Моделирование коллективных возбуждений и основного состояния низкоразмерных систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи удк 538.9

Воронова Нина Сергеевна

Моделирование коллективных возбуждений и основного состояния низкоразмерных систем

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 ОПТ 2012

Москва — 2012

005052967

005052967

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт спектроскопии РАН (ИСАН).

Научный руководитель: заведующий лабораторией,

профессор Юрий Ефремович Лозовик

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Миногин Владимир Георгиевич

доктор физико-математических наук, Капуткина Наталия Ефимовна

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный университет"

Защита состоится 25 октября в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 002.014.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институт спектроскопии РАН по адресу: 142190 г. Троицк Московской области, ул. Физическая, 5

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСАН.

Автореферат разослан 24 сентября 2012 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 002.014.01 д к (9

доктор физико-математических наук, профессор ф М.Н. Попова

1 Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию возбуждений, таких как экситоны и экситонные поляритоны, в полупроводниковых структурах пониженных размерностей. Исследован энергетический спектр экситона на поверхности однослойной и двухслойной нанотрубки. Рассмотрены коллективные явления в системе экситонных поляритонов в плоской полупроводниковой оптической микрополости. Развит новый подход к описанию системы, основанный на двухкомпонентном описании поляритонного конденсата, позволяющий определить в общем случае различные пространственные профили экситонной и фотонной составляющей поляритонного газа. Рассмотрено поведение системы при наличии внешнего удерживающего потенциала. Исследованы устойчивые вихревые решения в системе, а также проведен анализ временной эволюции плотности и фазы компонент поляритонного конденсата в равновесии и при наличии накачки и утечки частиц.

Актуальность работы

Экситон является фундаментальным электронным возбуждением в полупроводнике с прямым межзонным оптическим переходом и представляет собой связанное состояние электрона, в зоне проводимости и дырки в валентной зоне, в результате чего ведет себя как водородоподобный атом в среде с диэлектрической проницаемостью [1]. В настоящее время прогресс в техниках молскулярпо-лучевой эпитаксии позволяет производить полупроводниковые материалы с точностью до атомных слоев, что привело к появлении новых квантовых структур, таких как двумерные (2Б) квантовые ямы, одномерные (Ш) квантовые проволоки и нульмерные квантовые точки. В отличие от трехмерного (ЗВ) полупроводника, системы, обеспечивающие квантовый конфайнмент до Ш или 2Б, существенно меняют свойства экситона. Так, радиус 2Б экситона становится вдвое меньше по сравнению с соответствующим значением в ЗБ, а энергия связи двумерного экситона — в 4 раза больше по сравнению с энергией связи трехмерного экситона [2].

Более строгое описание возбужденных состояний в кристалле предполагает также учет линейной связи экситонов со светом (электромагнитным полем). Из-за такой резонансной связи возникают новые состояния, которые являются линейной суперпозицией одной экситонной и одной фотонной моды, называемые экситонными поляритонами [3]. При этом, по

сравнению с трехмерными полупроводниками, экситоны в 2Б (в квантовых ямах) стабильны при более высоких температурах. Начиная с 1992 года, когда были экспериментально обнаружены поляритонные моды в полупроводниковой микрополости [4], они находятся в центре экспериментального и теоретического внимания.

Особенностью конфайнмента плоской оптической микрополости является то. что фотонная мода оказывается ограниченной в поперечном направлении, в результате чего фотон становится двумерным и приобрета.-ет эффективную массу [5]. При помещении квантовой ямы с экситоном в пучность МП, при некотором значении продольного импульса возникает резонанс между фотонной и экситонной модой, и образуются новые состояния с необычным законом дисперсии [6]. Важнейшим свойством эк-ситонных поляритонов полости является малость их эффективной массы в области нулевых импульсов, унаследованная от фотона: будучи композитными бозонами, они демонстрируют квантовые коллективные явления при температурах вплоть до комнатных [7], [8].

Перспектива наблюдения фазового перехода экситонных поляритонов крайне привлекательна, поскольку существование макроскопически заселенного квантового состояния подразумевает такие свойства, как сверхтекучесть, джозефсоновские осцилляции, устойчивость к разрушению когерентности в системе. Кроме фундаментального интереса к этому новому квантовому коллективному явлению в твердых телах, развитие в этом направлении также имеет большой потенциал для приложений в устройствах [9], например, для получения так называемого поляритонного лазера (без инверсии заселенности состояний) или для обработки квантовой информации.

Возможность использовать газы экситонных поляритонов в микрополости для изучения физики многих тел и, конкретнее, динамики сверхтекучести была предложена в работе [10] и позднее реализована на эксперименте [11]. Другие экспериментальные работы были посвящены изучению вихрей и полувихрей в поляритонном конденсате [12], взаимодействию поляритонного потока с "вмороженными" дефектами, было показано гидродинамическое образование пар вихрь-антивихрь [13] и тёмных солитонов [14] в движущейся сверхтекучей жидкости (теоретическое описание солитонов в бозе-жидкости см. в работе [15]). В связи с вышеописанными экспериментами, заметное теоретическое развитие в последние годы получила идея использовать сверхтекучие жидкости в плоских геометриях для изучения квантовых гидродинамических эффектов.

Цели диссертационной работы

1) Разработка двухкомпонентного подхода к описанию бозе-конденсиро-вапной системы экситоппых поляритопов в плоской оптической микрополости на основе связанной системы уравнений типа Гросса-Пита-евского с источниками, записанных для волновых функций фотонной и экситонной компонент конденсата;

2) исследование поведения связанных конденсатов фотонов и эксито-нов в аксиально-симметричной ловушке, создаваемой методом наложения на квантовую яму с экситонами внешнего потенциала;

3) исследование стационарных вихревых решений для волновых функций компонент поляритонного конденсата и определение характерных пространственных масштабов вихря в обеих компонентах;

4) исследование временной эволюции соотношения фотонов и экситонов в системе и относительной фазы компонент конденсата при сохраняющемся числе частиц, а также при наличии накачки и утечки частиц из системы;

5) теоретическое исследование поведения экситона. Ванье-Мотта на поверхности однослойной и двухслойной нанотрубки как в системе пониженной размерности.

Научная новизна

Большинство вошедших в диссертацию результатов обладает принципиальной научной новизной.

Построена модель, описывающая поведение бозе-конденсата экситон-ных поляритопов в оптической микрополости с точки зрения внутренней двухкомпонентной структуры поляритона. Данный подход позволяет получить различные в общем случае пространственные распределения для фотонной и экситонной составляющей в поляритонном конденсате, что невозможно в рамках традиционного однокомпонентного описания.

Впервые получены профили распределения экситонной и фотонной компонент в гармонической экситонной ловушке. Показано, что в случае сильного конфайнмента радиусы локализации экситонов и фотонов значительно различаются.

Впервые получены выражения для длин залечивания (размеров коров вихрей) в фотонной и экситонной компонентах поляритонного кон-

денса.та. Впервые показано, что в центре поляритонного вихря фракция экситона повышена по сравнению с периферией.

Исследована временная эволюция системы с точки зрения колебания долей экситонной и фотонной составляющей в конденсате поляритонов при наличии нерезонансной накачки частиц и диссипации фотонов из полости. Впервые получены поправки к собственной частоте системы за счет экситонного взаимодействия, накачки и утечки частиц.

Рассмотрена задача о движении электронно-дырочной пары на поверхности однослойного и двухслойного цилиндров, причем показано, что в системе реализуется кроссовер между одним и двумя измерениями (в зависимости от соотношения радиуса цилиндра и эффективного радиуса экситона). Результат, полученный для энергии основного состояния однослойной системы, является более точным по сравнению с опубликованным ранее [16].

Результаты, полученные теоретически для спектра, возбужденных состояний экситона в однослойной нанотрубке, а также для энергии основного состояния экситона в двухслойной нанотрубке, являются новыми.

Практическая и научная ценность работы

Разработанный подход к описанию поляритонной системы позволяет исследовать внутреннюю структуру бозе-конденсата экситонпых поляритонов. Полученные в диссертации на основе данного подхода результаты существенно расширяют понимание структуры поляритонного газа и процессов, происходящих в нем.

Анализ различных в общем случае профилей фотонов и экситонов в поляритонном конденсате в ловушке и в поляритонном вихре представляет фундаментальный интерес. Полученные результаты могут быть проверены экспериментально при помощи спектроскопии микрополости в ближнем поле.

Полученные поправки к частоте межмодовых осцилляций в поляритонном конденсате и результат, показывающий фиксацию долей фотона и экситона в поляритонной системе с утечкой, открывают возможность для более глубоких теоретических исследований с точки зрения примешивания доли верхнего поляритона в бозе-конденсат нижних поляритонов.

Результат, полученный для значения энергии основного состояния экситона на поверхности одностенного цилиндра, является уточнением результата, опубликованного ранее другими авторами. Впервые получены результаты для характеристик экситона в двухслойной нанотрубке.

Достоверность полученных результатов

Все положения и выводы диссертации обоснованы, достоверность результатов обеспечивается надежностью использованных методов и адекватностью использованных физических моделей.

Положения, выносимые на защиту

1. Формулировка двухкомпонентного подхода к описанию стационарных и нестационарных процессов в поляритонном бозе-кондепсате, позволяющего выявить существенные различия в пространственном распределении компонент конденсата.

2. Результаты исследования поведения двух связанных конденсатов фотонов и экситонов в аксиально-симметричной экситонной ловушке. Аналитическое выражение для профилей конденсатов в случае слабого конфайнмента. Исследование предела сильного конфайнмента, в котором компоненты имеют существенно различные радиусы локализации.

3. Результаты исследования вихревых решений в двухкомпонентном конденсате. Аналитическое выражение для отношения длин залечивания фотонного и экситонного бозе-конденсатов. Результаты расчетов профилей плотности фотонов и экситонов в поляритонном вихре.

4. Результаты исследования осцилляций относительной фазы двух связанных конденсатов. Аналитическое решение для случая постоянного числа частиц. Определение стационарных точек и частоты колебаний. Исследование затухающих колебаний относительной фазы в случае нерезонансной накачки и утечки частиц из полости. Выражения для коэффициента затухания, частоты колебаний, добротности колебаний плотности и относительной фазы. Поправки к частоте осцилляций за счет экситонного взаимодействия, накачки и утечки.

5. Результаты расчетов характеристик основного состояния экситона в однослойной и двухслойной нанотрубках в зависимости от радиуса стенок. Зависимость энергии возбужденных состояний экситона в однослойной нанотрубке от ее радиуса.

Личный вклад автора

Все результаты, полученные в диссертации, получены лично автором или в соавторстве с научным руководителем.

Апробация результатов

Результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались автором и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и школах:

1. Научная сессия МИФИ 2006, Москва.

2. VII-я Школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (2006), Москва.

3. Международная научно-техническая школа-конференция "Молодые ученые-2006", МИРЭА, Москва.

4. Workshop on atomic physics 2006, Max-Planck Institut, Dresden (Германия).

5. VIII-я научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (2007), Москва.

6. 50-я научная конференция МФТИ - Всероссийская молодёжная научная конференция "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", 2007, Москва.

7. VII Международная научно-техническая конференция МИРЭА IN-TERMATIC-2010, Москва.

8. Optics of excitons in confined systems (OECS-12), 2011, Paris (Франция).

9. 1st MIFP Latin American Meeting, 2012, Campinas (Бразилия).

10. ESF Workshop on Polaritonics: From Basic Research to Device Applications, 2012, Rome (Италия).

11. 5th International School on Nanophotonics and Phot.ovoltaics (ISNP-2012), Phuket (Тайланд).

12. ESF POLATOM School "Cold atoms, excitons and polaritons", 2012, Toledo (Испания).

13. POLATOM Network Conference: Cold Atoms, Excitons, Polaritons, Bose-Einstein condensates, 2012, Cambridge (Великобритания).

Объем и структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации — 110 страниц, включая 35 рисунков и 83 наименования в списке цитируемой литературы.

2 Содержание работы

Во Введении кратко описываются физические объекты, рассматриваемые в диссертации, обсуждается современное состояние теоретических и экспериментальных исследований в области экситонов и экситонных поляритонов в оптических микрополостях, обосновывается актуальность работы, охарактеризована ее научная новизна, кратко изложена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе, состоящей из восьми параграфов, рассмотрена задача о движении связанной пары электрон-дырка на поверхности однослойного и двухслойного цилиндров.

