Моделирование характеристик рассеяния волн групповыми отражателями и отражателями сложной структуры тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

УДК 534 26 537 874 6

На правах рукописи

Скородумова Елена Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАССЕЯНИЯ ВОЛН ГРУППОВЫМИ ОТРАЖАТЕЛЯМИ И ОТРАЖАТЕЛЯМИ СЛОЖНОЙ

СТРУКТУРЫ

01 04 03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003158738

Работа выполнена на кафедре "теории вероятностей и прикладной математики" Московского технического университета связи и информатики (МТУСИ)

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор Кюркчан Александр Гаврилович

Официальные оппоненты, доктор физико-математических наук

заведующий лабораторией Калошин Вадим Анатольевич доктор технических наук профессор Чебышев Вадим Васильевич

Ведущая организация Институт земного магнетизма, ионосферы

и распространения радиоволн РАН им Н В Пушкова, г Троицк, Московская область

Защита состоится 02 ноября 2007 года в 10® на заседании диссертационного совета К 212156 05 в Московском физико-техническом институте (Государственном университете) по адресу 141700, г Долгопрудный, Московская область, Институтский пер , д 9, ауд 119 Главного корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МФТИ (ГУ)

Автореферат разослан « / » октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета К 212 156 05 к.ф -м н , доцент

Коршунов С М

Общая характеристика работы.

Актуальность темы диссертации Задача рассеяния волн группой тел и телами сложной формы представляет большой интерес в различных областях науки и технических дисциплинах, например, таких как радиофизика, оптика, радиоастрономия, лазерная дефектоскопия, радиолокация, астрофизика, метеорология и др В связи с этим возникает потребность в эффективном решении такой задачи, позволяющем получать необходимые для исследователей характеристики рассеяния таких объектов

Для решения задач рассеяния и дифракции было разработано большое количество аналитических, численно-аналитических, численных и асимптотических методов Известно, что аналитическое решение задачи может быть получено лишь для некоторых простейших случаев Так, для векторных задач рассеяния аналитическое решение существует лишь для сфер и идеально проводящих сфероидов Решение же задачи рассеяния волн на группе тел можно получить только численно, либо асимптотически К наиболее распространенным численным методам относятся методы (объемных, поверхностных) интегральных уравнений, метод Т-матриц, метод дискретных источников, метод дискретно-дипольной аппроксимации и др Необходимо отметить, что выбор того или иного метода решения зависит от геометрии рассеивателей, материала и расстояния между ними Если рассеиватели имеют изломы границы, некоторые численные методы становятся вообще неприменимыми Например, метод дискретных источников, строго говоря, не применим для тел с изломами границы, так как в соответствии с теоремой существования, носитель дискретных источников должен охватывать особенности дифракционного поля, а они в рассматриваемой ситуации будут, в том числе, и на границах рассеивателей В методе интегральных уравнений и методе Т-матриц для получения корректных алгоритмов, как правило, прибегают к закруглению изломов границы Следует также отметить, что при использовании методов интегральных уравнений сближение исследуемых объектов вплоть до соприкосновения влечет за собой резкое увеличение вычислительных затрат, связанное с возникновением дополнительных возмущений токов В методе Т-матриц размер алгебраической системы, получаемой в ходе решения исходной краевой задачи, зависит от геометрических параметров всей совокупности тел Это, в свою очередь, влечет за собой непомерное увеличение затрат ресурсов ЭВМ в случаях, когда рассеиватели достаточно далеки друг от друга

Отметим также, что в большинстве упомянутых выше методов в качестве искомой величины выступает распределение тока, являющееся, как правило, промежуточной величиной, которая используется в дальнейшем для расчета интегральных характеристик рассеяния, например, таких, как диаграмма рассеяния, эффективная площадь рассеяния и т п

Несмотря на обилие существующих к настоящему моменту численных методов решения задач рассеяния, область решаемых этими методами задач остается все еще достаточно узкой В основном при помощи этих методов эффективно решаются задачи рассеяния на группах тел сравнительно простой геометрии, а главное, небольших размеров по сравнению с длиной волны падающего поля Таким образом, проблема эффективного решения задач рассеяния волн на группе тел и телах произвольной геометрии является весьма актуальной

Данная диссертация выполнялась в соответствии с научным планом и в рамках работ по проектам РФФИ

Цель диссертационной работы. Целью диссертации является разработка эффективного универсального метода решения трехмерных скалярных и векторных задач дифракции на группе рассеивателей и рассеивателях сложной геомет-

рии в достаточно широком диапазоне размеров и геометрий На основе разработанного метода должен быть создан алгоритм численного решения задачи дифракции и проведены исследования характеристик рассеяния волн группой тел и телами сложной формы

Метод исследования В качестве основного метода исследования характеристик рассеяния выбран метод диаграммных уравнений (МДУ) В данной работе этот метод распространен на решение трехмерных задач дифракции на группе тел и на телах сложной формы, для которых интегральное представление Зом-мерфельда-Вейля, ключевое для МДУ, оказывается расходящимся на части границы рассеивателя

Научная новизна работы Впервые МДУ был предложен А Г Кюркчаном для решения двумерной скалярной задачи дифракции волн на компактном препятствии Этот метод был им впоследствии применен к решению широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн Речь идет о таких задачах, как рассеяние волн одиночным телом и двумерной группой тел как в однородном пространстве, так и в плоскослоистой среде, дифракция волн на многорядной периодической решетке вблизи плоской границы раздела сред, распространение волн в диэлектрических волноводах сложного поперечного сечения и др

Научной новизной работы является распространение МДУ на скалярные и векторные трехмерные задачи рассеяния волн группой тел и телами сложной геометрии с различными вариантами краевых условий Этот метод не имеет аналогов ни среди российских, ни среди зарубежных методов Он обладает высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, слабо зависящей от геометрии рассеивателей и расстояния между ними

Основу метода составляет сведение исходной краевой задачи для уравнений Максвелла к системе интегрооператорных уравнений II рода относительно диаграмм рассеяния При этом используется обобщенное представление Зом-мерфельда-Вейля дифракционного поля в виде интеграла плоских волн, спектральной функцией в котором является диаграмма рассеяния Далее эта система интегрооператорных уравнений алгебраизуется с использованием разложения искомой функции в ряд по векторным угловым сферическим гармоникам, образующим ортогональный базис на единичной сфере, и последующим проектированием левой и правой частей равенства на этот же базис При определенных ограничениях на геометрию задачи, которые могут быть строго установлены, полученная бесконечная алгебраическая система разрешима методом редукции, те усечения

Основная идея МДУ, использовавшаяся при выводе системы интегрооператорных уравнений, состояла в том, что по диаграммам рассеяния волновое поле может быть продолжено вплоть до выпуклых оболочек особенностей, что в свою очередь позволяет найти эти диаграммы из соответствующей краевой задачи

Следует также отметить, что МДУ является строго обоснованным методом, и для него установлены точные границы применимости Это отличает МДУ от других численных методов, которые, как правило, не имеют явного строгого обоснования

В результате проведенных исследований было показано, что на основе МДУ можно получать с приемлемой для практики точностью решения задач дифракции на группе тел и телах сложной формы в различных диапазонах частот При этом было установлено, что МДУ применим для эффективного моделирования характеристик рассеяния различных тел сложной формы и произвольно неоднородных материальных параметров с помощью замены их комбинацией рассеивателей малых размеров

При рассмотрении МДУ для группы тел с импедансными краевыми условиями была проведена численная проверка теоремы Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела, имеющего тот же теневой контур Результаты проверки этой теоремы подтвердили ее справедливость для группы тел, в случае, если их размеры составляют несколько длин волн падающего поля Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с данными для одиночных рассеивателей

Основные результаты работы Автором получены и выносятся на защиту следующие результаты

- Распространение метода диаграммных уравнений на трехмерные задачи дифракции волн на группе тел и телах сложной формы с различными краевыми условиями,

- Установлено, что скорость сходимости алгоритма МДУ для группы тел различной геометрии слабо зависит от геометрии рассеивателей и расстояний между ними,

- На основе МДУ предложен и реализован алгоритм численного решения скалярных и векторных задач как для групп тел с различной геометрией, так и для различных краевых условий,

- Исследовано взаимное влияние объектов, расположенных на различных расстояниях и установлены границы, при которых им можно пренебречь без существенной потери точности,

- Показана возможность моделирования характеристик рассеяния тел сложной геометрии и произвольных материальных параметров при помощи замены их комбинацией объектов более простой формы,

- Показано, что метод диаграммных уравнений позволяет находить не только диаграммы рассеяния тел, но и восстанавливать по ним поле практически в любой точке пространства Показано также, что нормированные диаграмма рассеяния и поле на расстояниях, удовлетворяющих условию дальней зоны, практически совпадают,

- Осуществлена оценка правильности всех численных исследований с использованием как проверки оптической теоремы, которая показала хорошую точность, не зависящую от расстояния между рассеивателями, так и сравнения с другими численными методами

Практическая значимость результатов работы связана с более точным и эффективным моделированием характеристик рассеяния волн группами тел произвольно сложной геометрии и материальных параметров В астрофизике практическим применением метода, развитого в данной работе, является возможность интерпретировать различные астрономические явления, обусловленные рассеянием волн малыми частицами Точная информация относительно рассеивающих свойств небольших частиц пыли принципиальна для понимания химического, теплового и динамического поведения межпланетного, межзвездного и околозвездного вещества В медицинской диагностике результаты моделирования характеристик рассеяния группы тел могут быть применены, например, при исследовании частиц крови, преимущественно эритроцитов

Достоверность научных выводов. МДУ является математически строго обоснованным Оценка правильности полученных результатов осуществлялась путем проверки оптической теоремы Там, где было возможно, результаты расчетов диаграмм рассеяния сравнивались с результатами, полученными при помощи других численных методов

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Научно-технической конференции профессорско-преподавательского, научного и инже-

нерно-технического состава МТУСИ (Москва, 2004, 2005 и 2006), 8-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (8th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (Гранада, Испания, 2005), на Научном семинаре «Акустика неоднородных сред» (Москва, 2005), на Общероссийском научном семинаре «Математическое моделирование волновых процессов» в РосНоУ (Москва, 2006), Московской отраслевой научно-технической конференции «Технологии информационного общества» (Москва, 2007), на международной конференции «Дни дифракции» (Days on Diffraction) (Санкт-Петербург, 2007), 10-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (10th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (Бодрум, Турция, 2007), Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», INTERMATIC - 2007 (Москва, 2007)

Структура и объем диссертационной работы Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Основные результаты работы изложены в выводах, которые находятся в конце каждой главы, а также в заключении Материал изложен на 138 страницах, включая 54 рисунка, 15 таблиц и библиографию из 113 наименований

Краткое содержание работы

Во введении рассмотрены цели работы и описаны методы ее достижения Сделан краткий обзор существующих методов решения задач дифракции Приведена краткая характеристика метода диаграммных уравнений (МДУ), его истоков и сравнение с другими численными методами

В первой главе рассматривается скалярная задача рассеяния волн группой тел и телами сложной формы с импедансными краевыми условиями

Известно, что существует широкий класс физических задач, в которых для описания поля достаточно одной (скалярной) функции Так, например, в электромагнитном поле оптического диапазона вследствие его очень высокой частоты (порядка 1014сек-1) измеряются не мгновенные значения этих величин, а лишь значения, усредненные по времени в интервале, большом по сравнению с периодом колебаний световых волн Более того, как правило, имеют дело с естественным светом, где в наблюдаемом (макроскопическом) поле нет преимущественных направлений поляризации Это позволяет пренебречь векторной природой световых волн и описывать их поведение в рамках скалярной теории дифракции Поэтому решение обозначенной выше задачи может найти широкое применение в оптике

Рассмотрим трехмерную скалярную задачу дифракции первичного волнового поля U на группе из N компактных тел (препятствий), ограниченных поверхностями Sj,j = l,N Для определенности будем рассматривать случай N = 2 Отметим, что в случае произвольной совокупности отражателей развитый в данной главе подход полностью сохраняется

Для решения задачи дифракции на рассеивателе сложной геометрии будем заменять его комбинацией объектов более простой формы Расположив их на минимальном расстоянии друг относительно друга, сведем ее, таким образом, к задаче дифракции на группе тел

Пусть на границах SJ}j =l,N заданы импедансные краевые условия (условия Леонтовича) для каждого тела

гкС дП]

где - - дифференцирование в направлении внешней к £ нормали,

дп]

к = ©^/^г - волновое число, X] — поверхностный импеданс, постоянный на границе рассеивателя , С, = ^¡/л/е - волновое сопротивление среды Дифракционное поле и1 должно также удовлетворять уравнению Гельмгольца и условию

излучения на бесконечности

Основной идеей МДУ является сведение исходной краевой задачи к системе интегрооператорных уравнений II рода относительно диаграмм рассеяния (диаграмм волнового поля) Как известно, диаграмма рассеяния является функцией,

определяющей зависимость дифракционного поля ¡7] от углов {в],(р1) в сферической системе координат [г^О^ф^ в так называемой дальней зоне (при Ьг] »1) Это означает, что вторичное поле может быть представлено в виде

-1кг,

и) = е—

1 кг.

