Решение краевых задач для тел с памятью формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КУХАРЕВА Анна Сергеевна

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ТЕЛ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003469213

■щ

Санкт-Петербург 2009

003469213

Работа выполнена на кафедре теории упругости математике-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Волков Александр Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Мовчан Андрей Александрович (Институт прикладной механики Российской Академии Наук),

доктор физико-математических наук, профессор Греков Михаил Александрович (Санкт-Петербургский государственный университет).

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН

(Санкт-Петербург)

Защита состоится "_04_" июня_ 2009 г. в часов на заседании

совета Д 212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при

Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., д. 28, ауд. 405

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/9.

Автореферат разослан 1" ОМ/ЛЛЛ 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор / /(МчИ С. А. Зегжда

Общая характеристика работы Актуальность темы диссертации: Сплавы с памятью формы (СПФ) способны накапливать или возвращать значительные неунругис деформации при различных термосиловых воздействиях и, благодаря такому необычному деформационному поведению, находят широкое применение в различных отраслях техники и медицины. Для решения широкого круга технических проблем необходимо развитие методов расчета напряженно-деформированного состояния тел различных форм и размеров, что и определяет практическую значимость диссертации. Ее фундаментально-научное значение состоит в исследовании влияния неоднородностей механических и температурных полей на формирование функциональных свойств тел из СПФ, которые могут существенно зависеть от их размеров и формы.

В последнее время получен ряд решений краевых задач для тел из СПФ, однако, в них для описания свойств тела в точке используются определяющие соотношения, описывающие поведения материала для простых режимов изменения температуры и напряжения, а сама задача нахождения полей напряжений, деформаций и температур часто решается в несвязной постановке. Вместе с тем, распределения деформаций, температур и объемной доли мартенсита в теле взаимосвязаны и в каждый момент времени определяются не только краевыми условиями, но и всей историей их изменения. Вариации температуры и напряжения вызывают изменение неупругой деформации и структурно-фазового состояния, что, в свою очередь, влечет за собой изменение температуры и напряжения. Таким образом, более адекватное описание механического поведения тел из СПФ можно получить, если задачу решать в полностью связной постановке, а свойства материала описывать с помощью микроструктурной модели, которая учитывает его строение и основные физические закономерности развития фазовой и пластической деформации. Вышесказанное обусловливает актуальность темы диссертации.

Целыо работы явилась разработка метода численного решения краевых задач для тел из сплавов с памятью формы на основе микроструктурной модели, учитывающего взаимное влияние процессов теплопроводности, мартенситного превращения и уравновешивания напряжений. В соответствии с поставленной целыо в задачи работы входило:

1) построить алгоритм численного решения связной термомеханической задачи для тел из сплавов с памятью формы;

2) рассчитать напряженно-деформированное состояние в телах разной формы и размеров при реализации эффектов пластичности превращения и памяти формы;

3) исследовать влияние размеров тела и скорости изменения температуры окружающей среды на величину деформационных эффектов (масштабный эффект);

4) промоделировать процессы подготовки и сборки термомеханического соединения труб муфтами из сплавов с памятью формы.

Научная новизна: Построен новый алгоритм численного решения краевых задач для тел из СПФ, определяющие уравнения для которых заданы микроструктурной моделью. Впервые теоретически исследовано влияние

размеров тела и скорости изменения температуры окружающей среды на напряженно-деформированное состояние и величину эффекта пластичности превращения. Впервые выполнено моделирование полного цикла подготовки и сборки термомеханического соединения труб толстостенными муфтами при произвольных скоростях изменения температуры окружающей среды.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использова1шем апробированной, физически обоснованной микроструктурной модели для описания функциональных свойств СПФ, строгостью постановки начально-краевой задачи в соответствии с методами механики деформируемого твердого тела, проверкой сходимости итерационной процедуры получения приближенного решения, применением современных программных средств, сравнением с результатами, полученными с помощью альтернативных подходов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Численный алгоритм решения связных термомехапических задач для тел из сплавов с памятью формы

2. Расчетные пространственные распределения температуры, напряжения и количества мартенситной фазы

3. Расчетные зависимости величины эффекта пластичности превращения от размера тела и скорости изменения температуры окружающей среды

4. Зависимость контактного давления в термомеханическом соединении от времени при заданном режиме сборки

Апробация работы: Полученные в работе результаты были представлены автором на следующих конференциях: ХЬУ Международная конференция «Актуальные проблемы прочности». 25-28 сентября 2007 года, г. Белгород, Россия; ХЬУ1 Международная конференция «Актуальные проблемы прочности». 15-17 октября 2007 года, г. Витебск, Беларусь; IV Международная школа-конференция «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений». 24 - 30 июня 2007 г. Тамбов, Россия; ХЬУП Международная конференция «Актуальные проблемы прочности», 1-5 июля 2008 года, г. Нижний Новгород, Россия. Результаты исследования докладывались на семинарах кафедры теории упругости мат.-мех. факультета СПбГУ, лаборатории прочности материалов НИИММ СПбГУ и на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС «Компьютерные методы в механике сплошной среды».

Публикации: По теме диссертации имеется б публикаций [1-6], в том числе одна статья в журнале, рекомендованном ВАК [6]. В работах [1-4] в равной степени авторы участвовали в разработке алгоритма численного решения связной термомехапической задачи. Соискателю принадлежит численная реализация алгоритма, вывод аналитических решений для уравнений равновесия, результаты моделирования, выявление основных зависимостей. В работах [5, 6] А.Е. Волков участвовал в постановке задачи и обсуждении результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 66 наименований. Число иллюстраций равно 30. Две таблицы. Общий объем работы 93 страницы.

Содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, показана научная новизна исследования, сформулированы цели и задачи работы, а также результаты, выносимые на защиту.

Перваи глава состоит из трех параграфов и посвящена обзору литературы. В п. 1.1 рассмотрены основные подходы к построению определяющих соотношений, описывающих поведение СПФ. В п. 1.2 подробно описана микроструктурная модель деформации СПФ, используемая в дальнейших расчетах. В п. 1.3 представлены различные подходы к решению краевых задач для тел из СПФ.

