Модель высокоскоростного затвердевания в проблеме неравновесных фазовых переходов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Галенко Петр Константинович

Модель высокоскоростного затвердевания в проблеме неравновесных фазовых переходов

01.04.07 — физика конденсированного состояния

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Ижевск 20СЮ

Работа выполнена в Институте космического моделирования при немецком аэрокосмическом центре и на физическом факультете Удмуртского государственно го у и и верситота.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор А.И. Олемской доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Черепанов доктор физико-математических наук, с.н.с. В.В. Виноградов Физико-технический институт им. Иоффе РАИ

А.Ф.

Защита состоится « » ■¿¿¿¿Ч-ёо^ 2006 г. в /__/_ ч. _ мин. на

заседании диссертационного совета Д 004.025.01 Физико-технического института УрО РАН по адресу: 426001, г. Ижевск, ул. Кирова, 132.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института УрО РАН.

Автореферат разослан

«•/А

^ .ОДС Д

Ученый секретарь дисссртацио 1 ше^орёта;, ^ доктор физико-математических *^!^,^Ьофессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность работы. Теория фазовых переходов [1-3} сформулирована для описания эволюции неравновесных систем вблизи от термодинамического равновесия. В течение последних трех десятилетий накоплен обширный экспериментальный материал по высокоскоростным фазовым переходам, из которого следует, что многие метастабильные системы способны претерпевать превращения вдали от термодинамического равновесия, когда нарушаются условия локального равновесия в системе. Например, поведение сложной (пылевой) ^^тлазмы протекает в локально-неравновесных условиях [4]; поверхностные ^^осцилляции квантовых кристаллов [5] или кристаллизационные волны в гелие [6] могут быть описаны моделью с релаксацией параметра порядка к локальному равновесию [7]. В настоящее время для описания локально-неравновесных систем в целом используется формализм расширенной термодинамики необратимых процессов [8]. Он устанавливает связь феноменологического и микроскопического описания локалызо-неравковесных систем. В этой связи существует проблема самосогласованного описания сильно неравновесных фазовых превращений в рамках термодинамической теории необратимых процессов.

Характерным примером фазовых переходов в локально-неравновесных средах является высокоскоростное затвердевание металлических систем и сплавов. В > современных экспериментах достигаются переохлаждения до 450 К и скорости роста до 100 м/с [9]. В частности, было установлено, что высокоскоростное ^^ затвердевание протекает в условиях, находящихся вдали от локального ^^термодинамического равновесия [10, 11]. При затвердевании глубоко переохлажденного расплава достигаются скорости роста, сопоставимые по величине или превышающие скорость диффузионного распространения компонентов затвердевающей системы. Это обстоятельство указывает на необходимость более полного учета отклонепия от локального равновесия в глубоко переохлажденной системе. Поэтому актульной проблемой физики конденсированных сред и материаловедения является разработка локально-неравновесного подхода к процессам

высокоскоростного затвердевания, который учитывает отклонение от локального равновесия на границе раздела фаз и в поле диффузионного массопереноса компонентов системы. Эта проблема решается в рамках термодинамически согласованного описания неравновесных фазовых превращений.

Целью работы является формулировка модели высокоскоростного затвердевания как частной проблемы неравновесных фазовых переходов, анализ высокоскоростных режимов движения фазовой границы и решение ряда задач формирования кристаллической структуры в металлических системах аналитическими и численными методами. В работе решали следующие основные задачи:

1. формулировка модели высокоскоростных фазовых превращений в неравновесных системах;

2. формулировка моделей высокоскоростных фазовых превращений с резкой и диффузной фазовой границей для бинарных неизотермических систем;

3. аналитическое исследование высокоскоростных режимов затвердевания для плоской, параболической и параболоидальной фазовых границ;

4. анализ динамических режимов движения и морфологической устойчивости высокоскоростной границы раздела фаз;

5. формулировка модели неравновесного дендритного роста для количественной оценки высокоскоростных режимов затвердевания;

6. численное моделирование высокоскоростного затвердевания для моделей с резкой и диффузной фазовыми границами;

7. сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными по кинетике высокоскоростного затвердевания и кристаллической структуре однокомпонентных и бинарных металлических систем.

Научная новизна

1. Впервые сформулирована самосогласованная модель высокоскоростных неравновесных фазовых переходов на основе термодинамики необратимых процессов.

2. Впервые развита модель высокоскоростного фазового превращения в диффузной границе на основе представления о фазовом поле.

3. Впервые сформулирована проблема высокоскоростного затвердевания как частная проблема высокоскоростных фазовых переходов.

4. Впервые решены задачи высокоскоросного затвердевания для мучая, когда скорость движения поверхности раздела "кристалл-жидкость" становится сопоставимой или большей скорости диффузии вещества.

5. Впервые аналитически показано, что при скорости фазовой границы, равной или большей скорости диффузии, наступает бездиффузионное затвердевание в бинарной системе. Этот эффект определен для изотермического и неизотермического затвердевания с плоской и дендритной границами раздела жидкой и твердой фаз.

6. Впервые аналитически найдены квазистационарные формы роста в условиях локально неравновесной диффузии вещества. На основе этих аналитических решений развита модель высокоскоростного роста вершины дендрита в переохлажденном расплаве. Дано объяснение перехода от диффузионно-контролируемого к термически- и кинетически-контролируемому росту кристаллических структур.

7. Рзработаны численные алгоритмы - и найдены численные решения неизотермического высокоскоростного затвердевания бинарных систем. Показано, что выводы аналитических решений и результаты расчетов по численным моделям удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по затвердеванию металлических систем, включая область высоких значений переохлаждения и скоростей роста кристаллов.

Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов, сформулированных в диссертации. Достоверность основных положений и выводов диссертации обеспечивается: (а) теоретическими выводами, следующими из положительного значения функции производства энтропии, а также согласованностью проведенного анализа с выводами флукгуационно-диссипативиой теоремы: (Ь) использованием классических апробированных методов решения задач математической физики (метод Лапласа, метод граничного интеграла, метод вариаций, операционный метод, метод функций Грина, метод разделения

переменных, метод возмущений); (с) использованием вычислительных методов, следующих из найденных критериев устойчивости численных схем (например, необходимые условия устойчивости по фон Нейману); (с1) удовлетворительным согласованием полученных в работе теоретических результатов с собственными и литературными экспериментальными данными по высокоскоростному затвердеванию металлических систем и расплавов.

Практическое значение работы.

1. Сформулированная и развиваемая модель высокоскоростных неравновесных фазовых переходов в бинарных системах обобщена для решения актуальной проблемы сильно неравновесных превращений в многокомпонентных системах, а также для описания релаксационных явлений или систем с фазовым расслоением, в частности, для спинодалыюго распада в метастабильных жидкостях.

2. Сформулированная модель высокоскоростного затвердевания на основе развиваемой модели фазовых превращений использована для описаная затвердевания с плоским фронтом и дендритного затвердевания. Модель может также быть расширена на случай многофазного затвердевания, например, для затвердевания с выделением эвтектик, перитектик, монотектик, интерметаллидов.

3. Полученные результаты позволяют использовать их при разработке экспериментальных технологий получения новых материалов при объемном и поверхностном затвердевании в процессах лазерной и электронной обработки, закалке из жидкого состояния, электромагнитной, электростатической и акустической левитации, сварке и спайке.

4. Разработанные алгоритмы и компьтерные программы численных решений неизотермического затвердевания- сплавов могут быть адаптированы для прогнозирования структуры и состава фаз в экспериментальных технологиях.

5. На основе полученных в работе решений показана возможность предсказать механические свойства материалов в зависимости от технологических параметров процесса затвердевания.

6. Сформулированные модели высокоскоростного затвердевания могут

применяться для достижения учсбпо-иаучных целей при построении диаграмм формирования микроструктуры сплавов, кинетических и мстастабильных фазовых диаграмм бинарных систем. На защиту выносятся:

- локально-неравновесный формализм для описания высокоскоростных фазовых превращений;

- модели высокоскоростных фазовых переходов;

- модели высокоскоростного затвердевания;

- выводы из аналитических решений моделей высокоскоростного затвердевания (в частности, анализ перехода к бездиффузионному затвердеванию);

- численные алгоритмы и решения задач высокоскоростного затвердевания;

результаты оригинальных экспериментальных работ по высокоскоростному затвердеванию (методы электромагнитной левитации, лазерной обработки поверхности материалов, высокотемпературной спайки соединений с закалкой).

Выполнение работы. Работа выполнена в Институте космического моделирования при немецком аэрокосмическом центре и на физическом факультете Удмуртского государственного университета (УдГУ) по планам развития Европейского Космического Агенства, образования и науки в УдГУ, в т.ч. проектам Nonequilibrium multi-phase transformations: eutec-tic solidification, spinodal decomposition and glass formation (Grantee: European Space Agency, 2005. ESA AO-2004; Program "Life and Physical Sciences and Applied Research", ESTEC Project No. MSM-GA/2005-029); Modellierung dendritischen Wachstums und Fragmentierung von Dendriten in Schmelzen (Grantee: DFG-Deutsche Forschungsgemeinschaft; Schwerpunktprogramm 1120, Phasenumwandlungen in mehrkomponentigen Schmelzen, 2001. Projcct No. HE 1601/13): N on-Equilibrium Solidification. Modelling for Micro structure of Alloys (Grantee: European Space Agcncy, 2001. MAP-Projcct No. A 98/99-023, ESTEC Contract No. 15236/02/NL/SH); Modeling of Joint. Formation in Aluminium. Brazing (Grantee: NSF - National Scicnce Foundation, USA, 2001. Grant No. NSF DMT-9908319); Undercooling and Dcmixing of Си-Co Alloys (2000, Project of Institut für Raumsimulation. DLR,

51170 Köln, Deutschland); Partikel-Dynamik während der dendritischen Erstarrung unterkühltcr Metallschmelzen (2000, Project of Institut für Raumsim-ulatiou, DLR, 51170 Köln, Deutschland und Ruhr-Universität Bochum); Dendritic solidification in undercooled melts: theory, modelliiig and experimental tests (2000, Grantec: Alexander von Humboldt Foundation, Research Program No. IV RUS 10G8584); грантам Единый подход к описанию фрактальных и дендитных структур: Теория и моделирование (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1998, No. 97-0-14.3-13); Применение модели локально-неравновесного затвердевания к формированию кристаллической структуры в процессе лазерной обработки поверхностей (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1998, No. 97-24-7.1-9); Теоретическое исследование и компьютерное моделирование двухфазной зоны при затвердевании сплавов (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1997, No. 97-21); Исследование высокоскоростных фазовых переходов в неравновесных системах (Грант Российского Фонда фундаментальных исседований, 1997, No. 97-02-26632); Моделирование формирования дендритной структуры при затвердевании расплавов (Гранты Международного научного фонда Сороса, No. Н7К000 (1994), No. J5F100 (1995)); Моделирование формирования кристаллической структуры при высокоскоростных фазовых переходах в металлических сплавах (Грант Российского Фонда фундаметальных исседований, 1994, No. 94-02-03477-а).

Личный вклад диссертанта: формулировка моделей, постановка общих и конкретных задач, определение методов и путей решения, поиск аналитических и численных решений, анализ теоретических результатов в сопоставлении с данными эксперимента, формулировка основных положений и выводов.

Апробация работы. Результаты работы доложены и обсуждены на 42 международных и 16 российских и всесоюзных конференциях, семинарах, школах, симпозиумах и совещаниях: IV Всесоюзной конференции "Проблемы исследования структуры аморфных материалов" (Ижевск, 1992); : Российском семинаре "Машинное моделирование структуры

стекол и расплавов" (Новгород, 1992); 8-й Всесоюзной конференции по росту кристаллов (Харьков, 1992); V, VI Международной конференции "Кристаллизация и компьютерные модели" (Ижевск. 19D2, 1994); XXXVII Международном семинаре по компьютерному моделированию дефектов структуры и свойств конденсированных сред (Ижевск, 1994); Workshop on parallel processing and its applications • in physics, chemistry and material science (Trieste, Italy, 1994); College on Computational Physics (Trieste, Italy, 1995); Российском семинаре "Структурная наследственность в процессах сверхбыстрой закалки из жидкого состояния" (Ижевск, 1995); 2, 3 и 4 Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, 1995, 1997, 1999); Международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений и переноса в конденсированных системах" (Тверь, 1996); IV, IX Conference "Fractals" (Denver, Colorado, USA, 1997; Wien, Austria, 2006); Conference "Mathematics of Heat Transfer" (Bradford, England, 1998); Российской конференции "Моделирование технологий, экспертных и контрольных систем в процессах тепло-массопереноса" (Екатеринбург, 1998); Уральской школе "Фундаментальные проблемы физического металловедения перспективных метериалов" (Ижевск, 1998); 5 Международной школе "Хаос-98" (Саратов, 1998); Междисциплинарном семинаре "Фракталы и прикладная , синергетика" (Москва, 1999); IX Национальной конференции по росту кристаллов (Москва, 2000); 4 Международном форуме "Тепломассоперенос" (Минск, Беларуссия, 2000); Annual Meeting "Pattern Formation in Solidification" (Lexington, Kentucky, USA, 2000); 1, 2 und 3 Kolloquium des Schwerpunktprogramm 1120 der DFG "Phasenumwandlungen in mehrkomponentigen Schmelzen" (Physik Zentrum, Bonn, 2000; Bad Honnef, Deutschland, 2004; 2005); 65, 66, 67, 68, 69, 70 Physikertagung und Frühjahrstagung der Arbeitskreises Festkörperphysik bei der DPG (Hamburg. 2001: Regensburg, 2002; Dresden, 2003; Regensburg, 2004, Berlin, 2005; Dresden, 2006; Deutschland); Topical DLR Seminar on Materials Research in Space and Microgravity (Köln, Deutschland, 2001, 2002, 2003, 2004); Workshop "Frontiers in Materials Science"(Trieste, Italy; 2001): 22nd Ris0 International Symposium on Materials Science (Roskilde, Denmark,

2001); 11th ans 12th Conference "Rapily Quenchcd and Metastatic Materials" (Oxford, England, 2002; Jcju, South Korea, 2005); TMS Annual Meetings "Fundamentals of Advanced ; Materials" (Seattle, Washington, USA,. 2002); "Solidification Processes and Microstructures" (Charlotte, North Carolina, USA, 2004); Workshop "Spatiotcmporal Chaos-(Trieste, Italy; 2002); 1, 2, 3 Workshops "Erstarrung und Simulation" (Karlsruhe, Dcutschland, 2003, 2004, 2005); Всероссийской конференции "Высокопроизводительные вычисления и технологии" (Ижевск, 2003); Scientific Meeting CAESAR (Koln-Bonn, Deutschland, 2003); VI, VII Conferences EUROMAT (Lausanne, Switzerland, : 2003; Prague, Chech Republic, 2005); European Space Agency Meetings on Noncquilibrium Solidification in Space (Noordwijk, Holland, 2003; 2004); Scicntific Meeting "Complex Plasmas" (Ringberg, Bayern, Deutschland,

2003); Workshop "Modelling of Phase Transitions and Interface Dynamics Across the Length Scalcs" (Karlsruhe, 2004); 7th Conference on "Brazing, High Temperature Brazing and Diffusion Bonding" (Aachen, Deutschland,

2004); 3rd Conference "Computational Modeling and Simulation of Materials" (Acireale, Italy, 2004); 4-th Conference "Solidification and Gravity" (Miskolc, Hungary, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 72 научных работы, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти

глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 229 страницах, содержит 43 рисунка, 3 таблицы, библиографический список состоит из 205 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы исследования, формулируются цель и задачи работы, положения, выносимые на защиту, основные научные результаты, их новизна и практическая ценность.

• Первая глава обзорная. Определена задача высокоскоростного затвердевания как частная проблема неравновесного фазового превращения. Сформулированы и обоснованы (а) подход, основанный на описании превращения с резкой границей (задача о движении

Таблица 1. Вымена релаксации потоков тепла, вещества и изменения фазового поля

Система тт (с. ) то (с) Гф (с)

Теграхлорид углерода 2.50- 10"" -

Бензин 1.22- ю-"

Никель 1.20- 10-» 2.30- Ю"11

Бинарная система N¡-0.7 аЬ.% В — 1.54- 10~п

Бинарная система Си-30 а1.% № -- 0.75 • 10"И 7.92- 10~и

свободной границы физически нулевой толщины), и (б) подход, основанный на рассмотрении превращения в пределах диффузной фазовой границы (фазово-полевой метод описания границ конечной толщины). Приведено обоснование и дана физическая интерпретация диффузной границы раздела фаз. Рассмотрена общая характеристика процессов высокоскоростного затвердевания. Дан обзор экспериментальных данных и современных подходов к описанию процессов высокоскоростного затвердевания.

