Модели случайной замены времени для финансовых инструментов на основании полупараметрических оценок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

□0348 1504

На правах рукописи

МАЛИНОВСКИЙ Сергей Викторович

МОДЕЛИ СЛУЧАЙНОЙ ЗАМЕНЫ ВРЕМЕНИ ДЛЯ ФИНАНСОВЫХ ИНСТРУМЕНТОВ НА ОСНОВАНИИ ПОЛУПАРАМЕТРИЧЕСКИХ

ОЦЕНОК

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

, .. - <- - -

Москва-2009

003481504

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник факультета ВМиК Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Назаров Леонид Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова Питербарг Владимир Ильич

кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой управления рисками и страхования ГУ-ВШЭ Смирнов Сергей Николаевич

Центральный экономико-математический институт Российской академии наук (ЦЭМИ РАН)

Защита диссертации состоится 20 ноября 2009 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ, второй учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ. С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте факультета ВМиК Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова http://www.cmc.msu.ru в разделе "Наука" - "Работа диссертационных советов" -"Д 501.001.44".

Автореферат разослан « [$» октября 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета профессор

Н. П. Трифонов

1 Общая характеристика работы

Актуальность темы

Начиная с 70-х гг. XX века и по сегодняшний день теория математического моделирования финансовых инструментов протерпела бурное развитие по пути усложнения рассматриваемых моделей и в настоящее время активно использует современные результаты теории вероятностей и математической статистики, в свою очередь ставя перед этими науками новые задачи. Построением и изучением стохастических моделей финансовых инструментов в разное время занимались Ф. Блзк, М. Шоулз, Р. Мертон, О. Бандорфф-Нильсен1, А. Н. Ширяев2, П. Карр, М. Йор3, Д. Мадан, Э. Геман, Н. Шепард, Д. Даффи, Д. Лэндо и многие другие математики. Несмотря на это, множество задач, которые широкая практика применения финансовых инструментов ставит перед исследователями в данной области, все еще далеки от окончательного разрешения, о чем свидетельствует большое количество публикаций в данной области, выходящих по всему миру ежегодно.

Одними из основных математических задач в теории моделирования финансовых инструментов являются разностороннее изучение случайных процессов, используемых для описания процессов цен активов, и статистический анализ эмпирических цен активов, демонстрирующих сложные паттерны поведения. Один из наиболее сложных и перспективных классов случайных процессов, активно изучаемых сегодня применительно к моделированию финансовых инструментов, составляют процессы вида

Z=(Zt)t>ja = (X(T(i)))t>0., (1)

где X = (X()í>0 - процесс с независимыми приращениями, а Т = (Tt)t>0 - случайная замена времени4. Наибольший вклад в исследование процессов такого вида внесли П. Карр, Д. Мадан, Э. Геман, М. Йор5, О. Барндорфф-Нильсен, Н. Шепард6 - применительно к опционам7 (процесс X при этом выбирается обычно в виде процесса Леви). и Д. Даффи8 и Д. Лэндо9 - применительно к рисковым облигациям10 (X при этом является, как правило, цепью Маркова с непрерывным временем).

1 Barr.dor!!-Nielsen О.Е. Normal inverse Gaussian distributions and stochastic volatility modelling // Scand. J. Stat., 1997. 24, p. 1-13.

2Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

3Geman К., Madan D-, Yor М, Stochastic volatility, jumps and hidden time changes /'/' Finance and Stochastics, 2002, 6, 1, p. 63-90.

4Лшщер P.III., Ширяев A.H. Теория мартингалов. M.: Наука, 198G.

5Сагг P., Geman Н., Madan D., Yor М. Stochastic volatility Cor Levy processes /7 Math. Finance, 2003, 13, p. 345-382.

6Barndorff-Nielsen O.E., Shepard N. Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics // J. Royal Stat. Soc. Б, 2001, 63, 2, p. 167-241.

7IIull, J.C. Options, futures, and other derivatives. Prentice Ilall, 2002.

8Duffic D.. Pan J., Singleton K. Transform analysis and asset pricing for afñne jump-diffusions // Econometrica. 2000, 68, 6, p. 1343-1376.

9Lando D. On Cox processes and credit risky securities // Rev. Derivatives Res., I99S, 2, 2-3, p. 99-120.

10Duffie D., Singleton K. Credit risk: pricing, measurement and management. Princeton University Press, 2003.

Однако, несмотря на ряд солидных результатов в отношении распределений процессов вида (1) и представлений для цен финансовых инструментов в рамках таких моделей, по определению равных математическим ожиданиям специального вида функционалов от их траекторий, полученных вышеперечисленными учеными, лишь в данной диссертации и предшествовавших ей работах автора был предложен и реализован метод статистического оценивания процесса Т по т.н. "мартингальной" мере". Результаты использования данного метода применительно к опционам поставили под сомнение одну из основных предпосылок предшествовавших исследований в данной области, а именно, что случайная замена времени является несмещенной оценкой времени календарного, и послужили толчком к рассмотрению и исследованию более общих процессов вида (1), два из которых были изучены в первой главе данной диссертации. Аналогично, применение вышеуказанного метода к рисковым облигациям дало основу для построения новой вероятностной модели облигаций, изучению которой посвящена вторая глава диссертации.

Цель работы

Целью настоящей диссертации является построение метода статистического оценивания процесса случайной замены времени в моделях опционов и рисковых облигаций, а также построение и изучение обоснованных моделей случайной замены времени для данных финансовых инструментов на основе полученных с его помощью результатов.

Научная новизна

Все полученные в настоящей диссертации результаты являются новыми и состоят в следующем.

1. Впервые построен метод статистического анализа эмпирических цен опционов, позволяющий получать полупараметрические оценки процесса случайной замены времени. Предложены два случайных процесса, получаемые посредством случайной замены времени на основе неоднородного негауссовского процесса Орнштсйна-Уленбека и на основе "экспоненциалыю-пуассоновского" процесса в а-устойчивом движении Леви. Построенные на основе данных процессов опционные модели отражают как выявленные посредством вышеупомянутого метода закономерности, так и ряд эмпирических свойств цен активов. Доказан ряд аналитических свойств предложенных процессов. Для построенных опционных моделей получены выражения для характеристической функции процесса доходности и цены европейского опциона "колл" как математического ожидания специального вида функционала от процесса цены в полуаналитическом виде. Получены оценки остатка ряда в выражении для преобразования Лапласа процесса случайной замены времени на основе "эксноненциально-пуассоновского" процесса. Предложен и реализован алгоритм вычисления цен опционов в предложенных моделях.

11 См. с. 5.

Проведенный статистический анализ демонстрирует более высокую степень соответствия предложенных моделей эмпирическим опционным структурам, нежели ряда широко известных эталонных моделей.

2. Предложены две модели рисковых облигаций на основе цепей Маркова с непрерывным временем. Первая из предложенных моделей является модификацией модели В.В. Питербарга12. Вторая модель, являющаяся обобщением первой, строится на основе цепи Маркова со случайной заменой времени специального вида и характеризуется наличием зависимости между процессами изменения кредитных рейтингов различных эмитентов. Для данной модели получены выражения для вероятности разорения эмитента и цены рисковой облигации в элементарных функциях.

Объект исследования

Объектами исследования в данной работе являются три новых предложенных автором случайных процесса вида (1), а также статистические выборки цен торгуемых на рынке финансовых инструментов.

Методы исследования

Для вычисления цен опционов в рамках построенных моделей был применен метод Карра-Мадана-Льюиса13'14, основанный на использовании обобщенных преобразований Фурье процесса доходности и функции выплат опциона. Сравнительный статистический анализ предложенных моделей базируется на информационных критериях Акаике15, Шварца16 и Хэннана-Куинна17. Для получения выражений для вероятности разорения эмитента во второй из предлагаемых моделей рисковых облигаций была использована доказанная нами версия формулы Фсйнмана-Каца18.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации вносят вклад в теорию случайных процессов и могут быть непосредственно применены для решения широкого круга прикладных задач, связанных с практическим использованием опционов и рисковых облигаций.

12Piterbarg V. Recovering risk-neutral Markov process of credit transitions from credit spreads and statistical information. Work, rep., NationsBank, 1999.

13Carr P., Madan D. Option valuation using the fast Fourier transform //' J. Сотр. Finance, 1999. 2, p. 61-73.

uLewis A. A simple option formula for general jump-diffusion and other exponential Levy processes Envision Financial Systems and OptionCity.net, 2001.

15Akaike II. Information theory and an extension to the likelihood ratio principle // Proc. of the 2-nd International Symposium of Information Theory /' Eds.: Petrov B.N., Csaki F. Akademiai Kiado, Budapest, 1973, p. 2G7-281.

"Schwartz G., Estimating the dimension of a model // Arm. Stat., 1978, 6, 2, p. 4G1-4G4.

17Hannan Е.Л., Quinri B.G. The determination of the order of an auto regression // .1. Royal Stat. Soc. B, 1979. 41. 2, p. 190-195.

18Karatzas I., Shrove S.E. В row man motion and stochastic calculus. Springor-Vcrlag. 1988.

з

Апробация работы и публикации

По теме диссертации опубликовано 4 печатные работы. Основные результаты диссертации докладывались на XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (секция "Математика и механика", апрель 2009 г.), на семинаре "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании" Центрального экономико-математического института РАН (март-апрель 2009 г.), на семинаре Лаборатории по финансовой инженерии и риск-менеджменту ГУ ВШЭ (март 2009 г.), на семинаре "Управление кредитными рисками" Института финансов и кредита (июль 2006 г.).

