Моделирование магнитодеформационного эффекта в ферроэластах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Столбов Олег Валерьевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТОДЕФОРМАЦИОННОГО ЭФФЕКТА В ФЕРРОЭ/1АСТАХ

01 02 04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2007

003062646

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред УрО РАН

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Райхер Юрий Львович

доктор физико-математических наук, профессор

Иванов Алексей Олегович

доктор технических наук, профессор

Труфанов Николай Александрович

Ведущая организация

Институт механики МГУ

Защита состоится мая 2007 г в 14 ч 00 мин на заседании диссертационного совета Д 004 012 01 при Институте механики сплошных сред УрО РАН по адресу 614013, г Пермь, ул академика Королева 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИМСС УрО РАН

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь Диссертационного совета

Г Березин И К

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы Предметом исследования является магнитомеханика новых функциональных материалов, которые получили название мягких ферроэластов или феррогелей Этими понятиями обозначают композиционные системы, состоящие из низкомодульной (модуль упругости < 104 Па) полимерной матрицы, в которую внедрен высокодисперсный (микро- или наночастицы) феррит или ферромагнетик Таким образом, речь идет о магниточувствительном "мягком" смарт-материале, способном к большим управляемым деформациям Мягкие ферроэласты рассматриваются как технологические материалы с широкой перспективой приложения в приборостроении (датчики, адаптивные демпферы, микроманипуляторы, бесконтактные виброузлы), робототехнике (искусственные мускулы) и медицинской технике Реализация любого из этих замыслов требует достоверных знаний о механическом поведении этих сред в присутствии магнитного поля По этой причине научное исследование магнитомеханики ферроэластов является весьма актуальной задачей

К настоящему времени реально синтезированы и активно изучаются несколько типов мягких ферроэластов Исторически первыми были ферро-гели, полученные добавлением магнитной жидкости в желатин (Васп е! а1 , 1973) В середине 90-х годов XX века появились феррогели на основе полиа-криламида и поливинилового спирта (2гуш et а1 , 1996), которые существенно превзошли свои желатиновые прототипы по стойкости и долговечности Наконец, в конце 90-х годов был разработан синтез высокоэффективных мягких магнитоэластов на основе слабосшитых силоксановых каучуков (Степанов, Никитин и др 1999) Эти кремнийорганические эластомерные композиты обладают рядом замечательных свойств Будучи наполненными микрочастицами карбонильного железа они, с одной стороны, чрезвычайно чувствительны к приложенному полю С другой стороны, при содержании магнитной фазы до 30-35 об % они сохраняют низкий модуль упругости и способность к обратимому восстановлению формы

Отдельно следует упомянуть работы по т н микроферрогелям Этот термин обозначает образцы, приготовленные из феррогелей, у которых собственный масштаб исчисляется единицами микрон, а размер частиц магнитного наполнителя (феррита) не превышает десяти нанометров Пока самым известным примером такого типа являются феррополимеросомы (ЬесоттапсЬих е1 а1 , 2005) В этих пузырьках толщина стенки из блоксополимера составляет около 20 нм, а размер внедренных в нее частиц гамма окиси железа — 7нм

Основу подавляющего большинства применений ферроэластов составляет магнитодеформационный эффект (МДЭ) Он заключается в том, что под влиянием внешнего магнитного поля образец изменяет исходную форму на многие десятки процентов, стремясь вытянуться вдоль направления поля Фундаментальной причиной МДЭ является пондеромоторные силы, возникающие в любом магнитном материале, помещенном в магнитное поле С принципиальной точки зрения следует различать два варианта действия пондеро-

моторных сил на тело Первый вполне очевиден в неоднородном поле внутри материала, способного к намагничиванию, возникают объемные силы, и тело втягивается в область максимального градиента Однако в этом эффекте мягкость не играет первостепенной роли в сущности то же самое происходит и с куском железа, хотя, конечно, ферроэласт деформируется гораздо сильнее Второй же эффект специфичен исключительно для мягких ферроэластов Он возникает в однородном приложенном поле, где роль объемных (градиентных) сил незначительна Здесь деформацию образца вызывает неоднородное распределение магнитного поверхностного давления Эксперименты Степанова и Никитина показали, что в силоксановых ферроэластах этот эффект отчетливо выражен и достигает 10-20 %

Именно теоретическому изучению МДЭ в однородном поле посвящена настоящая диссертация До проведения настоящего исследования все моделирование указанного магнитомеханического поведения исчерпывалось оценочными расчетами простейшего вида, где использовались приближение малых деформаций, закон Гука и гипотеза линейного намагничивания материала

Целью работы является построение физически и геометрически нелинейной модели магнитоупругого поведения феррозласта, описывающей объемный и поверхностный магнитодеформационные эффекты при больших упругих деформациях в однородном внешнем магнитном поле Для достижения указанной цели было выполнено следующее

1 проведен анализ доступных экспериментальных данных с целью выяснения основных механизмов МДЭ,

2 построена и обоснована континуальная модель поведения материала при больших упругих деформациях в магнитном поле,

3 получены аналитические решения для частных случаев исходной задачи и выполнено их сопоставление с экспериментом,

4 разработан и реализован численный алгоритм решения краевой связанной задачи магнитоупругости при больших деформациях,

5 адекватность алгоритма проверена путем решения ряда тестовых задач и сравнения полученных численных результатов с экспериментальными данными

Научная новизна работы заключается в следующем

1 сформулирована связанная краевая задача магнитоупругости феррозласта при больших деформациях,

2 впервые найдено точное аналитическое решение задачи деформирования ферроэластичного шара в однородном магнитном поле в приближении малых деформаций,

3 разработана методика численного решения краевой связанной задачи магнитоупругости при больших деформациях в осесимметричной постановке,

4 на основе созданной модели рассчитан магнитодеформационный эффект для ряда осесимметричных тел шар, эллипсоид, цилиндр, круглая пластина (мембрана)

Практическую значимость работы определяют созданные в процессе ее выполнения методы качественного анализа различных проявлений МДЭ, а также численные алгоритмы и вычислительные программы, которые могут быть в дальнейшем использованы при исследовании процессов осесимметрич-ного магнитоупругого деформирования ферроэластов при больших упругих деформациях

Диссертационная работа выполнялась при поддержке РФФИ (проекты 02-02-17221 и 05-02-16949), грантов CRDF (НОЦ РЕ-009) и INTAS (01-2341) Достоверность результатов подтверждается их хорошим соответствием с теоретическими результатами, полученными другими авторами, а также с экспериментальными данными

Апробация работы Материалы диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах Института механики сплошных сред УрО РАН и на профильных кафедрах Пермского государственного технического университета

Результаты всей работы и отдельных ее частей были представлены на Всероссийских конференциях молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках" (Пермь, 1998 и 2000), Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1999, 2005 и 2007), Конференциях молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2002 и 2003), Moscow International Symposium of Magnetism (Москва, 2002 и 2005), 10 International Conference on Magnetic Fluids (San Paulo, Brazil, 2004), Международных Плес-ских конференция по магнитным жидкостям (Плес, 2004 и 2006), научной конференции "Актуальные проблемы механики" (Пермь, 2005) и отражены в публикациях трудов и тезисов конференций

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ, в том числе 5 статей в российских и международных журналах, два из которых входят в Перечень ВАК, рекомендованный для публикаций результатов докторских диссертаций

Объем работы Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы и двух приложений, содержит 130 страниц и 30 рисунков

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, перечислены полученные результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту и описана структура диссертации

В первой главе дано описание физических механизмов МДЭ Показано, что МДЭ разделяется на поверхностный (в однородном магнитном поле) и объемный (в неоднородном магнитном поле) Первый механизм МДЭ вызывает только формоизменение образца за счет перепада магнитного давления

