Моделирование рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн фрактальными поверхностями при малых углах падения

Лактюнькин, Александр Викторович

Моделирование рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн фрактальными поверхностями при малых углах падения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Лактюнькин, Александр Викторович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Моделирование рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн фрактальными поверхностями при малых углах падения»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн фрактальными поверхностями при малых углах падения"

На правах рукописи

□□34ЭОЭ61

ЛАКТЮНЬКИН Александр Викторович

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАССЕЯНИЯ МИЛЛИМЕТРОВЫХ И САНТИМЕТРОВЫХ ВОЛН ФРАКТАЛЬНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ ПРИ МАЛЫХ УГЛАХ ПАДЕНИЯ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О ЯН5 20'3

Москва - 2009

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук

Институте радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, г. Москва

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Потапов Александр Алексеевич Официальные оппоненты:

Ведущая организация: Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана».

Запита состоится «_П_» _февраля_ 2010 г. в _15_ ч. _00_ мин. на заседании диссертационного совета Д 212.156.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», по адресу 141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)».

Автореферат разослан « 30 » & 2009 г.

доктор физико-математических наук, профессор Горелик Владимир Семенович кандидат физико-математических наук Герман Виталий Александрович

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы

При решении многих научных и практических задач дистанционного зондирования земной поверхности и радиолокации широко применяются наряду с оптическими и радиофизические методы наблюдений в сверхвысокочастотном диапазоне радиоволн - от дециметровых до миллиметровых (ММВ). Интерес к диапазону ММВ вызван целым рядом преимуществ, которые даёт его использование по сравнению с более длинноволновыми диапазонами. Это - увеличение разрешающей способности по углу, дальности и скорости при высокой помехоустойчивости к средствам радиопротиводействия, улучшение электромагнитной совместимости и скрытности работы систем, увеличение количества передаваемой информации вследствие более широкой полосы частот, высокая чувствительность процесса рассеяния к структуре и состоянию подстилающих покровов, меньшие габариты и масса аппаратуры. Заметим, что для различных радиотехнических систем отражение ММВ от земных покровов может рассматриваться или как пассивная помеха, или как источник полезной информации.

В настоящее время имеется два классических подхода к исследованию задач рассеяния на статистически неровной поверхности: метод малых возмущений (МВ) и приближение Кирхгофа (метод касательной плоскости (МКП)) [1 - 3]. Эти методы относятся к двум предельным случаям очень мелких пологих неровностей или гладких и крупномасштабных неровностей соответственно. Естественным их обобщением является двухмасштабная модель рассеяния, т.е. совокупность мелкой ряби (расчет методом МВ) и крупных неровностей (расчет на основе МКП).

Таким образом, ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты. Сейчас, опираясь на результаты работ в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, можно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры, как параметра.

Более того, учет фрактальности, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ -диапазоне.

Первые подходы к проблеме рассеяния радиоволн фрактальной поверхностью были изложены д.ф.-м.н. A.A. Потаповым, начиная с 1997 г., на LII Научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва), и на Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн (г. Санкт - Петербург).

К настоящему времени большое количество работ иностранных авторов посвящено взаимодействию волн с фрактальными структурами. Фрактальная поверхность предполагает наличие неровностей множества масштабов относительно длины рассеиваемой волны. Особенности рассеяния волн фрактальной поверхностью обусловлены ее недифференцируемостью. Поэтому фрактальный фронт волны, являясь недифференцируемым, не имеет нормали. Тем самым исключаются понятия "лучевая траектория" и "эффекты геометрической оптики". Однако хорды, соединяющие значения характерных высот неровностей на определенных расстояниях по горизонтали, все-таки имеют конечный среднеквадратичный наклон. В этом случае вводят "топотезу" фрактальной хаотической поверхности; она равна длине, на которой наклоны поверхности близки к единичным.

С учетом всех особенностей в работах западных авторов приняты на сегодня две модели рассеяния: 1) - Модель с фрактальными высотами, 2) - Модель с фрактальными наклонами неровностей. Модель № 2 однократно дифференцируема и имеет наклон, изменяющийся непрерывно от точки к точке. Эта модель приводит к геометрической оптике, или к эффектам, описываемым с помощью понятия "луча".

Рассеяние электромагнитных волн на шероховатых поверхностях детально исследовалось, например, в [I - 6]. В работе [4] показано, что дифракция на фрактальных поверхностях принципиально отличается от дифракции на традиционных случайных поверхностях, а некоторые классические статистические параметры, такие как длина корреляции и среднеквадратичное отклонение, стремятся к бесконечности. Это объясняется самоподобием фрактальной поверхности. В работе [5] была применена частотно-ограниченная функция Вейерштрасса, на которую Налагалось меньше ограничений, чем на функции, изучаемые в [4]. Предложенная

функция обладала как свойством самоподобия, так и все-таки конечным числом производных на отдельно взятом рассматриваемом пространственном диапазоне.

Несмотря на то, что существует много работ, посвященных созданию и анализу хаотических поверхностей с фрактальной структурой, лишь в немногих из них рассматриваются двумерные фрактальные поверхности. В нескольких работах описывались (см. [6] и ссылки в ней) волнистые поверхности, имеющие фрактальные свойства только в одном измерении. Модифицированная функция Вейерштрасса часто используется для моделирования двумерной фрактальной хаотической поверхности.

Основная цель исследования

• Численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения © и использовании метода Кирхгофа.

• Анализ описания фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса Щху) и переход к диапазонно ограниченной функции 1Ун(ху) для практических расчетов.

• Расчёт индикатрис рассеяния 02) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.

• Составление и анализ каталога характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния м их сечений для длин волн X = 2,2 мм; X = 8,6 мм и X = 3,0 см.

Научная новизна работы Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики -исследование рассеяния радиоволн на естественных земных покровах с учётом их фрактальности. За последние 30 лет многочисленными группами исследователей в мире проанализированы неровности и рельефы естественных и искусственных

поверхностей, в том числе, и земных покровов (первая работа появилась а 1978 г. [7]. После открытия и научного обоснования фрактальности естественных покровов множество работ иностранных авторов было посвящено исключительно проблеме рассеяния волн. При этом данные о рассеянии ММВ фрактальными поверхностями отсутствуют. Таким образом, впервые проведены расчёты индикатрис рассеяния ММВ фрактальной поверхностью.

Практическая значимость работы

Практическая значимость работы связана с более точным описанием процессов рассеяния при учёте фрактальных характеристик земных покровов. Учёт фрактальности земных покровов позволяет более точно и доказательно интерпретировать экспериментальные данные по рассеянию радиоволн. Помимо чисто научных интересов, при этом имеют место и практические приложения к решению современных радиолокационных и телекоммуникационных задач, а также проблем мониторинга сред на различных пространственно - временных масштабах.

Положения, выносимые на защиту

1. Численно решены задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения 0 и использовании метода Кирхгофа.

2. Показано, что наиболее удобным профилем в радиофизическом смысле фрактального рельефа является недифференцируемая функция Вейерштрасса 1У(ху). Так как в реальных расчётах использование недифференцируемой функции не представляется возможным, было использовано приближение Ж(ддиапазонно ограниченной функцией ¡¥н(ху).

3. Численный расчёт соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности.

4. Для широкого спектра различных фрактальных поверхностей численно рассчитаны индикатрисы рассеяния g (0,, 62) ММВ и СМВ. При значениях фрактальной размерности Д стремящейся к целочисленной, полученные значения приближаются к классическим.

5. Составлен обширный каталог разнообразных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн X = 2,2 мм; X = 8,6 мм и X = 3,0 см.

6. Фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена при помощи рассчитанных или измеренных характеристик рассеяния.

7. Физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности D или фрактальной сигнатуры как параметра.

Апробация работы

Результаты работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, 2006 и 2007 гг.); 5-я Международная научная конференция "Хаос и структуры в нелинейных системах. Теория и эксперимент" (Казахстан, Астана, 15-17 июня 2006 г.); Четвертая Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 29-31 января 2007 г.); XI Международный молодежный форум "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 10-12 апреля 2007 г.); XIII Международная НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 17-19 апреля 2007 г.); XV Международная студенческая школа - семинар "Новые информационные технологии" (Крым, Судак, 20 - 27 мая 2007 г.); Международная научная конференция "Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007" (Таганрог, 25 - 30 июня 2007 г.); The Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (Edinburgh, UK, 11 - 16 November 2007); XI Всероссийская школа-семинар "Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород МО, 26 -31 мая 2008 г.); XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, Illinois, 7-16 August 2008); VII международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», поев. 150-летию со дня рождения A.C. Попова (Самара, 15 - 21 сентября 2008 г.); 9-я Международная НТК "Проблемы техники и технологий телекоммуникаций - ПТиТТ-2008", поев. 100-летию со дня рождения академика В.А. Котельникова и 120-летию

телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 25 - 27 ноября 2008 г.); 3rd European Conf. on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (Berlin, Germany, 23 - 27 March 2009); XV Международная НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 14 - 16 апреля 2009 г.); 2nd Int. Conf. (CHAOS' 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, 1 - 5 June 2009).

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью теоретических результатов с известными в литературе данными, а также согласованностью результатов численного моделирования и экспериментальных исследований с результатами теоретического анализа.

Личный вклад автора заключается в следующем:

• применение фрактальных методов для решения задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями при малых углах падения 0;

• численное получение соотношений между усреднённым пространственным интервалом корреляции неровностей и фрактальной размерностью поверхности с рельефом в виде недифференцируемой функцией Вейерштрасса;

• численный расчет индикатрис рассеяния g(8|, 02) на длинах волн X = 2,2 мм; X = 8,6 мм и Х- 3,0 см для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.

Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка. Она изложена на 110 страницах, включая 109 рисунков и библиографию из 186 наименований.

Содержание работы

В начале диссертации приведён обширный литературный обзор по существующим теориям рассеяния на статистически шероховатых поверхностях.

В качестве традиционных математических моделей неровных поверхностей ранее раздельно применялись детерминированные и случайные функции [1 - 6 и ссылки в них]. Развитие фрактальной геометрии даёт новое средство для систематического исследования неровных структур, так как фракталы учитывают различные пространственные масштабы и могут быть непосредственно использованы при описании и детерминированных, и случайных функций или их комбинаций.

Физика волнового взаимодействия с периодической средой или структурой хорошо описывается брэгговским условием в виде закона сохранения момента между волновыми векторами падающей и дифрагированной волны, с учётом пространственного волнового вектора структурных гармоник. Рассеивающая поверхность моделируется диапазонно ограниченной непрерывной фрактальной функцией неровностей fix), являющейся модифицированной функцией Вейерштрасса W(t), свойства которой подробно исследованы в [5, 6]. Данная функция имеет конечный диапазон пространственных частот и проявляет свойство самоподобия в пределах конечного диапазона разрешения:

где С - коэффициент контроля амплитуды; N - число гармоник (тонов); а-

коэффициент масштаба неровностей (0 < а < 1); К - основное пространственное

волновое число; Ъ > 1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; фп

- произвольная фаза.

Коэффициент контроля амплитуды

выбран так, что функция Дх) имеет среднеквадратичное отклонение о = 1.

Для функции (1) можно ввести несколько фрактальных размерностей, потому что она самоафинна. В общем случае фрактальная размерность функции Вейерштрасса

/(x) = c£a'sin(*b"x + q>J

(1)

(2)

Б-2 + \oga l\ogb [3]. Для точного описания формы неровностей в [6] используется фрактальная размерность в виде:

Г> = 1 + а. (3)

При £> = 1 имеем гладкую периодическую кривую. С увеличением Б (£> < 2) получаем различные хаотические кривые.

Геометрия рассеяния падающей плоской волны Е: = ехр(/к • г) на

одномерной неровной, идеально проводящей фрактальной вдоль оси х поверхности представлена на рис. I. Индексы /' и 5 относятся к падающей и рассеянной волнам с волновыми векторами к, и к„ соответственно. Одномерная квазипериодическая поверхность описывается уравнением

2 = £,(х) = Н£ат5т(Ктх + <?т). (4)

т=\

Здесь параметр к контролирует среднеквадратическое значение неровностей.

Рис. 1. Геометрия рассеяния волн на фрактальной неровной поверхности

Далее мы будем рассматривать подход на основе приближения Кирхгофа. В методе Кирхгофа используется крупномасштабность р/Х» 1, плавность

а0 / "к » 1, пологость ((у2))"2 «1- Здесь р - радиус корреляции неровностей;

а0 = ¡1 + ]3'2 /^"-локальный радиус кривизны, ((у2^)'2 -среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей (штрихи означают порядок

производной). В общем случае величина £> определяет угловое распределение энергии. Энергия рассеянного поля концентрируется в зеркальном направлении при малых значениях размерности В и диффузно распределена для больших значений й.

Пространственные индикатрисы рассеяния, или угловые распределения характеристик рассеянного поля от фрактальных поверхностей, в настоящее время исследованы совершенно недостаточно. Известные экспериментальные и теоретические исследования с использованием различных фрактальных моделей проводились ранее и приведены в работе [б] (см. также ссылки в ней).

Моделирование фрактальных поверхностей

При моделировании использовалась диапазонно ограниченная фрактальная функция с нулевым средним, записываемая в виде:

¡;(х) = стС^(£) -1)" 5т{КЬ"х + ф„), 1 < В < 2. (7)

и=0

Коэффициент контроля амплитуды С, определяемый с помощью (2), выразим через фрактальную размерность £> следующим образом:

[2[1-(Р-1)г]]"2 = [ 2Щ2-Р) V" (8)

Очевидно, что в (7) при необходимости могут быть использованы и другие периодические функции.

Коэффициент контроля амплитуды (8) выбран так, чтобы ^(х) имела среднеквадратичное отклонение с. С увеличением частоты периодические функции (7) описывают всё более тонкую структуру неровностей. Самоподобие функции ^(х) демонстрируется соотношением я (О- 1)~'с,(йх), которое означает, что кривая выглядит подобной оригиналу, когда горизонтальная ось масштабируется коэффициентом Ь, а вертикальная ось - коэффициентом (£) -1)"'.

Взаимосвязь статистических и фрактальных параметров

Из формулы (7) следует, что профиль неровной поверхности определяется параметрами о, £>, Ь, К, N. Традиционными параметрами при моделировании случайной поверхности являются: а - среднеквадратичное значение высоты

неровностей; р - радиус их корреляции; (^у2^) - среднеквадратичное значение тангенса угла наклона неровностей [1-3, 6].

Для фрактальной модели для а = 1 значение 2 ках°Дится через среднеквадратичное значение первой производной от функции (7). В результате:

1-(£>-1)2 \-b2N(D-l)2N

(9)

- (D -1)2" \-b\D-\f

Из формулы (9) следует, что (^у2^) = К<з при D = 1 или N = 1. Для типового примера

D= 1,5 при ь = е « 2,71828 иЛг=6имеем ((у2))"2 =5,856Ko.

Радиус корреляции р исследуемой модели находится с помощью коэффициента автокорреляции р(т) фрактальной функции (7), который имеет вид

р(т) = У(В-1)2" cos(Kb"z). (Ю)

l-(Z)-i) и

Из (10) следует, что коэффициент автокорреляции р(т) не зависит от высоты о неровностей. Радиус корреляции р определим как первый корень уравнения р(т) = е'1 при увеличении т от нуля. Радиус корреляции р уменьшается с ростом D. Таким образом, неровности фрактальной модели ^(х) определяются фрактальной размерностью D, хотя среднеквадратичная величина их есть о. Фрактальная поверхность может быть точно определена и легко видоизменяться при варьировании параметров К, b, N, D. Способность быстрого контроля поверхности на основе реализаций функции (7) с помощью её параметров делает такую фрактальную модель полезной при исследовании рассеяния волн земными покровами.

Индикатрисы рассеяния

Рассмотрим плоскую волну единичной амплитуды с волновым вектором падающую на одномерную неровную поверхность, которая характеризуется фрактальной функцией х), простирающейся or х = - L до х = L (см. рис. 1).

Эффекты затенения не учитываются. В приближении Кирхгофа поле рассеяния на расстоянии от источника в плоскости записывается в виде [1-3, 6]

Ис1ехр(Ис1{0) 1

\{Р%' - Ч) exp[ivxx + iv£(x)}dx,

(И)

2 nR0 _L

где р = (1 - V) sin 0; + (1 + V) sin 0,, q = (1 + V) cos 9, - (1 - V) cos 0,, vx =&(sin0,. -sinOJ, v2 =-£(cos0( +COS0J.

Для упрощения расчётов рассматривается рассеяние от идеально проводящей поверхности, когда френелевы коэффициенты отражения V становятся равными

V* =1, у-=-1, (12)

где индексы "+" и "-" означают поляризацию, соответственно параллельную и перпендикулярную плоскости падения.

Для гладкой идеально проводящей поверхности поле рассеяния при горизонтальной поляризации в направлении зеркального отражения (0; = 6 ^) имеет

вид Е0 — (ilk]} exp(ikR0) COS 0(.) /(nR0). После несложных, но громоздких выкладок, вводя индикатрису рассеяния g, получим:

g± = ±sec0,

l + cos(9,.+ej

COS0, +COS0,

xf[Jm [c(D-l)"vzo}inc

+ «> f N-1

Z exP!'ХХФ-.

N-I

(13)

V,+KZm„b"\L

п=0

Рассмотрим сначала специальный случай, когда

L» А0 - 2л/К, 0; = 0s И ко < 1. Тогда из формулы (13) следует, что

N-1

s± «±n-/o[2C(jD-l)"tocose,.].

(14)

Hg не является функцией от Ъ и <р„. Учитывая аппроксимацию

oW 4 64 13

при малых х (малых ка), находим следующее приближение формулы (14):

g± «±[l-2(te)2cos20,.]. (16)

Результат (16) показывает, что при малых ка интенсивность рассеяния в зеркальном направлении определяется только среднеквадратичной высотой неровностей, независимо от того, фрактальная поверхность или нет. Фрактальная функция (7) является результатом суммирования N периодических синусоид. Радиоволна действует как измерительная линейка, выделяя пространственные частоты посредством брэгговских условий. В общем случае

к,=к„+5>,Р,. (17)

где kJC- волновой вектор в направлении рассеяния; ksp- волновой вектор в направлении зеркального рассеяния; р.- пространственные волновые векторы структурных гармоник; т1 - целые числа.

Для фрактальной функции (7) имеем |(}.| = .КЬ'. Таким образом, падающая

волна будет взаимодействовать с различными гармониками рассеивающей структуры. Направление рассеяния каждого лепестка зависит от пространственной частоты гармоники р, а интенсивность определяется фрактальной размерностью поверхности D, которая регулирует амплитуду каждой гармоники. Высшие пространственные частоты как бы связывают угловое распределение рассеяния с большим отклонением от зеркального направления.