Структура диссертации

Диссертация состоит из предисловия; списка обозначений и сокращений, двух глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, состоящего из 117 наименований. Введением снабжена каждая из глав в отдельности, поскольку решаемые в них задачи, хотя и тесно связаны математически, имеют различную специфику с точки зрения их практического применения. Диссертация включает в себя 9 теорем, 3 леммы, 4 рисунка и 5 таблиц. Общий объем работы составляет 117 страниц.

2 Краткое содержание диссертации

Первая глава диссертации посвящена стохастическим моделям опционов. Ключевым объектом исследования в данных моделях является процесс S = (St)t>0 цены базового актива, определяемый на вероятностном пространстве (fi, Т, Р) и согласованный с полной непрерывной справа фильтрацией F = {J~t)t>0) где Tt - <j-алгебра, содержащая всю информацию, доступную участникам рынка к моменту t > 0.

Основные направления исследований опционных моделей включают в себя:

1) вычисление моментных характеристик процесса S и процессов, его образующих (в форме (1) - процессов X и Т19), а также процесса доходности s = (st)t>0 = (In 5()(>0;

2) поиск эффективных с точки зрения вычисления на практике представлений для цен опционов применительно к рассматриваемой спецификации процесса S. В случае, если функция выплат20 опциона W (Sj) является лишь функцией цены базового актива в момент Т исполнения опциона и при соблюдении ряда технических требований, изложенных на стр. 10-11 текста диссертации, цена этого

1!)Не вдаваясь и технические трудности, подробно рассмотренные в тексте диссертации, всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что процесс 5 и, в случае его наличия в модели, процесс Т согласованы с полной непрерывной справа фильтрацией F.

2<lHuU J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities // J. Finance, 1987, 42, 2, p. 281-300.

опциона в любой момент времени t G [О, Т] задается следующей фундаментальной теоремой безарбитражного оценивания21:

Теорема (***). Пусть случайный процесс S является семимартингалом относительно фильтрации F. Тогда следующие два утверждения являются эквивалентными:

1. Рассматриваемый рынок удовлетворяет условию NFLVR (по free lunch with vanishing ris

2. На фильтрованном измеримом пространстве (П. Т. F) существует эквивалентная мере Р вероятностная мера Q, такая, что случайный процесс

является по лгере <5 сигма-мартингалом- При этом для любого £ £ [О, Т] и для любой борелевской функции IV (Бт) величина

где условное математическое ожидание берется по мере С}, является справедливой ценой23 опциона с реализуемой в момент времени Т функцией выплат \V (5г) в момент времени

Величину по [IV] мы в дальнейшем будем называть ("теоретической") ценой опциона со сроком до исполнения Тис функцией выплат ИЛ (Бт) в модели 51. Не ограничивая общности, мы предполагаем, что ¿о = 1.

Современная история развития теории опционного моделирования характеризуется быстром ростом сложности используемых для описания динамики цен активов случайных процессов, от простого геометрического броуновского движения в модели Блэка-Шоулза (1973):

где В = (5()(>0 есть стандартное броуновское движение относительно фильтрации К и а > 0, до моделей вида (1). в которых процесс цены по "мартингалыюй" мере <3 имеет вид

где X — (А"г)(>0 есть некоторый процесс Леви. Т = (Tt)t>0 - процесс случайной замены времени специального вида, а Фх (и) - характеристическая экспонента

21 Через г здесь и далее обозначается непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка, а через d -непрерывно начисляемая ставка дивидендов по базовому активу; обе величины предполагаются неизменными во времени.

—Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of option pricing for unbounded stochastic processes // Mathematische Annalcn, 1998, 312, p. 215-250.

23Даннын термин понимается в том смысле, что рынок, пополненный данным опционом по цене, задаваемой соотношением (1), продолжает удовлетворять условию NFLVR.

s e-^-^St, t € KL

(2)

5 (£) = eexp (-Ф* (_i) T (t) + X (T (t))),

процесса X. Наиболее распространенные в литературе примеры процессов X и Т рассмотрены в разделе 1.1 диссертации.

Проблема, однако, заключается в том, выбор конкретного вида процесса Т в известной нам литературе всегда производится лишь из общих соображений, главное из которых - простота вычисления преобразования Лапласа этого процесса, играющего ключевую роль в вычислении цен опционов в моделях обозначенного вида. Поэтому первой рассмотренной нами задачей была задача статистического оценивания процесса Т по эмпирическим данным. В качестве ее решения был предложен и реализован на практике метод анализа рыночных цен опционов, состоящий из следующих шагов:

1. Оценивание по методу наименьших квадратов параметров опционной модели на основе случайного процесса

S(t)

p(r-d)t

ехр(-Ф*-.(-») i + Xm(t)), t €

(3)

для некоторого процесса Леви Хт, а именно, нахождение оценок 9т (¿) 6 К* свободных параметров 9т процесса Хт в виде решения следующей оптимизационной задачи:

M(t)

Е

j=1

Е

cmar(K,Tj(t);t)^S'cn

+

(Ь-<-Р ИП V \ / /

min,

e™s d

где

t - выбранный для анализа момент времени,

М (t) - общее количество различных сроков до исполнения торгуемых в момент времени t опционов,

Tj (t) - j-ый по возрастанию срок до исполнения торгуемых в момент времени t опционов,

S' - эмпирическая цена базового актива в момент времени t, Omar (К, Т; t) и Pmar {К, Т\ t) - эмпирические цены опционов колл и пут (соответственно) с ценой исполнения К и сроком до исполнения Т в момент времени t,

cm (К, Т; Qm) п рт (К, Т; Qm) - "теоретические" цены опционов колл и пут (соответственно) с ценой исполнения К и сроком до исполнения Т при значениях свободных параметров, равных Gm. Определяются из соотношения (2) при W (St) s тах (Sy — К. 0) для опциона колл и W (St) := пглх(К — St, 0) для опциона пут, для процесса S вида (3),

DCR*- область допустимых значений параметров ©т,

Fj (t) - форвардная цена базового актива с датой поставки t + Tj (t) в момент времени t

24

-4Hull, J.C. Options, futures, and other derivatives. Prentice Hall, 2002.

Описанная процедура оценивания параметров модели является общепринятой в теории опционного моделирования2''.

2. Полученная на первом этапе метода оценка Ош (£) параметров модели фиксируется, а в качестве свободных параметров рассматриваются сроки до исполнения торгуемых опционов26:

\ Mit)

arg min G(TuT2, ...,TM{t);t),

M(t)

G(rbT2:...,rM(t);i) = £

(cmar (K, Tj (i) ; i) - S'cm f7); §m (i) I I +

к

sTi^Tye^it)

Несмотря на то, что оптимизация в данной задаче выполняется по открытому множеству 0 < Т! < Тг < ... < Тм(и), минимум целевой функции в ней на практике всегда достигается, т.к. промежутки времени между "торгуемыми" сроками исполнения, как правило, относительно велики, а эмпирические опционные структуры имеют весьма специальный, "регулярный" вид.

Целью второго этапа, как и всего метода в целом, является выявление систематических закономерностей в ошибках, допускаемых моделями на основе процессов Леви без замены времени, с целью использования полученных результатов для построения новых, обоснованных моделей случайной замены времени.

Предложенный метод можно рассматривать как процедуру последовательной оценки параметров полупараметрической модели на основе процесса Леви с детерминированной заменой времени с процессом цены следующего вида:

S{u-t) = e(r-d)uexp

[_фхт (_i) т (щ t) + Xm (f (u; t))] , u € [0, TM[t) (t)] ,

ue№(i),T;+1(i)), j — o, M (t) — 1,

где T0(t) = Tj(t) = 0, a величины 0 < f\ (i) < T2(t) < ... < fM(t) (f) являются свободными параметрами модели наряду с 6т. Результаты одновременной оценки всех параметров данной модели демонстрируют закономерности, аналогичные полученным при помощи вышеописанного двухшагового метода, однако

25См., напр., Carr P., Wu L. The finite moment log stable process and option pricing // J. Finance, 2003. 58, 2, p. 753-778.

26Несмотря па то. что оптимизация в данной задаче выполняется по открытому множеству (I < 7] < 72 < ... < TM{ti). минимум целевой функции в ней на практике всегда достигается, т.к. промежутки времени между "торгуемыми" сроками исполнения, как правило, относительно велики, а эмпирические опционные структуры имеют весьма специальный, "регулярный" вид.

последний отличают большая наглядность и, как правило, значительно меньшая вычислительная сложность.

Оценку Trn (t) естественно называть полупараметрической (а описанный метод ее получения - полупараметрическим методом), поскольку данная оценка зависит от выбора вида базового процесса Хт, но не зависит от какой-либо параметрической спецификации процесса случайной замены времени.

Получаемые с помощью описанного метода результаты естественно рассматривать в терминах оценок "уровня деловой активности" вида

jV1 (t) — Тт (t) _

(«; t) = ^ ¿-Tjity u € [Tj (i)'Ti+1 (i))' j = M (i) " L

Данные функции были вычислены на основе эмпирических цен опционов на индекс S&P500 для двенадцати различных дат (моментов времени f) и, с целью выявления наиболее общих закономерностей, для трех различных базовых процессов Хт, широко используемых в литературе по опционному моделированию: процесса Мертона, гамма-дисперсионного процесса и процесса

Xf^aLf-1, te R+,

где а > 0 и (Lf'~l) есть стандартное a-устойчивое движение Леви с показа-V /(>о

телем скошенности ß = — I27. Во всех 36 описанных случаях полученные результаты наглядно демонстрируют одну и ту же общую закономерность: ожидаемый в будущем уровень деловой активности является существенно (до двух раз) более высоким в ближайшие промежутки времени (измеряемые единицами суток и недель), нежели в более отдаленные, причем сходимость к долгосрочному среднему наступает на временном горизонте в 3-6 месяцев28.

