Численно-экспериментальное исследование задачи трех тел в звездной динамике тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

Орлов Виктор Владимирович

ЧИСЛЕННО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТРЕХ ТЕЛ В ЗВЕЗДНОЙ

ДИНАМИКЕ

Специальность 01.03.01 — астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико—математических наук

\

/

Москва 2005

Работа выполнена в лаборатории небесной механики и звездной динамики Научно-исследователького астрономического института им. В.В. Со-болепа Санкт Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Медведев Юрий Дмитриевич (Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского).

доктор физико-математических паук, профессор Расторгуев Алексей Сергеевич (МГУ им. М.В. Ломоносова).

доктор физико-математических наук Шевченко Иван Иванович (ГАО РАН).

Ведущая организация: Астрономическая обсерватория Уральского государственного университета.

Защита диссертации состоится 6 ок тября 2005 г. в 1400 на заседании диссертационного совета Д 501 001 86 в Государственном астрономическом институте им. П.К. Штернберга МГУ по адресу: 119992, Москва. Университетский проспект, дом 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственно!« астрономического института имени П. К. Штернберга МГУ.

Автореферат разослан <_ > 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С. О. Алексеев

йт-ч

"ISH11

Общая характеристика работы

Проблема чрех чел я нл яр i си одной из классических задач анали1иче-ской механики, небесной механики и звездной динамики (см., например, монографии Голубева и Гребеникова 1985; Маршаля 1990; Боккалетти и Пукакко 1996, 1997). На протяжении более чем трехсотлетней истории исследований задачи чрех тел был получен целый ряд фундаментальных

В частности, удалось найти решение системы дифференциальных уравнений в виде сходящихся рядов (Сундмаи 1912). Однако ряды Суидмана не нашли применения по нескольким причинам. Во-первых, и них принципиально неразличимы основное решение и его аналитическое продолжение после двойного соударения. Во-вторых, решение не является глобальным оно неприменимо для тройных систем с нулевым моментом вращения. В-третьих, ряды обладают крайне медленной сходимостью, что делает их неприменимыми для практических вычислений координат и скоростей тел.

Более перспективными являются качественный анализ и численное моделирование Результаты качественного анализа подробно изложрны например, в монографии Маршаля (1990). Среди важных достижений аналитических исследований следуе г о тме ги гь разрабо тку кри териев различных типов финальных движений, обнаружение отдельных семейств периодических орбит и исследование их устойчивости, анализ движений в окрестности тройных соударений, применение КАМ-чеории.

В то же время многие вопросы пока не удается решить анали тически. Здесь на помощь может прий ти компьютерное моделирование, основанное на численном решении дифференциальных уравнений движения при определенных начальных условиях и обобщении полученных результатов. Настоящая работа базируется на результатах численных экспериментов.

Основные цели исследования следующие.

1. Классификация типов движения и состояний в общей задаче трех

результатов.

тел.

2. Статистический анализ процесса распада неустойчивых тройных систем.

3. Анализ свойств тройных сближений, приводящих и не приводящих к распаду.

4. Изучение поведения тройных систем вблизи границы устойчивости

5. Исследование периодических орбит и близких к ним траекторий.

6. Классификация орбит в двух частных случаях (плоская равнобедренная и прямолинейная задачи грех гол).

7. Изучение харак тера движений в наблюдаемых тройных звездах.

Актуальность работы определяется большим количеством пробелов, имеющихся в представлениях о динамической эволюции тройных систем, несмотря на большое число публикаций по данной тематике. В настоящей работе предпринята попытка восполни ть некоторые из имеющихся пробелов, согласно определенным выше целям исследования Ре зультаты. полученные при изучении задачи трех тел, могут представлять интерес для исследования других динамических задач, возникающих как в астрономии, так и в смежных областях науки.

Научная новизна работы. Развиты новые подходы в численном моделировании динамики тройных систем. В рамках данного направления получены следующие важные результаты.

Предложены критерии тройного сближения и выброса для вращающихся систем на плоскости и в трехмерном пространстве.

Установлен ряд новых статистических закономерностей процесса распада неустойчивых тайных систем.

Выполнена классификация орбит в плоской равнобедренной и прямолинейной задачах трех тел по числу тройных сближений компонентов, предшествующих распаду тройной системы.

Выявлены области устойчивых финитных движений в окреп нос 1 и устойчивых периодических орбит

Оценены характеристики динамической устойчивости ряда иерархических тройных звезд и намечены возможные сценарии динамической эволюции для четырех кратных звезд.

Высказана гипотеза о возможном формировании широких крачных систем в звездном потоке при прохождении одной из звезд потока мимо двойной системы, принадлежащей тому же потоку.

Научная и практическая ценность работы.

Нам представляется важным не только рассмотрение абстрактных динамических моделей, но и попытка обработки имеющихся в литературе наблюдательных данных с целью изучения динамики конкретных астрономических объектов. Такой подход также находит отражение в диссертационной работе.

Полученные в диссертации результаты позволяют лучше понять некоторые эволюционные закономерности, вероятно, присущие широкому кругу динамических систем. Важная особенность динамических систем сильное влияние устойчивых периодических орбит на фазовый портрет системы с возможными уходами Устойчивая периодическая орбита окружена финич ными рр1 улярными чраек ториями. Эта область регулярности можег быть своеобразным "аттрактором" траекторий с большим временем жизни.

В применении к данным наблюдений существенное значение имеют классификация орбит и распределения элементов орбит близких звезд; оценки параметров динамической устойчивости иерархических тройных звезд с известными орбитальными элементами; новый возможный сценарий происхождения широких кратных систем медленные4 прохождения звезд, принадлежащих одному и тому же потоку.

В плане развития теоретических представлений о динамике тройных систем важным результатом является обобщение критериев тройного сближения, простого взаимодействия и выброса на случай вращающихся систем как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она изложена на 167 страницах, включает 22 таблицы и 35 рисунков. Список литературы содер жи'1 151 наименование.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах'

• на семинарах по звездной астрономии, звездной динамике и небесной механике в Санкт Петербургском государственном университете (1979 2004 гг.);

• на семинаре обсерватории университета Турку (2001 г);

• на семинаре по звездной астрономии ГАИШ МГУ (2002 г.).

Результаты работы также докладывались на конференциях-

• "Проблема нескольких тел" (Турку. Финляндия. 1987 г.);

• "Проблемы физики и динамики звездных систем" (Ташкент, 1989 ь);

• "Вопросы небесной механики и звездной динамики" (Алма-А та, 1990

г.);

• "Неустойчивость, хаос и предсказуемость в небесной механике и звездной динамике" (Дели Индия, 1990 г.);

• "От Ньютона к хаосу. Современные методы понимания и обращения с хаосом в динамических системах N тел" (Кортина д'Ампеццо, Италия, 1993 г.);

• "Звездные населения" (Симпозиум MAC N 164, Гаага, Нидерланды, 1994 г.);

• "Нерешенные проблемы Млечного Пути" (Симпозиум MAC N 169, Гаага, Нидерланды, 1994 г.);

• "Структура и зволюция звездных систем" (Петрозаводск, 1995 г.);

• "Звездная динамика- от классической к современной" (Санкт-Петербург, 2000 г.):

• Всероссийская астрономическая конференция (Санкт-Петербург, 2001

г-);

• "Порядок и хаос в звездных и планетных системах" (Санкт-Петербург, 2003 г.):

* • Всероссийская астрономическая конференция (Москва, 2004 г.).

Общая структура диссертации. Во введении дан общий обзор проблемы и обоснована ее актуальность.

В первой х'лаве представлена классификация типов финальных движений в тройных системах с положительной и отрицательной полной энергией. В первом случае выделяются четыре основных типа движений: пролет, обмен, захват и распад двойной ("ионизация"). При пролете не меняется состояние системы (например, в результате сближения одиночного тела с двойной двойная сохраняется). В случае обмена после сближения двойную образует новая пара чел. В результате захвата при сближении трех одиночных тел формируется двойная система. Захват переходит в распад двойной, если изменить знак времени.

Для тройных систем с отрицательной полной энергией множество типов движений более разнообразно. Наряду с пролетом одиночного тела мимо двойной и обмена компонентами двойной можно выделить еще несколько типов движений' 1) распад физически связанной тройной системы и родственное ему явление резонансного рассеяния; 2) устойчивые по Лагранжу тройные системы с ограниченными движениями тел в прошлом и будущем (иерархические и неиерархические системы). Резонансное рассеяние имеет место в результате сближения одиночного тела с тесной двойной системой, когда происходит захват этого тела и формируется временная тройная система, которая впоследствии распадается (нередко после длительной эволюции). В неиерархической устойчивой системе фазовая траектория может располагаться в окрестности устойчивой периодической орбиты.