Во второй главе сформулирована модель высокоскоростного фазового перехода в неравновесной системе.

Развит термодинамический подход к описанию высокоскоростного фазового превращения в пределах диффузной фазовой границы. Для описания превращения использован формализм модели фазового поля, который позволяет описывать быстрое, но гладкое изменение фаз в пределах фазовой границы. Сделан выбор независимых термодинамических переменных для описания высокоскоростного перехода. Расширенное множество переменных сформировано объединением множества медленных переменных (плотность внутренней энергии е, концентрация X компонентов системы, фазово-полевая переменная Ф) с пространством быстрых переменных (диффузионный поток д* тепла, диффузионный поток J компонентов системы, скорость изменения д<Ь/д1 фазового поля). Расширением множества термодинамических переменных вводится конечность диффузионного распространения тепла и вещества при конечной скорости движеиия границы раздела фаз. Тем самым формулируется локально-неравновесная модель, когда скорость фазового превращения может быть сопоставимой или даже превосходить скорость диффузии тепла или компонентов

системы. Как' предельный случай, расширенное термодинамическое описание дает переход . к стандартной теории фазового поля (сформулированной на основе классической термодинамики необратимых процессов Огзагера-Пригожипа) через затухание быстрых переменных при уменьшении скорости изменения фазового поля.

Скорость релаксации теплового потока д, потока 3 вещества и изменения <ЭФ/<9£ фазового поля оценивают характеристическими временами

тг = о/1& 71, = ' = (1)

где а - температуропроводность, \гт - конечная скорость диффузии тепла (скорость распространения температурных возмущений), О -коэффициент диффузии, Уд - конечная скорость диффузии вещества (скорость распространения концентрационных возмущений), V - скорость движения диффузной фазовой границы к I - пространственный масштаб. Численные оценки времен релаксации (см. табл. 1) позволяют сделать вывод, что, например, для металлов и сплавов, т.е. при Уг » Ур, релаксационные времена для потоков д и 3 имеют одинаковый порядок величины (тт ~ тв). Поэтому, если фронт теплового возмущения распространяется со скоростью, много большей скорости фронта диффузии вещества, то благодаря быстрой термической диффузии (а >> £>) релаксация теплового потока д в металлических системах происходит за примерно одинаковое характерное время с релаксационным временем диффузионного потока ./ вещества.

Для термодинамического описания системы объемом V с локально-нсравнрвесным высокоскоростным превращением вводится функционал энтропии Б вида

5 = I Гв(е, X, Ф, д, 1,дФ/М) - ||Уе|2 - || УХ|2 - ||УФ|2 А,, (2)

V I-

где плотность энтропии в определена на расширенном множестве введенных независимых переменных; Ее, ех, и £ф - градиентные константы для энергии, концентрации и фазового поля соответственно. Выведены определяющие уравнения фазового поля для неравновесной бинарной

системы при описании превращения гиперболической моделью, моделью с памятью и обобщенной моделью нелинейной эволюции. Так, для описания неравновесной системы при отсутствии перекрестных транспортных явлений, выделения сопутствующих фаз и химических реакций в гиперболической системе выведены определяющие уравнения:

- уравнение фазового поля

д2Ф дф (да 2„2лЛ

- уравнение плотности энергии

+ (4>

- уравнение для концентрации второго компонента

д2Х дХ „ г „(да

Здесь: Мее и Мхх - диагональные члены транспортной матрицы, Мф -мобильность фазовой границы, Тф = а.фМф - временной масштаб кинетики фазового поля, тт = сияМее - время релаксации потока тепла и тд = а^Мхх

- время релаксации диффузионного потока второго компонента системы (см. уравнение (1) и табл. 1). Коэффициенты а,- явлются скалярами, независимыми от потоков д, 3 и дФ/дЬ, и определяются как

/гг\ го (д(Ьц)\ (

= Ы) ' - = то \Г5х-)ТЛ' аф = \а°~т^~)ТгХ •(с)

где Т - температура, цо - коэффициент атомной кинетики, к -теплопроводность, А/л — — цв - разность химических потенциалов НА и цв для компонентов А к В соответственно, ао - безразмерный множитель (зависящий от конкретной модели диффузной границы), .И-о

- пространственная протяженность диффузной границы и - теплота превращения. Ускорение д2Ф/дЬ2 фазового поля появляется в уравнении (3) при введении двух независимых термодинамических переменных Ф и дФ¡дЬ и характеризует инерционные эффекты в пределах диффузной границы раздела!. Уравнения (3)-(5) описывают процесс гиперболической эволюции фазового поля при диффузионном и волновом переносе энергии

и вещества с конечными скоростями Ут и \'Ъ и рассматриваются как обобщенное уравнение Аллена-Кана (3), обобщенное уравнение Кана-Хилларда (4)-(5). Выбор конкретного термодинамического потенциала -плотности энтропии в (2) - дает возможность анализировать превращение в конкретной системе.

Более общая модель фазового ноля - модель с памятью - вводит в рассмотрение релаксационные функции для потоков общего вида. В результате балансы тепла и вещества описываются следующими интегро-дифференциальпыми уравнениями

которые, совместно с релаксацией фазового поля

»

г

^(«-ОУ^Зл*. (7)

дг

—оо

ах(г,г) _ „ }пи

1 аф(г,<) мф дг

-/ад-П»^, й

описывают эволюцию системы при неравновесном фазовом превращении. Здесь: Од = {О^Б^Оф} - релаксационные ядра для потоков, а вариационные производные для функционала (2) определяются как

5Б дя 2_9 дэ дв ...

Уравнения (7) есть обобщенное уравнение Кана-Хилларда с памятью, уравнение (8) есть обобщенное уравнение Аллена-Кана с памятью параметра порядка (фазового поля). Задание конкретного вида ядер Бц и плотности энтропии в позволяет получить частные формы уравнений переноса и движения диффузной границы.

Для описания нелинейной эволюции неравновесной системы используется вариационный Принцип, основанный на нахождении экстремали для Лагранжиана вида С = ^{дв/дЬ + V ■ ./5 — сг$)(1и -> ехЬг (где ■</$ - поток энтропии и стд - производство энтропии), из которого

найдены следующие нелинейные эволюционные уравнения

тт(е, q)^ + <f = Mm(e, rD(X, J)+ /= M„(X, /)V/?A",

/ дФ\ д2Ф дФ ( дФ\

Параметры /3 являются скалярными функциями классических медленных переменных (е,Х, Ф) и потоковых инвариантов I, имеющих, вид

- - /<ЭФ\2

= Ij = J'J, *%={ot ) ■ (И)

Подстановка двух первых эволюционных уравнений для потоков q и J из системы (10) в балансовые уравнения для плотности энергии и концентрации дает систему нелинейных уравнений переноса совместно с нелинейной релаксацией фазового поля, задаваемой последним уравнением системы (10).

Согласованность развиваемого формализма доказана по условию положительности производства энтропии (на макроскопическом уровне описания) и по выводам из флуктуационно-диссипативной теоремы (для обоснования расширенного термодинамического формализма с микроскопическим уровнем описания). Дано сопоставление с имеющимися моделями резкой границы и моделями фазового поля. В частности, выведенные уравнения соотнесены с моделями сверхпроводимости (обобщенная модель Гинзбурга-Ландау для перехода с релаксацией между нормальной и сверхпроводящей фазой), фазового расслоения в жидкостях или структурной релаксации в стеклах (обобщенная модель Кана-Хилларда с релаксацией), релаксации вязко-упругой среды (диффузия и фазовое разделение из-за сдвиговых напряжений), электронно-проводящей жидкости (для неравновесного ионизированного газа), движения антифазных границ (обобщенная модель Аллсна-Кана), высокоскоростного затвердевания (гиперболическая проблема Стефана с нсфиковской диффузией) и реакционно-диффузионных систем (описываемых моделью Фишера с запаздыванием).

Третья глава посвящена формулировке моделей высокоскоростных фазовых превращений, характеризуемых высокой движущей силой

превращения. Рассматривается модель свободной границы раздела, когда ее распространение в мстастабилыюй среде сопровождается инерционными эффектами. Поставлена самосогласованная задача Стефана для случаев превращений в однокомпонентпом веществе и двухкомнопептиой системе. Далее рассматриваются модели с диффузной фазовой границей. Описана гиперболическая модель для спинодального распада в системе с релаксацией диффузионного потока вещества и параболическая модель фазового поля для высокоскоростного превращения в однокомпонеитной системе. Также формулируется модель двухфазной среды для описания формирования неравновесной структуры при высокоскоростном превращении в бинарной системе.

Задача о движении свободной границы формулируется для резкой границы (нулевой толщины) в виде нестационарного уравнения Гинзбурга-Ландау с памятью:

= (12) —ос

где г - гладкая непрерывная функция положения границы раздела фаз, зависящая от времени £ и радиус-вектора г, Мх - интегральное ядро, имеющее смысл мобильности границы. Заданием функционала 5 получены с учетом (12) частные задачи:

- гиперболическая задача Стефана с релаксацией теплового потока

+ = И-г(0), гг^+д + кЪТ = 0, (13)

- гиперболическая задача Стефана с релаксацией потока вещества

^ + V • /= О, ТО^ + /+ оъх = Пр{г)5{и - *(<)), (14)

при положении границы, определяемом уравнением

■ '

г(£) = у У(т')йт' + го- • (15)

«о

Здесь: Ср - теплоемкость, 5 - дельта-функция Дирака, го - положение фазовой границы в начальный момент и р{{) - функция источника, определяемая в соответствии с массовым балансом на фазовой границе.

Метод граничного интеграла позволяет свести задачу Стефана, сформулированную для определения положения границы при переносе тепла/вещества в объеме фаз, к единственному интегральному уравнению на границе. Проблема формулируется для изотермического высокоскоростного превращения в бинарной системе. В квазистационарном высокоскоростном режиме при V ~ Уд получен граничный интеграл в двумерном пространстве

/ +71~ "'I) " <16)

эквивалентный гиперболической проблеме Стефана (13)-(15). Здесь: Г -контур границы, имеющей нормаль п = (пх, пу) в двумерном пространстве с декартовой системой (ж, у), интервалы — е < у < е и —5 < х < 5 определяют пределы выделенной малой области вокруг границы.

Модель фазового поля, сформулированная в главе 2, развита для высокоскоростного превращения в однокомпонентной системе и фазового расслоения в изотермической бинарной системе.

Для случая V « \т интегральное ядро в уравнении (7) переноса тепловой энергии выбирается в виде — £*) = — V) и

функционал энтропии - в виде Б = /^[«„(Т, Ф) + 57(Т, Ф)]с/у, где объемный вклад фаз в плотность энтропии определяется как Тв„(Т, Ф) = е(Т, Ф) — /(Т, Ф) при плотности внутренней энергии е(Т, Ф) = срТ — С2Ф и плотности объемной свободной энергии /(Т,Ф) = (С}/Те)(Т — Те)р(Ф), а вклад диффузной границы раздела фаз определяется как ву(Т, Ф) = —— И/0_17Л/^з(Ф). Здесь: Те - равновесная температура сосуществования фаз, Ср - темплоемкость, ■у - поверхностная энтропия (пропорциональная поверхностному натяжению), е^ - градиентный параметр (анизотропный в зависимости от типа симметрии внутренней структуры диффузной границы). Функции р(Ф) и (?(Ф) определяют поведение энтропии вк(Т, Ф) в объеме фаз и поведение энтропии в7(Т, Ф) внутри диффузной границы. Они определяются соответственно нечетной степеньюр(Ф) = (2Ф—1) —|(2Ф —1)3+^(2Ф —I)5 и четной степеньюр(Ф) = — ¿(2Ф — I)2 + |(2Ф — I)4 (потенциал с двумя минимумами) от функции

(2Ф — 1). В результате получена система параболических уравнений

ОТ - , ^ дФ --аУГ+Тд^,

> дь V м* ) дФ ТдФ ^ >

где Та = Я/ср - адиабатическая температура затвердевания.

Для случая V ~ Уц интегральное ядро в уравнении (7) переноса вещества выбирается в виде £>,(£ — £*) = £>,(0),ехр[— — ¿*)/тд], функционал энтропии - в виде 5 = ^(ТуХ,/) — (е£/2)|УХ|2| ¿и. Плотность энтропии 8(Т,Х,1) — 5£(Т, X) + яне{3) определяется аддитивным вкладом локально-равновесной энтропии вЕ и локально-неравновесной энтропии зые, при том, что влгв(^) — -&}3- 3 является квадратичной функцией диффузионного потока 3. С учетом выражения дв/дХ = дзв/дХ = —Т~1д//дХ изотермическое фазовое расслоение в бинарной системе описывается обобщенным уравнением Кана-Хилларда вида

где свободная энергия задается четной функцией /(X) = /а{Х — А'х)2(Х — ЛГ2)2 с.двумя минимумами (/о, и Хъ - константы), /? = и ёх = Т1?2ех. Уравнение (18) описывает процесс фазового расслоения по механизму спинодального распада при интенсивной закалке системы.

Модель двухфазной среды формулируется для параболической по теплопсреносу и гипеболической по переносу вещества системы. В результате осреднения локальных уравнений переноса по макрообъему среды с высокоскоростным фазовым превращением для практически

важного случая У << Ут и V ~ Ур записываются уравнения модели:

-.аУ'Т + Т,-, (19)

^ [(1 - ОХх; + + V • / = 0, (20)

то— + /+ -0(1-0) ух£ = О, (21)

|? = у.[(1_С)у] >0, (22)

= кХь, (23)

где Х1 и Х$ - концентрация примесного компонента в метастабильной и стабильной фазах соответственно, 0 < в < 1 - доля твердой фазы в локальном объеме двухфазной среды, V - вектор скорости фазовой границы, к - коэффициент неравновесного распределения, зависящий в общем случае от концентрации второго компонента Хь и проекции вектора скорости V границы вдоль нормали, направленной в метастабильную фазу.

В четвертой главе на основе сформулированных моделей резкой границы представлены модели высокоскоростного затвердевания. Аналитически изучены высокоскоростные режимы затвердевания для плоской, параболической и параболоидальной границ, моделирующих рост плоскогранных и ячеисто-дендритных кристаллов.

При рассматрении высокоскоростного движения границы отклонение от локального равновесия оценивается по соотношению скоростей Уг и Уо диффузионного распространения тепла и вещества, соответственно, по сравнению со скоростью V границы раздела фаз. При отсутствии локального равновесия в объеме затвердевающей системы необходимо учесть релаксацию потоков к своим локально-равновесным стационарным значениям. Связь между релаксацией диффузионных потоков тепла д5 и вещества 7 и их движущими силами. VI] и УХ соответственно, имеет

интегральный вид:

—00 t

О = - У - ?)««*,

(24)

—00

где индекс г — Ь или г = Б относится к жидкой-или твердой фазам соответственно, 1>л(< — Г) - релаксационные ядра для потоков (Я = <? или Я = .;). Уравнения (24) учитывают факт, что, когда граница движется с высокой скоростью, приближение локального равновесия нарушается, а диффузионные потоки в точке системы не зависят от мгновенных значений градиентов и определяются локальной предысторией процесса затвердевания.

На основе решения гиперболической задачи Стефана (13) для однокомпонентной системы показано, что при современных методах глубокого переохлаждения металлов фазовая граница имеет скорость V « Ут и вклад релаксации теплового потока незначителен. Однако для широкого класса высокоскоростных процессов затвердевания бинарных систем выполняется условие V ~ УЬ << Уг и интегральные соотношения (24) сводятся к классу гиперболических систем с диссипацией, для которых релаксационные ядра имеют вид £>^(4 — £*) = — и £>¿(4 —

V) = £^(0)ехр ^ — (£ — где О'я(0) = к* - теплопроводность фаз,

^'(0) = &/то - значение релаксационного ядра для диффузии вещества в начальный момент Ь = V. Тогда потоки (24) имеют вид классического закона Фурье 4- = 0 и релаксационного уравнения тцдЗ¡д1 + 3 +

й'ЧХ = 0. Подстановка этих уравнений в балансы внутренней энергии и вещества приводит к системе уравнений переноса

Интегрирование системы (25) по бесконечно тонкому слою вокруг границы фаз даст граничные условия вида

+ УМ = о, г; = п, х-, = к(уп,х0}х1

1 1

0,ЪпХ, + то^ + к) X. + тоУп—

= о, (26)

s

где индекс "*" указывает на отношение к границе раздела фаз, индексы "L" и "S" указывают на отношение к жидкой и твердой фазам соответственно, Л'о - исходная (номинальная) концентрация бинарной системы.

