Модели материалов с памятью формы при конечных деформациях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ХУ

' МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В. ЛОМОНОСОВА Механико-математический факультет

На правах рукописи

ДОЧйЭ-"'

ШУТКИН Андрей Сергеевич

МОДЕЛИ МАТЕРИАЛОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ ПРИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 7 ЯН3 201?

Москва — 2010

4842948

Работа выполнена на кафедре теории упругости механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Бровко Георгий Леонидович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Мовчан Андрей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор

Маркин Алексей Александрович

Ведущая организация Учреждение Российской Академии

Наук Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН

Защита состоится 11 февраля 2011 года в часов на заседании специализированного совета Д 501.001.91 по механике при Московском Государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 'ЦДО .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан « декабря 2010 года.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д 501.001.91 профессор

С. В. Шешенин

Актуальность, цели и задачи исследования

Материалы с памятью формы, открытые в середине прошлого века, в наше время широко применяются в различных отраслях производства, в том числе в авиастроении, в космическом производстве и в медицине. При использовании таких материалов в технологическом процессе необходимо правильно предсказывать происходящие в них фазовые превращения при изменениях температуры окружающей среды и приложенных к изделию нагрузок. В большинстве случаев использования сплавов с памятью формы, их свойства сводятся к проявлению простых одномерных эффектов, предсказание которых базируется, как правило, на накопленном эмпирическом опыте. Методика описания двух- и трехмерных эффектов недостаточно развита, и требуется ее доработка с использованием существующих теоретических основ.

Существует множество моделей, описывающих свойства материалов с памятью формы, часть из них способны описать поведение этих материалов в том числе и в трехмерном случае. Однако, отсутствие общих алгоритмов идентификации (нахождения материальных констант и функций) этих моделей для произвольных материалов затрудняет их практическое использование.

Несмотря на достаточно большие деформации, развивающиеся в изделиях из сплавов с памятью формы (более 10%), подавляющее большинство моделей написаны в терминах малых деформаций. Существуют разные методы обобщения известных моделей деформируемых твердых тел на область конечных деформаций, в том числе с использованием различных тензорных мер, выбор которых существенно влияет на свойства модели материала. Использование подобных подходов к обобщению определяющих соотношений на область конечных деформаций представляется возможным и для моделей материалов с памятью формы.

Основной целью диссертационной работы являлось построение новых определяющих соотношений материалов с памятью формы путем обобщения известных моделей на область конечных деформаций, а также разработка методики идентификации исходных и модифицированных моделей.

Были поставлены следующие задачи:

1) сравнение существующих моделей материалов с памятью формы;

2) разработка подходов к обобщению определяющих соотношений моделей материалов с памятью формы на область конечных деформаций;

3) разработка и проверка алгоритма идентификации моделей материалов с памятью формы.

Новизна и достоверность предложенных методов и решений

Проведено сравнение четырех моделей сплавов с памятью формы, основанных на различных подходах к описанию свойств материала: модели Абдрахманова, модели Бертрама, модели Танаки и модели Мовчана. Две из них — модель Танаки и модель Мовчана — детально исследованы на предмет описания основных эффектов, проявляемых материалами с памятью формы. Были проведены соответствующие расчеты, позволяющие описать эксперименты, в которых проявляются следующие эффекты: эффект монотонной памяти формы, эффет реверсивной памяти формы и явление фазовой текучести.

По результатам сравнения, выделена модель Мовчана для проведения дальнейшего исследования, как наиболее удобная и лучше других описывающая рассматриваемые эффекты.

Предложены некоторые варианты описания неполных циклов фазовых превращений, пригодные для применения в составе большинства существующих моделей.

Разработан метод обобщения моделей сплавов с памятью формы на область конечных деформаций. Для этого были использованы два формальных подхода к такому обобщению: материальный и пространственный. Оба подхода корректны относительно принципа материальной независимости от системы отсчета и заключаются в замене тензоров наряжений и малых деформаций на материальные или пространственные тензоры напряжений и конечных деформаций соответственно. Меры выбирались из параметрического семейства голономных энергетически сопряженных тензорных мер, предложенного Г.Л. Бровко.

С целью изучения влияния выбора конкретной пары мер на свойства моделей деформируемых твердых тел были построены решения тестовой задачи о простом сдвиге для обобщений четырех известных моделей: упругого тела, вязкоупругого тела, упруго-пластического тела и материала с памятью формы. Обобщение на область конечных деформаций проводилось двумя формальными способами (пространственным и материальным) с использованием нескольких пар мер напряжений и деформаций из предложенного семейства, вид которых задается значением параметра. Показана существенная зависимость свойств полученных обобщений от выбранной пары мер напряжений и конечных деформаций. Продемонстрированы различия в направлении и степени проявления эффектов Кельвина и Пойнтинга в зависимости от параметра семейства.

Для модели Мовчана материала с памятью формы аналогичные результаты получены для задачи, в которой проявляется эффект монотонной памяти формы, причем различия наблюдались уже при значениях деформации порядка 5%.

Предложен набор базовых экспериментов для идентификации моделей материалов с памятью формы. Построен алгоритм нахождения всех материальных констант модели Мовчана по данным идентификационных опытов. Для соотношений при малых деформациях все константы выражаются в аналитическом виде, для обобщенных на область конечных деформаций соотношений константы определяются с помощью численных методов с использованием программы Maple.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается использованием апробированных определяющих соотношений деформируемых твердых тел, проведением вычислений в известной программной среде Maple, хорошим совпадением результатов с экспериментальными данными.

Практическая и научная значимость, положения выносимые на защиту

1) Данные проведенного анализа различных соотношений материалов с памятью формы на предмет описания основных эффектов могут

быть использованы для выбора подходящей модели при решении конкретных задач.

2) Продемонстрированные различия в свойствах обобщенных на область конечных деформаций моделей говорят о широких возможностях варьирования свойств модели путем выбора конкретных мер деформаций и напряжений, входящих в определяющие соотношения.

3) Предложенный алгоритм идентификации моделей материалов с памятью формы пригоден для применения в том числе при использовании определяющих соотношений при конечных деформациях. При этом определение наилучшей пары тензорных мер производится на основе экспериментальных данных.

Апробация работы

1) Научные семинары кафедр МГУ: теории упругости, теории пластичности, механики композитов.

2) Конференция-конкурс молодых ученых Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2005, 2006, 2007, 2009гг.

3) Международная научная конференция «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула, 19-21 ноября 2007г., Тула, 23-27 ноября 2009г., Тула 22-26 ноября 2010г.

4) Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов». Москва, 14-18 апреля 2009г., Москва, 12-15 апреля 2010г.

5) Ломоносовские чтения МГУ. Москва, 2009, 2010гг. Объём и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Объем диссертации — 92 страниц. Работа содержит 40 рисунков и библиографический список из 89 наименований.

Краткое изложение содержания работы

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулированы дели работы, и приведено краткое содержание работы.

В первой главе проводится сравнительный анализ подходов к моделированию свойств материалов с памятью формы.

В параграфе 1.1 приводится описание основных свойств материалов с памятью формы. Причиной проявляемых ими специфических явлений являются происходящие в них мартенситные превращения, заключающиеся в изменении кристаллической структуры материала под влиянием температуры и напряжений.

При высоких температурах в материале устойчивой является кристаллическая решетка одной структуры (высокотемпературное состояние называют аустенитом), а при низких — другой структуры (низкотемпературное состояние называют мартенситом)1.

При некоторых промежуточных температурах в материале могут присутствовать обе фазы, причем переход из одной фазы в другую происходит по схеме, изображенной на рисунке 1. При понижении температуры переход аустенит—>мартенсит, называемый прямым мартенситным превращением, начинается при температуре Ms, а заканчивается при температуре Mj. Переход мартенсит—>аустенит (обратное мартенситное превращение) начинается при температуре А3 и заканчивается при температуре Af. Взаимное расположение температур Аа и Ms может быть различным у разных материалов (рисунок 1,а,б).

Кроме того, прямое мартенситное превращение может быть инициировано механическим нагружением. При этом мартенситное состояние может быть как устойчивым (материал остается в мартенситной фазе после разгрузки, рисунок 1,а), так и неустойчивым (материал при разгрузке переходит обратно в аустенитную фазу, рисунок 1,6).