Во второй главе обоснованы выбор микроструктурной модели деформации СПФ и необходимость решения краевой задачи в связной постановке. Сформулированы цели и задачи работы.

В третьей главе приведены общая постановка и численный алгоритм решения краевых задач для тел из СПФ.

Свойства СПФ сильно зависят от температуры, поэтому решение задачи механики о нахождении напряжений и деформаций в общем случае необходимо проводить совместно с реше1шем задачи теплопроводности. Систему уравнений замыкают определяющие уравнения, позволяющие рассчитать изменения неупругой деформации, мощности источников тепла и внутренних параметров:

71-и = /0 на и = иа на ^

с = се+е = с*+ел+еф + е*'т,

РТ

сл

-лЩ

дп

é = F (T,T,g,ó,X), X=F (Т,Т,(т,сj,x),

1 1 N

* N ZlNtf Л '

or

где а- тензор напряжений; F - вектор объемных сил; и-единичная внешняя нормаль к поверхности тела S = Sj-\JSU', Sj и Su - части поверхности S, на

которых заданы соответственно векторы усилия fo и перемещения и0', С - тензор упругих модулей, е - тензор пеупрушй деформации, который складывается из деформации теплового расширения (еГе), фазовой деформации (<?ф) и микропластической деформации (eAiP); с и if - тензоры полной и упругой деформации; Г-температура; с-удельная теплоемкость; Х- коэффициент теплопроводности; р- плотность; IV- удельная мощность источников тепла внутри тела; Я- коэффициент теплообмена

со средой; У',^, — температура окружающей среды; х - координаты точки тела; </0 - удельная скрытая теплота превращения; Фм- объемная доля мартенсита; Х-внутренние параметры; N-

количество вариантов мартенсита; 7V0r - количество зерен; Ф,(ю) - количество мартенсита /'-го варианта в зерне ю; F\, F2 - функции, определенные микроструктурной моделью; точкой обозначена производная по времени.

Таким образом, сформулирована полностью связная термомеханическая .задача, т.к. в уравнении равновесия неупругая деформация зависит от i температуры, а в уравнении теплопроводности мощность источников тепла зависит от напряжений, возникающих в теле.

Задача решается численно с использованием итерационной процедуры. Для этого она разделяется на три подзадачи. Первая - задача механики - нахождение ..напряжений и деформаций в предположении, что неупругие деформации известны. Вторая- определение поля температур при известном источнике тепла. Третья - нахождение неупругих деформаций и тепловыделения при известных напряжениях и изменении температуры. Решение проводится по шагам, на каждом из которых задаются приращения внешних воздействий и времени. Рассчитываются изменения температур и напряжений, затем находятся изменение неупругих деформаций и тепловыделение. Производится пересчет температур и напряжений с учетом новых данных. Итерации повторяются, пока не выполнено условие окончания итерационного процесса, означающее, что конечные значения изменений температуры, напряжения, неупругих деформаций и тепловыделения найдены с заданной точностью. Сходимость итерационной процедуры сильно зависит от значения итерационного параметра. В настоящей работе предложена итерационная процедура с переменным итерационным параметром, который подбирается на каждом шаге из соображений минимизации невязки. Это позволило добиться сходимости во всех рассмотренных задачах, в том числе при высоких скоростях охлаждения и нагрева и больших размерах тела. В задаче используется предположение об изотропном отклике материала на внешнее воздействие, поэтому было проведено дополнительное исследование, при каком количестве зерен моделируемый материал можно считать изотропным. Оказалось, что необходимо брать не менее 100 зерен или использовать процедуру «изотропизации» определяющих соотношений.

В расчетах в качестве модельного рассматривали материал со следующими характеристиками, типичными для никелида титана: характеристические температуры А/= 365 К, As = 350 К, Ms = 315 К, Mf= 300 К; модуль Юнга £ = 78 ГПа; коэффициент Пуассона v = 0.33; коэффициент теплопроводности X = 10 Вт • (м • К)" ;удельная теплота превращения q0 = -150 МДж • м-3; плотность р = 6.5-103 кг • м-3; удельная теплоемкость с = 4.7-102 Дж - кг 1 ■ 1С1; коэффициенты теплового расширения аустенита и мартенсита ал = 14-10"6 К"1, аЛ/=6-10"бК"1; коэффициент теплообмена со средой //= 104 Вт • м 2 ■ К1. Точность расчета деформации 10", тепловыделения - 103 Дж/м3с

В четвертой главе приведены постановка и решения краевых задач для цилиндра, пластины и полого цилиндра из СПФ, и результаты расчетов.

В первом параграфе рассматривается бесконечный круговой цилиндр из СПФ радиуса Ь, образующие боковой поверхности которого параллельны оси oz, подвержегшый действию внешней осевой силы F-. На боковой поверхности цилиндра действует равномерно распределенное давление р и выполняется

t

условие Ньютона теплообмена со средой. Поток тепла при г = 0 задается равным

нулю. В начальный момент времени температура тела совпадает с температурой окружающей среды. Определяющие уравнения среды задаются микроструктурной моделью, описанной в парафафс 1.2. Нагрузка осесимметрична и не зависит от координаты z; кроме того, для . бесконечного цилиндра можно считать, что

Kj^P у перемещение и- линейно зависит от z. Поэтому

Г 0 г предполагаем, что иоле перемещений имеет вид:

х иг = иг (л) , ид= 0, иг (z) =const • z.

Тогда компоненты тензора деформаций не зависят от координат в и z:

er - dur /dr, ев = иг / г, ez - const В состоянии упругости только а г, а в, и г отличны от нуля и зависят только от координаты г. Если, неупругие свойства материала изотропны, то отличными от нуля будут те же компоненты тензора нсулругой деформации, причем, они не будут зависеть от координат в и z. Следовательно, и при наличии неупругих деформаций ненулевыми и зависящими только от радиуса будут только диагональные компоненты напряжения аг,ств,<тг.

