Плазменные волны в двумерных электронных системах с периодическим потенциалом в условиях воздействия постоянного и высокочастотного электрических полей

Кубракова, Екатерина Сергеевна

Плазменные волны в двумерных электронных системах с периодическим потенциалом в условиях воздействия постоянного и высокочастотного электрических полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Кубракова, Екатерина Сергеевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Волгоград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Плазменные волны в двумерных электронных системах с периодическим потенциалом в условиях воздействия постоянного и высокочастотного электрических полей»

Автореферат диссертации на тему "Плазменные волны в двумерных электронных системах с периодическим потенциалом в условиях воздействия постоянного и высокочастотного электрических полей"

На правах рукописи

КУБРАКОВА Екатерина Сергеевна

ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОСТОЯННОГО И ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Специальность: 01.04.07 — Физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ш"0Л 2013

005531528

Волгоград - 2013

005531528

Работа выполнена на кафедре общей физики ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный социально - педагогический университет»

Научный руководитель Крючков Сергей Викторович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный социально -педагогический университет», заведующий кафедрой общей физики

Лебедев Николай Геннадьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»,

профессор кафедры теоретической физики и волновых процессов;

Бормонтов Евгений Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»,

заведующий кафедрой физики полупроводников и микроэлектроники

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Волгоградский

государственный технический университет»

Защита состоится 17 сентября 2013 года в 14.00 часов в конференц-зале на заседании диссертационного совета Д212.037.06 ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет» по адресу: 394026, г. Воронеж, Московский просп., 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет». Автореферат разослан «8» июля 2013 г.

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета

Горлов Митрофан Иванович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последнее время внимание многих исследователей обращено к коллективным явлениям в низкоразмерных системах, и в частности, к процессам распространения в них плазменных волн. Интерес к изучению плазменных возбуждений в низкоразмерных электронных системах объясняется возможными приложениями в электронных приборах, работающих в терагерцовом диапазоне [1]. Плазмоны находят применение при создании миниатюрных, перестраиваемых спектрометров и детекторов миллиметрового излучения [2]. Существует целый ряд классических и квантовых экспериментов, в которых наблюдается интерференция плазменных волн [3].

Скорость двумерных (Ю) плазменных возбуждений примерно на два порядка превышает максимально достижимую дрейфовую скорость электронов [4], что позволяет использовать их в качестве переносчиков электрических сигналов, что, в свою очередь, повысит быстродействие электронных устройств.

Квантовая теория плазменных волн в одномерных сверхрешетках (СР) была построена в конце прошлого века [5 - 7]. Одними из современных низкоразмерных систем, в которых возможно распространение плазменных возбуждений, являются сверхрешетки на квантовых точках (СР на КТ) различных размерностей [8, 9]. СР (в том числе и на основе 20 электронного газа) уже не только исследуются экспериментально - на их базе создан ряд электронных приборов с уникальными свойствами (лазеры, транзисторы и т.д.). Интерес к 20 структурам в первую очередь связан с практической необходимостью регулирования их частотных характеристик путем изменения параметров системы. Это обстоятельство является важным при создании различных полупроводниковых элементов электронных приборов, энергетические характеристики которых можно перестраивать, управляя тем самым их оптическими и электронными свойствами. Дополнительный периодический потенциал, созданный в 20 электронном газе, меняет свойства плазменных колебаний [10], что может приводить к проявлению необычных эффектов и должно учитываться при изготовлении оптоэлектронных приборов.

Развитие теории новых эффектов, которые, с одной стороны, могли бы лечь в основу работы приборов, основанных на СР, с другой стороны -позволили бы дать ценную информацию о параметрах полупроводниковых материалов, стимулирует теоретическое исследование воздействия различных внешних полей на плазменные возбуждения в полупроводниковых электронных системах с ТО газом со сверхструктурой (СС).

Тематика работы соответствует перечню ведущих направлений ФГБОУ ВПО «ВГСПУ». Исследование проводилось в рамках деятельности «Физической лаборатории низкоразмерных систем» при кафедре общей физики ВГСПУ (научное направление РК № 01201068025 «Физика наноструктур»). Исследования, вошедшие в диссертацию, поддержаны

грантами РФФИ, Государственным научным грантом Волгоградской области и проводились в рамках программы Минобрнауки «Развитие научного потенциала высшей школы».

Цель работы: установить, провести анализ и выявить особенности закона дисперсии плазменных волн в двумерных полупроводниковых электронных системах с периодическим потенциалом в условиях воздействия высокочастотного и широкого диапазона напряженностей постоянного электрических полей.

Для достижения цели исследования поставлены и решены следующие задачи:

1) найти закон дисперсии плазменных волн в двумерных полупроводниковых сверхструктурах в присутствии высокочастотного электрического поля;

2) провести анализ закона дисперсии плазменных волн в двумерной сверхрешетке в широком диапазоне температур и напряженностей постоянного квантующего электрического поля, направленного вдоль оси сверхрешетки;

3) найти закон дисперсии связанных плазменных волн в двумерных электронных системах с различными законами дисперсии носителей заряда в условиях воздействия высокочастотного электрического поля;

4) получить и провести анализ закона дисперсии связанных плазменных волн в двумерных электронных системах с периодическим потенциалом в условиях штарковского квантования в широком диапазоне напряженностей электрического поля.