Благодаря мартенситным превращениям, диаграмма деформирования материалов с памятью формы сильно отличается от аналогичной диаграм-

!Под высокими и низкими температурами понимаются характерные температуры для конкретного материала. То есть у одного материала аустенитная решетка может быть стабильной при комнатной температуре (например, у Ti-50%Ni), у других — только при 100°С или 200°С (например, у сплавов на основе Fe), а у некоторых уже при -100°С (Ti-51%Ni).

а) б)

Рис. 1. Фазовые диаграммы для материалов с мартенситными превращениями. д — объемная доля мартенсита, а — широкий гистерезис; б — узкий гистерезис.

мы обычных сплавов и металлов. Так, если обычные славы после упругого деформирования входят в стадию необратимого пластического деформирования (см. рисунок 2,а), то диаграмма растяжения материала с памятью формы после упругого этапа имеет участок «фазовой» текучести (см. рисунок 2,6). Упрочнение материала на этом этапе малб по сравнению с упругим деформированием, однако накопленная в ходе «фазовой» текучести деформация является обратимой. После участка «фазовой» текучести материал с памятью формы снова начинает деформироваться упруго, а затем, как и обычные сплавы, входит в стадию накопления необратимых пластических деформаций.

а) б)

Рис. 2. Типичные диаграммы деформирования обычного пластического материала (а) и материала с памятью формы (б).

Кривая деформирования материалов с памятью формы не является постоянной для одного материала, а сильно зависит от многих факторов, таких как температура проведения эксперимента, размеры зерен, состав сплава и предварительная термообработка.

В параграфе 1.2 приводится обзор основных эффектов, проявляемых материалами с памятью формы: эффекта «пластичности превращения», эффектов монотонной и обратимой памяти формы, эффекта реверсивной памяти формы, эффекта генерации реактивных сил и эффекта «ориентированного превращения».

Наиболее популярные из них — эффект «пластичности превращения» и эффект монотонной памяти формы. Эффект «пластичности превращения» заключается в росте фазовых деформаций в направлении действующего напряжения при охлаждении образца из аустенитного состояния в мартенситное. Эффект памяти формы заключается в возврате на этапе обратного мартенситного превращения фазовых деформаций, накопленных на этапе прямого превращения.

В параграфе 1.3 приведены определяющие соотношения нескольких моделей материалов с памятью формы: достаточно простой модели Аб-драхманова; модели Бертрама, описывающей поведение сплавов с памятью формы с применением теории течений; модели Танаки, основанной на положениях термодинамики; модели Мовчана, использующей микромеханический подход.

Параграф 1.4 посвящен сравнению представленных моделей на предмет описания основных эффектов. Для моделей Мовчана и Танаки проводятся расчеты по данным трех реальных экспериментов: опыта с проявлением эффекта памяти формы, опыта с проявлением эффекта реверсивной памяти формы и опыта на явления фазовой текучести. Полученные решения этих задач сравниваются с экспериментальными данными. На основе проведенного анализа делаются выводы о пригодности моделей для описания основных эффектов (см. таблицу 1).

В параграфе 1.5 обсуждается вопрос описания поведения материалов с памятью формы при незавершенных циклах фазовых превращений. Большинство авторов моделей уделяют этой проблеме мало внимания. Хотя на практике такие случаи встречаются достаточно часто, возникающие при

Модель Мовчана Модель Та-наки Модель Бертрама Модель Аб-драхманова

Монотонный ЭПФ описывает достаточно точно качественно описывает описывает достаточно точно качественно описывает

Обратимый ЭФП качественно описывает качественно описывает не описывает в отсутствии напряжений не описывает в отсутствии напряжений

Реверсивный ЭФП описывает достаточно точно * не описывает не описывает не описывает

Явление фазовой текучести описывает достаточно точно при температурах больше Мв качественно описывает при температурах больше Мз описывает достаточно точно при температурах больше Мв не описывает

Генерация реактивных сил качественно описывает качественно описывает качественно описывает качественно описывает

Эфф. деформации «ориентированного превращения» описывает достаточно точно качественно описывает не описывает качественно описывает

* — в одной из ранних работ A.A. Мовчана предложено соотношение для процесса обратного превращения, которое описывает эффект реверсивного превращения. В более поздних работах предлагается более простое соотношение, которое этот эффект не учитывает.

Таблица 1. Сравнение моделей, описывающих материалы с памятью формы.

этом эффекты до сих пор плохо изучены.

На рисунке 3,а представлена фазовая диаграмма для полных переходов. В качестве простейшего варианта описания прерванного прямого или обратного перехода можно предложить условие постоянства доли мартенсита внутри исходного гистерезиса (рисунок 3,6). К сожалению, такое простое описание не соответствует экспериментам, так как на практике после прерванного при температуре Та (см. рисунок 3,6) прямого перехода обратное превращение всегда начинается при более низкой температуре, чем температура Тв (рисунок 3,6).

Рис. 3. Диаграмма фазовых превращений материала с памятью формы, а — полные циклы, б, в, г — варианты обобщений на неполные переходы

Более близкими к реальным данным являются варианты, представленные на рисунках 3,в и 3,г. Первый из них был предложен А.А.Мовчаном в одной из ранних работ, второй предлагается в настоящей работе и отличается от первого тем, что при повторном прерывании на этапе обратного превращения, кривая проходит через точку первого прерывания на этапе прямого превращения (точка А на рисунке).

Подробно последнюю схему можно описать следующим образом:

1) Прямое превращение всегда начинается при одной и той же температуре Мв.

2) После прерывания обратного превращения и до температуры М3 доля мартенсита д постоянна.

3) Кривая д(Т) прямого превращения должна проходить через все точки предыдущих разворотов на этапах прямого превращения (на рисунке 3,в одна точка — А).

4) На участках между двумя любыми ключевыми точками этапа прямого превращения (ключевые точки — это все точки разворота, а также точки начала и конца превращения) зависимость д(Т) пропорциональна исходной зависимости д(Т) для прямого превращения, то есть исходная функция нормируется так, чтобы получившаяся функция прошла через две ключевые точки.

5) Все перечисленные пункты верны и для обратного мартенситного превращения.

Такая схема описания неполных циклов может быть использована в составе любой модели, в которой вводятся зависимости доли мартенсита от параметров состояния.

Вторая глава посвящена подходам к обобщению определяющих соотношений на область конечных деформаций.

В параграфе П.1 приведены общие положения и определения. Приводятся выражения известных характеристик деформации частицы через аффинор деформации А, а также некоторые характеристики напряженного состояния, выраженные через тензор истинных напряжений Коши Б и аффинор деформаций А.

Выделяются два типа объективных тензоров: правые (также называемые материальными или инвариантными) и левые (также называемые пространственными или индифферентными). Правые тензоры не изменяются при переходе к новой системе отсчета, а левые преобразуются по закону:

где 2(£) — ортогональный тензор поворота старой системы отсчета относительно новой.

Правые и и левые Ъ тензоры, описывающие один и тот же механический процесс, могут быть связаны соотношениями эквивалентности вида:

где Ли В - невырожденные тензоры 2-го ранга, зависящие от движения частицы среды.

(1)

2 = А и-Вт,

(2)

В качестве характеристики скорости изменения правых тензоров используют материальные производные. Материальная производная от левого тензора не является левым тензором. Для сохранения корректности определяющих соотношений, в качестве скорости изменения левых тензоров на основе (2) вводятся объективные производные:

ОД = А• и • Вт = Л-{Л'1 ■ Ъ ■ В~1ТУ-Вт. (3)

Производная, заданная по формуле (3), преобразуется по закону (1). Примерами таких производных являются:

Дкл И = Ъ + • Z + Ъ • Ю — производная Коттер-Ривлина при Л = В = А"1Т,

АэмИ = Ъ-Т) Ъ-Ъ-Бт — производная Олдройдапри Л = В — А,

Д)И = 25 — По • 2 + Ъ • Г20 — нейтральная производная Динса при

л = в =

Д/И = Ъ + П ■ Ъ + Ъ ■ П — производная Яумана, где Ю = А-А-1 — тензор скоростей дисторсий, По = С}£2Т, П — <3<3Т+С5-|(Х-Х-1 — Х-1 — тензор скоростей вращений, — ортогональный

тензор поворота из полярного разложения аффинора деформаций.

