Многоточечная задача для уравнения Пуассона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

6'/- 39-1/10"" /

^.у \JfC-

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

УДМУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.929

БОНДАРЕВА ГАЛИНА СЕРГЕЕВНА

МНОГОТОЧЕЧНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ПУАССОНА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук,

профессор Г.Г. Исламов

Ижевск - 1998 г.

Оглавление

Введение 4

1 Построение пространства И 14

1.1 Основные определения и теоремы, используемые в работе 14

1.2 Свойства гармонических функций, являющихся интерполяционными многочленами в О,............. 18

1.3 Свойства функций пространства В............ 27

1.4 Некоторые свойства системы гармонических функций 32

2 Возмущённое уравнение Пуассона с точечными условиями 35

2.1 Существование решения .................. 35

2.2 Непрерывная зависимость решения от скалярного параметра в правой части возмущённого уравнения Пуассона .............................. 42

2.3 Непрерывная зависимость решения задачи от точечных условий............................ 44

2.4 Непрерывная дифференцируемость решения возмущённого уравнения Пуассона по параметру, содержащемуся

в правой части уравнения ................. 45

2.5 Непрерывная дифференцируемость решения возмущённого уравнения Пуассона (точечные условия зависят от параметра).......................... 46

3 Уравнение Пуассона с точечными неравенствами 48

3.1 Уравнение Пуассона с точечными неравенствами и решение систем линейных неравенств........................48

3.2 Уравнение Пуассона с краевыми неравенствами .... 62

3.3 Критерий разрешимости уравнений с точечными неравенствами ......................................................71

3.4 Интегро-дифференциальные уравнения с точечными неравенствами ......................... 81

4 Восстановление факторизации по дефектным функционалам 89

5 Некоторые приложения теории функционально-дифференциальных уравнений к решению практических задач 96

Литература 101

Введение

Теория линейного абстрактного функционально-дифференциального уравнения Ьи = /, с оператором Ь : И —В, где В -банахово пространство, линейное многообразие И изоморфно прямому произведению Вх Дт, развивалась и изучалась в работах Пермского Семинара под руководством проф. Н. В. Азбелева [1].

В работах [2],[4],[32],[42] заложены основы теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения (ФДУ), которая появилась в результате осознания общих приёмов исследования конкретных классов уравнений. Эти приёмы сводились к выбору банахова пространства В, построению линейной инъекции А : В —В и указанию конечномерного пространства Е, расширяющего образ АВ. Приложениям общей теории посвящены работы [1],[3],[19]—[22].

Каждое пространство вида Б = АВф Е изоморфно В х Лто и определяет свой класс уравнений. Теория абстрактного ФДУ охватывает достаточно широкий класс уравнений. Удачный выбор пространства Б позволяет для изучаемого уравнения не доказывать заново общие утверждения о замкнутости, нормальной разрешимости и нётерово-сти, а сосредоточить усилия на получении таких утверждений, которые определяются спецификой данного уравнения.

Теория абстрактного ФДУ использует операторы, определённые на произведении В х К71 (здесь Вт изоморфно Е) или действующие в такое произведение. Такие операторы порождают пару линейных операторов А : В —»• Б и У : Ят —» И так, что

{Л,У}{г,/?} = Лг + У/?, 2 е В, ^Г. (0.1)

Линейные отображения 5 : И М и г : И Ят зададим так, что

6и — г, ги = (3. Тогда имеет место разложение

и = А 5и + Уги.

В этом разложении инъекция Л и биекция У задаются, а конструирование отображений 6 и г представляет собой специальную задачу. Из (0.1) следует, что для любых 2 £ В, ¡3 £ Ят

г = 6Аг + 6У/3, (3 = г Ах + гУ(3. Отсюда получаем определяющее тождества

8 Ах = г, гАг = 0, гУ(3 = /3, 8У/3 = 0,

Норма в пространстве В х Ят определяется равенством

Относительно этой нормы изоморфное В х К"1 пространство И будет банаховым.

В рамках абстрактной теории линейного уравнения были доказаны теоремы о разрешимости краевых задач, их нётеровости, фредгольмо-вости и регуляризации, сформулированы утверждения о представлении решений, скорости конечной аппроксимации операторов Грина и полноте системы их корневых векторов [1],[3],[23].