Научная новизна. В диссертации впервые:

1) на основе квантовой теории плазменных волн получено уравнение для нахождения закона дисперсии плазменных волн электронного газа в двумерной полупроводниковой сверхрешетке в условиях воздействия переменного электрического поля, в пределе высоких частот закон дисперсии получен в явном виде;

2) для широкого диапазона температур и напряженностей постоянного электрического поля, направленного вдоль оси сверхрешетки, установлено и исследовано выражение для нахождения закона дисперсии двумерного электронного газа в системе с периодическим потенциалом;

3) в приближении случайных фаз с учетом процессов переброса установлено уравнение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в присутствии электрического поля в электронной системе, состоящей из двух двумерных электронных газов, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых представляет собой систему с периодическим потенциалом;

4) получено уравнение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в электронной системе, состоящей из двух 2Э электронных газов в системе с периодическим потенциалом, расположенных в параллельных плоскостях в присутствии квантующего электрического поля;

5) в случае высоких температур (Д«Т, где Д - полуширина минизоны проводимости) и в широком диапазоне напряженностей постоянного электрического поля изучено выражение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в двух 2Э электронных газах со СР.

Научная и практическая ценность. Установленные в работе законы дисперсии плазменных волн в двумерных сверхрешетках позволяют пополнить сведения о характерных свойствах и параметрах низкоразмерных материалов наноэлектроники, что может быть использовано в дальнейших теоретических и экспериментальных исследованиях.

Изучение коллективных возбуждений в 20 полупроводниковых системах в условиях воздействия различных внешних полей дает информацию о частотных характеристиках системы, которую необходимо учитывать при создании новых приборов.

В качестве объектов исследования выбраны

1) двумерные полупроводниковые электронные системы с различными спектрами носителей заряда в условиях воздействия постоянного и высокочастотного электрических полей, представляющие практический интерес для микроэлектроники и оптоэлектроники (транзисторы, генераторы и детекторы излучения и т.д.);

2) плазменные волны, имеющие приложения в квантовой оптике, используемые для передачи информации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором адекватных физических моделей, а также использованием в работе современных, хорошо апробированных методов компьютерного моделирования и теоретической физики: метода вторичного квантования, приближения случайных фаз, аппарата специальных функций (цилиндрических, эллиптических и т. д.); непротиворечивостью выводов исследования основным физическим закономерностям, а также совпадением полученных результатов с ранее известными в предельных (частных) случаях.

На защиту выносятся следующие положения

1) Уравнение для нахождения закона дисперсии плазменных волн в двумерном электронном газе со сверхструктурой в присутствии переменного электрического поля. Закон дисперсии плазменных колебаний в пределе высоких частот.

2) Анализ уравнения для нахождения закона дисперсии плазменных волн, распространяющихся в 2Т> электронном газе со сверхструктурой для широкого диапазона температур и напряженностей постоянного электрического поля. Обнаружение основной и резонансной моды плазменных волн в невырожденном 2Б электронном газе СР, аналитическое выражение для частоты резонансных мод в случае высоких температур в широком диапазоне напряженности электрического поля.

3) Уравнение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в присутствии квантующего электрического поля в электронной

системе, состоящей из двух 2D электронных газов в системе с периодическим потенциалом, расположенных в параллельных плоскостях. Закон дисперсии плазменных волн в предельном случае высоких температур и одинаковых параметров 2D структур.

4) Выражение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в электронной системе, состоящей из двух 2D электронных газов, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых представляет собой систему с периодическим потенциалом, в присутствии электромагнитной волны. Закон дисперсии плазменных волн для случая, когда частота электромагнитной волны велика по сравнению с частотой связанных гшазмонов.

5) В случае высоких температур в широком диапазоне напряженности электрического поля, на основании полученного выражения для нахождения закона дисперсии связанных волн в двух 2D электронных газах со CP выявлено расщепление собственных и резонансных частот плазменных волн на две моды, обусловленное самосогласованным взаимодействием двух 2D электронных газов со СР. Установлены условия проявления осцилляционной зависимости co(q,Е), области одночастичных и коллективных возбуждений в двух 2D электронных газах в системе с периодическим потенциалом.

Апробация результатов. Основные результаты работы регулярно обсуждались на семинарах физической лаборатории низкоразмерных систем на кафедре общей физики Волгоградского государственного социально -педагогического университета, и докладывались на следующих конференциях:

научные конференции профессорско-преподавательского состава ВГСПУ 2009 и 2011 г. и научные конференции студентов ВГСПУ 2008 и 2009 г.;

XIV Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области / направление «Физика и математика» / Волгоград, 2009,2011;

XI Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн» («Волны 2009») / Фотонные кристаллы и метаматериалы / Москва, 2009;

IX международный симпозиум по фотонному эху и когерентной спектроскопии/ «Актуальные проблемы квантовой оптики. Когерентная спектроскопия и актуальные проблемы спектроскопии» /Казань, 2009;

Юбилейная X всероссийская молодёжная школа-семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества / направление «Проводимость и транспортные явления» / Екатеринбург, 2009;

XVI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых/ направление Физика полупроводников и диэлектриков (включая наносистемы) / Волгоград, 2010;

XII Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны 2010») / Плазмоника / Москва, 2010;

XII международная конференция «Опто-, нано-электроника, нанотехнологии и микросистемы» / Нанооптика / Ульяновск, 2010;

VIII Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» / Воронеж, 2011;

XIII Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн» («Волны 2011 ») / Волновые процессы в неоднородных средах / Москва, 2011 ;

XXI Международная конференция «Радиационная физика твердого тела» / Радиационная физика неметаллических материалов / Севастополь, 2011;

XIII Всероссийская школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах» («Волны 2012) / Нанофотоника и плазмоника / Москва, 2012.

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе 5 — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: аналитические вычисления в работах [1-14]; численные расчеты, касающиеся взятия интегралов в выражениях для закона дисперсии в [1 - 3, 6 - 9], атакже численное моделирование [4 - 5,12 -15].

Соответствие паспорту специальности. Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 01.04.07 - «Физика конденсированного состояния», а именно - пункту 4 «Теоретическое и экспериментальное исследование воздействия различных видов излучений, высокотемпературной плазмы на природу изменений физических свойств конденсированных веществ».

