Моделирование кинетических и газодинамических процессов в плотных газах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

"■в ол

' 3 ел» гзд

На правах рукописи Цаплин Сергей Васильевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИЧЕСКИХ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ПЛОТНЫХ ГАЗАХ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Работа выполнена в Самарском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Курочкин В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Коган Е.Я.

доктор физико-математических наук, профессор Шавалиев М.Ш.

Ведущая организация - Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королева

Защита состоится «7^» 2000 г.

в часов на заседании диссертационного совета К 063.94.01 в Самарском государственном университете по адресу: 443011, г. Самара, улица Академика Павлова дом № 1.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Самарского государственного университета

Автореферат разослан » iXt^s^fa&k 2000 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

доктор физ.-мат. наук, профессор Л ^. Кожевников E.H.

s^^a. -з -г о,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В связи с развитием сверхзвуковой авиации, (аиием ракетной и космической техники, а также развитием химической, :рной технологий возникает необходимость в разработке и ;ршенствовании методов расчёта движения газов и жидкостей в широком пазоне термодинамических параметров. В основе таких расчётов часто ользуется кинетическая теория газов.

В настоящее время с помощью кинетической теории газов и уравнения ьцмана значительные успехи достигнуты в изучении поведения простых >в и газовых смесей при низкой и нормальной плотности. Применение етической теории особенно эффективно при изучении структуры ударных н и пограничных слоев, т.е. там, где механика сплошных сред, как вило, не работает.

Известно, что кинетическое уравнение Больцмана хорошо описывает цессы в разреженных газах, т.е. когда вероятность множественных лкновений пренебрежимо мала. В плотных газах становятся существенны лективные взаимодействия между молекулами, со столкновительным :анизмом передачи энергии и импульса, которые в рамках уравнения 1ьцмана учесть невозможно. Построение кинетических уравнений для 1Тного неидеального газа с реальным потенциалом взаимодействия было смотрено в работах Рудяка и Курочкииа. В рамках развития этих ледований актуальной задачей является моделирование кинетических и □динамических процессов в плотных газах с целью выявления бенностей физических явлений в газах большой плотности.

Состояние вопроса. Впервые Энског сделал успешную попытку в ¡троении кинетической теории для плотных газов. Для модели твердых >угих сфер он ввёл поправки в уравнение Больцмана, которые позволили ;сть нелокальность столкновений и экранировку частицами друг друга. В [ьнейшем эта идея была использована в построении кинетической теории ов, в которой взаимодействия молекул учитывались посредством генциала с прямоугольной ямой. В дальнейшем Боголюбов, Борн, Грин, рквуд, Ивон (ББГКИ) пересмотрев основы кинетической теории, исходя из цих принципов динамики и статистики, открыли путь к ;ледовательному построению кинетической теории плотного газа. В гературе такой подход, нашёл отражение в виде цепочки уравнений ПСИ. В работах Чо и Уленбека, а затем Коэна, Эрнста и др. была развита зетическая теория для умеренно плотных газов с учётом тройных »лкновений. К сожалению, цепочка уравнений ББГКИ и теории, шрующиеся на ней, содержат операторы многочастичного ишодействия, присутствие которых не позволяет решить задачу расчета )ффициентов переноса в плотном газе до конца. В связи с этим не табевает интерес к модельным кинетическим уравнениям, допускающим пение в конечном виде. Позднее путём удачной аппроксимации

двухчастичной функции распределения в работах Пригожина, Николиса, Миствича и Девиса, обосновавших и уточнивших кинетическое уравнение Райса-Оллнетта с использованием потенциала с твёрдой сердцевиной, и в модели Хоффмана-Кэртисса газов для гладкого короткодействующего потенциала, получено решение модельного кинетического уравнения в конечном виде. В этих моделях трёхчастичные столкновения приближённо учитывались через равновесную бинарную функцию распределения. Теории Пригожина, Николиса, Миствича (ПНМ) и Девиса разрабатывались применительно к жидкостям, для них характерно отсутствие предельного перехода к уравнению Больцмана вследствие неполного учёта перекрёстных эффектов короткодействующей и дальнодействующей частей потенциала взаимодействия. Поэтому эти модели не могут быть использованы для газов. Расчёты по ним выполнялись только в области низких температур (Т < 200К), где модели первого приближения не могут дать точных результатов.

В работах Рудяка предложена новая модельная аппроксимация двухчастичной функции распределения, учитывающая эффекты памяти, и развит метод решения цепочки ББГКИ, позволяющий получить регулярные по плотности решения для двухчастичной функции распределения, а также приведены результаты расчёта второго вязкостного коэффициента для потенциала мягких сфер.

В работах Дубровского, Богданова и др. а основе уравнения Каданова-Бейма и Т— аппроксимации температурных функций Грина развита квазиклассическая теория умеренно плотных газов, получены кинетические уравнения квазичастичного типа и рассчитаны первые по плотности поправки к коэффициентам переноса. Однако в методе имеются определенные трудности при учете столкновительного переноса импульса и энергии.____

В работах Курочкина предложены две новые модельные^ аппроксимации двухчастичной функции распределения для плотных газов -модель потенциала с твердой сердцевиной и модель эффективного потенциала, суть которых заключается в замене многочастичных взаимодействий на эквивалентный со статистической точки зрения набор двухчастичных столкновений. Такой подход позволяет решить задачу расчета переносных свойств простого плотного газа до конца.

Макроскопическая неравновесная газовая динамика плотного газа практически ещё не начинала развиваться.

Цель работы. Решение модельных кинетических уравнений для плотных газов, вывод аналитических выражений для коэффициентов вязкости и теплопроводности и разработка численных методов их расчёта. Исследование влияния эффектов плотности на структуру ударной волны и пограничного слоя в диапазоне давлений до 2000 бар.

Методика исследования. В диссертационной работе использовались [етоды кинетической теории газов, математической физики и ычислительной математики.

Научная иовизна диссертационной работы. Разработана методика асчета коэффициентов вязкости и теплопроводности в диапазоне давлений о 2000 бар при температурах выше критической. Выявлены особенности ограничного слоя в плотном газе

Практическая ценность. Полученные в диссертационной работе езультаты могут служить основой для дальнейших фундаментальных и рикладных исследований процессов тепло-массопереноса в плотных газах.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Расчёт бинарной функции распределения для потенциалов с твердой сердцевиной и Леннарда -Джонса.

2. Методика расчета коэффициентов вязкости и теплопроводности в диапазоне приведенных плотностей п* < 1 и приведённых температур т £ 1.5.

3. Изучено влияние плотности на характеристики пограничного слоя - равновесную температуру стенки, коэффициент сопротивления и поток тепла.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на

Международной Школе по моделям механики сплошной среды г. Чуковский Московской обл., 17-24 августа 1997 г.

П. Международной конференции по неразновесным процессам в оплах и струях г. С - Петербург 22 - 26 июня 1998 г.

II. Российской национальной конференции по теплообмену г. Москва 6-30 сентября 1998 г.

Содержание работы отражено в 11 -ти научных работах

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из ведения, 4 глав, заключения, 4 приложений и описка литературы. Она зложена на 175 страницах машинописного текста, содержит 34 рисунка и 3 аблицы. Список литературы включает 191 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дано обоснование актуальности выполненных сследований, сформулирована цель работы и защищаемые положения.

Первая глава посвящена обзору и анализу существующих достижений области кинетической теории плотных газов.

Во второй главе взаимодействие молекул в плотном газе моделируется а основе потенциала твёрдых сфер и «хвоста», учитывающего заимодействие частиц на больших расстояниях. Приводится решение инетического уравнения полученного в первом порядке по параметру заимодействия для газа, находящегося вблизи равновесия, а также налитические выражения для коэффициентов переноса, которые можно редставить в вириальной форме; уравнения переноса и выражения для отоков импульса и энергии. Разработан новый метод решения уравнения

Перкуса-Йевика для вычисления радиальной функции распределения, посредством которой учитываются многочастичные взаимодействия.

В разделе 2.1 получено решение кинетического уравнения в первом приближении по параметру неоднородности методом Чемпена-Энскога.

В разделе 2.2 вычислены вектора потоков и получены аналитические выражения для коэффициентов переноса в первом приближении по параметру взаимодействия. Вычисление коэффициентов переноса сводится к вычислению величин типа

ах. (1)

\*'Ь>хЮ \Ур-{*2 + у2-^/2<1У 1 1.0

В разделе 2.3 показано существование предельного перехода полученного кинетического уравнения в пределе низкой плотности к уравнению Больцмана для рассматриваемого потенциала. В ПНМ - теории и модели Дэвиса такой предельный переход отсутствует из-за неверного учета сильных динамических корреляций, имеющих место сразу после жестокого столкновения. Для модели твердых сфер уравнение сводится к уравнению Энскога.

Раздел 2.4 посвящен разработке метода расчета радиальной ФР- g2&)г функции непрямых корреляций х(г) ■ Для этих расчётов использовалось известное уравнение Перкуса-Йевика, в котором впервые использовалось разложение по параметру плотности:

х(г)^х,(г)(*/. (2)

/20

где п =(2л13)паъ, а — характерный размер молекул. Для определения функций X/ получена система уравнений

(

*Хм(*) = 31[1 - е(^хзх^) (*+ х) - Н,_к Г ¡5- (3)

X

где Нк (х) = 0М01с11, е(() = ехр[- <р@/в], х = г/в, в = кТ. о

С помощью функций х,- уравнение состояния может быть представлено в вириальной форме: г = р/пв = 1 + т)(п*(4)

¡'¿2

Здесь В*(т) = -~ ^о'(х)ф)х1,2х3<1х1 ь(х) = <р(г)/с, г = 0/е, (5)

где е- глубина ямы потенциала взаимодействия. В частном случае для потенциала с твердой сердцевиной, т.е. для потенциала, состоящего из суммы потенциала твердых сфер радиуса а и «хвоста», учитывающего взаимодействие частиц при г> и, функции х, представляются в виде

шожения в ряд по параметру взаимодействи::, в качестве которого мльзуется обратная величина приведенной температуры 1 / т = е ! в :

xAkJ=Х?}(х) + + 0CV2/ (б)

я вычисления функций xf* из соотношений (3) получены этветствующие уравнения.