Данные результаты послужили толчком к построению и изучению новых опционных моделей на основании процессов случайной замены времени, не принадлежащих к классу несмещенных оценок календарного времени, т.е. процессов, удовлетворяющих соотношению ЕT(t) = t, t £ М+, каковое соотношение, как правило, принималось в качестве естественной предпосылки в предшествующих работах.

В качестве одной из таких моделей была рассмотрена и исследована модель на основе следующего случайного процесса:

Sl0u (t) = e^-W exp [ßxsTIOU (t) + Xs (TI0U (f))] , (4)

Xs{t)=eLat>-\ (5)

TIOU(t)= fvI0U{u)du, (6)

Jo

27Samorodnitsky G., Taqqu M. Stable non-Gaussian random processes: stochastic models with infinite variance. N.Y.: Chapman & Hall, 1994.

28Данные результаты и возможные объяснения демонстрируемой ими закономерности приведены на с 36-37 диссертации.

vI0U{t)=p + i (7)

k=l

где

N = (Nt)t>0 - пуассоновский процесс с интенсивностью Л > 0;

t n (Х Л г Г \ i х > О,

V7 / [ 0, х < 0;

¿Л:, А: € N - точки скачков процесса TV, упорядоченные по возрастанию;

к £ N - случайные величины с условными плотностями следующего вида:

, , u . f beetexp \—bemx\ , x > 0. ftk{x\tk = t) = \ ^<Jj

ft > 0, 0 > О, при этом случайная величина £0 не зависит от процесса N и случайных величин к G N, а случайные величины к S N, при фиксированной траектории процесса N независимы в совокупности;

[Lf'~l I - стандартное а-устойчивое движение Леви с показателем скошен-V /(>0

ности ß = — 1, независимое от процесса vI0U\ р > 0, 7 > 0, <т > 0, 1 < а < 2, ßxs =

Определяемый соотношением (5) базовый процесс Xs был введен в практику опционного моделирования и изучен П. Карром и Л. By29. Процесс же Тюи, как и порождающий его процесс vlou, являются новыми; выбор процесса vIOU в указанном виде обусловлен его экстремальными энтропийными свойствами, подробно рассмотренными на с. 39-40 диссертации. Как показывает предложение 1 диссертации, процесс vIOU является решением неоднородного негауссовского уравнения Орнштейна-Уленбека30. вследствие чего построенной модели был присвоен идентификатор LS-IOU (от "log-stable" - "лог-устойчивый" - по названию модели на основе процесса Xs без замены времени и "inhomogeneous Ornstein-Uhlenbeck [process]" - "неоднородный [процесс] Орнштейна-Уленбека").

Был получен ряд общих аналитических свойств процесса S,ou, образующих его процессов vIOU и Тюи, а также процесса

sIOU=(snt>_0=(^nt>_ 0, (8)

устанавливаемых следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть случайные процессы (vjiou) , (TtI0U), (S[ou) и (s'tou) определены согласно соотношениям (4), (6), (7), (8). Тогда для любых s > 0 и t > 0 справедливы следующие соотношения:

29Сагг P.. Wu L. The finite moment log stable process and option pricing 11 J. Finance. 2003, 58, 2, p. 753-778.

30Следует отметить, что однородные процессы Орнштейна-Уленбека были введены в опционное моделирование О. Барндорфф-Нильсеном и Н. Шепардом и сравнительно хорошо изучены (см. Biirndorff-Nielsen O.E., Shepard N. Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics / J. Royal Stat. Soc. B, 2001, 63, 2, p. 167-241).

1. Еьюи (£) =

2. сои {угои{з),уюиМ) = где V = пап (я, £).

(у-в)Ь

7 :

Ь2

Ле-<'+»г

1 +

7 7

'] , 7 =

А сои («гос/(3),Тгос/(«)) =

7-29 е 7-0

7^0, 7 ^ 20,

(1 _ е-7« + 2„ - , 7 = 20.

Е5/0С/ (О

(»■-«О' + ^р

«в

-е-"),

Е (5/от (0) = оо, А; = 2, 3,..., £ ^ 0.

Следующие две теоремы в совокупности устанавливают еще одно важное аналитическое свойство процесса а именно, практически применимое представление цены европейского опциона "колл"в рамках модели ЬЭ-ЮИ, т.е. математического ожидания функционала от процесса Я10и, определяемого соотношением (2).

Теорема 2. Пусть процесс (Т'ои) определен согласно соотношениям (6)-(7). Тогда при любом Ь > 0 преобразование Лапласа ЬТюидо (в) данного процесса сходится в области

и при любом й € Д справедливо следующее соотношение:

л

А

Ьрюищ (з) = ехр 1 +

I (1 - е-7')

76

ехр [А* (/г (в,*) - 1)],

где

= / Т—т Уо 1 +

йх

евЦх-1) _ е-7«х)'

Теорема 3. Яг/сшь с/ос; (А", Г) - цена европейского опциона "колл" с ценой исполнения К = ек и сроком до исполнения Т > Об модели ЬБ-Юи. Пусть р -произвольное число из интервала ^0, /3 — , где Р есть единственное неотрицательное решение уравнения

соя -

У У — —

67

сга 1-е-т1" 10

Тогда для величины, (К, Т) справедливо следующее соотношение:

CI0U {к Т) = ехр{-рк) Г+" е-г„кфюи {v) ^ к Jo

где

,юи , \ = е тТу3ющГ) (v-(0+ 1) г) Ут W p2 + /3_v2 + i^2(3+1)v'

ЦТ) '"л

W^r) (u) = ехР (ги (Г — <0 Т) LTiou{T) (-iufis — Ф5 (и)),

Ф5 (и) =

Нц1)"

cosf

arg(iu)

Доказательство последней из теорем основывается па методе обобщенных преобразований Фурье Карра-Мадана-Льюиса31'32.

Статистическое тестирование модели ЬЭ-ЮИ по эмпирическим ценам опционов (с. 58-63) выявило следующее:

1) данная модель успешно объясняет обнаруженную при помощи вышеописанного метода оценивания процесса случайной замены времени эмпирическую закономерность, что одновременно верифицирует и модель, и метод;

2) данная модель превосходит ряд широко применяемых "эталонных" моделей по качеству приближения эмпирических опционных структур, как абсолютному, измеряемому среднеквадратической ошибкой модели на выбранную дату, так и относительному, принимающему во внимание число свободных параметров сравниваемых моделей.

Формальное сравнение предложенной модели с аналогами основывается на статистике отношения правдоподобия

г _ 1п С а (ел;ел)-1п Св (ев;вв) в

где

N

С А (ел;©л) = П /л(ел,*;вл) к=1

И

N

Св (ев;вв) = 1[1в(ев,к;ев) к=1

есть функции правдоподобия "ошибок измерения" сравниваемых моделей (обозначенных литерами А и В). N - количество "измерений" (т.е. опционов на рассматриваемую дату), а

а\в =' Б [1п/л (елд; ©л) - 1п/в (евд; 6В)] .

3,Carr P., Madan D. Option valuation using the fast Fourier transform // J. Comp. Finance, 1999, 2, p. 61-73.

32Lewis A. A simple option formula for general jump-diffusion and other exponential L6vy processes ' / Envision Financial Systems and OptionCity.net, 2001.

Как известно33, при справедливости основной гипотезы Щ : Е [In/л (еАЛ; вА) - In fB (eB,i;eB)] = О,

т.е. при эквивалентности моделей в смысле правдоподооия, выполняется

То -±+N(0,1), N—»оо.

Помимо статистики /о (статистики /о. модифицированной путем замены неизвестной величины <7дВ на ее оценку 5дй):

? \пСА(еА;ел)-1пСв(ев;вв)

у^ав

р2 _

Efcll - 7f Ejfcl1 Хк)

N-1

Хк 1п /л (елЛ; ©л) - 1п /в (евХ, 0в) , к = ТГМ, в проведенном анализе были использованы еще три статистики:

т А1Са - А1СВ ? 5/Сл - БЮв ? _ НС)1СА - НС}1СВ

где через А1С, Б 1С и HQIC обозначены информационные критерии Акаике, Шварца и Хэннана-Куинна соответственно. Данные статистики позволяют учесть разницу в количестве свободных параметров сравниваемых моделей.

В качестве эталонов для сравнения были взяты модели Блэка-Шоулза (ВБ)31, Мертона (М)3° и гамма-дисперсионная модель (УС)36 - хорошо изученные и широко применяемые на практике модели, а также модель ЬЭ на основе процесса X3 без замены времени37, обобщением которой является предложенная нами модель. Результаты вычисления вышеперечисленных статистик для модели ЬЭ-Юи в качестве модели А и каждой из эталонных моделей в качестве модели В наглядно представлены в нижеприведенной таблице.

h h h h

BS 12 0 12 0 12 0 12 0

M 12 0 12 0 12 0 12 0

VG 12 0 12 0 12 0 12 0

LS 12 0 12 0 11 1 11 0

33Vuong Q. Likelihood ratio rests for model selection and non-nested hypotheses // Econometrica, 1989, 57, 2. p. 307-333.

34Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Economy, 1973 , 81, 3, p. 637-654.

35Merton R.C. Option pricing when underlying asset returns are discontinuous /'/ J. Financial Economics, 1976 , 3, 1, p. 125-144.

36Madan D., Carr P., Chang E. The Variance Gamma proccss and option pricing // Eur. Finance Rev.. 1998, 2, 1, p. 79-105.