Задача механики решается в перемещениях. Общее решение имеет вид:

г- + А(г)г + В(г)-,

и, =с,г + с,

I l-2vr(g,

1-У

Zlfl

Р

dp

В(г)=-

1-

'7—\{e,+ee + 2veI)pdP

Для ограниченности перемещений и напряжений в точке г = 0 необходимо взять сз = -.6(0). Константы с\ и ег находятся из граничных условий сг

Пг=Ъ

■■ р и

|о"г(У)с/Х = | ^аГ(г)п1г■-=!<',. Таким образом, найдены перемещения и напряжения

£ 0 0

при известных неупругих деформациях.

При численном моделировании все механические и тепловые поля задавали таблично в виде их значений в равноотстоящих узлах. Для решения задачи о нахождении поля температур при известном источнике тепла применяли метод сеток с неявной схемой.

Для исследования влияния размеров тела на величину эффекта пластичности превращения (ЭПП) рассматривали цилиндры из СПФ с радиусами 1, 10, 50, 100 мм, моделировали охлаждение через интервал прямого мартенситного превращения от 350 К до 290 К под постоянной силой, соответствующей начальному напряжению 100 МПа. При этом задавали изменение температуры

т. к

360 340 330

зго-

310-

зоо-

2В0-

0,00

0,05

0,10

окружающей среды со скоростью 0.01 К/с и выдержку при 290 К до выравнивания температуры по радиусу.

Расчеты показали, что, уменьшая скорость охлаждения, разницу температур

внутри и на поверхности цилиндра невозможно сделать сколь угодно малой. Так, при скорости охлаждения 0.01 К/с для цилиндра радиусом 10 мм она составляет 0.3 К, но для цилиндров с радиусами 50 и 100 мм достигает уже 6.4 К и 18.5 К соответственно (рис. 1).

Неоднородность температур

вызывает неоднородность полей напряжений и фазового состава (рис. 2). До начала прямого мартенситного превращения в наружных слоях происходит небольшое увеличение осевого напряжения, связанное со стеснением температурных деформаций. Напряжение смещает температуры фазового перехода и мартенсит начинает появляться уже при температуре 338 К. После начала превращения в приповерхностных слоях наблюдается спад напряжений (кривая 336 К на рис. 2 (б)). Одновременно с этим во внутренних областях напряжение растет. По мере остывания цилиндра прямое мартенситное превращение испытывают объемы, находящиеся все дальше от поверхности, соответственно продвигается внутрь цилиндра область релаксации напряжений (кривая 310 К на рис. 2 (б)). После окончания превращения в приповерхностных слоях напряжение в них снова возрастает (кривые 300 К и 290 К на рис. 2(6)).

Рис. 1. Радиальные распределения температур в цилиндре радиусом 100 мм при изменении температуры окружающей среды от 350 К до 290 К со скоростью 0.01 К/с и выдержке при 290 К до выравнивания температуры по радиусу. Графики построены для некоторых последовательных

(а)

(б)

Рис. 2. Радиальные распределения объемной доли мартенсита Ф (а) и осевого напряжения а, (б) для цилиндра с радиусом 100 мм при разных температурах окружающей среды. Скорость изменения температуры окружающей среды - 0.01 К/с

Видно, что в цилиндрах с большими радиусами даже при малой скорости охлаждения напряжения сильно неоднородны по радиусу, существуют области перенапряжения.

На рис. 3 приведены графики накопления деформации при охлаждении цилиндров с радиусами 10, 50, 100 мм через интервал прямого мартенситного превращения под постоянной силой. Во время превращения происходит увеличение деформации, которое прекращается, когда весь объем перешел в мартенситное состояние. Кривые накопления деформации для цилиндров с радиусами 1 мм и 10 мм совпадают. Видно, что чем больше радиус, тем меньше итоговое относительное удлинение цилиндра (рис. 4). На основе проведенных исследований можно сделать вывод, что масштабный эффект начинает проявляться тогда, когда разница температур внутри и на поверхности тела достигает 5 - 7 К.

0,04

0.02

0,00

О 2000 4000 600(3 6000 Ьс

0,040 0.038 ада;

0,334

о.оза

,?5 60 75 100 Ъ У1А

Рис. 3. Зависимость относительного удли- Рис. 4. Зависимость величины эффекта нения цилиндров из СПФ с радиусами Я, в пластичности превращения ) от начальном состоянии находящихся под на- радиуса цилиндра. Скорость охлаждения пряжением 100 МПа, от времени при окружающей среды 0.01 К/с охлаждении со скоростью изменения температуры окружающей среды 0.01 К/с и выдержке

Для исследования влияния скорости изменения температуры окружающей среды на величину ЭПП рассматривали цилиндр радиусом 10 мм. Моделировали охлаждение цилиндра через интервал прямого мартенситного превращения под постоянной силой, соответствующей начальному напряжению 100 МПа. Рассматривали четыре скорости охлаждения окружающей среды: 0.01, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10 и 100 К/с. После выравнивания температуры по радиусу производили разгрузку и нагрев для реализации эффекта памяти формы. При нагреве температуру окружающей среды меняли от 290 К до 375 К со скоростью 100 К/с, а затем выдерживали цилиндр при 375 К до выравнивания температуры по радиусу. С увеличением скорости изменения температуры окружающей среды наблюдается уменьшение величины накопленной деформации (рис. 5). Увеличение скорости больше 10 К/с дальнейших существенных изменений не дает. Вне зависимости от скорости охлаждения при нагреве наблюдается полный возврат деформаций.

О 0400 0.0375

Е

' 0,0325-

о.озоо-

0.02 К-

0.1 1 (0 100

-КГ,.,/«. К/с

Рис. 5. Зависимость величины эффекта пластичности превращения е2 от скорости охлаждения окружающей среды

Проведен расчет ЭПП для цилиндра радиусом 10 мм при воздействии постоянной сжимающей силы, соответствующей начальному напряжению О; = -100 МПа. Результат расчета показал, что абсолютное значение накопленной деформации меньше, чем при действии растягивающей силы (Рис. 6).

