Моделирование и оптимизация динамики заряженных пучков в ускорителях с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПВ1ЕРБУРГСШ ГОСУДАРСТВЕННИ ШВЕРСЙШ'

На правах рукописи

ЛУКЬЯНОВА АШ ЕВГЕЯЬЕБНД

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПГШЙАШ ДЙНШШ ЗАРЯШКШХ ПУЧКОВ В УСКОРИТЕЛЯХ С ПРОСГРАШВШО-ОДНОРОДНОИ ХВАДРУПОЛЬКОЯ ФОКУСИРОВКОЙ

Специальность 01.01.09 - математическая кибернетика;

05.13.16 - применение вьгпгсяйтельной тех1; ки, математического моделированы и математические методов в ручных ассявдовгняях области ^изико-

математачсских наук 5

Автореферат диссертация на соискание ученоа степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1992

РаОота выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научный руководитель! .доктор фиико-математичвоких наук, профессор ОВСЯННИКОВ Л.А.

Официальные оппоненты ¡доктор фязико-математячеоккх наук, ПЕТРЕНКО в.а.

кандидат фгато-математическш наук ЖАБКО А.П.

/

Ведущая организация: Киевскийто^дарственный университет

Защита состоится " ¿¿¿ОН*? 199 2 В /£ чао. на заседании специалиэкрозанкого совета K-063.57.i6 по присуждении ученой степени кандидата фкзико-матемлтичаских наук в С.-Петербургском университете да адресу: .199004. С.-Петербург,10-я дания В.о., д.33, аул.за.

С диссертацией иокно ознакомиться в библиотеке пм.А.Ы.Горького С.-Петербургского.университета.

Автореферат разослан

Учекнй секретарь стциали-зпровенного совета .доктор физико-математических наук

"22-» DiT 1992. г.

Горьковоа В.Ф.

ШУШКОСТЬ ШЫ ИССЛЕДОВАНИЯ.В настоящее время как у нас.так и за рубежом. Сольное виимани» уделяется проектированию и создании ускоряющих структур с пространственно-одеородяой квад-рупольной фокусировкой (ПОИ), которне позволяют гибко решать задачу согласования, группировки и ускорения нмзкоэнетте-тическга: пучказ.Эти структура могут использоваться в качестве начальной части лшейтого ускорителя.В настоящее время ведутся исследования по прже; гнив низко энергетических лучков для возбуждения плазмы в энергетических установках. Поэтому вопроса исследования передЕиггенвд з этих сложных ускорявдкх и фокусирующих структурах заряженных масс, вопросы выбора параметров ускоряющей структуры на стадии проектирования преобретают все большее значение.

Актуальность этих проблем определяется не только расширяющейся сферой применения ускорителей с ПОКО, повышением требований к выходным характеристикам ускоряемых пучков, необходимостью уввличегая к.п.д. ускорительных установок, но я необходимостью разработки эффективных методов, их исследования, учиткващих- как аналитическую специфику моделей изучаемых процессов,так и возможности современной вычислительной техники.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в разработке математических моделей и методов оптимизации пучков заряженных частиц в ускоряют® структурах с ГЕОКФ и создают алгоритмов и программ .реализуется разработанные математические методы на ЭВМ.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА.Для ускоряющих структур с П0К9 разработаны математические и программные средства для исследования динамики пучков с большой плотностью об'ешого заряда.Репенз задача синтеза управления интенсивный пучком для математической модели, основанной на уравнениях для огибаицих пучка.Создана программа оптимизации ускорявших структур с ПОКФ.реализущая разработанный алгоритм синтеза управлений.

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЙ. В работе развиваются идеи и математические метода теории оптамальнЕХ процессов и численных

методов оптимизации применительно к задачам управления пучками заряяежшх частиц в ускоряющих структурах с ПОКФ.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛЕНКОСТЬ.Рвзультаты диссертационной рабози использовались при шполвевди научно-исследовательских работ в НИК ВМ и ПУ.в НИИ электрофизической аппаратуру. им.Д.З.Ефрекоьэ для исследования и расг но систе.л ускорения с ПОКФ.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты,представленные в диссертационной работе, докладывались на семинарах факультета ПМ-ПУ Ленинградского университета; на семинаре Института физики высоких энергий (г.СерпухоБ.1934):на се.-отар? "Модалировеюге,идентификация,синтез систем управления (г.Ялта,19£3,г.Алушта,1989)! на Всесоюзной конференции "Математическое моделирование'.нелинейные проблеет и внчислкелькзя математика" (г.Звенигород, 1938); на 11 Всесоюзно».". семинаре по линейным ускорителям заряженных частиц (г.Харьков,1969)¡н? Всесоюзном семинаре "Вычислительные методы физики плазмы" (г.Су.худа,,1991).

