Моделирование миграции небесных тел в Солнечной системе тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

,, ~ о А1 1(0

\ 1 НОЙ ®

На правах рукописи

ИПАТОВ Сергей Иванович

МОДЕЛИРОВАНИЕ МИГРАЦИИ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ

Специальность: 01.02.01 - Теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1996 г.

Работа выполнена в Институт« прикладной математика ни. М. В. Келдыша Российской Академии Наук

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук,

профессор Герасимов Игорь Анатольевич Доктор физико-математических наук,

профессор Сокольский Андрей Георгиевич Доктор физико-математических наук, профессор,

член-корр РАН Фридман Алексей Максимович

Ведущая организация:

Институт Планетарной Геофизики Объединенного Института Физики Земли им. О. Ю. Шмидта РАН

Защита состоится "_"_ 1996 г. в _ часов на

заседании диссертационного Совета Д. 002.40.01 при Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИПМ им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан " "_ 1996 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д. 002.40.01, кандидат физико-математических наук

Т. А. Полилова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Многие задачи небесной механики н планов космогонии требуют исследований эволюции орбит гравитационно имоденствующих небесных объектов, движущихся вокруг Солнца.

В последние годы в мире большое внимание уделяется опасности, ожающей Земле со стороны небесных тел, которые могут столкнуться ней. Рабинович и др. (D. Rabinowitz et al., in "Hazards due to lets and asteroids", ed. T. Gehrels, University of Arizona Press, :son & London, 1994, 285-312) полагают, что среди Астероидов, ¡иты которых могут пересекать зону захвата (capture cross tion) Земли в результате долгопериодических возмущений планет, гется около 1500 объектов диаметром d>1 км и 135000 объектов »метром ¿/>100 м. По мнению А. Г. Сокольского, число таких ерОидов еще больше. Быстро увеличивается число обнаруженных ьектов, которые могут столкнуться с Землей. На начало 1995 г. ли известны орбиты 350 объектов с перигелиями qs 1.3 а.е. Тела, дебные Тунгусскому объекту (диаметром около 60 м), способны ячтожить большой город. Последствия столкновений с Землей более /пных тел могут быть еще более катастрофическими. Поток :мического вещества на Землю вызывал массовое вымирание живых ганизмов на нашей планете и продолжает являться серьезной ясностью для цивилизации.

Исследование современной миграции тел к Земле из различных частей Солнечной системы, изучение механизма пополнения групп ьектов, сближающихся с Землей, (ОСЗ) и оценки вероятностей элкновений ОСЗ с Землей помогают лучше понять распределение тел, ходящнхея в окрестности Земли, по массам и элементам орбит и ганнзовать эффективную систему наблюдения этих объектов и защиту мли от них.

Основными источниками объектов, сближающихся с Землей, итаются астероидный и занептунный пояса. Поэтому представляет (терес изучение эволюции орбит небесных тел, составляющих эти яса, и особенно механизмов миграции этих тел к Земле, ¡следование эволюции резонансных орбит астероидов помогает понять юблему формирования люков в астероидном поясе. Первый объект нептунного пояса был обнаружен в 1992 г., а в конце 1995 г. было вестно уже 30 объектов с большими полуосями орбит от 35 до 48 е. Эксцентриситеты орбит этих объектов невелики, а их диаметры >рядка 100-300 км. Задолго до обнаружения объектов занептунного )яса существование этого пояса предсказывалось Эджеверсом (К.Е.

Edgeworth, Monthly Not. Royal Astr. Soc., 1949, v. 109, 60 Койпером (G.P. Kuiper, in Astrophysics: A topical symposium, J Hynek, ed., McGraw-Hill, NY, 1951. 357-424), Уиплом (F.L Whipf Proc. Nat. Acad. Sei., 1964, v. 51, 711-718), T.M. Энеевым (ПиС1 в Астрон. ж., 1980, т. 6, 295-300) и другими учеными. По мнен Т.М Энеева, занептунные пояса состоят из планетезималей, успевших объединиться в планеты, основная масса метеорного вещее приходит из занептунного пояса, а Плутон являлся одним из занептунного пояса.

Результаты изучения процесса формирования планет являю' отправной точкой при построении моделей строения Земли и дру] планет. В настоящее время большинство исследователей считает, < на некотором этапе формирования Солнечной системы газопылевой оi лосолнечный диск разбился на большое число разреженных газопылев сгущений. • Согласно космогонической модели Т.М Энеева и H.H. Козj ва (Астрой, вестник, 1981, т. 15, N 2, 80-94) сгущения объединил) в гигантские разреженные протопланеты раньше, чем они сжались плотности твердых тел. Сторонники твердотельной аккумуляции пла] считают, что пылевые сгущения, увеличив свои массы на несколько г рядков, сжались до плотности твердых тел и превратились в плане-] зимали. Согласно В.С Сафронову и A.B. Витязеву (Итоги науки техники, сер. астрон., 1983,- т. 24. ВИНИТИ, 5-93), массы наибольи сгущений - первичных твердых тел достигали 1020, 102S, 1027 и V г, соответственно в зонах Земли, Юпитера, Сатурна и Нептуна, многих работах (B.C. Сафроиов и A.B. Витязев, 1983, Итоги науки техники, сер. астрон., т. 24. ВИНИТИ, 5-93; A.B. Витязев, Г Печерникова, B.C. Сафронов, 1990, Планеты земной груш Происхождение и ранняя эволюция, "Наука") считается, что плане земной группы и ядра планет-гигантов образовались из | планетезималей, двигавшихся вокруг Солнца первоначально по по* круговым орбитам и образовывавших диско- или торообразную струил вокруг молодого Солнца. В.Н. Жарков и A.B. Козенко (Письма Астрон. журн., 1990, т. 16, 169-173) предположили, что зароды Урана и Нептуна могли сформироваться недалеко от орбиты Сатур; Различные модели процесса аккумуляции планет ставят различные зах чи миграции небесных объектов в формирующейся Солнечной систе] Строение и состав планет зависят от времени формирования планет, распределения масс тел, выпадавших на планеты, и от первок чальных орбит планетезималей, вошедших в планету, так как сос~ планетезималей был различным на разных расстояниях от Солнца.

Формирование планет из протопланетного облака - это очень ложный процесс, зависящий от многих факторов. Сопротивление газа и ккреция пыли уменьшают эксцентриситеты орбит планетезималей. Тела огут разрушаться при взаимных столкновениях и при движении в зоне оша зародыша планеты. Однако исследование эволюции диска тел, вижущихся вокруг Солнца, под влиянием только двух факторов: заимного гравитационного влияния тел н их объединений является ажным шагом на пути понимания миграции тел в формирующейся Солнечной системе.

Исследования миграций тел в формирующейся Солнечной системе озволяют также лучше понять состав н число тел различных масс в азных областях Солнечной системы, в частности, в астероидном и анептунном поясах. Результаты моделирования эволюции орбит равитационно взаимодействующих тел используются н при изучении роцесса формирования осевого вращения планет.

Моделирование на ЭВМ эволюции дисков, состоящих из сотен равитирующих объектов, на интервалах в десятки-сотни миллионов лет утем численного интегрирования уравнений движения не под силу эвременным ЭВМ. Поэтому при моделировании эволюции таких дисков елесообразно применять приближенные методы учета гравитационных заимодействий тел. При использовании этих методов необходимо ценивать, насколько точно они моделируют реальное взаимодействие гл, и определять границы применимости этих методов. Для пределения характерного времени Ат до сближения двух тел, вижущихся вокруг Солнца, до некоторого расстояния г^ обычно спользуют схему Эпика (E.J. Öpik, Ргос. Roy. Irish. Acad., 1951, А54, 165-199). В этой формуле Ат зависит от средней гносительной скорости и не зависит от синодического периода 5ращения Г.. На самом деле Ат существенно зависит от 7\.

i <5

Построение и исследование приближенных методов эволюции орбит >авитирующих тел ставят задачу изучения зависимости от начальных зиных пределов и характера изменений элементов гелиоцентрических рбит двух небесных объектов. Взаимодействие двух тел в поле >етьего массивного тела можно рассматривать как элементарный роцесс в протопланетном диске, состоящем из большого числа тел, :ли масса диска мала по сравнению с массой центрального тела -олнца. Результаты исследований эволюции орбит двух гравитирующих Уъектов, движущихся вокруг Солнца, позволяют также оценивать »меры зон питания изолированных зародышей планет. Одним из типов ¡аимодействий двух объектов, движущихся по близким орбитам,

является движение около треугольных точек либрации. В современной Солнечной системе примерами объектов, движущихся около этих точек, являются троянцы Юпитера н аналогичные "троянцы" для других планет, а также некоторые спутники Сатурна.

Пелью работы являются исследования миграции иебесных тел (астероидов, объектов занентунного пояса, планетезималей н зародышей планет) в формирующейся и современной Солнечной системе. Эти исследования основаны на результатах моделирования на ЭВМ на больших интервалах времени эволюции орбит нескольких (двух, трех, сотен) гравитационно взаимодействующих небесных объектов, движущихся вокруг массивного центрального тела (Солнца), а также на ряде аналитических оценок.

Метокика исследования. Исследования эволюции орбит небесных объектов (материальных точек ш тел, объединяющихся при столкновениях), на основании которых проводилось рассмотрение миграции малых ■чл в современной Солнечной системе а миграция тел при формировании лланет, осуществлялись в основном путем моделирования на ЭВМ. Численное интегрирование уравнений движения задачи трех тел (Солнце и д?а его спутника) на интервале в несколько тысяч (или десятков ты:яч) оборотов тел вокруг Солнца проводилось методом Булирша-Шгера (R. Bulirsh and J. Stoer, Numerische Mathematik, 1966, v. 8, 1-13). Исследования эволюции орбиты объекта занептуиного пояса под влиянием г^ланет-гигаитов на интервале в несколько десятков миллионоь лет проводились с помощью интегратора RMVS2 (H.F. Levison and M.J. Duncan, Icarus, ¿394, v. 108, 18-36).- В рамках ограниченной плоской круговой задачи трех тел аналитически исследовались движения око то треугольных точек либрации.

При исследовании зьолюции дисков из сотен тел гравитационное влияние учитывалось методом сфер действия. В отличие от использовавшейся ранее схемы Эпиха вероятность сближения двух тел до радиуса рассматриваемой сферы определялась по другому алгоритму, учитывающему, . в частности, зависимость этой вероятности от синодического периода обращения. Выли разработаны эффективные методы выбора пар тел диска, сближающихся до радиуса рассматриваемой сферы. Эволюция пространственных дисков исследовалась на основе результатов плоских дисков условных тел путем соответствующей редукции пространственной эволюционной задачи к плоской.

Результаты моделирования на ЭВМ эволюции дисков, состоящих из нескольких сотен тел, вместе с аналитическими исследованиями зависимостей изменений среднего эксцентриситета и времени эволюции

писка от числа тел, составляющих диск, использовались при оценках эволюции дисков, состоящих из большого числа тел. Исследования формирования осевых вращений планет базировались на результатах численных расчетов относительного движения тел и на новых аналитических формулах.

Научная новизна работы.

Впервые получено, что максимальная (по различным начальным орнентациям орбит) область начальных значений больших полуосей и эксцентриситетов орбит, при которых для резонанса 2:5 с» ;пиже::ием Юпитера фиктивные астероиды за 105 лет проникают вяуг.;ь орбиты Марса, близка к области, свободной от реальных астероидов. Многие астероиды, достигающие орбиты Марса, достигают также орбиты Зе-:ли. Более подробно, чем в работах других авторов, исследованы и систематизированы взаимосвязи изменен«)', элементов резонансных орбит астероидного типа. Впервые определены диапазоны изменений элементов орбит при этих типа*.

Впервые исследована роль взянмкого гравитационного влияния тел занептунного пояса. Благодаря зтему влиянию некоторые тела нз внешней части занептунного пояса могут мигрировать во внутреннюю часть этого пояса. Получено, что под влиянием планет-гигантов некоторые тела могут уменьшить перигелии своих орбит с 34 до 1 а. е. за несколько десятков миллионов лет.

Впервые проведены численные расчеты пополнения семейства тгл, целиком находящихся внутри орбиты Земли. Получены меньшие, чем ранее, характерные времена выпадения тел на Землю. Впервые отмечено, что для половины тел, сталкивающихся с Землей, интервал времени между выходом на орбиту, пересекающую орбиту Земли, н столкновением с Землей может не превышать 5 млн. лет.

В рамках задачи трех тел более подробно, чем ранее, исследованы области исходных данных, соответствующих различным типам эволюции двух близких гелиоцентрических орбит, и впервые изучены максимальные эксцентриситеты орбит для этих типов.

Разработаны новые алгоритмы моделирования методом сфер эволюция дисков гравитнрующих гея, движущихся вокруг Солнца. Предложенные формулы вычисления характерных времен Ат до сближений (до радиуса рассматриваемой сферы) и столкновений двух тел позволяют учесть более тонкие эффекты взаимодействий тел, чем формулы Эпика. Например, показано, что распределение объектов, сближающихся с Землей, по эксцентриситетам орбит для малых (¿<50 и) диаметров, может быть таким же, как и для больших Л, хотя средние эксцентрнси-

теты наблюдаемых малых тел меньше. Впервые получены формулы дг.? вычисления Дт в случае переменного угла ti между плоскостями орбит. В этом случае значения Лт могут быть в несколько раз меньше, чем при фиксированном среднем значении А/. Предложен алгоритм моделирования эволюции дисков, состоящих из большого числа гравитирующих тел, который можно использовать при изучении не только начальных,. но и конечных стадий твердотельной аккумуляции планет. Разработаны более быстрые алгоритмы выбора пар сближающихся (до радиуса рассматриваемой сферы) тел диска. Предложены формулы перехода между декартовыми и орбитальными координатами, обеспечивающие . высокую точность вычислений при малых эксцентриситетах и наклонениях.