Рассеяние волн ограниченной фрактальной площадью

Изменение характеристик рассеяния при облучении поверхностей различных размеров представляет интерес в практических задачах радиолокации и дистанционного зондирования. Размер облучаемой площадки определяет ширину индикатрис рассеяния. Для случая рассеяния фрактальной поверхностью не существует качественного изменения, если размеры площадки больше основного пространственного периода Л0 = 2к/К = 10А.. Чем меньше размер площадки, тем меньше информации о неровностях будут давать характеристики рассеяния.

Для установления связи фрактальной размерности поверхности с интенсивностью боковых лепестков рассматриваются зависимости коэффициентов рассеяния от аргумента 8т[(0 —30°)/2] и рассчитывается наклон огибающей.

Основная огибающая обусловлена конечным размером площадок и связывает основной лепесток с самым крайним боковым. Её наклон всегда почти постоянен при изменении фрактальной размерности.

Огибающая, связывающая боковые лепестки, определяется пространственными гармониками, и её наклон монотонно изменяется с изменением фрактальной размерности. Очень важно, что наклоны дифракционных пиков позволяют дистанционно измерить неровности или размерности В поверхности.

В практической части работы автором показана и обоснована возможность описания естественных поверхностей двумерной диапазонно-ограниченной функцией Вейерштрасса. Она имеет следующий вид

где С№ - константа, обеспечивающая единичную нормировку; ¿¡г > 1 - параметр

пространственно-частотного масштабирования; Б - фрактальная размерность (2<Д<3); К — основное пространственное волновое число; N и М - число гармоник;

Флт ~ произвольная фаза, распределенная равномерно в интервале [—л, л].

Данная функция (18) является комбинацией случайной структуры и детерминированного периода. Она анизотропна в двух направлениях, если числа гармоник не очень велики. Она имеет производные и в то же время - самоподобна. Поверхность на ее основе имеет много масштабов, а шероховатость может изменяться в зависимости от рассматриваемого масштаба. Так как естественные поверхности не являются чисто случайными или чисто периодическими и часто анизотропны, то предложенная выше функция является хорошим приближением для описания естественных поверхностей. На рис. 2 приведены примеры диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса для различных масштабов. Важно отметить, что функция (18) описывает математические фракталы только при стремлении М и N к бесконечности.

,2л/я, . ,2лот,

X ■ С0Б(-) + У ■ Б1П(-)

Рис.2. W(x,y) при (а) - = 2, Л/= 3, £) = 2.01, q = 1.01; (b) - N= 5, M= 5, D = 2.5, q = 3\{c)-N= 10, Af= 10,£> = 2.99,9 = 7. По осям: 1 отн. ед. = 80 см

Такие параметры, как интервал корреляции Г, среднеквадратичное отклонение О и коэффициент пространственной автокорреляции р(т) традиционно принято использовать для численного описания шероховатой поверхности. В работе продемонстрировано, как эти статистические параметры можно использовать для оценки влияния фрактальной размерности D и других параметров на шероховатость поверхности. Приведён вывод выражения для усредненного интервала корреляции Г :

(1 -g2(D'3)) *=!

2i,D-2)N

M(1 - q к ' ) î^b На рис. 3 и 4 показаны зависимости Г от q и D соответственно.

(19)

Рис. 3. Зависимость среднего

Рис. 4. Зависимость среднего

интервала корреляции Г от О при интервала корреляции гот ? при разных значениях д разных значениях £>

С увеличением фрактальной размерности й поверхности усреднённый интервал корреляции Г уменьшается более быстро для тех же самых изменений

параметра пространственно-частотного масштабирования д. Величина .Г монотонно спадает с возрастанием значения £>; однако не меняется при д = 1,01. Следовательно,

средний интервал корреляции Г чувствителен к фрактальной размерности О, за исключением случаев, когда ¿¡г —» 1. Эти результаты означают то, что величина неровностей фрактальной поверхности в основном управляется величиной £>.

Для расчёта поля рассеяния и индикатрис рассеяния на построенных поверхностях было использовано приближение Кирхгофа. Приведён вывод выражения для индикатрисы рассеяния по усреднённой интенсивности:

5 0! 11 2

•мпс'^^ипс2 (кВЬ) +

(20)

кА + Ка"т II,

М 1

кВ + Кд-Б

Автором создана обширная база данных различных характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функций Вейерштрасса, а также трехмерных индикатрис рассеяния и их сечений, рассчитанных для длин волн X = 2,2 мм, X = 8,6 мм и А, = 3,0 см при разных значениях фрактальной размерности О и изменяющейся геометрии рассеяния соответственно (рис.5).

На основе проведённых расчетов были сделаны следующие выводы. При значениях Д мало отличающихся от целочисленных, основная доля энергии рассеивается в зеркальном направлении. Боковые лепестки образуются из-за брэгговского рассеяния. С увеличением фрактальной размерности О поверхности рассеяния возрастает число боковых лепестков и их интенсивность. Угловой диапазон боковых лепестков также расширяется с увеличением й, когда высокие пространственные частоты начинают играть существенную роль. В случае малых О, классические и фрактальные методы расчета полей рассеяния, совпадают. Таким образом, фрактальная размерность й шероховатой поверхности может быть оценена из рассчитанных или измеренных характеристик поля рассеяния. На практике

размеры облучаемой площадки должны быть, по крайней мере, в 2 раза больше основного периода структуры поверхности, чтобы информация о ее фрактальных параметрах содержалась в характеристиках рассеяния.

0=2.5, (/=1.8, 1, 0, = 45° 0= 2.5, (/ = 1.8, Л'=М=10, = 45° 0= 2.5, Ч = 1.8, ,\'=М=1, в, = 22°

В= 2.5, ? = 1.8, Л'=М=10, 0, = 22° В= 2.5, ? = 1.8, Л'=Л/=/, в, = 22° Д= 2.5, Ч = 7.«, N=№=10, в, = 22°

Рис. 5. Индикатрисы рассеяния для разных фрактальных поверхностей, длин зондирующих волн и углов падения.

На основе функции Вейерштрасса для одномерной фрактальной рассеивающей поверхности автор рассчитал зависимости модуля рассеянного поля от

фрактальной размерности поверхности А и от угла падения (рис. 6 и рис. 7). Чем больше фрактальная размерность, тем выше абсолютное значение поля рассеяния. Данное явление можно объяснить увеличивающимся вкладом вторичного рассеяния на мелких неровностях по сравнению с менее шероховатой поверхностью. При изменении угла падения поле рассеяния меняется спонтанно, что объясняется хаотической структурой рассеивающей поверхности.

|Е{«)1

О 5 ю 15 20 И

D в degrees

Рис. 6. Зависимость модуля поля рис. 7. Зависимость модуля поля рассеяния от фрактальной размерности рассеяния от угла падения для падающей длины волны X — 2,2 мм

Дальнейшие исследования рассеяния волн на фракталах будут продолжены в рамках расчёта частотных функций когерентности или полосы когерентности А/с для радиолокационного фрактального канала зондирования.

В первой главе рассмотрено развитие выбранного научного направления, а также его современный уровень и проблемы, которые стоят перед фрактальной радиофизикой. Приведён обзор существующих работ по рассеянию СМВ и ММВ радиоволн на фрактальных поверхностях. Поставлены цели работы.

Вторая глава посвящена моделированию фрактальной поверхности с помощью двумерной диапазонно-ограниченной функции Вейерштрасса. В первом разделе приводится сама функция поверхности и её графические реализации, а во втором разделе устанавливается связь классических статистических параметров поверхности с фрактальными параметрами.

В третьей главе рассматривается рассеяние радиоволн миллиметрового и сантиметрового диапазонов на построенных фрактальных поверхностях. Для расчётов параметров рассеяния используется приближение Кирхгофа. В первом разделе приведена модель рассеяния и общие формулы для расчёта поля рассеяния. Во втором разделе приводится формула для усреднённого поля рассеяния. В третьем разделе описывается индикатриса рассеяния по полю. В четвёртом разделе приводятся

соотношения для индикатрис рассеяния по усреднённой интенсивности. В пятом разделе обсуждается приближенная формула усредненной интенсивности поля для задачи рассеяния на фрактальном фазовом экране. В шестом разделе приведены результаты расчетов индикатрис рассеяния в СВЧ - диапазоне.

Четвёртая глава посвящена исследованию поведения поля рассеяния радиоволн на одномерных фрактальных поверхностях, а также здесь вводится понятие частотной функции когерентности.

В Заключении приведены основные результаты работы и показано их соответствие поставленным целям.

В Приложении размещены обширные примеры рассеивающих фрактальных поверхностей, индикатрисы рассеяния ММВ и СМВ.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Решена численно задача рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения © и использовании метода Кирхгофа.

2. Исследовано описание рельефа фрактальной диапазонно ограниченной функцией WH(*,y); установлена связь между классическими статистическими параметрами случайной поверхности и её фрактальной размерностью D.

3. Разработана программа и рассчитаны индикатрисы рассеяния g(0|, 02) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.

4. Составлен и проанализирован каталог характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн X = 2,2 мм; X = 8,6 мм и X = 3,0 см.

5. Показано, что при значениях фрактальной размерности D, стремящейся к целочисленной, полученные значения интенсивности рассеяния приближаются к классическим результатам.

Цитируемая литература

1. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. - М.: Наука, 1972. - 424 с.

2. Рытое С.М., Кравцов ЮЛ., Татарский ВН. Введение в статистическую радиофизику: В 2 ч. Случайные поля. - М.: Наука, 1978. -Ч.П. -464 с.

3. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно - неоднородных средах. Т. 2.- М.: Мир, 1981,- 320 с.

4. Berry M.V. Difractáis // J. Phys. А. 1979. V.12, № 6. Р. 781 - 797.

5. Lirt N-, Lee Н.Р., Lint S.P., Lee K.S. Wave Scattering from Fractal Surfaces // Journal of Modern Optics. 1995. V. 42, № 1. P. 225 - 241.

6. Потапов A.A. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп.- М.: Университетская книга, 2005.- 848 с.

7. Sayies R.S, Thomas T.R.; Berry М. К, Hannay J.H.II Nature. 1978 V.271, №5644; V. 273, №5663.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 19 работ: 3 статьи в журнале, рекомендованном ВАК; 1 статья в журнале; 15 докладов на международных конференциях.

Статьи в научных журналах:

1. Лактюнькин А.В. Моделирование фрактальных недифференцируемых поверхностей и процессов рассеяния ими электромагнитных волн // Нелинейный мир. 2007. Т. 5. № 5. С. 286 -287.

2. Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью // Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 1. С. 3 - 36.

3. Лактюнькин А.В., Потапов А.А. Зависимость процессов рассеяния волн от статистических параметров классических и фрактальных шероховатых поверхностей II Нелинейный мир. 2008. Т. 6. № 4. С. 231 - 233.

4. Потапов А.А., Лактюнькин А.В. Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией II Динамика сложных систем. 2009. Т. 3, №1. С.25-29.

Труды конференций:

1.Потапов A.A., Лактюнькин A.B., Корешков Д.В. Индикатрисы рассеяния электромагнитных волн фрактальной поверхностью, синтезированной на основе модификаций недифференцируемой функции Вейерштрасса // Труды Четвертой Всероссийской конф. "Необратимые процессы в природе и технике" (29 - 31 января 2007 г.).- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 2007. Часть I. С. 40-43.

2.Лактюнькин A.B., Потапов A.A. Синтез фрактальных поверхностей на основе приближений недифференцируемой функции Вейерштрасса и фрактальные индикатрисы рассеяния электромагнитного излучения // Тез. докл. XI Междунар. молодежного форума "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 10-12 апреля 2007 г.).- Харьков: Изд. ХНУРЭ, 2007. Часть 1. С. 245-246.

3.Потапов A.A., Лактюнькин A.B. Об индикатрисах рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн стохастической фрактальной анизотропной поверхностью // Сб. докладов XIII Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 17 -19 апреля 2007 г.).- Воронеж: НПФ "Саквоее", 2007. Т. III. С. 1770 - 1833.

A.Potapov A.A., Laktyunkin А. V. On the Indicatrixes of Wave Scattering from the Random Fractal Anisotropic Surface // Proc. XIII Int. Scientific - Research Conf. "Radiolocation, Navigation, Communication" (Russia, Voronezh, 17-19 April 2007).-Voronezh: NPF "Sakvoee", 2007. P. 86-147.

5.Потапов A.A., Лактюнькин A.B. Рассеяние радиоволн фрактальными поверхностями, синтезированными на основе недифференцируемых функций с различной дробной размерностью // Тез. докл. XV Междунар. студенческой школы -семинара"Новые информационные технологии" (Крым, Судак, 20 - 27 мая 2007 г.).-М.: МИЭМ, 2007. С. 98 - 99.

6.Потапов A.A., Лактюнькин A.B. О статистических свойствах поля, рассеянного фрактальной шероховатой поверхностью //Труды Междунар. науч. конф. «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007» (Таганрог, 25 - 30 июня 2007 г.).- Таганрог: Изд. ТТИ ЮФУ, 2007. Т. 1. С. 435-440.

l.Potapov A.A., Laktyunkin A.V. Microwaves Scattering on Fractal Surfaces as a New Line of Investigations // Proc. the Second European Conference on Antennas and

Propagation EuCAP 2007 (11 - 16 November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).-Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. MoPP.016. pdf. 6 pp.

8.Potapov A.A., Matveev E.N., Potapov V.A., Laktyunkin A.V. Mathematical and Physics Modelling of Fractal Antennas and fractal frequency Selective Surfaces and Volumes for the Fractal Radio Systems // Proc. the Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (11 - 16 November 2007, The EICC, Edinburgh, UK).- Edinburgh: The Institution of Engineering and Technology & EurAAP AISBL, 2007. ThPA.031.pdf.6pp.

9.Потапов A.A., Лактюнъкин A.B. Особенности рассеяния миллиметровых и сантиметровых радиоволн на поверхностях, описываемых фрактальной кусочно-дифференцируемой функцией // Труды XI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах (Звенигород МО, 26 -31 мая 2008 г.).- М.: Изд. МГУ, 2008. Ч. 3. С. 68 - 70.

10. Laktyunkin A.V., Potapov A.A. Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Proc. XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, Illinois, 7-16 August 2008).- Chicago: University of Illinois at Chicago, 2008. BP16.1(228). pdf. 4 pp. (http://ursi.org/Chicago08/Index%20GA08.htm1.

11. Потапов A.A., Лактюнъкин A.B. Рассеяние волн на фракталах // Тез. докл. VII междунар. НТК «Физика и технические приложения волновых процессов», поев. 150-летию со дня рождения А.С. Попова (Самара, 15-21 сентября 2008 г.). - Самара: Гос. ун-т, 2008. С. 304 - 307.

12. Лактюнъкин А.В., Потапов А.А. Зависимость модуля поля рассеяния радиоволн от параметров фрактальной поверхности // Тез. докл. 9-й Междунар. НТК "Проблемы техники и технологий телекоммуникаций - ПТиТТ-2008", поев. 100-летию со дня рождения академика В.А. Котельникова и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 25 - 27 ноября 2008 г.).- Казань: Изд-во КГТУ им. А.Н. Туполева, 2008. С. 389 - 392.

13. Laktyunkin А. К, Potapov А.А. Radio Waves Scattering Dependence on the Statistical Parameters of Classical and Fractal Rough Surfaces // Program 3rd European

Conf. on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (23 - 27 March 2009, Berlin, Germany).-Berlin: EurAAP, 2009. P. 24. (http://www 1 .vde.com/conferences en/eucap2009A.

14. Потапов A.A., Лактюнькин A.B. Частотные и энергетические характеристики радиоволн, рассеянных на фрактальных поверхностях // Сб. докладов XV Междунар. НТК "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 14 - 16 апреля 2009 г.).- Воронеж: НПФ "Саквоее", 2009. Т. I. С. 579 - 590.

15. Laktyunkin A.V., Potapov А.А. Frequency and Spatial Features of Waves Scattering on Fractals // Book of Abstracts 2nd Int. Conf. (CHAOS' 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (1-5 June 2009, Chania, Crete, Greece).- Chania: National and Kapodistrian University, 2009. P. 40. (http://www.chaos2009.net/programabstracts.html).

Общий объем опубликованных по теме диссертации работ составил 78 страниц мп. текста.

Лактюнькин Александр Викторович

Подписано в печать 25.12.09. Формат 60 х 84 1/16. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № ф-170.

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» Отдел автоматизированных издательских систем «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Лактюнькин, Александр Викторович

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩИХ ПОДХОДОВ К ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ РАДИОВОЛН НА ШЕРОХОВАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

1.1. Рассеяние радиоволн хаотически неровной поверхностью без растительности

1.2. Модель с фрактальными высотами неровностей

1.3. Радиолокационные рассеивающие характеристики в модели с фрактальными высотами неровностей

1.4. Модель с фрактальными наклонами неровностей

1.5. Фрактоидная модель рассеяния волн

1.6. Обобщённое рэлеевское решение задачи рассеяния волн фрактальной поверхностью

1.7. Индикатрисы рассеяния фрактальных поверхностей в приближении Кирхгофа

1.7.1. Моделирование фрактальных поверхностей

1.7.2. Взаимосвязь статистических и фрактальных параметров

1.7.3. Индикатрисы рассеяния

1.7.4. Особенности рассеяния плоской волны

1.7.5. Рассеяние волн ограниченной фрактальной площадью

1.8. Рассеяние импульсов фрактальной поверхностью

1.9. Дополнительные замечания, другие подходы

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2. ФРАКТАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

2.1. Фрактальная модель двумерной хаотической поверхности

2.2. Соотношения между статистическими параметрами шероховатости и параметрами фрактальной поверхности

3.1. Модель рассеяния

3.2. Усреднённое поле рассеяния

3.3. Индикатриса рассеяния по полю

3.4. Индикатриса рассеяния по усреднённой интенсивности

3.5. Приближенная формула усредненной интенсивности поля для задачи рассеяния на фрактальном фазовом экране

3.6. Результаты расчетов индикатрис рассеяния в СВЧ—диапазоне 49 4. ПОЛЕ РАССЕЯНИЯ

4.1.Полерассеяния

4.2. Частотная функция когерентности 52 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 55 СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 57 ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертация по физике, на тему "Моделирование рассеяния миллиметровых и сантиметровых волн фрактальными поверхностями при малых углах падения"

Актуальность темы

При решении многих научных и практических задач дистанционного зондирования земной поверхности и радиолокации широко применяются наряду с оптическими и радиофизические методы наблюдений в сверхвысокочастотном диапазоне радиоволн — от дециметровых до миллиметровых (ММВ). Интерес к диапазону ММВ вызван целым рядом преимуществ, которые даёт его использование по сравнению с более длинноволновыми диапазонами. Это — увеличение разрешающей способности по углу, дальности и скорости при высокой помехоустойчивости к средствам радиопротиводействия, улучшение электромагнитной совместимости и скрытности работы систем, увеличение количества передаваемой информации вследствие более широкой полосы частот, высокая чувствительность процесса рассеяния к структуре и состоянию подстилающих покровов, меньшие габариты и масса аппаратуры. Заметим, что для различных радиотехнических систем отражение ММВ от земных покровов может рассматриваться или как пассивная помеха, или как источник полезной информации.