37Carr P., VVu L. The finite moment log stable process and option pricing // J. Finance, 2003, 58, 2, p. 753-778.

В каждой двойной ячейке на пересечении строки, соответствующей некоторой эталонной модели, и столбца, соответствующего статистике /¿, левое число равно количеству дат из рассматриваемого набора данных, когда гипотеза Н0 отвергается критерием на основе статистики в пользу гипотезы H1 :

Е [In/л (еЛ1; вл) - ln/B (eB,i; Вв)] > О,

при уровне значимости 0, 01, а правое число -^количеству дат, когда гипотеза Н0 отвергается критерием на основе статистики в пользу гипотезы Hi :

Е [in/д (едд; вА) - 1п/в (ев,1;вв)] < 0,

при том же уровне значимости38. Как видно представленная модель практически полностью доминирует эталонные модели как по абсолютному, так и по относительному качеству приближения эмпирических опционных структур.

Модель LS-IOU отличается высокой "аналитичностью", высоким качеством приближения эмпирических опционных структур, а также реалистичностью процессов "деловой активности" v и цены базового актива S (что включает в себя не только соответствие описанной выше эмпирической закономерности, но и учет ряда характерных свойств поведения цен активов на практике - в первую очередь, явления кластеризации волатилыюсти). Однако поскольку одним из важнейших с практической точки зрения свойств модели является малое количество ее свободных параметров, мы задались целью построить случайный процесс, реалистично описывающий поведение цен активов, модель на основе которого, при высокой степени "аналитичности" и качестве приближения эмпирических данных, характерных для модели LS-IOU, имела бы лишь четыре свободных параметра.

Результатом данного исследования (кратко описанного на с. 65-66) стала модель, процесс цены по "мартингальной" мере в которой имеет вид:

SEP {t) = e(r-d)t ехр [цхзТЕР (t) + (Т£Р (i))] f (g)

Xs{t)=oLat<~\

TEP{t)= f vEP(u)du, (10)

Jo

VEP(t) = p+qbN^l (11)

где p > 0, q > 0, a > 0, b G (0,1), a G (1,2), fixs = N = (jVt)t>0 -пуассоновский процесс с интенсивностью Л > 0, а есть, как и прежде,

стандартное а-устойчивое движение Леви с показателем скошенности (3 — —I39. Несмотря на то. что формально число параметров данной модели равно шести, существенными из них являются лишь пять и, более того, их число может быть

38Результаты для уровней значимости 0,05 и 0,1 демонстрируют аналогичные закономерности.

зэ3а.мене времени в данной модели был присвоен идентификатор "ЕР" - от "exponential Poisson [processj" -"экспоненциально-пуассоновский [процесс]", по виду процесса vEP, а модели в целом - идентификатор "LS-EP".

сведено к четырем без какого-либо существенного влияния на качество приближения эмпирических опционных структур (с. 78).

Следующая теорема, аналогичная теореме 1, устанавливает ряд аналитических свойств случайных процессов ьЕР, ТЕР, .5'ЕР и

„ер

(12)

Теорема 4. Пусть случайные процессы (yfp) , (TtEP), (Sfp) и (sEP) определены согласно соотношениям (9)-(12). Тогда Vs > 0, Vi > 0 справедливы следующие соотношения:

1. EvEP(t) =р + <7еЛ^-1>.

2. cov (vEP (s), vEP (i)) = ^e^+'X6-1» - 11 где v = min (s, t).

Q2 +

3. cov (vEP (a) ,TEP (0) = <

(iz»eA(t-.)(6-l) + +

, S < t,

s > t.

<2 1(е«М) + 1))ел»(И)-

4. Е^ (£) = (г - й) I + ^ [р1 + I (е^1' + 1)] . Е(вв,>(0)* = оо) к = 2,3,..., £/0.

Следующие две теоремы в совокупности устанавливают практически применимое представление для цены европейского опциона "колл" в рамках построенной модели - математического ожидания функционала от процесса

определяемого соотношением (2).

Теорема 5. Для любого £ > 0 преобразование Лапласа

Ьтер{1) (з) =Еехр(-зТЕР(())

случайной величины ТЕР (£) сходится во всей комплексной плоскости и € С, удовлетворяет следующему соотношению:

п—0

где

e-gst n = Q|

е х4=1 (jst(l-b)b*-1 '

п е

(13)

Теорема 6. Пусть сЕР (К, Т) - цена европейского опциона "кол/г" с ценой исполнения К = ек и сроком до исполнения Т > 0 в модели ЬБ-ЕР. Тогда V/? > 0 для величины сЕР (К. Т) справедливо следующее соотношение:

„ер

(К,Т) =

ехр (-ßk)

j:

-ivkjEP

тг j о 14

фт (v) dv,

(14)

где

e~rT<PsEP(T) («-(/? + 1) О

ß2 + ß - v2 + i (2ß + 1) V '

<PsEP{T) (u) = exP (ги (Г — d) T) LTEP(T) (—iu/is — Ф5 (u))

Ф (u) = -

(a\u\)a

,ia arg(m)

Практическое применение полученных результатов связано с вычислением функционального ряда в выражении (13), для чего были получены следующие две оценки, позволяющие производить это вычисление с любой наперед заданной точностью.

Теорема 7. Пусть для некоторых в £ С. « ^ 0, п* £ И, е > 0 выполнена система неравенств

-ext

r(n',CAi)|^#| < se

n*>-logb(qt(l-b)\s\),

где

Тогда справедлива оценка

Г (а) Jо С = v/бе.

dt,

< £.

Теорема 8. Пусть для некоторых s € С, Res > 0, s ф 0, n* € N, е > О выполнена система неравенств

r(n\DAt)|^| <£е~еМ, n* > -log6(9i(l-ö)N),

Г (ог) У0

Тогда справедлива оценка

И J0 D = е.

e~ldt,

< £.

Вторая из этих оценок является более сильной, однако заведомо справедлива лишь в полуплоскости Re s > 0, поэтому с целью эффективного применения этих оценок на практике был исследован вопрос и получено правило оптимального выбора из этих двух оценок при вычислении интеграла в выражении (14) (см. с. 76-77).

Статистический анализ, аналогичный описанному выше применительно к модели LS-IOU. выявил схожую с моделью LS-IOU степень превосходства модели LS-EP над эталонными моделями в плане относительного качества приближения эмпирических опционных структур; сравнение же двух представленных моделей между собой демонстрирует превосходство модели LS-EP, обусловленное, главным образом, меньшим числом свободных параметров.

Вторая глава диссертации посвящена стохастическим моделям рисковых облигаций, при этом основное внимание уделяется рынкам облигаций, обладающих кредитными рейтингами. Моделированию при этом подлежит процесс изменения кредитного рейтинга облигации, естественным математическим описанием которого является конечная цепь Маркова (заданная на удовлетворяющем обычным условиям стохастическом базисе (Í2, Т, F, Р) и согласованная с фильтрацией F = (Tt)t>0), каждое из состояний которой соответствует определенному кредитному рейтингу.

При стандартных технических предположениях, изложенных во введении ко второй главе, выражение для цены рисковой облигации вида (2) (с поправкой на то, что базовой переменной в этом случае является кредитный рейтинг эмитента) принимает следующий вид:

«/(í)n=p(í.n [l — (1 — <5) Р® (т < T*)J ,

где V (í, Т*) есть цена рисковой облигации со сроком погашения Т* в момент времени t40, р (í, Т*) - цена аналогичной безрисковой облигации. 5 - "ставка возврата" по рисковой облигации, предполагаемая задаваемой внешним образом константой, а величина Р® (г < Т") есть условная вероятность разорения эмитента облигации (описываемого марковским моментом т) до момента погашения облигации Т* по сигма-алгебре Tt и по эквилентной исходной мере Р "мартингальной мере" Q.

Предлагаемые нами модели основываются на трех известных моделях из вышеописанного класса: модели Питербарга41, модели Джэрроу-Лэндо-Тернбулла42 и модели Лэндо43. Первая из предлагаемых нами моделей, которую мы называем основной, является незначительной модификацией модели Питербарга (которая в авторском описании не вполне корректно определена) и строится следующим образом.

На вероятностном пространстве (ÍÍ, Т. Р) рассматривается вспомогательная

40Все рассматриваемые нами облигации предполагаются бескупонными и имеющими номинал, равный 100.

41Piterbarg V. Recovering risk-neutral Markov process of credit transitions from credit spreads and statistical information. Work, rep., NationsBank, 1999.

42Jarrow R.A., Lando D., Turnbull S.M. A Markov model for the term structure of credit risk spreads // Rev. Financial Studies, 1997, 10, 2, p. 481-523.

43Lando D. On Cox processes and credit risky securities // Rev. Derivatives Res., 1998, 2, 2-3, p. 99-120.

