Модели аномальной диффузии в конденсированных средах с сильной анизотропией тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

О} На правах рукописи

§

I

/ Титов Игорь Иванович

МОДЕЛИ АНОМАЛЬНОЙ ДИФФУЗИИ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ С СИЛЬНОЙ АНИЗОТРОПИЕЙ

Специальность 01.04.07 "Физика твердого тела"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 1997

Работа выполнена в Институте физики полупроводников Сибирского Отделения Российской Академии Наук

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук,

доцент БАСКИН Э. М.

Оффициальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор ГАБУДА С. П.

- доктор физико-математических наук, ГАДИЯК Г. В.

Ведущая организация - Институт химической кинетики и

горения Сибирского Отделения Российской Академии Наук, г. Новосибирск

Защита состоится с^гон^ 1997 г з ^ часов на заседании

диссертационного Совета К 003.005.01 в Институте физики полупроводников СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. Лавреньева, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики полупроводников СО РАН.

Автореферат разослан " $ " 1997 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета, д. ф.-м. н, профессор

/Двуреченский А. В./

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Классическая диффузия в конденсированных средах обуславливает большое число физически важных явлений (ионная проводимость, рекомбинация дефектов в кристаллах, химические реакции в твердых матрицах и т.д.). Значительный и устойчивый интерес к диффузии мотивирован также быстрым прогрессом в области микроэлектроники (повышение стабильности и долговечности приборов, варьирование их оптических и электронных характеристик).

В отличие от жидкости, где процесс переноса определяется в основном одним параметром - коэффициентом диффузии (КД), пространственная миграция в твердых телах осложнена проявлениями структуры среды, в т. ч. и эффектами взаимодействия самого диффу-занта (водород в металлах, легирование полимеров, поверхностная диффузия и пр.). При этом разделяют свойства, возникающие в бездефектном материале и связанные с анизотропией регулярной решетки, и следствия дефектности кристалла - наличия в нем вакансий, дислокационных линий, межзеренных границ и т.п. Неоднородность структуры может изменить как значения транспортных коэффициентов, так и сами законы переноса (зависимости от времени, от концентрации). В большинстве случаев такие сильные следствия неупорядоченности чувствительны также к размерности пространства, так что анизотропия материала оказывается существенной.

К настоящему времени стало понятным, что задача броуновского движения в системах со статическим беспорядком имеет математические аналогии во многих фундаментальных проблемах физики (объемные взаимодействия полимерных цепей, проводимость сетки случайных сопротивлений и др.), в т. ч. и физики твердого тела (низкотемпературная теплоемкость неупорядоченных ферромагнетиков и стекол, прыжковая проводимость легированных полупроводников, спектр колебаний разупорядоченных кристаллов и пр.).

Таким образом, исследование аномальной диффузии в средах с сильной анизотропией является совершенно необходимым для понимания явлений транспорта и релаксации в реальных твердых телах и имеет широкую область применимости.

Целью работы является разработка и исследование моделей аномальной диффузии в неупорядоченных системах с сильной анизотропией. С этим тесно связано также изучение кинетики перехода клубок-спираль в нуклеиновых кислотах, когда беспорядок, представляемый локальными нарушениями двойной спирали, является незамороженным.

Научная новизна.

1. Предложена модель ускорения диффузии примеси винтовыми дислокациями, основанная на рассмотрении смещений вдоль дислокации путем диффузионных оборотов вокруг ее оси. В рамках этой модели исследована кинетика ускоренной диффузии примеси вдоль уединенной дислокации, а также диффузия примеси, равнораспределенной в объеме.

2. Предложена модель диффузии в анизотропном неупорядоченном кристалле, основанная на рассмотрении газа частиц с исключенным объемом на неупорядоченной решетке и позволившая найти зависимости от типа и степени беспорядка концентрационного поведения коэффициента коллективной диффузии.

3. Предложена модель диффузионно-контролируемой абсорбции анизотропно взаимодействующих частиц, на основании которой найдены кинетические характеристики абсорбции.

4. Предложена модель роста двойной спирали, основанная на рассмотрении тепловых переходов в структуре спирали и позволившая найти размер ее критического зародыша.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Модель ускоренной диффузии примеси в средах с винтовыми дислокациями и полученные на основании этой модели результаты: 1) точное решение задачи случайных блужданий в режиме уединенной дислокации в среде с произвольной степенью анизотропии, 2) асимптотическое распределение по смещениям вдоль оси дислокации и зависимость от времени коэффициента диффузии, 3) значение эффективного коэффициента диффузии при конечной плотности дислокаций.

