Моделирование распространения высокочастотных волн в плазме токамака асимптотическими методами

Савельев, Александр Николаевич

Моделирование распространения высокочастотных волн в плазме токамака асимптотическими методами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Савельев, Александр Николаевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.08 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Моделирование распространения высокочастотных волн в плазме токамака асимптотическими методами»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование распространения высокочастотных волн в плазме токамака асимптотическими методами"

003487696

На правах рукописи

Савельев Александр Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ ТОКАМАКА АСИМПТОТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

01.04.08 - физика плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 о ДЕК 2099

Санкт-Петербург - 2009

003487696

Работа выполнена в

Учреждении Российской Академии Наук

Физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе РАН

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор М. Д. Токман, ИНГУ им. Н.И.Лобачевского, Нижний Новгород,

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Тимофеев, ИЯС Российский научный центр «Курчатовский институт», Москва,

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Рожанский,

СПбГПУ, Санкт-Петербург.

Ведущая организация: Учреждение Российской Академии Наук

Защита состоится 24 декабря 2009г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.205.03 при Физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе по адресу: 194021, Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 26.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФТИ им. А. Ф. Иоффе.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.205.03

Институт Общей Физики им. А.М. Прохорова РАН

Автореферат разослан «

кандидат физико-математических наук

Красильщиков А. М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию распространения электромагнитных и плазменных волн в плазме токамака. Описание распространения волн в высокотемпературной плазме является одной из традиционных проблем физики плазмы, интерес к которой связан с исключительно большим разнообразием линейных и нелинейных волновых процессов в плазме, а также с большим прикладным значением для управляемого термоядерного синтеза. Конкретной темой диссертации является моделирование взаимодействия волн с плазмой в нижнегибридном (НГ) и электронном циклотронном (ЭЦ) диапазонах частот. Основные методы дополнительного высокочастотного нагрева плазмы и генерации безындукционного тока увлечения в современных токамаках (кроме ионного циклотронного нагрева) связаны именно с этими диапазонами частот, что и определяет актуальность темы диссертации.

Цели диссертационной работы заключались в моделировании распространения и поглощения волн нижнегибридного и электронного циклотронного частотных диапазонов в неоднородной плазме токамака. Более подробно их можно сформулировать следующим образом:

• Исследование распространения высокочастотных электромагнитных волновых пучков в неоднородной анизотропной плазме токамака с учетом дифракции, рефракции и затухания волн.

• Моделирование электронного бернштейновского нагрева плазмы и генерации тока увлечения в сферическом токамаке.

• Моделирование нижнегибридных токов увлечения в токамаках.

• Описание распространения ионных бернштейновских волн в плазме токамака и расчет спектра рассеяния лазерного излучения на этих волнах.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что в ней:

• разработан новый приближенный метод, названный методом виртуальных пучков (МВП), который описывает дифракцию, рефракцию и поглощение микроволновых пучков произвольной формы в неоднородной анизотропной среде в рамках единой процедуры.

• создан новый эффективный численный код УВТгасе, основанный на методе виртуальных пучков и предназначенный для расчета распространения дифрагирующих гауссовых пучков электромагнитных волн в тороидальной плазме в электронном циклотронном диапазоне частот.

• впервые численно продемонстрированы средствами метода виртуальных пучков два тонких эффекта:

— изменение направления распространения микроволнового пучка из-за неоднородного электронного циклотронного поглощения (новый эффект),

— тороидальное пространственное уширение Х-поляризованного пучка электромагнитных волн вблизи поверхности ЭЦР, обусловленное явлением фильтрации волн пучка через зону ЭЦ резонанса (подтверждение ожидаемого эффекта).

• получено два новых приближенных представления (асимптотическое и интерполяционное) релятивистского дисперсионного соотношения для электронных бернштейновских волн (ЭБВ), дополняющих друг друга, применимых при любых значениях продольного показателя преломления волны, обладающих высокой точностью и являющихся простыми и компактными.

• на основе этих приближенных формул создан новый численный лучевой код для моделирования распространения и поглощения электрон-

ных бернштейновских волн в токамаке, работающий очень быстро и эффективно. Скорость вычислений этого кода значительно превышает (на два порядка величины и более) скорости вычислений всех известных в настоящее время лучевых кодов, предназначенных для расчета распространения ЭБВ в токамаке.

• впервые было успешно осуществлено объединение нижнегибридного лучевого кода с транспортными кодами, которое дало возможность быстро (за несколько минут) проводить самосогласованные расчеты по НГ нагреву и генерации тока увлечения на обычном компьютере (рабочей станции) с одним процессором.

• при помощи модернизированного кода И1ТС обнаружен сильный си-нергетический эффект взаимодействия различных частей спектра начальных продольных замедлений НГ волн на токамаке ФТ-2.

• получено новое компактное и простое приближенное дисперсионное соотношение для ионных бернштейновских волн (ИБВ) в неоднородной плазме при произвольной ионной функции распределения.

• создан новый эффективный численный код, основанный на новой форме дисперсионного соотношения ИБВ и предназначенный для расчета спектров коллективного рассеяния лазерного излучения на спонтанных тепловых флуктуациях ИБВ.

Практическая значимость. Новый подход (метод виртуальных пучков), разработанный в диссертации, позволяет быстро и с высокой точностью рассчитывать распространение высокочастотных пучков электромагнитных волн в неоднородной анизотропной среде, поэтому МВП может служить хорошей альтернативой другим известным методам расчета микроволновых пучков в многочисленных и практически важных приложениях.

Два новых приближенных, но весьма точных представления релятивистского дисперсионного уравнения для электронных бернштейновских волн позволяют увеличить скорость расчетов лучей ЭБВ на порядки. Такими же свойствами обладает и новая форма дисперсионного соотношения для ионных бернштейновских волн, также полученная в диссертации.

Созданные диссертантом высокоэффективные численные коды для ЭБВ и НГ волн успешно использовались в течение многих лет и продолжают быть востребованными для планирования и интерпретации экспериментов на тока-маках JET, FTU, MAST, ITER, ФТ-2 и Глобус-М.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Новый подход (метод виртуальных пучков) для приближенного описания распространения микроволновых пучков в неоднородной анизотропной среде с учетом дифракции, рефракции и поглощения волн.

2. Впервые осуществленная численная демонстрация средствами метода виртуальных пучков двух тонких эффектов:

— нового эффекта изменения направления распространения микроволнового пучка из-за неоднородного электронного циклотронного поглощения,

— ожидаемого тороидального пространственного уширения Х-поляри-зованного пучка электромагнитных волн вблизи поверхности ЭЦР, обусловленного явлением фильтрации волн пучка через зону ЭЦ резонанса.

3. Два новых приближенных представления для релятивистского дисперсионного соотношения потенциальных электронных бернштейновских волн, дополняющих друг друга, применимых при любых значениях продольного показателя преломления волны и обладающих высокой точностью и простотой.

4. Результаты исследования роли альфа-частиц в поглощении НГ мощности в токамаке ITER для различных НГ частот, на основе которых были выработаны рекомендации по выбору частоты для НГ комплекса токамака ITER.

5. Новое приближенное дисперсионное соотношение для потенциальных ионных бернштейновских волн, применимое при произвольной физически разумной функции распределения ионов по скоростям, учитывающее неоднородность магнитного поля и отличающееся высокой точностью и простотой.

6. Результаты расчетов спектра коллективного рассеяния лазерного излучения на спонтанных тепловых флуктуациях ионных бернштейновских волн в плазме токамака, проведенных для демонстрации возможностей новой диагностики быстрых ионов (альфа-частиц).

7. Высокоэффективные численные коды, работающие существенно быстрее известных аналогов (вплоть до двух порядков величины и более) и предназначенные для моделирования распространения нижнегибридных волн, электронных бернштейновских волн, ионных бернштейновских волн, для расчета спектров коллективного рассеяния лазерного излучения на ионных бернштейновских волнах, а также код VBTrace для расчета дифрагирующих гауссовых пучков электромагнитных волн в плазме токамака по методу виртуальных пучков.

Апробация работы. Полученные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих Международных конференциях: 36th ICOPS-SOFE (2009, Сан Диего, США); SMSA (2008, Нижний Новгород); SMWP (2000, Нижний Новгород); RF-18 (2009, Гент, Бельгия); RF-15 (2003, Моран, США); Joint Varenna-Lausanne International Workshop (2006, Варенна, Ита-

лия); ST Workshop ISTW-2006 (Ченгду, Китай); ST Workshop 2003 (Абинг-дон, Англия) IAEA-2006 (Ченгду, Китай); EPS-34 (2007, Варшава, Польша); EPS-32 (2005, Таррагона, Испания); EPS-31 (2004, Лондон, Англия); EPS-30 (2003, Санкт-Петербург); EPS-28 (2001, Фуншал, Португалия); EPS-25 (1998, Прага, Чехия); ЕС-15 (2008, Калифорния, США); ЕС-14 (2006, Санторин, Греция); ЕС-13 (2004, Нижний Новгород); ЕС-12 (2002, Прованс, Франция).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 56 печатных работах, из них 25 статей в рецензируемых журналах [А1-А25] и 31 публикация в сборниках трудов конференций [А26-А56].

Личный вклад автора. Все изложенные в диссертации новые результаты получены при личном участии автора. Шесть работ по материалам диссертации были выполнены без соавторов. В совместных оригинальных работах все приведенные в диссертации результаты численных расчетов были либо получены автором диссертации, либо обеспечены его технической поддержкой и консультациями для соавторов, использовавших разработанные диссертантом численные коды. При этом автор также активно участвовал в разработке концепции, математической постановке задачи и в получении аналитических решений. В совместных публикациях с большим числом соавторов, посвященных обзорам исследований на крупных токамаках, использовались результаты расчетов автора диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Общий объем диссертации 267 страниц, включая 112 рисунков и список литературы из 199 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана

практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе диссертации последовательно излагается новый подход (метод виртуальных пучков) для приближенного описания распространения высокочастотных волновых пучков в неоднородной анизотропной среде с учетом дифракции, рефракции и поглощения волн, а также описывается численный код VBTrace, основанный на МВП и предназначенный для расчета распространения и поглощения гауссовых пучков в плазме токамака в электронном циклотронном диапазоне частот. Метод виртуальных пучков основан на том обстоятельстве, что параметры равновесной плазмы мало изменяются на расстояниях порядка длины волны микроволнового излучения, что позволяет, в принципе, использовать ВКБ подход для вычисления электрического поля пучка волн. Главным недостатком ВКБ приближения является то, что оно не учитывает эффекты дифракции, что может приводить к сильному отличию приближенного ВКБ-решения от точного в дальней волновой зоне, отстоящей от излучающей антенны на расстояние d, которое приблизительно оценивается как d > (w/c) D\nt. В этой оценке Dant — это диаметр пучка на плоскости антенны, a w и с — круговая частота волны и скорость света в вакууме. В больших плазменных установках дальняя волновая зона может занимать значительную часть плазменного объема, что не позволяет адекватно описывать волновой пучок в таких условиях при помощи непосредственного применения метода ВКБ. Однако это ограничение на применимость ВКБ приближения связано, по существу, с соотношением между диаметром пучка на антенне и расстоянием, на котором желательно получить правильное решение для электрического поля пучка. Если же представить исходный относительно узкий микроволновой пучок Dant <С а, где а — малый радиус плазмы, в виде суперпозиции гораздо более широких пучков, диаметры D которых удовлетворяют следующему неравенству (w/c) D2 а, то ближняя

волновая зона каждого такого широкого виртуального пучка будет включать в себя целиком весь плазменный объем. Поскольку в ближней зоне пучки не подвержены дифракции, то там их с высокой точностью можно описать методом ВКБ. Начальные фазы и амплитуды виртуальных пучков должны быть подобраны таким образом, чтобы их суперпозиция удовлетворяла нужным граничным условиям. Тогда решение для реального пучка будет являться результатом интерференции виртуальных ВКБ-пучков, испытывающих рефракцию и поглощение при распространении в плазме. Эта интерференционная картина будет изменятся по мере заглубления виртуальных пучков в плазму, правильным образом описывая корректное приближенное решение для электрического поля реального дифрагирующего пучка. Очевидно, что решение дифракционной задачи методом виртуальных пучков является естественным обобщением хорошо известного точного решения дифракционной задачи в однородной среде, в котором электромагнитное поле пучка разложено по Фурье вдоль х к г пространственных направлений, а зависимость Фурье-образа от координаты у известна в явном аналитическом виде. Важно отметить, однако, что в методе виртуальных пучков вместо Фурье-разложений используются ВКБ моды, являющиеся приближенными решениями соответствующего волнового уравнения с заданными граничными условиями.

Глава организована следующим образом. Во введении к главе излагаются основные идеи, лежащие в основе нового подхода. Во втором параграфе дается общее математическое описание МВП. Третий параграф посвящен применению МВП в геометрии токамака. В четвертом параграфе дается вывод формул для ВКБ амплитуд виртуальных пучков и для потока вектора Пойнтинга реального волнового пучка через произвольную тороидальную поверхность. Последняя формула является полезной для контроля точности численных расчетов по методу виртуальных пучков.

Пятый параграф посвящен описанию численного кода УВТгасс. В коде

VBTrace учитываются как релятивистское ЭЦР поглощение волн, так и влияние теплового движения электронов на ВКБ лучи в модели Токмана-Вестер-хофа [1,2]. Кроме того, код может работать и в быстром упрощенном режиме, когда релятивистское поглощение волн вычисляется вдоль лучей в модели холодной плазмы, а весь расчет занимает две-три минуты на обычном персональном компьютере. Сравнение расчетов по полной и по упрощенной схемам показало близкие результаты. Там же в пятом параграфе приводятся примеры расчетов для различных физических случаев. При этом было продемонстрировано, что МВП позволяет описывать тонкие детали электрического поля микроволнового пучка в окрестности поверхности ЭЦР. В частности, изменение направления распространения пучка из-за неоднородного ЭЦР поглощения и тороидальное пространственное уширение Х-поляризованного электромагнитного пучка вблизи поверхности ЭЦР из-за фильтрации ВКБ мод через зону резонанса, которые были впервые обнаружены в нашей работе [АЗО] для случая модели холодной плазмы с нерелятивистским поглощением, были подтверждены релятивистскими расчетами данного параграфа. Код VBTrace был протестирован на примере распространения 0-поляризо-ванного пучка в плазме ITER Scenario 2, подробно описанного в работе [3], посвященной сравнению всех наиболее известных электронно-циклотронных численных кодов. Сравнение предсказаний VBTrace с соответствующими расчетами [3] показало хорошее соответствие между ними. Также код VBTrace был успешно протестирован при помощи полноволнового кода [4, 5] и успешно применялся для интерпретации экспериментов в работах [А8, А29].

В выводах к первой главе отмечено, что метод виртуальных пучков является хорошим приближенным подходом к решению задачи о распространении дифрагирующих пучков в неоднородной среде, поскольку он простой и достаточно точный для большинства возможных приложений. Кроме того, МВП не имеет ограничений ни по начальной форме ВЧ пучка, ни по симметрии

плазмы, и может быть применен для любой неоднородной анизотропной среды.

Результаты первой главы опубликованы в работах [А1, А26-А31].

Во второй главе диссертации описываются методы и подходы, использованные и развитые диссертантом для решения задач, возникающих при моделировании электронного бернштейновского нагрева плазмы и генерации тока увлечения в сферическом токамаке.

В первом параграфе для полноты и связности изложения приведены основные результаты одномерной теории ЭМВ—>ЭБВ трансформации [6, 7], которые были положены в основу численного кода для решения задачи о ЭМВ—>ЭБВ трансформации в рамках созданного диссертантом пакета численных программ ЕВ'М^Н&СБ [АЗ].

Во втором параграфе получено новое приближенное релятивистское дисперсионное уравнение для потенциальных электронных бернштейновских волн в максвелловской плазме. Это уравнение, которое называется в диссертации асимптотическим из-за использования асимптотик функций Бесселя при его выводе, справедливо для произвольной величины продольного показателя преломления. В области своей применимости 1, к±рте — ^ 1

для условий лабораторной плазмы ц = тпес2/Те яа 500/Те(кеУ) 1 полученные приближенные формулы хорошо воспроизводят точные результаты и при этом являются простыми и удобными для численного моделирования распространения ЭБВ в плазме. Однако, эти асимптотические формулы обладают и некоторыми недостатками, а именно: в узкой окрестности электронных циклотронных гармоник они содержат слабую логарифмическую сингулярность в эрмитовой части и соответствующий разрыв непрерывности в антиэрмитовой части диэлектрической проницаемости, которые являются следствием использования неаналитических асимптотических выражений [А5], примененных для их вывода.