на границе, а второй — появление объемного распределения пондеромотор-ных сил, причиной которого является неоднородность магнитного поля внутри образца

Здесь же представлен обзор литературы по моделированию магнито-упругости Установлено, что число экспериментальных работ по магнитоме-ханике ферроэластов значительно превосходит количество публикаций, посвященных математическому моделированию особенностей поведения ферроэластов при больших деформациях в однородном или неоднородном магнитных полях В большинстве опубликованных теоретических работ авторами построены простые аналитические модели, качественно описывающие лишь отдельные стороны сложного поведения ферроэластов Делается вывод о том, что постановка связанной краевой задачи нелинейной магнитоупругости и разработка численных методов ее решения является важной и актуальной проблемой механики деформируемого твердого тела

При переходе к математическому описанию МДЭ в ферроэласте необходимо принять ряд обоснованных допущений, которые, с одной стороны, не противоречили бы заявленной цели работы, а, с другой стороны, обеспечили бы реальность ее достижения Перечислим в сжатом виде принципиальные приближения, сделанные в диссертации

1 Гипотеза континуальности Как показано в работе, в гетерогенном материале, каким является ферроэласт, МДЭ возникает в результате передачи матрице силового воздействия, которое магнитное поле оказывает на диспергированные наночастицы Типичные концентрации микрозерен настолько велики (> 101Осм_3), что точное описание заведомо невозможно Поэтому в работе принимается макроскопический подход материал, гетерогенный на микромасштабах, на масштабах образца (сантиметры) считается сплошной средой

2 Гипотеза несжимаемости. Материал можно считать несжимаемым, что подтверждено целым рядом экспериментов

3 Гипотеза упругого поведения ферроэласта при отсутствии магнитного поля В настоящей работе предполагается, что при любых медленных воздействиях (скорость воздействия много меньше скорости релаксации матрицы) на образец последний всегда сохраняет упругость Кроме этого считается, что упругость материала в отсутствие магнитного поля описывается потенциалом Муни-Ривлина

4 Гипотеза о законе намагничивания материала в недефор-мированном состоянии Предполагается, что в недеформированном состоянии образец является магнитомягким, те при отсутствии магнитного поля намагниченность его равна нулю При воздействии магнитным полем вектор намагниченности коллинеарен вектору магнитного поля, а величина намагниченности определяется эффективным законом Лан-жевена

5 Гипотеза о свободной энергии ферроэласта В работе предполагается, что для рассматриваемого материала можно записать свободную

энергию в виде суммы упругой энергии без магнитного поля и магнитной энергии при отсутствии деформаций Кроме этого предлагается ввести дополнительное (перекрестное) слагаемое, отвечающее за локальное взаимовлияние намагниченности и деформации Этот вклад выбирается в форме, пропорциональной квадрату намагниченности и относительному изменению квадрата длины материального волокна Коэффициент пропорциональности, с которым указанное слагаемое включается в выражение для плотности энергии, следует считать феноменологической константой магнитоупругого материала Ее численное значение должно определяться из прямых экспериментов или, как предлагается в работе, путем идентификации

6 Гипотеза о малых деформациях В работе рассмотрены случаи как больших, так и малых деформаций Последнее приближение очень удобно для первоначального полуколичественного рассмотрения МДЭ, поскольку при малых деформациях задачи магнитостатики и упругости расщепляются и решаются последовательно, поскольку перекрестное слагаемое в энергии отсутствует При этом задача в приближении малых деформациях всегда имеет и самостоятельное значение, так как она корректна для МДЭ на начальном участке магнитодеформационной кривой

7 Гипотеза осесимметричности В работе рассматриваются только осесимметричные образцы, и магнитное поле, создающее МДЭ, всегда считается приложенным вдоль оси симметрии

Сделанные гипотезы о поведении ферроэластов при воздействии магнитным полем позволяют перейти к математической постановке связанной задачи магнитоупругости

Записывается полная система уравнений связанной краевой задачи магнитоупругости при больших деформациях Рассматривается тело с границей Г, занимающее область уМ, и окружающее его пространство V'e) Необходимо найти такие распределения перемещений и, напряжений Т, давления р, меры деформации С, потенциала гр, магнитного поля Н и вектора намагниченности М, которые в исследуемой области при заданных внешнем магнитном поле До и перемещениях и* на границе Ги удовлетворяют системе уравнений

я

F = -J M(H)dH + W + aiM2(H)(Ii(C) - 3), (1)

о

М = МоЦ-уН) или М = хЯ, (2)

w = СМ С) - 3) + сг{к{ С) - 3) - ip(/3(C) - 1), (3)

dF

(6)

(7)

(8) (9)

н = н0- щ,

V У^ = 47гУ м, УТ + МУЯ = 0, /з(С) = 1, С = Рт Г, Е = g + Уит

при граничных условиях

5ЛГ г с>ЛГ г |г' ^ 1г ^ 1г>

г>

(10) (П)

=2тгМ^ЛГ| и|Гв = и% Гр и Ги = Г,

г Р>

и

где V — набла-оператор в текущей (деформированной) конфигурации, V — набла-оператор в начальной (недеформированной) конфигурации, § — единичный тензор, N — вектор внешней нормали к образцу в текущей конфигу-

рации, Ь{х) = сХ\\х — 1/х, IV — упругий потенциал материала при отсутствии

магнитного поля, М(Н) — закон намагничивания материала при отсутствии деформаций, С\, Сг, аь Мо, 7 — материальные константы, 1\, /2, /з — главные инварианты тензора

Уравнения (1)—(5), (8), (9) выполняются в области V'1', а (6) и (7) — во всем пространстве V'1) и

Как видно из системы (1)-(11), уравнение магнитного состояния (4) зависит от локальных деформаций, а определяющее уравнение теории упругости (5) зависит от намагниченности в точке Кроме того, магнитное поле создает объемные силы и перепад давления на границе образца Форма образца известна только в начальном состоянии Но = Н — 0

В работе выполнена редукция задачи магнитоупругости для случая малых деформаций и показано, что в этом пределе происходит расщепление системы уравнений, и задачи магнитостатики и упругости можно решать последовательно

В конце главы сформулированы вариационные постановки задач магнитоупругости для конечных и малых деформаций

Во второй главе рассмотрена постановка важной частной задачи, когда форма образца считается заданной с точностью до неизвестного параметра Предполагается, что во всех состояниях образец имеет форму эллипсоида вращения Внутри эллипсоидального образца, помещенного в однородное внешнее поле, все поля оказываются однородными Благодаря этому, все пространственные производные тождественно обращаются в нуль, и уравнение равновесия вместе с уравнениями Максвелла удовлетворяются автоматически Как было объяснено ранее, в случае приложенного однородного магнитного поля образец вытягивается в его направлении Здесь и ниже мы

о

о

предполагаем, что магнитное поле накладывается в направлении главной оси эллипсоида

Задача магнитостатики в данном случае имеет аналитическое решение, и магнитное поле внутри образца однородно и вычисляется по формуле

Я = Яо-4тгМ(Я)Ж(с), (12)

здесь N — размагничивающий фактор вдоль оси Oz (направление поля Но), а е — эксцентриситет меридионального сечения сфероида

Рассматривается задача о деформировании эллипсоида (полуось вдоль магнитного поля — а, поперек — Ь) в приближении малых деформаций В качестве характеристики удлинения используется величина

е = иг(р = 0, г = а)/а, (13)

равная относительному изменению расстояния между полюсами образца в направлении оси Oz Вариационная постановка задачи упругости имеет вид

J Т VSudV-J 2жМ2п1п 6udS = 0 (14)

У<0 Г

Полагая материал несжимаемым, перемещения записывается в виде ир = —ezzp/2, и2 — ezzz, где ezz — независящая от координат величина, подлежащая определению, и подставим в уравнение (14) В результате, для относительного удлинения образца вдоль магнитного поля в случае вытянутого сфероида (а > Ь) получено выражение