В работе найдены аналитические решения для функций х{0> н и

сленные решения для функций и Х^ > а также аналитическое

шение для функции Для потенциала Сазерленда. Получены численные

шения функций для модифицированного потенциала Леннарда -

конса (12-6). По найденным функциям у^, получены аналитические

фажения для вириальных коэффициентов В*(т) в первом приближении по раметру взаимодействия.

По формулам (3) и (4) проведены численные расчеты функций Xi(x) 1Я / <4 и В ¡(г) для / < 6 с использованием потенциала Леннарда - Джонса 2-7):

Анализ температурной зависимости вириальных коэффициентов, »лученных для потенциала с твердой сердцевиной в первом приближении » параметру взаимодействия показал их неверную асимптотическую висимость при г—>оо. Для "исправления" ситуации предложено ввести мпературную зависимость диаметра твердой сердцевины модельного

—1/12

»тенциала в виде сг = 1.О66сг0т . Такой приём использовался ранее в атистической механике равновесных систем. В частности, показано, что гетема «мягких» сфер с потенциалом взаимодействия (p(r) = -e(ff/rf2 с :рмодинамической точки зрения эквивалентна системе твердых сфер, гаметр которых зависит от температуры в виде т=1.066(70г-1'12 В общем 1учае потенциалов, содержащих «притягивагельную» часть, такой прием не зет необходимых результатов, так как система твердых сфер в принципе не ожет учитывать «притягивательную» часть потенциала. Однако, в осматриваемом случае этот прием оправдан, так как «притягивательная» асть учтена отдельно и здесь фактически идет замена жесткой стенки на мягкую». Предложенный приём позволил полуить верную зависимость ириальных коэффициентов и удовлетворительное согласие результатов асчетов фактора сжимаемости (см. рис. 1-2) для /прощённой модели ЛДМ 12—6) (т.е. модели ЛД с учетом с = 1.066<г0г-1"2 ) с табличными значениями пределах разброса экспериментальных значений в диапазоне приведённых

емператур т = 3-8 и приведённых плотностей и* <0.8, что говорит об ффективности применённого приёма.

1.8 1.6

1.4

1.2

1

О 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 п* Рис. 1. Фактор сжимаемости при г = 3 для потенциалов ЛД(12-7) (сплошная линия) и ЛДМ (12-6) (пунктир), о и х - табличные данные для Аг и Ы2. Ф*)

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 п*

Рис. 2. Фактор сжимаемости при т = 8 для потенциалов ЛД (12-7) (сплошная линия) и ЛДМ (12-6) (пунктир).

_о и х - табличные данные для Аг и Ы2.

В разделе 2.5 выполнен расчет коэффициентов переноса по формулам— раздела 2.3. Сравнения результатов расчёта с табличными данными для Аг и N2 показали их совпадение б пределах (5-10)% для диапазона приведенных температур 3 < т < 6 и приведенных плотностей п < 0.8.

Глава 3 посвящена кинетической теории для произвольных гладких короткодействующих потенциалов на основе метода введения эффективного потенциала (МЭП). Путём введения эффективного потенциала, приближенно учитывающего многочастичные взаимодействия, получено приближенное решение второго уравнения цепочки ББГКИ. Эффективный потенциал сводит взаимодействие частиц к парным, а многочастичные взаимодействия учитываются через свойства среды, как это делается в методах с самосогласованным полем. Приведено аналитическое решение второго уравнения цепочки ББГКИ и представлены аналитические выражения для коэффициентов переноса. Разработана методика проведения численных расчётов коэффициентов переноса. Представлены численные расчеты для

2(11")

* * ж ^ у«/

газанных моделей, применительно к потенциалу Леннарда-Джонса (12-6). риведено сравнение результатов расчета с экспериментальными данными.

В разделе 3.1 взаимодействие молекул в плотном газе моделируется на

;нове эффективного потенциала ср* (г) = -01>щ(г) = /р(г) - 0Ъг/(г) равного этенциалу средней силы, известному в равновесной статистической теории, оказано, что с увеличением плотности газа от п = 0.2 до п - 0.8 для риведённых температур г = 2 и г = 3 такое взаимодействие приводит к

оявлениюу г*(х) = (р*(г)/е по сравнению с потенциалом ь(х) ДЦ(12-7) более тубокой потенциальной ямы при г » а и потенциального барьера в области «^2.5-г2.0у)сг. Физически это означает увеличение роли притяжения для лизко расположенных частиц из-за воздействия на них окружающих астиц, которые как бы прижимают к выбранной частице молекулы из лижайшего окружения. Наличие этого ближайшего окружения также [репятствует проникновению к выбранной частице молекул из дальнего (кружения, что обуславливает появление у эффективного потенциала ютенциального барьера. Эта ситуация полностью аналогична той, что осматривалась при выводе уравнения Энскога, причем увеличение ютенциальной ямы соответствует уменьшению свободного объема в газе, а юявление потенциального барьера - наличию экранирования частицами фуг друга. Поэтому рассматриваемый метод мож.ю считать развитием идей Энскога на случай реальных потенциалов. Выражгясь более строгим языком, зид эффективного потенциала взаимодействия обусловлен появлением в структуре плотного газа близкого порядка, который характерен для жидкостей. Таким образом, свойства среды непосредственно связаны с характером взаимодействия частиц в плотном газе. Приводится решение кинетического уравнения (второго уравнения цепе таи ББГКИ).

В 3.2 приводится вывод уравнений сохранения, которые сводятся к обычным уравнениям сохранения массы, импульса и энергии. Получены выражения для векторов потоков.

В 3.3 получено нулевое приближение ФР и соответствующие этому приближению уравнения сохранения.

В 3.4 получено решение кинетического уравнения методом Чепмена-Энскога в первом приближении по параметру неоднородности.

В 3.5 получены формальные выражения для коэффициентов переноса. Вычисление кинетических коэффициентов сводится к вычислению коэффициентов, Як, которые имеют вид

\<Р'г-'8&)ехр(-у\)зк^с1 у, (7)

71 (Та *

где коэффициенты ^ представляют собой скалярные произведения векторов г.г'.у И у0, где

У=(/и/4<?;,/2(\2-у1Л у0 = (т/4в)и2(у'2-у[). (8)

Для расчета величин г' и у0 решена задача двух тел, взаимодействующих между собой посредством потенциала <р*. В результате точного решения получено выражение вектора г' и у0 через вектора г и у.

В 3.6 представлен метод численного расчета коэффициентов Я, которые преобразуются к виду

Я

«> % *о г 1 Г . V1'2

-^ ■• (9)

1/2 5/2 ... 71 от j j j хп с

ООО и

где е = у\б1е, Н(х) = -о'(х) + хи*' (х)/2, с = [\-В(е,х0)/В(е,х)], B(e,x) = \p-v*(x)\lxг, х = а/г, х0-а/г0, г0 - точка поворота.

Интегрирование по х0 осуществляется от 0 до хт, где хт есть наибольший корень уравнения

е-07О = 0, (Ю)

где е =

-т(\2~ V,;2 + 4

1е - приведенная энергия сталкивающихся

частиц, причем в плоскости из области интегрирования исключается

диапазон параметров, внутри которого В(е,х)<В(е,х0).

В разделе 3.7 представлено сравнение результатов расчета коэффициентов сдвиговой вязкости и теплопроводности для моделей потенциала с твердой сердцевиной и МЭП с экспериментальными данными и результатами расчетов других авторов в диапазоне приведенных плотностей

п <1.0 и температур т> 1.5. В частности, приведено сравнение результатов расчетов второго вириального коэффициента для вязкости и

теплопроводности по МЭП в сравнении с расчетами Рейнватера_и

экспериментальными данными для инертных газов и азота. В диапазоне приведенных температур т > 1.5 расчет согласуется с экспериментальными данными в пределах 5-7%, что не хуже, чем расчёты Рейнватера. По-видимому, этот положительный результат является следствием того, что эффективный потенциал автоматически учитывает (хотя и приближенно) многочастичный характер взаимодействий и, в том числе, образование кластеров через характерный вид эффективного потенциала. Отражение от потенциального барьера при этом моделирует взаимодействие молекулы с кластером. За счет этого прочсходит учет тех слагаемых, которые позволили существенно улучшить модель Хоффмана-Кэртисса. Однако преимуществом метода эффективного потенциала является возможность распространить его применительно к более высоким плотностям, чем это возможно при подходе Рейнватера. Кроме того, МЭП внутренне замкнут, для его использования не требуется никаких других данных о потенциале парного взаимодействия, в то время как в подходе Рейнватера необходимо дополнительно знать параметры потенциала взаимодействия типа мономер - димер, в подборе которых пока

нет ясности, и они по существу выбираются из условия согласования с экспериментальными данными окончательных выражений для коэффициентов переноса. Расхождение данных расчета по МЭП при п > 0.2 со сглаженными экспериментальными данными (рис. 3.) составляет 5-7% при т>2, п <0.8 и 10-12% при 1.5<г<2 и и* >0.8.

Модель потенциала с твердой сердцевиной ЛДМ (12-6) дает результаты даже несколько лучшие, чем МЭП, но в области приведенных температур 3 < г < 6 (рис. 3, 4).

4

3.5

3

2.5 2

1.5 1

°"5 1 2 3 4 5 6 7 8 7"

Рис. 3. Приведенный коэффициент теплопроводности. Сплошная кривая -расчет по МЭП. Пунктир - сглаженные экспериментальные данные для

инертных газов. 1-/7* =0.2; 2-и*=0.5; 3-л*=0.8; 4 — л* = 1.0.

4

3.5 3

2.5 2

1.5 1

0.5

1 2 3456787

Рис. 4. Приведенный коэффициент теплопроводности. Сплошная кривая - расчет по модели для потенциала с твердой сердцевиной. Пунктир - сглаженные экспериментальные данные для инертных газов. 1-й* =0.2; 2-л* =0.5; 3-/7* =0.8; А-п =1.0.

За пределами этого температурного интервала расхождение становиться значительным, особенно в области низких температур, что соответствует характеру расчетов вириальных коэффициентов уравнения состояния, представленных в главе 2.