ПУБЛИКАЦИИ. Ло теме диссертации опубликовано б работ.

СТРУКТУРА И ОБ'ЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения,трех глав и заключения. Об'ем работы составляет 97 страниц машинописного текста, из них 90 страниц занимает основной текст,

ишчья Ю рисунков. Библиография содержит 87 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕШР/Щ РАБОТЫ Во введении отмечается актуальность вопросов, рассмотренных в диссертации, устанавливаются цели проводимых исследований и кратко излагаются полученные результаты.

Б первой главе рассматривания основные принципы построения ускоряют структур с пространсгганно-йдаородкой каадру-гголькой фокусировкой (ПОКФ), выписываются уравнения движения чвсгиш в заданном внешнем поле и приводится алгоритм выбора параметров ускоряющей сгг/ж?уры о ПОКФ.

Идея использования высокочастотного поля для ускорения и Фокусировки заряженное частиц получила развитие и воплощение в работах И.М.Каптанского и В.А.Теияхова.в исследованиях,провода,шх в Московском .радио-тешгаеском институте, в Институте фютпеи высоких энергий (Серпухов) и НИИ глэктро-фюической аппаратуры иу..Д.В.Е$ремо2а (Ленинград).На основе этих разработок удалось существоняо улучаить параметра ионного линейного ускорителя, отказавшись от шкреюз распространенной система Альва-рецэ-Влюэтта.пространственная однородность структура вдоль оса дала больше возмояностя в оптимизация параметров ускоряемого пучка и самой структура в зависимости от ковкреишх требований. Поэтому ядэи математического моделирования и спганзешш пуч-г.оз з тахкх структурах, анализа динамики частиц с большой плотностью об'ешого заряда нашли свое развитое в научно-исследовательской: работе .проводимой в НИИ Вычислительной математики п п„зцессов управления.

С ловкое внимание в первой главе диссертации уделязтея вопросам математического моделирования динамики взаимодействующие частиц.Будем рассматривать систему урввяеяий, ошенваю-2эк давшие Ч8стап в поле с пространствевда-оваородпой квад-РУПОЛЬНОЙ фоку сиро ЕКОЯ В 2ЯД0»

г.

Здесь , - масса а эзрад чеетии; ^о - Еепряяеяяэ на электродах; к , в ,2» - пярзштра.зздвщя© вяванвв поле; 1в , I, - модифицированное функви Бессела; ¿Г - фактор

- б -

Лоренца; , Ру . - соиаэлявдяе силы Р .определявшей взаимодействие частик в пучке^ В работе предлагаются два математические модели учета заряда пучка,т.е. определения силы Р : 1) учет заряда пучка путем выделения эллиптического ядра; 2) модедь.основааная на уравнениях для огабаюцкх пучка.

Представление пучка частиц в виде разномерно зардаешгого елсшсогяа находит в работе новое применением только исполь-. зуется достаточно "простое" выражение для потенциала эллипсоида,как в работах И.Ы.Хапчинскачз.А.И.Валабина и др.,но раосма-тртазается и динамика этого эллипсоида на траекториях системы (1): на шггг интегрирования системы (1) наделяется "ядро" пучка, которое представляется в виде раэяокерко зарягге иного эллипсоида,осз которого параллельны координатным осям, а центр ле-»:т ка сох ускорителя, созиадахцег с осью 2 . Таким образом, координаты центра эллипсоида. ,0,£ ),гдэ 2 . $ = (*> у, *) - вектор, компонентами которого являются координата; частицы. Полуоси эллишвда йх , , йе вычисляется как срэдеэ кзадратюшые отклонении частица от центра алшдазда

Мч

Заряд эллипсоида б ошибается из зарядов тех частиц, которые попали внутрь алшюоида. Следовательно, , С?

5 ; § -- -далТ '

где

хг Яг , 1 ]

Ог^л, яействуетая' на частица со стороны сгустке, вычисляется двум споссбаш в зависимости от расположения частицы относи-

те лью эллипсоида. Тагам образои гостроештя модель в отлкчкк от общепринятой эллиптической модели позволяет проследить процесс "язремедивашя" часгац а пучке, наделяя "ядро" - построенный по координатам частиц эяишсовд, л участь вклад во взаимодействие "периЗврийншс" частиц - частиц, не дапеших в тао-кество Л .

