Моделирование гидродинамики и процессов усреднения высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

/

Марценко Максим Сергеевич

Моделирование гидродинамики и процессов усреднения высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии

Специальность 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 7 ОКГ 2011

Томск 2011

4858149

Работа выполнена на кафедре прикладной аэромеханики ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет»

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Шваб Александр Вениаминович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Шрагер Геннадий Рафаилович

кандидат физико-математических наук, доцент

Брендаков Владимир Николаевич

Ведущая организация:

ФГУП «ФЦЦТ «Союз», г. Дзержинский, Московской обл.

Защита диссертации состоится « И » ноября 2011г. в 14.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корпус 10 (НИИ ПММ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Национальный исследовательский Томский государственный университет» по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан « » октября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук

Ю.Ф. Христенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Движение гранулированной среды плотным слоем встречается в природных явлениях (песчаные бури, селевые потоки, лавины и др.) и в практической деятельности человека (различные устройства для переработки дисперсных материалов в порошковой металлургии, в химической технологии, в пищевой промышленности, при производстве лекарств, при пневмотранспорте и т.д.). Во всех этих процессах наблюдается высококонцентрированное движение гранулированной среды под действием перепада давления или под действием силы тяжести в разделителях потока, дозаторах и смесителях различной формы. Поэтому в научной литературе уделяется большое внимание к изучению физических аспектов движения высококонцентрированных гранулированных сред как теоретически, так и экспериментально. Анализ научной литературы по динамике течений гранулированной среды плотным слоем показывает, что не существует рациональной, общепринятой теории, а имеется многообразие теоретических и численных подходов, которые отражают отдельные свойства движения дисперсной среды. Обилие различных подходов объясняется разнообразием свойств порошкообразных материалов и большими трудностями в создании общей теории динамики гетерогенных сред.

Настоящая работа посвящена изучению движения высококонцентрированной гранулированной среды применительно к процессам разделения, дозирования, смешения и усреднения в аппаратах порошковой технологии.

Цель работы.

• Создание адекватной опытным данным математической модели динамики высококонцентрированной гранулированной среды при напорном и гравитационном течении в рамках существующей «теории быстрых движений гранулированных сред».

• Разработка метода расчета процессов смешения и усреднения зернистых сред применительно к аппаратам порошковой технологии.

• Выявление основных закономерностей динамики зернистых сред и определение режимных и геометрических параметров, влияющих на распределение полей скорости и концентрации при инерционном режиме движения гранулированной среды.

Научная новизна исследования.

1. Разработана оригинальная полуэмпирическая модель динамики высококонцентрированной гранулированной среды в рамках существующей «теории быстрых движений гранулированных сред», работоспособность и достоверность которой устанавливается сравнением с экспериментальными данными.

2. Предложена новая постановка граничных условий, позволяющая адекватно опытным данным описывать распределения полей скорости, а

также учитывать наличие застойных зон в случае сложной геометрии течения гранулированной среды.

3. Разработаны новые способы расчёта динамики высококонцентрированной гранулированной среды в инерционном режиме движения, основой которых являются известные модели ньютоновской и неньютоновской «степенной» жидкости с применением оригинальных граничных условий.

4. На основе предложенных моделей получены новые результаты исследований течения зернистой среды при гравитационном и напорном движении в канале с внезапным сужением в плоской и трехмерной постановке, в наклонном открытом лотке, между двумя пластинами с различным углом полураствора (сужающийся канал) и в пневматическом циркуляционном аппарате.

5. Построен оригинальный метод расчета процессов смешения гранулированных материалов в исследуемых аппаратах, основой которого являются предложенные модели движения зернистой среды и нестационарное конвективно-диффузионное уравнение переноса ключевого и основного компонентов смеси.

6. На основе разработанного метода расчета смешения зернистых сред получены новые результаты и выявлены закономерности в распределении установившихся и нестационарных полей ключевого и основного компонентов смеси, показана роль конвективного и диффузионного переноса концентрации, а также параметры, влияющие на интенсивность процесса усреднения гранулированных сред.

Достоверность полученных результатов обеспечивается тестовыми расчетами, обоснованными физическими представлениями картины течения гранулированного материала и удовлетворительным согласованием полученных результатов с известными экспериментальными данными и численными результатами других авторов.

На защиту выносятся:

1. Оригинальная полуэмпирическая модель движения высококонцентрированной гранулированной среды при инерционном режиме течения.

2. Новая постановка граничных условий, учитывающая наличие застойных зон в случае сложной геометрии течения зернистой среды.

3. Новые результаты численного моделирования гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии на основе оригинальной модели и известных моделей ньютоновской и неньютоновской «степенной» жидкости с использованием предложенных граничных условий. Анализ влияния основных геометрических и режимных параметров на характер динамики зернистой среды.

4. Модель смешения двухкомпонентной гранулированной среды, базирующаяся на решении нестационарного конвективно-диффузионного уравнения переноса концентрации ключевого и основного компонентов

смеси с использованием разработанной модели динамики высококонцентрированной зернистой среды. 5. Результаты численного моделирования процессов смешения при непрерывном и циклическом смешивании гранулированных сред в разделителях, дозаторах и в пневматическом циркуляционном аппарате. Закономерности по влиянию основных геометрических и режимных параметров, оказывающих влияние на интенсивность процесса смешения в аппаратах порошковой технологии.

Научная и практическая ценность работы.

1. Предложенные математические модели динамики высококонцентрированной гранулированной среды позволяют получать физическую картину течения зернистых материалов при гравитационном и напорном движении, а также прогнозировать распределение локальных и интегральных характеристик течения и проводить параметрический анализ при инерционном режиме течения высококонцентрированной гранулированной среды.

2. Предложенный метод расчета процесса смешения гранулированных сред позволяет выявлять геометрические и режимные параметры, влияющие на время смешения и качество полученной смеси.

3. Предложенные методики расчета гидродинамики и процессов смешения гранулированных сред могут применяться при совершенствовании существующих и проектировании новых способов и конструкций в аппаратах порошковой технологии.

4. Внедрена методика расчета течения неньютоновской среды применительно к процессу прессования таблеток на ОАО «НЗХК» по договору № 17/10 НИИ ПММ ТГУ от 01.09.2010 (копия акта внедрения методики находится в приложении к диссертации).

5. Внедрена методика расчета гидродинамики и процессов усреднения гранулированных материалов в каналах сложной формы в лаборатории № 34 НИИ ПММ ТГУ (копия акта внедрения представлена в приложении).

Исследования диссертационной работы проводились при частичной поддержке гранта РФФИ № 11-08-00931-а (2011-2012 гг.), руководитель проекта: профессор A.B. Шваб.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских конференциях: XV Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-15» (Кемерово-Томск, 2009); V Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2009); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2009); VI Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2010); XVI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-16» (Волгоград, 2010); Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2010); VII всероссийская

конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной

механики». (Томск, 2011).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в научных трудах вышеперечисленных конференций, а также опубликованы в журналах и приложениях к журналам рекомендованных ВАК: «Вестник Томского государственного университета. Математика и механика»; «Известия вузов. Физика»; «Инженерно-физический журнал».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Работа содержит 145 страниц машинописного текста и 85 рисунков. Список цитируемой литературы включает 97 наименований.

Содержание работы

Во введении показана актуальность, практическая значимость приведённого в диссертации исследования, сформулированы основные цели работы и представлены научная новизна и положения, выносимые на защиту.

В первом разделе проведен краткий обзор литературы по исследованию гидродинамики и процессов смешивания высококонцентрированных гранулированных сред.

Во втором разделе излагаются основные физические допущения и математическая формулировка моделей динамики высококонцентрированной гранулированной среды в рамках «теории быстрых движений гранулированных сред».

Анализ экспериментальных и теоретических исследований показал, что динамику плотного слоя гранулированного материала можно достаточно хорошо моделировать с помощью понятий и методов механики сплошных сред. Причём, поведение рассматриваемой среды подобно поведению несжимаемой неньютоновской жидкости.

Другой существенной особенностью при моделировании движения гранулированных материалов является постановка граничных условий на твёрдой поверхности. Из опытных данных известно, что на твердой границе имеет место частичное скольжение гранулированной среды, а также имеются застойные области (где скорость частиц близка к нулю), образование которых также связано с граничными условиями на твёрдой поверхности. В научной литературе постановка граничных условий определяется с помощью проекций на стенку напряжений, развиваемых в гранулированной среде, и не учитывается сухое кулоновское трение частиц непосредственно на стенке. Анализ опытных данных показывает, что в пределе на стенке возможно условие прилипания среды (образование застойных областей), а также условие полного скольжения среды на твёрдой поверхности, когда трение на стенке существенно меньше напряжений, развиваемых в потоке. Учёт данного эффекта при моделировании гидродинамики гранулированного потока производится с помощью независимого эмпирического параметра у,

который вводится в граничные условия для скорости на стенке следующим образом

Щ^ги,|„; ип= о. (1)

Здесь и5, и„ - соответственно тангенциальная и нормальная составляющие вектора скорости, а коэффициент скольжения у изменяется в пределах 0 < у< со. Для удобства численных расчётов вводится коэффициент скольжения, равный у=р/(1~р), тогда граничное условие (1) примет вид

= Ри,I ; и„= 0, (2)

0-/Г-

дп

причём, значение Р = 1 будет соответствовать условию прилипания, а р = 0 -условию полного скольжения. Параметр р определяется из сопоставления численных и экспериментальных данных.