На рис. 5-6 представлены расчеты второго вириального коэффициента для вязкости и теплопроводности для МЭП в сравнении с расчетами Реинватера и экспериментальными данными для инертных газов и азота в диапазоне температур г >1.0 (напомним, что для критической температуры имеем: г0 = 1.3).

В„

0.5

О

-0.5

1 2 5 10 20 50 т

Рис. 5. Второй вязкостный вириапышй коэффициент, а- расчёт по МЭП, Ь -расчёт Реинватера, с - расчёт по методу Кузнецова, сЗ- обобщающие результаты по данным Кессельмана и др. Экспериментальные значения: о -азот; О - гелий; А - аргон; - ксенон; + - неон.

--В,_________

\

к

\ а^ Чч

_ _а, с

1 2 5 10 20 50 г

Рис. 6. Второй вириальный коэффициент теплопроводности, а- расчёт по МЭП, Ь - расчёт Рейнватера, с - расчёт по методу Кузнецова, с1- обобщающие результаты по данным Кессельмана и др.

1 о N. л Аг

/Д-А' ^ с 41Я ° Не + Ке

/4—ъ п

и В-1 о

/с

Расчеты по МЭП дают значения В1; несколько выше, а Вх немного ниже,

чем расчеты Рейнватера. В делом расчеты по обеим моделям соответствуют экспериментальным данным как качественно, так и количественно. При г >1.5 расхождение экспериментальных и расчетных значений практически находится в пределах разброса экспериментальных данных для сферически симметричных молекул. Расчёты по модели Кузнецова при малых температурах т>2 приводят к значениям, существенно меньшим, чем экспериментальные значения и расчёты по МЭП и модели Рейнватера. Таким образом, МЭП достаточно адекватно описывает экспериментальные данные по коэффициентам переноса для умеренно плотного газа при температурах т > 1.5. Однако в не очень широком температурном интервале т> 3 развитая теория может применяться для вычисления коэффициентов переноса при условии использования слабой температурной зависимости диаметра твердой сердцевины.

В четвёртой главе изучается влияние неидеалыюго газа на структуру ударной волны. Используется как газодинамический, так и кинетический подход. При газодинамическом подходе изучается одномерное течение вязкого теплопроводного неидеального газа на основе решения системы уравнений Навье-Стокса. В основе кинетического подхода лежит решение уравнения Больцмана на базе идей Мотт-Смита о делении частиц на две группы с использованием уравнения переноса, полученного в работе Великодного.

Рассматривается решение уравнений пограничного слоя на пластине в плотном газе с учётом реальной зависимости коэффициентов переноса от плотности и температуры. Получены значения равновесной температуры стенки, коэффициента трения и потока тепла в диапазоне давлений до 1 ООО бар и диапазоне температур до 1000 К. для воздуха.

В разделе 4.1 структура ударной волны изучается на основе газодинамических уравнений Навье-Стокса с учетом реальных зависимостей термодинамических параметров и коэффициентов переноса от плотности и температуры (рис. 7.). Показано, что относительная ширина ударной волны в плотном газе увеличивается с увеличением плотности.

В разделе 4.2 структура ударной волны изучается на основе метода одинаковых частиц, согласно которому молекулы, до и после ударной волны, представляют собой две группы частиц, которые взаимодействуют между собой внутри ударного слоя.

Это взаимодействие учитывается при помощи уравнений, полученных в работах Курочкина. Результаты расчетов, приведённые на рис. 8, качественно соответствуют результатам, полученным в предыдущем разделе для приведённой толщины ударной волны.

В разделе 4.3 исследован стационарш>ш ламинарный пограничный слой, образующийся на пластине при продольном обтекании ее вязким газом с большими скоростями. В основе таких исследований положено решение системы газодинамических уравнений. Приведённая система уравнений в

работе отличается от известной в теории пограничного слоя тем, что в ней использованы реальные зависимости плотности, коэффициентов переноса -вязкости и теплопроводности, теплоемкости от давления и температуры. Получены зависимости равновесной температуры стенки и параметров механического и теплового взаимодействия пограничного слоя со стенкой от условий потока и давления газа.

0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 о

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 ра/р1

Рис.7. Приведенная обратная толщина ударной волны. Газодинамический подход. 1: п = 0; 2: н* =0.1 3: и* = 0.3.

0.8 0.6 0.4

0 ~ — 1 1.5 1 2.5 3 3.5 4 р2/р1

Рис. 8. Приведенная обратная толщина ударной волны. Кинетический подход. 1: и* = 0; 2: л* = 0.1 3:н*=0.3.

Результаты вычислений безразмерной равновесной температуры стенки с высокой точностью (1-2 %) представлены в виде линейной зависимости от параметра [5 (рис.9):

Т,1Та=1 + <ф, (11)

где «- коэффициент, зависящий от давления рт и температуры Гю внешнего потока (рис. 10).

Зависимость коэффициента а от Та,\Т ^ и Р^/Рк для воздуха, где и Рк—критические значения температуры и плотности, приведена на рис. 8. Как показал расчет, проведенный для воздуха, азота и кислорода в диапазоне температур 300 К < Гю < 1000 К и давлений до 1000 бар коэффициент а с точностью 1-2 % является универсальным для этих газов.

11/ я

Т,

То,

3

0.48

0.46

0.44

0.42

0.4

0.38

Рис. 9. Зависимость безразмерной равновесной температуры стенки от параметра /? для воздуха при температуре набегающего потока Т = 300 К и при различных значениях давления : бар : 2-р = 100бар : 3-р=1000бар

а

.V

•V V 2 ^ ч.

1 -----V. '.С- --■*"■' — --——

Т„

Рис. 10 Зависимость коэффициента а от приведенной температуры Тю / Тк для воздуха при различных значениях приведенного давления л = рш/рк:1 -п-0,0265; 2 — тг = 2,65; 3-л = 5,305;

2-тс = 10,61; 3-л = 21,22; 4-гс = 26,525. Расчёт коэффициента сопротивления показал, что величина т!

: высокой точностью (1—2 %) представима в виде линейной зависимости от траметра р для воздуха при температуре набегающего потока Т = 300К для 1азличных значений интервалов давления: р = 1 бар; р = 200 бар; р = 1000 бар ; виде сг л/яё^т, = 1 +Я[/?. Таким образом, с учетом постоянной температуры тенки имеем:

ависимость коэффициента «1 от Т^/Т^ и р^/рк для воздуха приведена а рис. 11. Численный анализ процесса теплопередачи при граничных словиях

\т=тЧ1, при С — О [т = 1 , при £ = 00 ' показал, что зависимость числа Ми от Ие«, = ит1/(/ - длина пластины) и р имеет сложный характер. При малых Р (р < 0.125, что соответствует скорости внешнего потока яа < 0.75М), когда можно положить Т( зависимость числа Ыи от Яе^ можно представить в виде

где

0.24

0.22

0.2

0.1 0.16

0.14

№ = 02-7^7 > а2 ~-

(13)

^ ос Роз ~

С(0)

1

2

3 л * *

5

а

т,<

Рис. 11. Зависимость коэффициента а, от приведенной температуры Тго / Тк для воздуха при различных значениях приведенного давления % = р^ / рк :1 -ж = 0,0265; 2-л = 2,65; 3 - к = 5,305;4 - к = 10,61; 5 - тс = 21,22; 6 - л=26,525. Зависимость д2 в этом" случае от ти, = Г)1(/Г^ для воздуха.приведена на рис.12.

-0.4 —0.45 -0.5 -0.55 -0.6 -0.65

5 __ _ |—— ________

— — — ~~"

2

Рис. 12. Зависимость 02 от приведенной температуры стенки Ту, /Гм для воздуха при малых параметрах р и температуре набегающего потока Т = 300К для различных значений давления: 1 - р = 1 бар; 2 -р=1 ООбар; 3 - р = 200бар; 4 - р = 400 бар; 5 - р = 800бар; 6 - р=1000бар.

в

Результаты расчёта показали, что при высоких давлениях зависимость коэффициентов переноса становится существенной от давления и оказывает влияние на процесс взаимодействия потока со стенкой.

Кратные выводы

1. На основе решения модельных кинетических уравнений для плотных газов (модель потенциала с твердой сердцевиной и модель эффективного потенциала) получены аналитические выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности.

2. Разработан новый удобный метод решения уравнения Перкуса-Иевика посредством которого учитываются многочастичные взаимодействия и рассчитана бинарная функция распределения в диапазоне приведённых плотностей п* < 1 и приведённых температур г <4.

3. Разработана методика расчета коэффициентов вязкости и теплопроводности в диапазоне приведенных плотностей п* < 1 и приведённых температур тй 1.5.

4. Результаты расчёта коэффициентов вязкости и теплопроводности находятся в соответствии с экспериментальными данными в диапазоне приведенных плотностей п <0.8 и приведённых

температур г > 2 с точностью 7 %, а в области п 2. 0.8 и 1.5 < т < 2 -12 %.

5. Рассчитаны вторые вязкостные и теплопроводные вириальные коэффициенты для потенциала с твердой сердцевиной и модельного эффективного потенциала в области приведенных температур 1<т<8.

6. Сравнение результатов расчёта с экспериментальными данными по коэффициентам переноса для модели с твёрдой сердцевиной показало их совпадение в пределах 5-10% при относительных плотностях л* <0.8 в диапазоне относительных температур 3<т<6, а для модели с эффективным потенциалом в пределах 710% в диапазоне приведенных плотностей и* ¿1.0 и температур т > 1.5.

7. Расчеты по обеим моделям соответствуют экспериментальным данным как качественно, так и количественно. Расчётные значения коэффициентов переноса для т > 3 и п < 0.5 практически находится в пределах разброса экспериментальных данных.

8. На основе двух подходов (кинетический и газодинамический) получены профили плотности в ударной волне в плотном газе. Установлено, что относительная толщина ударной волны увеличивается с увеличением плотности, что связывается с

преобладанием в плотном газе столкновительного переноса импульса и энергии.