В параграфе П.2 описаны подходы к построению определяющих соотношений при конечных деформациях, предпринятые в данной работе.

Рассматриваются два формальных подхода к обобщению известных соотношений при малых деформациях на область конечных деформаций. Первый подход заключается в замене мер малых деформаций и их производных на правые меры конечных деформаций и их материальные производные. Второй подход — в замене мер малых деформаций и их производных на левые меры конечных деформаций и их объективные производные. То есть, если в исходных соотношениях фигурируют сг — тензор напряжений, е — тензор деформаций и е — производная от тензора деформаций, то, согласно первому подходу, вместо них следует использовать, например, Е| — тензор напряжений Ильюшина, £\ — тензор деформаций Коши-Грина и ¿1 — его производную. Согласно второму подходу, можно взять, например, Б — тензор истинных напряжений Коши, Е1 — тензор деформаций Альманзи и его объективную производную О^Е^ = А^1Т-(АТ-Е1-А)'-А-1.

Пары мер конечных деформаций и напряжений, как правило, подбираются таким образом, чтобы выполнялось условие их энергетической сопряженности:

Для обобщения моделей на область конечных деформаций в настоящей работе рассматриваются меры из предложенного Г.Л. Бровко параметрического семейства голономных энергетически сопряженных тензорных мер напряжений и конечных деформаций, которое включает в себя как частные случаи меры деформаций Грина и Альманзи, тензоры напряжений Коши и Ильюшина.

Правые меры конечных деформаций £с из рассматриваемого семейства задаются следующим образом:

ес= (х-х-1) • ((1 + с)х + (1 - с) х-1)-1,

где с е [-1,1] — параметр, X — симметричный тензор растяжений из правого полярного разложения аффинора деформаций А.

Соответствующие им правые меры напряжений задаются формулой:

Ес = | ((1 + с)Х + (1 - с)Х-1) • <ЭТ • в • С} • ((1 4- с)Х + (1 - с)Х-1),

где СЗ — ортогональный тензор поворота из полярного разложения аффинора деформаций А, Э — тензор истинных напряжений Коши. Левые меры деформаций выражаются формулой:

Ес = 1 (V - V"1) • ((1 + С) V + (1 - с) V-1), (4)

где У — симметричный тензор растяжений из левого полярного разложения аффинора деформаций А.

Левой мерой напряжений служит тензор истинных напряжений Коши

Б.

В параграфе П.З приводятся примеры обобщения известных соотношений, справедливых при малых деформациях, на область конечных дефор-

мадий. В качестве тестовой решается задача о простом сдвиге с использованием четырех обобщенных моделей: упругого тела, вязкоупругого тела, упруго-пластического тела и модели A.A. Мовчана материала с памятью формы.

Для каждой из моделей используются правый и левый формальные подходы к построению определяющих соотношений при конечных деформациях и пары мер из рассматриваемого семейства, соответствующие значениям параметра с = ±1, с = с = ±|, с = 0.

На основе полученных решений демонстрируются различия в свойствах обобщенных моделей в зависимости от выбранной пары мер. Отмечено существенное влияние параметра с на направление и степень проявления эффектов Кельвина и Пойнтинга. Проводится сравнение свойств построенных здесь обобщений модели A.A. Мовчана со свойствами аналогичного обобщения, предложенного самим автором в одной из своих работ, в котором используется пространственный формальный подход, мера Генки в качестве меры деформаций и производная Яуманна в качестве объективной производной.

Для модели материала с памятью формы, обобщенной на область конечных деформаций, решается тестовая задача, в которой проявляется эффект монотонной памяти формы. Влияние на свойства обобщенной модели выбранной пары мер заметно уже при деформациях порядка 5 — 7% (рисунок 4).

Рис. 4. Эффект монотонной памяти формы. Пространственный (слева) и материальный (справа) подходы (с = 0, с = ±|, с = ±1).

На численном примере показано приближенное совпадение результатов расчетов, построенных по авторскому обобщению модели A.A. Мовчана, с результатами одного из вариантов обобщений из предлагаемого в настоящей работе семейства.

Третья глава посвящена вопросам идентификации моделей материалов с памятью формы.

В параграфе III.1 перечислены некоторые используемые в настоящее время способы определения характеристических температур материалов с памятью формы.

В параграфе III.2 предлагается полный набор базовых экспериментов, пригодный для идентификации моделей материалов с памятью формы. Оптимальным для нахождения всех констант моделей видится набор опытов, основанных на проявлении основных эффектов, присущих этим материалам:

1) Механическая спектроскопия. Под действием небольших по амплитуде колебаний растягивающего напряжения производится охлаждение и нагрев образца. Измеряется внутреннее трение в интервалах фазовых превращений.

2) Растяжение и разгрузка образца при постоянной температуре. Наблюдается явление фазовой текучести.

3) Охлаждение и нагрев нагруженной постоянным крутящим моментом тонкостенной трубки. Наблюдаются эффект «пластичности превращения» и эффект памяти формы.

4) Охлаждение и нагрев тонкостенной трубки с разгрузкой в середите прямого мартенситного превращения. Наблюдается эффект «ориентированного превращения».

В параграфе III.3 подробно описывается алгоритм нахождения всех констант модели Мовчана по данным четырех базовых экспериментов.

В этой модели предполагается аддитивное разложение приращения тензора деформаций на независимые компоненты:

d£ij = + dsfj +

где dz\j отвечает за упругую деформацию, dejj — за температурную, а dsff — за фазовую. Случаи возникновения пластической деформации не рассматриваются.

Упругая составляющая деформации вычисляется согласно закону Гука:

-е _ -е/ _

tfcfc зк, e« 2G,

где e|fc и akk — следы тензора упругой деформации и тензора напряжений, и — компоненты девиаторов тензора упругой деформации и тензора напряжений. К и G — упругие модули, которые вообще говоря существенно зависят от объемной доли мартенсита q. Один из возможных вариантов представления этой зависимости следующий:

1 ^ g , i = JL + iZl К Км К а ' G GM Ga'

где Км> К a, Gm, G а — соответствующие постоянные значения упругих модулей материала в чисто мартенситном (с индексом М) и чисто аусте-нитном (с индексом А) состояниях.

Температурная составляющая деформации вычисляетя по закону:

4 = а(Т ~ Т0)5ц,

где То — температура, при которой температурная компонента деформации равна 0, а — коэффициент теплового расширения, который, как и упругие модули, зависит от объемной доли мартенсита следующим образом:

1 = g [ 1-g

а ам <УА

Объемная доля мартенсита полагается зависящей от температуры Т и интенсивности тензора напряжений сги:

q = fi (Т - kc7U) — при прямом превращении, g = fiiT — kau) — при обратном превращении,

где к — материальная постоянная, сги — текущее значение интенсивности напряжений. Гипотеза о том, что зависимость объемной доли мартенсита

от температуры и компонент тензора напряжений сводится к зависимости от представленной комбинации Т — каи достаточно хорошо согласуется с экспериментальным данными и в свою очередь сильно упрощает расчеты.

Функции /i и /2 в общем случае можно считать материальными функциями среды. На практике используются различные их алгебраические аппроксимации: линейные, степенные или тригонометрические. Важен тот факт, что функции Д, /2 должны быть монотонно убывающими по своему аргументу.

Приращение фазовой составляющей деформации предлагается вычислять по-разному в зависимости от направления мартенситного превращения. А именно, для прямого превращения:

cte?h = (р5ц + со<4-(1 - a0q) + a0£?h') dq,

где ao, со, /3 — положительные константы материала, причем ао < 1, efj1' — текущее значение компонент девиатора тензора фазовых деформаций, сгу — текущее значение компонент девиатора напряжений.