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы, содержащего 188 наименований. Основная часть работы изложена на 118 страницах и содержит 9 рисунков и графиков.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность, научная новизна, теоретическая и практическая ценность результатов исследования, сформулированы цель и задачи исследования, указаны положения, вносимые на защиту, а также приводится список всероссийских, региональных и международных конференций, на которых были апробированы результаты, представленные в диссертации.

В первой главе сделан краткий литературный обзор по теме диссертации.

Во второй главе на основе квантовой теории плазменных волн в приближении случайных фаз с учетом процессов переброса были проанализированы плазменные волны в двумерном электронном газе системы с периодическим потенциалом в присутствии постоянного квантующего и высокочастотного электрических полей.

В параграфе 2.1 изучены плазменные волны в двумерной полупроводниковой сверхструктуре (СС) в присутствии высокочастотного электрического поля. Энергетический спектр носителей тока в такой структуре в приближении сильной связи

е(р) = Д - Д ^cos(^J) + cos(/>j,üT)J / 2, (1)

где Д - полуширина минизоны проводимости; d - период СС; рх, ру -компоненты квазиимпульса электрона в плоскости СС.

У-оушааи 7

Данная задача рассмотрена в приближении заданного гармонического поля, которое описывается зависящим от времени векторным потенциалом А(г) = {-сЕ0 со5(С1?) / 0,0}, где С2 - частота переменного электрического поля. Такое приближение возможно для частот, значительно больших частот собственных плазменных колебаний СС.

В приближении самосогласованного поля гамильтониан взаимодействующих электронов с учетом процессов переброса имеет вид

где д|, операторы рождения и уничтожения электрона с импульсом ^;

N а у *

g = (n2x/d,m2x/d), М(д) = \ (р (>'Му)ехрН? у)4' , (3)

О Г

и(д,0 - самосогласованный потенциал, определяемый следующим соотношением

(аи^аТр)мы*т-ь}' (4)

X — диэлектрическая проницаемость кристаллической решетки, угловые скобки означают усреднение по матрице плотности, соответствующей гамильтониану (2).

Уравнение движения в приближении случайных фаз для средних <а}*?+§а имеет вид

- + i)e(p + q + - А(0) - £(р + -Ж0) Л < >=

-ииСч + lt)M(\q + g]J А/([$ + (5)

где — < а ¡¡ар > - числа заполнения электронных уровней в 2D электронном газе.

Получено уравнение, определяющее дисперсионную зависимость eo(q)

—= (6) X

где

Чд) + ^ (?)

}02я

. . ,cos((2*-l)Q , ,J . ,

J„(x) - функция Бесселя 1-го рода

2к-\

вещественного аргумента, £4p) = A~y[^(^)cos(/'jtfl') + cos07,y£0]> T = eEd/Q .

Множитель определяется потенциалом межэлектронного

взаимодействия и требует знания конкретного вида потенциальных ям, образующих СС. Рассмотрен случай, когда <р(х) = const при 0 < х < d, и <р(х) = 0 при х < 0, х > d. В этом случае выражение (7) имеет вид

г 4 у [l-cos(q,rf)][l-cos(g,,rf)] __^

й ~ dAh (qr + g,)2(<?,, + g„ )J ^ + g,)2 + (<?,, + )2 Вычисление поляризационного оператора значительно упрощается в случае высоких температур (Д « 2Т). При высокой частоте электрического поля (П»Д,й»0— собственная плазменная частота СС) в сумме (8)

ограничились членом с п = 0.

Был рассмотрен частный случай qy- 0, qx - q, для которого можно

определить явную зависимость co{q), в результате закон дисперсии плазменных колебаний был получен в виде:

«-АЛООв (10)

2 л/7(9)2-1

где f(q) = 1 + о_ 2

%Т J0(r) ?<

%Т J0(y)

2ке Na S(q)

При —^--выражение (10) преобразуется к виду:

2тте ¿"(д)

о»)

Из (11) следует, что частота плазмонов в высокочастотном поле зависит от амплитуды поля характерным образом со : . Аналогичный

результат получен в [11, 12] для полупроводника с одномерной сверхрешеткой.

В параграфе 2.2 изучен эффект, рассмотренный в параграфе 2.1, под влиянием постоянного электрического поля, удовлетворяющего условию От » 1 (где т — время свободного пробега электрона, П = еГМ - штарковская частота, Е - напряженность электрического поля), которое будем описывать

зависящим от времени векторным потенциалом А(0 = {~сЕ(, 0} (напряженность постоянного электрического поля направлена вдоль оси ОХ).

Для невырожденного электронного газа в случае высоких температур А«Т (Т - температура в энергетических единицах) получено уравнение, позволяющее определить дисперсионную зависимость со (q) :

F{q,co) = 0; (12)

где F{q,œ)='^-Y\{q,eo) S{q)-\, X

p ! e(p>: + qy) - e{py) - со + ICI

Численный анализ формулы (12) был проведен при следующих параметрах 2D CP, которые взяты из [8]: поверхностная плотность электронного газаЫо=109 м"2, î/=10"8m и А = 1,6-10"21 Дж.

Исследование функции F(q,co) показало возможность существования нескольких ветвей плазменных колебаний двумерного газа - основной и резонансных, каждая из которых может состоять из двух мод.

При увеличении проекции волнового вектора qv происходит увеличение областей одночастичных возбуждений, ширина которых составляет 2Asin(g,,i//2). Их положение определяется неравенством

/£2 -Asm(qvd/2) <со < /П + Asm{qrd/2). (13)

Спектр одночастичных возбуждений определяется законом сохранения энергии для процессов поглощения (излучения) плазмона электроном

œ = s(py + qy)-£{py)±in. (14)

3.0 2.; 2.0 1.5 1.0 0.51

На рисунке 1 представлена зависимость частоты плазменных колебаний от проекции волнового вектора со (у*). График построен при значениях концентрапии носителей Аг0=1011см"2; периода сверхрешетки ¿/=10~5см; О/л=0,2; температуры Т,*360К; а) ^=0,05, Ъ) дус1=0,1, с) 0,15.

