Анализ термоупругих двухэтапных фазовых превращений в сплавах с памятью формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Шелымагин Петр Владимирович

АНАЛИЗ ТЕРМОУПРУГИХ ДВУХЭТАПНЫХ ФАЗОВЫХ ПРЕВРАЩЕНИЙ В СПАЛАВАХ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ

Специальность 01.02.04. механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004 г.

Работа выполнена в Институте Прикладной Механики Российской Академии Наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор А.А. Мовчан

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

М.Д.Коваленко кандидат технических наук

профессор В.П.Махров

Ведущая организация: ОАО «Национальный институт авиационных технологий»

на заседании Диссертационного совета Д002.068.01

в Институте Прикладной Механики РАН

по адресу: 117334, Москва, Ленинский проспект, 32-А

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Прикладной Механики РАН

Защита состоится

часов

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета Кандидат технических наук:

Е.И. Кочемасова

Актуальность темы.

Причиной уникальных механических свойств сплавов с памятью формы (СПФ) являются происходящие в них термоупругие фазовые превращения. Для СПФ типа никелида титана это, прежде всего мартенситные превращения, т.е. переход из аустенитной фазы с объемноцентрированной кубической кристаллической решеткой в моноклинную с искажениями - мартенситную фазу (прямое превращение) и обратно (обратное превращение). Механические свойства и явления, происходящие в СПФ при одноэтапных мартенситных термоупругих фазовых переходах, достаточно подробно изучены экспериментально и теоретически в работах В.А. Лихачева, А.Е. Волкова, В.Г. Малинина, В.Н. Хачина, СА Абдарханова, А.А. Мовчана, В.Г. Пущина, К. Tanaka, К. Otsuka, G. Liang, CA. Rogers, D.C. Lagoudas и др. Поведение композитов, содержащих элементы из СПФ, исследовалось в работах И.Ф. Образцова, СА. Лурье и др.

Уникальные свойства мартенситных превращений активно используется при решении разнообразных технических задач. В аэрокосмической технике - это развертывание крупногабаритных космических конструкций, демпфирование вибраций, создание разъемных герметичных соединений с помощью муфт из СПФ, в медицине СПФ используются в ортопедии, стоматологии и т.д.

Известно, что в никелиде титана, особенно с повышенным содержанием никеля или с добавками железа, кроме термоупругого фазового превращения в мартенситное состояние с моноклинной кристаллической решеткой (М -переход), наблюдается еще и переход из аустенитной фазы с объемно-центрированной кубической решеткой в ромбоэдрическую фазу (R - переход) и обратно. Механические явления, сопровождающие ромбоэдрическое и двухэтапное (ромбоэдрическое и мартенситное) превращение в никелиде титана экспериментально изучены в работах P.G. McCormick, S. Miyazaki, СА.Казариной, А. Мозафари и др. Необходимо отметить, что известные экспериментальные данные содержат ряд противоречий, нуждающихся в теоретическом осмысливании. Адекватные теоретические модели механических явлений, сопровождающих двухэтапные термоупругие фазовые превращения, развиты недостаточно. Тоже самое можно сказать о методах решения краевых задач механики для СПФ, испытывающих двухэтапные фазовые превращения.

R- превращение обладает рядом очень интересных свойств. Не смотря на низкую, по сравнению с М - переходом, деформативность R- превращение происходит в узком температурном интервале, обладает стабильностью свойств и существенно более высокой усталостной долговечностью, не требует длительной предварительной «тренировки». Приведенные качества R- превращения свидетельствуют о возможности его практического использования, работы по изучению R - превращения, формулировке определяющих соотношений для СПФ, испытывающих ромбоэдрические и

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I - 3 - БИБЛИОТЕКА

snxm.

двухэтапные термоупругие превращения и разработке методов решения соответствующих краевых задач механики являются актуальными. Цель работы.

Целью работы является построение математической модели макроскопических механических явлений, сопровождающих двухэтапные термоупругие фазовые превращения в СПФ типа никелида титана. Для достижения этой цели было необходимо:

- Осуществить качественное описание процесса двухэтапного термоупругого фазового превращения.

- Сформулировать систему гипотез, касающихся рассматриваемого процесса.

- Сформулировать определяющие соотношения для параметров фазового состава

- Сформулировать определяющие соотношения для упругих и фазовых деформаций.

- Разработать метод решения краевых задач механики для СПФ, испытывающих двухэтапные фазовые превращения.

- Исследовать общие свойства полученных таким образом решений.

- Объяснить ряд противоречий, характерных для экспериментальных данных по двухэтапным термоупругим превращениям.

Методы исследования.

Работа выполнена с позиций феноменологической механики и не претендует на описание физических явлений, происходящих в СПФ на микроуровне. Для решения поставленной задачи использовались результаты экспериментальных исследований; определяющие соотношения формулировались с учетом общих положений механики деформируемого твердого тела. Предлагаемый аналитический метод решения краевых задач основан на двумерном преобразовании Лапласа. Научная новизна.

1.Сформулирована новая система гипотез, касающихся механических проявлений двухэтапного фазового перехода в СПФ типа никелида титана

2.Впервые получены определяющие соотношения для параметров фазового состава, упругих и фазовых деформаций при двухэгапном термоупругом фазовом переходе.

3.Предложены формулы для зависимости упругих модулей СПФ от параметров фазового состава при двухэтапном фазовом переходе.

4.Предложен оригинальный метод решения краевых задач механики деформируемых тел, испытывающих двухэтапный термоупругий фазовый переход, основанный на двумерном преобразовании Лапласа по параметрам фазового состава.

Основные положения, выносимые на защиту.

1.Система гипотез, касающихся механического поведения СПФ типа никелида титана, испытывающих двухэтапные (мартенситные и ромбоэдрические) термоупругие фазовые превращения.

2.Система механических определяющих соотношений для СПФ типа никелида титана, испытывающих двухэтапные термоупругие фазовые превращения.

3.Аналитический метод решения краевых задач механики для тел из таких СПФ.

4.0бщие свойства решений краевых задач механики для этих материалов. 5.Результаты решения краевых задач о двухэтапных термоупругих мартенситных превращениях при изгибе и кручении.

Теоретическая и практическая ценность.

Теоретическая ценность работы состоит в том, что впервые предложена цельная математическая модель механического поведения СПФ типа никелида титана при двухэтапных (мартенситных и ромбоэдрических) фазовых переходах. Предложенные в работе гипотезы и общие положения могут быть использованы для других (двух- и многоэтапных) фазовых переходов (например, в СПФ на основе меди). Математическое описание деформации двухэтапного фазового перехода может быть применено для анализа работы разнообразных устройств (датчики, пружины, задвижки, реле и т.д.), использующих преимущества ромбоэдрического фазового перехода, работающих в узких температурных интервалах, не требующих предварительной тренировки, обладающих высокой усталостной долговечностью.

Достоверность и обоснованность полученных результатов.

Полученные теоретические результаты соответствующие экспериментальным данным, достоверно описывают процессы двухэтапных превращений, не приводят к противоречиям вне зависимости от постановки эксперимента и выбранного химического состава СПФ. Вывод определяющих соотношений для фазового состава и фазовых деформаций основан на микромеханическом подходе, успешно примененном при исследовании мартенситных превращений. Апробация работы.

1.Юбилейная школа-семинар «Композиционные материалы» к 80-летию академика И.Ф. Образцова. Москва 6-9 июня 2000 г.

2.Международный семинар «Актуальные проблемы прочности». Витебск 2629 сентября 2000 г.

3.Международный семинар «Современные проблемы прочности» имени ВА.Лихачева. Великий Новгород, Старая Русса. 18-22 сентября 2000 г.