Движение плотного слоя гранулированной среды обычно условно разделяют на два предельных режима: квазистатический, соответствующий малым скоростям сдвига, который описывается в рамках теории предельного равновесия и инерционный, отвечающий относительно большим скоростям сдвига, который в научной литературе относят к «теории быстрых движений гранулированный среды».

При квазистатическом режиме течения внутренние напряжения возникают вследствие сухого кулоновского трения между частицами, что приводит к независящему от скорости деформации пластическому поведению порошкообразного материала. При инерционном режиме внутренние напряжения в среде возникают вследствие переноса импульса частицами аналогично тому, как это происходит при хаотическом движении молекул в жидкости или газе. В аппаратах порошковой технологии наблюдается именно этот режим движения, поэтому в работе рассматривается только инерционный режим течения зернистой среды.

Теоретические и опытные исследования по динамике высококонцентрированных гранулированных сред показывают, что поведение такой среды подобно поведению дилатантной неньютоновской несжимаемой жидкости. Поэтому в качестве одного из рассматриваемых способов моделирования динамики зернистой среды используется хорошо известная реологическая модель «степенной» жидкости. Для этой модели связь тензора вязких напряжений хи с тензором скоростей деформаций ё0- в гранулированной среде можно представить в виде

_ о ,,т тт—1 •

г,7=2// 3 еи, (3)

где р. - постоянное значение кажущейся вязкости (консистенция материала), от - реологический параметр (индекс течения) и 3- интенсивность скоростей деформаций. Для этой модели в качестве граничных условий на стенке используется оригинальные соотношение (2). Сравнение расчётов, проведённых по этой модели с опытными данными (раздел 4) показало, что для определённых гранулированных сред показатель консистенции

материала т близок к единице (при использовании граничных условий скольжения (2)). Поэтому в работе в качестве другого способа расчёта динамики гранулированной среды использовалась модель несжимаемой ньютоновской жидкости с граничными условиями (2), в которой тензор вязких напряжений определяется той же зависимостью (3) при т=1.

В настоящей работе предложена оригинальная полуэмпирическая модель динамики высококонцентрированной гранулированной среды при инерционном режиме течения (имеются аналогичные подходы, например в работе [1]). В модели тензор вязких напряжений представляется в виде суперпозиции ньютоновской части напряжения и части, учитывающей отклонение от него, связанное с реологическими особенностями течения среды, в следующем виде

Ту=2р(у0+у)ёу. (4)

Здесь у0 - постоянное и V - переменное значения кинематических коэффициентов вязкости. При построении модели используется предположение о том, что при инерционном режиме движения существуют зазоры между гранулами и их взаимодействие обусловлено неупругими соударениями. Следовательно, по аналогии с теорией пути перемешивания Прандтля при описании турбулентных течений, на основании теории размерностей модельную величину V можно записать в виде осреднённой корреляции _

г = м'Г. (5)

Здесь и'- некоторая скорость пульсаций гранулы относительно осредненной по времени скорости течения в локальной области потока и Г - отклонение гранулы от среднего положения в этой же части потока. Очевидно, что для быстрого режима течения высококонцентрированного гранулированного потока величина Г слабо изменяется и её можно считать величиной постоянной и пропорциональной размеру гранулы 5 с точностью до постоянной величины Си т.е. примем Г = СХЬ. Из экспериментальных данных по движению гранулированной среды известно, что переход от квазистатического режима течения к инерционному осуществляется за счет увеличения скорости потока. Следовательно, за счет увеличения кинетической энергии потока возникает дополнительный перенос импульса, определяемый соотношениями (4) и (5). В качестве гипотезы примем, что это положение справедливо и для рассматриваемой локальной области течения гранулированной среды. Тогда на основании этого и теории размерностей можно положить, что скорость пульсаций в локальной области пропорциональна модулю вектора скорости с точностью до эмпирической постоянной Сг

и' = С2р2х+и2у+и22 . (6)

Подставляя выражение Г = СХЬ и и' в соотношение (5), найдём с точностью до эмпирической постоянной С=С1С2 осреднённое значение кинематического коэффициента вязкости

V = и'Г = С5^и2х+игу+и2г .

После подстановки коэффициента вязкости у в формулу (4), найдём связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций для инерционного режима течения высококонцентрированной гранулированной среды в виде

^ = 2р(у0 + С3р2х+и2у+и2г)ё1;. (7)

Здесь значения Уо и С - определяется из сопоставления с опытными данными. Таким образом, полученная зависимость (7) для тензора напряжений замыкает систему уравнений переноса импульса, решение которой проводится также с использованием зависимости (2) для граничных условий на стенке.

В третьем разделе описываются методы численного решения полученных уравнений, а также постановка граничных условий на стенке при моделировании гидродинамики гранулированной среды в естественных переменных и переменных вихрь-функция тока. Преимуществом расчета в переменных вихрь-функция тока является уменьшение количества уравнений на единицу за счет тождественного выполнения уравнения неразрывности. Систему уравнений, состоящую из уравнений переноса импульса и уравнения неразрывности можно представить в безразмерном и консервативном виде

дих | д(и2х) | д(ихиу) | д{ихи2) = др ^ д ( в дих\ д ( в дихл дт дх ду дг дх йх\Яе дх ) Эу^Яе ду

_д_(В_диЛ 1

дг ^ Яе дг ) Яе диу д(ихиу) д(иу) д{иуиг)

дВ 8их дх дх

у дВ ди т +--- + -

дт

дх

ду

д ( В диу дг

дг

др д -—+ —

ду дх

у

Яе

дВ дих дх ду

8В_ди^

ду дх дг дх ' В диу ^Яе дх у дВ диу ^ дВ ди, ду ду дг ду

(8)

Л а' +—

Эу

В диу Яе ду

(9)

8иг ( д{ихи2) { д(иуиг) | д(и2г) = др { д ( В ди2\ д ( В диг

дг дг йДЯе дх) ду^Яе ду

дт

дх ду

д ( В ди2 &( Яе дг

1

дВдих Яе дх дг ду дг дих ди ди7 дх ду дг

Здесь В - безразмерный модельный коэффициент вязкости и Яе - число Рейнольдса.

При решении плоской или осесимметричной задачи систему (8) - (11) можно представить в переменных «вихрь-функция тока». Для тождественного выполнения уравнения неразрывности достаточно положить

дВ <Эиу дВ ди,

дг дг

(10)

- = 0.

(11)

и=-

5\|/

сЦ/

(12)

Определение вихря введем следующей формулой

П =

диг ди

(13)

___

ду дх

после подстановки соотношений (12) в формулу (13), получим уравнение Пуассона для определения функции тока в виде

дх2 ду2

(14)

Так как решение стационарной задачи проводится при помощи метода установления, то уравнение (14) можно записать в виде нестационарного уравнения

з\ | а2\|/

дх2 ду2

= -П.

(15)

Здесь - фиктивное время, заменяющее значение итерационного параметра. Уравнение переноса вихря можно привести к виду

——

_1_ Яе

дт дх

дБ да | дВ да |

дх дх ду ду

В_сП 11е дх

ду

иуП-

' В дПл

Яе ду

'д2В

д2ВЛ'

ду2 дх2

дих

{ду

ди

У

дх

д2В дих

+ 4---

дхду дх

(16)

Используя изложенные выше модели движения высококонцентрированной гранулированной среды, получим замкнутую систему уравнений динамики зернистой среды.

В случае трехмерного течения не существует функции тока, поэтому применяется метод расчета в естественных переменных. Для обеспечения соленоидальности поля скорости используется метод физического расщепления полей скорости и давления. Представим систему уравнений, состоящую из уравнений переноса импульса и уравнения неразрывности в символическом и векторном виде следующим образом

дУ

— = -Ур + Г(У); 5/

с1п>У = 0.

(17)

Предположим, что решение для временного слоя п известно и требуется определить решение на неизвестном слое и +1. После физического расщепления полей скорости и давления, получим

у»+1

У+-У"

А? ■У+

М

(18)

Здесь 8р - поправка к давлению, равная разности давлений на новом п+1 слое по времени и известным слоем п, У+ - промежуточная сеточная функция. После умножения (19) скалярно на градиент и учета соленоидальности вектора скорости на п +1 слое, получим уравнение Пуассона для определения поправки к давлению в виде

У2(Ф)= А,

При использовании эволюционного метода для задачи уравнение (20) можно представить в виде:

(20)

решения стационарной

а, а, ..............<2,)

где т - время, выполняющее фактически роль итерационного параметра, значение которого выбирается из условий наиболее быстрой численной сходимости к решению задачи. Для построения разностного шаблона используется разнесенная шахматная сетка.

Таким образом, метод расчета в примитивных переменных выглядит следующим образом. Из уравнения движения (18) определяется сеточная функция У+, далее из уравнения Пуассона (21) после нескольких итераций находится поправка к давлению Ьр, после этого рассчитываются значения градиента давления и вектор скорости на новом временном слое по формуле (19), затем вновь переходят к первому этапу, используя полученные распределения полей скорости и давления.