Кроме перечисленных выше типов движений следует выделить несколько особых случаев: тройные соударения, периодические орбиты (устой-

чивьте и неустойчивые), осциллирующие движения, равновесные конфигурации.

Наряду с классификацией финальных движений в первой главе рассмотрены классы состояний, реализующихся в ходе эволюции неустойчивых тройных систем. Выделены следующие классы состояний- тройное сближение, простое взаимодействие, выброс с возвратом и уход Первые три состояния сменяют друг друга в ходе динамической эволюции тройной системы, последнее состояние является финальным. Агекян и Мартынова (1973) предложили критерии тройного сближения и выброса в тройных системах с нулевым угловым моментом. В настоящей работе проведено обобщение этих критериев для вращающихся систем как в плоском, так и в трехмерном случаях.

Для разделения состояний выброса и ухода в литературе имеется ряд критериев. Мы проводим критический обзор этих критериев и выбираем среди них оптимальный критерий, обеспечивающий минимальный зазор между фиксируемыми уходами и выбросами с возвратом. Таким критерием оказался критерий Маршаля и др. (1984), в котором в качестве условия ухода используется гиперболичность орбиты внешней двойной, образованной удаляющимся телом и центром масс остающей пары, при условии надлежащей изолированности этого тела от двойной. Остальные рассмотренные критерии, кроме критерия Биркхоффа (1927). асимптотически приближаются к критерию Маршаля и др. (1984), когда расстояние от удаляющегося тела до центра масс двойной стремится к бесконечности.

Вторая глава посвящена статистическому исследованию процесса распада физически связанных неустойчивых тройных систем. Для этого используется метод Монте-Карло. Результаты статистического моделирования сопоставляются с предсказаниями статистической теории распада ■тройных систем (Монахан 1976а,б; Нэш и Монахан 1978) и модификации этой теории (Валтонен и Картунен 2004).

Вначале рассматриваются изолированные неустойчивые тройные системы и определяется среднее время жизни таких систем. Показано, что эта величина бесконечно велика, поскольку в тройных системах возможны сколь угодно далекие выбросы. В то же время для изолированных систем можно определить время полураспада медиану распределения

времени жизни тройных систем — при том или ином способе задания начальных условий. В действительности тройная система звезд или галактик не является изолированной, и выброшенный на значительное (превышающее приливный радиус) расстояние компонент, скорее всего, будет оторван от остающейся двойной внешними полями Галактики или соседних массивных объектов (например, газовых облаков). Поэтому для оценки времени жизни тройной системы целесообразно ввести понятие радиуса условного распада. Среднее время жизни будет зависеть от принятого значения этого радиуса. Кроме того, оно зависит от различия масс компонентов и момента вращения тройной системы. Тройные системы с телами различных масс распадаются в среднем быстрее, чем системы с компонентами равных масс. Вращение системы в среднем замедляет ее эволюцию.

Далее во второй главе строятся распределения параметров, характеризующих финальное состояние распада:

• время жизни тройной системы;

• число тройных сближений, предшествующих уходу;

• оч поси 1ельная энергия, уносимая уходящим телом;

• минимум периметра конфигурационного треугольника в тройном сближении, предшествующем уходу;

• большая полуось и эксцентриситет финальной двойной;

• угол между векторами орбитальных моментов уходящего тела и финальной двойной;

• угол между вектором скорости уходящего тела и вектором полного углового момента тройной системы.

Исследованы зависимости средних значений параметров и вида функций распределения от начального вириального коэффициента ку и отношения масс компонентов при изотропном распределении скоростей. Показано. что время жизни и число тройных сближений, предшествующих уходу, в среднем уменьшаются с ростом различия масс тел и растут с

увеличением момента вращения тройной системы. Тройные сближения, приводящие к уходам, в среднем становятся шире как с ростом дисперсии масс, так и с увеличением углового момента тройной системы Финальные двойные также становятся шире, а доля энергии, уносимой уходящим телом, в среднем уменьшается. Среди финальных двойных преобладают системы с сильно вытянутыми орбитами. Если тройные системы обладают быстрым вращением, то уходы происходят преимущественно в направлении вращения финальной двойной ("прямые" движения): в системах с медленным вращением уходы, как правило, проис ходят в направлении, противоположном вращению финальной двойной ("обратные" движения). Как правило, вектор скорости уходящего тела приблизительно ортогонален вектору уиювого момента тройной системы.

Проведено сопоставление результатов численного моделирования со статистическими теориями динамического распада (Монахан 1976а,б: Нэш и Монахан 1978: Валтопеп и Картупеп 2004). Показано, что па качественном уровне достигается согласие результатов теории и численного моделирования Однако количественно в ряде случаев результаты значимо различаются, что может свидетельствовать о приближенности теорий, основанных на предположении о квазиэргодичности траекторий в состоянии тройного сближения.

Далее во второй главе рассматривается зависимость времени жизни тройных систем от начальных условий. Показано, что области непрерывного изменения времени жизни перемежаются с областями стохастического поведения, где сколь угодно малые вариации начальных условий могут приводить к значительным изменениям времени жизни и числа тройных сближений, предшествующих распаду. Области регулярности соответствуют небольшому числу тройных сближений в сочетании с короткими выбросами. Зоны стохастичности нередко обрамляют области быстрых уходов, поскольку вблизи границ этих областей имеют место далекие выбросы тел. приводящие к практической непредсказуемоеги дальнейшей эволюции тройных систем.

В третьей 1 лаве рассмотрены тройные сближения, как приводящие так и не приводящие к уходам тел. Предлагается ряд параметров, характеризующих тесноту тройного сближения, а также конфигурацию си-

ото мы и характер движений тел в момент наиболее тесного сближения Изучаемся корреляция между этими параметрами и длиной выброса, который испытывает одно из тел после тройного сближения. Отмечена статистически значимая корреляция между теснотой сближения и длиной последующего выброса более тесные тройные сближения приводят к более далеким выбросам.

Далее в третьей главе рассмотрена выборка тройных сближений, приводящих к уходам, в тройных системах с компонентами равных масс и нулевым угловым моментом. Показано, что в большинстве случаев уходы происходя'1 после прохождений одного из тел вблизи центра масс тройной системы При этом, как правило, два других тела отдаляются друг от друга.

В четвертой главе рассматривается устойчивость тройных систем с иерархической и неирархической структурой. На примере плоских иерархических систем с первоначально круговыми орбитами внутренней и внешней двойных выделено несколько сценариев потери устойчивости:

1. уход удаленного компонента (как правило, наиболее легкого) после серии сближений с двойной без нарушения иерархии:

2. формирование тройной системы с новой иерархией после одною или нескольких обменов компонентами и уход нового удаленного тела после длительной эволюции (такое поведение характерно для случаев, когда вначале удаленное тело имеет максимальную массу),

3. уход одного из тел после длительной эволюции с большим числом обменов компонентами (этот сценарий типичен для тройных систем с телами сравнимых масс):

4 уход одного из тел (обычно наименьшей массы) после одного или нескольких обменов.

Затем к четвертой главе рассмотрено несколько устойчивых периодических орбит в общей задаче трех тел равных масс. В окрестности орбиты "восьмерка" (Мур 1993, Шансинье и Монтгомери 2000) выделена область ограниченных движений, в которой фазовая траектория длительное время остается кблизи исходного решения. Построен ряд сечений

этой области. Получены оценки фрактальных размерностей множеств точек, соответствующих ограниченным движениям, в этих сечениях

Далее описан новый класс движений, которые были названы метал а-бильными, в тройных системах с компонентами равных масс и пулевыми начальными скоростями. Фазовые траектории в этих системах попадают в окрестности устойчивых периодических орбит и "прилипают" там па длительное время. Выделены три устойчивые периодические орбиты (Шубарт 1956. Врук 1979, ПТансинье и Мон I гомери 2000), которые выступаю! в роли "аттракторов", притягивающих фазовые траектории в мстастабильных системах. Метастабильные режимы эволюции могут наступать в тройных системах с различными начальными условиями. Исключение составляют липть системы с коротким временем жизни, в которых уход одного из тел происходит после небольшого числа тройных сближений.

