Моделирование динамических параметров плотины Токтогульской ГЭС при индуцированной сейсмичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Довгань Владимир Иванович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПЛОТИНЫ ТОКТОГУЛЬСКОЙ ГЭС ПРИ ИНДУЦИРОВАННОЙ СЕЙСМИЧНОСТИ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Бишкек 2006

Работа выполнена в Кыргызско-Российском Славянском университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Рудаев Яков Исаакович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Арутюнян Роберт Ашотович. доктор технических наук, профессор Абдылдаев Эрким Кыянович.

Ведущая организация: Институт динамики геосфер РАН

(г. Москва)

Защита диссертации состоится «22» декабря 2006 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 730.001.05 при Кыргызско-Российском Славянском университете по адресу: 720000, Кыргызская Республика, г. Бишкек, ул. Киевская, 44.

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке Кыргызско-российского Славянского университета и на сайте http://www.krsu.edu.kg

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор

Кулумбаев Э.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Подавляющее большинство исследований в области сейсмостойкости гидротехнических сооружений, как правило, сосредоточено на разработке методов расчета сооружений на сейсмические воздействия и создание сейсмостойких конструкций. В то же время актуальной оказывается проблема безопасной эксплуатации гидротехнических сооружений, усугубляемая наложением индуцированной сейсмичности. Опыт наблюдений за поведением сооружений Токтогульского гидроузла (Кыргызская Республика) показывает, что ощутимые землетрясения происходят весьма редко и очень сложно при этом выделить последствия их воздействия из общих шумов, обусловленных техногенными причинами. В связи со сказанным, разработка новых подходов и методов мониторинга устойчивости природных и искусственных склонов с подземными и наземными сооружениями, являющимися бортами-примыкания плотин и берегами водохранилища, становится очень важной. К этому добавляется задача организации комплекса инструментального контроля устойчивости склонов каньона гидроузла при сейсмических воздействиях, а также методов количественной оценки состояния плотины Токтогульской ГЭС и бортов ее примыкания. В решение указанной задачи как составная часть включается прогнозирование состояния плотины Токтогульского гидроузла с целью предотвращения катастрофических ситуаций. Обобщая изложенное, можно утверждать, что оценка текущего состояния и прогноз устойчивости плотины Токтогульского гидроузла с привлечением методов нелинейной динамики в соединении с вычислительным экспериментом относится к актуальным задачам.

Цель работы:

Развитие теории неупругого деформирования бетона на синерге-тической основе, применение методов нелинейной динамики к оценке текущего и прогнозного состояния плотины Токтогульского гидроузла, выполненной из бетона.

Задачи исследований:

- на основе известных экспериментальных данных по поведению сжимаемых образцов бетона сформулировать модель, устанавливающую связь между напряжениями и деформациями с учетом нисходящей ветви;

- показать приемлемость уравнений наследственной теории упругости для анализа напряженно-деформированного состояния бетонной плотины Токтогульского гидроузла;

- провести с использованием экспериментальной системы сейс-момониторинга замеры приращений горизонтальных (вдоль створа) и вертикальных перемещений;

- определить значения инерционных сил;

- сформулировать нелинейную динамическую модель плотины Токтогульского гидроузла, анализируя последовательность фазовых портретов и аттракторов с переходом к динамическому хаосу;

- поставить и реализовать задачу прогнозирования поведения тела плотины Токтогульского гидроузла по значениям приращений перемещений.

Методы исследований.

Теоретические исследования проведены с использованием аппарата нелинейной динамики, включая теорию катастроф и теорию динамического хаоса. Широко представлены технологии вычислительного эксперимента.

Метод выполнения экспериментальных работ состоит в оценке состояния плотины на принципах непрерывных синхронных фиксаций приращений перемещений.

На защиту выносится:

- модель деформационного поведения бетона при кратковременном нагружении, разработанная в рамках синергетического подхода;

- система сейсмомониторинга, осуществляющая в реальном времени синхронную запись приращений перемещений в теле плотины Токтогулького гидроузла;

- компьютерная модель динамики тела плотины, позволяющая анализировать колебательный процесс через эволюцию бифуркаций путем построения фазовых портретов вплоть до возникновения странных аттракторов;

- прогнозирование деформационного поведения массивного объекта (тела плотины Токтогульского гидроузла) с использованием средств вычислительного эксперимента.

Научная новизна.

В процессе проведения исследований получены новые научные результаты теоретического характера:

- сформулирована с позиции синергетики модель деформационного поведения бетона в форме уравнения состояния, дополненного кинетическим уравнением для параметра несовершенства, обусловленного повреждаемостью.

- разработана нелинейная динамическая модель тела плотины Токтогульского гидроузла, позволяющая численными методами исследовать процесс от установившихся режимов до появления странных аттракторов;

- предложен и численно реализован метод прогнозирования поведения тела плотины Токтогульского гидроузла по приращениям перемещений, дающий удовлетворительное совпадение действительного и предсказываемого значений;

прикладного характера:

- разработано экспериментальное обеспечение системы сейсмо-мониторинга;

- разработано программное обеспечение вычислительных процедур.

Практическую значимость работы составляют:

- разработана модель деформационного поведения бетона, пригодная для применения в расчетной практике и описывающая запредельную ветвь диаграммы «напряжение-деформация»;

- разработана система измерений и регистрации кинематических характеристик массивного бетонного тела (плотины Токтогульского гидроузла);

- методика исследования компьютерным моделированием динамических параметров массивного бетонного тела (плотины Токтогульского гидроузла);

- разработанные методики прогнозирования механического поведения массивных бетонных тел (плотины Токтогульского гидроузла).

Достоверность научных положений и выводов обеспечивается корректным применением методов математического и компьютерного моделирования, сопоставлением теоретических и опытных данных.

Апробация работы.

Основные положения диссертационной работы и результаты исследований докладывались на V Генеральной Ассамблее Азиатского Сейсмологического Сообщества (Армения, 2004); на V Международной конференции «Проблемы Геокосмоса» (Санкт-Петербург, 2004), на III Международном симпозиуме «Геодинамика и геоэкология высокогорных регионов в XXI веке» (Бишкек, 2005); на XXXIII и XXXIV летних школах «Современные проблемы механики» (Санкт-Петербург, 2005,2006); на Международной научно-технической конференции «Инновации в образовании, науке и технике», (Бишкек,2006); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новго-

род, 2006); на научных семинарах кафедры «Механика» Кыргызско-Российского Славянского университета.