Интегрирование системы (25) в объеме при граничных условиях (26) и частных условиях вдали от фазовой границы проведено для затвердевания с плоским фронтом. При изотермическом затвердевании бинарной системы анализ квазистационарного режима. движения границы показывает, что при V > Vp имеет место бездиффузионное (безызбирательное или безотборное по химическому составу) затвердевание. В таком режиме происходит полный захват второго компонента высокоскоростной границей, химический состав жидкости и кристалла равен исходному (номинальному) составу. На кинетической фазовой диаграмме затвердевания имеет место слияние линий ликвидуса и солидуса в одну линию. Это находится в согласии с полученными в работе выражениями для коэффициента распределения второго компонента

HV - (1-У2№)ке+У/Ур1 y<Vn

4 ' ~ (1 - yyv£)[ 1 - (1 - ke)X*L] + V/Vw' У < VD'

k(V,X£ = Xo) = l, V>VD, (27)

где Vdi - скорость поверхностной диффузии {Уо1 < Vd), а также для наклона неравновесного ликвидуса на кинетической фазовой диаграмме

m(V) = = const, У > VD. (28)

Здесь: ke - коэффициент равновесного распределения и те - наклон равновесной линии ликвидуса на фазовой диаграмме состояния бинарной

системы. Анализ нестационарного режима движения границы показывает, что (i) если температура То в системе находится ниже равновесного интервала затвердевания, т.е. ниже равновесного солидуса (То < Те — Де = тпе(ке — 1)Со/ке = Те + теХо/ке), то имеет место квазистационое движение границы с постоянной скоростью V = const; (ii) если температура Го равна температуре равновесного солидуса (Го = Те + теХа/ке), то имеет место нестационарное движение границы с затухающей скоростью V(t) ~ £ 1 /з. (iii) если температура Го находится в интервале равновесных температур ликвидуса и солидуса (Те 4- теХо < То < Те + тпеХо/ке), то имеет место нестационарное движение границы с затухающей скоростью V{t) ~ i-1/2. Анализ также показывает, что в случае нестационарного затвердевания (ii) и (iii) влияние релаксации диффузионного потока становится незначительным через интервал времени t > 8...10гд. Далее исследована линейная динамическая устойчивость движения плоской границы для значений скоростей на плоскости "скорость границы V - начальное переохлаждение AT" в окрестности квазистационарной скорости при данном переохлаждении. Показано, что для однозначных функций "V -AT' граница динамически устойчива вблизи квазистационарного режима, скорость границы стремится к своему квазистационарному значению для данного переохлаждения на больших временах. Однако для С-образных или S-образных зависимостей "V - AT' имеется область неоднозначности для скорости и происходит отбор скорости границы. Критерием отбора является наклон кривой "V - AT': участок кривой с dV/d(AT) > О является аттрактором для скорости, и скорость монотонно стремится к своему квазистационарному значению; участок кривой с dV/d(AT) < О является сепаратриссой для скорости, и скорость начинает расходиться с ближайшей квазистационарной скоростью, стремясь к участку с положительным наклоном кривой.

Неизотермический режим затвердевания бинарной системы проанализировал для системы (25)-(26) при квазистационарпом движении плоской границы. В переохлажденном состоянии получено, что при V > Vq концентрационное переохлаждение ATc(V, XI) обращается в ноль, АТс = m(V)(Xl — = 0, затвердевание идет по бездиффузионному

механизму, XI ~ Х$ = Хо, и на кинетической диаграмме затвердевания неравновесные линии ликвидуса и солидуса сливаются в одну линию. Этот результат имеет ясный физический смысл: фазовая граница, как источник концентрационных возмущений, двигаясь со скоростью, равно!! или превышающей скорость этих возмущений, не может возмущать жидкую фазу перед собой. В этом случае затвердевание проходит в термически контролируемом и кинетически-лимитируемом режиме. Далее проведено исследование линейной морфологической устойчивости границы по отношению к малым возмущениям формы границы. Получен критерий нейтральной устойчивости в виде

(<10Т^ + + KsGs.es - тве^с = О, У <УВ, ^ \с107^ш2 + + г^зСч = 0, . V > Уо,

где с?о - капиллярная длина, £ - функции устойчивости, си - частота возмущений на фазовой границе. Критерий (29) определяет длину волны возмущения, удовлетворяющего условию нейтральной устойчивости. Учет конечной скорости Ур диффузии приводит к качественному результату, связанному с переходом к бездиффузионному затвердеванию. Как показывает выражение (29), при конечных значениях скорости движения фронта У > Ур градиент концентрации примеси перед фронтом затвердевания отсутствует. В этом случае морфологическая устойчивость ^шределяется только соотношением стабилизирующей силы ¿оТриР, ^Обусловленной коэффициентом поверхностного натяжения 7, и вкладом + обусловленным градиентами температуры С?£ и <7$. В

случае затвердевания переохлажденной жидкости градиенты температуры и определяют длину волны возмущения на фазовой границе морфологической неустойчивости. В случае направленного затвердевания при положительном температурном градиенте дестабилизирующая сила отсутствует при У ^ Уо и граница остается линейно устойчивой по отношению к малым возмущениям своей формы. Абсолютная устойчивость

плоской границы определяется как

К4 = V? + Удс = -р—АТт + % АТс, ^ = КГ = ^-ДГт,

где ДТг = Тд - переохлаждение, необходимое для движения плоской границы в термически-контролируемом режиме, ДТс(У, Х£) = —

1)т(1/, Х1)Х0/к(У, Х*ь) - концентрационное переохлаждение, необходимое для движения плоской границы в режиме, ■ лимитируемом диффузией второго компонента бинарной системы. Скорость абсолютной термической устойчивости

и скорость абсолютной химической устойчивости

зависят от градиентов температуры и концентрации соответственно. Решения (30)-(32) показывают, что при V ^ УЬ абсолютная морфологическая устойчивость плоской границы определяется только термическим переохлаждением и отношением температуропроводности а и капиллярной длины ¿о, а предельной скоростью для абсолютной химической устойчивости границы является скорость диффузии Уд.

При рассмотрении двух- и трехмерных пространственных решений системы (25)-(26) получены квазистационариые формы роста в поле локально неравновесной диффузии. При V < Ур найдено общее решение в виде эллиптического параболоида: "

При р — ^о уравнение (33) описывает поверхность затвердевания. Распределение диффузионного поля вокруг поверхности (33) описывается выражением

Х = ф(р)=Х0 + 1Х1-Х0)у&-&, (34)

где концентрация примеси на поверхности со стороны жидкой фазы определяется выражением

V* — _*0 /оп

Ф(Го, В) = + В)ехр(^)7(/Ь, В), (36)

функция J(F9 В) определяется интегралом

со

I + В) V '

•ь

ри V > Уц получено, что независимо от формы поверхности раздела распределение концентрации в расплаве равно исходной концентрации Хо

Х(х,у,г) = Х0, Х1 = Х0. (38)

Этот результат показывает, что, когда поверхность раздела "жидкость-кристалл" движется со скоростью У ^ Уд, имеет место бездиффузионное затвердевание. В таком случае изотермическое затвердевание системы определяется только кинетикой присоединения частиц (атомов или молекул) к фазовой поверхности, а форма поверхности может иметь произвольную макроскопическую конфигурацию в однородном концентрационном пате. Для неизотермического затвердевания вырождение поля диффузии второго компонента в пространственно однородное распределение дает кинетически контролируемое затвердевание.

_ Из системы (33)-(38) получены частные квазистационарные формы ^поверхностей затвердевания: параболоид вращения, параболическая пластина и плоскость. Эти результаты аналитическиого решения используются в формулировке моделей ячеистого и дендритного затвердевания.

Для количественной оценки высокоскоростных режимов затвердевания сформулирована модель неравновесного дендритного роста. Полное переохлаждение на вершине дендрита описывается выражением ЛТ = Тт + теХо — То, где те - тангенс угла наклона линии ликвидуса

на равновесной фазовой диаграмме состояния, А'0 и Го - концентрация второго компонента и температура вдали от поверхности затвердевания соответственно, и представляет собой сумму вкладов переохлаждений

Ат = . ДГг + ДГд + ДГс + ДГл- + АТк, V < УЬ, (зд) ДГг + ДГЛ + ДГл-+ ДГК, У > УЬ-

Здесь: ДГу - термическое переохлаждение на вершине дендрита, вызванное тепловым потоком в объем переохлажденного расплава; ДГд -переохлаждение, обусловленное кривизной поверхности (эффект Гиббса— Томсона); АТС = т{У)(Х0 - XI) при V < УЬ, ДТС=0 при У ^ УЬ,

- концентрационное переохлаждение на вершине дендрита, следующее" из выражений (35)-(36) для концентрации на поверхности параболоида вращения, растущего со скоростью У < УЬ, а также уравнения (38) при скорости V ^ УЬ; АТм - переохлаждение, вызванное различием между равновесной температурой ликвидуса и температурой ликвидуса на кинетической фазовой диаграмме дендритного затвердевания; ДТк -кинетическое переохлаждение, необходимое для присоединения атомов к дендритной поверхности.

Уравнение (39) дает связь между задаваемым переохлаждением АТ и двумя параметрами роста вершины дендрита: скоростью У движения вершины и радиусом Н вершины дендрита. Оно является первым уравнением для определения двух параметров роста V и Л. Вторым уравнением для определения V а Я выбирается условие отбора режима устойчивого роста параболоидалыюй (или параболической) вершины. С учетом анизотропии поверхностной энергии для произвольных чисел Пекле условие отбора имеет вид ■ ■' И

- при У < УЬ

2йоа 7/4

уШ " аоес

1ЫРг) + __^с(Рс)_

2 К ' ОТсз (1 - [1 - к(У, Х£)/«(РС)])

(40)

- при У > УЬ

^ = ¡его е?Ъ(Рт), . (41)

где а, О " - коэффициенты температуропроводности и диффузии примеси соответственно, V, Я - скорость и радиус вершины дендрита соответственно, Рр = УК/{2а) - тепловое число Пекле, ¿о - масштаб капиллярности, сто - константа анизотропии, ес - параметр анизотропии. Функция Ас определена как неравновесный интервал затвердевания:

Дс= Гт(Г)Х0(А: -1)А, V < Гд, С \о, Х1 = Хо, . У > УЬ.

Здесь: т - наклон неравновесного ликвидуса и к{У) - функция цнеравновесного распределения примеси на границе фаз. В уравнении (40), как и при затвердевании с плоской границей, концентрационное переохлаждение полностью отсутствует перед границей для скоростей, больших скорости диффузии, а неравновесный интервал затвердевания также вырождается в ноль: линии ликвидус и солидус сливаются в одну линию. Функция Иванцова 1ь'(Р) определяется из общего решения (35)-(38) и имеет вид:

(¡) для параболической пластины (при росте двухмерных кристаллов) 1ь(Р) = 2 Р1/2 ехр(Р) ехр(-и2)йи,

(¡1) для параболоида вращения (при росте трехмерных кристаллов) 1у{Р) = Р ехр(Р) и"1 ехр(-и)<Ь.

В пятой главе суммированы результаты моделирования структуры материалов на основе численных решений уравнений высокоскоростного затвердевания. Численное моделирование проведено с применением моделей резкой границы (аналитические решения для плоской границы ^ дендритных кристаллов) и диффузной границы (модель фазового поля Щ модель двухфазной зоны).

Для моделирования использовались методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений, сеточные методы аппроксимации дифференциальных уравнений, численные методы решения интегральных уравнений. Программы и пакеты программ являются оригинальными продуктами, использующими лицензированные стандартные математические и графические пакеты прикладных программ. Программы разработаны в операционных средах ИУЛ'£ЮИ5 и 50-

Таблица 2. Сравнение модельных предсказаний с экспериментальными данными по росту кристаллических структур в образцах, полученных методами, обеспечивающими высокоскоростное затвердевание

Метод Металл Сравнение ! Скорости роста (м/с)

/Сплав с моделью /Переохлаждения (К)

Электро- №, №+примесь 2, 3 0.1-85 / 35-270

магнитная 31, 81+примссь 2 0.2-18 / 65-325

левитация N¡-30 ат.%Си 2 0.3-35 / 35-270

№-0.7 ат.%В 2 1.5-28 / 80-320

№-(0.1-1.0 ат.%)гг 2,3 0.1-30 / 35-220

Со-(5-28 ат.%)Си 2 0.1-48 / 25-320

Ре-(18-22 ат.%)Се 2 0.2-12 / 80-200

ЭЦО.1-2.5 ат.%)Со 2 0.1-11 / 60-320

Лазерная БЦб-Э ат.%)Аз 1 0.9-9 /

закалка Ае-(1 вес.%)Си 4 0.9-9 / <*>

Ре-(2.29 ат.%)С 2,4 0.003-0.08 / М

Спайка АЦ5.5-8.5 ат.%)й1 2,4 0.001-0.2 / 4-14

соединений

Спишшнго- N1-0.186 ат.%В 4 —

вание лент

- затвердевание проходило в положительном температурном

градиенте.

1 - модель резкой границы затвердевания с плоской границей;

2 - модель резкой границы роста дендритов;

3 - модель фазового поля;

4 - модель двухфазной зоны.

ЬАШБ с использованием языков С++ и ЮЬ. Результаты моделирования сопоставлены с экспериментальными данными по структурообразованию в образцах, полученных методами электромагнитной и электростатической левитации, электронной' и лазерной обработки поверхностей, спиннингования тонких лент, высокотемпературной спайки соединений. В табл. 2 систематизированы результаты сравнения моделей затвердевания с экспериментальными данными, полученными в различных методах! обеспечивающих высокоскоростное затвердевание. Во-первых, полученные результаты моделирования , сравнивались с экспериментальными измерениями скоростей роста, параметрами структуры или с исследованиями кристаллической структуры, претерпевающей морфологические переходы п исследованных образцах из металлов и сплавов. Все приведенные в таблице указания на моделирование с использованием конкретной модели соответствуют удовлетворительному

согласованию с экспериментальные данными. Во-вторых, указанные модели протестированы для малоинтенсивной закалки, обеспеченной высокотемпературной спайкой и лазерной обработкой поверхностей (скорости роста составляют от долей миллиметров в секунду до сантиметров в секунду), интенсивной закалки, обеспеченной лазерной обработкой (скорости роста составляют от сантиметров в секунду до единиц метров в секунду), и для глубоких переохлаждений металлических систем и сплавов (до нескольких сотен Кельвин), обсспечсшюй техникой электромагнитной левитации (скорости роста составляют десятки метров в секунду). Поэтому можно сделать практически важный ^^(ывод, что развитые модели высокоскоростного затвердевания дают адекватное описание по отношению к натурному эксперименту как для высокоскоростных режимов, так и для низкоскоростных режимов. В-третьих, удовлетворительные результаты тестов стимулируют развитие теоретических моделей многофазных превращений (например, эвтектического превращения, бинодального расслоения и спинодального распада, выделения интерметаллидов и монотектических реакций) на основе приведенного подхода к высокоскоростным превращениям, а также постановку новых экспериментальных задач по изучению влияния различных контролируемых параметров (например, конвективного течения в условиях гравитации и микрогравитации) в конденсированных и мягких неорганических системах, далеких от равновесия.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ Работа посвящена теоретическому обоснованию, обобщению и ^^схематизации высокоскоростных фазовых превращений в локально-неравновесных средах. Теоретическое обоснование выполнено via основе феноменологического описания в рамках расширенной термодинамики необратимых процессов [8j. Отличительной особенностью развиваемой теории является расширение множества независимых термодинамических переменных- объединением подмножества медленных (классических) переменных и пространства быстрых переменных, характеризующих интенсивность : релаксации системы к локальному равновесию.

Это позволяет формулировать термодинамически согласованные модели фазовых превращений, учитывающие конечность скорости распространения внутренней энергии и компонентов системы при конечной скорости движения фазовой границы или при конечной скорости релаксации внутренней структуры системы к локальному термодинамическому равновесию. В частности, получена система эволюционных уравнений, в которой выбор термодинамических потенциалов и задание релаксационных ядер позволяют описывать переход с релаксацией между нормальной и сверхпроводящей фазой, фазовое расслоение в быстро закаляемых жидкостях, структурную релаксацию в жидкостях и стеклах, совместные процессы диффузии и' фазового расслоения из-за сдвиговых напряжений, высокоскоростное распространение электронно-проводимой жидкости, движение антифазных границ, высокоскоростное затвердевание и распространение высокоскоростных фронтов в реакционно-диффузионной системе.

Основное приложение развиваемой теории сделано для высокоскоростного затвердевания металлических систем (в том числе бинарных сплавов). Последовательно рассмотрены особенности высокоскоростного затвердевания, в частности, для случая, когда высокая термодинамическая движущая сила превращения приводит к интенсивной атомной кинетике на границе раздела жидкой и твердой фаз и обеспечивает ее движение со скоростью, близкой или превышающей скорость диффузии.