Ы

0.&4 ■0,03 0,52 001 ооо

35, ..$0 :75 №0: 1,е

Рис. 6. Изменение абсолютного значения осевой деформации г^ с течением времени при охлаждении со скоростью изменения температуры окружающей среды 1 К/с цилиндра радиусом 10 мм под постоянной растягивающей (1) и сжимающей (2) силой

Во втором параграфе рассматривается задача о нахождении напряжений и деформаций в бесконечной пластине из СПФ толщиной И, на которую действуют

внештгае силы ]х, /ху и моменты Мт,

^ашЬ

/у

Л

у Л

Муу, Мху, отнесенные к единице длины. Верхняя и нижняя поверхности пластины подвержены действию равномерно распределенного давления р. Пластина охлаждается с поверхности. Напряжения в теле обусловлены внешней силой, температурными, фазовыми и микропластическими неупругими деформациями. Неупругие свойства материала изотропны. Напряжения и деформации зависят только от координаты г.

Постановка краевой задачи для нахождения напряжений и деформаций в этом случае выглядит следующим образом:

V ТуК^ т у 4

4х

V -сг =0, ст I = -», сг I =сг| =0,\асЬ=Г,

-а/2

а/2 а/2 а/2 а/2 а/2

Из уравнений совместности Сен-Венана следует, что деформации являются линейными функциями координаты

ехх=А 2 + В, ет=Сг + Д + Е

XX уу ху ^

где А, В, С, В, С, I7 - константы, которые находятся из интегральных граничных условий. Компоненты тензора напряжений определяются из закона Гука.

В частном случае, когда пластина растягивается только вдоль оси Ох, /х ф 0, /у=/ху —Мхх=Мху=М)у = Мху= р = 0, компоненты тензора деформаций имеют вид: еху=ех1=еу2=0,

е - — + — I ес!г, е =—— + — Г е с1г, е =е -+ е -е -е )

° Вг к},,' » Е1г И_1г' " г (1-^ " я " »>

Модел1фовали охлаждение пластипы из СПФ толщиной 20 мм через интервал прямого мартенситного превращения под постоянной продольной силой, соответствующей начальному напряжению = 100 МПа. Задавали изменение температуры окружающей среды от 350 К до 290 К с различными скоростями: 0.01, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 2, 5, 10 и 100 К/с, и выдержку при 290 К до выравнивания температуры по толщине пластины.

Результаты расчетов показали, что так же, как и для цилиндра, наблюдается неоднородное распределение температур по толщине пластины, что приводит к неоднородному распределению фазового состава и напряжений. С увеличением скорости охлаждения наблюдается уменьшение величины эффекта пластичности превращешм (рис. 7).

0.0400 0,0375 0,0350 0,0325

0.0300

0.01

0,1 1 10 1С0 <1Т К/с

Рис. 7. Зависимость величины эффекта пластичности превращения ех изменения температуры окружающей среды

от скорости

В третьем параграфе рассматривается муфта из материала с памятью формы, представляющая собой бесконечный полый круговой цилиндр, образующие которого параллельны оси 0г. Для удобства используются цилиндрические координаты г, в, г. На внешней и внутрешюй поверхностях муфты задаются не зависящие от координаты г радиальное перемещение или давление. Решение задачи нахождения деформаций и напряжений в предположении, что известны неупругие деформации, для г^г}—>- муфты проводится так же, как для сплошного цилиндра. /[) г Отличие состоит в постановке граничных условий на

х внутренней поверхности.

Численный эксперимент имитировал реальный процесс подготовки и сборки термомеханического соединения (ТМС). Рассматривали две соединительных муфты, тонкостенную и толстостенную с внутренним диаметром 20 мм и толщиной степок 2 и 10 мм. Внутренний диаметр трубы, на которую производили посадку муфт, 19 мм, внешний - 20.6 мм. Константы материала трубы: модуль Юнга Ят=Ю0ГПа, коэффициент Пуассона ут = 0.33. В начальный момент времени температура муфты и окружающей среды равнялась 380 К. На первом этапе моделировали охлаждение муфты через интервал прямого мартенситного превращения. При этом задавали изменение температуры окружающей среды от 380 К до 290 К со скоростью 100 К/с и выдержку при 290 К до выравнивания температуры по толщине муфты. Затем в мартенситном состоянии моделировали дорновапие муфты, для чего задавали увеличение ее внутреннего диаметра на 1.2 мм и производили разгрузку. Затем осуществляли нагрев муфты с посадкой на упругую трубу. При нагреве задавали изменение температуры окружающей среды от 290 К до 380 К со скоростью 100 К/с и выдержку при 380 К до выравнивания температуры по толщине муфты. На последнем этапе проводили охлаждение соединения, задавая изменение температуры окружающей среды от 380 К до М{ (300 К) со скоростью 100 К/с и выдержку при 300 К до выравнивания температуры по толщине

Рис. 8 иллюстрирует изменение поля температур при охлаждении муфт. Видно, что температуры сильно неоднородны по толщине муфты.

Рис. 8. Радиальные распределения температур в тонкостенной (а) и толстостенной (б) муфтах при охлаждении для некоторых последовательных моментов времени, соответствующих указанной справа температуре окружающей среды. Скорость изменение температуры окружающей среды ЮОК/с

Максимальная разница температур внутри и на поверхности для тонкостенной муфты составляет 13 К, для толстостенной - 60 К.

На рис. 9 представлены зависимости внутреннего давления Ра от радиального перемещения внутренней поверхности муфты иа при раздаче и разгрузке для тонкостенной и толстостенной муфт.

(а)

(б)

К МП;

О

Р;,мПа

0,2. ' 0.4 им

Рис. 9. Диаграммы дориоваиия тонкостенной (а) и толстостенной (б) муфт

Распределения радиальных и окружных нормальных напряжений ат, ав при раздаче толстостенной муфты показаны на рис. 10. Кривые 1 соответствуют распределению напряжений по радиусу после охлаждения и выдержки при 290 К, кривые 2-4 нагружению. Видно, что для толстостенной муфты распределешге нормальных радиальных напряжений нелинейное, а нормальное окружное напряжение сильно неоднородно по толщине муфты.