4.V Международный симпозиум «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» Москва. 2001 г.

5. XXXVm Международный семинар «Актуальные проблемы прочности» Санкт - Петербург, 2001г.

6. Московская конференция молодых ученых. Москва, ИМАШ РАН 19-21 ноября 2002 г.

7. Movchan A.A., Kazarina S.A., Shelimagin P.A. Constitutive equations for two -step thermoelastic phase transition // Contemporary Research in Theoretical and

Applied Mechanics. Proceedings 14th US National Congress of Theoretical and Applied Mechanics. 2002.-Blacksburg, VA.- P. 425-426.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 56 рисунков. Общий объем 132 страницы. Список литературы содержит 102 наименования.

Содержание работы.

Во введении дано общее описание проблемы, исследуемой в диссертационной работе; изложены противоречия, присущие известным экспериментальным данным по двухэтапным фазовым переходам в СПФ. Следуя экспериментальным данным P.G. McCormick с соавторами, обратное превращение из однородного мартенситного состояния всегда имеет одноэтапный характер; обратное превращение из двухфазного (мартенситно-ромбоэдрического) состояния имеет двухэтапный характер, причем низко деформационный этап предшествует высоко деформационному. В то же время, следуя экспериментальным данным S. Miyazaki с соавторами, обратное превращение всегда имеет двухэтапный характер, причем высоко деформационный этап предшествует низко деформационному. В работе P.G. McCormick с соавторами приведена зависимость максимальной фазовой деформации, накапливаемой в процессе прямого ромбоэдрического превращения, происходящего под действием постоянного напряжения, от величины этого напряжения. Следуя этим данным, деформация уменьшается с ростом приложенного напряжения. В то же время, следуя экспериментальным данным, приведенным в диссертации, фазовая деформация полного ромбоэдрического превращения возрастает с ростом приложенного напряжения. Обоснована актуальность проблемы описания двухэтапных термоупругих фазовых переходов в СПФ формулировки соответствующих определяющих соотношений и разработки методов решения краевых задач механики в рамках этих соотношений.

В первой главе подробно описаны эксперименты, связанные с ромбоэдрическими и мартенситными переходами в СПФ, дано качественное описание двухэтапных фазовых превращений в СПФ типа никелида титана. Установлены причины противоречий в этих экспериментальных данных. Введена система характерных температур фазовых превращений.

При охлаждении под действием небольших постоянных напряжений сначала происходит ромбоэдрическое превращение из аустенитной

фазы с объемно-центрированной кубической решеткой в ромбоэдрическую фазу. Из-за того, что кристаллографическая деформация ромбоэдрического превращения относительно невелика, данный переход обладает деформационным эффектом, не превышающим 1%. Далее следует безгистерезисный участок, после чего происходит переход из

ромбоэдрической фазы в мартенситную, обладающую существенно большим

деформационным эффектом. С ростом напряжений безгистерезисный участок сокращается вплоть до его превращения в точку перегиба. Для напряжений еще большей величины прямое превращение начинается с перехода B2—*R, который прекращается, не завершившись по достижении уменьшающейся температурой значения Ms, характерного для начала мартенситного превращения. Именно этим обстоятельством объясняется полученный P.G. McCormick с соавторами парадоксальный результат, следуя которому величина накапливаемой в процессе прямого ромбоэдрического превращения фазовой деформации не возрастает, а убывает с ростом приложенного напряжения. Дело в том, что в этих экспериментах наблюдалось прерванное мартенситным переходом неполное ромбоэдрическое превращение, температурный интервал осуществления которого уменьшается с ростом приложенных напряжений. Именно из-за этого уменьшения накопленная фазовая деформация падала. В то же время в экспериментах, результаты которых приведены в диссертации, мартенситное превращение начиналось после завершения ромбоэдрического. Поэтому деформации прямого ромбоэдрического превращения возрастает с ростом приложенного напряжения. После этого одновременно происходят два перехода: R—*B19' И В2—*В19'. В случае весьма высоких напряжений

ромбоэдрическое превращение вообще отсутствует и сразу осуществляется переход.В2—*В19' в мартенситную фазу. Необходимо еще раз отметить, что данные выводы соответствуют макроскопическим проявлениям двухэтапных фазовых переходов в СПФ и не претендуют на точность описания таких микроскопических величин, как, например угол ромбоэдричности кристаллической решетки.

Последовательность обратных фазовых переходов при нагреве СПФ зависит от состава сплава, действующих напряжений и фазового состояния в момент начала нагрева. Для никелида титана с небольшим избыточным содержанием никеля (именно такие материалы испытывались P.G. McCormick с соавторами) при малых напряжениях обратное превращение имеет одноэтапный характер независимо от того, из однофазного (мартенситного) или двухфазного (мартенситно-ромбоэдрического) состояния происходит превращение. Этот факт объясняется тем, что температурные интервалы переходов в данном случае

перекрываются. При высоких напряжениях из однофазного мартенситного состояния превращение также имеет одностадийный характер Если же нагрев под действием высоких механических напряжений происходит из двухфазного (B19'+R) - состояния, то сначала происходит низкодеформационное превращение после чего по истечении

безгистерезисного участка, следует высокодеформационный переход так что фазовый переход является двухэтапным, причем низкодеформационный этап предшествует высокодеформационному. Для никелида титана, с высоким избыточным содержанием никеля или добавками железа (такие материалы испытывались S. Miyazaki с соавторами) при нагреве под действием невысоких напряжений, независимо от того, в

однофазном (В19') или двухфазном (B19'+R) состоянии он находится, сначала происходит высокодеформационный переход B19'—*R, далее после безгистерезисного участка, низкодеформационный переход R—+B2. С ростом напряжений температурные интервалы этих превращений сближаются вплоть до перекрытия и последующего поглощения одного другим, в результате чего для высоких напряжений фазовый переход при нагреве носит одноэтапный характер. Очевидно, что мартенситное превращение имеет приоритет над ромбоэдрическим.

Реверсивное деформирование при нагреве под нагрузкой из ромбоэдрического состояния, свободного от фазовых деформаций имеет место. Однако амплитуда этого эффекта мала (более чем на порядок уступает деформации полного прямого ромбоэдрического превращения под действием той же нагрузки). Поэтому, в первом приближении этим эффектом можно пренебречь.

Явление ориентированного превращения при прямом ромбоэдрическом переходе имеет место. Однако, интенсивность накопления деформаций после снятия напряжений мала. Поэтому, в первом приближении этим эффектом можно пренебречь.

На основании экспериментальных данных сформулированы следующие гипотезы. Для прямого превращения существуют единые зависимости от напряжений характерных температур начала и завершения образования конечного продукта реакции независимо от того, из какой исходной фазы этот продукт образовался. Для обратного превращения, наоборот существуют единые зависимости от напряжений температур начала и завершения исчезновения исходной структуры, независимо от того, в какую фазу эта структура переходит. Вообще наличие трех фазовых состояний (В2, В19', R), определяет наличие 12 характерных температур -температуры начала и конца образования и исчезновения фазы (по 4 для каждого состояния), однако, следуя последним предположениям, для построения непротиворечивой модели достаточно ввести восемь характерных температур начала и конца процессов:

Rt ,R*f .Ms ,Mf ,R'S ,R'f Ms ,M}

Здесь буквы R и M относятся, соответственно, к мартенситной и ромбоэдрической фазам, индекс s и f соответствует началу (start) и завершению (finish) преобразования, верхние значки + и - соответствуют прямому и обратному превращению. Таким образом, например, .Mj означает температуру начала образования мартенситной фазы при прямом превращении, а - температуру конца исчезновения ромбоэдрической фазы при обратном превращении.