Эти недостатки преодолеваются в третьем параграфе второй главы, где излагается другой метод вывода [А2] приближенного релятивистского дисперсионного уравнения ЭБВ в максвелловской плазме. Следует подчеркнуть, что этот второй подход, который можно назвать интерполяционным из-за его специфики, не отменяет результаты предыдущего, а скорее дополняет и развивает их. Полученное при этом приближенное релятивистское дисперсионное уравнение для потенциальной ЭБВ обладает высокой точностью и пригодно для произвольной величины продольного показателя преломления волны. В отличие от асимптотических формул предыдущего параграфа [А5] и работы [8], интерполяционное дисперсионное уравнение не содержит сингулярностей, что позволяет использовать его в численных расчетах без проблем. По сравнению с точным уравнением, найденная аппроксимация дисперсионного уравнения ЭБВ обеспечивает значительное ускорение расчетов (на два-три порядка и больше). Степень ускорения расчетов зависит главным образом от величины продольного показателя преломления. При этом, чем больше тем быстрее вычисления. Кроме того, новая форма дисперсионного уравнения является более простой и точной, чем асимптотические формулы предыдущего параграфа [А5] и работы [8], а условия применимости нового приближенного подхода - менее строгими, чем в [А5], [8] и легко выполнимыми в плазме токамака.

кода BANDIT-3D [9], предназначенного для расчета тока увлечения в приближении Фоккера-Планка. Модификация кода BANDIT-3D для сопряжения его с остальными кодами в пакете EBWH&CD проводилась при консультативной помощи M. R. O'Brien, являющегося основным автором кода BANDIT-3D.

В пятом параграфе собраны результаты численного моделирования экспериментов на токамаках COMPASS-D и MAST, а также приводится исследование по расчету оптимальной схемы для ЭБВ нагрева и генерации тока на будущем токамаке MAST-U. Основные итоги главы подводятся в шестом параграфе.

Результаты второй главы опубликованы в работах [А2-А9, А32-А45].

Третья глава диссертации посвящена моделированию нижнегибридных токов увлечения в токамаках на основе метода лучевых траекторий.

В первом параграфе третьей главе дано краткое изложение глубокой модернизации кода FRTC, используемого для планирования и интерпретации экспериментов по взаимодействию НГ волн с плазмой на токамаках JET, FTU, ITER, Т-15, ФТ-2, Глобус-М. Приведены преобразование координат и аналитические формулы, позволяющие модернизированному FRTC проводить вычисления в магнитных конфигурациях с Х-точкой. Приведено сравнение между аналитической аппроксимацией и исходной магнитной конфигурацией для токамака JET, демонстрирующее высокую точность используемой в FRTC модели для локального магнитного поля токамака. Также в первом параграфе описана новая процедура обращения со сверхдлинными слабозатухающими лучами. В отличие от первоначальной версии кода, где эти лучи просто отбрасывались, в модернизированном FRTC эта проблема решается иначе - теперь сверхдлинные траектории анализируются на предмет соотношения долей поглощенной мощности по различным каналам, т.е., вследствие затухания Ландау, столкновительного затухания и затухания на быстрых ионах (альфа-частицах). Когда количество радиальных отражений

луча превышает наперед заданное число, то траектория этого луча далее не рассчитывается, а вклады в затухание НГ мощности и в накопление коэффициента диффузии перенормируются таким образом, как будто бы луч был досчитан до полного затухания. Максимальное число позволенных отражений выбирается при этом достаточно большим, чтобы учтенная часть луча была статистически достоверной. На практике правильность выбора этого числа проверяется нечувствительностью результатов вычислений к дальнейшему увеличению максимальных длин траекторий. Также в этом параграфе описана используемая в модернизированном коде FRTC модель взаимодействия быстрых альфа-частиц с НГ волнами. Кроме того, в первом параграфе приведены примеры успешного тестирования этого кода относительно экспериментальных данных и предсказаний других известных НГ кодов, использующих более сложные (двумерные) модели уравнения Фоккера-Планка для описания функции распределения электронов. Показано, что предсказываемый ток увлечения по коду FRTC с простой одномерной моделью этого уравнения хорошо совпадает с результатами расчетов по более сложным кодам, что делает FRTC очень полезным и удобным инструментом для НГ моделирования, поскольку код FRTC работает намного быстрее, чем все остальные известные коды. Уникальное быстродействие FRTC позволило диссертанту объединить его с транспортными кодами ASTRA [10] и JETTO [11], что дает возможность быстро (за несколько минут) проводить самосогласованные расчеты по НГ нагреву и генерации тока увлечения на обычной компьютере (рабочей станции) с одним процессором.

Во втором параграфе третьей главы исследуется поглощение НГ волн альфа-частицами в токамаке ITER для двух частот 3.7 ГГц и 5.0 ГГц. Данное исследование[А14, А15] было предпринято с целью выработки практических рекомендаций по проектированию НГ комплекса для токамака ITER. Было выполнено моделирование взаимодействия НГ волн с плазмой токамака

ITER для двух сценариев 2 и 4. Основной целью исследования являлось сравнение поглощаемой альфа-частицами НГ мощности при использовании двух частот НГ волн 3.7 ГГц и 5.0 ГГц, позволяющее обоснованно выбрать НГ частоту в будущем токамаке-реакторе. Было найдено, что при НГ частоте 3.7 ГГц альфа-частицы могут поглотить около 20% НГ мощности, в то время как при частоте 5.0 ГГц меньше 2% для сценария 4 (Q = 5) и не больше 8% для сценария 2 (Q = 10). Таким образом, можно рекомендовать использовать НГ частоту не ниже 5.0 ГГц в токамаке ITER, чтобы гарантировать долю паразитного поглощения НГ мощности на альфа-частицах ниже 10%. Другой важный результат данной работы состоит в том, что квазилинейная функция распределения альфа-частиц в поле НГ волн оказывается довольно быстро спадающей функцией при скоростях выше скорости рождения альфа-частиц, то есть, никаких опасных для стенки токамака высокоэнергетических альфа-частиц не образуется. Кроме того, было найдено, что отрицательное крыло спектра по Щ практически полностью поглощается электронами. В работе также были вычислены профили тока увлечения и эффективность его генерации для обоих сценариев. Было найдено, что в условиях ITER сценария 2 требуется несколько радиальных проходов НГ волн для их полного поглощения, в то время как для сценария 4 вся НГ мощность поглощается на первом радиальном проходе в интервале 0.6 < р < 0.8. Вычисленный модернизированным кодом FRTC ток увлечения для сценария 4 (/ = 5.0 ГГц) составляет 1.15 MA при 28 МВт инжектированной мощности, разделенной между положительным и отрицательным крыльями начального спектра по N\\ в пропорции = 20 МВт и Р^ = 8 МВт. Полная эффективность генерации НГ тока увлечения составляет при этом т] = 0.2 A W~l 1020 m-2, а эффективность генерации только положительным крылом спектра продольных замедлений достигает т] = 0.3 A W~x Ю20 m~2. В расчете не учитывались запертые электроны, которые могут уменьшать эффективность генерации

тока увлечения.

В третьем параграфе исследуется роль быстрой волны в поглощении НГ волн [А20] в токамаке. Была рассмотрена трансформация медленной и быстрой НГ мод друг в друга при распространении НГ волн в плазме токамака на примере типичных параметров токамака JET и исследована роль быстрой волны в формировании профиля поглощения НГ мощности при помощи модернизированного кода FRTC. В результате было найдено, что вклад быстрой моды в поглощение НГ мощности значителен для небольших тороидальных замедлений Мф в начальном спектре, формируемым гриллом на границе плазмы при традиционном вводе НГ мощности в виде медленной моды. При значениях максимума Ифо начального гауссового спектра в интервале 1.6 < Ыфа < 2.0, вклад быстрой моды может превышать 50% при преимущественном центральном нагреве плазмы. Последнее опровергает существовавшую ранее точку зрения [12], что быстрая НГ мода должна распространяться главным образом на периферии плазмы токамака и приводить, тем самым, к уменьшению поглощения НГ мощности вблизи центра плазмы. Также было найдено, что по мере роста Ифо, роль быстрой моды уменьшается и становится незначительной при Ыфо > 2.2 из-за уменьшения вероятности достижения НГ лучом поверхности линейной трансформации. Исследование роли быстрой волны в зависимости от температуры плазмы показало, что повышение температуры приводит к сдвигу профилей поглощения в сторону периферии плазмы и к уменьшению доли поглощенной НГ мощности в виде быстрой волны. Это объясняется усилением затухания Ландау в более периферийной плазме и соответствующим уменьшением длин траекторий лучей, приводящим к уменьшению вероятности для лучей достичь поверхности линейной трансформации. Для фиксированного значения Ыфо = 2.0 максимума спектра начальных тороидальных замедлений был исследован вклад быстрой моды в поглощение НГ мощности в зависимости от плотности плазмы.

Было найдено, что при не очень плотной плазме пео < 0.6 х Ю20 м-3, типичной при использования НГ волн для безындукционного поддержания тока в плазме, доля НГ мощности, поглощенной в виде быстрой моды, нарастает с ростом плотности. Наконец, было проведено сравнение профилей поглощения НГ мощности и плотности тока увлечения при традиционном вводе НГ мощности в виде медленной моды и при непосредственном возбуждении быстрой моды вблизи плазменной границы. В результате расчетов было найдено, что относительные доли быстрой и медленной мод в поглощении НГ мощности оказываются весьма похожи в обоих случаях. Соответствующие профили плотности тока увлечения также не очень сильно различаются. Это приводит к выводу, что преимущества быстрой моды в значительной степени проявляются и при традиционном вводе НГ мощности в виде медленной моды.

Четвертый параграф третьей главы посвящен исследованию величины возможного синергетического эффекта при одновременном использовании НГ и ЭЦР мощностей для генерации тока увлечения в токамаке-реакторе ITER [А47, All]. Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что области фазового пространства, на которые воздействуют ЭЦ и НГ волны, почти не перекрываются в условиях токамака ITER. Таким образом, параметры ЭЦ и НГ систем токамака ITER не оптимальны для возникновения заметного синергетического эффекта при одновременном их применении, то есть, в ITER вряд ли будет наблюдаться заметный синергетический эффект от одновременного ввода НГ и ЭЦР мощностей в плазму. В параграфе вычислен синергетический фактор Fsyn = (Ilh+ec — Ilh)/Iec в виде функции от суммарной вводимой мощности при Рщ = Pec■ Этот фактор растет с вводимой мощностью, но для планируемого на ITER уровня мощности он не превышает 10%. Таким образом, в токамаке ITER следует ожидать почти аддитивного возбуждения токов увлечения посредством ЭЦ и НГ волновых пучков.

В пятом параграфе приводятся результаты моделирования для токамака Т-15 [А10], проводившегося в рамках обоснования проекта НГ комплекса для этого токамака. Для двух наборов предполагаемых профилей плотности и температуры плазмы в токамаке Т-15 были рассчитаны ожидаемые профили тока увлечения. Было найдено, что при введенной мощности Рщ — 4 МВт можно прогнозировать получение тока до 0.6 0.7 МА. Результаты моделирования дают значение эффективности Т]ьн ~ (1-5 -г- 1.9) ■ 1019 АВтГ1 м~2. Поскольку эти значения были получены в предположении идеальной направленности антенны, следует ожидать некоторого их снижения в эксперименте. Также в пятом параграфе была определена область возможных значений генерируемого тока при уровне введенной мощности Рщ = 1 МВт для пессимистического и оптимистического значений эффективности гцц.

В шестом параграфе излагаются результаты моделирования НГ экспериментов на токамаке ФТ-2 [А46]. В процессе моделирования был обнаружен сильный эффект синергетического взаимодействия между сильно и слабозамедленными частями начального спектра по А^ц, который может служить одним из механизмов заполнения спектрального промежутка между вводимым и поглощаемым спектрами в плазме токамака.

Основные результаты третьей главы собраны в седьмом параграфе. Результаты третьей главы опубликованы в работах [А10-А21, А46-А56].

Четвертая глава посвящена моделированию спектров коллективного рассеяния лазерного излучения на спонтанных тепловых флуктуациях слабозатухающих ионных бернштейновских волн в плазме токамака. Расчет таких спектров входит составной частью в новый проект лазерной диагностики быстрых ионов (альфа-частиц) в токамаке, отличающийся от известных проектов такого рода, которые все ориентируются на измерение спектров сильно затухающих (несобственных) колебаний плотности плазмы.

Во введении к четвертой главе дается краткое описание структуры главы.

Во втором параграфе четвертой главы излагаются физические основы резонансной диагностики быстрых ионов, следуя нашей работе [А23]. При этом сначала в первой секции второго параграфа дается краткий обзор известных результатов по рассеянию на слабозатухающих волнах в однородной плазме и делается вывод о необходимости учета пространственной неоднородности плазмы для адекватного описания ожидаемых спектров резонансного рассеяния. Такой учет проводится во второй секции, где принимается во внимание распространение слабозатухающих собственных колебаний на значительные расстояния в неоднородной плазме. Также в этой секции обосновывается выбор ионных бернштейновских волн (ИБВ) в качестве мишени для резонансного рассеяния. В следующей третьей секции обсуждаются свойства ожидаемых спектров рассеяния на ИБВ.

В третьем параграфе четвертой главы выводится приближенное дисперсионное соотношение для ионных бернштейновских волн, которое, в отличие от всех известных ранее, пригодно для произвольной физически разумной функции распределения ионов по скоростям и, кроме этого, учитывает эффекты неоднородности магнитного поля на расстояниях ларморовского радиуса ионов, приводящие к дополнительному уширению ионного циклотронного резонанса.

Наконец, в четвертом параграфе приводится пример расчета спектра резонансного рассеяния лазерного излучения на тепловых флуктуациях слабозатухающих ионных бернштейновских волн в плазме токамака ITER, а в пятом параграфе подводятся основные итоги главы. Результаты четвертой главы диссертации опубликованы в работах [А22-А25].

В Заключении сформулированы основные результаты работы в виде развернутых положений, выносимых на защиту:

1. Разработан новый подход (МВП) для приближенного описания распро-

странения микроволновых пучков в неоднородной анизотропной плазме с учетом дифракции, рефракции и поглощения волн. Преимуществом МВП над всеми ранее известными приближенными подходами к этой классической задаче является простота и физическая прозрачность. На основе МВП был создан новый численный код УВТгасе. Проведено успешное тестирование кода УВТгасе относительно наиболее известных кодов (включая и полноволновой код), предназначенных для расчета микроволновых пучков в неоднородной плазме в диапазоне ЭЦ частот.

2. Показано, что МВП позволяет описывать тонкие детали электрического поля микроволнового пучка в окрестности поверхности ЭЦР. В частности, изменение направления распространения пучка из-за неоднородного ЭЦР поглощения, которое было впервые обнаружено в нашей работе [АЗО] для случая модели холодной плазмы с нерелятивистским поглощением, а также ожидаемое тороидальное пространственное уширение Х-поляризованного пучка вблизи поверхности ЭЦР из-за фильтрации ВКБ мод через зону резонанса, впервые продемонстрированное в [АЗО], были подтверждены в диссертации релятивистскими расчетами.

3. Сложное и весьма неудобное для практического применения релятивистское дисперсионное соотношение потенциальных электронных берн-штейновских волн было сведено к двум различным приближенным представлениям, являющимся гораздо более простыми и удобными, чем классические точные выражения. Продемонстрирована высокая точность найденных приближенных формул, пригодных для эффективного использования в численных кодах и аналитических оценках. По сравнению с точным уравнением, найденная аппроксимация дисперсионного уравнения ЭБВ обеспечивает значительное ускорение расчетов на два-три порядка величины и больше.

4. При помощи модернизированного численного кода FRTC было выполнено моделирование взаимодействия НГ волн с плазмой токамака ITER для двух сценариев 2 и 4. Основной целью исследования являлось сравнение поглощаемой альфа-частицами НГ мощности при использовании двух частот НГ волн 3.7 ГГц и 5.0 ГГц, позволяющее обоснованно выбрать НГ частоту в будущем токамаке-реакторе. Было найдено, что при НГ частоте 3.7 ГГц альфа-частицы могут поглотить около 20% НГ мощности, в то время как при частоте 5.0 ГГц меньше 2% для сценария 4 (Q = 5) и не больше 8% для сценария 2 (Q = 10). На основе проведенного исследования было рекомендовано использовать НГ частоту не ниже 5.0 ГГц в токамаке ITER, чтобы гарантировать долю паразитного поглощения НГ мощности на альфа-частицах ниже 10%. Другой важный результат проведенного моделирования состоит в том, что квазилинейная функция распределения альфа-частиц в поле НГ волн оказывается довольно быстро спадающей функцией при скоростях выше скорости рождения альфа-частиц, то есть, никаких опасных для стенки токамака высокоэнергетических альфа-частиц не образуется. Кроме того, было найдено, что отрицательное крыло спектра по ЛГц практически полностью поглощается электронами.