В случае обратного мартенситного превращения идет процесс исчезновения кристаллов мартенсита, который значительно проще процесса их зарождения, поэтому и соотношение будет простым:

£Ph

def = -2-dq

3 q

Из эксперимента на механическую спектроскопию находятся константы: Мд, Mf, As, Af — характеристические температуры материала, которые используются практически во всех моделях; Км, К a, Gm, Ga — упругие модули (с индексом М — в мартенситном состоянии, с индексом А — в аустенитном); ам, 01 д — коэффициенты температурного расширения для мартенсита и аустенита соответственно. Определение характерных температур материала основано на том факте, что во время мартенситных превращений, в материале резко возрастает величина внутреннего трения.

Эксперимент на растяжение образца при постоянной температуре Тэ позволяет найти константу к, а также проверить гипотезу зависимости доли мартенсита от комбинации Т - каи. Для этого достаточно записать

для точек начала и конца прямого превращения следующие соотношения:

Тэ - кар = Ма, ГЭ - к<тщ = Mf,

где ofh — напряжение, при котором начинается превращение, a <тМ{ — напряжение, при котором превращение заканчивается.

Из опыта на кручение тонкостенного цилиндра под действием постоянного момента находится константа cq:

■ 2тг Rhe$(Mf)

Со =-м-'

где R — радиус цилиндра, h — толщина цилиндра, е^М/) — значение сдвиговой компоненты тензора фазовых деформаций в конце прямого превращения, М — крутящий момент.

Константа оо определяется в опыте на эффект -сориентированного превращения» :

1 с0М

где (Af/) — значение сдвиговой компоненты тензора фазовых деформаций в конце прямого превращения, е-^—у^) — значение сдвиговой компоненты тензора фазовых деформаций после разгрузки примерно в середине прямого мартенситного перехода.

В параграфе Ш.4 на основе данных тех же четырех экспериментов находятся материальные константы модели Танаки.

В параграфе III. 5 описан алгоритм численного нахождения специфических констант ао, со модели Мовчана, обобщенной на область конечных деформаций, и параметра обобщения с. Расчет производится с помощью программы Maple по данным эксперимента на эффект «ориентированного превращения».

Общий алгоритм численного поиска материальных констант следующий:

1) В характерном для материалов с памятью формы эксперименте зада-

ются или измеряются усилия, перемещения и температура как функции от времени.

2) По заданным и измеренным величинам находятся значения Ээ (£) — тензора истинных напряжений Коши, Аэ(£) — аффинора деформаций и 2э(£) — температуры как экспериментальных функций от времени.

3) По значениям Аэ(Ч), Тэ(4) вычисляются используемые в обобщении тензоры напряжений, конечных деформаций и скоростей деформаций. Например, в случае материального формального обобщения и выборе мер деформаций и напряжений из семейства голоном-ных тензорных мер, приведенного в параграфе П.2, это будут Есэ(£), £сэ(£), ¿сэ(0) ЗД. В случае же пространственного подхода — 8э(£),

Ееэ(*), Ос[Есэ(¿)1, Гэ(<).

4) Экспериментальные значения мер напряжений и конечных деформаций подставляются в обобщенные определяющие соотношения. Для удовлетворения определяющих соотношений в них добавляются слагаемые невязки. Константы модели подбираются так, чтобы в совокупности минимизировать невязки.

В общем случае задача минимизации квадратичной суммы ошибок в зависимости от трех констант — задача достаточно сложная. Специфика опыта на эффект «ориентированного превращения» позволяет раздельно находить константы ао и со, что и используется в работе.

Построенный алгоритм проверяется на исходных данных, расчитанных по самой модели, затем на аналогичных данных, но с добавлением произвольных ошибок измерения, и, наконец, на серии реальных экспериментов. Идентификация по реальным данным производится по одному из шести опытов, проведенных с одним материалом. Затем найденные константы используются для описания остальных пяти опытов (см. рисунок 5).

Определение наилучшей пары тензорных мер напряжений и конечных деформаций также происходит в рамках предложенного алгоритма на основе экспериментальных данных.

е,%А

б

о

1

Рис. 5. Сравнение полученных решений с экспериментальными данными. Точками обозначены экспериментальные зависимости, линиями — решения, построенные с использованием найденных по алгоритму констант.

Основные результаты и выводы

1) Выполнено сравнение моделей материалов с памятью формы. Выделена модель Мовчана, лучшим образом описывающая основные эффекты материалов с памятью формы.

2) Реализован метод обобщения модели Мовчана на область конечных деформаций. Продемонстрировано заметное влияние выбора пары мер напряжений и деформаций на свойства обобщенной модели. Существенные различия в поведении моделей с разными мерами напряжений и деформаций расширяют возможности удовлетворения экспериментальных данных за счет варьирования используемых в определяющих соотношениях тензорных мер.

3) Построен и апробирован на виртуальных и реальных экспериментальных данных алгоритм идентификации модели материалов с памятью формы как при малых, так и при конечных деформациях. Для проверки устойчивости алгоритма к ошибкам измерения идентицика-ция модели проводилась также по возмущенным данным виртуального эксперимента. Достаточно точное описание реальных опытов с помощью идентифицируемой модели говорит о пригодности самой модели и алгоритма ее идентификации к практическому применению.

Список публикаций по теме работы

1) Шуткин A.C. Расчет простейших элементов конструкций из материалов с ЭПФ // Труды конференции-конкурса молодых ученых. Т78 12-17 октября 2005 г./ Под редакцией академика РАН Г.Г. Черного, профессора В.А. Самсонова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. С 276-281.

2) Шуткин A.C. Сравнение моделей, описывающих свойства материалов с эффектами памяти формы // Труды конференции-конкурса молодых ученых. Т78 11-16 октября 2006 г./ Под редакцией академика РАН Г.Г. Черного, профессора В.А. Самсонова. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007. С 295-305.

3) Шуткин A.C., Башурова Ю.В. Об идентификации моделей, описывающих поведение материалов с памятью фомры / / Известия Тульского государственного университета. Серия: Естественные науки. 2008. № 1. С. 95-110.

4) Бровко Г.Л., Шуткин A.C. Варианты выбора тензорных мер напряжений и конечных деформаций для описания поведения материалов с памятью формы // Ломоносовские чтения. Тезисы докладов научной конференции. Секция механики. 16-25 апреля 2009, Москва, МГУ. М.: Изд-во МГУ, 2009. с. 30.

5) Шуткин A.C. Некоторые методы обобщения определяющих соотношений материалов с памятью формы на случай конечных деформаций // Материалы международной научной конференкции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С 309-310.

6) Шуткин A.C. Подходы к обобщению определяющих соотношений деформируемых твердых тел на область конечных деформаций // Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 2. С. 166-180.

7) Бровко Г.Л., Шуткин A.C. Построение и идентификация моделей материалов с памятью формы при конечных деформациях / / Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. С 105-109.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж IО Сэкз. Заказ

Введение

I. Материалы с памятью формы

1.1. Характерные механические свойства материалов с памятью формы.

1.1.1. Термоупругие мартенситные превращения.

1.1.2. Диаграммы деформирования материалов с мартенситными превращениями

1.1.3. Влияние различных факторов на диаграммы деформирования

1.2. Эффекты, характерные для материалов с памятью формы.

1.2.1. Монотонный эффект памяти формы.

1.2.2. Эффект реверсивной памяти формы.

1.2.3. Эффект обратимой памяти формы.

1.2.4. Генерация реактивных сил.

1.2.5. Эффект деформации «ориентированного превращения»

1.3. Моделирование поведения МПФ

1.3.1. Модель Абдрахманова.

1.3.2. Модель Танаки

1.3.3. Модель Бертрама.

1.3.4. , Модель Мовчана.

1.3.5. Другие модели.

1.4. Сравнение моделей, моделирование основых эффектов.

1.4.1. Монотонный эффект памяти формы.

1.4.2. Реверсивный эффект памяти формы.

1.4.3. Явление фазовой текучести.

1.4.4. Сравнение результатов, полученных с использованием разных моделей

1.5. Предложения по моделированию неполных циклов фазовых превращений

II. Методы обобщения ОС на область конечных деформаций

II. 1. Основые положения, определения.

II.1.1. Кинематика конечных деформаций.

II. 1.2. Типы объективных тензоров.

II. 1.3. Объективные производные.

II.2. Подходы к построению определяющих соотношений при конечных деформациях 41 II.2.1. Материальный и пространственный подходы к обобщению определяющих сооношений.

