Многоточечные задачи для дифференциальных уравнений и систем уравнений в частных производных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

\

■ .....

о <-М1Н1СТЕРСТВО ОСВ1ТИ I НАУКИ УКРА1НИ

мл41,

I ЧЕРНШЕЦЬКИЙ НАЦЮНАЛЬНИЙ УН1ВЕРСИТ

\ ^ ' 1МЕН1 ЮР1Я ФЕДЬКОВИЧА

ВАСИЛИШИН ПАВЛО БОГДАНОВИЧ

УДК 517.956+511.37

БАГАТОТОЧКОВ1 ЗАДА 41 ДЛЯ ДИФЕРЕШЦАЛЬНИХ РГОНЯНЬ ТА СИСТЕМ РГОНЯНЬ 13 ЧАСТИННИМИ ПОХ1ДНИМИ

01.01.02 - диференщальш р1вняння

АВТОРЕФЕРАТ дисертаци на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математичних наук

Чершвщ - 2001

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана у в1ддии математично! ф1зики 1нституту прикладних проблем механЬ i математики ¡мет Я. С. Пщстригача HAH Украши.

Науковий кершник - доктор ф1зико-математичних наук, професор Пташник Богдан Й сипович, 1нститут прикладних проблем мехашки i математики ¡ме Я. С. Пщстригача HAH Украши, завщувач в1ддшу математичн ф1зики.

ОфщШш опоненти:

доктор ф13ико-математичних наук, професор Лавренюк Серпй Павлович, Льв1вський Haui нальний ушверситет ¡меш1вана Франка, професор кафедри диференщальних р1внянь;

кандидат ф1зико-математичних наук, доцент Лавренчук Володимир Петрович, Чергавецью нацюнальний утверситет ¡меш lOpin Федьковича, доцент кафедри математичного модеш вання.

Провшна установа - Кшвський нацюнальний ушверситет ¡меш Тараса Шевченка, кафе ра математично!" ф1зики, м. Кю'в.

Захист вщбудеться 'mS?" ¿^¿^'с-С-- 2001р. о ^ годиш на засщанш спещал1зован вченоУ ради К 76.051.02 у Чершвецькому нацюнальному ушверситсп ¡меш Юр1я Федькови' за адресою: 58012, м. Чершвщ, вул. Ушверситетська, 28, аудитор1я 8.

3 дисерташею можна ознайомитись у науксшй 6i6.iioTeni Чершвецького нащонально: ушверситету ¡меш Юр1я Федьковича (м. Черювщ, вул. Лей Украшки, 23).

Автореферат розюланий

<¿5?» с/Ус?7?го

2001 р.

Вчений секретар спещал1зовано1вчено1 ради

.6

Садов'як А. М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

АКТУАЛЬШСТЬ ТЕМИ. У багатьох задачах природознавства виникае необхщшсть [¡дшукання розв'язку звичайного'диференщального р1вняння и-го порядку, що проходить че->ез п (п > 2) заданих точок. Задаш такого типу, яю дослщжуються вченими вже близько ста юшв, отримали назву багатоточкових крайових задач. Приклад тако! задач! вщомий ще ¡з юб1т Кони (задача про визначення траекторп комети за трьома спостереженнями).

Дослщження задач ¡3 багатоточковими умовами за видшеною змшною для диференщ-льних р1внянь ¡з частинними похщними розпочалося пор1вняно недавно. Вперше така зада-:а була сформульована в 1963 рощ професором В. Я. Скоробогатьком. Виявилося, що бага-оточков1 задач! для р^внянь Ь частинними похщними е, взагал1, умовно коректними, а '¡х юзв'язшсть у багатьох випадках пов'язана з проблемою малих знаменншав. У роботах про->есора Б. Й. Пташника та його учшв Б. О. Салиги, П. I. Штабалюка, В. В. Фи-оля, В. М. По-¡щук, В. С. 1лыава, Л. I. Комарницько'1, Л. П. Сюпоги, I. С. Клюс, М. М. Симотюка на осно-I метрично! концепци дослщжено коректшсть задач ¡з багатоточковими умовами за часовою мшною (у випадку простих вуз.-пв) для лшшних ппербол1чиих, парабол^чних та безтипних ¡внянь 1 систем р1внянь 31 сталими коефщкнтами, для окремих клапв лшшних р1внянь ¡3 ча-тинними похщними з1 змшними коефщкнтами, а також для деяких диференшально-опера-орних р1внянь.

Вивченню багатоточкових задач для диференщальних р1внянь 1 систем р!внянь ¡з ча-тинними похщними та диференшально-операторних р1внянь у р1зних аспектах присвячеш акож робота В. М. Борок, П. I. Каленюка, М. Й. Юрчука та !х учшв, М. А. Атаходжаева, Э. М. Валицького, I. Я. Кмпъ, I. Б. Краснюка, В. П. Лавренчука, М. I. Матшчука, С. X. Нур-:етова, Г. I. Чандирова та ¡нших дослиниюв, де, переважно, видшеш випадки коректно по-гавлених задач, яю виключають появу малих знаменншав, або аксюматично накладаються мови вщокремленосп вщ нуля малих знаменниюв, що забезпечуе розв'язшсть задачи

Поряд ¡3 отриманими результатами, залишались мало вивченими багатоточков1 задач1 ля лшшних р1внянь з1 змшними коефщкнтами та задач! з кратними вузлами, не були також озглянуп нелшшш р1вняння та системи лшшних р!внянь з1 змшними коефодентами. Власне 1 питания е предметом дослщження в данш дисертацшнш роботь

ЗВ'ЯЗОК РОБОТИ 3 НАУКОВИМИ ПРОГРАМАМИ, ПЛАНАМИ, ТЕМАМИ. Ре-/льтати дисертаци отримаш в рамках виконання бюджетно'1 теми "Розробка функцюнально-ператорних метод1в дослщження га побудови розв'язюв некласичних задач для диференш-тьних р1внянь з частинними похщними" (№ держ. реестраци: 0193Ш33341) та проекту "До-пдження коректно!" розв'язносп та властивостей розв'язюв некласичних крайових задач для :ншних 1 нелшйних р1внянь ¡з частинними похщними" (№1.4/305) Державного фонду фунда-

ментальних дослщжень МЫстерства Украши у справах науки 1 технологш.

МЕТА I ЗАДАЧ1 ДОСШДЖЕННЯ. Розвиток метода дослщження коректносл 1 по( лови розв'язмв багатоточкових задач для деяких клаав диферентуальних р1внянь та сист р1внянь ¡з частинними похщними. Встановлення умов однозначно! розв'язност1 багатоточ! вих задач з простими та кратними вузлами для лшшних 1 слабконелшшних р1внянь ¡3 част! ними похщними з1 сталими та змшними коефвдентами, для систем лшшних р ¡в нянь ¡з часп ними похщними з1 змшними коефщснтами, а також для окремих клаЫв диференщалыю-о! раторних р1внянь. Вщшукання способ1в доведения метричних теорем про оцшки знизу мал знаменник1в, яю виникають при побудов! розв'язюв розглядуваних задач.