Следует отметить, что большинство результатов применения теории абстрактного ФДУ, полученных до сих пор, относятся к теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Одно из немногих исключений — работа [16], в которой рассматриваются вопросы разрешимости одного класса уравнений в частных производных с вольтеровыми операторами.

Безусловно, основные результаты, полученные в теории абстрактного ФДУ, могут быть переформулированы для уравнений с частными производными, но это потребует дополнительных построений.

В настоящей работе методы теории абстрактного ФДУ применяются к линейным возмущениям оператора Лапласа.

В работе вместо привычных краевых задач Дирихле и Неймана рассматривается уравнение Пуассона с ограничениями в виде некоторых линейных функционалов, более подробно рассмотрены ограничения в виде точечных равенств или неравенств. Приведём несколько

простых примеров, указывающих на правомерность такой постановки задачи.

В монографии[24], рассматривается задача о кручении балки с поперечным сечением В

А и = -1 в Б, и = 0 на границе Г.

Граница Г состоит из двух отрезков прямых у = ±1 для |ж| < 1 и двух дуг полуокружностей радиуса 1 с центрами в точках ±1. у — 0 для |х| > 1 (см. рис. 0.1).

Рис. 0.1.

Решение задачи ищется в виде приближения

ч

v = ь0 + ]г ам,

¿=1

где Vо -частное решение задачи, а г^- - гармонические в В функции. Коэффициенты а^ определяются так, чтобы на границе нулевые граничные значения можно было достаточно хорошо аппроксимировать функцией v. Для этого берется 200 точек на границе Г, и с помощью симплекс-метода минимизируется величина

тах(^), где ^ = |г>0(£*) + У^ |.

г г—4

3 = 1

При этом получается решение, которое, очевидно, зависит и от выбора точек границы Г, и от их количества. Кроме того, даже в 200 выбранных точках не выполнено м(£г;) = 0.

Этот приведенный пример показывает, что некоторые методы решения краевых задач состоят в переходе к задаче с точечными условиями на границе.

Другой пример. Решение той же самой задачи конечно-разностными методами приводит к замене условий на границе условиями вида Ьц = 0, для сеточного решения уц краевой задачи Дирихле. В зависимости от шага сетки сеточное решение и^ может сильно варьироваться, что однако не мешает широкому распространению метода сеток для решения практических задач.

Почему, как правило, предлагаются первая, вторая и третья краевые задачи? Ответ на этот вопрос содержится в трудах по теории математической физики. Однако в случае задания каких-либо ненулевых граничных условий на криволинейной границе, очень трудно найти обоснование, почему выбрана та или иная функция. Как в практической задаче мы можем получить условия на границе, если они не являются однородными? Например, если имеет место неравномерный нагрев. Скорее всего, температура могла бы быть измерена в нескольких точках границ, а затем проведена подходящая интерполяция или приближение, но реально перед нами стояла бы задача

Аи = О

= 7г, где ¿г- - точки границы

Мнение о таких постановках задач и методах их решений можно найти в [6]:

"... далее в случае двух переменных область Г2, имеющая криволинейные границы, уже довольно сложный объект, и для ее экономного описания нужно привлекать весь ... аппарат приближенного представления функций,... Численные методы решения краевых задач для уравнений в частных производных развивались в значительной степени под влиянием запросов чисто прикладных областей механики и физики, и это наложило свой отпечаток на их теорию.

Более того, многие мет,оды решения краевых задач были первоначально развиты не математиками-профессионалами, а специалистами в области механики или физиками, либо инженерами. Примерами могут служить метод Бубнова-Галёркина, метод Ритца;

основополагающие работы по методу конечных элементов принадлежат Дж. Аргирису, М. Тернеру, Р. Клафу, X. Мартину, JI. Топу и др. Вообще многие численные методы приобрели яркую инженерную окраску, и часто вопросы, математического обоснования приносились в жертву технологической простоте и доступности алгоритма, для широкого круга пользователей. Хотя в настоящее время ряд алгоритмов обладает широкой известностью и среди множества алгоритмов появились свои "звездыеще рано выносить какие-либо окончательные суждения."

Но, оказывается, можно найти примеры, в которых возникают задачи несколько другого вида.