Среди результатов работы можно выделить следующие: 1. На основе развиваемой модели высокоскоростных фазовых превращений сформулированы модели диффузной границы. Модели, построенные ^ использованием формализма фазового поля, учитывают отклонение от локального равновесия внутри диффузной границы, где происходит интенсивное непрерывное превращение. Сформулированы модели с резкой границей для высокоскоростного превращения в однокомпонентпой и бинарной системах. Оба класса моделей (с диффузной границей и с резкой границей) сформулированы для широкого класса гиперболических систем, гиперболических систем с диссипацией, систем с памятью и систем с

нелинейной эволюцией.

2. Применение модели высокоскоростных фазовых переходов сделано для практически важного случая локалыю-псрашювссного высокоскоскоростного затвердевания металлов и бинарных сплавов. Развиты модели с резкой границей (с использованием методов решения обобщенной самосогласованной задачи Стефана с релаксацией диффузионного потока и метода граничного интеграла) и модели с диффузной границей (с использованием метода фазового поля и модели двухфазной среды) раздела фаз.

3. Проанализировано высокоскоростное движение плоской границы ЩРзатвсрдевания при локально-неравновесной диффузии второго компонента

бинарной системы. Аналитически показано, что, если скорость границы достигает скорости диффузии, V — Уо, происходит затвердевание с начальным (номинальным) химическим составом. При V > Ур происходит полный неравновесный захват компонентов системы и бездиффузионное затвердевание. Проведен анализ динамической устойчивости квазистационарного режима движения относительно малых возмущений скорости движения границы. Получен критерий, связывающий динамическую устойчивость со знаком производной на кинетической кривой "скорость фронта У - начальное переохлаждение ДТ". Выполнен анализ морфологической устойчивости границы фаз. Показано, что' при V > Ур, концентрационное поле в расплаве не зависит от возмущения формы границы и соответствует, начальному распределению концентрации, а морфологическая неустойчивость границы определена только процессами теплопереноса. При изотермическом ^^атвердеваиии учет локально-неравновесного диффузионного переноса вещества определяет предельную границу области существования морфологической (нс)устойчивости, равную диффузионной скорости Ур.

4. Рассмотрены квазистационарные формы роста в поле локально-неравновесной диффузии, соответствующие нзоконцентрациошюй поверхности затвердевания. Показано, что в общем случае при У < \'ю изоконцентрационная поверхность затвердевания описывается уравнением эллиптического параболоида. Получено выражение для распределения

концентрации второго компонента вокруг нараболоидальной поверхности затвердевания. При У > Ур получепо, что концентрация однородна, равна исходной (номинальной) концентрации и не накладывает ограничений па возможные формы роста. Рассмотрены частные случаи изокопцептрациопных форм роста, следующие из общего решения: параболоид вращения, параболический цилиндр, параболическая пластина и затвердевание с плоской границей.

5. Построена модель неизотермического высокоскоростного роста вершины дендрита, учитывающая эффект релаксации диффузионного потока примеси в о&ьеме расплава. Модель предсказывает переход к бездиффузионному режиму затвердевания ствола дендрита при' V > Ур. При V = У о этот переход сопровождается скачкообразным изменением угла наклона кинетической кривой "скорость роста вершины У - полное переохлаждение ДТ", окончанием перехода к полностью бездиффузионному затвердеванию и началом термически контролируемого роста.

6. Сравнение результатов численных расчетов по модели локально-неравновесного дендритного роста с экспериментальными данными показывает, что модель удовлетворительно описывает экспериментальную зависимость "скорость У - переохлаждение ДТ"' и "радиус вершины К -переохлаждение ДТ" во всем диапазоне экспериментально исследованного переохлаждения для различных бинарных сплавов.

7. На основе моделирования с использованием модели двухфазной среды определен морфологический спектр кристаллических квазистационарных структур. С увеличением переохлаждения ДТ (или скорости V) в изотермически затвердевающем сплаве этот спсктр представлс!^ последовательностью "плоская граница —+ мелко-ячеистая структура

развитые низкоскоростныс ячейки -4 дендриты —► ячейки с локальным дендритным переходом —» высокоскоростная плотная ячеистая структура —► плоская граница с почти безизбирательным затвердеванием —^ плоская граница с бездиффузионпым затвердеванием". В неизотсрмически затвердевающем сплаве изучены особенности формирования кристаллической структуры с увеличением исходного

переохлаждения при диффузиопно-лимитируемом росте (V << Vp), диффузионно- и термически- контролируемом росте кристаллон [V ~ Vp) и полностью термически контролируемом росте (К > Vp). Показано, что при достижении границей диффузионной скорости V — Vp происходит переход от диффузионно- и термически- контролируемого роста к бездиффузиоиному затвердеванию, определяемому процессами тсилопереноса в объеме фаз и кинетическими эффектами на поверхности раздела.

8. При использовании результатов численного моделирования получены ^-различные типы фрактальных структур, формирующихся при ЩРвысокоскоростном затвердевании с изотропными физическими свойствами

границы раздела жидкой и твердой фаз. При двухмерном моделировании с помощью модели граничного интеграла и модели двухфазной среды показано, что разделение вершин ячеек (дендритов) ведет к формированию дублонной структуры. Для трехмерного моделирования с помощью модели фазового поля показано, что разделение вершин ветвей дендритов приводит к образованию триплетной фрактальной структуры.

9. Результаты численного моделирования количественно протестированы по отношению к результатам экспериментов. Получено удовлетворительное согласие модели фазового поля с данными по затвердеванию переохлажденных капель в установках электромагнитной левитации. Получено удовлетворительное согласие модели двухфазной среды с данными по перекристаллизации поверхностных слоев при лазерной закалке.

Основное содержание диссертации изложено в публикациях: ^^{онографии:

1. Galenko Р.К., Zhuravlev V.A. Physics of Dendrites. - Singapore: World Scientific, 1994. -210 pp.

2. Herlach D., Holland-Moritz D., Galenko P., Wick A., Sclbstorganisation und Strukturbildung. - Bochum: Ruhr-Universität Bochum, Fakutlät für Physik und Astronomie, 2005. - 215 pp.

3. Herlach D.M., Galenko P.K., Holland-Moriz D. Metastable solids from undcrcooled melts. - Amsterdam: Elsevier, 2006. - 358 pp.

Статьи:

1. Галспко П.К. Компьютерные модели дендритного затвердевания // Сб. "Кристаллизация и компьютерные модели". Ред. В.А. Журавлев.

- Ижевск: Удмуртский госуниверситст, 1992. -С.19-34.

2. Галенко П.К. Эффект диффузионной релаксации при высокоскоростной кристаллизации бинарного сплава // Кристаллография. - 1993. - Т. 38. - №6. - С. 238-242. (

3. Галенко П.К., Толочко О.В. Динамика дендритной кристаллизации аморфной структуры в системе никель-цирконий // Физика и химия стекла. - 1993. Т. 19. - №2. - С. 307-315.

4. Галенко П.К. Самосогласованная задача кинетики локально-неравновесной кристаллизации аморфной структуры // Сб. "Проблемы исследования структуры аморфных материалов". Ред. В.А. Журавлев. - Ижевск: Удмуртский госуниверситет, 1993. -С.75-92.

5. Galenko P.K. Local-nonequilibrium phase transition model with relaxation of the diffusion flux // Physics Letters A. - 1994. V. 190. - JV« 3-4. P. 292-294.

6. Галенко П.К. К феноменологической теории локально-неравновесной кристаллизации сплавов // Доклады Академии Наук. - 1994. - Т. 334.

- № 4. - С. 707-710. ^

7. Галенко П.К. Об условиях развития диффузионного переохлаждения при локально неравновесной кристаллизации сплавов // Журнал Технической Физики. - 1995. - Т. 65. № 11. - С. 110-119.

8. Александров Д.А., Мансуров В.В., Галенко П.К. Морфологическая устойчивость плоской границы раздела фаз бинарного расплава в процессах высокоскоростной кристаллизации // Доклады Академии Наук. - 1996. - Т. 351. № 1. - С. 37-39.

9. .Данилов Д.А., Галсико П.К. Моделирование высокоскоростного затвердевания бинарной системы: движение плоской поверхности раздела фаз // Труды Удмуртского госупиверситета. - 1997. - .V 4. С. 32-39.

10. Galcnko P., Sobolev S. Local nonequilibrium effcct on undercooling in . rapid solidification of alloys // Physical Review E. - 1997. - V. 55. .V' 1.

- P. 343-352.

11. Galenko P.K., Krivilyov M.D., Buzilov S.V. Bifurcations in a sidebranch surface of a free-growing dendrite // Physical Review E. - 1997. - V. 55.

1 № 1. - P. 611-619.

12. Galenko P.K., Danilov D.A. Local nonequilibrium effect on rapid dendritic growth in a binary alloy melt // Physics Letters A. - 1997. - V. 235. № 3. - P. 271-280.

13. Galcnko P.K., Krivilyov M.D. Crystal pattern formation under local nonequilibrium solidification // In: Fractal Frontiers. Edited by M.M. Novak and T.G. Dewey. - Singapore: World Scientific, 1997. - P.411-419.

14. Alexandrov D.A., Mansurov V.V., Galenko P.K. Dynamic Instability of Rapid Solidification Fronts. In: Mathematics of Heat Transfer. Eds. Tupholme G.E. and Wood A.S. - Oxford, England: Oxford University Press, 1998. - P. 53-61.

15. Galenko P.K., Danilov D.A. Model for free dendritic alloy growth under к interfacial and bulk phase nonequilibrium conditions // Journal of Crystal * Growth. - 1999. - V. 197. - P. 992 -1002.

16. Кривилев М.Д., Галепко П.К. Программный комплекс для моделирования кристаллического структуре образования в переохлажденных бинарных сплавах. Ижевск: "Удмуртский университет". 1999. - 59 с.

17. Галенко П.К., Кривилев М.Д.. Емельянов К.В. Бифуркации в структуре свободно растущего дендрита при затвердевании бинарной

системы // Изв. вузов: Прикладная нелинейная динамика. - 1999. -Т.7. - № 2/3. - С.122-136.

18. Галснко П.К., Кривилев М.Д., Ладьянов В.И., Осетров М.В. Кристалличсское структурообразование при локально неравновесном затвердевании сплава в процессе закалки из жидкого состояния методом сгшннингования // Рукопись депонирована в ВИНИТИ (.Vf 827-ВОО, 1999 г) 45 с.

19. Галенко П.К., Данилов Д.А. Квазистационарные формы роста кристаллов при локально-неравновесной диффузии примеси // Инженерно-физический журнал.— 2000.— Т. 73.— N 6. — С. 1278-( 1288. -

20. Galenko Р.К., Danilov D.A. Selection of the dynamically stable regime of rapid solidification front motion in an isothermal binary alloy // Journal of Crystal Growth. - 2000.- V. 216,- P. 512-536.

21. Galenko P.K., Danilov D.A. Steady-state shapes of growing crystals in the field of local nonequilibrium diffusion // Physics Letters A. — 2000. — V. 272. - P. 207-217.

22. Galenko P.K., Danilov D.A. Hyperbolic self-consistent problem of heat transfer in rapid solidification of supercooled liquid // Physics Letters A. - 2000. V. 278. - P. 129-138.

23. Galenko P.K., Krivilyov M.D. Model for isothermal pattern formation of growing crystals in undercooled binary alloys // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2000. V. 8. - P. 67-80.

24. Galenko P.K., Krivilyov M.D. Modelling of crystal pattern formation isothermal undercooled alloys // Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering. - 2000. V. 8. P. 81-98.

25. Галенко П.К., Кривилев М.Д. Изотермический рост кристаллов в переохлажденных бинарных сплавах // Математическое моделирование. 2000. Т.12. Ж11. С.17 37.

2G. Галенко П.К., Кривилев М.Д. КоЕ)счно-разиостная схема для моделирования кристаллического структурообразования

и переохлажденных бинарных сплавах // Математическое моделирование. 2000. - Т.12. - Л"'.12. - С.11-23.

27. Danilov D.A., Galcnko Р.К. Hyperbolic heat transfer in rapid solidification of supercooled liquids. In: Heat-Mass Transfer MIF-2000. Volume 5: Heat-mass transfer in two-phase systems. - Minsk: Belarus National Academy of Sciences, 2000. - P. 418 428.

28. Galenko P. Phase-field model with relaxation of the diffusion flux in nonequilibrium solidification of a binary system // Physics Letters A. - 2001. - V. 287. - P. 190-197.

29. Galenko P. Boundary integral method for modeling of pattern formation in nonequilibrium systems. // In: Frontiers in Materials Science. -Trieste, Italy: International Centre for Theoretical Physics, 2001. - P. 23-33.

30. Галенко П.К., Кривилев М.Д., Ладьянов В.И., Осетров М.В. Применение модели локально неравновесного затвердевания к процессу кристаллиеского структурообразования при высокоскоростной закалке расплавов спиннингованием // Кристаллография. - 2001. - Т.46. - Ж2. - С.354-355.

31. Kolbe M., Cao C.D., Galenko P.K., Letzig T., Gorier G.P., Wei В., Herlach D.M. Phase morphology of undercoolcd Cu-Co alloys in the metastable miscibility gap. // In: Science of Metastable and Nanocrys-talline Alloys: Structure, Properties and Modelling. Edited by: A.R. Di-nesen et al. - Roskilde, Denmark: Ris0 National Laboratory, 2001. - P.

| 289-294.

32. Kolbe M., Cao C.D., Galenko P.K., Fransaer J., Herlach D.M. Dynamics of solidification and microstructure evolution in undercoolcd Co-Cu alloys with metastable miscibility gap. // In: Fundamentals of Advanced Materials for Energy Conservation. Edited by: D. Chandra and R.G. Bautisuta. Warrcndale, Pennsylvania, USA: TMS. 2002. - P. 539-553.

33. Галенко П.К., Харанжевский Е.В., Данилов Д.А. Структура и механические свойства конструкционной стали при лазерной

высокоскоростной перекристаллизации' // Физика металлов и металловедение. - 2002. - Т. 94,- № 2. - С. 100-110.

31. Галснко П. К., Харапжевский Е.В., Данилов Д. А. Высокоскоростная кристаллизация конструкционной стали при лазерной обработке поверхности // Журнал Технической Физики — 2002. — Т. 72. --№ 5. — С. 48-55.

35. Данилов Д. А., Галенко П.К. Динамическая устойчивость движения высокоскоростного плоского фронта затвердевания // Поверхность.

- 2002. - № 3. - С. 42-49.

36. Galenko P.K. Chaos and ordering in dendritic pattern of a solidifying system // In: Spatiotemporal Chaos. - Trieste, Italy: International Centre for Theoretical Physics, 2002. - P. 45-57.

37. Galcnko P. Extended thermodynamical analysis of a motion of the solidliquid interface in a rapidly solidifying alloy // Physical Review B. - 2002.

- V. 65. - P. 144103-1-11.

38. Danilov D. A., Galenko P.K. Hyperbolic problem of heat transfer in rapid solidification of supercooled liquids // Heat Transfer Research. - 2003. V. 34. - No. 1-2. - P. 46-58.

39. Galenko P.K., Herlach D.M. Theoretical modeling of dendritic growth in one-component systems // In: Proceedings of European Space Agency Meetings: MAP 023 - NEQUISOL. Edited by D.M. Herlach. - Noordwijk, Holland: ESA Publishing, 2003. - P. 23-38.

40. Wang J., Gronski W., Friedrich С., Galenko P., Herlach D.M. Universal viscosity feature in spinodal decomposition under shear flow // In: Inter" facial and Transport Dynamics. Computational Modelling. Editors: H. Emmerich, B. Nestler, and M. Schrcckenberg. - Berlin: Springer, 2003. -P. 249-254.

41. Krivilyov M.D., Galcnko P.K., Sekulic D.P. Modeling of Al-Si alphaphase crystal pattern formation during aluminum brazing // In: Brazing, High Temperature Brazing and Diffusion Welding. Edited by D. von Hofe and E. Lugscheider. Düsseldorf: DVS, 2004. P. 126-129.

42. Herlach D.M., Funke O., Phanikumar G., Galenko P. Rapid dendrite growth in undercoolcd melts: experiments and modeling // In: Solidification Processes and Microstructurcs. Edited by: M. Rappaz, C. Bccker-mann, and R. Trivedi. -- Warrendale, Pennsylvania, USA: TMS, 2004. -P. 277-288.

43. Galenko P.K. Rapid advancing of the solid-liquid interface in undercoolcd alloys // Materials Science and Engineering A. - 2004. - V. 375-377. -P. 493-497.

44. Galenko P.K., Funke O., Wang J., Herlach D.M. Kinetics of dendritic growth under the influence of convective flow in solidification of under-cooled droplets // Materials Science and Engineering A. - 2004. - V. 375-377. - P. 488-492.