У дисертаци використано результата та метода теорп звичайних диференщальних р нянь, р1внянь ¡з частинними похщними, лшшно! алгебри, функцюнального анашзу та метр! но! теори чисел. Для дослщження лшшних задач застосовано класичний метод вщокремлен змшних (метод Фур'е), за допомогою якого конструктивно побудоваш явш формули для р< в'язюв задач у вигляд1 ряд1в за системами ортогональних функщй. Нелшшш задач1 зведе до екв^валентних ¡нтегральних (штегро-диференщальних) р1внянь, однозначна розв'язшс яких встановлена шляхом використання принцитв нерухомих точок. На основ1 сучасних ] зультата та метод1в метрично! теори чисел розв'язано проблеми малих знаменниюв, з яки! пов'язаш розглядуваш в дисертаци задач!.

НАУКОВА НОВИЗНА ОДЕРЖАНИХ РЕЗУЛЬТАТШ. У дисертаци вперше встанов] ш умови однозначно! розв'язносп задач з багатоточковими умовами за виддленою змшнот для: 1) лшшного елштичного р1вняння четвертого порядку з1 сталими коефш!ентами у пряк кутнш облаем з крайовими двоточковими умовами за змшною х; 2) лшшних безтипних р нянь високого порядку з1 сталими коефшентами (не1зотропних стосовно похщних за змшн< г та змшними х„...,хр) з умовами перюдичност1 за х1,...^ср; 3) лшшних гшербол1чних I безп-них р1внянь та систем р1внянь ! слабконелшйних штегро-диференщальних р1внянь ¡з част* ними'похщними з! змшними за х коефщентами в довшьнш обмежешй цнтндричнш облает умовами типу умов Д1р1хле на н б1чнш поверхш. Кр1м того, у роботч вперше дослщжено ба] тоточкову задачу з кратними вузлами для лшшних ппербол1чних р1внянь з1 сталими коеф! ентами та задачу з багатоточковими умовами для слабконелшшних ппербол1чних р1внянь сталими в лшшнш частин! оператора коефвдентами.

Доведен! нов1 метричш теореми про ощнки знизу малих знаменнимв, з яких виплие однозначна розв'язшеть розглядуваних задач для майже вах (стосовно м1ри Лебега) вектор компонента яких виражаються через параметри областей та коефоденти р1внянь 1 крайов умов. Для розв'язюв лшшних задач побудоваш явн! формули у вигляда ряд1в за системами с тогональних функцш, а для нелшшних диференшальних та штегро-диференшальних р1вня] вказано, як вщшукати розв'язки методом послщовних наближень.

ПРАКТИЧНЕ ЗНАЧЕНИЯ ОДЕРЖАНИХ РЕЗУЛБТАТ1В. Результата дисерташ! ма-оть теоретичний характер i е певним внеском у побудову загально! Teopit крайових задач для иференщальних р1внянь ¡3 частинними похщними. Вони стали джерелом нових задач ме-рично! Teopi'i дюфантових наближень, а також можуть використовуватись при вивченш кон-:ретних прикладних задач, як! моделюються за допомогою розглянутих у роботп багатоточ-:ових задач.

ОСОБИСТИЙ ВНЕСОК ЗДОБУВАЧА. Основш результата дисертацн отримаш авто-юм самостшно. У сум1сних роботах [1, 2, 4, 5, 7, 11] науковому KepiBHHKOBi Б. Й. Пташнику [алежить постановка задач, передбачення та ана.тз одержаних результата. У робол [1] авто-iy дисертацн належить доведения теореми ¡снування (теорема 2), встановлення ошнки знизу ;ля малого знамеиника (теорема 3) та розв'язання задач! у випадку р1вновщдалених вузл1в теореми 4-6, лема), а I. С. Клюс належить побудова формального розв'язку розглядувано! за-[a4i i доведения теореми единосп (теорема 1). У статп [4] автором дисертацй' знайдено умови !оректносп розглядувано! задач! (теореми 1, 2), доведено теорему 4, лему та наслщки 1, 2, а акож доведено теорему 3 сумюно з В. I. Вертком, якому належить ¡дея i'i доведения та обго-орення теоретико-числових результапв; В. В. Береснев1чу належить доведения теореми 5. У io6oTi [5] автором дисертацй' отримано умови однозначно! розв'язносп задач! (теорема) i формульовано лему, а В. I. Бершку належить доведения леми. У стато [7] автором дисертацн найдено умови коректносп розглядувано! задач! в загальному випадку (теореми 1,2) та вста-ювлено метричш oniHKH знизу для малих знаменник!в у випадку довшьного розм!щення вуз-зв; Б. О. Сализ! належить дослщження частинного випадку, коли вузли р!внов!ддален!, а ;шст частини корен!в характеристичного р!вняния е обмежеш.

АПРОБАЩЯ РЕЗУЛЬТАПВ ДИСЕРТАЩ1. Результата дисертаци допов!дались i об-оворювались на М!жнародн!н математичн!й конференц!!, присвяченш пам'ят! Ганса Гана Чершвш, 1994р.); Всеукрашськш науков!й конференц!! "Розробка та застосування матема-ичних метод1в в науково-техшчних дослщженнях", присвячен!й 70-р1ччю вщ дня народження :рофесора П. С. Казим!рського (JlbBiB, 1995р.); наукових читаннях в 1нституп прикладних роблем мехашки i математики ¡м. Я. С. Пщстригача HAH Украши, присвячених пам'ят! ака-;ем!ка Я. С. Пщстригача (Льв!в, 1995, 1996рр.); М!жнародних наукових конференщях ¡меш кадем1ка М. Кравчука (Кшв, 1996, 1997рр.); Всеукрашських наукових конференщях "Нел!-iiiHi проблеми анал!зу" (1вано-Франк!вськ, 1996, 2000рр.); М!жнароднш конференцн "Асим-тотичш та як!сн! метода в Teopi'i нел!н!йних коливань" (Ки!в, 1997р.); зас!даннях наукового [атематичного семшару ф!зико-математичного факультету Прикарпатського ун!верситету [вано-Франювськ, 1997-2000рр.); Льв1вського м]'ського сем!нару з диференшальних р1внянь Пьв1в, 1998, 2000рр.); наукового се\инару математичного факультету Чершвецького нашо-ального ун!верситету (Чертвц!, 2000р.).

ПУБЛ1КАЦЙ. Основн1 результата дисертацп опублковаш в 11 роботах. 1з них 3 - у i укових журналах, 4 - у зб1рниках наукових праць i 4 — у матер1алах та тезах конференцш. ( ред публжашй - 5 праць у наукових фахових виданнях з перелшу №1 ВАК вщ 9.06.1999.

СТРУКТУРА IОБСЯГ РОБОТИ. Дисертащйна робота складаеться з перелжу умовн позначень, вступу, п'яти роздшв, висновюв та списку використаних джерел, що мктить 1 найменувань. Повний обсягроботи становить 136 сторшок.

Автор висловлюе щиру подяку професору В. I. Бертку за змктовне обговорент теореп ко-числових результат1в роботы.