Результаты численных расчетов для модели твердотельной ахкумуляции планет подтвердили и уточнили многие результаты, полученные ранее аналитически в Объединенном Институте Физики Земли нм. О.Ю. Шмидта РАН (выброс большинства тел из зон планет-гигантов на гиперболические орбиты; большие массы некоторых тел, выпадавших на планеты; средние эксцентриситеты орбит тел в зонах питания планет). Получено сильное перемешивание планетезималей в ходе аккумуляции планет и выпадение крупных тел на зародыши планет. Впервые показано, что, если, как' предположили В.Н. Жарков и A.B. Козенко (Письма в Астрон. ж., 1990, т. 16, 169-173), зародыши Урана и Нептуна сформировались около орбиты Сатурна, то из-за гравитационных взаимодействий с мигрировавшими планетезималями они могли достигнуть современных орбит этих планет, двигаясь все время по почти круговым орбитам.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут быть использованы при исследованиях на больших интервалах времени эволюции орбит. гравитирующих тел, движущихся вокруг массивного центрального тела (Солнца). Например, при изучении миграции малых тел к Земле из астероидного и занептунного поясов, эволюции резонансных и нерезонансных гелиоцентрических орбит, движения тел около треугольных точек либрации, аккумуляции планет из вещества протопланетного облака и исследовании формирования осевого вращения планет. Изучение миграции небесных тел к Земле является одним из шагов к построению модели распределения объектов, сближающихся с Землей, по массам и элементам орбит и организации защиты Земли от столкновений с этими объектами. Результаты исследований процесса аккумуляции планет лежат в основе моделей строения планет. Методы выбора пар контактирующих объектов (например, тел, сближающихся до

радиуса рассматриваемой сферы) могут применяться при изучении различных систем с бинарными взаимодействиями. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов - по динамической астрономии и планетной космогонии.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Совещании по проблеме вращения планет в постановке О.Ю. Шмидта (Москва, 1981), XI Научных чтениях по космонавтике (Москва, 19S7), Всесоюзной конференции "Методы исследования движения, физика и динамика малых тел Солнечной системы" (Душанбе, 1989), Всесоюзном совещании "Методы компьтерного конструирования моделей классической н небесной механики-89" (Ленинград, 1989), семинаре Отделения земного магнетизма института Карнегк (Вашингтон, 1990), Всесоюзном совещании "Алгоритмы и программы небесной механики" (Ленинград,

1990), Международной конференции IMACS "Математическое моделирование и прикладная механика" (Москва, 1990), Международной конференции "Формирование и эволюция Солнечной системы" (Москва,

1991), VII Всесоюзном съезде по теоретической н прикладной механике (Москва, 1991), Международной конференции "Динамика планетезнмалей" (Санта-Барбара, 1992), Конференции с международным участием "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика" (Санкт-Петербург, 1993), Международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии" (Санкт-Петербург, 1994), Международной конференции "Малые тела в Солнечной системе и их взаимодействия с планетами" (Мариехамн, Финляндия, 1994), Комплексной конференции с международным участием "Астероидная опасность-95" (Санкт-Петербург, 1995), Международной конференции "Экологические последствия для биосферы Земли падения космических тел типа тунгусского метеорита" (Москва-Томск, 1995), Международном симпозиуме MAC № 172 "Динамика, эфемериды и астрометрия в Солнечной системе" (Париж, 1995), Международной научно-практической конференции "Анализ систем .на пороге XXI века: теория и практика" (Москва, 1996), Конференции "Наша галактика" (Москва, 1996), Международной конференции "Астероиды, кометы, метеоры 1996" (Версаль, 1996), Международном совещании "Тунгуска-1996" (Болонья, 1996). Были представлены стендовые доклады на YI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986),. Всесоюзном совещании с международным участием "Астероидная опасность" (Санкт-Петербург, 1991), Второй международной конференции по планетам (24-ом совещании Отделения наук о планетах Американского астрономического общества) (Мюнхен, 1992), Международной

конференции "Планетные системы: Формирование, эволюция и поиск" (Пасадена, 1992), Международном симпозиуме MAC № ISO "Астероиды, кометы, метеоры 1993" (Белджирейт, Италия, 1993), Комплексной конференции с международным участием "Астероидная опасность-93" (Санкт-Петербург, 1993), 20~ом россайсхо—американском совещании по сравнительной планетологии (Москва, 1994), 22-ой Метеоритной конференции (Черноголовка, 1994), Международном симпозиуме "Льды Солнечной системы" (Тулуза, 1995), Международной конфергнцнк "Астероиды, кометы, метеоры . 1996" (Вгрсаль, 1996), Международной конференции "Астероидная оягсность-9о" (Санкт-Петербург, 19S6). Результаты исследований неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах: по теоретической и прикладной механике Института прикладной математики АН СССР, по Солнечной системе Астросовета АН СССР, группы эволюции Земля Института физики Земли АН СССР и по механике космического полета кафедры теоретической механики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

В целом диссертационная работа докладывалась и обсуждалась: на семинаре Института наук о планетах (Берлин, октябрь 1995), семинаре Отделения математики Нотр-Дамского Университета (Намюр, Бельгия, ноябрь 1995), семинаре Армахской обсерватории (Арма, Северная Ирландия, ноябрь 1995), семинаре Астрономического отделения Школы математических наук Лондонского университета (Лондон, ноябрь 1995), общеинститутском семинаре Института теоретической астрономии РАН (Санкт-Петербург, май 1996), семинаре лаборатории "Происхождение и эволюция Земли и планет" Института планетарной геофизики ОИФЗ РАН (Москва, май 1996), заседании Совета по небесной механике Государственного астрономического института им. П. К. Штейнберга (Москва, май 1996) и научно-техническом совете направления № 2 Института прикладной математики РАН (Москва, июнь 1996).

Часть проведенных исследований поддерживалась грантами РФФИ № 93-02-17035 и № 96-02-17892, а также грантами NSF № PHY89-04035 и ESO № В-06-018.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 79 работах [1—79] общим объемом более тысячи страниц. Большая часть текстов глав I, II, IV, VI и VII опубликована в виде статей [63, 47, 50, 48 и 72], соответственно.

Структура ц. объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и библиографического списка литературы, включающего 397 наименований. Общий объем работы 387 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обсуждаются цели и задачи исследования, излагаются основные результаты диссертации и их отличия от результатов работ других авторов. Подробнее обзор имеющейся литературы по теме диссертации содержится в главах диссертации.

В. главе 1 исследуется эволюция двух близких гелиоцентрических орбит гравитационно взаимодействующих небесных объектов [3-4, 7, 20, 54-55, 58, 63]. Взаимодействие двух таких объектов является элементарным процессом в гтротогтланетном диске. ИзучеЯиг этого взаимодействия позволяет лучше понять процесс эволюции диска плакетезнмалей, оценить зоны питания зародышей планет н гравитационное злнскке планетезимслей на эволюцию орбнт другая небесных с5ъе?;тез. Некоторые тела, мигрирующие з Солнечной системе, з течение некоторого интервала Бремени могут пересекать орбиту только одной планеты и их взаимодействие с стой планетой можно приближенно рассматривать з рамках задачи трех тел. Например, некоторые астероиды пересекают только орбиту Марса или только орбиту Земли. Одним из типов взаимодействий небесных тел, движущихся по близким орбитам, является движение около треугольных точек лнбрацик. В современной Солнечной системе примерами объектов, движущихся около этих точек, являются троянцы Юпитера к аналогичные "троянцы" для других планет (например, астероид 1990МВ, являющийся "марсианским троянцем" [S. Mikolla and К. Innanen, Astron. J., 1992, v. 104, 1641-1649]), а также спутники Сатурна Янус (1980S1) и Эпиметей (1980S3), Диона и Елена (1980S6), Тефия, Телесто (1980S13) и Калипсо (1980S25), находящиеся между собой в резонасе 1:1 (Л.П. Насонова, Итоги науки и техники, сер. Исслед. космич. пространства, 1991, т. 35, 70-133; P. Goldreich and S. Tremaine, Annu. Rev. Astron. Astrophys., 1982, v. 20, 249-280).

Путем численного интегрирования плоской задачи трех тел исследована эволюция орбит около тысячи пар гравитационно взаимодействующих объектов - материальных точек (МТ), движущихся вокруг Солнца. Изучены характерные изменения орбит для следующих типов эволюции орбит: движения около треугольных точек либрации по головастикообразным и подковообразным синодическим орбитам (N- и Af-типы), случай тесных сближений (до радиуса сферы действия) объектов (А-тип) и хаотические изменения элементов орбит, при которых невозможны тесные сближения МТ (С-тип). Отношение Jij массы большей МТ к массе Солнца варьировалось от Ю-9 до 10"3, рассматривалась не только ограниченная задача трех тел, но и случай

одинаковых МТ (/i^fij). Рассматриваемый интервал времени в большинстве серий расчетов равнялся 2500<о или 25000<о, где i -время оборота первой МТ вокруг Солнца.

В случае первоначально круговых орбит двух гравитационно взаимодействующих МТ уточнены границы областей исходных данных, соответствующие различным типам изменений элементов орбит этих МТ. Впервые подробно рассмотрен случай одинаковых МТ и зависимости указанных выше областей от исходного угла между направлениями на - МТ, а также определены максимальные эксцентриситеты и диапазоны изменений расстояний МТ от Солнца для этих типов.

Со временем некоторые jV-орбиты (т.е. орбиты JV-типа) могут переходить в Af-орбиты, а С- и М-орбиты - в А-орбиты. При Ы00Т$ (Ts — синодический период обращения) такие переходы редки. В случае первоначально круговых орбит («о=0) при исходном угле с вершиной в Солнце между направлениями на МТ (ро=60°, КГ^д^Ю-4 и рассматриваемом интервале времени Го~1(Ло максимальные значения Сд={а°-а°)/а° для N-, М-, А- и С-типов АЛ получены равными соответственно о=1.63-1,64* ц1/2, ß=0.77-0.81*ni/3, у=2.1-2.45'Ц1/3 и 5=1.45-1.64*д2/7, где а° к а° - исходные значения больших полуосей а орбит МТ, При других значениях <ро значения ос, ß

и 5, как правило; меньше. В работах других авторов (J. Bim, Astron. Astrophys., 1973, v. 24, 283-293; В. Gladman and M. Duncan, Astron. J., 1990, v. 100, 1680-1693; B. Gladman, Icarus, 1993, v. 106, 247-263 и др.) рассматривались значения у только при f>o=180° и Фо=0, а значения ß точно не оценивались. Дункан и др. (М Duncan, Т. Quinn, and S. Tremaine, Icarus, 1989, v. 82, 402-418) методом отображений получили 5=1.49*(iZ/7. Результаты проведенных нами расчетов показывают, что в случае М-орбиты

неустойчивы, а=£«0.5'Д1/3, у=1.8-2.1*ц1/3 и б=2.3-2.4*Ц2/7 для Фо=60°, а при других <Ро значения 5 и ß могли быть меньше соответственно на треть и более, чем в 5 раз. Для /i^lO-5 значения этих величин при варьировании f>g в основном отличались не более, чем на 10 %. В протопланетном диске каждая планетезималь могла тесно сближаться с несколькими соседними планетезималями, однако в ряде случаев взаимодействие зародыша планеты с планетезималыо можно рассматривать в рамках задачи трех тел.

При lO^SfijSlO-4 и <Ро=60° отношение (0-а)/8 (т.е. доля М-орбит среди N-, Ai—, Ar- и С-орбит) меняется в пределах от 0.18 до 0.25. Чем меньше ¿ц, тем меньше доли N- и Л-орбит и тем больше доля С-орбит. При М1=ц2=10~9 доли С- H'i4-op6nT примерно одинаковы (jr-ß»5-jr).

В ряде случаев при некоторых cq , принадлежащих подобласти, лежащей внутри интервала [3, у], были получены С-орбиты, а при некоторых ео€[у, 3] элементы орбит менялись периодически.

Движение около треугольных точек либрации исследовалось не только численно, но и аналитически. В рамках плоской ограниченной круговой задачи трех тел получено, что Е2яеф2-8цЛ4(^)/3, где

c^v^/a,, £.=£^(60°)=/ е02+8цЛ*(»о)/3,

Af(<p)=(l-cosy)+{2(l-cos(p)]~1/'2-1.5, tp - угол с вершиной в гравитнрующем центре (Солнце) между направлениями на второе и первое тела. При выводе этой формулы считалось, что в ходе эволюции орбиты тел близки к круговым, а значения (р не очень малы.

При е =0 получено, что минимальные значения œ , соответствуем 4M О

ющие М- и Af-типам, близки к 0.4 и 4 ц рад., соответственно. Графики изменений а со временем имеют N- или М-образный вид. Чем меньше fi, тем ближе М-образные изменения а к /7-образным. Периоды изменений a(t) для N- я М-орбит максимальны при Сд~а и при этом могут в 2-6 раз превышать Tg, где - синодический период обращения при движении МТ по фиксированным исходным орбитам.

В случае тесных сближений МТ (А-тип) графики изменений элементов орбит со временем, полученные при различных значениях ef точности интегрирования на шаге, близки друг к другу в основном тсльхо до первого очень тесного сближения МТ. Однако, характер и пределы изменений элементов орбит для этих графиков примерно одинаковы. Варьирование ef оказывает такое же влияние на изменения элементов орбит, как и варьирование исходных положений МТ на орбитах.

В случае HjSlO-5 и ео=0 максимальные эксцентриситеты обычно не превышают 7-8при fi^fig и 4-6«ц)1/3 при P^Mj для А-типа, а также 4-6»|iJl/3 при У^Ц^ и 4 ц^3 при ц(=/12 для С-типа. Когда МТ движутся внутри сферы Хилла, оскулирующие эксцентриситеты их гелиоцентрических орбит могут быть значительно больше этих значений . Максимальное удаление МТ от Солнца для А- и С-типов достигало соответственно 1+1.58 и 1+26 при n1=fi2=10-9 и 1+5.6Ô и 1+6.65 при ца=10~5щ .

При больших исходных эксцентриситетах е° и значения 3 меньше, у и е , как правило, больше, а а почти такое же, как и при меньших значениях е° и е°. При некоторых исходных ориентациях орбит для Nj=M амплитуда долгопериодических изменений е может превышать ео-тах{е°, е^}. Обычно етх£^е0- Полученные результаты позволяют в ряде случаев (например, при первоначально круговых ор-

битах) определять по начальным данным характер н пределы нзмененнй элементов орбит двух гравитационно взаимодействующих объектов.

В ряде случаев (особенно при д^КГ5»/^) для И^-А были получены выходы МТ на резонансные орбиты. Обычно через несколько сотен / эти резонансные соотношения нарушались. При большинстве рассмс |>енных резонансов (Г2:Г,=2:1. 12:5, 13:5, 4:5, 7:5; Т{ -период обращения /-Й Л\Т вокруг Солнца) а не менялись периодически с небе, .шой амплитудой, а изменения долготы перигелия я были невелики. При резонансах 6:5 и 5:4 были получены монотонные изменения « и к.

вчаодц ®г славе. Л

При численном исследовании эволюции орбит двух гравитирующих тел, движудих«*?: вокруг массивного центрального тела по близким первоначально круюзым орбитам, более подробно, чем ранее, изучены области исходных лаиных, соответствующих различным типам эволюции, и впервые определены максимальные эксцентриситеты орбит, соответствующие случаю тесных сближений и хаотическим изменениям орбит без тесных сближений. В случае эксцентричных орбит пределы изменений эксцентриситетов могут определяться в основном не массами тел, а их исходными эксцентриситетами. На основе аналитических исследований плоской ограниченной круговой задачи трех тел в случае резонанса 1:1 получены новые формулы, описывающие относительное движение тел.