В настоящее время имеется два классических подхода к исследованию задач рассеяния на статистически неровной поверхности: метод малых возмущений (MB) и приближение Кирхгофа (метод касательной плоскости (МКП)) [5, 6, 162]. Эти методы относятся к двум предельным случаям очень мелких пологих неровностей или гладких и крупномасштабных неровностей соответственно. Естественным их обобщением является двухмасштабная модель рассеяния, т.е. совокупность мелкой ряби (расчет методом MB) и крупных неровностей (расчет на основе МКП).

Таким образом, ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты. Сейчас, опираясь на результаты работ в ИРЭ им. В.А. Котелышкова РАН, можно уверенно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры, как параметра. Более того, учет фрактальности, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ - диапазоне.

Первые подходы к проблеме рассеяния радиоволн фрактальной поверхностью были изложены д.ф.-м.н. А.А. Потаповым, начиная с 1997 г., на LII Научной сессии, посвященной Дню Радио (г. Москва), и на Региональной XXIII конференции по распространению радиоволн (г. Санкт - Петербург).

С учетом всех особенностей в работах западных авторов приняты на сегодня две модели рассеяния: 1) - Модель с фрактальными высотами, 2) — Модель с фрактальными наклонами неровностей. Таким образом, модель № 2 однократно дифференцируема и имеет наклон, изменяющийся непрерывно от точки к точке. Эта модель приводит к геометрической оптике, или к эффектам, описываемым с помощью понятия "луча".

Несмотря на то, что существует много работ, посвященных созданию и анализу хаотических поверхностей с фрактальной структурой, лишь в немногих из них рассматриваются двумерные фрактальные поверхности. В нескольких работах описывались (см. [164] и ссылки в ней) волнистые поверхности, имеющие фрактальные свойства только в одном измерении. Модифицированная функция Вейерштрасса часто используется для моделирования двумерной фрактальной хаотической поверхности.

Цель и задачи исследования

Анализ литературных источников показал, что тема диссертации является, несомненно, актуальной, а исследования в данном направлении проведены исключительно иностранными авторами. Необходимо отметить, что на данный момент в ИРЭ им. В.А Котельникова РАН под руководством д.ф.-м.н. А.А.Потапова ведутся интенсивные исследования по радиофизическим применениям теории фракталов, скейлинговых эффектов и дробных операторов. Таким образом, целью исследования было численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения © и описании фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса W(x,y) с расчётом индикатрис рассеяния для широкого спектра различных фрактальных поверхностей:

• Численное решение задачи рассеяния ММВ и СМВ фрактальными поверхностями с различными характеристиками при малых углах падения 0 и использовании метода Кирхгофа.

• Анализ описания фрактального рельефа недифференцируемой функцией Вейерштрасса Щх,у) и переход к диапазонно ограниченной функции fVn(x,y) для практических расчетов.

• Расчёт индикатрис рассеяния g(0i, 62) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.

• Составление и анализ каталога характерных видов фрактальных рассеивающих поверхностей на основе функции Вейерштрасса, а также трёхмерных индикатрис рассеяния и их сечений для длин волн X = 2,2 мм; X = 8,6 мм и X = 3,0 см.

Научная новизна работы

Работа относится к одному из перспективных направлений радиофизики -исследование рассеяния радиоволн на естественных земных покровах с учётом их фрактальности. За последние 30 лет многочисленными группами исследователей в мире проанализированы неровности и рельефы естественных и искусственных поверхностей, в том числе, и земных покровов (первая работа появилась а 1978 г. [186]. После открытия и научного обоснования фрактальности естественных покровов множество работ иностранных авторов было посвящено исключительно проблеме рассеяния волн. При этом данные о рассеянии ММВ фрактальными поверхностями отсутствуют. Таким образом, впервые проведены расчёты индикатрис рассеяния ММВ фрактальной поверхностью.

Положения, выносимые на защиту

2. Показано, что наиболее удобным профилем в радиофизическом смысле фрактального рельефа является недифференцируемая функция Вейерштрасса W(x,y). Так как в реальных расчётах использование педифферепцируемой функции не представляется возможным, было использовано приближение W(x,y) диапазонно ограниченной функцией Wn(x,y).

4. Для широкого спектра различных фрактальных поверхностей численно рассчитаны индикатрисы рассеяния g (0ь Ог) ММВ и СМВ. При значениях фрактальной размерности D, стремящейся к целочисленной, получеипые значения приближаются к классическим.

Апробация работы

Результаты работы были представлены на следующих конкурсах и конференциях: Ежегодный конкурс молодых ученых, специалистов, аспирантов и студентов имени И.В. Анисимкина (Москва, ИРЭ им. В.А, Котельникова РАН, 2007 и 2008 гг.);

Четвертая Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, 2007 г.);

XI Международный молодежный форум "Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке" (Харьков, 2007 г.);

XIII и XV Международная научно-техническая конференция "Радиолокация, навигация, связь" (Воронеж, 2007 и 2009 гг.);

XV Международная студенческая школа - семинар "Новые информационные технологии" (Крым, Судак, 2007 гг.);

Международная научная конференция «Излучение и рассеяние электромагнитных волн - ИРЭМВ-2007» (Россия, Таганрог, 2007 г.);

XI Всероссийская школа-семинар в МГУ "Волновые явления в неоднородных средах" (Звенигород, 2008 г.);

VII Международная научно-техническая конференция «Физика и технические приложения волновых процессов», поев. 150-летию со дня рождения А.С. Попова (Россия, Самара, 2008 г.);

9-я Международная научно-техническая конференция "Проблемы техники и технологий телекоммуникаций - ПТиТТ-2008", поев. 100-летию со дня рождения академика В.А. Котельникова и 120-летию телефонной связи в Татарстане (Россия, Республика Татарстан, Казань, 2008 г.);

Second European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2007 (Edinburgh, UK, 2007); XXIX URSI General Assembly (USA, Chicago, 2008); 3rd European Conference on Antennas and Propagation EuCAP 2009 (Germany, Berlin, 2009);

2nd International Conference (CHAOS' 2009) on Chaotic Modeling, Simulation and Applications (Chania, Crete, Greece, 2009).

Личный вклад автора заключается в следующем:

• численный расчет индикатрис рассеяния g(9j, 82) на длинах волн X = 2,2 мм; X — 8,6 мм и X = 3,0 см для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.

• Все вошедшие в диссертационную работу результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Интерпретация основных научных результатов осуществлялась вместе с соавторами публикаций.

Структура и объём работы

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Основные результаты диссертационной работысостоят в следующем:

2. Исследовано описание рельефа фрактальной диапазонно ограниченной функцией Wh(x,jv); установлена связь между классическими статистическими параметрами случайной поверхности и её фрактальной размерностью D.

3. Разработана программа и рассчитаны индикатрисы рассеяния g(9i, 62) ММВ и СМВ для широкого спектра различных фрактальных поверхностей.

Благодарности

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю Александру Алексеевичу Потапову, осуществлявшему научное и практическое руководство в процессе выполнения настоящей работы, а также сотрудникам лаборатории № 343 ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН за тёплую атмосферу и полезные советы в течение подготовки диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе достигнута заявленная цель, поставленные задачи решены.

Радиоволна, взаимодействующая с фракталом, может рассматриваться как измерительная линейка, которая зондирует шероховатые поверхности посредством отбора пространственных частот на основе условий дифракции Брэгга. В случае малых значений D классическое и фрактальное приближения для поля рассеяния совпадают друг с другом. Таким образом, фрактальная размерность D шероховатой поверхности может быть оценена при помощи рассчитанных или измеренных характеристик рассеяния. На практике размеры облучаемой площадки должны быть, по крайней мере, в два раза больше, чем основной период структуры поверхности для того, чтобы можно было получить информацию о фрактальных параметрах из характеристик рассеяния.

Представленные результаты должны найти широкое применение в теории и практике радиолокации и дистанционного зондирования.

Эти результаты могут широко применяться для разработки фрактальных антенн, моделирования фрактальных частотно-избирательных структур, в физике твёрдого тела, физике нано-структур и для синтеза нано- и метаматериалов [163, 164, 168].

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Лактюнькин, Александр Викторович, Москва

1. Арманд Н.А., Палатов К.И. Проблемы радиотехники и радиофизики // Радиотехника и радиоэлектроника. 1993. - Т.38. - № 10. - С. 1734-1750.

2. Фейнберг E.JI. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. — М.: Изд. АН СССР, 1961.-546 с.

3. Бреховских J1.M. Дифракция электромагнитных волн на неровной поверхности // ДАН СССР. 1951. -Т.81. -№ 6. С. 1023-1026.

4. Исаакович М.А. Рассеяние волн от статистически шероховатой поверхности // ЖЭТФ. 1952. - Т. 23. № 3(9). - С.305-314.

5. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Рассеяние волн на статистически неровной поверхности. — М.: Наука, 1972.-424 с.

6. Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику: В 2 ч. Случайные поля. — М.: Наука, 1978. — Ч.П. 464 с.

7. Шмелев А.Б. Рассеивание волн статистически неровными поверхностями // УФН. 1972. — Т.106. — № 3. - С.459-475.