ОСНОВНИЙ ЗМЗСТ РОБОТИ

Надал1 використовуватимемо таю позначення: -р-вим1рний дшсний евклдав npocTip; — множина точок К^з цшими (цшими i

вщ'емними) координатами; x = eR''; (r,x) = (/,x,,...,xp)e[R''+l; S = (sa,sl,...,sp)eZ*

|i| = i0+i,+;.. + jp; s = (su...,sp) eZ£; |i| = j,+ dx = dxv..dxp\ k = (kl,...,kp)e2 | A | = | | +...+1 kp I; (k,x) = klxl + ... + kpxp; p || = (k,k)U2; i = V^T; [a] ({a})- цша (дробо!

частина числа a; GcR' -обмежена область з достатньогладкою межею 8G; /22р„ -р-вим ний тор, утворений ототожненням протилежних граней куба {х е IR-P : 0 < хг й 2л, г = 1,...,/ D = (0, Т) х G; Q" = (0, Т) х Q[n ;L = -q(x) + 8/дх, {ptj (х) о/&; )- елштичний в облает: диференщальний вираз з дшенозначними достатньо гладкими коефщентами pt] (х) > р0 ; та q(x) > 0; {Xk(x),k еRi}, A = {Як,к ePi}- множини, вщповщно, власних функцш i власн значень задач1 LX(x) = -AX(x), Х(х) \ж= 0; С'(D) - банах1в npocrip функцш y(t,x), не] рервних разом з уйма похщними до порядку г включно в област1 D, для яких еюнчен норма = J11^\d^y(t,x)l{8ts"dxl'...dxspp)\\ C(0'm)(Z))- банаив npocTip фуню

w{t,x), неперервних за змшною t та m раз неперервно диференцшовних за змшними з нормою|| w||C(0j,)(5)=2jWSm ma>L .дх1р)\; Ci+>i(G)- клас функцш A(x), i

мають в обласп G неперервш похщш до порядку q включно, причому похщш q-то пор) ку задовольняють умову Гельдера з показником ju,0<ju<\\ А4*11 — клас замкнених обл тей G cR^, для яких функцп, що задають у локальних координатах р!вняння межевих i верхонь цих областей, належать класу C'+"(G); Hq{Qqe R,- гшьберта npocTip кс

екснозначних 2/г-перюдичних за хх,...,хр функцш вигляду и(х) = ехр(г(А,х)) ¡з

рмою я;(ё'),»бК,иег+>- пльберт!в прос-

> функщй g{t,x), визначених в облает! Qp \п раз неперервно диференщйовних за г, 1 таких, ) для кожного фжсованого I е [О, Т] д'"gjдtm »¡=0,1,.../г, 1 скшченна норма ви-

«ду ii8 .СИЛ дт8(',-)/д1т Ия,.„«) г~ пр0стф вс!х тригонометричних по-

юм\вР(х) = (Р)ехР0(к,х)), теЖ+, кеЖр, з1 зб!жн!стю:Рл(х) -> Р(х), якщо, по-

наючи з деякого номера, степеш вах полшом!в Р„(х) не перевищують деякого ф1ксовапого ела N 1 Ск(Рп) —> Ск(Р) при кожному к; Г'- проспр вах антилшшних неперервних

нкшонал!в над Г, який сшвпадае з простором формальних тригонометричних ряд1в; '([О,Т],Г) (С([О,Г],Г'))— проспр функщй 2(/,х), визначених в обласп Qp I л раз не-рервно диференщйовних за змшною г, 1 таких, що при кожному фжсованому / е [0,7"]

г/й"1 еГ(Г'), /я = 0Д,...,и; В^(й), 6, /? > 0,— проспр функщй е 12(С), що маютъ ви-,д У(х) = £;^ВД, для яких 1!^Ив/(С)=ЕГ,11^1ехР(^)<с°; С([0,Г],^)- прост!? нкщй х), визначених 1 неперервних в обласп £), як! для кожного фшеованого / е [0, Г] лежать простору 5/, || V !1сао.Г1 = 2Г-1 ^^ 1О! ехр(^), vlc(t)= [уЦ^Х^х^. Че-

з СГ(Д), С(0,т)(^)> •£/(<*)) С([0,Г],Л/) будемо позначати вщповщш простори вектор-нкшй.

У встуш дисертаци розкрито сутшсть 1 стан розробки пауков 01 проблеми, обгрунтовано гуальгасть тематики дисертацн, сформульоваш мета та задач! дослщження.

У першому роздш проанал1зовано науков! публжаци за тематикою дисертацн, в друго-- викладено загальну методику проведения дисерташйного дослщження.

Третш роздш присвячений дослщженню багатоточкових задач для лпшших ршнянь ¡з стинними похщними та диференщально-операторних р!внянь з1 сталими коеф!ц!ентами. У пшрозди! 3.1 в облает! <2' розглядаеться задача

¡¥(д/д1,д/дх)и(1,х)^10а,д''и(1,х)1(д13дх'-1) = 0, а, еК, а„= 1, (1)

(2)

ч г,+... + г, = и, 0 </, < /2 <...</, <Т,) мй р!вняння (1)-строго ппербол!чне за Петровським. Вигляд облает! 0' накладае умови

перюдичносп за змшноюх на функци u(t,x) та (pJmj(x). Розв'язок задач! (1), (2) шукаемо у вигляш ряду

Нехай Л(к) - визначник (и х и) - матриц! || Ád¿ ' ехр(/Ыт/;)||, де dj=l,...,rj, j = 1,...,

т = 1,...,и, а Ят, /и = 1,...,и,-корешр1вняння = 0.

ТеоремаЗ.1. Для eduuocmi розв'язку задача (1), (2) у npocmopi С" ([0,7*], Г) Heo6xidnoid статиьо, щоб виконуваласъ умова

(v*ez\{0}) ¿(*)*0. (

Якщо q>¡m¡ € Г (Г1), nij = \,...,rJt j = 1,...,/, то, за умови (4), ¡снуе единий розв'язок з

дач1 (1), (2) ¡з простору С"([0,Г],/") (С" ([0,7"], Г')) (теорема 3.2). В ¡нших випадках Bipue т ке твердження.

Теорема 3.3. Нехай виконуеться умова (4) i нехай для деякого ¿j > 0 справедлива умова (vaez, |*|>á:>0) \A(k)\>\k\-( . (

Якщо (pjm¡ еН4+а(П\х), а еЖ+, ntj = j = 1,...,/, то icnyeрозв'язок задач1 (1), (2)i3 пр

стору H^iQ1), який неперервно залежить eid фунщш (рJm¡ (х), m¡ =1.....r]t j = \,...,l.

Доведено, що умова (5) справджусться при певних £ для майже bcíx (ctocobho Mipn Jl бега) bektopie t = (/,,...,/,) еIR' i для майже bcíx вектор1в á = (а0,а,,...,алЧ) еR" (теорема 3.