П.2.2. Класс голономных энергетически сопряженных тензорных мер

II.3. Примеры обобщения известных моделей на область конечных деформаций

11.3.1. Движение простого сдвига.

11.3.2. Обобщение модели линейной упругости.

11.3.3. Обобщение определяющих соотношений малых упруго-пластических деформаций

11.3.4. Вязкоупругость. Обобщение модели Максвелла.

11.3.5. Модель материала с памятью формы

11.3.6. Задача о прямом превращении под действием постоянного напряжения и обратном превращении в отсутствии напряжений

И.3.7. Выводы по главе.

ШИдентификация моделей материалов с памятью формы

III.1. Общие методики идентификации моделей, описывающих поведение материалов с памятью формы.

III.2.0 построении набора базовых экспериментов.

111.3.Идентификация модели Мовчана при малых деформациях.

111.4. Идентификация модели Танаки при малых деформациях.

111.5. Идентификация модели материала с памятью формы при конечных деформациях

111.5.1. Построение алгоритма идентификации.

111.5.2. Проверка алгоритма идентификации на собственном численном эксперименте

111.5.3. Идентификация возмущенного решения собственного эксперимента

111.5.4. Идентификация материала по данным реального эксперимента.

В наше время во многих отраслях промышленности высокие технологии стали обычным явлением и использование специфических материалов со сложными свойствами становится необходимостью для производства продукции, удовлетворяющей запросам развивающегося общества.

Так, сплавы с памятью формы, открытые в 50-е годы прошлого века, находят все большее применение в медицине, авиастроении, космосе, а также во многих других отраслях производства и в быту.

Отличительной чертой этих сплавов является способность вспоминать некоторую форму, которая была им предварительно задана в особых условиях. То есть эти сплавы, не являясь живыми существами, обладают особым свойством, позволяющим им проявлять своеобразную память. Причиной этого являются так называемые мартенситные превращения, происходящие в материале под воздействием температуры и напряжений. При высоких температурах в материале устойчивой является кристаллическая решетка одной структуры (высокотемпературное состояние называют аустенитом), а при низких — другой структуры (низкотемпературное состояние называют мартенситом)1. При некоторых промежуточных температурах в материале могут присутствовать обе фазы.

Эффект памяти формы заключается в следующем:

Образцу в характерной для материала высокотемпературной области (в аустенитном состоянии) придается некоторая форма, которая полагается за исходную. Затем образец либо охлаждается под действием нагрузки до мартенситного состояния, что приводит к изменению его формы, либо охлаждается в свободном состоянии, а потом деформируется в мартенситной области. Если после этого образец нагреть, то первоначальная форма восстанавливается после достижения образцом характерных для данного материала температур.

Эффект запоминания формы был обнаружен у различных сплавов на основе титана, меди, марганца или железа. В настоящее время известно более 20 видов сплавов, которые проявляют свойства запоминания формы, но наиболее часто используемыми являются сплавы Т1№ различного атомного состава. Запоминание формы также наблюдается, хоть и в меньшей степени, у чистых металлов: кобальта, титана, циркония.

Помимо эффектов запоминания формы, никелиды титана обладают и другими полезными свойствами, такими как повышенная коррозионная стойкость, хорошая совместимость с живыми организмами, высокая демпфирующая способность, что делает их привлекательными для использования в производстве.

1Под высокими и низкими температурами понимаются характерные температуры для конкретного материала. То есть для одного материала аустенитная решетка может быть стабильной при комнатной температуре, для другого — при 100°С или 200°С, а для третьего при — 100°С

Еще в начале 70-х годов сплав с памятью формы Т1№Ее был применен в США при конструировании самолетов Е-14. Втулки из этого материала использовали для соединения труб гидравлической системы, которых в истребителе более 300 тысяч. Охлажденные до температуры жидкого азота втулки подвергали раздаче и надевали на концы соединяемых труб. Когда они нагревались до комнатной температуры, то «вспоминали» заданную им во время предварительной обработки форму, усаживались и жестко скрепляли между собой концы обеих труб.

Благодаря хорошей переносимости живыми организмами никелид титана стали широко использовать в медицине. К примеру, из него изготавливают фиксаторы, применяемые в челюстно-лицевой хирургии для лечения переломов нижней челюсти, дуги для исправления зубного ряда, стенты вводимые в сосуды кровеносной системы. Такие стенты вводятся в сосуд через катетер в виде проволоки, а затем в заданном месте под воздействием тепла человеческого тела приобретают необходимую форму. Из никелида титана делают искусственные мышцы, которые приводятся в действие электрическим током, искусственные удлинительные приспособления для так называемых растущих протезов у детей, стержни для коррекции позвоночника при сколиозе и еще много других приспособлений, используемых в медицине.

Еще одна область применения материалов с памятью формы — это различного рода тепловые и электрические сигнализаторы. Благодаря своей простоте сигнализирующие элементы из материалов с памятью формы превосходят по надежности электронные и механические аналоги. К примеру, из материалов с памятью формы производят элементы пожарной сигнализации, электросетевые предохранители, регуляторы температуры, устройства для закрывания и открывания форточек в теплицах и так далее.

Для изготовления большинства вышеупомянутых устройств необходимо правильно предсказывать поведение материала при различных изменениях температуры окружающей среды. В настоящее время в основе большинства таких устройте лежат простые одномерные эффекты, проявляемые сплавами с памятью формы, и для предсказания их поведения используют в основном накопленный эмпирический опыт.

Несмотря на то, что существует множество различных моделей для описания свойств материалов с памятью формы [1, 4, 19, 20, 39, 41, 42, 61, 73, 89], не так просто выбрать любую из них и предсказать поведение конкретного материала в заданных условиях. Это связано, во-первых, с обилием и сложностью различных эффектов, проявляемых сплавами с памятью формы. Ни одна из моделей не может претендовать на точное описания всех этих свойств, иначе она была бы слишком сложной и не пригодной для расчетов. Поэтому выбор модели должен основываться на конкретной задаче, которую предстоит решать, а точнее на перечне эффектов, которые могут повлиять на конечных результат, и которые должна правильно описывать модель.

Во-вторых, даже при удачно подобранной модели еще необходимо ее идентифицировать для конкретного материала, а именно найти все материальные константы и функции, соответствующие именно этому материалу. К сожалению, для большинства освещенных в литературе моделей материалов с памятью формы, авторы либо совсем не предоставляют набора констант, пригодного для расчетов, либо предоставляют некоторые константы для одного или нескольких сплавов, но не описывают методик вычисления этих констант для других материалов.

Кроме того, большинство моделей направлено на описание полных циклов превращений, когда аустенит полностью переходит в мартенсит, а затем обратно — полностью в аустенит. На практике, так как такие переходы происходят не мгновенно, а в некотором интервале температур, ничто не мешает, к примеру, прервать охлаждение образца из памяти формы в середине перехода аустенит—^мартенсит и начать его нагрев, в результате которого материал полностью перейдет в аустенитную фазу. Поведение сплавов с памятью формы при таких прерываниях несколько отличается от поведения при полных циклах превращения [35], однако большинство авторов моделей не уделяют этому достаточного внимания.

Практически все модели материалов с памятью формы записаны в терминах малых деформаций, хотя, как известно, обратимое деформирование этих материалов может достигать величин порядка 10%. Хотя существуют единичные попытки построения определяющих соотношений материалов с памятью формы при больших деформациях (например, [44]), перспективным представляется систематизация подходов к обобщению существующих моделей с применением теории конечных деформаций.

В работе были поставлены следующие задачи:

1) Сравнение существующих моделей на предмет корректности описания ими свойств материалов с памятью формы и выделение одной или двух их них, наиболее полно охватывающих круг специфических эффектов.

2) Построение обобщений моделей материалов с памятью формы на область конечных деформаций с целью более точного удовлетворения экспериментальных данных.

3) Разработка алгоритмов идентификации моделей при малых и при больших деформациях.