Обратимся к истокам. Процитируем [35]: "Кирхгоф рассматривает систему находящихся в соприкосновении нелинейных проводников, через которую проникает электрический тюк. Он, выводит, сначала уравнение Лапласа,, описывающее распределение напряжения v(x,y,z) в каждом проводнике системы ... Дг> = 0... Кирхгоф выясняет дальше краевые условия для, напряжения тока v(x,y,z). На, части, соприкосновения поверхности S проводника с диэлектриком, например, с сухим воздухом, где нет утечки, электричества, должно быть

dv

дп '

на части соприкосновения S с другими проводниками, -

. dv dv' on on v — V = с, (с = const),

где v'(x,y,z) -напряжение тока соседнего проводника

системы,' к, к

- коэффициенты теплопроводности, п, п' - соответствующие нормали, к S, направленные внутрь проводников; с -известная постоянная, определяющая электродвижущую силу на поверхности стыка проводников..."

Отсюда видно, что при наличии малой площади соприкосновения проводников, например, если проводник — провод малого диаметра,

условия на поверхности соприкосновении проводников становятся точечными, то есть задача, рассматриваемая нами, может быть актуальна не только как метод решения известных краевых задач, но и использоваться там, где условия на границе по каким-то причинам не могут быть заданы в виде гладких функций.

Заметим также, что хотя до сих пор говорилось лишь о точках на границе, эта методика позволяет находить решения многоточечной задачи в случаях, когда заданы значения в точках, находящихся внутри рассматриваемой области.

В диссертации также исследуется ряд задач с неравенствами. Некоторые из них допускают физическую или экономическую интерпретацию, например в задаче

Д« = /,

и(и) - < ац, г, 3 е {1, • • •, т}

ограничения вида м(^) — ■и(^) < а^, г, ] Е {1,..., т} означают, что работа в потенциальном поле с плотностью источников /(Ь) при перемещении из точки ti в точку не должна превышать заданного значения а^. Однако, для более общих задач

Ьи = / внутри области,

оц < и(и) < г, = 1,..., га, на границе области,

где Ь: дифференциальный оператор, /г- - линейные функционалы, можно предложить следующее обоснование.

Одним из приближённых методов решения краевой задачи

Ьи = /, к(и) = 7,-, г = 1,...,га,

является следующий:

Подбирается некоторая функция V = такая что —

7,, для всех г = 1 , ...,га. Затем выбираются коэффициенты а^ так, чтобы минимизировать величину d = \ \Ьу — f ||.

При альтернативном подходе выбирается такая функция

Е

¿=1

IV = > ОуЭД/,

что Ьги — /, и затем подбираются коэффициенты так, чтобы |/,:(«.') — 7?;| < ь, г = 1,.. . , га, где £ допустимое для нас отклонение. Так мы приходим к задаче с краевыми неравенствами.

Основные теоремы данной работы опираются на классические результаты [28],[29],[33]. Этим определяется выбор в качестве основного пространства В класса непрерывных по Гёльдеру функций.

Для эллиптических уравнений второго порядка общего вида

Ьи = /, (0.2)

(Ьи — £"а=1 + ЬкЩк+си) классическими являются задача

Дирихле, в которой на границе 80, области О, £ Яп задаются значения и

= (О.З)

и задача Неймана, в которой на границе 80, задаются значения производной и по направлению внешней нормали к 80,

6п = ф(*). (0.4)

Наиболее полные результаты по разрешимости задачи Дирихле в ограниченных областях О, были получены Шаудером, и, частично, Каччопполи в работах [45],[46],[43].

Они формулируются в терминах пространств Гёльдера С/+а(П), тдеП = ПидП.

Элементами Са(0) являются функции и(Ь), непрерывные в О в смысле Гёльдера с показателем (0,1], то есть и(1) непрерывна

в О и для неё

8иР и ?.|« = М« <

Норма в Ca(Q) определяется равенством

|H|£ = sup|M(i)| + (w)5.

ten

Элементами Cl+a(Q), I > 1, являются непрерывные в Q функции, имеющие всевозможные производные до порядка /, причем производные порядка / есть элементы Ca(Q). Норма в Cl+a(Q) определяется равенством:

1

к=0 (к) tGQ (/)

Пространство I > 0 являются банаховыми.