В первом параграфе обсуждается геометрия задачи, введены необходимые обозначения и сформулированы общие уравнения движения частиц на двухслойном цилиндре, погруженном в среду с диэлектрической проницаемостью є. Гамильтониан системы в общем случае имеет вид

где выполнен переход от координат отдельных частиц к относительным переменным переменным центра инерции Ф и от масс частиц к

суммарной и приведенной массам М = тпе + ть, ц = (тет/,)/(ше + тл). И — расстояние между электроном и дыркой.

Во втором параграфе рассматривается однослойный цилиндр, что в (1) соответствует ре = р/, = р. В уравнении Шредингера переменные (г, ф) и ^, Ф) разделяются, волновая функция системы может быть представлена в виде Ф = ф(И, Ф) 1р(г, (р). Вначале аналитически решается задача о движении центра масс экситона. Найдены волновые функции и энергии,

Я =

2 М дг2

(1)

отвечающие движению центра инерции:

ф(г,Ф)=С1еш*е™-1 = + т€%,к> 0. (2)

В третьем, четвертом и пятом параграфах проводится аналитическое исследование относительного движения электрона и дырки. Показано, что единственным управляющим параметром в системе является радиус нанотрубки Ь (отнесенный к эффективному радиусу экситона). Показано. что в случае малых радиусов 6 « 1 (т. е. /I « а^) задача сводится к двпжспшо частицы массы /х в периодическом потенциале, поэтому волновая функция должна формально представлять собой блоховскую волну, причем, в силу цилиндрической симметрии задачи, единственным возможным решением является функция щ(<р). Для решения уравнения Шредингера используется адиабатическое приближение. После усреднения потенциала но быстрой переменной <р, задача сводится к уравнению Шредингера для одномерного движения в потенциальной яме:

34 2 ^ = (3)

дг2 у/г2 + АЬ2 V В результате, энергия относительного движения частиц на цилиндре имеет вид:

г, 12 21 г, й2'2 2це\ 2 еП2 , ,

Для возбужденных состояний получается уравнение, аналогичное уравнению для радиальных функций в-состояний в трехмерной задаче с ку-лоновским притяжепием. Искомые волновые функции и уровни энергии имеют вид:

где Ь\{2г/п) - обобщенные полиномы Лагерра [17], п = 1,2,3,...

Для решения задачи о движении частиц на цилиндре большого радиуса (р ад) была применена теория возмущений. В нулевом приближении задача представляет собой эквивалент задачи о двумерном атоме водорода, поэтому спектр энергий и волновые функции описываются следующими формулами:

1 /хе4

Еп = ~2(п + 1/2)2' ** Еге1 = ~2е2П2(п+1/2)2' п = 0'1'2"--

Показано, что поправка теории возмущений к энергиям (6) пренебрежимо мала для радиусов цилиндра Ъ > 2. Таким образом, экситон на поверхности нанотрубки большого радиуса представляет собой, фактически, водородоподобную систему на плоскости.

В шестом параграфе описываются численные расчеты энергии основного состояния методом мнимого времени [18] для произвольных значений радиуса нанотрубки (см. Рис. 1). Полученная зависимость уточняет результы статьи [19], в которой расчет энергии производился вариационным методом.

Ш Ш :ЦЛ |ЕШ П II 1-Я И« ЯЛ & I

Рис. 2. Зависимость энергии основного состояния экситона и дырки, движущихся на поверхности двухслойного цилиндра, от его радиуса, при фиксированном радиусе внутренней стенки.

сопй-рНе-Р^ад (р). (7)

Рис. 1. Энергия основного состояния пары электрон-дырка на поверхности одностопного цилиндра в зависимости от радиуса нанотрубки (в единицах эффективного эк-ситонного радиуса а^), рассчитанная мето-мнимого времени.

В седьмом параграфе исследуется движение пространственно разделенных электрона и дырки на двухслойном цилиндре. Уравнение Шредингера с гамильтонианом (1) допускает отделение только переменной Z. поэтому в данном случае задача не имеет аналитического решения. Для нахождения энергии основного состояния мы воспользовались методом вариации функционала энергии Е = (Т — II)/N с пробной волновой функцией

В результате вычислений имеем:

/О(27?ЬА), (8)

Г = еЛГ-2(-) л/ё/о(2»7ЬА)+

7г (те 1 ть 1 \ / 7Г ч ,Л1

(9)

2тг

[7 = е«Ч+«) у е2ЬсЬ^-Осо^Ко + ^ _ ЬеЬн сод ^ ^ } (10)

О

где /о — модифицированная функция Бесселя, Ло — функция Макдо-нальда. г) — вариационные параметры. Минимизация функционала Е производилась в общем случае численно, в результате чего была получена зависимость энергии основного состояния от радиуса внешнего цилиндра при фиксированном внутреннем радиусе, что соответствует зависимости энергии основного состояния от отношения радиусов Ри/Ре (см- Рис. 2).

В восьмом параграфе сформулированы основные результаты этой главы и отмечено, что аналитический результат (4) является уточнением численной оценки, опубликованной ранее [16].

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, рассмотрена задача о бозе-эйнштейновском конденсате экситонных поляритонов в гармонической ловушке плоской оптической микрополости ширины Ь.

В первом параграфе записан функционал энергии связанной слабонеоднородной системы фотонов и экситонов, зависящий от фотонной и зкситонной волновых функций (гр(г) и х(г): соответственно):

£[Ф,Г,х,х*] = /

2пу/ё 2 тпе,

91 14 , ^I

+ (Е°ех + У(г)) Ы2 + ||х|4 + ^ (Гх + Х'Ф) - К (\Ф\2 + \х\2)

<1г,

(П)

где У (г) — внешний потенциал, д — константа экситонного взаимодействия, Пл — частота Раби, ц — химический потенциал, общий для всей системы. В (11) первый член отвечает квантовой кинетической энергии фотонов в случае меняющейся ширины микрополости Ь{г). Перекрестный член Шл/+ Х*Ф) отражает резонансное превращение экси-гопов в фотоны (и наоборот), и обеспечивает фиксацию относительной фазы двух конденсатов: минимуму функционала (11) отвечает относительная фаза Бри — = 7г. Последнее слагаемое возникает из условия сохранения суммарного числа частиц (фотонов и экситонов). Вариация

функционала (11) по ф* и х* приводит к связанной системе уравнений типа Гросса-Питаевского (ср. с [20]) для двухкомпопентиого конденсата с резонансными превращениями частиц одного типа в частицы другого типа:

7ГЙС

he

VL(r)W(r) +

2-к^/є

ь{г)у/ё

- ß

Ф(г) + Н~х(г)= 0,

Sr у2х(г) + Иг) + E°-Iі]x[r) + зШЫг) + Г^ф(г) = о.

(12)

Из (12) видно, что существует два способа создать ловушку для поляри-тонного конденсата: при помощи специального профилирования мпкро-плости /(г) можно создать конфайнмент фотонов, при этом экситонная компонента будет эффективно удерживаться в ловушке за счет присутствия функции ф(г) во втором уравнении, тогда как наложение внешнего потенциала V(r) на квантовую яму с, экситонами, наоборот, создаст экси-тонпый конфайнмент, и фотоны в этом случае будут эффективно удерживаться в пространстве за счет своей резонансной связи с экситонами.

Во втором параграфе рассмотрена аксиально-симметричная гармоническая экситонная ловушка: f(r) = 1, V(r) = Vor2/2. Подобная ловушка была использована в эксперименте [8], где конфайнмент для экептонов создавался иглой сканирующего туннельного микроскопа, давящей па образец. Теоретически полярнтоны в гармонической ловушке рассмотрены в работе [21]. Первое уравнение системы (12) решается при помощи свертки (фундаментальное решение для оператора Гельмгольца в двумерном пространстве [22]), что после подстановки во второе уравнение дает

-1 V2x(r) + [V{r) л-у- ß}x{r) + g\x(r)\2x(r)-

dip = 0, (13)

^ V VI У I -г- I V I ■/■ I -+- и — И. t VI У I -Т- IJ\ Y I I I l^"1

2тг

- £ J pdpx(p) J К0 (г2 + Р2- 2rp cos <р)

о о L

где cr,v,g,Q. — обезразмеренные параметры задачи h2/mex, E°x,g и Ш/;. соответственно. Для типичных экспериментальных значений величин, входящих в используемые безразмерные параметры, получены следующие оценки: f2 ~ 1, а ~ Ю-4, v ~ 102. g ~ 10~3. Полученное интегральное уравнение на волновую функцию экситонного конденсата в пренебрежении взаимодействиями может быть приведено к однородному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром, после чего решено методом Келлога [22]. Учет взаимодействий после этого производился численно при помощи неявной итерационной схемы с прогонкой.

В третьем параграфе главы рассмотрен предел относительно слабого экситонного конфайнмента Vo 106эВ/см2. Показано, что в данном пределе применимо приближение Томаса-Ферми, и система уравнений (12) может быть решена аналитически. Профили компонент конденсата \ip\2 и \х\2 в данном случае пропорциональны друг другу и повторяют параболическую форму внешнего потенциала. Протяженности фотонного и экситонного конденсатов одинаковы: обе компоненты локализованы в одной и той же области г < гтах. Амплитуды плотностей могут различаться в зависимости от накачки системы. Этот результат был подтвержден точным численным расчетом на основе вышеуказанной системы уравнений типа Гроеса-Питаевского (см. Рис. 3).

В четвертом параграфе представлены результаты точного численного расчета волновых функций ip{r) и х(г) согласно методу, описанному во втором параграфе, для различных величин экситонного конфайнмента и величин накачки и их обсуждение. Результаты расчетов для слабого конфайнмента приведены на Рис. 3. При увеличении силы конфайнмента до Vo ~ 1СГ8эВ/см2, полученные распределения уже заметно отличаются от результатов, полученных аналитически в пределе Томаса-Ферми: во-первых, меньшей плотностью в центре ловушки за счет

отталкивания частиц, во-вторых — у распределений появляется "хвост" на периферии. Однако профили по-прежнему остаются подобными друг другу, и радиусы локализации фотонной и экситонной компоненты совпадают. При увеличении накачки (химического потенциала системы) при фиксированном Vo распределение вновь становится подобным профилям в приближении Томаса-Ферми, как и следует ожидать: определяющим становится взаимодействие между частицами, а не квантовые нелокальные эффекты. При дальнейшем увеличении величины конфайнмента приближение Томаса-Ферми становится совершенно неприменимым и дает сильно завышенные амплитуды профилей. Кроме того, протяженность фотонного конденсата становится большей, чем протяженность экситон-

Рнс. 3. Профили фотонного и экситонного конденсатов в гармонической ловушке для Уо = 5 • 10-1оэВ/см2: сплошные линии — аналитический расчет в приближении Томаса-Ферми, точки численный расчет.

Œ S 1Œ Г5 23' 35 Ш 5 11$ r5 3®

Г Г

Рис. 4. Профили фотонного н экситонного конденсатов в гармонической ловушке для Vq = Ю-4 эВ/см2: слова — для большого числа частиц в системе, справа — для N ~ 20.

ной компоненты: фотоны начинают демонстрировать тенденцию к дело-кализации. При этом, число частиц в фотонной подсистеме всегда остается большим числа частиц в экситонпой подсистеме. Наиболее ярко нелокальное поведение фотонов продемонстрировано в случае сильного кон-файнмента (см. Рис. 4 для V0 = 10~4эВ/см2). Профили фотонного и экситонного конденсатов становятся совершенно отличны друг от друга. Пространственная протяженность распределения фотонов во много раз больше размера экситонного конденсата, который зажат сильной ловушкой.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, исследованы стационарные вихревые решения в двухкомпонентном поляритошюм конденсате.

В первом параграфе рассмотрена временная система связанных уравнений типа Гросса-Питаевского, которая при переходе к переменным плотность частиц — фаза дает:

дт\ '

+ divj^ = ПRy/n^fqsin(^ - Sx),

дп,

+ divjx = -Пку/ПфПх sin{S-ф - Sx),

dt ^ 2 2mph ^ 2 V Пф

dSx mexv2ex h2 V2y% Шд i^cos(S -S)-0

2 2 mex v^ +V+9nx+ 2 bx) - 0,

(14)

где Пф, nx — плотности фотонов и экситонов, S-ф, Sx — фазы конденсатов,

З^чЗх 11 УрЬтУех — плотности и скорости потоков, соответственно. Первые два уравнения при сложении, очевидно, дадут уравнение непрерывности для двухкомпонентного бозе-конденсата, из которого следует условие сохранения числа частиц. Также эти уравнения отображают тот факт, что в стационарном случае относительная фаза подсистем должна равняться либо 0 либо 7г. При этом равновесное состояние нижнего поляритона, о котором идет речь в данной работе, подразумевает — 5Х = 7Г, в то время как значение Бф — Зх = 0 отвечает верхнему поляритону.