В главе I приведен обзор характерных свойств материалов с памятью формы, описаны отличия этих материалов от обычных сплавов и металлов, а также перечислены основные факторы влияющие на процессы их деформирования. Изложена суть большинства специфических эффектов, проявляемых материалами с памятью формы: эффекта «пластичности превращения», монотонной памяти формы, обратимой памяти формы, реверсивной памяти формы, явления «фазовой текучести», эффекта генерации реактивных усилий и эффекта «ориентированного превращения».

Дан обзор и проведено сравнение четырех моделей, описывающих поведение материалов с память формы:

1) модели Абдрахманова, наиболее простой в использовании;

2) модели Танаки, основанной на термодинамическом подходе к описанию свойств материалов с памятью формы;

3) модели Бертрама, иллюстрирующей подход к моделированию поведения материалов с памятью формы с точки зрения теории течений;

4) модели Мовчана, построенной на основе обобщения микромеханических процессов зарождения и роста кристаллов мартенсита.

Модели Танаки и Мовчана также детально проанализированы на предмет описания характерных эффектов. На основе проведенного сравнительного анализа для дальнейшего исследования выделена модель Мовчана, как наиболее удобная и наилучшим образом описывающая основные свойства материалов с памятью формы.

Предложен вариант описания неполных циклов фазовых превращений, пригодный для использования в составе большинства моделей.

Заключение

Целью работы являлось построение определяющих соотношений материалов с памятью формы при конечных деформациях и разработка алгоритма идентификации этих соотношений для возможности последующего использования моделей в практических расчетах.

Были поставлены следующие задачи:

1) Проведение сравнительного анализа существующих моделей материалов с памятью формы с целью выявления наиболее подходящей из них для описания большинства специфических эффектов, присущих этим материалам.

2) Разработка подходов к обобщению определяющих соотношений моделей материалов с памятью формы на область конечных деформаций.

3) Построение и проверка работоспособности алгоритма идентификации модели материала с памятью формы при малых и при больших деформациях.

Сравнение моделей материалов с памятью формы проводилось на основе описания ими основных эффектов, проявляемых этими материалами: эффекта монотонной памяти формы, эффекта реверсивной памяти формы, явления «фазовой текучести», эффекта генерации реактивных усилий и эффекта «ориентированного превращения».

Для сравнения были выбраны четыре модели, отличающиеся по сложности определяющих соотношений и по подходам к описанию механического поведения материалов с памятью формы: модель Абдрахманова, модель Бертрама, модель Танаки и модель Мовчана.

Детальное рассмотрение определяющих соотношений этих моделей позволило оценить, какие из вышеперечисленных основных эффектов может описать каждая из них.

Наиболее простой эффект монотонной памяти формы в той или иной мере описывается всеми перечисленными моделями. Однако модели Абдрахманова и Танаки в том виде, в котором они представлены в работах [1] и [89] соответственно, корректно описывают эффект памяти формы только в тех случаях, когда процесс запоминания формы на этапе прямого мартенсит-ного превращения происходит под действием охлаждения образца при постоянной нагрузке. В то время как модели Бертрама и Мовчана корректно описывают и процессы, в которых запоминание формы происходит под действием напряжений при постоянной температуре или при совместном изменении температуры и напряжений на этапе прямого мартенситного превращения.

Эффект реверсивной памяти формы является очень специфическим и малоизученным, поэтому большинство моделей его не учитывает. Так, из рассмотренных выше моделей, лишь модель Мовчана претендует на его описание. Причем сам автор этой модели отмечает, что предложенные им определяющие соотношения для обратного мартенситного перехода, охватывающие этот эффект, не имеют какого-либо микромеханического обоснования, а выведены эмпирически. Кроме того, автор предлагает также более простые для расчетов определяющие соотношения, которые эффект реверсивной памяти формы не описывают.

Явление «фазовой текучести» — это еще один простой эффект, благодаря которому диаграммы деформирования материалов с памятью формы так сильно отличаются от диаграмм деформирования обычных сплавов и металлов. Описание моделью этого эффекта подразумевает зависимость границ интервалов мартенситных превращений от действующих напряжений. Из рассматриваемых четырех моделей, все, кроме модели Абдрахманова, этот эффект описывают. В модели же Абдрахманова напряжения влияют только на величину накопленной деформации, но не на температуры, при которых начинаются и заканчиваются прямое и обратное превращения.

Эффект генерации реактивных сил является следствием проявления эффекта монотонной памяти формы в жестко закрепленном образце. А так как все четыре модели описывают эффект памяти формы, то и возникновение в закрепленном образце реактивных напряжений может предсказать любая из них.

Эффект «ориентированного превращения» можно описать с помощью определяющих соотношений Абдрахманова, Танаки и Мовчана. Однако модели Абдрахманова и Танаки при этом не описывают наблюдаемого в экспериментах снижения интенсивности деформирования, в то время как модель Мовчана эту особенность учитывает.

По результатам сравнения для дальнейшего исследования была выбрана модель Мовчана, как наиболее удобная и с большей точностью описывающая все основные свойства материалов с памятью формы.

В связи с недостаточной освещенностью в литературе вопроса о моделировании неполных циклов фазовых превращений, предложен вариант обобщения зависимости объемной доли мартенсита от температуры и действующих напряжений на случаи прерывания прямого и обратного превращений. Согласно этому предложению, прямое превращение (рост доли мартенсита), в том числе после прерывания обратного превращения, всегда начинается при одной и той же температуре2. Итоговая кривая зависимости доли мартенсита от температуры при прямом превращении проходит через все точки разворотов на предыдущих незавершенных этапах прямого превращения и между этими точками подобна исходной кривой. Вышесказанное справедливо и для обратного мартенситного превращения. Предложенное дополнение учитывает данные некоторых опытов с неполными переходами [35] и может быть использовано в составе любой модели, описывающей мартенситные превращения на основе величины объемной доли мартенсита в материале.

Построены обобщения определяющих соотношений модели материала с памятью формы на область конечных деформаций. Показано существенное влияние выбора конкретных тензорных мер напряжений и конечных деформаций из параметрического семейства голономных энергетически сопряженных тензорных мер на решения задачи о простом сдвиге и задачи о прямом и обратном превращениях. Задача о простом сдвиге решалась не только для обобщений модели материала с памятью формы, но и для более простых моделей: упргого тела,,вяз

2Имеется в виду единая температура начала прямого превращения при одних и тех же напряжениях. Влияние напряжения на температуры начала и конца мартенситного перехода учитывается отдельно, в каждой модели по-своему. коупругого тела и упругопластического тела. Существенные отличия решений, полученных с использованием различных мер, в задаче простого сдвига наблюдались при деформациях выше 10%, а в задаче о прямом и обратном превращениях уже при 5-7%.

Кроме того, для задачи о простом сдвиге отмечены принципиальные различия в проявлении эффектов Пойнтинга и Кельвина. Для некоторых значений параметра обобщения проявление этих эффектов имело положительный характер, а для других — отрицательный. А ввиду непрерывности изменения решения по параметру, для каждой из рассмотренных моделей находилось такое значение параметра, при котором эффекты Кельвина или Пойнтинга практически не проявлялись.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что более точного описания свойств того или иного материала можно добиться путем выбора подходящего варианта обобщения определяющих соотношений известной модели на область конечных деформаций.

Для идентификации моделей материалов с памятью формы при малых деформациях предложен набор из четырех базовых экспериментов, позволяющий идентифицировать любую из рассмотренных моделей. В этот набор вошли следующие опыты: механическая спектроскопия, позволяющая найти общепринятые константы материала, такие как характеристические температуры, упругие модули, коэффициент температурного расширения; эксперимент на растяжение образца при постоянной температуре, позволяющий найти константы, отвечающие за зависимость характеристических температур материала от действующих напряжений; опыты на эффекты «пластичности превращения» и «ориентированного превращения», из которых находятся остальные специфические константы моделей.

Для моделей Мовчана и Танаки при малых деформациях выведены аналитические формулы для нахождения всех материальных неизвестных по данным идентификационных опытов.

Разработан алгоритм численного нахождения специфических констант модели материала с памятью формы, обобщенной на область конечных деформаций, на основе опыта на эффект «ориентированного превращения». Согласно этому алгоритму, поиск констант происходит следующим образом:

1) В эксперименте задаются усилия и температура как функции от времени.