Решение системы уравнений в переменных вихрь-функция тока и в переменных скорость-давление можно привести к решению системы нестационарных скалярных уравнений переноса. Представим транспортное уравнение некоторой субстанции Ф в операторной форме

дФ т

" (22)

-+I;t.Ф+IvФ+^,гФ = F. дт у

Здесь

г ^ 3 ЬХФ =—

дх

^ I Зф

ИгФ-| V —

дх

М Ф = -

'у ду

иуФ-

дФ

V

;1Ф=—

2 дг

^ I ЗФ]

И'ФТ&

При решении системы уравнений в естественных переменных и переменных вихрь-функция тока используется неявная обобщенная схема переменных направлений. В А-форме для трехмерной задачи этот метод состоит из нескольких этапов

ДФ, 1 Дг 2

• ФЛч-1Ф" г

2)

ДФ

АФ,,М

М

чп+1

3)

ДФ, , к 1 А г 2 2

АФГм дг

;(23)

ф™к =Ф?,.1,+АФ

Ш ■

Здесь AФ*jk, ДФ - значения сеточных функций. Записанная

выше схема имеет второй порядок точности по времени и безусловно устойчива для линейного уравнения. При записи конечно-разностного аналога конвективных и диффузионных членов в уравнениях переноса вихря, импульса и концентрации используется экспоненциальная схема, которая имеет второй порядок точности по координатам и снимает ограничения, налагаемые на сеточное число Рейнольдса.

При решении в переменных «вихрь-функция тока» значение вихря на стенке определяется разложением функции тока в ряд Тейлора с учетом граничного условия скольжения (2). В результате получим для вихря на стенке граничные условия первого и второго порядка точности

/ЗАу

„ . -УЛу) . о -

"•ы, — / Ч 15

Ду2 2

■»±1

________(24)

2(1-/?)Ду + /ЗАу2' К Здесь VI», и>± 1 - точки разностной сетки на границе и вблизи ее. При значении |3 = 1 имеем хорошо известные граничные условия Тома и Вудса, а при р = 0 - условие идеального скольжения гранулированной среды на стенке. При численном расчете в естественных переменных используются граничные условия (2).

В четвертом разделе рассматривается физическая и математическая постановка задач о течении высококонцентрированной гранулированной среды в канале с препятствием в виде квадрата, с внезапным сужением в плоской и трехмерной постановке, в наклонном открытом лотке, между двумя пластинами с различным углом полураствора (сужающийся канал) и в пневматическом циркуляционном аппарате. Рассматривается возможность повышения эффективности процессов усреднения зернистой среды при установке вращающихся лопастей в цилиндрической и конической частях пневматического циркуляционного аппарата.

Численное решение задач проводилось на разнесенной сетке в переменных скорость-давление, за исключением задачи об обтекании препятствия в виде квадрата, которая решалась в переменных «вихрь-функция тока» на обычной сетке. Результаты численных решений проверялись тестовыми расчетами, исследованиями на сеточную сходимость, а также сравнением полученного распределения составляющих скорости с известными решениями для случая течения ньютоновской несжимаемой жидкости.

Достоверность и работоспособность предложенных моделей проверялась сравнением численных результатов с экспериментальными данными по обтеканию препятствия в виде квадрата в плоском канале высококонцентрированной зернистой средой [2]. На рис. 1 а-д представлены результаты численного моделирования течения гранулированной среды при обтекании препятствия в виде квадрата с использованием моделей,

изложенных во втором разделе. Там же представлены результаты эксперимента [2]. Схема исследуемой области показана на рис. 1 е.

Численные исследования показали, что на динамику гранулированной среды оказывает существенное влияние постановка граничных условий на твёрдых поверхностях.

Рис. 1 Сравнение моделей при обтекании препятствия в виде квадрата. 1 - разработанная полуэмпирическая модель при 11е = 10, СЫН = 0.035, р = 0; 2 - модель «степенной» жидкости при Ле = 10, т = 1.2, р = 0; штриховая линия - модель ньютоновской жидкости при параметрах 11е=10, Р = 0; «точки» -эксперимент [2]. На твердой поверхности (сечение а) использовалось условие прилипания Р = 1.

В отличие от работы [3], в которой использовались одинаковые значения коэффициента скольжения на всех твердых поверхностях, в настоящей работе использовались условия «прилипания» на передней стенке обтекаемого препятствия, а на остальных твердых поверхностях использовались условия скольжения. Численные исследования также показали, что влияние остальных параметров на динамику течения существенно меньше по сравнению с влиянием коэффициента скольжения р, что существенно облегчает подбор параметров для согласования численных и опытных данных.

Предложенная модель и модель «степенной» жидкости показывают лучшее согласование с опытными данными по сравнению с моделью ньютоновской несжимаемой жидкости. Особенно отчётливо качественное расхождение моделей демонстрируют графики на рис. 1 б, из которого хорошо видны противоположные тенденции в поведении вертикальной составляющей скорости. Следует отметить некоторое преимущество предлагаемой модели по сравнению с моделью «степенной» жидкости.

Хорошее соответствие, полученное при сравнении опытных данных с разработанной теорией течения высококонцентрированного потока зернистой среды, открывает возможность детального анализа влияния

основных факторов, влияющих на исследуемое явление, а также свидетельствует о возможности применения разработанного подхода для расчета движения гранулированных сред в вертикальных каналах различной формы.

В порошковой технологии широко используются дозаторы зернистой среды в виде бункера с внезапным сужением с нижним выпускным отверстием. В работе рассматривается стационарное движение гранулированной среды в прямоугольном бункере с внезапным изменением поперечного сечения в плоской и трехмерной постановке (рис. 2). При постановке граничных условий проводился учет застойной зоны на горизонтальной границе бункера вблизи сужения аналогично тому, как это выполнено в задаче по обтеканию препятствия в виде квадрата. Численное решение проводилось в естественных переменных на разнесенной разностной сетке обобщенным неявным методом переменных направлений.

Решение задач проверялось на сеточную сходимость. В качестве тестового исследования проводилось сопоставление расчетного профиля вертикальной скорости с известным аналитическим профилем [4] («кружки» на рис. 3) в канале для случая плоской (кривая 1) и трехмерной постановки задач (кривая 2). Результаты сравнения представлены на рис. 3. Проводилось сравнение распределений вертикальной скорости, полученных на основе модели «степенной» жидкости (сплошная линия на рис. 4) с результатами моделирования на основе предложенной модели («точки» на рис. 4) в поперечных сечениях дозатора (схема на рис. 2). Имеется согласованное решение, кроме области, в которой происходит резкое изменение поперечного сечения. Это различие аналогично различию на рис. 1 б,

Рис. 2 Схема канала с внезапным Рис. 3 Установившийся профиль Рис. 4 Профиль скорости в сужением. вертикальной скорости. широкой части бункера с

внезапным сужением.

В работе также рассматривается установившееся гравитационное течение высококонцентрированной гранулированной среды между двумя плоскими пластинами, расположенными относительно друг друга под углом 2а (рис. 5). Решение этой задачи проводится с использованием разработанной модели зернистой среды в полярной системе координат в предположении осевой симметрии в переменных «скорость-давление». В качестве граничных условий на стенке питателя использовались условия частичного скольжения зернистой среды (2). На рис. 6 представлено

распределение радиальной скорости в среднем сечении сужающегося канала при различной размерности расчетной сетки. На рис. 7 показано распределение изолиний радиальной скорости в рассматриваемом бункере.

Рис. 5 Схема сужающегося Рис. 6 Распределение радиальной Рис. 7 Изолини радиальной канала. скорости на различной сетке. 1 скорости.

- 301x241; 2 - 151x121; 3 -76x61 узлов.

В диссертации исследовалась задача о движении гранулированной среды в открытом лотке с углом наклона к горизонту а (рис. 8). Как показывают результаты экспериментов [5], если дно лотка достаточно гладкое и в потоке отсутствуют препятствия, можно считать, что высота слоя зернистой среды остается практически постоянной. Постановка граничных условий на стенке лотка проводится с учетом частичного скольжения зернистого материала. Численное решение осуществляется в переменных «скорость-давление» методами, представленными в третьем разделе.

На рис. 9 представлено качественное сравнение установившегося профиля продольной скорости, полученного в работе [5] (рис. 9 а) и профиля, рассчитанного при помощи предлагаемой модели с условиями частичного скольжения зернистой среды на стенке лотка (рис. 9 б).

Рис. 8 Открытый лоток. Рис. 9 Профиль продольной скорости а) эксперимент [5], б) расчет

при параметрах 11е = 10, СЫН= 0.035, р = 0.8, Бг = 0.1, а = л/6.

Одним из перспективных аппаратов переработки, хранения, сушки и усреднения гранулированных сред является пневматический циркуляционный аппарат (ПЦА), принципиальная схема которого представлена на рис. 10. Газ подаётся вертикально вверх через сопло 1 в транспортную трубу, расположенную по центру аппарата и выходит в верхней части аппарата через устройство 5. Струя газа увлекает частицы в транспортную трубу 2, достигнув отбойника 3, частицы распределяются по кольцевой зоне между трубой 2 и стенкой колонны 4, далее частицы в

плотном слое опускаются вниз, и вновь увлекаются струей газа в транспортную трубу 2. На основе предложенной полуэмпирической модели рассмотрено движение плотного слоя зернистого материала в цилиндрической и конической части ПЦА. Дополнительно рассматривались задачи, в которых для более интенсивного усреднения гранулированной смеси устанавливались вращающиеся лопастные мешалки как в цилиндрической, так и конической областях ПЦА.

