Определение напряженно-деформированного состояния упругого полупространства от произвольной нагрузки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Наумов Иван Васильевич

Определение напряженно-деформированного состояния упругого полупространства от произвольной нагрузки

01.02.04 Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2008г

2 1 0г!-{?пп

003458235

работа выполнена на кафедре механики и поцессов управления государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «санкт-петербургский государственный политехнический

университет»

доктор физико-математических наук, Научный руководитель: профессор

Пальмов Владимир Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Кривцов Антон Мирославович кандидат технических наук, Цейтлин Борис Вениаминович

Ведущая организация - Институт проблем машиноведения РАН г. Санкт-Петербург.

Защита состоится 11 февраля 2009 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.22905 при ГОУ ВОП «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» по адресу: 195251, Санкт- Петербург, Политехническая ул., 29, корп. 2, ауд 265.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ».

Автореферат разослан 2008 года

Ученый секретарь ----

диссертационного совета Д 212.229.05 ¿У^^ Воробьева Т.В.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Современные методы физико-математического моделирования основания под сооружениями могут учитывать различные свойства грунтов. Объем моделируемого основания под различными в плане сооружениями может быть относительно большим, но не бесконечным.

Вложенные в программы теоретические решения в расчете основания под сооружениями вызывают очень много вопросов. В какой степени математическая начинка программ соответствует строгому решению задачи и полевым экспериментальным наблюдениям? Сравнительный тестовый расчет упругого полупространства с хорошей программой по расчету ограниченного основания под фундаментами в СПб позволил выяснить существенную разницу по численным результатам. Вертикальные напряжения в сжатой части основания отличаются в некоторых точках до30%, на величину горизонтальных напряжений практически не как не сказывается форма площадки нагружения. Более существенное расхождение по горизонтальным напряжениям. Из-за отсутствия точной и глобальной картины напряженного состояния, ранее построенные дома начинают разрушаться, не только при производстве буронабивных свай, но при сносе старых домов. Не все в порядке с горизонтальными напряжениями и формуле Короткина В.Г. величина их большая уже у поверхности и не уменьшается по глубине. В основании под домами и за его пределами возникает напряженно-деформированное поле. Пересечение полей напряжений приводит к их взаимодействию. Буровые работы снижают горизонтальные сжимающие напряжения. Очень слабые грунты от этого теряют структурную прочность и превращаются в плывуны, а это приводит к необходимости откачки большого объема. грунтов в месте будущего строительства дома, что в свою очередь приводит к сползанию фундамента соседних сооружений вместе с массивом грунта под ними. Для определения опасных напряжений в месте строительства и предотвращения вышеуказанных последствий нужны новые физико-математические зависимости позволяющие, строить карту напряженно деформированного

состояния бесконечного основания под микрорайоном, городом или промышленно-энергетическим комплексом. Такие формулы получены.

Цель работы. Получение новых физико-математических зависимостей для определения напряженно деформированного состояния бесконечного изотропного упругого полупространства.

Методы исследования. Физико-математическое моделирование изотропного упругого полупространства.

Научную новизну работы составляет:

- Использование связи в решении Буссинеска с началам координат, в месте приложения сосредоточенной силы, и другой декартовой системой координат.

- Составление подынтегральных выражений напряжений и перемещений для прямоугольной площадки нагруженной равномерно распределенной нормальной и касательной нагрузкой.

- Получение формул в виде конечного интеграла (18 формул).

- Новые результаты расчетов упругого полупространства.

Практическая значимость работы. Полученные зависимости позволяют построить картину напряженного состояния однородного основания под любым сооружением на любой глубине под ним. Возможно построение карты напряженно деформированного состояния под любым по величине городом, промышленно энергетическим комплексом с учетом нагрузки на основание от всех возведенных сооружений.

Апробация работы. Начало работы было представлено на конференции в городе Нарва в 1987г.

Последующие работы были представлены на семинарах во ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева в 1985-1993гг и на инженерно-строительном факультете СПб ГПУ в 2005г.

Публикации. Основное содержание работ опубликовано в трех научных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 122

страницы текста. Объем диссертации составляет 120 страниц, из них 32 страницы занимает вывод формул, 8 страниц занимают 18 фундаментальных зависимостей. Работа содержит 35 рисунков, 27 графиков и 24 таблиц расчета упругого полупространства. Содержание работы Введение

В работе рассматриваются основные глобальные проблемы, возникающие при больших масштабах строительства. Затронуты проблемы, связанные со строительством больших городов и создания под ними напряженного деформированного поля.

В краткой форме указаны решения задач упругого полупространства другими авторами.

В главе 2 в параграфах 2.1, 2.2 уделено основное внимание поставленной цели и различным решениям других авторов.

Глава 3. Общее решение задачи теории упругости по определению напряжений и перемещений под произвольной площадкой нагружения от произвольной нагрузки.

3.2 Получение формул для определения составляющих напряжений и перемещений в произвольной точке полупространства от равномерно распределенной нагрузки по прямоугольной площадке.