9. В диапазоне давлений до 1000 бар и температур до 1000 К изучено влияние плотности набегающего потока на параметры ламинарного пограничного слоя на плоской стенке. Установлено, что зависимость коэффициентов переноса для воздуха от давления существенным образом влияет на параметры взаимодействия потока с пластиной.

Список статей по материалам диссертации

1. Курочкин В.И., Цаплин C.B. К кинетической теории плотных газов из молекул с твердой сердцевиной. // Деп. в ВИНИТИ 11.10.91, №3943 -Р91- 14с.

2. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Вычисление коэффициентов переноса плотного газа на основе модели эффективного потенциала. // Деп. в ВИНИТИ 13.04.93, №935 -В93,- 15 с.

3. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Коэффициенты переноса плотного газа на основе модели эффективного потенциала. // Теплофизика высоких температур, - 1993.-т. 31,№6.-с. 903 -908.

4. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Бинарная функция распределения и уравнение состояния плотных газов из молекул с твердой сердцевиной. // Деп. в ВИНИТИ 1.02.93, №251 -В93.-бс.

5. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Вычисление коэффициентов переноса в плотном газе из молекул с твердой сердцевиной. // Деп. в ВИНИТИ 13.04.93, №93б-В93.- 13с.

6. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Коэффициенты переноса плотного газа на основе модели потенциала с твердой сердцевиной. // Журнал технической физики.- 1993,-т. 63," №8."-с. 203 -208. -

7. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Сравнительный расчет второго вязкостного и теплопроводного вириальных коэффициентов. // Журнал Теплофизика высоких температур. - 1997. - т. 35, №5 - с. 835 -836.

8. Курочкин В.И., Цаплин C.B. О структуре ударной волны в плотном газе. // Труды XIV сессии международной школы механики сплошной среды. - (М.: 17-24 августа 1997 г.) г. Москва 1998г. с. 138 - 144.

9. Болычев С.А., Булавинцев А.Н., Курочкин В.И., Цаплин C.B. Об особенностях пограничного слоя плотного газа. // Журнал Теплофизика высоких температур. - 1998. - т. 36, №4 - с. 678 - 680.

10. Болычев С.А., Булавинцев А.Н., Курочкин В.И., Цаплин C.B. Об особенностях пограничного слоя в плотном газе. // . Труды XIV сессии международной школы механики сплошной среды. - (М.: 17-24 августа 1997 г.) г. Москва 1998г. с. 14-19.

11. Курочкин В.И., Цаплин C.B. О структуре ударной волны. // Вестник Самарского Государственного Университета (математика, механика, физика, химия, биология) г. Самара - 1998 №2 (8) с. 128 - 134.

Список основных обозначений и сокращений

Введение

Глава 1. Основные этапы развития кинетической теории плотных газов

1.1. Кинетические уравнения Больцмана и Энскога

1.2. Анализ теории Энскога

1.3. Уравнение Лиувилля и цепочка уравнений ББГКИ

1.4. Функциональная связь между Р2 и Р

1.5. Модель потенциала с прямоугольной ямой

1.6. Модели для потенциала с твердой сердцевиной

1.7. Модели для гладких потенциалов

1.8. Метод квазичастиц

1.9. Кинетическая теория плотных газов для потенциала с твердой сердцевиной 36 Анализ литературного обзора

Глава 2. Кинетическое уравнение и аналитические выражения для коэффициентов переноса на основе модели потенциала с «твёрдой сердцевиной»

2.1. Решение кинетического уравнения

2.2. Аналитические выражения для коэффициентов переноса

2.3. Предельный переход к уравнению Больцмана

2.4. Бинарная функция распределения

2.5. Численная реализация расчёта коэффициентов переноса 74 Выводы

Глава 3. Кинетическое уравнение и аналитические выражения для коэффициентов переноса на основе модели "эффективного потенциала"

3.1. Решение кинетического уравнения

3.2. Уравнения сохранения и вектора потоков

3.3. Нулевое приближение

3.4. Приближение первого порядка

3.5. Аналитические выражения для коэффициентов переноса

3.6. Вычисление коэффициентов переноса

3.7. Сравнение результатов 106 Выводы

Глава 4. Газодинамические приложения

4.1. Структура ударной волны. Газодинамический подход

4.2. Структура ударной волны. Кинетический подход

4.3. Ламинарный пограничный слой в плотном газе 117 Выводы

Крениг, Клаузиус, Максвелл, Больцман положили начало развитию кинетической теории газов. Основной интерес физики с 1900 по 1935 сосредоточивается на квантовой и равновесной статистической механике общих систем, квантовых и классических и других разделах. Кинетическая теория газов в классическом смысле продолжала существовать лишь как математическая задача решения уравнения Больцмана. Влияние квантовой, статистической механики привело к развитию кинетической теории. Максвелл - первый кто использовал статистический подход к проблеме описания газов. В своих работах он установил закон распределения скоростей молекул однородного газа, которое впоследствии получило название максвелловского распределения по скоростям и закон равнораспределения средней энергии молекул в смеси газов. Кинетическая теория газов заканчивается у Максвелла выводом уравнения переноса, определяющего изменение любой физической величины. Теория Максвелла указала путь к получению уравнений Навье - Стокса, что позднее было выполнено Чепменом и Энскогом. При этом он рассматривал газ, молекулы которого являются точечными центрами отталкивательных сил, обратно пропорциональных пятой степени расстояния между ними;, в литературе они получили название максвелловских молекул. В 1872 году Больцман сформулировал и доказал Н-теорему, вывел интегро - дифференциальное уравнение, которое получило название уравнения Больцмана. Так, из Н -теоремы вытекает как обратимость, так и необратимость процессов и она также показывает, что столкновения молекул приводят к увеличению энтропии системы. Уравнением Больцмана описывается эволюция функции распределения во времени и пространстве. Кроме этого найденные Максвеллом выражения для различных кинетических коэффициентов в газе, состоящем из максвелловских молекул, можно получить из решения этого уравнения. Церемело в 1896 году, основываясь на теореме Пуанкаре из аналитической механики, утверждал, что поведение системы многих тел должно быть почти периодическим. Уравнения Максвелла могут быть эквивалентны уравнению Больцмана, если взять бесконечное их число. Максвеллом было отмечено, что уравнение Больцмана значительно шире: оно справедливо для описания явлений газовой динамики разреженных газов, состояние которых может значительно отклоняться от термодинамического равновесия.

На этом построение формальной основы кинетической теории неоднородных газов завершено. В дальнейшем кинетическая теория продолжала существовать как прикладная математическая теория решения уравнения Больцмана по пути, указанному Максвеллом в работе "О динамической теории газов".

В 1910 году Гильберт исследовал уравнение Больцмана с математической точки зрения. Ограничившись моделью твердых сферических молекул, Гильберт показал, что оно эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для которого можно построить строгую теорию. Гильберту удалось доказать существование и единственность решения и установить некоторые из его свойств.

Используя работы Гильберта, Чепмен и Энског независимо друг от друга разработали формализм, позволяющий найти решение уравнения Больцмана для слабо неоднородного газа и получить выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности [2-5].

При выводе уравнения Больцмана использовалось предположение о парных столкновениях, что не позволяет применить его непосредственно для описания плотных газов и жидкостей. Однако, существование связи между кинетической теорией и гидродинамикой, которая заключена в методах Чепмена и Энского, позволяет предполагать, что существует обобщенное уравнение Больцмана для плотных газов.

Первая успешная попытка обобщения уравнения Больцмана на более высокие плотности принадлежит Энскогу [6]. В своей теории он с помощью интуитивных предположений на основе модели твердых сфер внес в уравнение Больцмана поправки, учитывающие соизмеримость диаметра молекул со средним расстоянием между ними. В результате тот механизм переноса импульса и энергии, которым при нормальных плотностях пренебрегали, оказался существенным. Это связано с тем, что при столкновении происходит перенос импульса и энергии на расстояние, равное расстоянию между центрами молекул. В случае твердых сферических молекул этот перенос импульса энергии на расстояние между центрами молекул происходит мгновенно.

Ряд ученых, среди которых первым был Боголюбов, пересмотрели сами основы кинетической теории [7]. Исходя из уравнения Лиувилля, описывающего временную эволюцию состояния газа в фазовом пространстве, Боголюбов получил обобщенное кинетическое уравнение, которое открыло путь к систематическому построению формальной кинетической теории с учетом многочастичных столкновений. Этот путь был реализован в работах Чо и Уленбека [8]. Однако, присутствие операторов многочастичного рассеяния в выражениях для коэффициентов переноса не позволяет решить задачу до конца. В связи с этим не ослабевает интерес к модельным кинетическим уравнениям для плотных газов, обобщающим теорию Энскога для модели твердых сфер на случай более реальных потенциалов. Такое обобщение может быть основано на простых физических соображениях или на приближенном решении цепочки уравнений ББГКИ. Существуют и некоторые простые модификации уравнения Энскога (например, рассмотренная в [9]), заключающиеся во введении в уравнение реального сечения взаимодействия. К сожалению в этих уравнениях при их практическом использовании необходимо привлекать Р-У-Т данные, связь которых с параметрами модели нельзя определить однозначно. Позднее путём удачной аппроксимации двухчастичной функции распределения в работах Пригожина, Николиса, Миствича и Девиса, обосновавших и уточнивших кинетическое уравнение Райса-Оллнетта с использованием потенциала с «твёрдой сердцевиной», в модели Хоффмана-Кэртисса газов для гладкого короткодействующего потенциала получено решение модельного кинетического уравнения в конечном виде. В этих моделях трехчастичные столкновения приближённо учитывались через равновесную бинарную функцию распределения. В теории Пригожина, Николиса, Миствича (ПНМ) и Девиса разрабатывались методы решения применительно к жидкостям, для которых характерно отсутствие предельного перехода к уравнению Больцмана вследствие неполного учёта перекрёстных эффектов короткодействующей и дальнодействующей частей потенциала взаимодействия. Однако, эти модели не могут быть использованы для газов. Расчёты по ним выполнялись только в области низких температур (Т < 200К), где модели первого приближения не могут дать точных результатов.

