)

где /Г1(Х)= -д6'=д£', +дг2+л£-3; дЭа =д£а - д#/3; а = 1,2,3.

С учётом (16) определяющие уравнения (13) могут быть представлены в следующем инкрементальном виде:

оа (г +д/) = (рх (/ + д<) а (г,д7,)+д>2 +д/) 5* (г,д?2) +

(17)

+[р, (/ +д<) а:* (дг, ) - 2/з«52 (/ +Л() в' (д/2 )]д в + 1<р2 (/ +Д/) в* (д?2 ) д£„,

АМ

и=1 V ч ) »=]

В рамках принятых допущений выражение для приращения удельной рассеянной энергии дА (на единицу объёма недеформированной частицы) может быть представлено следующим образом:

^ К г— п2 Л' г

I л=1 Гя я=1

где ^1(т) = ^(г)ехр(«(т))> ^2(г) = <р2(г)ехр(б(г));

п=1 ЛГ+1

д/.

(18)

(20)

=-2 3 м

,2 1 и,

Величины 3и32 лежат в диапазоне от 0 до 1 (использовалась теорема о среднем).

Для перехода к тензорному представлению инкрементальных соотношений (17), (19), через еа (г) (а = 1,2,3) обозначается ортонормированный базис из главных направлений тензора истинных напряжений в момент времени т и введены следующие тензоры:

"« = ¿^ (гК (г) ® (г), Э<"> (г) = (т)еа (Г) ® еа (г),

4(0

'а((+А()®еа(1+А(), (21)

(22)

+ = Е (< + д/) <2> еа +д/) =

а=1 ог-1

где символ операции тензорного произведения двух векторов; тензор <т(г) является тензором истинных напряжений, а тензор е,(<+дг)- левым тензором логарифмических деформаций по отношению к конфигурации в момент времени г. Обозначим через Я, (/ +д() ортогональный тензор поворота, переводящий базис еа(/) в базис е„(/+д<), тогда:

еа({+А() = Я1((+А()еа((), еа (I +д?) ® {(+дI) = Я, (I еа (г) ® (?) И* (/ +д/).

С учётом введённых тензорных обозначений (21) и соотношений связи (22) между элементами тензорных базисов ев(г+д/)®еа(<+д() и еа(')®е„(0 инкрементальные соотношения (17) могут быть представлены в следующем виде: а+Д?) = <рх (? +дГ)ег* / + <р2 +д/) Д, +д?)5* (?,дГ2) Д,г (< +дГ) +

+[«3, (/ +д/) /Г* (а/,) - 2/з(рг (/ +д/)С* (д/2)]в, +дГ) / (23)

+2(р2 +д?)С* (д/2)е, (/ +д?), где / -единичный тензор; в1 (г+дг) - след тензора в,(< +дг);

( к! \ г \

л=1 V /

В инкрементальном соотношении (23) величины и э'"'(г) играют роль

параметров состояния. После решения краевой задачи на текущем временном шаге эти параметры должны вычисляться для момента времени ? +д/ с использованием соотношений, вытекающих из скалярных соотношений (16) и определений (21) тензоров Э(п) ((+д() и е, (г +дг):

ехр -

Л',

Э, +дг) = г, (? +д/) - (/ )//3. Тензорные аналоги выражений (20) для величин [ё/"'] > входящих в выражение (19) для приращения удельной рассеянной энергии дА, будут иметь следующий вид:

= ^ ^ [э<"> (о] + у\э, (/+лг)]2 +

V. Гя У

♦V

3 1

где 1г - след тензора.

Полученные для частного случая деформирования, когда главные оси тензора истинных напряжений "вморожены" в материал частицы, инкрементальные определяющие соотношения (23) в сочетании с соотношениями (24) для скалярных 6>("' (г) и тензорных Э("' (/) параметров состояния допускают естественное обобщение на общий случай деформирования. При этом е,(«+д<) следует трактовать, как логарифм левого тензора растяжения по отношению к конфигурации в момент времени I, а тензор Л,(<+д<) — как тензор жёсткого поворота частицы при её переходе от конфигурации в момент времени г к конфигурации в момент времени <+д<.

Алгоритм численного решения квазистатической краевой задачи с использованием инкрементальных соотношений эндохронной модели.

Для решения краевой задачи в момент времени г+дг используется слабая форма уравнений равновесия для этого момента времени:

| (г[о-(х,* + Д?)с1(х)]йГК- | р(х)Ь(х,*+Дг)у(х)с/К-

- | |У(ж,* + Д/)п(х)>(х)аК = 0, '

где <т(х,( + Дг) - поле тензора истинных напряжений в момент времени ( + Д<; Ь(х,< + Д<) - поле вектора массовых сил; р(х) - поле плотности в момент времени г + Д<; V(1+1,1) - объем, занимаемый телом в момент времени /+дг, ¿'(г +д()-поверхность тела в момент времени г+Д(; п(х) - единичный вектор внешней нормали к поверхности 5(г+дг); у(х) - поле вектора виртуальной скорости; <1(х) -поле тензора скоростей деформаций, соответствующее полю у(х); а(х) = (уу(х) + (Уу(х))Т)/2.

Уравнение (25) должно удовлетворяться для любого кусочно-гладкого поля виртуальных скоростей удовлетворяющего однородным граничным

условиям на тех участках границы тела, где заданы граничные условия в перемещениях.