Граница 8Q принадлежит классу С/+а, I > 1, а Е (0,1), если существует число р > О, такое, что пересечение сЮ с шаром Вр радиуса р с центром в произвольной точке t° Е dQ есть связная поверхность, уравнение которой в декартовой системе координат (?/i,... ,уп) с началом в точке (ось у\ направлена по нормали к <90 в точке xq, а остальные, ортогональные друг другу лежат в гиперплоскости, касательной к dQ в точке хо), имеет вид уп = со(у\,..., уп-1), причем to есть функция класса С1+а в замкнутой области Bto pi являющейся ортогональной проекцией пересечения dQ и шара Вр на плоскость Уп = о.

Важным результатом Шаудера является следующая

Теорема. Если коэффициенты и свободный член / эллиптического уравнения (0.2) являются элементами C,+a(Q), I > 0; где Q - ограниченная, область в Rn, и квадратичная форма aik^k

является положительно определённой, т.е.

п п

У^ Q'ikiiik > V ii V — c0nst >

i,k—l k= 1

и c(t) < 0, dQ принадлежит классу

Cl+2+a

а правая часть краевого условия (р Е Cl+2+a(Q), то задача (0.2)-(0.3) имеет решение и, принадлежащее Cl+2+a(Q) и оно единственно.

Этот результат Шаудера указывает на целесообразность выбора класса гёльдеровских функций в качестве основного пространства В при применении теории абстрактного ФДУ.

На основе этой теоремы, а также факта компактности вложения С/+а(Г)) в С1 (О.) и спектральных свойств вполне непрерывных операторов может быть установлен аналог первой и второй теорем Фред-гол ьма для оператора Ь при условии Дирихле, которыми мы также будем пользоваться.

Ряд результатов, относящихся к свойствам решений задач эллиптического типа в пространствах Гёльдера, можно найти в [28], [29], [33], [38], [39],

Идея сужения пространства решений исходного эллиптического уравнения (0.2) за счет выбора специальных функций у, таких, что Ьу = 0 встречается, например, в [26], таким образом, выбирая в качестве у специальные гармонические функции мы идем "по стопам" классиков.

В представленной работе помимо классического эллиптического уравнения Аи = / с некоторым набором дополнительных ограничений (здесь мы отказываемся от классических краевых условий, хотя приоритет здесь принадлежит не нам: "кстати, краевых задач для уравнения Гелъмголъца у самого Гельмголъца, нет "[35],) рассматривается возмущённое уравнение

Аи + Ти = /, (0.5)

где Т -некоторый линейный ограниченный оператор.

Подобные уравнения Аи(Ь) — Б^.и) = 0, где Б - конечная и непрерывная функция своих аргументов, положительная и возрастающая вместе с и, рассматривал Пикар [44, гл.З, §1].

В нашем же случае в качестве оператора Т может быть выбран интегральный оператор, и идею рассмотрения такого рода уравнений можно найти в [36], где об уравнениях теплопроводности говорится, что "внутри стержня может возникать тепло, например, при про-

хождении тока, вследетвии химических реакций и т.д. ". Выделение тепла может быть характеризовано плотностью тепловых источников в точке х в момент времени В результате действия этих источников на участке стержня ж, х-\-ё,х за промежуток времени (¿1, ¿2) выделится некоторое количество тепла. При таких условиях в уравнение должен быть введен интегральный оператор, то есть возникает уравнение типа (0.5).

Перейдем к описанию основной части работы. Она состоит из 5 глав и приложения.

Глава 1 посвящена систематизации вспомогательного материала. В ней строится пространство И, в котором будет решено большинство задач настоящей работы, путем указания вида инъекции Л : В —У В и конечномерного оператора У : —>• В. Кроме того, указываются необходимые и достаточные условия принадлежности функции пространству В.

Отдельный параграф главы посвящен построению системы гармонических функций, являющихся интерполяционными многочленами в заданной области пространства В71. В работе также уделяется внимание некоторым свойствам построенных функций.

В главе 2 приведены основные результаты: рассматривается два класса задач, называемых здесь возмущенной и невозмущенной многоточечными задачами Пуассона (или возмущённое и невозмущённое уравнения Пуассона с точечными условиями). Приведены необходимые и достаточные условия разрешимости невозмущенной многоточечной задачи и некоторые достаточные условия разрешимости возмущенной задачи. Изучаются свойства решений многоточечных задач.

Глава 3 посвящена решению некоторых эллиптических задач с ограничениями типа точечных неравенств. Приведены теоремы разрешимости возмущенного и невозмущенного уравнений Пуассона с точечными неравенствами, а также доказан общий критерий разре-