8. Павельев А.Г. О рассеянии электромагнитных волн на неровной поверхности и частотном спектре отражённого сигнала // Радиотехника и электроника. 1969. -Т.14.-№ 11.-С.1923-1931.

9. Rice S.O. Reflection of Electromagnetic Waves from Slightly Rough Surfaces // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1951. V.4. - № 2/3. - P.351-378.

10. Beckmann P., Spizzichino A.: The Scattering of Electromagnetic Waves from Rough Surfaces / Ed. By V.A.Fock., J.R.Wait. Oxford: Pergamon Press, 1963. - 503 p.

11. Propagation of Short Radio Waves / Ed. By D.E.Kerr (M.I.T. Rad. Lab. Ser. V.13) -N.-Y.: McGraw-Hill, 1951. 737 p. - В русском переводе - "Распространение ультракоротких волн" / Пер. с англ. под ред. Б.А.Шиллерова. - М.: Сов.радио, 1954.-710 с.

12. Введенский Б.А. Распространение ультракоротких волн. М.: Наука, 1973.^408 с.

13. Long M.W. Radar Reflectivity of Land and Sea. Ma: Lexington Books, 1975. -366 p.

14. Кулемин Г.П., Разсказовский В.Б. Рассеяние миллиметровых радиоволн поверхностью Земли под малыми углами. Киев: Наукова думка, 1987. - 232 с.

15. Зубкович С.Г. Статистические характеристики радиосигналов, отражённых от земной поверхности. М.: Сов. радио, 1968. - 224 с.

16. Семенов А.А., Арсеньян Т.И. Флуктуации электромагнитных волн на приземных трассах. М.: Наука, 1978. - 272 с.

17. Jensen J.R. Introductory Digital Image Processing. A Remote Sensing Perspective. -N.-Y.: Prentice-Hall, 1986. 379 p.

18. Sabins F.F., Jr. Remote Sensing Principles and Interpretation. N.-Y.: Fleerman, 1987. -449 p.

19. Richards J.A. Remote Sensing Digital Image Analysis. Berlin: Springer, 1986.-281 p.

20. Satellite Remote Sensing for Resources Development / Ed. by K.-H.Szekielda. -London: Gramant & Trotman Ltd., 1986. 221 p.

21. Арманд H.A., Башаринов A.E., Бородин Л.Ф., Зотова Е.Н., Шутко A.M. Радиофизические методы дистанционного изучения окружающей среды // В кн.: Проблемы современной радиотехники и электроники / Под ред. В. А. Котельникова. -М.: Наука, 1980. С. 95-138.

22. Радиолокация поверхности Земли из космоса / Под. ред. JI.M. Митника, С.В. Викторова. JL: Гидрометеоиздат, 1990. — 200 с.

23. Белоглазов И.Н., Джанджгава Г.И., Чигин Г.П. Основы навигации по геофизическим полям / Под ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1985. - 328 с.

24. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. — М.: Сов. радио, 1971. 326 с.

25. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического моделирования. — Л.: Машиностроение, 1986. 320 с.

26. Арманд Н.А., Крапивин В.Ф., Мкртчян Ф.Л. Методы обработки данных радиофизического исследования окружающей среды. — М.: Наука, 1987. — 270 с.

27. Лэндгриб Д.А. Техника анализа для дистанционного зондирования Земли // ТИИЭР. 1981. - Т.69. - № 5. - С. 160-176.

28. Прэтт У.К. Цифровая обработка изображений / Пер. с англ. под ред. Д.С. Лебедева. -М.: Мир, 1982.-Т.1. 310 с.-Т.2.-480 с.

29. Pietikainen М. Image texture Analysis and Segmentation. — Oulu: University of Oulu, 1982.-88 p.

30. Харалик P.M. Статистический и структурный подходы к описанию текстур // ТИИЭР. 1979. -Т.67. -№ 5. - С. 98-120.

31. Прэтт У.К., Фожра О.Д., Гагалович А. Применение моделей стохастических текстур для обработки изображений // ТИИЭР. 1981. - Т.69. - № 5. - С. 54-64.

32. Хомяков Ю.Н., Саушкин В.А. Методы классификации текстур // Зарубежная радиоэлектроника. 1986. - № 2. — С. 33-46.

33. Song-Sheng Liu, Jernigan М.Е. Texture Analysis and Discrimination in Additive Noise // Computer Vision, Graphics and Image Processing. 1990. - V.49. - № 1. -P. 52-67.

34. Dong-Chen He, Wang L., Guilbert J. Texture Discrimination Based on an Optimal Utilization of Texture Features // Pattern Recognition. 1988. - V.21. - № 2. - P.141-146.

35. Siew L.H., Hodgson R.M., Wood E.J. Texture Measures for Carpet Wear Assesment // IEEE Trans. 1988. - V.PAMI-10. - № 1. - P. 92-105.

36. Балтер Б.М., Егоров В.В. Методы и возможности дистанционного зондирования // ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Сер. Исследование космического пространства.-М.: ВИНИТИ, 1981.-Т.16. 191 с.

37. Ulaby F.T., Kouyate F., Brisco В., Williams T.H.L. Textural Information in SAR Images // IEEE Trans. 1986. - V.GE-24. - № 2. - P. 235-245.

38. Применение методов фурье-оптики / Под ред. Г.Старка; Пер. с англ. Под ред. И.Н.Компанца. М.: Радио и связь, 1988. - 536 с.

39. Ярославский Л.П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии: Введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987. - 296 с.

40. Rosenfeld A., Thurston М. Edge and Curve Detection for Visual Scene Analysis // IEEE Trans. 1971. - V. C-20. - № 5. - P. 562-569.

41. Carlycci L. A Formal System for Texture Languages // Pattern Recognition. 1972. -V. 4. -№ 1. - P. 53-72.

42. Peake W.H. Theory of Radar Return from Terrain // IRE National Conventional Record. 1959.-V. 7,-Pt. 1.-P. 27-41.

43. Ruck G.T., Barrick D.E., Stuart W.D., Krichbaum C.K. Radar Cross Section Handbook. -N.-Y.: Plenum Press, 1970. V. 1, 2 937 p.

44. Katz J., Spetner L.M. Two Statistical Models for Radar Return // IRE Trans. 1960. -V. AP-8. - № 3. - P. 242-246.

45. Spetner L.M. A Statistical Model for Forward Scattering of Waves of a Rough Surface //IRETrans. 1958.-V. AP-6.-№ l.-p. 88-94.

46. Twersky V. On the scattering and Reflection of Electromagnetic Waves by Rough Surfaces//IRE Trans.- 1957.-V. AP-5.-№ l.-P. 81-90.

47. Ament W.S. Forward and Back Scattering from Certain Rough Surfaces // IRE Trans. -1956. V.AP-4. № 3. - P. 369-373.

48. Ament W.S. Reciprocity and Scattering by Certain Rough Surfaces // IRE Trans. 1960. -V. AP-8.-№ l.-p. 167-174.

49. Feinstein J. Some Stochastic Problems in Wave Propagation. Pt. 1 I I IRE Trans. 1954. -V. AP-2.-№ l.-P. 23-30.

50. Гарнакерьян A.A., Сосунов A.C. Радиолокация морской поверхности. Ростов-на-Дону: РГУ, 1978. - 144 с.

51. Жуковский А.П., Оноприенко Е.И., Чижов В.И. Теоретические основы радиовысотометрии / Под ред. А.П.Жуковского. — М.: Сов. радио, 1979. — 320 с.

52. Ulaby F.T., Moore R.K., Fung А.К. Microwave Remote Sensing: Active and Passive. — Massachusetts: Addison-Wesley, 1981. V.l. - 456 p.; 1982. - V. 2. - 607 p.; Artech House, 1986. V. 3.-1097 p.

53. Tsang L., Kong J.A., Shin R.T. Theory of Microwave Remote Sensing. N.-Y.: John Wiley and Sons, 1985. - 613 p.

54. Яковлев О.И. Распространение радиоволн в космосе. — М.: Наука, 1985. 216 с.

55. Радиолокационные методы исследования Земли / Ю.А. Мельник, С.Г. Зубкович, В.Д. Степаненко и др.; Под ред. Ю.А. Мельника. — М.: Сов. радио, 1980. — 264 с.

56. Гончаренко А.А., Кравченко В.Ф., Пономарёв В.И. Дистанционное зондирование неоднородных сред. М.: Машиностроение, 1991. — 256 с.

57. Moore Р.К. Radar Return from the Ground // Bull. Eng. Lawrence. 1969. - № 59. -P. 87-93.

58. Бреховских JI.M., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - 264 с.

59. Шанда Э. Физические основы дистанционного зондирования / Пер. с англ. — М.: Недра, 1990.-208 с.

60. Katzin М. On the Mechanism of Radar Sea Clutter // Proc. IRE. 1957. V. 45. - № 1. -P. 44-57.

61. Du Castel F., Spizzichino A. Reflexion en Milieu in Homogene // Annales des Telecommunication. 1959.-V. 14. -№ 1,2.-P. 33-40.

62. Rydstrom H.O. Interpreting Local Geology from Radar Imagery // Bull. Geol. Soc. Amer. 1967. - V. 78. - P. 429-436.

63. Taylor R. Terrain Return Measurements at X, Ku and Ka Band // IRE National Convention Record. 1959.-V. 7.-Pt.l.-P. 19-26.

64. Fung A.K., Moore R.K. The Correlation Function in Kirchhoff s Method of Solution of Scattering of Waves from Statistically Rough Surfaces // J. Geophys. Res. 1966. - V. 71.-P. 2939-2943.