В. главе II исследуется эволюция орбит астероидного типа при резонансе 2:5 с движением Юпитера [5, 24-25, 29, 33, 35, 38, 42-44, 47]. Эти исследования базируются в основном на результатах численного интегрирования полных ур~в''зиий движения задачи трех тел (Солнце-Юпнтер-астеронд) для 500 фиктивных астероидов. В большинстве вариантов расчетов рассматриваемый интервал времени Го=104/Л, где - время оборота Юпнгсрч рэкруг Соляца. Кроме современного эксцентриситета орбиты Юяитера ^■=0.0484, рассматривался также случай ^"0.06. Это связано с тем, что, согласно Дж. Эмгейту и др. (¿Н. Арр1е£а1е е! а/., АМгоп. X, 1986. V. 92, 176-194), за 200 млн. лет е, менялось в иределги 0.025-0.062, а для больших е. максимальные значения «

<1 МХ

эксцентриситета астероида также оказываются ба.>-'ими. Интегрирование проводилось в декартовых координатах с помощью алгоритма ВШЛТО. Использовались предложенные соискателем формула

перехода от прямоугольных координат (х, у,х,х,у,2) к орбитальным

(sinw, cose, esinu к ecosa, где u=0Ht), не содержащие при z~>0 я

7->0 неопределенностей веда 0/0.

В настоящее время наиболее популярна гипотеза происхождения люков Кирквуда, согласно которой в ходе эволюции эксцентриситеты резонансных орбит астероидов достигали значений, при которых их перигелии лежали внутри орбиты Марса. Уиздом (J. Wisdom, Astron. J.. 1982, v. 87. 577-593) для люка 1:3 и Шидлнховский (М. Sidlichovsky, Bull. Aslron. Inst. Czech., 1986, v. 37, Nt 2, 65-80) для люка 2:5 высказали эту гипотезу, основываясь на исследованиях хаотических орбит. С.И. Ипатов (автореферат канд. диссертации, 1982; [20-21]) на основании расчетов, опубликованных в 1980 г. [5], независимо сделал аналогичное предположение о миграции аз этих люков астероидов, двигавшихся по квазипериодяческим орбитам. Впервые соискателем было получено [24-25], что для соизмеримости 2:5 с движением Юпитера область исходных значений ао ш eQ (больших полуосей н эксцентриситетов) орбит, при которых для каких-либо исходных ориентации орбит и исходных положений на орбитах фиктивные астероиды достигают за 10* оборотов Юпитера орбиты Марса, близка к области, свободной от реальных астероидов. Показано, что тесные сближения астероидов с Марсом и Землей могли быть одной из причин образования люка Кирквуда 2:5. Рассматривалась как плоская модель, так и различные значения исходного наклонения (о орбиты астероида. Соискатель впервые показал, что при резонансе 2:5 для некоторых исходных ориентаций орбит области значений ао н ео, при которых за 7'o=104íj достигаются орбиты Марса и Земли, примерно одинаковы для этих планет. При других исходных ориентациях эти области могут сильно отличаться. В среднем при ¿о=0.15 более 1/6 астероидов могут за 100 тыс. лет достигнуть орбиты Земли. Осколки таких астероидов могут составлять заметную часть тех хондрнтов группы Н, возраст которых меньше 10 млн. лет. Средние времена миграции тел к орбите Земли из других областей Солнечной системы больше, чем из окрестности резонанса 2:5.

Более подробно, чем в работах других авторов, соискателем были исследованы взаимосвязи изменений элементов орбит астероидного типа при резонансе 2:5, а также в некоторой его окрестности. В большинстве вариантов расчетов при eQS0.2 период Tg долгоперноднческих изменений е равнялся периоду Гдк изменений Ди разности долгот перигелиев астероида и Юпитера. В этом случае типы АГ_ взаимосвязей изменений in я е (си. табл. 1) можно

охарактеризовать с помощью формулы А*=360°(/-/+)51[/Ге+^+А1Г^, где Ая* и А*~ - значения Ая соответственно в те моменты времени н /_, когда е достигает максимума и минимума. £ - это колебательная составляющая Ая, |£|<180° и С®0 при /=/+±кТ^/2, (к=0, 1, 2....). ^=1, если при /=<+ дЬж/ОЬО и 1, если вДя/в/<0; есп при

Ы_ 9Аж/ЭЫ) и ^=-1, если 5А*/9/<0; Ая - это долгопериог ческие изменения Ая, осредиеиные по короткопериодическим изменени и. Л -резонансная орбита, а N - нерезонансная орбита. Таблица 1.

"я В С О н ] Q г г £1 В* / О

"а Л Л Л я я к Я я N •V N N N

1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 0 0 1 -1

180° 180° 0 0 0 0 180° 180° : •••'•' 180° 0 0 180°

1 1 -1 -1 1 1 0 -1 1 1 1 1 -1

0 180° 180° 0 0 180° 180° ! 90° 180° 0 180° 0

1 -1 -1 1 -1 1 0 -1 -1 -1 1 -1

Подобная классификация орбит р- .ее не проводилась. Изменения элементов орбит при , N^=5, А^У, Л^Ж=Г и не были

получены другими авторами ни п" ..аких резонансах.

В случае и ¿о=40с были выделены также следующие типы

изменений элементов орбит: Таблица 2.

"я хг Ц7+ Л' и~ и* У

"а Л я я N N N

-1 1 -1 -1 1 -1

5а> 1 1 0 1 1 0

Значения и характеризуют знаки изменений долготы восходящего узла О к аргумента перигелия ах При 5^=0 нет монотонной составляющей и>. Отметим, что для всех типов, представленных в табл. 1. V1 и %="1-

Рассмотрены пределы изменений элементов орбит и области ад, гд н <о, соответствующие различным типам Л^ Если исходные данные лежат недалеко от границ этих областей, то типы могут меняться в ходе эволюция. Например, Н*0*В. Для каждого из типов N1[ получены пределы изменений а, е и <' и периоды изменений е, . I, и и О. При типах В, Ю и Н все рассмотренные фиктивные астероиды в ходе эволюции достигали орбиты Марса, а при Л^=С также и орбиты Земли.

Время, за которое аргумент перигелия и менялся на 360°, обычно равнялось двум периодам изменений наклона I орбиты (Ги=2Т-). При

этом { менялось также с периодом Соотношение Ги=2Г(. и

взаимосвязи изменений е, < и и за время Т- объясняются на основе аналитических исследований. При N^=0 и N^=<2 получено Т^Гд, где Тп - время, за которое долгота восходящего узла О менялась иа 360 . Для ряда астероидов, двигавшихся по слабо наклоненным и эксцентричным орбитам, получены взаимосвязи между периодами изменений сразу четырех элементов орбит: е, I, и и & а)

Те=Т*ГТГТы=ТГТ1х для б) Те*ГГТГ2Ты=Т*ГТЬж для V0"' ">

2Ге=Г^=2Г^Ги«Г0 для УЯ=Г. Для типов и в зависимости от

значений Г^/Гу Г^/Гц, Гд/Гы. и 7^/Г^ выделено несколько

подтипов ЛГф.

При начальных наклонах орбит астероидов <в=40° максимальные значения наклонов орбит некоторых фиктивных астероидов достигали 160° и эти астероиды могли выпадать на Солнце или приобретать почти параболические орбиты. ~

Выводы ио главе II;

Путем численного интегрирования полных уравнений движения задачи трех тел (Солнце-Юпитер-астероид) исследованы изменения со временем элементов орбит 500 фиктивных астероидов. Впервые получено, что в случае соизмеримости 2:5 максимальная (по различным исходным орнентациям орбит) область исходных значений больших полуосей и эксцентриситетов орбит, при которых фиктивные астероиды за 105 лет достигают орбиты Марса, близка к области, свободной от реальных астероидов. Зависимости этих областей от наклонений орбит астероидов также одинаковы. Многие фнхтивные астероиды, достигавшие в ходе эволюции орбиты Марса, достигали также орбиты Земли. Полученные результаты показывают, что тесные сближения астероидов с Марсом и Землей могли быть одной из причин образования люка Киркву-да 2:5 в астероидном поясе. Рассмотренные фиктивные астероиды достигали орбит Марса н Земли, как правило, при определенных типах взаимосвязей между долгопериодическими изменениями эксцентриситета астероида и разности долгот перигелиев астероида и Юпитера. Впервые подробно исследованы различные типы таких взаимосвязей. Для каждого из этих типов определены пределы изменений и периоды долгопериоди-ческих изменений элементов орбит. При небольших эксцентриситетах и наклонениях для ряда фиктивных астероидов рассмотрены взаимосвязи между периодами изменений эксцентриситета, наклонения, аргумента перигелия и долготы восходящего узла орбиты астероида. Впервые выведены формулы перехода от прямоугольных координат к орбитальным, свободные от особенностей при нулевых наклонах и эксцентриситетах.

в главе Щ описывается используемый алгоритм метода сфер, проводится сравнение результатов расчетов, полученных этим методом, с результатами численного интегрирования уравнений движения и рассматриваются характерные изменения элементов орбит тел при одном сближении до радиуса сферы действия [1, 6, 8, 12, 23, 66; СИ. Ипа-tos, отчет Ин-та прикладной математики АН СССР № 1211 за 1985 г, 182 е.].

При моделирования на ЭВМ эволюции орбит сотен гравитирующих тел на больших интервалах времени для учета гравитационных взаимодействий тел соискателем использовался метод сфер. В методе сфер считается, что вне рассматриваемой сферы (обычно сферы действия) тела движутся вокруг Солнца по нгвозмущениым кеплеровским орбитам, а внутри сферы относительное движение рассматривается в рамках задачи двух тел. В отличие от схемы Эпика (E.J. Opik, Proc. Roy. Irish. Acad., 1951, v. A54, 165-199), используемой другими авторами, в предложенном соискателем алгоритме вероятность р. сближения двух тел зависела не только от средней относительной скорости и угла hi между плоскостями орбит, но также и от синодического периода 7" обращения и от суммы углов Aq> с вершиной в Солнце, внутри которых расстояние между орбитой "первого" тела и проекцией орбиты "второго" тела на плоскость орбиты "первого" тела меньше радиуса г$ рассматриваемой сферы. Для плоского случая характерное время до сближения двух тел до радиуса сферы Ax2=2itTs/(^*Atp) ot 1 /р, где £«[0.5, 1] зависит от рассматриваемой модели. В частности, при гравитационных взаимодействиях только двух тел, движущихся по круговым орбитам, среднее (по различным начальным положениям тел на орбитах) значение £ равно 0.5 для первого сближения и 1 для последующих сближений. При малых значениях tip среднее значение £ ближе к 1.

При фиксированном наклонении Ас характерное время до сближения до rs равно Аг3«Дт2'1Г sin hi / г*, а при изменении hi от 0 до

Д/гаах*г* имеем Дт*яДт2-лД(тах/ r*i), где *s=rt/R, R - расстояние

тел от Солнца, T}=0.5+ln(Aimax)-ln(r*). Местоположение и вектор скорости тела, входящего в сферу действия, выбирались не случайно, как в работах других авторов, а определялись на основе положений тел на орбитах при их входе в сферу действия. Впервые были получены формулы вероятности сближения двух тел до rg в случае, когда угол hi меняется в некоторых пределах. В этом случае вероятность

сближения может быть в несколько раз больше, чем при фиксированном среднем значении Аг. Например, 1р9 при А«тах=20° и dslOO км, а также тр5 для Земли и £ч'тах=30°. На основании предложенных соискателем формул для характерных времен до сближений тел до радиуса сферы действия, получены новые формулы для характерных времен до столкновений тел. >

В отличие от схемы Эпика приведенные выше формулы более удобны при аналитических исследованиях зависимости эволюции диска от числа, характерных масс н элементов орбит составляющих .его тел. Учитывая дополнительно зависимости от синодического периода и ориентаций орбит, эти формулы позволяют исследовать более тонкие эффекты взаимодействий тел. Рассмотрим следующий пример. Результаты проведенных исследований показывают, что, если орбита тела пересекает орбиту Земли, то при прочих равных условиях значения А?) и соответственно вероятности сближения р тела с Землей до некоторого расстояния Гд больше для значений ipa(l-e) более близких к 1 а.е. В общем случае значения А<р и р больше для меньших эксцентриситетов и наклонений / орбит (СИ. Ипатов, отчет Ин-та прикладной математики ЛН СССР № 1211 за 1985 г, 182 е.). Сближающиеся с Землей тела малых размеров можно наблюдать только на небольших расстояниях гНапример, г^О.005-0.05 а.е. для объектов, сближающихся с Землей (ОСЗ), диаметром ds50 м. Вероятность обнаружения этих тел пропорциональна р и поэтому больше при меньших I и е. Среднее наклонение таких ОСЗ равно 10°, что в 1.5 раза меньше, чем для крупных ОСЗ. У половины ОСЗ диаметром rfsSO м эксцентриситеты е<0.2, а для 2/3 таких малых ОСЗ выполняется соотношение 0.93 з q £ 1.02 а.е. Рабинович и др. (D.L. Rabinowitz, et al., Nature, 1993, v. 363, 704-706) предположили, что малые астероиды с небольшими эксцентриситетами образуют пояс около орбиты Земли. Однако особенности распределения обнаруженных малых ОСЗ по е, q и I можно объяснить' на основе рассмотренных выше зависимостей р тем, что наблюдаются в основном те малые ОСЗ, для которых значения Ар и р большие.

Для проверки используемого алгоритма метода сфер в случае двух тел, движущихся вокруг Солнца, было проведено сравнение графиков изменений элементов орбит со временем, полученных методом сфер, с аналогичными графиками, полученными путем численного интегрирования уравнений движения. Показано, что. при соответствующем выборе радиусов сфер можно получить примерно одинаковые пределы и тенденции изменений элементов орбит. При этом, в случае, когда

наибольший эксцентриситет «„ гелиоцентрических орбит двух

1/3

сближающихся тел превышает 2 » нужно использовать сферы действия (радиуса rg»R Ji,2/S), а при e^íit^3 в зависимости от рассматриваемой задачи - сферы радиуса rs=/tó»1.5/fyj2/7 или гу=/?у~2.4Дц1/3, где (i^+fig, ^ и |ij - отношения масс тел к массе Солнца, Pj^fíj, обозначения у и 3 такие же, как в главе I. При изучении эволюции пространственных дисков, соответствующих зонам питаиия различных планет и рассматриваемых в главах.V-VI, получено, что в случае первоначально круговых орбит средние эксцентриситеты достигали 0.02 за время, когда число тел в диске существенно не менялось. Так как для этих начальных дисков выполнялось условие 2 ц1,/3<0.02, то начальные эксцентриситеты орбит тел этих дисков полагались равными 0.02, а эволюция дисков исследовалась методом сфер действия.