с \ 1

где g] (в], ) - диаграмма рассеяния отражающего объекта

Проиллюстрируем кратко идею вывода системы интегрооператоных уравнений МДУ Исходным моментом для получения искомой системы служат интегральные представления Зоммерфельда-Вейля волнового поля Поскольку полное поле и представляет собой суперпозицию трех слагаемых и = и" + и\ +1]\, где С/',у=1,2, - поле, порожденное «токами», распределенными на - поверхности ./-го тела, то для него можно выписать следующие представления

и=и'

_ —Н<ю

1 2л 2

I I

2т } I

+-

—+1 СО

1 2я- 2

ЫI

,-Лф. гг

2т

(а, Р\ вх, ф1) эт а йа й/З +

(2)

и=и° +

—•+1СО

1 2л- 2

— / /

2т * *

„ —+100 2 я 2

-7

2т I I

е Г' §1 («' Р) яч « а<х

(3)

где

р_ = (sin orcos/?; sinasin/?, -cosa}, g (ar,/?,^,^) — обобщенная диаграмма рассеяния j-го тела в системе координат, повернутой таким образом, что ось OZ оказывается совмещенной с направлением в точку наблюдения

Представления (2)-(3) позволяют найти функцию U всюду в R?\BJt j =1,2, где Bj - выпуклая оболочка особенностей аналитического продолжения волнового поля U внутрь j -го рассеивателя

Диаграммы g](a,P',6J,(p]) и g}(в],<р}) выражаются следующими интегралами

J )v} Щ, (гу; ад ) ехр {(в], ср)) eos у]} d0\ dcp\, (4)

¿71 Я

gj(oc,P) = j jVy {в],(р])К] (rJ-e],(p])tw9{ikp] (0, ,^)cos 7j} de]d(P], (5)

o o

в которых были введены следующие обозначения

2 ,„ ч • л dU , . п dU PJPj dU

drj ' J"' 1 dOj sin Oj d<Pj

, (6)

P, eos Y, sin в] - p)e¡ sin 9J

rrP,

б eos yj p'jb dcos Yj

При этом

дв} sin в] d(p¡ cos y j = sin 0j sm a cos {(p - P) + cos в] cos a,

cosi?; = pr А}1Г,,

P) +

ч2^

Л у

sin Oj +

f л d<Pj

где

pT - (sin a cos /?,sincc sin/?,cos or), =

4 =

-sin^y COS <Pj 0

-cosqjjcosdj - sin <p} cos в sin^

COS (Pj sin в J sin <Pj sin 6] COS Q} J

- матрица поворота j -й системы координат, в результате которого ось OZ совмещается с направлением в точку наблюдения

Подставив теперь представления (2)-(3) в соотношение (5) и учитывая при этом обозначение (6), получим искомую систему интегрооператорных уравнений

gj {а, р-,9й,<р0) = я® (a, J3,e0,%) +

. „ —+/00 j 2яп 2к 2

Ш J llk2p'><Рх)sinв\cosa'gx(a',P'-,ex,cp}) +

8я" 1 о о о о

+ х (7)

66*, sin <9, с?^, <5(3, J

х ехр\ikpx , сру )(cos ух - cos «')] sm a'da'dP'd0xd(px +

л

1 2*T+**>

+— J J g,°0(а,- a',P')g2{7t-a',P'-e„cp0)sma'da dp', 2я1 о 0

g1(a,p-,Gü,<p0) = gl(a,p-,9í),(p9) +

71 _+,00 I In я 2x2

Jíí Í \jk2pl{92,<p2)smd2cosa'*g2(<a',p'-,ei,(p1) + °n 1 о о о 0

(8)

двг дв2 sm02 дср2 д<р2 xexp[z£/?2(025^2)(cos;K2 -oosa,)\sma,da'dp,de2d(p2 +

к

J Í (а,Р,л-а\ J3')gí {ж - а', /Г Д, % ) sm a'da dp'

¿т о о Здесь было введено обозначение

g]{a,PA,<Po) = Rjg'oi^PA^o).

а функция g"j0(a,P;eo,%) определяется соотношениями (5) и (6), в которых величина U должна быть заменена на U0 При этом

(9)

q = {sin 0О cos <р0; sin в0 sin <pQ, cos в0},

Ой,(рй - углы падения плоской волны

При ^ —» со, где ri},i, j — \,1,i Ф j - расстояние между началами координат

исследуемых тел, система (7)-(8) распадается на два независимых уравнения, из которых могут быть определены диаграммы рассеяния каждого из тел без учета их взаимного влияния

Для получения алгебраической системы МДУ воспользуемся разложениями диаграмм рассеяния в обобщенный ряд Фурье

^(сс,р-А,(р0) = aijeü,<p0)Pnm(Cosayml3 (10)

л=0 т=-п

При этом для обобщенной диаграммы из соотношения (4) получим

¿пт(в^)Р;(со5а)е^, (11)

и=О т=-п

где коэффициенты а'пт (в], <р}) определяются следующим соотношением

В этих выражениях Р™ (соэ а) - присоединенные функции Лежандра, а

- обобщенные сферические функции Подставив разложения (10)—(11) в систему (7)-(8), получим алгебраическую систему МДУ относительно неизвестных коэффициентов а'пт

со V

< +] • <12>

у=О ^

I,] =\,2\гФ], и = 0,1,2, ,\т\<п

В этой системе а'пйт - коэффициенты правой части, вид которых определяет падающее поле Эти коэффициенты, а также все матричные элементы = системы (12) представляются в виде двойных интегралов

В случае, когда рассеиватели представляют собой тела вращения, система (12) принимает следующий вид

а' =а'0 + УОл а1 +У У С а1 , (13)

пт пт / , птутит / ( / , ' ^ '

у=\т\ 1'=0

п = 0,1,2,. т\<п,

где теперь величины Очпт ут выражаются однократными интегралами

Найдя диаграммы и g2(в,(р,вй,(р0), определим общую диа-

грамму рассеяния двух тел по следующей формуле

в которой функции Я определяются по формуле (9), а черта означает комплексное сопряжение

Следует отметить, что для корректного применения МДУ к задаче дифракции на группе отражателей необходимо учесть два ограничения Первое из них, как и в случае решения задачи на одиночном рассеивателе, означает, что рассматриваемые объекты должны относиться к классу так называемых слабо невыпуклых тел Таковыми, в частности, являются все выпуклые тела Второе является ограничением на расстояние между отражателями и требует, чтобы они не соприкасались

Приведем кратко вывод асимптотического решения, полученного на основании системы интегрооператорных уравнений МДУ (7)-(8) Введем для этого линейные операторы , такие что

= (14)

п

. —1-/00 1 2я 2

+Т~ / / & {а>Д ^ ^р'> ' ^} зш а'аа'

¿т 0 0

где

p ={smacos/?, smorsin/?, (-1У cosa}, у/ =i 71 ' [n-a,j = 2,

I,j = 1,2,J*I

Пусть Gj (a, /?; <90, ) - диаграмма рассеяния одиночного тела, которая удовлетворяет следующему уравнению

Lj [Gj (а, /3,в0,<р0)] = g°0 (а,/3,в0,(р0) Тогда в силу линейности операторов Lj из соотношения (14) имеем gj {а,р\9й,<Рь) = RjGj (а,/?;<90,^0) +

я

í í ^Gj^'P-y.'P'^^^P^e^úna'da'dp', (15)

o o

Выражения (15) представляют собой систему интегральных уравнений Тверского Как видно из системы (15), решение задачи дифракции на группе тел методом Тверского распадается на две части сначала необходимо определить диаграммы рассеяния одиночных объектов G} (а, /3,в,ср), и лишь после этого решать исходную задачу с учетом их взаимного влияния При использовании же МДУ в процессе решения задачи сразу определяются диаграммы рассеяния тел с учетом их взаимодействия

Оценивая интегралы в соотношении (15) по методу перевала в случае, когда krl2 =kr2l =М» 1, получим, что для диаграммы рассеяния gj(p,q) справедливо следующее соотношение

gj(p;q) * Rfij(p;q) + QGj(p,qv)g,(qf;q), (16)

в котором введены обозначения

г ем

а функция gj(qj,,q) имеет вид

„ R, GJ{qj-,q) + R,GXqiJ,qy , дщ) \-Q2G] (qJt; qtj )G, {4,},4}1) ' Формулы (16), (17) дают асимптотическое решение задачи при условии, что нам известны диаграммы рассеяния одиночных объектов G}{p,q) Полученное решение позволяет проводить вычисления с приемлемой точностью при выполнении неравенства

—-—>— тах(Ааг), (18)

а, + аг тс j

где а - характерные размеры отражающих объектов

На основе предложенного численного алгоритма МДУ были проведены исследования характеристик рассеяния волн группами тел различной геометрии Рассматривались такие тела, как сферы, цилиндры, полусферы и их комбинации

Для вычисления диаграмм рассеяния решалась алгебраическая система вида (13), при этом параметр ее усечения был равен N

Проведено сравнение предложенного метода с методом Тверского для двух сфер, показавшее, что МДУ обладает большей эффективностью Так, например, были проведены соответствующие расчеты для случая 2 = 0, ка12 = 1п,

кгп = кг2] =41 л Рассматривался случай падения плоской единичной волны под углами в0 = л/2, <рй = л 12 Вычисления показали, что разность результатов расчетов по МДУ и по методу Тверского при одних и тех же размерах алгебраических систем составляет не более 1 5 10" (те 10-11 верных цифр) Однако для получения алгебраической системы Тверского требовалось использовать известные в случае сфер диаграммы рассеяния одиночных тел Следует отметить, что аналитическое решение задач дифракции получено только для сфер и сфероидов, к тому же с ограничениями на краевые условия для последних При использовании же МДУ в процессе решения задачи сразу были найдены диаграммы рассеяния для сфер с учетом их взаимного влияния без привлечения дополнительных сведений о характеристиках рассеяния одиночных тел

Численное исследование асимптотического решения показало, что при расстояниях I между телами, удовлетворяющих неравенству (18), асимптотическое решение может применяться с хорошей точностью

Для группы тел с аналитическими границами (сферы) наблюдалась высокая скорость сходимости вычислительного алгоритма Так, при максимальном номере гармоники N в разложениях диаграмм рассеяния, приблизительно равном 1,5Ы (к = 2л¡X, Л - длина волны падающего поля, с/- диаметр сферы), в диаграммах рассеяния устанавливалось 6 верных значащих цифр Такая скорость сходимости присуща только аналитическим методам решения для сфер, но не наблюдается в традиционных численных методах

Для тел с неаналитической границей (цилиндры) скорость сходимости была несколько хуже Для таких тел получить результаты с наперед заданной точностью невозможно, так как в этом случае множество неаналитических точек имеет общие точки с границами рассеивателей SJ Тем не менее, при N ¡» 2Ы в диаграммах рассеяния устанавливалось три-четыре верных значащих цифры

Было проведено исследование взаимного влияния тел, расположенных на различных расстояниях Было показано, что взаимодействие меньше сказывается на уровне и ширине главного лепестка диаграммы рассеяния, поскольку он формируется как результат интерференции полей, рассеянных отдельными отражателями Рассеяние же в области боковых лепестков с учетом и без учета взаимодействия отличается весьма значительно (на десятки процентов) Также было показано, что полный учет взаимного влияния в задаче рассеяния на группе тел важен в случаях, когда минимальное расстояние между точками рассматриваемых объектов меньше, чем характерные размеры исходных отражателей При сравнительно больших расстояниях между телами (начиная с 1-2-х диаметров) учет взаимного влияния может быть осуществлен при помощи использования асимптотического решения (16)—(17), а при дальнейшем его увеличении взаимным влиянием можно вообще пренебречь

Для группы «черных» тел была осуществлена численная проверка выполнимости теоремы П Я Уфимцева Согласно этой теореме интегральный поперечник рассеяния черного тела должен быть в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела, имеющего тот же теневой контур (т е границу мехаду освещенной и теневой частями поверхности тела) Проведен-

ные расчеты для цилиндров с параметрами ках 2 = 3, к1\ 2 = 6 показали, что даже для таких сравнительно небольших тел теорема Уфимцева выполняется с достаточно хорошей точностью Отметим, что ранее для группы тел эта теорема не проверялась

Показана возможность моделирования характеристик рассеяния тел сложной геометрии путем замены их комбинацией объектов более простой формы Так, было проведено моделирование характеристик рассеяния тел простой геометрии (цилиндра и сферы), составленных из половин этих тел Сравнение с диаграммами рассеяния одиночных объектов соответствующих размеров показало, что результаты весьма близки (различия не превышают 0 5%) Также было проведено исследование тел сложной геометрии, составленных из полусферы и цилиндра (те имеющих форму «гриба»), и тел, составленных из двух цилиндров разных размеров («фаната»)