Рассмотрим на плоскости упругого полупространства декартовую систему х, у, г с некоторой произвольной точкой О на оси т (см. Рис.1). Будем считать эту систему координат основной. В произвольной точке к границе полупространства приложим нормальную сосредоточенную силу. В точке приложения силы введем декартовую систему координат X, У, Ъ оси X, У, которой направлены во встречном направлении к основной системе координат. В этой системе координат X, У, Ъ точка О находящаяся на глубине т.=Ъ имеет одинаковые координаты и радиусы с точкой приложения силы в основной

системе координат т.е х=Х, у=У, К=т=^Х2 + У2 + г2 = ^¡х2 + у2 + г2. Следовательно, формулы Буссинеска составляющих напряжений и перемещений (см. 9.70 и 9.72 "Теория упругости" М.М. Филоненко - Бородич, М., 1947г) после введения в них координат х, у и г не изменятся.

яЕ

1-М2 | г2(1 + /у)

2 лЬ

(:*2+у%2+у2 + г2 УРТТТРУ

i

2лЕ

/+У2 (*2+/У?+7

&у

Рис.1 Основная система координат и декартовые координаты сил.

Пусть имеется вторая сила Р] приложенная в центре новой координатной системы, координаты рассмотренной произвольной точки О в полупространстве в этой системе координат будут X], У], Ъ\=ъ. Точка приложения силы Р] на глубине Ъ\=ъ имеет координаты Х1=Хь У1=У].

Перемещения и напряжения в произвольной точке О от воздействия двух сил,Р и Р| суммируются. Расчет напряжений и перемещений можно произвести и для любых других сил.

Пусть имеется произвольная четырехугольная площадка нагружения - Б с равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Перемещение произвольной точки на плоскости полупространства будет зависеть от формы, размеров и относительного положения точки на площадке. Разобьем всю площадь Б на элементарные площадки со сторонами Дх и Ду, нагрузку на каждую элементарную площадку нагружения представим в виде сосредоточенной силы со своей системой координат. Сосредоточенная сила от каждой площадки со своими координатами X; и увеличивает долю вертикального перемещения произвольной точки О полупространства. Причем оси X; и У) каждой элементарной площадки направлены в противоположном направлении к осям х и у основной системы координат. Суммарное

номер элементарной площадки нагружения.

Остается отметить, что записанная здесь сумма представляет собой сумму Римана некоторого интеграла, к которому стремится эта сумма. Переходя к

Напоминаю, что интегрирование в этой формуле ведется по всей площадке нагружения Б.

Получим формулы для прямоугольной площадки нагружения см. (рис.2) где введены другие обозначения координатных осей (X, У, Т).

Для поставленной задачи из решений Буссинеска нужно получить формулы для произвольной прямоугольной площадки от нормальной равномерно распределенной нагрузки.

Допускаем существование бесконечного множества декартовых систем координат на плоскости упругого полупространства, причем ось X параллельна

вертикальное перемещение при г=0 равно

пределу при Дх,Ду ->0 получим

сторонам АЭ и ВС (см. Рис.2). В решении Буссинеска составляющие напряжений и перемещений зависят от положения точки в упругом полупространстве и сила приложена в центре декартовой системы координат. В данном случае система координат находится в произвольной точке на плоскости упругого полупространства, а сама же произвольная точка упругого полупространства находится на оси Ъ.

Для решения задачи стороны АБ и ВС площадки нагружения представим линейными уравнениями. Эти функции будут нижними и верхними пределами интегрирования по У. Одновременно эти линейные функции определяют положение произвольной точки О начала координат по оси У и размеры площадки нагружения по У. Продлив линейные функции сторон АО и ВС до пересечения с осью У, нагрузим всю площадку АВГЬ равномерно распределенной нагрузкой. Предположительно вычисляем составляющие напряжений и перемещений. Далее используя принцип независимости действия сил, приложим к площадке ОСБЬ равномерно распределенную нагрузку противоположного направления (-Р). Это позволит определить пределы интегрирования по оси X и положение начала координат по оси X. Верхними и нижними пределами интегрирования по оси У будут уравнения у = У2 и у = У] а по оси X соответственно, х=Х| и х=Х2

При сложной нагрузке площадку нагружения можно разбить на маленькие в пределах, которых нагрузку можно считать равномерно распределенной.

Для более упрощенного варианта ввода исходных данных в программу расчета можно воспользоваться закрепленной системой координат с центром в точке 00 и ввести следующие обозначения; Х2: =Хо2,-Хо!, Хц =Х0ц -Х„„ Уи = Уо]гУоЬ У2! =У021 -Уы. Где \ - номера точек где определяются напряжения и перемещения.

Интегралы перемещений от равномерно распределенной нагрузки после преобразований.

Yo

y

yo2 y2 с r

f

Yoi y, a

l d

Y. 0 x2 x, x

o„ xq xo2 xoi x0 -►

Рис 2

жЕ

У, X, 11

1-м2 | г2(1 + л)

2г

\hdy-,

АХ =

ДГ =

2я£

2я£ Л-1

(1-2л) (1-2//)

х г

Интегралы напряжений.

г *

Р

2 лгь

Г2Х,

' 2л ' '

г,х, Г, X

г2 + ге - г2 х2(2г-г)

1 г

г1 +Г2- г1 у2 (2г - г)

Уу' I г

'I Л2 I.

Г.

Р ( ( уг ~2л

г3 (г-г) г3(г-г)2_ ,т>(2г - г)

<Ыу\

У

■йхйу,

11 ^г**

1". ЛГ,

п 2

Где Р- равномерно распределенная нагрузка.