Ши. < Я „

г 1 №

\ > \ ш

Рис. 10 Схема ПЦА.

Рис. 11 Схема цилиндрической области ПЦА.

Рис. 12 Схема конической части ПЦА.

Уравнения переноса импульса в безразмерной форме с учетом осевой симметрии в цилиндрической системе координат (г, ср, г) имеют вид

д(гиг) | д{т2) дг дг

'- = 0;

дт дгК г> йт^е дг) дгУ г '' 5ДЯе дг )

др г г дБ диг г дВ ди

= —¡-г+и;„+----+---

дг

' Яе дг дг ' Яе дг дг чЯе дг

дг

В

гЯе

/

дг

д_ 'дг

-и У, Яе дг

В 1 дВ = и ——и - —-—;и ; ^ гЯе Яе дг

(25)

дт дг г дг{Ке дг ) дгк г/ &1Де дг )

др г дВ диг г дВ ди7

-—г +---- +----

дг Яе дг дг Яе дг дг

где

В = 1 + +и1+и1 ;

Яе =

ни п

При исследовании течения плотного слоя гранулированной среды между вертикальной транспортной трубой и конической стенкой аппарата использовалась ортогональная криволинейная система координат вращения

0?ь?2, #з=ф), которая связана с цилиндрической системой координат следующими формулами

\2 а2 Л .2'

Я1 =■

1

(г-ъУ Аа , Л г

<72 =

Ятах

Г~Гр ,

2 А1 2

(о<?2<1);

(0<^1 < 1); Чъ =<р; (0 < ф < 2 л:), (26)

где

„ _ (^2 ~го)2 , Л , . л . Г2-Г,

Ятах--^---Г Т ^0=Г1~Г0; L = tg/.

Безразмерная система уравнений переноса импульса осесимметричном случае для конической области ПЦА имеет вид

^-(»1Я2Я3)+/-(«2Я1Яз) = 0;

Я1Я2Я3^ + А(м2Я2Яз)+ 5 5

О г с^, дд2

' В дщ Я2Я3 Ией?, Я, у

а

дд2

В дщ Я,Я3

5 5

Ые <5(у2 Я2 д_ дд2

3?!

5 Эм2 Я2Я3

Яе Я

- (27)

1 У

В ди2 Я,Я3 5д2 ^Яе Я2

042

Я,Я3+Л;

Ям Я Я я

я,я2я3 (М,«3Я2Я3)+^(М2МзЯ1Я3)

5 5м, Я2Я3

Яе с^ Я!

В ди3 Я,Я3 (Яе Я2

где

5 = 1 + С—Яе^+и! +"з2; Яе = Я

нип

Здесь Я], Я2, Я3 , ^з - соответственно коэффициенты Ляме и правые

части уравнений движения, которые для сокращения записи здесь не представлены.

В качестве тестового исследования проводилось сравнение профиля вертикальной скорости при установившемся режиме течения с аналитическим решением [4]. Результаты сравнения представлены на рис. 13.

В качестве проверки предложенной методики расчета полей скорости в ПЦА проводилось сопоставление с обобщенными экспериментальными данными [6] по времени пребывания частиц в плотном слое гранулированного материала (рис. 14). В криволинейной системе координат

вращения уравнение траектории для одиночной частицы можно представить в общем виде следующим образом

1 Лдх = 1 (1д2 _ 1 с1д2 _ & ^ ^

Нх щ Н2 и2 Я3 м3 Интегрированием выражения (28), определяются текущие значения координат движущейся частицы и время пребывания в плотном слое аппарата.

Рис. 13 Установившийся профиль скорости в Рис. 14 Время пребывания частицы в плотном слое кольцевом канале. 1 - численное, 2 - ПЦА при Яе= 10, СЫН = 0.035, ¡5 = 0.8; точки -аналитическое распределение [4]. эксперимент [6].

В случае вращательного движения высококонцентрированной гранулированной среды, за счет установленных лопастей, решение задачи будет также зависеть от параметра вращения Лв = £10Н/и0 (обратное число Россби).

На рис. 15 представлены поля радиальной, окружной и аксиальной скоростей зернистой среды в цилиндрической части пневматического циркуляционного аппарата при установке вращающихся лопастей.

В пятом разделе рассматриваются вопросы численного моделирования процессов усреднения и смешения гранулированных сред в аппаратах порошковой технологии. Построенная методика расчета поля скоростей зернистой среды позволяет определять установившееся и нестационарное поля концентраций ключевого и основного компонентов смеси на основе уравнений, записанных в консервативном виде

дС дихС ди С ди2С п — + * + „ +—— = 0; от ох ду дг

, „ ^ с+с"=1. (30)

Здесь С и Сг - соответственно значения объемной концентрации ключевого и основного компонентов смеси.

Динамика высококонцентрированной гранулированной среды в инерционном режиме характеризуются тем, что внутренние напряжения в среде возникают вследствие переноса импульса частицами аналогично тому, как это происходит при хаотическом движении молекул в жидкости, т.е. за счет некоторого дополнительного нестационарного пульсационного движения, которое очевидно, способствует дополнительному переносу импульса и массы. Таким образом, возникает дополнительный перенос массы за счет корреляции пульсаций скорости и концентрации, значение которой можно определить по аналогии с полуэмпирической теорией турбулентности. Действительно в соответствии с методикой Рейнольдса представим актуальные значения скоростей и концентраций в виде суммы осредненных и пульсационных величин

их=й~х+и'х; иу=ТГу+и'у\ I] 2 = ТГг + и'2; С = С + с'. (31)

Подставляя актуальные значения скоростей и концентрации из зависимости (31) в уравнение (29) и осредняя его по времени, получим

ВС дихС — +-■

81 дх

дУуС

ду

дЦ2С

дг

ди' с' ди' с' ди'2с' -—+ / +-—

дх

ду

&

(32)

Здесь Ыу, с'

соотвественно пульсации скорости и концентрации. Используя градиентную модель (аналог закона Фика) можно записать

дС

-и'¡с' = (}-

1

(33)

Здесь (} - коэффициент диффузии, значение которого может быть определено из опытных данных. После подстановки соотношений (33) в (32) получим

д

дС ди С диуС ди7С — + —^ + —+ —?—

ОТ ОХ ду 02

йх V дх) ду ^ ду

&

дг

= 0.(34)

В первом приближении будем считать коэффициент диффузии постоянным, тогда уравнение (35) примет вид

дС дихС ди С ди2С

— + / +-2--с/

от дх ду &

'д2С

д2С

а2сч

= 0. (35)

ч дх2 ду2 дг2 у

Предложенная математическая модель, в отличие от моделей, опирающихся на методы статистической механики, позволяет предсказывать в каждый момент времени распределения полей концентрации основного и ключевого компонентов смеси и располагать полной информацией о качестве смешения компонентов смеси как в локальных областях, так и во всем исследуемом объеме смесительного аппарата.

Предложенный метод расчета поля концентрации, а следовательно и смешения двухкомпонентной гранулированной среды применяется как при непрерывном, так и циклическом смешивании. В непрерывном режиме процесс смешения компонентов смеси гранулированного материала рассматривается при установившемся режиме в каналах с внезапным сужением (рис. 2), в плоской и трехмерной постановке и в сужающемся канале (рис. 5). Процесс циклического усреднения зернистого материала исследуется при нестационарном режиме в плотном слое цилиндрической (рис. 11) и конической части (рис. 12) пневматического циркуляционного аппарата. Исследуется возможность повышения эффективности процессов смешения при установке вращающихся с постоянной угловой скоростью лопастных мешалок в смесителе.

Наиболее популярной оценкой качества смеси является коэффициент неоднородности в виде среднеквадратичного отклонения от среднего значения концентрации в исследуемом аппарате. Однако, в этом случае значение коэффициента неоднородности изменяется от нуля (полностью усредненная смесь) до бесконечности (абсолютно несмешанное состояние). Поэтому в работе проводится нормировка значения коэффициента неоднородности смеси. В результате коэффициент неоднородности смеси для плоской и трехмерной постановок задач соответственно принимает вид:

i L,L2C(1-C) ' ] LxL2L,C{\-C)

где С - средняя по объему концентрация ключевого компонента, L\, Ь2, ¿з -соответственно количество ячеек в направлении координат расчетной области. Коэффициент неоднородности Е изменяется в пределах от 0 до 1, причем значение £ = 0 соответствует идеальному усреднению смеси, а значение Е = 1 -полностью несмешанному состоянию. При непрерывном способе смешивания удобно рассматривать изменение локального коэффициента неоднородности по длине смесительного аппарата. В этом случае локальный коэффициент неоднородности смеси Е(х) соответственно для плоской и трехмерной постановок задач имеет вид:_

¿гС(|-С) ; £W-l| 1ДС0-С) ' <37)

Система безразмерных уравнений для нахождения поля концентрации в плоском вертикальном канале с внезапным сужением (рис. 2) имеет вид 8ихС диуС _ i ~д2С | д2С^ дх ду ~ Ped [ дх2 ду2 __

С + С°=1. (39)

Здесь соответственно их = UJU0 и иу= Uy/U0 - безразмерные составляющие вертикальной и поперечной скорости, Ped = HUJd - диффузионное число Пекле. Граничные условия для рассматриваемой задачи формулируются следующим образом. Во входном сечении области компоненты смеси

(38)

находятся в несмешанном состоянии, при у\<у<у2\ С= 1, вне этого промежутка С=0. На твердых стенках используется условие непроникновения дС/дп = 0. На выходной границе используются мягкие условия установления дС/дх = 0.