Рис. 10. Радиальные распределения папряжешш <тг (а) и ое (б) во время увеличешм внутреннего диаметра толстостенной муфты при температуре 290 К и заданных перемещениях внутренней поверхности муфты (АД,)

Зависимость перемещения внутренней поверхности муфты (Ц,) при подготовке и сборке ТМС от времени показана на рисунке 11 (а). Участок АВ соответствует охлаждению муфты, ВС - увеличению внутреннего диаметра на 1.2 мм, СБ - разгрузке, БЕ - нагреву муфты в свободном состоянии, пока ее внутренняя поверхность не коснулась трубы, ЕР - нагреву в контакте с трубой. С началом превращения начинается возврат деформаций. Когда радиальное перемещение внутренней поверхности муфты достигает 0.3 мм, муфта садится на трубу. Поскольку упругая труба мешает возврату деформаций, происходит генерация напряжений (участок ЕР на рис. 11 (б)). При последующем охлаждении ТМС до 300 К контактное давление резко снижается и в виду неоднородности полей напряжений устанавливается на небольшом конечном значении (участок РСт).

(а)

(б)

;о.р!а '" :о;о1Е даге:

0,010 о сиг- о.аго:

Рис. 11. Зависимости перемещения внутренней поверхности муфты иа (а) и контактного давления Ра (б) от времени в толстостенной муфте

Таким образом, показана возможность моделирования процессов подготовки и сборки термомеханического соединения при различных режимах нагрева, расчета изменения контактного давления на разных этапах сборки и аварийного снижения рабочей температуры, а также исследования распределения температуры, объемной доли мартенсита и напряжений по толщине муфты.

В заключении перечислены основные результаты и выводы.

Результаты

Разработан численный метод с переменным итерационным параметром для решения связных термомеханических краевых задач для тел из сплавов с памятью формы с использованием уравнений микроструктурной модели для описания свойств материала. Расчетный алгоритм позволяет получать решения термомеханической задачи с заданной точностью для высоких скоростей охлаждения и нагрева с поверхности тела и для произвольного характерного размера тела.

Рассчитаны поля напряжений, деформаций, температур и фазовый состав в телах простой формы (пластина, полый цилиндр, сплошной цилиндр) при различных видах термомеханического воздействия, реализующих эффекты пластичности превращения, памяти формы и активной деформации в мартенситном состоянии.

Выявлены зависимости величины эффекта пластичности превращения от размеров тела и скорости изменения температуры окружающей среды.

Промоделированы процессы подготовки и сборки термомеханического соединения труб тонкостенными и толстостенными муфтами из СПФ. Рассчитаны поля напряжений, деформаций, температур и изменение контактного давления па всех этапах.

Выводы

■ Возможно получение приближенного (в смысле минимизации певязки) с заданной точностью решения связной термомеханической задачи для тела из сплава с памятью формы с использованием микроструктурной модели для описания свойств материала.

■ В условиях ньютоновского конвективного теплообмена даже при малой скорости изменения температуры окружающей среды наблюдается неоднородное распределение температур, а, следовательно, объемной доли

мартенсита, напряжений и деформаций по сечению образца. В связи с этим величина эффекта пластичности превращения уменьшается с увеличешкм размеров тела, т.е. имеет место масштабный эффект, который начинает проявляться, когда максимальная разница температур внутри и на поверхности тела достигает некоторого порогового значения.

■ В процессе и по окончании реализации эффекта пластичности превращения пространственная неоднородность температуры и фазового состава приводит к формированию областей, в которых уровень напряжений более чем в два раза может превышать их среднее значение.

■ На этапе подготовки термомеханического соединения в процессе увеличения внутреннего диаметра толстостенной муфты распределение нормальных радиальных напряжений практически сразу становится нелинейным, а нормальных окружных напряжений - сильно неоднородным по толщине муфты.

■ В процессе сборки ТМС на этапе нагрева происходит генерация напряжений, контактное давление возрастает. При последующем охлаждении соединения контактное давление резко снижается и в виду неоднородности полей напряжений устанавливается на небольшом конечном значении.

Список работ по теме диссертации

1. Волков А.Е., Кухарева A.C. Расчет температурных и механических полей в цилиндре и пластине из сплава с памятью формы. // Актуальные проблемы прочности: сб. тез. 45-й Международной конференции. - Белгород: Изд-во БелГу, 2006, с. 34 - 35.

2. Волков А.Е., Кухарева A.C. Расчет пластичности превращения в цилиндре из TiNi при охлаждении с конечной скоростью //IV Международная школа -конференция «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений»: сб. науч. тр. Молодых ученых. 24 - 30 июня 2007 г. Тамбов, Россия / Науч ред. В.А. Федоров; Федеральное агентство по образованию, Тамб. Гос. Унт им. Державина. Тамбов, 2007, с. 116 - 122.

3. Волков А.Е., Кухарева A.C. Расчет пластичности превращения в пластине из TiNi при охлаждении с конечной скоростью // XLVI Международная конференция «Актуальные проблемы прочности». 15-17 октября 2007 года, Витебск, Беларусь: материалы конференции. Ч. 1. / УО «ВГТУ». - Витебск: УО «ВГТУ» , 2007, с. 74.

4. Волков А.Е., Кухарева A.C. Моделирование термомеханических соединений труб тонкостенными и толстостешшми муфтами из никелида титана // XLVII Международная конференция «Актуальные проблемы прочности», 1 - 5 июля 2008 г., Нижний Новгород: материалы конференции. Ч. 1. - Нижний Новгород, 2008, с. 54 - 56.

5. Волков А.Е., Кухарева A.C. Расчет напряженно-деформированного состояния в цилиндре из TiNi при охлаждении под нагрузкой и разгрузке. // Известия РАН. Серия физическая, 2008, том 72, № 9, с. 1337 - 1340.

6. Волков А.Е., Кухарева A.C. Расчет напряженно-деформированного состояния в бесконечном цилиндре из сплава с памятью формы при охлаждении и нагреве с различными скоростями//Механика композиционных материалов и конструкций. 2009. Т. 15, № 1, с. 19 - 27.

15

Кухарева Анна Сергеевна

Решение краевых задач для тел с памятью формы.

Автореф. диес. на соискание учёной степени кандидата физ.-мат. наук

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 13.04.09 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз., Заказ № 965/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 929-43-00.

Введение.

1 Моделирование функциональных свойств тел с памятью формы.