45. Haranzhevskiy E.V., Danilov D.A., Krivilyov M.D., Galenko P.K. Structure and mechanical properties of structural steel in laser rcsolidification processing // Materials Science and Engineering A. - 2004. V. 375-377. - P. 502-506.

46. Kolbe M., Cao C.D., Lu X.Y., Galenko P.K., Wei B., Herlach D.M. Solidification behaviour of undercooled Co-Cu alloys showing a metastable miscibility gap // Materials Science and Engineering A. - 2004. - V. 375-377. - P. 520-523.

47. Kolbe M., Liu X.R., Volkmann T., Rostel R., Galenko P.K., Eggelcr G., Wei B., Herlach D.M. Interaction of solid ceramic particles with a dendritic solidification front // Materials Science and Engineering A. -2004. V. 375-377. P. 524-527.

^^48. Galenko P.K., Herlach D.M. Modeling of dendritic growth in undercooled melts: Application to solidification of a Ni-Zr system // In: Proceedings of European Space Agency Meetings: MAP 023 - NEQUISOL. Edited by D.M. Herlach. - Noordwijk, Holland: ESA Publishing, 2004. - P. 12-25.

49. Galenko P.K., Herlach D.M., Funke O., Phanikumar G. Phase-field mod-cling of dendritic solidification: Verification for the theoretical predictions with latest experimental data // In: Solidification and Crystallization. Editor: D.M. Herlach. - Weinhcim: Wilcy-VCH, 2004. - P. 52-60.

50. Galenko P. Morphological transitions in crystal patterns at high solidification rates // In: Computational Modeling and Simulation of Materials III. Editor: P. Vincenzini. - Faenza, Italy: Techna Group Publishers, 2004. - P. 551-558.

51. Galenko P., Herlach D., Funke O., Phanikumar G. Phase-Field modeling of dendritic solidification in undercooled droplets // In: Computational Modeling and Simulation of Materials III. Editor: P. Vincenzini. - Faenza, Italy: Techna Group Publishers, 2004. - P. 565-574.

52. Кривялев М.Д., Галенко П. К. Моделирование дендритной кристаллизации в Al-Si сплавах при скоростной спайке //I Материаловедение. - 2004. -'№ 5. - С. 11-14.

53. Харанжевский Е. В., Кривилев М. Д., Данилов Д. А., Галенко П. К. Структура и механические свойства конструкционной стали при лазерной обработке поверхности с плавлением // Материаловедение. - 2004. - № 6. - С. 21-26.

54. Galenko Р.К., Danilov D.A. Linear morphological stability analysis of the solid-liquid interface in rapid solidification of a binary system // Physical Review E. - 2004. - V. 69. - P. 051608-1-14.

55. Krivilyov M.D., Galenko P.K. Effect of stochastic noise on dendritic structure in solidifying alloys // In: Fractals, Applied Synergetics and Structure Design. Editors: V.S. Ivanova, V.U. Novikov, and A.A. Okso-goev. - New York, USA: NOVApublishers, 2005. - pp. 201-210.

56. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformation in nonequilibrium systems // Physical Review E. - 2005. - V. 71. - P^ 046125-1-13.

57. Sekulic D.P., Galenko P.K., Krivilyov M.D., Walker L., Gao F. Dendritic growth in Al-Si alloys during brazing. Part 1: experimental evidence and kinetics // Int. J. Heat Mass Transfer. - 2005. - V. 48. • P. 2372-2384.

58. Sekulic D.P., Galenko P.K., Krivilyov M.D., Walker L., Gao F. Dendritic growth in Al-Si alloys during brazing. Part 2: computational modeling /'/

. Int. J. Heat Mass.Transfer. - 2005. - V. 48. - P. 2385-2396.

59. Nestler В., Danilov D., Galenko P. Crystal growth of pure substances: Phase-field simulations in comparison with analytical theories //J. Computational Physics. - 2005. - V. 207. - P. 221-239.

60. Галеико П.К. Модель высокоскоростного затвердевания как проблема неравновесных фазовых переходов // Вестник Удмурсткого госуниверситета. Серия: Физика. - 2005. - № 4. - С. 61-98.

61. Кривилев М.Д., Данилов Д.А., Харанжевский Е.В., Галенко П.К. Отбор микроструктуры при лазерной перекристаллизации конструкционной стали // Вестник Удмурсткого госуниверситета.

ф Серия: Физика. - 2005. - № 4. - С. 118-128.

62. Galenko Р.К., Herlach D.M. Fractals, morphological spectrum and complexity of interfacial patterns in non-equilibrium solidification // In: Complexux Mundi: Emergent Patterns in Nature. Edited by M.M. Novak. - Singapore: World Scientific, 2006. - P. 199-208.

63. Galenko P.K. A transition to diffusionless growth of crystal microstructure in rapid solidification // In: Solidification and Gravity. Edited by A. Roosz. - Aedennmansdorf: Trans Tech Publications, 2006. - P. 19-25.

64. Galenko P.K., Herlach D.M., Phanikumar G., Funke O. Phase-field modeling of dendritic solidification in undercooled droplets processed by electromagnetic lévitation // In: Solidification and Gravity. Edited by A. Roosz. - Aedennmansdorf: Trans Tech Publications, 2006. - P. 431-436.

65. Jou D., Galenko P. Fluctuations and stochastic noise in systems with hyperbolic mass transport // Physica A. - 2006. - V. 365. - № 1. - P.

ф 125-134.

66. Галенко П.К., Херлах Д.M. Бездиффузионный рост кристаллов в эвтектической системе при высокоскоростном затвердевании // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2006. - JV' 7. - принято к публикации.

67. Herlach D.M., Galenko P.K. Rapid Solidification: In situ diagnostics and theoretical modelling // Materials Science and Engineering A. - 2006. -accepted for publication.

68. Galenko P.K, Phanikumar G., Funke О., Chernova L., Reutzel S., Kolbe M., Herlach D.M. Dendritic solidification and fragmentation in under. cooled Ni-Zr alloys // Materials Science and Engineering A. - 2006. -

accepted for publication.

69. Galenko P.K, Herlach D.M. Diffusionless crystal growth in rapidly solidifying eutectic systems // Physical Review Letters. - 2006. - accepted for publication.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ландау Л.Д., К теории фазовых переходов // ЖЭТФ 7.-С. 19-39.

[2] Cahn J.W., Hillard J.E., Free energy of non-uniform system. I. - Interfacial free energy // J. Chem. Phys. - 1958. - V. 28. - P. 258-267.

[3] Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S.-K., Renormalization group methods for critical dynamics: I. Recursion relations and effects of energy conservation // Phys. Rev. В - 1974. - V. 10. - P. 139-153.

[4] Morfill G.E. , Khrapak S.A., Ivlev A.V., Klumov B.A., Rubin-Zuzic M., Thomas H.M., From fluid flows to crystallization: New results from complex plasmas // Physica Scripta. - 2004. - V. T107. - P. 59-78.

[5] Andreev A.F., Parshin A.Y., Equilibrium shape and oscillations of the surface of the quantum crystals // Sov. Phys. JETP. - 1978. - V. 48. -jfr 763-76è. ™

[6J Keshishev A.Y., Parshin A.Y., Babkin A.V., Experimental detection of crystallization waves in He // Sov. Phys. JETP. - 1990. - V. 30. - P. 56-59.

[7] Rotstein H.G., Brandon S., Novick-Cohen A., Nepomnyashchy A., Phase-field equations with memory // SIAM J. Appl. Math. - 2001. - V. 62. -P. 264-282. :

. - 1937. - Том

[8] Jou D., Casas-Vazquez J., Lcbon G., Extended Irreversible Thermodynamics, 2nd Ed. - Berlin: Springer, 199G. - 383 pp.

|9| Hcrlach D.M. Nonequilibrium solidification of undcrcooled melts // Materials Science Engineering. - 1994. - V. R12. No. 4-5. - P. 177-272.

[10] Willnecker R., Hcrlach D.M., Fcucrbachcr B., Grain refinement Induced by a critical crystal growth velocity in undcrcooled melts // Appl. Phys. Lett. - 1990. - V. 56. - P. 324-326.

jllj Kurz W., Fisher D.J. Fundamentals of Solidification, 3rd Ed.- Aeder-' mannsdorf, Trans Tech Publications, 1992. - 484 pp.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 07.03.2006. Тираж 100 экз. Заказ № 595. Типография ГОУ ВПО "Удмуртский государственный университет" 426034, г.Ижевск, ул. Унивег:итетская, 1, корп. 4.

Введение

1 Проблема неравновесных фазовых переходов

1.1 Предыстория проблемы.

1.2 Описание системы.

1.2.1 Термодинамические переменные.

1.2.2 Время релаксации.

1.3 Энтропийное описание.

1.3.1 Обобщенное уравнение Гиббса.

1.3.2 Баланс энтроиии.

1.4 Гиперболическая модель фазового поля.

1.4.1 Функционал энтропии.

1.4.2 Определяющие уравнения и термодинамическая согласованность.

1.5 Обобщенная модель фазового поля.

1.5.1 Релаксационные функции для потоков.

1.5.2 Вариационный принцип и уравнения Лагранжа-Эйлера

1.6 Сопоставление с существующими моделями.

1.7 Краткие выводы и постановка задач исследования.

2 Модели высокоскоростных превращений

2.1 Модели резкой границы.

2.1.1 Задача о движении свободной границы.

2.1.2 Метод граничного интеграла.

2.2 Модели диффузной границы.

2.2.1 Модель фазового поля.

2.2.2 Модель двухфазной среды

2.3 Краткие выводы.

3 Модель высокоскоростного затвердевания

3.1 Отклонение от локального равновесия и уравнения переноса

3.1.1 Неравновесный захват примеси.

3.1.2 Кинетический ликвидус.

3.2 Режимы движения границ.

3.2.1 Динамическая устойчивость.

3.2.2 Морфологическая устойчивосгь

3.3 Формы роста кристаллов.

3.4 Модель дендритного затвердевания.

3.5 Краткие выводы.

4 Кинетика высокоскоростного затвердевания

4.1 Сопоставление модельных предсказаний с экспериментом

4.1.1 Затвердевание с плоской границей фаз

4.1.2 Затвердевание с дендритной границей фаз.

4.1.3 Многофазное затвердевание.

4.2 Эффекты, влияющие на формирование структуры и кинетику затвердевания.

4.2.1 Отбор структуры.

4.2.2 Влияние конвекции и малых концентраций примеси

4.3 Морфологические переходы.

4.4 Бездиффузионный рост.

4.5 Краткие выводы.

5 Моделирование структуры материалов

5.1 Структурообразование из переохлажденного состояния

5.1.1 Плавление и затвердевание капель при электромагнитной левитации.

5.1.2 Плавление и затвердевание при диффузионной спайке

5.2 Структурообразование при направленном затвердевании

5.2.1 Перекристаллизация при лазерной закалке.

5.2.2 Затвердевание при закалке из жидкого состояния меюдом спиннингования

5.3 Краткие выводы.

Теория фазовых переходов [1-3] сформулирована для неравновесных систем вблизи термодинамического равновесия. Существующее обобщение теории, выполненное, например, с использованием суперсимметричной теории поля [4], также рассматривает эволюцию систем, находящихся в локальном равновесии [5].

В течение последних трех десятилетий накоплен обширный экспериментальный материал по высокоскоростным фазовым переходам, из которого следует, что многие метастабильные системы имеют способность претерпевать превращения вдали от термодинамического равновесия, когда нарушаются условия локального равновесия в сисгеме. Например, поведение сложной (пылевой) плазмы характеризуется локально-неравновесными условиями [6]. Поверхностные осцилляции квантовых кристаллов [7] или кристаллизационные волны в гелие [8] могут быть описаны моделью с релаксацией параметра порядка к локальному равновесию [9]. Спинодальный распад при интенсивной закалке может быть описан моделью с релаксацией системы к локальному термодинамическому равновесию [10].

Для описания локально-неравновесных систем используется формализм расширенной термодинамики необратимых процессов [11]. Он устанавливает связь феноменологического и микроскопического описания локально-неравновесных систем. Формализм [11] имеет приложения в разделах физики гомогенных твердых и вязко-упругих сред, физики полимеров, в космологических задачах и химической кинетике. В настоящее время существует проблема самосогласованного описаиия сильно неравновесных фазовых превращений в рамках термодинамической теории необратимых процессов.

Характерным примером фазовых переходов в локально-неравновесных средах является высокоскоростное затвердевание металлических систем и сплавов. В современных экспериментах достигаются переохлаждения до 450 К и скорости роста до 100 м/с [12]. Такие переохлаждения являются движущей силой затвердевания, обеспечивая высокие скорости роста кристаллов. Поэтому была сформулирована идея, что высокоскоростное затвердевание протекает в локально неравновесных условиях на границе раздела фаз [13, 14]. Для обеспечения высоких скоростей роста необходимо значительное переохлаждение на границе, имеющее кинетическую природу (см. обзор [15]). Неравновесный захват примеси приводит к отклонению от равновесия химической природы [16].

Эксперименты также показывают наличие изломов на кинегических кривых "скорость V роста кристаллов - переохлаждение ДТ"' [12,13]. Механизм затвердевания резко изменяется при фиксированном критическом переохлаждении (для сплавов критическое переохлаждение находится в интервале «180-250 К). При этом переохлаждении экспериментальная кинетическая кривая " V—ДТ"' изменяется со степенной функции V ~ ДТ3 на линейную функцию V ~ ДТ. В кристаллической микроструктуре происходит резкий переход от химически разделительного затвердевания к затвердеванию с образованием пересыщенного твердого раствора с исходным (номинальным) химическим составом сплава. Такие изломы в кинетике высокоскоростного роста могут быть обусловлены кинетическим фазовым переходом, связанным с началом бездиффузионного затвердевания. Поэтому следующим приближением теории явилось принятие условия отсутствия локального равновесия в диффузионном поле фаз около фронта высокоскоростного затвердевания [17-19]. Действительно, как следует из анализа экспериментальных данных [12,13], при затвердевании глубоко переохлажденного расплава достигаются скорости роста, сопоставимые или превышающие по величине скорость диффузионного распространения компонентов затвердевающей системы. Это обстоятельство указывает на необходимость более полного учета отклонения от локального равновесия в глубоко переохлажденной системе. Поэтому актуальной проблемой физики конденсированных сред и материаловедения является разработка локально-неравновесного подхода к процессам высокоскоростного затвердевания, который учитывает отклонение от локального равновесия как на границе раздела фаз, так и в иоле диффузионного массопереноса компонентов системы. Эта проблема может быть решена в рамках термодинамически согласованного описания неравновесных фазовых превращений.

В этой связи в настоящей работе рассмотрена проблема неравновесных фазовых переходов. Описана модель высокоскоростного перехода как одно из решений проблемы неравновесных фазовых переходов. Основной целью диссертационной работы является формулировка модели высокоскоростного затвердевания как частного решения проблемы неравновесных фазовых переходов, а также анализ высокоскоростных режимов движения фазовой границы и решение частных задач формирования кристаллической структуры в металлических системах аналитическими и численными методами.

Цель работы - формулировка модели высокоскоростного затвердевания как частной проблемы неравновесных фазовых переходов, анализ высокоскоростных режимов движения фазовой границы и решение ряда задач формирования кристаллической структуры в металлических системах аналитическими и численными методами.

В работе решались следующие основные задачи:

1. формулировка модели высокоскоростных фазовых превращений в неравновесных системах;

2. формулировка моделей высокоскоростных фазовых превращений с резкой и диффузной фазовой границей для бинарных неизотермических сисхем;

3. аналитическое изучение высокоскоростных режимов затвердевания для плоской, параболической и параболоидальной фазовых границ;

4. анализ динамических режимов движения и морфологической устойчивости высокоскоростной границы раздела фаз;

5. формулировка модели неравновесного дендритного роста для количественной оценки высокоскоростных режимов затвердевания;

6. численное моделирование высокоскоростного затвердевания для моделей с резкой и диффузной фазовыми границами;

7. сравнение результатов численных расчетов с экспериментальными данными по кинетике высокоскоростного затвердевания и кристаллической структуре однокомпонентных и бинарных металлических систем.

В итоге обобщен и проанализирован ряд теоретических и экспериментальных результатов высокоскоростного затвердевания, полученных в течение последних двадцати лет [20]. Результаты аналитического и численного анализа сопоставлены с экспериментальными данными по высокоскоростному затвердеванию. Научная новизна

1. Впервые сформулирована самосогласованная модель высокоскоростных неравновесных фазовых переходов на основе термодинамики необратимых процессов.

2. Впервые развита модель высокоскоростного фазового превращения в диффузной границе на основе представления о фазовом поле.

3. Впервые сформулирована проблема высокоскоростного затвердевания как частная проблема высокоскоростных фазовых переходов.

4. Впервые решены задачи высокоскоросного затвердевания для случая, когда скорость движения поверхности раздела "кристалл-жидкость" становится сопоставимой или большей скорости диффузии вещества.