цепь Маркова Уь = (Уь (¿))(>0, согласованная с полной непрерывной справа фильтрацией С = Цепь Маркова X = (Хь(Ь))(>0, описывающая динамику изменения кредитного рейтинга эмитента, с п состояниями, каждое из которых соответствует своему кредитному рейтингу (при этом п-ное состояние, и только оно, соответствует состоянию банкротства и является поглощающим), задается в виде

ХЬЦ) = УЬ(Т(1)), (15)

т (Л = { П-1 + - и-г), I е [¿,--1, и), г = 1ГЛГ, (16)

\ ^ + 4 - ¿ЛГ, г е [¿дг, +оо),

где ¿о = ¿о = ~ множество сроков до погашения торгуемых в рассмат-

риваемых момент времени (полагаемый нулевым) облигаций, а положительные величины < ¿2 < •■• < ^Зу- - свободные параметры модели. При этом предполагается, что по мере Р цепь X¡, является однородной с инфинитезимальной матрицей а по эквивалентной "мартингальной" мере С} - неоднородной с инфинитезимальной матрицей

ЛВД до = т, щ лх,Р1 1 >

где функция Т" (£) в точках ¿01 полагается доопределенной по непрерыв-

ности справа. При этом с целью сокращения числа свободных параметров модели на элементы матриц Ах,р и Ах& (¿) накладывается дополнительное ограничение

обоснование которого приводится на с. 96-97 диссертации. В качестве основной фильтрации модели Р выбирается фильтрация Gт = {ОтХ>о •

Вычисление условной вероятности разорения эмитента с рейтингом г в момент времени £ € [О, Т*\ в основной модели не составляет труда:

Р? (г < Г) = [ехр (Т (Г) - Т (0)]]{„ •

Данная величина легко может быть вычислена при помощи стандартных численных алгоритмов, эффективно реализованных во многих языках программирования.

Описанная модель проста, отличается сравнительно высоким качеством приближения эмпирических временных структур44 при малом количестве свободных параметров и высоко "аналитична", т.е. допускает эффективно вычисляемые на практике представления для цен рисковых облигаций. Тем не менее, ее критическим недостатком является независимость процессов изменения кредитных рейтингов различных эмитентов, каждый из которых описывается независимой копией цепи Маркова вида (15), между собой. Данный недостаток исправляет следующая модель (которую мы называем обобщенной), путем перехода от детерминированной замены времени в цепи Маркова к случайной.

44См. с. 82.

На вероятностном пространстве (О, Т. Q)45 рассматривается согласованная с полной непрерывной справа фильтрацией G = (Qt)(>0 однородная цепь Маркова X = (-X"t)(>0 с п состояниями, каждое из которых соответствует кредитному рейтингу с тем же номером (при этом n-ное состояние и только оно соответствует банкротству эмитента). Предполагается, что инфинитезимальная матрица Л цепи X является матрицей простой структуры с сингулярным разложением

Л = ADA~\ (17)

где D = diag{\uX2,A„_i, А„} , А„ = 0.

На основании введенной при построении основной модели функции T(t), на том же вероятностном пространстве (ft, Т. Q) рассматривается случайный процесс Т — (тЛ следующего вида: \ /г>о

Jo 1+ РП

где р > 0, a v = (vt)t>0 - процесс "квадратного корня" Феллера, т.е. сильное решение стохастического дифференциального уравнения

dvt = к(т] — vt) dt + X^/vldBt,

v (0) = t), к > 0, т) > 0, А > 0, 2кг) > А2.

Процесс изменения кредитного рейтинга эмитента в основной модели задается в виде

xg(t) = x{f(t)), t> 0.

Структура основной фильтрации модели F описана на с. 99-100 диссертации. В случае, если эмитентов на рынке более одного, каждому из них соответствует независимая копия процесса X, а процесс Т является общим для всех эмитентов46.

Построенная модель является принципиальным обобщением модели Лэндо, процесс изменения рейтинга эмитента в которой описывается при помощи процесса Кокса с процессом интенсивности, представляющем собой аффинный диффузионный процесс (с. 89-92). Особо отметим, что процесс случайной замены времени Т в обобщенной модели строится на основе функции Т (£), которая является, фактически, полупараметрической оценкой данного процесса на основании эмпирической временной структуры.

Основной результат второй главы диссертации устанавливает следующая теорема, где через Т обозначен "существенный"временной горизонт модели tм, а через г, как и прежде, момент банкротства эмитента:

г = inf{i > 0| (i) = гс} •

45Построение кредитного процесса в обобщенной модели осуществляется сразу по "мартингальной" мере q.

460тметиы, что такой подход не только позволяет учесть в модели зависимости между процессами изменения рейтингов различных эмитентов, но и напрямую отражает эмпирический феномен существенной зависимости интенсивностей "кредитных процессов"эмитентов от одного или нескольких общих "факторов банкротства".

Теорема 9. Для условной вероятности разорения к моменту времени Т в обобщенной модели справедливо следующее соотношение:

п

Р( г <Г|Х,(0) = ») = £>*

к=1

ехр (

1к = < - ^ ч + (°))) ••*

1, А* = О,

где матрица А и величины А^ Аг,..., Ап определены в соотношении (17), а функции Лх (£) и £?1 (£), определенные на отрезке [£о, £1], вместе с функциями Ач (í), В2 (£), £ 6 [¿I; ¿2]А/у(£); Длт(£), £ £ [¿дг_1, ¿дт], удовлетворяют в своих областях определения следующим соотношениях^:

_ и; ехр ((«¿V - «¡) £) - ехр ((и,-V - и,-) £,•)

' ~ К ехр ((и,-^ - «О £) - ^^ ехр - «¡) ¿¡) '

и; - А,;

Щ - А, /

г = 1, N. где

Х1 = Д+1 (£,), У4 = В4+1 (£;), » = 1, ЛГ - 1, А-дт = Удт = О,

eлtecme с константами

А2

2 ' -2Ы

-к + \/к2 + 2А2/ц'

-к+ \Л2 + 2А2/1,-=-2-'

1 + РЛ и - £¿-1

Данная теорема легко может быть обобщена на случай произвольного срока погашения облигации Т* € [О, Т]; этот, более общий результат не приводится по причине его громоздкости.

Данная теорема выражает условную вероятность разорения эмитента до срока погашения облигации в элементарных функциях, что является как теоретически значимым результатом, так и критически важным с практической точки зрения свойством модели, позволяющем эффективно применять ее на практике.

Доказательство сформулированной теоремы основывается на следующей доказываемой нами версии формулы Фейнмана-Каца:

Лемма. Пусть Т > 0. Предположим, что функции / (а;) : (0, +оо) —»Ем к (£, х) : [О, Т] х (0, +оо) —> К являются непрерывными и / (х) > 0, х € (О, +оо). Предположим также, что функция и (£, х) : [0. Т] х (0, + оо) —» К принадлежит классу С1,2 ([О, Т) х (0, +оо)), т.е. функции (£,х), (£, ж), 0(£,х) определены и непрерывны на множестве (О, Т) х (0. +оо) и могут быть непрерывгю продолжены в множество [О, Г] х [0, +оо). Предположим, что функция и (£, ж) является решением следующей задачи Коши:

\ -&(*■*) = ^ + (*, X) - к (£, х) и (£, х),

{ (£, х) € [О, Т) х (0, +оо) ,

( и(Т,х) = /(х), I е (0,+оо),

и удовлетворяет условию полиномиального роста

, |и (£, х)| < М (1 + ||х||2") , х е (0, +со), при некоторых М > 0, ц > 1. Тогда при V (£, х) € [О, Т] х (0, + оо)

I к (в, у3) с1з

max

о<t<T '

и (t, х) = EijT

/ (fr)exp

3 Список публикаций автора по теме диссертации

1. Малиновский C.B., Назаров JI.B. Марковская модель временной структуры рисковых облигаций // Вестник Московского университета, серия 15 (Вычислительная математика и кибернетика), 2005, 3, с. 44-52.

2. Maliriovskii S.V., Nazarov L.V. A Markov model for the term structure of risky bonds with dependent rating-migration processes // Journal of Mathematical Sciences, 2005, 146, 4, p. 6022-6032.

3. Малиновский C.B., Назаров JI.B. Модели стохастической замены времени для опционов на основе нолунараметрических оценок // Вестник Тверского государственного университета, серия: Прикладная математика, 2009, 8, 1, с. 87-101.

4. Малиновский C.B. Модели случайной замены времени для финансовых инструментов на основании полупараметрических оценок // Материалы докладов XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" / Отв. ред. Алешковский И.А., Костылев П.Н., Андреев А.И. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2009. - [Адрес ресурса в сети интернет: http://www.lomonosov-msu.ru/2009/]. ISBN 978-5-317-02774-2.

Подписано в печать 16.10.09 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 75 экз. Заказ № 864 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Предисловие

Список обозначений и сокращений

I Модели случайной замены времени для опционов

1 Введение

1.1 Обзор опционных моделей.

1.2 Описание используемых данных.

2 Метод статистического оценивания процесса случайной замены времени

3 Модель случайной замены времени на основе неоднородного негаус-совского процесса Орнштейна-Уленбека (модель ЪЭ-Юи)

3.1 Аналитические свойства модели ЬЭ-Юи.

3.2 Вычисление цен опционов в модели ЬЭ-Юи.

3.3 Оценка параметров модели ЬБ-Юи.

3.4 Сравнительный эмпирический анализ модели ЬЯ-Юи.

4 Модель случайной замены времени на основе " экспоненциал ьно-пуассоновского" процесса (модель ЬБ-ЕР)

4.1 Аналитические свойства модели ЬБ-ЕР.

4.2 Вычисление цен опционов в модели ЬЭ-ЕР.

4.3 Сравнительный эмпирический анализ модели ЪБ-ЕР.

II Модели случайной замены времени для рисковых облигаций

1 Введение

1.1 Обзор моделей рисковых облигаций.

2 Основная модель

3 Обобщенная модель 99 Список литературы

Предисловие

Данная диссертация посвящена вероятностным моделям финансовых инструментов и методам статистического анализа их цен. В данной работе рассматриваются два важных с практической точки зрения класса финансовых инструментов - опционы и рисковые облигации.