М2 (е2 - 1)[(е2 - 3) arcth е + Зе]

£ = е„ = 7г—--ц-, (15)

G е

где е = — Ь2/а2 — эксцентриситет меридионального сечения, для сплюснутого сфероида (а < Ь) —

М2 (е2+1)[(е2 + 3)аг^е-3е] е = егг = тг—--^-, (16)

где е = \/Ь2/а2 - 1

В случае, когда е = 0 (шар) получим

£ = = (17)

что воспроизводит классическую оценку, сделанную в книге Л Д Ландау и Е М Лифшица "Электродинамика сплошных сред"

В предельных случаях иглообразного (Ь/а —> 0) и дискообразного (а/Ь —» 0) тела, используя подходящие разложения, имеем

ттМ2

it ln

+ О (£) при Ь/а -» 0,

/ л (18)

?ь + 0(^) при а/Ь —> 0

Видно, что в обоих случаях, независимо от конкретного закона намагничивания, магнитодеформационный эффект в эллипсоиде исчезающе мал

Рассмотрена задача деформирования сферического образца ферроэла-ста радиуса Я внешним однородным постоянным магнитным полем Но, направленным вдоль оси Ог, при больших деформациях Здесь рассмотрена наиболее простая модель МДЭ при больших деформациях, где в свободной энергии нет перекрестного слагаемого, те £*1 — О В магнитном отношении материал подчиняется закону Ланжевена

В случае больших деформаций градиент места запишется в виде Г = (ехбх + ег/еу)Л~2 + е2ег\, где А — кратность удлинения вдоль оси Ог Размагничивающий фактор в этом случае примет вид

.агйапЬ\/1 - Л-3 — \/1 - А~3 .

"М--(ЛЗ-1^1-А->--(19>

Вариационное уравнение задачи упругости записывалось в виде

2тг J М1гЛГ бийв - I 8Ш6У = 0 (20)

Г VI')

В результате получено нелинейное алгебраическое уравнение, связывающее кратность удлинения А и приложенное однородное магнитное поле Щ

тгМ2(Я(Яо, Х))~ + (СхА + С2)(1 - А"3) = 0 (21)

8 7 б

4 3 2 1

0123456789 Но/у/С1

Рис 1 Зависимость удлинения от безразмерного приложенного магнитного поля при законе намагничивания Ланжевена, С2/С1 = 0 1, 7\/С\ — 2

На рис 1 рисунке изображены зависимости \(Но) при различных значениях константы Мо = Мо/у/С[ Видно, что при некоторых значениях материальных констант возможен гистерезис магнитодеформационной кривой В работе получена карта параметров наступления гистерезиса

В третей главе проведено моделирование МДЭ в приближении малых деформаций в образцах, для которых задача магнитостатики имеет аналитическое решение В этом случае, в отличии от рассмотренного выше, условие однородности напряжений и деформаций не является обязательным Иными словами, конфигурация тела, возникшая в результате МДЭ, не постулируется, а находится из решения упругой задачи

В начале главы приводится модель МДЭ в шаре, для которой получено точное решение задачи упругости Найдены поля перемещений для несжимаемого материала в цилиндрической системе координат

^ = -^гМ2г(Зг2 + 6р2-8), Чр = ^М2р(3р2 + 9г2 - 8) (22) При этом параметр удлинения принимает вид

20тг М2

е = !л1Т (23)

Показано, что наибольших значений диагональные компоненты тензора напряжений достигают на полюсах шара На экваторе же образца компонента Тм отрицательна В полярных зонах образуется тонкий поверхностный слой, где материал испытывает продольное сжатие (ем < 0) Наибольшие деформации растяжения приходятся на центральную часть образца, а максимальные сдвиговые — на поверхностные "пояса", расположенные вокруг а — 45° и 135°, здесь а — широтный угол между радиус-вектором точки на поверхности образца и осью Ог

Таким образом, полученное точное решение ясно показывает, что магни-тодеформационный эффект даже в шаре из однородного ферроэласта и даже в сколь угодно малом однородном магнитном поле порождает неоднородное поле деформаций Этот вывод принципиально отличается от постулатов однородности напряжений и деформаций и неизменной эллипсоидальности формы, на которых базируется классическое решение Иными словами тело, в которое превращается шар при магнитном деформировании вовсе не является эллипсоидом вращения, а представляет собой тело, описываемое кривой третьего порядка

Количественную оценку различий между точным расчетом МДЭ и приближением, использующим сфероид в качестве вариационного решения, можно получить, сравнивая коэффициенты в параметре удлинения Видно, что действительное удлинение сферы, найденное точным расчетом МДЭ, существенно отличается от классического предсказания А именно, ошибка, которая возникает при выборе сфероида в качестве вариационного решения, превышает 20%

Расширена постановка задачи и рассмотрена ситуация, когда в исходном состоянии образец имеет форму произвольного эллипсоида вращения При этом магнитное поле по-прежнему накладывается вдоль главной оси симметрии Поскольку точное решение упругой задачи удалось найти только для

оG/M2)e

Рис 2 Зависимость удлинения сфероида от начального значения а/Ь, сплошная линия — расчет по формулам (15) и (16), символы — результаты численного расчета, масштаб горизонтальной оси — логарифмический

сферического образца, для сфероидального образца был использован метод конечных элементов

На рис 2 поведение числового коэффициента в формулах, обобщающих, соответственно, (17) и (23), представлено при М = const Тем самым иллюстрируется геометрическая зависимость упругого эффекта при заданном внутреннем магнитном состоянии образца Зависимость носит немонотонный характер Максимум достигается при а/Ь и 0 8

Следующим объектом исследования стал образец феррогеля в форме полого шара (ферровезикулы), помещенный во внешнее однородное поле Но при линейном законе намагничивания Внутренний радиус rj, внешний — Гг Поле направлено вдоль оси Oz

Задача магнитостатики имеет аналитическое решение и в сферической системе координат записывается

47гхЩшч -г\){3 + 8тгх) cos а [32тг2х2г? - (4тгх + 3)(8тгх + 3)rf]r2'

= 47ГХ#О COS а

v<3> =

(8г3тгх + 3г\)г\ - г3(8тгх + 3)г:

[32тг2х2г? - (4тгх + 3)(8тгх + 3);

2,2ж2х2Щ{г1 - r|)r cos а

32тг2хМ - + 3)(8тгх + 3)т\

(24)

(25)

(26)

где а — широтный угол

Аналогично тому, как это было сделано в случае для эллипсоида, для решения задачи упругости при произвольном соотношении радиусов г\ и гг использован метод конечных элементов Однако для тонкостенного тела — этот предел известен в теории упругости как теория оболочек — найдено ана-

литическое решение задачи упругости Общее удлинение пузырька в случае несжимаемого материала определяет выражение

(5 + 32ТГ х)х2^Н02 3(1 + 4тгХ)2С { '

06Г ' / ГУ/Т"1 ' ' ' ' ТГ

Г) к _ - ег1Ьг /л0 _

04- — ег2(?/Я°2 - Л-

^ ......^ад

и 3 - > > » " I I 1 '

О 2 ->_< -

о 1 _■__1

-0 1 - --0 2 - - - -

_0 з _I_I_I ' '_I_I_I_I Ч

0 010203 04 05060708 09 1 п/г2

Рис 3 Зависимость относительного удлинения вдоль оси Ог всего образца е22, внутренней полости ег\ и стенки образца кг от отношения радиусов г\/гч Линиями построены численные решения, точка, отмеченная ромбом (Т\/г2 = 0), — точное решение для шара, точка, отмеченная кругом (п/^г = 1), — решение для сферической оболочки