В пятой главе рассмотрены два частных случая общей задачи трех тел: плоская равнобедренная задача и прямолинейная задача. В первом случае тела все время находятся ь вершинах равнобедренных треугольников, лежащих в одной и той же плоскости. Во втором случае тела движутся вдоль одной и той же неподвижной прямой В обеих задачах рассмотрены тройные сближения компонентов и выполнена классификация орбит по числу прохождений нейтрального тела через центр масс тройной системы, предшествующих уходу одного из тел. Также выделены области начальных условий, соответствующих траекториям с ограниченными движениями в окрестностях устойчивых периодических орбит. Найдены характеристики тройных сближений типа "пролет" (равнобедренная задача) и типа "обмен" (прямолинейная задача), приводящих к уходам компонентов. Исследована корреляция между параметрами прохождения (вириальпый коэффициент и ориентация векторов относительных скоростей тел) и длиной последующего выброса.

Показано, что области начальных условий, соответствующих уходам тел после небольшого числа п прохождений, являются двумерными мно-юобра-шями. С ростом п появляются вытянутые цепочкообразные структуры и области "разбросанных точек", что может быть признаком сто-хастизации движений: малью вариации начальных условий приводят к сильно различающимся разультатам эволюции. При п > 10 области ре-

гулярных движений практически исчезают, остаются лишь зоны "разбросанных точек".

В шестой главе рассмотрена динамика реальных наблюдаемых тройных звезд Для выборки тройных звезд с надежно измеренными собственными движениями компонентов построено распределение ориентации векторов собственною движения удаленного компонента по отношению к близкой паре Исследована динамическая устойчивость иерархических тройных звезде известными элементами орбит внутренней и внешней двойных подсистем Обсуждаются возможные сценарии динамической эволюции нескольких избранных тройных систем.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Результаты статистического моделирования процесса распада физически связанных неустойчивых тройных систем, в частности найденные распределения параметров распада, характеризующих финальные состояния.

2 Результаты определения характеристик тройных сближений, приводящих к выбросам с возвратом, а также к уходам в общей задаче трех тел равных масс с нулевым моментом вращения.

3. Выделение 1101101 о класса состояний в динамической эволюции неустой чивых тройных систем — метастабильных движений в окрестности устойчивых периодических орбит.

4. Классификация орбит в плоской равнобедренной и прямолинейной задачах трех тел по числу прохождений ценфального тела через центр масс тройной системы, предшествующих уходу одного из тел.

5. Оценка параметров динамической устойчивости 38 известных иерархических тройных звезд и разработка возможных сценариев динамической эволюции избранных тройных звезд.

Основные результаты диссертации изложены в следующих статьях:

1. Агекян Т.А.. Аносова Ж.П., Орлов В.В. Время распада тройных систем. // Астрофизика. 1983. Т. 19. С 111 117.

2. Аносова Ж.П. Орлов В.В. Влияние дисперсии масс компонентов на эволюцию тройных систем. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та 1983. Т. 38. С. 142 164.

3. Аносова Ж.П., Орлов В.В. Начальная конфигурация и распад тройных систем с компонентами различных масс. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1984. Т. 39. С. 101-111.

4. Аносова Ж.П., Берти в Д И.. Орлов В В Влияние эффекта вращения па эволюцию тройных систем. // Астрофизика. 1984. Т. 20. С. 327 339.

5. Аносова Ж.II., Орлов В.В. Динамическая эволюция тройных систем. '/ Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1985. Т. 40. С. 66-144.

6 Аносова Ж П , Орлов В.В. Динамическая эволюция тройных систем п трехмерном пространстве Случайный выбор масс и начальных скоростей. // Астрон. и геодезия. 1986. Вьтп. 14. С. 40-46

7. Аносова Ж.П., Орлов В.В. Динамическая эволюция тройных систем в трехмерном пространстве. Системы с компонетами равных масс. // Астрон. журн. 1986. Т. 63. С. 643 658.

8. Орлов В.В. Сравнение критериев распада, тройных систем. /,' Вест ник Ленингр. ун-та. 1986. Сер. 1. Вып. 2. С. 82 87.

9 Anosova J.P Klioner S.A., Orlov V.V Statistical study of kinematics of triple stars from the program of the Leningrad State University Astronomical Observatory. // Bull. Obs. Astron. Belgrade. 1989. N. 140. P. 15 29

10. Аносова Ж П., Орлов В.В., Чернышев M.B. Динамика близких кратных звездных систем. Система Кастора (ADS 6175). // Письма н Астрон. журн. 1989. Т. 15. С. 554-561.

11. Anosova J P . Orlov V.V. The dynamical evolution of the nearby multiple stellar systems ADS 48, ADS 6175 (a Geminorum), a Centauri, and ADS 9909 (£ Scorpii) // Astron. and Astrophys. 1991. V. 252. P. 123-126.

12. Anosova ,J.P., Orlov V.V. The types of motion in hierarchical and non-hierarchical triple systems: numerical experiments // Astron and Astrophys. 1992 V. 260. P. 473-484.

13 Aarseth S Л.. Anosova J.P., Orlov V.V., Szebehely V.G Global chaotic-ity in the Pythagorean three-body problem. // Celest. A/Tech, and Dyn. Astron. 1994. V. 58. P. 1 16.

14. Anosova J.P , Orlov V V. Main features of dynamical escape from three-dimensional triple systems. // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 59. P. 327-343.

15. Aarseth S.J.. Anosova J.P., Orlov V.V.. Szebehely V.G. Close triple approaches arid escape in the three-body problem. // Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 60. P. 131 137.

16. Anosova J.P., Orlov V.V., Aarseth S.J. Initial conditions and dynamics of triple systems. / / Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1994. V. 60. P. 365 372.

17. Kiseleva L.G., Eggleton P.P., Orlov V.V. Instability of close triple systems with initial doubly-circular motion. // Monthly Notic. Roy. Astron. Soc. 1994. V. 270. P. 936 946.

18. Anosova J.P., Orlov V.V., Pavlova N.A. Dynamics of nearby multiple stars. The a Centauri system. // Astron. and Astrophys. 1994. V. 292. P. 115 118.

19. Орлов В В., Петрова А.В Динамическая устойчивость тройных звезд. // Письма в Астрон. журн. 2000. Т. 26. С. 301 312.

20. Мартынова А.И., Орлов В.В Критерии тройного сближения и выброса в общей задаче грех тел. // Вестник СПбГУ. 2000. Сер. 1 Вып. 2. С. 132 135.

21. Орлов В В., Петрова A.B., Мартынова А.И. Корреляция "сближение выброс" в общей задаче трех тел. // Письма в Астрон. журн 2001. Т. 27. С. 549-553.

22. Орлов В.В., Петрова A.B., Мартынова А.И. Тройные сближения в плоской равнобедренной задаче трех тел равных масс. // Письма в Астрон. журн. 2001. Т. 27. С. 877 880.

23. Orlov V.V., Petrova A.V., Martynova A.I. Classification of orbits in the plane isosceles three-body problem. Monthly Notic. Roy. Astron. Soc 2002. V. 333. P. 495-500.

24. Орлов В.В., Петрова A.B., Март ынова А.И. Тройные сближения в прямолинейной задаче трех тел равных масс. // Астрон. журн. 2002. Т. 79. С. 1034 1043.

25. Орлов В.В., Петрова A.B., Мартынова А.И. Типы движений в прямолинейной задаче трех тел разных масс. // Астрон. журн. 2003. Т. 80. С. 280-288.

26. Валтопен М., Мюлляри A.A., Орлов В.В., Рубинов A.B. Динамика вращающихся тройных систем // Письма в Астрон журн 2003. Т. 29. С. 50 59.

27. Орлов В.В., Рубинов A.B., Чернин А.Д. Область устойчивых движений вокруг периодической орбиты "восьмерка" в общей задаче трех 'тел. // Письма в Астрон. журн. 2003. Т. 29. С. 148-155.

28. Martynova A.I., Orlov V.V., Rubinov A.V. Metastability in the evolution of triple systems. Monthly Notic. Roy. Astron Soc. 20U3 V. 344. P. 1091 1096.