После замены х = х,(Х), соответствующей переходу от конфигурации в момент < к конфигурации в момент < + Д/, уравнение (25) примет вид:

11г[<т° (Х,1 + Д/)й° (X)]/, (Х)с/К° - ¡р° (Х)Ь° (X) v0 -

Г{1) , Г Г26Ч

- ( [сг0 + А/) г;т (X) п° (Х)>° (X)У, (X) = о, ( ]

ад

где <т"(Х,г + Дг) = сг0(х,(Х),( + Д() - тензор напряжений в момент времени / + Д/ в частице, которая в момент времени t занимала пространственное положение X; Г,'т (X) = Vx, (X) - тензор градиента деформации (по отношению к конфигурации в момент t); рп(Х)- поле плотности в момент времени <; п"(Х) - единичный вектор внешней нормали к поверхности S(î) :

y,(X) = det(Ft(X)), Ь°(Х) = Ь(Х,(Х),Г + Д/), v°(X) = v(4,(X)),

d° (X) = d° (X, (X)) = [(Vv° (X)) F-1 (X) + F-T (X) (Vv° (X)f

"Приведенное" к конфигурации в момент времени i поле сг"(Х,<+Д() тензора истинных напряжений в момент t+At, естественно, зависит от градиента деформаций F,(X). Эта зависимость описывается инкрементальными соотношениями (23). Следует отметить, что эндохронная модель базируется на допущении о том, что мгновенные значения функций старения щ(т), <рг{т) и скоростей изменения приведенных времён <й,(г)Д/г, di2(r)/dT зависят от мгновенных значений некоторых параметров состояния, т.е. %(r) = Ft(pW(r),pW(r)), (¿ = 1,2); Лк{т)1с1т = Фк(£\т),р1\т)), (А: = 1,2),

где pfe) (г) - набор "внешних" параметров состояния, не зависящих от процесса нагружения (температура, влажность, степень полимеризации); р^(т) - набор деформационных, силовых и/или энергетических параметров, зависящих от процесса нагружения. Из этого следует, что входящие в инкрементальные соотношения (23) величины <pt(t+At) и Мк (к = 1,2), вообще говоря, зависят от решения задачи в конце временного шага. В применяемом алгоритме используется аналог явной схемы, т.е. величины <рк (i+At) и Atk заменяются в соотношениях (23) их оценками, полученными на основе имеющихся к моменту времени t предыстории параметров состояния.

При численном решении уравнения (25) методом конечных элементов используются аппроксимации функций х,(Х) и v°(X), линейно зависящие от наборов соответствующих узловых переменных:

х, (X) = Л, +5Х (x)K3JV-3«> v° (X) = 5Х (27)

N N

где Nn (X) - набор финитных интерполирующих функций, определяемый сеткой конечных элементов и типом этих элементов; иА1 - набор узловых перемещений; vu - набор узловых виртуальных скоростей.

После подстановки аппроксимации (27) в уравнение (26), последнее сводится к линейной комбинации узловых перемещений ии. Полученная система нелинейных уравнений относительно узловых перемещений иК, решается методом Ньютона.

В п.3.4 с использованием данного алгоритма решены задачи о толстостенной вязкоулругой трубе, заключённой в тонкую упругую оболочку. В первой задаче внутренний радиус подвержен осесимметричному расширению с постоянной

радиальной скоростью, во второй задаче цилиндр подвержен постоянному внутреннему давлению. Обе задачи решаются с помощью как линейной, так и нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов. Также решаются задачи о действии внутреннего давления на стареющий вязкоупругий цилиндр, заключённый в упругую оболочку, с неосесимметричным вырезом типа "мальтийский крест". Даётся сравнение решений геометрически линейной, но физически нелинейной задачи, а также задачи как геометрически нелинейной (с логарифмической мерой деформации), так и физически нелинейной задачи.

Задача о деформировании вязкоупругой трубы, заключённой в упругую оболочку, при расширении её внутреннего радиуса с постоянной скоростью.

Рассматривается толстостенный вязкоупругий цилиндр, заключённый в тонкую оболочку. В задаче рассматривается плоская деформация. Внешний радиус цилиндра равен й = 60 см, внутренний г = 15 см. Считается, что материал цилиндра имеет постоянный коэффициент Пуассона к = 0.473, а также характеристики ядра

сдвиговой и объёмной релаксации 2+ ^ [МПа]. Оболочка

является упругой с характеристиками модуля Юнга £ = 2-105 АЯ7я, у = 0.3 и толщиной с1 = 0.4 см. Граничные условия таковы, что внутренняя граница цилиндра расширяется равномерно по радиусу со скоростью V = 0.2 см/с, а внешняя поверхность свободна от нагрузок.

Задача решается в двух вариантах (рисунок 3) в первом материал вязкоупругого цилиндра описывается линейной вязкоупругой теорией, во втором нелинейной эндохронной теорией стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ) с функцией старения ^(/) = ехр(-0.5-г„) и функцией изменения вязкости /(() = ехр(-1-е„ - Ь А), где е„- интенсивность деформаций, а А, - удельная рассеянная энергия. В результате расширения в материале в обоих случаях возникают конечные деформации. Мера деформаций в обеих задачах логарифмическая.

Рисунок 3. Распределение кольцевой деформации ее (логарифмическая мера) на 100 секунде.

В результате расчётов (рисунок 3) оказалось, что материал, прилегающий к внутреннему радиусу, имеет кольцевую деформацию в нелинейном случае больше, чем в линейном, при условии, что внутренняя граница в обоих случаях равномерно расширялась при одинаковых скоростях. В нелинейном случае это можно объяснить тем, что материал у внутреннего радиуса старел быстрее, чем материал, удалённый от внутреннего радиуса. Таким образом, в нелинейном случае старение привело к большему деформированию материала, прилегающего к внутреннему радиусу, чем в линейном.

Задача о деформировании вязкоупругой трубы, заключённой в упругую оболочку и находящейся под действием постоянного внутреннего давления.