5. Получено новое приближенное дисперсионное соотношение для потенциальных ионных бернштейновских волн, применимое при произвольной физически разумной функции распределения ионов по скоростям, учитывающее неоднородность магнитного поля и отличающееся высокой точностью и простотой. Для двух практически важных случаев произвольной изотропной ионной функции распределения при распространении волны в экваториальной плоскости токамака (т.е., при ку = 0), и анизотропной максвелловской функции распределения ионов при про-

извольном направлении распространения волн, полученные формулы оказываются очень удобными для их эффективного использования в численном моделировании.

6. Исследован механизм формирования спектра коллективного рассеяния лазерного излучения на тепловых флуктуациях ионных бернштейнов-ских волн в плазме токамака. Для демонстрации возможностей диагностики резонансного рассеяния проведен расчет ожидаемого спектра рассеяния излучения СО2 лазера на спонтанных тепловых флуктуациях ИБВ в плазме токамака ITER.

7. Проведена глубокая модернизация численного кода FRTC, в результате которой была существенно увеличена надежность работы кода, включена возможность расчетов в магнитной конфигурации с Х-точкой в токамаке, включено взаимодействие НГ волн с альфа-частицами, проведено объединение FRTC с двумя транспортными кодами JETTO и ASTRA. Обновленный код FRTC был встроен в вычислительные системы крупных токамаков JET и FTU, и с его помощью было проведено большое количество исследований по взаимодействию НГ волн с плазмой токамака.

Создан пакет программ EBWH&CD для моделирования взаимодействия электронных бернштейновских волн с плазмой токамака. Этот пакет программ ориентирован, в первую очередь, на интерпретацию и планирование экспериментов на сферическом токамаке MAST. В течение последних лет программы из пакета EBWH&CD активно применяются на токамаке MAST, где планомерно проводятся ЭБВ эксперименты. В настоящий момент пакет EBWH&CD объединяет численный код, решающий задачу о возбуждении ЭБВ вблизи поверхности верхнего гибридного резонанса падающим из вакуума пучком электромагнитных волн,

ЭБВ лучевой код для расчета распространения и затухания в плазме пучка возбужденных ЭБВ, а также специально адаптированную под работу с пакетом EBWH&CD версию кода BANDIT-3D [9], которая использует вычисленные лучевым кодом данные для решения электронного уравнения Фоккера-Планка и нахождения электронной функции распределения и тока увлечения. С использованием программ из пакета EBWH&CD было выполнено много различных расчетов, результаты которых опубликованы в работах [АЗ-А4, А6-А8, А32, АЗЗ, А35-А37, А39-А42, А44].

Создан новый численный код VBTrace, основанный на методе виртуальных пучков и предназначенный для расчета распространения гауссовых электромагнитных пучков в тороидальной плазме в электронном циклотронном диапазоне частот. В коде VBTrace учитываются как релятивистское ЭЦР поглощение волн, так и влияние теплового движения электронов на ВКБ лучи в модели Токмана-Вестерхофа. Кроме того, код может работать и в быстром упрощенном режиме, когда релятивистское поглощение волн вычисляется вдоль лучей в модели холодной плазмы, а весь расчет занимает две-три минуты на обычном персональном компьютере. Сравнение расчетов по полной и по упрощенной схемам показало близкие результаты. Код VBTrace был протестирован на примере распространения О-поляризованного пучка в плазме ITER Scenario 2, подробно описанного в работе [3], посвященной сравнению всех наиболее известных электронно-циклотронных численных кодов. Сравнение предсказаний VBTrace с соответствующими расчетами [3] показало хорошее соответствие между ними. Также код VBTrace был успешно протестирован при помощи полноволнового кода [4, 5] и успешно применялся для интерпретации экспериментов в работах [А8, А29].

Для предсказания и интерпретации ожидаемых экспериментальных спектров коллективного рассеяния лазерного излучения был создан эффективный численный код, основанный на новой форме дисперсионного соотношения для ИБВ, и проведен расчет ожидаемого спектра рассеяния излучения СО2 лазера на спонтанных тепловых флуктуациях ИБВ в плазме токамака ITER для демонстрации возможностей этой новой диагностики.

Список публикаций

[А1] А. N. Saveliev. The virtual beam tracing method for microwave beams in an inhomogeneous plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2009,— Vol. 51.-P. 075004(21pp).

[A2] A. N. Saveliev. Simple and accurate approximate relativistic dispersion relation for electron Bernstein waves // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2007. - Vol. 49. - Pp. 1061-1074.

[A3] V. Shevchenko, ..., A. Saveliev,____Development of Electron Bernstein

Wave Researh in MAST // Fusion Science and Technology.— 2007.— Vol. 52,- Pp. 202-215.

[A4] B. Lloyd, ..., A. Saveliev,____Overview of physics results from MAST //

Nucl. Fusion. - 2007. - Vol. 47. - Pp. S658-S667.

[A5] A. N. Saveliev. Approximate relativistic dispersion relation for electron Bernstein waves in a Maxwellian plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2005. - Vol. 47. - Pp. 2003-2017.

[A6] G. F. Counsell, ..., A. Saveliev,____Overview of MAST results // Nucl.

Fusion. - 2005. - Vol. 45. - Pp. S157-S167.

[A7] B. Lloyd, ..., A. Saveliev,____MAST and the impact of low aspect ratio

on tokamak physics // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2004. — Vol. 46. — Pp. B477-B494.

[A8] V. Shevchenko, Y. Baranov, M. O'Brien, A. Saveliev. Generation of noninductive current by electron-Bernstein waves on the COMPASS-D tokamak // Physical Review Letters.— 2002.— Vol. 89, no. 26.— P. 265005 (4pp).

[A9] D. G. Bulyiginskiy, A. D. Gurchenko, E. Z. Gusakov, et al. RADAR Upper Hybrid Resonance scattering diagnostics of small-scale fluctuations and waves in tokamak plasmas // Phys. Plasmas. — 2001. — Vol. 8. Pp. 2224-2231.

[A10] E. Z. Gusakov, ..., A. N. Saveliev,____Conceptual design of the lower hybrid current drive for the T-15 tokamak // Plasma Devices Oper. — 2008. — Vol. 16. - Pp. 189-210.

[All] A. Polevoi, ..., A. Saveliev, Yu. Gribov. Assessment of current drive efficiency and synergetic effect for ECCD and LHCD and possibility of long pulse operation in ITER // Nucl. Fusion.— 2008.— Vol. 48,— P. 015002(5pp).

[A12] B. Angelini, ..., A. Saveliev et al. Overview of the FTU results // Nucl. Fusion. - 2005. - Vol. 45. - Pp. S227-S238.

[A13] A. A. Tucciilo, ..., A. Saveliev et al. Progress in LHCD: a tool for advanced regimes on ITER // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2005. — Vol. 47. — Pp. B363-B377.

[A14] E. Barbato, A. Saveliev. Absorption of lower hybrid wave power by

a-particles in ITER-FEAT scenarios // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2004. - Vol. 46. - Pp. 1283-1297.

[A15] E. Barbato, A. Saveliev. Corrigendum: Absorption of lower hybrid wave power by a-particles in ITER-FEAT scenarios // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2005. - Vol. 47. - P. 2075.

[A16] G. Granucci, ..., A. Saveliev, ____ Radio-frequency wave physics in

FTU // Fusion Sci. Technol. - 2004. - Vol. 45. - Pp. 387-401.

[A17] C. Gormezano, ..., A. Saveliev,____The FTU program // Fusion Sci.

Technol. - 2004. - Vol. 45. - Pp. 297-302.

[A18] V. Pericoli-Ridolfini, ..., A. Saveliev,____Progress towards internal transport barriers at high plasma density sustained by pure electron heating and current drive in FTU tokamak // Nucl. Fusion. — 2003.— Vol. 43.— Pp. 469-478.

[A19] B. Angelini, ..., A. Saveliev et al. Overview of the FTU results // Nucl. Fusion. - 2003. - Vol. 43. - Pp. 1632-1640.

[A20] J. A. Heikkinen, ..., A. N. Saveliev et al. Role of fast waves in the central deposition of lower hybrid power // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1999. - Vol. 41. - Pp. 1231-1249.

[A21] J. A. Heikkinen, ..., A. N. Saveliev et al. Analysis of fast minority ion distribution and current generation for ICRF and LH heating // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1996. - Vol. 38. - Pp. 2063-2078.

[A22] V. V. Bulanin, A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Diagnostics of a-particles using CO2 scattering from spontaneously excited ion Bernstein waves // Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics. — 1996. — Vol. 58. — Pp. 999-1004.

[А23] A. D. Piliya, A. N. Saveliev, V. V. Bulanin. Diagnostics of fast-ion minority in tokamak plasmas using collective scattering from thermally excited eigenmodes 11 Phys. Plasmas. - 1995. - Vol. 2. - Pp. 2314-2320.

[A24] В. В. Буланин, А. Д. Пилия, A. H. Савельев. Диагностика а-частиц по рассеянию излучения СОг-лазера на тепловых флуктуациях типа ионных бернштейновских мод // Физика Плазмы. — 1994. — Т. 20. — С. 45-47.

[А25] A. D. Piliya, А. N. Saveliev. High-order ion Bernstein waves in a non-uniform magnetic field // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1994. — Vol. 36. — Pp. 2059-2071.

[A26] A. N. Saveliev. A New Method For Modeling Microwave Beams In Toroidal Plasmas // Proceedings of 15th Joint Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance Heating / Ed. by J. Lohr. — Vol. 1,— Yosemite National Park, California, USA: World Scientific, 2008. - Pp. 283-288.

[A27] M. A. Irzak, A. Yu. Popov, A. N. Saveliev. 2D Full-wave modeling of O-X conversion in tokamak plasmas // Strong Microwaves: Sources and Applications. Proceedings of the VII International Workshop / Ed. by A. G. Lit-vak. — Vol. 2. — Nizhniy Novgorod: Institute of Applied Physics, 2008. — Pp. 413-418.

[A28] M. A. Irzak, A. Yu. Popov, A. N. Saveliev. 2D Numerical Modeling of O-X Conversion in Spherical Tokamaks // Proc. 34th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. - Vol. 31F. - Warsaw: ECA, 2007. -Pp. P-4.095.

[A29] A. B. Altukhov, ..., A. N. Saveliev,____Application of the Upper Hybrid

Resonance Back Scattering Enhanced Doppler Effect for Plasma Rotation Diagnostic at FT-2 Tokamak // Proc. 31st EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys.- Vol. 28G.- London: ECA, 2004. - Pp. P-1.173.

[A30] A. N. Saveliev, A. D. Piliya. The Method of Virtual Beams for Microwave Radiation in Toroidal Plasmas // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. - Vol. 27A. - St.Petersburg: ECA, 2003. -Pp. P-2.20.

[A31] A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Propagation of weakly divergent microwave beams in tokamak plasmas // Proc. Int. Workshop on Strong Microwaves in Plasmas.— Vol. 1.— Nizhny Novgorod: Institute of Applied Physics, 2000. - Pp. 240-243.

[A32] V. Shevchenko, A. Saveliev. Current Drive and Plasma Heating by Electron Bernstein Waves in MAST // 18th Topical Conference on Radio Frequency Power in Plasmas. — Gent, Belgium: American Institute of Physics, 2009.

[A33] V. Shevchenko, A. Saveliev. EBW assisted plasma current startup in MAST // Proceedings of 15th Joint Workshop on Electron Cyclotron Emission and Electron Cyclotron Resonance Heating / Ed. by J. Lohr.— Vol. 1. — Yosemite National Park, California, USA: World Scientific, 2008. - Pp. 68-73.

[A34] A. N. Saveliev. Electron Bernstein waves in spherical torus plasmas // AIP Conference Proceedings, Theory of Fusion Plasmas: Joint Varen-na-Lausanne International Workshop. — Vol. 871. — Varenna: AIP, 2006. — Pp. 215-227.

[A35] V. Shevchenko, ..., A. Saveliev, A. Surkov. EBW Experiments on MAST // Proc. ST Workshop ISTW-2006. - Chengdu: 2006.

[A36] V. Shevchenko, ..., A. Saveliev et al. Heating Experiments on MAST // Proc. 21st Int. Conf. on Fusion Energy. - Vol. CD-ROM. - Chengdu: Vienna: IAEA, 2006. - Pp. EX/P6-22.

[A37] V. Shevchenko, ..., A. Saveliev et al. EBW Heating Experiments on MAST // Proceedings EC-14 Joint Workshop on ECE and ECRH. - San-torini, Greece: 2006.

[A38] A. N. Saveliev. Approximate relativistic dispersion relation for electron Bernstein waves in inhomogeneous plasma // Proc. 32nd EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 29C. — Tarragona: ECA, 2005. — Pp. P-2.115.

[A39] V. Shevchenko, A. Saveliev, Y. Baranov et al. EBW current drive start-up scenario for MAST // Proceedings EC-13 Joint Workshop on ECE and ECRH. - Nizhniy Novgorod: 2004.

[A40] V. Shevchenko, ..., A. Saveliev, E. Tregubova. Prospects of EBW emission diagnostics and EBW heating in spherical tokamaks // Proceedings EC-13 Joint Workshop on ECE and ECRH. - Nizhniy Novgorod: 2004.

[A41] V. Shevchenko, ..., A. Saveliev, E. Tregubova. Electron Bernstein wave studies on COMPASS-D and MAST // AIP Conf. Proc. 15th Topical Conference on Radio Frequency Power in Plasmas / Ed. by C. B. Forest.— Vol. 694. - Moran, Wyoming: New York: AIP, 2003. - Pp. 359-366.

[A42] A. N. Saveliev, V. F. Shevchenko, Yu. F. Baranov. EBW CD start-up scenario for MAST // Proc. ST Workshop 2003. - Abingdon, UK: 2003.

[A43] A. D. Piliya, A. N. Saveliev, E. N. Tregubova. Numerical Code For EBW Heating Simulations In Mast // Proc. 30th EPS Conference on Contr.

Fusion and Plasma Phys.- Vol. 27A.- St.Petersburg: ECA, 2003.-Pp. P-3.203.

[A44] V. Shevchenko, Y. Baranov, M. O'Brien, A. Saveliev. Electron Bernstein Wave Heating Experiment on COMPASS-D // Proceedings EC-12 Joint Workshop on ECE and ECRH.— Aix-en-Provence, France: 2002.— Pp. 303-308.

[A45] A. D. Gurchenko, E. Z. Gusakov, M. M. Larionov, et al. Resonance RADAR Scattering Diagnostics of Small Scale Turbulence in Tokamak Plasmas // Proc. 26 EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 23J. - Maastricht: ECA, 1999. - Pp. 37-40.

[A46] S. I. Lashkul, et al. Study of LHCD efficiency on the FT-2 tokamak // 18th Topical Conference on Radio Frequency Power in Plasmas. — Gent, Belgium: American Institute of Physics, 2009.

[A47] A. Polevoi, ..., A. Saveliev, Yu. Gribov. Assessment of Current Drive Efficiency and Synergetic Effect for ECCD and LHCD in ITER Steady State and Hybrid Scenarios // Proc. 21st Int. Conf. on Fusion Energy.— Vol. CD-ROM. - Chengdu: Vienna: IAEA, 2006,- Pp. IT/P2-13.

[A48] K. M. Rantamäki, A. N. Saveliev, T. J. J. Tala et al. Effect of Density Fluctuations on Lower Hybrid Ray Tracing and q-Profile Evolution in Transport Simulations // Preprint EFDA-JET-CP (05)02-22.- 2005.

[A49] K. M. Rantamäki, A. N. Saveliev, T. J. J. Tala et al. Effect of density fluctuations on lower hybrid ray tracing and q-profile evolution in transport simulations // Proc. 32nd EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. - Vol. 29C. - Tarragona: ECA, 2005. - Pp. P-2.114.

[A50] A. B. Altukhov, ..., A. N. Saveliev et al. Influence of Lower Hybrid heating on poloidal plasma rotation and small-scale turbulence in FT-2 toka-mak // Proc. 31st EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 28G. - London: ECA, 2004. - Pp. P-1.174.