На рис 3 приведены результаты расчета зависимостей относительного удлинения вдоль приложенного магнитного поля Но для образца е22, для внутренней полости е2\ и для толщины стенки образца /г2 от отношения радиуса внутренней полости к внешнему радиусу образца г\!г% Линиями построено численное решение, полученное методом конечных элементов Видно, что деформация образца значительно увеличивается с уменьшением толщины стенки МДЭ минимален для сплошной сферы и монотонно растет при стремлении толщины стенки к нулю Увеличение магнитной восприимчивости х также ведет к увеличению эффекта Важно отметить, что результаты численного расчета методом конечных элементов хорошо согласуются с аналитическими решениями, полученными для пределов бесконечно тонкой стенки (теория оболочек), и стенки максимальной толщины (точное решение для шара)

В четвёртой главе рассмотрена методика численного решения осе-симметричной задачи о МДЭ при больших деформациях Работа выполнена с помощью программного пакета РгееРЕМ++, который хорошо подходит для численной реализации разработанных алгоритмов решения нелинейных связанных задач магнитоупругости РгееРЕМ++ располагает встроенными решателями линейных систем уравнений и обладает удобным языком программирования, позволяющим организовать решение нелинейной задачи на основе

-14 + 111 1 * 1 А

_-ел С/Щ V/

---елв/Щ У/ У/

------ Л.г(7/#о /а /

— ) V < У ** * < — **

— , < ! —» -

1 I 1 1 1 1 1 1 Гх

последовательности решения линейных задач Следует отметить, что для использования встроенных стандартных решателей необходимо задание геометрии исследуемой области и вариационных постановок исходных задач упругости и магнитостатики Поэтому приведем вариационные постановки задач в форме, требуемой для пакета РгееРЕМ++ Для задачи магнитостатики решается вариационное уравнение

!{1+4-кх{Н'))Чг1>У5'фдУ+ J = 4тгх(#') J (28)

ум У<") УМ

где

х = х(Н) (1 - 2а1(/х(С) - 3) + х(Я))) н, Х{Н) = М/Н,

(29)

а для задачи упругости I(Ц 8е + Ь[е)6р)(1У = - I((Т' - Т{) бё + (13(¥') - /^ё') - 1 )6р)йУ+

у(0 ум

+ J (2тгMJfN + ^ Э) 5и ¿5 - У Э Ъби ау, (30)

Г У(1)

гдеТх = —pg-|-4C,lë — линейная по перемещениям часть тензора напряжений, ё = + Ун,1-), штрихом ()' обозначено решение задачи на предыдущем

шаге, Б = [НВ — 2)/(4я") — тензор напряжений Максвелла Видно, что на каждом шаге решаются линейные задачи, но с дополнительными эффективными нагрузками, вычисляемыми по решению с предыдущего шага

При решении связанной задачи использовалось пошаговое изменение магнитного поля Щ Кроме этого, на каждом шаге по магнитному полю выполнялся итерационный процесс, на каждой итерации которого

• магнитостатическое вариационное уравнение (28) решается во всей области методом конечных элементов на текущей сетке и находится магнитное поле внутри образца,

• упругое вариационное уравнение (30), линеаризованное по методу дополнительных нагрузок, решается методом конечных элементов,

• исходная сетка перестраивается путем перерасчета координат узловых точек в соответствии с найденными перемещениями

Итерационный процесс ведется до тех пор, пока не выполнится условие на перемещения и среднее давление (||иг — + ||ир — и'р\\ + ||р — р'||) < е В качестве начального значения итерационного процесса выбирается значение решения, полученного с предыдущего шага по магнитному полю

Для решения задачи магнитостатики в осевом сечении строится конечно-элементная сетка для образца и области окружения На этой сетке решается вариационное уравнение (28), где магнитная восприимчивость X является разрывной функцией: внутри образца она равна его восприимчивости, э снаружи она обращается в ноль, т.е. на грзнице Г происходит скачок функции магнитной восприимчивости на конечную величину. Пример конечно-элементной сетки для четверти осевого сечения исследуемой области приведён на рис. 4

Рис. 4. Пример коне41 ю-элементной сетки

Проведено исследование сходимости численных алгоритмов решения для линейных задач.

В пятой главе представлены результаты численного решения некоторых задач мэгнитоупру гости для тел осесимметричной формы.

Для качественной проверки численного моделирования путем сравнения с аналитическими моделями была решена связанная нелинейная задача о МДЭ для шара при больших деформациях. Проводилось сравнение с полученным решением этой задачи в приближение однородных деформаций и точным аналитическим решением для шара при малых деформациях. Качественно, эти решения ведут себя похоже.

Для проверки адекватности разработанной численной модели МДЭ фер-роэластэ были Г.В. Степановым (Государственный НИИ химии и технологии элементоорганических соединений) проведены эксперименты по исследованию поведения образцов в форме параллелепипеда в однородном магнитном поле. С помощью данных экспериментов были получены модуль упругости ферроэласта. кривая намагничивания ферроэласта и удлинение образца в зависимости от приложенного магнитного поля

При проведении численных расчётов в качестве прототипа образца в форме параллелепипеда, использованного в эксперименте, был взят цилиндр (так как разработанный численный алгоритм позволяет моделировать толь-

ко осесимметричные тела), равновеликий по площади поперечного сечения параллелепипеду, длины цилиндра и параллелепипеда равны

Рассматривались два случая малые деформации (линейная теория) и конечные деформации с учетом перекрестного слагаемого Значение коэффициента для второго случая находилось методом идентификации, те фитированием экспериментальной магнитодеформационной кривой

О 500 1000 1500 2000

Н, Э

Рис 5 Сравнение магнитодеформационного эффекта в параллелепипеде из магнитоэласта (эксперимент — точки) и в равновеликом по объему цилиндре (расчет — линия)

Из рис 5 видно, что на начальном участке в линейной теории, где зависимостью упругого модуля от приложенного поля можно пренебрегать, расчетная кривая хорошо совпадает с экспериментом Необходимо отметить, что в данном простом расчете имеется только два входных материальных параметра начальная магнитная восприимчивость и начальный модуль упругости Оба они, как было указано выше, были взяты из независимых предварительно выполненных экспериментов Таким образом, расчет для линейной теории вообще не содержит подгоночных параметров Также на рис 5 приведено сравнение полученных теоретических и экспериментальных данных с учетом перекрестного слагаемого Видно, что с помощью одного параметра а^ удалось настроить численную модель, которая с большой точностью описывает экспериментальную магнитодеформационную кривую Это подтверждает адекватность построенной нелинейной связанной модели магнитоупругости не только при малых, но и при больших деформациях

В заключительной части главы проведено исследование особенностей деформирования мембраны под действием магнитного поля Эта задача существенно отличается от прежде изученных Дело в том, что для свободных осесимметричных тел (цилиндр, шар, эллипсоид) вопрос о том, как развивается магнитодеформационный эффект тривиален тело начинает вытягиваться в направлении поля уже при сколь угодно малых Но, магнитодеформационная

кривая является гладкой функцией В случае же плоской мембраны симметрия по намагничиванию (Но <-► —Н0) приводит к возникновению конечного порога по полю при Но < Нс деформация практически отсутствует но резко возрастает при Но > Нс Иными словами, в полях ниже критического мембрана неподвижна и остается плоской При достижении критического поля она начинает выгибаться, образуя купол, причем направление прогиба заранее не задано (вырождено) Получена аналитическая оценка для критического магнитного поля Нс, совпадающая с численным экспериментом

Но, Э

Рис б Сравнение численной и экспериментальной магнитодеформационной кривой при значениях х — 0 2, ¿/к = 10 26