1.1 Различные подходы к построению теорий.

1.2 Микроструктурная модель деформации сплавов с памятью формы.

1.3 Решение краевых задач.

2 Цели работы.

3 Постановка и метод решения краевых задач для тел с памятью формы

4 Моделирование функционально-механических свойств тел с памятью формы.

4.1 Начально-краевая задача для бесконечного кругового цилиндра.

4.1.1 Постановка и решение задачи.

4.1.2 Численный эксперимент.

4.2 Начально-краевая задача для бесконечной пластины.

4.2.1 Постановка и решение задачи.

4.2.2 Численный эксперимент.

4.3 Начально-краевая задача для бесконечного полого цилиндра.

4.3.1 Постановка и решение задачи.

4.3.2 Численный эксперимент.

Сплавы с памятью формы (СПФ) способны накапливать или возвращать значительные неупругие деформации при различных термосиловых воздействиях [16] и благодаря такому необычному деформационному поведению они находят широкое применение в различных отраслях техники и медицины. Их используют в авиации, ракетостроении, атомной промышленности, строительстве. Из СПФ изготавливают термочувствительные и исполнительные элементы в термомеханических соединениях, прессах и других силовых аппаратах, мартенситных двигателях, приводах, предохранительных и регулирующих устройствах, самосооружающихся конструкциях [37, 43]. В медицине СПФ применяют для исправления положения зубов, при лечении сосудов, костных переломов, для изготовления медицинских инструментов [9]. Для решения широкого круга технических проблем особую актуальность приобретает задача развития методов расчета напряженно-деформированного состояния тел различных форм и размеров. На этом пути возникает целый ряд сложностей.

Основной особенностью материалов с памятью формы является то, что в них происходят термоупругие мартенситные превращения, сопровождающиеся сдвиговой деформацией. Превращение может быть инициировано как изменением температуры, так и изменением напряжения, многие физические и механические свойства существенно меняются в результате мартенситного перехода. Кроме того, на фронте превращения выделяется или поглощается тепло. Задача расчета деформаций и напряжений тесно связана с задачей нахождения поля температур. Все эти обстоятельства сильно осложняют решение краевых задач для тел из СПФ. Классические методы инженерной механики не применимы для расчетов сложных режимов функционирования элементов из СПФ, поскольку напряженно-деформированное состояние в каждой точке тела в каждый момент времени определяется не только краевыми и начальными условиями, но и всей историей термосилового нагружения. Очень важно учитывать, что вариации температуры и напряжения могут вызывать изменение неупругой деформации и структурно-фазового состояния, что в свою очередь влечет за собой изменение напряжения и температуры.

Несмотря на все сложности в последнее время достигнуты некоторые успехи в решении частных задач для тел из СПФ. Однако основными недостатками применяемых подходов является то, что для описания свойств тела в точке используются определяющие соотношения, описывающие поведения материала для простых режимов изменения температуры и напряжения. Часто задачи механики и теплопроводности решаются в несвязной постановке. Для выполнения же корректных расчетов необходимо учитывать взаимное влияние процессов превращения, теплопроводности и уравновешивания напряжений, то есть решать краевую задачу в полностью связной постановке и опираться на модели, учитывающие особенности строения материала и описывающие с единых позиций широкий спектр явлений, наблюдаемых в сплавах с термоупругими мартенситными переходами. В качестве такой модели можно рассматривать микроструктурную модель деформации сплавов с памятью формы [2, 66], построенную на базе структурно-аналитической теории прочности и позволяющую рассчитывать изменение деформации и напряжения при реализации эффектов пластичности превращения, памяти формы, псевдоупругости, ферропластичности, генерации и релаксации напряжения, недовозврата деформации, обратимой памяти формы мартенситного и аустенитного типов.

Данная работа посвящена созданию метода численного решения краевых задач, в котором учитывается взаимное влияние теплопроводности, мартенситного превращения и уравновешивания напряжений, а деформационное поведение сплава с памятью формы описывается микроструктурной моделью. Для этого был построен алгоритм численного решения связной термомеханической задачи для тел из СПФ. Использование итерационной процедуры с переменным итерационным параметром позволило добиться сходимости во всех рассмотренных задачах и получить решения для тел больших размеров и при высоких скоростях нагрева и охлаждения. С помощью разработанной процедуры рассчитано напряженно-деформированное состояние в телах разной формы и размеров при реализации в них эффектов пластичности превращения (ЭПП) и памяти формы (ЭПФ), исследовано влияние размеров тела и скорости изменения температуры окружающей среды на величину деформационных эффектов (масштабный эффект), промоделированы процессы подготовки и сборки термомеханического соединения труб муфтами из СПФ.

На защиту выносятся: численный алгоритм решения связных термомеханических задач для тел из сплавов с памятью формы; расчетные пространственные распределения температуры, напряжения и количества мартенситной фазы; расчетные зависимости величины эффекта пластичности превращения от размера тела и скорости изменения температуры окружающей среды; зависимость контактного давления в термомеханическом соединении от времени при заданном режиме сборки.

Таким образом, в диссертации разработан и апробирован численный метод расчета напряженно-деформированного состояния тел из СПФ, что и определяет практическую значимость работы. Ее фундаментально-научное значение состоит в исследовании влияния неоднородностей механических и температурных полей на формирование функциональных свойств тел из СПФ, которые могут существенно зависеть от их размеров и формы.

Выводы

Возможно получение приближенного (в смысле минимизации невязки) с заданной точностью решения связной термомеханической задачи для тела из сплава с памятью формы с использованием микроструктурной модели для описания свойств материала.

В условиях ньютоновского конвективного теплообмена даже при малой скорости изменения температуры окружающей среды наблюдается неоднородное распределение температур, а, следовательно, объемной доли мартенсита, напряжений и деформаций по сечению образца. В связи с этим величина эффекта пластичности превращения уменьшается с увеличением размеров тела, т.е. имеет место масштабный эффект, который начинает проявляться, когда максимальная разница температур внутри и на поверхности тела достигает некоторого порогового значения.