На рис. 16 показано установившееся поле концентрации в рассматриваемой области. Распределение локального коэффициента неоднородности смеси Е(х) по длине бункера при подаче ключевого компонента симметрично по центру канала и ближе к вертикальной стенке представлено на рис. 17. Кривые 1 и 2 соответствует симметричному и несимметричному местоположению загрузки ключевого компонента смеси при значении Ped = 100. Пунктирной линией показаны распределения коэффициента неоднородности при аналогичном местоположении загрузки ключевого и основного компонентов смеси, но при меньшем значении диффузионного числа Пекле Ped = 10 (диффузионное число Прандтля Prd = 1, что приближенно соответствует опытным данным [6]).

У

и.м

Рис. 16 Изолинии концентрации в бункере с внезапным сужением при параметрах потока Ре«) = 20, С® = 0.3.

1 -Е ■

0.75 -

0.25 -

0

0 1 2 3 У 4

Рис. 17 Локальный коэффициент неоднородности смеси в бункере с внезапным сужением.

Уравнение переноса концентрации смеси в конической пневматического циркуляционного аппарата (рис. 12) имеет вид

части

^ннн +U дЛЫЬ£1+и ОДВД

ст dq{

1

Ped

3<?2

'я2я3 дсЛ

dq

+ -

д (Я]Я3 дС

Я1 dqx) dq2 ^ Н2 dq2

(40)

(41)

С+С°= 1.

Здесь Яь Я2, Я3 - коэффициенты Ляме. Начальные и граничные условия при решении задачи имеют следующий вид. В начальный момент в верхней части рассматриваемой области над основным компонентом находится слой ключевого компонента смеси. На твердых стенках расчетной области ставится условие непроникновения дC/дq2 = 0, и мягкие условия установления д(Н\С)1дд\=0 на выходе из аппарата. Концентрация

ключевого компонента на поверхности насыпного слоя в каждый момент времени определяется из равенства секундных массовых расходов во входном и выходном сечениях. Также, предполагается, что частицы, отражаясь от отбойника, распределяются равномерно по поверхности плотного слоя. Из этих условий концентрация ключевого компонента С0 на поверхности насыпного слоя в каждый момент времени определяется формулой:

1 С*Г(У1 »42 ) "Г— (#1*. 42 ) дд2 <*<ъ

г(Я1,Я2)-т-(Я1>Яг) дЧ2 ¿12

где индексы «*» и «О» относятся соответственно к выходной и входной границе области.

На рис. 18 представлено распределение коэффициента неоднородности рассчитанного по первому выражению (36) при различном диффузионном числе Пекле.

Из представленных графиков на рис. 18 б видно, что при установке вращающихся лопастей процесс усреднения интенсифицируется. Однако, из графиков также становится очевидным факт отсутствия повышения эффективности в начальные моменты времени, когда компоненты смеси находятся практически в несмешанном состоянии. Такой результат позволяет сделать предположение о целесообразности вращения лопастей в объеме аппарата на небольшие промежутки времени, после достижения некоторой степени усреднения смеси.

Рис. 18 Распределение коэффициента неоднородности при параметрах Яе = 10, С8/Н = 0.035, р = 0.8, Со = 0.25 а) без вращающихся лопастей; б) с вращающимися лопастями при Ре = 15.

Для цилиндрической части ПЦА в работе получены аналогичные распределения поля концентрации и коэффициента неоднородности смеси, которые, однако, показали меньшую интенсивность процесса усреднения при тех же параметрах течения гранулированной смеси.

Основные результаты и выводы

1. Разработана оригинальная полуэмпирическая модель динамики высококонцентрированной зернистой среды, в рамках существующей «теории быстрых движений гранулированных сред», работоспособность и достоверность которой устанавливается сравнением с экспериментальными данными.

2. Предложена новая постановка граничных условий, позволяющих адекватно опытным данным описывать распределения поля скорости, а также учитывать наличие застойных зон в случае сложной геометрии течения гранулированной среды.

3. Разработаны новые способы расчета динамики высококонцентрированной гранулированной среды в инерционном режиме движения, основой которых являются предложенная модель, а также известные модели ньютоновской и неньютоновской жидкости с применением оригинальных граничных условий.

4. На основе предложенных моделей получены новые результаты исследований течения зернистой среды при гравитационном и напорном движении в канале с внезапным сужением в плоской и трехмерной постановке, в наклонном открытом лотке, между двумя пластинами с различным углом полураствора (сужающийся канал) и в пневматическом циркуляционном аппарате.

5. Построен оригинальный метод расчета процессов смешения и усреднения гранулированных материалов в исследуемых аппаратах, основой которого являются предложенные модели движения зернистой среды и нестационарное конвективно-диффузионное уравнение переноса ключевого и основного компонентов смеси.

6. На основе разработанного метода расчета смешения зернистых сред получены новые результаты и выявлены закономерности в распределении установившихся и нестационарных полей ключевого и основного компонентов смеси, показана роль конвективного и диффузионного переноса концентрации, а также параметры, влияющие на интенсивность процесса смешения гранулированных сред.

Список публикаций по теме диссертации

1. Марценко М.С. Моделирование динамики гранулированных сыпучих высококонцентрированных сред / М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф. ВНКСФ-15. Кемерово-Томск, 26 мар. - 2 апр. 2009 г. - Кемерово : Изд-во АСФ России, 2009. - С. 250 - 251.

2. Марценко М.С. Исследование течения высококонцентрированной гранулированной сыпучей среды в сужающемся канале / М.С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. ФХВС-5. Томск, 22-25 апр. 2009 г. - Томск : ТМЛ-Пресс, 2009. - С. 334 - 337.

3. Шваб A.B. Моделирование гидродинамики неньютоновской жидкости на основе дифференциальной реологической модели / A.B. Шваб, М.С. Марценко, М.М. Хайруллин // Изв. вузов. Физика. - 2009. - № 7/2. - С. 210 - 215.

4. Марценко М.С. Моделирование гидродинамики и процесса усреднения гранулированной среды в порошковой технологии / М.С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. НПСС. Пермь, 4-5 дек. 2009 г. - Пермь, 2009. - С. 185 - 188.

5. Хайруллин М.М. Построение дифференциальной реологической модели неньютоновской жидкости / М.М. Хайруллин, A.B. Шваб, М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф. ФХВС-6. Томск, 14-17 апр. 2010 г.: сборник материалов. - Томск : TMJI-Пресс, 2010.-С. 189-193.

6. Марценко М.С. Исследование трехмерного течения гранулированного материала в канале сложной формы / М.С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. ФХВС-6. Томск, 14-17 апр. 2010 г. - Томск : ТМЛ-Пресс, 2010. - С. 198 - 202.

7. Хайруллин М.М. Численное исследование течения неньютоновской жидкости в канале с использованием дифференциальной реологической модели / М.М. Хайруллин, М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф. ВНКСФ-16. Волгоград, 22-29 апр. 2010 г. -Екатеринбург; Волгград : Изд-во АСФ России, 2010. - С. 631 - 633.

8. Марценко М.С. Численное моделирование движения плотного слоя зернистой среды и процесса смешения в плоском сужающемся канале / М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф. Наука. Технологии. Инновации. Новосибирск, 3-5 дек. 2010 г. -Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - Ч. 1. - С. 78 - 79.

9. Шваб A.B. Исследование движения плотного слоя гранулированной среды и процесса смешения в сужающемся канале / A.B. Шваб, М.С. Марценко // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2010. - № 4 (12). - С. 123 -130.

10. Марценко М.С. Моделирование гидродинамики и процесса усреднения гранулированной среды на наклонной плоскости / М.С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Томск, 12-14 апр. 2011 г. - Томск, 2011. - С. 256 - 257.

11. Марценко М.С. Численное моделирование гидродинамики и процесса усреднения в пневматическом циркуляционном аппарате / М.С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Томск, 12-14 апр. 2011 г. - Томск, 2011. - С. 258 - 259.

12. Шваб A.B. Моделирование гидродинамики и процесса усреднения высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии / A.B. Шваб, М.С. Марценко, Ю.Н. Рыжих // Инж.-физ. журнал. -2011. - Т. 84, № 4. - С. 676 - 681.

13. Шваб A.B. Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды / A.B. Шваб, М.С. Марценко // Вестник ТГУ. Математика и механика. - 2011. -№3(15). -С. 108- 116.

Список цитируемой литературы

1. Ahmadi G. Towards a turbulent modeling of rapid flow of granular materials / G. Ahmadi, M. Shahinpoor // Powder Technology. - 1983. - Vol. 35, № 2. - P. 241 - 248.

2. Nedderman R. The Flow of Granular Materials Round Obstacles / R. Nedderman, S. Davies and D. Horton//Powder Technology. - 1980. - Vol. 25, № 2.-P. 215 - 223.