Рассматривается задача плоского деформирования толстостенного вязкоупругого цилиндра, заключённого в тонкую упругую оболочку. На цилиндр действует постоянное внутреннее давление р = 0.25 МПа, внешняя граница оболочки свободна от нагрузок.

Все материальные функции берутся такими же, как и в предыдущей задаче о трубе при расширении её внутреннего радиуса с постоянной скоростью.

Линейный материал Нелинейный материал

Рисунок 4. Распределение радиальной деформации ег (логарифмическая мера) на 100 секунде.

Расчёты показали (рисунок 4), что цилиндр, материал которого описывается НЭТСВУМ, деформируется (по абсолютному значению) больше, чем цилиндр из линейного вязкоупругого материала. Это объясняется старением нелинейного материала, в результате чего, его прочностные характеристики уменьшаются и он деформируется сильнее, чем линейный материал.

Задача о деформировании вязкоупругого. заключённого в упругую оболочку цилиндра, с вырезом типа "мальтийский крест" под действием внутреннего давления.

Задача решается в двух вариантах (рисунок 5,6,7) в первом материал геометрически линейный физически нелинейный, во втором материал геометрически (логарифмическая мера деформаций) и физически нелинейный.

Материал цилиндра имеет характеристики ядра сдвиговой и объёмной релаксации:

Для логарифмической меры деформации использовались ядра (*), Кт (/)

_<_ _!_ ____1_

2С,ог{1) = 0.0275 + 3.17е 1,502 +0.00777е 1,16+0.0778е 2°8 + 0.117е 123+0.125е 671 МПа, 1[мин].

К10М)=гСтМ) + МПа

Для линейной меры деформаций использовалось ядра 20,„„ (/), Кш, (;)

_!_ __/_ __Г_

(/) = 0.045 + 0.692е 0,,!5б+0.54к ,)51|+2.322е (15'5 + 0.277е 1Ш7 + 0.00983е «-05 М7я, /[лшн].

^„„(') = 2С„„(')4^Т МП",

,„Л/ .™Л 3(1-2к)

а также постоянный коэффициент Пуассона 1/ = 0.473,

В отличие от п.2.5 о идентификации НЭТСВУМ из опытов на растяжение образца с ниспадающим участком напряжений, при решении задач с конечными деформациями использовались кривые растяжения, в которых деформация растяжения при разрушении достигает 300%.

<р (/) = ехр (-с, -еи), /(г) = ехр(-а'1 ■£■„ -с/2-Л), где с, =0.5, </, = 1, ¿2=1/Ша. Оболочка является упругой с характеристиками модуля Юнга: Е = 2 ■ 105 МПа, коэффициентом Пуассона у = 0.3, толщиной с1 = 0.4 см. Внутреннее давление Р(/) = 0.7-#(/) МПа.

Геометрически линейная Геометрически и

физически нелинейная задача физически нелинейная задача

Ц*+ *,('))

Рисунок 5. Значения главных минимальных деформаций в момент времени / = 10 мин.

1п(1 + *2(0)

Рисунок 6. Значения главных максимальных деформаций £2 в момент времени /=10 мин.

Сравнение границ цилиндра до деформации и после (рисунок 7).

Рисунок 7. Цилиндр до деформации и после. Сплошной линией обозначена граница при (= 10 мин при расчете геометрически нелинейной задачи (логарифмическая мера деформаций), а пунктиром - граница при ¿ = 10 мин при расчёте геометрически линейной задачи.

Выводы и рекомендации

1. Для применения метода аппроксимаций А.А.Ильюшина в расчётах конструкций, сделанных из наполненных полимерных материалов с низкой адгезионной прочностью, механические характеристики которых зависят от конкретных деформационных процессов и, следовательно, не являются универсальными, рекомендуется ядра релаксации и ползучести определять из одних и тех же опытов, в которых процесс нагружения близок к происходящим в конструкциях.

2. При использовании генетического алгоритма для идентификации нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов с большим числом неизвестных параметров рекомендуется начальные области допустимого изменения варьируемых коэффициентов выбирать, используя результаты определения ядер релаксации, полученные с применением метода итераций в линейной теории вязкоупругости.

3. Описание ядра релаксации при немонотонной зависимости напряжений от деформаций рекомендуется проводить с использованием НЭТСВУМ, при которой сохраняется возможность использования структурно-энергетического анализа, поскольку все коэффициенты в аппроксимирующих отрезках рядов Прони остаются положительными.

4. Одновременный учёт физической и геометрической нелинейности при деформировании наполненных полимерных материалов рекомендуется проводить на базе НЭТСВУМ с использованием логарифмических мер конечных деформаций. В этом случае инкрементальные представления определяющих соотношений позволяют при малых шагах по времени упрощать рекуррентные зависимости между истинными главными напряжениями и логарифмическими деформациями, а также приращения удельной рассеянной энергии, используемой для оценки повреждённое™ материала.

5. При расчётах конструкций из наполненных полимерных материалов, имеющих зоны концентрации напряжений, рекомендуется вычислять значения максимальных величин удельной рассеянной энергии и удельной поглощённой энергии, указывающих на зоны максимальной повреждённости конструкций. Проведённые в диссертации расчёты показали, что эти зоны совпадают с зонами максимальных значений напряжений и деформаций.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Быков Д.Л. Голиков С.Н. Оптимизация методов определения материальных функций нелинейных вязкоупругих материалов // Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2005.

2. Быков Д.Л. Голиков С.Н. Инкрементальные соотношения нелинейной эндохронной теории и их приложения к решению задач вязкоупругости // Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006.

3. Быков Д.Л. Голиков С.Н. Структурно-энергетический анализ напряжённо деформированного состояния вязкоупругого цилиндра с неоссесимметричным вырезом типа "мальтийский крест" // Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007.