Второй параграф посвящен анализу пространственных масштабов задачи, необходимому при поиске топологических дефектов типа вихрей. При подстановке волновых функций в стационарном виде в (14), в случае однородной микрополости и отсутствия внешних потенциалов временная система уравнений сводится к виду (12) с f{r) = 1, У(г) = 0. Данная система уравнений допускает различные решения. Для пространственно однородных конденсатов она сведется к простой алгебраической системе, решением которой является равновесное значение плотности:

Из (15) следует, что химический потенциал системы ограничен: Ео — К1ц/2 < ц < Ео для нижних поляритонов и ц > + 2 для верхних поляритонов. пхо является тем значением, к которому должна стремиться плотность экситонной компоненты на бесконечности в случае наличия вихря в конденсате: в силу цилиндрической симметрии такого решения, волновые функции ДОЛЖНЫ иметь ВИД ф(г) = у/ПфО е8^/ф(г/^рь), \'(г) = — у/п^о е1*/х(г/€ех), гДе £рЛ, £ех — длины залечивания конденсатов (характерные размеры вихрей в фотонной и экситонной системах, соответственно):

Поскольку эффективные массы фотона и экситона различаются на 4 порядка, в общем случае длины залечивания в фотонной и экситонной компоненте конденсата сильно отличаются (в зависимости от количества частиц в системе, см. (15)), и, таким образом, в задаче есть два характерных масштаба.

В третьем параграфе проводится исследование вихревых решений исходной системы уравнений, которая на разных масштабах г < £ех и г ;§>

(15)

П_ __Н

(16)

^2трк(Е0 - ц)' еХ у/2техдпх0

/

Çex обнаруживает различное поведение функций /ф и fx, причем граничные условия одинаковы для обеих компонент: /</,,х(0) = 0 и оо) = 1.

Для простоты исследования мы вводим безразмерный параметр а = 2 (Ео — |«)/№й, меняющийся в пределах от 0 до 1. Как можно видеть из (16), отношение длин залечивания iph/^ex 1 всегда, кроме случая а —► 1. который соответствует отсутствию частиц в системе. Поэтому вдали от кора экситонного вихря задача может быть решена аналитически, если считать что отличие /j от единицы мало. Численные решения системы (12) для профилей компонент во всем пространстве показаны на Рис. 5. Для малых а, отвечающих большому химическому потенциалу (т.е. большому количеству поля-ритонов) эффект пространственного "разделения" вихря на две различные по масштабу компоненты наиболее отчетлив: кор экситонно-но вихря примерно в сто раз меньше кора фотонного вихря (Рис. 5, а). При уменьшении количества частиц в системе компоненты становятся менее разделенными в пространстве.

Кроме того, стоит отметить, что значения плотностей фотонов и эк-ситонов на бесконечности Пфо и пхо также различны: пхо/пфо = а2, поэтому пространственное распределение компонент в зависимости от центра вихря имеет вид, показанный на Рис. 6.

В четвертом параграфе сформулированы основные результаты исследования вихревых решений и предложена возможность экспери- ним) как функции г) = г/£ез; для а = 0.5.

Рис. 5. Вихревые решения для двухкомпо-нентного конденсата поляритетов fф (черным) и (красным) как функции г} = г/С« для (а) а = 0.1; (Ь) а = 0.5; (с) а = 0.9.

Рис. 6. Плотности Пф (черным) и пх (крас-

ментального обнаружения полученного эффекта.

В четвертой главе, состоящей из четырех параграфов, исследуется временная эволюция плотностей и фаз экситонной и фотонной компонент бозе-конденсата поляритонов.

В первом параграфе из системы временных уравнений типа Гросса-Пигаевского с учетом нерезонансной накачки и утечки частиц получены общие уравнения временной эволюции для плотностей и фаз фотонной и экситонной компонент конденсата:

дп,

¿ф

дИ

дБф дь

= —С1 [пф\72Бф + VПф^/вф] — Г1^/ПфПх вт (Бф — Бх) — 2кщ,, (V Пф)2 УЧф

П

~2

к

2 ти

■ + (УЗД2

соэ (Бф - Бх),

ТЬф

= -а [пхУ2Бх + + Яу/ПфПхзт (Бф — Бх) + 2 (7 - Гпх) пх

дБ± дЬ

(V пх)2 V 2пх

4п2

2 пу

+ (Х7Бх

дпх

•соб (Бф - Бх),

(17)

где к скорость утечки фотонов из полости, а (7 — Г|х|2) представляет собой так называемую насыщаемую нерезонансную накачку. Феноменологический вывод членов уравнения, описывающих накачку и утечку, представлен в статье [23]. В этой главе мы будем интересоваться только временной эволюцией связанных конденсатов, считая их распределение в пространстве однородным. Поэтому пространственными производными в (17) можно пренебречь.

Во втором параграфе рассмотрена эволюция системы в случае постоянного числа частиц (Пф + пх = п =сопв1;, к, 7, Г = 0). При переходе к новым переменным относительной фазы Б = Бф — Бх и разности плотностей Р = (пх — Пф)/2, система (17) сводится к гамильто-новой системе р = —ОН/дБ, Б = Рис- 7- Колебания относительной фазы

П.ГТ / компонент конденсата 5 = - 5У вокруг

ОН ар с гамильтонианиапом, не „ * х

' равновесного положения Ь = 7г и разности

зависящим ЯВНО ОТ времени. Си- плотностей р = (пх - ^/2 вокруг значе-стема совершает финитное движе- ния р = —зп2/4Шд. ние вокруг положения устойчивого равновесия 5 = 7Г. Получено решение Б(Ь), />(£) в квадратурах. Разложение в окрестности точки Б = 7Г,

р = 0 приводит к уравнению гармонических колебаний для 5 и р с частотой (¿о = + дп/2Шд вокруг положений равновесия £> = 7г и р = —^п2/4Шл (см. Рис. 7). Таким образом, получена поправка к собственной частоте системы за счет экснтон-эксптонного взаимодействия. Смещение положения равновесия для р от нуля в отрицательную область также является следствием отталкивания экситонов и демонстрирует, что в равновесии фотонов в поляритонной системе всегда немного больше [5].

В третьем параграфе исследованы эффекты, к которым приводит включение накачки и утечки в уравнениях (17). Непостоянство полного числа частиц п приводит к тому, что поляритонная система теперь описывается системой трех эволюционных уравнений

дп_ 2 дt др

(7-к) 2 + Ь + К)Р

дг V 4 дБ д (п \

т=п{2 + р)

— р2 эт 5 +

(18)

П?

: сое 5.

Разложение в окрестности точек равновесия в этом случае приводит к уравнению вынужденных (затухающих) колебаний с коэффициентом затухания /3 = (ЗГп/4 — 7 + к)/К и собственной частотой

и}0 = Пдд/1 +

дп

+

2 Шл (Шя)2

З7 к Гп

~~2~ 2 +Тб

шд

о р

Таким образом, мы получили поправки к соб- Рис. 8. Траектория поля-

ственной частоте системы за счет накачки и РИТ°1И на фазовой плоско-

_ - сти (р, Б). Синим изображе-

утечки частиц. Показано также, что при любых

•> ^ ' 1 гга траектория в случае от-

начальных условиях полная плотность поляри- Сутствия накачки и утечки

ТОНОВ в системе стремится к фиксированному частиц, значению

7 - к

п(1)

при £

(19)

На Рис. 8 изображена фазовая траектория полярптонного конденсата: в отсутствие возмущений (при постоянном тг) частица движется но круговой траектории вокруг точки 5 = тг, р = —дп2/АЬ£1ц. что во временной развертке соответствует колебаниям, изображенным на Рис. 7. При

Рис. 9. Слева: зависимость р = (пх — Пф)/2 от времени (синим) при наличии накачки и утечки частиц из полости. Из-за затухания система выходит на некоторое фиксированное соотношение фотонной и экситонной компоненты в конденсате. Пунктиром показано положение равновесия в зависимости от Ь. Справа: зависимость относительной фазы подсистем от времени при наличии накачки и утечки, для трех различных скоростей утечки фотонов: при к = 0 5 —> п. при включении утечки конечное значение 5 сдвигается.

включении накачки в экситонное уравнение и утечки для фотонов траектория вырождается в затухающую спираль с фокусом в точке 5 > 7г. р = — дп(оо)2/4Шд, где п{оо) определяется выражением (19). Отметим, что частота колебаний относительной фазы Б в данном случае не зависит явно от накачки и утечки, а имеет прежний вид.

Зависимость р и 5 от времени, полученная численно решением системы уравнений (17). показана на Рис. 9. Мы показали, что при наличии утечки фотонов из полости положение фокуса по 5 смещается от равновесного значения 7г в положительную сторону, причем величина смещения приблизительно равна 2к/М1ц.

В четвертом параграфе проводится обсуждение полученных в этой главе результатов.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

3 Основные результаты и выводы

1. Разработано описание бозе-конденсата экситонных иоляритонов в оптической микрополости, основанное на рассмотрении поляритон-ного газа как двухкомпонентной системы. Связанные временные уравнения типа Гросса-Питаевского, записанные отдельно для фотонного и экситонного конденсатов и содержащие источники, позволяют исследовать по отдельности как пространственные распределения двух

компонент иоляритонного конденсата (различные в общем случае), так и временную эволюцию соотношения долей фотонов и экситонов в поляритонном конденсате.

2. Изучено поведение двухкомпонентного конденсата при наличии а.кси-алыю-симметричной экситонной ловушки. Получено аналитическое выражение для профилей компонент в случае слабого конфайнмента (в приближении Томаса-Ферми). Численно задача решена для любых конфайнментов. Результаты, полученные аналитически и численно, совпадают в соответствующем пределе. Показано, что в сильной ловушке фотонная и экситонная компоненты имеют существенно различные пространственные протяженности.

3. Исследова.ны стационарные вихревые решения в связанных конденсатах фотонов и экситонов. Получено аналитическое выражение для длин залечивания (размеров кора) вихрей в каждой компоненте. Показано, что в общем случае они существенно различны. Вычислены профили фотонов и экситонов в поляритонном вихре. Показано, что в центре вихря в поляритонном конденсате преобладает экситонная компонента.

4. Исследована временная эволюция плотностей и фаз фотонной и экситонной подсистем в поляритонном газе. Показано, что при постоянном числе частиц система совершает финитное движение вокруг положения равновесия, и доли экситонной и фотонной составляющих постоянно колеблются. Изучена динамика системы при включении нерезона.нсной накачки и ухода фотонов из полости: колебания относительной фазы и долей компонент становятся затухающими с некоторой собственной частотой, определяющейся частотой Раби, взаимодействием, а также накачкой и утечкой частиц. Показано, что полное число поляритонов в системе стремится к некоторому фиксированному значению, зависящему от коэффициентов накачки и утечки, а относительная фаза — к равновесному значению 7Г в отсутствии утечки и смещенному значению при наличии утечки.

5. Исследована зависимость энергетических уровней экситопа на поверхности однослойной и двухслойной нанотрубок от радиуса нано-трубки и диэлектрической проницаемости окружа.ющей среды. Продемонстрировано, что, в зависимости от параметров системы, задача эффективно сводится к двумерной либо одномерной. Получены аналитические выражения для энергии основного и возбужденных

состояний экситона, a. также отвечающих им волновых функций, в предельных случаях большого и малого радиусов нанотрубки. Для промежуточных значений радиусов, как и для случая двухслойной трубки, расчет энергии основного состояния проведен численно. В предельных случаях результаты аналитического и численного расчетов совпадают.

Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, из них: 6 статей в журнала-х, рекомендованных ВАК, и 5 статей — в трудах российских и международных конференций. Результаты работы представлены также в тезисах докладов российских и международных конференций.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в реферируемых журналах:

1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсация экситонных поля-ритоиов в оптической микрополости, Физика твёрдого тела 50(8), 149G-1500 (2008).