3. Зайцева E.B. Моделирование гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды в порошковой технологии / Е.В. Зайцева, Ю.Н. Рыжих, A.B. Шваб // Теплофизика и аэромеханика 2001. - Т. 8, №4. - С. 551-561.

4. Петухов B.C. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах / Б.С. Петухов - М. : Энергия, 1967. - 412 с.

5. Goodman M. Two problems in the gravity flow of granular materials / M. Goodman // J. Fluid Mech. - 1971. - Vol. 45, Pt. 2. - P. 321 - 339.

6. Росляк A.T Пневматические методы и аппараты порошковой технологии / Росляк А.Т., Бирюков Ю.А., Пачин В.Н. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1990. - 272 с.

Подписано к печати 05.10.2011 Формат 60x84/16. Бумага «Снегурочка».

Печать XEROX. Усл.печ.л. 1,39. Уч.-изд.л. 1,26. _Заказ 1323-11. Тираж 100 экз._

ISO 9001

питии

Томский политехнический университет Система менеджмента качества Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008

измтельство^тпу. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30

Тел./факс: 8(3822)56-38-63, www.tpu.ru

Введение.

1. Обзор современного состояния механики гранулированных сред.

2. Модели движения высококонцентрированных гранулированных сред и их математическая формулировка.

2.1 Модель нелинейно-вязкой жидкости.

2.2 Модель вязкой ньютоновской жидкости.

2.3 Полуэмпирическая модель хорошо сыпучей гранулированной среды.

2.4 Граничные условия.

2.5 Выводы.

3. Методы численного решения уравнений гидродинамики.

3.1 Метод расчета в переменных «функция тока-вихрь».

3.2 Расчет гидродинамики в естественных переменных.

3.3 Метод численного решения скалярного уравнения переноса.

3.3.1 Обобщенный неявный метод переменных направлений для решения уравнения переноса.

3.3.2 Аппроксимация конвективных и диффузионных членов в уравнении переноса.

3.4 Граничные условия.

4. Моделирование гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды.

4.1 Моделирование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия на основе предложенных моделей.

4.1.1 Моделирование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия на основе модели «степенной жидкости».

4.1.2 Исследование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия на основе модели ньютоновской жидкости.

4.1.3 Исследование движения гранулированной среды при обтекании квадратного препятствия с использованием разработанной модели.

4.2 Численное исследование движения гранулированной среды в прямоугольном бункере с использованием предложенной полуэмпирической модели.

4.2.1 Движение гранулированной среды в бункере с внезапным сужением при плоской постановке задачи.

4.2.2 Исследование гидродинамики плотного слоя зернистой среды в бункере с внезапным сужением в случае трехмерной постановки задачи.

4.3 Исследование динамики гранулированной среды в сужающемся канале.

4.4 Моделирование движения гранулированной среды в открытом наклонном лотке.

4.5 Моделирование гидродинамики высококонцентрированного гранулированного материала в пневматическом циркуляционном аппарате.

4.5.1 Гидродинамика сыпучего материала в цилиндрической части пневматического циркуляционного аппарата.

4.5.2 Исследование гидродинамики зернистой среды в конической части пневматического циркуляционного аппарата.

4.6 Расчет времени пребывания частиц в пневматическом циркуляционном аппарате.

4.7 Выводы.

5. Моделирование процессов смешения и усреднения гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии при инерционном режиме течения.

5.1. Физические особенности процесса смешивания и метод оценки качества смеси гранулированных материалов.

5.2 Математическая формулировка процесса смешивания зернистой среды.

5.3 Исследование процесса усреднения зернистой среды в сужающемся бункере.

5.4 Моделирование процесса усреднения гранулированной среды в вертикальном прямоугольном бункере с внезапным сужением.

5.5 Усреднение высококонцентрированной гранулированной среды в трехмерном прямоугольном бункере с внезапным сужением.

5.6 Процесс усреднения и смешения гранулированных материалов в пневматическом циркуляционном аппарате.

5.6.1 Процесс усреднения в цилиндрической части пневматического циркуляционного аппарата.

5.6.2 Процесс усреднения в конической части ПЦА.

5.7 Выводы.

При создании новых гранулированных материалов, таких как минеральные удобрения и пластмассы, дражировании лекарственных средств, семян и т.п. широко используются пневматические методы переработки. Такая переработка порошковых и гранулированных материалов связана с пневмотранспортом, процессами смешения и усреднения сыпучих материалов, а также поддержанием определенных режимов движения гранулированной среды в этих аппаратах. При всех этих процессах имеет место движение высококонцентрированной гранулированной среды под действием перепада давления или под действием силы тяжести. Несмотря на большое количество экспериментальных данных о характере течения высококонцентрированных сыпучих материалов в различных технологических устройствах, в настоящее время не существует законченной теории быстрых движений гранулированных сред. Обилие различных подходов при моделировании движения сыпучих сред связано с разнообразием реологических свойств зернистых материалов.

В настоящий момент в механике высококонцентрированных гранулированных сред выделяют два идеализированных режима: быстрое сдвиговое течение и медленный сдвиг [13, 5]. В первом из них, который называют режимом медленного или пластического течения гранулированной среды, частицы материала, двигаясь по некоторым определенным траекториям, находятся в длительном контакте друг с другом, происходящем либо в режиме перекатывания, либо в режиме скольжения. При таком режиме внутренние напряжения в зернистой среде слабо зависят от скорости сдвига, и поведение гранулированного материала описывается в рамках теории предельного равновесия [11, 56, 40, 38]. Во втором режиме, течение зернистого материала характеризуется большими относительными скоростями частиц, разделенными поверхностью сдвига. При этом внутренние напряжения существенно зависят от скорости течения и возникают вследствие переноса импульса аналогично тому, как это происходит в жидкости или газе [35, 68]. В режиме быстрого сдвига частицы помимо поступательной составляющей скорости в направлении движения приобретают некоторую скорость хаотических перемещений. Модуль этой скорости имеет тот же порядок, что и модуль скорости локального перемещения частицы. Это объясняет увеличение количества хаотических перемещений при повышении скорости сдвига в гранулированной среде. По этой причине поведение зернистой среды при пластическом течении принципиально отличается от поведения в режиме быстрого движения.

В работе рассматривается именно инерционный режим, поскольку он реализуется при гравитационном течении гранулированных сред в аппаратах порошковой технологии.

Цель настоящей работы заключается в следующем: создание адекватной опытным данным математической модели динамики высококонцентрированной гранулированной среды при напорном и гравитационном течении в рамках существующей «теории быстрых движений гранулированных сред»;

- разработка метода расчета процессов смешения и усреднения зернистых сред применительно к аппаратам порошковой технологии;

- выявление основных закономерностей динамики зернистых сред и определение режимных и геометрических параметров, влияющих на распределение полей скорости и концентрации при инерционном режиме движения гранулированной среды.

Научно-практическая ценность работы заключается в следующем: предложенные математические модели динамики высококонцентрированной гранулированной среды позволяют получать физическую картину течения зернистых материалов при гравитационном и напорном движении, а также прогнозировать распределение локальных и интегральных характеристик течения и проводить параметрический анализ при инерционном режиме течения высококонценгрированной гранулированной среды; предложенный метод расчета процесса смешения гранулированных сред позволяет выявлять геометрические и режимные параметры, влияющие на время смешения и качество полученной смеси; предложенные методики расчета гидродинамики и процессов смешения гранулированных сред могут применяться при совершенствовании существующих и проектировании новых способов и конструкций в, аппаратах порошковой технологии; внедрена методика расчета течения неньютоновской среды применительно к процессу прессования таблеток на ОАО «НЗХК» по договору № 17/10 НИИ ПММ ТГУ от 01.09.2010 (копия акта внедрения методики находится в приложении к диссертации); внедрена методика расчета гидродинамики и процессов усреднения гранулированных материалов в каналах сложной формы в лаборатории № 34 НИИ ПММ ТГУ (копия акта внедрения представлена в приложении).

Исследования диссертационной работы проводились при частичной поддержке гранта РФФИ № 11-08-00931-а (2011-2012 гг.), руководитель проекта: профессор A.B. Шваб. На защиту выносятся: оригинальная полуэмпирическая модель движения высококонцентрированной гранулированной среды при инерционном режиме течения; новая постановка граничных условий, учитывающая наличие застойных зон в случае сложной геометрии течения зернистой среды; новые результаты численного моделирования гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии на основе оригинальной модели и известных моделей ньютоновской и неньютоновской «степенной» жидкости с использованием предложенных граничных условий. Анализ влияния основных геометрических и режимных параметров на характер динамики зернистой среды.

- модель смешения двухкомпонентной гранулированной среды, базирующаяся на решении нестационарного конвективно-диффузионного уравнения переноса концентрации ключевого и основного компонентов смеси с использованием разработанной модели динамики высококонцентрированной зернистой среды. результаты численного моделирования процессов смешения при непрерывном и циклическом смешивании гранулированных сред в разделителях, дозаторах и в пневматическом циркуляционном аппарате. Закономерности по влиянию основных геометрических и режимных параметров, оказывающих влияние на интенсивность процесса смешения в аппаратах порошковой технологии.

Апробация работы: Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на всероссийских конференциях: XV Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых «ВНКСФ-15» (Кемерово-Томск, 2009); V Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2009); Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» (Пермь, 2009); VI Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2010); XVI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и. молодых ученых «ВНКСФ-16» (Волгоград, 2010); Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2010); VII всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики». (Томск, 2011).