Величина эффекта пластичности превращения уменьшается с увеличением скорости изменения температуры окружающей среды, достигая некоторого значения. Дальнейшее увеличение скорости охлаждения не приводит к значительным изменениям величины эффекта пластичности превращения.

В процессе и по окончании реализации эффекта пластичности превращения пространственная неоднородность температуры и фазового состава приводит к формированию областей, в которых уровень напряжений более чем в два раза может превышать их среднее значение.

На этапе подготовки термомеханического соединения в процессе увеличения внутреннего диаметра толстостенной муфты распределение нормальных радиальных напряжений практически сразу становится нелинейным, а нормальных окружных напряжений - сильно неоднородным по толщине муфты.

В процессе сборки ТМС на этапе нагрева происходит генерация напряжений, контактное давление возрастает. При последующем охлаждении соединения контактное давление резко снижается и в виду неоднородности полей напряжений устанавливается на небольшом конечном значении.

Заключение

Результаты

Разработан численный метод с переменным итерационным параметром для решения связных термомеханических краевых задач для тел из сплавов с памятью формы с использованием уравнений микроструктурной модели для описания свойств материала. Расчетный алгоритм позволяет получать решения термомеханической задачи с заданной точностью для высоких скоростей охлаждения и нагрева с поверхности тела и для произвольного характерного размера тела.

Рассчитаны поля напряжений, деформаций, температур и фазовый состав в телах простой формы (пластина, полый цилиндр, сплошной цилиндр) при различных видах термомеханического воздействия, реализующих эффекты пластичности превращения, памяти формы и активной деформации в мартенситном состоянии.

Выявлены зависимости величины эффекта пластичности превращения от размеров тела и скорости изменения температуры окружающей среды.

Промоделированы процессы подготовки и сборки термомеханического соединения труб тонкостенными и толстостенными муфтами из СПФ. Рассчитаны поля напряжений, деформаций, температур и изменение контактного давления на всех этапах.

1. Абдрахманов С. Деформация материалов с памятью формы при термосиловом воздействии. Бишкек, «Илим», 1991, 115 с.

2. Волков А.Е. Микроструктурное моделирование деформации сплавов при повторяющихся мартенситных превращениях // Изв. Академии Наук. Сер. Физическая. 2002. Т.66, № 9. С. 1290 1297.

3. Волков А.Е., Лихачев В.А., Разов А.И. Механика пластичности материалов с фазовыми превращениями. // Вестн. ЛГУ. 1984, №19, Вып. 4, с. 30-37.

4. Волков А.Е., Разов А.И. Сплавы с памятью формы в термомеханических соединениях. // Сборник трудов НИИ математики и механики им. акад. В.И.Смирнова. СПб; Изд-во НИИХ СПбГУ, СПб. — 2002. С.154-166.

5. Волков А.Е., Сахаров В.Ю. Термомеханическая макромодель сплавов с эффектом памяти формы. Известия Академии наук. Серия физическая, 2003, том 67, № 6, с. 846 852.

6. Гюнтер В.Э., Дамбаев Г.Ц. и др. Медицинские материалы и имплантаты с памятью формы. Томск: Изд. Томского ун-та, 1998. 487с.

7. Дюшекеев К. Д. Чистый изгиб кривого бруса из материала с памятью формы. Механика композиционных материалов и конструкций, 2006, т. 12, № 1, с. 27- 43.

8. Какулия Ю.Б., Шарыгин A.M. Численное моделирование напряжений и деформаций в толстостенной трубе из материала с памятью формы. // Журнал функциональных материалов. № 8, 2007, стр. 303 313.

9. КакулияЮ.Б., ШарыгинА.М. Численное решение осесимметричной задачи для материалов со сложными функциональными свойствами. // Вестник НовГУ. Сер.: Технические науки. 2005. № 34. С. 5 7.

10. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М: Изд-во «Наука». 1964-488 с.

11. Кузнецов А.В. Численное решение связной осесимметричной задачи о прямом превращении для сплавов с памятью формы // Механика композиционных материалов и конструкций, 1996 , Т. 3-4. — С. 71.

12. Лихачев В.А., Кузьмин С.Д., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. JI: Изд-во Ленинградского ун-та, 1987. 216 с.

13. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Новая концепция прочности / Новгород, политехи, ин-т. // Структура и свойства металлических материалов и композиций: Межвуз. сб. Новгород, 1989. С. 4 — 31.

14. Лихачев В.А., МалининВ.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. СПб.: Наука, 1993. 471 с.

15. Лихачев В.А., Разов А.И. Принципы построения теории механического поведения материалов, испытывающих фазовые превращения. // Пластическая деформация и актуальные проблемы прочности сплавов и порошковых материалов. Томск, 1982, с. 36-37.

16. Мовчан А.А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы. // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1996, № 4, с. 136 144.

17. Мовчан А.А. Выбор аппроксимации диаграммы перехода и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы // Журнал прикладной механики и технической физики. 1995. Т. 36. №2. С. 173-181.

18. Мовчан А. А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. Механика твердого тела. 1995. № 1. С. 197 205.

19. Мовчан А.А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы. Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №6. С. 47-53.

20. Мовчан А.А. Некоторые положения механики материалов, испытывающих термоупругие фазовые превращения. // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999. Т. 5. № 4. С. 87-108.

21. Мовчан А.А. Сплавы с памятью формы: формулировка краевых задач механики деформируемого твердого тела и разработка методов их решения. // Информационный бюллетень РФФИ. 1998. Т. 6. С. 446.

22. Мовчан А.А., Мовчан И.А. Одномерная микромеханическая модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы при прямом и обратном термоупругих превращениях // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 3. С. 297 322.

23. Мовчан А.А., Мовчан И.А., Модель нелинейного деформирования сплавов с памятью формы в активных процессах прямого превращения и структурного перехода. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т. 14. № 1. С. 75 88.

24. Мовчан А.А., Ныонт Со, Казарина С.А. Решение краевых задач о двухэтапных прямых и обратных фазовых переходах в стержне из никелида титана. Механика композиционных материалов и конструкций. 2004. Т. 10. №3. С. 311 -325.

25. Орлов P. X., Тютюнников Н.П. Численное моделирование прямого и обратного превращений в стержнях и пластинах из сплава с памятью формы. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 1.С. 131-140.