2. М. Willander, Yu. Е. Lozovik, A. Wadeasa, О. Nur, A. G. Semenov, and N. S. Voronova, Light emission from different ZnO junctions and nano structures, Phys. stat. sol. A 206, 853-859 (2009).

3. H. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. E. Лозовик, Бозе-конденсат экситонных поляритонов в ловушке, Письма в ЖЭТФ 93(10), G43-646 (2011).

4. A. Deinega, N. Voronova, Yu. Lozovik, Coulomb problem on single- and double-wall cylinders, J. Phys.: Condens. Matter 24, 255301 (2012).

5. N. S. Voronova, A. A. Elistratov and Yu. E. Lozovik,Coupled condensates of excitons and photons in the trap, J. Nanophoton. 6(2), (2012).

6. N. S. Voronova and Yu. E. Lozovik, Excitons in cores of exciton-polariton vórtices, Phys. Rev. В — принято к печати.

Труды и тезисы конференций:

1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанот,рубке, Труды научной сессии МИФИ - 200G, том 5, стр. 191-192 (200G).

2. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Труды VII-й Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, с. 11-13 (2006).

3. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситои в иаиотрубке, Материалы Международной научно-технической школы-конференции "Молодые ученые - 2006", МИРЭА, Часть 2, стр. 27-30 (2006).

4. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-коидеисаи,ия поляритоиов в оптического, микрополости, Сборник трудов VIII-й научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, Москва (2007).

5. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденащия поляритоиов в оптической микрополостм, Труды 50-й научной конференция МФТИ - Всероссийской молодёжной научной конференции "Современные проблемы фундаментальных и прикладных паук" (2007).

6. И. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсированное состояние экситоииых поляритоиов в ловушке оптической микрополости:, Материалы VII Международной научно-технической конференции МИРЭА INTERMATIC-2010, ч,1, стр. 7-12 (2010).

7. N. S. Voronova, A. A. Elistratov, and Yu. Е. Lozovik, Phase oscillations in exciton and photon subsystems of polariton condensate, ESF Polatom Network Conference "Cold Atoms, Excitons, Polaritons, Bose-Einstein condensates" Abstract Book, p. 39 (2012).

Цитируемая литература

[1] R. S. Nox, Theory of excitons, New York: Academic (19C3).

[2] R. Leavitt and J. Little, Simple method for calculating exciton binding energies in quantum-confined semiconductor structures, Physical Review В 42, 11774 (1990).

[3] J. J. Hopfield, Theory of the contribution of excitons to the complex dielectic constant of crystals, Phys. Rev. 112(5), 1555 (1958).

[4] C. Weisbuch, M. Nishioka, A. Ishikawa, and Y. Arakawa, Observation of the Coupled Exciton-Photon Mode Splitting in a Semiconductor Quantum Microcavity, Phys. Rev. Lett. 69, 3314 (1992).

[5] A. Kavokin and G. Malpuech, Canity Polaritons, Elsevier, Amsterdam (2003).

[6] R. Houdre, C. Weisbuch, R. P. Stanley, U. Oesterle, P. Pellandini, and M. Ilegems, Measurement of Cavity-Polariton Dispersion Curve from Angle-Resolved Photoluminescence Experiments, Phys. Rev. Lett. 73, 2043-2046 (1994).

[7] J. Kasprzak, M. Richard, S. Kundemann, A. Baas, P. Jeambrun, J. M. J. Keeling, F. M. Marchetti, M. H. Szyma,nska, R. Andre, J. L. Staehli, V. Savona, P. B. Littlewood, B. Deveaud, and Le Si Dang, Bose-Einstein condesation of exciton polaritons, Nature (London) 443, 409 (2006).

[8] R. Balili, V. Hartwell, D. Snoke, L. Pfeiffer, K. West, Bose-Einstein Condensation of Microcavity Polaritons in a Trap, Science 316, 1007 (2007).

[9] Ю. E. Лозовик, Сильные корреляции и новые фазы в системе, экси-топов и поляригпопов, поляритонный лазер, УФН 179, No.3, 309-313 (2009).

[10] I. Carusotto and C. Ciuti, Probing Microcavity Polariton Superfluidity through Resonant Rayleigh Scattering, Phys. Rev. Lett. 93, 166401 (2004).

[11] A. Amo, J. Lefrere, S. Pigeon, C. Adrados, C. Ciuti, I. Carusotto, R. Houdre, E. Giacobino and A. Bramati, Superfluidity of polaritons in semiconductor rnicrocavities, Na.ture Phys. 5, 805 (2009).

[12] K. G. Lagoudakis, M. Wouters, M. Richard, A. Baas, I. Carusotto, R. Andre, L. S. Dang, and B. Devaud-Pledran, Quantized vortices in an exciton-polariton condensate, Nature Phys. 4, 70G (2008).

[13] D. Sanvitto, S. Pigeon, A. Amo, D. Ba.lla.rini, M. D. Giorgi, I. Carusotto, R. Hivet, F. Pisanello, V. G. Sala, P. S. S. Guimaraes, R. Houdre,

E. Giacobino, et a.1., All-optical control of the quantum flow of a polariton condensate , Nature Phot. 5, 610 (2011).

[14] A. Amo, S. Pigeon, D. Sanvitto, V. G. Sala, R. Hivet, I. Carusotto,

F. Pisanello, G. Lemenager, R. Houdre, E. Giacobino, C. Ciuiti, A. Bramati, Polariton superfluids reveal quantum hydrod,ynam,ic solitons Science 332, 1167 (2011).

[15] A. M. Kaincha.tnov and L. P. Pitaevskii, Stabilization of Solitons Generated by a Supersonic Flow of Bose-Einstein Condensate. Past an Obstacle, Phys. Rev. Lett. 100, 160402 (2008).

[16] M. K. Rostov, M. W. Cole, and G. D. Mahan, C. Carra.ro, M. L. Glasser, Enhanced cohesion of matter on a cylindrical surface, Phys. Rev. В 67, 075403 (2003).

[17] И. С. Градштейн, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4 изд., М.: Наука (1963).

[18] Yu. Е. Lozovik and S. Yu. Volkov, Hydrogen atom moving across a magnetic field, Phys. Rev. A 70, 023410 (2004).

[19] T. G. Pedersen, Variational approach to excitons in carbon nanotubes, Phys. Rev. В 67, 073401 (2003).

[20] L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Bose-Einstein Condensation, Oxford University Press, Oxford (2003).

[21] O. L. Berman, Yu. E. Lozovik, and D. W. Snoke, Evaporative cooling and condensation of two-dimensional polaritons in an in-plane harmonic potential, Phys.Stat.Sol.(c)3, No.10, 3373-3377 (2006).

[22] В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, - изд.4-е, -М.: Наука (1981).

[23] J. Keeling and N. BerlofF, Spontaneous Rotating Vortex Lattices in a Pumped Decaying Condensate, Phys. Rev. Lett. 100, 250401 (2008).

Подписано в печать:

20.09.2012

Заказ № 7624 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru

Введение

Экситон Ванье-Мотта.

Экситонные поляритоны

Основное содержание диссертации.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1 Энергетический спектр экситона в нанотрубке

1.1 Уравнения движения электрона и дырки на цилиндрической поверхности.

1.2 Движение зарядов на однослойной нанотрубке

1.3 Относительное движение электрона и дырки на поверхности цилиндра.

1.4 Адиабатическое приближение в случае малых радиусов цилиндра.

1.5 Движение экситона на цилиндре большого радиуса

1.6 Численное решение уравнения для нанотрубок произвольного радиуса.

1.7 Движение электрона и дырки на поверхности двухслойного цилиндра.

1.8 Обсуждение результатов.

2 Бозе-конденсат экситонных поляритонов в ловушке оптической микрополости

2.1 Система уравнений типа Гросса-Питаевского для двухкомпонентного газа.

2.2 Аксиально-симметричная экситонная ловушка.

2.3 Приближение Томаса-Ферми.

2.4 Результаты и обсуждение.

3 Вихревые решения в поляритонном конденсате

3.1 Общие уравнения.

3.2 Стационарные вихревые решения в двухкомпонентном конденсате.

3.3 Аналитическое и численное решения на различных масштабах задачи.

3.4 Обсуждение результатов.

4 Осцилляции фазы и плотности экситонной и фотонной подсистем поляритонного конденсата

4.1 Общие уравнения эволюции плотностей и фаз компонент конденсата

4.2 Равновесная система с постоянным числом частиц.•.

4.3 Система с переменным числом частиц.

4.4 Обсуждение результатов.

Диссертация посвящена исследованию возбуждений, таких как экситоны и экситонные поляритоны, в полупроводниковых структурах пониженных размерностей, в частности, вычислению энергии основного состояния экситона на поверхности однослойных и двухслойных нанотрубок и определению профилей экситонной и фотонной составляющей поляритонного бозе-конденсата в плоской полупроводниковой оптической микрополости при наличии внешнего потенциала, поиску устойчивых вихревых решений в системе, а также анализу временной эволюции компонент поляритонного конденсата в равновесии и при наличии накачки и утечки частиц.

Экситон Ванье-Мотта

Фундаментальное понятие об экситоне как о возбуждении в кристалле было введено Френкелем в 1931 году [1]. Все экситоны пространственно компактны: кулоновское притяжение между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженной дыркой удерживает их вместе в координатном пространстве. В зависимости от структуры решетки, степени перекрытия волновых функций валентных электронов атомов и диэлектрической проницаемости, радиус экситона варьируется от размера одного атома, т. е. порядка ангстрема (экситон Френкеля), и до нескольких сотен атомов, охватывая в этом случае множество ячеек кристаллической решетки (экситон Мотта, см. ниже). Вместе с тем, в силу трансляционной симметрии решетки, квазиимпульс экситона как целого является интегралом движения, с чем связана делокализация его центра тяжести. Представление о локализованном возбуждении как о возбужденном состоянии отдельного атома, как указывалось, не всегда является хорошим приближением. Экситон можно рассматривать и по-другому. Основное состояние, "квази-вакуум" в полупроводнике, — это состояние с заполненной валентной зоной и пустой зоной проводимости. В результате перехода одного электрона из валентной зоны в зону проводимости должны изменяться и состояния остальных электронов валентной зоны. Формально такое изменение можно учесть, введя эффективное взаимодействие между электроном и дыркой, образующейся при освобождении одного из валентных состояний (в. Н. \¥апшег, 1937 [2]; N. Р. Мои, 1938 [3]). В результате кулоновского взаимодействия электрона и дырки в кристалле возможно появление особых бестоковых связанных состояний электрона и дырки, получивших название экситонов Ванъе-Мотта. Экситоны Ванье-Мотта типичны для большинства полупроводников и являются одним из основных объектов рассмотрения Диссертации.

Экситоны в общем случае могут перемещаться внутри кристалла. В случае экситонов Френкеля это перемещение представляет собой перескоки возбуждения от одного атома к другому [4].

В случае модели экситонов Ванье-Мотта, возбужденный электрон и дырка существуют как свободные частицы в эффективном периодическом потенциале, создаваемом окружающими их валентными электронами и остовами атомов решетки, и экситон представляет собой связанное состояние электрона и дырки. Такая связанная пара может как целое перемещаться по кристаллу, обладая волновым вектором к, причем полное движение экситона складывается из внутреннего движения электрона вокруг дырки и движения пары как единого целого по кристаллу. В этом случае поле окружающей экситон решетки учитывается при помощи введения эффективных изотропных масс электрона га* и дырки а также введением экранировки кулоновского притяжения за счет диэлектрической проницаемости среды е. Кроме того, в общем случае следует учитывать рассеяние экситонов на фононах и неоднородностях кристалла.

В простейшем случае параболических зон с экстремумами, расположенными при к = 0, энергии электронов проводимости и дырок в валентной зоне определяются формулами (см., например, [5])

Й2к2 Й2к2 Ясоы(к) = Д, + — ; Еуа1( к) = , (1)

2 т* 2т£ где Ед — энергия щели между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны.

Если предположить, что электрон и дырка взаимодействуют по закону Кулона — е2/бт, где г = |ге — г/^ , и перейти к системе центра инерции, то мы получим уравнение, определяющее энергию электронно-дырочной пары:

П2 д2 е2\ I <Рп1т{Г) =

2/^ех 9Г2 £Г/ /, ч /1 к

Еп{к) -Ед

Фп1т{Г) , (2)

2(т*е + т1)\ где Дех = т%тн/{те + шл) — приведенная масса электрона и дырки.