2. Модель диффузии в анизотропном неупорядоченном кристалле и полученные на ее основе результаты: 1) разделение зависимостей коэффициента коллективной диффузии для беспорядка по связям и беспорядка по узлам, 2) концентрационная зависимость коэффициента коллективной диффузии для узельного беспорядка, 3) эффект низкотемпературной автолокализации диффузионного фронта, 4) эффект асимметрии диффузионной проницаемости неоднородно-разупорядоченной мембраны.

3. Модель диффузионно-контролируемой абсорбции двумерного решеточного газа локально анизотропно взаимодействующих частиц и полученные на ее основе результаты: 1) две стадии кинетики абсорбции, с параболической (нормальной) и замедленной (аномальной) временными зависимостями, 2) немонотонность температурной зависимости эффективного коэффициента диффузии на нормальной стадии.

4. Модель роста двойной спирали и вычисленный на ее основе размер критического зародыша спирали.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы для описания транспортных явлений в неупорядоченных анизотропных средах, в частности, для интерпретации экспериментов и для модельных расчетов диффузионных характеристик слоистых систем и полупроводниковых структур, проводимости суперионных кристаллов. Результаты моделирования решеточного газа анизотропно

взаимодействующих частиц могут найти применение в исследованиях свойств УВаСиО-керамики - перспективного ВТСП-материала. Предложенная модель ядра нуклеации двойной спирали описывает ряд свойств полимерных молекул нуклеиновых кислот.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на 2-м рабочем семинаре по многочастичным проблемам кинетики (Рига, 1987), на 10-й конференции молодых ученых по теоретической физике (Киев, 1987), на Международном симпозиуме по электронной структуре и свойствам молекул и кристаллов (Дубровник, 1988), на 16-й межвузовской конференции молодых ученых но химии и физике твердого тела (Ленинград, 1989), на 2-м симпозиуме по химии твердого тела (Пардубице, 1989), на 3-й Международной конференции по материалам и механизмам сверхпроводимости высокотемпературных сверхпроводников (Каназава, 1991), на конференциях молодых ученых ИХТТ СО РАН (1986,1988) и отчетной сессии ИЦиГ СО РАН (1996), на научных семинарах в ИЦиГ СО РАН, ИФП СО РАН, ИХТТ СО РАН.

Публикации. По материалам диссертации имеется 7 публикаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, содержит 13 рисунков и библиографию из 131 наименования. Общий объем 123 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность изучения темы исследования, сформулированы основные задачи работы, указаны ее научная новизна и практическая ценность, приведены защищаемые положения, дана краткая аннотация диссертационной работы.

Первая глава является обзорной. В ней изложены основные, известные к настоящему времени, результаты теоретического исследования кинетики прыжковых процессов в средах со статическим беспорядком и диффузии решеточного газа на регулярной решетке.

В первом параграфе приводятся классификация типов беспорядка (статический и динамический, узельный и по связям, etc.), модели, допускающие точное решение задачи диффузии (цепочка, с разрезами, гребешковая модель, CTRW) и некоторые приближенные методы (гипотеза скейлинга, методы эффективной среды).

Во втором параграфе рассматриваются экспериментальные факты ускоренной самодиффузии вдоль дислокаций, а также ее феноменологические и динамические модели. На основании полученных данных [1] установлено, что коэффициенты самодиффузии вдоль дислокаций на много порядков больше соответствующих значений в решетке. Уменьшение энергии активации диффузии в окрестности ядра дислокации по сравнению с объемной величиной подтверждается также исследованиями численными методами динамики диффузии на молекулярном уровне. При количественном обсуждении экспериментов обычно используется модель дислокационной трубки - узкой области с большим КД, погруженной в матрицу с меньшим КД.