0.5 10 1-5 2.0 2.5 (¡^

Рис. 1.

Рис. 2

В третьей главе исследованы связанные плазменные колебания и волны в двумерных электронных системах со сверхструктурой в присутствии высокочастотного и постоянного электрических полей.

В параграфе 3.1 было рассмотрено влияние гармонического электрического поля на продольные плазменные колебания в электронной системе из 20 электронных газов, один из которых представляет собой систему с периодическим потенциалом. Геометрия задачи представлена на рисунке 2. Переменное электрическое поле описывается зависящим от времени векторным потенциалом AJ(t) = {cEJcos(Qt)/Q,0}, которое приложено в плоскости г = г, (у = а,Ь) ■

Было установлено уравнение для нахождения закона дисперсии связанных плазмонов в описываемой системе

£г(<7) (1-*.)(!-*»).

шш XaXb

= 1, 05)

где = 1 - 07) П, /<?, £ = ■^ , па = X 2. .У/Г -Г' "о .

шО. у„^еа(р + д)-£а(р) + пС1-ео

п„ = ± . (16)

/а(д) = (£гсИд1. + £гяИдЬ) / и(д) ,/Дд) = (е2скдЬ + е^ИдЬ)! и(д), И(д) = е2/и(д), ы(д) = £2(£] + £3)сИдЬ + (е22+£,£3)$ИдЬ. (17)

Рассмотрев некоторые приближения, был получен закон дисперсии плазменных волн в явном виде. В случае, когда частота электромагнитной волны £2 велика по сравнению с собственными частотами рассматриваемой системы в суммах (16) можно ограничиться членом с п = 0. Вычисление поляризационного оператора значительно упрощается в случае высоких температур (Д « 2Т). При £, = ег = ег = е формулы (17) примут вид /.(<?) = 1/2*Г.

В самом простом случае оо выражение для нахождения закона дисперсии преобразуется в уравнения для несвязанных плазменных, решения которых известны [13]. Для случая дс1«1 и соь1дУг»\ дисперсионные зависимости имеют вид

где

(18)

4 \ £аа реаь

dj=T /4ne2Nj , VT - \JT / m , Nj - поверхностная плотность 2D

электронных газов.

Теперь рассмотрим случай произвольных L. Для gd «1 и соь lgVT »1 дисперсионная зависимость связанных плазменных колебаний имеет вид

<o?,+aj±-J(a¿+ со;)' +■ 4 со* со; (exp[-2</¿] -1)

При дЬ «1 получено

®Г = < + щ

В параграфе 3.2 изучен эффект, рассмотренный в параграфе 3.1, при условии, что в обеих параллельных бесконечных плоскостях находятся 20 электронные газы со СС, на которые действует сильное постоянное электрическое поле, удовлетворяющее условию 0/г»1 (где т - время свободного пробега электрона, О,- = - штарковская

а>1 =2

(20)

Рис.3

частота, Е - напряженность электрического поля), описывается зависящим от времени векторным потенциалом А) (I) = {—сЕ) 0} , (/ = а,Ь).

В случае сильного квантующего поля появляется возможность аналитически выразить дисперсионное уравнение, описывающее связанные плазменные колебания. Поляризационный оператор (19) вычислен в случае высоких температур (Д « 2Т). Получен закон дисперсии связанных плазменных колебаний

(21)

где ^ = [А + В ± ^(А + В)2 +4(С - АВ) ]/[2(С - АВ)], А =

В случае, когда д/1« 1, закон дисперсии имеет вид

«Чй = а{ ^Т-А?—С__• (22)

{ 2 ) А + В + ^А-ВУ+АС Из анализа формул (21, 22) следует, что частота связанных плазмонов в сильном электрическом поле зависит от величины напряженности поля и волнового числа осциллирующим образом.

В параграфе 3.3 был численно изучен эффект, рассмотренный в параграфе 3.2, Исследовав функцию можно сделать вывод о

возможности существования нескольких ветвей связанных плазменных колебаний двух двумерных газов - основной и резонансных, каждая из которых вследствие самосогласованного взаимодействия двух газов может распадаться на две моды.

В результате численного анализа закона дисперсии связанных плазмонов в системе двух двумерных сверхрешеток в присутствии постоянного электрического поля, удовлетворяющего условию > со , были построены графики зависимости ю(<^) для основной ветви первых и вторых

мод. Появление дополнительных мод и их слияние с основными зависит от волнового вектора и обуславливается условием взаимодействия электронных газов. Меняя параметры CP (концентрацию свободных носителей в электронном газе и период решетки), диэлектрические проницаемости окружающей среды, есть возможность регулировать частотные характеристики системы.

На рисунке 3 представлен закон дисперсии плазменных колебаний (!)(</,). График построен при значениях концентрации носителей Л'о~10псм"2; периода сверхрешетки d- 10"5см; температуры Т. «360К; Q/A=0.2; IJd=\ и при значениях проекций волнового вектора a) qrd= 0,05; b) qvd = 0.1.

Основные результаты и выводы

1) Получено уравнение для нахождения закона дисперсии плазменных волн электронного газа в двумерной полупроводниковой сверхрешетке в условиях воздействия переменного электрического поля. В пределе высокочастотного поля закон дисперсии плазменных волн установлен в явном виде.

2) Для широкого диапазона температур и напряженности постоянного электрического поля, направленного вдоль оси сверхрешетки, получено уравнение для нахождения закона дисперсии двумерного электронного газа в системе с периодическим потенциалом. Численно исследованы плазменные волны в условиях штарковского квантования при широком диапазоне напряженности поля.