Вторая математическая моде«!ь динамики частщ с большой плотностью об'емкого заряда ocscsasa на уравнениях для огибающих пучка. Учет кулоновского взаимодействия в продольном и поперечном дешевка осуществляется раздельно:так пучок в поперечном движении представляет собой вялшгичэсккй цилиндр о равномерным распределением заряда в поперечном сечкш ¡взаимодействие частиц в продольном давлении моделируется с помощьи дисковой модели,т. е.относительно частицы массы т, к заряда £ цредолагаеся, что ohz представши в вида совокупности -исков радиуса Е. и толщины 2d , врачей нааднй такой даек пере-шщавтеа как целое вдоль оси уско^тмя в трубе радауса о. тод действием внешнего поля и сит Рг , создаваемой взаимодействием дисков друг с другом. Диаашсз часгац в такой модели

опясквзегся уравнениями: '.у

I Л - (3)

для поперечного движения. Здесь

И ^гГ "

- огибашиа по переменным * и у соответственно. Злачен-

«*'Ч ох'Ч

та 2, полностью описывают эллипса фа-

зоеых состояний вдоль уекоргтеля в плоскос-чх «х , уу При этом , £<\ характорязут™ угол наклона глав"« осей этих 8ДШ1С0В к осям о х- и о у Для продольного движения имеем

причем сила ^ взаимодействия дисков выписывается ьоалити-ческк и имеет вид г

'к (^Т: -*<*) л/^тр ♦&/)]},

Математические юдели.использущие уравнения для огибающих пучка, находят применение для исследования динамики частиц в различных структурах,где могао пренебречь взаимодействием,либо учивать его только з поперечном движении. В данной работе разработана математическая модель для динамики интенсивных . потоков, в которых силк лулояовского взаимодействия между частица® в продольном двигсеше сравшаы с внешивд силами, дейетвувдш на частаци, и поэтому их необходимо .учитывать.

В п.1.4 проводится сравнение представленных в данной работе математических моделей с моделью,наиболее часто используемой пра расчетах динамита- взаимодействующих частиц - представлением пучка часищ набором равномерно заряженных шаров. Проведено численное моделирование динамики частиц в ускоряющих структурах с ДОН®. Результаты вычислительных эксдераменгов показали применимость разработанные в диссертационной работе математических моделей для анализа динамики частиц в ускоряюцих структурах с ПОКФ сри значительном сокращении времени счета.

Вторая глава посвящена оптимизации динамики зарянешшх пучков. В п.г. 1 и г.2 рассматриваются различные постановки задач оптимизации динамики пучков траекторий и методы их решения, основанные на современных методах оптимизации. В работах В.И.Зу-боза развивается теория построения электромагнитных полей,инду-цирутацих движение заряяешшх частиц, в соответствии с заданным полем скоростей, на основе которой формулируются аналитические принципы ускорения и фокусировки заряжении частиц: а работах Б.Н.Бублика, Ф.Г.Геращенко и их учеников исследования по проблеме формирования оптимальной динамики пучков ведутся на основе методов практической устойчивости. В данной работе разбиваются методы оптимизации, разработанные Д.А.Овсянниковым для класса задач,которые описываются интегро-ягфференциальиаот уравнениями и минимизируешь функционал зависит нэ от индивидуальной траектории управляемого процесса, а от целого пучка таких траекторий и плотности их распределения в разовом пространстве.

В п.г.з ставится задача синтоза управления в случае, когда управляемая система представимэ в виде!

<5>

(б)

(7)

где

о начальными условиями

х(о) = ос. < М." § С»,*)

й. с с>. ос., г.)«га & ^о^ , исК^к* Оункции £ и 1Ь задают правые части системы, описи-

вага продольное и поперечное диамине соответственна . Здесь М. , ""'о - компакз а И* шнулевой дары, $,(*■') - непрехш ко-даКервйтеруела: функция. Считаем, что , ^ , . ^ ¿V { , непрерывш по совокупности своих аргумен-

тов и имеют Еепрерывзш частные производные по ^ , у , X и управлякзеа! параметрам до второго поряд-

ка включительно. В данном случае управление " -.ж.)

есть вектор-функция врекени и фазовых координат .

Для фунациснала

Мт,«

ставится задача минмшащш по управлениям .

Здесь - функция, определенная и непрерывная по

совокупности горевших ^ , ос , X , на С0,чЗ«и>11»и вместе с частшми производными по всем своим аргумент:, е функция 9 (ж, з") определена и непрерывна в М»^ .

Для этой задачи получено представление для вариации функционала и необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума.

Глава три лосвяцена оптимизации ускоряющих структур с ПОКФ на основе катодов.рассмотренных в предыдущей главе.

Б п.3.1 ставися задача оптимизации начальной'части динейЕО-го ускорителя по функционалу специального вида,характеризующего эмкттанс пучка.

■ Система уравнений,моделирувдая динамику частиц в ускоряющей структуре с ПОКФ, представлена в виде:

( чя.,; «

Здесь 2 - независимая переменная (продольная координата)! • £ , >1 - поперечное координата; Ф - фаза частицы; , Ех . Е^ - составляющее электриэсхого потенциала вившего. поля; е . - заряд и масса частицы; - круговая частота ВЧ поля.