4. Быков Д.Л. Голиков С.Н. Плоская деформация подкреплённого вязкоупругого цилиндра с неосесимметричным вырезом при учёте его физической и геометрической нелинейности // Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008.

5. Быков Д.Л. Голиков С.Н. Идентификация нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов при немонотонной зависимости напряжений от деформаций методом генетического алгоритма // Тезисы докладов. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2008.

6. Быков Д.Л. Голиков С.Н. Плоская неосесимметричная деформация вязкоупругого цилиндра с учётом его физической и геометрической нелинейности // Вестник Московского Университета, серия 1, Математика. Механика. 2009 №6 С.41-45.

Подписано в печать 05.11.09 Формат 60x84/16. Усл.печ.л.1,5 Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Голиков, Сергей Николаевич

Введение и обзор литературы

Глава 1. Модифицированный метод аппроксимаций

А.А.Ильюшинав линейной теории вязкоупругости

1.1. Общая постановка решения задач линейной теории вязкоупругости методом аппроксимаций А.А.Ильюшина ^

1.2. Вычисление сопряженных ядер релаксации и ползучести для их использования в модифицированном методе аппроксимаций А.А.Ильюшина

1.3. Растяжение вязкоупругого бруса с прямоугольным поперечным сечением

1.4. Задача о полом вязкоупругом цилиндре при действии внутреннего давления

Выводы по содержанию главы

Глава 2. Нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов и её идентификация

2.1. Краткие сведения о нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ) ^

2.2. Определение ядра релаксации с использованием начального приближения в виде ядер обобщённой модели Максвелла ^

2.3. Определение ядер релаксации из опыта на растяжение образца с постоянной скоростью деформаций при монотонной и немонотонной зависимостях напряжений от деформаций

2.4. Приближённый метод идентификации функций старения и вязкости

2.5. Использование генетического алгоритма для идентификации нелинейной эндохронной теории 5 \ стареющих вязкоупругих материалов (НЭТСВУМ)

Выводы по содержанию главы

Глава 3. Решение задач нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов с учётом конечных деформаций

3.1. Описание подхода к решению задачи о деформировании вязкоупругого, заключённого в упругую оболочку цилиндра с вырезом типа "мальтийский крест" под действием внутреннего давления

3.2. Определяющие соотношения между истинными напряжениями и логарифмическими мерами деформаций в рамках нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов

3.3. Инкрементальный метод решения задач

3.4. Краткие сведения о методе конечных элементов

3.5. Результаты числовых расчетов

Выводы по содержанию главы

Введение диссертация по механике, на тему "Решение задач линейной и нелинейной теорий вязкоупругости модифицированным методом аппроксимаций А.А. Ильюшина и методами нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов"

Развитие современной техники неразрывно связано с появлением новых материалов, обладающих свойствами, отличающими их от всех ранее известных. Примерами могут служить материалы, изготовленные с использованием нанотехнологий, в которых частицы, имеющие размеры от одного до нескольких десятков нанометров, соединяются тем или иным способом с материалами, структурные размеры которых могут достигать от десятых долей до нескольких миллиметров.

Рассматривая в качестве примера практического использования нанотехнологий для изготовления космических отражателей, выводимых на орбиту вокруг Земли, следует отметить, что в них тонкий металлический слой толщиной от 4 до 40 нм наносился ионным напылением на полимерную "подложку" толщиной 0.5 мм. Эта подложка при длительном пребывании в космическом пространстве может получать повреждения, вызванные действием различных термо-силовых факторов. Поэтому вопрос о долговечности отражателей будет зависеть от правильной оценки их прочности при длительной эксплуатации. Следовательно, учёт повреждений подложки и деформирования нанопокрытия приобретает решающее значение.

НПМ имеют различную структуру, связанную с её фазами: "связующим" и "наполнителем". В качестве связующих обычно выбирают каучукообразные материалы, приклеенные к наполнителям и образующие композит, в общем случае, многофазной структуры.

Суть задачи, решаемой в диссертации, сводится к следующему: найти и использовать применительно к конкретным примерам новые определяющие соотношения нелинейной теории вязкоупругости, позволяющие учитывать физические свойства НПМ, которые выявляются при экспериментальных лабораторных исследованиях НПМ с "пониженной адгезионной прочностью". Последнее соответствует тому, что разрушение таких материалов начинается, главным образом, с отслоения наполнителей от связующего и только затем нарушается "когезионная" прочность, т.е. происходит разрыв связующего.

Практически такое явление начинается в высоконаполненных полимерных материалах, когда объём наполнителя в несколько раз превосходит объём связующего. В настоящее время наиболее подходящей для применения на практике и описания указанных явлений является "нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов" (НЭТСВУМ), получившая теоретическое развитие и экспериментальную проверку в работах Д.Л.Быкова, Д.Н.Коновалова, В.Э.Апетьяна [2]-[4],[6]-[16]. Этой теории предшествовали многие работы в области линейной и нелинейной теорий вязкоупругости отечественных и зарубежных авторов, среди которых наиболее важное значение имеют монографии А.А.Ильюшина и Б.Е.Победри [23], Ю.Н.Работнова [50]-[53], В.В.Москвитина [41]. В этих монографиях была проведена важная с практической точки зрения систематизация опубликованных в нашей стране и за рубежом работ, посвященных развитию теорий термо-вязкоупругости по состоянию на начало 70-х годов прошлого столетия. В последующих статьях указанных авторов, а также их учеников и соратников были развиты идеи, предложенные ранее А.А.Ильюшиным, в том числе эффективный "метод аппроксимаций" для решения задач линейной теории вязкоупругости.