Для подтверждения точности полученных результатов расчетов была выполнена проверка оптической теоремы для групп тел с идеальными краевыми условиями Результаты проверки этой теоремы в случае объектов с аналитическими границами подтвердили ее выполнимость с высокой точностью Для тел с неаналитическими границами точность была заметно ниже, однако также оставалась вполне приемлемой (погрешность не превышала 1%) даже в случае исследования рассеивателей сложной геометрии

Во второй главе исследуется задача дифракции электромагнитных волн на группе тел и телах сложной формы с импедансными краевыми условиями

Рассмотрим задачу дифракции первичного монохроматического электромагнитного поля Е°, Н° с зависимостью от времени в виде ехр(гю?) на группе из N компактных препятствий, ограниченных поверхностями , 7=1,// Как и ранее, рассмотрим случай двух тел При переходе к произвольной совокупности объектов алгоритм принципиально не изменяется Для решения задачи дифракции волн на отражателе сложной геометрии, как и в скалярном случае, будем заменять его комбинацией объектов более простой формы, расположенных друг относительно друга на минимальном расстоянии В результате этого сведем ее к задаче дифракции на группе тел

Пусть на поверхностях £ , у = 1,2, заданы импедансные краевые условия

В этом соотношении п] - единичный вектор нормали к поверхности , Ё = Ё° + Ё\ + Ё\, Й = Н°+Н\+Н\- полное поле, Ё), Й) - вторичное (дифракционное) поле, которое всюду вне границы удовлетворяет однородной

системе уравнений Максвелла, а также условию Зоммерфельда на бесконечности

Как было отмечено ранее, основными характеристиками, для которых ищется решение поставленной задачи, являются диаграммы рассеяния Их взаимосвязь с электрическим и магнитным полями выражается соотношениями

(19)

1

}

У

в которых - диаграммы электрического и магнитного полей, соответст-

венно

Далее традиционная схема МДУ предполагает сведение задачи дифракции к системе интегрооператорных уравнений, аналогичных (7)-(8) Затем эта система обычно алгебраизуется путем подстановки в эту систему разложения диаграмм по некоторому базису, например, по ортогональной системе угловых сферических функций Однако в векторном случае эта схема является слишком громоздкой Поэтому в данной работе приводится более простой способ получения алгебраической системы МДУ, минуя этап интегрооператорных уравнений

Для сведения исходной краевой задачи к системе алгебраических уравнений

воспользуемся представлением диаграмм рассеяния /у (6^,^) и Р^ (в^ср^, у =1,2, в виде бесконечного ряда по векторным угловым сферическим гармоникам

х </(,; хф^^-Е £ку^ио^).. (20

п=1 т=-п п=1 т=—п

£ X хфи^ъ)). (21)

п=I т=~п 4? и=1 т=-п

где &пт {в] ,<р1) = г1 х УР; (соб в}) ехр(т<р]), 7=1,2, г, - радиус-вектор точки

наблюдения, 1Г - единичный орт в сферической системе координат, а'пт и Ь'пт -неизвестные коэффициенты разложения диаграмм рассеяния

Представим волновые поля Щ, Щ в виде следующих разложений по векторным сферическим гармоникам, содержащих искомые коэффициенты

Щ =Х Е {<4 Ъ ' в1' (р,)} ■ (22)

КЯ^Сг,,^,^)-^^^,^,^)}, (23)

и=! ц=—у

где волновые сферические функции выражаются с помощью формул

щт (24)

в которых ^(^.р^^2^)^^^)^»»^). У = 2, /г® - сферические функции Ганкеля 2-го рода

Соотношения (22)-(23) могут быть получены, например, путем подстановки разложений (20)-(21) для диаграмм рассеяния в представления рассеянных полей в виде интеграла по плоским волнам

Основным моментом для получения алгебраической системы уравнений

МДУ является представление коэффициентов а]пт, Ь]пт через граничные значения волнового поля Получая из уравнений Максвелла истокообразные представления

для рассеянных полей и сравнивая их с выражениями (22)-(23), можно установить, что

+ (25)

(26)

где I' ={п] х , /* хЯ)) | , - единичный вектор внешней

нормали к поверхности SJ,

(б ) = Л (соэ^ )ехр(ш^ ),

X™ - величина, комплексно сопряженная х„ > Л ~ сферические функции Бессе-

2и + 1 (п-тУ

ля, ЛГ„М =---—

и(и + 1) (и + т)'

Подставив разложения (22)-(23) в соотношения (25)-(26), получим искомую алгебраическую систему уравнений МДУ

00 V

а' = а}0 + V V (п11-аа а1 +Ол-аЬЪ} + С^''аа а' + п]1,аЪ Ь1

V-1 р=—у

' Ъ1 + У У (вм'Ьа а7 + а-"'66 ^ + вМа а1 + п]1'ьь Ъ1 "I (27)

и = 1,2, ; | т |<и, у,/ = 1,2, у 9^/. Все коэффициенты в этой системе являются суммой двух компонентов

^гипуц ~~ ^птуц ^ ^у^ямде' _ 1> 2

При этом индексом «О» обозначены величины, получаемые при значении импеданса, равном нулю {2} = 0), а индексом « г » - добавочные слагаемые, обусловленные, соответственно, его отличием от нуля

Отметим, что коэффициенты и Ь^, а также все матричные элементы ^лидо —1»2) системы (27) выражаются поверхностными интегралами по SJ

При вычислении матричных элементов системы (27) возникает проблема, связанная с тем, что при у ^ / под интегралами оказываются смешанные произведения векторов, расположенных в различных системах координат (у-й и /-й соответственно) Таким образом, прежде чем вычислять значения этих интегралов, все векторы необходимо привести к единому базису Поэтому для нахождения коэффициентов , <3^, при у*/ целесообразно воспользоваться теоремами сложения для векторных сферических функций

В случае, когда рассеивающие объекты являются телами вращения, система (27) значительно упрощается и принимает вид

a1 =aJ° +

пт пт

Z (Gl

v=max(l,\m\)

aJ +QJJ><*b у +QJI,™ al +Qjl, nm,vm vm nm,vm vm nmym vm nm,vm vm

\l,ab

/ )

vm p

Km = Kl + X (G,

v=max(l,|m|)

JJ,ba j

nm.vm vm

+ GJ]' V +

QßM l nm,vm vm

J>b

nm,vm'

Km )>

и = 1,2, ;\m\<n,j,l = 1,2,

а все коэффициенты в ней теперь можно вычислить с помощью однократных интегралов

Обратим внимание, что ограничения на геометрию рассеивателей и расстояние между ними остаются теми же, что и в скалярном случае

В качестве примеров исследования, были рассмотрены задачи рассеяния на группах таких тел, как сферы, сфероиды и суперэллипсоиды вращения, осевое сечение которых задается уравнением

\2т /■ \2 т ,)

полусферы, а также различные их комбинации

Исследование скорости сходимости вычислительного алгоритма показало, что полученные результаты хорошо согласованы с теми, которые наблюдались в скалярном случае Та же ситуация была и с взаимным влиянием объектов

Было проведено сравнение результатов моделирования характеристик рассеяния волн группой из двух суперэллипсоидов с параметрами ка12 = 2 5,

ксх2=5, »г = 10, расположенных на минимальном расстоянии кА = 0 02, вычисленных при помощи модифицированного метода дискретных источников (ММДИ) и МДУ На рис 1 видно, что диаграммы рассеяния, полученные при помощи этих методов, совпадают с высокой точностью При этом следует отметить, что ММДИ значительно уступает по затратам ресурсов ЭВМ предлагаемому в данной работе подходу Так, для вычисления диаграммы рассеяния, изображенной на рис 1, в ММДИ использовалось 500 дискретных источников, т е система алгебраических уравнений имела размер 1ОООх1000 При решении этой же задачи с помощью МДУ верхний предел N в разложениях (20) был равен 11 Таким образом, полученная алгебраическая система имела размер 572 х 572, т е примерно в 3 раза меньше, чем в ММДИ

Проведено также моделирование характеристик рассеяния тел, на границах составных частей которых заданы разные краевые условия Так, был рассмотрен ряд примеров, в которых поглощающая полусфера закрывает идеально проводящий суперэллипсоид со стороны падения волны Было проведено сравнение диаграмм рассеяния таких объектов с диаграммами рассеяния идеально проводящих тел тех же размеров Исследования показали, что в случае, когда суперэллипсоид

Рис 1 Сравнение МДУ и ММДИ

«защищен», рассеяние в направлении на источник падающей волны заметно слабее Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности представления сложного объекта в виде комбинации более простых тел, т к это позволяет, в том числе, моделировать ситуации, когда компоненты рассеивателя имеют различные проводимости

Для группы «черных» тел осуществлена проверка теоремы Уфимцева Эта теорема справедлива для всех выпуклых тел, линейные размеры и минимальный радиус кривизны которых много больше длины волны

Были проведены численные исследования для двух сфероидов различных размеров при падении плоской волны перпендикулярно оси вращения в случае Зоммерфель-довой модели «черного» тела,

те при ) =1,2, (Со

- характеристическое сопротивление вакуума, равное 120тг) На рис 2 сплошной линией изображены зависимости отношения интегральных поперечников рассеяния для двух тел от расстояния между ними При этом рассматривались группы сфероидов со следующими параметрами 1 ка]2 =3, кс12=6,

2 ка12=4, кс12 = 8, 3 кахг = 5, ксх2=Ю, 4 ка12=6, кс12 =12, 5.каХ2 = 7, Ас, 2 = 14 На графиках штриховой линией обозначено отношение интегральных поперечников рассеяния одиночных объектов соответствующих размеров Как видно из рисунка, при значениях каУ2 > 5 теорема Уфимцева выполняется уже с

достаточно хорошей точностью Заметим, что при увеличении расстояния между исследуемыми телами отношение их интегральных поперечников рассеяния приближается к аналогичному отношению для уединенных объектов Из графиков также видно, что полученные результаты хорошо согласуются с аналогичными исследованиями для одиночных рассеивателей

В третьей главе исследуется задача рассеяния электромагнитных волн на группе диэлектрических тел и диэлектрических телах сложной геометрии Эта задача является более сложной, чем рассмотренные в предыдущих главах, поскольку приходится находить поле не только вне рассеивателей (рассеянное поле), но и внутри них

Пусть на группу из N произвольных препятствий, ограниченных поверхностями SJ, падает первичное монохроматическое поле Е°, Й° Для определенности, как и прежде, будем рассматривать случай N = 2 При переходе к произвольному числу объектов вывод алгоритма принципиально не изменяется Для решения задачи дифракции на диэлектрических телах сложной формы, по аналогии с предыдущим, будем заменять их совокупностью объектов более простой геометрии

Зададим граничные условия на поверхностях у =1,2, в следующем виде

Рис 2 Проверка теоремы Уфимцева

п] х(/Г0 + Й\ + Й\=йухя;, (Ё() +Ё[+Ё\ун^ =£;хйу[, (29)

Ё = Ёй + Ё\ + Ё\, Я = Я° +н\ +н\ - внешнее поле, Ё'}, Н] - неизвестное

поле внутри объемов рассеивателей (У^), Е1,Н1 - вторичное (дифракционное)

поле, которое всюду в области Я3 \ V' удовлетворяет однородной системе уравнений Максвелла, а также условию излучения на бесконечности

Как и в импедансном случае, для получения решения в рамках МДУ поставленной выше исходной краевой задачи для уравнений Максвелла используется сведение этой задачи к системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рассеяния а'пт, Ь]пт и новых коэффициентов, которые будут

определять поле внутри рассеивателя - а']пт и , минуя этап системы интегро-операторных уравнений Основным моментом при выводе этой системы является использование соответствующих разложений для рассеянного и внутреннего полей в ряды Фурье по векторным угловым сферическим гармоникам При выводе необходимых представлений для искомых коэффициентов, используя ту же схему, что и в случае импедансных краевых условий, можно показать, что эти представления имеют следующий вид

Я ^(.К) [V'хV'х>]-у;зо>

Кт [Vх)]+^ У;• [V'XV'X{г'хт)]к,(31)

[V'хV'х(гу1пт(#•;,в',-<р])\-4т ¿Ц 1к] и -1 (32)

- •/; (г;) • [ V' X {гутт (г;, в) ,-*;)]} щ,

Кт = р; (К) • [>< (>КМ(>•;, , )] + (зз)

где к1 - волновое число среды внутри у-го диэлектрического тела,

еп и ¡л^ - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды, 1' " ~ повеРхностные электрические и магнитные токи на поверхностях

Наличие символа "/"в нижнем индексе у функций Хтт и ¥тт в представлениях (32)-(33) указывает на то, что аргумент этих функций зависит от к] волнового числа среды внутри 7 -го рассеивателя

Теперь, используя соотношения (ЗО)-(ЗЗ) и учитывая граничные условия

У*=Я,хЯ =ихя; ,У"=Ёхп.\ =£',хй1 , (34)

3 3 ^ 3 3\ 3 3\в] 3 3 к/ к '

получим искомую систему МДУ

00 у

а' =У У (а33'ш а'1 + Ом'аЬ Ъ'3 ^

пт \ nmyiij У/и ^ пт,у/1,гиу/1)'

"ГТ" «= 1,2, ., \т\<п, (35)

Ь] = У У (С"'Ьа а'1 + 0]ьЬЬ Ьи )

пт / ■ / . \пт,уц,1у/л пт,у/и,¡у/и)'

00 у

а'3 = а3° + У У (О33'™ а3 + Ст'иаЬ Ъ3 + Оз1'аа а' + С13,'аЬ Ъ1 ^

ипт пт ^ ¿_, у3пт,уциу/1 ^ ^пт^У/и + Чпт^уц + ^пт,У/1°УМ )> У=1 /и=~у

Ь'3 =Ьз0+У у (С1]'Ьа а1 + С"м Ъ> + а1 + С1'ььЬ1 )

пт пт у-'птум уц ' ^ пт,уциур ' ипт,у/и"уц ^ пт,У/и у/л )>

(36)

у=1 д=-у

га = 1,2,.., \т\<п, 7 = 1,2.