Сравнение экспериментальных данных, полученных Г В Степановым и численных результатов расчета прогиба мембраны от приложенного поля приведено на рис б Видно, что теоретический расчет хорошо описывает экспериментальную кривую с качественной точки зрения Расчет показывает наличие порогового значения магнитного поля, что соответствует эксперименту Количественное отличие порогового поля от эксперимента не превышает 20% В данном случае это можно считать хорошим совпадением, тк при расчете не использовался подгоночный коэффициент Таким образом, из приведенных результатов можно сделать вывод о том, что построенная численная модель качественно и количественно описывает экспериментальные результаты Это подтверждает ее адекватность и возможность практического применения при исследовании поведения ферроэластов

ВЫВОДЫ

• Исследованы основные физические механизмы МДЭ ферроэласта

• Осуществлена концептуальная постановка связанной задачи магнито-упругости, в рамках которой обоснованы основные гипотезы модели

• Дана математическая постановка связанной нелинейной задачи магни-тоупругости при больших деформациях Впервые получено точное решение задачи МДЭ для сферического образца феррогеля во внешнем однородном магнитном поле

• Разработана методика численного решения связанной нелинейной задачи магнитоупругости при больших деформациях

• Получены численные решения задач о МДЭ для шара, эллипсоида, цилиндра и проведено сравнение удлинения цилиндра в магнитном поле с экспериментом

• Впервые получено численное решение связанной задачи магнитоупругости для мембраны, качественно совпадающее с экспериментом

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЯХ

1 Райхер Ю , Столбов О Деформационное поведение эллипсоидального образца феррогеля в однородном магнитном поле // Прикладная механика и техническая физика — 2005 — Т 46 — С 153-154

2 Райхер Ю , Столбов О Магнитодеформационный эффект в ферроэласте // Письма в журнал технической физики — 2000 — Т 26, № 4 — С 47-53

3 Raikher У, Stolbov О Magnetodeformational effect in ferrogel samples // J Magnetism and Magnetic Materials — 2003 — Vol 258-259 — Pp 477-479

4 Stolbov О V, Raikher Y L Magnetodeformational effect in ferrogel objects // J Magnetism and Magnetic Materials — 2005 — Vol 289 — Pp 62-65

5 Stolbov О V, Raikher Y L Deformation of a ferrovesicle in a uniform magnetic field // J Magnetism and Magnetic Materials — 2006 - Vol 300 - Pp el99-e202

6 Райхер Ю, Столбов О Силовые характеристики магнитодеформационно-го эффекта в цилиндрическом образце ферроэласта // Тезисы докладов научной конференции "Актуальные проблемы механики" — Пермь 2005 — С 112-113

7 Райхер Ю , Столбов О Деформирование ферровезикулы однородным магнитным полем // Тезисы докладов международной научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред" — Пермь 2005 — С 254

8 Деформация плоской мембраны из ферроэласта, закрепленной по ободу, в однородном магнитом поле / Ю Райхер, О Столбов, Г Степанов и др // Сборник статей научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред" — Т 1 — Пермь 2007 — С 31-34

Подписано в печать 12 04 07 Формат 60X90/16 Набор компьютерный Тираж 100 экз Объем 1,0 уч изд п л Заказ № 614/2007

Издательство

Пермского государственного технического университета 614600, г Пермь, Комсомольский пр , 29, к 113 тел (342)219-80-33

Введение

1 Постановка задачи магнитоупругости

1.1 Физические основы магнитодеформационного эффекта

1.2 Обзор литературы по моделированию магнитоупругости

1.3 Концептуальная постановка задачи магнитоупругости

1.4 Математическая постановка задачи магнитоупругости

1.4.1 Дифференциальная постановка.

1.4.2 Вариационная постановка.

Моделирование магнитодеформационного эффекта в приближении одной степени свободы

2.1 Случай малых деформаций.

2.1.1 Классическая оценка Ландау.

2.1.2 Вспомогательные соотношения задачи МДЭ для эллипсоида

2.1.3 Модель МДЭ для шара

2.1.4 Модель МДЭ для эллипсоида вращения.

2.2 Модель МДЭ при больших однородных деформациях шара

2.2.1 Уравнения кинематики и магнитостатики.

2.2.2 Решение задачи вариационным подходом.

2.2.3 Решение задачи на основе энергетического подхода

2.2.4 Анализ полученных результатов решения

Моделирование магнитодеформационного эффекта в приближении малых деформаций

3.1 МДЭ в шаре.

3.1.1 Точное решение задачи.

3.1.2 Анализ результатов.

3.2 МДЭ в эллипсоиде вращения.

3.2.1 Методика численного решения задачи.

3.2.2 Анализ результатов.

3.3 МДЭ в полом шаре.

3.3.1 Постановка и решение задачи магнитостатики в сферической системе координат

3.3.2 Методика численного решения задачи упругости

3.3.3 Аналитическое решение задачи о МДЭ в приближении теории оболочек.

3.3.4 Анализ результатов.

4 Методика численного решения осесимметричной задачи о маг-нитодеформационном эффекте при больших деформациях

4.1 Вывод вариационных уравнений для пакета FreeFem++

4.1.1 Задача упругости

4.1.2 Задача магнитостатики.

4.2 Описания пакета FreeFEM++ для решения систем уравнений в частных производных с помощью метода конечных элементов

4.3 Общий алгоритм численного решения связанной задачи маг-нитоупругости.

4.3.1 Алгоритм решения задачи магнитостатики.

4.3.2 Алгоритм решения связанной задачи магнитоупругости

4.4 Решение тестовых задач и исследование сходимости численного алгоритма.

5 Результаты численного решения некоторых задач магнитоупругости для тел осесимметричной формы

5.1 Анализ результатов моделирования МДЭ для шара.

5.2 Сравнение результатов численного моделирования МДЭ для цилиндра с экспериментом.

5.3 Исследования особенностей деформирования мембраны под действием магнитного поля.

6 Выводы 107 Литература

Предметом исследования является магнитомеханика новых функциональных материалов, которые получили название мягких ферроэластов или феррогелей. Этими понятиями обозначают композиционные системы, состоящие из низкомодульной (модуль упругости < 104 Па) полимерной матрицы, в которую внедрен высокодисперсный (микро- или наночастицы) феррит или ферромагнетик. Таким образом, речь идет о магниточувствительном "мягком" смарт-материале, способном к большим управляемым деформациям. Хотя мягкие ферроэласты пока находятся на стадии научного исследования, они уже рассматриваются как технологические материалы с широкой перспективой приложения в приборостроении (датчики, адаптивные демпферы, микроманипуляторы, бесконтактные виброузлы), робототехнике (искусственные мускулы) и медицинской технике.

К настоящему времени реально синтезированы и активно исследуются уже несколько типов мягких ферроэластов. Исторически первыми были, феррогели, полученные добавлением магнитной жидкости в желатин [1,2]. В середине 90-х годов XX века появились феррогели на основе полиакри-ламида и поливинилового спирта [3—5] и альгинатов, которые существенно превзошли свои желатиновые прототипы по стойкости и долговечности. Наконец, в конце 90-х годов был разработан синтез высокоэффективных мягких магнитоэластов на основе слабосшитых силоксановых каучуков [6]. Эти кремнийорганические эластомерные композиты обладают рядом замечательных свойств. Будучи наполненными микрочастицами карбонильного железа они, с одной стороны, чрезвычайно чувствительны к приложенному полю. С другой стороны, при содержании магнитной фазы до 30-35 об. % они сохраняют низкий модуль упругости и высокую способность обратимо восстанавливать форму.

Отдельно следует упомянуть работы по т.н. микроферрогелям. Этот термин обозначает образцы, приготовленные из феррогелей, у которых собственный масштаб исчисляется единицами микрон, а размер частиц магнитного наполнителя (феррита) не превышает десяти нанометров. Пока самым известным примером такого типа являются феррополимеросомы, недавно созданные французскими исследователями (ЬесоттапсЬих е! а1., 2005). В этих пузырьках толщина стенки из блоксополимера составляет около 20 нм, а размер внедренных в нее частиц гамма окиси железа — 7 нм.

