Вероятностно-статистическое моделирование динамической эволюции малых тел при тесных сближениях тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ

1.1. ЭВОЛЮЦИЯ МАЛЫХ ТЕЛ СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЫ, НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

И ОСОБЕННОСТИ ИХ ПОВЕДЕНИЯ

1.2. ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ И ПРИЧИНЫ ПОЯВЛЕНИЯ ОШИБОК ПРИ ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИИ

1.3. СТОХАСТИЧЕСКИЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ И ИХ ОСОБЕННОСТИ

ГЛАВА II. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ

МОДЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ КОРОТКО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ МАЛЫХ ТЕЛ

2.1. ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ МАЛОГО ТЕЛА

В РАМКАХ СИСТЕМЫ N-ТЕЛ

2.2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ВЕРОЯТНОСТНЫХ КАРТ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ МАЛОГО ТЕЛА

2.3. СХЕМА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АЛГОРИТМА ЭВЕРХАРТА ДЛЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ С ТЕХНОЛОГИЯМИ СГЛАЖИВАНИЯ ОШИБОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ

2.4. СХЕМА ПРОВЕДЕНИЯ И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПО МОДЕЛИРОВАНИЮ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ МАЛЫХ ТЕЛ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

ГЛАВА III. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЕРОЯТНОСТНО

СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

3.1. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ НЕКОТОРЫХ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ КОМЕТ В РАМКАХ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ ЧЕТЫРЕХ И ШЕСТИ ТЕЛ

3.2. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЫБРОСА ВЕЩЕСТВА С ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛА И ДИНАМИЧЕСКОЙ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ ФРАГМЕНТОВ ВЫБРОСА

3.3. ВЛИЯНИЕ КОМПЬЮТЕРНОЙ РЕДУКЦИИ НА РЕЗУЛЬТАТЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

3.4. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭВОЛЮЦИИ ТРАЕКТОРИЙ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ МАЛЫХ ТЕЛ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА

Актуальность.

Изучение динамической эволюции траекторий малой компоненты ближнего и дальнего космоса имеет большое значение по многим причинам. Во-первых, целый ряд экологических катастроф на Земле связан непосредственно с бомбардировками поверхности телами как естественного, так и искусственного происхождения. Во-вторых, экологическое состояние верхних слоев стратосферы непосредственно связано с безопасной эксплуатацией искусственных спутников, энергетические установки которых в большинстве своем работают на ядерном топливе. Поэтому при расчете орбит движения, запаса прочности обшивок и наружного оборудования ИСЗ следует учитывать пространственную населенность и энергетические характеристики метеороидных роев, которые пересекает Земля в процессе своего движения. В-третьих, планирование трасс движения для межпланетных космических аппаратов требует долгосрочных прогнозов поведения малой компоненты Солнечной системы и оценки ее влияния на динамику их полета.

Потенциальную угрозу околоземным и, в большей степени, межпланетным космическим аппаратам представляют образования естественного происхождения: метеороидные рои, кометы, пояса астероидов, фрагменты выбросов/ вследствие эруптивных процессов, происходящих на различных объектах Солнечной системы, а также отдельные метеороиды и их комплексы, захваченные на околоземную орбиту. К таким же объектам относятся реликтовые хранилища кометного вещества: пояса Уипла-Кейпера, Оорта и др. [12, 25, 45, 98, 99, 104, 133 и др.].

Большое влияние на динамическую эволюцию орбит комет и астероидов, а также других малых тел Солнечной системы оказывают гравитационные возмущения со стороны планет и особенно тесные сближения с ними [42, 75]. Согласно результатам, полученным Хоулман и Висдом [118], зонами относительной стабильности в Солнечной системе являются пояс астероидов, обширная область за Нептуном и узкий пояс между Ураном и Нептуном. Остальное обширное пространство подвержено сильным и вековым возмущениям со стороны системы.

В условиях, когда каталогизация мелких фрагментов невозможна, статистическое моделирование их пространственного распределения является фактически единственным способом получения оценок динамических характеристик малой компоненты Солнечной системы. Построение математических моделей поведения отдельных объектов, а также комплексов малых тел необходимо для решения как теоретических, так и сугубо практических задач: прогнозирование пространственного распределения объектов, подготовка проведения наблюдений и других. Разработка и испытание различного рода космического оборудования также невозможны без использования соответствующих моделей.

Большинство нелинейных математических моделей - неинтегрируемы, для них нельзя получить решение в аналитическом виде, что приводит к необходимости применения методов вычислительной математики и соответствующих технологий для получения решений нелинейных систем уравнений [21].