наслщок 3.1), а також для майже bcíx a i довшьного фшсованого t (теорема 3.6, наслщок 3.2 У пщроздип 3.2 вивчаеться в прямокутнику Р = {(/, х): 0 < t < Т, 0 < х < /} така задача:

д4и(1,х)/д14+d4u(t,x)¡dx* =0, (

^1аагдги«гх)/д1г =<р;(х), j -1,...,4, are R, 0<г, <t2<t, <Г4 <Г, (

u(t,0) = ua(tfi) = u(f,l) = ua{t,l) = 0. (

Розв'язок задач1 (6)-(8) шукаемо у вигляд1 ряду u(t,x) = ^™^uk(t)Vk(x), де Vk(х)- влас функци задач! К(4) (х) = Л4У(х), К(0) = У"(0) = V(l) = V"(i) = 0. Теорема 3.1. Для единоспй розв'язку задач1 (6)-(8) у npocmopi

С\Р) neo6xidno i docmai

ньо, щоб виконувались умови

де a, =W2(¿ + l)/(2/), Mi = -*V2(í + l)/(2/), = W2(í-l)/(2/), ц, =-W2(¡-l)/(2/).

Позначимо через А,, $ > 0,-банах1в проспр Функшй£(х) = Для яких смн-

енна норма || g ||Л = ^ \ ехр(^).

Теорема 3.8. Нехай спраеджуютьсяумови (9) г нехай кнують сталг > О /' ^ е 14 там, 40 виконустъся умова

(У к е N. к > К > 0) | А(к) | > к'^*^ ехр(—0 < £-<1. (Ю)

Iкщo<pJeAq,j = l,...A, 9>Л/ = тах(е + л-^2(2г4-?,-/2)/(2/), ¡2 + я"л/2(/4 +{}-2г,)/(2/)), то ;нус розв'язок задач/ (б)-(8), який належитъ простору С4(/*)/ иеперерено залежить в!д функ->ш ср,{х\ 7 = 1,...,4.

Встановлено, що при ¿¡ = 6 1 Q = Ъ~ПлТИ умова (10) справедлива для майже вах (сто-овно м1ри Лебега в I*4) вектор1в I = (/р^^з'^) (теорема 3.9).

У п ¡дроздЫ 3.3 розглядаеться задача з багатоточковими умовами загальшшого вигляду ;ля безтипних не1зотропних р1внянь довшьного скшченного порядку. В обласп ()р дослщжуеться задача

д"и(',х)/д1" + дМих)1(д^ех\'...дх';) = о, (11)

^<1^)/(д11'дх[\..дх,;) = (р1{х\ 7 = 1 о</, <12 <...<1„^т, (12)

1еА}, а^ еС, а(0) 1 7 = 1,...,п. Вигляд облает! <2Р накладае умови 2л-- першдичност! за мшними х^,...,хр нафункцн г/(/,х)та (р {х).

Позначимо через Я;(к) = Л^\к) + 1/^)(к), т = 1,2, 7 = 1,...,я, кореш р1вняння

о. сз)

м (для спрощення викладок) вважатимемо попарно р1зними для вах к еЖр. 31 структури ивняння (13) випливають наступга ощнки:

\Л;(к)\<С\к\""', к |А|>^>0, 7=1,...,и, С>0. (14)

Для единосп розв'язку задач! (11), (12) у простор! С"([0,Г],Г") необхщно ! достатньо теорема 3.10), щоб виконувалась умова

(Vк еЖр) А{к) = &е\

|/|5ЛГ-1,/0<я

*0. (15)

у,т=1

При дослщжеиш умов ¡снування розв'язку використовуватимемо наступш функцюналь-йпростори: (<2Р)~проспр функшй визначених в облает! ()р, як! е п раз непе-

рервно диференцшовт за i та N раз неперервно диференцшовш за сукупшстю змшш

|| w\\c0,.X)^= ^.^^^mgJa'V^^Ae/'«^...^)!; s>o, /?>о,-пР.

CTip 2л - пертдичних комплекснозначних функщй g(x) = ехр(г(А;,д:)), для яких ckí;

ченна норма || g \\A¡ = £№0| gk \ ехр (5 \к\р).

Теорема 3.11. Нехай справджуеться умова (15) i нехай кнують cmani а>0,Н > 0 тт що виконусться умова

(Vk&Zp,\k\>K>0) | A(k)| >|&р" ехр(-Я|k|"/n Т). (1

Якщо<р] е A¿ln, j-\,...,n, 0 >(// + пС)Т, С-стала з nepiemcmeit (14), то кнуе розв'язок з дач1 (11), (12) ¡зпростору Cf"''V)(Qякий неперервно залежить eid <Pj(x), j = \,...,п.

Встановлено, що умова (16) справджуеться при а > р(п2 + 2п-1)/2 i Н = пС для ма! же bcíx (стосовно Mipn Лебега) векторгв t = (ti ), для майже bcíx векторов А, складених дшсних та уявних частин коефвдента A¡ р^вняння (11), i для майже bcíx вектор1в а, склад них ¡3 дшсних. та уявних частин коефщенпв a¡ j умов (12) (теорема 3.12). Якщо дшсш частини KopeniB р1вняння (13) задовольняють умови

-y\n\k\<Xf(k)<M, к&ЖрЩ0)}, j = 1,...,и, у>0, М eR, (1

то умова (16) виконусться при # = 0 i а > р(п2 + 2п-\)12 + п(п + \)Ту 12 для майже bcíx ве: TopÍB /, для майже bcíx вектор1в A i для майже bcíx всктор1в а (теорема 3.14). На осно тверджень 3.12 i 3.14 отримаш теореми про ¡снування для майже bcíx вектор1в t i для майя bcíx BeKTopÍB А, а розв'язку задач! (11), (12) для частинних випадив, коли справджуюты умови Л^(к)<М, кеЖр, j = l,...,n, MeR, або умови (17), тобто коли р1вняння (11) коректним за Петровським (теореми 3.13, 3.15).

П¡дрозды 3.4 присвячений вивченню багатоточково! задач1 для лшшних диференщал них р1внянь ¡з частинними похщними безмежного порядку. В oónacTi Qp розглядаеться задача

(1

ardru{t1,x)ldt'=(P¡(x~), j = l,...,n, 0<í, <í2<...<tn<T, (1

де As, ar 6 C, A^0) =1, Кед0*0; 1(д/dx) ^|=0(-1)"Ч д2ы/(дх^ ...dx2pa>y, ba >0, b0 При дослщженш nie'í задач} використовуються простори Соболева безмежного порядк;

1а тор1 д>0, як! були введен! Ю. О. Дубшським, а також наступш простори:

(7™, (()р), д > 0,- просгпр функцш г<(/,х), визначених 1 п раз неперервно диференцшовних за ' в облас-п Ор, I таких, що для кожного фжсованого г е[О,Г]

д-и/д/* е т = 0,1,..., л, || и И^а £а"и(*,■)/<&"

1е<у>о, р{к) = -%ФМ2а-

Нехай рт(р(к)), т = 1,...,/,- кореш р1вняння <„Л5(р(к)У1 Р*' ~0 3 кратностями г,,...,^ вщповщно, г, +... + г, = п; при досить великих ] к \ справедлив! оцшки

\рт(р{кУ)\<Ср{к), ш = 1,...,/, С>0. (20)

У загальному випадку теореми ¡енування та сдиноеп розв'язку розглядувано? задач! ¡з тростору р) (теореми 3.17, 3.18) формулюються подобно до теорем 3.7 ! 3.8. У випадку,

<оли вс! кореш р„(р(к)), т = 1 е проел, ветановлено, що, за умов единост!, ¡снуе роз-з'язок задач1 (18), (19) ¡3 простору для майже вах (стосовно кпри Лебега) век-

горш / = (?,,...,?„) 1 для майже вах вектор!в А \а, складених ¡з дшсних та уявних частиц кое-^¡шента^ ! аг вщповщно,якщо <р] еВб, ] = \,...,п, 8>2пСТ, де С- сталазоцшок (20) (те-эреми 3.19, 3.20).