В совместных публикациях вклад соавторов следующий. В работе [1] постановка задачи принадлежит Т.А. Агекяну, вычисления выполнены диссертантом, интерпретации результатов проведена совместно всеми тремя авторами. В работах [2, 3. 6, 7,12,14] постановка задачи принадлежит обоим авторам, вычисления выполнены диссертантом по программе, составленной Ж.П. Аносовой; обработка результатов проведена диссертантом; интерпретация результатов сделана совместно. В работе (4]

постановка задачи принадлежит Ж.П Аносовой и диссертанту, вычисления выполнены Д.И Вертовым и диссертантом, обсуждение результатов проведено совмест но. В работе [9] постановка задачи проведена диссертантом и Ж.П Аносовой, вычисления выполнены С.А. Клионе-ром, интерпретация результатов выполнена совместно всеми тремя ав торами В работе [10] постановка задачи принадлежит диссертанту и Ж.П. Аносовой, вычисления выполнены М.В. Чернышевым, интерпретация результатов выполнена совместно всеми тремя авторами. В работе [11] постановка задачи принадлежи г диссертанту и Ж П Аносовой, вычисления выполнены диссертантом, интерпретация результатов проведена совместно. В работах [13, 15] постановка задачи принадлежит В. Себехею; вычисления выполнены Ж.П. Аносовой и диссер|антом но программе, составленной С. Арсетом: обработка результатов проведена совместно С. Арсетом, Ж.П. Аносовой и диссертантом; интерпретация резулыатов выполнена всеми авторами. В работе [16] задача поставле на Ж.П. Аносовой и диссертантом; вычисления выполнены ими же но программе С. Арсета; обработка и интерпретация результатов проведены совместно всеми авторами. В работе [17] постановка задачи принадлежит II. Иллюну; вычисления выполнены совместно диссертантом и Л.Г. Киселевой: интерпретация результашв проведена совместно всеми авторами. В работе [18] постановка задачи принадлежит диссертанту и Ж.П. Аносовой, вычисления выполнены H.A. Павловой, интерпретация результатов проведена совместно всеми фемя анюрами В pa6oie [19] постановка задачи проведена совместно, вычисления выполнены диссертантом, интерпретация результатов проведена совместно В работе [20] постановка задачи и все выкладки выполнены совместно. В работах [21 25] постановка задачи принадлежит диссертанту; вычисления проведены совместно диссертантом и А И Мартыновой; интерпретация результатов проведена совместно всеми авторами. В работе [26] идея принадлежит М Валтонену; постановочная часть разработана А.А Мюлляри и диссертантом; вычисления и их обработка выполнены А.А Мюлляри, А В Рубиновым и диссертантом: интерпретация результатов и их срав пение с 'теорией выполнены совместно всеми авторами В работе [27] идея принадлежит А.Д. Чернину; постановка задачи и вычисления выполнены совместно A.B. Рубиновым и диссертантом; обсуждение результатов

проведено совместно всеми авторами. В работе [28] постановка задачи и вычисления проведены совместно А.И. Мартыновой и диссертантом; анимация движений проведена А.В. Рубиновым; интерпретация результатов выполнена совместно всеми авторами.

Работа по диссертации была частично поддержана грантами программы "Ведущие научные школы" 00-15-96775 и НШ-1078.2003.02; РФФИ 02-02-17516 и программы "Университеты России" Минобразования РФ УР.02.01.027.

Список литературы

1. Агекяп Т.А.. Мартынова А.И. // Вестник Лепингр. ун-та 1973. N 1. С. 122.

2. Биркхофф (Birkhoff G.D.) Dynamical systems. New York: American Math. Soc.. 1927.

3. Боккалетти, Пукакко (Boccaletti D., Pucacco G.) Theory of orbits. Volume Г Integrable systems and non-perturbative methods. AA Libr Berlin: Springer, 1996

4. Боккалетти, Пукакко (Boccaletti D., Pucacco G.) Theory of orbits. Volume 2: Perturbative and geometrical methods. AA Libr. Berlin: Springer, 1997.

5. Брук (Broucke R.) /,/ Astron. Astroph. 1979. V 73. P. 303

6. Валтонен, Картунеи (Valtoncn M.J., Karttunen H.) Three-Body Problem in Astrophysics. Cambridge: Cambridge Univ Press, 2004.

7. Голубее В.Г., Гребенинов Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М.: И.)д. МГУ, 1985.

8. Маршалъ (Marchal С.) The Three-Body Problem. Amsterdam: Elsevier, 1990.

9. Маршалъ и др. (Marchal С.. Yoshida J., Sun Yi-Sui.) // Celest. Merh. 1984. V. 34. P. 65.

10. Монахан (Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1976a. V.

176. P. 63.

11. Монахан (Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 19766. V.

177. P. 583.

12. Myp (Moore C.) // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3675.

13 Нэш, Монахан (Nash P.E., Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1978. V. 184. P. 119.

14. Сундман (Sundinan K.F.) // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105.

15. Шангиньё, Монтгомери (Chcncinier A., Montgomery R.) // Ann. Math. 2000. V. 52. P. 881.

16. Шубарт (Schubart J. von) // Astron. Nachr. 1956 V. 283. P. 17.

Подписано в печать2005 г. Формат бумаги 60X84 1/16.

Объем 1 усл. п. л. Тираж 100 экз.3аказ 3623 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

IM 5 3 49

РНБ Русский фонд

2006-4 15477

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА I. Классификация типов движений

§1. Введение

§2. Типы движений в общей задаче трех тел

§3. Классы состояний тройных систем

§4. Критерии тройного сближения и выброса

§5. Критерии выброса и ухода

§2. Распределение времени жизни тройных систем 29

§3. Параметры финальных состояний 38 §4. Теория распада и ее сравнение с численными экспериментами 45

§5. Начальные условия и распад 51

§6. Заключение 56

Результаты работы также докладывались на конференциях:

• "Проблема нескольких тел" (Турку, Финляндия, 1987 г.);

• "Проблемы физики и динамики звездных систем" (Ташкент, 1989 г.);

• "Вопросы небесной механики и звездной динамики" (Алма-Ата, 1990 г.);

• "Неустойчивость, хаос и предсказуемость в небесной механике и звездной динамике" (Дели, Индия, 1990 г.);

• "От Ныотона к хаосу. Современные методы понимания и обращения с хаосом в динамических системах N тел" (Кортина д'Ампеццо, Италия, 1993 г.);

• "Звездные населения" (Симпозиум MAC N 164, Гаага, Нидерланды, 1994 г.);

• "Нерешенные проблемы Млечного Пути" (Симпозиум MAC N 169, Гаага, Нидерланды, 1994 г.);

• "Структура и эволюция звездных систем" (Петрозаводск, 1995 г.);

• "Звездная динамика: от классической к современной" (Санкт-Петербург, 2000 г.);

• Всероссийская астрономическая конференция (Санкт-Петербург, 2001 г.);

• "Порядок и хаос в звездных и планетных системах" (Санкт-Петербург, 2003 г.);

• Всероссийская астрономическая конференция (Москва, 2004 г.).

Работа по диссертации была частично поддержана грантами программы "Ведущие научные школы" 00-15-96775 и НШ-1078.2003.02; РФФИ 02-02-17516 и программы "Университеты России" Минобразования РФ УР.02.01.027.

Автор глубоко благодарен Т.А. Агекяну, Ж.П. Аносовой, В.А. Антонову, С. Арсету, Д.И. Вертову, М. Валтонену, Р.Я. Жучкову, П. Иг-глтону, А.А. Киселеву, Л.Г. Киселевой, С.А. Клионеру, А.В. Кривову, С.А. Кутузову, А.И. Мартыновой, К. Маршалю, А.А. Мюлляри, И.И. Никифорову, С.Н. Нуритдинову, Л.П. Осипкову, Н.А. Петрову, А.В. Петровой, Н.П. Питьеву, Е.Н. Поляховой, А.С. Расторгуеву, Л.Г. Романенко, А.В. Рубинову, В.В. Сидоренко, Л.Л. Соколову, В.Г. Сурдину, Н.А. Суш-ко, П.А. Тараканову, В.Б. Титову, А.А. Токовинину, К.В. Холшевникову, А.Д. Чернину, М.В. Чернышеву, И.И. Шевченко и многим другим за полезные советы, ценные замечания и общую поддержку.

ГЛАВА I. Классификация типов движений §1. Введение

Множество возможных типов финальных движений в общей задаче трех тел зависит от знака полной энергии Е тройной системы. Первая классификация типов финальных движений при t —> ±00 была предложена Шази (1922, 1929). В этих работах было выделено семь возможных типов движений: 1) гиперболические, 2) гиперболо-параболические, 3) параболические, 4) гиперболо-эллиптические, 5) параболо-эллиптические, б) ограниченные, 7) осциллирующие. Также Шази получил оценки вероятностей некоторых переходов между типами движений. Заметим, что типы движений 2), 3), и 5) имеют нулевую меру и в дальнейшем не рассматриваются.

В тройных системах с Е > 0 движения могут быть гиперболические (1) или гиперболо-эллиптические (4), если имеется двойная. Переход 1) —У 1) соответствует прохождениям трех тел по гиперболическим орбитам. Переход 1) —> 4) означает, что в результате сближения трех одиночных тел произошел захват — два тела образовали двойную систему. Обратный переход 4) —1) означает разрушение двойной при сближении ее с одиночным телом (звездой поля) и в результате образуются три одиночных тела. В силу обратимости уравнений движения во времени возможность захвата гарантирует возможность разрушения двойной и наоборот. При сближении одиночного тела с двойной кроме разрушения двойной возможны еще два исхода: пролет звезды поля мимо двойной и обмен компонентами в двойной.