В этом случае решением <рп1т{т) является волновая функция водоро-доподобного атома, эффективный заряд которого Ze равен е/д/ё, а уровни энергии связанных состояний для каждого к могут быть представлены в виде суммы трех слагаемых

К(к)=. ^ + (з)

2 (т* + 7Щ) 2К1£гп1 ь Первое слагаемое в (3) соответствует кинетической энергии свободного совместного движения электрона и дырки. При к = О второе слагаемое соответствует дискретным (п = 1,2,.) возбужденным состояниям во-дородоподобного атома с приведенной массой //ех, находящегося в непрерывной среде с диэлектрической проницаемостью е. Состояние с п = 1 является наинизшим энергетическим состоянием. Радиус экситона с квантовым числом п выражается формулой где те — масса свободного электрона, ао = h2/mee2 « 0,5 • Ю-8 см — боровский радиус атома водорода. Например, в кристалле германия при значениях приведенной массы цех « 0.2 те и е « 16 радиус первого состояния аех » 80 ао значительно превышает постоянную решетки, что оправдывает макроскопическое описание взаимодействия между электроном и дыркой по закону Кулона —е2/ег.

Первое экспериментальное доказательство подтверждения существования экситонов Ванье-Мотта путем наблюдения водородоподобного спектра вблизи края собственного поглощения было получено Гроссом в 1962 году [6]. Прямое доказательство перемещения экситонов Ванье-Мотта в кристаллах было получено в работе Хопфилда и Томаса (D. G. Thomas к J. J. Hopfield, 1960 [7]).

Модель экситонов Ванье-Мотта пригодна для описания низколежа-щих возбужденных квазидискретных состояний в кристаллах с большой диэлектрической проницаемостью е. Энергия связи трехмерного эксито-на в состоянии с п = 1 (экситонная постоянная Ридберга) равна энергии, необходимой для отрыва электрона от дырки, и составляет Е^ = fiexe4/2£2h2. Следовательно, она в ¡iex/rne£2 раз меньше энергии связи электрона в атоме водорода 13 эВ). Это состояние часто называют "основным состоянием экситона" [5].

Экситоны в общем случае метастабильны, т. е. существует конечная вероятность рекомбинации возбужденного электрона и дырки с испусканием фотона. Таким образом, экситон образуется с поглощением фотона, затем движется в полупроводнике, претерпевая процессы рассеяния, и затем рекомбинирует с испусканием фотона, возможно, в точке кристалла, далекой от его точки рождения. В зависимости от зонной структуры (например, совпадения или несовпадения минимума зоны проводимости и максимума валентной зоны в зоне Бриллюэна, что отражается на степени перекрытия волновых функций), время жизни экситона может варьироваться от пикосекунд вплоть до миллисекунд и дольше. В общем случае скорость распада экситона пропорциональна квадрату нормированной электронно-дырочной орбитальной волновой функции <р2(0) = 1/-ка?ех (умноженной на матричный элемент дипольного момента межзонного перехода между указанными точками зоны Бриллюэна) [8].

Будучи нейтральной электронно-дырочной парой, связанной кулонов-ским взаимодействием, экситоны могут вести себя как (композитные) бозоны при невысоких плотностях [9]: пагех <С 1, т. е. в случае, если расстояние между частицами велико по сравнению с эффективным размером экситона. В этом случае экситонная система представляет собой слабо-взаимодействующий бозе-газ, константа взаимодействия которого может быть оценена [10] как

47гП2аех

9--• (5)

ТГЬех

Для экситонов в полупроводнике, эффективная масса которых приблизительно равна массе свободного электрона, и чей эффективный радиус имеет порядок от 10 до 50 А, константа д имеет порядок приблизительно 10"32—Ю-33 эрг-см3.

В системе с пониженной размерностью свойства экситона Ванье изменяются. В низкоразмерных системах пространственный конфайнмент обеспечивает большее перекрытие волновых функций электрона и дырки, тем самым увеличивая энергию связи экситона. Так, в двумерном пределе (например, в квантовой яме) энергия связи экситона в 4 раза больше, чем в трехмерном случае: Е^ = 2//ехе4/£:2/г2 [11].

В данной работе теоретически исследуются уровни энергии экситона Ванье-Мотта в однослойных и двухслойных углеродных нанотрубках, в зависимости от радиуса (соотношения радиусов) стенок и диэлектрической проницаемости среды, в которую погружена нанотрубка. Нанотруб-ка в этой задаче является системой пониженной размерности (£) = 1 или 2 в зависимости от соотношения её длины и диаметра). Рассмотрен кроссовер между системой с размерностью 1Б и 2Б. Углеродные нанотрубки представляют собой новый физический объект, уникальные свойства которого позволяют рассчитывать на его эффективное использование в различных областях науки и технологии. Наиболее привлекательными представляются те направления использования нанотрубок, которые связаны с разработками в различных областях современной электроники. Такие свойства нанотрубок, как их малые размеры, управляемая электропроводность, высокая механическая прочность и химическая стабильность, позволяют рассматривать эти объекты в качестве основы будущих элементов микроэлектроники.

Для решения задачи о кулоновском взаимодействии электрона и дырки на поверхности одностенного (двустенного) цилиндра использованы теория возмущений и адиабатическое приближение. Для численных расчетов при любых значениях параметров был применен метод мнимого времени и вариационный метод Ритца.

Экситон в квантовой яме

Физика пониженных размерностей может быть также изучена естественным образом в полупроводниках: в настоящее время прогресс в техниках молекулярно-лучевой эпитаксии позволяет производить полупроводниковые материалы с точностью до атомных слоев, что привело к появлению новых квантовых структур, таких как двумерные (2Б) квантовые ямы, одномерные квантовые проволоки и нульмерные квантовые точки.

Квантовая яма — это тонкий слой полупроводника с узкой запрещенной зоной, помещенный между двумя слоями полупроводника с запрещенной зоной большей ширины (см. Рис.1).

Толщина квантовой ямы й сравнима с эффективным экситонным боровским радиусом аех, поэтому движение электрона и дырки в такой яме ограни

Рис. 1. Уровни энергии чено перпендикулярной К яме (к направлению роста экситона в квантовой яме. слоев) плоскостью, и их энергетические уровни квантованы. В таком двумерном пределе радиус экситона становится вдвое меньше по сравнению с соответствующим значением в ЗБ (4), а энергия связи как уже было отмечено выше, — в 4 раза больше по сравнению с энергией связи трехмерного экситона Е^ [11].

Кроме того, квантовый конфайнмент может существенно менять структуру валентной зоны полупроводника [12]. Например, для СаАэ, дырка имеет волновую функцию р-типа с орбитальным моментом Ь = ±1 и спином 5 = ±1/2. В обычном полупроводнике имеется две зоны, соответствующие так называемым легким дыркам (частицам с полным моментом <7 = ±1/2 и меньшей эффективной массой) и две — тяжелым дыркам (с полным моментом J = ±3/2 и большей массой), в результате чего энергетическая зона оказывается четырехкратно вырожденной при к = 0. Отличие квантовой ямы заключается в том, что трансляционная симметрия в направлении 2 отсутствует, и вырождение между легкими и тяжелыми дырками при к = 0 исчезает. Зоны, соответствующие тяжелым дыркам, оказываются выше (ближе к зоне проводимости), теперь уже с меньшей продольной эффективной массой. Таким образом, чаще всего экситон в квантовой яме образован электроном и тяжелой дыркой.

Наиболее важным эффектом конфайнмента квантовой ямы является то, что по сравнению с трехмерными полупроводниками, экситоны в гораздо более доступны для возбуждения при помощи света: продольное движение электронно-дырочной пары никак не зависит от поперечной координаты г, и экситон в квантовой яме может быть возбужден фотоном с такой же продольной компонентой импульса к\\ и произвольной поперечной компонентой к±.

Поведение двумерных экситонов в квантовых ямах в электрическом и магнитном полях, а также возможность их бозе-конденсации и сверхтекучести рассмотрена теоретически в работах [13], [14], [15].

Экситонные поляритоны

В полупроводниках с прямым межзонным оптическим переходом фундаментальными электронными возбуждениями являются экситоны, однако более строгое описание возбужденных состояний в кристалле предполагает также учет линейной связи экситонов со светом (электромагнитным полем). Из-за такой связи возникают новые моды, которые являются линейной суперпозицией одной экситонной и одной фотонной мод, называемые экситонными поляритонами.

Поляритоны в трехмерном полупроводнике были впервые предложены Хопфилдом (Л. Л. НорАеЫ, 1958, [16]), детально изучены Аграновичем [4] и впоследствии обнаружены экспериментально методами нелинейной спектроскопии. Образование поляритона обусловлено законом сохранения импульса при резонансном взаимодействии экситона и фотона, вследствие чего образуются две новые моды с различными энергиями (верхний и нижний поляритон). Поскольку законы дисперсии фотона и экситона сильно отличаются, в области расщепления энергетических состояний поляритоны являются смесью фотонной и экситонной моды (в этой области поляритон можно представить себе как фотон, "одетый" экситонным взаимодействием), в то время как вдали от этой области поляритон ведёт себя либо полностью как фотон, либо как экситон.

Прогресс в производстве различных полупроводниковых гетерострук-тур, в особенности квантовых ям, привел к тому, что описание возбужденных состояний в полупроводнике всё чаще сводилось к концепции поляритона. Однако в силу несовпадения размерности экситона в квантовой яме (2Б) и фотона (30), закон сохранения импульса можно было применить только к продольной компоненте импульса (лежащей в плоскости квантовой ямы), в результате чего одна экситонная мода оказывалась связанной с континуумом фотонных мод, что приводило к необратимому затуханию этих возбужденных состояний.

Чтобы получить систему с заданным числом экситонов и фотонов,

1.0 необходимо поместить кристалл внутрь резонатора Фабри-Перо, который препятствовал бы уходу из системы тех фотонов, частота которых находится в резонансе с экситонами. Такие резонаторы (плоские полупроводниковые микрополости) были разработаны в 1980-х годах в основном с целью производства поверхностно-излучающих лазеров с вертикальным резонатором (УСБЕЬ) [17]. Они состоят из слоев различных полупроводниковых материалов, называемых брэгговскими рефлекторами (зеркалами), обладающими высокой отражающей способностью из-за многолучевой интерференции (см. Рис. 2). Если резонанс полости выбран близко к частоте возбуждения экситона, то в системе возникает так называемый режим сильной связи [18], [19]. Подробный обзор полупроводниковых микрополостей представлен в работе [20].

Вплоть до 1992 года понятие поля-ритона было связано исключительно с трехмерными кристаллами, до тех пока Клод Вайсбух не опубликовал результаты первых успешных измерений резонансного взаимодействия экситонной и фотонной мод в полупроводниковой микрополости (С. \Veisbllch е£ 0.1, 1992 рис. 2. Схема центральной области по-[21]), после чего последовала огромная луиР°водниковой микрополости на ошове А^Сах-хАз/ГпуСах-уАз. Толстая криэкспериментальная активность В обла- вая показывает интенсивность фотона внутри полости. Рисунок из статьи [22]. сти поляритонов в микрополостях.

Когда квантовая яма помещена в пучность моды полупроводниковой микрополости, экситон с орбитальным моментом 7=1 (образованный электроном и тяжелой дыркой) сильно взаимодействует с фотонной модой. Если скорость энергетического обмена между электромагнитным полем в полости и экситоном заметно выше, чем скорость утечки фотонов, то в такой системе возникают новые смешанные состояния, называемые экситонными поляритонами полости.

5" о о

3 **

П> з

0.0

2.50

3.00

3.50

Distance to the surface (цт)

External emission angle (deg)

30 40 « o>

1.380 (а) 1 1 1 1

1.350 1 ! Q = 7Л meV | 1 1

1.340 VI !

1.334^ .-1-—: ■!-■- 1 1

1.330 1 1

0.0 10° 2.0 10' Wave vector (m"1)

4.0 10» 1.340 ф 1.330 Ш

• • (Ь).У. П = 7.6 meV / .

0.0 10° 2.0 10* 4.0 10* Wave vector (m'1)

0.0 10"

2.0 10*

4.0 101

Успехи в производстве высококачественных зеркал привели к тому, что достигалось всё более продолжительное время жизни фотонов в микрополостях при малых значениях продольной компоненты импульса фотона. Именно благодаря этому стала возможной демонстрация режима сильной связи фотонов и экситонов в полости. В течение ближайших месяцев после первого наблюдения, доказательство существования двумерных экситонных поляритонов было осуществлено Одре, измерившим по-ляритонную кривую дисперсии при помощи спектроскопии излучения из полости и продемонстрировавшим Раби-расщепление уровней при температурах вплоть до комнатных (Рис. 3, И. Ноис1гё, 1994 [22]).