Ниже приводятся результаты интегрирования по формулам для; дг, Ъъ, Хх, Уу.

Д2 = —— | |

г 2г ^

11 Г1—-^ = (Г!"^, + №+у2+ г2)- 1пГлГ2 + ]ф> =

Vх +>' +2 ^

'3 1

'I 17

У2^

^(Х,+^Х2+у2 + г2 УХ2+У2+22 1(Х2+^Х22+у2 + 12^Х2+У2+22

*ï'

^ "2( Jx22 + y2 + z2-X2 )dy _ J X^yjxl + Yl + Z2) ( X) + JX2+Y,2+Z

-Kin

{(y2+z2Hx2+y2+z2 ) 2 {x2+^x2+y2 + z2J 1 (x2 + Jx?7y?7z2/

+ X, In

Yi+JX2 + Y2+z2) 2 (Y^JX'+Y,2

+ 2

z( arctg-

,—----arctg-

^X22+Y2+z2 z-

YtX2

^X2+Y2+Z2

- arctg-

-,— ---- + arctg —, -

Jx2+Y22 + z2 z^X2 + Y2 + z2

YA

)1(0

r, л-,

Í J // . . = J

' 2 fl

'J(x2+y2+z2 У X,

{y2 + z%2+y2+z2 'X,

X

\ {y2+z2\¡X?+y2 + z2 {y2+z2l¡X2+y2

]f¡y = I -arctg—, ^

* z\IX2 + y2 +z2

yX2

i Y, 1

--arctg—, — — = -arctg-

ад i

1 ад, 1 .км

-arctg—, .- = + -arctg— — - 2

Y,X,

—arctg-

№ YtXt

i- I CUVlgI ■ ---

zjX22+ Y2+z2 z z^X2+Y2

;(2)

AZ = -4[(l-/rl 1"

лЕ

xx + 4xx 2+Y2+Z2

Kin

x2 + ^X2 + y2+z2 J ' [^2 + ^22+í;2+Z

x,+^x2 + y2 + z2

Y2 + + r22 + Z2 ) ^ + ^ + Y2 + Z2 4

Y,+^X2+Y2+Z2 ) 2 [Y^Jx'+Yf + Z

+ arctg

—, + arctg—, -дчб—.

Z^X2+Y2+Z2 Z^X2 + Y2+Z2 Z^JX2 + Y2+Z2

y,x2

- arctg-

+ 2[-arctg i= 1

Z^X2 + Y2+Z2 ]]+

z0+>")r . ад.

+ arctg 21 -arctg j=

2 z^x2+y2+z2 z^x2+y2 + z

-arctg

Г,*,

,-+ arctg- —--

Z^X2 + K22 + Z2 ZVX22 + i? + z

№

z. =

3 P

х^хЦх? + z2)+iy}\ x,z(r22- 3zz) i

--?-. , -г--- . -t--arctg—¡=

X,y2

2 + K2 + z2

x2z[3(x22 + z2)+2r2zj___ZAT;(r/-3Z2)____

буДл'/ + z2+ к,2+z2 6y2(y22 + z2\¡x22+y2 + z2 3 z^jxj+yf+z2

1

--arctg-

х^-зг2)

6YÁX,

1

i ■ '—ч , ' ----ч , ■ ---arctg—=====

\х2 +z2}¡x2 + y2 +z2 бщ2 + г2У]х2+у2 + г2 з z^,2 + i^2+z2

ад

ZY2(>f-3Z2)

X-,zb(x22 +•Z2)+■ 2K2! ZY2(K2-3Z2) 1

—, - L r 7 ' J r + —--2\', ' = +-arctg—=====

6Yt(x22+z2l¡x22 + Y2+z2 бф2+г2Ух2+у2+г2 з z^x22+y2 + z2

XX

2к

arctg

-arctg

arctg-

Zyjx^+Y'+Z2 Zy¡X^+Y2+Z2 Z^X2 + Y2+Z

+ arctg-

___x,y2z(jr,2 + K,2+2z2)

:Jxï+YÎ+Z2 (x2+z2lY2+z2yx2+Y2+z2

X2Y2z(x22 + Y2 + 2Z2

{X22+z2IY2>+Z2IIX22 + Y¡7?

x^z{x2 +Y2 + 2Z2)___z (x,2 + r¡2+2Z2)

{x2+z2Iy2+Z2\¡X2 + Y2+Z2 IX22+Z2IY2 + Z2)JX22+Y2+Z2

-(1-2//)

A-,

-arctg—¡-+arctg—+

I-, 1-,

X.

arcíg —L - arctg —- -

arctg

- arctg-

X,Y2

i--i-

Z^ + y22 + Z2 Z^X,2 + y22 + z

+ arctg

arctg-

i- i-

Z^' + ^+Z2 Zs]X22+Y2+Z

)ч

arctg

-arctg

—. ——- + arctg ==—----———-

y2A/X,2 + У22 + Z2 Î^V^.2 +Y,2 + Z2 Y^X2 +Y2+Z

X.Z

- arctg-

Y2^X22+Y2+Z

xnz

) ] \(vm)

у.. = -

+ агс^

ап^

Х,У,

- -згс1§—^—-- —— «хч,15—--=-

х2 + У22 +2г 24х22+у2+22 г4х?+у?+г

Х2У,___Х^Х,2 +У22 +2'/2 )