[A51] E. Barbato, A. N. Saveliev. Benchmarking of LHCD numerical modelling on FTU discharges and application to ITER-FEAT scenarios // Proc. 31st EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 28G. — London: ECA, 2004. - Pp. P-2.104.

[A52] A. B. Altukhov, A. D. Gurchenko, E. Z. Gusakov et al. Investigation of Lower Hybrid waves in "spectral gap "in LHCD experiment at FT-2 toka-mak // Proc. 30st EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 27A. — St.Petersburg: ECA, 2003.- Pp. P-2.176.

[A53] G. Granucci, ..., A. N. Saveliev et al. Combined LH and EC Waves Injection in FTU Tokamak // Proc. 28th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. - Vol. 25A. - Funchal: ECA, 2001. - Pp. 1757-1760.

[A54] A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Numerical Code for LHCD Simulations with Self-consistent Treatment of Alpha Particles in Tokamak Geometry // Preprint JET-R 98(01). - 1998.

[A55] A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Interaction of thermonuclear alpha particles with lower hybrid waves in a tokamak // Proc. 25th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. - Praha: 1998. - P. 1.087.

[A56] T. J. J. Tala, ..., A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Effect of mode transformation on lower hybrid current drive // Proc. 25th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. - Praha: 1998. - P. 1.093.

Цитированная литература

[1] Е. Westerhof. Wave propagation through an electron cyclotron resonance layer // Plasma Phys. Control. Fusion. - 1997. - Vol. 39. - Pp. 1015—1029.

[2] M. D. Tokman, E. Westerhof, M. A. Gavrilova. Wave power flux and ray-tracing in regions of resonant absorption // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2000. - Vol. 42. - Pp. 91-98.

[3] R. Prater, D. Farina, Yu. Gribov et al. Benchmarking of codes for electron cyclotron heating and electron cyclotron current drive under ITER conditions // Nucl. Fusion. - 2008. - Vol. 48. - P. 035006(llpp).

[4] M. A. Irzak. Full-wave 2D modeling of LH heating in GLOBUS-M toka-mak // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys.— Vol. 27A. — St.Petersburg: ECA, 2003.- Pp. P-2.175.

[5] M. A. Irzak, A. Yu. Popov. 2D Modeling of the O-X conversion in toroidal plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion.- 2008,- Vol. 50,- P. 025003.

[6] А. Д. Пилия, В. И. Федоров. Линейная конверсия волн в неоднородной магнитоактивной плазме // ЖЭТФ. - 1969. - Т. 57.- С. 1198-1209.

[7] A. D. Piliya, Е. N. Tregubova. Linear conversion of electromagnetic waves into electron Bernstein waves in an arbitrary inhomogeneous plasma slab // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2003. - Vol. 45. - Pp. 143-154.

[8] A. D. Piliya, A. Yu. Popov, E. N. Tregubova. Propagation and damping of electron Bernstein waves with small пц in inhomogeneous plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. - 2003. - Vol. 45. - Pp. 1309-1321.

[9] M. R. O'Brien, et al. // Proc. IAEA Technical Committee Meeting on Ad-

varices in Simulation and Modelling of Thermonuclear Plasmas. — Vol. 1. — Montreal: Vienna: IAEA, 1992. - P. 527.

[10] G. V. Pereverzev, P. N. Yushmanov. ASTRA automated system for transport analysis // IPP-Report. - 2002. - Vol. 5. - P. 98.

[11] G. Cenacchi, A. Taroni. JETTO: A free-boundary plasma transport code (basic version) 11 Report JET-IR(88)03.~ 1988.

[12] F. Santini. Developments in lower hybrid theory // Course and Workshop on Applications of RF Waves to Tokamak Plasmas / Ed. by S. Bernabei, U. Gasparino, E. Sindoni. - Vol. 1. - Varenna: 1985. - Pp. 251-287.

Подписано в печать 24.09.2009. Формат 60x90/16 Бумага офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 273

Отпечатано в типографии ООО «Адмирал»

199048, Санкт-Петербург, В. О., 6-я линия, д. 59 корп. 1, оф. 40Н

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Савельев, Александр Николаевич

Введение

Обзор литературы и содержания диссертации.

Глава 1. Метод виртуальных пучков для расчета распространения дифрагирующего микроволнового пучка в неоднородной плазме.

1.1. Введение

1.2. Общий подход

1.3. Применение МВП для плазмы токамака

1.4. ВКБ амплитуда и поток энергии.

1.5. Численный код VBTrace

1.6. Выводы к первой главе.

Глава 2. Моделирование электронного бернштейновского нагрева плазмы и генерации тока увлечения в сферическом то-камаке.

2.1. Возбуждение ЭБВ вакуумным ЭМВ пучком.

2.2. Асимптотическое дисперсионное уравнение ЭБВ

2.3. Интерполяционное дисперсионное уравнение ЭБВ.

2.4. Пакет программ EBWH&CD для моделирования ЭБВ нагрева и генерации тока увлечения

2.5. Применение EBWH&CD пакета программ для планирования и интерпретации экспериментов

2.6. Выводы ко второй главе

Глава 3. Моделирование нижнегибридных токов увлечения в токамаках на основе метода лучевых траекторий.

3.1. Модернизация численного кода FRTC

3.2. Поглощение НГ волн альфа-частицами в токамаке ITER

3.3. Роль быстрой волны в поглощении НГ волн в токамаке

3.4. Оценка величины синергетического эффекта при совместном применении ЭЦ и НГ волн па токамаке ITER

3.5. Физическое обоснование проекта НГ поддержания тока в Токамаке Т-15.

3.6. Моделирование НГ токов увлечения на токамаке ФТ-2.

3.7. Выводы к третьей главе

Глава 4. Моделирование спектров коллективного рассеяния лазерного излучения на тепловых флуктуациях ионных берн-штейновских волн в плазме токамака

4.1. Введение

4.2. Физические основы новой диагностики быстрых ионов

4.3. Приближенное дисперсионное соотношение для ионных берн-штейновских волн.

4.4. Расчет спектра резонансного рассеяния.

4.5. Выводы к четвертой главе

Введение диссертация по физике, на тему "Моделирование распространения высокочастотных волн в плазме токамака асимптотическими методами"

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию распространения электромагнитных и плазменных волн в плазме токамака. Описание распространения волн в высокотемпературной плазме является одной из традиционных проблем физики плазмы, интерес к которой связан с исключительно большим разнообразием линейных и нелинейных волновых процессов в плазме, а также с большим прикладным значением для управляемого термоядерного синтеза. Конкретной темой диссертации является моделирование взаимодействия волн с плазмой в нижиегибридиом (НГ) и электронном циклотронном (ЭЦ) диапазонах частот. Основные методы дополнительного высокочастотного нагрева плазмы и генерации безындукционного тока увлечения в современных токамаках (кроме ионного циклотронного нагрева) связаны именно с этими диапазонами частот, что и определяет актуальность темы диссертации.

• Моделирование нижнегибридных токов увлечения в токамаках.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что в ней:

• создан новый эффективный численный код VBTrace, основанный на методе виртуальных пучков и предназначенный для расчета распространения дифрагирующих гауссовых пучков электромагнитных волн в тороидальной плазме в электронном циклотронном диапазоне частот.

• впервые численно продемонстрированы средствами метода виртуальных пучков два тонких эффекта: изменение направления распространения микроволнового пучка из-за неоднородного электронного циклотронного поглощения (новый эффект), тороидальное пространственное уширение Х-поляризованного пучка электромагнитных волн вблизи поверхности ЭЦР, обусловленное явлением фильтрации волн пучка через зону ЭЦ резонанса (подтверждение ожидаемого эффекта).

• на основе этих приближенных формул создан новый численный лучевой код для моделирования распространения и поглощения электронных бернштейновских волн в токамаке, работающий очень быстро и эффективно. Скорость вычислений этого кода значительно превышает (на два порядка величины и более) скорости вычислений всех известных в настоящее время лучевых кодов, предназначенных для расчета распространения ЭБВ в токамаке.

• впервые было успешно осуществлено объединение нижнегибридпого лучевого кода с транспортными кодами, которое дало возможность быстро (за несколько минут) проводить самосогласованные расчеты по НГ нагреву и генерации тока увлечения на обычном компьютере (рабочей станции) с одним процессором.

• при помощи модернизированного кода FRTC обнаружен сильный си-нергетический эффект взаимодействия различных частей спектра начальных продольных замедлений НГ волн на токамаке ФТ-2.

Два новых приближенных, но весьма точных представления релятивистского дисперсиоиного уравнения для электронных бернштейновских волн позволяют увеличить скорость расчетов лучей ЭБВ па порядки. Такими же свойствами обладает и новая форма дисперсионного соотношения для ионных бернштейновских волн, также полученная в диссертации.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

2. Впервые осуществленная численная демонстрация средствами метода виртуальных пучков двух тонких эффектов: нового эффекта изменения направления распространения микроволнового пучка из-за неоднородного электронного циклотронного поглощения, ожидаемого тороидального пространственного уширения Х-поляри-зованного пучка электромагнитных волн вблизи поверхности ЭЦР, обусловленного явлением фильтрации волн пучка через зону ЭЦ резонанса.

6. Результаты расчетов спектра коллективного рассеяния лазерного излучения на спонтанных тепловых флуктуациях ионных бернштейновских воли в плазме токамака, проведенных для демонстрации возможностей новой диагностики быстрых ионов (альфа-частиц).

7. Высокоэффективные численные коды, работающие существенно быстрее известных аналогов (вплоть до двух порядков величины и более) и предназначенные для моделирования распространения нижнегибридных волн, электронных бернштейновских воли, ионных бернштейновских волн, для расчета спектров коллективного рассеяния лазерного излучения на ионных бернштейновских волнах, а также код VBTrace для расчета дифрагирующих гауссовых пучков электромагнитных волн в плазме токамака по методу виртуальных пучков.

Апробация работы. Полученные в работе результаты докладывались и обсуждались на следующих Международных конференциях: 36th ICOPS

SOFE (2009, Сан Диего, США); SMSA (2008, Нижний Новгород); SMWP (2000, Нижний Новгород); RF-18 (2009, Гент, Бельгия); RF-15 (2003, Моран, США); Joint Varenna-Lausanne International Workshop (2006, Варенна, Италия); ST Workshop ISTW-2006 (Ченгду, Китай); ST Workshop 2003 (Абинг-дои, Англия) IAEA-2006 (Ченгду, Китай); EPS-34 (2007, Варшава, Польша); EPS-32 (2005, Таррагона, Испания); EPS-31 (2004, Лондон, Англия); EPS-30 (2003, Санкт-Петербург); EPS-28 (2001, Фуншал, Португалия); EPS-25 (1998, Прага, Чехия); ЕС-15 (2008, Калифорния, США); ЕС-14 (2006, Санторин, Греция); ЕС-13 (2004, Нижний Новгород); ЕС-12 (2002, Прованс, Франция).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 56 печатных работах, из них 25 статей в рецензируемых журналах [1-25] и 31 публикация в сборниках трудов конференций [26-56].

Обзор литературы и содержания диссертации

Большая математическая сложность плазменных волновых задач обычно преодолевается применением численных методов для их решения. На этом пути существует два различных подхода. Первый, наиболее распространенный в настоящее время, заключается в решении волновой задачи при минимальных упрощениях с использованием мощных вычислительных систем. Развитию такого подхода несомненно способствует прогресс в вычислительных способностях современных компьютеров. Кроме того, вычисления такого рода очень полезны и необходимы по ряду очевидных причин, главной из которых является возможность проверки упрощенных теоретических моделей. Существенным недостатком при этом является то, что процесс решения превращается, по существу, в численный эксперимент с плохо предсказуемым результатом, когда очень трудно понять взаимосвязь между различными параметрами задачи и, поэтому, приходится повторять вычисления с самого начала, если условия задачи немного изменились. Также следует учитывать, что даже очень мощные компьютеры не способны решать многие плазменные волновые задачи за разумное время.

Второй подход к задаче численного моделирования взаимодействия волн с плазмой свободен от этих двух недостатков первого подхода. Он заключается в максимально возможном упрощении поставленной задачи еще па этапе создания аналитической теоретической модели для физических процессов, подлежащих численному исследованию. Эта часть работы является очень важной, поскольку она в значительной степени определяет успех в создании высокоэффективного численного кода, способного адекватно описывать рассматриваемые физические процессы с использованием минимальных вычислительных средств, таких, как обычный персональный компьютер или рабочая станция средней производительности. Кроме высокой скорости вычислений, этот подход позволяет анализировать связи между различными параметрами задачи на основе найденных аналитических соотношений еще до начала вычислений, что существенно повышает прогнозируемость получаемых численных результатов.

Данная диссертационная работа выполнена в духе второго подхода и опирается на значительную теоретическую подготовку каждого численного исследования. При этом основной упор делается на применении приближенных и асимптотических методов для максимально возможного упрощения рассматриваемых задач, что и отмечено в названии работы. Диссертация охватывает довольно широкий круг задач по распространению плазменных и электромагнитных волн в неоднородной анизотропной плазме, объединенных, главным образом, методами их решения, которые обобщенно можно назвать асимптотическими. Каждая из таких проблем рассматривается в своей отдельной главе диссертации. Ниже по главам приводится обзор литературы вместе с кратким содержанием глав.

Первая глава диссертации посвящена классической задаче распространения дифрагирующих пучков электромагнитных волн в неоднородной анизотропной среде. Точное решение задачи о распространении дифрагирующего микроволнового пучка в неоднородной плазме может быть получено только численными методами, причем непосредственное решение точного волнового уравнения представляет собой весьма трудную задачу уже для двумерно неоднородной среды, не говоря уж об общем трехмерно неоднородном случае. Поэтому особую важность приобретают приближенные методы и подходы к этой задаче. В настоящее время известно по крайней мере три таких приближенных подхода. Первый из них известен как метод параболического уравнения, предложенный Леонтовичем и Фоком [57, 58]. В этом методе точное волновое уравнение сводится к уравнению Шредингеровского типа после пренебрежения второй производной от амплитуды волны вдоль направления распространения при сохранении вторых производных поперек этого направления, что и позволяет описывать дифракционные эффекты в рамках более простого уравнения, чем точное волновое уравнение. Дальнейшее развитие метода параболического уравнения и многочисленные его приложения могут быть найдены, например, в публикациях [59-64], а также во многих других работах. Второй известный приближенный метод — это комплексная геометрическая оптика, или метод комплексного эйконала [65-69]. В этом методе точное волновое уравнение сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных. Третий подход, называемый методом параксиального ВКБ, был предложен в [70, 71]. В данном методе эта задача была упрощена еще больше и сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Использование обыкновенных дифференциальных уравнений вместо уравнений в частных производных является несомненным достоинством метода параксиального ВКБ в практических вычислениях [72, 73].

Дальнейшее упрощение описания распространения микроволнового пучка в неоднородной плазме с одновременным сохранением всех важных деталей и особенностей достигнуто в новом приближенном подходе, названном методом виртуальных пучков (МВП). Основная идея метода была впервые сформулирована в докладе [31], а первые численные результаты, полученные в рамках этого подхода для модели холодной плазмы и перелятивистского затухания волн, были опубликованы в трудах конференции [30]. Последовательное описание МВП и нового численного кода VBTrace, основанного на МВП, было опубликовано в работах [1, 26], а примеры успешного применения этого нового подхода для интерпретации экспериментов можно найти в работах [8, 29].

Во введении к первой главе диссертации сформулированы основные идеи, лежащие в основе нового подхода. Во втором параграфе дается общее математическое описание МВП. Третий параграф посвящен применению МВП в геометрии токамака. В четвертом параграфе дается вывод формул для ВКБ амплитуд виртуальных пучков и для потока вектора Пойнтинга реального волнового пучка через произвольную тороидальную поверхность. Последняя формула является полезной для контроля точности численных расчетов по методу виртуальных пучков. Пятый параграф посвящен описанию численного кода VBTrace, основанного на МВП и предназначенного для расчета распространения и поглощения гауссовых пучков в слаборелятивистской плазме токамака в электронном циклотронном диапазоне частот. Там же приводятся примеры расчетов для различных физических случаев, а также проводится сравнение предсказаний кода VBTrace с ранее опубликованными результатами, полученными различными методами и кодами.