3) Установлен закон дисперсии связанных плазменных волн в электронной системе, состоящей из двух двумерных электронных газов, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых представляет собой систему с периодическим потенциалом в присутствии переменного электрического поля. Задача решена в приближении случайных фаз с учетом процессов переброса.

4) Закон дисперсии связанных плазменных волн в электронной системе, состоящей из двух 2D электронных газов в системе с периодическим потенциалом, расположенных в параллельных плоскостях в присутствии квантующего электрического поля, установлен в случае высоких температур и одинаковых параметров исследуемых систем.

5) В пределе высоких температур (д«Т) (где Д - полуширина минизоны проводимости) и в широком диапазоне напряженности постоянного электрического поля установлено выражение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в двух 2D электронных газах со СР. Численно исследованы: условия проявления осцилляционной зависимости частоты связанных плазменных колебания от напряженности квантующего поля, области одночастичных и коллективных возбуждений в двух 2D электронных газах в системе с периодическим потенциалом.

Список цитируемой литературы

1. Shur, M.S. Introduction to electronic devices / M. S. Shur. -New York: Wiley. - 1995.-577 p.

2. Kukushkin I.V. Miniature quantum-well microwave spectrometer operating at liquid-nitrogen temperatures / I.V. Kukushkin, S.A. Mikhailov, J.H. Smet, and K. von Klitzing // Applied Physics Letters. - 2005. - V. 86.044101.

3. Kukushkin, I.V. New type of B-periodic magneto-oscillations in a two-dimensional electron system induced by microwave irradiation / I.V. Kukushkin, M.Yu. Akimov, J.H. Smet, S.A. Mikhailov, K. von Klitzing, I.L. Aleiner and V.I. Falko // Physical Review Letters. - 2004. - V. 92. - 236803.

4. Миллиметровое/субмиллиметровое смешивание на основе нелинейного плазмонного отклика двумерных электронных систем / В.М. Муравьев, И.В. Кукушкин, Ю. Смет, К. фон Клитцинг // Письма в Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 2009. — Т. 90. — Вып. 3. - С. 216-221.

5. Дмитриев, И.А. Затухание блоховских осцилляций в сверхрешетках из квантовых точек. Общий формализм / И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис // Физика и техника полупроводников. - 2002. - Т. 36. - В. 12. - С.1449 - 1459.

6. Романов, Ю.А. Плазменные волны в полупроводниках со сверхрешеткой / Ю.А. Романов, В.Ф. Дряхлушин, J1.K. Орлов // Известия вузов. Радиофизика. - 1976. - Т.19. - № 8. - С.1231 - 1238; № 9. - С.1395 -1398

7. Дмитриев, И.А. Затухание блоховских осцилляций в сверхрешетках из квантовых точек различной размерности / И.А. Дмитриев, Р.А. Сурис // Физика и техника полупроводников. - 2002. - Т. 36. - В. 12. - С.1460 - 1469.

8. Shmelev, G.M. Plasma oscillations in a superlattice / G.M. Shmelev, I.A. Chaikovskii, V.V. Pavlovich, E.M. Epshtein // Physica Status Solidi. - 1977. - V. 82.-P. 391-395.

9. Das Sarma, S. Collective excitations in semiconductor superlattices / S. Das Sarma, J.J. Quinn // Physical Review B. - 1982. V. 25. - Is. 12. - P. 7603 - 7618.

10. Глазов, С.Ю. Плазменные колебания в двумерных полупроводниковых сверхструктурах / С.Ю. Глазов, С.В. Крючков // Физика и техника полупроводников. 2000. - Т. 34. - В. 7. - С. 835 - 837.

11. Эпштейн, Э.М. Нелинейные плазменные колебания в сверхрешетке в присутствии высокочастотного электрического поля / Э.М. Эпштейн // Физика и техника полупроводников. - 1978. - Т. 12. - N 5. - С. 985 - 987.

12. Романов, Ю.А. Плазменные колебания в сверхрешетке, находящейся в сильном высокочастотном электрическом поле / Ю.А. Романов // Физика твердого тела. - 1979. - Т. 21. - N 3. - С. 877 - 882.

13. Эпштейн Э.М. Параметрическое воздействие электромагнитной волны на плазменные колебания в двумерном электронном газе/ Э.М. Эпштейн // ФТТ,- 1991.-T.-33.-N5.-C.1431.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Глазов, С.Ю. Плазменные волны в двумерных полупроводниковых сверхструктурах в присутствии высокочастотного электрического поля / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова // Известия РАН. Серия физическая. - 2009. - Т. 73.-Вып. 12.-С. 1713-1716.

2. Глазов, С.Ю. Воздействие электромагнитной волны на плазменные колебания в двумерных электронных системах со сверхструктурой / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. - 2010. - Т. 152. - Кн. 2. - С. 54 -60.

3. Glazov, S. Yu. Plasma oscillations in two-dimensional electron systems with a superstructure under stark quantization conditions / S. Yu. Glazov, E. S. Kubrakova, and N. E. Meshcheryakova // Physics of Wave Phenomena. - 2010. -Vol. 18.-No. 4-P. 313-317.

4. Глазов, С.Ю. Влияние постоянного квантующего электрического поля на плазменные волны в двумерной сверхрешетке / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - Т. 75. - Вып. 12. - С. 1723-1725.

5. Глазов, С.Ю. Связанные плазменные волны в системе двух двумерных сверхрешеток в присутствии квантующего электрического поля / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова, Н. Е. Мещерякова // Физика и техника полупроводников.-2013.-Т. 47.-Вып. 10.-С. 1323-1326.