Диссертационная работа выполнялась на кафедре «Механика» Кыргызско-Российского Славянского университета, а также по проекту МНТЦ № КЯ-547.2 «Мониторинг устойчивости сооружений Токтогуль-ского гидроузла на реке Нарын для предотвращения катастрофических последствий при сейсмических воздействиях».

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 9 научных работ.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка использованных источников из 79 наименований. Работа содержит 138 страниц, включая 51 рисунков и 9 таблиц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, показаны научная новизна и практическая значимость работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе предлагаются определяющие соотношения, пригодные для описания закономерностей деформирования бетона при кратковременном нагружении с учётом нисходящей ветви в условиях одноосного сжатия. Особое место занимает обоснование приемлемости теории наследственной упругости к оценке напряженно-деформированного состояния плотины Токтогульского гидроузла.

Подавляющему большинству вариантов определяющих соотношений для бетона свойственен неучет структурной изменчивости при нагружении. Исключение, естественно, составляют теории накопления повреждений. Особенность поведения бетона под нагрузкой заключается в существовании за пределом прочности нисходящей ветви, обусловливающей снижение напряжения при росте деформации. Поэтому процесс деформирования бетона, начиная с области упрочнения, можно интерпретировать как иерархию стационарных состояний диссипативных структур.

В качестве исходной информации принимается диаграмма зависимости нормированного напряжения а и относительного изменения объёма 5от осевой деформации г: (рис. 1).

Рис. 1. Диаграммы зависимости приведенных напряжений F и изменения объемной деформации Э от параметра порядка т}

Здесь введены следующие обозначения:

сге £е о-, сгв е, ее $е

где о - предел упругости, ее — соответствующая деформация, Як - предел прочности, £Ьг - соответствующая деформация, 9е — объёмная деформация на пределе упругости.

Нормированное напряжение Г представляет собой отклик материала на механическое воздействие и реакцию на дефекты текущего состояния. Поэтому напряженно-деформированному состоянию можно поставить в соответствие энергетическую функцию вида:

77,$, (1)

где р - управляющий параметр (в терминах теории катастроф), ответственный за структурные дефекты (параметр несовершенства), а т] принадлежит роль параметра порядка.

Функцию (1) представим как суперпозицию потенциальной функции г]) и возмущения 8(т], р)\

= + (2)

где УУР(Г, г]) вблизи равновесия разложима в ряд Тейлора, а Б(т], Р) выбирается в форме морсовского разложения.

Минимизируя функцию (2) по параметру порядка, получаем, что стационарному состоянию отвечает уравнение связи между напряжениями и деформациями вида

р = ё- + Т1 + РЕ, (3)

Л

где т] €] 1, т]с[, а управляющему параметру /?(/?< 0) придаётся статус эволюционного.

Представляется удобным связать параметр несовершенства (5 с параметром повреждаемости Качанова-Работнова

а, = *(0(®е]О,1[; £ = 77/7,; (£б]0,1[)),

который можно трактовать как макрохарактеристику текущего структурного состояния бетона.

В опытах, полученных динамическим методом акустического исследования, на начальном этапе деформирования отмечается появление слабых «шумов», частота которых увеличивается с ростом нагрузки. Эти «шумы» можно объяснить разрушением мельчайших кристаллов. Здесь возрастание параметра со незначительно. При переходе в зону упрочнения «шумы» становятся резче и сильнее первых, а параметр со быстро растёт. Полученные данные являются отражением природы остаточных деформаций начально неоднородных материалов, к которым относится бетон. Здесь, помимо чисто сдвиговых процессов, существенно влияние разрыхления (псевдопластической деформации). Иными словами, в зоне упрочнения интенсифицируется трещинообразование. Так в сформировавшейся диссипативной среде зарождаются элементы новой, более сложной, структуры. Переход к последней совершается при смене типа устойчивости и возникновении нового состояния, которому соответствует снижение напряжений при продолжающимся росте деформации. Параметр повреждаемости в запредельной области быстро устремляется к единице.

Представленная ситуация анализируется с позиции теории размытых фазовых переходов — параметр повреждаемости со отождествляется со степенью полноты фазового перехода, совершаемого в процессе нагружения, вплоть до разрушения. С другой стороны, учитывая стохас-тичность функции со = ¿у(£), можно в качестве кинетического принять вариант известного в неравновесной статистической механике уравнения Фоккера-Планка, стационарная форма которого имеет вид

Здесь R = — функция, ответственная за процессы сопротивления внутреннему скольжению и разрыхлению (коэффициент "дрейфа"), X — коэффициент диффузии, который для бетона может быть принят постоянным.

Интегрирование уравнения (4) при известном явном выражении функции R(i£) даёт

In в> = In А +-j[cexpg-c£e + Q]> (5)

Л

где A,Q- постоянные интегрирования, с - постоянная материала.

Связь между параметрами повреждаемости со и несовершенства ß установим из следующих соображений. Пусть на приращение параметра повреждаемости dco параметр несовершенства откликается уменьшением на величину dß. Примем, что указанное уменьшение пропорционально параметру ß и происходит тем быстрее, чем выше значения со и со '= dco! dt;. Следовательно,

dß= ßK(co, со') dco, (6)

где К(а>, со') — ядро, убывающее с ростом со , со '.

Интегрируя уравнение (6) при к (со, со') = ^ I ^ + са>, получаем

со со'

ln-^- = Älnco + (b + ce)£- (7)

ße

Решив (7) относительно In ¿у и приравнивая полученный результат (5), можем записать

In — = a + + сехр£ • (Ю

ße

Здесьße = ß\ = -(l + F0) ; а + + с ехр& = 0; а = Д1пЛ - Q ;

£ = ¿\ = —; причём материальные константы а,Ь,с определяются 177=1 rje

из сопоставления опытных и теоретических данных, а значения X, А, Q — из условий реализации фазового перехода.