В третьем параграфе описывается диффузия частиц с исключенным объемом на регулярной решетке, т.е. прыжки с одинаковой скоростью разрешены только в незанятые узлы. Величина КД зависит от метода наблюдения даже в такой простой модели - КД меченого атома D* не равен коэффициенту коллективной диффузии Df (измерение потока). Величины D* и Df связаны термодинамическим тождеством -формулой Даркена. В регулярном решеточном газе, где D* пропорционален концентрации вакансий, Df = const [2], так что для концентрационной зависимости Df принцип исключенного объема недостаточен. В одномерной решетке различие D* и Df наиболее выражено - взаимная непроницаемость частиц аномально замедляет меченый атом [3], но сохраняет нормальное поведение суммарного смещения всех частиц.

Зависимость от концентрации возникает в неизоэнергетической решетке, а также при наличии взаимодействий более общего вида.

Во второй главе рассматривается броуновское движение примеси в слоистой среде с винтовыми дислокациями. Изложение следует обычному разделению диффузии вдоль дислокаций на два режима [1]: модель уединенной дислокации (атомы локализованы вблизи ее оси) и модель эффективной среды (атомы равнораспределены в объеме).

Винтовая дислокация превращает решетку в геликоидальную поверхность и делает возможным смещение броуновской частицы на вектор Бюргерса В путем оборота вокруг оси дислокации в пределах кристаллической плоскости. Наиболее ярко это проявится в среде, где разрешена диффузия только вдоль таких плоскостей (с некоторым коэффициентом Б), а прямые межплоскостные перескоки исключены.

Континуальное описание диффузии вокруг дислокации с точечным ядром оказывается некорректным: вдоль точечной оси возможны значительные смещения частицы путем быстрого на нее "наматывания". Вводится конечный размер ядра дислокации и вычисляется функция Грина задачи случайных блужданий вокруг дислокации с непроницаемым ядром размера а: асимптотическое распределение по смещениям вдоль дислокации гауссово, средний квадрат смещения неограниченно растет, причем на больших временах по аномальному закону

(1) <г2> ос В21п2(Б1/а2),

однако "эффективный" коэффициент такой диффузии, От, со временем стремится к нулю. Численный расчет дает семейство зависимостей Ог(0 для различных начальных расстояний г0 (Рис.1). Приближение в среднем к оси обуславливает временной рост с максимумом при I « г02Ю. На больших временах частица удаляется от оси дислокации, каждый "виток" требует все больЩего времени ос г2, и в среде с одной дислокацией КД стремится к нулю (1).

Рассматривая диффузию вдоль оси дислокации как случайные блуждания на однородной линейной решетке, предлагается в длинноволновом пределе , заменить уравнение диффузии на винтовой поверхности одномерным уравнением диффузии с памятью. Результаты редукции рассматриваются в терминах Рис. 1. Зависимость относительной вели- ^n,,,,,, ^

чины КД А(т)=(2яа/В)Ю(х)Ю от безраз- М0Д6ЛИ CTRW [3]' СРеднее мерного времени x=Dt/a2. Кривые соот- вРемя междУ прыжками ветствуют различным начальным поло- расходится, что интерпре-жениям атома, числа показывают соот- тируется как заморажива-ветствующие расстояния r0/a: а - общий Ние движения. Однако это вид, б - асимптотика на больших време- не означает его докализа-нах.

ции, поскольку среднеквадратичное смещение

неограниченно растет (1).

В среде конечной анизотропии необходимо учитывать прямую диффузию между слоями. Здесь зависимость (1) является промежуточной, по мере убывания вклада спиральных траекторий на больших временах КД стремится к своему значению в кристалле без дислокации.

Диффузия вдоль дислокаций в предельно анизотропной среде с конечной их концентрацией с^ определяется статистическими характеристиками ансамбля дислокаций. Расположение последних коррелированно в силу конечности плотности упругой энергии кристалла. Стационарное значение КД определяется размером спадания функции корреляции плотности вектора Бюргерса K(r) = <Ь(р) Ь(р+г)>, гс:

(2)

Dr= D <B2> Су ln(rc /а)

На промежуточных временах, когда диффузия происходит в областях размером меньше гс, она носит ускоренный характер, DY ос Int при Dt « гс, по причине сильной скоррелированности случайных блужданий среди скоплений дислокаций одного знака. Нормальная диффузия при малых пространственных флуктуациях ансамбля дислокаций иллюстрируется на примерах: регулярная, с чередующимся знаком векторов Бюргерса решетка дислокаций (дислокационный "кристалл"), дислокационное "стекло", ансамбль дислокационных диполей.