Движение внутри сферы при малых значениях ен плохо соответствует реальному движению. Кокс и др. (LP. Сох et al., Icarus, 1978, v. 34, 415-427) показали, что при использовании сфер действия относительное движение тел внутри сферы близко к реальному, если е^>4, где - эксцентриситет орбиты, по которой одно тело движется внутри сферы действия относительно другого тела. При различных исходных данных нами исследованы значения N^ доли сближений, при которых е^>4. Например, при моделировании эволюции орбиг трех тел, массы которых равны массе Плутона, jV^~90 % при росте среднего эксцентриситета от 0.01 до 0.05. Путем численного интегрирования уравнений движения рассмотрено относительное движение двух тел, движущихся вокруг Солнца по первоначально круговым орбитам. Показано, что хотя график относительного движения имеет сложный вид, внутри сферы радиуса в ряде случаев

его можки приближенно представить частью кривой второго порядка.

Исследование эволюции пространственных дисков тел проводилось на основе результатов расчетов эволюции плоских дисков условных тел. Плотность условных тел выбиралась таким образом [12], чтобы изменения эксцентриситетов условных тел между их последовательными столкиовен: ями были такими же, как и в случае эволюции пространств^;, лых дисков твердых тел. Результаты исследований эволюции; дисков тел, соответствующих зоне питания планет земной группы, г. ". ¡мощью такого метода близки к результатам моделирования эволюции г.^остранственных дисков тел, полученными Везериллом (G.W. WethsriU, Geol. Assoc. Cañad. Special paper, 1980, № 2, 3-24; G.W. Wetherill, in Mercury, Tucson, 1988, 670-691).

Приведены основные принципы построения алгоритма моделирования на ЭВМ эволюции диска, состоящего из большого числа планетезималей. В частности, впервые предложено при разбиении тел на группы (с примерно одинаковыми массами и элементами орбит) для каждой из групп в целях лучшего сохранения интегралов движения определять не средние значения элементов орбит, а механическую энергию и момент количества движения и на основании их определять характерные элементы орбит "усредненных" тел.

Представлены формулы числа сближений JV^O и столкновений ^сттел в диСке> происходящих за некоторый интервал времени Дt между телами групп к и /. В общем виде

N(Y,l)=N(k) ¡^1)^,1) ^y^kj)^ где х(к,1) _ доля пар тел> для

которых отрезки [^=а(1-е), Q=a(l+e)] пересекаются; характерное время до сближения (до г ) двух тел групп к и I, nW -число тел в к-ой группе. Число столкновений можно представить в виде где 77"^'- среднее число сближений до

rg, приходящихся на одно столкновение. В пространственном (при Ы>ф случае Ж<к''Цг/г2)2( 1+20'), где 9'=0.5(%ар/Vh)2. »пар - параболическая скорость усредненных тел, oQTH - относительная скорость тел, сближающихся на расстояние гg, ~ сумма их

радиусов. Рассматриваемые формулы вычисления NCT другие, чем для обычно используемой модели "частица в ящике" (R. Greenberg et al., Icarus, 1984, v. 59, 87-113), зависят также от характерных значений А (О, Т$ и х и могут использоваться при исследозании не только начальной, но и конечной стадий аккумуляции планет. В предельном случае, когда каждая группа состоит из одного тела, предложенный соискателем алгоритм, совпадает с алгоритмом, использовавшимся при моделировании эволюции дисков из сотен тел. Моделирование на ЭВМ эволюции дисков, состоящих из большого числа объектов, соискателем не проводилось, но основные формулы этого алгоритма использовались в главах V-VII при оценках эволюции- таких дисков, на основании результатов расчетов эволюции дисков из сотен тел.

Путем моделирования на ЭВМ методом сфер действия при различных исходных данных рассмотрены характерные значения среднего числа сближений до радиуса r$a сферы действия, приходящихся на одно столкновение, и изменений элементов орбит тел при одном сближении до rsa- В частности, определялись значения de=1{\де^\ + \де^\)/Nt и <Л?+=1(ае*+а<ф/2( laefl + ldejl), где Эе* и Зе* - изменения эксцентриситетов орбит двух сближающихся тел при А-ом сближении. Рассматривалась модель многократных (сотни тысяч сближений в каждом

варианте) изолированных сближений двух тел, движущихся вокруг

Солнца (в одном и том же варианте орбиты отличались только

исходными ориентациями, иногда варьировалась также большая полуось

одного из тел), а также анализировались результаты моделирования •

эволюции дисков материальных точек. Другими авторами подобные

исследования не проводились. Найдены некоторые зависимости 7Г. и ¿е

1/2 —А

от Ц, и е. В частности, получено, что ¿еац! е п (А~0.7-0.85) при

| УО ■

е/А^ЫОО и е=е=е<2, где Л)=(д]/3) Среднее значе!ше с1е+ при эволюции дисков равнялось 0.06.

Выводы ш главе III:

Предложены новые (зависящие также от синодического периода обращения) формулы для вычисления характерного времени до сближения (до радиуса рассматриваемой сферы) двух тел, движущихся вокруг гравнтирующего центра Наряду со случаем фиксированного угла А/ между плоскостями ор^ит тел впервые рассмотрен случай переменного Д(. Получено, что характерное время до столкновения тел в случае переменного Д/ может быть в несколько раз меньше, чем для фиксированного Л/, равного среднему значению переменного Д/. Проведено сравнение результатов исследования эволюции гелиоцентрических орбит двух гравитационно взаимодействующих объектов, полученных путем численного интегрирования, с аналогичными результатами, полученными с помощью метода сфер. На основе этого сравнения исследованы границы применимости метода сфер при использовании сфер действия и сфер большего радиуса.

Предложен новый алгоритм моделирования эволюции диска, состоящего из большого числа тел. Этот алгоритм позволяет исследовать не только начальную, но и конечную стадии аккумуляции планет из диска планетезнмалей.

I ¡а основе результатов расчетов получены формулы, характеризующие некоторые зависимости характерных изменений элементов орбит тел и их вероятности столкновений при сближении тел до рлдиуса сферы действия от масс и элементов орбит тел.

В главе IV приводятся разработанные соискателем эффективные методы выбора пар небесных тел, сближающихся до радиуса г^. рассматриваемой сферы (считается, что вне этой сферы тела не взаимодействуют) [1, 31-32, 41, 50]. Рассматривалось два подхода при оыборе пар сближающихся тел: вероятностный и детерминированный.

При вероятностном подходе пара (1 и ;') сближающихся (до г£) тел выбиралась с помощью псевдослучайных чисел пропорционально вероятности р., их сближения. В рамках вероятностного подхода

Арнольд (J.A. Arnold, Aslrophys. J., 1965, v. 141, 1535-1547)

изучал взаимодействия планеты с несколькими телами. Соискатель

рассматривал случай, когда все тела могут сближаться друг с другом.

n

В памяти ЭВМ хранились значения р. = 2 р,ь (i=l.....N-1, где N -

1 k=i+\lR

число тел) и их сумма, использовавшиеся при выборе пар сближающихся тел. После каждого сближения (например, i-ro и /-го тел) в треугольной (к>т) матрице {pmjl} вычислялись новые элементы /-ых и /—ых строк и столбцов и определялись новые значения р^.

Рт=Рт+(РтГРт№РтГрт1]' m=t.....М;

Рт=Рт*РтГРтр- т=М.....Hi Р,п = • m='"-

Значком "+•" помечены значения рт н р„: после сближения, а значкм

rm rm.i

"-" - . до сближения. Если матрица {p-j} не хранится, то дополнительно нужно вычислять значения и

При детерминированном подходе выбиралась та пара тел (/ и /I для которых время Хц (Хц«до момента изолированного (без учета влияния других тел) сближения минимально. При поиске минимального элемента т(у соискателем рассматривались значения

т% min т;1=т.ь, а не х~ min т.-,, как в докторской диссертации * i+lsjsN 'Г ' ls/sAT Ч

H.H. Козлова (ИПМат, 1982). В памяти ЭВМ хранилась и после каждого сближения корректировалась (ЛМ) пара чисел т^ и k-, на основании которых перед каждым сближением тел определялся тот же самый минимальный элемент матрицы {т-}, что н при переборе всех элеме!^ов этой матрицы. Кроме того, хранились значения t- - момента времени, когда ¡-ое тело последний раз сближалось с каким-либо другим телом (t- использовались при вычислений хф. После каждого сближения (i-ro и /-го) тел вычислялись новые значения т* и tJ. В модификации В предложенного метода УТМ определялись также значения т/ ('</). Для которых k[ равно i или /, а соответственно новые значения или Хц меньше старых (до сближения) значений т* или tJ. В модификации Л в этих случаях полагалось kf=о, а пересчет tJ производился позднее при сближении /-го тела.

В работах Дж. Везерилла рассматривалась вся матрица {т-}, которая полагалась неизменной в течение довольного большого числа моделируемых сближений. Поэтому в его алгоритме часто могли выбираться пары тел, которые реально не сближались друг с другом. Время расчетов по разработанному нами детерминированному алгоритму в 1.5—2 раза меньше, чем по лучшим модификациям метода виртуальных контактов, предложенного Эиеевым и Козловым (Т.М. Энеев и H.H.

Козлов, ДАН, 1982, т. 263, 820-824; H.H. Козлов. ЖВММФ. Ш4. т. 24, 218-239; H.H. Козлов, ЖВММФ. 1986, т. 26, Шв-!Ш>К Соискателем разработаны модификации алгоритма, которые дополнительно увеличивают скорость расчетов.

Результаты расчетов показали, что если число тел в диске не мало (т.е. для большинства тел их орбиты пересекают хотя бы несколько других орбит), то при выборе пар сближающихся тел детерминированным методом время эволюции диска тел может быть на порядок меньше, чем при использовании вероятностного метода. В частности, результаты расчетов, полученные при детерминированном подходе, указывают, что время формирования 80 % массы Земли может не превышать 10 млн. лет. Реальный процесс, вероятно, лежит между этими подходами. Орбиты и массы образовавшихся планет и времена до столкновений отдельных тел с планетами примерно одинаковы для обоих подходов.

Выводы па главе IV:

Разработаны новые методы выбора пар контактирующих объектов в системе с бинарными взаимодействиями. При исследовании методом сфер эволюции дисков тел. движущихся вокруг Солнца, эти методы использовались для выбора пар тел, сближающихся до радиуса рассматриваемой сферы. Рассматривались вероятностный и детерминированный подходы. При вероятностном подходе пары сближающихся объектов выбирались пропорционально вероятностям их сближений, а при детерминированном подходе выбиралась та пара тел, для которых время до изолированного (от других тел) сближения минимально. Результаты расчетов показали, ' что если число рассматриваемых тел велико, то при детерминированном , выборе пар сближающихся тел характерное время между последовательными сближениями тел на порядок меньше, чем при вероятностном выборе. Время расчетов по разработанному соискателем детерминированному методу выбора пар контактирующих объектов требует в 1.5-2 раза меньше времени, чем по методу виртуальных контактов, разработанному ранее Т.М. Энеевым и H.H. Козловым. Предложены модификации алгоритма, обеспечивающие дополнительное увеличение скорости расчетов.

В главе V рассматриваются некоторые предельные модели миграции небесных тел [1-2, 4, 8-19, 23, 26-27, 30]. Исследуя сравнительно простые модели эволюции дисков тел, можно сделать ряд выводов об эволюции дисков, состоящих из большого числа различных тел, движущихся вокруг Солнца, и лучше понять процесс аккумуляции планет и эволюцию занептунного и астероидного поясов.

Методом сфер действия соискатель исследовал ряд случаев

\

эволюция гелиоцентрических орбит гравитационно взаимодействующих материальных точек, движущихся по эксцентричным орбитам. При изучении эволюции дисков из сотен материальных точек, соответствующих астероидному поясу, в частности, получено, что для того, чтобы средний эксцентриситет орбит астероидов главного пояса из-за их взаимного гравитационного влияния увеличился от 0 до 0.15 за время существования Солнечной системы, масса этого пояса должна значительно превышать современную массу астероидного пояса.

Путем моделирования на ЭВМ исследовалась эволюция дисков из сотен гравитирующих тел, объединяющихся при столкновениях при любых скоростях встреч. Хотя при расчетах не рассматривались дробления тел, результаты расчетов показывают роль гравитационных взаимодействий тел и использовались при оценках эволюции дисков, состоящих из большого числа различных тел. Оценки миграции тел в формирующейся Солнечной системе проводились в основном в рамках модели твердотельной аккумуляции планет земной группы и ядер планет-гигантов, разрабатываемой в Объединенном Институте Физики Земли РАН со времен О.Ю. Шмидта. В' этом институте проводились аналитические исследования, а в основе проведенных соискателем исследований лежали результаты моделирования на ЭВМ. Первые результаты моделирования эволюции дисков тел методом сфер были опубликованы соискателем в 1978 г.. [1-2], а краткие результаты исследований эволюции дисков тел, соответствующих зонам питания планет земной группы и планет-гигантов, - в 1979 г. [4] для плоской модели и в 1981 г. [8] для пространственной модели. При этих расчетах считалось, что тела объединяются при любых скоростях встреч. Первые работы зарубежных авторов по моделированию эволюции дисков тел методом сфер появились в 1980 г. (G.W. Wetherill, Ann. Rev. Astron. Astrophys., 1980, v. 18, 77-113; G.W. Wetherill, Geol. association of Canada, special paper, 1980, No 30, 3-24; LP. Cox and J.S. Lewis, Icarus, 1980, v. 44, 706-721). В этих работах рассматривались большие, чем Ипатовым, начальные эксцентриситеты орбит тел и рассматривалась только аккумуляция планет земной группы. Козлов и Энеев (H.H. Козлов н Т.М. Энеев, 1977, препринт ИПМ № 134) проводили расчеты для модели, при которой сближающиеся объекты (гигантские разреженные газопылевые • сгущения) всегда объединялись. В рассматриваемой соискателем модели аккумуляции твердых тел большинство сближений тел до радиуса сферы действия заканчивались разлетами тел по новым орбитам. При выборе пар сближающихся тел в главе V использовался вероятностный алгоритм.

Результаты расчетов эволюции дисков, первоначально состоявших из сотеи тел, использовались при оценках эволюции дисков, состоящих из большого числа объектов.

Некоторые из рассмотренных дисков соответствовали зонам питания планет земной группы (диски МВЗ), другие - зонам питания Урана и Нептуна (диски УН). Большие полуоси исходных орбит тел этих дисков определялись по следующей формуле:

^^шт^шах^гшп^о' ,=1.....No> No " начальное

число тел, ат|п=0-34 и атах=1-2 а.е. для дисков МВЗ и amjn=12 и

a„,„„=37 а.е. для дисков УН. Начальные эксцентриситеты е' и массы

Шел U

были одинаковыми для всех тел. Начальная масса диска равнялась Mj~l.87m@ (m@ - масса Земли) для диска МВЗ и варьировалась от 32т@ до 200т@ для дисков УН.