65. King H.E., Zamites C.I., Snow D.E., Colliton R.I. Terrain Backscatter Measurements at 40 to 90 GHz// IEEE Trans. 1970. V. AP-18. -№ 6. - P. 780-784.

66. Greene A.H., Fordon W.A., Barlett J.E. Results of Terrain Reflectivity Measurements at EHF (40-90 GHz) // In: Proc. IEEE NEREM-70 (Boston). N.-Y.: 1970. - P.228-229.

67. Valenzuela G.R. Depolarisation of EM Waves by Slightly Rough Surfaces // IEEE Trans. 1967. - V. AP-15. - № 4. - P. 552-557.

68. Кравцов Ю.А., Фукс И.М., Шмелев А.Б. Последовательное применение метода Кирхгофа к задаче рассеяния звуковой волны на поверхности со случайными неровностями // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 14. - № 6. - С. 854-864.

69. Павельев А.Г. О функции освещённости статистически неровной поверхности // Радиотехника и электроника. 1968. - Т. 13. -№ 5. - С. 811-817.

70. Пономарёв Г.А., Якубов В.П. Геометрооптическое приближение и метод Кирхгофа в задаче рассеяния волн на неровной поверхности // Изв. вузов. Радиофизика.-1976.-Т. 19.-№8.-С. 1202-1207.

71. Виноградов Н.А., Михайлюк В.М., Ровный С.Л. Метод расчёта геометрических затенений при рассеянии волн шероховатой поверхностью // Радиотехника и электроника. 1992. - Т. 37. - № 5. - с. 934-938.

72. Barrick D.E. Rough Surface Scattering Based on the Specular Point Theory // IEEE Trans. 1968. - V. AP-16. - № 4. - P. 449-454.

73. Barrick D.E. Unacceptable Height Correlation Coefficients and the Quasi-Specular Component in Rough Surface Scattering // Radio Science. 1970. - V. 5. - № 4. - P. 647-654.

74. Beckmann P. Scattering by Non-Gaussian Surfaces // IEEE Trans. 1973. - V. AP-21. — № 2. — P. 169-175.

75. Пономарев Г.А., Куликов A.H., Тельпуховский Е.Д. Распространение УКВ в городах. Томск: МП "РАСКО", 1191. - 223 с.

76. Исмагилов Ф.М., Кравцов Ю.А. Зеркальная и антизеркальная компоненты рассеянного поля для модели сильно неровной поверхности в виде системы открытых плоских волноводов // Изв. вузов. Радиофизика. — 1992. Т. 35. - № 8. -С. 671-677.

77. Исаакович М.А. Рассеяние волн от статистически шероховатой поверхности // В кн.: Труды Акустического института АН СССР. М.: АИ АН СССР, 1969. - Вып. V.-C. 152-251.

78. Белобров А.В., Фукс И.М. Деполяризация радиолокационного сигнала от случайной поверхности // Изв. вузов. Радиофизка. — 1986. — Т.29. № 12. — С. 1447-1453.

79. Пименов С.Ф., Руденко М.А. Рассеяние радиоволн двухслойной средой с шероховатыми границами // Изв. вузов. Радиофизика. 1992. - Т. 35. - № 3, 4. -С. 275-284.

80. Fung А.К., Eorn Н. Coherent Scattering of a Spherical Wave from an Irregular Surface // IEEE Trans. 1983. - V. AP-31. № 1. - P. 68-72.

81. Андреев Г.А., Черная Л.Ф. Интенсивности миллиметровых волн, рассеянных хаотическими поверхностями // Радиотехника и электроника. 1981. - Т. 26. № 6. -С. 1198-1206.

82. Арманд Н.А. О корреляционной функции волн, рассеянных шероховатыми поверхностями // Радиотехника и электропика. — 1985. — Т.30. № 7. С. 13071311.

83. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Физматгиз, 1962. — 220 с.

84. Бекман П. Рассеяние на сложных неровных поверхностях // ТИИЭР. 1965. -Т.53. — № 8. - С. 1158-1162.

85. Курьянов Б.Ф. Рассеяние звука на шероховатой поверхности с двумя типами неровностей // Акустический журнал. 1962. — Т.8. - № 3. - С. 325-333.

86. Bass F.G., Fuks I.M., Kalmykov A.I., Ostrowsky I.E., Rosenberg A.D. Very High Frequency Radio Wave Scattering by a Distributed Sea Surface (Pt. 1 Scattering from a Stightly Distributed Boundary) // IEEE Trans. 1968. V. AP-16. - № 5. - P. 554-559.

87. Bass F.G., Fuks I.M., Kalmykov A.I., Ostrovsky I.E., Rosenberg A.D. Very High Frequency Radio Wave Scattering by a Distributed Sea Surface (Pt. 2 Scattering from an Actual Sea) // IEEE Trans. 1968. V. AP-16. -№ 5. - P. 560-568.

88. Семенов Б.И. Приближённый расчёт рассеяния электромагнитных волн поверхностью типа шероховатого рельефа // Радиотехника и электроника. — 1966. -Т. 11. № 8. С. 1351 - 1361.

89. Семенов Б.И. Расчёт рассеяния электромагнитных волн поверхностью типа шероховатого рельефа для произвольных углов наблюдения // Радиотехника и электроника. 1970. - Т. 15. -№ 3. - С. 595-598.

90. Канарейкин Д.Б., Павлов Н.Ф., Потехин В.А. Поляризация радиолокационных сигналов / Под ред. В.Е. Дулевича. М.: Сов. Радио, 1966. — 440 с.

91. Канарейкин Д.Б., Потехин В.А., Шишкин И.Ф. Морская поляриметрия JL: Судостроение, 1968. 328 с.

92. Поздняк С.И., Мелитицкий В.А. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн. М.: Сов. радио, 1974. — 480 с.

93. Гусев К.Г., Филатов А.Д., Сополев А.П. Поляризационная модуляция. — М.: Сов. радио, 1974.-288 с.

94. Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного радиоизлучения земных покровов. — JL: Гидрометеоиздат, 1981. -280 с.

95. Богородский В.В., Козлов А.И. Микроволновая радиометрия земных покровов / Под ред. В.В.Богородского. JL: Гидрометеоиздат, 1985. — 272 с.

96. Шерклифф У. Поляризационный свет / Пер. с англ. Под ред. Н.Д. Жевандрова. — М.: Мир, 1965.-264 с.

97. Белобров А.В., Фукс И.М. Матрица Мюллера статистически неровной поверхности при радиолокационном зондировании // Изв. вузов. Радиофизика. — 1989. Т. 32. № Ю. - С. 1232-1237.

98. Копилович JI.E., Фукс И.М. Индикатрисы рассеяния и альбедо сильношероховатых поверхностей // Изв. вузов. Радиофизика. 1981. - Т. 24. № 7. - С.840-850.

99. Михайлова Д.В., Фукс И.М. Излучательная способность статистически неровной поверхности с учётом многократных отражений // Радиотехника и электроника. 1993. - Т. 38. № 6. - С. 1016-1025.

100. Андреев Г.А., Куковин А.Г., Черная Л.Ф. Альбедо и индикатрисы рассеяния миллимиетровых волн земными покровами с хаотическими неровностями // Радиотехника и электроника. 1988.-Т. 33,—№7.— С. 1352-1359.

101. Маттук Р. Феймановские диаграммы в проблеме многих тел / Пер. с англ. под ред. B.JI. Бонч-Бруевича.- М.: Мир, 1969. 366 с.

102. Жук Н.П. Уравнение для статистических моментов электромагнитного поля в области с флуктуирующими свойствами границы // Радиотехника и электроника. -1990. Т. 35. -№ 9. -С. 1863-1871.

103. Теохаров А.Н. Дифракция электромагнитных волн на сильно шероховатой границе раздела // Радиотехника и электроника. 1987. - Т. 32. - № 8. - С. 15941602.

104. Басс Ф.Г., Тимченко А.И. Применение вариационного метода Швингера в задачах рассеяния электромагнитных волн неоднородными слоями с шероховатыми границами // Изв. вузов. Радиофизика. 1989. — Т. 32. № 4. С. 461-467.

105. Жук Н.П., Шульга С.Н., Яровой С.Г. Обратное рассеяние волн шероховатой поверхностью однородного слоя на проводящей подложке // Изв. вузов. Радиофизика, 1990.-Т. 33.- № 10.-С. 1189-1190.

106. Светличный В.А. Матрица удельного сечения рассеяния второго порядка морской поверхности в KB диапазоне // Изв. вузов. Радиофизика. 1992. - Т. 35. №5.-С. 381-397.

107. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики / Пер. с англ. М.: ИЛ, 1958. - Т. 1. - 930 с. - 1960. - Т. 2. - 886 с.

108. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. -Киев: Наукова думка, 1986. 280 с.

109. Воронович А.Г. К теории рассеяния звука на неровной свободной поверхности // Акустический журнал. 1984. - Т. 30. - № 6. - С. 747-753.1.l112113114115116117118119120121.122.123.124.125.126.127.128.129.130.

110. Галактионов М.Ю. Применение новых подходов для расчёта коэффициента рассеяния скалярного волнового поля статистически неровной поверхностью сложного спектрального состава // Акустический журнал. 1991. - Т. 37. - № 2. - С. 270-276.

111. Дунин С.З., Максимов Г.А. О вычислении звуковой полей, рассеянных на неровных абсолютно отражающих поверхностях // Акустический журнал. — 1990. Т. 36. - № 2. - С. 276-282.