Нелинейные модели, которые изучаются и рассматриваются в небесной механике, в той или иной степени обладают чувствительностью к точности начальных данных. Одним из фундаментальных результатов нелинейной динамики является осознание принципиальных ограничений в области получения прогноза даже для простейших нелинейных динамических систем [43, 60, 65, 115]. Учет неопределенности начальных условий особенно важен при исследовании небесномеханических объектов, имеющих тесные сближения с возмущающими телами.

Стохастическое варьирование начальными значениями переменных и параметров системы позволяет выявить множество особенностей системы и получить структуру пространства траекторий, что, в конечном итоге, позволяет построить более полноценный прогноз поведения системы, а также установить степень влияния неопределенностей переменных и параметров системы на устойчивость системы к начальным данным.

Стохастическое моделирование на основе методов Монте-Карло позволяет дать вероятностное описание динамической эволюции орбит объектов исследования и построить наиболее адекватные вероятностно-статистические компьютерные модели. Вероятностно-статистическое моделирование, учитывающее особенности дискретного характера компьютерных моделей, на основе новых технологий обработки и представления информации, как единственное универсальное средство построения решения задач эволюции, позволяет получить более полную информацию о динамических характеристиках движения объектов, поведение которых изучается. Такое понимание компьютерного и математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также описание и изучение основных их качественных свойств.

Широко известные специалисты ВВЦ РАН в области численных методов и вычислительного эксперимента Самарский А.А. и Михайлов А.П. в своей монографии [81] пишут: "компьютерное моделирование при решении задач динамической эволюции составляет неотъемлемую часть современной фундаментальной и прикладной науки, причем по важности оно не только приближается к традиционным экспериментальным и теоретическим методам, но в целом ряде задач является единственно возможным способом их исследования и построения прогноза эволюции".

Построение адекватных вероятностно-статистических моделей эволюции траекторий малых тел в гравитационном поле при тесных сближениях с массивными телами представляет одну из актуальных задач небесной механики.

Цели и задачи настоящей работы.

Целью настоящей работы является разработка новых методов исследования небесно-механических аспектов сложной хаотической динамики математических моделей эволюции траекторий короткопериодических комет и метеороидного вещества в межпланетном пространстве.

Практическая реализация этой концепции приводит к необходимости разработки способов математической формализации задач динамической эволюции траекторий малых тел, стохастических моделей вычислительного эксперимента и численных схем Монте-Карло.

Работа выполнялась по следующим основным направлениям.

1) разработка и обоснование вероятностно-статистической модели динамической эволюции траекторий малых тел в рамках пространственной задачи N-тел;

2) исследование влияния тесных сближений малых тел Солнечной системы с другими телами большой массы на динамическую эволюцию их траекторий в рамках пространственной задачи четырех и шести тел в условиях неопределенности начальных данных;

3) исследование и учет влияния процесса компьютерной редукции на результаты вычислительного эксперимента;

4) численное моделирование процесса эруптивного выброса с поверхности кометы с учетом влияния движения родительского тела на структуру траекторий нового образования, сформированного из продуктов выброса;

5) сравнительный анализ полученных результатов вероятностно-статистического моделирования динамической эволюции траекторий ряда короткопериодических комет Солнечной системы с результатами, полученными на основе классических детерминированных методов.

Основной метод выполнения работы - теоретическое исследование в сочетании с технологиями вероятностно-статистического моделирования и вычислительного эксперимента с привлечением наблюдательных данных при анализе эволюции конкретных небесных объектов и результатов моделирования.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:

1) разработана, обоснована и доведена до практической реализации схема проведения вычислительных экспериментов на основе вероятностно-статистической модели, имитирующей динамическую эволюцию траекторий малых объектов естественного происхождения в условиях неопределенности начальных данных;

2) определены области регулярной и стохастической динамики в общей эволюции траекторий для ряда короткопериодических комет, определены моменты времени и начальные условия, при которых наиболее вероятен переход от одного типа динамики к другому;

3) получены количественные оценки роста стохастического хаоса в динамической эволюции траекторий для ряда короткопериодических комет;

4) определены наиболее вероятные области устойчивого и неустойчивого движения некоторых короткопериодических комет в условиях неопределенности начальных данных и параметров математической модели и ограниченной информативности схем вычислительного эксперимента;

5) разработаны численные вероятностно-статистические технологии исследования траекторий малого тела в сферах влияния тел большой массы;

6) разработан вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;

7) исследовано влияние процесса компьютерной редукции на получаемые результаты при компьютерном моделировании на примере конкретных небесномеханических задач, предложен способ сглаживания процесса редукции.