Опцион является разновидностью производной ценной бумаги. Производной ценной бумагой, или деривативом (derivative security, derivative; здесь и далее - англ.), называется ценная бумага, стоимость которой зависит от значений каких-либо, базовых по отношению к данной ценной бумаге, переменных [67]. Базовыми переменными производных ценных бумаг могут быть курсы акций и валют, значения индексов, уровни процентных ставок, цены товаров, индикаторы событий (например, события банкротства некоторой фирмы в течение определенного промежутка времени) и многое другое, включая цены других производных ценных бумаг.

Рассмотрим некоторые из широко используемых на практике видов опционов.

• Европейские опционы "колл" (call) и "пут" (put). Европейский опцион "колл" - это ценная бумага, дающая право купить некоторый актив, называемый базовым активом данного опциона, в определенный момент времени Т, называемый сроком исполнения1, по заранее оговоренной цене К, называемой ценой исполнения или страйком (strike price). Функция выплат такого опциона, определяемая как чистая прибыль или чистый' убыток его держателя в момент исполнения, имеет следующий вид:

Wc (ST; К, Т) = max (ST -К, 0), (1.1) где St - цена базового актива2 в момент времени Т.

Европейский опцион "пут" - это ценная бумага, дающая право продать некоторый актив в определенный момент времени Т по заранее оговоренной цене К. Такой опцион имеет функцию выплат

Wp (Sr; К, Т) = max {К - ST, 0).

1 Здесь и далее предполагается, что время измеряется в годах, если явно не указано иное.

2Многие контракты такого типа в настоящее время не имеют под собой какш о-либо "осязаемого" актива, который можно было бы купить или продать. Примером такого конгракта является опцион на индекс. В этом случае, согласно условиям договора, продавец опциона обязан в момент времени Т выплатить его держателю сумму денег Wc (St; К,Т), определяемую согласно соотношению (1.1), где St - значение базовой переменной опциона в момент времени Т.

В дальнейшем мы, как правило, будем опускать детали практической реализации рассматриваемых опционов, работая в терминах соответствующих им функций выплат, дающих удобное с математической точки зрения их описание.

Поскольку функции выплат опционов обоих вышеописанных типов неотрицательны при St > 0, приобретение любого из этих опционов требует уплаты некоторой положительной суммы денег контрагенту (продавцу) в момент заключения сделки. Данную сумму денег принято называть премией за опцион или ценой опциона.

• Американские опционы "колл" и "пут". Наряду с европейскими широкое распространение получили американские опционы "колл" и "пут", отличающиеся от европейских тем, что их держатель имеет право предъявить их к исполнению (т.е. совершить покупку или продажу актива по указанной в контракте цепе) в любой момент времени по своему выбору в пределах крайнего срока, указанного в контракте. Функции выплат опционов данных типов имеют следующий вид:

Wc (¿V; К, Т) = max (ST — К, 0) - для опциона "колл", WP (Sr] К, Т) = max (А" — ST, 0) - для опциона "пут", где т <Т - момент предъявления опциона к исполнению.

Европейские опционы "колл" и "пут" мы в дальнейшем для краткости будем называть простейшими европейскими, американские - простейшими американскими, а оба эти класса в совокупности - простейшими. Простейшие опционы первыми в современной истории экономических отношений начали активно использоваться широким кругом экономических агентов, и они остаются одним из наиболее популярных и востребованных классов опционов в наши дни. Вместе с тем, в последние десятилетия все более широкое применение начали находить' другие виды опционов, функции выплат которых зачастую весьма сложным образом зависят от цен одного или нескольких активов в один или более моментов времени. Данные опционы получили общее название экзотических. Описанию и изучению экзотических опционов посвящено большое количество работ, среди которых мы отметим монографию [116].

Помимо опционов, распространенные сегодня классы производных ценных бумаг включают в себя фьючерсные (futures), форвардные (forward), своповые (swap) и другие виды контрактов. Для ознакомления со всем разнообразием используемых в настоящее время производных ценных бумаг рекомендуется обратиться к классической монографии [67].

Производные ценные бумаги применяются во многих сферах экономических отношений и играют фундаментальную роль средства перераспределения риска, дохода и капитала как между экономическими агентами, так и во времени. Приведем несколько примеров применения производных ценных бумаг.

• Форвардные, фьючерсные и опционные контракты на товары широко используются фирмами для управления рыночными рисками, связанными с их основной деятельностью.

• Инвесторы активно используют производные ценные бумаги для получения желаемого соотношения риска и доходности и для управления отдельными видами рисков, которым подвержены их инвестиционные портфели.

• Многие фирмы используют опционы на собственные акции в схемах вознаграждения высшего руководства и ключевых сотрудников.

Одним из наиболее современных и актуальных направлений в опционном моделировании является использование для описания процесса цены базового актива процессов Леви со случайной заменой времени, имеющей смысл "операционного", "делового" времени модели (в противовес времени календарному). Модели такого вида предлагаются и изучаются в работах [30], [34], [24], [23], [95], среди прочих. Тем не менее, нам неизвестны работы, в которых эмпирические опционные структуры подвергались бы статистическому анализу с целью получения оценок "операционного" времени. В первой главе данной диссертации нами предлагается метод статистического оценивания процесса случайной замены времени в опционных моделях, а также предлагаются и исследуются две новые опционные модели, построенные на основе выявленных с его помощью закономерностей. Более подробный обзор существующих опционных моделей и обоснование актуальности дальнейшего развития теории стохастического опционного моделирования приводятся во введении к первой главе данной диссертации.

Облигации являются еще одним важным классом финансовых инструментов, широко используемым для привлечения капитала фирмами и органами государственного и муниципального управления. Практически все виды имеющих хождение в настоящее время облигаций подвержены существенному риску дефолта (default). Дефолт - это неисполнение эмитентом облигации своих обязательств перед ее держателем своевременно и в полном объеме3. Облигации, подверженные риску дефолта, мы будем называть рисковыми, а не подверженные такому риску - безрисковыми4.

Наличие вероятности дефолта у большого числа облигаций ставит задачу измерения связанного с ними кредитного риска, которую, как правило, рассматривают как задачу оценивания рисковых облигаций как таковых. Современная теория оценивания рисковых облигаций основывается на теории случайных процессов и активно использует аппарат теории вероятностей и математической статистики для исследования их математических моделей. Одно из наиболее актуальных направлений в моделировании рисковых облигаций, значительный вклад в развитие которого внесли Д. Лэндо [76], [77], [78], [79], Д. Даффи [46], [50], К. Синглтон [41], [50], Р. Кан [46] и ряд других математиков, состоит в использовании для описания кредитного процесса эмитента цепи Маркова с детерминированной или стохастической» инфини-тезимальной матрицей. Однако ни одна из известных нам моделей такого вида не отвечает всем основным требованиям, предъявляемым к моделям рисковых облигаций практикой. Во второй главе данной диссертации предлагается и исследуется новая модель рисковых облигаций на основе цепи Маркова со случайной заменой времени специального вида, устраняющая основные недостатки существующих моделей. Более подробный обзор существующих моделей рисковых облигаций и обоснование актуальности проблемы дальнейшего их развития приведены во введении к главе 2.

Основные результаты диссертации состоят в следующем. В первой главе предложен метод статистического анализа эмпирических цен опционов, позволяющий получать полупараметрические оценки процесса случайной замены времени. Предложены два случайных процесса, получаемые посредством случайной замены времени на основе неоднородного пегауссовского процесса Орнштейна-Уленбека и па основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса в а-устойчивом движении Леви. Построенные на основе данных процессов опционные модели отражают как выявленные посредством вышеупомянутого метода закономерности, так и ряд эмпирических свойств цен активов. Доказан ряд аналитических свойств предложенных процессов.

3В этом же смысле мы в дальнейшем будем употреблять понятие "банкротство".

4Практически безрисковыми принято считать государственные облигации наиболее крупных и экономически развитых стран мира (в первую очередь, США и Японии).

Для построенных опционных моделей получены выражения для характеристической функции процесса доходности и цены европейского опциона "колл" в полуаналитическом виде. Получены оценки остатка ряда в выражении для преобразования Лапласа процесса случайной замены времени на основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса. Предложен и реализован алгоритм вычисления цен опционов в предложенных моделях. Проведенный статистический анализ демонстрирует более высокую степень соответствия предложенных моделей эмпирическим опционным структурам в сравнении с рядом эталонных моделей.

Во второй главе данной диссертации представлены две модели рисковых облигаций на основе цепей Маркова с непрерывным временем. Первая из предложенных моделей является модификацией модели В.В. Питербарга [98]. Вторая модель, являющаяся обобщением первой, строится на основе цепи Маркова со случайной заменой времени специального вида и характеризуется наличием зависимости между процессами изменения кредитных рейтингов различных эмитентов. Для данной модели получены выражения для вероятности разорения эмитента и цены рисковой облигации в элементарных функциях.

Кратко опишем основные методы проведенного исследования. Для вычисления цен опционов в рамках построенных моделей мы применяем метод Карра-Мадана

Льюиса ([32], [82]), основанный на использовании обобщенного преобразования Фурье процесса доходности. Сравнительный статистический анализ предложенных моделей базируется на информационных критериях Акаике, Шварца и Хэннана-Куинна [10], [108], [63]. Для получения выражений для вероятности разорения эмитента во второй из предлагаемых моделей рисковых облигаций мы пользуемся доказываемой нами версией формулы Фейнмана-Каца [73].

Основные результаты диссертации были опубликованы в следующих научных работах:

• Малиновский C.B., Назаров Л.В. Марковская модель временной структуры рисковых облигаций // Вестник Московского универси гета, серия 15 (Вычислительная математика и кибернетика), 2005, 3, с. 44-52.