Все коэффициенты системы (35)-(36) в общем случае выражаются через поверхностные интегралы В случае же тел вращения система (35)-(36) упрощается и принимает следующий вид

1 (0К.А

пт ^^ у пт,ут,1 ут пт,ут,1 ут р

га = 1,2, ., \т\<п, (37)

V = У (С]1'Ьа а!1 + ПззМ V \

пт /. и \ пт,ут,1ут пт,Уш,1Ут р

у=тах([/и|Д)

а'3 =а]0 + У (Сл'аа а1 + Оп'аЬ Ь] + С]1'аа а1 + С]1,аЬ У \

пт пт / 1 \ пт,ут ут пт,утут пт,ут ут пт,ут ут р

у=тах(|/я|,1)

СО

Ь'3 =ъ]0 + У {С33'Ьа а] + а1,,ьь Ь' +С'>М а1 + С'иьъ Ъ' ) '

пт пт / 1 у пт,ут ут пт,ут ут пт,ут ут пт,ут ут р

(38)

у=тах(|т|,1)

га = 1,2,.., \т\<п, ] = 1,2,

где теперь матричные элементы системы (37)-(38) выражаются через однократные интегралы

Ограничения на геометрию и расстояние между телами остаются теми же, что и ранее в скалярном случае и в случае импедансных краевых условий

Рассмотрим несколько примеров решения конкретных задач рассеяния с использованием предложенного метода Численные расчеты проводились на основе решения конечной системы вида (37)-(38), в которой верхний предел суммирования равен Л/ В качестве первичной волны была выбрана плоская линейно поляризованная волна

Исследование скорости сходимости вычислительного алгоритма при решении задачи дифракции на группе сфер, размеры которых много меньше длины волны, показало, что для вычисления их характеристик рассеяния при усечении системы уравнений (37)-(38) можно использовать N = 1 Тогда при моделировании характеристик рассеяния большого количества сфер (М»1) размер получающейся системы будет линейно зависеть от их числа (Ы~М) Это позволит применять МДУ для моделирования характеристик рассеяния различных тел

сложной формы и произвольного неоднородного заполнения, составляя их из сфер малых размеров и используя при этом минимальные затраты ресурсов ЭВМ Исходя из того, что основными характеристиками, для которых ищется решение задачи дифракии в МДУ, являются диаграммы рассеяния объектов, то есть по существу поле в дальней зоне, этот метод иногда ошибочно считают асимптотическим Однако эта точка зрения не соответствует действительности Было проведено исследование электрического поля при различных значениях кг (г - радиус-вектор точки наблюдения)

Рис 3 Нормированные диаграмма Рис 4 Нормированные диаграмма

рассеяния и электрическое поле, кг — 4 рассеяния и электрическое поле, кг = 20

На рис 3 и 4 приведено сравнение нормированных электрических полей и диаграмм рассеяния для двух суперэллипсоидов с параметрами каЛ2=Ъ,

кс12 = 3, т- 20, ^ = ЦГ[г = 1 ~ 4г при падении плоской волны перпендикулярно

оси вращения Как видно из рисунков, поле в ближней зоне существенно отличается от диаграммы рассеяния, а на расстояниях, соответствующих дальней зоне, уже практически с ней совпадает Отметим, что при дальнейшем увеличении расстояния значения поля и диаграммы рассеяния становятся графически неразличимыми Это подтверждает правильность вычислений

Заключение

Приведем основные результаты работы

1 Разработано обобщение метода диаграммных уравнений (МДУ) для решения трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной геометрии с импедансными краевыми условиями и с условиями сопряжения на границах этих тел, а также задачи рассеяния волн группой тел и телами сложной формы в скалярном приближении В случае диэлектрических тел метод позволяет найти не только коэффициенты разложения диаграммы рассеяния, но и коэффициенты, определяющие поле внутри рассеивателей

2 Исследована скорость сходимости алгоритма МДУ для групп тел различной геометрии при различных расстояниях между ними вплоть до соприкосновения В результате было установлено, что скорость сходимости алгоритма МДУ слабо зависит от расстояния между рассеивателями При этом решение задач дифракции на группах тел вращения предложенным методом показало его высокую эффективность Также было установлено, что МДУ достаточно универсален

3 Для скалярной задачи дифракции на группе тел получено явное асимптотическое решение в случае, когда большим является расстояние между объектами, и указаны пределы применимости этого решения В частности, показано, что это

решение применимо при ->—max(W ), где d - характерные размеры

с1х+с1г Я 1

тел, I - расстояние между рассеивателями

4 Проведено сравнение вычислений характеристик рассеяния волн группой тел при помощи МДУ с другими численными методами, которое показало, что МДУ позволяет с большей эффективностью решать такого рода задачи

5 Исследовано взаимное влияние рассеивающих объектов, обусловленное множественными переотражениями, при различных расстояниях между телами Показано, что на расстояниях, не превышающих характерные размеры тел, взаимное влияние определяющим образом сказывается на их характеристиках рассеяния При дальнейшем увеличении этого расстояния взаимное влияние сказывается уже не столь радикально, однако пренебрежение им приводит к значительным погрешностям в результатах Показано, что рассматривать объекты по отдельности без заметной потери точности результатов можно только в случае, когда расстояние между телами много больше их характерных размеров

6 Предложен единообразный подход решения векторных задач рассеяния как для групп тел с различной геометрией, так и для различных типов краевых условий

7 Для группы черных тел впервые была осуществлена численная проверка теоремы П Я Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела той же геометрии В результате была установлена справедливость этой теоремы для группы тел, размеры которых составляли несколько длин волн падающего поля Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с данными для одиночных рассеивателей

8 Показана возможность эффективного моделирования с приемлемой точностью характеристик рассеяния тел сложной геометрии и произвольно неоднородного заполнения путем замены их комбинацией рассеивателей более простой формы

9 Показано, что метод диаграммных уравнений позволяет эффективно находить не только диаграммы рассеяния тел, но и восстанавливать по ним поле практически в любой точке пространства, не привлекая при этом никаких дополнительных вычислительных ресурсов Продемонстрировано, что нормированные диаграмма рассеяния и поле, рассчитанные при помощи МДУ, на расстояниях, удовлетворяющих условию дальней зоны, практически совпадают

10 Оценка правильности всех численных исследований осуществлялась с использованием проверки оптической теоремы, которая показала хорошую точность, не зависящую от расстояния между рассеивателями

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1 Кюркчан А Г, Скородумова Е А Моделирование характеристик рассеяния волн групповыми отражателями Труды Московского технического университета связи и информатики сборник статей Москва, 2004, с 21-28

2 Кюркчан А Г , Скородумова Е А Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе тел методом диаграммных уравнений «Антенны», вып 3 (94), 2005, с 55-59

3 Kyurkchan A G , Skorodoumova Е A Modeling of the scattering characteristics by the group of bodies Proceedings of the 8th Conference on Electromagnetic and

Light Scattering by Nonspherical Particles Theory, Measurement, and Applications Granada, Spain, May, 16-20, 2005, pp 183-186

4 Кюркчан А Г, Скородумова E А Моделирование характеристик рассеяния волн отражателями сложной структуры Труды Московского технического университета связи и информатики сборник статей Москва, 2005, с 13-18

5 Кюркчан А Г, Скородумова Е А Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе тел методом диаграммных уравнений Акустика неоднородных сред Ежегодник Российского акустического общества Труды научной школы проф С А Рыбака Москва, 2005, с 150-163

6 Kyurkchan A G and Skorodoumova Е A Modeling the characteristics of the waves scattering by a group of scatterers Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer 2006 V100 №1-3 P 207-219

7 Кюркчан АГ, Скородумова EA Моделирование характеристик рассеяния электромагнитных волн группой тел Труды Московского технического университета связи и информатики сборник статей Москва, 2006, с 35-40

8 Кюркчан А Г, Скородумова Е А Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе объектов Акустический журнал, т 53, №1,2007, с 1-10

9 Kyurkchan A G , Skorodumova Е A Modeling the characteristics of scattering of electromagnetic waves by the bodies of complex geometry Days on Diffrac-tion'2007 International conference, Saint Petersburg, May 29 - June 1, 2007 Abstracts P 53

10 Кюркчан А Г , Скородумова E А Моделирование характеристик рассеяния тел сложной геометрии Технологии информационного общества Тезисы докладов московской отраслевой научно-технической конференции - Москва, 2007, с 165-166

11 Kyurkchan A G , Skorodumova Е A Solving the diffraction problem of electromagnetic waves on objects with a complex geometry by the pattern equations method «Proceedings of the 10th Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Nonsphencal Particles Theory, Measurement, and Applications» Bodrum, Turkey, June, 17-22, 2007 pp 89-92

12 Кюркчан А Г, Скородумова EA Решение задачи дифракции электромагнитных волн на группе тел методом диаграммных уравнений Радиотехника и электроника, т 52, №11, 2007, 8 с (в печати)

13 Кюркчан А Г, Скородумова Е А , Садольский В В Моделирование характеристик рассеяния волн группой диэлектрических тел и диэлектрических тел сложной геометрии Материалы Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», INTERMATIC - 2007 г Москва, 23-27 октября 2007 г - М МИРЭА, 2007, часть 2,4 с

Скородумова Елена Александровна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК РАССЕЯНИЯ ВОЛН ГРУППОВЫМИ ОТРАЖАТЕЛЯМИ И ОТРАЖАТЕЛЯМИ СЛОЖНОЙ СТРУКТУРЫ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 19 09 2007 Формат 60*84x3/4 Уел печ л 1,0 Уч -изд л 1,0 Тираж 80 экз Заказ № 35

Московский физико-технический институт (государственный университет) НИЧ МФТИ

141700, Моек обл , г Долгопрудный, Институтский пер, 9

Введение.

Глава 1. Решение трехмерной скалярной задачи дифракции волн на группе отражателей и отражателях сложной геометрии методом диаграммных уравнений.

1.1. Постановка задачи и вывод системы интегрооператорных уравнений.

1.2. Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений.

1.3. Асимптотическое решение.

1.4. Результаты численных исследований.

1.4.1. Сравнение с методом Тверского.

1.4.2. Численное исследование асимптотического решения.

1.4.3. Исследование сходимости вычислительного алгоритма.

1.4.4. Исследование взаимного влияния тел.

1.4.5. Проверка теоремы Уфимцева.

1.4.6. Моделирование характеристик рассеяния волн телами сложной геометрии.

Выводы.

Глава 2. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на группе тел и телах сложной геометрии.

2.1. Постановка задачи и вывод системы интегрооператорных уравнений.

2.2. Сведение краевой задачи к алгебраической системе уравнений.

2.3. Результаты численных исследований.

2.3.1. Исследование сходимости вычислительного алгоритма.

2.3.2. Исследование взаимного влияния объектов.

2.3.3. Тестирование возможности моделирования характеристик рассеяния тел сложной геометрии.

2.3.4. Проверка выполнения оптической теоремы.

2.3.5. Проверка теоремы Уфимцева.

Выводы.

Глава 3. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на группе диэлектрических тел и диэлектрических телах сложной геометрии.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Сведение краевой задачи к системе алгебраических уравнений.

3.3. Результаты численных исследований.

3.3.1. Исследование сходимости вычислительного алгоритма.

3.3.2. Исследование взаимного влияния тел.

3.3.3. Моделирование характеристик рассеяния тел сложной геометрии.

3.3.4. Исследование поля.

3.3.5. Проверка выполнения оптической теоремы.

Выводы.

Предмет исследований

Предметом исследования этой работы являются характеристики рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной формы различной природы, на поверхностях которых выполняются идеальные, импедансные граничные условия, либо условия сопряжения, как в скалярном приближении, так и в строгой векторной постановке. Основной исследуемой величиной для рассматриваемых задач являлась диаграмма рассеяния. Исследование диаграмм рассеяния представляет важное значение во многих областях науки и техники, в частности в таких, как радиолокация, метеорология, радиоастрономия, астрофизика, лазерная дефектоскопия и др., где исследуется рассеяние электромагнитных волн группами тел и телами сложной формы различной физической природы. Вышедшая недавно монография [1], посвященная изучению рассеивающих свойств систем частиц, подтверждает важность рассмотрения таких задач.