Это, конечно, не обесценивает ранее предложенные аналитические выражения упомянутых ядер, поскольку всегда можно указать задачи, в которых их использование оправдано практическими соображениями. Но сокращение времени расчётов конструкций из НПМ, достигаемое применением отрезков рядов Прони и других комбинаций из убывающих экспоненциальных функций, заставляет во многих задачах отдавать предпочтение последним.

Отметим ещё одну важную особенность использования экспоненциальных функций. Как отмечалось, суммы таких функций могут достигать 20-40 слагаемых, то есть, иметь до 80 неизвестных констант для аппроксимации неизвестных зависимостей, используемых в определяющих соотношениях. Было бы ошибкой считать, что в такой точности аппроксимации нет необходимости, из-за того, что в реальных материалах могут быть разбросы механических характеристик, превышающие значения 10%. В действительности, большое количество материальных констант требуется для другой более важной цели. А именно, это нужно для того, чтобы записывать представления "универсальных", т.е. пригодных для одновременного описания различных опытов, характеристик, из которых можно находить ядра релаксации и ползучести. При малом числе констант из каждого опыта, описывающего конкретный деформационный процесс, будут находиться конкретные варианты представления ядер релаксации и ползучести, что исключает надёжные расчёты конструкций, в которых заранее не известны последовательности деформационных процессов.

Из этого следует важный вывод о полезности и необходимости представления ядер с помощью большого числа убывающих экспоненциальных функций.

Имея достаточно большое число произвольных констант, входящих в отрезки рядов Прони, можно добиться хорошей аппроксимации результатов не одного, а нескольких опытов (например, проводимых с различными постоянными значениями скоростей деформаций). Это позволяет в рамках линейной теории вязкоупругости добиваться обоснованного использования линейной теории при сложном режиме нагружения, меняющем скорости деформаций в заданном интервале их изменения, соответствующем проведённым лабораторным опытам. Таким образом, при увеличении числа слагаемых в отрезках рядов Прони, удаётся находить ядра релаксации и ползучести, более пригодные для расчёта реальных конструкций, когда реализуются изменяющиеся скорости деформаций.

Следует заметить, что ранее в работе А.К.Малмейстера [40] была реализована идея о получении для железобетонной конструкции ядра ползучести, пригодного для одновременного описания деформационного процесса при постоянном растяжении и при циклическом нагружении. Это удалось сделать благодаря введению не одного, а двух собственных времён ползучести, что является частным случаем изложенного выше метода увеличения числа неизвестных констант (на примере отрезков рядов Прони) для расширенного описания одновременно различных деформационных процессов.

В монографии "Методы прикладной вязкоупругости" [1] указан другой метод описания ядер ползучести и релаксации при одновременной реализации различных режимов нагружения. При этом аналитические представления ядер не сводились к отрезкам рядов Прони, а брались в виде других ранее известных функций времени (в частности, в виде ядра М.А.Колтунова [29,31]). В этом случае использовались также "усреднённые" ядра, которые для конкретных видов испытаний давали вполне удовлетворительное согласование с данными экспериментов.

Изложенные выше замечания нашли отражение в настоящей диссертации при идентификации механических характеристик, как в линейной, так и в нелинейной теории вязкоупругости, когда потребовалось определять большое число неизвестных материальных констант. При решении линейных задач в Главе 1 использовалось от 9 до 17 неизвестных констант, входящих в ядра релаксации и ползучести. В НЭТСВУМ (Главы 2 и 3) использовалось 17 констант. При этом в нелинейной теории константы входили не только в отрезки рядов Прони, как бывает в линейной теории вязкоупругости, но и в экспоненциальные функции, зависящие от деформированного состояния материала и удельной поглощённой энергии, отражающей необратимое изменение внутренней структуры материала, т.е. её повреждённость.

Необходимо также заметить, что в линейной теории вязкоупругости нахождение неизвестных констант достигалось стандартными методами итераций (из-за того, что константы брались не только в виде множителей перед экспоненциальными функциями, но и входили в показатели экспонент, что делало уравнения трансцендентными). В нелинейной теории приходилось применять метод "Генетического алгоритма" (ГА) [5,28,64,66], который оказывался более эффективным именно при большом числе неизвестных констант, вводимых множителями при неизвестных характеристиках деформированного состояния материала.

Помимо этого, значительное число констант может требоваться также при решении задач линейной теории вязкоупругости методом аппроксимаций А.А.Ильюшина [23]. В Главе 1 диссертации описывается модифицированный метод аппроксимаций А.А.Ильюшина, суть которого заключается в том, что ядра релаксации и ползучести должны определяться при одном и том же процессе нагружения. Например, если ядро релаксации определяется из опыта на релаксацию, то и ядро ползучести так же должно определяться из этого опыта на релаксацию, а не из опыта на ползучесть, как это проводилось в течение долгого времени. Такая необходимость возникает потому, что для материалов с "низкой адгезионной прочностью" механические характеристики (в частности, ядра релаксации и ползучести) не являются универсальными, они отличаются, например, в опытах на релаксацию и ползучесть. И поскольку в методе аппроксимаций требуется, чтобы в пространстве Лапласа-Карсона произведение изображений ядер релаксации и ползучести было равно единице, то необходимо, чтобы при истинном времени связь между ядрами релаксации и ползучести подчинялась уравнению Больцмана-Вольтерра в прямом и обратном представлении напряжений и деформаций. Очевидно, что при этом представлении речь идёт об одном и том же деформационном процессе, следовательно, ядро ползучести должно находиться при том же деформационном процессе, что и ядро релаксации.