Предполагается, что характерные температуры фазовых переходов являются линейными функциями интенсивности действующих напряжений Ml, =М»+кн<Т,

Если одновременно возможны два различных прямых фазовых перехода из одного и того же исходного состояния, отличающихся по конечному продукту, то осуществляется тот из них, который сильнее меняет симметрию кристаллической решетки.

Если одновременно происходит прямой фазовый переход из двух различных структур в одну, то в процессе такого перехода отношение между количественными мерами этих структур сохраняется постоянным.

Если температурно-силовые условия позволяют осуществить обратное превращение из одной фазы в две различные структуры, фазовый переход между которыми в данных условиях не возможен, то осуществляется то из преобразований, которое меньше меняет симметрию кристалла.

Если одновременно возможно обратное фазовое превращение из низкосимметричной фазы в промежуточную и из промежуточной в еще более симметричную, то промежуточное превращение в определяющих уравнениях можно не учитывать, считая, что сразу осуществляется переход из первой фазы в последнюю.

Во второй главе на основании качественного описания процесса получены определяющие соотношения для фазового состава и деформации двухэтапного превращения.

Вводятся три переменные состояния которые можно

определить как объемные доли аустенитной и мартенситной фаз и степень завершенности Я - преобразования. Последняя величина является нормированной, таким образом, чтобы выполнялось соотношение: «,.+4*+<?«=!

На плоскости в координатах области прямого (обратного)

ромбоэдрического или мартенситного превращения представляют собой полосы с границами

т = + к „а,, т = + (т = + к Ка,,т = + *,<т,)

или

т = м+ км ст,, т = м+ *„<х,. (г = м+ км а, ,т = м+ ки<?1)

полоса прямого ромбоэдрического превращения заканчивается после пересечения с полосой прямого мартенситного превращения. Ниже под термином «изображающая точка» будет пониматься точка на плоскости . Прямое ромбоэдрическое (мартенситное) превращение происходит в том случае, если изображающая точка находится в области прямого ромбоэдрического (мартенситного) превращения причем выполняется неравенства: кй<](Т1 >(1Т (км/1ал>с1Т)

Обратное ромбоэдрическое (мартенситное) превращение происходит тогда, когда изображающая точка находится в области обратного ромбоэдрического (мартенситного) превращения, причем выполняются неравенства: <¿Г (кмс1а. <с1Т)

Определяющие соотношения для параметров фазового состава будут зависеть от положения изображающей точки относительно областей соответствующих фазовых переходов. Для прямого превращения изменение фазового состава между температурами начала и завершения прямого ромбоэдрического превращения определяется соотношением:

Здесь р И <7 - степень осуществления прямого ромбоэдрического превращения и объемная доля мартенситной фазы, р* И * - значения параметров р и д в момент пересечения верхней границы области прямого ромбоэдрического превращения Т = К?+кц<т1. В качестве функции /

выбираем:

Изменение фазового состава между температурами начала и завершения прямого мартенситного превращения определяется соотношениями:

Л/;, г))

р=р0м(1-/(м;, м). т))

Здесь р" И - значения параметров р И д в момент пересечения верхней границы области прямого мартенситного превращения

Определяющие соотношения для параметров фазового состава при обратном превращении будут зависеть от степени реализации предварительного прямого превращения и от положения изображающей точки процесса относительно областей обратного ромбоэдрического и обратного мартенситного превращений. Если изображающая точка находится в области обратного ромбоэдрического превращения и вне области обратного мартенситного превращения то выполняется соотношение:

р=я;, Т)

величина д сохраняет постоянное значение, поскольку при обратном превращении ромбоэдрическая фаза может переходить только в аустенитную. Здесь рЦц - значение р - в момент пересечения нижней границы области обратного ромбоэдрического превращения.

Если изображающая точка движется в зоне обратного мартенситного превращения, и вне зоны обратного ромбоэдрического превращения, то изменение объемной доли мартенситной фазы определяется формулой: ?=?£/(**;, А/;, 7-)

где дю -- значение параметра д в момент пересечения нижней границы осуществления обратного мартенситного превращения. В таком процессе мартенситная фаза может переходить как в ромбоэдрическую, так и в аустенитную. В соответствии с экспериментальными данными утверждается, что мартенситная фаза переходит в ромбоэдрическую, если изображающая точка находится ниже нижней границы ромбоэдрической полосы и в

аустенитную, если изображающая точка находится выше верхней границы ромбоэдрической полосы.

В первом случае вместе с соотношением g = q¡¡,fÍM^, M¡, Т) должно выполняться условие Р + Я = Ры+яп,

свидетельствующее о том, что объемная доля аустенитной фазы в этом процессе не меняется. Здесь р^ -значение параметра р в момент пересечения изображающей точкой нижней границы мартенситной полосы. Параметр р будет определятся формулой:

Р = +<?»(!-/К". Щ, Г))

При т.е. вся имевшаяся

мартенситная фаза перешла в ромбоэдрическую.

Во втором случае ромбоэдрическая фаза в материале отсутствует (р - 0), а мартенситная убывает в соответствии с g = t¡¡¡,f{^J>

Если же одновременно происходит пересечение как мартенситной, так и ромбоэдрической полос, то параметр р убывает в соответствии с Р-Р<я/[К/1 Rs< а параметр q в соответствии с q = q^¡f{M~f, M¡, т).

Считается, что полная деформация является суммойупругоЙ, фазовой, связанной с ромбоэдрическим превращением е* и фазовой, связанной с мартенситным превращением е" (для упрощения температурная деформация не учитывается). Упругая деформация определяются законом Гука:

где штрих обозначает девиатор, индексы у тензорных величин для упрощения записи опущены, G, К- модуль сдвига и утроенный объемный модуль, зависимости которых от объемной доли мартенситной фазы q и степени ромбоэдрического превращения р предложено описывать

1 = р н q +l~p~q 1= р I q \ Х~Р~Ч К KR Ки Кл G G„ С„ вл

где индексы М, R и А соответствуют мартенситным, ромбоэдрическим и аустенитным значениям модулей.

Для фазовых деформаций при прямом термоупругом превращении, по аналогии с системой определяющих уравнений для мартенситных превращений, с учетом экспериментальных данных, можно предложить соотношения

de"' и > и, d£u а м de" g ,

где с", а0, Р, c¡¡— постоянные материала. Объемный эффект реакции ромбоэдрического превращения для упрощения не учитывается.

И

Для обратных двухэтапных термоупругих фазовых превращений величина еЦ удовлетворяет такому же соотношению, как и для прямых переходов, а для девиаторных компонент фазовых деформаций предлагаются соотношения:

Ае"' а ем Ае"' £*

аь _ "одо +а £м< = —

<к ехр(а0<70)-1 0 ¿р Ро

В уравнениях для обратных переходов для упрощения пренебрегается реверсивным эффектом памяти формы, р0,(?0£- значения параметров и девиаторов ромбоэдрических и мартенситных фазовых превращений в момент начала соответствующего обратного перехода.

Соотношения, связывающие между собой напряжения, деформации и параметры фазового состава вместе с соотношениями, выражающими эти параметры через температуру и напряжения представляют собой определяющие уравнения для СПФ, претерпевающего двухэтапное фазовое превращение.

Результаты теоретических расчетов в соответствии с предложенной моделью сравниваются с экспериментальными данными, рассматриваются два СПФ на основе никелида титана с различными химическими составами: Проверяется достоверность выбранной модели.