У пщроздып 3.5 результата пщроздшв 3.1-3.3 поширеш на випадки багатоточкових за-1ач ¡з простими та кратними вузлами (вигляду (19) 1 (2)) для диференщально-операторних р1внянь

= О, О <Г<Т, (21)

зея|еС, ап 0 0 * 0; Ат : X —> X, т = 1,...,р,- л!н!йн1 оператори, яю ддать у сепарабельному пльбертовому простор! X 1 мають сшльне спектральне зображення.

За певних умов на асимптотику спектрш оператор1в Ат, т = \,...,р, для розглядуваних задач встановлеш умови ¡енування та единосп розв'язмв (теореми 3.21, 3.22, 3.26, 3.27, 3.29), а також доведен! метричш твердження про ошнки знизу малих знаменнишв, що виникають при побудов1 цих розв'язгав (теореми 3.23-3.25, 3.28).

У четвертому роздЫ результата попереднього роздшу поширеш на випадок Л1шйних р1внянь та систем р!внянь ¡з частинними похщними з1 змшними коефщентами. У п!дрозд1л! 4.1 в облает! О розглядаетьея задача

№|(/,х) з £10А,(д/дО2'Г"и((,х) = 0, (22

д'иЦ^а? = <р,(х), у = 1.....2и, 0 < Г, <... < Г2„ < Т, (23

= м = 0,1,...,и-1, (24

де , б К, * 0, а0 * 0; р1вняння (22) - строго гшербол1чне за Петровським в обласп £>. Розв'язок задач! (22)-(24) шукаемо у вигляд1 ряду

кожен член якого задовольняе умови (24). Нехай 6] = у 1, 8п+] = -у г де у],] = 1,...,и,-додат ш кореш р!вняння =0.

Теорема 4.1. Для сдшюстг розе'язку задачг (22)-(24) у просторг С2"(О) иеобх1дно I до статньо, щоб виконувалисъ умови

(\/Лк е Л) А(Лк ) = <1е1|| ехр(г'<5>?) ||* 0, (26

(У^еЛ) ^ч{Лк)^2^аг{18ч^ГкГ ^ 0, д = 1,...,2 и. (27

Теорема 4.2. Нехай справджуються умови (26), (27) 1 пехай кнус стала а > 0 шака, иц виконустъся умова

(уЛк<-А, Лк>К>0) \А{Лк)\^.Л'к^е), 0<£<(1-{а}). (28

Якщодрц /дх, I,) = 1 г д(х) належать класу С2^+//(С), <3 еА2/,+>', а фунщи <р] е С2^ (С) у = 1,...,2п, задоволъняють умови

£>,« |«; = 0, V = 0,1,...,/0-1, ] = \,...,2п, (29

де 0</^<1, /? = [а] + р-п + 2, то ¡снус розе 'язок задач! (22)-(24) ¡з простору С2"(й),якш неперервно зачежить в1д <р] (х), _/ = 1,...,2п.

Встановлено (теорема 4.3), що умова (28) виконуеться при а = р{2п2 -п)/2 для майж' вах (стосовно м1ри Лебега в К2") вектор1в £ = (Г,,...,г2„).

Якщо в умовах (23) числа ф!ксуються через р1вш пром1жки часу, тобто

';=С/-1)'о> ; = 1,....2и, /0=77(2и-1), (30

то для единосл розв'язку задач1 (22)-(24), (30) у простор! С2"(О) необх1дно 1 достатньо (тео рема 4.4), щоб виконувались умови (27) 1 умови

(\/Лк еЛ \//,,/2 е2\{0}) (уя~уг)4^10*2я/„ (уя+уг)^0*2тг12, 1 йг<д<п. (31

кщо виконаш умови (27), (31), а функцп <p¡(x), _/ = 1,...,2и, задовольняють умови теореми 4.2 эи /3 = [п1 (р +1) / 2] + р - п + 2, то для майже bcíx (ctocobho MÍpn Лебега в R) чисел Г та дольних фшсованих коефщенттв As i аг ¡снуе розв'язок задач! (22)-(24), (30) ¡з класу C2"{D), сий неперервно залежить вщ <pt (*) (теореми 4.5,4.6).

Отримаш результати поширено (теореми 4.7, 4.8) на випадок, коли в задач1 (22)-(24) лови (23) 3aMÍHeHO бшьш загальними умовами вигляду

Хм^-А^5'"^-*)/5'' =<Р^), j = 1,...,2и, 0</, <...<t2„<T, Ь,шЩ eR.

У пщроздЫ 4.2 результати попереднього пщроздщу узагальнеш на деям класи jiÍHiñHHx ;зтипних р1внянь Í3 частинними похщними 3Í змшними коефвдентами.

В обласп D для р1вняння

Pu{t,x) = ^2q¡<2riAq(d/dty°L*u(t,x) = nt,x), q = (q0,q])eZl Ag е С, (32) эзглядаеться задача з умовами (24) та умовами

Х^Ч^Ч',,*)/5'' =<РМ)> J = Ь...,2и, Ъг 6С, OS/, <...<t2n<T. (33)

Позначимо через т]т(Лк), т = \,...,2п, кореш р1вняння

(34)

ci (для спрощення викладок) вважатимемо попарно р1зними i вщмшними вщ нуля для bcíx к е Л. 3Í структури р1вняння (34) випливас, що

| rjJÁk) I < сД", Лк е А, Лк > К > 0, т = 1,...,2п, С > 0. (35)

Умови единосп розв'язку uieí задач1 аналопчш до умов (26), (27) (теорема 4.9).

Теорема 4.10. Нехай справедлив!умови cdiiHOcmiрозв'язку задачг (24), (32), (33)i пехай ic-/ють стал! М> 0, Q>0, a¡ eR, j = 1,2, maxi, що для ecix (крш сличенного числа) Як е А ви-туютъся iiepienocmi

П,2.",, J пМ-пМ*) I >мгг"\ (36)

| А(Лк) I > X?2""/4 ехр(-6 Дг), (37)

; 0<к<1. Якщо/ £С([0,Т],В'/2), 6>{(2n + \)C+Q)T, С- стала зоцток (35), то кнуе роз-язокзадач1 (24), (32), (33) ¡з простору C2"{D), який неперервно залежить eid f(t,x).

Встановлено, що для bcíx Лк е А, Як > К > 0, nepíbhoctí (36) при a¡ = (2п-\)(р - 2)/4 жонуються для майже bcíx (ctocobho Mipn Лебега в R2r) BeKTOpÍB складених ¡з дшсних i тних частин коефшентаAq р!вняння (32) (г-кшьюсть цих коефоденпв), а нер!вност! (37)

при а2 = (4и2 - 1)р / 4 1 <2 = 2пС справедлив! для майже вс!х вектор1в у 1 для майже вах (стс совно м!ри Лебега в К2")вектор1в ? = (*,,...,<2„)е[0,Г|2" (теореми4.11,4.12).