То обстоятельство, что во многих публикациях прежних лет на указанное уточнение не обращалось внимания, говорит о том, что, очевидно, прежде в большинстве опытов не исследовалась универсальность ядер ползучести и релаксации. Необходимость в этом появилась только с появлением материалов с низкой адгезионной прочностью. Такие материалы создаются не только для того, чтобы составляющий их композит сохранял прочность, но, помимо этого, и для того, чтобы изготовленный материал удовлетворял требованиям по регулируемой теплопередаче.

Поскольку ядра релаксации и ползучести вначале находятся в виде экспериментальных кривых, а затем после аппроксимации последних приобретают аналитическое представление, то для получения высокой точности аппроксимаций необходимо использовать значительное число экспонент с соответствующим числом констант. Кроме того, ясна необходимость применения численного расчёта для определения ядра релаксации через ядро ползучести и наоборот, так как прямым экспериментальным методом из одного и того же опыта трудно одновременно найти оба ядра. Из изложенного следует, что для нахождения двух ядер, соответствующих одному опыту, необходимо в каждом из них использовать большое число констант для их идентификации.

Также в первой главе диссертации решены задачи, во-первых, о растяжении вязкоупругого бруса с прямоугольным поперечным сечением и, во-вторых, о действии постоянного внутреннего давления на полый вязкоупругий цилиндр, заключённый в упругую оболочку, с неосесимметричным вырезом типа "мальтийский крест". Первая задача является тестовой и позволяет сравнить полученное решение с решениями, полученными по методу конечных элементов (МКЭ) с использованием инкрементальных соотношений линейной теории вязкоупругости, а также с аналитическим решением. Решение второй задачи даёт результат, совпадающий, с достаточной точностью, с решением задачи по МКЭ при условии малых деформаций в конструкции.

Во второй главе диссертации приведены основные соотношения

НЭТСВУМ. Указаны составляющие удельной работы внутренних сил. Далее представлены несколько способов идентификации основных параметров, входящих в определяющие соотношения НЭТСВУМ.

Первый способ заключается в последовательном нахождении параметров. Вначале из опыта на релаксацию находятся коэффициенты ядра релаксации, затем, из опытов на растяжение образца с постоянной скоростью деформаций, в которых присутствует немонотонная зависимость напряжений от деформаций, последовательными приближениями находятся параметры функций вязкости и функций старения.

Второй способ заключается в аппроксимации опытов на растяжение образца с постоянной скоростью деформаций соотношениями линейной теории вязкоупругости. Важно отметить, что для данного опыта можно получить хороший результат, если считать, что часть коэффициентов, входящих в ядро релаксации, могут быть отрицательными.

Третий способ заключается в параллельном нахождении параметров при использовании метода ГА. Основной проблемой такого расчёта является указание областей поиска параметров. Границы этих областей находились итерационными методами. Так, области сначала задавались приближённо и, если для какого-либо параметра значение, реализующее минимум функции квадратичного отклонения, достигало границы, то последняя расширялась. После этого расчёты продолжались до тех пор, пока все искомые параметры не оказывались внутри соответствующей области.

В третьей главе диссертации рассматривается обобщение НЭТСВУМ на случай конечных деформаций. Модель описывается системой соотношений инкрементального типа. Последовательность вывода этих соотношений включает три этапа. На первом этапе делается допущение о "вмороженности" главных направлений тензора истинных напряжений в материал частицы, и формулируются три скалярных соотношения связи наследственного типа между главными истинными напряжениями и логарифмическими деформациями. Форма этих соотношений аналогична форме соотношений эндохронной теории. На втором этапе выводятся скалярные соотношения инкрементального типа, основанные на допущении о постоянстве скоростей логарифмических деформаций и скоростей изменения приведённых времён на интервале времени . На третьем этапе инкрементальные соотношения формулируются в тензорном виде и обобщаются на случай произвольной истории деформирования материальной частицы.

С использованием данного алгоритма решены задачи о толстостенной вязкоупругой трубе, заключённой в тонкую упругую оболочку. В первой задаче внутренний радиус подвержен осесимметричному расширению с постоянной радиальной скоростью, во второй задаче цилиндр подвержен постоянному внутреннему давлению. Обе задачи решаются с помощью как линейной, так и нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов. Также решаются задачи о действии внутреннего давления на стареющий вязкоупругий цилиндр, заключённый в упругую оболочку, с неосесимметричным вырезом типа "мальтийский крест". Даётся сравнение решений геометрически линейной, но физически нелинейной задачи, а также задачи как геометрически нелинейной (с логарифмической мерой деформации), так и физически нелинейной задачи.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Для достижения этой цели предстояло решить следующие задачи:

2. Провести идентификацию НЭТСВУМ различными методами, в том числе и методом генетического алгоритма;

3. Вывести инкрементальные соотношения НЭТСВУМ для расчёта конструкций методом конечных элементов;

4. Произвести расчёт конструкций из НПМ модифицированном методом аппроксимаций А.А.Ильюшина и методом конечных элементов при малых деформациях;

Научная новизна работы. В диссертации предложена модификация метода аппроксимаций А.А.Ипьюшина, заключающаяся в специальном выборе ядер релаксации и ползучести, отвечающих постановке решаемой задачи линейной теории вязкоупругости. При идентификации НЭТСВУМ использован метод «генетического алгоритма», для которого указаны области допустимого изменения 16-ти неизвестных механических параметров ядер релаксации. Используя инкрементальные представления соотношений НЭТСВУМ и логарифмические меры деформаций, впервые произведён расчёт неосесимметричного плоского деформирования вязкоупругого цилиндра, имеющего внутренний вырез типа "мальтийский крест" и заключённого в упругую оболочку, при действии внутреннего давления с учётом физической и геометрической нелинейности материала.