Статьи и материалы конференций:

6. Глазов, С. Ю. Плазменные волны в двумерных полупроводниковых сверхструктурах в присутствии высокочастотного поля / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова // Физика и применение микроволн (Волны-2009): труды XII Всерос. школы-семинара. М., 2009. С. 82 - 84.

7. Глазов, С.Ю. Влияние высокочастотного электрического поля на коллективные явления в двумерных полупроводниковых сверхструктурах / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова // Семинар по проблемам физики конденсированного состояния (СПФКС-10): тез. докл. Юбилейной X Всерос. молодёжной школы-семинара. Екатеринбург, 2009. С. 104.

8. Глазов, С. Ю. Воздействие электромагнитной волны на плазменные колебания в системах с двумерными сверхструктурами / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова // XVI Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-16): сб. тез. Всерос. науч. конф. Екатеринбург: Издательство АСФ России, 2010. С. 204 - 205.

9. Глазов, С. Ю. Плазменные колебания в двумерных электронных системах со сверхструктурой в условиях штарковского квантования / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова, U.E. Мещерякова // Волновые явления в неоднородных средах (Волиы-2010): труды XII Всерос. школы-семинара. М., 2010. С. 4-8.

10. Глазов, С. Ю. Плазменные колебания в системах с двумерными сверхструктурами в присутствии высокочастотного электрического поля / C.IO. Глазов, Е.С. Кубракова, Н.Е. Мещерякова // Опто-, наноэлектроника, нанотехнологии и микросистемы: труды Междунар. конф. Ульяновск, 2010. С. 78-79.

11. Глазов, С. Ю. Плазменные колебания в двумерных электронных системах со сверхструктурой в условиях штарковского квантования / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова, Н.Е. Мещерякова // Физика и применение микроволн (Волны-2011): труды XIII Всерос. школы-семинара. М., 2011. С. 4 - 8.

12. Глазов, С. Ю. Численное исследование закона дисперсии связанных плазмонов в системе двух двумерных сверхрешеток в условиях штарковского квантования / С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова // Физико-математическое моделирование систем: материалы VII Междунар. семинара. Воронеж: ВГТУ, 2011. С. 17-25.

13. Глазов, С. Ю. Численное исследование коллективных и одночастичных возбуждений в двумерном электронном газе со сверхструктурой в условиях штарковского квантования / С.Ю. Глазов, C.B. Крючков, Е.С. Кубракова // Радиационная физика твердого тела: труды XXI Междунар. конф. М., 2011. С. 573 - 578.

14. Глазов, С. Ю. Связанные плазменные волны в системе двух двумерных сверхрешеток в присутствии квантующего электрического поля/ С.Ю. Глазов, Е.С. Кубракова, Н.Е. Мещерякова // Физика и применение микроволн (Волны-2012): труды XIII Всерос. школы-семинара. М., 2012. С. 14 - 16.

КУБРАКОВА Екатерина Сергеевна

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 01.07 2013 г. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Усл. печ. л. 1,0.

Тираж 100 экз. Заказ 287/7 . Отпечатано с готового оригинал-макета заказчика в типографии издательства «Перемена» 400066, г. Волгоград, пр. им. В. И. Ленина, 27

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Кубракова, Екатерина Сергеевна, Волгоград

Министерство образования и науки Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВПО «ВГСПУ»)

04201361182

На правах рукописи

Кубракова Екатерина Сергеевна

ПЛАЗМЕННЫЕ ВОЛНЫ В ДВУМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМАХ С

ПЕРИОДИЧЕСКИМ ПОТЕНЦИАЛОМ В УСЛОВИЯХ ВОЗДЕЙСТВИЯ ПОСТОЯННОГО И ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

01.04.07 - физика конденсированного состояния

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор С.В. Крючков

Волгоград - 2013

3.3 Связанные плазменные колебания в двумерных электронных системах со сверхструктурой в присутствии квантующего электрического поля в

широком диапазоне напряженностей...............................................87

Выводы.....................................................................................92

Заключение................................................................................93

Список литературы.......................................................................96

Введение

Актуальность темы.

В последнее время внимание многих исследователей обращено к коллективным явлениям в низкоразмерных системах, и в частности, к процессам распространения в них плазменных волн. Интерес к изучению плазменных возбуждений в низкоразмерных электронных системах объясняется возможными приложениями в электронных приборах, работающих в терагерцовом диапазоне [1]. Плазмоны находят применение при создании миниатюрных, перестраиваемых спектрометров и детекторов миллиметрового излучения [2]. Существует целый ряд классических и квантовых экспериментов, в которых наблюдается интерференция плазменных волн [3].

Скорость двумерных (20) плазменных возбуждений примерно на два порядка превышает максимально достижимую дрейфовую скорость электронов [4], что позволяет использовать их в качестве переносчиков электрических сигналов, что, в свою очередь, повысит быстродействие электронных устройств.

Квантовая теория плазменных волн в одномерных сверхрешетках (СР) была построена в конце прошлого века [5 - 8]. Одними из современных низкоразмерных систем, в которых возможно распространение плазменных возбуждений, являются сверхрешетки на квантовых точках (СР на КТ) различных размерностей [9 - 10]. СР (в том числе и на основе 2Б электронного газа) уже не только исследуются экспериментально - на их базе создан ряд электронных приборов с уникальными свойствами (лазеры, транзисторы и т.д.). Интерес к 2D структурам в первую очередь связан с практической необходимостью регулирования их частотных характеристик путем изменения параметров системы. Это обстоятельство является важным при создании различных полупроводниковых элементов электронных приборов, энергетические характеристики которых можно перестраивать,

Для достижения цели исследования поставлены и решены следующие задачи:

Научная новизна.