• Malinovskii S.V., Nazarov L.V. A Markov model for the term structure of risky bonds with dependent rating-migration processes // Journal of Mathematical Sciences, 2005, 146, 4, p. 6022-6032.

• Малиновский C.B., Назаров Л.В. Модели стохастической замены времени для опционов на основе полу параметрических оценок / / Вестник Тверского государственного университета, серия: Прикладная математика, 2009, 8, 1, с. 87101.

• Малиновский C.B. Модели случайной замены времени для финансовых инструментов на основании полупараметрических оценок // Материалы докладов XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" / Отв. ред. Алешковский И.А., Костылев П.Н., Андреев А.И. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2009. - [Адрес ресурса в сети интернет: http://www.lomonos0V-msu.ru/2009/]. ISBN 978-5-317-02774-2.

Диссертация состоит из предисловия, списка обозначений и сокращений, двух глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, состоящего из 117 наименований. Введением снабжена каждая из глав в отдельности, поскольку решаемые в них задачи, хотя и тесно связаны математически, имеют различную специфику с точки зрения их практического применения. Диссертация включает в себя 9 теорем, 3 леммы, 4 рисунка и 5 таблиц. Общий объем работы составляет 117 страниц.

Заключение

Подытожим полученные в данной работе результаты.

В первой главе был предложен метод полупараметрического анализа эмпирических цен опционов, с помощью которого была выявлена эмпирическая закономерность, положенная в основу двух представленных затем опционных моделей. Были изучены два случайных процесса, получаемые посредством случайной замены времени на основе неоднородного негауссовского процесса Орнштейна-Уленбека и на основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса в а-устойчивом движении Леви. Для построенных на их основе опционных моделей были получены полуаналитические выражения для цен простейших европейских опционов. Были получены оценки остатка ряда в выражении для преобразования-Лапласа процесса случайной, замены времени на основе "экспоненциально-пуассоновского" процесса. Был предложен и реализован на практике алгоритм вычисления цен опционов в представленных моделях. Посредством статистического анализа было установлено, что предложенные модели обеспечивают более высокое качество приближения эмпирических структур опционов на индекс Б&РбОО, чем ряд известных аналогов, как абсолютное, так и относительное, с учетом количества свободных параметров.

Во второй главе была рассмотрена модификация модели временных структур рисковых облигаций В.В: Питербарга [98]. Данная модель была обобщена путем введения в рассмотрение случайной замены времени специального вида, что позволило сделать процессы изменения кредитных рейтингов различных эмитентов зависимыми. Для обобщенной модели были получены выражения для вероятности разорения эмитента и цены рисковой облигации в элементарных функциях.

Полученные результаты были представлены на следующих научных конференциях и семинарах:

• XVI Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых, секция Математика и механика, апрель 2009 г., Москва.

• Семинар "Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании", Центральный экономико-математический институт РАН, март-апрель 2009 г., Москва.

• Семинар Лаборатории по финансовой инженерии и риск-менеджменту ГУ ВШЭ, март 2009'г., Москва.

• Семинар "Управление .кредитными рисками", Институт финансов и кредита, июль 2006 г., Москва.

1. Жакод Ж., Ширяев А.Н. Предельные теоремы для случайных процессов. М.: Физматлит, 1994.

2. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М.: Наука, 1994.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

4. Кендалл М., Стыоарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

5. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М.: Наука, 1986.

6. Малиновский С.В., Назаров Л.В. Марковская модель временной структуры рисковых облигаций // Вестн. Моск. ун-та, сер. 15 (Выч. мат. и киб.), 2005, 3, с. 44-52.

7. Малиновский С.В., Назаров Л.В. Модели стохастической замены времени для опционов на основе полупараметрических оценок // Вестн. Тверск. гос. ун-та, сер. Прикл. мат., 2009, 8, 1, с. 87-101.

8. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: МЦНМО, 2004.

9. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. М.: Фазис, 1998.

10. Akaike Н. Information theory and an extension to the likelihood ratio principle // Proc. of the 2-nd International Symposium of Information Theory / Eds.: Petrov B.N., Csaki F. Akademiai Kiado, Budapest, 1973, p. 267-281.

11. Albanese C., Campolieti G., Chen O., Zavidonov A. Credit barrier models // Risk, 2003, 16, p. 109-124.

12. Allen D.E., Thomas L.C., Zheng H. Stripping coupons with linear programming // J. Fixed Income, 2000, 10, part 2, p. 80-87.

13. Anderson R., Pan Y., Sundaresan S. Corporate bond yield spreads and the term structure. Work, pap., CORE and Columbia Business School, 1995.

14. Anderson R., Sundaresan S. Design and valuation of debt contracts // Rev. Financial Studies, 1996, 9, 1, p. 37-68.

15. Ane Т., Geman H. Order flow, transaction clock, and normality of asset returns // J. Finance, 2000, 55, part 5, p. 2259-2284.

16. Applebaum D. Levy processes and stochastic calculus. Cambridge University Press, 2004.

17. Artzner P., Delbaen F. Default risk insurance and incomplete markets // Math. Finance, 1995, 5, 3, p. 187-195.

18. Bakshi G., Charles C., Chen C. Pricing and hedging long-term options // J. Econometrics, 2000, 94, 1-2, p. 277-318.

19. Bakshi G., Chen Z. An alternative valuation model for contingent claims //J. Financial Economics, 1997, 44, 1, p. 123-165.

20. Bakshi G., Madan D. Spanning and derivative-security valuation // J. Financial Economics, 2000, 55, 2, p. 205-238.

21. Barndorff-Nielsen O.E. Normal inverse Gaussian distributions and stochastic volatility modelling // Scand. J. Stat., 1997, 24, p. 1-13.

22. Barndorff-Nielsen O.E. Processes of normal inverse Gaussian type // Finance and Stochastics, 1998, 2, 1, p. 41-68.

23. Barndorff-Nielsen O.E., Nicolato E., Shepard N. Some recent developments in stochastic volatility modelling // Quant. Finance, 2002, 2, 1, p. 11-23.

24. Barndorff-Nielsen O.E., Shepard N. Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics //J. Royal Stat. Soc. B, 2001, 63, 2, p. 167-241.

25. Bates D. Post-'87 crash fears in the S&P500 futures option market // J. Econometrics, 2000, 94, 1-2, p. 181-238.

26. Bielecki T.R., Rutkowski M. Multiple ratings model of defaultable term structure // Math. Finance, 2000, 10, 2, p. 125-139.

27. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // J. Political Economy, 1973, 81, 3, p. 637-654.

28. Bohn J.R. A survey of contingent-claims approaches to risky debt valuation //J. Risk Finance, 2000, 1, 3, p. 53-70.

29. Boyarchenko S., Levendorsky S. Option pricing for truncated Levy processes // Inter. J. Theor. Appl. Finance, 2000, 3, p. 549-552.

30. Carr P., Geman H., Madan D., Yor M. Stochastic volatility for Levy processes // Math. Finance, 2003, 13, 3, p. 345-382.

31. Carr P., Geman H., Madan D., Yor M. The fine structure of asset returns: an empirical investigation //J. Business, 2002, 75, 2, p. 305-332.

32. Carr P., Madan D. Option valuation using the fast Fourier transform //J. Comp. Finance, 1999, 2, p. 61-73.

33. Carr P., Wu L. The finite moment log stable process and option pricing //J. Finance, 2003, 58, 2, p. 753-778.

34. Carr P., Wu L. Time-changed Levy processes and option pricing // Math. Finance, 2001, 11, 1, p. 79-96.

35. Chernov M., Gallant A.R., Ghysels E., Tauchen G. A new class of stochastic volatility models with jumps: theory and estimation. Work, pap., Columbia Univ., Univ. North Carolina, Duke Univ., 1999.

36. Cont R., Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues // Quant. Finance, 2001, 1, 2, p. 223-236.

37. Cont R., Volatility clustering in financial markets: empirical facts and agent-based models // Long Memory in Economics / Eds.: A. Kirman, G. Teyssiere. Springer,2005.

38. Cover T.M., Thomas J.A. Elements of information theory. Wiley, 1991.

39. Cox J., Ingersoll J., Ross S. A theory of the term structure of interest rates // Econometrica, 1985, 53, 2, p. 385-408.

40. Daal E., Yu J.-S. An examination of the roles of diffusions and stochastic volatility in the exponential Levy jumps models. Work, pap., Univ. New Orleans, Samsung Econ. Res. Inst., 2005.

41. Dai Q., Singleton K. Specification analysis of affine term structure models // J. Finance, 2000, 55, 5, p. 1943-1978.

42. Das S.R., Freed L., Geng G., Kapadia N. Correlated Default Risk //J. Fixed Income,2006, 16, 2, p. 7-32.

43. Delbaen F., Schaehermayer W. The fundamental theorem of option pricing for unbounded stochastic processes // Mathematische Annalen, 1998, 312, p. 215-250.

44. Duffie D. First-to-default valuation. Tech. report, Grad. Sch. of Business, Stanford Univ., 1998.

45. Duffie D., Defaultable term structure models with fractional recovery of par. Work, pap., Grad. Sch. Bus., Stanford Univ., 1998.

46. Duffie D., Kan R. A yield-factor models of interest rates // Math. Finance, 1996, 6, 4, p. 379-406.

47. Duffie D., Lando D. Term structures of credit spreads with incomplete accounting information // Econometrica, 2001, 69, 3, p. 633-664.

48. Duffie D., Pan J., Singleton K. Transform analysis and asset pricing for affine jumpdiffusions // Econometrica, 2000, 68, 6, p. 1343-1376.