Научная и практическая значимость.

Работа направлена на решение проблем, способствующих расширению знаний об окружающем космическом пространстве, динамической эволюции траекторий его малых объектов. Разработанные вероятностно-статистические модели и методы исследования нелинейных динамических систем небесной механики позволяют описывать поведение таких систем (либо отдельных их объектов) в условиях неопределенности начальных данных и параметров системы и резкого изменения переменных движения при тесных сближениях с возмущающими телами. Эти методы позволяют получать решения нелинейных динамических систем небесной механики, недоступные классическим методам. Результаты могут быть использованы для: а) вероятностного описания динамической эволюции траекторий малых объектов; б) определения и описания областей регулярного движения и областей вероятного перехода к хаотической динамике, с возможностью оценки масштабов роста хаотического поведения и его вероятностного описания; в) определения начальных условий, при которых происходят выбросы на устойчивые или неустойчивые орбиты, на орбиты с определенными параметрами; г) построения карт плотности траекторий комплексов малых объектов, выявления зон наиболее вероятной концентрации и расхождения траекторий, а также для определения моментов времени разделения траекторий на группы.

Сведения такого характера могут быть использованы как для планирования наблюдений, так и для прогноза метеороидной опасности при планировании протяженных космических миссий. Одним из важных практических преимуществ результатов, получаемых в процессе использования компьютерной модели, является их целочисленный характер. Это упрощает их возможную дальнейшую компьютерную обработку без потерь точности.

На защиту выносится:

1) вероятностно-статистическая схема вычислительного эксперимента, позволяющая имитировать и исследовать динамическую эволюцию траекторий малых объектов Солнечной системы с учетом влияния гравитационных возмущений в условиях неопределенности начальных данных;

2) вероятностно-статистический метод моделирования динамики малых тел в сферах влияния тел большой массы в рамках задачи N-тел в условиях неопределенности начальных данных;

3) вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;

4) количественные и качественные оценки параметров динамической эволюции траекторий и пространственно-временных масштабов роста и стохастического хаоса в динамике движения короткопериодических комет Брукса 2, Неуймина 3, Отермы, Лекселя, Швассмана-Вахмана 1, Энке;

5) вероятностно-статистический способ оценки и уменьшения влияния компьютерной редукции на результаты численного моделировании.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

- международном конгрессе "Энергетика - 3000" (ИАТЭ, г. Обнинск, 12-16 октября, 1998 г.);

- на научной конференции "Новые результаты аналитической и качественной небесной механики" (ГАИШ, г. Москва, 7-9 декабря, 1998 г.);

- на научно-технической конференции "Структурные основы модификации материалов методами нетрадиционных технологий (ИАТЭ, МНТ-V)" (г. Обнинск, 14-17 июня, 1999 г.);

- на научной конференции "XXXIV Научные чтения, посвященные разработке творческого наследия К.Э. Циолковского" (г. Калуга, 14-16 сентября, 1999 г.);

- на научной конференции "Околоземная астрономия и проблемы изучения малых тел Солнечной системы" (ЦИПК, г. Обнинск, 25-29 октября, 1999 г.);

- на "1-ой Российской конференции молодых ученых по математическому моделированию" (филиал МГТУ им. Н.Э. Баумана, г.Калуга, 12-14 апреля, 2000г.);

- на научной конференции "XXXV Научные чтения, посвященные разработке творческого наследия К.Э. Циолковского" (г. Калуга, 12 - 14 сентября, 2000 г.);

- на научной конференции "Новые результаты аналитической и качественной небесной механики" (ГАИШ, г. Москва, 5-6 декабря, 2000 г.);

- на научной конференции "Околоземная астрономия XXI века" (г. Звенигород, 21-25 мая, 2001 г.).

- на семинарах Совета по небесной механике (ГАИШ, г. Москва, 9 октября 2001 г., 8 октября 2002 г.)

- на семинаре "Проблемы происхождения и эволюции кометно-астероидного вещества в Солнечной системе и проблема астероидной опасности" (ИНАСАН, г. Москва, 25 сентября 2002 г.)