В работах Рудяка [7-9] предложена новая модельная аппроксимация двухчастичной функции распределения, учитывающая эффекты памяти, и развит метод решения цепочки ББГКИ, позволяющий получить регулярные по плотности решения, а также приведены результаты расчёта второго вязкостного коэффициента для потенциала мягких сфер.

В работах Дубровского, Богданова и др. [10, 11] на основе уравнения Каданова-Бейма и Т- аппроксимации температурных функций Грина развита квазиклассическая теория умеренно плотных газов, получены кинетические уравнения квазичастичного типа и рассчитаны первые по плотности поправки к коэффициентам переноса. Однако, в методе имеются определенные трудности при учете столкновительного переноса импульса и энергии.

В работах Курочкина [123, 125] предложены две новые модельные аппроксимации двухчастичной функции распределения для плотных газов -модель потенциала с твердой сердцевиной и модель эффективного потенциала, суть которых заключается в замене многочастичных взаимодействий на эквивалентный со статистической точки зрения набор двухчастичных столкновений. Такой подход позволяет полностью решить задачу расчета переносных свойств простого плотного газа.

Последующие модели должны опираться только на потенциал взаимодействия, а экспериментальные данные могут использоваться только для подбора параметров потенциала. Для имеющихся же моделей вычислялись только первые (линейные по плотности) поправки к коэффициентам переноса: поправки более высоких порядков не вычислялись из - за некоторых принципиальных трудностей.

Таким образом, моделирование процесса взаимодействия молекул и решение кинетических уравнений на основе такого взаимодействия является весьма актуальной задачей, решение которой могло бы дать способы расчета переносных свойств плотных газов.

Макроскопическая газовая динамика плотного газа практически еще не начиналась развиваться.

Цель диссертационной работы состоит в получении решений модельных кинетических уравнений для плотных газов, вывод аналитических выражений для коэффициентов вязкости и теплопроводности и разработка численных методов их расчёта. Проводится исследование влияния эффектов плотности на структуру ударной волны и пограничного слоя в диапазоне давлений до 2000 бар.

Научная новизна диссертационной работы: решены модельные кинетические уравнения для плотных газов, сделан вывод аналитических выражений для коэффициентов вязкости и теплопроводности; разработана методика расчета коэффициентов вязкости и теплопроводности в диапазоне давлений до 2000 бар при температурах выше критической; выявлены особенности пограничного слоя в плотном газе.

Научная и практическая ценность.

Разработана методика расчёта коэффициентов вязкости и теплопроводности в диапазоне давлений до 2000 бар при температурах выше критической.

Исследованные особенности пограничного слоя могут служить основой для дальнейших фундаментальных и прикладных исследований процессов тепло - массопереноса в плотных газах.

Достоверность результатов подтверждается путём подробного сравнения результатов расчетов различных свойств газов (Р-У-Т данных и коэффициентов переноса) с экспериментальными данными в широком диапазоне температур и плотностей, в сопоставлении асимптотик этих свойств, когда они известны из других, не связанных с результатами данной работы соображений, а также в существовании предельных переходов в полученных уравнениях: соотношениях в пределе малой плотности и в пределе статистического равновесия, а также в случае упрощения потенциала взаимодействия.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы. Она изложена на страницах машинописного текста, содержит рисунков и таблиц. Список литературы включает наименования.

Выводы

На основе уравнений переноса, полученных с помощью модифицированного уравнения Энскога для плотных газов из твердых сфер, исследована структура ударных волн. Показано, что относительная толщина ударной волны увеличивается с увеличением плотности. Установлено, что в пограничном слое образующийся при продольном обтекании пластины вязким газом при высоких давлениях зависимость коэффициентов переноса от давления существенным образом влияет на параметры взаимодействия потока с пластиной.

121

Заключение

1. На основе решения модельных кинетических уравнений для плотных газов (модель потенциала с твердой сердцевиной и модель эффективного потенциала) получены аналитические выражения для коэффициентов вязкости и теплопроводности.

2. Разработан новый метод решения уравнения Перкуса - Йевика посредством которого учитываются многочастичные взаимодействия и рассчитана бинарная функция распределения в диапазоне приведенных плотностей п < 1 и приведённых температур г < 4.

3. Разработана методика расчета коэффициентов вязкости и теплопроводности в диапазоне приведенных плотностей п < 1 и приведённых температур т > 1.5.

4. Результаты расчётов коэффициентов вязкости и теплопроводности находятся в соответствии с экспериментальными данными в диапазоне приведенных плотностей п <0.8 и приведённых температур т>2 с точностью 7 %, а в области п > 0.8 и 1.5 < т < 2 - 12 %.

5. Рассчитаны вторые вязкостные и теплопроводные вириальные коэффициенты для потенциала с твердой сердцевиной и модельного эффективного потенциала в области приведенных температур 1 < т < 8.

6. Сравнение результатов расчёта с экспериментальными данными по коэффициентам переноса для модели с твёрдой сердцевиной показало их совпадение в пределах 5-10% при относительных плотностях п <0.8 в диапазоне относительных температур 3<т <6, а для модели с эффективным потенциалом в пределах

7-10% в диапазоне приведенных плотностей и* <1.0 и температур г >1.5.

122

7. Расчеты по обеим моделям соответствуют экспериментальным данным как качественно, так и количественно. Расчётные значения коэффициентов переноса для т > 3 и п* < 0.5 практически находится в пределах разброса экспериментальных данных.

8. На основе двух подходов (кинетический и газодинамический) получены профили плотности в ударной волне в плотном газе. Установлено, что относительная толщина ударной волны увеличивается с увеличением плотности, что связывается с преобладанием в плотном газе столкновительного переноса импульса и энергии.

9. Изучено влияние неидеального газа на структуру ламинарного течения в пограничном слое при высоких давлениях до 1000 бар в диапазоне температур до 1000 К и показано, что зависимость коэффициентов переноса для воздуха от давления существенным образом влияет на параметры взаимодействия потока с пластиной.

1. Boltzmann L. Weitere Studien über das Warmegleichgewicht unter Gasmoleculen. - Sitz. //Ber. Kaiserl. Akad. Wiss. - 1872. - vol. 66, № 2. - p. 275.

2. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichung, Teobner, Leipszig, 1912. - 230 p.

3. Chapman S. On the law of distribution of molecular velocities, and on the teory of viscosity and thermal conduction, in a non uniform simple monatonic gases. // Phil.Trans.Roy.Soc.Ser.AA.-1916.-v.216.-p.279-348.

4. Chapman S. On the kinetik theory of gas. A composite monatonic gas, diffusion, viscosity and thermal conductivity. // Phil. Trans. Roy. Soc. Ser.A. London. 1917. - vol. 217. - p.215-283.

5. Enskog D. Kinetishe theorie der vorgange in massing verdunuter gasen, Dissertation Upsala. - 1917.

6. Enskog D. Kinetishe Theorie der Warmeleiturug, Reibung und Seiistdiffusion in gewissen verdichteten Gasen und Flüssigkeiten. // Kungl. Svenska vet. Ak. Handl. - 1922. - №4.

7. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. М. - Л.:ГИТТЛ, 1946. - 119 с.

8. Cho S. Т. , Unlenbech G.E. The Kinetic theory of dense gases. Ph.D.Diss. University of Michigen, 1958. (Имеется перевод Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. - М.:Мир, 1965.)

9. Вассерман A.A., Хасилов И.П. Об эффекте учета реалистических потенциалов межмолекулярного взаимодействия в теории Энскога. // Теплоф. высоких температур. 1989. - т.27, вып. 1. - с.35 - 41.

10. Чепмен С., Каулинг Е. Математическая теория неоднородных газов. -М.: ИЛ, 1960

11. Гиршфельдер Дж., Кэртис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961. - 927с.

12. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах и жидкостей. М.: Мир. 1976. - 544с.

13. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974.-371с.

14. Черчиньяни К. теория и приложения уравнения Больцмана. -М.: Мир, 1979.-495с.

15. Clausius R. Kinetishe Gastheorie. // In "Mechanishe Warmtheorie". -1889-1891.-vol.3.-p.65.

16. Senders I.V. Thermal condactivity and viscosity of simple fluids. Iut. // J/ of Heat and Mass Transfer. 1965, №8. - p. 1103 - 1114.

17. Senders I.V. Density expansion of the viscosity of a moderately gas. // Phys. Rev. Lett. 1965. - v. 15. -p.515.

18. Michels A., Gibson R.O. The measurement of the viscosity of gases at high pressure. The viscosity of N2 to 1000 atm. // Prok. Roy. Soc. 1931. -A 134.-p. 288-299.

19. Hanley H.L.M., McCarty R.D., Cohen E.G.D. Analysis of the transport coefficients for simple dense fluids: Application of the modified Enskog theory. // Physica. 1972. - v. 60. - p. 322 - 356.

20. Hanley H.I.M., Cohen E.G.D. Analysis of the transport coefficients for simple dense fluids: the diffusion and bulk viscosity coefficients. // Physica. 1976. - v. 83A. - p. 215 - 232.

21. Calermans I.M.I., Beenakker I.I. The influence of the density on the viscosity coefficients of gases. // Physica. 1966. - v. 26. - p. 653 - 675.

22. Born M., Green H.S. A general theory of liquids. // Prok. Roy. Soc.- 1946. -V. A. 188, №1012.-p. 10-18.

23. Born M., Green H.S. A general theory of liquids. Dinamical properties. // Prok. Roy. Soc. 1947. - V.A. 190, №1099. - p. 455 - 474.

24. Born M., Green H.S. A general kinetic theory of fluids. Cambride University Press. -1949.

25. Green H.S. The molecular theory of gases. Amsterdam: North Holland Publ. Сотр. - 1952. - 264p.

26. Kirkvood I.G. The statistical mechanical theory of transport processes. //J. Chem. Phys. 1946. - vol. 14. - p. 180; - 1947. - vol. 15. - p.

27. Yvon I. La theorie statistique des fluices of I'eguation d'etat. // Actnalites Seientifigues et Industrielles. Hermann et lie, Paris. 1935. - №203.