Функционал, опжнвакздй эшггтанс пучка, задается з зш. о

7Д9 X, _ длина ускорителя, ^ -- радиус-вэктор частицы,

Ш = , Фи)

; ПО) = сокН ■

К*

Мг

Используя метод градиентного спуска, создана программа олтидя-зеции данажет заряхеншх частиц. Подучены Параметры ускоря-вдэй структуры, в которой удалось укеньЕить эмктгано в четкре раза по сравнению с исходной структурой.

В п.3.2 рассмотрена задача оптимизации ускэршдей структуры с ПОКФ с учетов взалкодеСетЕля частиц в пучке.Рассматривается математическая модель динамики частиц (2)-(*). основанная на уравнениях для огибавдих пучка. Ставятся задача синтеза управления в виде (5)-(7) с использованием функционала (в), в котором функции и $ задаются в виде:

(Р + «2ч>х +

я ;

<9) (10)

• ~ весовые коэффициенты;

6 ' I 0 . ** 4 О

V » *чг

т,(г г

о

.К

л

I о

- (их

Функции <Р,

характеризуют захват частиц по попереч-

ному, а Чь - по продольному двинетш ( , - относительная скорость и продольная координата шделеквоя частгда); функция учитывает условие падугешя заданно» энергии на выходе ускорите ля, а ^ - ограничение на длину структура. Используя условия оотшалыюсти,получение в главе 2,для сио~ тещ (2)-(4) и заданного на траекториях этой система функционала (9), (10) выписывается градиент и строится градиентная Нэтод слуска. Создана программа, реализующая предложенную модель управления. Проведена часлеваая штгишзадая ускоряюкей структуры с ПОКФ.

В закличевин сбсукзаатся теоретическое и практическое значаще полученных в диссертационной работе результатов.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ. В диссертации разработаны два математические модели учета взаимодействия частиц в пучке для ускоряющих структур с ИОКФ: модель учета заряда пучка путем выделения эллиптического ядрз и модель, основанная на уравнениях для огибащкх.

Созданы программы, реализугаш® лрэдлояеннке математические модели в ускоряет 14 структурах с ПОНО. Проведено сравнение результатов численного моделирования динамики зеряаанвнх пучков на основе рассмотренных моделей я наиболее часто используемой модели метода крупных частиц - представлением пучка небором равномерно заряхеннта шаров. Полученные результата подтвердили позмсжность использования разработанные коделэЗ для исследования динамики частиц в ускорителях с ШКО.пра атом вреш счата значительно сокращается.

Решена задача синтеза управления в случае, когда управляющая система првдегавимз в виде двух гастг.ч: стстещ йнтэгро-дайфе-ренцяальных уравнений (продольное движение) и системы обыкно-венних дифференциальных уравнений (поперечное движение). Пред-ло:::о.ч метод градиентного спуска для функционала специального вида.

Создана программа оптпжг ции ускорякщей структуры с ЯОКО, использующая этот алгоритм для систем, динамика которых описывается с помоем математической модоли, основанной "а уравнениях для огибающих пучка.

Проведена численная оптимизация параметров ускорителя о ПОКФ.

РАБОМ АВТОРА ПО Т£МЕ ДОССЕРГАВДИ

1. Лукьянова А.Е. Исследование динамики заряжешга частиц в начальной части ускорите л • -В кн.! Математические метода анализа управляемых процессов. Д.-.Кз-во Яен.у-таи?бв.

2. Лукьянова А.Е.,Овсянников Д.А. Математическое модэлкроьенке и оптимизация пучка заряженных часту в линейном ускорители с фокусировкой ВЧ полем. -Теэпсь доклада науч.-тех. конф. "Применение вычислительной техники,математических методов и

- к

моделирования в автоматизации экспериментальных исследования", Киев, 1987.

- Э. Ворогушта Чл.,Свистунов Ю.А.,Лукьянова А.Е.,Овсянников Д.А. Математическое моделирование динамики пучков с большой плотностью оО'емного заряда. -Вопросы атомной науки и техники. Был. 6,серия: ядерно-ф^ические исследования.Харьков,1999. Лукьянова А.В. Математическое моделирование л оптимизация пучков заряженных частиц. С4. 4 меадународшой конференции по дифференциальным уравнениям и применениям,Руссе,1989.

5. Luicjanova A.One Numerical Method oi the Modelling Гт hlgh-cu-i-eat Acoel ,-ated Beam.- 5th Conference oi Numerical Methods, Hungary,August 20-25.1990.

6, bukjrnora A.ifethematioaL modelling of high-current beam dynamic In the Ion linear aooeleratox. -International Symposium on computer arithmetic,eoiontitio oomputatlon and. mathematical modelling,Bulgaria, Beptember 23-28,1991