Для тройных систем с Е < 0 множество типов финальных движений более разнообразно. Наряду с пролетами, захватами и обменами в таких системах могут реализоваться ограниченные и осциллирующие движения (классы 6) и 7) согласно приведенной выше классификации Шази). Кроме того, могут иметь место случаи так называемого резонансного рассеяния, когда происходит временный захват одиночного тела и формируется временная тройная система. Эта система может разрушиться после длительной эволюции, причем уйти из тройной системы может как первоначально одиночное тело (прохождение), так и один из компонентов первоначальной двойной (обмен).

В последующих работах Себехея (1971), Аносовой (1988) и других авторов работы Шази получили дальнейшее развитие. В частности, была разработана классификация состояний, реализующихся в процессе динамической эволюции тройной системы. Классификация типов движений в общей задаче трех тел подробно описана Аносовой (1988). Мы в основном будем придерживаться этой схемы, хотя и с некоторыми уточнениями.

§2. Типы движений в общей задаче трех тел

По результатам численного моделирования динамики тройных систем с Е > 0 выделяются следующие типы движений:

1. прохождения трех одиночных тел по гиперболическим относительным орбитам;

2. формирование двойной системы при сближении трех одиночных тел (захват);

3. пролет одиночного тела мимо двойной системы (рассеяние);

4. разрушение двойной в результате ее сближения с одиночным телом (ионизация);

5. обмен компонентами в двойной (перезарядка);

6. тройное соударение.

Состояния 2) и 4) сменяют друг друга при изменении знака времени или скоростей всех тел на противоположные. Отметим, что двойные соударения допускают аналитическое продолжение. С учетом этого обстоятельства мы можем не рассматривать двойные соударения как отдельный тип движений. Заметим, что в реальности соударения приводят к слиянию звезд.

В тройных системах с Е < 0 можно выделить следующие типы финальных движений:

1. пролет одиночного тела мимо тесной двойной системы (рассеяние);

2. обмен компонентами (перезарядка);

3. захват проходящего тела и формирование временной тройной, эволюция которой завершается уходом одного из тел (резонансное рассеяние);

4. динамическая эволюция физически связанной тройной системы с ее распадом;

5. ограниченные движения тел;

6. осциллирующие движения;

7. тройное соударение.

Заметим, что типы движений 3) и 4) по сути идентичны, поскольку при изменении знака времени или скоростей всех трех тел на противоположные динамическая эволюция неустойчивой тройной системы также должна завершиться распадом. Вопрос заключается только в выборе начальных условий.

Тип 5) финальных движений можно разделить на несколько подтипов:

1. устойчивая иерархическая тройная система;

2. периодические движения;

3. непериодические неиерархические ограниченные движения.

Как частные случаи периодических движений мы можем рассматривать известные решения Эйлера и Лагранжа. Для осциллирующих движений, впервые обнаруженных Ситниковым (1960) в ограниченной задаче трех тел, не существует верхней границы для взаимных расстояний между телами и в то же время не происходит уходов тел. Тройные соударения, периодические орбиты и осциллирующие движения представляют собой изолированные типы движений с нулевой мерой.

В следующем параграфе мы более подробно остановимся на классификации состояний неустойчивых систем.

§3. Классы состояний тройных систем

Первая классификация состояний тройных систем с Е < 0 была предложена Себехеем (1971). Она включает в себя шесть классов, характеризующих как финальные движения, так и промежуточные состояния, реализующиеся в ходе динамической эволюции тройной системы:

1. взаимодействие,

2. выброс без ухода,

3. уход,

4. обращение,

5. лагранжевы равновесные конфигурации,

6. столкновения и периодические орбиты.

Агекян и Мартынова (1973) предложили разделить первый класс на два класса:

0. тройное сближение,

1. простое взаимодействие.

Два последних класса в классификации Себехея имеют нулевую меру. В состоянии 4) изолированная устойчивая тройная система находится неограниченно долго.

Неустойчивая тройная система в ходе эволюции может переходить между состояниями 0) - 2). Состояние 3) является финальным для неустойчивой распадающейся системы, причем как при t —> —оо, так и при t —>■ + оо.

Агекян и Мартынова (1973) предложили критерии состояний 0) - 3) для плоских систем с нулевым моментом вращения. Они ввели понятия радиуса тройного сближения Rq и радиусов выброса Щ (г = 1, 2, 3) для каждого из тел. Если в какой-то момент времени t все три тела находятся внутри круга радиусом Rq с центром в центре масс тройной системы, то в этот момент тройная система находится в состоянии тройного сближения. Если в момент времени t тело с номером i находится за пределами круга радиусом Щ с центром в центре масс тройной си® стемы, то в этот момент в тройной системе происходит выброс или уход г-го тела. Условия состояния простого взаимодействия формулируются методом исключения: в тройной системе имеется, по крайней мере, одно тело, которое находится за пределами круга радиусом Rq и все три тела в пределах своих кругов радиусами Ri. Выбор критических значений Ro и R{ радиусов сфер тройного сближения и вбросов обсуждается в следующем параграфе.

Для разделения состояний 2) и 3) в литературе имеется ряд критериев (Биркхофф 1927; Тевзадзе 1962; Стендиш 1971, 1972; Юшида 1972, 1974; Гриффит и Норт 1974; Маршаль 1974; Маршаль и др. 1984). Анализом этих критериев мы займемся несколько позже, а в следующем параграфе обобщим критерии Агекяна и Мартыновой (1973) на случаи плоских • вращающихся тройных систем и тройных систем, в которых движения тел происходят в трехмерном пространстве.

§4. Критерии тройного сближения и выброса

В работе Агекяна и Мартыновой (1973) радиус Ro тройного сближения выбирается таким образом, что при любых положениях тел внутри круга радиусом Ro с центром в центре масс тройной системы выполняется условие:

-U > -2Е , (1) где U — потенциальная энергия тройной системы. То есть в пределах сферы тройного сближения тела находятся ближе друг к другу, чем в случае вириального равновесия тройной системы. Величина Ro определяется следующим равенством где G — постоянная тяготения, А — коэффициент, зависящий от масс тел. В работе Агекяна и Мартыновой (1973) приведена таблица значений А в зависимости от отношений масс тел при условии, что максимальная из масс тел равна единице; в случае равных единичных масс А = т/3.

Обобщим критерий тройного сближения (2) на случай вращающихся тройных систем (как на плоскости, так и в трехмерном пространстве). Прежде всего, заметим, что в любой момент времени t мы можем провести плоскость, в которой лежат все три тела. В этой же плоскости будет находиться и центр масс тройной системы. Для этой плоскости мы можем провести рассуждения точно так же, как это было сделано в работе Агекяна и Мартыновой (1973) для случая нулевого углового момента. В результате мы получим то же самое выражение для "мгновенного" значения радиуса Rq сферы тройного сближения. Но поскольку в трехмерном случае плоскость, содержащая три тела, будет испытывать вращение вокруг центра масс тройной системы, вместо круга радиусом Rq мы получим сферу тройного сближения того же радиуса Rq, определяемого формулой (2). Таким образом, выражение (2) для радиуса сферы тройного сближения справедливо как в плоском, так и в трехмерном случаях.

Теперь обобщим критерий выброса. В работе Агекяна и Мартыновой (1973) рассмотрены тройные системы с нулевым моментом вращения L = 0. Определяется такое состояние системы, когда минимальное из взаимных расстояний между телами принимает наибольшее значение. Это состояние достигается, когда тела имеют нулевые скорости и находятся в вершинах равностороннего треугольника. Соответствующие этой конфигурации удаления тел от центра масс тройной системы принимаются за радиусы выбросов Ri (г = 1, 2, 3). Заметим, что в случае равных единичных масс

Ri = = 2Rq . (3)

Обобщение критерия выброса для вращающихся систем с L ф 0 начнем со следующего замечания. Найдем такое состояние тройной системы, в котором достигается наибольшее значение минимального взаимного расстояния. Это состояние достигается, когда выполнены следующие условия: 1) тела находятся в вершинах равностороннего треугольника; 2) радиальные составляющие скоростей тел равны нулю; 3) вращение тройной системы происходит в плоскости, ортогональной вектору L углового момента тройной системы.