В диссертации впервые:

3) в приближении случайных фаз с учетом процессов переброса установлено уравнение для нахождения закона дисперсии связанных

практический интерес для микроэлектроники и оптоэлектроники (транзисторы, генераторы и детекторы излучения и т.д.);

2) плазменные волны, имеющие приложения в квантовой оптике, используемые для передачи информации.

Достоверность полученных результатов обеспечивается выбором адекватных физических моделей, а также использованием в работе современных, хорошо апробированных методов компьютерного моделирования и теоретической физики: метода вторичного квантования, приближения случайных фаз, аппарата специальных функций (цилиндрических, эллиптических и т. д.); непротиворечивостью выводов исследования основным физическим закономерностям, а также обобщением полученных результатов к ранее известным (частным) результатам.

На защиту выносятся следующие положения

2) Анализ уравнения для нахождения закона дисперсии плазменных волн, распространяющихся в Ю электронном газе со сверхструктурой для широкого диапазона температур и напряженностей постоянного электрического поля. Обнаружение основной и резонансной моды плазменных волн в невырожденном 20 электронном газе СР, аналитическое выражение для частоты резонансных мод в случае высоких температур в широком диапазоне напряженности электрического поля.

3) Уравнение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в присутствии квантующего электрического поля в электронной системе, состоящей из двух 2Б электронных газов в системе с

периодическим потенциалом, расположенных в параллельных плоскостях. Закон дисперсии плазменных волн в предельном случае высоких температур и одинаковых параметров 20 структур.

4) Выражение для нахождения закона дисперсии связанных плазменных волн в электронной системе, состоящей из двух 20 электронных газов, расположенных в параллельных плоскостях, один из которых представляет собой систему с периодическим потенциалом, в присутствии электромагнитной волны. Закон дисперсии плазменных волн для случая, когда частота электромагнитной волны велика по сравнению с частотой связанных плазмонов.

5) В случае высоких температур в широком диапазоне напряженности электрического поля, на основании полученного выражения для нахождения закона дисперсии связанных волн в двух 2D электронных газах со СР выявлено расщепление собственных и резонансных частот плазменных волн на две моды, обусловленное самосогласованным взаимодействием двух 20 электронных газов со СР. Установлены условия проявления осцилляционной зависимости а>(д,Е), области одночастичных и коллективных возбуждений в двух 2D электронных газах в системе с периодическим потенциалом.

Апробация результатов:

Основные результаты работы регулярно обсуждались на семинарах физической лаборатории низкоразмерных систем на кафедре общей физики Волгоградского государственного социально - педагогического университета, и докладывались на следующих конференциях:

XIV, XVI Региональная конференция молодых исследователей Волгоградской области / направление «Физика и математика» / Волгоград, 2009, 2011;

XII Международная конференция «Опто-, нано-электроника, нанотехнологии и микросистемы» / Нанооптика / Ульяновск, 2010;

VIII Международный семинар «Физико-математическое моделирование систем» / Воронеж, 2011;

XIII Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн» («Волны 2011») / Волновые процессы в неоднородных средах / Москва, 2011;

Публикации

По теме диссертации опубликовано 14 научных работ, в том числе 5 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично соискателю принадлежат: аналитические вычисления в работах [1-14]; численные расчеты, касающиеся взятия интегралов в выражениях для закона дисперсии в[1 - 3,6 -9],а также численное моделирование [4-5, 12 - 15].

Соответствие паспорту специальности

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 01.04.07 - «Физика конденсированного состояния», а именно - пункту 4 «Теоретическое и экспериментальное исследование воздействия различных видов излучений, высокотемпературной плазмы на природу изменений физических свойств конденсированных веществ».

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы, содержащего 188 наименований. Основная часть работы изложена на 118 страницах и содержит 9 рисунков и графиков.

1. Плазменные волны в низкоразмерных структурах с периодическим потенциалом и влияние на них внешних полей

1.1 Расчет закона дисперсии плазменных волн в твердых телах

Плазма представляет собой множество относительно подвижных заряженных частиц, взаимодействующих друг с другом по закону Кулона. Такую систему представляют как проводящий газ или проводящую жидкость, реагирующие на электрическое или магнитное возмущения. Существует множество систем, проявляющих плазменные свойства: газовый разряд, электроны и дырки в полупроводниках и электроны в металлах. Совокупность заряженных частиц обладает плазменными свойствами, когда заряженные частицы можно считать достаточно свободными. Условие плазмоподобного поведения имеет вид: V / К < 1, здесь V — средняя потенциальная энергия взаимодействия между частицами, К — их кинетическая энергия.

Условие V / К«1 встречается в случае разреженной высокотемпературной плазмы, тепловая энергия заряженных частиц которой велика по сравнению с их средней энергией кулоновского взаимодействия (V » кТ ). К этому типу относится и плазма полупроводников.

Важным случаем невырожденной плазмы твердого тела является плазма полупроводников. В полупроводниках концентрация электронов много выше, чем в газовой плазме (обычно значение п0 < 1018слГ3), и эксперименты, как правило, проводятся при комнатной или более низкой температуре. Более высокие концентрации и более низкие температуры приводят к росту отношения V/K в плазме полупроводников.

В плазме твердого тела существенно понятие экранирования заряда, которое, как экранирование дальнодействующих кулоновских сил, требует существования коллективных перемещений электронов, то есть существования колебаний плазмы в целом. Для рассмотрения таких колебаний необходимо обратиться к рассмотрению экранирования точечного заряда. Появление в точке гк заряда -е вызывает движение окружающих электронов, стремящихся уменьшить электронную плотность в окрестности заряда —е . Существенно, что дальнодействующий характер сил вызывает движение электронов на значительном расстоянии от заряда. Это значит, что слой электронной плазмы в большой окрестности введенного заряда начинает ускоренно двигаться и «по инерции» проскакивает положение равновесия, создавая избыток заряда в другой точке электронной подсистемы. Таким образом, кулоновские силы, вызывая ускоренное движение электронов на больших расстояниях, приводят к возникновению длинноволновых колебаний плотности электронного газа, что называется плазменными колебаниями [12 - 15].