26. Разов А.И. Механика материалов с мартенситными превращениями: эксперимент и расчет. / Деп. рук. Ред. журн. Вестн. ЛГУ, мат., мех., астроном. Л., 1984. 20 с. Депонирована ВИНИТИ 31.05.84. №3556-84.

27. Сильченко Л. Г. Устойчивость прямоугольной пластины из сплава с памятью формы при сдвиге. // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13. № 1. С. 141 150.

28. Тихонов А. С., Герасимов А. П., Прохорова И. И. Применение эффекта памяти формы в современном машиностроении. М.: Машиностроение, 1981. 81 с.

29. Фрейдин А.Б., Вакуленко А. А., Назыров И.Р., Нарбут М.А Моделирование фазовых превращений при деформировании и разрушении твердых тел. // Информационный бюллетень РФФИ, 4 (1996), 1, 263

30. Baumgart F., Jorde J., Reiss H.-G. Memory Legierungen - Eigenschaften, phanomenologische Theorie und Anwendungen // Techn. Mitt. Krupp. Forsh. 1976. B. 34, H. 1, S. 1 - 16

31. Bertram A. Thermo-mechanical constitutive equations for the description of shape memory effects in alloys // Nucl. Engng. and Des. 1982 (1983). Vol. 74, №2. P. 173-182.

32. Berveiller M., Pattor E. and Buisson M. Thermomechanical Constitutive Equations for Shape Memory Alloys // Prec. European Symposium on Martensitic Transformation and Shape Memoiy Properties. J. de Phys. IV. 1991. Vol. 1, P. 387.

33. Engineering aspects of shape memory alloys / Ed. by T.W.Duerig, K.N.Melton, D.Stockel and C.M.Wayman, N-Y. 1990. 499p.

34. A.B.Freidin, E.N.Vilchevskaya. Phase transition zones for one class of nonlinear elastic materials, Proc. of XXIX Summer School "Advanced Problems in Mechanics", St. Petersburg, IPME RAS, (2002), p.216 221

35. Hoffmann K.H., Sprekels J. Phase Transformation in Shape Memory Alloys I: Stability and Optimal Control, Preprint No 136, Inst, fur Mathe, Uni. Augsburg, 1987.

36. Dimitris C. Lagoudas, Zhonge Bo and Muhammad A. Qidwai. "A Unified Thermodynamic Constitutive Model for SMA and Finite Element Analysis of Active Metal Matrix Composites". // Mechanics of Composite Materials and Structures, vol. 3, 1996, pp. 153-179.

37. C. Liang, C.A. Rogers. "One-Dimensional Thermomechanical Constitutive Relations for Shape Memory Materials". // Journal of Intelligent Material Systems and Structures, vol.1 April 1990, pp. 207-234.

38. C. Liang, C.A. Rogers. "Design of Shape Memory Alloy Actuators". // Journal of Intelligent Material Systems and Structures, vol.8 April 1997, pp. 303313.

39. Mtiller I. A Model for a Body with Shape Memory//Arch. Rat. Mech. Anal., 1979, 70:61-77

40. Miiller I. Nitinol ein Metall mit Gedachtnis 11 Natur Wissenschaften. 1984. N.71, pp. 507-514.

41. Miiller I., Xu H. On the pseudoelastic hysteresis // Acta. Metall. et Mater. 1991. Vol. 39, N l.P. 263-276

42. M. Niezgodka, J. Sprekels. Existence of Solutions for a Mathematical Model of Structural Phase Trasition in Shape Memory Alloys, Preprint No 89, Inst, fur Mathe, Uni. Augsburg, 1985.

43. M. Niezgodka, J. Sprekels. On the Dynamics of Structural Phase Transformation in Memory Alloys. Preprint No. 114, Inst, fur Mathematik, Universitat Augsburg. 1986.

44. Patoor E., Bensalah M.O., Berveiller M. Comportement thermomechaniqui des alliages a'memoire de forme // Mem. et Edut. sci. Rev. met. 1992.Vol. 89, N 9. P.527

45. Patoor E., Amrani El, Eberhardt A., Berveiller M. Determination of the origin for the dissymmetry observed between tensile and compression tests on shape memory alloy // J. de Phys. IV. 1995. Vol. 5. P. C2-495 C2-500.

46. Patoor E., Eberhardt A., Berveiller M. Micromechanical modelling of superelasticity in SMA // J. de Phys. IV. 1996. Vol. 6. P. С1-277 Cl-292.

47. Patoor E., Siredey N., Eberhardt A., Berveiller M. Micromechanical approach of the fatigue behavior in a superelastic single crystal // J. de Phys. IV. 1995. Vol. 5. P. C8-227 C8-232

48. Sato Y., Tanaka K. Estimation of Energy Dissipation in Alloys due to Stress-Induced Martensitic Transformation. // Res Mechanica, 1988. Vol. 23. p. 381 -393.

49. Stoilov V., Bhattacharyya A. A. Theoretical framework of one-dimensional sharp phasefronts in shape memoiy alloys // Acta Materialia. 2002. Vol. 50 P. 4939-4952.

50. Stoiliv V., Iliev O., Bhattacharyya A.A. A moving boundary finite element method-based numerical approach for the solution of one-dimensional problems inshape memory alloys. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 190 (2000) pp. 1741 1762.

51. Sun Q.-P., Lexcellent C. On the unified micromechanics constitutive description of one-way and two-way shape memory effects // J. de Phys. 1996. Col. CI. Vol. 6. № 1. P. Cl-367 375.

52. Tanaka K., Nagaki S. A Thermomechanical Description of Materials with Internal Variables in the Process of Phase Transition. // Ingenier Archiv. 1982. Vol. 51, pp. 287-299.

53. Tanaka K. A Thermomechanical Sketch of Shape Memory Effect One-Dimensional Tensile Behavior. // Res Mechanical. 1986. Vol. 18, pp. 251 263.

54. Tanaka K., Ivasaki R. A Phenomenological Theory of Transformation Superplasticity// Engineering Fracture Mechanics. 1985. Vol.21 №4, pp. 709 -720.