Теперь можно считать установленной в параметрической форме связь между параметрами повреждаемости со (5) и несовершенства ß (8).

На рис. 2 (кривая 1) показано сопоставление теоретических зависимостей, рассчитанных по формулам (3), (8) с известными опытными данными. Постоянные материала а,Ь,с и значения X, А, <Э приведены в табл. 1.

Опыты Яшина В.А.

0,8 1.2

1

2 Ъ

0,75 0 95 1 15 1 35 .75 1.95

-

___^

Опыты Почтовика Г.Я.

2.5 2

1.5 1

0.5 О

0.5

1 о ч

Л

,9

Опыты Рахманова В.А.

0,25

0.2

0.15

ш

1 V

Г

V

Рис. 2. Сопоставление теоретических и опытных данных между приведёнными: 1— напряжениями (/•") и деформациями (т));

2 — изменениями объема («9 ) и деформациями (т]).

Таблица 1

Наименование а Ъ с Я А Q

Опыты А.В. Яшина 1 -4,1974 -4,1307 4,1185 -3,212 2,454 2,885

Опыты Г.Я. Почтовика1 -4,9066 -4,7268 1,6947 -5,9995 2,028 2,238

Опыты В.А. Рахманова3 —4,9000 -6,5239 4,8549 -1,648 4,332 2,417

Особенность поведения бетона состоит в несоответствии закономерностей деформации закону упругого изменения объёма. На рис. 2 (кривая 2) представлено сравнение опытных и теоретических результатов по зависимостям объёмной деформации от параметра порядка г].

С учётом введённых обозначений зависимость между напряжением и деформациями для бетона будет иметь вид

[Е.е при 0<£<,£€;

а~\ гпВ V*)

\Еяе + —— + Я при£- < е < ег.

I

Здесь т = огс/Зс£с, Ев- модуль упругости бетона при сжатии, а отношение /?/Д определяется зависимостью (8).

Хорошо известно, что возведение массивных бетонных объектов осуществляется в течении длительного времени. Для плотины Токто-гульского гидроузла, выполненной из бетона, примем, что материал в различных точках конструкции отличается только возрастом при примерно одинаковых физико-механических параметрах. Однако указанные параметры меняются во времени и моменты изготовления различных частей объекта смещены относительно друг друга. Следовательно, можно предположить, что деформационные свойства материала в различных точках неодинаковы. Старение же бетона происходит примерно в течении двух лет. Поэтому, учитывая возраст тела плотины Токтогульского гидроузла (1974), полагаем, что к анализу напряжённо-

1 Яшин A.B. О некоторых деформативных особенностях бетона при сжатии// Теория железобетона. - М.: Госстройиздат. - 1972. - С. 131-137.

2 Почтовик Г.Я., Красновский P.O. Применение ультразвукового импульсного метода для оценки структурно-механических характеристик бетонных и железобетонных конструкций при нагружении // Методика лабораторных исследований деформации и прочности бетона. - М.: Госстройиздат. - 1962. - С. 267-278.

3 Рахманов В.А. Прочность бетона при действии внецентренного динамического нагружения // Длительные деформированные процессы в бетонных и железобетонных конструкциях.- М.: Госстройиздат. — 1970. - С.55-65.

деформированного состояния пригодными можно считать соотношения наследственной теории упругости.

Второй раздел посвящен организации и воссозданию на новых принципах системы сейсмомониторинга на Токтогульском гидроузле. Основная цель сейсмометрических наблюдений направлена на оценку современного физико-механического состояния плотины с непрерывной синхронной регистрацией микросейсм и землетрясений с последующей их спектральной обработкой.

Рис. 3. Система сейсмомониторинга Токтогульской ГЭС

Система сейсмомониторинга состоит из двух подсистем (рис.3), первая из них предназначена для измерения и предварительной обра-

ботки опытных данных (плотина Токтогульской ГЭС), а вторая - для управления, сбора и обработки экспериментальной информации (Бишкек, КРСУ). Необходимо отметить, что ощутимые землетрясения представляются довольно редкими событиями. В тоже время такие источники «шумов» как пуски-остановы гидроагрегатов, которые происходят несколько раз в сутки, водосбросы, вентиляция, приводы затворов, колебания водохранилища создают в теле плотины вынужденные колебания, которые относятся, естественно, к индуцированной (техногенной) сейсмичности. Конкретная информация при этом представляется в виде экспериментально установленных дискретных приращений горизонтальных и вертикальных перемещений. При этом тело плотины заменяется совокупностью восьми объёмных фрагментов с регистрируемыми приращениями перемещений. Конкретные пофрагментарные расчёты составляющих (вертикальных и горизонтальных) инерционных сил показывают, что пиковые значения указанных сил приходятся на середину лета, когда водосбросы и, как следствие, колебания водохранилища интенсифицируются.

В третьем разделе массивные объекты типа плотин при наличии сейсмических нагрузок от инерционных сил, обусловленных индуцированной сейсмичностью, исследуются как динамические системы, которым отвечают фазовые траектории, описываемые дифференциальными уравнениями типа

^ = П 0°)

при начальном условии

АУ(0) = АУо (11)

Здесь АУ - компоненты приращений вертикальных (горизонтальных) перемещений, дискретные значения которых аппроксимированы кубическим сплайном с последующим разложением в тригонометрический ряд Фурье.

Для уравнений (10) - (11) сформулируем численную модель, пригодную для исследования пофрагментарного кинематического состояния массивного тела:

- фрагмент тела плотины однозначно характеризуется набором чисел АУ,,...,АУ„ (N=20) - фазовыми переменными;

- состояние фрагмента меняется со временем г, т.е. все числа АУи...,АУы зависят от одной независимой переменной; поведение фраг-

мента является детерминированным - состояние зависит только от предыстории, а именно от значений АУ{,...,АУр, в предыдущие моменты времени;

- все приращения перемещений AV{,.,.,AVN являются гладкими дифференцируемыми функциями независимой переменной t;

- фазовая скорость исследуемого фрагмента AV\(t),...,AVj^(t) зависит только от фазовых переменных АК1(/),...,ДКЛ,(/) и времени t. Представленные на рис. 4, 5 фазовые траектории

и^ =AF(t) ) соответствуют начальному условию дк(0) = 1, а конкретные данные для вычислений — приращениям вертикальных перемещений на отметке 710 м. Величину В считаем параметром возрастания скоростей приращений перемещений.