Вскоре после первых наблюдений экси

Wave vector (m )

РИС. 3. Кривые дисперсии экситон- ТОННЫХ ПОЛЯриТОНОВ В МИКрОПОЛОСТЯХ бы-ных поляритонов, полученные из измерений фотолюминесценции из поло- ло развито теоретическое описание образости под различными углами, (а) Резо- Гг.о1 „ нанс при в = 0°, (6) при в = 29°, (с) вания ПОЛЯрИТОННЫХ МОД \Z6\. ПОДрООНЫИ при в = 35°. Сплошные линии показы- „ г вают теоретический расчет, пунктир- ТеОрвТИЧеСКИИ обзор ПОЛЯрИТОНОВ ПОЛОСТИ ные линии — дисперсионные кривые содержится в монографии [241. свободных фотона и экситона. Рис. из 1 х- т l j статьи [22]. для ИдеальНОЙ ПЛОСКОЙ ОПТИЧвСКОЙ МИКрополости шириной L, заполненной диэлектриком с проницаемостью £, волновой вектор фотона оказывается квантованным в поперечном направлении: и энергетический спектр фотонов в полости в этом случае имеет вид

7Г П ттНс Ъ2Щ\ п +

L^/i 2nmph ' где mph = irhcy/e/Lc — эффективная масса фотона полости.

Рассмотрим основную моду оптической полости п = 1. Обозначив Еф = 7Гhc/L^/i, получим закон дисперсии фотона в области малых Ц\:

Н2к2

Eph(kn) = Bfiph + ^J-. (6)

Согласно (3), закон дисперсии квазидвумерного экситона в квантовой яме имеет вид а Щ

ЕеЛЩ|) = El + ^, (7) где Е®х = Eg — Ell?, тех — т*е + m*h — эффективная масса экситона в квантовой яме.

В присутствии экситона, находящегося при некотором продольном импульсе к\\ в резонансе с фотонной модой, элементарные возбуждения в полости имеют необычный закон дисперсии, который отражает их смешанную природу света с веществом (см. Рис. 3). Закон дисперсии поляри-тона в полости содержит две ветви — так называемые верхнюю и нижнюю поляритонные ветви [24]:

Elp,up = Eph * Еех Т ¿^(Цл ~ Еех? + |ШЛ|*, (8) где Шд — энергия поляритонного расщепления (энергия Раби). Несмотря на сильное изменение исходных кривых, нижняя часть нижней поляри-тонной ветви при этом всё еще хорошо аппроксимируется параболическим законом дисперсии (6) с эффективной массой tulp и некоторым начальным уровнем энергии Е^Р.

Вслед за экспериментами [21] и [22] последовало множество экспериментов, точно определивших дисперсионные кривые двух поляритонных ветвей в различных полупроводниковых микрополостях.

Коллективные явления в поляритонной системе

В течение многих лет интенсивная научная активность была направлена на поиск бозе-эйнштейновской конденсации экситонов в твёрдых телах, сначала в трехмерных [25] (см. также [8] и цитируемую литературу), затем для экситонов с пространственно-разделенными электронами и дырками в квазидвумерных системах [13]—[15], время жизни которых существенно выше в силу слабого перекрытия волновых функций частиц, и которые должны обладать принципиально новыми свойствами — наличием незатухающих электрических токов, необычными оптическими свойствами и т. п. [26]. Несмотря на многочисленные экспериментальные достижения [27, 28, 29, 30], явная демонстрация экситонной конденсации долго оставалась под вопросом. (Более поздние эксперименты по экситонной бозе-конденсации описаны в [31, 32, 33]). В то же время, следом за новаторским предложением Имамоглу (А. 1тато§1и еЬ а1, 1996 [34], [35]), исследователи начали искать возможность получить бозе-эйнштейновскую конденсацию в газе экситонных поляритонов в полупроводниковых микрополостях. Действительно, так как эффективная масса поляритона тьр очень мала (на несколько порядков меньше массы экситона), данная система предполагает бозе-конденсацию при гораздо более высоких температурах и/или меньших плотностях.

Согласно теореме Хоэнберга-Мермина-Вагнера [36], бозе-конденсация и недиагональный дальний порядок в двумерных системах невозможны. Причиной этому служит то, что тепловые флуктуации квантовой фазы, имеющиеся при любой конечной температуре, разрушают конденсат на больших масштабах. Однако, можно показать, что для взаимодействующего газа сверхтекучее состояние всё же может быть достигнуто при температуре ниже критической. В данном случае, происходит фазовый переход другого типа: переход Березинского-Костерлица-Таулеса (ВКТ) в сверхтекучее состояние [37, 38]. Это топологический фазовый переход, при котором при температуре выше Твкт могут спонтанно формироваться одиночные вихри, и при этом сверхтекучесть исчезает. В пространственно-однородном газе критическая температура Твкт всегда ниже, чем характерная температура квантового вырождения Тс (при которой происходит кроссовер с образованием локального конденсата на малых масштабах). В этой связи переход ВКТ обсуждался в контексте экситонных полярито-нов в полости [39, 40]. С другой стороны, известно, что если между основным и возбужденными состояниями частицы в двумерной системе присутствует конечная энергетическая щель (т.е. спектр энергий дискретен), то тепловые флуктуации более не доминируют, и макроскопическое заселение основного состояния возможно. Подобная щель возникает в ограниченных системах. Локализация поляритонного газа обычно простирается на масштаб порядка от нескольких до нескольких десятков микрон (за счет конечного размера пятна накачки, либо из-за наложения внешнего удерживающего потенциала), поэтому в данной системе можно ожидать возникновение бозе-конденсации в обычном смысле слова [41]. Так, явное экспериментальное наблюдение поляритонов полости, когерентно накапливающихся в нижнем энергетическом состоянии в гармонической ловушке, было осуществлено в 2007 году (R. Balili et al., 2007 [42]).

Исторически, первая конфигурация, где наблюдалась спонтанная когерентность в поляритонной системе, была основана на когерентно накачиваемой полости под конечным углом, близким к точке перегиба нижней поляритонной ветви. Как было показано в 2000 году [43], выше порогового значения мощности накачки, в плоской микрополости возникает подобие параметрического осциллятора [44, 45] и параметрическая люминесценция из сигнального (signal) и "холостого" (idler) состояний обладает длинномасштабной когерентностью и во времени, и в пространстве.

Теоретически, возникновение параметрических осцилляций в пространственно протяженных плоских полостях может быть интернретирова-но как пример неравновесной бозе-эйнштейновской конденсации: когерентность сигнального и холостого состояний не наследуется напрямую от лазера накачки, а появляется за счет спонтанного нарушения фазовой симметрии и( 1).

Для достижения бозе-эйнштейнов-ской конденсации термализованно-го поляритонного газа в условиях некогерентной накачки потребовалось еще несколько лет. После некоторых предварительных наблюдений [46, 47, 48], убедительная демонстрация бозе-конденсации поляритонов была получена в 2006 году (Л. Каврггак еЬ а1., 2006 [49]): конденсация в газе экситон-ных поляритонов была определена и в /^-пространстве по макроскопическому скоплению частиц в нижних энергетических состояниях, и в реальном пространстве по установлению длин-номасштабной когерентности.

Принцип, лежащий в основе этих экспериментов, показан на Рис.4: лазерная накачка рождает "горячие"

СопНпиои* \vavy ТьзаррЫге 1.768 теУ с/ ^ 35 цт зро{

ЯМАЛА, ^

1.67!

О 30 О 30 60 О (йвд гвв)

Етй«»оп апд1е, 0 (йввгев) -20 -ю о ю го -во -ю о ю гс -го -ю о ю го

-3-2-1 0 1 2 3-3-2-10 1 2 3-3-2-10 1 2 1п-р»апе (10* спг1)

Рис. 4. Наверху: схема микрополости. Лазерный луч частоты и>, падающий под углом в, возбуждает в полости фотонную моду с к\\ = ^ вт 0. Вторичное испускание из полости в ближнем (дальнем) поле дает информацию о плотности возбуждений координатном (импульсном) пространстве. В центре: Закон дисперсии поляритонпых мод в зависимости от к\ | (угла в). Система возбуждается при высоких энергиях, после чего релаксация избыточной энергии (за счет фононов, экситон-экситонного рассеяния и т.д.) приводит к заселению поляритонных состояний и (возможно) к бозе-эйнштейновской конденсации в нижнем состоянии. Внизу: экспериментальное наблюдение бозе-конденсации, полученное при увеличении мощности нскогсрснтной нерезонансной оптической накачки. Рис. из статьи [49]. электронно-дырочные пары, чья избыточная энергия рассеивается за счет испускания фотонов и, затем, кулоновских процессов рассеяния. Несмотря на то, что система является диссипативной, состояние теплового квази-равновесия может быть достигнуто, если скорость утечек мала по сравнению с временем термализации поляритонного газа [50], [51].

Получение бозе-конденсата поляритонов при относительно высоких температурах (по сравнению с системами холодных атомов) открывает возможность наблюдения квантовых коллективных явлений [52], таких как фазовые переходы, приводящие к спонтанному нарушению симметрии и формированию квантовомеханического параметра порядка [53]. Перспектива наблюдения подобного фазового перехода крайне привлекательна, поскольку существование макроскопически заселенного квантового состояния поляритонов подразумевает такие свойства как сверхтекучесть, джозефсоновские осцилляции, устойчивость к разрушению когерентности в системе. Кроме фундаментального интереса к этому новому квантовому коллективному явлению в твердых телах, развитие в этом направлении также несет большой потенциал для приложений в устройствах [54], например для получения так называемого поляритонного лазера (без инверсии заселенности состояний) или для обработки квантовой информации.

Возможность использовать газы экситонных поляритонов для изучения физики многих тел и, конкретнее, динамики сверхтекучести было предложено Карусотто и Чиути для системы с когерентной накачкой (I. Carusotto к С. Ciuti, 2004 [56]). В отличие от случая нерезонансного и некогерентного возбуждения, в случае резонансно-управляемой конфигурации можно применить теоретическое описание ab initio в терминах обобщенного уравнения Гросса-Питаевского [57], без необходимости применения феноменологического описания сложных релаксационных процессов в системе. Несмотря на кажущуюся простоту, когерентно созданный конденсат демонстрирует специфические сверхтекучие свой

О i

IV V VI о

О 1 ства при обтекании препятствий (естественных дефектов микрополости).

Форма возмущения плотности, возникающего в результате обтекания дефекта, может быть интерпретирована в терминах критерия сверхтекучести Ландау, с использованием обобщенного боголюбов-ского распределения возбуждений в неравновесном конденсате: при низких скоростях сверхтекучесть проявляется в подавлении искажений вокруг дефекта (в реальном пространстве) и, соответственно, исчезновении рэлеев

Рис. 5. Конфигурация с резонансной лазер- СК0Г0 кольДа рассеяния в кной накачкой. В отличие от Рис.4, данная схе- пространстве. Для более ВЫСО-ма позволяет точно контролировать плотность и продольную скорость течения поляритонной ких скоростей и в координат-жидкости, изменяя различные параметры (мощ- и ß импульсном распреность, частота, угол падения) управляющего лазера. Верхние панели (экспериментальные): рас- делении конденсата поляри-пределения поляритопов в реальном (I—III) и импульсном (IV-VI) пространстве, извлечен- ТОНОВ возникают любопытные ные из испускания полости в ближнем и даль- картины. Экспериментальное нем поле, для различных значений плотности (слева направо): для наибольшей плотно- подтверждение этих предска-сти (III), сверхтекучесть поляритопов очевидна из подавления "ряби" вокруг дефекта в реальном пространстве и соответствующего исчезновения рэлеевского кольца рассеяния (IV). Нижние панели (теоретические) показывают со- показано на Рис. 5, где переответствующие результаты численного решения г, т-г ход от диссипативного теченеравновесного уравнения 1 росса-Питаевского

I. Carusotto & С. Ciuti [56]). Рис. из статьи [58]. ния (панели I и IV) к сверхтекучему (панели III и VI) явно продемонстрирован и в координатном, и

-10 -0.5 0 0.5 kI(ímr1

-Ю -os О 0.5 -Ю -0-5 О 0.5 W МШ!-*) t,<Hlrt заний было осуществлено Амо (A. Amo et al., 2009 [58]) и t в импульсном пространстве. Стоит отметить, что в той же самой работе было прямо показано, что фотон-фотонные взаимодействия отвечают за появление звуковой моды в поляритонной жидкости, о чем свидетельствует появление конуса Черенкова-Маха при сверхзвуковых скоростях течения.