Проводились расчеты эволюции дисков, соответствующих зонам питания отдельных планет (например. Земли). Показано, что из-за перемешивания тел в ходе эволюции результаты эволюции диска, состоящего из нескольких меньших дисков, отличаются от результатов изолированной эволюции составляющих его дисков. Например, число тел, образовавшихся в результате эволюции составного диска, может быть существенно меньше суммы числа тел, образовавшихся в результате изолированной эволюции всех составляющих дисков.

Хотя эволюция диска планетезималей носила пространственный характер (B.C. Сафронов и A.B. Витязев, Итоги науки и техники, сер. Астрон., 1983, т. 24, 5-93), наряду с пространственной • рассматривалась также и плоская модель. Исследования плоской модели позволяют оценить минимальные изменения орбит реальных планетезималей. В случае почти круговых исходных орбит и плотности тел, близкой к плотности соответствующих современных планет, получены следующие значения максимального среднего эксцентриситета тах{ё) в ходе эволюции н отношения кд массы тел, выброшенных на гиперболические орбиты, к массе тел, оставшихся на эллиптических орбитах:

Модель плоская пространственная

Диск МВЗ УН МВЗ УН

тах{£} 0.02 0.3 0.3-0.4 0.4-0.5

кА=А,гип/А<эл 0 0.1-0.2 £0.1 10-30

В рамках плоской модели получено, что число образовавшихся планет. земной группы больше реального числа соответствующих планет. Начальная масса твердого вещества в зоне питания планет-гигантов в случае очень малых наклонений орбит планетезималей была бы близка к

массе твердого вещества в современных планетах.

При моделировании эволюции пространственных дисков можно получить нужное число планет земной группы. Эксцентриситеты орбит небольших планет, образующихся по краям диска, также как и эксцентриситеты Меркурия и Марса, больше, чем эксцентриситеты планет, формирующихся в центре зоны (эксцентриситеты Венеры и Земли). При моделировании на ЭВМ эволюции пространственных дисков УН получено, что масса тел, выброшенных в ходе эволюции на гиперблические орбиты, на порядок превышает массу тел, оставшихся на эллиптических орбитах, а суммарная механическая энергия этих оставшихся тел была близка к суммарной механической энергии всех начальных тел. Основной момент количества движения приходился на выброшенные тела.

На основании результатов расчетов методом сфер эволюции дисков нз сотен тел, а также многократных (сотни тысяч в каждом варианте расчетов) изолированных сближений двух тел и ряда аналитических формул проводились оценки эволюции дисков, состоящих из большого числа примерно одинаковых тел. Эти оценки помогают лучше понять взаимодействия между собой тел близких масс в диске тел различных масс и использовались при рассмотрении ряаа моделей эволюции дисков, состоящих из большого числа различных тел. Полученные в главе V результаты исследований эволюции дисков, состоящих из большого числа тел, используются в главах VI и VII. Другие авторы обычно проводили или чисто аналитические исследования процесса аккумуляции планет (ОИФЗ), или численно моделировали начальные стадии эволюции диска, состоящего из большого числа объектов (R. Greenberg et ai, Icarus, 1984, v. 59, 448-470).

Рассмотрены зависимости изменений de среднего эксцентриситета за интервал времени Lt и характерного времени Т^ между столкновениями тел в диске, состоящем нз примерно одинаковых тел, от числа N и средних масс m тел. В частности, получено, что di~de'de+'kfX'N'(rs/R)'(bt/tJ/l, где k=\ для плоской и к~§.2ЫЯ/ г s~f) для пространственной модели, tQ - время

оборота вокруг Солнца тела, находящегося в центре диска, 7 — средний наклон орбит. Обозначения г., R, % 9', de и de,

wo

такие же, как и в главе III. Если dexmVe, то dec* Nrn13^-^«, где Mj~Nm. Представим число столкновений за время А/ в виде , где Т - характерное

время до столкновения двух тел. Если 27>г^//?, то 7р«7а7/2р2/37 7@/т2/3х^т)а|/2о<т1/3/И2 при 1+29'«1 и

Г^905/2р,/3«27М0Г@/4т4/3х^Т1а|/2«т-,/3Л1Е при 1+29' «28', где MQ -масса Солнца, Г@ - период обращения Земли вокруг Солнца, а@ -большая полуось ее орбиты, а - среднее значение а, р - плотность тел. Из того, что Т^ возрастает при эволюции дисков, соответствующих зоне питания планет земной группы, следует, что большинство тел, выпадавших на Землю, прошло ударную эволюцию.

Для ряда моделей рассмотрены характерные времена эволюции дисков, состоящих из большого числа различных тел. Получено, что для модели, учитывающей дробления тел, времена роста крупнейших тел диска не превышают (во всяком случае более, чем в 5 раз) времена роста тел для модели примерно одинаковых тел, если массы дисков в обоих случаях одинаковы. При использовании вероятностного метода выбора пар сближающихся тел полученные оценки времени аккумуляции основной массы планет близки к результатам Сдфронова, Витязева н Печерниковой (B.C. Сафронов, Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет, М., Наука, 1969; A.B. Витязев, Г.В. Печерникова, B.C. Сафронов, Астрон. ж., 1978, т. 55, 107-112; B.C. Сафронов, A.B. Витязев, Итоги науки и техники, сер. Астрон., 1983, т. 24, 5-93). Как и аналитические оценки, сделанные в ИФЗ, результаты проведенных исследований свидетельствуют в пользу того, что зародыш Юпитера массой ~2-3 масс Земли (способный аккрецировать газ) мог сформироваться раньше, чем закончилась эволюция Земли.

Оценки эволюции пространственных безгазовых дисков, состоящих из большого числа примерно одинаковых тел с массами га MO^mg (m@ -масса Земли) в зоне Нептуна, в частности, показали, что в этом случае средний эксцентриситет ё возрастает от 0.02 до 0.1 и 0.2 соответственно за время, когда число тел уменьшается не более, чем в 2 и 8 раз. На некоторых начальных стадиях эволюции диска планетезималей в зоне Нептуна параметр Сафронова 8 мог быть меньше 1. При массах наибольших тел в этой зоне меньших 10~4т@ выброс тел на гиперболические орбиты невелик.

Модель выпадения малых тел на более крупное тело является одним из составляющих элементов эволюции диска планетезималей. Эта модель представляет также интерес при изучении выпадения планетезималей на почти сформировавшуюся планету. Формулы роста зародыша планеты получены при других условиях, чем остальными авторами (B.C. Сафронов, -Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет, М., Наука, 1969; B.C. Сафронов, A.B. Витязев, Итоги науки и техники, сер. Астрон., 1983, т. 24, 5-93). Эти авторы рассматривали случай, когда средние эксцентриситеты и наклонения

являются функциями от массы зародыша. Диссертантом исследован случай, когда масса планеты М почти не меняется за рассматриваемый интервал времени, а эксцентриситеты и наклонения тел не зависят от М. На основании результатов, представленных в главе III, получено, что среднее время выпадения тел на зародыш планеты радиуса г при эксцентриситете е и фиксированном наклоне, равном А/>гЛ//?, равно

Т<М1М213 1&\ , ГДе 8»2Ш/(ЛС/-е2) - параметр Сафронова,

* •( иге;' 0

Если отношение числа тел к единице объема одинаково в различных частях торообразной зоны вычерпывания (А/?=±Яе и Л(3/„), то время вычерпывания (100Д.) % тел получено равным

Гв я - } '(у), где Р - период обращения

зародыша вокруг Солнца, а Л' - отношение массы тел, выброшенных на гиперболические орбиты, к массе тел, выпавших на зародыш планеты.

При 1+29»28 имеем МНШД и

В частности- ПРИ е=0'2, Г5=6Я и у20 для Земли

Г=3»108*А/, а для Нептуна Г=3*Ю10-Д/ лет. В случае е=0.2, А'=0 и ,%5=0.97 получено Г^МО^п/, лет для Земли и Гв=5«Ю,08т/, лет для Нептуна. При больших е и « в рамках задачи трех тел время до выпадения на Нептун отдельных тел превышает возраст Солнечной системы. Однако в действительности под влиянием планет-гигантов тела обычно покидают зону Нептуна, хотя отдельные планетезимали, движущиеся в этой зоне по эксцентричным и наклоненным орбитам и не пересекающие орбиту Урана, могли сохраниться до настоящего времени.

На основе результэтов моделирования методом сфер рассмотрены некоторые вопросы формирования осевых вращений планет [9-10, 15]. Проведены расчеты Ь.Х-КГ-К~ (где и К~ — доли положительных и отрицательных мсментоз количества движения сталкивающихся тел относительно их общих центров масс среди суммы модулей моментов обоих знаков) при различных исходных данных (массах, плотностях р, эксцентриситетах << больших полуосях орбит). Показано, что АК в основном убывает с увеличением е, а и р. При небольших е наблюдается преобладание положительных А/(. Среднее значение отношения тангенциальной составляющей скорости столкновения к параболической скорости получено равным 0.6.

Для модели ьыпадения малых тел на планету (при А/С=сопз1 в ходе эволюции) период осевого вращения образовавшейся планеты

определяется по следующей формуле: Г$~1.450/аААЧ/р7, где

<t>=Js/(Q.4M r2), I - гравитационная постоянная, Is, p, г и Af -момент инерции, плотность, радиус и масса планеты. Сравнивая значения А/С, соответствующие современным периодам осевых вращений планет, со значениями АК, полученными при различных исходных данных, получаем, что для формирования осевых моментов Земли и планет-гигантов, основная масса тел, выпадавших на планеты, должна иметь слабоэксцентричные (е<0.05) орбиты. В отличие от работы Хариса (A.W. Harris, Icarus, 1977, v. "31, 168-174), рассматривавшего только почти касательные орбиты, большие полуоси орбит д-сл при этих оценках принимали различные допустимые оценки. Полученные численные результаты, также как и аналитические оценки, сделанные ранее Витязевым и Печерниковой (A.B. Витязев и Г.В. Печерникова, Астрон. ж., 1981, • т. 58, 869-878), и проведенные позднее Кари и Лиссаузром (Д.М. Кари и Дж.Дж. Лиссауэр, Астрон. вести., 1992, т. 26, № 6, 54-78) численные расчеты задачи трех тел, свидетельствуют в пользу того, что в регулярную составляющую осевых моментов некоторых планет (Земли, . Нептуна) внесли большой вклад выпадения крупных тел на планеты.

Проведены аналитические оценки формирования осевых вращений гигантских разреженных протопланет путем объединения разреженных газопылевых сгущений. Показано, что, если протопланета и сгущения представляют собой однородные шары, совпадающие с их сферами Хилла, то осевой момент разреженной протоЗемли на два порядка превышает осевой момент современной Земли. Этот результат не противоречит формированию планет в результате сжатия гигантских протопланет, так как Белецкий и Грушевский (В.В. Белецкий и A.B. Грушевский, Препринт ИПМ, 1991, N° 103) получили, что при сжатии протопланет из-за их приливных взаимодействий с Солнцем их осевой момент существенно уменьшается.

Выводы до главе V:

Исследован ряд предельных моделей миграции тел в формирующейся Солнечной системе. Впервые методом сфе,т действия проведены расчеты эволюции дисков, первоначально состоявших из сотен одинаковых тел и соответствовавших зонам питания планет-гигантов. Для модели эволюции диска примерно одинаковых тел и модели выпадения тел на зародыш планеты получены новые формулы, характеризующие число столкновений и сближений (до радиуса рассматриваемой сферы) тел за некоторый отрезок времени. Рассмотрены зависимости времени эволюции и изменений среднего эксцентриситета от числа тел в диске, их масс и характерных элементов орбит. Оценки процесса твердотельной

аккумуляции проводились нз основе результатов расчетов эволюции дисков из сотен тел и некоторых аналитических формул. Ранее такой подход использовался Энесвым и Козловым только при изучении модели формирования разреженных протопланет. Полученные результаты, в частности, указывают, что большинство ^планетезималей, выпадавших на Землю, прошло ударную эволюцию. При современной массе астероидного пояса средний эксцентриситет не мог возрасти до современного значения (0.15) только вследствие взаимного гравитационного влияния астероидов.

Исследовано формирование осевых вращений планет. В основе этих исследований лежали результаты расчетов с' помощью метода сфер действия и новые формулы, характеризующие формирование осевых вращений планет. Показано, что доля положительных моментов количества движения сталкивающихся тел относительно их общих центров масс среди суммы модулей моментов обоих знаков имеет тенденцию к убыванию с увеличением эксцентриситетов и больших полуосей гелиоцентрических орбит, а также плотности этих тел. Результаты исследований формирования Осевых вращений планет при их твердотельной аккумуляции согласуются с результатами, полученными другими авторами, л были получены для моделей, учитывающих более широкий класс орбит . сталкивающихся тел. При небольших эксцентриситетах орбит наблюдается • преобладание положительных осевых вращений аккумулирующихся тел. Результаты расчетов свидетельствуют в пользу того, что крупные тела, выпадавшие на планеты, внесли существенный вклад не только в наклоны осей вращения, но и в регулярные составляющие их моментов осевых, вращений. Исследования процесса формирования осевых вращений протопланет путем объединений разреженных газопылевых сгущений показывают, что их осевые моменты значительно превышают осевые моменты современных планет. Аналогичные исследования другими авторами не проводились.

1 главе VI изучается миграция тел при аккумуляции планет [19, 26, 34, 36-37, 39-41, 45-46, 48, 53, 57, 59-60, 62, 71, 73]. В отличие от главы V при моделировании эволюции дисков тел рассматривались другие исходные данные и использовался в основном детерминированный, а' не вероятностный метод выбора пар сближающихся тел. Например, в главе V на основе результатов моделирования эволюции дисков первоначально' одинаковых тел проводились оценки

роста средних эксцентриситетов орбит планетезималей на начальных стадиях аккумуляции планет, а в главе VI представлены результаты расчетов для случая, когда Юпитер и Сатурн уже в основном сформировались. Взаимное гравитационное влияние тел учитывалось методом сфер действия.

Исследования миграции тел при формировании планет земной группы основывались на результатах моделирования эволюции дисков, состоявших примерно из тысячи одинаковых тел, первоначально двигавшихся по почти круговым орбитам. Суммарная масса тел была близка к массе планет земной группы. В одной из серий расчетов начальный диск был разбит на четыре кольца Расстояния от Солнца границ этих колец равнялись 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 н 1.2 а.е. Результаты этих расчетов, проведенных по предложению А. В. Витязева, близки к результатам Везерилла (G.W. Wetherill, in Mercury, Tucson, 1988, 670-691), но нами получено более сильное перемешивание тел в ходе аккумуляции. Показано, что в каждую планету вошли тела из всех колец. Состав не только Венеры, но и Земли, мог быть близок к составу всего исходного диска. В частности, при расчетах получены следующие составы планет.