В третьей главе рассматривается коллективная диффузия решеточного газа на анизотропной неупорядоченной решетке. Совместным следствием беспорядка и взаимодействия частиц (здесь в простейшем случае запрета двойной занятости узлов) является полученная нелинейность транспортных уравнений.

Рассматривается анизотропная кубическая решетка с активаци-онным механизмом прыжков и градиентом концентрации в направлении малой подвижности. Предполагается, что вероятность прыжка в единицу времени Wjf есть случайная величина для каждой пары соседних узлов i и f. Случайный характер Wjf можно соотносить с пространственными флуктуациями потенциального рельефа матрицы, между локальными минимумами которого происходит диффузия.

Величина КД вычисляется подсчетом величин потоков между соседними плоскостями и разложением полного потока по градиенту концентрации. Анизотропия решетки и направление диффузии позволяют предположить термодинамическое равновесие в плоскостях равной концентрации и пренебречь корреляциями заселенностей соседних узлов.

Роль беспорядка по связям и беспорядка по узлам, которая разделяется в величине W^, оказывается различной: симметричные изменения W^ не влияют на равновесные заселенности и могут быть усред-

ю

нены независимо. Соответственно, безразмерный КД (деленный на свое значение в регулярной решетке) факторизуется:

(3)

D = D00 Dy3JI(n)

и зависимость от концентрации возникает только во втором множителе. Поскольку флуктуации высот барьеров не ведут к зависимости D(n), детально рассмотрены только флуктуации глубин ям г (в единицах кТ).

Для слабого беспорядка зависимость от п появляется в члене, содержащим дисперсию е. Центрированные к <е>=0 флуктуации уменьшают КД при низких концентрациях и увеличивают при более высоких.

Для произвольной степени неупорядоченности рассмотрены две модели:

1) случайно расположенных ловушек концентрации р и глубиной Ер (дискретная функция распределения f (е) = (1 - р) 5 (е) + р 8 (е - Ер)) и

2) непрерывного (f (е) = ехр (-е/Д)/А) спектра е.

Общей закономерностью является монотонное увеличение КД с концентрацией (Рис. 2), что вызвано последовательным заполнением энергетического спектра ловушек. Масштаб изменения величины D растет с уменьшением температуры и может быть большим. При Ер»1 в модели 1 график D(n) вырождается в ступеньку со скачком при п = р. В той же ситуации сильного беспорядка в модели 2, при А > 1, КД

исчезает в пределе низких концентраций в соответствии с известным фактом локализации броуновской частицы в сильно неупорядоченной среде [3]. Степенная зависимость (4) может использоваться как модельная при феноменологическом рассмотрении уравнений диффузионной кинетики или решении задачи диффузии с граничными условиями [4]. В

(4)

DsnM Д(Дяп(я/Д)/я)'

А

о

10

D

0.5

n

0

1.0

O

1.0

Рис. 2. Зависимость D(n) для различных видов статистики беспорядка. Здесь 0<п<1 - концентрация диффузанта, нормированная на число узлов решетки, а - модель двух состояний (еР=5, концентрации ловушек показаны на кривых: р=0.1 и р=0.9), б - модель непрерывного спектра. Числа на кривых показывают ширину распределения, xá-рактеризующую степень неупорядоченности.

последнем случае характерной особенностью является замедленная эволюция полуширины Хо диффузионного пакета

и образование резкого фронта (т.е. выраженной границы между областями п?Ю и п=0), где зависимость концентрации от расстояния ъ до границы имеет вид:

Соотношение (5) согласуется с известными [3] результатами для диффузии уединенной частицы в модели 2.

Нелинейность диффузии, полученная здесь как следствие микроскопической неоднородности (энергетической неэквивалентности узлов решетки), вместе с макроскопической неоднородностью материала, приводит к асимметрии его диффузионной проницаемости: переста-

(5)

XoCCt1^)

(6)

П0С21/(Д-1)

новка граничных условий меняет не только направление, но и величину потока. Такой материал может выступать как молекулярный диод.

В четвертой главе исследуется влияние беспорядка и анизотропии взаимодействия на кинетику диффузии. Методом Монте Карло рассматривается пространственное заполнение первоначально пустой решетки локально анизотропно взаимодействующими частицами.