Диссертация основана на цикле работ, выполненных автором в 1998-2002 гг. В совместно опубликованных статьях полный объем работ по составлению алгоритмов вычислительного эксперимента выполнен лично автором при научном руководстве и консультациях по вопросам постановки задачи и интерпретации результатов моделирования профессора, доктора физико-математических наук Н.В. Куликовой и доцента, кандидата физико-математических наук А.В. Мышева. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 работах (одна в печати).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты и выводы, полученные в данной работе, можно сформулировать следующим образом:

1) разработана и доведена до практической реализации вероятностно-статистическая модель динамики траекторий малых тел в сферах влияния тел большой массы в рамках задачи N-тел в условиях неопределенности начальных данных;

2) разработан вероятностно-статистический способ описания плотности (населенности) траекторий малых тел при их эволюции в гравитационном поле сил в условиях неопределенности начальных данных;

3) исследовано влияние тесных сближений короткопериодических комет с планетами-гигантами на дальнейшую эволюцию их траекторий в рамках пространственной задачи N-тел (рассматривались варианты N=4 и N=6); определены области регулярной и стохастической динамики, моменты времени наиболее вероятного перехода от одного типа динамики к другому в общей эволюции ряда короткопериодическир комет в условиях неопределенности начальных данных; описана и определена пространственная структура множества орбит ряда малых тел Солнечной системы;

4) исследовано влияние процесса компьютерной редукции на получаемые результаты при компьютерном моделировании на примере конкретных небесномеханических задач и предложен способ сглаживания процесса редукции;

5) проведены вычислительные эксперименты, имитирующие процесс эруптивного выброса с поверхности кометы в разных точках орбиты, и описана пространственно-временная структура торового объема траекторий новых образований, сформированных из продуктов выброса;

6) проведен сравнительный анализ полученных результатов вероятностно-статистического моделирования динамической эволюции траекторий ряда короткопериодических комет Солнечной системы с результатами, полученными на основе классических детерминированных методов;

7) полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что пространство решений математических моделей эволюции малых объектов в задаче N-тел имеет сложную, неоднородную структуру и не представляет собой регулярный характер.

Предлагаемые вероятностно-статистические компьютерные модели и технологии вычислительного эксперимента позволяют выявлять и описывать сложное хаотическое поведение комплексов малых объектов задачи N-тел при тесных сближениях с телами большой массы в условиях неопределенности начальных данных и параметров системы. Используемая методика формализации задачи N-тел и технологии проведения вычислительного эксперимента позволяют исследовать эволюцию системы в условиях детерминированного и стохастического хаоса.

В данной работе исследование моделей небесномеханических систем проводится не в фазовом пространстве, а в пространстве-времени, что является несомненным преимуществом. Целочисленный характер основных компонентов вероятностно-статистической модели, значений ячеек-клеток вероятностных карт, дает преимущества в ее реализации и эксплуатации на компьютере: во-первых, скорость выполнения целочисленных операций в компьютерной системе намного выше скорости выполнения операций с плавающей точкой; во-вторых, это дает экономические преимущества при хранении целочисленных данных в памяти компьютера.

Результаты вычислительных экспериментов имитации эволюции ряда комет позволили более информативно описать динамику объекта в системе N-тел в условиях неопределенности начальных данных, что невозможно сделать в рамках теорий движения классической небесной механики. Получаемые вероятностные карты позволяют определить практически любые вероятностные характеристики системы и провести дальнейший более детальный анализ процесса эволюции. Вероятностные карты или "слепки" эволюции могут выступать исходными данными для других математических и компьютерных моделей.

Моделирование на основе методов Монте-Карло позволяет дать вероятностное описание динамической эволюции орбит небесномеханических объектов и построить наиболее адекватные компьютерные модели. Компьютерное моделирование на основе новых вычислительных технологий обработки и представления информации, как универсальное средство построения решения задач эволюции, позволяет получить исчерпывающую информацию о динамических характеристиках движения объектов. Математическое и вероятностно-статистическое компьютерное моделирование эволюции орбит небесномеханических систем в условиях неопределенности начальных данных позволяет не просто уточнить количественные характеристики динамики, но также описать и изучить их основные качественные свойства. Последнее важнее для нелинейных систем, поведение которых может быть весьма разнообразным и неожиданным.

148

Автор считает своим долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность своим научным руководителям и педагогам доктору физико-математических наук, профессору Нэлли Васильевне Куликовой и кандидату физико-математических наук, доценту Алексею Владимировичу Мышеву за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в ходе выполнения работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Андреев Ю.В., Дмитриев А.С., Куминов Д.А. Хаотические процессоры. // Зарубежная радиоэлектроника, N 10, 1997, с. 4-26.

2. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Парадоксы мира нестационарных структур. // М.:3нание, Серия: Новое в жизни, науке и технике "Математика и кибернетика", N 5, 1985.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. // М.:Наука, 1992.

4. Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г. О диффузионном хаосе. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, N 140, 1983.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. // М.'Лаборатория Базовых Знаний, 2002, 632 с.

6. Билинский И.Я., Микелсон А.К. Стохастическая цифровая обработка непрерывных сигналов. // Рига:3инатне, 1983.

7. Бордовицина Т. В. Современные численные методы в задачах небесной механики. // М.:Наука, 1984, 136 с.

8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. // М.:Наука, 1964, 375 с.

9. Веселова Г.П., Грибанов Ю.И. Стохастическое квантование и статистический анализ случайных процессов. // М.:Энегоатомиздат, 1991, 152 с.

10. Волькенштейн М.В. Энтропия и информация. // М.: Наука, 1986, 192 с.

11. Всехсвятский С.К. Природа и происхождение комет. // М.:Просвещение, 1967, 184 с.

12. Галушкин А.И., Зотов Ю.Я., Шикунов Ю.Я. Оперативная обработка экспериментальной информации. //М.гЭнергия, 1972.

13. Гладкий B.C. Вероятностные вычислительные модели. // М.:Наука, 1973.

14. Гребеников Е.А., Метропольский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. // М.:Янус-К, 1999, 320 с.

15. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Новые качественные методы в небесной механике. // М.:Наука, 1971, 444 с.

16. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Спектральный анализ случайных процессов. // М.-.Энергия, 1974, 240 с.

17. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть 1. //М.:Мир, 1990, 349 с.

18. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Часть 2. //М.:Мир, 1990, 400 с.

19. Даджион Д, Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов. // М.:Мир, 1988, 488 с.

20. Дж. фон Нейман Теория самовоспроизводящихся автоматов. // М.:Мир, 1971,382 с.

21. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи. // Зарубежная радиоэлектроника.- N 10, 1997, с. 4-26.

22. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. // М.:Наука, 1964, 560 с.

23. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. // М.:Наука, 1968, 800 с.

24. Емельяненко В.В. Астероиды из кометного потока. // Известия РАН, Серия физическая, 1998, Т. 62, N 9, с. 1898-1901.

25. Емельянов Н.В. Методы составления алгоритмов и программ в задачах небесной механики. // М.:Наука, 1983, 128 с.

26. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. // М.:Наука, 1971,328 с.

27. Ершов Н.М. Стохастические алгоритмы обучения нейросетей в задаче определения коэффициентов переноса среды. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн., 1996, N 4, с. 31-34.

28. Ершов Н.М. Оптимизация архитектуры нейросети генетическими алгоритмами. // Вестн. моек, ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн., 1998, N4, с. 30-33.

29. Займан Д. Модели беспорядка. Теоретическая физика однородно неупорядоченных систем. //М.:Мир, 1982, 592 с.

30. Заусаев А.Ф. Эволюция орбит малых тел Солнечной системы, сближающихся с Землей. / Дисс. на соиск. учен. степ. д. ф.-м. наук. // Душанбе, 1994, 300 с.

31. Зубов В.И. Аналитическая динамика системы тел. // Л.:ЛГУ, 1983,344 с.

32. Игнатенко П.И. Применение компьютерных технологий для исследования динамической эволюции малых тел. / Тез. докл. конф. "Околоземная астрономия XXI века". 21-25 мая. // Звенигород, 2001, с. 63-64.

33. Игнатенко П.И. Компьютерное моделирование эволюции небесномеханических динамических систем. // Математическое моделирование, 2003, Т. 15, N 2. (в печати).

34. Игнатенко П. И. Применение метода вероятностных карт для исследования динамической эволюции фрагментов выброса кометы

35. Темпеля-Тутля 2. // Астрономический циркуляр, МГУ ГАИТИ, http://comet.sai.msu.ru/ac (электронно).

36. Игнатенко П.И. Применение компьютерных технологий для исследования динамической эволюции малых тел. / Сб. Трудов конф. "Околоземная астрономия XXI века", 21-25 мая, Звенигород. // М.: ГЕОС, 2001, с. 206-215.

37. Ипатов С.И. Взаимное гравитационное влияние тел занептунного пояса. / Докл. научной конфер. "Новые теоретические и практические задачи небесной механики". // ГАИШ МГУ, 1997. с. 45.

38. Ипатов С.И. Миграция небесных тел в Солнечной системе. // М.:Эдиториал УРСС, 2000, с. 320.

39. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. // М.:УМН, 1999, 400 с.

40. Казимирчак-Полонская Е.И. Применение методов численного интегрирования в особых прямоугольных координатах к исследованию планетоцентрического движения комет. // Бюллетень ИТА, Т. 8, N 7, 1962, с. 459-486.

41. Казимирчак-Полонская Е.И. Дифференциальные методы учета различных эффектов при исследовании планетоцентрического движения комет. // Бюллетень ИТА, Т. 8, N 7, 1962, с. 487-511.

42. Казимирчак-Полонская Е.И. Эволюция орбит короткопериодических комет на интервале 1660-2060 гг. и роль внешних планет в этой эволюции. // Астрономический журнал, Т. 44, N. 2, 1967, с.439-460.

43. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. // М.:Наука, 1997, 285 с.

44. Квантовьр^ вычисления: за и против.- Сборник статей. // Ижевск:Издательский дом "Удмуртский университет", 1999, 212 с.

45. Кирюшенкова Н.В., Чепурова В.М., Шершкина C.JI. Эволюция облака Оорта под действием галактического поля. Анализ движения небесных тел и оценка точности их наблюдений. // Сборник научных трудов ЛГУ им. Стучки, Рига, 1988, с. 72-92.

46. Короткин А.А., Майоровым В.В. Нейронная сеть с диффузионным взаимодействием для селекции изменений динамического изображения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000, Т. 2, N 2, с. 300-306.

47. Кривцов A.M. Одномерные квадратичные отображения. // Сб. науч. тр. С.-П. гос. тех. у-н., 1995, N 458, с. 141-151.

48. Куликова Н.В. Образование, эволюция и природа метеорных роев в космическом пространстве. / Дисс. на соиск. учен. степ. докт. ф.-м. наук. // ГАИШ МГУ, 1989 г. 327 с.

49. Куликова Н.В., Мышев А.В., Игнатенко П.И. Применение стохастических методов для исследования хаотического поведения малых тел. / Тез. докл. межд. конг. "Энергетика 3000". 11-15 октября. // Обнинск,1998, с. 56.

50. Куликова Н.В., Мышев А.В., Игнатенко П.И. Хаотическая динамика в задаче N-тел. // Известия вузов, Ядерная энергетика, Приложение к N 2,1999, с. 19-27.

51. Куликова Н.В., Мышев А.В., Пивненко Е.А. Космогония малых тел. // М.:Космосинформ, 1993, 175 с.

52. Куликова Н.В., Мышев А.В., Чепурова В.М. Стохастическая динамика малых тел солнечной системы. // Известия РАН, Серия физическая, 1998, Т.62, Вып. 9, с. 1902-1906.

53. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. II М.:Наука, 1997,496 с.

54. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. //М.:Мир, 1984, 528 с.

55. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. // М.гНаука, 1990, 272 с.

56. Малинецкий Г.Г. Нелинейная динамика ключ к теоретической истории? // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, N 81, 1995.

57. Малинецкий Г.Г. Хаос, Структуры, Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. //М.гНаука, 1997, 255 с.

58. Малинецкий Г.Г. Митин Н.А. Анализ безопасности систем и методы нелинейной динамики. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, N 85, 1994.

59. Малинецкий Г.Г., Шакаева М.С. Клеточные автоматы в математическом моделировании и обработке информации. // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, N 57, 1994.

60. Марпл.-мл. C.JI. Цифровой спектральный анализ и его приложения. //М.:Мир, 1990, 584 с.

61. Мун Ф. Хаотические колебания. // М. Мир, 1990, 312 с.

62. Мышев А.В. Вероятностно-статистическое моделирование процессов образования новых классов малых тел в космическом пространстве (вычислительные эксперимент). / Дисс. на соиск. учен. степ. канд. ф.-м. наук. // Москва, ГАИШ, 1995, 169 с.

63. Мышев А.В. Основы цифрового спектрального анализа и цифровых фильтров. // Обнинск, ИАТЭ, 1997, 54 с.

64. Мышев А.В. Тез. докл. научной конфер. "Новые теоретические и практические задачи небесной механики". // ГАИШ МГУ, 1997. с.56.

65. Мышев А.В. Порядок, хаос и фракталы в небесномеханических системах. // Известия РАН, Серия физическая, 1998, Т.62, Вып. 9, с. 1907-1913.

66. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. // М.:Мир, 1990,334 с.

67. Обрубов Ю.В. Эволюция метеороидных роев. / Дисс. на соиск. учен, степ. д. ф.-м. наук. // Душанбе, 1993, 391 с.