Исходный диск: 0.156 0.219 0.281 0.344

Планеты с m>0.5/ne 0.148-0.187 0.194-0.249 0.250-0.303 0.319-0.353 Планеты с тя).1тф 0.114-0.217 0.191-0.249 0.193-0.336 0.319-0.398 Диапазон значений составов получен для вариантов расчетов, отличавшихся ориентациями исходных орбит тел. Часть тел из зон питания планет земной группы в ходе эволюции проникала в зону астероидного пояса. Около 10 % всех начальных тел было выброшено на гиперболические орбиты. Средний эксцентриситет орбит тел на конечных этапах аккумуляции планет мог превышать 0.2. Как и в работе (G.W. Wetherill, Science, 1985, v. 228, 877-879), показано, что массы зародышей несформировавшихся планет земной группы могли превышать массу Меркурия.

Проведены расчеты эволюции ряда дисков, соответствовавших зонам питания планет-гигантов. Считается (В.С Сафронов и А.В. Витязев, Итоги науки и техники, сер. Астрон., 1983, т. 24, с. 5-93), что за время порядка десятков миллионов лет Юпитер, Сатурн и планеты земной группы приобрели большую часть своей массы, а Уран и Нептун еще не сформировались. Нами впервые численно рассматривалась эволюция диска, первоначально состоявшего из почти сформировавшихся Юпитера, Сатурна, планет земной группы и диска из Wy^=750

одинаковых тел в зонах Урана и Нептуна (общей массой Л^=150тф, где тл - масса Земли, amin=8 а.е., атах=32 ае). Получено, что в вариантах расчетов без зародышей Урана и Нептуна эти планеты не образовывались. Суммарная масса объектов, образовавшихся за орбитой Сатурна, равнялась 0.03М£ . а их большие полуоси превышали 50 а.е.

Жарков и Козенко (В.Н. Жарков и A.B. Козенко, Письма в АЖ, 1990, т. 16, 169-173) выдвинули гипотезу о том, что зародыши Урана и Нептуна приобрели .водородные оболочки массой ~(1-1.5)гяф в зонах роста Юпитера и Сатурна еще до диссипации газа из протопланетного диска. При этом общие массы этих зародышей превышали 3отф. В.Н. Жарков предложил соискателю изучить возможные механизмы миграции зародышей Урана и Нептуна из зоны Сатурна на их современные орбиты. Путем моделирования на ЭВМ нами впервые была исследована эволюция ряда дисков, первоначально состоявших из почти сформировавшихся планет (кроме Урана, Нептуна и Плутона), из двух зародышей (Урана и Нептуна), и диска тел Начальные значения

больших полуосей орбит Юпитера и Сатурна брались равными соответственно 5.5 и 6-7 а е. Массы зароды шей равнялись 10/яф, а их исходные круговые орбиты находились непосредственно за орбитой Сатурна на расстоянии не более 10 а.е. от Солнца. Результаты расчетов показали, что большинство планетезималей из зон Урана и Нептуна мигрировали к Юпитеру, выбрасывавшему их на гиперболические орбиты. При этом большая полуось орбиты Юпитера уменьшалась на 0.5 а.е. и смещающиеся резонансы с Юпитером перекрывали значительную часть пояса астероидов, способствуя выметанию тел из этого пояса. Большие полуоси орбит Сатурна и зародышей Урана и Нептуна увеличивались до их современных значений. Эксцентриситеты орбит этих зародышей в ходе эволюции были невелики. Полученные результаты свидетельствуют в пользу гипотезы Жаркова и Козенко о том, что зародыши Урана и Нептуна могли первоначально находиться около орбиты Сатурна. При моделировании на ЭВМ средние эксцентриситеты орбит тел, первоначально равные 0.02, большую часть времени эволюции были ~0.3-0.4.

В вариантах расчетов основные изменения элементов орбит зародышей планет-гигантов происходили не более чем за 107 лет. Для реального диска, состоявшего из большого числа планетезимале i, -то время могло быть я я порядок больше. Отдельные планетезимали могли выпадать im jth зародыши через 10® лет. В ходе эволкгн.-i рассмотренных дисков массы зародито й увеличивались менее, чем ча

2/Кф Поэтому для рассматриваемой модели м&сы зародышей должны быть близки к массам соответствующих планет. При меньших массах планетезималей меньше их миграция и рост зародышей планет может быть больше. Также как и зародыши Урана и Нептуна, из-за гравитационных взаимодействий с планетезималямн, движущимися к Юпитеру, объекты, меньшие зародышей Урана и Нептуна, также могли увеличивать большие полуоси своих орбит.

В большинстве вариантов расчетов, з начальный момент временя кроме массивных тел, находящихся за орбитой Сатурна, имелись также тела в зоне астероидного пояса, суммарная масса которых мала. При эволюции дисков скорость выброса малых тел на гиперболические орбиты под влиянием крупных тел из зон Урана и Нептуна была больше, чем этих крупных тел. Например, в одном из рассмотренных вариантов расчетов 7 % астероидов оставалось в тот момент времени, когда число тел из зон Урана и Нептуна уменьшалось всего на 28 %.

Была исследована эволюция дисков, состоявших из почти сформировавшихся планет и сотен одинаковых тел в зонах Урана и Нептуна (с суммарной массой Afg равной 1 и 10 масс Земли). Начальные орбиты планет были круговыми. Начальные эксцентриситеты eQ орбит тел равнялись 0.02 или 0.35. В работах Фернандеза и Ипа (J.A. Fernandez and W.-H. Ip, Icarus, 1981, v. 47, 470-479; J.A. Fernandez and W.-H. Ip, Icarus, 1984, v. 58, 109-120) рассматривались меньшие зародыши Урана и Нептуна, современные эксцентриситеты орбит планет и другие эксцентриситеты орбит тел. Как и в работах этих авторов, соискателем получена миграция части тел к орбите Юпитера, убывание большой полуоси орбиты Юпитера и преимущественное возрастание больших полуосей орбит . других планет-гигантов. Расширение системы планет-гигантов в ходе их аккумуляции может объяснить большие (~2) значения отношений больших полуосей орбит Урана и Сатурна, а также Сатурна и Юпитера. Из-за ограниченности алгоритма, использовавшегося Фернандезом и Ипом, полученный ими выброс тел на гиперболические орбиты был небольшим. В наших вариантах расчетов масса тел, выброшенных на гиперболически^ орбиты на порядок превышала массу тел, вошедших в планеты. В отличие от работ Фернандеза и Ипа в ряде серий расчетов кроме гравитационного влияния планет учитывалось также взаимное гравитационное влияние тел. Получено, что даже при *о=0.02 средний эксцентриситет в ходе эволюции достигал 0.2. В отдельные моменты времени суммарная масса тел с большими полуосями а>40 а. е.

превышала О.Ш^, а их средние эксцентриситеты были ~0.6.

У 5 % тел, выброшенных на гиперболические орбиты, е<1.001. Юпитер выбрасывал тела в основном на более эксцентричные орбиты, чем Уран и Нептун. В вариантах расчетов при м£=тф и М|=>10тв в ходе эволюции эксцентриситеты орбит Юпитера н Сатурна достигали соответственно (0.7-4)(1<Г'4Л*£/т(!>) и (2-бНЮ"4«^/^, а эксцентриситеты орбит Урана и Нептуна - (О.ОМ-О.ООгХЛ^/Яф). На основе анализа результатов расчетов получено, что значение эксцентриситета орбиты планеть массы М, гравитационно взаимодействующей с N примерно одинаковыми телами общей массой М^., в ко..це эволюции приближенно можно определять по формуле

'ти&пМ^ еслИ ее начальны® эксцентриситет е°л=0, где ёт -максимальное значение эксцентриситетов орбит большинства тел в ходе эволюции. Для рассматриваемых дисков ?т~1. При взаимодействии планеты с одним телом массы т в случае первоначально круговых орбит имеем епг.~еТ(т/М), где е - эксцентриситет орбиты тела в ходе эволюции. Тот факт, что Нептун имеет наименьший эксцентриситет среди планет-гигантов, может быть связан с тем, что массы наибольших планетезималей в его зоне питания были меньше, чем в зонах других планет—гигантов.

При наличии зарогышей Урана и Нептуна результаты проведенных соискателем расчетов согласуются со значениями начальной массы М^ протопланетного облака, равной 0.04^0.1 массы Солнца, принимаемой многими космогоиистамя. Чем ближе к современным орбитам Урана и Нептуна сформнрозались эти зародыши (например, в результате объединений разреженных газопылевых сгущений) н чем больше были их массы, тем меньше, значения М^. Во всех рассмотренных соискателем вариантах расчетов, включавших Юпитер м Сатурн, на Юпитер выпадало больше тел, чем на другие планеты. Поэтому в ядро и оболочку Юпитера могло войти больше льдов и каменистого вещества, чем в любую другую планп у. Суммарная масса тел иэ зон планет-гигантов, проникавших в зону астероидного пояса, могла достигать десятков масс Зем.-щ. Во время формирования Урана я Нептуна на Землю могло быть доставлено большое количество воды (сравнимое с объемом воды в океанах). На некоторых этапах аккумуляции планет суммарная масса тел, проткавших за орбиту Нептуна, могла достигать десятков масс Земли. 1;<игелии орбит многих иэ этих тел лежали около орбиты Нептуна, а эксцентриситеты их орбит превышали 0.6. Некоторые из этих тел наряду с телами, сформировавшимися за орбитой Нептуна,

могли быть источниками формирования занептунных поясов.

Выводы па главе VI:

На основе результатов моделирования эволюции дисков, состоявших из сотен гравитирующих тел, движущихся вокруг Солнца и объединяющихся при столкновениях, исследовалась аккумуляция планет и миграция тел в формирующейся Солнечной системе. Результаты численных расчетов подтвердили ряд результатов, полученных аналитически другими авторами, а также позволили сделать новые космогонические выводы. При исследовании эволюции ряда пространственных дисков исходные тела в зависимости от значений больших полуосей их орбит были разбиты на группы. Получено более сильное, чем в работах Дж. Везерилла, перемешивание тел этих групп в ходе эволюции и отмечено, что планетезимали могли войти в состав Земли и Венеры примерно в такой же пропорции цо исходным значениям больших полуосей их орбит, как и в первоначальном диске планетезнмалей. Результаты расчетов свидетельствуют, в частности, в пользу того, что массы зародышей несформировавшихся планет земной группы могли превышать 0.05т@. Без таких зародышей трудно объяснить не только наклон оси вращения, но и период осевого вращения Земли. Формирование основной массы планет земной группы могло происходить за —106—107 лет, а отдельные тела могли выпадать на эти планеты через время большее 107 лет. Относительно большие эксцентриситеты орбит Меркурия и Марса могли быть обусловлены как влиянием крупных тел в зонах питания планет земной группы, так и влиянием тел, залетавших в зону планет земной группы из зон планет-гигантов.

Исследования миграции тел при формировании плаиег-гигантов основывались на результатах моделирования эволюции* дисков первоначально одинаковых тел, а также дисков, включавших кроме одинаковых тел также почти сформировавшиеся планеты. Получено, что суммарная масса тел, выброшенных на гиперболические орбиты • из зов планет-гигантов, на порядок превышала массу твердого вещества, вошедшего в планеты. Эти результаты согласуются со значениями начальной массы протопланет.ного облака Мщ~(0.04-0Л)*Мо , принимаемыми многими авторами. Впервые при численном моделировании аккумуляции планет получено, что в ядро и оболочку Юпитера могло войти больше льдов и каменистого вещества, чем в любую другую планету. Суммарная масса тел из зон планет-гигантов, проникавших в зону астероидного пояса, могла достигать десятков масс Земли.

Система планет-гигантов расширялась в ходе аккумуляции этих планет. Большая полуось орбиты Юпитера могла уменьшиться на 0.5 а. е. и при этом смещающиеся резонансные области могли очистить большую часть астероидного пояса. Впервые получено, что зародыши Урана и Нептуна с начальными массами, равными нескольким массам Земли, могли мигрировать из зоны Сатурна на современные орбиты Урана и Нептуна, двигаясь все время по слабо эксцентричным орбитам. Аналогичный вывод можно сделать о миграции из зоны Юпитера зародыша Сатурна с массой, равной нескольким десяткам масс Земли. Суммарная масса тел, проникавших за орбиту Нептуна, могла достигать десятков масс Земли. Тот факт, что Нептун имеет наименьший' эксцентриситет среди планет-гигантов, может быть связан с тем, что массы наибольших планетезималей в его зоне питания были меньше, чем в зонах других планет-гигантов.

В главе VII рассматривается миграция малых тел к Земле из астероидного и занептунного поясов и вероятности столкновений тел различных масс с Землей [49, 51-52, 61-65, 67-72, 74-78]. В главе II обсуждалась миграция резонансных астероидов к орбитам Марса и Земли. Как и в работах других авторов (P. Farinella, et at., Icarus, 1993, v. 101, 174-187), считается, что тела попадают в окрестности резонансов в основном в результате взаимных столкновений астероидов.. На основе результатов моделирования методом сфер действия соискатель получил, что астероиды, попавшие^ в эти окрестности из-за гравитационного влияния крупнейших астероидов, могут составлять только несколько процентов объектов, сближающихся с Землей (ОСЗ). Другими исследователями аналогичные оценки не проводились. Полученные результаты являются одним из свидетельств в пользу того, что ОСЗ, поставляемые из астероидного пояса, в значительной степени являются продуктами высокоскоростных столкновений.

Используя новые формулы, соискатель оценил [72] вероятности столкновений различных астероидов. В частности, получено, что среднее время до момента первого столкновения какого-либо астероида диаметром d= 1 км с каким-либо астероидом диаметром d'^O.ld меньше 10 тыс. лет. Поэтому небольшие осколки могут часто попадать в окрестности резонансов, поставляющих часть этих осколков к Земле. Как и в работе (P. Farinella, et at., Icarus, 1993, v. 101, 174-187), показано, что среднее время жизни астероидов главного пояса диаметром менее 100 км не превышает времени существования Солнечной системы. Время жизни тела диаметром 1 м может быть

порядка миллиона лет.