Якщо для корешв р1вняння (34) справджуються умови

-у\пЛк<Кег]т(Лк)<Р, Лк еЛ, т~\,...,п, у >0, ^еК, (3!

то розв'язок розглядувано'1 задач! ¡снуе в простор! С2"(£>) (теореми 4.13,4.14) для майже вс! (стосовно м1ри Лебега в К2") вектор!в ?! для майже вах (стосовно м1ри Лебега в К2') в а тор!в у\ якщо функщя /(Г,х) задовольняе там умови:

/бС(0ДД)(О), 1т/(1,х)\ж = 0, т = ОД,...,/? — 1, р = [(2п1+П)(р + 2уТ)12} + 2.

У пщроздин 4.3 досл!джуеться двоточкова задача для безтипних систем р!внянь ¡з ч; стинними похщними другого порядку.

В обласп О розглядаеться задача

(¿;а2/а/2 -вь)иц, *) = /(/,*), (з<

и(11,х) = <р,(х), и(12,х) = (р2(х), 0</, </2<7\ (41

«(*.*) 1*г=0, - (4

де £-одинична матриця, В = \\Ьгд , - невироджена матриця з1 сталими комплексним елементами, ы=со1(ы,,ы2), /=со1(/,,/2), (р! =со1 {(р]Л,(рп), 7=1,2.

Припустимо, що власш числа у, = у{р +¡у<2), У = 1,2, у™ еК, у = 1,2, матриц! I яи вщмшш вщ нуля, е р!зн!. Позначимо: а) = у® |(г2 -Г,)/7Г, Р] - у 1 |(/2 /2

V] =^уг ] -1,2, /? = тах(/?,,/?2).

. Теорема 4.15. Для единоспи розв'язку задач! (39)-(41) у простор С 2(О) необх1дно г й статнъо, щоб виконувалисъ умови

(У^еЛУ/ег) х,(Г2-Г,)Ч*;г2/2, 7 = 1.2- (4

Якщо обидва числа ух\ уг с комплексн!, то справджуються умови (42),! розв'язок зад ч1 (39)-(41) ¡снуе в простор! С2(0) для довшьних = 1,2, якщо/ еС([0,Г],В]'2), е В]' у = 1,2, б >3/3 (теорема 4.16). Коли/,, у2 еК.тода розв'язок розглядувано! задач! ¡снуе простор! С2(£>) (теорема 4.18) для майже вах (стосовно м!ри Лебега в К) чисел а]У у = 1,: якщо

^ еС4"+2(0), !>,(*) 1^=0, от = 0,1,...,2р, ] = 1,2, / еС10Л"+2)ф), £"/('.*) 1ю=0, т = 0,1,...,2р, ;=1,2.

[кщож у2 (У) е(С, у2 бК), то розв'язок задач! (39)-(41) ¡снуе вС2(£>) для маи-

се вс1х а, 1 довшьного ф1ксованого у2 (для майже вих а2 1 довшьного фжсованого у1), ко-и/еС([0,Г],Щ'г), 9, еЩг, 7 = 1,2, 6Х > 3/?2 (/е С([0,Г],^/2), е^'2, у = 1,2, <У2 >ЗД)

георема 4.17).

У шдроздии 4.4 розглядаються системи р1внянь довшьного сюнченного порядку. У пункп 4.4.1 в обласп О дослщжуеться задача

= (43)

^":1ВгЗги(1гх)/дГ =<р,{х), ] = \,...,п, 0 <?!<...<?„ <Т, (44)

Ьти(1,х) |ю=0, /и = 0,1,...,[и/2]-1, (45)

;е А =|| =1, Вг =|| ЬЦ ||™-=1 - квадратш матрищ з1 сталими комплексними елементами, 1е1у4(„0) #0, с1е150 Ф0. Припускаеться, що для вах лк е Л кореш ¡л1 (Як), у =\,...,тп, р1вняння

= 0 (46)

прост! та вщмшш вщ нуля. Встановлеш умови единосп розв'язку розглядувано! задач1 (тео-)ема 4.19), а також доведено, за певних умов, ¡снування розв'язку иеС"(В), якщо функци р) (х), 7=1,..., п, належать простору В\'2 здеяким 5> 0 (теорема 4.20). У пункп 4.4.2 на приклад! задач1

(Ед2/дГ-ВьУи(1,х) = 0, (47)

и(11,х) = <р;.(х), /у=(7-1>0, 7 = 1,...,6,/0=Г/5, (48)

Ьти{1,х)\еа=0, т = 0,1, (49)

1е матриця В та и власш числа у,, у2 п ж сам1, що 1 в задач) (39)-(41), показано, як результа-и пункта 4.4.1 переносяться на випадок, коли р1вняння (46) мае кратш кореш.

Для единосп розв'язку задач1 (47)-(49) ¡з простору С6 (О) необхщно 1 достатньо, щоб им вах Як е А ¡длявах 1&Ж виконувалисьумови у 12Лк Фк212, ) =1,2 (теорема4.21).

Як 1 в задач1 (39)-(41), знайдено умови ¡снування розв'язку розглядуваноГ задач1 для ви-мдюв,коли: \)ух, у2 еС 2)у, еК, у2 еС (ух еС, у2 еК); 3)у}, у2 6К(теореми4.22-4.24).

У п'ятому роздш на основ1 результате, отриманих стосовно липйних задач у пщрозд1-тах 3.1, 4.2, дослщжеш багатоточков1 задач1 для слабконелшшних ппербол1чних р1внянь та хпя слабконелшшних безтипних ¡нтегро-диференщальних р1внянь. У пщроздин 5.1 в облает! £)' для строго ппербол1чного р1вняння

розглядаеться задача з умовами

и(1гх) = 0, =(у-1)?0, у = 1,..,п, ¿0=77(л-1), (5

де п >4, а, еК, ап =1, ¿; е С \ {0}; /(г, х, у) визначена, неперерервна за / 1 мае обмежеш похщ: за змшними х, у до п'ятого порядку включно в обласп Р = {(?,х,>>):(?,х)е£?', ||<г <со Вигляд облат накладае умови 2к - перюдичнос-п за координатою х на функци и(1,х)^ /(Г,х,и(Г,х)).

Нехай С* (Г, г), кеЖ,-функщя Грша задач! = 0, у(/;) = 0, у' = 1 ,...,п. Я>

що в обласп $ х ряд

(2;г)-%,г0С^,г)ехр(Й(*-£)) (5:

р1вном1рно зб1гаеться 1 його сума дор1вшос то задача (50), (51) адавалентна так(

му нелшшному штегральному р1внянню:

(5.

На основг доведено! леми 5.1 та формул для (7Д/,г), к е Ж, отриманих конструктивна встановлено що ряд (52) р1вном1рно зб1гаеться в области @ х Qпри п > 4 для майже вс (стосовно м1ри Лебега в К") вектор1в (а0,ах,...,ап_х).