Х2У2 XX —--агс^— 1 ' = +

г^х' + у' + г2 (х,2 + ^у2+г2 ^х^ + у'+г2 х2у2г{х22+у2 + 222 ) | + у?+2гг )

(х' + г2 {у? + г2 ]4х22 + у2 + г2 (х?+22 ^у2 + 22 ЦХ^+У2

Х2У^{Х2 + У2 + 222 )

-(1-2ц

У У

+ ап^я— + атс1е—-

-ап^-

-ак^

ап^

.-- - ап^ -- , --

г^х2 +у2+г2 г-^х2 + У2 + г2 г^х2 + у2 + г

+ аг<^-

-- , , агс^- .—--—==-

г4х2-+у2 + г2 [ х^х^ + у^+г2 х^хх+у2+г2

У,2

- агс1§-

2\\

2У2 2У, +агс!§-, - ап^-1

> I—2-;---«""б / =

х^х^ + у^ + г2 Х24Х2+У2 + 22

Получение формул от равномерно распределенной касательной нагрузки по прямоугольной площадке нагружения.

В данном разделе получены формулы для определения напряжений и перемещений упругого полупространства от равномерно распределенной касательной нагрузки направленной параллельно оси - X. Решение и методика составления интегралов описаны в параграфе 3.2. Полученные формулы громоздки и по этой причине не приведены. В параграфе 2.3 получены формулы для определения вертикальных перемещений под трапецеидальной площадкой нагружения от равномерно распределенной и линейной нагрузки.

По полученным выше формулам можно определить составляющие напряжений и перемещений, от нагружения любой площадки произвольной нагрузкой. Для этого достаточно всю площадку разбить на не большие, в пределах, которых, нагрузку можно разложить на равномерно распределенную нормальную и касательную.

3.4 Примеры расчетов упругого полупространства

Для проектирования сооружений очень важно иметь представление объемной картины напряженного состояния бесконечного основания.

Рассмотрим простой тестовый расчет осадки скального упругого полупространства. - Площадь нагружения 21 * 14км (примерная площадь Санкт-Петербурга), модуль упругости Е=200000 т/м2 (реальный модуль под арочной плотиной), коэффициент Пуассона равен 0,2. При действии равномерно распределенной нагрузки 5т/м2, центр площадки нагружения при опустится на 0,45м.

В центре под большой площадкой нагружения наблюдаются вертикальные и горизонтальные напряжения даже на большой глубине. Так при г=200м, =-5,078т/м2, Хх=-0,014т/м\ Уу =-0,72т/м\ г=2000м, Ъг = -5,64 т/м2, Хх =0,84 т/м2, Уу =0,35 т/м2. Ъ =20000м, Хг= -1,76 т/м2, Хх =0,76 т/м2, Уу =0,75 т/м2.

Глобальные масштабы нагружения приводят к включению в работу больших объемов основания под нагрузкой. Для расчетов формулы введены в компьютер.

3.5 Анализ расчетов по вертикальным составляющим напряжений.

Произведен расчет прямоугольной площадки нагружения 20* 100м. от равномерно распределенной нагрузки 20 т/м2 (см. график на рис 3). Масштаб для наглядности на рисунках только по вертикали (1дел =5т/м2).

Сравнение численных результатов вертикальных напряжений производилось по измененной формуле В.Г Короткина, которая приведена в учебнике В.А.Флорина (см.11). К сожалению, в диссертационной работе В.Г. Короткина нет математической выкладки получения формул и примеров расчета, поэтому трудно делать какие-то выводы, особенно по горизонтальным напряжениям. В решении он использовал гармоническую функцию Галеркина -Р{\-2*)~

2л-

г!п^ + ^х2+у2+22 + У2 +гГ]

С2

В решении Буссинеска эта функция равна - со = -у.

г

Второе отличие в том, что определение составляющих напряжений и перемещений он получил не интегрированием, а более длинным и сложным решением с использованием работ других авторов.

В представленном мной решении, после составления интегралов подынтегральные функции удается привести к хорошо известным табличным интегралам.

Вертикальные напряжения в центре под площадкой первоначально возрастают до -24,04т/м2 на глубине 6м, что практически не наблюдается в решении с использованием формулы В.Г. Короткина.

По формуле Короткина В.Г. величина его равна -20,16 т/м2.

При движении точки вдоль оси X от центра площадки нагружения величина напряжений уменьшается. Причем более существенное уменьшение величин напряжений наблюдается при возрастании Ъ более 6м.

Увеличение сторон площадки нагружения на порядок приводит к увеличению слоя полупространства с большими напряжениями и максимальное по величине значение -24,04 т/м2 достигается при Z=60м. Это соответствует опусканию зоны вертикальных напряжений на порядок.

За пределами площадки нагружения у плоскости упругого полупространства вертикальные напряжения возрастают от нулевых значений до определенной величины, зависящей от положения точки в упругом

полупространстве, формы и размеров площадки нагружения (см. таблицу 1, и рис.4). Изменение горизонтальных напряжений более сложное.

Рис.3 Напряжения в центре площадки нагружения.