Научно-практическая значимость работы. Диссертация посвящена решению практических задач современной техники, связанных с обеспечением прочности конструкций, сделанных из наполненных полимеров с низкой адгезионной прочностью. Их особенность состоит в зависимости ядер релаксации и ползучести от конкретных деформационных процессов уже при малых деформациях, то есть неуниверсальности механических характеристик. Кроме того, низкая адгезионная прочность приводит к необходимости одновременно учитывать физическую и геометрическую нелинейность материала. В диссертации предложены методы учёта указанных особенностей: применительно к линейной теории вязкоупругости - на основе модифицированного метода аппроксимаций А.А.Ильюшина, а применительно к нелинейной эндохроной теории стареющих вязкоупругих материалов - на основе инкрементального метода численного интегрирования НЭТСВУМ с использованием логарифмических мер деформаций.

Апробация и внедрение результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, были доложены на Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва 2005-2008 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры теории упругости МГУ под руководством проф. И.А.Кийко (20042009 гг.), на научно-исследовательском семинаре кафедры механики композитов МГУ под руководством проф. Б.Е.Победря.

Некоторые из основных результатов диссертации получили внедрение в производственную практику предприятия ФГУП "ФЦДТ "Союз".

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

5. Выводы. Показано, что зона максимума повреждённости конструкции с вырезом типа "мальтийский крест", в котором достигается максимум повреждённости материала, совпадает с зонами максимума значений напряжений и деформаций.

Рекомендации. При расчётах конструкций из наполненных полимерных материалов, имеющих зоны концентрации напряжений, рекомендуется вычислять значения максимальных величин удельной рассеянной энергии и удельной поглощённой энергии, указывающих на зоны максимальной повреждённости конструкций. Проведённые в диссертации расчёты показали, что эти зоны совпадают с зонами максимальных значений напряжений и деформаций.

Заключение.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Голиков, Сергей Николаевич, Москва

1. Адамов A.A., Матвеенко В.П., Труфанов H.A., Шардаков И.Н. «Методы прикладной вязкоупругости». Екатеринбург: УрО РАН, 2003. 411с.

2. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Определение нелинейных вязкоупругих характеристик наполненных полимерных материалов // Космонавтика и ракетостроение. 2002. №3(28). С. 202-214.

3. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Анализ немонотонной зависимости напряжений от деформаций в вязкоупругих материалах. // Изв. РАН. МТТ. 2004. №4. С. 106-115.

4. Апетьян В.Э., Быков Д.Л. Структурно-энергетический анализ одноосного напряжённо-деформированного состояния при сжатии и разгрузке вязкоэластичного материала. //Изв. АН. МТТ. 2005. №6. с.63-76.

5. Батищев Д.И. «Генетические алгоритмы решения экстремальных задач» Учебное пособие Воронеж, 1995.

6. Быков Д.Л. Об использовании результатов вспомогательных экспериментов при решении задач линейной теории вязкоупругости // Механика полимеров. 1968. №6. С.963-969.

7. Быков Д.Л. Использование структурных составляющих удельной работы внутренних сил для описания сопротивления вязкоупругих материалов // Изв. АН. МТТ. 2003. №3. С. 99-111.

8. Быков Д.Л. Метод структурно-энергетического анализа напряжённо-деформированного состояния вязкоупругих материалов // Вестник МГУ. Сер.1. Математика, механика. 2006. с. 59-62.

9. Быков Д.Л. Об учёте повреждённости в наполненных полимерных материалах // Изв. АН. МТТ. 1998. №1. С. 19-28.

10. Ю.Быков Д.Л. Голиков С.Н. Плоская неосесимметричная деформация вязкоупругого цилиндра с учётом его физической и геометрической нелинейности // Вестник Московского Университета, серия 1, Математика. Механика. 2009 №6 С.41-45.

11. Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Нелинейная эндохронная теория стареющих вязкоупругих материалов // Изв. АН. МТТ. 2002. №4. С. 63-76.

12. Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Определение материальных функций нелинейной теории термовязкоупругости с использованием её иерархической структуры //Изв. АН. МТТ. 1999. №5. С. 189-205.

13. Быков Д.Л., Коновалов Д.Н. Расчётная оценка влияния повреждённости твёрдых топлив на прочность изготавливаемых из них зарядов ракетных двигателей // Ракетостроение и космонавтика. 1999. № 16. С. 82-91.

14. Быков Д. Л., Коновалов Д.Н. Эндохронная модель механического поведения стареющих вязкоупругих материалов при конечных деформациях. //Изв. РАН. МТТ. 2006.№6. С.136-148.

15. Бровко Г.Л., Ткаченко Л.В. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях // Вестник МГУ. Серия «Математика, механика». 1993. - № 4. - С.45-49.

16. Грин А., Адкинс Дж. «Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды». М: Мир, 1965, 445 с.

17. Диткин В.А., Прудников А. Л. Справочник по операционному исчислению. «Высшая школа», 1965.

18. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

19. Ильюшин A.A. «Метод аппроксимаций для расчёта конструкций по линейной теории термовязко-упругости» // Механика полимеров. 1968. №2. С.210-221.

20. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978, 287 с.

21. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. «Основы математической теории термовязко-упругости» Мысль 1970г., 280с.

22. Каплун А.Б. Морозов Е.М. Олферьева М.А. «Ansys в руках инженера» М.: Едиториал УРСС, 2004. 272с.

23. Качанов JI. М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. С. 26-31

24. Качанов JI. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

25. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения, 1989.

26. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Таганрог: ТРТУ, 1998. 241 с.

27. Колтунов A.A. Определяющие функции метода аппроксимаций // Механика полимеров. 1970. №4. С.622-632.