68. Оппенгейм А.В., Шаффер Р.В. Цифровая обработка сигналов. // М.:Связь, 1979,417 с.

69. Пайтген Х.-О., Риххтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. //М.:Мир, 1993, 176 с.

70. Пивненко Е.А. Математическое моделирование структур новых образований в окрестности орбиты Земли (вычислительный эксперимент). / Дисс. на соиск. учен. степ. канд. ф.-м. наук. // Обнинск, ИАТЭ, 1990, 188 с.

71. Попов О.Н., Завьялов И.М. Обзор работ по интегрированию уравнений движения. // Томск, Томск, гос. архит.- строит, акад., 1997, 52 с.

72. Проблема загрязнения космоса (космический мусор). Под редакцией проф. А.Г. Масевич. //М.:Космосинформ, 1993.

73. Пуанкаре А. Избранные труды. // М.:Наука, Т. 1, 1971, 772 с, Т. 2, 1972, 1000 с.

74. Рой А. Движение по орбитам. // М. :Мир, 1981, 544 с.

75. Самарский А.А. Введение в численные методы. // М.гНаука, 1987, 288 с.

76. Самарский А.А. Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. //М.:Физматлит, 1997, 320 с.

77. Сафонов B.C. Аккумуляция малых тел во внешней границе планетной системы. // Астрон. вест. Т. 30, N 4, 1996, с. 291-298.

78. Себехей В. Теория орбит: ограниченная задача трех тел. // М.:Наука, 1982, 656 с.

79. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Дубошина Г.Н. // М.:Наука, 1976, 800 с.

80. Столкновения в околоземном пространстве (космический мусор). Под редакцией проф. А.Г. Масевич. //М.:Космосинформ, 1995, 322 с.

81. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. // М.:Наука, 1968, 800 с.

82. Тимошенко JI.B. Программное обеспечение для исследования тесных сближений астероидов с большими планетами. // Томск, Томск, гос. ун-т., 1997, с. 112-116.

83. Томанов В.П., Розаев А.Е. Каталог почти пересекающихся орбит астероидов, сближающихся с Землей. // Волог. гос. пед. ун-т. Вологда, 1997, 139 с.

84. Тоффоли Т., Марголис Н. Машины клеточных автоматов. // М.:Мир, 1991,280 с.

85. Транспьютеры. Архитектура и программное обеспечение. Под ред. Харпа Г. М. // М.:Радио и связь, 1993, 304 с.

86. Угроза с неба: рок или случайность? Под. ред. Боярчука А.А. // М. :Космосинформ, 1999, 220 с.

87. Федер Е. Фракталы. II М.:Мир, 1991, 254 с.

88. Фишман Л.З. О сохранении качественных свойств непрерывных систем при замене их дискретными, построенными по методам Рунге-Кутта и Адамса. / Тез. докл. конф. "Нелинейные колеб. мех. систем". // Н.Новгород, 1996, с. 157.

89. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. // М.:Мир, 1980, 280 с.

90. Фракталы в физике. Труды VI международного симпозиума по фракталам в физике (МЦТФ, Триест, Италия 10-12 июля, 1985). Под ред. Пьетронеро Л., Тозатти Э. // М.:Мир, 1988, 672 с.

91. Фундаментальные основы математического моделирования. Серия "Кибернетика: неограниченные возможности и возможные ограничения". // М. .Наука, 1997.

92. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. // М. .'Советское радио, 1980, 224 с.

93. Цицин Ф.А., Генкин И.Л., Чепурова В.М. // Кометный циркуляр, N 405, Киев, ГАО, 1989, с. 7-8.

94. Цицин Ф.А., Генкин И.Л., Чепурова В.М. К вопросу о происхождении комет: новый взгляд. // Известия РАН, Серия физическая, 1998, Т. 62, N9, с. 1888-1892.

95. Цицин Ф.А., Чепурова В.М., Генкин И.Л. // Астрономический вестник, 1993, т. 27, с. 55-68.

96. Шалфеев В.Д. и др. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление. // Зарубежная радиоэлектроника, N 10, 1997, с. 27-49.

97. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. // М.:Наука, 1969, 344 с.

98. Alby F., Lansard Е., Michal Т. Collision of Cerise with space debris. / 2nd Eur. Conf. Space Debris. // Darmstadt, 17-19 March, 1997, pp. 101.