Публикации по теме исследования. Основные результаты диссертации представлены в научных трудах вышеперечисленных конференций, а также опубликованы в журналах и приложениях к журналам рекомендованных ВАК: «Вестник Томского государственного университета.

Математика и механика»; «Известия вузов. Физика»; «Инженерно-физический журнал».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Работа содержит 145 страниц машинописного текста и 85 рисунков. Список цитируемой литературы включает 97 наименований.

5.7 Выводы

Построен оригинальный метод расчета процессов смешения и усреднения гранулированных материалов в исследуемых аппаратах, основой которого являются предложенные модели движения зернистой среды и нестационарное конвективно-диффузионное уравнение переноса ключевого и основного компонентов смеси.

На основе разработанного метода расчета смешения зернистых сред получены новые результаты и выявлены закономерности в распределении нестационарных полей ключевого и основного компонентов смеси, показана роль конвективного и диффузионного переноса концентрации, а также параметры, влияющие на интенсивность процесса смешения гранулированных сред.

Заключение

1. Разработана оригинальная полуэмпирическая модель динамики высококонцентрированной зернистой среды, в рамках существующей «теории быстрых движений гранулированных сред», работоспособность и достоверность которой устанавливается сравнением с экспериментальными данными.

2. Предложена новая постановка граничных условий, позволяющих адекватно опытным данным описывать распределения поля скорости, а также учитывать наличие застойных зон в случае сложной геометрии течения гранулированной среды.

3. Разработаны новые способы расчета динамики высококонцентрированной гранулированной среды в инерционном режиме движения, основой которых являются предложенная модель, а также известные модели ньютоновской и неньютоновской жидкости с применением оригинальных граничных условий.

4. На основе предложенных моделей получены новые результаты исследований течения зернистой среды при гравитационном и напорном движении в канале с внезапным сужением в плоской и трехмерной постановке, в наклонном открытом лотке, между двумя пластинами с различным углом полураствора (сужающийся канал) и в пневматическом циркуляционном аппарате.

5. Построен оригинальный метод расчета процессов смешения и усреднения гранулированных материалов в исследуемых аппаратах, основой-которого являются предложенные модели движения зернистой среды и нестационарное конвективно-диффузионное уравнение переноса ключевого и основного компонентов смеси.

6. На основе разработанного метода расчета смешения зернистых сред получены новые результаты и выявлены закономерности в распределении установившихся и нестационарных полей ключевого и основного компонентов смеси, показана роль конвективного и диффузионного переноса концентрации, а также параметры, влияющие на интенсивность процесса смешения гранулированных сред.

Автор диссертационной работы выражает благодарность учителю и научному руководителю: доктору физико-математических наук, профессору Александру Вениаминовичу Швабу.

1. А. с. 770520 СССР. Пневматический смеситель порошкообразных и гранулированных материалов / В.А Шваб, Ю.А. Бирюков, JI.H. Богданов, Б.Г. Свищев, Р.Н. Спасских, А.Т. Росляк, П.Н. Зятиков, В.К. Гордеев (СССР); опубл. 15.10.80, Бюл. № 38.

2. Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен / Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. М. : Мир, 1990. - В 2-х т.

3. Астарита Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей / Дж. Астарита, Дж. Марручи. М. : Мир, 1978. - 309 с.

4. Ахмадиев Ф.Г. Теоретическое исследование процесса смешения композиций, содержащих твёрдую фазу, в непрерывно действующем смесителе / Ф.Г. Ахмадиев, A.A. Александровский, И.П. Семенов // Теор. основы хим. технологии. 1978. - Т. 12, № 2. - С. 256 - 261.

5. Аэрофизика и геокосмические исследования: сб. ст. / И.В. Ширко, A.B. Семенов. М.: МФТИ, 1984. - 100 с.

6. Берд Р. Явления переноса / Р. Берд, В. Стьюарт, Е. Лайтфут. М. : Химия, 1974.-688 с.

7. Борисевич В. А. Экспериментальное исследование течения сыпучей среды (песка) в вертикальных трубах / В.А. Борисевич // Труды института энергетики. Изд-во АН БССР, 1960.

8. Весовое дозирование зернистых материалов / С. В. Першина и др.. М. : Машиностроение, 2009. - 260 с.

9. Ю.Гельперин Н.И. Структура потоков и эффективность колонных аппаратов химической промышленности / Н.И. Гельперин, B.JI. Пебалк, А.Е Костанян. -М. : Химия, 1977.-264 с.

10. Гениев Г.А. Вопросы динамики сыпучей среды / Г.А. Гениев. М. : Госстройиздат, 1958. - 122 с.

11. Годунов С.К. Разностные схемы. Введение в теорию / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М. : Наука, 1973. - 400 с.

12. Голованов Ю.В. Обзор современного состояния механики быстрых движений зернистых сред /Ю.В. Голованов, И.В. Ширко // Механика гранулированных сред: теория быстрых движений: сб. ст. / под. ред. И.В. Ширко. М. : Мир, 1985. - С. 271 - 279.

13. Горбис З.Р. Теплообмен и гидромеханика дисперсных сквозных потоков / З.Р. Горбис. -М.: Энергия, 1970.-424 с.

14. Гячев Л.В. Основы теории бункеров и силосов / JI.B. Гячев. Барнаул : Изд-во Алт. политехи, ин-та им.И.И. Ползунова, 1986. - 84с.

15. Долгунин В.Н. Быстрые гравитационные течения зернистых материалов: техника измерения, закономерности, технологическое применение / В.Н. Долгунин, В.Я. Борщев. -М. : Машиностроение-1, 2005. 112 с.

16. Зайцева Е.В. Моделирование гидродинамики высококонцентрированной гранулированной среды в порошковой технологии / Е.В., Зайцева, Ю.Н. Рыжих, A.B. Шваб // Теплофизика и аэромеханика. 2001. - Т. 8, № 4. -С. 551 -561.

17. Кафаров В.В. Математическое моделирование основных процессов химических производств / В.В. Кафаров, М.Б. Глебов. М. : Высшая школа, 1991.-400 с.

18. Кафаров В.В. Системный анализ процессов химической технологии / В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов. М. : Наука, 1976. - 500 с.

19. Кафаров В.В. Системный анализ процессов химической технологии: процессы измельчения и смешения сыпучих материалов /В.В. Кафаров, И.Н. Дорохов, С.Ю. Арутюнов. М. : Наука, 1985. - 440 с.

20. Латкин Л.С. Перспективные процессы переработки дисперсного сырья / Л.С. Латкин. Петропавловск-Камчатский : Изд-во Камчат. гос. техн. унта, 2004. - 126 с.

21. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа / Л.Г. Лойцянский. М. : Дрофа, 2003. - 840 с.

22. Макаров Ю.И. Аппараты для смешения сыпучих материалов / М.Ю. Макаров. М. : Машиностроение, 1973. - 215 с.

23. Макаров Ю.И. Проблемы смешивания сыпучих материалов / Ю.И. Макаров // Ж. Всес. Хим. о-ва им. Д.И. Менделеева. 1988. - Т. 33, № 4. -С.384 - 389.

24. Марценко М.С. Моделирование динамики гранулированных сыпучих высококонцентрированных сред / М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф. ВНКСФ-15. Кемерово-Томск, 26 мар. 2 апр. 2009 г. - Кемерово : Изд-во АСФ России, 2009. - С. 250 - 251.

25. Марценко М.С. Исследование течения высококонцентрированной гранулированной сыпучей среды в сужающемся канале / М.С. Марценко,

26. A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. ФХВС-5. Томск, 22-25 апр. 2009 г. -Томск : ТМЛ-Пресс, 2009. С. 334 - 337.

27. Марценко М.С. Моделирование гидродинамики и процесса усреднения гранулированной среды в порошковой технологии / М.С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. НПСС. Пермь, 4-5 дек. 2009 г. Пермь, 2009.-С. 185-188.

28. Марценко М.С. Исследование трехмерного течения гранулированного материала в канале сложной формы / М:С. Марценко, A.B. Шваб // Тез. докл. всерос. конф. ФХВС-6. Томск, 14-17 апр. 2010 г. Томск : ТМЛ-Пресс, 2010.-С. 198-202.

29. Матур К. Фонтанирующий слой / К. Матур, Н. Эпстайн. Л. : Химия, 1978.-288 с.

30. Механика гранулированных сред: теория быстрых движений: сб. ст. / под. ред. И.В. Ширко. М. : Мир, 1985. - 280с.

31. Михалева З.А. Методы и оборудование для переработки, сыпучих материалов и твердых отходов / З.А. Михалева, A.A. Коптев, В.П. Таров. -Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2002. 64 с.

32. Мордасов Д.М. Технические измерения плотности сыпучих материалов / Д.М. Мордасов, М.М. Мордасов. Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. - 80 с.

33. Мруз 3. Неассоциированный закон течения в описании пластического течения гранулированных сред / 3. Мруз, Ч. Шиманский // Механика гранулированных сред: теория быстрых движений: сб. ст. / под. ред. И.В. Ширко. М. : Мир, 1985. - С.9 - 43.

34. Муштаев В. И. Сушка дисперсных материалов / В.И. Муштаев, В.М. Ульянов. М. : Химия, 1988. - 352 с.