Основу подавляющего большинства применений ферроэластов составляет магнитодеформационный эффект (МДЭ). Он заключается в том, что под влиянием внешнего магнитного поля образец изменяет исходную форму на многие десятки процентов, стремясь вытянуться вдоль направления поля. Фундаментальной причиной МДЭ является пондеромоторная сила, возникающая в любом магнитном материале, подвергнутом действию магнитного поля. Принципиально проявления пондеромоторных сил можно разделить на два класса. Первый вполне очевиден: в неоднородном магнитном поле мягкий материал, способный к намагничиванию, деформируясь, втягивается в область максимального градиента. Однако в этом эффекте мягкость не играет первостепенной роли: принципиально то же самое происходит и с куском железа. Второй же эффект специфичен исключительно для мягких ферроэластов. Он возникает в однородном приложенном поле, где роль объемных (градиентных) сил незначительна, а к деформации образца приводит неоднородное распределение магнитного поверхностного давления. Здесь на первое место выходит баланс магнитостатической и упругой энергий, который и определяет результирующий эффект. Эксперименты [7] показали, что в силоксановых ферроэластах этот эффект ясно выражен и достигает 10-20 %.

Именно теоретическому изучению МДЭ в однородном поле посвящена настоящая диссертация. До проведения настоящего исследования моделирование указанного магнитомеханического поведения исчерпывалось оценочными расчетами простейшего вида: приближение малых деформаций, закон Гука и гипотеза линейного намагничивания материала.

Целью работы является построение физически и геометрически нелинейной модели магнитоупругого поведения ферроэласта, описывающей объёмный и поверхностный магнитодеформационные эффекты при больших упругих деформациях в однородном внешнем магнитном поле. Для достижения указанной цели было выполнено следующее:

1. проведен анализ доступных экспериментальных данных с целью выяснения основных механизмов МДЭ;

2. построена и обоснована континуальная модель поведения материала при больших упругих деформациях в магнитном поле;

3. получены аналитические решения для частных случаев исходной задачи и выполнено их сопоставление с экспериментом;

4. разработан и реализован численный алгоритм решения краевой связанной задачи магнитоупругости при больших деформациях;

5. проверена адекватность алгоритма путём решения ряда тестовых задач и сравнения полученных численных результатов с экспериментальными данными.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. сформулирована связанная краевая задачи магнитоупругости ферро-эласта при больших деформациях;

2. найдено впервые точное аналитическое решение задачи деформирования ферроэластичного шара в однородном магнитном поле в приближении малых деформаций;

3. разработана методика численного решения краевой связанной задачи магнитоупругости при больших деформациях в осесимметричной постановке.

Практическую значимость работы определяют созданные в процессе ее выполнения методы качественного анализа различных проявлений МДЭ, а также численные алгоритмы и вычислительные программы, которые могут быть в дальнейшем использованы при исследовании процессов осесимметричного магнитоупругого деформирования ферроэластов при больших упругих деформациях.

Диссертационная работа выполнялась при поддержке РФФИ (проекты 02-02-17221 и 05-02-16949), грантов С!^ (НОЦ РЕ-009) и ШТАБ (01-2341).

Диссертация состоит из пяти глав и приложений. В главе 1 обсуждаются физические основы магнитоупругости мягких ферроэластов, представлен обзор литературы по этой проблеме и рассмотрена концептуальная постановка задачи. Далее сформулирована полная система уравнений МДЭ для связанной краевой задачи при больших деформациях. Также записана вариационная формулировка задачи. Приведена упрощённая постановка для случая малых деформаций.

В главе 2 предложена и обоснована простая континуальная модель мягкого ферроэласта, которая даёт возможность описать поверхностный МДЭ в теле эллипсоидальной формы. В нашей модели впервые корректно учтены, во-первых, способность ферроэласта к большим деформациям и, во-вторых, ограниченность его отклика на приложенное поле, т.е. нелинейность намагничивания, обусловленная насыщением. В качестве примера использования теории взята классическая задача о деформировании шара под действием однородного магнитного поля; проведено сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными [8].

В главе 3 в приближении малых деформаций решены краевые задачи, приводящие к возникновению МДЭ в образцах простой геометрической формы (шар, эллипсоид вращения, полый шар), где задача магнитостатики имеет аналитическое решение. В частности, для задачи об МДЭ в сплошном шаровом образце найдено точное решение. Для сферы (полый шар с бесконечно тонкой стенкой) получено аналитическое решение в приближении теории оболочек. Задачи для полого шара со стенкой конечной толщины и эллипсоида решены с использованием метода конечных элементов.

В главе 4 предложена методология численного решения связанной задачи магнитоупругости, описывающей МДЭ в случае больших деформаций. На этой основе построен алгоритм численного моделирования эффекта и разработаны программные средства, реализующие указанный алгоритм.

В главе 5 приведены результаты расчёта МДЭ при больших деформациях (полная постановка) для фундаментальных частных случаев. Кроме геометрических тел второго порядка (шар, эллипсоид вращения) рассчитан также МДЭ в круговом цилиндре, намагничиваемом вдоль оси. Задача рассмотрена в двух вариантах: свободный цилиндр с произвольным отношением размеров и цилиндрическая пластинка (мембрана), закрепленная по ободу. Указанные постановки важны тем, что в настоящее время только по ним имеются достоверные измерения МДЭ. Построенная модель впервые обеспечила этим экспериментальным данным полное качественное и удовлетворительное количественное объяснения.

В приложении приведены выводы граничных условий для задачи упругости в магнитном поле и магнитной энергии феррогеля.

Автор выражает благодарность всем сотрудникам лаборатории №15 ИМСС УрО РАН за активное обсуждение результатов диссертации на семинарах, а особенно с.н.с., кандидату физ.-мат. наук В.В. Русакову и с.н.с., кандидату физ.-мат. наук Б.И. Мызниковой за сделанные ценные замечания по работе.

6. Выводы

По результатом проведённых исследований в данной работе можно сделать следующие выводы:

• Исследованы основные физические механизмы МДЭ ферроэласта. Установлено, что их можно разбить на два класса. Первый, который обычно называют объемным, хорошо изучен. В неоднородном магнитном поле мягкий материал, способный к намагничиванию, деформируясь, втягивается в область максимального градиента поля. Однако в этом эффекте мягкость не играет первостепенной роли: принципиально то же самое происходит и с куском железа. Второй же эффект — поверхностный — специфичен исключительно для мягких ферроэла-стов и на данный момент является мало изученным. Поэтому основное внимание в работе было уделено второму эффекту, который возникает в однородном приложенном поле, где роль объемных (градиентных) сил незначительна, а к деформации образца приводит неоднородное распределение магнитного поверхностного давления. Показано, что в данном случае на первое место выходит баланс магнитостатической и упругой энергий, который и определяет результирующий эффект.

• Осуществлена концептуальная постановка связанной задачи магнито-упругости, в рамках которой обоснованы гипотезы модели. Основными гипотезами являются гипотеза континуальности и гипотеза о свободной энергии ферроэласта. Считалось, что в гетерогенном материале, каким является ферроэласт, МДЭ возникает в результате передачи матрице силового воздействия, которое магнитное поле оказывает на диспергированные магнитные частицы. Однако типичные концентрации микрозерен настолько велики (> Ю10 см-3), что точное описание их поведения невозможно. Поэтому в работе использовался макроскопический подход: материал, гетерогенный на микромасштабах, на масштабах образца (сантиметры) считался сплошной средой. Это позволило при построении математической модели МДЭ ферроэласта использовать теорию и методы механики деформируемого твёрдого тела. В работе также предполагалось, что для рассматриваемого материала можно записать свободную энергию в виде суммы упругой энергии без магнитного поля и магнитной энергии при отсутствии деформаций. Кроме этого было введено дополнительное перекрёстное слагаемое, отвечающее за локальное взаимовлияние намагниченности и деформации. Введение данного слагаемого позволило учесть влияние намагниченности образца на упругие свойства материала, а деформации — на закон намагничивания.