В третьей главе изложен метод решения краевых задач механики для деформируемых твердых тел, испытывающих двухэтапные фазовые переходы, основанный на двумерном преобразовании Лапласа по параметрам фазового состава. Под двумерным преобразованием Лапласа по переменным q и р от функции /(р,д) понимается переход:

Пусть значения параметров фазового состава р и q в каждый момент времени одинаковы для всех точек рассматриваемого тела. Это условие заведомо выполняется, если температура всех точек тела в каждый момент времени одинакова и либо решается несвязная задача, либо интенсивность напряжений во всех точках тела одинакова в каждый момент времени. Пусть, кроме того, упругие модули не зависят от параметров фазового состава. Предполагается, также, что действующие на тело нагрузки и правые части кинематических граничных условий либо постоянны, либо меняются, но могут быть выражены как функции параметров фазового состава р^.

В этом случае ко всем уравнениям краевой задачи можно применить двумерное преобразование Лапласа по параметрам р и q. Образы величин при этом преобразовании будут снабжаться значком тильды. В результате такого преобразования определяющие соотношения в пространстве изображений переходят в зависимости:

= Ьа {/(/>, <?)} = { {/(р.<?) ехр (,-гр - $ц)(1р<1ч

00

Здесь при преобразовании производных учтено, что £*(0,д) = 0, е"(р,0)=0. Тогда для образов девиатора и шаровой части полной деформации получается

, 2С 5 -а„

I —ё-

"О ' У ■> "О

Таким образом, в пространстве изображений задача о двухэтапном прямом превращении сводится к эквивалентной упругой задаче с начальной

объемной деформацией

¡и -Он

тем же объемным модулем К и модулем

сдвига, зависящем от переменных С(г„

х | 240 х 2с"О

Решая эквивалентную упругую задачу и возвращаясь к оригиналам, можно получить решение задачи о двухэтапном прямом превращении. Пользуясь тем, что образ утроенного объемного модуля К совпадает с оригиналом, можно получить выражения для образов других упругих постоянных. В частности, воспользовавшись известным из теории упругости

для образа модуля Юнга при двумерном

соотношением

-И1*1!.

Е К)

преобразовании Лапласа можно получить:

£"' (г, *) = £"'

1 +

2с Е

2 с%Е

3 г 3(í-a0)J

Для образа коэффициента Пуассона V = 0.5(1 -Е/К), можно получить:

исходя из соотношения

А + ВУ

, А = [(*-а0)сЦ + гсХ]Е, В = 3г(*-а0)

2А + В

Для образа цилиндрической жесткости дг.1), исходя из соотношения п 240;'3

можно получить:

1 —V

(2 А + В)В

В той же главе сформулированы и обоснованы некоторые общие положения, касающиеся рассмотренного типа краевых задач механики для деформируемых тел, испытывающих двухэтапные фазовые переходы:

1.Принцип линейной суперпозиции. Пусть объемным эффектом реакции можно пренебречь. Если есть два решения первой основной несвязной задачи о двухэтапном прямом превращении для одного и того же тела из СПФ при одном и том же законе уменьшения температуры, соответствующие двум системам нагрузок, то решение несвязной задачи о прямом превращении для суммарных нагрузок равно сумме этих решений. Данный принцип позволяет вводить для решения задач о двухэтапном прямом превращении функции Грина и строить процедуру метода граничных элементов.

2.Положение о независимости от температуры. Если некоторая величина (напряжение, деформация или смещение) в решении эквивалентной упругой задачи не зависит от упругих модулей (кроме, быть может, объемного модуля) и начальной объемной деформации, то та же величина в решении задачи о двухэтапным прямом превращении не будет зависеть от температуры и будет равна ее же значению в упругой задаче для того же тела.

ЗАналог теоремы Мориса-Леви. Если решается первая основная задача о двухэтапном прямом превращении для односвязного тела при плоском напряженном состоянии или многосвязного тела, но нагруженного так, что главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к каждому контуру равны нулю, то напряжения в этом решении не зависят от температуры и равны напряжениям в таком же и так же нагруженном упругом теле. Аналогичное положение справедливо при плоской деформации, но только для напряжений в плоскости деформирования.

4.При решении статически определимых задач фазовые компоненты деформаций не зависят от упругих модулей. Поэтому такие задачи могут решаться с помощью описанного выше приема даже при учете переменности упругих модулей, что скажется только на упругих компонентах деформаций.

5.Пусть решается задача об обратном двухэтапном превращении после прямого двухэтапного превращения, в процессе которого девиатор напряжений сохранял постоянное значение. Тогда фазовые деформации при прямом и последующем обратном превращениях одинаковы в точках с одинаковыми значениями р и д.

Решена задача о двухэтапном прямом превращении при кручении призматического стержня из СПФ, испытывающего двухэтапные прямые и обратные превращения под действием постоянного крутящего момента. В упругой задаче крутка в' определяется по формуле:

в' =

М

2G4'

(1)

где функция зависит только от формы поперечного сечения. Заменяя

в (1) модуль сдвига выражением

крутки в пространстве изображений получаем:

М

TVGrs

11 2cqG I 2C0'G

для образа

(2)

Обращая преобразование Лапласа для крутки при двухэтапном прямом превращении можно получить:

м

2VG

2Qcm

l + 2Gc*p +-2-[exp(ao9)-l]

(3)

Рассматриваемая задача является статически определимой. В силу положения 4 полученное решение справедливо и в случае учета

переменности модуля сдвига. При этом зависимости (3) необходимо придать форму:

в(р,Ч) =

1

:0и(ехрЦ,9)-1)

(4)

Исходя из (4) для отношения искомой крутки к упругой крутке в М

аустенитном состоянии можно получить:

2 СД

(5)

Здесь бд- модуль сдвига в аустенитном состоянии. Используя для зависимости модуля сдвига от параметров фазового состава одну из

возможных аппроксимаций _

С(р,9) С,

^ р | д {\-р-д

(6)

из (5) можно получить выражение для относительной крутки через безразмерные параметры:

1 + 20 лс*

Р +

—1

9 +

2ОлС0"(ехр(д0?)-1)

(7)

Здесь - модули сдвига в ромбоэдрическом и мартенситном

состояниях.

Пусть после прямого превращения под действием постоянного момента М происходит обратное превращение под действием момента М1, который, вообще говоря, может меняться. Получена связь между круткой и моментом в этом процессе:

или, для отношения к упругой крутке под действием момента М в аустенитном состоянии

С, |2С . | 2С,С(схр(д^)-])

' />« /-«/_ А 0 г

Ч МС(м)

Тогда, учитывая (6), окончательно получаем

2СЛС0"(ехрМ-1)

* М

+ 2ОЛС0> + -

(8)

Рассмотрены двухэтапные прямое и обратное превращения в тонкостенном призматическом стержне замкнутого профиля из СПФ, находящегося под действием постоянного крутящего момента, значение которого может меняться при переходе от прямого превращения к обратному. В материале такого профиля напряжения и температуру можно считать не зависящими от пространственных координат. Следовательно, выполнены сформулированные выше условия применимости решений (7), (8).

Произведено качественное сравнение результатов с экспериментальными данными. Показана достоверность результатов.

Получено аналитическое решение несвязной задачи о двухэтапном прямом превращении в балке из СПФ, находящейся под действием изгибающего момента. Связь между кривизной к и изгибающим моментом М в упругом случае дается формулой

к=-

М_ £7

(9)

где / - момент инерции сечения. Заменяя в (9) модуль Юнга на выражение

можно получить формулу для кривизны в

пространстве изображений: М

Е]зг

1с" Е

, 2с*£ 1+——+

3 г 3(5 -а0)

(10)

Возвращаясь в (10) к оригиналам, для кривизны при двухэтапном прямом превращении можно получить:

м( 1 *•=— —

ЛЕ

2с,

3

За,

(11)

Здесь опять «фазовая» часть кривизны не зависит от упругих модулей. Поэтому решение (11) справедливо и в случае, когда модуль Юнга меняется при изменении фазового состава.