Вторая глава диссертации посвящена моделированию электронного берн-штейновского нагрева плазмы и генерации тока увлечения в сферических токамаках (СТ). Характерные для сферических токамаков большая плотность плазмы и сравнительно небольшое внешнее магнитное поле препятствуют применению обычных схем дополнительного нагрева плазмы в диапазоне электронных циклотронных частот. При типичных для СТ условиях электромагнитные волны либо не могут распространяться вблизи периферии плазмы, либо их поглощение незначительно. Поэтому в последние годы широко обсуждались перспективы нагрева плазмы и генерации токов увлечения в СТ электронными бернштейновскими волнами (ЭБВ) [74-81], [3, 4, 6-8, 32-44], которые очень эффективно поглощаются на ближайшей электронной циклотронной гармонике независимо от ее номера и, в отличие от ЭМ волн, не имеют предела по плотности плазмы. Однако, непосредственное возбуждение ЭБВ падающим из вакуума микроволновым пучком невозможно, поскольку почти потенциальные плазменные ЭБВ не распространяются вне плазмы.

Возбудить извне ЭБВ на плазменной периферии сферического токамака можно только посредством линейной трансформации падающего па плазму со стороны слабого магнитного поля пучка О-поляризованных электромагнитных волн (ОХБ-траисформация), а также линейной трансформацией пучка Х-поляризоваиных ЭМВ, туннелирующего через барьер непрозрачности (ХБ-трансформация) [82]. Впервые возможность возбуждения ЭБВ посредством ОХБ-трансформации была предложена в [83], а экспериментально продемонстрирована сначала в [76], а затем и в ряде других экспериментов [77-79] и [3]. Таким образом, для реализации бернштейновского нагрева в сферических то-камаках необходимо обеспечить высокую эффективность возбуждения ЭБВ на плазменной периферии. То есть, при моделировании бернштейновского нагрева в дополнение к обычным задачам распространения волн в плазме и их поглощения с возможной генерацией тока увлечения, возникает еще и необходимость расчета процесса возбуждения ЭБВ пучком электромагнитных воли, падающим на плазму из вакуума.

Что касается задачи о распространении ЭБВ в плазме токамака, то метод ВКБ является наиболее подходящим для ее решения, поскольку характерный масштаб плазменной неоднородности СТ много больше длины ЭБ волны. Кроме того, ЭБВ является сильно замедленной плазменной волной с весьма маленькой поперечной длиной волны, поэтому для ее описания вполне достаточно ограничиться потенциальным приближением вместо гораздо более сложного полноволнового дисперсионного соотношения. К сожалению, точное потенциальное релятивистское дисперсионное уравнение в ЭЦР частотном диапазоне все еще слишком громоздкое для эффективного применения в численном моделировании и теоретическом анализе. Именно по этой причине было предпринято несколько попыток вывода приближенных формул для упрощенного описания ЭБВ. Случай слабого релятивизма и малых Щ был исследован в [84], где на основе асимптотического подхода более ранней работы

25] было получено новое приближенное потенциальное дисперсионное уравнение для максвелловской плазмы. Следующий шаг в этом направлении был сделан в работе [5], в которой результаты [84] были обобщены на полностью релятивистского случай для произвольных iVy. Теоретический анализ в [84] и [5] был основан на асимптотиках функций Бесселя при больших значениях аргумента и индекса, поэтому в дальнейшем тексте диссертации дисперсионное уравнение [5] будет упоминаться как асимптотическое. Полученные при этом формулы оказываются весьма точными и полезными, однако обладают некоторыми недостатками, а именно - в узкой окрестности электронных циклотронных гармоник эти формулы содержат слабую логарифмическую сингулярность в эрмитовой части и соответствующий разрыв непрерывности в антиэрмитовой части диэлектрической проницаемости, которые являются следствием использования неаналитических асимптотических выражений [5]. Эти недостатки были преодолены в работе [2], где с использованием совершенно другого подхода была получена еще одна новая форма приближенного потенциального дисперсионного уравнения для ЭБВ в релятивистской максвелловской плазме. Выведенное в [2] дисперсионное уравнение не содержит сингулярностей и является более точным, чем соотношения [84] и [5]. В дальнейшем в диссертации это уравнение будет называться интерполяционным из-за специфики метода, примененного для его вывода.

Содержание второй главы может быть кратко сформулировано следующим образом. В первом параграфе для полноты и связности изложения приведены основные результаты одномерной теории ЭМВ—>ЭБВ трансформации [85, 86], которые были положены в основу численного кода для решения задачи о ЭМВ—>ЭБВ трансформации в рамках созданного диссертантом пакета численных программ EBWH&CD [3] для моделирования электронного берн-штейновского нагрева и генерации тока в сферических токамаках.

Второй параграф главы посвящен выводу асимптотического дисперсионного уравнения ЭБВ, а третий параграф - интерполяционному. Оба этих приближенных представления для дисперсии электронных бернштейновских волн положены в основу лучевого кода из пакета EBWH&CD.

Четвертый параграф описывает пакет численных программ EBWH&CD для моделирования электронного бернштейновского нагрева и генерации тока в сферических токамаках. Кроме кода для ЭМВ—>ЭБВ трансформации, этот пакет программ включает в себя код для расчета распространения и поглощения ЭБВ в лучевом приближении, интерфейсные программы для использования базы данных сферического токамака MAST и кода EFIT, программы для интерполяции равновесной магнитной конфигурации плазмы, а также специально модифицированную и включенную в EBWH&CD версию кода BANDIT-3D [87], предназначенного для расчета тока увлечения в приближении Фоккера-Планка. Модификация кода BANDIT-3D для сопряжения его с остальными кодами в пакете EBWH&CD проводилась при консультативной помощи М. R. O'Brien, являющегося основным автором кода BANDIT-3D.

Третья глава диссертации посвящена моделированию нижнегибридных токов увлечения в токамаках на основе метода лучевых траекторий. Метод создания и поддержания безындукционного тока в токамаках с помощью замедленных электромагнитных волн нижнегибридного (НГ) диапазона частот является, по-видимому, наиболее распространенным в настоящее время. Этот метод используется также для контроля профиля индукционного тока и формирования транспортных барьеров в токамаках, поскольку обладает наибольшей теоретической и экспериментально подтвержденной эффективностью. Генерация НГ тока увлечения происходит вследствие передачи импульса и энергии от нижнегибридной волны электронам плазмы посредством бесстолкновительного затухания Ландау. Теория НГ метода безындукционного поддержания тока в токамаке давно известна (см., например, книгу [88]), а существующие в настоящее время численные коды [89-93] позволяют описывать возбуждение, распространение и поглощение НГ волн в плазме, и в сочетании с транспортными моделями достаточно хорошо прогнозировать результаты экспериментов по НГ генерации тока. По существу, развитие этой области физики плазмы идет в направлении учета все более сложных моделей взаимодействия НГ волн с плазмой, что выражается в использовании все более детальных уравнений Фоккера-Планка для функций распределения. В результате, создаваемые численные коды требуют больших вычислительных ресурсов и работают слишком медленно, чтобы их можно было успешно совместить с транспортными расчетами для самосогласованного описания взаимодействия НГ волн с плазмой токамака.

В наших исследованиях мы предпочли идти по другому пути и использовать упрощенную одномерную модель уравнения Фоккера-Планка [94-96] с введенной перенормировкой частоты столкновений для приближенного учета двумерных эффектов [96], обусловленных рассеянием по углу в пространстве скоростей (pitch angle scattering). Разумеется, такой упрощенный подход не может описать детали функции распределения электронов, возникающей в результате квазилинейного взаимодействия с НГ волной, однако ток увлечения, являющийся первым моментом функции распределения, эта простая модель предсказывает вполне удовлетворительно, что и продемонстрировано в третьей главе диссертации, посвященной моделированию НГ токов увлечения в токамаке при помощи нашего численного кода Fast Ray Tracing Code

FRTC). Главным преимуществом FRTC над остальными известными НГ кодами является исключительно высокая скорость вычислений, позволяющая эффективно использовать этот код для интерпретации и планирования НГ экспериментов. Первая версия кода FRTC была создана пятнадцать лет назад [97]. После этой публикации разработчик первоначального кода А.Эстеркин закончил свою карьеру физика, и с тех пор по настоящее время дальнейшая разработка и поддержка этого кода выполнялась диссертантом. За это время FRTC был значительно модернизирован [14, 54] и приспособлен к работе с транспортными кодами ASTRA [98] и JETTO [99] в качестве подпрограммы для вычисления профилей поглощенной НГ мощности и плотности НГ тока увлечения, служащих сторонними источниками тепла и безындукционного тока в транспортных расчетах. Уникальное быстродействие FRTC позволяет проводить самосогласованные вычисления, в которых распространяющиеся в плазме НГ волны вносят изменения в плазменную конфигурацию, а эти изменения, в свою очередь, влияют на распространение, поглощение НГ волн и генерацию тока увлечения. Кроме того, в модернизированном FRTC учитывается взаимодействие НГ волн с быстрыми альфа-частицами, что позволяет также применять этот код для токамака-реактора. При этом типичное время транспортного расчета плазменного разряда с самосогласованным учетом взаимодействия НГ волн с плазмой токамака составляет всего несколько минут на обычной компьютере или рабочей станции с одним процессором, что делает полноценное самосогласованное совмещение транспортных и нижпегибрид-ных расчетов в комплексах JETTO+FRTC и ASTRA+FRTC уникальным и полезным инструментом для исследования взаимодействия НГ волн с плазмой. Модернизированный код FRTC был встроен в вычислительные системы токамаков JET (Великобритания) и FTU (Италия), а также применяется в ФТИ им. А.Ф.Иоффе. При помощи этого кода было проведено большое количество расчетов для моделирования и интерпретации экспериментов, как с участием диссертанта [10-21, 46-56], так и без [100-117]. Последнее стало возможным вследствие доведения модернизированного кода FRTC до такого уровня надежности и простоты использования, что после некоторого обучения пользователи вычислительных систем JET и FTU могли самостоятельно проводить вычисления.

В первом параграфе третьей главе дано краткое описание глубокой модернизации кода FRTC, используемого для планирования и интерпретации экспериментов по взаимодействию НГ волн с плазмой на токамаках JET, FTU, ITER, Т-15, ФТ-2. Приведены примеры успешного тестирования этого кода относительно экспериментальных данных и предсказаний других известных НГ кодов, использующих более сложные (двумерные) модели уравнения Фоккера-Планка для описания функции распределения электронов. Показано, что предсказываемый ток увлечения по коду FRTC с простой одномерной моделью этого уравнения хорошо совпадает с результатами расчетов по более сложным кодам, что делает FRTC очень полезным и удобным инструментом для НГ моделирования, поскольку код FRTC работает намного быстрее, чем все остальные известные коды. Также в этом параграфе описана используемая в модернизированном коде FRTC модель взаимодействия быстрых альфа частиц с НГ волнами.

Во втором параграфе третьей главы исследуется поглощение НГ воли альфа-частицами в токамаке ITER для двух частот 3.7 ГГц и 5.0 ГГц. Данное исследование[14, 15] было предпринято с целью выработки практических рекомендаций по проектированию НГ комплекса для токамака ITER.

В третьем параграфе исследуется роль быстрой волны в поглощении НГ волн [20] в токамаке.

Четвертый параграф посвящен исследованию величины возможного си-нергетического эффекта при одновременном использовании НГ и ЭЦР мощностей для генерации тока увлечения в токамаке-реакторе ITER [11, 47].

В пятом параграфе приводятся результаты моделирования для токамака Т-15 [10], проводившегося в рамках обоснования проекта НГ комплекса для этого токамака.

В шестом параграфе излагаются результаты моделирования НГ экспериментов на токамаке ФТ-2 [46]. В процессе моделирования был обнаружен сильный эффект синергетического взаимодействия между сильно и слабозамедленными частями начального спектра по iVj|, который может служить одним из механизмов заполнения спектрального промежутка между вводимым и поглощаемым спектрами в плазме токамака.

Основные результаты третьей главы собраны в седьмом параграфе.

Последняя четвертая глава диссертации посвящена моделированию спектров резонансного коллективного рассеяния лазерного излучения на тепловых флуктуациях слабозатухающих ионных бернштейновских волн (ИБВ) в плазме токамака. Расчет таких спектров входит составной частью в новый проект лазерной диагностики быстрых ионов (альфа частиц) в токамаке, отличающийся от известных проектов такого рода. Проекты диагностики альфа частиц с помощью рассеяния электромагнитных волн в настоящее время ориентируются на измерение спектров сильно затухающих (несобственных) колебаний плотности плазмы [118-126]. В этом случае частотный спектр сигнала непосредственно связан с функцией распределения ионов, в том числе и альфа частиц. Уровень несобственных флуктуаций, однако, очень низок, что создает труднопреодолимые препятствия для практической реализации этого метода. При использовании СОг-лазеров, кроме высоких энергетических параметров источника зондирования, требуется проведение спектральных измерений в труднодоступной полосе анализа (до 10-20 ГГц). Кроме того, из-за малого угла рассеяния такая диагностика по оценкам не обладает достаточным пространственным разрешением вдоль зондирующего пучка. Применение для зондирования гиротронов и лазеров дальнего инфракрасного диапазона имеет свои недостатки. Неясным является уровень фонового излучения на высоких гармониках электронной циклотронной частоты в области ожидаемых частот рассеянного излучения. При относительно больших углах рассеяния потребуется, видимо, разработка специальных патрубков для вывода лазерного и рассеянного пучков или размещение оптических элементов в камере токамака, что трудно реализовать в условиях ITER. Главная сложность, однако, заключается в том, что в настоящее время отсутствуют технологически проработанные лазеры и гиротроны с необходимыми для нерезонансного рассеяния мощностью и спектральной чистотой излучения. В связи с этим использование гиротронов и лазеров дальнего инфракрасного диапазона в рамках традиционных проектов диагностики альфа частиц требует серьезных научно-исследовательских разработок [127].

Гораздо более высокий уровень имеют тепловые флуктуации в виде слабозатухающих плазменных мод. Физическая идея, позволяющая эффективно использовать эти моды для целей диагностики быстрых ионов, была впервые сформулирована в [128], а' затем развита для случая лазерного рассеяния в работах [22-24]. Использование слабозатухающих плазменных мод в качестве рассеивающих волн в лазерной диагностике также связано с рядом трудностей. Главная из них заключается в отсутствии прямой связи спектра колебаний с видом функции распределения по скоростям. Другой проблемой является согласование геометрии лазерного рассеяния с малой величиной объема в пространстве волновых векторов, занимаемого собственными колебаниями плотности плазмы в магнитном поле. В наших работах [22-24] был предложен способ, позволяющий с помощью правильного выбора геометрии и мишени для рассеяния лазерного излучения решить эти проблемы и определить с высоким пространственным разрешением среднюю энергию и относительную концентрацию быстрых альфа частиц. Метод основан на рассеянии излучения СОг-лазера на тепловых флуктуациях плазмы типа ионных мод Бернштейна с частотами близкими к частоте нижнего гибридного резонанса. Высокая эффективность и пространственная локализация рассеяния на спонтанно возбужденных собственных волнах достигается при зондировании по касательной к оси разряда в токамаке. Ожидаемый спектр рассеянного излучения состоит из набора узких линий, соответствующих высоким гармоникам ионной циклотронной частоты. Информация о параметрах популяции альфа частиц заключена в форме огибающих этих спектральных линий.

Во введении к четвертой главе дается краткое описание структуры главы. Во втором параграфе четвертой главы излагаются физические основы резонансной диагностики быстрых ионов, следуя нашей работе [23]. При этом сначала в первой секции второго параграфа дается краткий обзор известных результатов по рассеянию на слабозатухающих волнах в однородной плазме и делается вывод о необходимости учета пространственной неоднородности плазмы для адекватного описания ожидаемых спектров резонансного рассеяния. Такой учет проводится во второй секции, где принимается во внимание распространение слабозатухающих собственных колебаний на значительные расстояния в неоднородной плазме. Также в этой секции обосновывается выбор ионных бернштейновских волн в качестве мишени для резонансного рассеяния. В следующей третьей секции обсуждаются свойства ожидаемых спектров рассеяния на ИБВ.

В Заключении диссертации приводится сводка основных результатов, полученных в диссертационной работе, которая представляет собой развернутые положения, выносимые на защиту.

Заключение диссертации по теме "Физика плазмы"

4.5. Выводы к четвертой главе

В данной главе теоретически рассмотрена возможность применения резонансного рассеяния на тепловых флуктуациях слабозатухающих ионных бернштейновских волн для диагностики малой фракции быстрых ионов (альфа-частиц) в плазме токамака. Основные результаты исследования заключаются в следующем.

• Для адекватного описания процесса формирования спектра рассеяния в неоднородной плазме следует обязательно учитывать распространение слабозатухающих волн на значительные расстояния вне объема рассеивания.