Укажем основные типы рассеивателей, различные комбинации которых рассматривались в данной работе. Все выбранные объекты являлись телами вращения. Простейшим видом таких тел можно считать сферу. Характеристики рассеяния группы сфер могут быть исследованы на основании известного аналитического решения для одиночной сферы [2]-[12]. Другим важным видом тел вращения являются сфероиды, которые, наряду со сферой, можно отнести к классу рассеивателей простой геометрии. Известно, что исследование диаграмм рассеяния сфероидов можно проводить аналитически только в случае идеальных краевых условий на их границе. В остальных случаях подобные исследования могут проводиться только при помощи численных методов. Поэтому для группы этих объектов применять те же методы, что и для сфер часто оказывается проблематично. Еще одним видом объектов, рассматриваемых в данной работе, являются суперэллипсоиды. Границы этих тел также являются аналитическими. Однако при их исследовании возникает несколько больше проблем, чем с предыдущими видами рассеивателей.

Благодаря развитию более мощной вычислительной техники появилась возможность исследовать характеристики рассеяния тел с изломами границами и/или острыми кромками. В качестве таких рассеивателей здесь исследовались конечные круговые цилиндры и полусферы.

При решении конкретных задач рассматривались различные комбинации упомянутых выше объектов. При этом проводились исследования характеристик рассеяния как групп тел различных размеров, так и геометрий.

Рассматривались также рассеивающие свойства групп тел с различными материальными параметрами.

Для исследования характеристик рассеяния тел произвольно сложной формы эти объекты заменялись комбинацией рассеивателей более простой геометрии. Адекватность такой модели была продемонстрирована в работах [13]-[14].

Исследования проводились в различных диапазонах частот, как для объектов, размеры которых много меньше длины волны, так и в области резонансных частот (характерные размеры тел порядка длины волны), и в случаях, когда размеры тел составляли несколько длин волн.

Большое внимание уделялось также исследованию взаимного влияния тел, обусловленного множественными переотражениями, при различных расстояниях между ними. В частности рассматривался вопрос, каким условиям должны удовлетворять расстояния между рассеивателями, чтобы исходную краевую задачу можно было решать для каждого объекта в отдельности.

Цель работы и метод ее исследования

Целью диссертационной работы было создание эффективного и универсального численного метода решения трехмерных скалярных и векторных задач дифракции на группе рассеивателей и рассеивателях сложной геометрии в достаточно широком диапазоне размеров и геометрий. Для этого были использованы теоретические основы метода диаграммных уравнений (МДУ). В результате было разработано обобщение МДУ на трехмерные скалярные и векторные задачи рассеяния волн группой тел и получена численная схема решения поставленных задач на основе этого метода.

Отметим основные теоретические аспекты решения поставленной задачи. С математической точки зрения она формулируется как внешняя краевая задача для системы дифференциальных уравнений Максвелла. В том случае, когда электромагнитное поле зависит гармонически от времени, уравнения Максвелла сводятся к эллиптическим уравнениям в частных производных второго порядка - уравнениям Гельмгольца. Как известно, решения эллиптических уравнений являются вещественно аналитическими функциями и удовлетворяют определенным краевым условиям, а также условию излучения, возникающему при рассмотрении внешних краевых задач.

Ниже будет приведен краткий обзор существующих методов решения задач дифракции, которые отличаются от развиваемого в данной работе подхода. Все они обладают рядом недостатков, поэтому разработка новых и эффективных методов решения задач дифракции на группе тел и телах произвольно сложной геометрии по-прежнему актуальна.

Краткий обзор существующих методов решения задач дифракции и рассеяния

Материал данного раздела представляет собой краткое рассмотрение некоторых методов решения задач дифракции, а также преимуществ и недостатков этих методов. Более подробный обзор приводимых здесь методов можно найти в литературе [15]-[17]. В этой же литературе приводятся и другие, не рассмотренные здесь методы.

Задача рассеяния на группе тел является естественным обобщением задачи дифракции волн на одиночном отражателе. Для ее решения разработано большое количество аналитических, численно-аналитических, численных и асимптотических методов. Однако следует отметить, что большинство из них не могут быть распространены на задачу рассеяния волн группой тел без возникновения дополнительных вычислительных трудностей. Все эти методы можно условно поделить на две группы. К первой группе можно отнести те методы, в которых задача дифракции монохроматической волны сводится к решению уравнений Гельмгольца для каждого тела при заданных краевых условиях. Ко второй группе можно отнести такие методы, в которых исходная внешняя краевая задача сводится к нахождению решения соответствующей системы интегральных уравнений.

Остановимся сначала на описании методов, основанных на решении дифференциальных уравнений. Решение эллиптических дифференциальных уравнений в аналитической форме возможно получить при помощи классического метода - метода разделения переменных. Этот метод применим не для всех геометрий рассеивателей, а лишь для тех, граничные поверхности которых совпадают с координатными поверхностями в выбранной системе координат, в которой возможно сделать разделение переменных в дифференциальном уравнении Гельмгольца. В трехмерном векторном случае такое аналитическое решение эллиптического уравнения возможно только для сферических [2]-[6] или сфероидальных [18] частиц.

Впервые аналитическое решение задачи рассеяния на сфере было предложено Лоренцем и Ми [2], которые независимо друг от друга применили к волновому уравнению Гельмгольца метод разделения переменных. После этого для решения задачи дифракции на группе сфер было разработано большое количество методов, основанных на подходе суперпозиции всех частных решений для внешнего поля. При использовании метода разделения переменных для группы сфер [8]-[12] искомое рассеянное, внутреннее и падающее поля представляются в виде рядов по системе собственных функций - волновых сферических гармоник, которые образуют ортогональный базис в сферической системе координат [19]. Далее эти разложения переводятся в общую систему координат с использованием теорем сложения, после чего подставляются в исходные краевые условия. Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов разложения рассеянного и внутреннего полей в терминах известных коэффициентов падающего поля. Одним из способов уменьшения вычислительных затрат при решении полученной алгебраической системы является так называемая «order-of-scattering technique» [8], которая основана на физической концепции множественных отражений. Главная идея этой методики состоит в том, что внешнее поле каждой сферы может быть разделено на падающее и поля, полученные от первого, второго и т.д. порядков переотражений от других сфер. В этом случае искомые коэффициенты могут быть представлены в виде суммы коэффициентов, каждый из которых отвечает за свой порядок отражения. При этом может быть получена эффективная итерационная схема решения системы алгебраических уравнений, первым приближением в которой служит первичное поле.

В общем случае для тел несферической формы разделить переменные уже не удастся, поэтому решение задач дифракции на группах таких тел можно получить только численно. Приведем краткий обзор наиболее известных численных методов решения дифференциальных уравнений Гельмгольца для группы тел.

Одним из численных методов решения уравнения Гельмгольца для группы тел является метод, названный «generalized multipole technique» (GMT). Этот метод впервые был предложен Людвигом (Ludwig) [20]—[21] в 1989 г. Здесь для решения задачи рассеяния на группе тел область поля разбивается на подобласти, каждая из которых заполнена однородным изотропным веществом. При этом для каждого объекта задается своя область. Далее, в каждой из этих областей решается уравнение Гельмгольца, а выполнение краевых условий на границах между областями требуется в заранее заданном конечном числе точек (точек коллокации). Предложенный метод коллокации является численным эквивалентом проекционного метода Галеркина и среднеквадратичной минимизации ошибок [22]. Поскольку аналитическое решение уравнения Гельмгольца возможно только для сфер и идеально проводящих сфероидов [2]-[6],[18], то этот метод крайне ограничен в применении. Кроме того, в работе [22] показано, что применение этого метода связано с большими вычислительными затратами. Так, оказалось, что при решении задачи дифракции на двух сферах время, затрачиваемое GMT, на 1-2 порядка выше времени работы алгоритма метода разделения переменных. Особенно заметно возрастает время работы GMT в случае больших сфер (значительно больше длины волны), а также относительно небольших сфероидов.

Остановимся теперь на методах, в которых рассматриваются различные численные методики решения интегральных уравнений. Метод интегральных уравнений применяется к решению задач дифракции уже достаточно давно. Основные соотношения метода и область его применимости можно найти в работах [6], [15], [23]—[28]. Этот метод наиболее эффективен, когда размеры тел соизмеримы с длиной волны падающего поля. Суть метода состоит в сведении исходных уравнений Максвелла или уравнений Гельмгольца, которым удовлетворяют искомые волновые поля, к интегральным уравнениям относительно неизвестных функций, определяющих распределение тока по поверхностям рассеивателей или внутри их объемов. Соответственно можно выделить два метода: метод поверхностных и метод объемных интегральных уравнений. Преимуществом объемных интегральных уравнений является то, что они применимы для тел как любой геометрии, так и любой зависимости коэффициента преломления в материале, заполняющем объем рассеивателя, от координат. Получающиеся интегральные уравнения обычно являются интегральными уравнениями Фредгольма I или II рода. Во всех этих методах исходные интегральные уравнения сводятся к системе линейных алгебраических уравнений различными способами. Так, например, в методе дискретно-дипольной аппроксимации (DDA) [22], [29] используется взаимосвязь вектора поляризации и полного поля. Далее, с использованием одной и той же сетки для интегрирования и дискретизации поля получается система алгебраических уравнений в терминах поляризаций. Впоследствии рассеянное поле аппроксимируется при помощи совокупности диполей с заданными поляризациями.

Метод DDA впервые был представлен в работе [29] в 1973 г. Впоследствии эта теория была существенно усовершенствована, включая улучшение численных алгоритмов решения. Очень важным вкладом в развитие этой методики было применение метода сопряженных градиентов, совмещенного с быстрым преобразованием Фурье для решения системы интегральных уравнений [30]. Однако при этом все еще требовалось уделять большое внимание особенностям функции Грина, входящей в интегральные уравнения, поскольку неаккуратное вычисление диагональных элементов матрицы системы могло приводить к существенным искажениям решения исходной задачи. Некоторые методики устранения этих проблем описаны в работах [22], [31]—[33]. Из этого следует, что решение задачи дифракции на группе тел с применением методики DDA влечет за собой существенные вычислительные трудности. Сравнение DDA с описанным выше методом GMT показало, что скорость вычислений обоих зависит от геометрии задачи и коэффициента преломления. Так, например, оказалось, что при решении задачи дифракции на группе сфер DDA дает достоверные результаты со «средней» точностью даже в случае соприкасающихся тел. Однако при этом увеличение точности возможно только при помощи использования колоссальных вычислительных затрат ЭВМ. С другой стороны, GMT выглядит более пригодным в случаях, когда сферы разделены расстоянием 1/4-1/5 длины радиусов. Если тела расположены более близко, то требуется применять отдельные разложения для каждой из соседствующих сфер. В случаях, если сферы расположены на расстояниях 1/2 длины радиусов и больше, скорость сходимости возрастает. При этом точность вычислений становится более высокой, а результаты превосходно согласуются с методом разделения переменных. Одним из главных недостатков DDA по сравнению с GMT является то, что он очень требователен к ресурсам ЭВМ. При этом в работе [22] показано, что и DDA и GMT при решении задач дифракции на группах сфер уступают в эффективности методу разделения переменных [8]-[12], [34]—[35]. При решении задач дифракции на группе сфероидов скорость вычислений метода DDA оказалась на порядок более высокой, чем GMT. Однако, как и в случае сфер, алгоритм DDA требовал непомерных затрат памяти ЭВМ. В общем, это свидетельствует о том, что проблема эффективного решения задач дифракции на группе тел различной геометрии является весьма актуальной.

Рассмотрим кратко еще один метод, основанный на сведении исходной краевой задачи к системе интегральных уравнений, - метод дискретных (или вспомогательных) источников (МДИ) [36]—[39]. Появление МДИ связано с именами Купрадзе и Алексидзе [40]. Этот метод можно интерпретировать как дискретный вариант метода вспомогательных токов (МВТ) [41]—[42], когда интеграл в интегральном уравнении заменяется суммой по формуле прямоугольников, а равенство левых и правых частей выполняется в дискретных точках (точках коллокации). Основная идея МДИ состоит в аппроксимации решения поставленной задачи линейной комбинацией дискретных источников, которые являются фундаментальным решением уравнения Гельмгольца. При этом источники образуют дискретное множество, лежащее на некоторой вспомогательной поверхности Е. С ростом количества источников (для получения более точных результатов расчетов) они все плотнее располагаются на поэтому здесь, как и в МВТ, необходимо, чтобы £ охватывала особенности дифракционного волнового поля. Кроме того, в работах [41 ]—[42] показано, что интегральные уравнения, возникающие в этом методе, разрешимы и притом единственным образом в том и только в том случае, если вспомогательные поверхности охватывают все особенности волнового поля внутри рассеивателей. Одним из важнейших преимуществ МДИ при решении скалярных и двумерных векторных задач дифракции является простота его реализации. Также МДИ можно назвать универсальным методом, поскольку он применим к решению задач дифракции на телах и группах тел практически любых геометрий. Единственным ограничением является требование аналитичности границ рассеивателей. Следует также отметить, что МДИ, а в особенности модифицированный МДИ [36] существенно проще, чем метод интегральных уравнений. Более полный обзор этого и других, родственных ему методов, можно найти, например, в работе [16].