28. Cohen E.G.D. Cluster expansion and hierachy. // Physica. 1962. -v. 28, №10.-p. 1045-1059.

29. Cohen E.G.D. On the kinetic theory of dense gases. // J. Math. Phys.- 1963. v. 4, №2. - p. 183 - 189.

30. Garsia Colin L.S., Flores A. The generalisation of cho - Uhlen bech's method in the kinetic theory of dense gases. // J. Math. Phys. - 1966. -v. 7, №2.-p. 254-259.

31. Garsia Colin L.S., Green H.S., Chaos F. Chapman - Enskog solution of generalized Boltzmann eqution. // Physica. - 1966. - v. 32, №22. -p. 450-478.

32. Маккьюн Дж., Рэндри Г., Фримен Е. Новый метод изучения неравновесной статистической механики газов. В кн. Некоторые вопросы кинетической теории газов. М.: Мир, 1965. - с. 212 - 225.

33. Струминский В.В. О структуре решений цепочки уравнений кинетической теории газов. // Докл. АН СССР. 1965. - т. 165, №2. - с. 293-296.

34. Струминский В.В. О решении цепочки уравнений кинетической теории газов. // Докл. АН СССР. 1966. - т. 171, №3. - с. 541 - 544.

35. Струминский В.В. Аэродинамика и молекулярная газовая динамика. М.: Наука, 1985. - 240с.

36. Cohen E.G.D. On the connection between various derivations of the Boltzmann eguation. // Physica. 1961. - v. 27. - p. 163 - 176.

37. Cohen E.G.D. Generalization of the Bolzmann eqution. //Physica. -1962.-v. 28.-p. 1025-1044.

38. Cohen E.G.D. Cluster expansionsand the hierachy. // Physica. -1962. v. 28. - p. 1045 - 1073.

39. Cohen E.G.D. On the statistical mecanics of moderately dense gases not in equilibrium. В сб. "Lectures in theoretiecal phycien". V. 8A, ed. W.E. Brittin, University of Colorado Press, Boulder, Colorado. 1966.

40. Cohen E.G.D. Kinetic theory of dense gases. В сб. "Cargase lectures in theoretical physics. Statistical mecha nics", ed. B. Jancovici, Cordon and Breach, New York, 1966.

41. Cohen E.G.D. Kinetic theory of dense gases. In "Lectures in theoretiecal physics", v. 90. ed. W.E. Brittin. Gordon and Breach. New York. -1967.

42. Cohen E.G.D. The kinetic theory of dense gases. В сб. "Fundamental problems in statistical mechanics", v. 2, ed. Cohen E.G.D., North Holland Publishing Company, Amsterdam. - 1968.

43. Dorfman I.R., Cohen E.G.D. Dificulties in the kinetic theory of dense gases. // J. Math. Phys. 1967. - v. 8, №2. - p. 282 - 305.

44. Weinstock J. Cluster formulation of the equation for the evolution of a classical manybody sistem. // Phys. Rev. 1963. - v. 132, №1. - p. 454 -469.

45. Weinstock J. Nonanalyticity of transport coefficients and the complete density expansion of momentum Correlation function. // Phys. Rev. -1971. v. 140, №2. - p. 460 - 465.

46. Kawasaki K., Oppenheim J. Logarithmatic term in the density expansion of transport coefficients. // Phys. Rev. 1965. - v. 139, №6A. - p. 1763-1768.

47. Coldman R., Frieman E.A. Logarithmic density behavior of a nonequlibrium Boltzmann gas. // J. Math. Phys. 1967. - v. 8, №7. - p. 1410 -1426.

48. Cohen E.G.D. The generalization of the Bolzmann eqution to higher densities Statistical mechanics of the turn of the decade. New - York: Dekker, 1971.

49. Van Leenwen J.MJ.,Weijland A. Non analitic density behavior of the diffusion coefficient of a Lorentz gas. // Physica. - 1967. - v. 36, №3. - p. 457-490.

50. Климонтович Ю.Л. Кинетические уравнения для неидеального газа и неидеальной плазмы. // Успехи физ. наук. 1973. - т. 110, №3. - с. 537-561.

51. Mazenco G.F., Yip S. Renormalized kinetic theory of dense fluids. Modern Theoretical Chemistry. New - York, Plenum Press. - 1977. - v. 6, pt.B.-p. 181-232.

52. Зубарев Д.Н., Новиков М.Ю. Ренормализованные кинетические уравнения для системы со слабым взаимодействием и для газа малой плотности. // Теорет. И мат. физика. 1974. - т. 1, №1. - с. 78 - 79.

53. Kestin J., Poykoc Е., Sengers J. On the density expansion for viscosity in gases. // Physica. 1971. - v. 54, №1. - p. 1 - 19.

54. Hanley A.J.M., Haynes W.H. The density expansions of the viscosity coefficients. // J. Chem. Phys. 1975. - v. 63, №1. - p. 358 - 361.

55. De Groot J.J., Kestin J., Soohiazian H., Wakeman W.A. The thermal conductivity four monatomic gases as a function of density near room temperature. // Physica. 1978. - v. A92, №1 - 2. - p. 117 - 144.

56. Codastefano P., Rossa D., Zanza V. Search for logarithmic term in the density expansion of the diffusion coefficient Кг and Xe. // Physica. -1976. v. A96, №3. - p. 454 - 464.

57. Рудяк В.Я., Яненко H.H. О кинетической теории плотных газов. Новосибирск. 1983. - 34с. (Предпринт АН СССР, Сиб. отделение, ИТПМ: 24).

58. Рудяк В.Я. Яненко Н.Н. Кинетическая теория реальных газов и жидкостей. Новосибирск. - 1984. - 20 с. (Предпринт АН СССР, Сиб. отделение, ИТПМ: 10)

59. Рудяк В.Я. К теории кинетических уравнений плотного газа. // Журнал технической физики. 1984. т. 54, №7. - с. 1246 - 1252.

60. Рудяк В.Я. Новый вывод кинетических уравнений умеренно плотного газа. В кн. "Физическая механика неоднородных сред". Новосибирск, ИТПМ, СО АН СССР. 1984. - с. 111 - 116.

61. Rudyak V.Ya. A new solution of BBGKY hieracky and kinetic equation for a dense gas. 14-th Int. Symp. RGD. Book of Abstracts. -Tsuguba. - 1987. - p. 30 - 361.

62. Рудяк В.Я. Статистическая теория диссипативных процессов в газах и жидкостях. Новосибирск: Наука, 1987. - 272 с.

63. Пальцев JI.A. Кинетическое уравнение для плотных газов с учетом сил притяжения между молекулами. // Уч. зап. ЦАГИ. 1971. - т. 2,№5.-с. 49-55.

64. Рудяк В.Я., Яненко Н.Н. Об учете межмолекулярных сил притяжения при выводе кинетических уравнений. // Теорет. и мат. физика. 1985. - т. 64, №2. - с. 277 - 286.

65. Sengers J.V. The three pacticle collision term in the generalired Boltzmann equation. // Actra Physica Austríaca. Suppl. X. - 1973. - p. 177 -208.

66. Sengers J.V. The triple collision contribution to the transport coefficients of a rigid sphere gas. // Phys. Fluids. 1966. - v. 9, №7. - p. 1333 -1347.

67. Sengers J.V. The triple collision contribution to the transport coefficients of gases. Lectures in Theoretical Physics by Brittin W.E., Gordon B. 1967. - 9C. - p. 335 - 374.

68. Green M.S. Surface integrale form from three body collision in the Boltzmann equation. // Phys. Rev. - v. 136, №4A. - p. 905 - 910.

69. Jonguet Higgins H.C., Valley J.P. Transport coefficients of dense fluids of molecules, Interacting accoding to a square well potencial. // Molecular Physics. - 1958. - v. 1. - p. 284 - 294.

70. Davis H.T., Stuart A., Pice S.A., Sengers J.V. On the kinetic theory of dense fluids. // Chem. Phys. 1961. - v. 35, №6, - p. 2210 - 2231.

71. Rice S.A., Allnatt A.R. On the kinetic theory of the dense fluids. Singlet distribution function for rigid spheres with an attractive potential. // J. Chem. Phys. 1961. - v. 34, №6. - p. 2144 - 2155.

72. Allnatt A.R., Rice S.A. On the kinetic theory of the dense fluids. Doublet distribution function for rigid spheres with an attractive potential. // J. Chem. Phys. 1961. - v. 34, №6. - p. 2157 - 2165.

73. Rice S.A., Gray P. The statistical mechanics of simple liquids. -New York: Interscience, 1965. - 585 p.

74. Baleiko M.O., Devis H.T. On the solution of Rice Allnatt equation for two choice of the Fokker - Plank operator. // J. Chem. Phys. - 1970. - v. 52, №5.-p. 2427-2435.

75. Prigogine I., Nicolis G., Misquich J. Local equlibrium approach to transport processes in dense media. // J. Chem. Phys. 1965. - v. 43, №12. -p. 4516-4521.

76. Misquich J., Nicolis G. Generalized Rice Allnatt theory for transport in liquids. // Mol. Phys. - 1972. - v. 24, №2. - p. 309 - 334.

77. Misquich J. Theory kinetique et evaluation des coefficients de transport thermique dans les liquides et systemes denses. // Le Journal de Physique. 1969. - tome 30. - p. 221 - 242.

78. Davis H.T. Kinetic theory of dense fluids and liquids revisited. // Adv. Chem. Phys. 1973. - v. 24. - p. 257 - 343.

79. Davis H.T. A kinetic theory of dense fluids. // J. Stat. Phys. 1973. -v. 7, №3. - p. 225-241.

80. Severne G. General equations of evolution and kinetic equations for non uniform systems. // Physica. - 1965. - v. 31. - p. 887 - 907.

81. Theodosopulu M., Kin Wan Li, Dahler J.S. Kinetic equation for dense fluids. // Mol. Phys. - 1976. - v. 32, №3. - p. 599 - 612.

82. Snider R.F., Curtiss C.F. Kinetic theory of moderately dense gases. // Phys. Fluids. 1956. - v. 1, №2. - p. 122 - 138.

83. Snider R.F., McCourt F.R. Kinetic theory of moderately dense gases. // Phys. Fluids. 1963. - v. 6, №7. - p. 1020 - 1025.