Чтобы говорить об энергии и распространении плазменных колебаний, необходимо определить их частоту сот. Для вычисления частоты плазменных колебаний возможно применить классический метод по рассмотрению плазменных слоев как конденсатора, но получаемым таким образом результат не является в полной мере точным, так как этот прием рассматривает электронный газ как сплошную среду, игнорируя непрерывное движение электронов, поэтому он является предельным для случая больших длин волн [16 - 17]. Для получения более общей картины следует построить уравнение движения для флуктуаций плотности электронного газа. Функция плотности системы частиц имеет вид

(1.1)

где г определяют положение заряженных частиц. Запишем Фурье-образ этой функции, представляющий оператор флуктуаций плотности электронов

ря=\р{г)е-г«Чгг=^е-^ . (1.2)

Гамильтониан системы взаимодействующих электронов записывается выражением

(1.3)

2т 2 ,,

который после применения оператора флуктуации плотности, может быть получен в следующей форме

(1.4)

здесь введено обозначение р0 - средняя плотность электронов. Теперь составим соответствующее уравнение движения операторов рц,

воспользовавшись коммутационным соотношением

дА

т^- = АН-НА = [А,Н] ,

полагая А = рд, имеем

Раскрыв коммутационное соотношение, получаем

[¿Vя] =

р^

<7*0 Ь Ч

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Таким образом, необходимо подсчитать коммутатор рц с кинетической энергией и с потенциальной энергией. Имеем

<7*0 ^ Ч

р*'р* 2т

= уР/А уА-Л

^^ 2т ^ 2т '

(1.8)

Найдем отдельно каждое слагаемое:

й2

/г2

2т

(1.9)

то есть

-I

Л -р, = 2т ' 2т

, 2т , , 2т 2т

Таким образом, можно записать для (1.8)

(1.10)

2т

//г

... - йУ -Л

А л ^ Л А

2т 2т

(1.11)

Для построения уравнения движения необходимо найти величину р

тРд =

Ра>Н

Рв>н

рв>н

(1.12)

Рассмотрим первую часть коммутатора, и, используя (1.12), получаем

Я • Рз ЙУ „~Га;

щ-г,

2т 2т

, 2т ^ /у

(1.13)

Раскрыв это выражение по частям,

-Е

2 Л

< V

я-р3 пч

2т 2т

г'Й

У-—V • р =

-<1

2т

д-р5 Пд2Л( Й л

2т 2т

2т

Ч'Р5

(1.14)

запишем

-II

Р*'Р* 2т

д-р* Ьд

2т 2т

2 Л

=<1

й1^

2т

2 Л

^ 2т 2т ,

е~т =

д-р5 Пд

2 Л

2т 2т

2 2

Пд

2т

Таким образом, коммутатор (1.13) с кинетической энергией равен

(1.15)

-л!

ГЧ-Р*

Нд

2 Л

2т 2т

Найдем теперь коммутатор (1.13) с потенциальной энергией:

-<2

- + 2Л

д-р, пч

2т 2т

дфО ^ Ч

ъ-п)

е 4 1 +

(Мб)

2т

2 же

Ч • ШРЖ ~ Ра' +

^о т

М!

2т

> <?

^ Ч

(1.17)

Аналогично определяем часть коммутатора (1.13) с потенциальной энергией:

-ЕтйИлЧ'-д»)

^ Ч

ч • л %

2 \

т 2т

-19 г,

5 ^.^о ь д

Е 2ле2 _ + йгз ,2 Я'Ч Р^-Ръ

Объединяя теперь (1.16), (1.17), (1.18) в выражении

(1.18) (1.12) и

пренебрегая

р0м

находим

Я-Р, Ьч

2т 2т

г? уг 4пе2 _ + 2-7Т^г-я • Я РЧ'-ЧР,

' ' т5 и

г'^о т

(1.19)

Второй член в правой части уравнения представляет собой объединение выражений (1.17) и (1.18), то есть коммутатор (1.13) с потенциальной энергией. Рассмотрим его отдельно, выделив из суммы слагаемое при <7 = д':

Е^ле1 __ + V"1 4;ге2 _ . Але2

^ Ь2д а т

д'фЪ 1^Ча 171

ТГ-РоРд L т

I'*4 . (1.20)

Таким образом, уравнение движения (1.19) для оператора электронной плотности принимает вид

4яе2р0 ^

Ь т

* V

д-р, 1

2 т 2т

-Е

4 пе1

злГЗ'ФРч'-яРч* .(1.21)

д'фд

Легко увидеть, что если здесь пренебречь обеими суммами правой части, то получим уравнение, описывающее колебания электронной

плотности с ленгмюровской частотой со2т =-—

" 4 ле2р0 Р +—т-^Р =0 Рч Ь3т

(1.22)

Следовательно, можно заключить, что суммы, стоящие в правой части уравнения (1.21), отвечают вкладу индивидуальных движений электронов в колебаниях плотности электронного газа. Рассмотрим здесь подробно

выражение второй суммы в уравнении (1.21)

2 2

ЕАже _ + ^ 4же _ -щ^г-г,)

т т у

я'*я . (1.23)

Выпишем отдельно экспоненциальный член:

'' * . (1.24)

Это сумма плоских волн, отличающихся фазами -щ (г - г ) - /'<7 • г , где г$

изменяется в интервале (-оо, оо). Следовательно, среднее значение этой суммы можно принять равной нулю:

» . (1.25)

Это условие известно как приближение случайных фаз (ПСФ) [13, 16, 18]. Его название точно отражает условие, соответствующее сложению плоских волн с хаотически меняющимися фазам