Для отношения кривизны при двухэтапном прямом превращении к М

упругой кривизне

, вычисленной для аустенитного значения модуля

Юнга Ел, из (10) можно получить

к (Е. 2Елс*

71 =-= —5- +-р +

к' Е 3

За„

(12)

Если считать, что изменение модуля Юнга при фазовом переходе

подчиня«

1 = .£-+_£ Е Е* Ей

\-p-q

то относительную кривизну можно выразить через безразмерные параметры в виде формулы:

+ (13)

Поскольку напряжения при изгибе меняются по высоте сечения, то формула (13) справедлива лишь для решения задачи в несвязной постановке.

Отметим, что выражение для кривизны (11) справедливо и в том случае, когда задача о двухэтапном прямом превращении решается в геометрически нелинейной постановке, если деформации малы, но нельзя пренебрегать различиями между актуальной и отсчетной конфигурациями. Соотношение (11) позволяет получить аналитическое решение геометрически нелинейной задачи о двухэтапном прямом превращении в жестко заделанном на левом

конце стержне, находящемся в состоянии чистого изгиба под действием постоянного момента. В системе координат с началом в точке заделки и осью

направленной вдоль нейтральной оси балки в недеформированном состоянии, уравнение деформированной упругой линии есть:

Здесь ,5 - координата, представляющая собой длину нейтральной линии, к(р,д,М)-функция (И). В частности, получено аналитическое выражение для изгибающего момента М, при котором упругая линия стержня длины Ь для заданных значений р и д будет представлять собой (после снятия изгибающего момента) полную окружность:

М =_З^Ь__(14)

Ис*аоР + с" (ехР(аов) ~')]

Основные результаты и выводы.

1. Сформулирована система гипотез, касающихся механических проявлений двухэтапных (мартенситно-ромбоэдрических) фазовых переходов в СПФ типа никелида титана.

2. Построена модель изменения параметров фазового состава при двухэтапных прямых и обратных фазовых переходах в СПФ типа никелида титана.

3. Построены модели процессов деформирования при двухэтапных прямых и обратных фазовых переходах в СПФ типа никелида титана.

4. Разрешен ряд противоречий между экспериментальными данными, наблюдаемыми в опытах по двухэтапным фазовым переходам в СПФ

5. Предложен аналитический метод решения краевых задач механики для СПФ, испытывающих двухэтапные фазовые переходы.

6. Установлен ряд общих положений, касающихся свойств краевых задач механики для СПФ, претерпевающих двухэтапные фазовые превращения.

7. Получены аналитические решения задач о прямом и обратном двухэтапном превращении в призматическом теле из СПФ, находящегося под действием крутящего момента.

8. Получено аналитическое решение задачи о двухэтапном прямом превращении в балке из СПФ, находящейся под действием изгибающего момента.

Список публикаций.

1.Казарина С.А., Шелымагин П.В., Пузикова Т.В., Серов В.В. Экспериментальное исследование ромбоэдрического и мартенситного превращения в сплавах с памятью формы типа никелида титана. Юбилейная школа-семинар «Композиционные материалы» к 80-летию академика И.Ф. Образцова. Москва 6-9 июня 2000г. С.23.

2.Шелымагин П.В., Казарина СЛ., Мовчан А.А. Определяющие соотношения для двухэтапного термоупругого фазового превращения. Юбилейная школа-семинар «Композиционные материалы» к 80-летию академика И.Ф. Образцова. Москва 6-9 июня 2000г. С.24.

3.Мовчан А.А., Казарина СА, Шелымагин П.В. Математическое моделирование механического поведения никелида титана с повышенным содержанием никеля // Труды XXXIV Международного семинара «Актуальные проблемы прочности». 26-29 сентября 2000 г. Витебск. С.348-352.

4. Мовчан А.А., Казарина С.А., Шелымагин П.В. Применение двойного преобразования Лапласа к решению краевых задач механики при двухэтапных фазовых превращениях // Труды IV Международного семинара «Современные проблемы прочности» имени В.А.Лихачева. Великий Новгород, Старая Русса. 18-22 сентября 2000 г. С. 132 - 136

5. Мовчан А.А., Казарина СА, Шелымагин П.В., Пузикова Т.В. Качественное описание двухэтапного фазового превращения в никелиде титана. // Труды XXXIV Международного семинара «Актуальные проблемы прочности». 26-29 сентября 2000 г. Витебск. С.353-358.

6. Казарина СА, Мовчан АА, Пузикова Т.В., Шелымагин П.В. Аналитическое решение задачи о двухэтапных фазовых превращениях в замкнутом профиле, находящемся под действием постоянного крутящего момента// Материалы V Международного симпозиума «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред».- М.: 2001.-С. 16.

7. Мовчан А.А., Казарина СА, Шелымагин П.В. Краевые задачи механики для сплавов с памятью формы, испытывающих двухэтапные термоупругие фазовые превращения // Сборник трудов XXXVIII Международного семинара «Актуальные проблемы прочности».- Санкт - Петербург, 2001.- С. 397-402.

8. Мовчан АА, Шелымагин П.В., Казарина С.А. Определяющие уравнения для двухэтапнных термоупругих фазовых превращений // Журнал прикладной механики и технической физики.- 2001.- Т. 42.- №5.- С. 152-160.

9. Мовчан А.А., Казарина СА, Шелымагин П.В. Аналитическое представление решения краевых задач механики для деформируемых твердых тел, испытывающих двухэтапные термоупругие фазовые превращения // Механика композиционных материалов и конструкций. М.: 2001.-Т.7.- №4.-452-468.

10. Шелымагин П.В. Решение краевых задач механики для сплавов с памятью формы испытывающих двухэтапные фазовые превращения //

«Научно - технические проблемы развития московского мегаполиса. Московская конференция молодых ученых. 19-21 ноября 2002.- М.: ИМАШ РАН. 2002.- С.32.

11. Movchan A.A., Kazarina SA, Shelimagin P.A. Model of two-step thermoelastic phase transition transition in shape memory alloys // Proceedings of International conference on martensitic transformation. - 14 - 16 June 2002.-Finland, Espoo, Dipoli.

12.Movchan A.A., Kazarina SA, Shelimagin PA Constitutive equations for two - step thermoelastic phase transition // Contemporary Research in Theoretical and Applied Mechanics. Proceedings 14th US National Congress of Theoretical and Applied Mechanics. 2002,-Blacksburg, VA.- P. 425-426.

Принято к исполнению 15/11/2004 Заказ № 455

Исполнено 16/11/2004 Тираж: 100 экз..

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Балаклавский пр-т, 20-2-93 (095) 747-64-70 (095) 318-40-68 www.autorcfcrat.ru

»2 68 1 f

1. Введение.

2. Качественное описание двухэтапных термоупругих фазовых превращений

2.1 Результаты исследования электрического сопротивления.

2.2 Механическое поведение витых пружин смещения.

2.3 Реверсивное деформирование при обратном R—»В2 превращении под нагрузкой из ромбоэдрического состояния, свободного от фазовых деформаций.

2.4 Ориентированное превращение.

2.5 Качественные выводы, следующие из экспериментальных данных по двухэтапным термоупругим фазовым превращениям в Ti-50,2%Ni.

2.6 Основные гипотезы.