В качестве одного из вариантов интегральных уравнений для решения задачи дифракции на группе тел можно рассмотреть метод В. Тверского [44].

Идея этого метода довольно близка к МДУ, предлагаемому в данной диссертационной работе. Искомыми характеристиками, для которых ищется решение поставленной задачи, так же как и в МДУ, являются диаграммы рассеяния тел. Однако здесь задача сводится к системе интегральных уравнений второго рода, в которые входят как неизвестные диаграммы рассеяния тел с учетом их взаимного влияния, так и предварительно найденные диаграммы рассеяния каждого объекта в отдельности. Таким образом, при использовании этого метода исходная краевая задача распадается на две. Первая из них состоит в том, что сначала необходимо одним из известных методов найти диаграммы рассеяния одиночных рассеивателей. Далее, подставив полученные диаграммы в интегральные уравнения, определить характеристики рассеяния группы тел. Как уже отмечалось выше, аналитическое решение задачи дифракции на одиночных объектах возможно получить только для сфер и идеально проводящих сфероидов. Из этого следует, что метод Тверского нельзя в полной мере назвать эффективным методом решения задач дифракции на группе тел.

Помимо рассмотренных выше подходов к численному решению интегральных уравнений в теории дифракции была предложена еще одна методика, основанная на матричном представлении характеристик рассеяния дифракционного поля. Речь идет о методе Т-матриц, известном также еще как метод нулевого поля и метод продолженных граничных условий [15]-[17], [45]—[46]. Этот метод основан на разложении падающего и рассеянного полей по векторным волновым сферическим гармоникам для внутренней и внешней бесконечной области соответственно. Т-матрица устанавливает явную связь между коэффициентами разложения падающего поля с искомыми коэффициентами разложения рассеянного поля (в этом суть термина «Т-матрица» - матрица перехода). Впервые метод Т-матриц был предложен Уотерменом (Waterman) [45]—[46], причем этот метод был разработан на основе использования идей метода нулевого поля. В связи с этим часто в литературе по обзору численных методов решения задач дифракции происходит путаница двух различных методов - метода Т-матриц и метода нулевого поля. Причина этого описана в работе [17], в которой было показано, что метод нулевого поля является только лишь одним из методов, в котором вычисляется Т-матрица. Так, например, Т-матрица может быть получена в рамках таких методов, как метод разделения переменных [47], метод дискретной дипольной аппроксимации [48] и др. В работах Мищенко (Mishchenko) [15], [49] было показано, что Т-матрица - это такая величина, которая, вообще говоря, содержит в себе всю информацию о характеристиках рассеяния частиц. Именно это является одним из преимуществ метода Т-матриц.

Рассмотрим кратко идею метода нулевого поля. Этот метод, по сути, является одной из форм метода поверхностных интегральных уравнений [17]. В этом методе используются так называемые обобщенные граничные условия, которые заключаются в том, что полное поле внутри рассеивателей и равно внутреннему полю, а рассеянное и падающее поля взаимно компенсируются внутри рассеивателей [24], [46]. Его использование приводит к обобщенным интегральным уравнениям относительно неизвестных величин - поверхностных токов, наводимых сторонними источниками на поверхности рассеивателей. При численном решении обобщенного интегрального уравнения возникают две связанные алгебраические системы относительно коэффициентов разложения для плотности тока на граничной поверхности и рассеянного полей. Таким образом, решение в методе нулевого поля строится в два этапа: сначала ищутся коэффициенты разложения для плотности тока через известные разложения падающего поля по волновым векторным сферическим гармоникам. На втором этапе решается алгебраическая система относительно неизвестных коэффициентов разложения для рассеянного поля через найденные на предыдущем этапе коэффициенты разложения для плотности тока. Далее, обращая матрицу системы, полученную на первом этапе, и подставляя найденное решение во вторую систему, можно прийти к произведению двух матриц, которое и называется Т-матрицей.

Следует отметить, что в случае группы тел наиболее эффективным считается метод нулевого поля с дискретными источниками (NFM-DS) [13], [16]. Появление этого метода связано с тем, что стандартный метод Т-матриц не позволяет вычислять характеристики рассеяния тел с отношением характерных размеров больше, чем 1:4. Впервые идея дискретных источников в рамках метода нулевого поля была использована 10 лет назад. В первых публикациях NFM-DS носил разные названия, такие как «Multiple Multipole Extended Boundary Condition Method» [50] и «Extended Boundary Condition Method with Multipole Sources» [51].

В этом методе для разложения внутреннего поля используется концепция метода дискретных источников [36]—[39], [52] и связанных с ним методов. При этом используются следующие системы функций: сферические векторные функции низшего порядка [51], множественные мультиполи [50], электрические диполи и векторные потенциалы Ми [53]. Этот метод применялся к задачам дифракции на объектах такой геометрии как группы частиц произвольной формы, две однородные диэлектрические сферы, группа однородных диэлектрических сфер, совокупность волокон, и др. [13].

Однако следует отметить, что расположение дискретных источников внутри рассеивателей не имеет в NFM-DS четкого обоснования и никак не связано с особенностями используемого неявно аналитического продолжения волнового поля внутрь рассеивателей. Это означает, что получаемое в рамках этого метода решение задачи дифракции может оказаться неустойчивым и давать, вообще говоря, некорректные результаты.

В рамках техники Т-матриц для решения задач дифракции на группе, состоящей из большого числа тел, было предложено несколько рекурсивных алгоритмов, таких как Recursive T-matrix Algorithm (RTMA), Recursive

Aggregate T-matrix Algorithm (RATMA) [54]-[56] и Recursive Centered T-matrix Algorithm (RCTMA) [56]—[58].

Алгоритм метода RTMA состоит из двух шагов: на первом необходимо вычислить множественную Т-матрицу TV-го рассеивателя как функцию от Т-матриц каждого составляющего элемента группы из N-1 объекта. Затем отдельные Т-матрицы множественного рассеяния группы из N тел должны быть пересчитаны из предыдущих N -1 отдельных Т-матриц множественного рассеяния и посчитанной Т-матрицы iV-ro тела.

Идея метода RATMA состоит в следующем. Т-матрица iV-ro объекта строится по рекурсивной формуле, основанной на известной Т-матрице системы, состоящей из N-1 тела, и Т-матрицы N-то рассеивателя.

В работах [56]—[58] показано, что алгоритмы RTMA и RATMA являются неустойчивыми. Это связано, в том числе, с тем, что размер Т-матрицы должен, вообще говоря, зависеть от размера всей системы тел. Однако Т-матрицы, описывающие перевод /-го элемента в общую систему координат, зависят только от его размеров. В этом плане более выигрышным оказывается метод RCTMA за счет использования концепции N-центрированной Т-матрицы [58]. Однако увеличение стабильности метода RCTMA связано с увеличением общего числа матриц, которые необходимо вычислить. Так, если в методе RTMA их количество пропорционально N, то при использовании RCTMA уже имеет порядок N2. Еще одна проблема этого метода состоит в том, что из-за своей рекурсивной природы RCTMA не зависит от параметров сходимости [56].

В работе [34] было проведено сравнение метода разделения переменных с методом Т-матриц для группы сфер. Так, например, в случаях, когда расстояние между рассевающими телами достаточно велико, взаимодействие между рассеянными волнами отдельных объектов становится незначительным. Вычисление характеристик рассеяния невзаимодействующих сфер чрезвычайно просто и не требует больших затрат ресурсов ЭВМ. Это действительно имеет место при использовании метода разделения переменных. Совершенно иная картина с методом Т-матриц. С увеличением расстояния между рассеивающими телами время работы алгоритма, построенного на основе этого метода, резко возрастает и в конечном итоге приводит к отказу даже притом, что взаимодействие между телами является незначительным. Проведено также сравнение требуемого числа гармоник в разложениях поля отдельных сфер при увеличении количества тел в системе. Было показано, что при использовании метода разделения переменных это число остается практически неизменным, тогда как при численной реализации метода Т-матриц оно линейно возрастает.

Следует также отметить, что метод Т-матриц обладает рядом недостатков. Так, например, одним из недостатков метода Т-матриц является неявное использование гипотезы Рэлея [59], что сильно сужает круг решаемых этим методом задач. Вторым недостатком является отсутствие обоснования применимости метода редукции для усечения бесконечной алгебраической системы. Это ведет, в общем случае, к потере устойчивости решения при увеличении размерности решаемой конечной системы.

В работе [60] задача рассеяния волн на группе тел сводится к линейной системе уравнений без использования интегральных уравнений. При этом матричные элементы получающейся системы имеют физический смысл и могут быть вычислены аналитически с любой заданной точностью. Эти элементы являются электрическими емкостями или элементами электрических и магнитных тензоров поляризуемости. Однако следует отметить, что рамки применимости описанного подхода крайне ограничены. Во-первых, тела должны быть малыми по сравнению с длиной волны. Вторым ограничением является то, что минимальные расстояния между исследуемыми объектами должны быть много меньше максимальных размеров тел.

Перейдем теперь к описанию использовавшегося в данной работе численного метода и его предпосылок.

Краткий обзор МДУ

Метод диаграммных уравнений (МДУ) - это численно-аналитический метод, в котором исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к решению, в общем случае, системы некоторых интегрооператорных уравнений относительно диаграмм волнового поля (диаграмм рассеяния). Впервые этот метод был предложен А.Г. Кюркчаном в работе [61] для решения двумерных задач рассеяния волн одиночным рассеивателем в свободном пространстве, и впоследствии был применен им к решению широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Речь идет о таких задачах, как рассеяние волн одиночным трехмерным телом [62]-[68] и группой двумерных тел [69]—[70] как в однородном пространстве, так и в плоскослоистой среде, дифракция волн на многорядной периодической решетке вблизи плоской границы раздела сред [71]—[74] и на рассеивателях и решетках, расположенных в плоскослоистых средах [73]—[79]. Кроме того, этот метод был успешно применен к решению задач о собственных волнах в периодических структурах и диэлектрических волноводах сложного поперечного сечения £80]—[81]. Сравнительно недавно вышли обзоры по методу диаграммных уравнений (см., например, [82]—[84]). МДУ оказался универсальным и высокоэффективным методом решения краевых задач для уравнений Гельмгольца. Однако до сих пор этот метод не применялся для решения трехмерных задач дифракции на группе тел и телах произвольно сложной формы, для которых интегральное представление Зоммерфельда-Вейля оказывается расходящимся на части границы рассеивателя.

Основу метода составляет сведение исходной краевой задачи для уравнения Гельмгольца к системе интегрооператорных уравнений II рода относительно диаграмм рассеяния. Для этого используется обобщенное представление Зоммерфельда-Вейля [85] дифракционного поля в виде интеграла плоских волн, спектральной функцией в котором является диаграмма рассеяния. Далее эта система интегрооператорных уравнений алгебраизуется с использованием разложения искомых функций в ряд по некоторому базису и последующим проектированием левой и правой частей равенства на некоторый, вообще говоря, другой базис. При определенных ограничениях на геометрию задачи, которые могут быть строго установлены, полученная бесконечная алгебраическая система разрешима методом редукции, т.е. усечения.

Суть МДУ состоит в следующем. При решении задач дифракции вычисления, как правило, сводятся к нахождению значений рассеянного (дифракционного) поля в дальней зоне. Для этого необходимо знать только лишь диаграмму рассеяния этого поля, которая, в определенном смысле, является его исчерпывающей характеристикой. Так, используя соответствующие представления волнового поля через найденную диаграмму рассеяния, можно восстановить поле практически в любой точке пространства. Исключение составляют некоторые окрестности локальных начал координат каждого тела, в которых расположены особенности волнового поля. Укажем, о каких особенностях идет речь. Известно, что волновое поле, будучи решением однородного уравнения Гельмгольца (эллиптического типа), является вещественной аналитической функцией. В соответствии с условиями излучения Зоммерфельда эта функция на бесконечности обращается в нуль. Поэтому волновое поле должно где-то иметь особенности. В противном случае, как нетрудно показать, оно всюду было бы тождественно равно нулю. Эти особенности, очевидно, должны лежать внутри рассеивателей (в так называемой нефизической области), т.е. там, где проводится вспомогательная поверхность, например, в МДИ. Игнорирование этих особенностей приводит к разрушению вычислительных алгоритмов во всех численных методах, использующих (неявно) принцип аналитического продолжения. Идея продолжения поля по его диаграмме и была использована в МДУ. Для ее реализации искомое волновое поле было представлено в виде суммы обобщенного и «стандартного» интегралов Зоммерфельда-Вейля по плоским волнам с диаграммами рассеяния в качестве спектральных функций. При этом обобщенный интеграл сходится вплоть до выпуклой оболочки особенностей продолжения поля внутрь рассеивателя. Таким образом, при использовании МДУ получающееся решение задачи рассеяния является справедливым не только во внешней по отношению к рассеивателям области, но также и внутри них вплоть до выпуклых оболочек особенностей. Это позволяет строго удовлетворить граничным условиям на поверхностях тел широкого класса геометрий и гарантировать решение задачи при любых краевых условиях.