Качественно поведение фазовых траекторий не изменится и для остальных фрагментов.

Отметим, что приведённые на рис. 4, 5 зависимости приращений перемещений от их скоростей позволяют проследить смену бифуркационных режимов.

Особые точки и предельные циклы, наблюдаемые в форме аттракторов (рис. 4), рассматриваются как математические образы установившихся режимов, а фазовые траектории при этом являются устойчивыми.

С ростом скорости приращений перемещений возникает физическое явление, называемое динамическим хаосом и отождествляемое с возникновением странных аттракторов (рис. 5), характерное для непериодических, хаотических, неустойчивых режимов. Таким образом, открывается возможность количественной оценки параметров, соответствующих наступлению эффектов, относящихся к катастрофическим и, как следствие, к предсказуемости поведения объекта.

Сформулированная в третьем разделе модель по существу основана на анализе временных рядов, когда по изменению одной переменной выносятся суждения о кривых в фазовой плоскости (рис. 4), переходящих в хаотический аттрактор (рис. 5). Реконструкция указанного аттрактора до определённой временной точки позволяет экстраполировать полученные данные для составления более или менее точного прогноза. Последнее составляет содержание четвёртого раздела.

Входные данные представляются в табличном варианте, в котором для каждого фрагмента по вертикали располагаются месяцы, а по горизонтали - значения приращений перемещений.

О 0 33 01 11)5 1 4 1.75 245 21 313 35

.01. ,<1' : Д328.

О 035 0! 103 И 1.73 21 2.43 2} 315 : .01. „<1> .342?.

Рис. 4. Эволюция устойчивых бифуркационных режимов с увеличением скорости приращений перемещений

Рис. 5. Формирование странного аттрактора

В качестве начальных условий принимается число месяцев, а граничные условия устанавливают количество данных в каждом месяце и шаг измерений приращений перемещений.

Решение задачи прогнозирования осуществляется пофрагментар-но в следующем порядке:

- вводятся данные приращений перемещений в виде выборки из десяти дней каждого месяца;

- реализуется аппроксимация данных кубическим сплайном, т.е. каждой строке ставится в соответствие гладкая функция Л имеющая производные вплоть до третьего порядка;

- функции, соответствующие числовым данным по месяцам, разлагаются в ряд Фурье;

- в графическом и расчётном вариантах представляются данные статистики и прогнозируемых значений приращений перемещений, причем экстраполяция коэффициентов Фурье осуществляется стандартными методами с привлечением теории экстраполяции Теплицевыми формами;

- проводится сравнение действительных приращений перемещений с прогнозируемыми;

- устанавливается расхождение (%) действительных и прогнозируемых значений приращений перемещений.

Конкретные вычисления осуществлены пофрагментарно по данным первых пяти месяцев 2005 года с предсказанием на июнь того же года. Выбор данных обусловлен имеющейся объективной информацией. Рассчитанные значения приращений перемещений дают некоторые расхождения с реальными ( для горизонтальных приращений перемещений

оно приведено в табл. 2), объясняемое определённой ограниченностью статистического ряда, а также степенью точности вычисления определённых интегралов в рядах Фурье.,

Таблица 2

Расхождение Отметка,м.

710 730 744 786 805 825 860 905

% 4,538 8,59 2,78 3,678 3,019 11.665 12,657 2,661

Выводы

1. Разработана модель деформации бетона с учетом нисходящей ветви. Уравнение состояния получено минимизацией энергетической функции, записанной с привлечением методов теории катастроф. Указанная функция представляется суммой потенциальной составляющей и возмущения, зависящею от параметра несовершенства. Ответственность за структурную изменчивость возложен на параметр повреждаемости, который, в свою очередь, связан с параметром несовершенства. Для параметра повреждаемости, отождествляемого со степенью полноты фазового перехода, предложено кинетическое уравнение, полученное на основе уравнения Фоккера-Планка. Установлено удовлетворительное соответствие найденных зависимостей между напряжениями и деформациями известным опытным данным.

2. Показано, что в соответствие возрасту, бетонная плотина Ток-тогульского гидроузла может моделироваться как наследственно-упругое изотропное тело.

3. Разработана и внедрена система сейсмометрических наблюдений для оценки физико-механического состояния тела плотины на принципе непрерывных синхронных записей приращений перемещений. Расчеты показали, что пик приращений инерционных сил приходится на середину лета, когда интенсифицируются техногенные воздействия (пуски- остановы гидроагрегатов и колебания уровня воды в водохранилище).

4. В рамках нелинейного динамического подхода предложена модель тела плотины Токтогульского гидроузла, позволившая получить эволюцию фазовых портретов от установившихся режимов до возникновения хаотических состояний, математическими образами которых являются странные аттракторы.

5. На основе динамической модели разработана методика прогнозирования механического поведения тела плотины Токтогульского гидроузла. При этом дискретные значения функций приращений пере-

мещений аппроксимируются кубическим сплайном и разлагаются в ряд

Фурье, а экстраполяция коэффициентов Фурье осуществлена с привлечением теории экстраполяции Теплицевыми формами. Получено удовлетворительное соответствие прогнозируемых данных действительным.

Основные публикации по теме диссертации.

1. Dovgan V.L, Frolova A.G. About seismic monitoring on Toktogul hydroelectric power station// Book of abstracts on 5- th International Conference "Problems of geocosmos", St Petersburg. - 2004. - P. 39-40.

2. Dovgan VI. The question on stability of construction of Toktogul hydroelectric power station// Abstract for 5th ASC General Assembly, Armenia, Yerevan, October 18-21, 2004. -P. 407.

3. Dovgan V.I., Kitaeva D.A., Rudaev Ya. I. About structure formation self-organization at loading of quasi brittle material// Advanced Problem in Mechanics, АРМ' 2005: St. Petersburg. - 2005. - P. 61-66.

4. Довгань В.И. Сейсмометрические наблюдения на Токтогульской ГЭС: история и перспективы // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета.- 2006.-том 6, №3. — С. 48-54.