3. Определяющие соотношения для двухэтапных термоупругих фазовых превращений

3.1 Определяющие соотношения для параметров фазового состава.

3.2 Определяющие соотношения для упругих и фазовых деформаций.

3.3 Применение модели для описания поведения СПФ при двухэтапном термоупругом фазовом превращении.

4. Аналитический метод решения краевых задач механики деформируемых тел, испытывающих двухэтапные термоупругие фазовые превращения.

4.1 Двумерное преобразование Лапласа.

4.2 Сведение упругой задачи в пространстве изображений к упругой задаче.

4.3 Решение задач о двухэтапном прямом превращении при кручении и изгибе.

Причиной уникальных механических свойств сплавов с памятью формы, (СПФ) являются происходящие в них термоупругие фазовые превращения. Для СПФ типа никелида титана это, прежде всего мартенситные превращения, т.е. переход из аустенитной фазы с объемноцентрированной кубической кристаллической решеткой в моноклинную с искажениями - мартенситную фазу (прямое превращение) и обратно (обратное превращение). Механические свойства СПФ, связанные с мартенситными превращениями достаточно подробно изучены экспериментально. Различные системы определяющих соотношений для СПФ предлагались в работах [21,40,43,45,46,47,48,49,50,51] и др. В [1012] с помощью микромеханического подхода получена система определяющих уравнений, количественно и качественно правильно описывающая механические свойства СПФ при термоупругих мартенситных (одноэтапных) фазовых превращениях [10-12]. Сформулированы различные (несвязная, связная и дважды связная) постановки краевых задач механики деформируемого твердого тела для СПФ [16] и установлен ряд общих положений справедливых для этих краевых задач [14,16]. Предложены аналитические и численные методы их решения [14-16]. Уникальные свойства мартенситных превращений активно используется при решении разнообразных технических задач. В космонавтике - это развертывание крупногабаритных конструкций, в медицине - для решения ортопедических проблем, в сосудистой хирургии и т.д., на практике используется не только эффект памяти формы, но и высокая эластичность нитинола.

Известно, что в никелиде титана, особенно с повышенным содержанием никеля или с добавками железа, кроме термоупругого фазового превращения в мартенситное состояние с моноклинной кристаллической решеткой (М -переход), наблюдается еще и переход из аустенитной фазы с объемно-центрированной кубической решеткой в ромбоэдрическую фазу (R - переход) и обратно. R- превращение обладает рядом очень интересных свойств. Не смотря на низкую, по сравнению с М - переходом, деформативность R -превращение происходит в узком температурном интервале, не требует длительной «тренировки» для стабилизации свойств. Приведенные качества R- превращения доказывают его практическую полезность и свидетельствуют об актуальности работ по изучению R - превращения и формулировке соответствующих определяющих соотношений. Экспериментальные данные о механическом поведении материалов при R-переходе, а также при двухэтапном R- и М - превращении приведены в работах [1-9,24,36,98,99]. В основном они касаются активного изотермического деформирования и разгрузки, явления памяти формы при нагреве после активного изотермического деформирования. Значительно меньше исследованы процессы, происходящие в нагруженных образцах при их охлаждении и нагреве через интервалы температур прямого и обратного ромбоэдрического и двухэтапного превращений [7,9,24],

Имеющиеся в этой области результаты часто противоречат друг другу. Так, в [7], на основании экспериментальных данных, сделан парадоксальный вывод о том, что максимальная деформация, генерируемая при прямом R -превращении, убывает с ростом приложенных напряжений. В то же время, следуя данным [9,24], деформация полного прямого R - превращения линейно возрастает с ростом приложенных напряжений. В [7] установлено, что если обратное превращение после прямого двухэтапного перехода осуществляется из полностью мартенситного состояния, то оно имеет одноэтапный характер. В то же время, если прямое двухэтапное превращение не доведено до конца, т.е. обратное превращение происходит из смешанного состояния, то на кривой обратного перехода явно видны два этапа. Первый соответствует небольшому деформационному эффекту; деформации, связанные со вторым, происходящим при более низких температурах, существенно выше. В то же время, в экспериментах, описанных в [9,24], обратное превращение всегда, даже из двухфазного состояния происходило в один этап. В работах [2,3], приведены экспериментальные данные, следуя которым обратное превращение всегда двухэтапное, даже если оно происходит из однофазного мартенситного состояния, причем высокодеформационный этап предшествует низко деформационному.

Описание R- превращения, а также соответствующие определяющие соотношения были получены ранее [23,24], однако этого не достаточно для разрешения возникших противоречий. Полученные определяющие уравнения касались только одноэтапного ромбоэдрического превращения, для решения краевых задач использовался метод одномерного преобразования Лапласа по доле ромбоэдрической фазы. Актуальной тематикой является качественное описание двухэтапных фазовых переходов, разрешение, на основании полученных выводов, противоречий, формулировка определяющих соотношений для двухэтапных фазовых превращений в СПФ и разработка методов решения соответствующих краевых задач.

В данной работе исследования базируются на микромеханической модели поведения СПФ при мартенситных превращениях [11,12]. Для решения краевых задач применяется аналитический метод решения несвязных задач для СПФ, основанный на двумерном преобразовании Лапласа по величине объемной доли мартенситной фазы и степени осуществления ромбоэдрического превращения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В результате проведенной исследовательской работы получены следующие новые результаты.

1. Сформулирована система гипотез, касающихся механических проявлений двухэтапных (мартенситно-ромбоэдрических) фазовых переходов в СПФ типа никелида титана.

2. Построена модель изменения параметров фазового состава при двухэтапных прямых и обратных фазовых переходах в СПФ типа никелида титана.

3. Построены модели процессов деформирования при двухэтапных прямых и обратных процессах фазовых переходов с СПФ типа никелида титана.

4. Объяснен ряд противоречий между экспериментальными данными, наблюдаемыми различными авторами в опытах по двухэтапным фазовым переходам в СПФ.

5. Предложен аналитический метод решения краевых задач механики для СПФ, испытывающих двухэтапные фазовые переходы.

6. Установлен ряд общих положений, касающихся свойств краевых задач механики для СПФ, претерпевающих двухэтапные фазовые превращения.

7. Получены аналитические решения задач о прямом и обратном двухэтапном превращении в призматическом теле из СПФ, находящегося под действием крутящего момента.

8. Получено аналитическое решение несвязной задачи о двухэтапном прямом превращении в балке из СПФ, находящейся под действием изгибающего момента.

1. Хачин В.Н., Гюнтер В.Е., Монасевич Л.А., Паскаль Ю.И. Безгистерезисные эффекты "памяти" в сплавах на основе TiNi //ДАН СССР, 1977. Т. 234. №5. С. 1059-1062.

2. Miyazaki S., Otsuka К. Deformation and transition behavior associated with the R-phase in TiNi Alloys // Metallurgical Transactions A. 1986.- V. 17A,No l.P. 53-63.

3. Miyazaki S., Otsuka K. Mechanical behavior associated with the premartensitic rhombohedral phase transition in a Ti50Ni47Fe3 alloy // Philosophical Magazine A. - 1984. - V. 50. - No 3. - P. 393-408.

4. Lin P.H., Tobushi H., Tanaka K., Ikai A. Deformation properties of TiNi shape memory alloy // Japan Society Mechanical Engineering. International Journal. Ser. A. 1996. V. 39. - No 1. P. 108-116.

5. Stachoviak G.V., McCormic P.G. Shape memory behavior associated with the R and martencitic transformations // Acta Metallurgica. 1988. - V. 36. -No2.-P.292-297.