2) По заданным зависимостям и измеренным перемещениям вычисляются значения входящих в определяющие соотношения тензорных мер напряжений и конечных деформаций как функций от времени.

3) Вычисленные значения мер подставляются в определяющие соотношения, также в определяющие соотношения добавляются слагаемые невязок, для их тождественного удовлетворения.

4) Отрезок времени, на котором проводился эксперимент, разбивается на п частей и в каждом узле вычисляются значения невязкок, как функций от материальных констант модели.

5) Все полученые невязки возводятся в квадрат и суммируются. Значения констант, при которых полученная сумма будет иметь наименьшее значение, являются искомыми.

Предложенный алгоритм опробован на исходных данных, полученных с использованием самой идентифицируемой модели, причем сначала идентификация проводилась по идеальным данным, а затем по данным, в которых были сымитированы произвольные ошибки измерения. Найденные по «собственному эксперименту» константы слабо отличались от исходных.

На основе серии реальных экспериментов для никелида титана была проведена идентификация модели материала с памятью формы, обобщенной на область конечных деформаций. Идентификация проводилась по одному из шести опытов, затем найденные константы использовались для описания других опытов, проведенных с тем же материалом.

Идентифицированная модель оказалась в состоянии хорошо описать все шесть экспериментов, из чего можно сделать вывод о пригодности модели и алгоритма ее идентификации для практического применения.

1. Абдрахманов. С. Деформация материалов с памятью формы при термосиловом воздействии. Бишкек «Илим» 1991. — 49с.

2. Арбузова И.А., Гаврилюк B.C., Хандорс Л.Г. Внутреннее трение в сплавах Cu-Al-Ni в температурном интервале образования упругих кристаллов мартенсита // Физика металлов и металловедение, 1969, Т. 27, вып.6, с. 1126-1128.

3. Арбузова И.А., Гаврилюк B.C., Хандорс Л.Г. Внутреннее трение, связанное с движением межфазных границ при мартенситных превращениях // Физика металлов и металловедение, 1970, Т. 30, вып.1, с. 181-185.

4. Велко В.Н., Даринский В.М., Постников B.C., Шаршаков И.М. Внутреннее трение при бездиффузионных фазовых превращениях в сплавах Co-Ni // Физика металлов и металловедение, 1969, Т. 27, вып.1, с. 141-147.

5. Беляев С.П., Кузьмин С.Л., Рогачевская М.Ю. Эффект реверсивной памяти формы в сплавах на основе никелида титана // Структура и свойства металлических материалов и композиций. Межвуз. сб. Новгород: НПИ, 1989. С44-51.

6. Блантер М.С., Головин И.С., Головин С.А., Ильин A.A., Саррак В.И. Механическая спектроскопия металлических материалов. Москва 1994. 254с.

7. Бровко Г. Л. Развитие математического аппарата и основ общей теории определяющих соотношений механики сплошной среды : Автореф. дис. д-ра физ.-мат.наук / МГУ им. М.В. Ломоносова. Мех.-мат. фак. М., 1996.

8. Бровко Г. Л. Материальные и пространственные представления определяющих соотношений деформируемых сред // ПММ, 1990, Т.54, Вып.5, С.814-824.

9. Бровко Г.Л. Некоторые подходы к построению определяющих соотношений пластичности при больших деформациях // Упругость и неупругость. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. С.68-81.

10. Бровко Г.Л. Об одном семействе голономных тензорных мер деформаций и напряжений // Вестн. Моск. ун-та. Матем., механ, 1992, №4, С.86-91.

11. Бровко Г.Л., Абышко Л.А., Ткаченко Л.В. К моделированию свойств нелинейной упругости с помощью различных мер деформаций и напряжений // Упругость и неупругость. Часть 1. М.: Изд-во МГУ, 1993. С.138-155.

12. Бровко Г.Л., Ткаченко Л.В. Некоторые определяющие эксперименты для моделей нелинейно упругих тел при конечных деформациях // Вестник московского университета. Сер. 1, Математика. Механика, 1993, №4.

13. Быков Д. JI., Коновалов Д.Н. Эндохронная модель механического поведения стареющих вязкоупругих материалов при конечых деформациях // Известия РАН. М.: Наука, 2006, №6, С.136-149.

14. Васин P.A., Еникеев Ф.У. Введение в механику сверхпластичности. Часть 1. Уфа: Гилем, 1998. 279 с.

15. Вейман С.М. Деформация, механизм явления и другие характеристики сплавов с эффектом запоминания формы // Эффект памяти формы в сплавах. М.:Металлургия, 1979. С. 9-35.

16. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М-: Мир, 1965. 456 с.

17. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979. 760 с.

18. Волков А.Е., Лихачев В.А., Малинин В.Г. Применение структурно-аналитической концепции для расчета функциональных свойств памяти формы / / Новые методы в физике и механике деформируемого твердого тела. Томск, 1990. С. 51-55.

19. Волков А.Е., Лихачев В.А., Разов А.И. Механика пластичности материалов с фазовыми превращениями // Вестн. ЛГУ. 1984 №19, Вып. 4 С. 30-37.

20. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды, М.: Изд. МГУ, 1990, 310 с.

21. Ильюшин A.A. Пластичность. Часть 1. Упруго-пластические деформации, М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, 377 с.

22. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Из-во АН СССР, 1963. 271 с.

23. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости, М.: Наука, 1970, 280 с.

24. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости, М.: Мир, 1974, 228 с.

25. Захарова H.H., Кузьмин С.Л., Лихачев В.А., Патрикеев Ю.И., Королев М.Н. Исследование реактивных напряжений в композиции титан-никель-медь // Проблемы прочности. 1983. № 3. С. 84-88.

26. Кузьмин С.Л., Лихачев В.А., Тошпулатов Ч.Х. Эффект реверсивной памяти формы при знакопеременном деформировании // Физ. мет. и металловед. 1986. Т. 61, № 1. С. 79-85.

27. Кузьмин С.Л., Лихачев В.А., Шиманский С.Р., Чернышенко А.И. Эффект ориентированного превращения в никелиде титана // Физ. мет. и металловед. 1984. Т.57, № 3. С. 612-614.

28. Курдюмов Г. В. Бездиффузионные (мартенситные) превращения в сплавах. ЖТФ. 1948. Т. 18, №8. С.999-1025

29. Курдюмов Г.В., Хандрос Л.Г. О термоупругом равновесии при мартенситных превращениях // Докл. АН СССР, 1949, т. 66, № 2, с. 211-214.

30. Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка, 1987. 231 с.

31. Лихачев В.А. Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. Д.: Изд-во ЛГУ, 1987. 216 с.

32. Лихачев В.А., Патрикеев Ю.И., Щуплецов В.Н. Эффект ориентированного превращения в никелиде титана // Физ. мет. и мтелловед. 1986. Т.61, №1. С. 121-126.

33. Материалы с эффектом памяти формы: Справ, изд. /Под ред. Лихачева В. А.:в 4-х т. — Т.1. СПб.: НИИХ СпбГУ, 1997 - 424с.

34. Материалы с эффектом памяти формы: Справ, изд. /Под ред. Лихачева В. А.:в 4-х т. — Т.2. СПб.: НИИХ СпбГУ, 1998 - 374с.

35. Материалы с эффектом памяти формы: Справ, изд. /Под ред. Лихачева В. А.:в 4-х т. — Т.З. СПб.: НИИХ СпбГУ, 1998 - 474с.

36. Материалы с эффектом памяти формы: Справ, изд. /Под ред. Лихачева В. А.:в 4-х т. — Т.4. СПб.: НИИХ СпбГУ, 1998 — 286с.

37. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости, М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы, 1980, 512 с.

38. Лурье С.А. О термодинамических определяющих соотношениях для материалов с памятью формы // Механика твердого тела 1997, Яй5, С.110-122.

39. Мовчан A.A. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Известия РАН. Механика твердого тела. 1996. 4. С. 136-144.

40. Мовчан A.A. Выбор аппроксимации диаграммы перехода и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы // Прикладная механика и техническая физика, 1995, Т.36, №2, С.173-181.