Другие экспериментальные работы были посвящены изучению вихрей и полувихрей в поляритонном конденсате [59], взаимодействую поляри-тонного потока с "вмороженными" дефектами, было показано гидродинамическое образование пар вихрь-антивихрь [60] и тёмных солитонов [61, 62] в движущейся сверхтекучей жидкости. Теоретическое описание квантованных вихрей и полувихрей представлено в работах [63], [64]. Со-литоны в бозе-жидкости были теоретически рассмотрены в работах [65], [66]. В связи с вышеописанными экспериментами, заметное теоретическое развитие в последние годы получила идея использовать сверхтекучие жидкости в плоских геометриях для изучения квантовых гидродинамических эффектов, в частности аналога эффекта хокинговского излучения для акустических черных дыр [67, 68].

Для теоретического описания газа экситонных поляритонов в микрополости существует два общих подхода. С точки зрения формализма вторичного квантования, гамильтониан, описывающий дицамику экситонов, фотонов полости и их взаимные превращения, имеет вид [45]:

Л = / фу Е {^(k)a^(k)aC!(J(k) + Еех (к) а}Х(7 (к) ах,а (к)+ Шд [а^(к)ах,а(к) + а^(к)ас,Лк)] } + Пех-ех + V, (9) где ас, ах — операторы уничтожения фотона и экситона, соответствен

Л А но, И-ех-ех ~ гамильтониан экситон-экситонного взаимодействия, V — внешний потенциал. Без учета взаимодействия и внешнего потенциала, гамильтониан может быть диагонализован при помощи унитарного преобразования Хопфилда [16], в результате чего гамильтониан экситонных поляритонов будет иметь вид

П = 1 Щ-2 Е {Еьр(к)а[р^к)аЬРАЮ + ЕиР^иРа{Ъ)аиР^) .

10)

Здесь аьр, ацр — операторы уничтожения нижнего и верхнего поляритонов, соответственно, а законы дисперсии режиме сильной связи ¿?ьр,г/р(к) даются формулой (8). Фотонная и экситонная составляющие поляритон-ных мод определяются действительными коэффициентами Хопфилда [16]. Взаимодействия в данном подходе могут быть приближенно учтены при помощи преобразования Боголюбова [45].

С другой стороны, в рамках приближения среднего поля, если считать поляритонный газ достаточно разреженным и слабовзаимодействующим, система может быть описана при помощи уравнения Гросса-Питаевского (см., например, [57]), которое выводится из первых принципов для описания динамики волновой функции конденсата Ф(г, £). В этом случае предполагается, что макроскопическое число частиц заселяют основное состояние (нижнюю поляритонную ветвь при Лтц = 0), и что бозе-конденсат не истощается за счет взаимодействия либо утечки частиц из микрополости. В случае, если энергия расщепления Раби Шд много больше всех остальных энергетических параметров задачи (т.е. кинетической энергии и энергии взаимодействия, отстройки лазера накачки от дна нижней по-ляритонной ветви и скорости утечки), можно использовать упрощенное описание, рассматривая только волновую функцию нижних поляритонов:

П2 гЩФьр(М) =

2 тЬР

V2 + Е\Р + У( г)

Фьр(М) + <?|Фьр|2Фьр(г,г),

П) где д — константа поляритонного взаимодействия. Учет дополнительных членов, связанных с присутствием накачки частиц в микрополость, а также утечки частиц из полости, описан в работах [63], [69, 70]. Учет влияния поляризации (спиновые эффекты) рассмотрены в работах [71], [72]. Неравновесные эффекты рассмотрены в обзоре [73].

В данной работе предложено альтернативное описание системы, аналогичное описанному в работе [56], в которой вместо уравнения Гросса-Питаевского (11) было рассмотрено матричное уравнение для двухкомпо-нентной волновой функции, содержащей в качестве компонент волновые функции фотонной и экситонной подсистем поляритонного конденсата.

В предложенном формализме рассмотрена аксиальная экситонная ловушка, созданная путем наложения на яму с экситонами внешнего гармонического потенциала. Исследованы различные силы конфайнмента. Показано, что возможен случай, когда пространственное распределение фотонов и экситонов существенно различно: при сильном удерживающем потециале экситонный конденсат удерживается в ловушке, и соответствующий профиль плотности очень узок, в то время как пространственная протяженность фотонного конденсата может быть очень велика.

Мы исследуем вихревые решения для волновых функций компонент поляритонного конденсата. Основной новый результат, следующий из наших уравнений, состоит в том, что длины залечивания вихрей для разных компонент могут существенно различаться. Для предельного случая сильно различных размеров коров вихрей фотонной и экситонной компонент конденсата получены аналитические выражения для плотностей конденсатов в зависимости от расстояния от центра вихря.

Также рассмотрен нестационарный случай: двухкомпонентный конденсат с нерезонансной накачкой и утечкой (система с переменным числом частиц). Мы получаем уравнения эволюции для относительной фазы и плотностей компонент конденсата. Получены поправки к частоте осцил-ляций за счет взаимодействия, накачки и утечки частиц. Важным новым результатом, полученным в работе, является то, что в системе с утечкой колебания долей и относительной фазы экситонной и фотонной составляющей в поляритонном газе оказываются затухающими: система после осцилляций выходит на новый режим, в котором происходит фиксация относительной доли фотонов и экситонов и их относительной фазы.

Основное содержание диссертации

Во Введении кратко описываются физические объекты, рассматриваемые в диссертации, обсуждается современное состояние теоретических и экспериментальных исследований в области экситонов и экситонных поляритонов в оптических микрополостях, обосновывается актуальность работы, охарактеризована ее научная новизна, кратко изложена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе, состоящей из восьми параграфов, рассмотрена задача о движении связанной пары электрон-дырка на поверхности однослойного и двухслойного цилиндров. В первом параграфе обсуждается геометрия задачи, введены необходимые обозначения и сформулированы общие уравнения движения частиц на двухслойном цилиндре, погруженном в среду с диэлектрической проницаемостью. Во втором параграфе рассматривается однослойный цилиндр, показано, что в уравнении Шре-дингера переменные центра инерции и относительного движения разделяются, аналитически решается задача о движении центра масс экситона. Найдены волновые функции и энергии, отвечающие этому движению. В третьем, четвертом и пятом параграфах проводится анализ относительного движения электрона и дырки на поверхности однослойного цилиндра. Показано, что единственным управляющим параметром в системе является радиус нанотрубки (отнесенный к эффективному радиусу экситона). В случае малых радиусов для аналитического решения уравнения Шре-дингера используется адиабатическое приближение. Показано, что задача сводится к уравнению для одномерного движения в потенциальной яме. Определены энергии и волновые функции основного и возбужденных состояний. Для решения задачи о движении частиц на цилиндре большого радиуса была применена теория возмущений. В нулевом приближении задача представляет собой эквивалент задачи о двумерном атоме водорода. Показано, что поправка теории возмущений к энергиям в рассматривавмом пределе пренебрежимо мала. В шестом параграфе описываются численные расчеты энергии основного состояния экситона методом мнимого времени для произвольных значений радиуса нанотрубки в зависимости от ее радиуса. В предельных случаях результаты аналитического и численного расчетов совпадают. В седьмом параграфе исследуется движение электрона и дырки на двухслойном цилиндре. В данном случае задача не имеет аналитического решения, поэтому для нахождения энергии основного состояния был использован метод вариации функционала энергии (вариационный метод Ритца). В восьмом параграфе сформулированы основные результаты этой главы и отмечено, что аналитический результат, полученный в четвертом параграфе, является уточнением полученного ранее в литературе результата.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, рассмотрена задача о бозе-эйнштейновском конденсате экситонных поляритонов в гармонической ловушке плоской оптической микрополостй. В первом параграфе записан функционал энергии связанной слабонеоднородной системы фотонов и экситонов, зависящий от фотонной и экситонной волновых функций, вариация которого приводит к связанной системе уравнений типа Гросса-Питаевского для двухкомпонентного конденсата с резонансными превращениями частиц одного типа в частицы другого типа. Обсуждается два способа создать ловушку для поляритонного конденсата: "фотонная" и "экситонная" ловушки. Во втором параграфе рассмотрена аксиально-симметричная гармоническая экситонная ловушка. Получено интегральное уравнение на волновую функцию экситонного конденсата, которое в пренебрежении взаимодействиями может быть приведено к однородному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Учет взаимодействий на втором шаге производится численно. В третьем параграфе рассмотрен предел относительно слабого экситонного конфай-нмента. Получено аналитическое выражение для профилей компонент в приближении Томаса-Ферми. В четвертом параграфе представлены результаты точного численного расчета волновых функций фотонного и экситонного конденсатов для любых конфайнментов. Результаты, полученные аналитически и численно, совпадают в соответствующем пределе. Показано, что в сильной ловушке фотонная и экситонная компоненты имеют существенно различные пространственные протяженности.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, исследованы стационарные вихревые решения в двухкомпонентном поляритонном конденсате. В первом параграфе рассмотрена временная система связанных уравнений типа Гросса-Питаевского, которая при переходе к переменным плотность частиц — фаза приводит к системе четырех уравнений, являющихся аналогом уравнения непрерывности и уравнения Бернулли для двухкомпонентной жидкости. Второй параграф посвящен анализу пространственных масштабов задачи, необходимому при поиске топологических дефектов типа вихрей. Определены ограничения, накладываемые на химический потенциал системы. Показано, что в задаче возникает два характерных масштаба. В третьем параграфе проводится исследование стационарный вихревых решений исходной системы уравнений, которая допускает на одном из масштабов аналитическое решение. Получены численные решения системы уравнений для профилей компонент во всем пространстве. В четвертом параграфе сформулированы основные результаты исследования вихревых решений и предложена возможность экспериментального обнаружения полученного эффекта.

В четвертой главе, состоящей из четырех параграфов, исследуется временная эволюция плотностей и фаз экситонной и фотонной компонент бозе-конденсата поляритонов. В первом параграфе из системы временных уравнений типа Гросса-Питаевского с учетом нерезонансной накачки и утечки частиц получены общие уравнения временной эволюции для плотностей и фаз фотонной и экситонной компонент конденсата. Во втором параграфе рассмотрена эволюция системы в случае постоянного числа частиц. Получено решение для относительной фазы и плотности двух компонент в квадратурах. В пределе малых отклонений от положения равновесия получены уравнения гармонических колебаний относительной фазы и плотности компонент конденсата. Найдена поправка к частоте колебаний системы за счет экситон-экситонного взаимодействия. В третьем параграфе исследуются эффекты, к которым приводит включение накачки и утечки в эволюционных уравнениях. Разложение в окрестности точек равновесия в этом случае приводит к уравнениям вынужденных (затухающих) колебаний плотности и фазы, для которых определены коэффициенты затухания, частоты колебаний и добротность. Вычислены поправки к собственной частоте системы за счет накачки и утечки частиц. Показано также, что при любых начальных условиях полная плотность поляритонов в системе стремится к некоторому значению, фиксированному накачкой и утечкой, в то время как новое положение равновесия для относительной фазы определяется только скоростью утечки.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Формулировка двухкомионеитного подхода к описанию стационарных и нестационарных процессов в поляритонном бозе-конденсате, позволяющего выявить существенные различия в пространственном распределении компонент конденсата.

2. Результаты исследования поведения двух связанных конденсатов фотонов и экситонов в аксиально-симметричной экситонной ловушке. Аналитическое выражение для профилей конденсатов в случае слабого конфайнмента. Исследование предела сильного конфайн-мента, в котором компоненты имеют существенно различные радиусы локализации.

3. Результаты исследования вихревых решений в двухкомпонентном конденсате. Аналитическое выражение для отношения длин залечивания фотонного и экситонного бозе-конденсатов. Результаты расчетов профилей плотности фотонов и экситонов в поляритонном вихре.