В этом случае справедливы следующие соотношения между векторами положений ri и скоростей Vi. тел в неподвижной системе координат, связанной с центром масс тройной системы: п • Vi = 0 , i = 1,2,3 з х Vi) = L , i=1 3 rrii ri = 0 , г=1 3

4) i=1 3 i=1 i<j lJ r\2 = Пз = Г23 = a .

Здесь rrii (г = 1, 2, 3) — массы тел; r^ (i,j = 1, 2, 3; г < ji) — взаимные расстояния между телами; а — параметр, имеющий размерность длины и определяемый рассматриваемой конфигурацией.

Не умаляя общности, мы можем совместить координатную плоскость XY с плоскостью, ортогональной вектору L, в которой располагаются тела. Направим ось X на тело с номером г = 1 и и запишем систему уравнений (4) в полярных координатах (ri,0); (г2,ф2)', {гз,фз). Решая полученную систему, находим

П = jjVm22 + m2m3 + m32 , r2 = -^:\/mi2 + mim3 + m32 , (5) r3 = -^r\/mi2 + mim2 + m22 , где М = mi -f Ш2 + газ — сумма масс тел. Значение параметра а определяется из интегралов энергии и площадей

G[i (л Г 2МЕЬЛ . ' <6> где fi = гахгаг + гахгаз + гаггаз. Подставив (6) в (5), мы находим радиусы выброса Ri (г = 1, 2, 3).

Таким образом, мы обобщили критерии тройного сближения и выброса на случай тройных систем с L ф 0 как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Заметим еще раз, что, если в тройной системе не выполнены условия ни тройного сближения, ни выброса, то она находится в состоянии простого взаимодействия. Это состояние является промежуточным между состояниями тройного сближения и выброса. Тем не менее, оно играет существенную роль в метастабильных режимах эволюции (см. § 4 в главе IV).

§5. Критерии выброса и ухода

Достаточные условия ухода одного из тел можно сформулировать в следующем общем виде (Себехей 1973): если в некоторый момент времени to в тройной системе выполняются следующие условия

• pit о) = ро> a, p(t0) = ро > 0, pi > b , (7) то при t —> +оо величина р —> +оо (происходит уход одного из тел). Здесь p{t) — расстояние от удаленного тела до центра масс двух других тел; p{t) — радиальная составляющая скорости этого тела относительно центра масс остающейся двойной; а и Ь — некоторые функции от масс тел и полной энергии тройной системы, величина Ъ также зависит от расстояния ро

Обозначим через D верхнюю границу наименьшего взаимного расстояния между телами. Тогда величина а = 2D в критериях Биркхоффа

1927) и Тевзадзе (1962); а = D в критериях Стендиша (1971), а также Гриффита и Норта (1974); а = M^D для условий Юшиды (1972) и Маршаля (1974), где Mi = т^т2 , т\ < тъ — массы компонентов близкой пары.

Величины b имеют следующий вид:

8 GM Ро

9 ПМ ( Mi М2 А

Po~M2D Т" po-MiD)

2GM [X + +

2QM ( М1I

Po~M2D ^ po+MxDУ

Биркхофф 1927);

Тевзадзе 1962);

Стендиш 1971);

Гриффит и Норт 1974);

Юшида 1972, Маршаль 1974).

3Д^ь М, =

Все эти критерии являются достаточными условиями ухода, но в некоторых случаях уход может произойти, хотя критерий не выполнен. Поэтому представляет интерес найти критерий ухода, который обеспечивает максимальное число выявленных уходов.

Величина а минимальна в критерии Юшиды-Маршаля. Этот критерий можно применять на меньших расстояниях ро по сравнению с другими рассматриваемыми здесь критериями. Для сравнения величин b удобно ввести следующую систему единиц 2GM = 1 и D = 1, а также ввести безразмерные параметры а = М\ и (3 = D/pq. Все значения 6, приведенные выше, можно записать через а и (3, а затем составить все возможные разности. Оптимальному критерию при фиксированных а и {3 соответствует минимальное значение Ь.

Сравнение величин b показало, что для всех (3 G (0,1) и a G [0,0.5] значение b минимально для критерия Юшиды-Маршаля. Различие с критерием Гриффита и Норта незначительно. Остальные критерии значительно хуже при /3 > 0.5. При (3 —» 0 (/?о +оо) все попарные разности величин b стремятся к нулю. Все критерии, кроме критерия Виркхоффа, при этом асимптотически стремятся к условию гиперболичности орбиты внешней двойной

6=^ = 0. (8)

Ро

В работе Маршаля и др. (1984) показано, что условие гиперболичности (8) можно использовать в качестве критерия ухода при ро > 2D.

Таким образом, для того, чтобы решить, какое из состояний (выброс с возвратом или уход) имеет место в тройной системе, при малых M^D < ро < 2D можно использовать критерий Юшиды-Маршаля, а при ро > 2D — критерий гиперболичности орбиты внешней двойной.

Заключение

В заключении кратко сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Выполнено обобщение критериев тройного сближения и выброса, полученных ранее Агекяном и Мартыновой (1973) для тройных систем с нулевым угловым моментом, на случаи плоских вращающихся и трехмерных тройных систем.

2. Показано, что среднее время жизни изолированных тройных систем бесконечно велико; получены аппроксимации интегральных распределений времени жизни тройных систем.

3. Найдены зависимости средних характеристик финальных состояний распадающихся тройных систем от отношения масс компонентов и момента вращения тройной системы.

4. Выполнено сравнение результатов численного моделирования динамической эволюции вращающихся тройных систем и модификации статистической теории распада тройных систем (Валтонен и Карту-нен 2004) — показано качественое согласие результатов, что говорит о применимости этой теории.

5. Показана устойчивость статистических результатов численонго моделирования к небольшим вариациям области задания начальных условий.

6. Отмечена перемежаемость зон регулярности и стохастичности ("непредсказуемости") поведения тройных систем в окрестности треугольника Пифагора.

7. Построены распределения семи конфигурационных и кинематических параметров тесных тройных сближений, приводящих к уходам тел из тройных систем с нулевым моментом вращения.

8. Найдены характеристики тройных сближений типа "пролет" и "обмен", приводящих к распаду тройных систем.

9. Выявлены статистически значимые корреляции между рядом параметров тройных сближений и длиной последующих выбросов; показано, что наиболее сильно длина выброса коррелирует с теснотой сближения — чем теснее тройное сближение, тем дальше выброс.

10. Найдены критические значения отношения периодов внешней и внутренней двойных в иерархических тройных системах с первоначально круговыми прямыми движениями, соответствующие двум сценариям потери устойчивости (обмен и уход удаленного тела без обмена).

И. Представлены примеры неиерархических устойчивых вращающихся тройных систем.

12. Обнаружена область устойчивых по Лагранжу движений в окрестности периодической орбиты "восьмерка".

13. Найден новый класс движений в общей задаче трех тел — метаста-бильные; найдены начальные условия для метастабильных траекторий, попадающих в окрестности устойчивых периодических орбит.

14. Выполнена классификация орбит в плоской равнобедренной и прямолинейной задачах трех тел при разных отношениях масс компонентов: параметр классификации — число прохождений центрального тела через центр масс тройной системы, предшествующих распаду системы.

15. Выделены области ограниченных движений в окрестности устойчивых периодических орбит Шубарта (1956) и Брука (1979).

16. Показано преобладание трансверсальных движений удаленных компонентов в 14 вероятно физических визуальных тройных системах с надежно определенными относительными собственными движениями компонентов, что может косвенно свидетельствовать в пользу устойчивости этих систем.

17. Определены характеристики динамической устойчивости для 38 наблюдаемых тройных звезд.

18. Намечены вероятные сценарии динамической эволюции четырех близких и широких визуальных тройных звезд (ADS 48 ABF, ADS 6175, а Сеп + Proxima Сеп, ADS 9909).

1. Агекян Т.А., Аносова Ж.П. // Труды Астрой, обе. Ленингр. ун-та. 1977. Т. 33. С. 52.

2. Агекян Т.А., Аносова Ж.П. // Астрон. жури. 1991. Т. 68. С. 1099.

3. Агекян Т.А., Мартынова А.И. // Вестник Ленингр. ун-та. 1973. N 1. С. 122.

4. Алексеев В.М. // Матем. сборник. 1969. Т. 78. С. 3.

5. Аллен, Поведа (Allen С., Poveda А.) // Publ. Astron. Soc. Pacif. 1975. V. 87. P. 499.

6. Аносова Ж.П. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1968. Т. 25. С. 100.

7. Аносова Ж.П. // Труды Астрой, обе. Ленингр. ун-та. 1969. Т. 26. С. 88.

8. Аносова Ж.П. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1979. Т. 35. С. 152.