5. Впервые аналитически показано, что при скорости фазовой границы, равной или большей скорости диффузии, наступает бездиффузионное затвердевание в бинарной системе. Этот эффект определен для изотермического и неизотермического затвердевания с плоской и дендритной границами раздела жидкой и твердой фаз.

6. Впервые аналитически найдены квазистационарные формы роста в условиях локально неравновесной диффузии вещества. На основе этих аналитических решений развита модель высокоскоростного роста вершины дендрита в переохлажденном расплаве. Дапо объяснение перехода от диффузионно-контролируемого к термически- и кинетически-контролируемому росту кристаллических структур.

7. Рзработаны численные алгоритмы и найдены численные решения неизотермического высокоскоростного затвердевания бинарных систем. Показано, что выводы аналитических решений и результаты расчетов по численным моделям удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными по затвердеванию металлических систем, включая область высоких значений переохлаждения и скоростей роста кристаллов.

Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов, сформулированных в диссертации. Достоверность основных положений и выводов диссертации обеспечивается: (а) теоретическими выводами, следующими из положительного значения функции производства энтропии, а также согласованностью проведенного анализа с выводами флуктуационно-диссипативной теоремы; (Ь) использованием классических апробированных методов решения задач математической физики (метод Лапласа, метод граничного интеграла, метод вариаций, операционный метод, метод функций Грина, метод разделения переменных, метод возмущений); (с) использованием вычислительных методов, следующих из найденных критериев устойчивости численных схем (например, необходимые условия устойчивости по фон Нейману); (d) удовлетворительным согласованием полученных в работе теоретических результатов с собственными и литературными экспериментальными данными по высокоскоростному затвердеванию металлических систем и расплавов.

Практическая ценность работы

1. Сформулированная и развиваемая модель высокоскоростных неравновесных фазовых переходов в бинарных системах обобщена для решения актуальной проблемы сильно неравновесных превращений в многокомпонентных системах, а также для описания релаксационных явлений или систем с фазовым расслоением, в частности, для спинодалыюго распада в метастабильных жидкостях.

2. Сформулированная модель высокоскоростного затвердевания на основе развиваемой модели фазовых превращений использована для описаная затвердевания с плоским фронтом и дендритного затвердевания. Модель может также быть расширена на случай многофазного затвердевания, например, для затвердевания с выделением эв'хектик, иеритектик, монотектик, интерметаллидов.

3. Полученные результаты позволяют использовать их при разработке экспериментальных технологий получения новых материалов при объемном и поверхностном затвердевании в процессах лазерной и электронной обработки, закалке из жидкого состояния, электромагнитной, электростатической и акустической левитации, сварке и спайке.

4. Разработанные алгоритмы и компьютерные программы численных решений неизотермического затвердевания сплавов могут быть адаптированы для прогнозирования структуры и состава фаз в экспериментальных технологиях.

5. На основе полученных в работе решений показана возможность предсказать механические свойства материалов в зависимости от технологических параметров процесса затвердевания.

6. Сформулированные модели высокоскоростного затвердевания могут применяться для достижения учебно-научных целей при построении диаграмм формирования микроструктуры сплавов, кинетических и метастабильных фазовых диаграмм бинарных систем.

Автор защищает:

- локально-неравновесный формализм для описания высокоскоростных фазовых превращений;

- модели высокоскоростных фазовых переходов;

- модели высокоскоростного затвердевания;

- выводы из аналитических решений моделей высокоскоростного затвердевания (в частности, анализ перехода к бездиффузионному затвердеванию);

- численные алгоритмы и решения задач высокоскоростного затвердевания; результаты оригинальных экспериментальных работ по высокоскоростному затвердеванию (меюды электромагнитной левитации, лазерной обработки поверхности материалов, высокотемпературной спайки соединений с закалкой).

Выполнение работы. Работа выполнена в Институте космического моделирования при немецком аэрокосмическом центре и на физическом факультете Удмуртского государственного университета (УдГУ) по планам развития Европейского Космического Агенства, образования и науки в УдГУ, в т.ч. проектам Nonequihbrium multi-phase transformations: eutec-tic solidification, spinodal decomposition and glass formation (Grantee: European Space Agency, 2005. ESA AO-2004; Program "Life and Physical Sciences and Applied Research", ESTEC Project No. MSM-GA/2005-029); Mod-ellierung dendritischen Wachstums und Fragmentierung von Dendriten in Schmelzen (Grantee: DFG-Deutsche Forschungsgemeinschaft; Schwerpunktpro-gramm 1120, Phasenumwandlungen in mehrkomponentigen Schmelzen, 2001. Project No. HE 1601/13); Non-Equilibrium Solidification, Modelling for Micro structure of Alloys (Grantee: European Space Agency, 2001. MAP-Project No. A 98/99-023, ESTEC Contract No. 15236/02/NL/SH); Modeling of Joint Formation in Aluminium Brazing (Grantee: NSF - National Science Foundation, USA, 2001. Grant No. NSF DMT-9908319); Undercooling and Demix-ing of Cu-Co Alloys (2000, Project of Institut fiir Raumsimulation, DLR, 51170 Koln, Deutschland); Partikel-Dynamik wahrend der dendritischen Er-starrung unterkiihlter Metallschmelzen (2000, Project of Institut fiir Raumsimulation, DLR, 51170 Koln, Deutschland und Ruhr-Universitat Bochum); Dendritic solidification in undercooled melts: theory, modelling and experimental tests (2000, Grantee: Alexander von Humboldt Foundation, Research Program No. IV RUS 1068584); грантам Единый подход к описанию фрактальных и дендитных структур: Теория и моделирование (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1998, No. 97-0-14.3-13); Применение модели локально-неравновесного затвердевания к формированию кристаллической структуры в процессе лазерной обработки поверхностей (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1998, No. 97-24-7.1-9); Теоретическое исследование и компьютерное моделирование двухфазной зоны при затвердевании сплавов (Грант Министерства общего и специального образования Российской Федерации, 1997, No. 97-21); Исследование высокоскоростных фазовых переходов в неравновесных системах (Грант Российского Фонда фундаметальных исседований, 1997, No. 97-02-26632); Моделирование формирования дендритной структуры при затвердевании расплавов (Гранты Международного научного фонда Сороса, No. Н7К000 (1994), No. J5F100 (1995)); Моделирование формирования кристаллической структуры при высокоскоростных фазовых переходах в металлических сплавах (Грант Российского Фонда фундаметальных исседований, 1994, No. 94-02-03477-а).

Личный вклад диссертанта: формулировка моделей, постановка общих и конкретных задач, определение методов и путей решения, поиск аналитических и численных решений, анализ теоретических результатов в сопоставлении с данными эксперимента, формулировка основных положений и выводов.

Апробация работы. Результаты работы доложены и обсуждены на 42 международных и 16 российских и всесоюзных конференциях, семинарах, школах, симпозиумах и совещаниях: IV Всесоюзной конференции "Проблемы исследования структуры аморфных материалов" (Ижевск, 1992); Российском семинаре "Машинное моделирование структуры сгекол и расплавов" (Новгород, 1992); 8-й Всесоюзной конференции по росту кристаллов (Харьков, 1992); V, VI Международной конференции "Кристаллизация и компьютерные модели" (Ижевск, 1992, 1994); XXXVII Международном семинаре по компьютерному моделированию дефектов структуры и свойств конденсированных сред (Ижевск, 1994); Workshop on parallel processing and its applications in physics, chemistry arid material science (Trieste, Italy, 1994); College on Computational Physics (Trieste, Italy, 1995); Российском семинаре "Структурная наследственность в процессах сверхбыстрой закалки из жидкого состояния" (Ижевск, 1995); 2, 3 и 4 Российской университетско-академической научно-практической конференции (Ижевск, 1995, 1997, 1999); Международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений и переноса в конденсированных системах" (Тверь, 1996); IV, IX Conference "Fractals" (Denver, Colorado, USA, 1997; Vienna, Austria, 2006); Conference "Mathematics of Heat Transfer" (Bradford, England, 1998); Российской конференции "Моделирование технологий, экспертных и контрольных систем в процессах тепло-массонереноса" (Екатеринбург, 1998); Уральской школе "Фундаментальные проблемы физического металловедения перспективных метериалов" (Ижевск, 1998); 5 Международной школе "Хаос-98" (Саратов, 1998); Междисциплинарном семинаре "Фракталы и прикладная синергетика" (Москва, 1999); IX Национальной конференции по росту кристаллов (Москва, 2000); 4 Международном форуме "Тепломассоперенос" (Минск, Беларуссия, 2000); Annual Meeting "Pattern Formation in Solidification" (Lexington, Kentucky, USA, 2000); 1, 2 und 3 Kolloquium des Schwerpunktprogramm 1120 der DFG "Phasenumwandlungen in mehrkomponentigen Schmelzen" (Physik Zentrum, Bonn, 2000; Bad Honnef, Deutschland, 2004; 2005); 65, 66, 67, 68, 69, 70 Physikertagung und Fruhjahrstagung der Arbeitskreises Festkorperphysik bei der DPG (Hamburg, 2001; Regensburg, 2002; Dresden, 2003; Regensburg, 2004, Berlin, 2005; Dresden, 2006; Deutschland); Topical DLR Seminar on Materials Research in Space and Microgravity (Koln, Deutschland, 2001, 2002, 2003, 2004); Workshop "Frontiers in Materials Science"(Trieste, Italy; 2001); 22nd Ris0 International Symposium on Materials Science (Roskilde, Denmark, 2001); 11th and 12th Conference "Rapily Quenched and Metastable Materials" (Oxford, England, 2002; Jeju, South Korea, 2005); TMS Annual Meetings "Fundamentals of Advanced Materials" (Seattle, Washington, USA, 2002);

Solidification Processes and Microstructures" (Charlotte, North Carolina, USA, 2004); Workshop "Spatiotemporal Chaos" (Trieste, Italy; 2002); 1, 2, 3 Workshops "Erstarrung und Simulation" (Karlsruhe, Deutschland, 2003, 2004, 2005); Всероссийской конференции "Высокопроизводительные вычисления и технологии" (Ижевск, 2003); Scientific Meeting CAESAR (Koln-Bonn, Deutschland, 2003); VI, VII Conferences EUROMAT (Lausanne, Switzerland, 2003; Prague, Chech Republic, 2005); European Space Agency Meetings on Nonequilibrium Solidification in Space (Noordwijk, Holland, 2003; 2004); Scientific Meeting "Complex Plasmas" (Ringberg, Bayern, Deutschland, 2003); Workshop "Modelling of Phase Transitions and Interface Dynamics Across the Length Scales" (Karlsruhe, 2004); 7th Conference on "Brazing, High Temperature Brazing and Diffusion Bonding" (Aachen, Deutschland, 2004); 3rd Conference "Computational Modeling and Simulation of Materials" (Acireale, Italy, 2004); 4-th Conference "Solidification and Gravity" (Miskolc, Hungary, 2004).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 58 докладах и тезисах конференций, 23 статьях в сборниках научных трудов, 17 статьях в российских реферируемых журналах, 27 статьях в зарубежных реферируемых журанлах, 1 депонированной рукописи ВИНИТИ, 1 учебном пособии, 3 монографиях. Всего по теме диссертации опубликовано 72 научных работы, ссылки на которые можно найти в списке литературы под номерами 10, 17-19, 55, 57, 64-66, 102, 103, 126, 134, 136-138, 141, 154, 156, 158-160, 168, 173-176, 158, 159, 189, 192-194, 198, 200, 201.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Работа изложена на 229 страницах, содержит 43 рисунка, 3 таблицы. В списке литературы приведено 205 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

Основные результаты и выводы представлены в виде следующих пунктов:

1. Сформулирована и развита модель диффузной границы для высокоскоростного фазового перехода в метастабильной бинарной системе. Для описания резкого, но непрерывного и гладкого дифференцируемого изменения фаз в пределах диффузной границы использован формализм модели фазового поля. Учитывается, что высокоскоростной фазовый переход происходит при отсутствии локального равновесия. Выведены эволюционные уравнения гиперболической модели с диссипацией. Сформулировано обобщение модели фазового поля введением функций памяти и с использованием вариционного принципа. Полученные уравнения модели соотнесены с моделями сверхпроводимости, фазового расслоения в жидкостях или структурной релаксации в стеклах, релаксации вязко-упругой среды, электронно-проводящей жидкости, движения антифазных границ, высокоскоростного затвердевания и реакционно-диффузионных систем.

2. С использованием методов расширенной термодинамики необратимых процессов проанализированы модели высокоскоростного фазового перехода. Были сформулированы и исследованы модель с резкой границей фаз (граница нулевой толщины) и модель с диффузной границей (граница конечной пространственной протяженности). Определены условия, при которых захват и анти-захват примеси существует в пределах диффузной границы.

3. На основе моделей высокоскоростного фазового перехода сформулирована модель неравновесного затвердевания. Выведены уравнения для функции k(V) неравновесного распределения компонентов бинарной системы на границе фаз и определено уравнение наклона m(V) линии ликвидуса в зависимости от скорости затвердевания V. Дан анализ кинетических кривых "скорость V - переохлаждение ДТ" и исследована морфологическая устойчивость границы затвердевания.

4. Представлена модель квазистационарного дендритного роста для бинарного сплава. Модель основана на локально неравновесном подходе к описанию процессов диффузии при высокоскоростном затвердевании [19] и учитывает отклонение от локального равновесия на дендритной поверхности и в диффузионном поле примеси. Принимая во внимание ограниченность скорости диффузии Vd в объеме расплава, модель предсказывает резкий переход к термически контролируемому радиусу вершины дендрита при конечной скорости, равной диффузионной скорости (V = Vd). В критической точке V = Vd вершина дендрита начинает расти с исходным химическим составом и происходит полный захват примеси.

5. Локально неравновесная модель затвердевания дает удовлетворительное описание кинетики высокоскоростного затвердевания. Это показано при удовлетворительном сопоставлении с данными экспериментов по кинетике высокоскоростного затвердевания с плоским фронтом и дендритной морфологией. Для демонстрации многофазного затвердевания представлена локально-неравновесная модель эвтектического роста. Полученное аналитическое решение показывает, что экспериментально обнаруженный переход от эвтектического затвердевания к затвердеванию с образованием гомогенных твердых растворов исходного состава сплава происходит при фиксированной конечной скорости затвердевания V = Vd

6. При высоких скоростях роста, сопоставимых со скоростью диффузии (У « Vd), и глубоких переохлаждениях происходят морфологические переходы в структуре кристаллов. Введение в модель затвердевания локально-неравновесной диффузии дает описание полного перехода от примесно (диффузионно) ограниченной стадии роста к термически контролируемому росту с полным подавлением диффузии и изломом кинетической кривой при V = Vb.

7. Моделирование параметров структуры материалов проведено с применением моделей резкой границы и диффузной границы. При закалке из жидкого состояния проанализирован переход к абсолютной устойчивости фронта затвердевания в тонких спиннингуемых лентах. Моделирование структуры при лазерной обработке дало возможность установить связь между параметрами процесса и механическими свойствами поверхностей. Проведено прогнозирование микроструктуры для процесса высокоскоростной лазерной перекристаллизации поверхности конструкционной стали. Для прогнозирования микроструктуры используется модель высокоскоростной кристаллизации, которая учитывает локальное неравновесие как на фронте кристаллизации, так и в поле диффузии. Анализ дендритной кристаллизации при разных переохлаждениях дан для процесса высокотемпературной спайки соединений. Был объяснен механизм изменения микроструктуры при увеличении скорости охлаждения в контактной зоне образцов. Проанализирован высокоскоростной рост и спонтанная фрагментация кристаллов при затвердевании капель в условиях электромагнитной левитации. Благодаря полученным результатам моделирования, использованию наземной техники левитации и экспериментам на международной космической станции решен ряд актуальных проблем высокоскоростного затвердевания для прогноза структуры материалов, получаемых в условиях микрогравитации на околоземной орбите.

7. Благодарности

Автор благодарит за плодотворное сотрудничество Д. Жоу и Д. Херлаха.

Написание данной работы стало возможно благодаря интенсивным дискуссиям и полезным обсуждениям с К. Бекерманном, Е.А. Бренером, М. Грасселли, Ф. Гэндхэмом, Дж. Лангером, А. Кармой, М. Колбе, Б. Нестлер, Э. Маллизом, М. Плаппом, Л. Ратке, X. Ротштайном, Д. Секуличем, С.Л. Соболевым, Д.Е. Тёмкиным, Б. Фоербахером, О. Функе, И. Штайнбахом и К. Эклером, за что автор всем им приносит свою благодарность.

Автор выражает признательность за многолетнюю поддержку научной работы В.А. Журавлеву.