41. Мовчан A.A., Мовчан И.А. Одномерная микромеханическая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при прямом и обратном термоупругих превращениях // Механика композиционных материалов и конструкций, 2007, Т.13, №3, С.297-322.

42. Мовчан A.A., Мовчан И.А., Сильченко Л.Г. Микромеханическая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при фазовых и структурных превращениях. // Известия РАН. Механика твердого тела, 2010, №3, С.118-130.

43. Мовчан A.A., Казарина С.А. Описание конечных фазовых деформаций при термоупругих мартенситных превращениях // Механика композиционных материалов и конструкций, 1998, Т.4, №, С.29-39.

44. Наканиши Н. Смягчение решетки и природа ЭЗФ // Эффект памяти формы в сплавах. М.-.Метеллургия, 1979. С. 128-155.

45. Новожилов В.В., Толоконников Л.А., Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости. Механика в СССР за 50 лет. 1968. Т.З. С.71-78.

46. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации. М.-.Наука, 1986. 399 с.

47. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр. лит. 1963. 312 с.

48. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

49. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1. М.:Наука, 1970. 492 с.

50. Сетх Б.Р. Понятие меры деформации в технике высокоскоростного деформирования. В кн.: Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. Сс. 528-531.

51. Съярле Ф. Математическая теория упругости, М.: Мир, 1992, 472 с.

52. Теплое В.А., Павлов В.А., Малышев К.А. Измерение амплитудной зависимости внутреннего трения в сплаве с термоупругим мартенситом // Физика металлов и металловедение, 1969, Т. 27, вып.2, с. 339-342.

53. Толоконников Л.А., Маркин А.А. Определяющие соотношения при конечных деформациях. В кн.: Проблемы механики деформируемого твердого тела: межвуз. сб. науч. тр. / Калинин, политехи, ин-т. Калинин.: КГУ, 1986. С 49-57.

54. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: ИЛ, 1953.

55. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред, М.: Мир, 1975, 592 с.

56. Фавстпов Ю.К., Ивкушкин В.А., Ермаков В.М. Эффект памяти формы в сплавах на основе никелида титана, легированных гафнием // Пластичность материалов и конструкций. Тарту, 1985. С.124.

57. Финошкина А. С. Модели пластичности при конечных деформациях. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 2003. 32 с.

58. Фрейдентпалъ А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды, М.: Физматгиз, 1962, 432 с.

59. Шутпкин А.С., Башурова Ю.В. Об идентификации моделей, описывающих поведения материалов с память формы // Известия ТулГУ. Естественные науки, 2008, № 1, С. 95-110.

60. Bertram A. Thermomechanical constructive équations for the description of shape memory effect in alloys // Nucl. Engen. And Des. 1982. Vol. 74, № 2. P. 173-182.

61. Bricknell R.H., Melton K.N., Mercier O. The structure of TiNiCu shape memory alloys // Met. Tïans. 1979. Vol. A10, № 6. P. 693-697.

62. Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors associated with time-dependent stress. Quart. Appl. Math., 1955. V.13. №2. P. 177-188.

63. Dejonghe W., De Batist R., Delaey L. Factors affecting the internal friction peak due to thermoelastic martensitic transformation // Scripta Metallurgica, 1976, Vol. 10, P. 1125-1128.

64. Dienes J.K. On the analisys of rotation and stress rate in deforming bodies // Acta Mechanica. 1979. V. 32. P. 217-232.

65. Faucher B., Bussiere J.F., Snead C.L., Suenaga Jr. and M. Internal friction and young's modulus of NbsSn between 6 and 300 K. // Journal de Physique, 1981, Tome 42, supplement au №10, Colloque C5. pp 1091-1095

66. Green A.E. Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain. Int. Journ. Eng. Sci., 1971. V.9. №12. P. 1219-1229.

67. Hamelin M., Dimitrov C., Da Cunha Belo M., Dimitrov O. Compositional dependence of Ms Temperatures in high-purity iron-chromium-nickel austenitic alloys // Journal de Phisique, 1982, Tome 43, supplement au №12, Colloque C4. P. 467-472.

68. Hausch G., Torok E. Influence of the thermoelastic martensitic transformation on the elastic and anelastic properties of /?i-CuAlNi alloys // Journal de Physique, 1981, Tome 42, supplement au №10, Colloque C5. P. 1031-1036.

69. Hill R. Aspects of invariance in solid mechanics // Adv. Appl. Mech., 1978. 18, P. 1-75.

70. Jaumann G. Grundlagen der Bewegungslehre. Leipzig. 1905.

71. Krishnan R. V., Brown L.C. Pseudoelasticity and the strain-memory effect in Ag-45at.pct.Cd alloy // Met. Trans. 1973. Vol. 4, № 2, P. 175-180.

72. Lagoudas D.C., Bo Z., Qidwai M.A. A unified thermodynamic constitutive model for SMA and finite element analysis of active metal matrix composites // Mechanics of composite materials and structures. 1996. Vol. 3. P. 153-179.

73. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains. Trans. ASME: Journ. Appl. Mech., 1969. V.36. №1. P. 1-6.

74. Liang C., Rogers C.A. One dimensional thermomechanical constitutive relations for shape memory materials //J. Intelligent Material System and Structures. 1990. V. 1. № 2. P. 207234.

75. Liu Y., Xie Z.L., Van Humbeeck J., Delaey L. Effect of texture oritentation on the martensite defaormation of NiTi shape memory alloy sheet // Acta mater. 1999, Vol. 47, № 2, P. 645-660.

76. Liu Y., Favier D. Stabilisation of martensite due to shear deformation via variant reorientation in ploycrystalline NiTi // Acta mater. 2000, Vol. 48, P. 3489-3499.

77. Mercier O., Tirbonod B., Torok E. The internal friction spectrum of premartensitic transformations // Journal de Physique, 1981, Tome 42, supplement au №10, Colloque C5. P 1037-1042.

78. Miyazaki S., Otsuka K., Suzuki Y. Transformation pseudoelasticity and deformation behaviour in a Ti-50.6at%Ni alloy // Scripta metall. 1981. Vol. 15, № 3. P. 287-292.

79. Mooney M.A. A theory of large elastic deformations. Journ. Appl. Phys. 1940. V.ll. P. 582592.

80. Morin M., Guenin G-, Gobin P.F. Internal friction measurments related to the two way memory effect in Cu-Zn-Al alloy exhibiting thermoelastic martensitic transformation // Journal de physique. 1981. T. 42. supplement au № 10. Colloque C5. p. 1013-1018.

81. Nagtegaal J.C., de Jong J.E. Some aspects of nonisotropic work hardening in finite strain plasticity. Plasticity of metals at finite strain: Theory, Experiment and Computation. Stanford Univ. and Dept. Mech. Eng., R.P.I., 1982. P. 65-102.

82. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal. 1958. V.2. P. 197-226.

83. Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state. Proc. Roy. Soc. London. A., 1950. V.200. P. 207-218.

84. Pops H. Stress-induced pseudoelasticity in ternary Cu-Zn based beta prime phase alloys // Met. Trans. 1970, Vol.1, № 1, P. 251-258.

85. Robin M., Lormand G., Gobin P.F. Electrical emission associated with the martensitic burst of Fe-Ni alloy // Journal de Physique, 1982, Tome 43, supplement au №12, Colloque C4. P. 485-490.

86. Saburi T., Tatsumi T., Nenno S. Effects of heat treatment on mechanical behaviour of Ti-Ni alloys 11 J. Phys. (FY.). 1982. Vol. 43, № 12, Suppl.: ICOMAT-82. P. 261-266.

87. Sugimoto K. Internal friction phenomena associated with diffusionless phase transformations in alloys // Journal de Phisique, 1981, Tome 42, supplement au №10, Colloque C5. P. 971-982.

88. Tanaka K., Iwasaki R. A phenomenological theory of transformation superplasticity // Engineering Fracture Mechanics. 1985. Vol. 21. № 4. P. 709-720.

89. Tobushi II., Lin P., Hattori T., Makita M. Cyclic Deformation of TiNi Shape Memory Alloy // JSME Int. J. A. 1995. Vol. 38. № 1. P. 59-67.