Было установлено, что МДУ обладает рядом важных преимуществ по сравнению с другими методами решения задач дифракции и рассеяния волн.

Так, применение МДУ к скалярным и векторным задачам рассеяния волн на трехмерных телах показало его высокую эффективность. Например, скорость сходимости решения задачи о дифракции плоской волны на сфероиде даже при соотношении длин осей 40:1 оставалась примерно такой же, как и в задаче дифракции волн на сфере, радиус которой совпадает по величине с длиной большей полуоси сфероида. Столь же высокая скорость сходимости была продемонстрирована при применении МДУ и к другим задачам.

При решении скалярных и векторных задач рассеяния волн одиночным телом было установлено, что скорость сходимости вычислительного алгоритма МДУ определяется, главным образом, размером тела и практически не зависит от его геометрии [63], [66]—[68], [77]. При этом для проведения расчетов с погрешностью не более 1% необходимо, чтобы максимальный номер N гармоники в представлении диаграммы рассеяния был приблизительно равен 2kd, где к = 2ж/Х, Я - длина волны падающего поля, d - диаметр описанной вокруг рассеивателя сферы. При решении же аналогичных задач методом токовых интегральных уравнений необходимо учитывать порядка (50-200){d/Xf базисных функций [86]. Следует отметить, что при решении задачи дифракции на группе близко расположенных объектов этим методом количество базисных функций еще более возрастает. Это связано с тем, что при сближении тел токи на их границах существенно искажаются. А это, в свою очередь, требует привлечения гармоник более высоких номеров для аппроксимации быстропеременных составляющих поля.

В задачах дифракции волн на группе двумерных тел [69], [79] и периодических решетках [74] было установлено, что скорость сходимости вычислительного алгоритма метода практически не зависит от расстояний между отдельными телами даже при сближении объектов почти вплоть до их соприкосновения. Это обстоятельство имеет довольно простое объяснение: при сближении тел возбуждаемые на них токи испытывают локальные возмущения, слабо сказывающиеся на диаграмме рассеяния тела, которая и является искомой характеристикой в МДУ.

Отметим, что для задачи рассеяния волн группой тел из системы интегрооператорных уравнений МДУ в качестве частного случая могут быть получены интегральные уравнения Тверского [44].

В данной диссертационной работе МДУ был впервые распространен на решение трехмерных скалярных и векторных задач дифракции на группе тел и телах сложной формы как с импедансными краевыми условиями, так и с условиями сопряжения на границах объектов.

Достоверность научных выводов. МДУ является математически строго обоснованным. Оценка правильности полученных результатов осуществлялась путем проверки оптической теоремы. Там, где было возможно, результаты расчетов диаграмм рассеяния сравнивались с результатами, полученными при помощи других численных методов.

Научная новизна работы. Научной новизной данной работы является распространение МДУ для решения трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной формы с импедансными граничными условиями и условиями сопряжения на границах объектов. Этот метод не имеет аналогов ни среди российских, ни среди зарубежных методов. Он обладает высокой скоростью сходимости вычислительного алгоритма, слабо зависящей от геометрии рассеивателей и расстояния между ними.

Исследовано взаимное влияние объектов, обусловленное множественными переотражениями, при различных расстояниях между ними. Показано, что в случаях, когда расстояния не превышают характерные размеры рассеивателей, взаимное влияние тел определяющим образом сказывается на характеристиках рассеяния объектов. При дальнейшем увеличении расстояния влияние уже сказывается не столь заметно, однако пренебрежение им влечет все еще значительные погрешности. Показано, что рассматривать каждый объект в отдельности можно только в случаях, когда расстояние между телами много больше их характерных размеров.

При решении задач дифракции волн на группе тел с импедансными краевыми условиями впервые была проведена численная проверка теоремы Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего объекта, имеющего тот же теневой контур. Результаты проверки этой теоремы подтвердили ее справедливость для группы тел в случае, если их размеры составляют несколько длин волн падающего поля. Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с полученными ранее численными данными для одиночных рассеивателей.

Проведенные численные исследования характеристик рассеяния тел с различными краевыми условиями на их границе при помощи разработанного метода показали его высокую эффективность. Были проведены сравнения по скорости сходимости и точности численных решений с другими методами. Во всех рассмотренных случаях МДУ оказался эффективнее других известных численных методов.

Практическая значимость результатов работы связана с более точным и эффективным моделированием характеристик рассеяния волн группами тел произвольно сложной геометрии и материальных параметров. В астрофизике практическим применением метода, разработанного в данной работе, является возможность интерпретировать различные астрономические явления, обусловленные рассеянием малых частиц. Точная информация относительно рассеивающих свойств небольших частиц пыли принципиальна для понимания химического, теплового и динамического поведения межпланетного, межзвездного и околозвездного вещества. В медицинской диагностике результаты моделирования характеристик рассеяния группы тел могут быть применены, например, при исследовании частиц крови, преимущественно эритроцитов.

Апробация работы. Основное содержание диссертации опубликовано в работах [101]-[113].

Результаты работы докладывались на Научно-технической конференции профессорско-преподавательского, научного и инженерно-технического состава МТУСИ (Москва, 2004,2005 и 2006), 8-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (8th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (Гранада, Испания, 2005), на Научном семинаре «Акустика неоднородных сред» (Москва, 2005), на Общероссийском научном семинаре «Математическое моделирование волновых процессов» в РосНоУ (Москва, 2006), Московской отраслевой научно-технической конференции «Технологии информационного общества» (Москва, 2007), на международной конференции «Дни дифракции» (Days on Diffraction) (Санкт-Петербург, 2007), 10-й конференции по рассеянию света несферическими частицами (10th Conference on Light Scattering by Nonspherical Particles) (Бодрум, Турция, 2007), Международной научно-технической конференции «Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения», INTERMATIC - 2007 (Москва, 2007).

Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 113 наименований. Материал изложен на 138 страницах текста, включая 54 рисунка и 15 таблиц.

Основные результаты диссертационной работы могут быть сформулированы следующим образом.

1. Разработано обобщение метода диаграммных уравнений (МДУ) для решения трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн группой тел и телами сложной геометрии с импедансными краевыми условиями и с условиями сопряжения на границах этих тел, а также задачи рассеяния волн группой тел и телами сложной формы в скалярном приближении. В случае диэлектрических тел метод позволяет найти не только коэффициенты разложения диаграммы рассеяния, но и коэффициенты, определяющие поле внутри рассеивателей.

2. Исследована скорость сходимости алгоритма МДУ для групп тел различной геометрии при различных расстояниях между ними вплоть до соприкосновения. В результате было установлено, что скорость сходимости алгоритма МДУ слабо зависит от расстояния между рассеивателями. При этом решение задач дифракции на группах тел вращения предложенным методом показало его высокую эффективность. Также было установлено, что МДУ достаточно универсален.

3. Для скалярной задачи дифракции на группе тел получено явное асимптотическое решение в случае, когда большим является расстояние между объектами, и указаны пределы применимости этого решения. В частности, пока/ 2 зано, что это решение применимо при->—max(kdf), где d, - харакdt+d2 п J терные размеры тел, / - расстояние между рассеивателями.

4. Проведено сравнение результатов вычислений характеристик рассеяния волн группой тел при помощи МДУ с другими численными методами, которое показало, что МДУ позволяет с большей эффективностью решать такого рода задачи

5. Исследовано взаимное влияние рассеивающих объектов, обусловленное множественными переотражениями, при различных расстояниях между телами. Показано, что на расстояниях, не превышающих характерные размеры тел, взаимное влияние определяющим образом сказывается на их характеристиках рассеяния. При дальнейшем увеличении этого расстояния взаимное влияние сказывается уже не столь радикально, однако пренебрежение им приводит к значительным погрешностям в результатах. Показано, что рассматривать объекты по отдельности без заметной потери точности результатов можно только в случае, когда расстояние между телами много больше их характерных размеров.

6. Предложен единообразный подход решения векторных задач рассеяния как для групп тел с различной геометрией, так и для различных типов краевых условий.

7. Для группы черных тел впервые была осуществлена численная проверка теоремы ПЛ.Уфимцева, согласно которой интегральный поперечник рассеяния черного тела в два раза меньше интегрального поперечника рассеяния идеально проводящего тела той же геометрии. В результате была установлена справедливость этой теоремы для группы тел, размеры которых составляли несколько длин волн падающего поля. Показано также, что полученные результаты хорошо согласуются с данными для одиночных рассеивателей.

8. Показана возможность эффективного моделирования с приемлемой точностью характеристик рассеяния тел сложной геометрии и произвольно неоднородного заполнения путем замены их комбинацией рассеивателей более простой формы.

9. Показано, что метод диаграммных уравнений позволяет эффективно находить не только диаграммы рассеяния тел, но и восстанавливать по ним поле практически в любой точке пространства, не привлекая при этом никаких дополнительных вычислительных ресурсов. Продемонстрировано, что нормированные диаграмма рассеяния и поле, рассчитанные при помощи МДУ, на расстояниях, удовлетворяющих условию дальней зоны, практически совпадают.

10. Оценка правильности всех численных исследований осуществлялась с использованием проверки оптической теоремы, которая показала хорошую точность, не зависящую от расстояния между рассеивателями.

Заключение

1. Doicu A., Wriedt Т., Eremin Y.A. Light scattering by system of scatterers. Null-field method with discrete sources: theory and programs. Springer. 2007. XIII. 324 p.

2. Mie G. Beitrage zur Optik triiber Medien, speziell kolloidaler Metallosungen. AnnPhys 1908:25:377-445.

3. Зоммерфельд А. Оптика. M.: Изд. иностранной литературы, 1953.

4. Бореи К, Хафмен Д. Рассеяние и поглощение света малыми частицами. М.: Мир. 1986.

5. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Мир, 1975.

6. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964. -428.

7. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах, 1968.

8. Fuller К.А., Kattawar G. W. Consummate solution to the problem of classical electromagnetic scattering by ensembles of spheres. I Optics Letters, v. 13, i 1988, pp. 90-92.

9. Bruning J.H., Lo Y.T. Multiple scattering of EM waves by spheres, part I. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, v. AP-19, №3, 1971, pp. > 378-390.

10. Borghese F., Denti P., Toscano G., and Sindoni O.I. Electromagnetic scattering by a cluster of spheres. Applied Optics, v. 18,1979, pp. 116-120. ^

11. W.Hamid A.-K., Ciric I.R., and Hamid M. Electromagnetic scattering by an arbitrary configuration of dielectric spheres. Canadian Journal of Physics, v. 68,1990, pp. 1419-1428.

12. Mackowski D. W. Analysis of radiative scattering for multiple sphere configurations. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, v. 433, 1991, pp. 599-614.

13. Wriedt T. Review of the null-field method with discrete sources. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, v. 106,2007, pp.535-545.

14. Saija R., Iati M. A., Denti P., Borghese F., Giusto A., and Sindoni O.I. Efficient light-scattering calculations for aggregates of large spheres. Applied Optics, v. 42, №15,2003, pp. 2785-2793.

15. Mishchenko M.I., Hovenier J.W.,Travis L.D, editors. Light scattering by nonspherical particles: theory, measurements, and applications. San Diego: Academic Press. 2000.690 p.

16. Wriedt T. (Ed.). Generalized multipole techniques for electromagnetic and light scattering. Elsevier Science B.V. Amsterdam, Netherlands. 1999.

17. Kahnert F.M. Numerical methods in electromagnetic scattering theory. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, v. 79-80, 2003, pp.775824.

18. Asano S., Yamamoto G. Light scattering by a spheroidal particle. Applied Optics, v. 14,1975, pp.29-49.

19. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 1, 2. М.: ИЛ, 1958.

20. Ludwig А.С. The generalized multipole technique. Antennas and Propagation Society International Symposium, 1989. AP-S. Digest Volume , 1989, pp. 160-163.

21. Ludwig A.C. The generalized multipole technique. Computer Physics Communications, v. 68, №1-3,1991, pp.306-314

22. Comberg U., Wriedt T. Comparison of scattering calculations for aggregated particles based on different models. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, v. 63,1999; pp. 149-162.

23. Harrington R.F. Field computation by moment method. New York. Macmillan, 1968.7 v.

24. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Митры, 1977, -485 с.

25. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Т. 1, 2. М.: Мир, * 1978.

26. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн, 1983. -296 с.

27. Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. М.: Радио и связь, 1987. -272 с.