99. Baley M.E. Some comments on Oort cloud. // Astrophysics and Space Science. V. 50, 1977, pp. 3-22.

100. Belbrino E., Marsden B. Resonance hopping in comets. // Astron. J. 1997, V. 113, N 4, pp. 1433-1444.

101. Belyaev N.A., Kresak L., Pittich E.M. et al. Catalogue of short-period comets. // Bratislava, 1996.

102. Carusia A. Potto E. Close encounters of minor bodies with the Earth. // Icarus, V. 124, N 2, pp. 392-398.

103. Chaos and fractals: The mathematics behind the computer graphics. Ed. Robert L., Davaney A., Keen L. // Providence (R.I.): Amer. math, soc., V. 39, 1989.

104. Cheng В., Titterington D.M. Neural networks: a review from a statistical perspective. // Statistical science, V. 9, N 1, February, 1994, pp. 2-32.

105. Daris A.R., Farrinella P. Short period comets: Primordial bodies or collisional fragments? // Lunar and Planet. Sci. V. 27, 1996, pp. 293-294.

106. Duncan M., Levison H., Buld S. The dynamical structure of the Kuiper Belt. // Astronomical Journal, 1995, V. 110, N 6, pp. 3073-3081.

107. Everhart E. Close encounters of comets and planets. // Astron. J., 1969, V. 74, pp. 735-750.

108. Everhart E. The evolution of comets orbits. // IAU Coll., 1976, N. 25, pp. 455-461.

109. Everhart E. An efficient integrator that uses Gauss-Rarau spacing. // Dynamics of Comets: Their Origin and Evaluation, 1985, pp. 182 202.

110. Ford J. How random is a coin toss? // Physics today, April, 1983, 40-47 pp.

111. Flynn M.F. Some computer organization and their effectiveness. // IEEE Trans. Comput C-21, 1972, pp. 948-960.

112. Hinton G.E., Sejnowski T.J., Ackley D.H. // Carnegie-Mellon Univ. Tech. Rep. CMU-CS-84-119, 1984.

113. Holman M. and Wisdom J. Dynamical stability in the outer Solar System and the delivery of short period comets. II Astronomical journal, N 105, 1993, pp. 1987-1999.

114. Hopfield J J. Neural networks as physical systems with emergent collective computational abilities. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA Bio. V 79, 1982, pp. 2554-2558.

115. Kulikova N.V., Myshev A.V. Stochastic modeling of ejection from comets and asteroids (models and results). // Earth, Moon, and Planets, 1995, V. 68, N1-3, pp. 389-395.

116. Kulikova N.V., Mishev A.V., Ignatenko P.I. Chaotic dynamics of small bodies (comets and meteoroids). // Geophys. Res. Abstr., V. 1, N. 3, 1999 r.

117. Levison H. Our curent understanding of the Kuiper belt. // Bull. Amer. Astron. Soc. 1996, V. 28, N 3, pp. 1055-1056.

118. Lippmann R.P. An introduction to computing with neural nets. // IEEE ASSP Magazine, April, 1987, pp. 4-22.

119. Murray N., Holman M. Diffusive chaos in the outer asteroid belt. // Astron. J., 1997, V. 114, N 3, pp. 1246-1259.

120. Nolan M.C. Orbital evolution of very-near-Earth asteroids. // Meteor, and Planet. Sci. 31, 1996, Suppl. A100.

121. Pineda F.J. Dynamics and architecture for neural computation. // Journal of Complexity, V 4,1988, pp. 216-245.

122. Rumelhart D.E., Hinton G.E., Williams R.J. // Nature, V. 323, 1986, p. 533.

123. Space Debris. // An AIAA Position Paper, American Institute of Aeronautics and Astrononautic, 1981.

124. Spencer D. Orbital debris and space operations. // Aerosp. Amer., V. 35, N2, 1997, pp. 38-42.

125. Stefan Bride. Joint European and National Astronomical Meeting, 9-12 September. // Prague, Czech Republic, 1998

126. Thomas Quinn and Scott Tremaine. Roundoff error in long-term planetary orbit integrations. // Astron. J., V 99, N 3, 1990, pp.1016-1023.

127. Weissman P.R. Cometary dynamics. // Space Science Reviews, V. 41, 1985, pp. 115-138.

128. Weissman P.R. The Kuiper Belt. // Ann. Rev. Astron. and Astrophis., V. 33, 1995, pp. 327-357.

129. Widrow В., Lehr M. 30 Years of adaptive neural networks: perceptron, madaline, and backpropagation. // Proc. IEEE, V. 78, N 9, 1990, pp. 1415-1442.