49. Duffie D., Singleton K. Credit risk: pricing, measurement and management. Princeton University Press, 2003.

50. Duffie D., Singleton K. Modeling term structures of defaultable bonds // Rev. Financial Studies, 1999, 12, 4, p. 687-720.

51. Elizalde A. Credit risk models II: structural models. Work, pap., CEMFI, Universidad Publica de Navarra, 2006.

52. Embrechts P., Maejima M. Selfsimilar processes. Princeton University Press, 2002.

53. Eom Y.H., Helwege J., Huang J.-Z. Structural models of corporate bond pricing: an empirical analysis // Rev. Financial Studies, 2004, 17, 2, p. 499-544.

54. Erakcr B. Do stock prices and volatility jump? Reconciling evidence from spot and option prices //J. Finance, 2004, 59, 3, p. 1367-1404.

55. Eraker B., Johannes M., Poison N. The impact of jumps in volatility and returns // J. Finance, 2003, 58, 3, p. 1269-1300.

56. Fan H., Sundaresan S. Debt valuation, strategic debt service and optimal dividend policy. Work, pap., Columbia Univ., 1997.

57. Feller W. Two singular diffusion problems // Annals of Mathematics, 1951, 54, 1, p. 173-182.

58. Fisher E., Heinkel R., Zechner J. Dynamic capital structure choice: theory and tests // J. Finance, 1989, 44, 1, p. 19-40.

59. Foresi S., Wu L. Crash-o- phobia: a domestic fear or a worldwide concern? //J. Derivatives, 2005, 13, 2, p. 8-21.

60. Geman H., Madan D., Yor M. Stochastic volatility, jumps and hidden time changes // Finance and Stochastics, 2002, 6, 1, p. 63-90.

61. Gopikrishnan P., Plerou V., Amaral L.A.N., Meyer M., Stanley H.E. Scaling of the distribution of fluctuations of financial market indices // Phys. Rev. E, 1999, 60, 5, A, p. 5305-5316.

62. Hagan P., Woodward D. Using Levy distributions to price and manage option risk. Work, pap., Bear Sterns, New York, 2002.

63. Hannan E.J., Quinn B.G. The determination of the order of an autoregression //J. Royal Stat. Soc. B, 1979, 41, 2, p. 190-195.

64. Heston S. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options // Rev. Financial Studies, 1993, 6, 2, p. 327-344.

65. Huang J. The option to default and optimal debt service. Work, pap., Stern Sell. Bus., New York Univ., 1996.

66. Huang J.-Zh., Wu L. Specification analysis of option pricing models based on time-changed Levy processes //J. Finance, 2004, 59, 3, p. 1405-1440.

67. Hull, J.C. Options, futures, and other derivatives. Prentice Hall, 2002.

68. Hull J., White A. The pricing of options on assets with stochastic volatilities //J. Finance, 1987, 42, 2, p. 281-300.

69. Hurst S.H., Platen E., Rachev S.T. Option pricing for a logstable asset pricing model // Mathematical and Computer Modelling, 1999, 29, 10-12, p. 105-119.

70. Janicki A.W., Popova I., Ritchken P.H., Woyczynski W.A. Option pricing bounds in an a-stable security market // Communication in Stat. Stoch. Models, 1997, 13, 4, p. 817-839.

71. Jarrow R.A., Lando D., Turnbull S.M. A Markov model for the term structure of credit risk spreads // Rev. Financial Studies, 1997, 10, 2, p. 481-523.

72. Jiang G.J., van der Sluis P.J. Pricing stock options under stochastic volatility and stochastic interest rates with efficient method of moments estimation. Res. rep., Res. Inst. SOM, Univ. of Groningen, 1999.

73. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian motion and stochastic calculus. Springer-Verlag, 1988.

74. Konikov M., Madan D. Stochastic volatility via Markov chains // Rev. Derivatives Res., 2002, 5, p. 81-115.

75. Kou S.G. A jump diffusion model for option pricing // Management Science, 2002, 48, part 8, p. 1086-1101.

76. Lando D. A continuous-time Markov model of the term structure of credit risk spreads. Work, pap., Stat. Center, Cornell Univ., 2003.

77. Lando D. Credit risk modeling: theory and applications. Princeton University Press, 2004.

78. Lando D. Modeling bonds and derivatives with default risk // Math, of Derivative Securities / Eds.: M. Dempster, S. Pliska. Cambridge University Press, 1997, p. 369-393.

79. Lando D. On Cox processes and credit risky securities // Rev. Derivatives Res., 1998, 2, 2-3, p. 99-120.

80. Leippold M., Wu L. Asset pricing under the quadratic class //J. Fin. and Quant. Anal., 2002, 37, part 2, p. 271-295.'

81. Leland H., Toft K. Optimal capital structure, endogeneous bankruptcy, and the term structure of credit spreads // J. Finance, 1996, 51, 3, p. 987-1019.

82. Lewis A. A simple option formula for general jump-diffusion and other exponential Levy processes // Envision Financial Systems and OptionCity.net, 2001.

83. Longstaff F.A., Schwartz E.S. A simple approach to valuing risky fixed and floating rate debt // J. Finance 1995, 50, 3, p. 789-819.

84. Madan D., Carr P., Chang E. The Variance Gamma process and option pricing // Eur. Finance Rev., 1998, 2, 1, p. 79-105.

85. Madan D., Milne F. Option pricing with VG martingale components // Math. Finance, 1991, 1, 4, p. 39-55.

86. Madan D., Seneta E. The Variance Gamma (V.G.) model for share market returns //J. Business, 1990, 63, 4, p. 511-524.

87. Malinovskii S.V., Nazarov L.V. A Markov model for the term structure of risky bonds with dependent rating-migration processes //J. Math. Sciences, 2005, 146, 4, p. 6022-6032.

88. Matsumoto H., Yor M. Exponential functional of brownian motion, I: probability-laws at fixed time // Prob. Surveys, 2005, 2, p. 312-347.

89. Merton R.C. On the pricing of corporate debt // J. Finance, 1974, 29, 2, p. 449-470.

90. Merton R.C. Option pricing when underlying asset returns are discontinuous //J. Financial Economics, 1976, 3, 1, p. 125-144.

91. Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Economics and Management Science, 1973, 4, 1, p. 141-183.

92. Mikhailov S., Nôgel U. Heston's stochastic volatility model implementation, calibration and some extensions // Wilmott, 2003, July, p. 74-79.

93. Monroe I. Processes that can be embedded in brownian motion // Ann. Prob., 1978, 6, 1, p. 42-56.

94. Nelder J., Mead R. A simplex algorithm for function minimization // Computer J., 1965, 7, 4, p. 308-313.

95. Nicolato E., Venardos E. Option pricing in stochastic volatility models of the Ornstein-Uhlenbeck type with a leverage effect. Work, pap., Dept. Math. Sciences, Aarhus Univ., 2003.

96. Nielsen L.T., Saâ-Requelo J., Santa-Clara P. Default risk and interest rate risk: the term structure of default spreads. Work, pap., INSEAD, 1993.

97. Obloj J. In search of time lost in subordination or the recovery problem, M Sc. thesis, Université Paris 6, 2002.

98. Piterbarg V. Recovering risk-neutral Markov process of credit transitions from credit spreads and statistical information. Work, rep., NationsBank, 1999.

99. Popova. I., Ritchken P On bounding option prices in Paretian stable markets //J. Derivatives, 1998, 5, 4, p. 32-43.

100. Protter P.E. Stochastic integration and differential equations. Springer, 2004.

101. Revuz D., Yor M. Continuous martingales and brownian motion. Springer, 1999.

102. Ross S.M. A first course in probability. Prentice Hall, 1997.

103. Samorodnitsky, G., Taqqu M. Stable non-Gaussian random processes: stochastic models with infinite variance. N.Y.: Chapman & Hall, 1994.

104. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Rev., 1965, 6, p. 13-39.

105. Schonbucher P. The term structure of defaultable bond prices // Rev. Derivatives Res., 1998, 2, 2-3, p. 161-192.

106. Schoutens W. The Meixner process: theory and applications in finance. EURANDOM rep. 004, 2002.

107. Scott L.O. Pricing stock options in a jump-diffusion model with stochastic volatility and interest rates: applications of Fourier inversion methods // Math. Finance, 1997, 7, 4, p. 413-426.

108. Schwartz G., Estimating the dimension of a model // Ann. Stat., 1978, 6, 2, p. 461-464.

109. Thomas L.C., Allen D.E., Morkel-Kingsbury N. A hidden Markov chain model for the term structure of bond credit risk spreads // Inter. Rev. Financial Anal., 2002, 11, 3, p. 311-329.

110. Vuong Q. Likelihood ratio rests for model selection and non-nested hypotheses // Econometrica, 1989, 57, 2, p. 307-333.

111. Widder D.V. The Laplace transform. Princeton Mathematical Series, 1946.

112. Wiggins J.B. Option values under stochastic volatilities //J. Financial Economics, 1987, 19, 2, p. 351-372.

113. Winkel M. The recovery problem for time-changed Levy processes. MaPhySto Res. Rep. 2001-37, Aarhus Univ., 2001.

114. Yan G., Hanson F.B. Option pricing for a stochastic volatility jump-diffusion model with log-uniform jump-amplitudes // Proc. Amer. Control Conf., 2006, p. 2989-2994.

115. Yor M. On some exponential functionals of brownian motion // Adv. Appl. Prob., 1992, 24, p. 509-531.

116. Zhang P.G. Exotic options: a guide to second generation options. World Scientific, 1998.

117. Zhou C. The term structure of credit spreads with jump risk // J. Banking and Finance, 2001, 25, p. 2015-2040.