4. Результаты исследования осцилляций относительной фазы двух связанных конденсатов. Аналитическое решение для случая постоянного числа частиц. Определение стационарных точек и частоты колебаний. Исследование затухающих колебаний относительной фазы в случае нерезонансной накачки и утечки частиц из полости. Выражения для коэффициента затухания, частоты колебаний, добротности колебаний плотности и относительной фазы. Поправки к частоте осцилляций за счет экситонного взаимодействия, накачки и утечки.

5. Результаты расчетов характеристик основного состояния экситона в однослойной и двухслойной нанотрубках в зависимости от радиуса стенок. Зависимость энергии возбужденных состояний экситона в однослойной нанотрубке от ее радиуса.

Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, из них: 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК, и 5 статей — в трудах российских и международных конференций. Результаты работы представлены также в тезисах докладов российских и международных конференций.

Публикации

В реферируемых журналах:

1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Возе-конденсация экситонных по-ляритонов в оптической микрополости, Физика твёрдого тела 50(8), 1496-1500 (2008).

2. М. Willander, Yu. Е. Lozovik, A. Wadeasa, О. Nur, A. G. Semenov, and N. S. Voronova, Light emission from different ZnO junctions and nanostructures, Phys. stat. sol. A 206, 853-859 (2009).

3. H. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. E. Лозовик, Бозе-конденсат экситонных поляритонов в ловушке, Письма в ЖЭТФ 93(10), 643646 (2011).

4. A. Deinega, N. Voronova, Yu. Lozovik, Coulomb problem on single- and double-wall cylinders, J. Phys.: Condens. Matter 24, 255301 (2012).

5. N. S. Voronova, A. A. Elistratov and Yu. E. Lozovik, Coupled condensates of excitons and photons in the trap, J. Nanophoton.-6(2), (2012).

6. N. S. Voronova and Yu. E. Lozovik, Excitons in cores of exciton-polariton vortices, Phys. Rev. В — принято к печати.

Труды и тезисы конференций:

1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Труды научной сессии МИФИ — 2006, том 5, стр. 191-192 (2006).

2. H. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Труды VII-й Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, с. 11-13 (2006).

3. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Материалы Международной научно-технической школы-конференции "Молодые ученые - 2006", МИРЭА, Часть 2, стр. 27-30 (2006).

4. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсацйя поляритонов в оптической микрополости, Сборник трудов VIII-й научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, Москва (2007).

5. H. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсация поляритонов в оптической микрополости, Труды 50-й научной конференция МФТИ - Всероссийской молодёжной научной конференции "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (2007).

6. Н. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсиро-ванное состояние экситонных поляритонов в ловушке оптической микрополости, Материалы VII Международной научно-технической конференции МИРЭА INTERMATIC-2010, ч.1, стр. 7-12 (2010).

7. N. S. Voronova, A. A. Elistratov, and Yu. Е. Lozovik, Phase oscillations in exciton and photon subsystems ofpolariton condensate, ESF Polatom Network Conference "Cold Atoms, Excitons, Polaritons, Bose-Einstein condensates" Abstract Book, p. 39 (2012).

Заключение

1. Я. И. Френкель, Phys. Rev. 37, 1276 (1931).

2. G. Н. Wannier, Phys. Rev. 52, 191 (1937).

3. N. F. Mott, Trans. Farad. Soc., 34, 500 (1938).

4. V. M. Agranovich, Excitations in organic solids, University press, Oxford (2009).

5. R. S. Nox, Theory of excitons, New York: Academic (1963).

6. E. Ф. Гросс, УФН 76, 433 (1962).

7. D. G. Thomas, J. J. Hopfield, Phys. Rev. Letts 5, 505 (1960).

8. S. A. Moskalenko and D. W. Snoke, Bose-Einstein Condensation of Excitons and Biexcitons and Coherent Nonlinear Optics with Excitons, Cambridge Univ. Press (2000).

9. E. Hanamura and H. Haug, Phys. Letters 33C, 209.(1977).

10. С. Т. Беляев, ЖЭТФ 34, 417 (1958).

11. R. Leavitt and J. Little, Physical Review В 42, 11774 (1990).

12. С. Priester, G. Allan, and M. Lannoo, Phys. Rev. В 30, 7302 (1984).

13. Ю. E. Лозовик, В. И. Юдсон, Письма в ЖЭТФ 22, 274(1976).

14. Ю. Е. Лозовик, О. Л. Берман, ЖЭТФ 84, 1027 (1997).

15. И. В. Лернер, Ю. Е. Лозовик, ЖЭТФ 53, 763 (1981).

16. J. J. Hopfield, Phys. Rev. 112(5), 1555 (1958).

17. R. Michalzik, VCSELs: Fundamentals, Technology and Applications of Vertical-Cavity Surface-Emitting Lasers, Springer Series in Optical Sciences Vol. 166 (2012).

18. P. R. Berman, Cavity Quantum Electrodynamics, Academic, Boston (1994).

19. Y. Yamamoto, Coherence, Amplification, and Quantum Effects in Semiconductor Lasers, Wiley, New York (1991).

20. A. V. Kavokin, J. J. Baumberg, Microcavities, Cambridge Univ. Press (2002).

21. C. Weisbuch, M. Nishioka, A. Ishikawa, and Y. Arakawa, Phys. Rev. Lett. 69, 3314 (1992).

22. R. Houdre, C. Weisbuch, R. P. Stanley et al., Phys. Rev. Lett. 73, 2043 (1994).

23. V. Savona, Z. Hradil, A. Quattropani, P. Schwendimann, Phys. Rev. В 49, 8774 (1994).

24. A. Kavokin and G. Malpuech, Cavity Polaritons, Elsevier, Amsterdam (2003).

25. Л. В. Келдыш, A. H. Козлов, ЖЭТФ 54, 978 (1968).

26. Yu. E. Lozovik and I. V. Ovchinnikov, Phys. Rev. В 66, 075124 (2002).

27. V. В. Timofeev, V. D. Kulakovskii, and I. V. Kukushkin, Physica B+C 117/118, 327 (1983).

28. L. V. Butov, A. Zrenner, G. Abstreiter et al., Phys. Rev. Lett. 73, 304 (1991).

29. L. V. Butov et al., Surf. Sci. 361/362, 243 (1996).

30. V. B. Timofeev et al., Europhys. Lett. 41, 535 (1998).

31. В. Б. Тимофеев, А. В. Горбунов, Письма в ЖЭТФ 83(4), 178 (2006).

32. L. V. Butov, J. Phys: Condensed Matter 19(29), 295202 (2007).

33. В. В. Тимофеев, А. В. Горбунов, Д. А. Демин, Физика низких температур 37, 229 (2011).

34. A. Imamoglu, R. J. Ram, Phys. Lett. A 214, 193 (1996).

35. A. Imamoglu, R. Ram, S. Pau, and Y. Yamamoto, Phys. Rev. A 53, 4250 (1996).

36. S. Stringari, Sum rules and Bose-Einstein condensation (Chapter 5 in "Bose-Einstein Condensation"), Cambridge University Press (1995).

37. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C: Solid State Phys. 6, 1181 (1973).

38. J. M. Kosterlitz, J. Phys. C: Solid State Phys, 7, 1046 (1974).

39. Yu. E. Lozovik, A. G. Semenov and M. Willander, JETP Lett. 84(3), 176 (2006).

40. Ю. E. Лозовик, А. Г. Семенов, Письма в ЖЭТФ 86(1), 30-34 (2007).

41. Р. В. Littlewood, P. R. Eastham, J. J. Keeling et al., J. Phys.: Condens. Matter 16, S3597 (2004).

42. R. Balili, V. Hartwell, D. Snoke et al., Science 316, 1007 (2007).

43. J. J. Baumberg, P. G. Savvidis, R. M. Stevenson et al., Phys. Rev. В 62, R16247 (2000).

44. С. Ciuti, P. Schwendimann, B. Deveaud, and A. Quattropani, Phys. Rev. В 62, R4825 (2000).

45. С. Cuiti, P. Schwendimann and A. Quattropani, Semicond.Sci.Technol. 18 (2003).

46. Le Si Dang, D. Heger, R. Andre et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3920 (1998).

47. H. Deng, G. Weihs, C. Santori et al., Science 298, 199 (2002).

48. M. Richard, J. Kasprzak, R. Andre et al., Phys. Rev. В 72, 201301(R) (2005).

49. J. Kasprzak, M. Richard, S. Kundemann et al., Nature (London) 443, 409 (2006).

50. S. Christopoulos, G. В. H. von Hoegerstal, A. J. D. Grundy et al., Phys. Rev. Lett. 98, 126405 (2007).

51. H. Deng, G. S. Solomon, R. Hey et al., Phys. Rev. Lett. 99, 126403 (2007).

52. J. Keeling, F. M. Machetti, M. H. Szymanska and P. B. Littlewood, Semicond. Sci. Technol. 22, R1 (2007).

53. V. Savona and D. Sarchi, Phys. Stat. Sol.(b) 242 (11), 2290 (2005).

54. Ю. Б. Лозовик, УФН 179 (3), 309 (2009).

55. M. Willander, О. Nur, Yu. E. Lozovik et al., Microelectronic Journal 36, 940 (2005).

56. I. Carusotto and C. Ciuti, Phys. Rev. Lett. 93, 166401 (2004).

57. L. P. Pitaevskii, S. Stringari, Bose-Einstein Condensation, Oxford University Press, Oxford (2003).

58. A. Amo, J. Lefrère, S. Pigeon et al., Nature Phys. 5, 805 (2009).

59. К. Lagoudakis, M. Wouters, M. Richard et al., Nat. Phys. 4, 706 (2008).

60. D. Sanvitto, S. Pigeon, A. Amo et al., Nature Phot. 5, 610 (2011).

61. A. Amo, S. Pigeon, D. Sanvitto et al., Science 332, 1167 (2011).

62. G. Grosso, G. Nardin, F. Morier-Genoud, Y. Leger, and B. Deveaud-Plédran, Phys. Rev. Lett. 107, 245301 (2011).

63. F. M. Marchetti, M. H. Szymanska, C. Tejedor, and D. M. Whittaker, Phys. Rev. Lett. 105, 063902 (2010).

64. Y. G. Rubo, Phys. Rev. Lett. 99, 106401 (2007).

65. A. M. Kamchatnov and L. P. Pitaevskii, Phys. Rev. Lett. 100, 160402 (2008).

66. G. A. El, A. Gammal, and A. M. Kamchatnov, Phys. Rev. Lett. 97, 180405 (2006).

67. D. D. Solnyshkov, H. Flayac, and G. Malpuech, Phys. Rev. В 84,125314 (2011).

68. H. Flayac, D. D. Solnyshkov, and G. Malpuech, Phys. Rev. В 83,193305 (2011).

69. J. Keeling and N. Berloff, Phys. Rev. Lett. 100, 250401 (2008).

70. M. O. Borgh, J. Keeling, and N. G. Berloff, Phys. Rev. В 81, 235302 (2010).

71. I. A. Shelykh, Yuri G. Rubo, G. Malpuech et al., Phys. Rev. Lett. 97, 066402 (2006).п

72. Цитируемая литература у' (

73. К. V. Kavokin, I. A. Shelykh, А. V. Kavokin et al, Phys. Rev. Lett. 92, 017401 (2004).

74. В. Д. Кулаковский, Д. H. Крижановский, М. Н. Махонин et al., УФН 175, 334 (2005).

75. Yu. Е. Lozovik and S. Yu. Volkov, Phys. Rev. A 70, 023410 (2004).

76. И. С. Градштейн, И. M. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, 4 изд., М.: Наука (1963).

77. Т. G. Pedersen, Phys. Rev. В 67, 073401 (2003).

78. М. К. Rostov, М. W. Cole, and G. D. Mahan, С. Carraro, M. L. Glasser, Phys. Rev. В 67, 075403 (2003).

79. Ж. С. Геворкян, Ю. Е. Лозовик, ФТТ 29(4), 1094 (1987).

80. О. L. Berman, Yu. Е. Lozovik, and D. W. Snoke, Phys.Stat.Sol.(c)3(10), 3373 (2006).

81. C. J. Pethick, H. Smith, Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases, Cambridge University Press (2002).

82. В. С. Владимиров, Уравнения математической физики, изд.4-е, - М.: Наука (1981).

83. М. О. Borgh, J. Keeling, and N. G. Berloff, Phys. Rev. В 81, 235302 (2010).

84. Г. M. Заславский, P. 3. Сагдеев, Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности хаоса, — М.: Наука (1988).