35. Николаевский В.Н. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды / В.Н. Николаевский // Прикладн. матем. и механика. 1971. - Т. 35, № 6. - С. 1070 - 1082.

36. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. М. : Энергоатомиздат, 1984. - 152.

37. Пейре Р. Вычислительные методы в задачах механики жидкости / Р. Пейре, Т. Тейлор. JI. : Гидрометеоиздат, 1986. - 351 с.

38. Першин В.Ф. Переработка сыпучих материалов в машинах барабанного типа / В.Ф. Першин, В.Г. Однолько, C.B. Першина. М. : Машиностроение, 2009. - 220 с.

39. Петухов Б.С. Теплообмен и сопротивление при ламинарном течении жидкости в трубах / Б.С. Петухов. М. : Энергия, 1967. - 412 с.

40. Раскин Х.И. Применение методов химической кинетики к задачам вибрационного воздействия на сыпучие среды // ДАН СССР. 1975. - Т. 220, №1.-С. 54-57.

41. Рейнер М. Реология / М. Рейнер. М.: Наука, 1965. - 224 с.

42. Реология. Теория и приложения / под ред. Ф. Эйриха. М. : ИЛ, 1962. - 824 с.

43. Рогинский Г.А. Дозирование сыпучих материалов / Г.А. Рогинский. М. : Химия, 1978.-176 с.

44. Романков П.Г. Гидромеханические процессы химической технологии /П.Г. Романков, М.И. Курочкина. Л. : Химия, 1982. - 288 с.

45. Романков П.Г. Массобменные процессы химической технологии / П.Г. Романков, В.Ф. Фролов. Л. : Химия, 1990. - 384 с.

46. Росляк А.Т. Пневматические методы и аппараты порошковой технологии / А.Т. Росляк, Ю.А. Бирюков, В.Н. Пачин. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990. -273 с.

47. Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. М.: Мир, 1980. -616 с.

48. Рыжих, Ю.Н. Гидродинамика и процессы усреднения гранулированных материалов в аппаратах порошковой технологии: дис. . канд. физ.-мат. наук : защищена 25.03.2005 : утв. 5.10.2005 / Ю.Н. Рыжих. Томск, 2005. - 126 с.

49. Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений / A.A. Самарский, Е.С. Николаев. М.: Наука, 1978. - 592 с.

50. Селиванов К.Т. Расчет и проектирование циркуляционных смесителей сыпучих материалов без внутренних перемешивающих устройств /К.Т. Селиванов, В.Ф. Першин. М.: Машиностроение-1, 2004. - 120 с.

51. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды / В.В. Соколовский. М. : Физматгиз, 1960. - 243 с.

52. Стренк Ф. Перемешивание и аппараты с мешалками / Ф. Стренк. JI. : Химия, 1975.-384 с.

53. Уилкинсон У. Неньютоновские жидкости / У. Уилкинсон. М. : Мир, 1964.-216 с.

54. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей / К. Флетчер. -М. : Мир, 1991.-В 2-х т.

55. Хайруллин М.М. Численное исследование течения неньютоновской жидкости в канале с использованием дифференциальной реологической модели / М.М. Хайруллин, М.С. Марценко // Тез. докл. всерос. конф.

56. ВНКСФ-16. Волгоград, 22-29 апр. 2010 г. Екатеринбург; Волгград : Изд-во АСФ России, 2010. - С. 631 - 633.

57. Хаппель Дж. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса / Дж. Хаппель, Г. Бреннер. М. : Мир, 1976. - 631 с.

58. Шваб A.B. Исследование движения плотного слоя гранулированной среды и процесса смешения в сужающемся канале / A.B. Шваб, М.С. Марценко // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2010. - № 4 (12). - С. 123 - 130.

59. Шваб A.B. Модель движения высококонцентрированной гранулированной среды / A.B. Шваб, М.С. Марценко // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2011. - № 3 (15). - С. 108 - 116.

60. Шваб A.B. Моделирование гидродинамики и процесса усреднения высококонцентрированной гранулированной среды в аппаратах порошковой технологии / A.B. Шваб, М.С. Марценко, Ю.Н. Рыжих // Инж.-физ. журнал.-2011.-Т. 84, № 4. С. 676-681.

61. Шваб A.B. Моделирование гидродинамики неньютоновской жидкости на основе дифференциальной реологической модели / A.B. Шваб, М.С. Марценко, М.М. Хайруллин // Изв. вузов. Физика. 2009. - № 7/2. - С. 210 -215.

62. Ширко И.В. Статистическое исследование течений гранулированных сред // Деп. в ВИНИТИ 12.04.1982; № 1738-82.

63. Ширко И.В. Феноменологическая теория быстрых движений гранулированной среды, основанная на методах статистической механики / И.В. Ширко, В.А. Сахаров // Теор. основы хим. технологии. 1987. - Т. 21,№5.-С. 661 -668.

64. Штербачек 3. Перемешивание в химической промышленности / 3. Штербачек, П. Тауск. JI. : Госхимиздат, 1963. - 416 с.

65. Шубин М.Н. Технологические машины и оборудование: сыпучие материалы и их свойства / М.Н. Шубин, М.М. Свиридов, В.П. Таров. -Тамбов : Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2005. 76 с.

66. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей / З.П. Шульман. М. : Энергия, 1975. - 351 с.

67. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / Н.Н. Яненко. Новосибирск : Наука -Сибирское отделение, 1967. - 191 с.

68. Ahmadi G. Towards a turbulent modeling of rapid flow of granular materials / G. Ahmadi, M. Shahinpoor // Powder Technology. 1983. - Vol. 35, № 2. -P. 241-248.

69. Akiyama T. Experimental study on vibration-induced convection and heaping in granular beds / T. Akiyama etal. // Granular Matter. 1998. - Ch. 1. -P. 15-20.

70. Araujo A. Numerical simulation of particle flow in a sand trap / A. Araujo et al. // Granular Matter. 2009. - Ch. 11. - P. 193 - 200.

71. Bagnold R. Experiments on a gravity free dispersion of large solid spheres in a newtonian fluid under shear / R. Bagnold // Proc. Roy. Soc. London. 1954. A225. -P. 49 -63.

72. Douglas J. A general formulation of alternating direction methods. Part I. Parabolic and hyperbolic problems / J. Douglas, J. Gunn // Numer. Math. -1964.-Vol. 6.-P. 428-453.

73. Chorin A. Numerical solution of Navier-Stokes equations / A. Chorin // J. Math. Comput. 1968. - Vol. 22. - P. 745 - 762.

74. Goodman M. Two problems in the gravity flow of granular materials / M. Goodman, S. Cowin // J. Fluid Mech. 1971. - Vol. 45. - Pt. 2. - P. 321 - 339.

75. Haff P. Grain flow as a fluid-mechanical phenomenon / P. Haff // J.Fluid Mech. 1983. Vol. 134. - P. 401 - 430.

76. Hutter K. Rapid Plane Flow of Granular Materials down a Chute / K. Hutter, T. Sheiwiller // Mechanics of granular materials. -Amsterdam : Elsevier Science Publishers, 1983. P. 283 - 293.

77. Jain N. Regimes of segregation and mixing in combined size and density granular systems: an experimental study / N. Jain, J. Ottino and R. Lueptow // Granular Matter. 2005. - Ch. 7. - P. 69 - 91.

78. Jenkins J. A theory for the rapid flow of identical, smooth, nearly elastic particles / J. Jenkins, S. Savage // J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 130. -P. 187-202.

79. Kanatani K. A micropolar continuum theory for flow of granular materials / A. Kanatani // Int. J. Engng. Sci. 1979. - Vol. 17. - P. 419 - 432.

80. LaMarche K. Cellular automata model of gravity-driven granular flows / K. LaMarche et al. // Granular Matter. 2007. - Ch. 9. - P. 219 - 229.

81. McTigue D. • A model for stresses in shear flow of granular material / D. McTigue // Proc. U.S. Japan seminar on continuum mechanical and statistical approaches in the mechanics of granular materials. Tokyo, 1978. -P. 266-271.

82. Nedderman R. The Flow of Granular Materials Round Obstacles / R. Nedderman, S. Davies and D. Horton // Powder Technology. 1980. - Vol. 25, №2.-P. 215 -223.

83. Nedderman R., Tuzun U. A kinematic model for the flow of granular materials / R. Nedderman, U. Tuzun // Powder Technology. 1979. - Vol. 22, №. 2. -P. 243 -253.

84. Reynolds O. On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact, with experimental illustrations / O. Reynolds // Phil. Mag. -1885. Vol. 20. -Ser. 5.-P. 469-481.

85. Savage S. Gravity flow of cohesionless granular materials in chutes and channels / S. Savage // J. Fluid Mech. 1979. - Vol. 92. - Pt. 1. - P. 53 - 96.

86. Savage S. The stress tensor in a granular flow at high shear rates / S. Savage, D.

87. Jeffrey // J. Fluid Mech. 1981. - Vol. 110. - P. 255 - 272. 94.Savage S. Stress developed by dry cohesionless granular materials sheared in an annular shear cell / S. Savage, M. Sayed // J.Fluid Mech. - 1984. Vol. 142. -P. 391 -430.

88. Schwammle V. A model for barchan dunes including lateral shear stress / V.