28. Колтунов A.A. «Некоторые зависимости между определяющими функциями и константами вязкоупругих сред». // Механика полимеров. 1973 №5. С.810-814.

29. Колтунов A.A. «К вопросу выбора ядер при решении задач с учётом ползучести и релаксации». // Механика полимеров. 1966. №2. С.483-497.

30. Колтунов A.A., Колтунов М.А. «Переходные функции метода аппроксимаций Ильюшина» // Механика полимеров. 1973. №3. С.405-428.

31. Колтунов М.А. «Ползучесть и релаксация». М.: Высшая школа, 1976. 277с.

32. Колтунов М.А., Майборода В.П., «Зубчанинов В.Г. Прочностные расчёты изделий из полимерных материалов». М.Машиностроение. 1983. 239 с.

33. Колтунов М.А., Трояновский И.Е. «Метод аппроксимаций Ильюшина в применении к средам с нестабильными свойствами». // Механика полимеров. 1970. №3 С.411-419.

34. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: Наука. 1999. — 224 с.

35. Лурье А.И. «Нелинейная теория упругости» Наука М., 1980, 512с.

36. Лурье А.И. «Теория упругости» Наука М., 1970, 940с.

37. Матвеенко В.П. О методе решения задачи сопряжения двух вязкоупругих тел в виде ряда по степеням оператора Вольтера // Краевые задачи упругих и неупругих систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985 С.7-13.

38. Малмейстер А. К, Тамуж В. П., Тетере Т. А. «Сопротивление жестких полимерных материалов» Рига, Зинатне, 1972. 498 с.

39. Москвитин В.В. «Сопротивление вязкоупругих материалов», М., Наука 1972, 328стр.

40. Мусхелишвили Н.И. «Некоторые основные задачи математической теории упругости», 1966, 707с.

41. Новацкий В.К. «Теория упругости», М. Мир 1975, 875с.

42. Новожилов В.В. «Основы нелинейной теории упругости», М.: Гостехиздат, 1948.45.0ден Дж. «Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред», М. Мир 1976, 465с.46.0гибалов П.М., Ломакин В.А., Кишкин Б.П. «Механика полимеров», Изд-воМГУ, 1975,528с.

43. Победря Б.Е. «Численные методы в теории упругости и пластичности», Издательство Московского Университета 1995г, 336с.

44. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости // М. Эдиториал УРССД999 204с.

45. Работнов Ю. Н. «Введение в механику разрушения», М.: Наука, 1987. 80 с.

46. Работнов Ю.Н. «Механика деформируемого твердого тела», М.: Наука 1988, 712с.

47. Работнов Ю. Н. О механизме длительного разрушения // Вопросы прочности материалов и конструкций. М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 5-7.

48. Работнов Ю.Н. «Ползучесть элементов конструкций», М.: Наука, 1966 752с.

49. Работнов Ю.Н. «Элементы наследственной механики твёрдых тел», М.: Наука, 1977. 383с.

50. Седов Л.И. «Механика сплошной среды», Том 1,2 Наука 1970, 492+568стр

51. Трусделл К. «Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред», М. Мир 1975, 592 стр.

52. Тимошенко С.П. «Сопротивление материалов», Государственное издательство физ-мат литературы М.1960, т1(368),т2().

53. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. «Теория упругости», М. Наука 1975, 576с

54. Шарафутдинов Г. 3. «Фотовязкоупругость», М.: Изд-во МГУ, 1987. 199с.

55. Шердаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. «Метод геометрического погружения в задачах теории упругости», Екатеринбург: УрО РАН, 1999. 298с.

56. Bonet J. «Large strain viscoelastic constitutive models». // International Jornal of Solids and Structures 38, 2001 ,P.2953-2968.

57. Bykov D.L. «Modeling damage accumulation in filled polymers». // Fatigue and Fracture of Eng. Materials and Structures. 1999. V. 22. № 11. P. 981-988.

58. Drozdov A. «Viscoelastic structures: mechanics of growth and aging». // ademic Press, San Diego, 1998, 596p.

59. Ferry J.D., «Viscoelastic Properties of Polymers», New York 1961.

60. Goldberd David E. «Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning». Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1989, 412p.

61. Janajreh I., Heller R.A., Thangjitham S. «Safety Index Approach to Predicting the Storage Life of Rocket Motors». // Journal of Spacecraft and Rockets. 1994 V.31. №6. P. 1072-1078.

62. Holland John H., «Adaptation in Natural and Artificial Systems: An Introductory Analysis with Application to Biology, Control, and Artificial Intelligence». University of Michigan, 1975. P. 183.

63. Lockett F.J. «Nonlinear Viscoelastic Solids». L.; N.Y.:Acad Press, 1972. 195p.

64. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied Physics. 1940. № 11. P. 582-592.

65. Polak E. «Optimization: Algoritms and Consistent Approximations». N.Y.: Springer-Verlag, 1997. 779p.

66. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos. Trans. Roy. Soc. London, 1948. A240. P. 459-508.

67. Tanner R.J. «From A to (BK)Z in constitutive relations» // J.Rheology.l988.V.32 №7.P.673-702.

68. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 1. «The finite element method. The basis», 2000, 707p

69. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 2. «The finite element method. Solid mechanics», 2000, 479p

70. Zienkiewicz O. C., «The Finite Element Method in Engineering Science», McGraw-Hill, London, 1971;

71. Van der Vegt A.K. «From Polymers to Plastics», Delft University Press, 1999, p.240.

72. Yang L.M., Shim V.P.W., Lim C.T. «A visco-hyperelastic approach to modeling the constitutive behavior of rubber» // Intern.J. Impact Engineering.2000.V.24. P.545-560.