Спектр рассеяния излучения С02 лазера при тангенциальном зондировании центральной области токамака (4.1) должен состоять из большого количества узких линий в окрестности нижнегибридной частоты (Г2 > ujlh), которые можно разбить на несколько групп с плавными огибающими максимумов линий в каждой группе. Количество таких групп зависит от состава основных ионов плазмы. Информация о концентрации и средней энергии малой фракции быстрых ионов содержится в форме этих огибающих.

Для описания ионных бернштейновских волн в неоднородной плазме была получена новая приближенная, но очень точная и простая форма потенциального дисперсионного уравнения. В отличие от известных предыдущих приближенных дисперсионных соотношений ИБВ, найденное соотношение применимо для произвольной физически разумной функции распределения ионов по скоростям, включает эффекты систематического смещения ионной циклотронной частоты и дополнительного уширения циклотронного резонанса из-за пространственной неоднородности локального магнитного поля на размере ионного ларморов-ского радиуса, а также из-за допплеровского сдвига вследствие дрейфа ионов поперек магнитного поля.

Для предсказания и интерпретации ожидаемых экспериментальных спектров резонансного рассеяния был создан эффективный численный код, основанный на новой форме дисперсионного соотношения для ИБВ, и проведен расчет ожидаемого спектра рассеяния излучения С02 лазера на спонтанных флуктуациях ИБВ в плазме токамака ITER для демонстрации возможностей диагностики резонансного рассеяния.

Заключение

Приведем полученные в диссертации основные результаты в виде развернутых положений, выносимых на защиту.

1. Разработан новый подход, названный методом виртуальных пучков (МВП) для приближенного описания распространения микроволновых пучков в неоднородной анизотропной среде с учетом дифракции, рефракции и поглощения волн.

Идея метода заключается в представлении микроволнового пучка в виде суперпозиции интерферирующих ВКБ пучков, являющихся достаточно широкими в пространстве, чтобы не быть подверженными дифракции на расстояниях порядка размера плазмы. Иными словами, ближняя волновая зона каждого такого широкого виртуального пучка включает в себя целиком весь плазменный объем. В результате, решение для реального пучка является следствием интерференции виртуальных ВКБ-пучков, испытывающих рефракцию и поглощение при распространении в плазме. Важной особенностью МВП является то, что для применимости этого метода не требуется применимости параксиального приближения для микроволнового пучка.

2. Впервые осуществлена численная демонстрация средствами метода виртуальных пучков двух тонких эффектов: нового эффекта изменения направления распространения микроволнового пучка из-за неоднородного электронного циклотронного поглощения, ожидаемого тороидального пространственного уширения Х-поляри-зованного пучка электромагнитных волн вблизи поверхности ЭЦР, обусловленного явлением фильтрации волн пучка через зону ЭЦ резонанса.

Было показано, что МВП позволяет описывать тонкие детали электрического поля микроволнового пучка в окрестности поверхности ЭЦР. В частности, изменение направления распространения пучка из-за неоднородного ЭЦР поглощения, которое было впервые обнаружено в нашей работе [30] для случая модели холодной плазмы с нерелятивистским поглощением, а также ожидаемое тороидальное пространственное уши-рение Х-поляризованного пучка вблизи поверхности ЭЦР из-за фильтрации ВКБ мод через зону резонанса, впервые продемонстрированное в [30], были подтверждены в диссертации релятивистскими расчетами.

3. Получены два новых приближенных представления для релятивистского дисперсионного соотношения потенциальных электронных бернштейновских волн, дополняющих друг друга, применимых при любых значениях продольного показателя преломления волны и обладающих высокой точностью и простотой.

Первое из них, называемое в диссертации асимптотическим, в области своей применимости N± 1, к±рте — Q.NA/yfp 1 для условий лабораторной плазмы р = тпес2/Те « 500/Te(keV) 1 хорошо воспроизводит точные результаты и при этом является простым и удобным для численного моделирования распространения ЭБВ в плазме. Однако, эти асимптотические формулы обладают и некоторыми недостатками, а именно: в узкой окрестности электронных циклотронных гармоник они содержат слабую логарифмическую сингулярность в эрмитовой части и соответствующий разрыв непрерывности в антиэрмитовой части диэлектрической проницаемости, которые являются следствием использования неаналитических асимптотических выражений, примененных для их вывода.

Второе представление, которое можно назвать интерполяционным, преодолевает эти недостатки, но при этом не заменяет полностью асимптотические формулы, а скорее дополняет и развивает их. По сравнению с точным уравнением, найденная аппроксимация дисперсионного уравнения ЭБВ обеспечивает значительное ускорение расчетов на два-три порядка величины и больше.

4. Проведено исследование роли альфа-частиц в поглощении НГ мощности в токам аке ITER для различных НГ частот, позволившее выработать рекомендации по выбору оптимальной частоты для НГ комплекса токамака ITER.

Было выполнено моделирование взаимодействия НГ волн с плазмой токамака ITER для двух сценариев 2 и 4. Основной целью исследования являлось сравнение поглощаемой альфа-частицами НГ мощности при использовании двух частот НГ волн 3.7 ГГц и 5.0 ГГц, позволяющее обоснованно выбрать НГ частоту в будущем токамаке-реакторе. Было найдено, что при НГ частоте 3.7 ГГц альфа-частицы могут поглотить около 20% НГ мощности, в то время как при частоте 5.0 ГГц меньше 2% для сценария 4 (Q = 5) и не больше 8% для сценария 2 (Q — 10). Таким образом, можно рекомендовать использовать НГ частоту не ниже 5.0 ГГц в токамаке ITER, чтобы гарантировать долю паразитного поглощения НГ мощности на альфа-частицах ниже 10%.

Другой важный результат данной работы состоит в том, что квазилинейная функция распределения альфа-частиц в поле НГ волн оказывается довольно быстро спадающей функцией при скоростях выше скорости рождения альфа-частиц, то есть, никаких опасных для стенки токамака высокоэнергетических альфа-частиц не образуется. Кроме того, было найдено, что отрицательное крыло спектра по Щ практически полностью поглощается электронами.

Для двух практически важных случаев произвольной изотропной ионной функции распределения при распространении волны в экваториальной плоскости токамака (т.е., при ку = 0), и анизотропной максвел-ловской функции распределения ионов при произвольном направлении распространения волн, полученные формулы оказываются очень удобными для их эффективного использования в численном моделировании.

6. Исследован механизм формирования спектра коллективного рассеяния лазерного излучения на спонтанных тепловых флуктуациях ионных бернштейновских волн в плазме токамака. Для демонстрации возможностей диагностики резонансного рассеяния проведен расчет ожидаемого спектра рассеяния излучения С02 лазера на спонтанных тепловых флуктуациях ИБВ в плазме токамака ITER.

7. Созданы высокоэффективные численные коды, работающие существенно быстрее известных аналогов (вплоть до двух порядков величины и более) и предназначенные для моделирования распространения нижнегибридных волн, электронных бернштейновских волн, ионных бернштейновских волн, для расчета спектров коллективного рассеяния лазерного излучения на ионных бернштейновских волнах, а также новый код VBTrace для расчета дифрагирующих гауссовых пучков электромагнитных волн в плазме токамака по методу виртуальных пучков. Проведена глубокая модернизация численного кода FRTC, в результате которой была существенно увеличена надежность работы кода, включена возможность расчетов в магнитной конфигурации с Х-точ-кой в токамаке, включено взаимодействие НГ волн с альфа-частицами, проведено объединение FRTC с двумя транспортными кодами JETTO и ASTRA. Обновленный код FRTC был встроен в вычислительные системы крупных токамаков JET и FTU, и с его помощью было проведено большое количество исследований по взаимодействию НГ волн с плазмой токамака, как с участием диссертанта [10-21, 46-56], так и без [100-117]. Последнее стало возможным вследствие доведения модернизированного кода FRTC до такого уровня надежности и простоты использования, что после некоторого обучения пользователи вычислительных систем JET и FTU могли самостоятельно проводить вычисления. Создан пакет программ EBWH&CD для моделирования взаимодействия электронных бернштейновских волн с плазмой токамака. Этот пакет программ ориентирован, в первую очередь, на интерпретацию и планирование экспериментов на сферическом токамаке MAST. В течение последних лет программы из пакета EBWH&CD активно применяются на токамаке MAST, где планомерно проводятся ЭБВ эксперименты. В настоящий момент пакет EBWH&CD объединяет численный код, решающий задачу о возбуждении ЭБВ вблизи поверхности верхнего гибридного резонанса падающим из вакуума пучком электромагнитных волн, ЭБВ лучевой код для расчета распространения и затухания в плазме пучка возбужденных ЭБВ, а также специально адаптированную под работу с пакетом EBWH&CD версию кода BANDIT-3D [87], которая использует вычисленные лучевым кодом данные для решения электронного уравнения Фоккера-Планка и нахождения электронной функции распределения и тока увлечения. С использованием программ из пакета EBWH&CD было выполнено много различных расчетов, результаты которых опубликованы в работах [3, 4, 6-8, 32, 33, 35-37, 39-42, 44].

Для предсказания и интерпретации ожидаемых экспериментальных спектров коллективного рассеяния лазерного излучения был создан эффективный численный код, основанный на новой форме дисперсионного соотношения для ИБВ, и проведен расчет ожидаемого спектра рассеяния излучения СО<х лазера на спонтанных тепловых флуктуациях ИБВ в плазме токамака ITER для демонстрации возможностей этой новой диагностики.

Создан новый численный код VBTrace, основанный на методе виртуальных пучков и предназначенный для расчета распространения дифрагирующих гауссовых электромагнитных пучков в тороидальной плазме в электронном циклотронном диапазоне частот. В коде VBTrace учитываются как релятивистское ЭЦР поглощение волн, так и влияние теплового движения электронов на ВКБ лучи в модели Токмана-Вестер-хофа. Кроме того, код может работать и в быстром упрощенном режиме, когда релятивистское поглощение волн вычисляется вдоль лучей в модели холодной плазмы, а весь расчет занимает две-три минуты на обычном персональном компьютере. Сравнение расчетов по полной и по упрощенной схемам показало близкие результаты. Код VBTrace был протестирован на примере распространения О-поляризованного пучка в плазме ITER Scenario 2, подробно описанного в работе [137], посвященной сравнению всех наиболее известных электронно-циклотронных численных кодов. Сравнение предсказаний VBTrace с соответствующими расчетами [137] показало хорошее соответствие между ними. Также код VBTrace был успешно протестирован при помощи полноволнового кода [141, 142] и успешно применялся для интерпретации экспериментов в работах [8, 29].

В заключение несколько слов благодарности.

Я глубоко признателен и всегда вспоминаю добрым словом своего учителя Алексея Дмитриевича Пилию за многолетнее плодотворное сотрудничество.

Я благодарен Евгению Зиновьевичу Гусакову, сыгравшему значительную роль в моей научной карьере. Благодарю и всех других коллег, в соавторстве с которыми получены использованные в диссертации результаты, а также коллектив сотрудников лаборатории физики плазмы ФТИ им.А.Ф.Иоффе за поддержку и доброе отношение к автору этой работы.

Отдельная и особая благодарность Ирине Григорьевне Савельевой за всемерную поддержку и помощь в подготовке этой рукописи.

Список источников диссертации и автореферата по физике, доктора физико-математических наук, Савельев, Александр Николаевич, Санкт-Петербург

1. А. N. Saveliev. The virtual beam tracing method for microwave beams in an inhomogeneous plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2009. — Vol. 51.- P. 075004(21pp).

2. A. N. Saveliev. Simple and accurate approximate relativistic dispersion relation for electron Bernstein waves // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2007. Vol. 49. - Pp. 1061-1074.

3. V. Shevchenko, ., A. Saveliev, . Development of Electron Bernstein Wave Researh in MAST // Fusion Science and Technology. — 2007. — Vol. 52. Pp. 202-215.

4. B. Lloyd, ., A. Saveliev,Overview of physics results from MAST //

5. Nucl. Fusion. 2007. - Vol. 47. - Pp. S658-S667.

6. A. N. Saveliev. Approximate relativistic dispersion relation for electron Bernstein waves in a Maxwellian plasma // Plasma Phys. Control. Fusion. 2005. - Vol. 47. - Pp. 2003-2017.

7. G. F. Counsell, ., A. Saveliev,Overview of MAST results // Nucl.

8. Fusion. 2005. - Vol. 45. - Pp. S157-S167.

9. B. Lloyd, ., A. Saveliev, . MAST and the impact of low aspect ratio on tokamak physics // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2004. — Vol. 46. — Pp. B477-B494.

10. V. Shevchenko, Y. Baranov, M. O'Brien, A. Saveliev. Generation of noninductive current by electron-Bernstein waves on the COMPASS-D tokamak // Physical Review Letters.— 2002.— Vol. 89, no. 26.— P. 265005(4pp).

11. D. G. Bulyiginskiy, A. D. Gurchenko, E. Z. Gusakov, et al. RADAR Upper Hybrid Resonance scattering diagnostics of small-scale fluctuations and waves in tokamak plasmas // Phys. Plasmas. — 2001.— Vol. 8.— Pp. 2224-2231.

12. E. Z. Gusakov, ., A. N. Saveliev,Conceptual design of the lower hybrid current drive for the T-15 tokamak // Plasma Devices Oper. — 2008. — Vol. 16. Pp. 189-210.

13. A. Polevoi, ., A. Saveliev, Yu. Gribov. Assessment of current drive efficiency and synergetic effect for ECCD and LHCD and possibility of long pulse operation in ITER // Nucl. Fusion. 2008. - Vol. 48. - P. 015002(5pp).

14. B. Angelini, ., A. Saveliev et al. Overview of the FTU results // Nucl. Fusion. 2005. - Vol. 45. - Pp. S227-S238.

15. A. A. Tucciilo, ., A. Saveliev et al. Progress in LHCD: a tool for advanced regimes on ITER // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2005.— Vol. 47.— Pp. B363-B377.

16. E. Barbato, A. Saveliev. Absorption of lower hybrid wave power by a-particles in ITER-FEAT scenarios // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2004. Vol. 46. - Pp. 1283-1297.

17. E. Barbato, A. Saveliev. Corrigendum: Absorption of lower hybrid wave power by a-particles in ITER-FEAT scenarios // Plasma Phys. Control. Fusion. 2005. - Vol. 47. - P. 2075.

18. G. Granucci, ., A. Saveliev, . Radio-frequency wave physics in FTU // Fusion Sci. Technol. 2004. - Vol. 45. - Pp. 387-401.

19. С. Gormezano, ., A. Saveliev, The FTU program // Fusion Sci.

20. Technol. 2004. - Vol. 45. - Pp. 297-302.

21. V. Pericoli-Ridolfini, A. Saveliev,Progress towards internal transport barriers at high plasma density sustained by pure electron heating and current drive in FTU tokamak // Nucl. Fusion. — 2003.— Vol. 43.— Pp. 469-478.

22. B. Angelini, ., A. Saveliev et al. Overview of the FTU results // Nucl. Fusion. 2003. - Vol. 43. - Pp. 1632-1640.

23. J. A. Heikkinen, ., A. N. Saveliev et al. Role of fast waves in the central deposition of lower hybrid power // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1999. Vol. 41. - Pp. 1231-1249.

24. J. A. Heikkinen, ., A. N. Saveliev et al. Analysis of fast minority ion distribution and current generation for ICRF and LH heating // Plasma Phys. Control. Fusion. 1996. - Vol. 38. - Pp. 2063-2078.

25. V. V. Bulanin, A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Diagnostics of a-particles using CO2 scattering from spontaneously excited ion Bernstein waves // Journal of Atmospheric and Terrestrial Physics. — 1996. — Vol. 58. — Pp. 999-1004.

26. A. D. Piliya, A. N. Saveliev, V. V. Bulanin. Diagnostics of fast-ion minority in tokamak plasmas using collective scattering from thermally excited eigenmodes // Phys. Plasmas. — 1995. —Vol. 2. — Pp. 2314-2320.

27. В. В. Буланин, А. Д. Лилия, A. H. Савельев. Диагностика а-частиц по рассеянию излучения СОг-лазера на тепловых флуктуациях типа ионных бернштейновских мод // Физика Плазмы. — 1994. — Т. 20. — С. 45-47.

28. A. D. Piliya, A. N. Saveliev. High-order ion Bernstein waves in a non-uniform magnetic field // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1994. — Vol. 36. — Pp. 2059-2071.

29. M. A. Irzak, A. Yu. Popov, A. N. Saveliev. 2D Numerical Modeling of O-X Conversion in Spherical Tokamaks // Proc. 34th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. Vol. 31F. - Warsaw: ECA, 2007. - Pp. P-4.095.