5. Довгань В.И. Проект системы сейсмомониторинга Токтогульской ГЭС // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета. - 2006. -Т. 6, №3. - С. 43-47.

6. Ормонбеков Т.О., Довгань В.И., Землянский А.А. Исследование деформируемой среды при динамическом нагружении с использованием цифрового метода контроля перемещений // Вестник Кыргызско-Российского Славянского университета, 2006. - Т. 6, № 1. - С. 132-142.

7. Ормонбеков Т.О., Довгань В.И., Землянский А.А. Фазовые зависимости динамики массивных конструкций // Известия НАН Кыргызской Республики. - 2006. - № 1. - С. 66-72.

8. Dovgan V.I., Rudaev Ya. I., Zemlyanskiy А.А. About one problem dynamic massive constructions// Abstract "Advance problem in Mechanics", (АРМ 2006): St.Petersburg. -2006. -P. 29

9. Довгань В.И., Рудаев Я.И., Землянский А.А. К моделированию индуцированной сейсмичности массивных конструкций // IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике: Нижний Новгород, 2006. - Т. З.-С. 35.

!

Подписано в печать 14.11.2006. Формат 60*84 '/1б Офсетная печать. Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 338.

Отпечатано в типографии КРСУ 720000, г. Бишкек, ул. Шопокова, 68

Введение.

I. Моделирование закономерностей деформирования бетона

1.1. Физические основы деформации бетона.

1.2. Модели деформационного поведения бетона.

1.3. Механическое уравнение состояния.

1.4. Об эволюции параметра повреждаемости.

1.5. Конкретизация кинетического уравнения.

1.6. Ползучесть массивных бетонных тел.

1.7. О ползучести при сложном напряженно-деформированном состоянии.

1.8. Анализ напряженно-деформированного состояния плотины.

II. Экспериментальное исследование геомеханических параметров плотины Токтогульского гидроузла

2.1. Система сейсмомониторинга плотины Токтогульской ГЭС.

2.2. Изготовление, монтаж и настройка системы сейсмомониторинга.

2.3. Постановка задачи определения динамических воздействий на плотину Токтогульского гидроузла.

2.4. Анализ динамических воздействий.

III. Динамическое моделирование кинематических закономерностей поведения массивных бетонных тел

3.1. Устойчивость динамических систем и хаос.

3.2. Фурье-анализ и амплитудно-частотные характеристики.

3.3. Нелинейная динамическая модель плотины Токтогульского гидроузла.

IV. Прогнозирование приращений перемещений массивных бетонных тел

4.1. Постановка задачи.

4.2. Алгоритм численной реализации способа прогнозирования.

4.3. Пофрагментарное прогнозирование по приращениям горизонтальных перемещений.

Выводы.

Для возведения гравитационных плотин массивного типа требуется значительный расход бетона. Но при определенных условиях створа и полной механизации укладки наиболее перспективной можно считать именно бетонную плотину. Доказательством может служить немалое число высоких плотин такого типа, построенных в разных странах, в том числе в районах высокой сейсмической активности.

Интенсификация масштабов инженерной деятельности человека способствует активизации сейсмических воздействий, наиболее часто имеющей место в окрестности водохранилищ, примыкающих к сооружениям гидростанций. Природа техногенной сейсмичности требует серьезного изучения, поскольку известны случаи, когда индуцированные землетрясения привели к разрушению конструкций, плотин и стали причиной человеческих жертв [1,2].

Зависимость индуцированных землетрясений от режима крупных водохранилищ при ГЭС является актуальнейшей проблемой. В США существуют национальные программы, в рамках которых занимаются указанной проблемой - Геологическая служба, Национальная океаническая служба, отдел водных ресурсов штата Калифорния и другие государственные службы.

В бывшем СССР [1,2] усиление сейсмической активности обусловилось возведением крупных гидроузлов и водохранилищ -Токтогульского, Нурекского и некоторых других. Естественным откликом на отмеченное явление становится необходимость организации и проведения систематических наблюдений за поведением сооружений вблизи водохранилищ в условиях индуцированной сейсмичности. Результаты указанных наблюдений, кроме выводов о состоянии сооружения, должны быть использованы и при проектировании и строительстве плотин и других ответственных инженерных конструкций.

Исследования последних десятилетий были посвящены вопросам упругой податливости плотин при определении сейсмического давления воды на напорную грань, а также совершенствованию методов определения частот и форм собственных колебаний для перехода на расчеты по спектральному методу линейной динамической теории сейсмостойкости.

В процессе расчета бетонной гравитационной плотины на сейсмическое воздействие можно выделить следующие задачи:

- определение сейсмических нагрузок от инерционных сил и от сейсмического давления воды на напорную грань;

- проверка устойчивости плотины на сдвиг по основанию;

- проверка прочности тела плотины.

Все перечисленные задачи решаются в предположении действия сейсмической инерционной нагрузки как вдоль, так и поперек каньона, включая вертикальное направление.

Не останавливаясь подробно на анализе приведенных задач, укажем, что учет сейсмического фактора при конструировании плотин заключается в повышении известных требований, которые обычно предъявляются к конструкциям гравитационных бетонных плотин [3, 4, 5].

При этом особое внимание уделяется:

- подготовке основания для повышения устойчивости плотины на сдвиг, включающей снятие выветренного слоя скалы, тщательную очистку поверхности основания перед бетонированием плотины; ступенчатую обработку сопряжения подошвы с основанием и цементацию последнего через слой уложенного бетона;

- мерам конструктивного и технологического характера, предотвращающих неблагоприятное влияние на прочность плотины температурных и усадочных усилий, в соответствие которым требуется правильное конструирование и тщательное заполнение швов и охлаждение бетона в процессе твердения, причем, как известно, швы превносят положительные свойства и становятся полезными для уменьшения влияния крутящих сейсмических усилий;

- мерам повышения деформационных и прочностных свойств бетонов на растяжение, включающих применение совершенной технологии приготовления, укладки и ухода за бетоном, а также минимизацию трещинообразования от температурно-усадочных явлений;

- предотвращению при концентрации высоких и знакопеременных во времени сейсмических напряжений, носящих циклический характер, очагов трещинообразования путем придания отверстиям плавного очертания и армирования бетона в зонах местных напряжений.