№точки ъ 7л. Ттж Хх Уу

1 -0,1 -0,03495185 0,00018501 3,622194325 -3,789345314

2 -1 -0,377148284 -0,028334047 2,53239191 -4,113048803

3 -6 -3,781003434 -2,099349658 0,788854279 -2,791659443

4 -10 -5,472055839 -3,388355674 1,353491792 -1,042561999

5 -20 -5,531640787 -3,610536162 1,698793181 0,56978574

6 -30 -4,529840871 -3,012042005 1,480214448 0,842582713

7 -40 -3,692858831 -2,490003763 1,25102611 0,856265877

8 -50 -3,062810722 -2,090770964 1,069378433 0,810899678

9 -60 -2,583304022 -1,783246797 0,92756833 0,751621413

10 -70 -2,208900615 -1,540229306 0,814122424 0,690761754

11 -80 -1,909521988 -1,343484369 0,720843969 0,632247279

12 -90 -1,665467959 -1,181093066 0,642428964 0,577483077

13 -100 -1,463475011 -1,045069978 0,575444265 0,526972853

Таблица 1. Координаты точки за площадкой: У1=-10м, У2=10м, Х|=100.5м,

Х2=0,5м.

Рис.4 Напряжения за пределами площадки нагружения.

3.6 Анализ горизонтальных составляющих напряжения.

Величина составляющих горизонтальных и вертикальных напряжений зависит не только от положения точки в упругом полупространстве, но и от формы и размеров площадки нагружения. В отличие от вертикальных напряжений на величину горизонтальных сжимающих и растягивающих напряжений огромное влияние оказывает форма площадки нагружения. В центре под площадкой (20* 100м) в направлении длинной стороны ее наблюдаются возрастающие растягивающие напряжения Хх до глубины 5м. По мере движения расчетной точки в глубину полупространства напряжения уменьшаются до нулевых значений.

За пределами площадки нагружения наибольшая величина напряжений наблюдается у поверхности, где вертикальные напряжения близки к нулю. Увеличение величины Z в этих формулах вызывает быстрый переход от сжимающих к растягивающим напряжениям. Так при площадке (100*100м.) сжимающие напряжения в центре под площадкой действуют в пределах 10м., далее на достаточно большую глубину наблюдается растягивающие напряжения.

Результаты тестовых расчетов по современным программам и формулам Короткина, показали почти нулевое влияние формы площадки нагружения на величину горизонтальных напряжений.

3.7 Анализ вертикальных перемещений.

Вертикальные перемещения в центре под площадкой с глубиной уменьшаются по величине. При движении точки в горизонтальном направлении за пределами площадки нагружения величина перемещений уменьшается более интенсивно. Величины горизонтальных перемещений значительно меньше вертикальных перемещений. Величина вертикальных перемещений зависит не только от формы, размеров площадки нагружения и коэффициента Пуассона, но в решающей степени от модуля упругости полупространства. Пример расчета перемещений в центре площадки нагруженной равномерно распределенной нагрузкой 20т/м2 со сторонами 100*100м по глубине приведен в таблице 3 (У,=-50м, У2 =50м, А'2 =-5Ом, Хх =5Ом, обозначения в диссертации - а2 а.у = Эх, ду=Бу).

г лг дХ ДУ

-0,01 -0,1077778 0 0,000

-100 -0,0427546 0 0

-200 -0,0233788 0 0

-300 -0,0158833 0 0

-400 -0,0119941 0 0

-500 -0,009626 0 0

-600 -0,0080357 0 0

-700 -0,0068951 0 0

-800 -0,0060373 0 0

-900 -0,005369 6.3643Е-19 6,364Е-19

-1000 -0,0048338 0 0

Таблица 3 Вертикальные и горизонтальные перемещения

Рис.5 Вертикальные и горизонтальные перемещения центра площадки нагружения. Масштаб по вертикали- 1 дел.=0,02м.

3.8 Общая картина напряженного состояния бесконечного основания.

При малых значениях г за пределами площадки нагружения наблюдаются зоны небольших по величине вертикальных напряжений, направление которых противоположное направлению приложенной нагрузки. По формулам, полученным с использованием гармонической функции Буссинеска в виде конечных интегралов, в центре под площадкой нагружения до определенной глубины наблюдается рост вертикальных напряжений, далее уменьшение. В расчете по формулам В.Г Короткина рост напряжений незначителен.

Если представить картину объемного напряженного состояния упругого полупространства от некоторой площадки нагружения, увеличение периметра площадки на порядок соответствует увеличению этой картинки на порядок.

Основной недостаток современных программ расчета основания под сооружениями это ограниченный объем моделируемого основания, небольшие величины вертикальных напряжений под площадкой нагружения и отсутствие влияние формы площадки нагружения на величину сжимающих и растягивающих горизонтальных напряжений. Под квадратной площадкой нагружения первоначально возникает объем всесторонне сжатой части

основания, далее под ним формируется основание с вертикальными сжимающими и горизонтальными растягивающими напряжениями.

При большой площади и плотности застройки расчеты ограниченного объема основания становятся не объективными, если не учитывать работу основания между домами. Суммарные горизонтальные сжимающие напряжения могут быть такими большими, что буровые работы, уменьшающие их, приведут к нарушению структурной прочности грунта и последующей подвижке их под соседними домами вместе с фундаментом в сторону буровых работ. Сами работы по бурению превратятся в откачку пульпы.