6. Хачин B.H., Пущин В.Г., Кондратьев B.B. Никелид титана. Структура и свойства//М.: "Наука", 1992.- 161 с.

7. А.А. Мовчан, С.А.Казарина, А. Мозафари. Механические эффекты В2<=> R превращения в никелиде титана. XXXV семинар «Актуальные проблемы прочности». Псков. 14-19 сентября 1999 г.-Ч.1.- С. 156 160.

8. Ю.Мовчан А.А. Микромеханические определяющие уравнения для сплавов с памятью формы // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №6. С. 47-53.

9. П.Мовчан А.А. Микромеханический подход к описанию деформации мартенситных превращений в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1995. № 1. С. 197-205.

10. Мовчан А.А. Выбор аппроксимации диаграммы перехода и модели исчезновения кристаллов мартенсита для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1995. Т. 36. №2. С. 173-181.

11. Мовчан А. А. Некоторые положения механики материалов, испытывающих термоупругие фазовые превращения // Механика композиционных материалов и конструкций. 1999.Т. 5. №4. С. 87 108.

12. Мовчан А.А. Аналитическое решение задач о прямом и обратном превращении для сплавов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 4. С. 136-144.

13. Мовчан А.А. Некоторые проявления способности к ориентированному превращению для сплавов с памятью формы // ПМТФ. 1996. Т.37, №6. С. 1 81-189.

14. Мовчан А.А. Учет переменности упругих модулей и влияния напряжений на фазовый состав в сплавах с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 1998. №1. С. 79-90.

15. П.Мовчан А.А. Исследование эффектов связности в задачах изгиба балок из сплава с памятью формы // ПМТФ. 1998. Т. 39, №1. С. 164 173.

16. Мовчан А.А., Казарина С.А. Конструктивный двухпутевой эффект памяти формы, основанный на явлении ориентированного превращения // Проблемы машиностроения и надежности машин (Машиноведение). 1998. № 1. С. 55-60.

17. Мовчан А.А. Кручение призматических стержней из сплавов с памятью формы // Изв. РАН. МТТ. 2001. №6. С. 143-154.

18. Лихачев В.А., Малинин В.Г., Овчаренко СЛ. Деформация ориентированногопревращения у сплава CuAIMn// Материалы с новыми функциональными свойствами. Материалы семинара. Новгород -Боровичи, 1990. С. 100-101.

19. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно аналитическая теория прочности. СПб.:Наука, 1993.-471 с.

20. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1987. 216 е.

21. Мовчан А.А., Казарина С.А., Мозафари А. Модель двухэтапного фазового превращения в никелиде титана. Труды III Международного семинара "Современные проблемы прочности" им. В.А. Лихачева. Новгород, 1999. Изд-во НовГу. Т. 1. С. 294-298.

22. Мовчан А.А. Казарина С.А. Исследование двухступенчатого фазового превращения в витых пружинах смещения из никелида титана // Проблемы машиностроения и надежности машин (Машиноведение). 2001. №1. С. 52-60.

23. Мовчан А.А., Шелымагин П.В., Казарина С.А. Определяющие уравнения для двухэтапных термоупругих фазовых превращениях // ПМТФ. 2001. Т. 42. № 5. С. 152-160.

24. Мовчан А.А., Казарина С.А., Шелымагин П.В. Математическое моделирование механического поведения никелида титана с повышенным содержанием никеля // Физика процессов деформации и разрушения и прогнозирование механического поведения материалов.

25. Труды XXXVI Международного семинара «Актуальные проблемы прочности». Республика Беларусь, Витебск, 26-29 сентября 2000 г. Ч. 1. С. 353-358.

26. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: «Высшая школа», 1975. 407 с.

27. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963. 686 с.

28. Кузнецов А.В. Численное решение связной осесимметричной задачи о прямом превращении для сплавов с памятью формы. Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т. 2. № 3-4. С. 71 -79.

29. Мовчан А.А., Казарина С.А. Механика активных композитов, содержащих волокна или слои из сплавов с памятью формы. Механика композиционных материалов и конструкций. 1996. Т. 2. № 2. С. 29 48.

30. Мовчан А.А., Мозафари А. Поведение активатора, содержащего стержень из сплава с памятью формы и упругий элемент смещения. Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. № 2. С. 87- 100.

31. Мовчан А.А., Казарина С.А. Учет влияния фазовой деформации на диаграмму термоупругих мартенситных превращений в сплавах с памятью формы. Механика композиционных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. № 4. С. 93 102

32. Мовчан А.А., Кузнецов А.В. Эффект перегрузки в связных краевых задачах о прямом превращении в сплавах с памятью формы. 1 Международный семинар "Актуальные проблемы прочности им. В.А.

33. Лихачева и XXXIII семинар "Актуальные проблемы прочности". Научные труды. Новгород, 1997. Т. 1. Ч. 1. С. 67-71.

34. Мовчан А.А., Сильченко Л.Г. К проблеме устойчивости равновесия при термоупругих мартенситных фазовых превращениях. Труды III Международного семинара "Современные проблемы прочности" им. В .А. Лихачева. Новгород, 1999. Изд-во НовГу. Т. 1. С. 307-311.

35. Абдрахманов С.А., Деформация материалов с памятью формы при термосиловом воздействии/УБишкек, "Илим". -1991-115 с.

36. Liang G., Rogers С.А. One dimensional thermomechanical constitutive relations for shape memory materials // J. Intell. Mater. Systems and Struct. 1990. V. 1. № 2. P. 207-234.

37. Волков AJE., Сахаров В.Ю., Термомеханическая макромодель сплавов с эффектом памяти формы. //Известия академии наук. Серия физическая, 2003, том 67, №6, с. 845-851.

38. Абдарханов С.А., О теории деформации материалов, обладающих ЭПФ // Изв.АН Кирг. ССР. Серия естественной и технической науки. 1988№4.

39. Малыгин Г.А. Кинетическая модель эффектов сверхупругой деформации и памяти формы при мартенситных превращениях. //Физ.тв.тела. 1993. том 35, №1. с. 127-137.

40. Bertram A. Thermomechanical constructive equations for the description of shape memory effect in alloys. //Nucl. Engng. and Des. 1982. Vol. 74, №2. p.173-182.

41. Liang G., Rogers C.A Design of shape memory alloy actuators //J of intelligent Materials Systems and Structures. 1997. vol.8. №4. p. 303-313.

42. Liang G., Rogers C.A Design of shape memory alloy springs with applications in vibration control // J of intelligent Materials Systems and Structures. 1997. vol. 8, №4. p.314-322.

43. Lagoudas D. С., Bo Z., Qidwai M.A. A unified thermodynamic constitutive model for SMA and finite element analysis of active metal matrix composites //Mechanics of composite materials and structures. 1996. vol. 3, p. 153-179.

44. Lagoudas D C. Tadjbar Iradj G. Active flexible rods with embedded SMA fibers // Smart Mater. And Struct. 1992. - 1, № 2. - c. 162-167.

45. Lexcellent C., Licht C. Some remarks on the modeling of the thermomechanical behaviour of shape memory alloys //J.Phys. IV. col.c4.1991. p. 35-39.

46. Sato Y., Tanaka K. Estimation of energy dissipation in alloys due to stress-induced martensitic transformation //Res Mechanica. 1998.vol.23. p. 381-393.

47. Tanaka K. A termomechanical sketch of shape memory effect : one-demensional tensile behavior // Res Mechanica 1998.vol.18. p. 251-263.