В работах (M.J. Holman and J. Wisdora, Astron. J., 1993, v. 105, 1987-1999; H.F. Levison and M.J. Duncan, Astrophys. J., 1993, v. 406, L35-L38) для различных значений больших полуосей орбит тел исследовались времена, за которые под влиянием планет-гигантов тела приобретали орбиты, пересекающие орбиту Нептуна, или сближались с Нептун ом на расстояние, равное радиусу его сферы действия. Рассматривались в • основном случаи слабо наклоненных и слабо эксцентричных орбит. Соискатель нсслсдобзл изменения элементов орбит при различных (а не только малых) начальных зхсцектрйсктетзх н наклонениях орбит и изучал эволюцию орбит тел также после того, как они стали пересекать орбиту Нептуна. Начальные ьиачекг.я больших полуосей орбнт варьировались от 35 до 50 а.с. Рассматриваемый интервал времени равнялся 20 илк 100 млн. лет. Особ:.? енкмааие уделялось исследованию орбит при резонансе 3:2 с Нептуном. Зт;: исследования эволюции орбит небесных тел проводились путем численного интегрирования задачи 6-тел: Солнце. четыре планеты-гиганта и малое тело. Как и авторы цитируемых выше работ, при учете гравитационного слияния планет соискатель использовал симплектическиб метод, а именно, алгоритм RMVS2 (регуляризованный смешанный изменяющийся симплектический) из пакета SWIFT (H.F. Levison and M.J. Duncan, Icarus, 1994, v. 108, 18-36). Этот алгоритм обеспечивает на порядок большую скорость вычислений (часто при почти такой же точности вычислений), чем разработанные ранее методы численного интегрирования. Для оценок точности расчетов для ряда типичных исследуемых орбит при квазипериодических изменениях эксцентриситета соискатель сравнил результаты расчетов с помощью алгоритма RMVS2, с результатами, полученными при интегрировании уравнений движения методом Булирша-Штера (R. Bulirsh and J. Stoer, Numerische Mathematik, 1966, v. 8, 1-13). В частности, получено, что пределы изменений больших полуосей орбит за 1 млн. лет отличались не более, чем на 5 %, а отличия пределов изменений эксцентриситетов и наклонений были еще меньше.

В рассмотренных вариантах при одних исходных данных эксцентриситеты е, большие полуоси а н наклонения < орбит в ходе эволюции менялись слабо, а при других исходных данных изменения элементов орбит были большими, тела начинали сближаться с планетами и выбрасывались на гиперболические орбиты. Причем, даже варьирование исходных ориеитаций орбит и исходных положений тел на

орбитах могло приводить х большим изменениям зависимостей е, а и « от времени не только для резонансных, но и для некоторых нерезонансных орбит (например, при а0-4О а.е.). Небольшие изменения элементов орбит, происходящие под влиянием тел занептунного пояса, могут приводить к тому, что регулярные (почти периодические) изменения элементов орбит становятся хаотическими, т.е. слабые изменения србит .могут сменяться сильными изменениями.

В 'лехотозых вариантах расчетов в ходе эволюции тела проникали глубоко •внутрь Солнечной системы. Например, в случае г'0=5°, йо=сзо=Мо=.-60° (где О - долгота восходящего узла орбиты тела, о> -угловое расстояние перигелия от узла, М - средняя аномалия в эпоху; ноликом помечены исходные значения) при ао=40 а.е. н ео=0.15 и при я0=39.3 а.е. и «?о=0.3 перигелкйное растояние <? уменьшалось с 34 и 27.5 а.е. до 1.3 а.е. за 25 н 64 млн. лет, а тела выбрасывались на гиперболические орбиты через 30 и 70 млн. лет, соответственно. Чем 5ольше значения е0, тем больше число тел, пересекающих в ходе->волюции орбиту Нептуна. Для меньших наклонений орбит время Т^ до зыброса тела на гиперболическую орбиту, как правило, меньше. Во зсех рассмотренных вариантах расчетов диапазон изменений а и максимальные значения е н / в ходе эволюции превышали 0.6 а.е., ).05 и 3°, соответственно, т.е. очень малые значения е и I не могут :ушествовать долгое время.

Соискатель впервые изучал роль взаимного гравитационного >лняння тел занептунного пояса. По предложению Т.М. Энеева численно юделировалась эволюция орбит трех одинаковых небесных объектов, 1ассы которых равнялись массе Плутона. Первоначально эти объекты [вигались по близким круговым орбитам. При исследовании эволюции |рбит путем численного интегрирования плоской задачи четырех тел юлучен рост максимального эксцентриситета до 0.04 за 2*105 боротов объектов вокруг Солнца. Дальнейшая эволюция исследовалась [етодом сфер. В одном из вариантов расчетов получено, что для лоской модели максимальный эксцентриситет возрос с 0.005 до 0.1 и .4 за один и десять миллионов оборотов объектов вокруг Солнца, оответственно. Отметим, что в случае двух таких гравитационно заимодействующих объектов максимальные эксцентриситеты не ревышали 0.02 в случае первоначально круговых гелиоцентрических рбит и 2е0, если максимальный начальный эксцентриситет е0>0.02.

Реальный занептунный пояс не является плоским, однако число эставляющих его объектов велико. Учитывая проведенные в главе V

оценки зависимости роста среднего эксцентриситета в диске, состоящем из одинаковых тел, от масс и числа тел, соискатель показал, что, если рассматривать эволюцию диска, состоящего из одинаковых тел с массами, близкими к массам обнаруженных объектов занептунного пояса, то рост среднего эксцентриситета до 0.1 и среднего наклонения до 4° происходит за время существования Солнечной системы при массе дкска, равной нескольким массам Земли. Полученные результаты показывают, что вследствие взаимного гравитационного влияния некоторые тела занептунного пояса могут мигрировать к орбите Нептуна из всего занептунного пояса, а ке только из внутренней его чзсти. Часть этих тел в дальнейшем может мигрировать внутрь Солнечной системы и некоторые тела способны достигать орбиты Земли. Малое число LL-хондрнтов, возраст которых не превышает 8 млн лет, может быть связано с длительным путем LL-хондритов из занептунного пояса. Проведены оценки вероятностей столкновений между телами занептунного пояса. Б частности, получено, что при а»40 а. е. около половины тел диаметром более 100 км могли столкнуться с аналогичными телами за время существования Солнечной системы. Значительная часть тел диаметром, меньшим десятков километров, может быть осколками более крупных тел. Получены на порядок (и более) меньшие характерные времена между столкновениями тел в занеитунном поясе, чем для модели "частица в ящике", рассмотренной Стерном (S.A. Stern, Astron. J., 1995, v. 110, 856-868).

Методом сфер действия рассматривалась миграция пробных тел под влиянием планет. Другие авторы исследовали миграцию некоторых реальных небесных тел под влиянем планет в основном путем численного интегрирования уравнений движения. Метод сфер позволяет исследовать эволюцию большего числа тел на больших интервалах времени. С помощью этого метода Везерилл (G.W. Wetherill, Icarus, 1988, v. 76, 1-18) исследовал распределения тел, мигрировавших из внутренней части астероидного пояса, а также тел кометного происхождения ао перигелийным расстояниям и большим полуосям их орбит. Методом сфер соискателем были проведены расчеты эволюции дисков, первоначально состоявших из планет и сотен тел, расположенных в различных областях Солнечной системы. Исходные эксцентриситеты eQ и большие полуоси aQ орбит всех тел были s одинаковы в каждом из вариантов расчетов. Рассматривались следующие пары значений aQ (в а. е.) и (1.7, 0.5), (2.5, 0.4), (2.82,

0.4), (7, 0.5), (25, 0.4). В отличие от работ Везерилла (G.W. Wetherill, Icarus, 1988, v. 76, 1-18; G.W. Wetherill, in Proc. IAU Colloquium 121 "Comets in the post-Halley era", Amsterdam, Kluwer Academic Publishers, 1991, 537-556) соискатель исследовал также миграцию тел яз резонанса 2:5 с Юпитером и от орбиты Нептуна. Результаты расчетов показали, что около 1 % тел из окрестности резонанса 2:5 с Юпитером могли столкнуться с Землей. Перигелии или афелии орбит тел, сталкивающихся с Землей, в основном лежат около орбиты Земли.

В рассмотренных соискателем вариантах расчетов среди тел. пришедших из зон планет-гигантов, доля тел," пересекающих орбиту Земли, на порядок больше доли тел, орбиты которых пересекают только орбиту Марса. Эксцентриситеты орбит этих тел обычно превышают 0.6. Эти результаты указывают на то, что захват тел занептунного пояса Марсом невелик. Если к тому же учесть, что число астероидов группы Аполлона (перигелийные расстояния этих астероидов q < 1.02 з.е., а большие полуоси а> 1 а.е.) меньше числа астероидов группы Амура (для которых 1.02 s 9^1.33 а.е.), а большинство астероидов группы Амура не могло придти из группы Аполлона, то получаем, что большинство астероидов группы Амура должно было придти из астероидного пояса.

Часть тел, мигрировавших к Земле из различных областей Солнечной системы, в дальнейшем пополняла семейство астероидов, орбиты которых целиком находятся внутри орбиты Земли (а некоторые -внутри орбиты Венеры). Число объектов этого семейства может быть велико и некоторые объекты могут мигрировать к Земле. Эти объекты опасны тем, что приближаются к Земле со стороны Солнца и их появление трудно прогнозировать. Ранее такие расчеты пополнения этого семейства не проводились.

Исследовались характерные времена до выпадений тел на планеты. При аналитических оценках времен до столкновений тел с Землей и характерных времен жизни астероидов в отличие от других исследователей соискатель использовал не схему Эпика, а другие формулы, учитывающие дополнительно синодический период обращения и возможность изменений нахлонений орбит тел за время до столкновения этих тел. Показано, что в случае, когда элементы орбит двух небесных тел меняются до их столкновения, характерное время до этого столкновения .может быть в несколько раз меньше, чем при фиксированных средних значениях наклонений и эксцентриситетов орбит. Отмечено, что орбита

объекта, сближающегося с Землей (ОСЗ), может сильно меняться за время до его столкновения с планетой. Получены несколько меньшие (в 1.5-2 раза), чем другими авторами (W.F. Bottke et at., in "Hazards due to comets and asteroids", Tucson, 1994, 337-358; D. Morrison, in Proc. of the near-Earth-object intercept workshop, 1994, 49-59; G.W. Wetherill, Icarus, 1988, v. 76, 1-18), характерные времена до выпадения тел на Землю. В частности, показано, что лет. Сумма берется (при £=1) по известным N объектам, пересекающим орбиту Земли (ОПОЗ). Из этого значения Тт следует, что ОСЗ диаметром d&l км, может выпадать на Землю в среднем не реже, чем раз в 10s лет, а диаметром ¿£100 м - раз в 103 лет. Число ОСЗ, выбрасываемых на гиперболические орбиты, на порядок превышает число ОСЗ, выпадающих на Землю.

Пусть в некоторый момент времени имеется N. ОПОЗ. Тогда -(кА+1)/Г„ 0

Pr=N/N0=e " , где 1/кд - отношение массы тел, столкнувшихся

с Землей, к массе тел, выброшенных на гиперболические орбиты или

столкнувшихся с другими планетами. Отметим, что 0Г=О.5 при к^=10 и

<я0.07Г,з5*106 лет. Поэтому для половины тел, сталкивающихся с

Землей, интервал времени между выходом на орбиту, пересекающую

орбиту Земли, и столкновением с Землей может не превышать 5 или.

лет. Столкновительное время жизни 1 м тела в несколько раз меньше

этого интервала. Это согласуется с тем, что каменные метеориты

являются обычно результатом нескольких столкновений. Скорость

притока ОПОЗ равна &'=MJkfl+l)/Tm, где Nm - число наблюдаемых ОПОЗ

некоторого рассматриваемого диаметра. В частности, ¿'£100 за 1 млн.

лет при км.

Вывош па главе VII:

Впервые получено, что вследствие гравитационного ' влияния крупнейших тел занептунного пояса некоторые тела могут мигрировать из внешней части этого пояса во внутреннюю. Под влиянием планет-гигантов отдельные тела могут уменьшать перигелии своих орбит с 34 до 1 а-е.

Путем моделирования на ЭВМ исследована миграция тел к Земле из различных областей Солнечной системы. Получено, что перигелии или афелии орбит тел, сталкивающихся с Землей, в основном лежат около орбиты Земли. Вероятность выброса астероидов группы Аполлона иа гиперболические орбиты. на порядох больше вероятности их столкновений с планетами. Орбита объекта, сближающегося с Землей, может сильно меняться за время до его столкновения с планетой.

Большинство астероидов группы Амура должно придти из внутренней части астероидного пояса. Впервые проведены численные расчеты пополнения семейства объектов, орбиты которых целиком лежат внутри орбиты Земли. Получены меньшие, чем при использовании схемы Элика, характерные времена до выпадения тел на Землю. Впервые отмечено, что для половины тел, сталкивающихся с Землей, . интервал времени между выходом на орбиту, пересекающую орбиту Земли, и столкновением с Землей может не превышать 5 млн. лет.

Основные подокения. выносимые на аашХЕ-

1) Исследована миграция тел в астероидном и занептунном поясах В том числе, впервые объяснено формирование люка Кирквуда 2:5, систематизированы различные типы резонансных астероидных орбит и изучена роль взаимного гравитационного влияния тел занептунного пояса.

2) Предложены и изучены новые механизмы миграции тел к Земле из различных областей Солнечной системы и по новой методике определены характерные времена жизии объектов, сближающихся с Землей.

3) Разработаны новые эффективные методы моделирования на ЭВМ эволюции дисков тел, движущихся вокруг Солнца.

4) Впервые подробно изучены области исходных данных и максимальные эксцентриситеты, соответствующие различным типам эволюции двух близких орбит тел, движущихся вокруг гравитирующего центра.

5) Обнаружены новые эффекты миграции планетезималей и зародышей плаиет и эволюции их орбит в формирующейся Солнечной системе.

Основные ПРД9Ж9ВИЯ диссертации рпубчтгсвадн а работах;

1. И патов С. И. Эволюция плоского кольца гравитирующих материальных точек. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1&78. № 2. 60 с.

2. И патов С. И. Эволюция плоского кольца гравитирующих тел, объединяющихся при столкновениях. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1978. №101. 66 с.

3. Ипатов С. И. Взаимное гравитационное влияние двух протопланет в плоской задаче трех тел при первоначально круговых орбитах. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1979. № 183. 32 с.

4. Ипатов С. И. Задача трех тел и взаимодействие протопланет в п^отопланетном облаке. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1979.

5. Ипатов С. И. Эволюция резонансных астероидных орбит в плоской задаче трех тел: Солнце-Юпитер-астероид. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1980. Л» 30. 32 с.

6. Ипатов С. И. О приближенном методе исследования взаимного гравитационного влияния тел протопланетного облака. К вопросу об эволюции орбиты Плутона. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1980. Л» 43. 33 с.

7. Ипатов С. И. О гравитационном взаимодействии двух планетезималей // Астрой, жури. 1981. Т. 58. № 3. С 620-629.

8. Ипатов С. И. Моделирование на ЭВМ эволюции плоских колец гравитирующих частиц, движущихся вокруг Солнца // Астрой, жури.

1981. Т. 58. № 5. С 1085-1094.

9. Ипатое С. И Численные исследования нращателлных моментов аккумулирующихся тел. Препринт Ин. прикл. матем. АН С'ХР. 1981.

10. Ипатое С. И. Некоторые вопросы формирования осевых крашений планет. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1981. №102. 2 Sc.

11. Ипатое С. И. Численные исследования аккумуляции о.анет земной группы. Препринт Hi:, прккл. матем. АН СССР. 1982. Л"-14; 28 с.