3.10 Расчет от касательной нагрузки направленной параллельно оси X.

В расчете площадка нагружения 20* 100м., модуль упругости принят равным 9000т/м2, коэффициент Пуассона равен 0,3 и равномерно распределенная нагрузка 20т/м2, параллельна длинной стороне площадки.

Первоначально начало системы координат на плоскости полупространства перемещается вдоль осевой линии площадки нагружения параллельно длинной стороне от центра к краю. Горизонтальные перемещения уменьшаются при движении начала координат к краю площадки и при движении точки в глубину полупространства см. Рис.6. Масштаб 1дел.=0,02м.

Концентрация главных (1., X,, Уу) напряжений наблюдается ближе к краю площадки нагружения. Эти напряжения возрастают от нулевых значений в средине до максимальных значений на короткой стороне площадки см.рис8. Напряжения и тх, с глубиной уменьшаются см. таблицу 3.

ъ АХ X, г, г

од 0,11 0 0 0 29,46 -9,94

10 0,08 0 0 0 25,16 -4,64

20 0,06 0 0 0 19,68 -2,33

30 0,05 0 0 0 15,78 -1,27

40 0,04 0 0 0 13,04 -0,73

50 0,04 0 0 0 11,05 -0,44

60 0,03 0 0 0 9,55 -0,27

70 0,03 0 0 0 8,39 -0,18

80 0,02 0 0 0 7,47 -0,12

90 0,02 0 0 0 6,72 -0,08

100 0,02 0 0 0 6,1 -0,06

Таблица 3 Перемещение и напряжения. У;—10м, У2=10м, Х|=50м, Х2=-50м.

Рис.6 Горизонтальные перемещения от касательной нагрузки. Ох=ДХ, 02=

Рис.7 Касательные напряжения. Тху=тх>,

г дх лг <т2

0,1 0,07 0,01 -0,1 -40 21 19,67 -9,34

10 0,06 0,01 -4,4 -8,1 5,8 17,29 -2,46

20 0,04 0,02 -2,8 -3,2 2,8 14,26 -1,38

30 0,04 0,02 -2 -1,2 1,7 12,04 -0,89

40 0,03 0,02 -1,5 -0 1Д 10,41 -0,62

50 0,03 0,02 -1,1 0,7 0,8 9,15 -0,45

60 0,03 0,02 -0,9 1,3 0,6 8,15 -0,33

70 0,02 0,02 -0,7 1,8 0,4 7,34 -0,25

80 0,02 0,02 -0,6 2,3 0,3 6,66 -0,19

90 0,02 0,02 -0,5 2,6 0,3 6,09 -0,14

100 0,02 0,02 -0,4 3 0,2 5,61 -0,11

Таблица 4 Перемещений и напряжений ¥1=-10м, У2=10м, Х]=99м, Х2=-1м.

Рис.8 Напряжения от касательной нагрузки. 2,, Х(=Х,,У1=У>,

3.11 Расчет напряжений под произвольной площадкой нагружения.

На рисунке 9 приведена сложная тестовая площадка нагружения с равномерно распределенной нагрузкой Р=20т/м2. Стороны площадок нагружения параллельны осям X и У. Таблица вертикальных и горизонтальных напряжений при нахождении начала координат в точке (а) на плоскости упругого полупространства, на глубине ОДм приведена ниже. Сложная площадка нагружения разбита на семь площадок (номера площадок в первом столбике). Каждая площадка нагружения вносит свою долю в изменение

напряженного состояния. Чем ближе площадка нагружения к точке определения напряжений, тем больше влияние на горизонтальные напряжения. Ниже приведены графики распределения главных напряжений по сечениям

А-А и В-В.

№ Y1 Y2 Х2 XI Zz Хх Yy

1 -50 50 15 -15 -20,0175 -40.23 -32.95

2 -15 15 45 15 -0,0103 1,1073 -1,1754

3 -20 20 75 45 0,0005 -0,27 0,27

4 -15 15 105 75 -0,0004 0,1360 -0,1378

5 -20 20 135 105 0.0002 0,152 -0,153

6 -15 15 155 135 -0,0001 0,0349 -0,0351

7 -50 50 185 155 -0,0002 0.1182 -0,1191

s Е -20,035 -37,4 -35,88

Таблица 5 Напряжения в точке а.

Линии напряжений по сечению А-А. По горизонтали номепа точек в

прямоугольниках рисунка площадки нагружения.

Линии напряжений по сечению В-В

А

Рис.9

Заключение

Получены формулы для определения составляющих напряжений и перемещений от действия на прямоугольную площадку равномерно распределенной нормальной и касательной нагрузок, которые позволяют считать составляющие напряжений перемещений упругого полупространства от нагружения произвольной площадки любой нагрузкой.

Впервые возможно получение полной глобальной картины напряженно -деформированного состояния основания под комплексом сооружений.

Результаты выносимые на защиту.

1. Использована связь в решении Буссинеска с началом координат, в месте приложения сосредоточенной силы, и другой произвольной декартовой системой координат для некоторой точки.

2. Составление подынтегральных выражений напряжений и перемещений для прямоугольной площадки, нагруженной равномерно распределенной нормальной и касательной нагрузками.

3. Получение (18) фундаментальных формул в виде конечного интеграла.