28. Колтон. Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

29. Purcell Е. М. and Pennypacker С. R. Scattering and absorption of light by non-spherical dielectric grains. Astrophysical Journal, v. 186, 1973, pp. 705714.

30. Draine В. T. and Flatau P. J. Discrete dipole approximation for scattering calculations. Journal of Optical Society of America, v. 11, 1994, pp. 14911499.

31. PeltoniemiJ. Variational volume integral equation method for electromagnetic scattering by irregular grains. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, v. 55, №5,1996, pp. 637-647.

32. Filler N.B. and Martin O.J.F. Increasing the performances of the coupled-dipole approximation: A spectral approach. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, v. 46,1998, pp. 1126-1137.

33. Draine, B.T., and Goodman J. Beyond clausius-mossotti: Wave propagation on a polarizable point lattice and the discrete dipole approximation. Astrophysical Journal, v. 405,1993, pp. 685-697.

34. Yu-lin Xu and Bo A. S. Gustafson. Light scattering by an ensemble of small particles. Recent Res. Devel. Optics, v. 3,2003, pp. 599-648.

35. Yu-lin Xu and R. T. Wang. Electromagnetic scattering by an aggregate of spheres: Theoretical and experimental study of the amplitude scattering matrix. Physical Review E, v. 58, 1998, pp. 3931-3948.

36. Алексидзе M.A. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач. М.: Наука, 1991.

37. Купрадзе В.Д. О приближенном решении задач математической физики. Успехи математических наук, 1967, т. 22, № 2, с. 59-107.

38. Yasuura К., Itakura Т. Approximate method for wave function. Kyushu Univ. Tech. Rept. 1966. P. 1065.

39. Купрадзе В. Д., Алексидзе М. А. Метод функциональных уравнений для приближенного решения некоторых граничных задач. ЖВМ и МФ, Т.4, №4,1964, с. 82-126.

40. Кюркчан А.Г. О методе вспомогательных токов и источников в задачах -дифракции волн. Радиотехника и электроника, т. 29, № 11, 1984, с. 2129— 2139.

41. Кюркчан А.Г. Представление дифракционных полей волновыми потенциалами и метод вспомогательных токов в задаче дифракции электромагнитных волн. Радиотехника и электроника, т. 31, № 1, 1986, с. 20-27.

42. Кюркчан А.Г., Минаев С.А., Соловейчик. Модификация метода дискретных источников на основе априорной информации об особенностях дифракционного поля. Радиотехника и электроника, т. 46, №6,2001, с. 666-672.

43. Twersky V. Multiple scattering of electromagnetic waves by arbitrary configurations. Journal of Mathematical Physics. 1967, v. 8, № 3, pp.589-605.

44. Waterman P.C. Matrix formulation of electromagnetic scattering. Proc IEEE, 1965, v. 53, pp.805-812.

45. Waterman P.C. Symmetry, unitarity, and geometry in electromagnetic scattering. Physical Review D, 1971, v. 50, pp.4550-4566.

46. Schulz F.M., Stamnes К., Stamnes J.J. Scattering of electromagnetic waves by spheroidal particles: a novel approach exploiting the T-matrix computed in spheroidal coordinates. Applied Optics 1980, v. 19, pp.962-974.

47. Mackowski D. W. Discrete dipole moment method for calculation of the T matrix for nonspherical particles. Journal of the Optical Society of America, v. 19, №5,2002, pp. 881-893.

48. Light Scattering by nonspherical particles' 98: Special issue: Conf. on light scattering by nonspherical particles: theory, measurements, and applications. 29 Sept 1 Oct. 1998, New York city / Ed. M.I. Mishchenko et. al.\ -Pergamon, 1999.

49. Doicu A., Wriedt T. Multiple multipole extended boundary condition method. Optik, v. 105, № 2, 1997,pp. 57-60

50. Doicu A., Wriedt T. Extended boundary condition method with multipole sources located in the complex plane. Optics Communications, v. 139, 1997, pp. 85-91.

51. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах рассеяния электромагнитных волн. Успехи современной радиоэлектроники. №10,2003, с. 3-40.

52. Wriedt Т., Doicu A. Formulation of the extended boundary condition method for three-dimensional scattering using the method of discrete sources. Journal of Modern Optics, v. 45, №1,1998, pp. 199-213.

53. Chew W. Waves and fields in inhomogeneous media. IEEE PRESS Series on Electromagnetic Waves, 1990.

54. Tzeng Y., Fung A. T-matrix approach to multiple scattering of EM waves from N-spheres. Journal of Electromagnetic Waves and Applications, v. 8, №1, 1994, pp. 61-84.

55. Auger J.C., Stout B. A recursive centered T-matrix algorithm to solve the multiple scattering equation: numerical validation. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, v. 79-80,2003, pp. 533-547.

56. Stout В., Auger J.C., Lafait J. A transfer matrix approach to local field calculations in multiple scattering problems. Journal of Modem Optics, v. 49, №13,2002, pp. 2129-52.

57. Mackowski D., Mishchenko M. Calculation of the T-matrix and the scattering matrix for ensembles of spheres. Journal of the Optical Society of America A, v. 13, №11,1996, pp. 2266-78.

58. Апельцж В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. -М.: Изд-во МГУ, 1990.

59. Ramm A.G. Many-body wave scattering by small bodies. Journal of Mathematical Physics, v. 48, №2,2007,6 p.

60. Кюркчан А.Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции. Доклады АН, т.325, № 2,1992, с. 273-279.

61. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров. Доклады АН, т.337, № 6, 1994, с. 728731.

62. Кюркчан А.Г., Клеев А.И. Решение задач дифракции волн на рассеивателях конечных размеров методом диаграммных уравнений. Радиотехника и электроника, т.40, № 6,1995, с. 897-905.

63. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач рассеяния волн "прозрачными" препятствиями. Доклады АН, 1997, т. 352, № 2, с. 180183.

64. Кюркчан А.Г., Демин Д.Б. Моделирование характеристик рассеяния волн телами с поглощающим покрытием и «черными» телами. Журнал Технической Физики, т. 74, №2,2004, с. 24-31.

65. Kyurkchan A.G. and Demin D.B. Pattern equation method for solving problems of diffraction of electromagnetic waves by axially symmetric dielectric scatterers. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer. 2004. v. 89. №1-4. P. 237-255.

66. Кюркчан А.Г. К решению задачи рассеяния волн на нескольких телах. Доклады АН, т.348, № 5,1996, с. 603-607.

67. Кюркчан А.Г. Применение метода диаграммных уравнений к решению задачи рассеяния волн группой тел. Радиотехника и электроника, т.41, № 1,1996, с. 40-45.

68. Кюркчан А.Г. О новом классе уравнений в теории дифракции. Радиотехника и электроника, т.38, № 1,1993, с. 48-58.

69. Кюркчан А.Г. К решению задачи о рассеянии плоской волны периодической границей раздела двух сред. Доклады АН, т.339, № 5, 1994, с. 600-604.

70. Кюркчан А.Г. К решению задачи о дифракции плоской волны на решетках. Доклады АН, т.351, № 5,1996, с. 624-629.

71. Кюркчан А.Г., Соловейчик A.JI. Рассеяние волн периодической решеткой, находящейся вблизи плоской границы раздела двух сред. Радиотехника и электроника, т.45, № 4,2000, с. 389-396.

72. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Рассеяние волн телом, погруженным в однородное полупространство. Доклады АН, т.357, № 1,1997, с. 40-43.

73. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Рассеяние волн неоднородностью, находящейся вблизи плоской границы раздела двух сред. Радиотехника и электроника, т.43, № 1,1998, с. 8-15.

74. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Новый метод решения задачи дифракции на компактном препятствии в плоскослоистой среде. Известия ВУЗов. Радиофизика, т.41, № 7,1998, с. 874-888.

75. Кюркчан А.Г., Маненков С.А. Рассеяние волн группой тел, расположенной в плоскослоистой среде, Радиотехника и электроника, т.47,№ 11,2002, с. 1322-1328.

76. Kyurkchan A.G., Sukov A.I., Kleev A.I. The methods for solving the problems of the diffraction of electromagnetic and acoustic waves using the information on analytical properties of the scattered fields. ACES Journal, v. 9, № 3, 1994, pp. 101-111.

77. Кюркчан А.Г., Клеев A.M. Использование априорной информации об аналитических свойствах решения в задачах электродинамики и акустики. Радиотехника и электроника, т.41, № 2,1996, с. 162-170.

78. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Особенности продолжения волновых полей. УФН, т.166, № 12,1996, с. 1285-1308.

79. Kyurkchan A.G., Manenkov S.A., Kleev A.I., Sukov A.I. Pattern equation method for solution of electromagnetic scattering problems. Journal of Applied Electromagnetism, v. 2, № 1,1999, P. 17-31.

80. Кюркчан А.Г., Суков A.M., Клеев A.M. Особенности волновых полей и численные методы решения краевых задач для уравнения Гельмгольца. Зарубежная радиоэлектроника, № 5,2000, с. 14-33.

81. Кюркчан А.Г. Получение решений уравнений математической физики путем сведения их к обыкновенным дифференциальным уравнениям с операторными коэффициентами. Доклады АН, т.322, № 4, 1992, с. 686— 691.

82. Kwon D.H., Burkholder R.J., Pathak Р.Н. Efficient method of moments formulation for large PEC scattering problems using asymptotic phasefront extraction (APE). IEEE Trans, on Antennas and Propagat. 2001. v. 49. №4. P. 583-591.

83. Уфимцев П.Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. М.: Бином.Лаборатория знаний. 2007.

84. Леонтович М.А. Исследования распространения радиоволн. М.: изд. АН СССР, 1948.

85. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965, 588 с.

86. Любарский ГЯ. Теория групп и ее применение в физике. М.: Гостехиздат, 1957,354 с.

87. Захаръев Л.Н., Леманский А.А. Рассеяние волн «черными» телами. М.: Сов. Радио. 1972.

88. Козлов И.П. Дифракция электромагнитных волн на двух шарах в приложении к проектированию антенн космического аппарата. Письма в ЖТФ, т. 29, №7, 2003, с. 18-26.

89. Papas С.Н. Theory of Electromagnetic Wave Propagation. McGraw-Hill Book Сотр. New York, London, Sydney. 1965.

90. Stein S. Addition theorems for spherical wave functions. Quarterly of Applied Mathematics, v. 19, №1,1961, pp. 15-24.

91. Cruzan O.R. Translational addition theorems for spherical vector wave functions. Quarterly of Applied Mathematics, v. 20, №1,1962, pp. 33-40.

92. Felderhof B. U., Jones R.B. Addition theorems for spherical wave solutions of the vector Helmholtz equation. Journal of Mathematical Physics, v. 26, №4, 1987, pp. 836-839.

93. Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям М.: Наука, 1979.

94. L. Tsang, J. Kong, and R. Shin, Theory of Microwave Remote Sensing. Wiley, 1985.

95. Zerull R. H., Gustafson B. A. S., Schultz K., and Thiele-Corbach E. Scattering by aggregates with and without an absorbing mantle: microwave analog experiments," Applied Optics, v. 32,1993, pp. 4088-4100.

96. Фельд Я.Н., Бененсон Л. С., Основы теории антенн, М: Дрофа, 2007.

97. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Моделирование характеристик рассеяния волн групповыми отражателями. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей. Москва, 2004, с. 21-28.

98. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе тел методом диаграммных уравнений. «Антенны», вып. 3 (94), 2005, с. 55-59.

99. Kyurkchan A.G., Skorodoumova Е.А. Modeling of the scattering characteristics by the group of bodies. Proceedings of the 8th Conference on Electromagnetic and Light Scattering by Nonspherical Particles: Theory,

100. Measurement, and Applications. Granada, Spain, May, 16-20, 2005, pp. 183186.

101. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Моделирование характеристик рассеяния волн отражателями сложной структуры. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей. Москва, 2005, с. 13-18.

102. Kyurkchan A.G. and Skorodoumova Е.А. Modeling the characteristics of the waves scattering by a group of scatterers. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer v. 100, №1-3,2006, pp. 207-219.

103. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Моделирование характеристик рассеяния электромагнитных волн группой тел. Труды Московского технического университета связи и информатики: сборник статей. Москва, 2006, с. 35-40.

104. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение трехмерной задачи дифракции волн на группе объектов. Акустический журнал, т. 53, №1, 2007, с. 1-10.

105. Kyurkchan A.G., Skorodumova Е.А. Modeling the characteristics of scattering of electromagnetic waves by the bodies of complex geometry. Days on Diffraction'2007. International conference, Saint Petersburg, May 29 June 1,2007. Abstracts, p. 53.

106. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Моделирование характеристик рассеяния тел сложной геометрии. Технологии информационного общества: Тезисы докладов московской отраслевой научно-технической конференции. Москва, 2007, с. 165-166.

107. Кюркчан А.Г., Скородумова Е.А. Решение задачи дифракции электромагнитных волн на группе тел методом диаграммных уравнений. Радиотехника и электроника, т.52, №11,2007, 8 с. (в печати)