За допомогою методу стискаючих вщображень доведено ¡снування единого розв'язку простору С"(£?') штегрального р!вняння (53) (а, отже, 1 задач! (50), (51)) при досить мал! значениях |е| для майже вах вектор1в (а0,й,,,...,ап_1) еК" (теорема 5.1).

У п|дроздин 5.2 дослщжуеться задача з умовами (24), (33) для р!вняння

Ри(1,х) = /(1,х) + Е1а1{(1!х,у)Р(1,уЖ(,у))с1у, £■ е С\{0}, (5

де Р - оператор ¡з р1вняння

■■■&1'), п) функщя

визначена та неперервна в облает! £)хС ! при фжсованих /, у належить простору

9>(4и+1)СГ, С- стала з нер!вностей (35); функщя •/•"(<,х,м) визначена ! неперервна за вЫ.\

змшними в обласп О х 5(и0,г) та задовольняе в шй умову Лшшиця за вама компонентах«

вектора щ8(и°,г) = {и е С"(5): || и||Г(5 <г <оо}, ы°(/,х)-розв'язок задач! (24), (32), (33).

Задача (24), (33), (54) зводиться (за умов теореми 4.10) до екв!валентного Ш ¡нтегро-д ференц!ального р!вняння, розв'язшеть якого для достатньо малих значень [е| встановлеь

а основ1 принцишв нерухомих точок Шаудера та Каччюпол]'-Банаха (теореми 5.2 \ 5.3).

В юнщ кожного параграфа дисертацп наведено коротку пор1вняльну характеристику триманих результата ¡3 результатами ¡нших дослщниюв.

висновки

Дисерташя присвячена дослшженню задач ¡з багатоточковими умовами за видоеною мшною г та певними крайовими умовами за просторовими координатами для деяких клаав ¡внянь 1 систем р1внянь ¡3 частинними похщними. Так1 задач! е, взага.ш, умовно коректними, IX розв'язшсть пов'язана з проблемами малих знаменниюв, для виршення яких використа-

0 метричний пщхщ. Основш результата дисертацп ¡стотно розширюють 1 доповнюють вщо-

1 результата стосовно багатоточкових задач для р1внянь ¡з частинними похщними. В дисер-ацшнш роботз вперше:

• встановлено умови однозначно! розв'язносп задач з багатоточковими умовами за ви-¡леного змшного / у випадку простих вузл!в для: ¡) лшШного елштичного р1вняння четверто-о порядку в прямокутнш обласп з крайовими двоточковими умовами за змшною х; 2) лшш-их безтипних р1внянь високого порядку з! сталими коефщентами Ошзотропних стосовно охщних за змшного г та змшними х„...^р) з умовами перюдичносп за т,,...,.^; 3) лшйних п-ербол1чних 1 безтипних р¡внянь та систем р1внянь з1 змшними за х коефвдентами в довиъшй бмеженш цилшдричнш обласп з певними крайовими умовами на й б1чшй поверхш; 4) дея-их класт диференщально-операторних ршнянь;

• розглянуто та вивчено багатоточкову задачу з кратними вузлами для шшйних гшер-ол1чних р1внянь з1 сталими коефвдентами;

• дослщжено задачу з багатоточковими умовами для слабконелшшних ппербол1чних ¡внянь з1 сталими в лшшшй частиш оператора коефвдентами;

• дослщжено розв'язшсть багатоточково! задач1 для слабконелшшних ¡нтегро-диферен-¡альних р1внянь ¡3 частинними похщними з1 змшними в лшшнш частит р1вняння коефщ1-нтами;

• побудовано явш формули для розв'язюв .-лишних задач у вигляд1 рядт за системами ртогональних функцш;

• доведено нов1 метричш теореми про ошнки знизу малих знаменниюв, як! виникають у озглядуваних задачах.

Результата робота маюгь теоретичний характер. Вони стали джерелом нових задач ме-рично! теори дюфантових наближень. Тх можна використати при подальших дослщженнях агатоточкових задач для лшшних та нелшшних р1внянь ¡з частинними похщними, а також в онкретних прикладних задачах, моделями яких е розглянуп в дисертацп задачь

СПИСОК ОПУБЛ1КОВАНИХ ПРАЦЬ

1. Василишин П. Б., Клюс I. С., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для ппербсотчни; р1внянь 3i змшними коеф1шснтами //Укр. мат. журн,-1996.-48, №11.- С.1468-1476.

2. Василишин П. Б., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для ¡нтегро-диференшальни: р1внянь ¡з частинними похщними // Укр. мат.журн,-1998.-50, №9.- С.1155-1168.

3. Василишин П. Б. Багатоточкова ¡нтерполяцшна задача для диференщально-опера торних р1внянь // BicH. держ. ун-ту "Льв1вська пол1тсхнжа". Прикладна математика.-1998. № 337,-С. 91-94.

4. Бершк В. I., Береснев1Ч В. В., Василишин П. Б., Пташник Б. Й. Багатоточкова задач; з кратними вузлами для лшшних ппербол1чних р1внянь // Укр. мат. журн.-1999.-51, №10. С. 1311-1316..

5. Бершк В. I., Василишин П. Б., Пташник Б. Й. Багатоточкова задача для слабконел1 ншних гшербол1чних р1внянь // BicH. нац. ун-ту "Льв1вська полЬехтка". Прикладна матема тика.-2000.-№411.- С. 11-17.

6. Василишин П. Б. Багатоточкова крайова задача для елштичного диференшальноп р1вняння четвертого порядку // BicH. Прикарпатського ун-ту. Природн.-мат. науки.-1995. Вип. 1,-С. 28-35.

7. Василишин П. Б., Пташник Б. Й., Салига Б. О. Багатоточкова задача для р1внянь i: частинними похщними безмежного порядку // Нелинейные краевые задачи математическо! физики и их приложения- Киев: Ин-т математики НАН Украины,- 1996.- С.59-62.

8. Василишин Павло. Багатоточкова задача для диференщалыюго ршняння з частинни ми похщними четвертого порядку // Тези Всеукра'1нсько'1 науково'1 конференцН.'Тозробка т; застосування математичних методов в науково-техшчних дослщженнях", присвячено'1 70-р1ч чю вщ дня народження професора П. С. Казим1рського.-Ч. 2.-Льв1в: В-во державного ун-т; "Льв1вська пол!технка".-1995,- С. 14-15.

9. Василишин П. Б. Багатоточкова задача для одного класу диференщальних ршнян] з частинними похщними // Тези Всеукрашсько! науковоТ конференци "Нехйшйн! проблем! анал1зу", присвячено! пам'ятт М. С. Курпеля,- 1в.- Франк.: "Плай".-1996,- С. 14.

10. Василишин Павло. Багатоточкова ¡нтерполяцшна задача для ппербол!чних р1внян: 3i з\пнними коефщентами // Матер1али ШостоТ М1жнародно! науково! конференцИ ¡меш ака дем1ка М. Кравчука,- Кшв: 1н-т математики НАН Украши.-1997.- С. 74.