Практическим применением здесь может быть моделирование контролируемого диффузией кислородного обмена в УВагСизОб+х, физические свойства которого сильно зависят от степени содержания и упорядоченности кислорода. Известно, что атомы кислорода подвижны в основном в Си(1) плоскости, а их описание моделью решеточного газа с локально анизотропными взаимодействиями хорошо воспроизводит наблюдаемые фазовые диаграммы системы [5].

Имея в виду сорбцию кислорода в УВа2СизОб+х, мы проводили моделирование на решетке, соответствующей Си(1) плоскости, с параметрами взаимодействия [5]. Рассматривается первоначально пустая цилиндрическая решетка 80x80 ячеек с граничными условиями, соответствующими постоянному внешнему давлению и учитывающими диссоциативный характер растворения кислорода. Вероятности прыжков между позициями I и Г вычисляем с использованием алгоритма Метрополиса.

Кинетическая кривая, описывающая полное содержание атомов в решетке х, состоит из двух стадий (Рис.3). На быстрой начальной стадии она следует хорошо известному параболическому закону:

(7) х(1) = А11/2,

причем коэффициент А (и, следовательно, формально вводимый макроскопический КД) немонотонно зависит от температуры. Типичный концентрационный профиль при не слишком высоких температурах имеет резкий фронт, состоящий из фрагментов упорядоченных (цепочечных) фаз. Причина заключается в том, что концы цепочек вы-

ступают как энергетические ловушки для несвязанных атомов. При этом наблюдается направление преимущественной ориентации цепочечных доменов. Область перехода на больших временах к аномально замедленной кинетике (Рис. 3) соответствует повороту этого направления на 90°.

Отметим, что экспериментальная кинетика абсорбции кислорода в УВагСизОб+х [7] также состоит из параболического закона (7) и дальнейшего аномального замедления.

В пятой главе рассматривается кинетика перехода спираль-клубок в нуклеиновых кислотах с учетом локальных дефектов спирали и строится статистико-механическая модель ее ядра нуклеа-ции.

Формальная аналогия между кристаллической решеткой и двойной спиралью проявляется и в их физических свойствах: плавление в узком температурном интервале и рост после образования критического зародыша. Установлено, что первые несколько спиральных пар образуются и разрываются в быстром равновесии, так что зародыш много раз диссоциирует, пока не достигнет критического для ассоциации разиера [8]. Последний соответствует максимуму свободной энергии зародыша, а энергетический барьер обуславливает существование до-критических состояний.

О ю3 5.1 о3

(Т1ЕЕ)1/2

Рис. 3. Кинетические кривые .для разных температур и постоянного внешнего давления. Числа на кривых показывают температуру в единицах энергии отталкивания ближайших соседей [5]. Время измеряется в числе шагов Монте Карло на одну частицу.

Рассматривается образование двойной спирали из гомополимер-ных цепочек длиной N. На промежуточных временах кинетика процесса определяется заселенностями докритических состояний, когда их можно описывать статистической механикой. Статсумма Z квазиравновесной спирали получается раздельным вычислением статсумм ее элементов - зародыша размером n, Zcore(n), и не вошедших в его состав свободных участков цепочек, Zencjs(N-n). Вычисление Z проводится на основе одномерной модели Изинга ближайших соседей с использованием переходного оператора, связывающего состояния соседних звеньев. Для описания статистики состояний в свободных концах и двойной спирали вводятся два оператора перехода, Qi и Q2, соответственно.

Свободная энергия F(n) = - kT lnZ состоит из двух противоположных по знаку вкладов - дестабилизации спирали дефектами и эффективного выигрыша (который определяется- отношением максимальных собственных чисел матриц Q2 и Q) и длиной п). Условие максимальности F(n) позволяет найти размер критического зародыша, v. По порядку величины v равен радиусу корреляции дефектов двойной спирали, определяемого щелью в спектре оператора Q2. Величина v уменьшается с ростом термодинамической "силы" перехода (что согласуется с наблюдаемым [9] различием v для цепочек со "слабыми" и "сильными" парами), при превышении которой порогового значения метастабильный минимум исчезает.

Кинетика перехода сопровождается релаксацией внутренних степеней свободы (подансамблей свободных концов и дефектов спирали) -поэтому движение границы зародыша представимо в виде одномерной диффузии с памятью в пространстве его размеров. (Тот же физический механизм приводит к немарковости диффузии вдоль дислокации в главе 2, где внутренней степенью свободы является расстояние до оси.)