48. Patoor E., Eberhardt A., Berveiller M. Micromechanical modeling of superelasticity in shape memory alloys //Journal de Physique IV, coll. CI. 1996. vol. 6. p. 277-292/

49. Patoor E., Bensalah M. О., Berveiller М. Comportement thermomechanique des alliages a'memoire de forme. //Mem. Et Etud.sci.Rev. met. 1992. vol. 89, №9. p. 527.

50. Reymani M.M., Me. Cormick P.G. Two way shape memory in CuZnAl alloy // Proc. Of the Int. Conf. On martensitic transformation. The Japan Institute of metals. 1986. P. 896-901.

51. Liu, Y. and McCormick, P. G., Mater. //Sci. Forum,1990, 56-58, 585.

52. Zhang, S., Braasch, H. and McCormick, P. G., //J. Physique IV, 1997, 7(C5), 537.

53. Lexcellent C. and. Bourbon G, //Mech. Mater. 24, 59 (1996).

54. Арефьев К.П., Пунсык-Намжилов Д.И., Рухая П.П., Мельников А.Г., Кульков С.Н. Структурные изменения в сплавах TiC-TiNi при деформации // Изв. Вузов. Физ. -1994.-37.№4.-С. 100-103.

55. Бречко Т.М., Лихачев В.А. Моделирование эффекта памяти формы // Механика прочности материалов с новыми функциональными свойствами: XXIV Всесоюз. семинар «Актуальные проблемы прочности» (17-21 декабря 1990 г.) Рубежное, 1990. С. 57-60.

56. Корнилов И.И., Белоусов O.K., Качур Е.В. Никелид титана и другие сплавы с эффектом "памяти" // М.: Наука, 1977. 179 с.

57. Лихачев В.А., Мозгунов В.Ф. Исполнительный механизм с рабочим телом из материала с эффектом памяти формы. Инженерный расчет // Сверхупругость, эффект памяти формы и их применение в новой технике. Томск, 1986. С. 216.

58. Лихачев В.А., Патрикеев Ю.И. Влияние напряжений и деформаций на характеристические температуры мартенситных превращений материалов с эффектом памяти формы. Л., 1984. - 45 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.84, N 5033-84.

59. Лихачев В.А., Патрикеев Ю.И., Щуплецов В.Н. Эффект ориентированного превращения в никелиде титана// ФММ. 1986. - Т. 61, вып. 1.-С. 121-126.

60. Лурье С.А. О термодинамических определяющих соотношениях для материалов с памятью формы // Известия академии наук. Механика твердого тела. № 5. 1997, - С. 110-122.

61. Махутов Н.А., Киквидзе О.Г. Об одном подходе к установлению уравнения состояния сплавов с эффектом памяти формы // Заводская лаборатория. 1996 г. №3. Т. 62с. 49-51.

62. Мозгунов В.Ф. Деформационная теория эффекта памяти формы // Материалы с новыми функциональными свойствами: Материалы семинара. Новгородский политехнический институт Новгород; Боровичи, 1990. С. 102-106.

63. Наймарк О.Б., Зильбершмидт В.В., Филимонова Л.В. К описанию деформационных процессов при мартенситных превращениях // Деформирование и разрушение структурно-неоднородных материалов и конструкций. Свердловск, 1989. - С. 116-122.

64. Потапов П.П., Макушев С.Ю., Дмитриев В.Б. Влияние деформации и внешней нагрузки на характеристики обратимого эффекта памяти формы в сплаве 80Г15Д2НЗХ // Металловедение и термическая обработка металлов. 1997. - № 3, С. 16-19.

65. Шандривский А.Г. Применение синтезной модели для нахождения деформации при механо-мартенситном превращении // Гос. Ун-т Львов. Политехню Львов, 1995ю -1с.- Деп. в ГПНТБ Украины 16.2.95, 391-УК95.

66. Aboudi. Jacob The response of shape memory alloy composites // Smart Mater. And Struct. 1997, 6, c. 1-9.

67. Achenbach M., Muller I. Simulation of material behaviour of alloys with shape memory//Arch. Mech. V. 37, № 6, 1985.C. 573-585.

68. Barrett Ron, Gross R. Steven Super-active SMA composites // Smart Mater. And Struct.-1996,-v. 5, № 3-е. 255-260.

69. Barret D.J. A one dimensional constitutive model for shape memory alloys. J. of Intell. Mater. Syst. And Struct. 1995. Vol. 6, P. 329-337.

70. Baz A., Iman K., McCoy J. The Dynamics of Helical Shape Memory Actuators // Journal of Intelligent Material System and Structure. 1990. V. l,No.l. P. 105-133.

71. Birman Victor, Saravanos Dimitris A., Hopkins Dale A. Micromechanics of composites with shape memory alloy fibers in uniform thermal fields // AIAA Journal 1996 - 34, № 9-c. 1905-1912.

72. Boyd J.G., Lagoudas D.C. Thermomechanical response of shape memory composites // J. Of Intellegent Materials and Structures 1994, V. 5, p. 333346.

73. Craciunescu C.M. Recearches on the possibilities for inducing the two way shape memory effect in a copper based alloy // Bui. Sti. Tehn. Univ. Tehn. Timisoara. Mec. 1993 - 38, № 1 - 2. - C. 236 -240.

74. Dautovich D.P., Purdy G.R. Phase transition in TiNi // Canad. Met. Quart. 1965, v. 4, p. 120-143.

75. Donis S., Gautier E., Simon A. Modelling of the mechanical behaviour of steels during phase transformation // Int. Conf. Residial Stresses (ICRS2):

76. Proc. 2nd Int. Conf, Nancy, 23-25 NOV., 1988. London; New-York, 1989. - C. 393-398.

77. Duerig T.W., Stockel D., Keeley A. Actuator and work production devices // In: Duerig T.W., Melton K.N.,Stockel D., Wayman C.M. Engineering aspects of shape memory alloys. Butterworth Heinemann Ltd. 1990.- 491 p.-P. 181 - 194.

78. Rogers C.A., Barker K.D. Experimental studies of active strain energy tuning of adaptive composites // AIAA, 1990, p. 2234-2241.

79. Rogers C.A., Robertshaw H.H. Shape memory alloy reinforced composites // Eng. Sci. Preprints, ESP25. 88027 (June 20-22, 1988).

80. Spies Ruben D. Results on a mathematical model of thermomechanical phase transitions in shape memory materials // Smart Mater, and Struct. 1994, - 3, № 4. C. 459-469.

81. Stoeckel D. Shape memory actuators for automative applications // In: Duerig T.W., Melton K.N.,Stockel D., Wayman C.M. Engineering aspects of shape memory alloys. Butterworth Heinemann Ltd. 1990.- 491 p. P. 283 -294.

82. Tadaki Т., Shimizu K., Otsuka K. Shape memory alloys // Annual Rev. Mater.Sci.Vol. 18-Palo Alto (Calif), 1988.-P. 25 45.

83. Тапака К. A phenomenological description on thermomechanical behavior of shape memory alloys// J. pressure vessel technology. Trans. ASME. -1990. - V. 112. №2 - p. 158-163.

84. Tong H.C., Wauman C.M. Thermodynamics considerations of "solid state engines" based on thermoelastic martensitic transformations and the shape memory effect. Metallurgical Transactions. 1975. V. 6, No 1. P. 29-32.

85. Velej Marjan Estimation of stress strain relations and displacements of structural elements from shape memory alloys // Strojn. Vestn. 1992 - 38, №10-10, с/328-330.

86. Yager J.R. Electrical actuators. Alloy selection, processing and evaluation // In: Duerig T.W., Melton K.N.,Stockel D., Wayman C.M. Engineering aspects of shape memory alloys. Butterworth Heinemann Ltd. 1990.- 491 p.- P. 219 - 233.