9. Аносова Ж.П. II Астрофизика. 1986а. Т. 25. С. 297.

10. Аносова (Anosova J.P.) // Astroph. Space Sci. 19866. V. 124. P. 217.

11. Аносова Ж.П. 11 Астрофизика. 1987. Т. 27. С. 535.

12. Аносова (Anosova J.P.) // The Few Body Problem (ed. Valtonen M.) Dordrecht: D. Reidel Publ. Co. 1988. P. 27.

13. Аносова Ж.П., Завалов Н.Н. // Труды Астрон. обе. Ленингр. унта. 1981. Т. 36. С. 109.

14. Аносова Ж.П., Завалов Н.Н. // Астрон. оюурн. 1989. Т. 66. С. 152.

15. Аносова Ж.П., Орлов В.В. // Труды Астрон. обе. Ленингр. ун-та. 1985. Т. 40. С. 66.

16. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. М: ВИНИТИ, 1985.

17. Арсет, Заре (Aarseth S.J., Zare К.) // Celest. Mech. 1974. V. 10. P. 185.

18. Барлоу, Скарф (Barlow D.J., Scarfe C.D.) // Astron. J. 1991. V. 102. P. 2098.

19. Баррадо и Наваскес (Barrado у Navascues D.) // Astron. Astroph. 1998. V. 339. P. 831.

20. Бене, Дюван (Benest D, Duvent J.L.) // Astron. Astroph. 1995. V. 299. P. 621.

21. Биннендейк (Binnendijk L.) // Astron. J. 1955. V. 60. P. 355.

22. Биркхофф (Birkhoff G.D.) Dynamical systems. New York: American Math. Soc., 1927.

23. Боккалетти, Пукакко (Boccaletti D., Pucacco G.) Theory of orbits. Volume 1: Integrable systems and non-perturbative methods. A A Libr. Berlin: Springer, 1996.

24. Боккалетти, Пукакко (Boccaletti D., Pucacco G.) Theory of orbits. Volume 2: Perturbative and geometrical methods. AA Libr. Berlin: Springer, 1997.

25. Болтон (Bolton C.T.) // Private Commun. 1975.

26. Брук (Broucke R.) // Astron. Astroph. 1979. V. 73. P. 303.

27. Булирш, Штёр (Bulirsch R., Stoer J.) // Num. Math. 1966. V. 8. P. 1.

28. Бэз (Baize P.) // J. Observ. 1955. V. 38. P. 37.

29. Бэз (Baize P.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1976. V. 26. P. 177.

30. Бэз (Baize P.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1981. V. 44. P. 199.

31. Бэз (Baize P.) j I Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1991. V. 87. P. 49.

32. Балкер, Чамблисс (Walker R.L., Chambliss C.R.) // Astron. J. 1985. V. 90. P. 346.

33. Валтонен (Valtonen M.J.) // Vistas Astron. 1988. V. 32. P. 23.

34. Валтонен (Valtonen M.J.) // Astroph. J. 1997. V. 485. P. 785.

35. Валтонен (Valtonen M.J.) // Astron. Astroph. 1998. V. 334. P. 169.

36. Валтонен, Картунен (Valtonen M.J., Karttunen H.) Three-Body Problem in Astrophysics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.

37. Валтонен, Миккола (Valtonen M.J., MikkolaS.) // Ann. Rev. Astron. Astroph. 1991. V. 29. P. 9.

38. Вальбукё (Valbousquet A.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1980. V. 41. P. 295.

39. Вест (West F.R.) // Astroph. J. 1976. V. 205. P. 194.

40. Вит-Кнудсен (Wieth-Knudsen N.) // Lunds Univ. Ars. N. F. A2. 1956. V. 52. P. 12.

41. Гейтвуд, Хан (Gatewood G., Han I.) // Astron. J. 1995. V. 110. P. 1860.

42. Гейтвуд и др. (Gatewood G., de Jonge J.K., Heintz W.D.) // Astron. J. 1995. V. 109. P. 434.

43. Голубев В.Г. // Доклады АН СССР. 1967. Т. 12. С. 529.

44. Голубев В.Г. // Доклады АН СССР. 1968. Т. 13. С. 373.

45. Голубев В.Г., Гребеников Е.А. Проблема трех тел в небесной механике. М.: Изд. МГУ, 1985.

46. Гриффит, Норт (Griffith J.S., North R.D.) // Celest. Mech. 1974. V. 8. P. 473.

47. Дворак, Суп Юсуи (Dvorak R., Sun Yisui) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1997. V. 67. P. 87.

48. Дворак и dp. (Dvorak R., Contopoulos G., Efthymiopoulos Ch., Voglis N.) // Planetary and Space Sci. 1998. V. 46. P. 1567.

49. Доннисон, Микулскис (Donnison J.R., Mikulskis D.F.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1995. V. 272. P. 1.

50. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М: Наука, 1964•

51. Дубошин Г.Н., Рыбаков А.И., Калинина Е.П., Холопов П.Н. // Со-общ. ГАИШ. 1971. Т. 175. С. 3.

52. Дюкенуа (Duquennoy А.) // Astron. Astroph. 1987. V. 178. P. 114.

53. Дюкенуа, Майор (Duquennoy A., Mayor М.) // Astron. Astroph. 1988. V. 200. P. 135.

54. Заре, Несли (Zare К., Chesley S.) // Chaos. 1998. V. 8. P. 475.

55. Игглтои, Киселева (Eggleton P.P., Kiseleva L.G.) // Astroph. J. 1995. V. 455. P. 640.

56. Карле (Karle J.H.) // Private Commun. 1977.

57. Корпорон и dp. (Corporon P., Lagrange A.M., Beust H.) // Astron. Astroph. 1996. V. 310. P. 228.

58. Kymo (Couteau P.) // J. Observ. 1965. V. 48. P. 39.

59. Мазех, Шахам (Mazeh Т., Shaham J.) // Astroph. J. 1976. V. 205. P. L147.

60. Мазех, Шахам (Mazeh Т., Shaham J.) // Astroph. J. 1977. V. 213. P. L17.

61. Майер (Mayer P.) // Bull. Astron. Inst. Czech. 1983. V. 34. P. 335.

62. Майер, Дрехзелъ (Mayer P., Dfechsel H.) // Astron. Astroph. 1987. V. 183. P. 61.

63. МакАлистер (McAlister H.A.) // Astroph. J. 1980. V. 236. P. 522.

64. МакАлистер, Харткопф (McAlister Н.А., Hartkopf W.I.) // Private Commun. 1984.

65. МакАлистер и др. (McAlister H.A., Mason B.D., Hartkopf W.I.) // Astron. J. 1993. V. 106. P. 1639.

66. МакГихи (McGehee R.) // Inv. Math. 1974. V. 27. P. 191.

67. МакКарти (McCarthy D.W.) // The Nearby Stars and the Stellar Luminosity Function (ed. Philip A.G.D., Upgren A.R.). N.Y.: Pergamon Press. 1983. P. 107.

68. Мардлинг, Apcem (Mardling R., Aarseth S.) // The dynamics of small bodies in the Solar system, a major key to Solar system studies (ed. Steves B.A., Roy A.E.) Dordrecht: Kluwer. 1999. p. 385.

69. Маркеропи и др. (Marceroni С., Milano L., Russo G., Sollazzo C.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1981. V. 45. P. 187.

70. Маршаль (Marchal C.) // Celest. Mech. 1974. V. 9. P. 381.

71. Маршаль (Marchal C.) The Three-Body Problem. Amsterdam: Elsevier, 1990.

72. Маршаль и др. (Marchal С., Yoshida J., Sun Yi-Sui.) // Celest. Mech. 1984. V. 34. P. 65.

73. Миддлдич, Нельсон (Middleditch J., Nelson J.) // Astroph. J. 1976. V. 208. P. 567.

74. Миккола (Mikkola S.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1994. V. 269. P. 127.

75. Миккола, Apcem (Mikkola S., Aarseth S.J.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1993. V. 57. P. 439.

76. Миккола, Валтопен (Mikkola S., Valtonen M.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1986. V. 223. P. 269.

77. Монахан (Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1976a. V. 176. P. 63.

78. Монахан (Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 19766. V. 177. P. 583.

79. Морбиделли, Дэ/сордэюилли (Morbidelli A., Giorgilli A.) // J. Stat. Phys. 1995. V. 78. P. 1607.

80. Myp (Moore C.) // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 70. P. 3675.

81. Мюллер (Muller P.) // J. Observ. 1955. V. 38. P. 58.

82. Ньюбург (Newburg J.L.) // Repub. Observ. Johannesburg Circ. 1969. V. 7. P. 190.