4. Получены формулы для определения вертикальных перемещений от

нагружения трапецеидальной площадки равномерно распределенной

нормальной и линейной нагрузкой (3 формулы).

5. Представлены новые результаты расчетов составляющих напряжений

и перемещений точек упругого полупространства.

Публикации автора по теме диссертации. Наумов И.В. Анализ перемещений устоя и арочной плотины Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. //ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ Ленинград 1987.- С.67.

Наумов И.В. Определение осадок устоя арочной плотины с трапецеидальной формой основания //ИЗВЕСТИЯ ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева Сборник научных трудов // ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ Ленинград 1984,- №171.- С.103-108. Наумов И.В. Упругое полупространство //НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЕ ВЕДОМОСТИ СПбГТУ 2005.-№7.- С. 84-93.

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 27.11.2008 Формат 60x84/16 Усл. печ. л. 1,75. Уч.-изд л 1,75. Тираж 100. Заказ 224.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29

Введение.

Глава 1. Наблюдения за реальными объектами и экспериментальные исследования физических хрупких моделей.

1.1 Наблюдения за грунтами в период жилищного строительства в Ленинграде с 1970-1976 гг.

1.2 Модельные исследования бетонных гравитационных, арочных, арочпо-гравитационных плотин, атомных электростанций, образцов материала основания и сооружений.

Глава 2. Общее решение задачи теории упругости по определению напряжений и перемещений под произвольной площадкой нагружения от произвольной нагрузки.

2.1 Основные моменты в решении Короткина В.Г.

2.2 Получение формул для определения составляющих напряжений и перемещений в произвольной точке полупространства от равномерно распределенной нагрузки по прямоугольной площадке нагружения.

2.3 Получение формул от равномерно распределенной касательной нагрузки по прямоугольной площадке нагружения.

Глава 3. Начало работ по решению задачи упругого полупространства

3.1 Обзор научных работ по определению перемещений точек плоскости упругого полупространства от различных площадок нагружения.

3.2 Задача по подбору устоя арочной плотины.

3.3 Решение задачи по определению перемещения трапецеидальной площадки от моментной нагрузки.

3.4 Анализ перемещений устоя и арочной плотины.

3.5 Примеры расчетов упругого полупространства.

3.6 Анализ расчетов по вертикальным составляющим напряжений.

3.7 Анализ горизонтальных составляющих напряжения.

3.8 Анализ вертикальных перемещений.

3.9 Общая картина напряженного состояния бесконечного основания.

3.10 Рекомендации к составлению программы.

3.11 Расчет от касательной нагрузки направленной параллельно оси X.

3.12 Расчет произвольной площадки нагружения.

3.13 Расчет напряжений под третьим учебным корпусом в СПбГПУ.

Глобальные масштабы строительства промышленных, энергетических и гражданских сооружений создают под этими сооружениями глобальные объемы напряженного состояния основания. Все сооружения оказывают существенное взаимное влияние через основание на прочность и надежность. Под каждым построенным домом создается поле напряженно-деформированного состояния основания. Чем больше по занимаемой площади сооружение, тем больше объем основания включается в работу под сооружением. Когда эти поля напряжений пересекаются, происходит изменение напряжений и перемещений. При уплотнительной застройке городов на очень слабых грунтах важно знать, не превышают ли суммарные напряжения от нескольких домов их предельную прочность. Современные методы расчета ограниченного объема основания под сооружениями не в состоянии построить полную, глобальную картину напряженного состояния основания под сооружениями. При проектировании гидротехнических сооружений в настоящий момент не учитывается огромное давление воды на ложе водохранилища большой протяженности. Для Сая-но-Шушинской плотины протяженность водохранилища, влияющая на осадку основания под плотиной, составила 5км. Это давление воды вызывало дополнительное перемещение основания под плотиной, что значительно ухудшило его проектное напряженное состояние. Большие площади строительства городов вызывают существенную осадку гранитной плиты не только под самим городом, но и более 6км за его пределами. Сравнительные расчеты по современным программам численного расчета ограниченного объема основания под сооружениями отличаются по результатам от объемной задачи. Человечество строя большие города и гидроэнергетические сооружения в глобальных масштабах воздействует на земную кору, вызывая осадки городов и повышая сейсмичность в районе строительства гидротехнических комплексов.

Из теоретических решений по определению перемещений точек плоскости упругого полупространства от нагружения различных площадок нагружения равномерно распределенной нормальной и моментной нагрузками, можно привезти примеры научных работ только трех авторов. Ф Фогтом получены формулы для определения перемещений угловых точек произвольной прямоугольной площадки нагружения от нормальной равномерно распределенной и моментной нагрузки. Жемочкиным Б.Н получена формула для определения перемещения точек, находящихся на оси X от нагружения прямоугольной площадки равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Буссинеском решение получено для круглой площадки. Для определения перемещения под трапецеидальной площадкой, формул нет.

В.Г.Короткиным получены зависимости для определения составляющих напряжений и перемещений упругого полупространства от нагружения произвольной прямоугольной площадки равномерно распределенной нормальной нагрузкой. Однако это решение не является прямым продолжением решения Буссинеска. В его решении была использована другая гармоническая функция. И оно было получено с использованием системы дифференциальных уравнений. По этой причине получаются совершенно разные формулы, и результаты существенно отличаются по горизонтальным напряжениям. Формула составляющей вертикальных напряжений из диссертационной работы В.Г.Короткина изменена и введена в СНиП. Сравнение результатов расчета по вертикальным напряжениям показывает отличие в центре под площадкой нагружения, и за его пределами. Продолжения работ Черрутти пока нет.