Остановимся подробно на индуцированной сейсмичности Токтогульского гидроузла.

Рис.1 Плотина токтогульской ГЭС.

Водохранилище Токтогульской ГЭС на реке Нарын относится к крупнейшим гидротехническим сооружениям мира. Высота напорной плотины ГЭС составляет 215 м, объем водохранилища - 20 км3. Очевидно, что расположение подробного гидротехнического сооружения в высокогорной и сейсмически активной зоне представляет потенциальную опасность для территории возможного затопления [1]. Поэтому ещё на стадии проектирования в районе будущего строительства Токтогульского гидроузла были осуществлены подробные геофизические наблюдения, включавшие, в том числе, изучение регионального сейсмического режима И

Проблема безопасной эксплуатации гидротехнических сооружений усугубляется наложением индуцированной сейсмичности. Систематические исследования явления возбужденной сейсмичности должны позволить оценить технические характеристики объекта.

С исследовательской точки зрения эффект индуцированной сейсмичности, возникающей вследствие инженерной деятельности человека, может рассматриваться как грандиозный эксперимент, поставленный в естественных условиях. Можно утверждать [1], что изучение этого явления представляет огромный научный интерес.

Одним из главных условий при проектировании Токтогульской ГЭС было обеспечение сейсмостойкости сооружения. Прочность и устойчивость плотины рассчитывались в проекте на воздействие землетрясений интенсивностью 10 баллов с ускорением 0,45 g (g - ускорение свободного падения). В то же время отдельные элементы конструкции, выход из строя которых не влечет катастрофических последствий, могут оказаться небезопасными при меньшей балльности, чем расчетная, а их влияние на сейсмическую реакцию основных элементов сооружения существенным. При этом наибольшая значимость связывается с оценкой класса землетрясений, реально влияющих на массив берегов и сочленения.

В 1946 году за 20 лет до начала строительства) в Токтогульском регионе произошло Чаткальское землетрясение с очагом в районе Таласо-Ферганского разлома. В створе нынешней Токтогульской плотины интенсивность сотрясений составила 8 баллов. Землетрясением были вызваны нарушения рельефа и обвалы, перекрывшие р. Нарын на 12 км выше створа. Однако заметных нарушений бортов каньона не установлено. Последнее свидетельствует об устойчивости этих бортов.

При Суусамырском землетрясении в 1992 году силой 9 баллов массивное обрушение склонов наблюдалось выше створа строящейся Камбаратинской ГЭС, завершившееся образованием завальных плотин. Эти плотины, необходимо заметить, просуществовали несколько часов, а затем были размыты.

Последствия перенесенных землетрясений до 1992 года на плотине Токтогульской ГЭС специально не исследовались, поскольку с начала строительства в 1964 г. до 1992 г. сильных землетрясений не отмечалось.

Анализ результатов натурных наблюдений на Токтогульской ГЭС за период 1964-1992 г.г. позволил заключить, что сейсмические воздействия не повлекли каких-либо вызывающих опасения повреждений в теле плотины. Данные контрольно-измерительной аппаратуры показали, что за эксплуатационный период сейсмическим событиям в плотинах отвечают упругие смещения.

Заметное влияние на напряженно-деформированное состояние плотины Токтогульского гидроузла оказало Суусамырское землетрясение (19.08.92). Вектор сейсмической нагрузки был направлен со стороны водохранилища нормально к оси створа. Интенсивность сотрясений здесь составила 7,6 . 7,8 балла. Землетрясение послужило организации всесторонних инструментальных наблюдений на Токтогульской ГЭС. Было осуществлено сопоставление показаний 270 приборов с данными предыдущих лет и предземлетрясения. Установлено, что наибольшие необратимые горизонтальные смещения составили на отм. 905 м - 1,2 мм, 785 - 0,32 мм. На отметках 780 - 825 м остаточные перемещения плотины были равны 0,4 .0,5 мм.

Интересно отметить, что после Суусамырского землетрясения наблюдалось некоторое закрытие деформационных швов в плотине, обусловленное их веерным расположением в плане и подтверждающую на практике высокую сейсмостойкость сооружения.

Обобщая сказанное, можно утверждать, что исследование деформационного поведения массивного тела (плотины) в условиях индуцированной сейсмичности целесообразно осуществлять с позиций анализа устойчивости динамических систем. Естественно, что такой подход приемлем как для обратимых, так и необратимых систем. Аппарат устойчивости динамических систем задействован не только в теории динамического хаоса [6], но и в синергетике [7]. Отметим лишь известное разделение областей приложения указанных методов. Оно основано на выделении двух классов динамических систем - консервативных и диссипативных. Диссипация характерна и для обратимых систем. Синергетика же изучает необратимый динамический хаос [8].

В предлагаемом исследовании формулируется модель деформационного поведения бетона при кратковременном нагружении в рамках синергетического подхода. Последний проявляется в том, что процесс деформации представляется как смена консервативного и диссипативного состояний на пределе упругости, а при переходе к запредельной ветви [9] осуществляется замена одного диссипативного состояния другим.

Показана приемлемость соотношений наследственной теории упругости к анализу современного напряженно-деформированного состояния плотины Токтогульского гидроузла.

Система сейсмомониторинга плотины была восстановлена к маю 2005 года. Установка современного измерительного и регистрирующего оборудования позволила получить и обработать большой массив опытных данных, в основу которых можно положить непосредственные измерения вертикальных и горизонтальных перемещений, а, следовательно, количественно оценить динамические воздействия.

С привлечением компьютерного моделирования реализовано исследование динамики плотины путем построения и анализа фазовых портретов. При известных приращениях перемещений с использованием Фурье-анализа устанавливаются зависимости амплитуд колебаний от частот.

В рамках разработанной модели рассмотрена задача прогнозирования деформационного поведения массивного объекта (тела плотины Токтогульского гидроузла).