За чтение и коррекцию текста диссертации, дискуссии и помощь в организации научных семинаров автор благодарит В.П. Бовина, В.М. Голода и В.Г. Лебедева.

Автор также выражает признательность своим студентам и аспирантам Д.А. Данилову и М.Д. Кривилёву, а также аспирантам К.В. Емельянову и Е.В. Харанжевскому за многолетнее сотрудничество.

Работа выполнена по проекту "Modellierung dendritischen Wachstums und Fragmentierung von Dendriten in Schmelzen" Немецкого Научного Фонда (DFG-Projekt No. HE 1601/13), а также по проекту "Non-Equilibrium Solidification, Modelling for Microstructure of Alloys" Европейского Космического Агенства (ESA MAP-Project No. A 98/99-023, ESTEC Contract No. 15236/02/NL/SH).

1. Ландау Л.Д. К теории фазовых переходов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1937. Т. 7. - С. 19-39.

2. Cahn J.W., Hillard J.E. Free energy of non-uniform system. I. Interfacial free energy // J. Chem. Phys. - 1958. V. 28. - P. 258-267.

3. Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S.-K. Renormalization group methods for critical dynamics: I. Recursion relations and effects of energy conservation // Phys. Rev. B. 1974. V. 10. - P. 139-153.

4. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1993. - 996 p.

5. Олемской А.И., Коплык И.В. Теория пространственно-временной эволюции неравновесной термодинамической системы // Успехи Физических Наук. 1995. Т. 165. No. 10. - С. 1105-1144.

6. Morfill G.E. , Khrapak S.A., Ivlev A.V., Klumov B.A., Rubin-Zuzic M., Thomas H.M. From fluid flows to crystallization: New results from complex plasmas // Physica Scripta. 2004. V. T107. P. 59-78.

7. Andreev A.F., Parshin A.Y. Equilibrium shape and oscillations of the surface of the quantum crystals // Sov. Phys. JETP. 1978. V. 48. - P. 763-766.

8. Keshishev A.Y., Parshin A.Y., Babkin A.V. Experimental detection of crystallization waves in He // Sov. Phys. JETP. 1990. V. 30. - P. 56-59.

9. Rotstein H.G., Brandon S., Novick-Cohen A., Nepomnyashchy A. Phase-field equations with memory // SIAM J. Appl. Math. 2001. V. 62. - P. 264-282.

10. Galenko P. Phase-field model with relaxation of the diffusion flux in nonequilibrium solidification of a binary system // Physics Letters A. 2001. V. 287. - P. 190-197.

11. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics, 2nd Edition. Berlin: Springer, 1996. - 383 p.

12. Herlach D.M. Nonequilibrium solidification of undercooled melts // Materials Science Engineering. 1994. V. R12, No. 4-5. - P. 177-272.

13. Willnecker R., Herlach D.M., Feuerbacher B. Grain refinement induced by a critical crystal growth velocity in undercooled melts // Appl. Phys. Lett. 1990. V. 56. - P. 324-326.

14. Kurz W., Fisher D. J. Fundamentals of Solidification, 3rd Edition. Aed-ermannsdorf: Trans Tech Publication, 1992. - 484 p.

15. Hoyt J.J., Asta M., Karma A. Atomistic and continuum modelling of dendritic solidification // Materials Science Engineering. 2003. V. R41, No. 6. - P. 121-153.

16. Aziz M.J., Kaplan T. Continuous growth model for interface motion during alloy solidification // Acta Metallurgica. 1988. V. 36. - P. 2335-2351.

17. Галенко П.К. Эффект диффузионной релаксации при высокоскоростной кристаллизации бинарного сплава / / Кристаллография. 1993. Т. 38. Ж. - С. 238-242.

18. Galenko P. Local nonequilibrium phase transition model with relaxation of the diffusion flux // Physics Letters. 1994. V. 190. No.3-4. - P. 292-295.

19. Galenko P., Sobolev S. Local nonequilibrium effect on undercooling in rapid solidification of alloys // Physical Review E. 1997, V. 55. № 1. P. 343-352.

20. Herlach D.M., Galenko P.K., Holland-Moriz D. Metastable solids from undercooled melts. Amsterdam: Elsevier, 2006. - 358 p.

21. Ockendon J.R., Hodgkins W.R. (Editors) Moving boundary problems in heat flow and diffusion. Oxford: Oxford Univ. Press, 1975. - 343 p.

22. Wilson D.G., Solomon A.D., Boggs P.T. (Editors), Moving boundary problems. New York: Academic Press, 1978. - 398 p.

23. Friedman A. Variational principles and free-boundary problems. New York: Wiley, 1982. - 298 p.

24. Caginalp G. An analysis of a phase field model of a free boundary // Arch. Rat. Mech. Anal. 1986. V. 92. P. 205-224.

25. Poisson S.D. Nouvelle Theorie de l'Action Capillaire. Paris: Bachelier, 1831. - 157 p.

26. Maxwell J.C. Capillary action. // The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, Vol.2. New York: Dover, 1952. - P. 541 - 555.

27. Gibbs J.W. On the equilibrium of heterogeneous substances, // The Scientific Papers of J. Willard Gibbs. London: Longmans, 1906. - P. 55-62.

28. Lord Rayleigh. On the theory of surface forces.-II. Compressible fluids. -Phil. Mag. 1892. V. 33. - P. 209-221.

29. Waals van der J.D. The thermodynamic theory of capillarity under the hypothesis of a continuous variation of density //J. Stat. Phys. 1979. V. 20. -P. 179-244.

30. Stanley H.E. Introduction to phase transitions and critical phenomena. -Oxford: Oxford Univ. Press, 1971. 321 p.

31. Rowlinson J.S., Widom B. Molecular theory of capillarity. Oxford: Clarendon, 1989. - 239 p.

32. Ландау Л.Д., Халатников И.М. Об аномальном поглощении звука вблизи точек фазового перехода второго рода // Докл. АН СССР. 1960. Т. 96. - С. 469-671.

33. Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. К теории сверхпроводимости // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1950. Т. 20. С. 10641079.

34. Allen S.E., Cahn J.W. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening // Acta Metall. -1979. V. 27. P. 1085-1095.

35. Fix G.J. Phase field models for free boundary problems. // in: Free Boundary Problems: Theory and Applications, Eds. A. Fasano and M. Primicerio. Pitman: Boston, 1983. - P. 580-589.

36. Collins J.B., Levine H. Diffuse interface model of diffusion-limited crystal growth // Physical Review B. 1985. V. 31. No. 9. - P. 6119-6122.

37. Langer J.S. Models of pattern formation in first-order phase transitions // in: Directions in Condensed Matter Physics, eds.: G. Grinstein, G. Mazenko. World Scientific: Philadelphia, 1986. P. 165-186.

38. Chen L.Q. Phase-field models for microstructure evolution // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. V. 32. - P. 113-151.

39. Boettinger W.J., Warren J.A., Beckermann C., Karma A. Phase-field simulation of solidification // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. V. 32. P. 163-197.

40. Caginalp G. Stefan and Hele-Shaw type models as asymptotic limits of the phase-field equations // Phys. Rev. A. 1989. V. 39. - P. 5887-5896.

41. Caginalp G. Socolovsky E.A. Computation of sharp interface boundaries by spreading: the planar and spherically symmetric cases //J. Сотр. Phys. 1991. V. 95. - P. 85-97.

42. Bragard J., Karma A., Lee Y. H., Plapp M. Linking phase-field and atomistic simulations to model dendritic solidification in highly undercooled melts // Interface Science. 2002. V. 10. No. 2-3. - P. 121-136.

43. Penrose O., Fife P.C. Thermodynamically consistent models of phase-field type for the kinetics of phase transitions // Physica D. 1990. V. 43. - P. 44-62.

44. Bi Z., Sekerka R.F. Phase-field model of solidification of a binary alloy // Physica A. 1998. V. 261. - P. 95-106.

45. Anderson D.M., McFadden G.B., Wheeler A.A. A phase-field model of solidification with convection // Physica D. 2000. V. 135. - P. 175-194.

46. Garcke H., Nestler В., Stinner B. A diffuse interface model for alloys with multiple components and phases // SIAM J. Applied Mathematics. 2004. V. 64. No. 3. - P. 775-799.

47. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes I // Phys. Rev. -1931. V. 37. P. 495-506.

48. Prigogine I. Introduction to thermodynamics of irreversible process. New York: Interscience. 1967. - 111 p.

49. De Groot S., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. Amsterdam: North-Holland, 1962. 552 p.

50. Glansdorff P., Prigogine I. Thermodynamic theory of structure, stability and fluctuations. New York: Wiley, 1971. 367 p.

51. Wheeler A.A., Boettinger W.J. McFadden G.B. A phase-field model of solute trapping during solidification // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. - P. 1893-1909.

52. Wang S.L., Sekerka R.F. Computation of the dendritic operating state at large supercoolings by the phase field model // Phys. Rev. E. 1996. V. 53. - P. 3760-3776.

53. Boettinger W.J., Warren J.A. Simulation of the ccll to plane front transition during directional solidification at high velocity // J. Cryst. Growth. 1990. V. 200. - P. 583-589.

54. Galenko P. Extended thermodynamical analysis of a motion of the solid-liquid interface in a rapidly solidifying alloy // Phys. Rev. B. 2002. V. 65. - P. 144103-1-11.

55. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics // Rep. Prog. Phys. 1988. V. 51. - P. 1105-1179.

56. Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformations in nonequilibrium systems // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. No. 4. - P. 046125-1-13.

57. Joseph D., Preziosi L. Heat waves // Rev. Mod. Phys. 1989. V 61. No. 1. - P 41-73.

58. Miiller I., Ruggeri T. Extended thermodynamics. New York: Springer, 1993. 234 p.

59. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Extended irreversible thermodynamics revisited // Rep. Prog. Phys. 1999. V. 62. - P. 1035-1142.

60. Jou D., Casas-Vazquez J., Lebon G. Recent bibliography on extended irreversible thermodynamics and related topics // J. Non-Equilib. Ther-modyn. 1998. V. 23. No. 3. - P. 277-297.

61. Luzzi R., Vasconcellos A.R., Casas-Vazquez J., Jou D. On the selection of the state space in nonequilibrium thermodynamics // Physica A. 1998. V. 248. P. 111-137.

62. Jou D., Casas-Vazquez J., Criado-Sancho M. Thermodynamics of fluids under flow. Berlin: Springer, 2000. - 321 p.

63. Galenko P.K., Danilov D.A. Hyperbolic self-consistent problem of heat transfer in rapid solidification of supercooled liquid // Physics Letters A. 2000. V. 278. - P. 129-138.

64. Galenko P.K., Danilov D.A., Selection of the dynamically stable regime of rapid solidification front motion in an isothermal binary alloy // J. Cryst. Growth. 2000. V. 216. - P. 512-536.

65. Galenko P.K., Danilov D.A. Linear morphological stability analysis of the solid-liquid interface in rapid solidification of a binary system // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 051608-1-14.

66. Peierls R. Quantum theory of solids. London: Oxford University Press, 1955. - 218 p.

67. Barth M., Joo F., Wei В., Herlach D.M. Measurement of the enthalpy and. specific heat of undercooled nickel and iron melts //J. Non-Crystalline Solids. 1993. V. 156-158. - P. 398-403.

68. Karma A., Rappel W.-J. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions // Phys. Rev. E. 1998. V. 57, No. 4. - P. 4323-4349.

69. Karma A. Phase-field formulation for quantitative modeling of alloy solidification // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. No. 11. - P. 115701-1-4.

70. Ramirez J.C., Beckermann C., Karma A., Diepers H.-J. Phase-field modeling of binary alloy solidification with coupled heat and solute diffusion // Phys. Rev. E. 2004. V. 69. P. 051607-1-12.

71. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика, Часть 1. М.: Наука, 1976. - 584 с.

72. Casas-Vazquez J., Jou D. Temperature in non-equilibrium states: a review of open problems and current proposals // Rep. Progr. Phys. 2003. V. 66. - P. 1937-2023.

73. Criado-Sancho M., Jou D., Casas-Vazquez J. Definition of non-equilibrium chemical potential: phase separation of polymers in shear flow // Macro-molecules. 1991. V. 24. - P. 2834-2840.

74. Jou D., Camacho J., Grmela M. On the non-equilibrium thermodynamics of non-Fickian diffusion // Macromolecules. -1991. V. 24. P. 3597-3602.

75. Castillo L.F., Criado-Sancho M., Jou D. Non-equilibrium chemical potential and shear-induced migration of polymers in dilute solutions // Polymer. 2000. V. 41. - P. 2633-2638.

76. Jackie J., Frish H.L. Relaxation of chemical potential and a generalized diffusion equation // J. Polymer Sci. Phys. Ed. 1985. V. 23. - P. 675-682.

77. Binder K., Frish H.L., Jackie J. Kinetics of phase separation in the presence of slowly relaxing structural variables //J. Chem Phys. 1986. V. 85. - P. 1505-1512. (1986).

78. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. In: Hand-buch der Physik, III. Editor S. Flugge. Berlin: Springer, 1960. - 241-311 P

79. Resibois P., de Leener M. Classical kinetic theory of fluids. New York: Wiley, 1977. - 278 p.

80. Zubarev D.N., Morozov V., Ropke G., Statistical mechanics of nonequi-librium processes. Berlin: Akademie Verlag, 1977. - 473 p.

81. Hansen J.P., McDonald I.R. Theory of simple liquids. New York: Academic, 1986. - 331 p.

82. Luzzi R., Vasconcellos A.R., Ramos J.R. Foundation of a nonequilibrium ensemble formalism. Dordrecht: Kluwer, 2002. - 242 p.

83. Vazquez F., del Rio J.A. Nonequilibrium variational principle for the time evolution of an ionized gas // Phys. Rev. E. 1993. V. 47. No. 1. - P. 178-183.

84. Temam R. Inifinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics, 2nd Edition. New York: Springer, 1997. - 411 p.

85. Cahn J.W. Theory of crystal growth and interface motion in crystalline materials // Acta Metall. 1960. V. 8. - P. 554-562.

86. Bastea S., Lebowitz J.L. Domain growth in computer simulations of segregating two-dimensional binary fluids // Phys. Rev. E 1995. V. 52. - P. 3821-3826.

87. Olmstead W.E., Davis S.H., Rosenblat S, Kath W.I. Bifurcation with memory // SIAM J. Appl. Math. 1986. V. 46. - P. 171-188.

88. Duffy B.R., Freitas P., Grinfeld M. Memory driven instability in a diffusion process // SIAM J. Math. Anal. 2002. V. 33. - P. 1090-1106.

89. Fort J., Mendez V. Wavefronts in time-delayed reaction-diffusion systems. Theory and comparison to experiment // Rep. Prog. Phys. 2002. V. 65. - P. 895-954.

90. Fort J., Mendez V. Time-delayed theory of the Neolithic transition in Europe // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. - P. 867-870.

91. Novick-Cohen A. A phase-field system with memory: global existence. In: Free Boundary Problems. Proceedings of the Research Institute for Mathematical Sciences. Kyoto University meeting No. 1210 on May 5th, 2001. Kyoto, Japan: RIMS, 2000. P. 129-141.

92. Grasselli M., Rotstein H.G., Hyperbolic phase-field dynamics with memory // J. Mathematical Analysis and Applications. 2001. V 261. - P. 205-230.

93. Grasselli M., Pata V., Robust exponential attractors for a phase-field system with memory // J. Evolution Equations. 2004. V. 4. P. 27-41.

94. Tokatly I.V., Pankratov O. Hydrodynamics beyond local equilibrium: Application to electron gas // Phys. Rev. B. 2000. V. 62. P. 2759-2770.

95. Muller-Krumbhaar H., Kurz W., Brener E. Solidification // In: Phase transformations in materials, ed.: G. Kostorz. Weinheim: Wiley, 2001. P. 81-170.

96. Miiller-Krumbhaar H., Burkhardt T.W., Kroll D.M. A generalized kinetic equation for crystal growth //J. Cryst. Growth. 1977. V. 38. - P. 13-22.

97. Лифшиц E.M., Питаевский JI.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. - 528 с.

98. Langer J.S. Lectures in the theory of pattern formation // In: Chance and matter. Les Houches Session XLVI. Eds.: J. Souletie, J. Vannimenus, and R. Stora. Elsevier: Amsterdam, 1987. - P. 629-711.

99. Kessler D., Koplik J., Levine H. Pattern selection in fingered growth phenomena // Advances in Physics. 1988. V. 37. No. 3. - P. 255-339.

100. Brener E.A. Effects of surface energy and kinetics on the growth of needlelike dendrites // J. Cryst. Growth. 1999. V. 99. - P. 165-170.

101. Емельянов К.В., Галенко П.К. Дендритный рост в двухкомпонентной системе вдали от равновесия // Препринт лаборатории физики конденсированных сред. Ижевск: УдГУ, 1998. - 33 с.