• Дана математическая постановка связанной нелинейной задачи маг-нитоупругости при больших деформациях, которая требует совместного решения задач магнитостатики и упругости. Вследствие больших деформаций форма образца значительно изменяется, что сильно влияет на решение задачи магнитостатики. Поэтому граничные условия в задаче магнитостатики задавались на изменяющейся границе. С другой стороны, деформации образца возникают, во-первых, за счёт перепада магнитного давления на границе образца вследствие его намагничивания; и во-вторых, из-за возникновения массовых сил в случае неоднородного магнитного поля внутри образца. Первый эффект учитывался в граничных условиях задачи упругости, второй — внесением дополнительного слагаемого в уравнения равновесия. Кроме этого, локальное взаимовлияние намагниченности и деформаций образца учитывалось за счёт внесения дополнительного слагаемого в выражение для свободной энергии, что привело к новым определяющим соотношениям для ферроэласта.

• Впервые получено точное решение задачи МДЭ для сферического образца феррогеля во внешнем однородном магнитном поле. Действительное удлинение шара, найденное точным расчетом МДЭ, существенно отличается от классического предсказания. Показано, что ошибка, которая возникает при использовании приближения однородных деформаций, составляет около 30%.

• Разработана методика численного решения связанной нелинейной задачи магнитоупругости при больших деформациях. Предложен оригинальный итерационный алгоритм решения связанной задачи, основанный на последовательном решении линейных задач магнитостатики и упругости. Численная реализация алгоритма осуществлена на базе метода конечных элементов с помощью пакета РгееРЕМ++. Решены тестовые задачи, для которых известны аналитические решения, полученные в работе или другими авторами. На основе решений тестовых задач исследована сходимость численного алгоритма и подобраны параметры численной схемы метода конечных элементов.

• Получены численные решения задач о МДЭ для шара, эллипсоида, цилиндра и проведено сравнение удлинения цилиндра в магнитном поле с экспериментом. Методом идентификации произведён подбор уточняющего параметра модели ос\. Показано, что с учётом найденного значения а\ численные результаты хорошо совпадают с экспериментальными данными. Это подтверждает адекватность предложенной модели.

• Исследована связанная задачи магнитоупругости для мембраны. Показано, что прогиб мембраны носит пороговый характер. Найдена аналитическая оценка для значения критического поля. Численно найдено решение задачи о прогибе мембраны в однородном магнитном поле, качественно совпадающее с экспериментом.

1. Dumas J., Bacri J.-С. New method of viscosity measurement near the gelatin sol-gel transition // J. Phys. Lett. (France). — 1980. — Vol. 41, no. 12. — Pp. L279-L282.

2. Bacri J.-C., D D. G. Critical behavior of the elastic constant and the friction coefficient in the gel phase of gelatin // J. Phys. (France).— 1983.— Vol. 44, no. 8.—Pp. 985-991.

3. Zri nyi M., L. В., A. B. Deformation of ferrogels induced by nonuniform magnetic fields // J. Chem. Phys.— 1996.— Vol. 104, no. 21.— Pp. 8750-8756.

4. Direct observation of abrupt shape transition in ferrogels induced by nonuniform magnetic field / M. Z. nyi, L. Barsi, D. Szabo, H.-G. Kilian // /. Chem. Phys. 1997. — Vol. 106, no. 13. — Pp. 5685-5692.

5. Zri nyi M., Barsi L., Biiki A. Ferrogel: A new magneto-controled elastic medium // Polymer Gels and Networks.— 1997.— Vol. 5.— Pp. 415-427.

6. Magnetodeformation effects and other properties of magnetoelasts / L. Nikitin, L. Mironova, K. Kornev et al. // Abstracts of Moscow Internat. Symp. on Magnetism (MISM'99). — Moscow: 1999. — P. 247.

7. Влияние магнитного поля на упругие и вязкие свойства магнитоэласти-ков / JI. Никитин, JI. Миронова, Г. Степанов, А. Самусь // Высокомолекулярные соединения А. — 2001. — Т. 43, № 4. — С. 698—706.

8. Корнев К., Никитин Л., Миронова JI. Изменение формы сферического образца ферроэласта в однородном магнитном поле//Тез. докл. XVI Международн. школы-семинар "Новые магнитные материалы для микроэлектроники". — Т. 2. — Москва: 1998. — С. 387-388.

9. Kato N., Takizawa Y., Takahashi F. Magnetically driven chemomechanical device with poly(n-isopropylacrylamide) hydrogel containing 7-fe2o3 // J. Intellig. Mater. Syst. Struct. — 1997. — Vol. 8, no. 7. — Pp. 588-596.

10. Superparamagnetic gel as a novel material for electromagnetically induced hyperthermia / M. Babincova, D. Leszczynska, P. Sourivong et al. // /. Magn. Magn. Mater. — 2001. — Vol. 225, no. 1-2. — Pp. 109-112.

11. Voltairas P., Fotiadis D., Massalas C. Elastic stability of silicone ferrouid internal tamponade(sfit) in retinal detachment surgery///. Magn. Magn. Mater. — 2001. — Vol. 225, no. 1-2. — Pp. 248-255.

12. Никитин Л., Корпев К, Миронова Л. Магнитные свойства ферроэла-стов и изменение их формы в однородном магнитном поле // Тез. докл 8 Международной Плесской конф. по магнитным жидкостям. — Плес: 1998.—С. 95-96.

13. Ландау Л., Лифшиц Е. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.— 345 с.

14. Алексеев А. Г., Корпев А. Е. Эластичные магнитные материалы. — М.: Химия, 1976.— 198 с.

15. Алексеев А. Г., Корпев А. Е. Магнитные эластомеры. — М.: Химия, 1987, —238 с.

16. Dumas J., Bacri J.-С. New method of viscosity measurement near the gelatin sol-gel transition // J. phys. Lett. (France).— 1980.— Vol.41.—Pp. L279-L282.

17. Zrnyi M., Szabo D„ Kilian H. Kinetics of the shape change of magnetic field sensitive polymer gels I I Polymer Gels and Networks. — 1998. — Vol. 6.—Pp. 441-454.

18. Bednarek S. Magnetoelastic properties of ferroelast within an organo-silicon polymer matrix // /. Magn. Magn. Mater. — 1997. — Vol. 166, no. 1. — Pp. 91-96.

19. Magnetic, elastic, structural, and magnetodeformational properties of magnetoelastics / L. Nikitin, L. Mironova, K. Kornev, G. Stepanov // Polymer ScieneceSer.A. — 2004. — Vol. 46, no. 3. — Pp. 301-309.

20. Magnetodeformational effect and effect of shape memory in magnetoelastics / L. Nikitin, G. Stepanov, L. Mironova, A. Gorbunov // JMMM. — 2004. Vol. 272-276. — Pp. 2072-2073.

21. Magnetism and compressive modulus of magnetic fluid containing gels / T. Mitsumata, K. Ikeda, J. Gong et al. // J. Appl. Phys.— 1999.— Vol. 85, no. 12. Pp. 8451-8455.

22. Nse-study of magnetic phase dynamics in poly(vinylalcohol) ferrogel /

23. G. Torok, V. Lebedev, L. Cser, M. Z. nyi // Physica B. — (2000). — Vol. 276-278.—Pp. 396-397.

24. Hydrodynamics of isotropic ferrogels / E. Jarkova, H. Pleiner,

25. H.-W. M. Her, H. Brand // Phys. Rev. E.— 2003.— Vol. 68,— Pp. 041706-1-041706-8.

26. Optical, magnetic and dielectric properties of non-liquid crystalline elastomers doped with magnetic colloids / A. F. Neto, M. Godinho, T. Toth-Katona, P. Palffy-Muhoray // Brazilian Journal of Physics. — 2005. — Vol.35, no. 1.—Pp. 184-189.