Первоначально цель поставленной задачи была - определение перемещений основания под устоем арочной плотины от моментной нагрузки. Далее это оказалось применимым для общего решения задачи теории упругости для полупространства. Буссинеском и Черрутти получено решение задачи полупространства от нормальной и касательной сосредоточенной силы. Нужно было продолжить это решение и получить зависимости для определения составляющих напряжений и перемещений для произвольной прямоугольной площадки от равномерно распределенной нормальной и касательной нагрузки, для произвольной точки полупространства. А это в свою очередь позволяет решить общую задачу - определение составляющих перемещений и напряжений от на-гружения произвольной площадки произвольной нагрузкой.

Решение нужно было получить без малейшего изменения и добавления в работы Буссинеска и Черругги. Формулы должны быть в виде конечных интегралов. Решение становится единственным, если будет выполнено в виде конечного интеграла. Полученные фундаментальные зависимости позволят решать не только практические задачи составления объемной картины напряженного состояния основания под одним сооружением, а так же вопросы глобального воздействия человека на земную кору. В частности составление карты напряженно деформированного состояния основания под промышленным, энергетическим комплексом и под любым по величине городом. Становится возможным проверка соответствия современных программ расчета основания строгому решению объемной задаче теории упругости и контроль сбоя в программах.

Заключение

Последовательная логическая цепочка рассуждений, изложенная в параграфе 3.2, позволила выяснить неизменность формул Буссинеска и Черрути в координатной системе произвольной точки (оси х и у которых направлены во встречном направлении). В подынтегральном выражении функции, полученные Буссинеском и Черрути, вводятся без изменений. Получены формулы для определения составляющих напряжений и перемещений от действия на прямоугольную площадку равномерно распределенной нормальной и касательной нагрузок.

Полученные формулы позволяют считать составляющие напряжений перемещений упругого полупространства от нагружения произвольной площадки любой нагрузкой.

Расчеты показали наличие зон с небольшими растягивающими напряжениями под сжатым объемом основания.

Впервые возможно получение полной глобальной картины напряженно -деформированного состояния основания под комплексом сооружений.

Результаты выносимые на защиту:

1. Использована связь в решении Буссинеска с начал] м координат, в месте приложения сосредоточенной силы, и другой произвольной декартовой системой координат для некоторой точки.

2. Составление подынтегральных выражений напряжений и перемещений для прямоугольной площадки, нагруженной равномерно распределенной нормальной и касательной нагрузками.

3. Получение (18) фундаментальных формул в виде конечного интеграла.

4. Получение формул для определения напряжений и перемещений от нагружения трапецеидальной площадки равномерно распределенной нормальной и линейной нагрузкой (3 формулы).

5. Представление новых результатов расчета составляющих напряжений и перемещений точек упругого полупространства.

1. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости. Текст.: учеб. Пособие для техн. вузов 3-е изд. М.: ГОС. ИЗД. ТЕХНИКО-ТЕОР. ЛИТ: 1947.300 с. Предмет, указ. с.237-243

2. Наумов, И.В. Определение осадок устоя арочной плотины с трапецеидальной формой основания.// Сборник научных трудов. Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева: Т-171.//Ленинград. 1984 с. 103-108.

3. Zeitschrift fur angew. Mathematik and Mechanik, 1928.

4. V.VOGT. ZUR BERECHNUNG DER FUNDAMENIDEFORMATI ONEN. Фогт,Ф. О расчете деформации фундаментов. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. ОППНТИ НТБ, 1973, Перевод №911.

5. Горбунов-Посадов, М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкций на упругом основании. М., Стройиздат, 1984.

6. Научно-технические ведомости СПбГПУ №4 2005г.

7. Флорин,В.А. Основы механики грунтов Москва 1959г.

8. Наумов, И.В. Иванов, П.М. Антонов, С.С. Экспериментальные исследования напряженного состояния гравитационной плотины с обжатием бетонной кладки // Сборник научных трудов Известия ВНИИГ Том 155 // Ленинград. 1982 с.24-27.

9. Антонов, С.С. Коган, E.JL Наумов, И.В. Иванов, П.М. Исследование конструкции арочной плотины Худони ГЭС // Сборник научных трудов Известия ВНИИГ Том 163//Ленинград. 1983 с.8-13.

10. Антонов, С.С. Коган, Л.Е. Наумов, И.В. Иванов, П.М. Слабодкин, Г.А.

11. Исследования напряженного состояния арочной плотины Намахвани ГЭС // Сборник научных трудов Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева Том 180 // Ленинград. 1985 с.3-9.

12. Наумов, И.В. Анализ перемещений устоя и арочной плотины Материалы конференций и совещаний по гидротехнике. // ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ // Ленинград 1987 с. 67.

13. Наумов, И.В. Упругое полупространство Текст. //Нучно-тех. ведомости СПбГПУ: сб. науч. тр. Издат.Полит.ун-та,// №4 2005 с.84-93.