83. Нэш, Монахан (Nash P.E., Monaghan J.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1978. V. 184. P. 119.

84. Петри, Лайдлер (Petrie R.M., Laidler D.M.) // Publ. Dominion As-troph. Observ. 1952. V. 9. P. 181.

85. Поппер (Popper D.M.) // Astroph. J. 1943. V. 97. P. 394.

86. Реймерс и др. (Reimers D., Griffin R.F., Brown A.) // Astron. Astroph. 1988. V. 193. P. 180.

87. Рой и др. (Roy A.E., Carusi A., Valsecchi G.B., Walker I.W.) // Astron. Astroph. 1984. V. 141. P. 25.

88. Салуквадзе Г.Н. // Астрофизика. 1985. Т. 22. С. 97.

89. Capua (Sarna M.J.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1993. V. 262. P. 534.

90. Себехей (Szebehely V.) // Celest. Mech. 1971. V. 4. P. 116.

91. Себехей (Szebehely V.) // Recent Advances in Dynamical Astronomy (eds. Tapley B.D., Szebehely V.) Dordrecht: D. Reidel Publ. Co. 1973. P. 75.

92. Себехей, Заре (Szebehely V., Zare K.) // Astron. Astroph. 1977. V. 58. P. 145.

93. Себехей, Петере (Szebehely V., Peters C.F.) // Astron. J. 1967. V. 72. P. 1187.

94. Симо K. // Современные проблемы хаоса и нелинейности (ред. Борисов А.В.) Ижевск: Изд. Ин-та компьютерных исследований. 2002. С. 252.

95. Симо, Мартипес (Sim6 С., Martinez R.) // Celest. Mech. 1987. V. 41. P. 179.

96. Ситников К.A. // Доклады АН СССР. 1960. Т. 133. С. 303.

97. Скарф и др. (Scarfe C.D., Barlow D.J., Fekel F.C., Rees R.F., Lyons R.W., Bolton C.T., McAlister H.A., Hartkopf W.I.) 11 Astron. J. 1994. V. 107. P. 1529.

98. Стейн, Бердсли (Stein J.W., Beardsley W.R.) // Vistas Astron. 1977. V. 21. P. 43.

99. Стеидиш (Standish E.M.) // Celest. Mech. 1971. V. 4. P. 44.

100. Стеидиш (Standish E.M.) // Celest. Mech. 1972. V. 6. P. 352.

101. Сундман (Sundman K.F.) // Acta Math. 1912. V. 36. P. 105.

102. Танапбаум, Хатчинге (Tananbaum H.D., Hutchings J.B.) If Ann. N.Y. Acad. Sci. 1975. V. 262. P. 299.

103. Тапикава, Миккола (Tanikawa К., Mikkola S.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 2000a. V. 76. P. 23.

104. Таникава, Миккола (Tanikawa К., Mikkola S.) // Chaos. 20006. V. 10. P. 649.

105. Таникава, Умехара (Tanikawa К., Umehara H.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1998. V. 70. P. 167.

106. Тевзадзе Г.А. // Изв. АН Армянской ССР. 1962. Т. 15. N 5. С. 67.

107. Токовипин А.А. // Письма в Астрон. oicypu. 1994• Т. 20. С. 368.

108. Токовинин (Tokovinin А.А.) // Astron. Astroph. Suppl. Ser. 1997. V. 124. P. 75.

109. Токовинин A.A. // Письма в Астрон. жури. 1998. Т. 24. С. 217.

110. Фекел (Fekel F.C.) // Astron. J. 1975. V. 80. P. 844.

111. Фекел (Fekel F.C.) // PhD Thesis. Univ. of Texas at Austin. 1979.

112. Фекел (Fekel F.C.) 11 Astroph. J. 1981. V. 246. P. 879. ИЗ. Фекел (Fekel F.C.) // Astroph. J. 1983. V. 268. P. 274.

113. Фекел, Скарф (Fekel F.C., Scarfe C.D.) // Astron. J. 1986. V. 92. P. 1162.

114. Фекел, Томкин (Fekel F.C., Tomkin J.) 11 Astroph. J. 1982. V. 263. P. 289.

115. Фекел и др. (Fekel F.C., Scarfe C.D., Barlow D.J., Duquennoy A., McAl-ister H.A., Hartkopf W.I., Mason W.D., Tokovinin A.A.) // Astron. J. 1997. V. 113. P. 1095.

116. Финзен (Finsen W.S.) // Circ. Inf. 1968. N 44.

117. Финзен (Finsen W.S.) // Circ. Inf. 1973. N 60.

118. Финзен (Finsen W.S.) // Circ. Inf. 1976. N 69.

119. Харрингтон (Harrington R.S.) // Astron. J. 1977. V. 82. P. 753.

120. Харткопф и др. (Hartkopf W.I., McAlister H.A., Yang X., Fekel F.C.) // Astron. J. 1992. V. 103. P. 1976.

121. Хегги (Heggie D.C.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 2000. V. 318. P. L61.

122. Хейнтц (Heintz W.D.) 11 Astroph. J. 1976. V. 208. P. 474.

123. Хейнтц (Heintz W.D.) // Astroph. J. Suppl. Ser. 1978. V. 37. P. 71.

124. Хейнтц (Heintz W.D.) // Astroph. J. 1984. V. 284. P. 806.

125. Хейнтц (Heintz W.D.) // Astron. J. 1996. V. 111. P. 408.

126. Хейнямяки и др. (Heinamaki P., Lehto H.J., Valtonen M.J., Chernin A.D.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1998. V. 298. P. 790.

127. Хейнямяки и др. (Heinamaki P., Lehto H.J., Valtonen M.J., Chernin A.D.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1999. V. 310. P. 811.

128. Херши (Hershey J.L.) // Astron. J. 1973. V. 78. P. 935.

129. Хиетаринта, Миккола (Hietarinta J., Mikkola S.) j I Chaos. 1993. V. 3. P. 183.

130. Хилл и др. (Hill G., Aikman G.C.L., Cowley A.P., Bolton C.T., Thomas J.C.) // Astroph. J. 1976. V. 208. P. 152.

131. Хилл и др. (Hill G., Fisher W.A., Holmgren D.) // Astron. Astroph. 1989. V. 211. P. 81.

132. Хопманн (Hopmann J.) // Ann. Univ.-Sternw. Wien. 1964. V. 26. P. 22.

133. Хорн и др. (Horn J., Kubat J., Harmanec P., Koubsky P., Hadrava P., Simon V., Stefl S., Skoda P.) // Astron. Astroph. 1996. V. 309. P. 521.

134. Хуммель, Армстронг (Hummel С.A., Armstrong J.T.) // Very High Angular Resolution Imaging (ed. Robertson J.G., Tango W.J). Dordrecht: Kluwer Acad. Publ. 1994. P. 410.

135. Целлер (Zeller G.) // Ann. Univ.-Sternw. Wien. 1965. V. 26. P. 111.

136. Чамблисс (Chambliss C.R.) // Astroph. Space Sci. 1983. V. 89. P. 15.

137. Чернин, Валтонен (Chernin A.D., Valtonen M.J.) // New Astron. Rev. 1998. V. 42. P. 41.

138. Чесли (Chesley S.R.) // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1999. V. 73. P. 291.

139. Честер (Cester B.) // Mem. Soc. Astron. Ital. 1962. V. 33. P. 177.

140. Чириков (Chirikov B.V.) // Phys. Rep. 1979. V. 52. P. 263.

141. Чириков (Chirikov B.V.) // Chaos, Solitons and Fractals. 1991. V. 1. P. 79.

142. Шази (Chazy J.) // Ann. l'Ecole Norm. 1922. Ser. 3. V. 39. P. 29.

143. Шази (Chazy J.) // J. Math. Pures et Appl. 1929. Ser. 9. V. 8. P. 353.

144. Шансиньё, Монтгомери (Chencinier A., Montgomery R.) // Ann. Math. 2000. V. 52. P. 881.

145. Шеффелъ (Schoffel E.) // Astron. Astroph. 1977. V. 61. P. 107.

146. Шубарт (Schubart J. von) // Astron. Nachr. 1956. V. 283. P. 17.

147. Эванс (Evans D.S.) // Mon. Notic. R. Astron. Soc. 1969. V. 142. P. 523.

148. Энон (Henon M.) // Celest. Mech. 1977. V. 15. P. 243.

149. Юшида (Yoshida J.) // Publ. Astron. Soc. Japan. 1972. V. 24. P. 391.

150. Юшида (Yoshida J.) // Publ. Astron. Soc. Japan. 1974. V. 26. P. 367.