84. Hoffman D.H., Curtiss C.F. Kinetic theory of dense gases. III.// Phys. Fluids. 1964. - v. 7, №12. - p. 1887-1897.

85. Hoffman D.H., Curtiss C.F. Kinetic theory of dense gases. I V. // Phys. Fluids. 1965. - v. 8, №4. - p. 667 - 682.

86. Hoffman D.H., Curtiss C.F. Kinetic theory of dense gases. V. // Phys. Fluids. 1965. - v. 8, №5. - p. 890 - 895.

87. Кузнецов B.M. Температурная зависимость второго вязкостного вириального коэффициента. // Теплофизика высоких температур. 1978. -т. 16, №6. - с. 1178-1184.

88. Зубарев В.Н., Кузнецов В.М. Уравнение для расчета коэффициентов сжимаемости и вязкости азота умеренной плотности. // Теплофизика высоких температур. 1981. - т. 19, №1. - с.

89. Stogryn D.E., Hirscfelder J.O. Contribution for bound metastable and free molecules to the second virial coefficient and some properties of double molecules. // J. Chem. Phys. 1959. - v. 31, №6. - p. 1531 - 1545.

90. Stogryn D.E., Hirscfelder J.O. Initial pressure dependence of thermal conductivity and viscosity. // J. Chem. Phys. 1959. - v. 31, №6 - p. 1545 -1554.

91. Rainwater J.C. Gaseous transport properties. // J. Chem. Phys. -1981. v. 74, №7 - p. 4130 - 4143.

92. Rainwater J.C. On the phase spase subdivision of the second virial coefficients and its consequences for kinetic theory. // J. Chem. Phys. 1984. -v. 81, №1-p. 495-510.

93. Friend D.G. The phase space subdivision of the second virial coefficient. // J. Chem. Phys. 1985. - v. 82, №2 - p. 967 - 971.

94. Friend D.G., Rainwater J.C. Transport properties of a moderately dense gas. // Chem. Phys. Lett 1984. - v. 107, №6 - p. 590 - 594.

95. Rainwater J.C., Friend D.G. Second viscosity and thermal -conductivity virial coefficients of gases: Extension to low reduced temperature. // Physical Revier A. 1987. - v. 36, №8 - c. 4062 - 4066.

96. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория неупругих процессов в плазме. I. Кинетические уравнения для кулоновской плазмы с учетом неупругих процессов. // Журнал экспер. и теорет. физики. 1967. - т. 52, №5.-с. 1233-1245.

97. Пелетелимский С.В. К теории кинетических уравнений при наличии связанных состояний. // Теорет. и матем. физика. 1971. - т. 6, №1. - с. 123-141.

98. Пальцев Л.А. Кинетические уравнения для умеренно плотных газов. // Теорет. и матем. физика. - 1972. - т. 11, №2. - с. 259 - 270.

99. Пальцев Л.А. О неравновесных процессах в умеренно плотном многоатомном газе. // Теорет. и матем. физика. 1982. - т. 50, №3. - с. 426-437.

100. Klimontovich Yu. L., Kremp D., Schlanges M. Bound states in the quantum kinetic theory of gases and plasmas. // Transport properties of dense plasmas. Berlin: Akademic - Verl., - 1983. - p. 111 - 126.

101. Колесниченко Е.Г. О кинетических уравнениях для квантовых химически реагирующих газов. I. // Теорет. и матем. физика. 1977. - т. 30, №1.-с. 114-122.

102. Колесниченко Е.Г. Кинетические уравнения теории химически реагирующих газов. М: Изд - во МГУ, 1983. - 148с.

103. Lowry J.T., Snider R.F. Kinetic theory of dimer formation and decay. // J. Chem. Phys. 1974. - v. 61, p. 2320 - 2329.

104. Рудяк В .Я. Коэффициенты переноса неидеального газа. // Теплоф. высоких температур. 1989. №4. - с. 697 - 701.

105. Frey J., Salman J., Valton M. A new closure hypothesis for the BBGKY system of equations. // J. Stat. Phys. 1974. - v. 11, №6 - p. 457 -474.

106. Hoffman P. Establissement de l'hypotthese de fermeture Frey -Salmon. I IC. R. Acad. sei. 1977. - v. 284, №5, - p. A343 - A346.

107. Рабинович В.А., Киселев С.Б. Обзор теоретических методов расчета коэффициентов переноса газов и жидкостей и оценка их точности. // В сб. Теплофизические константы и свойства веществ, №12.- М.: Наука, 1978. - с. 124 - 149.

108. Rainwater J.C., Suider R.F. Landau theory of a moderately dense Boltzmann gas. // Phys. Rev. A. 1971. - v. 13, №3. - p. 1190 - 1199.

109. Дубровский Г.В., Богданов A.B. К выводу кинетических уравнений в рамках Т матрицы. // Теорет. и матем. физика. - 1976. т. 28, №1. - с. 80-91.

110. Богданов A.B., Павлов В.А. К вычислению коэффициентов переноса неидеальных газов. // Вестн. ЛГУ. Сер. матем., механ. и астрон.- 1978. вып. 2, №7. с. 1386 - 1396.

111. Дубровский Г.В., Богданов A.B. Кинетическое уравнение квазичастичного типа для плотного газа. I. // Журнал технической физики. 1979. - т. 49, №7. - с. 1386 - 1396.

112. Дубровский Г.В., Богданов A.B., Павлов В.А. Кинетическое уравнение квазичастичного типа для плотного газа. // там же, с. 1397 -1404.

113. Богданов A.B., Горбачев Ю.Е., Каганович И.Д. Статистическая Т матрица в теории плотных газов и подход Энскога. // Теорет. и матем. физика. - 1991. - т. 87, №2. - с. 241 - 253.

114. Богданов A.B., Павлов В.А. К теории явлений в плотных газах. // Мех. жидк. и газа. 1983. - №6. - с. 147 - 156.

115. Титанов И.И. Аналитические параметризации кинетических коэффициентов в динамике реального газа. // Кандид, диссерт. 1987 г.

116. Нименская JI.B. Вычисление кинетических коэффициентов для умеренно плотного газа. В кн. Молекулярная газодинамика. М: Наука, 1982.-240 с.

117. Курочкин В.И., Цаплин C.B. К кинетической теории плотных газов из молекул с твердой сердцевиной. // Деп. в ВИНИТИ 11.10.91, №3943-Р91.-14с.

118. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Бинарная функция распределения и уравнение состояния плотных газов из молекул с твердой сердцевиной. // Деп. в ВИНИТИ 1.02.93, №251 -В93.- 6с.

119. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Вычисление коэффициентов переноса в плотном газе из молекул с твердой сердцевиной. // Деп. в ВИНИТИ 13.04.93, №936 В93.- 13с.

120. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Коэффициенты переноса плотного газа на основе модели потенциала с твердой сердцевиной. // Журнал технической физики. 1993- т. 63, №8 - с. 203 - 208.

121. Курочкин В.И. Кинетическое уравнение для умеренно плотного газа из молекул с твердой сердцевиной. // Краткие сообщения по физике. 1989. - №2.- с. 5 - 7.

122. Курочкин В.И. Коэффициенты переноса плотного газа из молекул с твердой сердцевиной. // Краткие сообщения по физике. -1989.-№7 с. 34-35.

123. Курочкин В.И. Приближенное кинетическое уравнение для умеренно плотного газа из молекул с твердой сердцевиной. // Теплофизика высоких температур. 1990. - т. 28, №1 - с. 40 - 46.

124. Курочкин В.И. Решение уравнения Перкуса Иевика для потенциала Сазерленда. // Краткие сообщения по физике. - 1990,-№8 - с. 3-4.

125. Курочкин В.И. К кинетической теории плотных газов из молекул с твердой сердцевиной. // Журнал технической физики. 1992. -т. 62, №5.-с. 13-21.

126. Якуб Е.С., Каменецкий В.Р., Киро Ж.А. О кинетическом подходе в вычислении коэффициентов переноса в плотном газе. // Теплофизика высоких температур. 1975. - т. 13, №6. - с. 1166 - 1172.

127. Крокстон К. Физика жидкого состояния. М. : Мир, 1978.400 с.

128. Kirkwood J. G., Engene K.M. Alder В. Radial distribution function and the equation of state of a fluid composed of rigid spherical molecules. // J. Chem. Phys. 1950. -v. 18, № 8. - p. 1040 - 1047.

129. Percus J.K., Yevick G.J. Analgsis of classical statistical mechanics by means of collective coordinates. // Phys. Rev. 1950.-v. 110, № 1. p. 1 -13.

130. Percus J.K. Approimation method in classical statistical mechanics. // Phys. Rev. 1962,-v. 8, № 1. p. 462 - 463.

131. Wertheim M.S. Exact solution of the Percus Yevick integral equation for hard spheres. // Phys. Rev. Lett. - 1963. -v. 10, № 8 - p.321 -323.

132. Wertheim M.S. Analitic solution of the Percus Yevick integral equation . // J. math. Phys. - 1964. - v.5, № 5. - p. 643 -651.

133. Rolwlinson J.S. On the structure of the direct correlation function in the theory of fluids. // Molecular Phys. 1966. -v. 5. - p. 533 - 541.

134. Smith W.R., Henderson D. Analitical representation of the Percus -Yevick hard sphere radial distribution function. // Mol. Phys. - 1970. - v. 19, №3.-p. 411-415.

135. Thiele E. Equation of state for hard spheres. // J. Chem. Phys. -1963. v. 39, №3. - p. 474 - 479.

136. Thoor G.J., Bearman R.J. Numerical solution of the Percus -Yevick equation for the hard sphere potential. // J. Chem. Phys. - 1965 - v. 42, №7.-p. 2408-2411.

137. Mandel F., Bearman R.J. Numerical solutions of the Percus -Yevick equation for the Lennard Jones (6 - 12) and hard - sphere potential. // J. Chem. Phys. - 1970. - v. 52, №7. - p. 3315 - 3323.

138. Andersen H.C., Weeks J.D., Chandler D. Relationship between the hard sphere fluids and with relastic repulsive forces. // Phys. Rev. A. - 1971. -v. 4, №4.-p. 1597-1606.