102. Galenko P. Boundary integral method for modeling of pattern formation in nonequilibrium systems // In: Frontiers in materials science. Trieste, Italy: ICTP, 2001. P. 23-33.

103. Saito Y., Goldbeck-Wood G., Muller-Krumbhaar H. Nurnertical simulation of dendritic growth // Phys. Rev. A. 1988. V. 38. P. 2148-2157.

104. Nestler В., Danilov D., Galenko P. Crystal growth of pure substances: Phase-field simulations in comparison with analytical and experimental results // J. Computational Physics. 2005. V. 207. - P. 221-239.

105. Boettinger W.J., Warren J.A., Beckermann C., Karma A. Phase-field simulations of solidification // Annu. Rev. Mater. Res. 2002. V. 32. - P. 163-194.

106. Echebarria В., Folch R., Karma A., Plapp M. Quantitative phase field model of alloy solidification // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 061604-114.

107. Борисов B.T. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987. - 224 с.

108. Чернов А.А. Современная кристаллография. Том 3. Образование кристаллов. М.: Наука, 1980. - 407 с.

109. Baker J.C., Cahn J.W. Solute trapping by rapid solidification // Acta Metallurgies 1969. V. 17. - P. 575-578.

110. Aziz M. J. Model for solute redistribution during rapid solidification // J. Applied Physics. 1982. V. 53. - P. 1158-1168.

111. Aziz M. J., Kaplan T. Continuous growth model for interface motion during alloy solidification // Acta Metall. 1988. V. 36. - P. 2335-2347.

112. Чернов А.А. // Рост кристаллов. Том 3. Под ред. А В. Шубников и Н.Н, Шефталь. М.: Акад. наук СССР, 1959. С. 35-51.

113. Jackson К.А., Gilmer G.H., Leamy H.J. Solute trapping // Laser and electron beam processing of materials, edited by C.W. White, P.C. Peercy. New York: Academic Press, 1980. - P. 104-118.

114. Wood R.F. Model for nonequilibrium segregation during pulsed laser annealing // Applied Physics Letters. 1980. V. 37. - P. 302-304.

115. Hillert M. Solute drag and solute trapping in phase transformations // Acta Mater. 1999. V. 47. - P. 4481-4497.

116. Kittl J.A., Sanders P.G., Aziz M.J., Brunco D.P., Thompson M.O. Complete experimental test of kinetic models for rapid alloy solidification // Acta Materialia. 2000. V. 48. - P. 4797-4811.

117. Ahmad N.A., Wheeler A.A., Boettinger W.J., McFadden G.B. Solute trapping and solute drag in a phase-field model of rapid solidification // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. - P. 3436-3450.

118. Broeck Van Den C. Taylor diffusion revisited // Physica A. 1990. V. 186. - P. 677-696.

119. Giddings J.C., Eyring H. A molecular dynamic theory of chromatography // J. Chemical Physics. 1955. V. 59. - P. 416-421.

120. Giddings J.C. Stochastic considerations on chromatographic dispersion // J. Chemical Physics. 1955. V. 26. - P. 169-173.

121. Taylor G.I. The dispersion of matter in solvent flowing slowly through a tube // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1953. V. 219. - P. 186-203.

122. Taylor G.I. The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe // Proc. R. Soc. London Ser. A. 1954. V. 223. - P. 446-463.

123. Camacho J., Zakari M. Irreversible thermodynamic analysis of two-layer systems // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. No. 1. - P. 4233-4236.

124. Christian J.W., The theory of transformations in metals and alloys, Part 1, 2nd Edition. Oxford: Pergamon Press, 1975. - 518 p.

125. Galenko, P.K. Atomic exchange at the moving interface of rapid phase transformation // Preprint. Koln: DLR, 2003. - 18 p.

126. Sobolev S. L. Effects of local non-equilibrium solute diffusion on rapid solidification of alloys // Phys. Stat. Sol. A. 1996. V. 156. - P. 293-303.

127. Hoglund D.E., Aziz M.J. Interface instability during rapid directional solidification // In: Kinetics of Phase Transformations. MRS Proceedings, vol. 205, eds.: M.O. Thompson, M.J. Aziz, G.B. Stephenson. Pittsburgh, PA: MRS, 1992. P. 325-329.

128. Иванцов Г.П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного кристалла, растущего в переохлажденном расплаве // ДАН СССР. 1947. Т. 58. No. 4.- С. 567-569.

129. Иванцов Г.П. О росте сферического и иглообразного кристаллов бинарного сплава // ДАН СССР. 1952. Т. 58. No. 4. - С. 573-575.

130. Иванцов Г.П. Тепловые и диффузионные процессы при росте кристаллов // Рост кристаллов. Том 3. Под ред. Шубникова А.В., Шефталя Н.Н. М.: Академия Наук, 1961. С. 75-84.

131. Horvay G., Cahn J.W. Dendritic and spheroidal growth // Acta Metal-lurgica. 1961. V. 9. No. 7. - P. 695-705.

132. Langer J. Instabilities and pattern formation in crystal growth // Reviews of Modern Physics. 1980. V. 52. No. 1. - P. 1-28.

133. Galenko P. K, Zhuravlev V. A. Physics of dendrites. Singapore: World Scientific, 1994. - 210 p.

134. Brener E., Melnikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic growth // Advances in Physics. 1991. V. 40. - P. 53-97.

135. Galenko P.K., Danilov D.A. Steady-state shapes of growing crystals in the field of local nonequilibrium diffusion // Physics Letters A. 2000. V. 272.- P. 207-217.

136. Galenko P.K., Danilov D.A. Local nonequilibrium effect on rapid dendritic growth in a binary alloy melt // Physics Letters A. 1997. V. 235. № 3. -P. 271-280.

137. Galenko P.K., Danilov D.A. Model for free dendritic alloy growth under interfacial and bulk phase nonequilibrium conditions //J. Cryst. Growth.- 1999. V. 197. P. 992-1002.

138. Brener, E., Temkin, D. Dendritic growth in supercooled binary melt at arbitrary Peclet numbers // Preprint. Jiilich: IFK, 1996. - 8 p.

139. Miiller-Krumbhaar H., Abel Т., Brener E., Hartmann M., Eissfeldt, N., Temkin D. Growth-morphologies in solidification and hydrodynamics // JSME Int. Journal B. 2002. V. 45. No. 1. - P. 129-135.

140. Galenko P.K. Rapid advancing of the solid-liquid interface in undercooled alloys // Materials Science and Engineering A. 2004. V. 375-377. - P. 493-497.

141. Jackson K.A., Hunt J.D. Lamellar and rod eutectic growth // Transactions of the Metallurgical Society of AIME. 1966. V. 236. - P. 1129-1142.

142. Flemings M.C. Solidification processing. New York: McGraw-Hill, 1974.- 328 p.

143. Kurz W., Sahm P.R. Gerichtet erstarrte eutektische Werkstoffe. Berlin: Springer, 1975. - 215 p.

144. Таран Ю.Н., Мазур В.И. Структура эвтектических сплавов. М.: Металлургия, 1978. - 311 с.

145. Elliot R. Eutectic solidification processing. London: Butterworths, 1983.- 397 p.

146. Trivedi R., Magnin P., Kurz W. Theory of eutectic growth under rapid solidification conditions // Acta Metallurgica. 1987. V. 35. No. 4. - P. 971-980.

147. Li J.F., Zhou Y.H. Eutectic growth in bulk undercooled melts // Acta Materialia. 2005. V. 53. - P. 2351-2359.

148. Мирошниченко И. С. Влияние скорости охлаждения на процессы кристаллизации металлических сплавов // Рост и дефекты металлических кристаллов. Под ред. Д. Е. Овсиенко. Киев: Наук, думка, 1972. - С. 385-401.

149. Мирошниченко И. С. Закалка из жидкого состояния. М.: Металлургия, 1982. - 167 с.

150. Мирошниченко И. С. Образование метастабильных фаз и диаграммы метастабильного равновесия // Стабильные и метастабильные фазовые равновесия в металлических системах. Под ред. М. Е. Дриц. М.: Наука, 1975. - С. 151-157.

151. Мирошниченко И. С., Галушко И.М. Влияние скорости охлаждения на структуру эвтектических сплавов при кристаллизации и закалке Al-Mg сплавов // Кинетика и механизм кристаллизации. Под ред. Н. Н. Сирота. Минск: Наука и техника, 1973. - С. 356-364.

152. Abramowitz М., Stegun I.A. Handbook of mathematical functions. New York: Dover, 1972. - 1046 p.

153. Galenko P., Funke 0., Wang J., Herlach D. Kinetics of dendritic growth under influence of convectice flow // Materials Science Engineering A. -2004, V. 375-377. P. 493-497.

154. Karma A., Rappel W.-J. Phase-field model of dendritic sidebranching with thermal noise. // Physical Review E. 1999. V. 60. - P. 3614-3625.

155. Galenko P.K., Herlach D.M. Theoretical modeling of dendritic growth in one-component systems // In: Proceedings of European Space Agency Meetings: MAP 023 NEQUISOL. Edited by D.M. Herlach. - Noordwijk, Holland: ESA Publishing, 2003. P. 23-38.

156. Galenko P. K., Krivilyov M. D. Model for isothermal pattern formation of growing crystals in undercooled binary alloys // Modell. Simul. Mater. Sci. Eng. 2000. V. 8. - P. 67-80.

157. Чернов А.А. Рост цепей сополимеров и смешанных кристаллов -статистика проб и ошибок // Успехи Физических Наук. 1970. Т. 100. Вып. 2. - С. 277-328.

158. Biloni Н., Chalmers В. Predendritic solidification // Trans. Metall. Soc. AIME. 1965. V. 233. - P. 373-385.

159. Eckler К., Cochrane R. F., Herlach D. M., Feuerbacher В., Jurisch M. Evidence for a transition from diffusion-controlled to thermally controlled solidification in metallic alloys // Phys. Rev. B. 1992. V. 45. - P. 50195023.

160. Борисов B.T. Кинетические диаграммы бинарных сплавов // ДАН СССР. 1962. Т. 142. No. 1. - С. 69-71.

161. Темкин Д.Е. К теории бездиффузионного роста кристаллов // Кристаллография. 1969. Т. 14. Вып. 3. - С. 423-430.

162. Темкин Д.Е. Об определении условия бездиффузионного превращения // Кристаллография. 1970. Т. 15, Вып. 3. - С. 421-427.

163. Cook S.J., Clancy P. Impurity segregation in Lennard-Jones A/AB het-erostructures. I. The effect of lattice strain // J. Chemical Physics. 1993. V. 99. No. 3. - P. 2175-2191.

164. Галенко П.К. К феноменологической теории локально-неравновесной кристаллизации // ДАН. 1994. Т. 334. No. 6. - С. 707-709.

165. Lipton J., Kurz W., Trivedi R. Rapid dendrite growth in undercooled alloys // Acta Metallurgica. 1987. V. 35. - P. 957-964.

166. Журавлев В. А., Китаев E.M. Теплофизика формирования непрерывного слитка. М.: Металлургия, 1974. - 215 с.

167. Петров А.И., Пономарев Н.А., Журавлев В. А., Четвертных В.В. Автоматизация электрошлакового переплава. Ижевск: Удмуртия, 1985. - 386 с.

168. Galenko Р. К., Krivilyov M.D. Modeling of crystal pattern formation in isothermal undercooled alloys // Modell. Simul. Mater. Sci. Eng. 2000. V. 8. - P. 81-94.

169. Галенко П.К., Кривилев М.Д. Модель изотермического кристаллического роста в переохлажденных бинарных сплавах // Математическое моделирование. 2000. Т. 12. No. 11. - С. 17-37.

170. Галенко П.К., Кривилев М.Д. Конечно-разностная схема для моделирования формирования кристаллической структуры в переохлажденных бинарных сплавах / / Математическое моделирование. 2000. Т. 12. No. 12. - С. 11-23.

171. Кривилев М.Д., Галенко П. К. Программный комплекс для моделирования крисгаллического структурообразования в переохлажденных бинарных сплавах. Ижевск: Удмуртский университет, 1999. - 59 с.

172. Herlach D. М. Containerless undercooling and solidification of pure metals // Annu. Rev. Mater. Sci. 1991. V. 21. - P. 23-44.

173. Herlach D. M. Direct measurements of crystal growth velocities in under-cooled melts // Materials Science and Engineering. 1994. V. A179/180. - P. 147-152.

174. Karma A. Model of grain refinement in solidification of undercooled melts // Int. J. Non-Equilibrium Processing. 1998. V. 11. - P. 201-233.

175. Kolbe M., Cao C.D., Lu X.Y., Galenko P.K., Wei В., Herlach D.M. Solidification behaviour of undercooled Co-Cu alloys showing a metastable miscibility gap // Materials Science and Engineering A. 2004. V. 375377. - P. 520-523.

176. Lipton J., Kurz W., Trivedi R. Rapid dendrite growth in undercooled alloys // Acta Metallurgies 1987. V. 35. - P. 957-964.

177. Кривилев М.Д., Галенко П.К. Моделирование дендритной кристаллизации в Al-Si сплавах при скоростной спайке / / Материаловедение. 2004. № 5. - С. 11-14.

178. Krivilyov M.D., Galenko Р.К., Sekulic D.P. Modeling of Al-Si alpha-phase crystal pattern formation during aluminum brazing // in: Brazing, High

179. Temperature Brazing and Diffusion welding, eds.: D. von Hofe and E. Lugscheider. Diisseldorf: DVS, 2004. - P. 126-129.

180. Sekulic D.P., Galenko P.K., Krivilyov M.D., Walker L., Gao F. Dendritic growth in Al-Si alloys during brazing. Part 1: experimental evidence and kinetics // Int. J. Heat Mass Transfer. 2005. V. 48. № 12. - P. 2372-2384.

181. Sekulic D.P., Galenko P.K., Krivilyov M.D., Walker L., Gao F. Dendritic growth in Al-Si alloys during brazing. Part 2: computational modeling // Int. J. Heat Mass TVansfer. 2005. V. 48. № 12. - P. 2385-2396.

182. Boettinger W. J., Schechtman D., Schaefer R. J., Biancaniello F. S. The effect of solidification velocity on the microstructure of Ag-Cu alloys // Metall. Trans. A. 1984. V. 15. - P. 55-66.

183. Gill S.C., Zimmermann M., Kurz W. Laser resolidification of the AI-AI2C11 eutectic: The coupled zone // Acta Metall. Mater. 1989. V. 40. No. 11. P. 2895-2906.

184. Галенко П. К., Харанжевский Е. В., Данилов Д. А. Структура и механические свойства конструкционной стали при лазерной высокоскоростной перекристаллизации // Физика металлов и металловедение. 2002. Т. 94. №2. - С. 207-216.

185. Галенко П. К., Харанжевский Е. В., Данилов Д. А. Высокоскоростная кристаллизация конструкционной стали при лазерной обработке поверхностей // Журнал технической физики. 2002, Т. 47. №5. -С. 48-55.

186. Haranzhevskiy E. V., Danilov D. A., Krivilyov M. D., Galenko P. K. Structure and mechanical properties of structural steel in laser resolidification processing // Matererials Science and Engineering A. 2004. V. 375-377. P. 502-506.

187. Gill S. C., Kurz W. Rapidly solidified Al-Cu alloys I. Experimental determination of the microstructure selection map // Acta Metall. Mater. -1993. V. 41. - P. 3563-3573.

188. Gill S. C., Kurz W. Rapidly solidified Al-Cu alloys II. Calculation of the microstructure selection map // Acta Metall. Mater. - 1995. V. 43. - P. 139-151.

189. Кривилев М.Д., Данилов Д. А., Харанжевский E. В., Галенко П. К. Отбор микроструктуры при лазерной перекристаллизации конструкционной стали // Вестник УдГУ: Серия ФИЗИКА. -2005. No. 4. С. 118-128.

190. Kurz W., Giovanola В., Trivedi R. Theory of microstructural development during rapid solidification // Acta. Metall. 1986. V.34. - P. 823-830.

191. Greer A.L. Grain refinement in supercooled alloys // Mater. Sci. Eng. A. 1991. V.133. - P.16-22.

192. Blank M., Caesar Ch., Koster U. Microstructure and mechanical properties of rapidly solidified copper-based alloys // in: Rapidly Quenched Metals, Vol.1. Edited by S. Steeb and H. Warlimont. Amsterdam: North-Holland, 1985. - P. 883-886.

193. Космическое материаловедение. Под. ред. Б. Фоербахера, Г. Хамахера, Р. Наумана. М.: Мир, 1989. - 478 с.

194. A world without gravity, eds.: В. Fitton, В. Battrick. Noorwijk, Holland: ESA Publishing, 2001. - 495 p.