11. Wasylyshyn Р. В., Ptashnyk В. Yo. Multipoint problems for hyperbolic integral-differen tial equations // Тези ГуПжнародноТ конференци "Асимптотичн1 та flKicHi методи в теори нел1 ншних коливань."-Кшв: 1н-т математики НАН Укра'ши.-1997.- С. 195-196.

Анотащя

Василишин П. Б. Багатоточкое1 задач1 для диференщалъних р1внянъ та систем р1внянъ гз юстинними пох1дними. Рукопис.

Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-матеиатичних наук за спе-пальшстю 01.01.02 - диференшальш р1вняння. Чершвецький нацюнальний ушверситет ¡меш О. Федьковича, Чернтгп,2001.

У дисертаци на основ1 метричного пщходу дослщжеш задач1 з багатоточковими умова-за видшеною змшною г для лшшного елштичного р1вняння четвертого порядку в прямо-сутнш обласп з крайовими двоточковими умовами за змшною х, для лшшних ппербол1чних безтипних р1внянь високого порядку 31 сталими коефщентами у клаа функщй, 2;г-перю-[ичних за просторовими змшними, для лшшних ппербол1чних 1 безтипних р1внянь та систем ивнянь 1 слабконелшшних штегро-диференщальних р1внянь 31 змшними за х,,...ухр коефшен-•ами у довшьнш обмеженш цилшдричнш облает! з певними крайовими умовами на н б1чнш юверхш, для слабконелшшних ппербол1чних р1внянь з1 сталими в лшшнш частиш оператора :оефщентами. Отримаш явш формули для розв'язюв лшшних задач у вигляд1 ряд1в за истемами ортогональних функцш, а для нелшшних випадюв вказано, як знайти розв'язки 1етодом послщовних наближень. Доведен! нов1 метричш теореми про оцшки знизу малих наменниюв, яю виникають у розглядуваних задачах.

Ключов1 слова: гтербол1чт р1вняння, безтити рЫняпня, елттичне р1вняння, багатоточ-:ов1умови, слабконелипйш ргвняння, функцш Гриш, малг знаменники, м1ра Лебега.

Abstract

Wassylyshyn P. B. Multipoint problems for partial differential equations and system of equati-ms. Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph. D.) by peciality 01.01.02 - differential equations. Chernivtsi National University named after Yu. Fedko-■ich, Chernivtsi, 2001.

On the basis of the metric approach the dissertation thesis investigates the problems with mulipoint conditions in the singled out variable t for the linear elliptic equation of the fourth order in he rectangular domain with the boundary twopoint conditions in ^-variable, for the linear hyper-lolic and typeless equations of high order with constant coefficients in the function class, 2^-peri-idic in space variables, for the linear hyperbolic and typeless equations and system of equations and veak nonlinear integral-differential equations with the variable in Xi,...jcp coefficients in the arbitra-y limited cylyndrical domain with certain boundary conditions on its lateral surface, for the weak

nonlinear hyperbolic equations with constant coefficients in the linear part of the operator. The fo mulae have been obtained to solve the linear problems in the form of series in the system of orth gonal functions, while for the nonlinear problems it has been shown how to find the solutions by tl method of succesive approximation. The new metric theorems have been proved referring to tl evaluation of small denominators below which arise in the problems under study.

Key words: hyperbolic equations, typeless equations, elliptic equation, multipoint conditions,wet nonlinear equations, Green's function, small denominators, Lebesgue measure.

Аннотация

Васылышин П. Б. Многоточечные задачи для дифференциальных уравнений и cucmi уравнений в частных производных. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук i специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Черновицкий национальный униве ситет имени Ю. Федьковича, Черновцы, 2001.

Диссертация посвящена исследованию корректности задач с многоточечными услови ми по выделенной переменной для линейных и слабонелинейных дифференциальных уравь ний и систем уравнений в частных производных.

Систематическое изучение таких задач началось в конце 60-х годов двадцатого века было продиктовано как теоретическим интересом, так и важностью их физической интерп; тации. Первые результаты показали, что условия разрешимости многоточечных задач д уравнений с частными производными намного сложнее, чем для обыкновенных дифферент альных уравнений. Это обусловлено, очевидно, тем, что такие задачи являются, вообще гое ря, классически некорректными, а их разрешимость во многих случаях связана с проблема) малых знаменателей.

С проблемой малых знаменателей впервые ученые столкнулись в небесной механи еще в XVIII веке при математических исследованиях дифференциальных уравнений, опис вающих движения планетных и спутниковых систем в ньютоновских гравитационных поля:

Математически эффект малых знаменателей проявляется в том, что в решения урав! ний движения, представленные в виде рядов Фурье, входит бесконечное число членов с коз фициентами, знаменатели которых как угодно близки к нулю, что обусловливает расхо; мость этих рядов; с динамической точки зрения в движениях планет появляются эффекты, i зываемые в физике и нелинейной механике резонансными.

В данной работе на основе метрического подхода впервые установлены условия од! значной разрешимости задач с многоточечными условиями по выделенной переменной t дл

1) линейного эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами с краевыми двухточечными условиями по переменной х;

2) линейных бестипных уравнений с постоянными коэффициентами, неизотропных относительно дифференциирования по переменной г и по переменным х......хр, с условиями периодичности по х„...,хр\

3) линейных гиперболических и бестипных уравнений, а также бестипных систем уравнений с переменными по х,,...^ср коэффициентами в произвольной цилиндрической области с условиями типа условий Дирихле на ее боковой поверхности;

4) некоторых классов линейных дифференциально-операторных уравнений;

5) бестипных интегро-дифференциальных уравнений с переменными в линейной части уравнения коэффициентами.

Кроме того, в работе впервые исследована многоточечная задача с кратными узлами [ля гиперболических уравнений с постоянными коэффициентами и задача с многоточечными словиями для слабонелинейных гиперболических уравнений с постоянными в линейной час-и оператора коэффициентами.

В диссертации использованы результаты и методы теории обыкновенных дифференци-льных уравнений, уравнений с частными производными, линейной алгебры, функциональ-юго анализа и метрической теории чисел. Для исследования линейных задач применен клас-ический метод разделения переменных (метод Фурье), с помощью которого конструктивно :остроены решения задач в виде рядов по системам ортогональных функций. Нелинейные за-;ачи сведены к эквивалентным интегральным (интегро-дифференциальным) уравнениям, существование решений которых доказано с помощью принципов неподвижных точек Шауде-а и Каччиополли-Банаха. Кроме того, указаны способы построения решений методом по-ледовательных приближений.

На основе современных методов и результатов метрической теории чисел доказаны но!

ые метрические теоремы об оценках снизу малых знаменателей, из которых следует одно-начная разрешимость рассматриваемых задач для почти всех (в смысле меры Лебега) пара-[етров областей, коэффициентов уравнений и граничных условий.

Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они стали источником новых адач метрической теории диофантовых приближений. Их можна использовать в дальнейших сследованиях многоточечных задач для линейных и нелинейных уравнений с частными роизводными, а также при решении конкретных прикладных задач, которые моделируются помощью рассмотреных в диссертации задач.

Ключевые слова: гиперболические уравнения, бестипные уравнения, эллиптическое урав-ение, многоточечные условия, слабонелинейные уравнения, функция Грина, малые знаменатели,

\ера Лебега.