139. Verlet L., Weis J. Equlibrium theory of simple liguids. // Phys. Rev. A. 1972. - v. 5, №2. - p. 939 - 952.

140. Yang D.A., Rogers F.J. Variations fluid theory with inverse 12th reference potential. // J. Chem. Phys. 1984. - v. 81, №6. - p. 2789 - 2793.

141. Kirkwood J.G., Levinson V.A., Alder B.J. Radial distribution function and the equation of state of fluids composed of molecules interecting according to the Lennard Jones potential. // J. Chem. Phys. - 1952. - v. 20, №6.-p. 929-938.

142. Barher J.A., Henderson D. Perturbation theory and equation of state for fluids. // J. Chem. Phys. 1967. - v. 47, №11. - p. 4714 - 4725.

143. Barher J.A., Henderson D. Perturbation theory of fluids at high temperatures. // Phys. Rev. 1970. - v. 1, №4. - p. 1266 - 1267.

144. Mansoori G.A., Caufield F.B. Variation approach to equlibrium thermodynamic properties of simple liquids. // J. Chem. Phys. 1969. - v. 51, №11.-p. 4958-4967.

145. Anderson H.C., Weeks J.D., Chandler D. Role of repulsive forces in determining the equlibrium structure of simple liquids. // J. Chem. Phys. -1971. v. 54, №12. - p. 5237 - 5247.

146. Anderson H.C., Weeks J.D., Chandler D. Relationship between the hard sphere fluids and with relastic repulsive forces. // Phys. Rev. A. - 1971. -v. 4, №4.-p. 1597-1606.

147. Levesgue D., Verlet L. Perturbation theory and equation of state for fluids. // Phys. Rev. 1969. - v. 182, №1. - p. 307 - 316.

148. Hansen J. Phase transition of the Lennard Jones sistem. High -temperature limit. // Phys. Rev. A. - 1970. - v. 2, №1. - p. 221 - 230.

149. Hoover W.G., Ross M., Jonson K.W., Henderson D., Barher J.A., Brown B.C. Soft sphere equation of state. J. // J. Chem. Phys. - 1970. - v. 52, №10.-p. 4931-4941.

150. Sund S.H., Chandler D. Optimized cluster theory, the Lennard -Jones fluids, and liquid gas phase transition. // Phys. Rev. A. - 1974. - v. 9, №4.-p. 1688-1697.tb

151. Young D., Rogers F.J. Variational fluid theory with inverse 12 power reference potential. // J. Chem. Phys. 1984. - v. 81, №6. - p. 2789 -2793.

152. Свойский В.З. Интегралы столкновений для сферических неполярных молекул. // Учёные записки ЦАГИ. 1971. - т. 2, №5. - с. 129-134.

153. Зуев В.Е., Копытин Ю.Д., Кузиковский А.В. Нелинейные оптические эффекты в аэрозолях. Новосибирск: Наука, 1980. - 184 с.

154. Грачёв Ю.П., Стрелков Г.М. О конвективном испарении водяной капли в поле излучения. // Квантовая электроника. 1974. - т. 1, №10.-с. 2192-2196.

155. Гордон Е.Б., Егоров В.Г., Павленко B.C. Мелкодисперсные частицы металла как активная среда в лазерных на атомах металлов. // Квантовая электроника. 1979. - т. 6, №12. - с. 2633 - 2636.

156. Курочкин В.И. К кинетической теории плотных газов на основе эффективного потенциала. // Краткие сообщения по физике. — 1990.-№10.-с. 6-7.

157. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Вычисление коэффициентов переноса плотного газа на основе модели эффективного потенциала. // Деп. в ВИНИТИ 13.04.93, №935 В93. - 15 с.

158. Курочкин В.И. Модельные уравнения кинетической теории плотных газов. // Тезисы доклада на Второй международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук", Москва, январь 1994 г.

159. Курочкин В.И., Цаплин C.B. Коэффициенты преноса плотного газа на основе модели эффективного потенциала. // Телофизика высоких температур. 1993. - т. 31, №6. - с. 903 - 908.

160. Варгафтик Н.В. Справочник по теплофизическим свойствам газов и жидкостей. М.: Наука, 1972. - 720 с.

161. Бакулин С.С. Улыбин С.А. Теплопроводность ксенона при температурах 170 1300 К и давлениях до 200 МПа. // Теплофизика высоких температур. - 1978. - т. 16, №3. - с. 509 - 515.

162. Улыбин С.А., Макрушин В.И., Скородумов C.B. Вязкость криптона при температурах 1 0 - 1300 К и давлениях до 100 Мпа. // Теплофизика высоких температур. - 1978. - т. 16, №2. - с. 282 - 288.

163. Рыбинович В.А., Киселев С.Б. Обзор теоретических методов расчета коэффициентов переноса газов и жидкостей и оценка их точности. // В сб. Теплофизические константы и свойства веществ, №12. М.: Наука, - 1978. - с. 124 - 149.

164. Терентьев В.М., Слюсарь В.П., Руденко Н.С. Изохорная теплопроводность азота, аргона, криптона и ксенона. // В сб. Теплофизические константы и свойства веществ, №18. М.: Наука, -1983.-с. 111-126.

165. Слюсарь В.П., Третьяков В.М., Руденко Н.С. // Теплопроводность ксенона при постоянной плотности и давлениях до 2700 атм. Закон соответственных состояний. // Физики низких температур. 1978. - т. 4, №6. - с. 764 - 773.

166. Younglove В.А., Hanley HJ.M. The viscosity and thermal conductivity coefficients of gaseous and liquid argon. // J. Phys. and Chem. Ref. Data.-1986.-v. 15, №4.-p. 1327-1337.

167. Trappeniers N.J., Bötzen A., Seldom C.A. Correspondes states for the viscosity of noble gases up to higher densities. // Physica. 1965. - v. 31, p. 1681 -1691.

168. Van Der Gulk P.S., Trappeniers N.J. The viscosity of argon at high densities. // Physica. 1986. - v. 135A. - p. 1 - 20.

169. Argarwal M.C., Springer G.S. High temperature high pressure thermal conductivity of Argon. // J. Chem. Phys. 1979. - v. 70, №8, p. 3939 - 3947.

170. Лагарьков A.H., Сергеев B.M. Исследование кинетических коэффициентов жидкостей методом молекулярной динамики. // Теплофиз. Высоких температур. 1973. - т. 11, №6, с. 1162 - 1168.

171. Becker R. Stosswelle und Detonation. // Zeitchr. fur Phys. — 1921 — 1922.-v. 8.-p. 321-322.

172. Thomas L.G. Note on Becker's theory of shock front. // // J. Chem. Phys. 1944. - v. 12. - p. 449 - 453.

173. Мордухов M., Либи П. О полном решении уравнений одноразмерного движения вязкого теплопроводного газа. // В сб. "Механика". М: ИЛ, 1950, вып. 1.

174. Либер А., Романо Ф., Лев Г. Приближенные решения для ударной волны в установившемся одноремном течении вязкого сжимаемого газа. //В сб. "Механика".". М: ИЛ, 1952, вып. 1.

175. Gilbarg D., Paolucci D. The structure of the shock waves in continuum theory of fluids. // J. Rat. Mech. Anal. 1953. - № 2, p. 617.

176. Лойцанский В.Г. Механика жидкости и газа. М: Наука, 1978. -736 с.

177. Simon С.Е., Foch J.D. Numerical integration of the Burnett eqution for shock structure in a Maxwell gas. // In "Rarefied gas dynamics". 1978. -v. l,p. 493.

178. Mott Smith H.M. The solution of the Boltzmann equation for a shock wave. // Phys. Rev. - 1951. - v. 82. - p. 885.

179. Glansdorff P. Solution of the Boltzmann equation for strong shock waves by the two fluids model. // Phys. Fluids. - 1961. - v. 4. - p. 371.

180. Струминский B.B., Великодный В.Ю. Структура ударных волн. // Доклады АН СССР. 1982. - т. 266, №1. - с. 28 - 31.

181. Великодный В.Ю. Уравнения переноса многокомпонентных газовых смесей и сильно неравновесных газов. Кандидатская диссертация. М. 1982.

182. Курочкин В.И. Об уравнениях переноса для смеси плотных газов. // Труды МФТИ - 1978, сер. Астрофизика и прикладная математика, Долгопрудный. - 1979. с. 3 - 8.

183. Курочкин В.И. Течение плотной газовой смеси по трубе. // Труды МФТИ 1979, сер. Астрофизика и прикладная математика, Долгопрудный. - 1980. с. 48 - 51.

184. Курочкин В.И., Маркеев Б.М. К вопросу об уравнениях переноса для много компонентной газовой смеси. // Журнал технической физики. 1979. - т. 49, №8. -с. 1772 - 1774.

185. Курочкин В.И. К кинетической теории плотных газов. // Труды МФТИ. 1977, сер. Астрофизика и прикладная математика, Долгопрудный. 1978. с. 38 - 41.134

186. Болычев С.А., Булавинцев А.Н., Курочкин В.И., Цаплин C.B. Об особенностях пограничного слоя плотного газа. // Журнал Теплофизика высоких температур. 1998. - т. 36, №4 - с. 678 - 680.

187. Болычев С.А., Булавинцев А.Н., Курочкин В.И., Цаплин C.B. Об особенностях пограничного слоя в плотном газе. // . Труды XIV сессии международной школы механики сплошной среды. (М.: 17-24 августа 1997 г.) г. Москва 1998г. с. 14-19.

188. Курочкин В.И., Цаплин C.B. О структуре ударной волны в плотном газе. // Труды XIV сессии международной школы механики сплошной среды. (М.: 17-24 августа 1997 г.) г. Москва 1998г. с. 138 -144.

189. Курочкин В.И., Цаплин C.B. О структуре ударной волны. // Вестник Самарского Государственного Университета (математика, механика, физика, химия, биология) г. Самара 1998 №2 (8) с. 128 - 134.

190. Шехтман A.M. Газодинамические функции реальных газов . Справочник . Энергоатомиздат , М., 1988 .

191. Вассерман A.A., Казавчинский Я.З., Рабинович В.А. Теплофизические свойства воздуха и его компонентов . М., Наука, 1966 .135