Актуальность работы

Подавляющее большинство исследований в области сейсмостойкости гидротехнических сооружений, как правило, сосредоточено на разработке методов расчета объектов на сейсмические воздействия, и создание сейсмостойких конструкций. В то же время актуальной оказывается проблема безопасной эксплуатации гидротехнических сооружений, усугубляемая наложением индуцированной сейсмичности. Опыт наблюдений за поведением сооружений Токтогульского гидроузла (Кыргызская Республика) показывает, что ощутимые землетрясения происходят весьма редко и очень сложно при этом выделить последствия их воздействия из общих шумов, обусловленных техногенными причинами. В связи со сказанным, разработка новых подходов и методов мониторинга устойчивости природных и искусственных склонов с подземными и наземными сооружениями, являющимися бортами примыкания плотин и берегами водохранилища, становится очень важной. К этому добавляется задача организации комплекса инструментального контроля устойчивости склонов каньона гидроузла при сейсмических воздействиях, а также методов количественной оценки состояния плотины Токтогульской ГЭС и бортов ее примыкания. В решение указанной задачи как составная часть включается прогнозирование состояния плотины Токтогульского гидроузла с целью предотвращения катастрофических ситуаций. Обобщая изложенное, можно утверждать, что оценка текущего состояния и прогноз устойчивости плотины Токтогульского гидроузла с привлечением методов нелинейной динамики в соединении с вычислительным экспериментом относится к актуальным задачам.

Цель работы: Развитие теории неупругого деформирования бетона на синергетической основе, разработка и реализация методов нелинейной динамики к оценке текущего и прогнозного состояния плотины Токтогульского гидроузла, выполненной из бетона.

Задачи исследований:

- на основе известных экспериментальных данных по поведению сжимаемых образцов бетона сформулировать модель, устанавливающую связь между напряжениями и деформациями с учетом нисходящей ветви;

- показать приемлемость уравнений наследственной теории упругости для анализа напряженно-деформированного состояния бетонной плотины Токтогульского гидроузла; провести с использованием экспериментальной системы сейсмомониторинга замеры приращений горизонтальных (вдоль створа) и вертикальных перемещений;

- определить значения инерционных сил;

- сформулировать нелинейную динамическую модель плотины Токтогульского гидроузла, анализируя последовательность фазовых портретов и аттракторов с переходом к динамическому хаосу;

- поставить и реализовать задачу прогнозирования поведения тела плотины Токтогульского гидроузла по значениям приращений перемещений.

Методы исследований: Теоретические исследования проведены с использованием аппарата нелинейной динамики, включая теорию катастроф, и теорию динамического хаоса. Широко представлены технологии вычислительного эксперимента.

Метод выполнения экспериментальных работ состоит в оценке состояния плотины на принципах непрерывных синхронных фиксаций приращений перемещений.

На защиту выносится:

- модель деформационного поведения бетона при кратковременном нагружении, разработанная в рамках синергетического подхода;

- система сейсмомониторинга, осуществляющая в реальном времени синхронную запись приращений перемещений в теле плотины Токтогулького гидроузла;

- компьютерная модель динамики тела плотины, позволяющая анализировать колебательный процесс через эволюцию бифуркаций путем построения фазовых портретов вплоть до возникновения странных аттракторов;

- прогнозирование деформационного поведения массивного объекта (тела плотины Токтогульского гидроузла) с использованием средств вычислительного эксперимента.

Научная новизна:

В процессе проведения исследований получены новые научные результаты: теоретического характера:

- сформулирована с позиции синергетики модель деформационного поведения бетона в форме уравнения состояния, дополненного кинетическим уравнением для параметра несовершенства, обусловленного повреждаемостью.

- разработана нелинейная динамическая модель тела плотины Токтогульского гидроузла, позволяющая численными методами исследовать процесс от установившихся режимов до появления странных аттракторов;

- предложен и численно реализован метод прогнозирования поведения тела плотины Токтогульского гидроузла по приращениям перемещений, дающий удовлетворительное совпадение действительного и предсказываемого значений; прикладного характера: разработано экспериментальное обеспечение системы сейсмомониторинга;

- разработано программное обеспечение вычислительных процедур.

Практическую значимость работы составляют:

- разработанная модель деформационного поведения бетона, пригодная для применения в расчетной практике и описывающая запредельную ветвь диаграммы «напряжение-деформация»;

- разработка системы измерений и регистрации кинематических характеристик массивного бетонного тела (плотины Токтогульского гидроузла); методика исследования компьютерным моделированием динамических характеристик массивного бетонного тела (плотины Токтогульского гидроузла);

- разработка методики прогнозирования механического поведения массивных бетонных тел (плотины Токтогульского гидроузла).

Достоверность научных положений и выводов обеспечивается корректным применением методов математического и компьютерного моделирования, сопоставлением теоретических и опытных данных.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка использованных источников из 79 наименований. Работа содержит 138 страниц основного текста, включая 51 рисунков и 9 таблиц.

1. Разработана модель деформации бетона с учетом нисходяш,ей

ветви. Уравнение состояния получено минимизацией энергетической

функции, записанной с привлечением методов теории катастроф. Указанная

функция представляется суммой потенциальной составляюгцей и

возмущения,зависящего от параметра несовершенства. Ответственность за

структурную изменчивость возложен на параметр повреждаемости, который,

в свою очередь, связан с параметром несовершенства. Для параметра

повреждаемости, отождествляемого со степенью полноты фазового перехода,

предложено кинетическое уравнение, полученное на основе уравнения

Фоккера-Планка. Установлено удовлетворительное соответствие найденных

зависимостей между напряжениями и деформациями известным опытным

данным. 2. Показано, что в соответствие возрасту, бетонная плотина

Токтогульского гидроузла может моделироваться как наследственно-упругое

изотропное тело. 3. Разработана и внедрена система сейсмометрических наблюдений

для оценки физико-механического состояния тела нлотины на принципе

непрерывных синхронных записей приращений перемен],ений. Расчеты

показали, что пик прираш,ений инерционных сил приходится на середину

лета, когда интенсифицируются техногенные воздействия (пуски- остановы

гидроагрегатов и колебания уровня воды в водохранилиш:е).4. В рамках нелинейного динамического подхода предложена

модель тела плотины Токтогульского гидроузла, позволившая получить

эволюцию фазовых портретов от установившихся режимов до возникновения

хаотических состояний, математическими образами которых являются

странные аттракторы. 5. На основе динамической модели разработана методика

прогнозирования механического поведения тела плотины Токтогульского

гидроузла. При этом дискретные значения функций нриращений

перемещений аппроксимируются кубическим сплайном и разлагаются в ряд

Фурье, а экстраполяция коэффициентов Фурье осуществлена с привлечением

теории экстраполяции Теплицевыми формами. Получено

удовлетворительное соответствие прогнозируемых данных действительным.