30. A. B. Altukhov, ., A. N. Saveliev,Application of the Upper Hybrid

31. Resonance Back Scattering Enhanced Doppler Effect for Plasma Rotation Diagnostic at FT-2 Tokamak // Proc. 31st EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. Vol. 28G.— London: ECA, 2004,- Pp. P-1.173.

32. A. N. Saveliev, A. D. Piliya. The Method of Virtual Beams for Microwave Radiation in Toroidal Plasmas // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys.— Vol. 27A.— St.Petersburg: ECA, 2003.— Pp. P-2.20.

33. A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Propagation of weakly divergent microwavebeams in tokamak plasmas // Proc. Int. Workshop on Strong Microwaves in Plasmas.— Vol. 1.— Nizhny Novgorod: Institute of Applied Physics, 2000. Pp. 240-243.

34. V. Shevchenko, A. Saveliev. Current Drive and Plasma Heating by Electron Bernstein Waves in MAST // 18th Topical Conference on Radio Frequency Power in Plasmas. — Gent, Belgium: American Institute of Physics, 2009.

35. A. N. Saveliev. Electron Bernstein waves in spherical torus plasmas // AIP Conference Proceedings, Theory of Fusion Plasmas: Joint Varen-na-Lausanne International Workshop. — Vol. 871. — Varenna: AIP, 2006. — Pp. 215-227.

36. V. Shevchenko, ., A. Saveliev, A. Surkov. EBW Experiments on MAST // Proc. ST Workshop ISTW-2006. Chengdu: 2006.

37. V. Shevchenko, ., A. Saveliev et al. Heating Experiments on MAST // Proc. 21st Int. Conf. on Fusion Energy. Vol. CD-ROM. - Chengdu: Vienna: IAEA, 2006. - Pp. EX/P6-22.

38. V. Shevchenko, ., A. Saveliev et al. EBW Heating Experiments on MAST // Proceedings EC-14 Joint Workshop on ECE and ECRH. San-torini, Greece: 2006.

39. A. N. Saveliev. Approximate relativistic dispersion relation for electron Bernstein waves in inhomogeneous plasma // Proc. 32nd EPS Conferenceon Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 29C. — Tarragona: ECA, 2005. — Pp. P-2.115.

40. V. Shevchenko, A. Saveliev, Y. Baranov et al. EBW current drive start-up scenario for MAST // Proceedings EC-13 Joint Workshop on ECE and ECRH. Nizhniy Novgorod: 2004.

41. V. Shevchenko, ., A. Saveliev, E. Tregubova. Prospects of EBW emission diagnostics and EBW heating in spherical tokamaks // Proceedings EC-13 Joint Workshop on ECE and ECRH. Nizhniy Novgorod: 2004.

42. A. N. Saveliev, V. F. Shevchenko, Yu. F. Baranov. EBW CD start-up scenario for MAST // Proc. ST Workshop 2003. Abingdon, UK: 2003.

43. A. D. Piliya, A. N. Saveliev, E. N. Tregubova. Numerical Code For EBW Heating Simulations In Mast // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys.— Vol. 27A.— St.Petersburg: ECA, 2003.— Pp. P-3.203.

44. V. Shevchenko, Y. Baranov, M. O'Brien, A. Saveliev. Electron Bernstein Wave Heating Experiment on COMPASS-D // Proceedings EC-12 Joint Workshop on ECE and ECRH. — Aix-en-Provence, France: 2002. — Pp. 303-308.

45. A. D. Gurchenko, E. Z. Gusakov, M. M. Larionov, et al. Resonance RADAR Scattering Diagnostics of Small Scale Turbulence in Tokamak Plasmas // Proc. 26 EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 23J. Maastricht: ECA, 1999. - Pp. 37-40.

46. S. I. Lashkul, et al. Study of LHCD efficiency on the FT-2 tokamak // 18th Topical Conference on Radio Frequency Power in Plasmas. — Gent, Belgium: American Institute of Physics, 2009.

47. К. M. Rantamaki, A. N. Saveliev, T. J. J. Tala et al. Effect of Density Fluctuations on Lower Hybrid Ray Tracing and q-Profile Evolution in Transport Simulations // Preprint EFDA-JET-CP (05)02-22.- 2005.

48. E. Barbato, A. N. Saveliev. Benchmarking of LHCD numerical modelling on FTU discharges and application to ITER-FEAT scenarios // Proc. 31st EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 28G. — London: ECA, 2004.-Pp. P-2.104.

49. G. Granucci, ., A. N. Saveliev et al. Combined LH and EC Waves Injection in FTU Tokamak // Proc. 28th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. Vol. 25A. - Funchal: ECA, 2001. - Pp. 1757-1760.

50. A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Numerical Code for LHCD Simulations with Self-consistent Treatment of Alpha Particles in Tokamak Geometry // Preprint JET-R 98(01).- 1998.

51. A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Interaction of thermonuclear alpha particles with lower hybrid waves in a tokamak // Proc. 25th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. Praha: 1998. — P. 1.087.

52. T. J. J. Tola, ., A. D. Piliya, A. N. Saveliev. Effect of mode transformation on lower hybrid current drive // Proc. 25th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Praha: 1998. — P. 1.093.

53. M. А. Леоптович, В. А. Фок. Решение задачи о дифракции электромагнитных волн вокруг Земли по методу параболического уравнения // ЖЭТФ. 1946. - Т. 16. - С. 557-573.

54. V. A. Fock. Electromagnetic Diffraction and Propagation Problems. — Oxford: Pergamon, 1965.

55. В. M. Бабич, В. С. Вулдырев. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач. — Москва: Наука, 1972.

56. А. Г. Литвак. Динамические нелинейные электромагнитные явления // Вопросы теории плазмы. — Москва: Энергоатомиздат, 1980. — Т. 10. — С. 164-238.

57. С. К. Phillips, F. М. Perkins, D. Q. Hwang. Parabolic approximation method for fast magnetosonic wave propagation in tokamaks // Phys. Fluids. 1986. - Vol. 29. - Pp. 1608-1619.

58. R. E. Aamodt. Diffraction effects for focused electromagnetic waves in a plasma // Phys. Plasmas. — 1994. — Vol. 1. — P. 6.

59. Г. В. Пермитин, А. И. Смирнов. Квазиоптика плавно неоднородных изотропных сред // ЖЭТФ. 1996. - Т. 109. - С. 736-751.

60. A. I. Smirnov, Е. Yu. Petrov. Electromagnetic Wave Beams in an Inhomo-geneous Magnetoplasma // Proc. 26th EPS Conf. on Control. Fusion and Plasma Physics. Vol. 23J. — Maastricht, The Netherlands: ECA, 1999. — Pp. 1797-1800.

61. S. Choudhary, L. B. Felsen. 11 IEEE Trans. Antennas Propag.— 1973. — Vol. AP-21. — P. 827.

62. E. Mazzucato. Propagation of a Gaussian beam in a nonhomogeneous plasma // Phys. Fluids B: Plasma Physics. 1989. - Vol. 1. - Pp. 1855-1859.

63. A. G. Peeters. Extension of the ray equations of geometric optics to include diffraction effects // Phys. Plasmas.— 1996. — Vol. 3.- P. 4386.

64. S. Nowak, A. Orefice. Quasioptical treatment of electromagnetic Gaussian beams in inhomogeneous and anisotropic plasmas // Phys. Fluids В.— 1993. Vol. 5. - P. 1945.

65. M. Bornatici, О. Maj. Wave beam propagation in a weakly inhomogeneous isotropic medium: paraxial approximation and beyond // Plasma Phys. Control. Fusion. 2003. - Vol. 45. - Pp. 707-719.

66. G. V. Pereverzev. Paraxial WKB solution of a scalar wave equation // Reviews of Plasma Physics, Ed. by В. B. Kadomtsev. — New York: Consultants Bureau, 1996. Vol. 19. - Pp. 1-52.

67. G. V. Pereverzev. Beam tracing in inhomogeneous anisotropic plasmas // Phys. Plasmas. — 1998. — Vol. 5.- Pp. 3529-3541.

68. E. Poli, G. V. Pereverzev, A. G. Peeters. Paraxial Gaussian wave beam propagation in an anisotropic inhomogeneous plasma // Phys. Plasmas.— 1999,-Vol. 6.-Pp. 5-11.

69. E. Poli, A. G. Peeters, G. V. Pereverzev. TORBEAM, a beam tracing code for electron-cyclotron waves in tokamak plasmas // Computer Physics Communications. — 2001. Vol. 136. - Pp. 90—104.

70. A. G. Litvak, E. V. Suvorov, M. D. Tokman. On possibility of current drive in tokamaks by Bernstein modes // Phys. Lett. A. — 1994. — Vol. 188. — Pp. 64-67.

71. С. B. Forest, P. K. Chattopadhyay, R. W. Harvey, A. P. Smirnov. Off-mid-plane launch of electron Bernstein waves for current drive in overdense plasmas // Phys. Plasmas. 2000. - Vol. 7. - P. 1352.

72. H. P. Laqua, V. Erckmann, H. J. Hartfufi et al. Resonant and nonreso-nant electron cyclotron heating at densities above the plasma cutoff by O-X-B mode conversion in W7-AS stellarator // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78. P. 3467.

73. Н. P. Laqua, H. J. Hartfufi, W7-AS Team. Electron Bernstein Wave Emission from an Overdense Plasma at the W7-AS Stellarator // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. - P. 2060.

74. T. Maekawa, T. Kobayashi, S. Yamaguchi, et al. Doppler-Shifted Cyclotron Absorption of Electron Bernstein Waves via -/Vy-Upshift in a Tokamak Plasma // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Vol. 86.- Pp. 3783-3786.

75. H. P. Laqua, H. Maassberg, N. B. Marushchenko et al. Electron-Bernstein-Wave Current Drive in an Overdense Plasma at the Wendelstein 7-AS Stellarator // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 90. - P. 075003.

76. P. C. Efthimion, J. C. Hosea, R. Kaita et al. Electron-Bernstein-Wave Current Drive in an Overdense Plasma at the Wendelstein 7-AS Stellarator // Rev. Sci. Instrum. 1999. - Vol. 70. - P. 1018.

77. S. D. Schultz, A. K. Ram, A. Bers. Mode-Converted Electron Bernstein Waves for Heating and Current Drive in NSTX // Proc. Conference on Fusion Energy. — Vol. 2. — Yokohama: IAEA, Vienna, 1999. — P. 667.

78. H. Sugai. Mode Conversion and Local Heating below the Second Electron Cyclotron Harmonic // Phys. Rev. Lett.— 1981.— Vol. 47.— Pp. 1899-1902.

79. J. Preinhaelter, V. Kopecky. Penetration of high-frequency waves into a weakly inhomogeneous magnetized plasma at oblique incidence and their transformation to Bernstein modes // J. Plasma Phys. — 1973. — Vol. 10. — Pp. 1-12.

80. A. D. Piliya, A. Yu. Popov, E. N. Tregubova. Propagation and damping of electron Bernstein waves with small щ in inhomogeneous plasma // Plasma Phys. Control Fusion. 2003. - Vol. 45. - Pp. 1309-1321.

81. А. Д. Пилия, В. И. Федоров. Линейная конверсия волн в неоднородной магнитоактивной плазме // ЖЭТФ. — 1969.- Т. 57.- С. 1198-1209.

82. A. D. Piliya, Е. N. Tregubova. Linear conversion of electromagnetic waves into electron Bernstein waves in an arbitrary inhomogeneous plasma slab // Plasma Phys. Control Fusion. — 2003. — Vol. 45. — Pp. 143-154.

83. M. R. O'Brien, et al. // Proc. IAEA Technical Committee Meeting on Advances in Simulation and Modelling of Thermonuclear Plasmas. — Vol. 1. — Montreal: Vienna: IAEA, 1992. P. 527.

84. В. E. Голант, В. И. Федоров. Высокочастотные методы нагрева плазмы в тороидальных термоядерных установках. — Москва: Энергоатом-издат, 1986.

85. Yu. F. Baranov, A. Ekedahl, P. Froissard et al. Modelling of Lower Hybrid Current Drive and Comparison With Experimental Results in JET // Nucl. Fusion. 1996. - Vol. 36. - Pp. 1031-1046.

86. R. W. Harvey, M. G. McCoy. // IAEA Technical Committee Meeting on Advances in Simulation and Modeling of Thermonuclear Plasmas. — Vol. 1. Montreal: Vienna: IAEA, 1993. - P. 498.

87. F. Imbeaux. : Association Euratom-CEA Rep. 1679: EUR-CEA-FC, 1999.

88. Y. Peysson, M. Shoucri. An approximate factorization procedure for solving nine-point elliptic difference equations. Application for a fast 2-D relativistic Fokker-Planck solver. // Comput. Phys. Commun. — 1998. — Vol. 109. — Pp. 55-80.

89. R. S. Devoto, et al. Modelling of lower hybrid current drive in self-consistent elongated tokamak equilibria // Nucl. Fusion. — 1992. — Vol. 32. — P. 773.

90. N. J. Fisch. Confining a tokamak plasma with rf-driven currents // Phys. Rev. Lett. 1978. - Vol. 41. - Pp. 873-876.

91. P. T. Bonoli, R. C. Englade. Simulation model for lower hybrid current drive // Phys. Fluids. 1986. - Vol. 29.- Pp. 2937-2950.

92. C. F. F. Karney, N. J. Fisch. Numerical studies of current generation by traveling radio-frequency waves // Phys. Fluids. — 1979. — Vol. 22. — Pp. 1817-1824.

93. A. D. Piliya, A. R. Esterkin. Fast ray tracing code fo LHCD simulations // Nuclear Fusion. 1996. - Vol. 36. - Pp. 1501-1512.

94. G. V. Pereverzev, P. N. Yushmanov. ASTRA automated system for transport analysis // IPP-Report. 2002. - Vol. 5. - P. 98.

95. G. Cenacchi, A. Taroni. JETTO: A free-boundary plasma transport code (basic version) // Report JET-IR(88)03. 1988.

96. G. Calabro, F. Crisanti, G. Ramogida et al. FAST plasma scenarios and equilibrium configurations // Nuclear Fusion. — 2009. — Vol. 49. — P. 055002 (Юрр).

97. T. J. J. Tala, F. X. Soldner, V. V. Parail et al. Modelling of optimized shear scenarios with LHCD for high performance experiments on JET // Nuclear Fusion. — 2000. — Vol. 40. Pp. 1635-1649.

98. X. Garbet, Y. Baranov, G. Bateman et al. Micro-stability and transport modelling of internal transport barriers on JET // Nuclear Fusion.— 2003. Vol. 43. - Pp. 975-981.

99. T. J. J. Tala, V. V. Parail, A. Becoulet et al. Impact of different heating and current drive methods on the early q-profile evolution in JET // Plasma Phys. Control. Fusion. 2002. - Vol. 44. - Pp. 1181-1202.

100. E. Joffrin, F. Crisanti, R. Felton et al. Integrated scenario in JET using realtime profile control // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2003. — Vol. 45. — Pp. A367-A383.

101. T. Tala, L. Laborde, D. Mazon et al. Predictive transport simulations of real-time profile control in JET advanced tokamak plasmas // Nuclear Fusion. 2005. - Vol. 45. - Pp. 1027-1038.

102. E. Barbato, V. Pericoli-Ridolfini, C. Castaldo et al. Internal transport barrier studies in the FTU // Fusion Science and Technology. — 2004. — Vol. 45. Pp. 323-338.

103. E. Barbato. Interpretation of the LHCD efficiency scaling with the electron temperature // Proc. 32nd EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. Vol. 29C. - Tarragona: 2005. - Pp. P-1.096.

104. C. Gormezano, V. Pericoli-Ridolfini, E. Barbato et al. High Density Electron Transport Barriers in the FTU Tokamak // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 27A. — St.Petersburg: publisher?, 2003.- Pp. P-2.145.

105. V. Pericoli-Ridolfini, Ph. Bibet, F. Mirizzi et al. LHCD and coupling experiments with an ITER-like РАМ launcher on the FTU tokamak // Nuclear Fusion. 2005. - Vol. 45. - Pp. 1085-1093.

106. W. A. Houlberg, C. Gormezano, J. F. Artaud et al. Integrated modelling of the current profile in steady-state and hybrid ITER scenarios // Nuclear Fusion. 2005. - Vol. 45. - Pp. 1309-1320.

107. G. Calabrd, V. Pericoli-Ridolfini, L. Panaccione, FTU Team. Effect of the scattering from edge density fluctuations on the lower hybrid waves in FTU // Proc. 33rd EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys.-Vol. 301. Rome: 2006.- Pp. P-5.077.