12. Ипатоз С. И. Оценки эволюции пространственных колец гравитирующих тел, объединяющихся при столкновениях. Поепринт Ин. прикл. матем Ai i СССР. 1982. №.186. 28 с.

13. Ипатое С И. Численные исследования плоской модели аккумуляции ядер планет-гигантов. Препринт Ин. прихл. матем. АН СССР. 1983. №117. 28 с.

14. Ипатое С. И. Численные исследования эволюции пространственных колец гравитщ.-ующих тел, соответствующих зонам питания планет-гигацтоз. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1984. № 1. 28 с.

15. Ипатое С. И. Осевые вращения аккумулирующихся планет // "О.Ю. Шмидт и советская геофизика 80-х годов". М. "Наука". Под ред. М.А. Садовского, 1984. с. 239-243.

16. Ипатоз С. И. Эволюция эксцентриситетов орбит «на начальной стадии твердотельной аккумуляции планет. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1985. №4. 28 с.

17. Ипатое С. И. Численные исследования эволюции дисков гравитиру-ющих твердых тел, движущихся вокруг массивного центрального тела // Аннотации докладов на YI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, сент. 1986). С 314.

18. Ипатое С. И. Твердотельная аккумуляция планет земной группы // Астрон. вести. 1987. Т 21. № 3. С. 207-215.

19. Ipatov S.I. Accumulation and migration of the bodies from the zones of giant planets // Earth, Moon, and Planets. 1987. V. 39. № 2. P. 101-128.

20. Ипатое С. И. Численные исследования эволюции орбит астероидов и планетезималей в рамках плоской задачи трех тел. Препринт. Ин. прикл. матем. АН СССР. 1988. № 62. 23 с.

21. Ипатое С. И. Эволюция резонансных орбит астероидного типа и проблема существования люков // Кинематика и физика небесных тел. 1988. Т. 4. 7* 4. С 47-54.

22. Ипатое С. И. Численные исследования возможной эволюции орбит Плутона и тел занептуиового пояса // Кинематика и физика небесных тел. 1988. Т. 4. № 6. С 73-78.

23. Ипатое С. И. Времена эволюции дисков планетезималей // Астрон. журн. 1988. Т. 65. № 5. С 1075-1085. // "The origin of the Solar System: Soviet Research 1925-1991". Ed. by A.E. Levin and S.G. Brush. American Inst, of Physics Press, through Oxford University Press. 1995. P. 243-249.

24. Ипатое С.И. Происхождение люка Кирквуда 5:2. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1989. N> 67. 28 с.

25. Ипатое С. И. Изменения эксцентриситетов орбит астероидного типа в окрестности резонанса 2:5 // Письма в Астрон. журн. 1989. Т. 15. № 8. С. 750-760.

26. Ипатое С. И. Миграция планетезималей на последних стадиях аккумуляции планет-гигантов // Астрон. вестн. 1989. Т. 23. № 1. С.

27. Ипатое С. И. Эволюция эксцентриситетов' орбит планетезималей при <^>ми|)Овании планет-гигантов // Астрой, вестн. 1989. Т. 23. № 3. С.

28. Ипатое С. И. Численные исследования аккумуляции планет // "Планетная космогония и науки о Земле". М.: Наука. Под ред. В. А.

Магницкого. 1989. С 89-105.

29. И патов С. И. Эволюция орбит астероидного типа в окрестности резонанса 2:5 // Тезисы докладов на Всесоюзной конференции "Методы исследования движения, физика и динамика малых тел Солнечной системы" (22-26 августа 1989, Душанбе). Под ред. П. Б. Бабаджанова и Ю.В. Обрубова. 1989. С. 33.

30. Ипатов С. И. Моделирование на ЭВМ эволюции дисков гравити-рующих тел, движущихся вокруг Солнца // Тезисы докладов на Всесоюзном совещании "Методы компьтерного конструирования моделей классической и небесной механнки-89" (21-23 ноября 1989, Ленинград). Ленинград. ИТА АН СССР. Под ред. А.Г. Сокольского и А. С Баранова. 1989. Секция 1. С. 41-42.

31. Ipatov S.I. Computer modelling of the process of solar system formation // Abstr. Intern. IMACS Conference "Mathematical modelline and applied mathematics" (June 18-23, 1990, Moscow-Vilnius). 1990. P. 200-201..

32. Ипатов С. И. Методы выбора пар контактирующих объектов в эволюционирующем диске // Тезисы докладов на Всесоюзном совещании "Алгоритмы и программы небесной механики" (20-22 ноября 1990, Ленинград). Ленинград. ИТА АН СССР. Под ред. А. Г. Сокольского.

1990. С 31-32.

33. Ипатов С. И. Происхождение одного из люков Кирквуда // Земля и Вселенная. 1991. № 1. С. 86-88.

34. Ипатов С. И. Эволюция орбит растущих зародышей планет-гигантов, первоначально двигавшихся по сильно эксцентричным орбитам // Письма в Астрой, журн. 1991. Т. 17. № 3. С. 269-281.

35. Ипатов С. И. Эволюция орбит астероидного типа при резонансе 5:2. Препринт Ин. прикл. матем. АН СССР. 1991. № 125. 48 с.

3d. ipatov S.I. Possible migration of the giant planet embryos // Abstracts of 22nd Lunar and Planetary Science Conference (March 18-22, 1991, Houston). 1991. R 607-608.

37. Ipatov S.I. Computer simulation of the bodies migration in the forming solar system // Abstracts of Intern. Conference "Origin and evolution of the solar system" (August 27-31, 1991, Moscow). 1991.

38. Ipatov S.I. Asteroid type ■ orbit evolution near the 5:2 resonance // Abstracts of Intern. Conference "Asteroids, comets, meteors 1991" (June 24-28, 1991, Flagstaff, Arizona). 1991. LPI Contiibution № 765. P. 98.

39. Ипатов С. И. Численные исследования миграции тел в формирующейся Солнечной системе //. Аннотации докладов на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (15-21 августа 1991, Москва).

1991. С 172-173.

40. Ipatov S.I. Migration of bodies during the accumulation of terrestrial planets // Abstracts of 23d Lunar and Planetary Science Conference (March 16-20, 1992, Houston). 1992. P. 567-568.

41. Ipatov S.I. Computer simulation of the process of solar system formation // Mathematical modelling and applied mathematics. 'Ea. by A.A. Samarskii and M.P. Sapagovas. Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland). 1992. P. 245-252.

42. Ipatov S.I. Evolution of asteroidal orbits at the 5:2 resonance // Icarus. 1992. V. 95. P. 100-114.

43. Ипатов С. И. Миграция тел к орбите Земли из люков Кирквуда и из зон планет-гигантов // Труды Всесоюзного совещания (с международным участием) "Астероидная опасность" (10-11 октября 1991, Санкт-Петербург). С-Петербург. Под ред. А.Г. Сокольского. 1992. С. 121-125.

44. Ipatov S.l. Asteroid type orbit evolution near the 5:2 resonance // Proc. of Intern. Conference "Asteroids, comets, meteors 1991" (June 24-28, 1991, Flagstaff, Arizona). Ed. by A.

Harris and E. Boweil. 1992. P. 245-248.

45. Ipatov S.I. Migration of planetesimals and planets in the forming solar system //■ Abstracts of 24th Meeting of Division for Planetary Sciences of the American Astronomical Society (Munich, October 12-16, 1992). Bulletin of the American Astronomical Society. № 3. 1992. P. 984.

46. И патов С. И. Численные исследования миграции тел в формирующейся Солнечной системе // Прикладная механика. 1992. Т. 28. Л? И. С. 91-96.

47. Ипатов С. И. Изменения элементов орбит астероидного типа при резонансе 2:5 // Астрой, вестник. 1992. Т. 26. ЛГ; 6. С. 26-53.

48. Ипатов С. И. Миграция тел в процессе аккумуляции планет // Астрон. вестник. 1993. Т. 27. № 1. С 83-101.

49. Ipatov S.I. Migration of bodies to the orbit of Earth // Abstracts of the Conference on "Hazards due to comets and asteroids" (January 5-9, 1993, Tucson, Arizona). 1993.

50. Ипатов С. И. Методы выбора пар контактирующих объектов при исследовании эволюции дискретных систем с бинарными взаимодействиями // Математическое моделирование. 19ЭЗ. Т. 5. Кг 1. С. 35-59.

51. Ипатов С. И. Миграция тел к Земле // Тезисы докладов на Комплексной конференции с международным участием "Астероидная опаскость-93" (25—27 мая 1993, Санкт-Петербург). С.-Петербург. ИТА РАН. Под ред. А. Г. Сокольского. 1933. С. 58-59.

52. Ipatov S.I. Migration of bodies to Earth // Abstracts of Intern. Conference "Asteroids, comets, meteors 1993" (June 14-18, 1993, Beigirate, Italy). 1993. P. 138.

53. Ипатов С. И. Моделирование на ЭВМ процесса аккумуляции планет // Происхождение Солнечной системы. Кинетические и термодинамические аспекты. Москва. "Наука". Под ред. А.В. Витязева. 1993. С. 73-87.

54. Ipatov S.I. Interactions of two bodies moving around the Sun // Тезисы докладов конференции с международным участием "Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика" (12-14 октября

1993, Санкт-Петербург). С.-Петербург. ИТА РАН. Под ред. А.Г. Сокольского. 1993. С 48-49.

55. Ipatov S.I. Dynamics of two interacting objects orbiting the Sun // Abstracts of 25th Lunar and Planetary Science Conference (March 14-18, 1994, Houston). 1994. P. 593-594.

56. Ипатов С. И. Гравитационное взаимодействие планетезималей, движущихся по близким орбитам. Препринт Ин. прикл. матем. АН РАН.

1994. № 23. 60 с.

57. Ipatov S.I. Migration of bodies in the accumulation of planets // Abstracts of the Intern. Conference on comparative planetology (June 6-8, 1994, Pasadena, USA).

58. Ипатов С. И. Взаимодействие двух объектов, движущихся по близким орбитам // Тезисы докладов конференции "Физика Луны и планет" (7-10 июня, 1994, Харьков). 1994. С 46.

59. Ипатов С. И. Миграция тел в Солнечной системе // Тезисы докладов конференции "Физика Луны и планет" (7-10 июня 1994, Харьков). 1994. С 47-48.

60. Ипатов С. И. Миграция тел в формирующейся Солнечной системе // Тезисы докладов на Международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии" (20-24 нюня, 1994, Санкт-Петербург). С-Петербург. ИТА РАН. Под ред. А. Г. Сокольского. 1994. С 33-35.

61. Ipatov S.I. Migration of small bodies in the Solar system // Abstracts of the Intern. Conference "Small bodies in the Solar system and their interactions with the planets" (August 8-12, 1994, Mariehamn). 1994. P. 69.

62. Ipatov S.I. Migration of celestial bodies and , formation of planets. Abstracts of the 20th Intern. Meeting on comparative

netology (October 10-12. 1994, Moscow). 1994. P. 31-32/

Платов С. И. Гравитационное взаимодействие двух планетезималей, ■жушихся по близким орбитам // Астрой, вестник. 1994. Т. 28. N» 6. ИМЗ.

И патов С. И. Миграция небесных тел к Земле // Тезисы докладов на II Метеоритной конференции (6-8 декабря, 1994, Черноголовка). С -42.

Ипатов С. И. Миграция малых тел к Земле. Препринт Ин. прякл. гем. РАН. 1994. М 105. 48 с.

Ипатов С. И. Гравитационное взаимодействие объектов, движущихся ^пересекающимся орбитам // Астрой, вестник. 1995. Т. 29. № 1. С

Ipatoo S.I., Migration of small bodies to the Earth // Abstr. 26th Lunar and Planetary Science Conference (March 13-17, 1995, uston, Texas). 1995. P. 655-656.

Ipatoo S.I., Migration of icy bodies in the Solar System // ttr. of the Symposium "Solar System Ices". (March 27-30, 1995, ilouse, France). P. 58. Ipatov S.I., Migration of small bodies to the Earth // Abstr. the XX General Assembly of the European Geophysical Society iril 3-7, 1995, Hamburg, Germany). Annates Geophysicae, »ptement of vol. 13.

Ипатов С.И., Ивашкин В. В. Возможные источники и механизмы юл нения семейства небесных тел, сближающихся с Землей // Тезисы ладов на Комплексной конференция с международным участием теровдная опасность-95" (23-25 мая 1995, Санкт-Петербург). Петербург. IfTA РАН. Под ред. А. Г. Сокольского. Т. 2. 1995. С ■56.

Ipatoo S.I., Migration of celestial bodies in the solar system Abstr. of IAU Symposium № 172 "Dynamics, ephemerides and rometry in the solar system" (July 3-8, 1995, Paris, France). 5. P. 21-22.

Ипатов С. И. Миграция. малых тел к Земле // Астрон. вестник. 5. Т. 29. № 4. С 304-330. Ipatov S.I. Migration of bodies in the accumulation of planets Earth, Moon, and Planets. 1995. V. 67. № 1-3. P. 217-219. Ipatoo S.I. Migration of small bodies in the Solar system // th. Moon, and Planets. 1996. ■ V. 72. ife 1-3. P. 211-214; also in Worlds in interaction: Small bodies and planets of the Solar tem. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht / Boston /London. dc. of the Meeting "Small bodies in the Solar System and their sractions with the planets" held in Mariehamn, Finland, August 2, 1994). Ed. by H. Rickman and M.J. Valtonen. 1996. P. 211-214.

Ipatov S.I. Migration of small bodies to Earth from the ond-Neptune and asteroid belts // Abstr. of Intern. Conference teroids, comets, meteors 1996" (July 8-12, 1996, Versailles, nee). 1996. P. 19.

Ipatov S.I. and Henrard J. Orbital evolution at the 2:3 reso-ice with Neptune // Abstr. of Intern. Conference "Asteroids, lets, meteors 1996" (July 8-12, 1996, Versailles, France). 1996. B8.

Ipatoo S.I. Migration of small bodies to Earth from the ond-Neptune belt // Тезисы докладов на Международной конференции терондная опасность-96" (15-19 июля 1996, Санкт-Петербург). Петербург. ИТА РАН. Под ред. А. Г. Сокольского. 1996. С 59-61. Ipatoo S.I. Migration of small bodies to Earth from the Kuiper // Abstr. of Intern. Workshop "Tunguska96" (July 15-17, 19§6, agna, Italy). 1996. P. 30. Ипатов С. И. Миграция небесных тел в Солнечной системе // Тезисы

докладов на Втором симпозиуме по классической и небесной меха* (23-27 августа 1996 г., Великие Луки). 1996. С. 35-37. 80. Ипатов С. И. Миграция небесных тел в Солнечной системе // Тр Международной научно-практической конференции "Анализ систем пороге XXI века: теория и практика (27-29 февраля 1996 Москва), т. 3.

Подписано в печать 5.06.96г. Заказ № 115. Тираж jQQэкз. Отпечатано на ротапржвтах в Институте прикладной математик