1. Simpson D.W., Hamburger M.W., Pavlov V.D., et. al. Tectonics and seismicity of the Toktogul Reservoir region, Kirgizia, USSR journ. of Geoph. Res. 1981.- №81. v.

2. Федотов A. 0 сейсмическом цикле, возможности количественного сейсмического районирования и долгосрочном сейсмическом прогнозе Сейсмическое районирование СССР. 1

3. Cowan П. J. Inelastic deformation of concrete// Engineering.-1952.vol.l71.-№4518.-p.468-475. 0 деформативности бетона при сжатии/ К.Э. Таль// Исследование прочности, пластичности и ползучести строительных материалов.- М.: Госстройиздат. 1955. с.44-48. 133 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

4. Евграфов Г.О. О расчете мостов по предельным состояниям// Техника железных дорог.-1954.-№2.-с.22-

5. Исследование прочностных и деформационных свойств высокопрочных бетонов/Г.Н. Писанко// Исследование бетонных и железобетонных конструкций транспортных сооружений.- М.: Трансжелдорогиздат.-1960.-с.66-

6. Joshida Н. Leber das elastishe von Beton.- Berlin.-1930.-36p. Rochard F. Brandzaeg the failure of concrete.- Univ. of Illinois.-1929.№190.IV.-29p. Михайлов B.B. Элементы теории структуры бетона.- М.: Госстройиздат. 1941. 228 с. Берг О.Я. Физические основы теории прочности бетона и железобетона.- М.: Госстройиздат. 1961. 95 с. Hadley Н. When concrete becomes discrete// Civil Engenieering.-1950.v.20.-№4.-p.98-

7. Rusch H. Phisikasche Fragen der Beton prufung//Zement.-1959.- J4ol.-p.3

8. Применение ультразвукового импульсного метода для оценки структурно-механических характеристик бетонных и железобетонных конструкций при нагружении Г.Я. Почтовик, P.O. Красновский// Методика лабораторных исследований деформации и прочности бетона.- М.: Госстройиздат. 1962. с.267-

9. Прочность бетона при действии внецентренного динамического нагружения/ В.А. Рахманов// Длительные деформационные процессы в бетонных и железобетонных конструкциях.- М.: Госстройиздат. 1970. -с.55-

10. Адигамов Н.С., Рудаев Я.И. Уравнение состояния, учитывающее разуцрочнение материал а//ФТПРПИ.-1999.-Хо4.-с.236. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 134

11. Аналитическое представление диаграммы сжатия бетона/ М.Л. Зак, Ю.П. Гуща// Совершенствование методов расчета статически неопределимых бетонных конструкций.- М.: Госстройиздат. 1987. с.103-

12. Бондаренко В.Н., Бондаренко С В Инженерные методы нелинейной теории железобетона.- М.: Госстройиздат. 1982. 287 с. Байков В.Н., Горбанов СВ., Димитров З.А. Построение зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей// Известия вузов. Строительство и архитектура.-1977.№6.-с. 15-18. 135 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36.

13. Иващенко Ю.А., Лобанов А.Д. Исследование процесса разрушения бетона при разных скоростях деформирования// Бетон и железобетон.1984.-№11.-с.14-

14. Гуща Ю.Н., Лемыш Л.Л. Расчет деформаций конструкций на всех стадиях при кратковременном и длительном нагружениях Бетон и л<;елезобетон.-1985.-Яо11.-с.13-16. К построению обобщенной зависимисти для диаграмм деформирования бетона /Н.И. Карпенко// Строительные конструкции.Минск: 1983.-С. 164-

15. Исходные и трансформированные диаграммы бетона и арматуры/ Н.И. Карпенко, Т.А. Мухамадиев, А.И. Петров// Иапряженнодеформированное состояние бетонных и железобетонных конструкций.- М.: Госстройиздат. 1986. с. 7-

16. Соломенцов Т.Г. О закономерностях нродольного деформирования бетона при осевом сжатии//Бетон и железобетон.-1971.-№4.-с.2-

17. Ролов Б.П., Юркевич В.Э. Физика размытых фазовых переходов.Ростов: РГУ.-1983.-320 с. 136 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

18. Ржаницын А.Р. Основы теории ползучести.- М.: МИСИ.-1976.- 63 с. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Расчет строительных конструкций с учетом ползучести.- М.: Стройиндустрия.-1988.- 250 с. Volterra V. Fonctions de lignes, Cauthier- Villarq.-: Paris, 1

19. Заславский P.M. Статистическая необратимость в нелинейных системах.- М.: Наука.- 1970.- 143 с. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.М.: Мир.- 1984.- 528 с. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 137

20. Шустер Г. Детерминированный хаос. М Мир.-1988.- 240 с. Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики//ДАН СССР.- 1963.т. 153.-с. 1261-1

21. Ruelle D., Takens F. Of the nature of turbulence// Comm. Math. Phys.1971.-vol.20.-p. 167-

22. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodical flow// J. Atmosph. Sci.-1963.vol.20.-p. 88-

23. Mandelbrot B.B. Les objects fractals. Form, Hazard et Dimension.- P.: Flammarion.- 1975.-192 p. Будак B.M., Фомин СВ. Кратные интегралы и ряды.- М.: Наука.-1965.608 с. Арнольд В.И. Теория катастроф.- М.: Эдиториал УРСС- 2000.- 256 с. Grebogi С, Ott Е., Pelikan S., Yorke J.A. Strange attractors that are not chaotic// Phisic.-1984.- vol. D13.-p. 261-

24. Eckman J.-P., Ruelle D. Ergodic theory of chaotic and strange attractors// Rev. Mod. Phys.-1985.-vol. 57.- p. 617-