108. S. Podda, G. Granucci, V. Pericoli-Ridolfini et al. LH Current Drive at ITER Relevant Condition in FTU Tokamak // Proc. 19th Int. Conf. on Fusion Energy.- Vol. CD-ROM.- Lyon: Vienna: IAEA, 2002.-Pp. PD/P-07.

109. P. T. Bonoli, R. W. Harvey, C. Kessel et al. Benchmarking of Lower Hybrid Current Drive Codes with Application to ITER-Relevant Regimes // Proc. 21st Int. Conf. on Fusion Energy. — Vol. CD-ROM. — Chengdu: Vienna: IAEA, 2006. Pp. IT/P1-2.

110. C. Gormezano, А. С. C. Sips, Т. C. Luce et al. Chapter 6: Steady state operation // Nuclear Fusion. 2007. - Vol. 47. - Pp. S285-S336.

111. V. Pericoli-Ridolfini, A. Alekseyev, B. Angelini et al. Overview of the FTU results // Nuclear Fusion. 2007. - Vol. 47. - Pp. S608-S621.

112. С. M. Roach, M. Walters, R. V. Budny et al. The 2008 Public Release of the International Multi-tokamak Confinement Profile Database // Nuclear Fusion. 2008. - Vol. 48. - P. 125001 (19pp).

113. F. P. Orsitto, J. M. Noterdaeme, A. E. Costley et al. Requirements for fast particle measurements on ITER and candidate measurement techniques // Phys Rev. Lett. 2007. - Vol. 47. - Pp. 1311-1317.

114. D. P. Hutchinson, K. L. Vander, J. Sheffield, D. J. Sigmar. Feasibility of alpha-particle measurement by C02 laser Thomson scattering // Rev. Sci. Instrum. 1985. - Vol. 56. - P. 1075.

115. T. P. Hughes, S. R. P. Smith. Calculations of Thomson scattering functions for alpha particle diagnostics in JET plasmas // Nucl. Fusion. — 1988. — Vol. 28. Pp. 1451-1457.

116. H. Bindslev, J. A. Hoekzema, J. Egedal et al. Fast-ion velocity distibutions in JET measured by collective Thomson scattering // Phys Rev. Lett. — 1999. Vol. 83. - Pp. 3206-3209.

117. T. Kondoh, S. Lee, D. P. Hutchinson, R. K. Richards. Collective Thomson scattering using a pulsed CO2 laser in JT-60U // Rev. Sci. Instrum. — 2001,-Vol. 72.-P. 1143.

118. T. Kondoh, Y. Miura, S. Lee et al. Collective Thomson scattering based on CO2 laser for ion energy spectrum measurements in JT-60U // Rev. Sci. Instrum. 2003. - Vol. 74. - P. 1642.

119. R. K. Richards, D. P. Hutchinson, et al. Feasibility of alpha-particle measurement by C02 laser Thomson scattering // Appl. Phys. Lett. — 1993. — Vol. 62. P. 28.

120. S. Lee, T. Kondoh, Y. Yonemoto, Y. Miura. A filter bank system for scattered spectrum analysis in collective Thomson scattering diagnostic on JT-60 // Rev. Sci. Instrum. 2000. - Vol. 71. - P. 4445.

121. А. Е. Costley, et al. 11 ITER Diagnostics, ITER Documen. Ser.-Vol. 33. Vienna: IAEA, 1990. - R 20.

122. Ю. Ф. Баранов, А. Д. Пилия. Диагностика высокоэпергетических альфа частиц в плазме при рассеянии электромагнитных волн на ионных бернштейновских колебаниях // Письма ЖТФ. — 1991. — Т. 17. — С. 21.

123. A. J. McConnell. Application of tensor analysis. — New York: Dover Publications, 1957.

124. E. Westerhof. Wave propagation through an electron cyclotron resonance layer // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1997. — Vol. 39. — Pp. 1015—1029.

125. M. D. Tokman, E. Westerhof, M. A. Gavrilova. Wave power flux and ray-tracing in regions of resonant absorption // Plasma Phys. Control. Fusion. 2000. - Vol. 42. - Pp. 91-98.

126. И. С. Градштейн, И. M. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: Физматгиз, 1963.

127. А. И. Ахиезер, И. А. Ахиезер, Р. В. Половин и др. Электродинамика плазмы. — Москва: Наука, 1974.

128. I. P. Shkarofsky. New representations of dielectric tensor elements in magnetized plasma // J. Plasma Phys. — 1986. — Vol. 35. — Pp. 319-331.

129. I. P. Shkarofsky. Dielectric tensor in Vlasov plasmas near cyclotron harmonics // Phys. Fluids. 1966. - Vol. 9. - Pp. 561-570.

130. I. Fidone, G. Granata, G. Ramponi, R. L. Meyer. Wave absorption near the electron cyclotron frequency // Phys. Fluids. — 1978. — Vol. 21, no. 4. — Pp. 645-652.

131. R. Prater, D. Farina, Yu. Gribov et al. Benchmarking of codes for electron cyclotron heating and electron cyclotron current drive under ITER conditions // Nucl. Fusion. 2008. - Vol. 48. - R 035006(llpp).

132. E. Westerhof. Implementation of TORAY at JET: Rijnhuizen Report 89-183, PB91-114819INZ: , 1989.

133. A. V. Zvonkov, A. Y Kuyanov, A. A. Skovoroda, A. V. Timofeev. ECR current drive in the autoresonance regime in closed confined systems // Plasma Phys. Rep. 1998. - Vol. 24. - P. 389.

134. A. A. Balakin, M. A. Balakina, E. Westerhof. ECRH power deposition from a quasi-optical point of view // Nucl. Fusion. — 2008. — Vol. 48. — P. 065003(16pp).

135. M. A. Irzak. Full-wave 2D modeling of LH heating in GLOBUS-M toka-mak // Proc. 30th EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. — Vol. 27A. — St.Petersburg: ECA, 2003.- Pp. P-2.175.

136. M. A. Irzak, A. Yu. Popov. 2D Modeling of the O-X conversion in toroidal plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion.— 2008.- Vol. 50. — P. 025003.

137. Т. H. Stix. The theory of plasma waves. New York: McGraw-Hill, 1962.

138. D. G. Swanson. Plasma waves. — Boston: Academic Press Inc., 1989.

139. H. С. Ерохин, С. С. Моисеев. Волновые процессы в неоднородной плазме // Вопросы теории плазмы. — Москва: Атомиздат, 1973.— Т. 7.— С. 146-204.

140. В. JI. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плазме. — Москва: Наука, 1967.

141. А. Д. Лилия. О трансформации волн в неоднородной плазме // ЖТФ. 1966. - Т. 36. - С. 818-826.

142. В. Б. Гильденбург. Резонансные свойства неоднородных плазменных образований // ЖЭТФ. 1963. - Т. 45. - С. 1978-1987.

143. V. Кореску, J. Preinhaelter, J. Vaclavik. Transformation of waves and electron heating in a radially inhomogeneous plasma // J. Plasma Phys. — 1969. Vol. 3. - Pp. 179-188.

144. E. D. Gospodchikov, A. G. Shalashov, E. V. Suvorov. On the influence of 2D inhomogeneity on electromagnetic mode conversion near the cut-off surfaces in magnetized plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. — 2006. — Vol. 48. Pp. 869-883.

145. А. Г. Шалашов, E. Д. Господчиков, E. В. Суворов. О структуре волновых полей в области линейного взаимодействия обыкновенной и необыкновенной волн в двумерно-неоднородной магнитоактивной плазме // ЖЭТФ. 2006. - Т. 130. - С. 554.

146. А. Ю. Попов, А. Д. Пилия. О трансформации нормальных волн в области критической плотности в холодной анизотропной плазме с двумерной неоднородностью в диапазоне электронных циклотронных частот // Физика плазмы. — 2007. — Т. 33. — С. 128-136.

147. A. Yu. Popov. On О-Х mode conversion in spherical tokamaks // Plasma Phys. Control. Fusion. 2007. - Vol. 49. - Pp. 1599-1610.

148. E. D. Gospodchikov, A. G. Shalashov, E. V. Suvorov. Effects of two-dimensional inhomogeneity in O-X mode conversion in tokamak plasmas // Fusion Science and Technology. — 2008. — Vol. 53. — Pp. 261-278.

149. M. A. Irzak, A. Yu. Popov. 2D Modeling of the 0-X conversion in toroidal plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. 2008. - Vol. 50. - P. 025003.

150. A. G. Shalashov, E. D. Gospodchikov. On perfect O-X mode conversion near the cut-off surfaces in magnetized plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. 2008. - Vol. 50. - P. 045005.

151. S. Puri, F. Leuterer, M. Tutter. Dispersion curves for the generalized Bernstein modes j j J. Plasma Phys. — 1973. — Vol. 9. — Pp. 89-100.

152. G. Bekefi. Radiation Processes in Plasmas. — New York: Wiley, 1966.

153. E. A. Evangelidis. // Astrop. Space Sci. 1977. - Vol. 46.- P. 309.

154. G. Granata, I. Fidone. A new representation of relativistic wave damping above the electron-cyclotron frequency j j J. Plasma Phys. — 1991.— Vol. 45.-Pp. 361-369.

155. I. P. Shkarofsky. Single-integral expressions for electron cyclotron damping relativistically and with an arbitrary distribution function // J. Plasma Phys. 1999. - Vol. 61. - Pp. 107-120.

156. G. A. Whitehurst, et al. // Proc. 22nd EPS Conference on Contr. Fusion and Plasma Phys. Vol. 19C. - Bournemouth: 1995. - Pp. 1-345.

157. M. Shoucri, I. Shkarovsky. A fast 2D Fokker-Planck solver with sinergetic effects // Сотр. Phys. Comm. 1994. - Vol. 82. - Pp. 287-305.

158. B.Lloyd, et al. Recent advances in ST researh and prospects for new ST capabilities // Proc. 36th ICOPS-SOFE. San Diego, USA: 2009.- Pp. 1-345.

159. W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. — Second edition. — Cambridge: Cambridge University Press, 1986-1992.

160. P. Т. Bonoli, M. Porkolab. Radio frequancy current generation by lower hybrid slow waves in the presence of fusuon generated alpha-particles in the reactor regime // Nucl. Fusion.- 1987. —Vol. 27.- Pp. 1341-1346.

161. E. Barbato, F. Santini. Quasi-linear absorption of lower hybrid waves by fusuon generated alpha particles // Nucl. Fusion.— 1991.— Vol. 31.— P. 673.

162. N. J. Fisch, J. M. Rax. Current Drive by Lower Hybrid Waves in the Presence of Energetic Alpha Particles // Nud. Fusion.— 1992.— Vol. 32,— Pp. 549-556.

163. A. R. Polevoi, et al. //J. Plasma Fusion Res. Ser.— 2002,- Vol. 5.-P. 82.

164. A. R. Polevoi, et al. Possibility of Q > 5 stable, steady-state operation in ITER with moderate Ду and iif-factor // Proc. 19th Int. Conf. on Fusion Energy. Vol. CD-ROM. - Lyon: Vienna: IAEA, 2002. - Pp. CT/P-08.

165. E. Barbato. Recent progress in lower hybrid current drive theory and experiment // Plasma Phys. Control. Fusion. 1998.- Vol. 40.- P. A63.

166. P. T. Bonoli, T. Ott. Toroidal and scattering effects on lower-hybrid wave propagation // Phys. Fluids. — 1982. — Vol. 25. — Pp. 359-375.

167. F. Santini. Developments in lower hybrid theory // Course and Workshop on Applications of RF Waves to Tokamak Plasmas / Ed. by S. Bernabei, U. Gasparino, E. Sindoni. — Vol. 1. — Varenna: 1985. — Pp. 251-287.

168. E. J. Valeo, D. C. Eder. Numerical modeling of lower hybrid heating and current drive // Course and Workshop on Applications of RF Waves to Tokaтак Plasmas / Ed. by S. Bernabei, U. Gasparino, E. Sindoni. — Vol. 2.— Varenna: 1985.- Pp. 493-511.

169. A. R. Esterkin, A. D. Piliya. General Properties of the Lower Hybrid Ray Trajectories in Toroidal Plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1992. Vol. 34. - Pp. 1957-1968.

170. A. R. Esterkin, A. D. Piliya. Analytical approach to lower hybrid ray tracing // Nucl. Fusion. 1992. - Vol. 32. - P. 927.

171. K. Kupfer, D. Moreau. Wave chaos and and the dependence of LHCD efficiency on temperature // Nucl. Fusion. — 1992. — Vol. 32. — P. 1845.

172. Paoletti F, Ignat D W, Kesner J et al. Lower hybrid current drive accessibility study with reconstucted magnetic equilibria // Nucl. Fusion. — 1994. — Vol. 34. P. 771.

173. Theilhaber K, Bers A. Coupling to fast wave at lower hybrid frequencies // Nucl. Fusion. 1980. - Vol. 20. - Pp. 547-555.

174. Y. Shimomura, Y. Murakami, A. R. Polevoi et al. ITER: opportunity of burning plasma studies // Plasma Phys. Control. Fusion.— 2001.— Vol. 43. Pp. A385-A394.

175. S. I. Lashkul, V. N. Budnikov, E. Vekshina et al. Effect of the Radial Electric Field on Lower Hybrid Plasma Heating in the FT-2 Tokamak // Plasma Physics Reports. 2001. - Vol. 27. - Pp. 1001-1010.

176. V. N. Budnikov, M. I. Irzak. Mechanism of ion and electron LH heating on the FT-2 tokamak // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1996. — Vol. 38.— P. A135.

177. Будников В.Н., В.В. Дьяченко, П.Р. Гончаров и др. Механизм подавления режима нижнегибридной генерации тока плазмы на токамаке ФТ-2 // Письма в ЖТФ. 2000. - Т. 26, № 2. - С. 41-46.

178. М. A. Irzak, О. N. Shcherbinin. Theory for waveguide antennas for plasma heating and current drive // Nucl Fusion.— 1995.— Vol. 35.— Pp. 1341-1356.

179. К. H. Степанов. // ЖЭТФ. — 1958. — Т. 35.- С. 283.

180. I. В. Bernstein. Bernstein modes // Phys. Rev. 1958. - Vol. 109. - P. 10.

181. M. Brambilla. Propagation and absorption of waves at the lower hybrid resonance // Plasma Phys. — 1976. Vol. 18. - Pp. 669-674.

182. D. G. Swanson. Radio frequency heating in the ion-cyclotron range frequencies // Phys. Fluids. — 1985. — Vol. 28.- Pp. 2645-2677.

183. A. H. Glasser, A. Bravo-Ortega. Focusing effects on waves propagating in a nonuniform plasma // Phys. Fluids. — 1987. — Vol. 30. — Pp. 797-803.

184. S. Cho, D. G. Swanson. Dispersion relations for the lower hybrid frequency range // Phys. Fluids. 1988. - Vol. 31. — Pp. 1123-1129.

185. A. Cardinali, F. Romanelli. Linear propagation and absorption of ion Bernstein waves in toroidal geometry // Phys. Fluids B. — 1992. — Vol. 4. — P. 504.

186. X. S. Lee, J. R. Myra, P. J. Catto. General frequency gyrokinetics // Phys. Fluids. 1983. - Vol. 26. - Pp. 223-229.

187. C. N. Lashmore-Davies, R. O. Dendy. Girokinetic theory of perpendicular ion cyclotron resonance // Phys. Rev. Lett. — 1989. — Vol. 62. — Pp. 1982-1985.

188. С. N. Lashmore-Davies, R. 0. Dendy. Gyrokinetic theory of perpendicular cyclotron resonance in a nonuniformly magnetized plasma // Phys. Fluids B: Plasma Physics. 1989. - Vol. 1. - Pp. 1565-1577.

189. J D Gaffey. Energetic ion distribution resulting from neutral beam injection in tokamaks // J. Plasma Phys. 1976. - Vol. 16. - Pp. 149-169.

190. Ю. H. Днестровский, Д. П. Костомаров, Н. В. Скрыдлов. Волны в плазме в окрестности циклотронных резонансов // ЖТФ. — 1963. — Vol. 33. Pp. 922-928.

191. Е. Holzhauer, I. Н. Massig. An analysis of optical mixing in plasma scattering experiments // Plasma Phys. — 1978. — Vol. 20. — Pp. 867-877.

192. X. Garbet, J. Pay an, C. Laviron et al. Turbulence and energy confinement in TORE SUPRA ohmic discharges // Nucl. Fusion1992.- Vol. 32.-P. 2147.

193. К. M. Novik, A. D. Piliya. Enhanced microwave scattering in plasmas // Plasma Phys. Control. Fusion. — 1994. Vol. 36. — Pp. 357-382.