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации:

1. Строго и детально решена задача случайных блужданий вокруг винтовой дислокации в среде с произвольной степенью анизотропии. Показана некорректность континуального описания диффузии вдоль дислокации с точечным ядром. Найдена временная зависимость эффективного коэффициента диффузии вдоль дислокации с ядром конечного размера. Установлено, что при конечной концентрации дислокаций и сильной анизотропии стационарное значение макроскопического коэффициента диффузии определяется функцией корреляции плотности вектора Бюргерса.

2. Для модели решеточного газа анизотропного кристалла с некоррелированным статическим беспорядком значение коэффициента коллективной диффузии вычислено в приближении типа эффективной среды. Показано, что зависимости коэффициента диффузии от беспорядка по связям и беспорядка по узлам разделяются, концентрационная зависимость коэффициента диффузии определяется узельным беспорядком. Для системы с сильным беспорядком получен эффект автолокализации фронта диффузии. Выявлена асимметрия диффузионной проницаемости неоднородно-разупорядоченной мембраны.

3. Показано, что кинетика абсорбции двумерного решеточного газа с локально анизотропными взаимодействиями состоит из двух стадий, с параболической (нормальной) и замедленной (аномальной) временными зависимостями. Установлена немонотонность температурной зависимости эффективного коэффициента диффузии на нормальной стадии.

4. Предложена статистико-механическая модель роста двойной спирали нуклеиновых кислот и показано, что существование ее критического зародыша может быть объяснено тепловыми флуктуациями ее структуры. Определен размер критического зародыша и установлен порог метастабильности двойной спирали.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Якобсон Б.И., Титов И.И. Кинетические особенности диффузии в средах с винтовыми дислокациями. - Изв. АН Латв. ССР, сер. физ.-тех., 1988, в. 1, стр. 82-88.

2. Titov I.I., Yakobson B.I. Concentration dependent diffusion coefficient within the lattice gas model of disordered crystal. - Rev. Solid State Sci., 1991, v. 5, pp. 53-59.

3. Alekseenko V.V., Titov I.I. Monte Carlo simulation of oxygen exchange kinetics in УВа2СизОб+х- - Physica C, 1991, v. 185-189, pp. 1715-1716.

4. Titov I.I., Yakobson B.I. Fick's law in disordered crystal. Proc. of II Symp. on the Solid State Chemistry, Pardubice, Cshechoslovakia, 1989.

5. Титов И.И. Закон Фика на нерегулярной поверхности кристалла. В сб.: Химия и физика твердого тела. Ленинград, Наука, 1989, стр. 28-29.

6. Yakobson B.I., Titov I.I. Heterogeneous crystal as a molecular diod. Proc. of International Symposium on the Electronic Structure and Propeties of Molecules and Crystals, Dubrovnic, Yugoslavia, 1988.7. Titov I.I. Transport asymmetry in inhomogeneous membrane with traps. Proc. of Metabolic Engineering Conference, Denvers, USA, 1996.

Цитированная литература.

1. Каур И., Густ В. Диффузия по границам зерен. - М.: Машиностроение, 1991.-448 с.

2. Kutner R. - Chemical diffusion in the lattice gas of non-interating particles. Phys. Lett. A, 1981, v. 81, N 4, p. 239-240.

3. Haus J.W., Kehr K.W. Diffusion in regular and disordered lattices. Phys. Rep., 1987, v. 150, N 5-6, p. 263-406.

4. Баренблатг Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. - Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - 255 с.

5. Bartelt N.C., Einstein T.L., Wille L.T. - Phase diagram and critical properties of a two-dimensional lattice-gas model of oxygen ordering in YBa2Cu306+x. Phys. Rev. B, 1989, v. 40, N. 16, p. 10759-10765.

7. Степанов А.А., Хайновский Н.Г., Павлюхнн Ю.Т., Рыков А.И. - Кинетика кислородного обмена в высокотемпературном сверхпроводнике YBa2Cu306+x. СФХТ, 1990, т. 3, N 1, с.114-119.

8. Porschke D. - Elementary steps of base recognition and helix-coil transition in nucleic acids. Mol. Biol. Biochem. Biophys., 1977, v. 24, p. 191218.

9. Зенгер В. Принципы структурной организации нуклеиновых кислот,-М.: Мир, 1987.-589 с.