27. Stress-induced birefringence in elastomers doped with ferrofluid magnetic particles: mechanical and optical investigation / C. Senaa, C. Baileyb, M. Godinhoc et al. // J. Magn. Magn. Mater. — 2006. — Vol. 300, no. 1. —Pp. 79-82.

28. Synthesis and magnetic properties of polymer nanocomposites with embedded iron nanoparticles / J. L. Wilson, P. Poddar, N. A. Frey et al. // J. Appt. Phys. — 2004. — Vol. 95, no. 3. — Pp. 1439-1443.

29. Magnetic nanocomposite micelles and vesicles / S. Lecommandoux, 0. Sandre, F. Chécot et al. H Advanced Materials. — 2005. — Vol. 17, no. 6,—Pp. 712-718.

30. Self-assemblies of magnetic nanoparticles and di-block copolymers: magnetic micelles and vesicles / S. Lecommandoux, O. Sandre, b F. Chécot et al. ///. Magn. Magn. Mater. — 2006. — Vol. 300, no. 1. — Pp. 71-74.

31. Preparation and swelling of hydrophilic magnetic microgels / C. Ménager, O. Sandre, J. Mangili, V. Cabuil // Polymer. — 2004. — Vol. 45. — Pp. 2475-2481.

32. Cooperative assembly of magnetic nanoparticles and block copolypeptides in aqueous media / L. Euliss, S. Grancharov, S. O'Brien et al. // Nano Letters. — 2003. Vol. 3, no. 11. — Pp. 1489-1493.

33. Magnetic deformation of self-assembled sexithiophene spherical nanocapsules / I. O. Shklyarevskiy, P. Jonkheijm, P. C. M. Christianen et al. // J. AM. CHEM. SOC.— 2005.— Vol. 127, no. 4.— Pp. 1112-1113.

34. Model of a magnetizable elastic material / V. Naletova, V. Turkov, Y. Shkel, D. Klingenber g //. Magn. Magn. Mater.— 1999.— Vol.202.— Pp. 570-573.

35. Voltairas P., Fotiadis D., Massalas C. V. Modeling the hyperelasticity of magnetic field sensitive gels // J. Appl. Phys. — 2003. — Vol. 93, no. 6. — Pp. 3652-3656.

36. Bregara V., Pavlin M. Effective-susceptibility tensor for a composite with ferromagnetic inclusions: Enhancement of effective-media theory and alternative ferromagnetic approach // Journal of Applied Physics. — 2004. — Vol. 95, no. 11. — Pp. 6289-6293.

37. Kern N., Fourcade B. Vesicles decorated with magnetic particles // Europhys. Lett. — 1997. — Vol. 38, no. 5. — Pp. 395-400.

38. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопласти-ческие деформации: теория, алгоритмы, приложения. — М.: Наука, 1986. —232 с.

39. Лурье А. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.

40. СивухинД. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. 3. — 687 с.

41. Ландау Л., ЛифшицЕ. Теория упругости. — М.: Наука, 1987. — 246 с.

42. Райхер Ю., Столбов О. Магнитодеформационный эффект в ферроэла-сте // Письма в журнал технической физики. — 2000. — Т. 26, № 4. — С. 47-53.

43. Raikher Y., Stolbov О. Magnetodeformational effect in ferrogel samples // J. Magnetism and Magnetic Materials. — 2003. — Vol. 258-259. — Pp. 477-479.

44. Райхер Ю., Столбов О. Деформационное поведение эллипсоидального образца феррогеля в однородном магнитном поле // Прикладная механика и техническая физика. — 2005. — Т. 46. — С. 153—154.

45. Райхер Ю., Столбов О. Управление деформацией ферроэластов с помощью магнитного поля // Российский журнал биомеханики.— 2006. — Т. 10, № 3. — С. 80-90.

46. Stolbov О., Raikher Y. Modeling a magneto-deformational effect induced in a ferroelast by a uniform magnetic field // Тезисы докладов международной научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред". — Пермь: 1999. — С. 51.

47. Столбов О., Райхер Ю. Колебания сферического образца ферроэла-ста в условиях гистерезиса деформации // Тезисы докладов конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах". — Пермь: 2002. — С. 127-128.

48. Stolbov О. V., Raikher Y. L. Magnetodeformational effect in ferrogel objects // J. Magnetism and Magnetic Materials.— 2005.— Vol. 289. — Pp. 62-65.

49. Столбов О., Райхер Ю. Модель магнитодеформационного эффекта в ферроэласте// Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — Пермь: 1998. — С. 22-23.

50. Столбов О., Райхер Ю. Численное моделирование магнитодеформационного эффекта в осесимметричном образце // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — Пермь: 2000. — С. 16.

51. Райхер Ю., Столбов О. Деформирование ферровезикулы однородным магнитным полем // Тезисы докладов международной научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред".— Пермь: 2005. — С. 254.

52. Raikher Y., Stolbov О. Magnetodeformational effect in ferrogel samples // Book of Abstracts "Moscow International Symposium of Magnetism". — Moscow: 2002. — Pp. 283-284.

53. Столбов О., Райхер Ю. Магнитодеформационная восприимчивость образцов ферроэласта эллипсоидальной формы // Тезисы докладов Всероссийской конференции молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках". — Пермь: 2003. — С. 30.

54. Stolbov О. V., Raikher Y. L. Deformation of a ferrovesicle in a uniform magnetic field I I J. Magnetism and Magnetic Materials. — 2006. — Vol. 300, no. 1. — Pp. el99-e202.

55. Деформация плоской мембраны из ферроэласта, закреплённой по ободу, в однородном магнитом поле / Ю. Райхер, О. Столбов, Г. Степанов и др. // Сборник статей научной конференции "Зимняя школа по механике сплошных сред". — Т. 1. — Пермь: 2007. — С. 31—34.

56. Stolbov О. V., Raikher Y. L. Deformation of a ferrovesicule in a uniform magnetic field // Book of Abstracts "Moscow International Symposium of Magnetism". — Moscow: 2005. — Pp. 131-132.

57. Райхер Ю., Столбов О. Силовые характеристики магнитодеформа-ционного эффекта в цилиндрическом образце ферроэласта // Тезисы докладов научной конференции "Актуальные проблемы механики". — Пермь: 2005. — С. 112-113.

58. Блум Э., Цеберс А., Майоров М. Магнитные жидкости. — Рига: Зи-натне, 1989. —386 с.

59. Вонсовский С. Магнетизм. — М.: Наука, 1971. — 300 с.

60. Виноградов Г., Малкин А. Реология полимеров. — Москва: Химия, 1977. — 437 с.

61. Kneller Е. Fine particle theory Magnetism and Metallurgy / Ed. by A. Berkowitz, E. Kneller.— New York—London: Academic Press, 1969. —Vol. 1.- 532 pp.

62. Dormann J.-L., Fiorani D., Tronc E. Magnetic relaxation in fine particle systems. — Adv Chem Phys, 1997. — Vol. 98. — 531 pp.

63. Самарский А. Теория разностных схем. — M.: Наука, 1987. — 370 с.

64. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975. — 542 с.

65. Сегерлинд J1. Применение метода конечных элементов. — М.:: Мир, 1979. —392 с.

66. Тихонов А., Самарский А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977. — 724 с.

67. Brebbia С., Teiles J., Wrobel L. Boundaiy Element Techniques.— Berlin—Heidelberg-New York—Tokyo: Springer-Verlag, 1984. — 464 pp.

68. Ильюшин А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моек ун-та, 1978, —287 с.