112. Михеев А.Г., Шамаев А.С. Об одном методе расчета дифракции электромагнитной волны на волнистой поверхности // Радиотехника и электроника. 1992. - Т. 37. № 9. - С. 1565-1572.

113. Потапов А.А., Синтез изображений земных покровов в оптическом и миллиметровом диапазонах волн: Дис. . доктора физ. -мат. наук. — М.: ИРЭ РАН, 1994.-436 с.

114. Потапов А.А., Чеканов Р.Н., Рассеяние волн фрактальными поверхностями // Тез. докл. LII Научной сессии, поев. Дню радио. М.: Изд. РНТО РЭС им. А.С. Попова, 1997. - Т. 1. С. 171-172.

115. Потапов А.А., Фракталы в радиофизике и радиолокации // Тез. докл. Региональной XXIII конф. по распространению радиоволн. — СПб.: Изд. СПГУ, 1997. С.25.

116. Джейкмен Э., Рассеяние на фракталах // Фракталы в физике/ пер. с англ.; Под.ред. Я.Г. Синая и И.М. Халатникова. -М.: Мир, 1988. С. 82-90.

117. Berry M.V., Difractals // J. Phys. A. 1979. V.12, № 6. P. 781 797.

118. Angon Y., Stiassnie M., Remote Sensing of the Roughness of Fractal Sea Surfaces //

119. J.Geoph. Res. 1991. V.96, № CI. P. 12773-12779.

120. Barrick D. E., Wind Dependence of Quasy-Specular Microwave Sea Scatter // IEEE Trans. 1974. V. AP-22, № 1. P. 135-136.

121. Jakeman E., Scattering by a Corrugated Random Surface with Fractal Slope // Ою Phys. A. 1982. V. 15, № 2. P. L55-L59.

122. Jakeman E., Fresnel Scattering by a Corrugated Random Surface with Fractal Slope // J. Opt. Soc. Am. 1982. V.72, № 8. P. 1034-1041.

123. Rino C.L., A Power Low Phase Screen Model for Ionosphere Scintillation // Radio Sci. 1979. V. 14, №6. P. 1135-1155.

124. Jakeman E., Rusey P.N., Significance of k Distributions in Scattering Experiments // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 40, № 9. P. 546-550.

125. Jakeman E., On the Statistics of K-Distributed Noise // J. Phys. A. 1980. V. 13, № 1. P. 31-48.

126. Jakeman E., Fraunhofer Scattering by a Sub-Fractal Diffiiser // Optica Acta. 1983. V. 30, №9. P. 1207-1212.

127. Walker J.G., Jakeman E., Observation of Sub-Fractal Behaviour in a Light Scattering System //Optica Acta. 1984. V.31,№ 10. P. 1185-1196.

128. Шкуратов Ю.Г., Фрактоиды и фотометрия твердых поверхностей небесных тел // Астрономический вестник. 1995. Т.29, № 6. С. 483-496.

129. Шкуратов Ю.Г., Фотометрические свойства физических фракталов // Оптика и спектроскопия. 1995. Т.79, № 1. С. 110-117.

130. Jaggard D.L., Sun X., Fractal Surface Scattering: A Generalized Rayleigh Solution // J. Appl. Phys. 1990. V.68, № 11. P. 5456-5462.

131. Berry M.V., Lewis Z.V., On the Weierstrass — Mandelbrot Fractal Function // Proc. R. Soc. (London). 1980. V. A370, № 1743. P. 459-484.

132. Jaggard D.L., Sun X., Scattering from Fractally Corrugated Surfaces // J. Opt. Soc. Am. A. 1990. V. 7, №6. P. 1131-1139.

133. Chen M.F., Fung A.K., A numerical study of the Regions of Validity of the Kirchhoff and Small-Perturbation Rough Surface Scattering Models // Radio Sci. 1988. V. 23, № 2. P. 163-170.

134. Ivanova K., Yordanov O.I., Bistatic Properties of Kirchhoff Difractals // Radio Sci. 1996. V.31,№6. P. 1901-1906.

135. Soto-Grespo J.M., Nieto-Vesperians M., Electromagnetic Scattering from Very Rough Random Surfaces and Deep Reflection Gratings // J. Opt. Soc. Am. A. 1989. V.6, № 3. P. 367-384.

136. Бьерно Л., Сан Ш., Применение приближения Кирхгофа к задачам рассеяния на упругих неровных поверхностях // Акуст. журн. 1995. Т. 41, № 5. С. 725-736.

137. Jordan D.L., Hollins R.C., Jakeman Е., Experimental Measurement of Non-Gaussian Scattering by a Fractal Diffuser//Appl. Phys. B. 1983. V. 31, № 1. P. 179-186.

138. Berry M.V., Blackwell T.M., Difractal Echoes // J. Phys. A. 1981. V. 14, № 11. p. 3101-3110.

139. Андреев Г.Ф., Потапов A.A., Влияние хаотических неровностей поверхности на отражённый импульсный сигнал миллиметровых волн // Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31, № 7. С. 1405-1414.

140. Andreyev G.A., Potapov А.А., The effect of Chaotic Surface Roughness on Radio Impulce Scattering // Proc. URSI Int. Symp. on Electromagnetic Theory. Budapest: Akademiai Kiado. 1986. Pt. A. P. 235-237.

141. Потапов А.А., Применение модулированных MMB для формирования и идентификации изображений //Радиотехника. 1989. № 12. С. 61-64.

142. Потапов А.А, Дифракция модулированных волн на хаотической поверхности с крупномасштабными неровностями // Тез. докл. X Всесоюзн. симп. по дифракции и распространению волн "СДВ-10". М.: Изд. физич. общ-ва СССР. 1990. Т.2. С. 183-186.

143. Потапов А.А., К применению методов теории систем и преобразований для исследований задач рассеяния // Тез. докл. Межд. науч.- техн. конф. "Статистические методы в теории передачи и преобразования информационных сигналов". Киев: КНИГА. 1992. С. 85-86.

144. Павельев В.А., Потапов А.А., Влияние земной поверхности на структуру импульсного сигнала в диапазоне миллиметровых волн // Радиотехника и электроника. 1994. Т.39, № 4. С. 573-582.

145. Потапов А.А., Соколов А.В., Частотная функция когерентности волнового поля, рассеянного шероховатой поверхностью с большим параметром Рэлея // Радиотехника и электроника. 1996. Т. 41, № 9. С. 1071-1076.

146. Потапов А.А., Дис. . канд. техн. наук. -М.: ИРЭ РАН, 1989.-254 с.

147. Потапов А.А., Опаленов Ю.В., Многолетние измерения в диапазоне миллиметровых волн характеристик рассеяния земных покровов с вертолёта // Электромагнитные волны и электронные системы. 1997. Т. 2, № 3. С. 71-74.

148. Mickelson A.R., Jagard D.L., Electromagnetic Wave Propagation in Almost Periodic Media // IEEE Trans. 1979. V. AP-27, № 1. P. 34-40.

149. Teixeira J., Experimental Methods for Studying Fractal Aggregates // On Growth and Form / Ed. by H.E. Stanley and N.Ostrovsky. Boston: Nijhoff, 1986. P. 145-162.

150. Калмыков А.И., Островский И.Е., Розенберг JI.Д., Фукс И.М., О влиянии структуры морской поверхности на пространственные характеристики рассеянного ею радиоизлучения. — Изв. вузов: Радиофизика, 1965, Т. 8, с. 1117.

151. Фукс И.М., К теории рассеяния волн взволнованной поверхностью моря. — Изв. вузов: Радиофизика, 1966, Т. 9, С. 876.

152. Burke J.E., Twersky V., Scattering and Reflection by Elliptically Striated Surfaces. — J. Acoust. Soc. Am., 1966, V. 40, P. 883.

153. Rense W.A., Polarisation Studies of Light Diffusely Reflected from Ground and Etched Glass Surfaces. J. Opt. Soc. Am., 1950, V. 40, P. 55.

154. Гершун А.А., Попов О.И., К вопросу о рассеянии света матовыми стёклами. -Светотехника, 1955, вып. 1, С. 3.

155. Полянский В.К., Рвачев В.П., Рассеяние света при отражении от статистически распределённых микроплощадок. Дифракционное рассмотрение. — Опт. и спектр., 1967, Т. 22, С. 279.

156. Исшшру А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Т. 2.- М.: Мир, 1981.- 320 с.

157. Потапов АЛ. Фракталы в радиофизике и радиолокации.- М.: Логос, 2002.- 664 с.

158. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп.- М.: Университетская книга, 2005.- 848 с.

159. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Основы теории рассеяния волн фрактальной поверхностью // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, №5. С. 517-544.

160. Потапов А.А. К теории функционалов стохастических полей обратного рассеяния // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52, № 3. С. 261 310.

161. Потапов А.А. Фракталы и хаос как основа новых прорывных технологий в современных радиосистемах. Дополнение к кн.: Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах / Пер. с англ. - М.: Техносфера, 2006. - С. 374 - 479.

162. Дайсон Ф., Монтролл Э., Кац М., Фишер М. Устойчивость и фазовые переходы.-М.: Мир, 1973.- 376 с.

163. Патаишнский А.З., Покровский B.JI. Флуктуационная теория фазовых переходов.- М.: Наука, 1982.- 382 с.

164. Потапов А.А., Потапов А.А. (мл.), Потапов В.А. Фрактальный конденсатор, дробные операторы и фрактальные импедансы // Нелинейный мир. 2006. Т. 4, № 4-5. С. 172- 187.

165. Jaggard D.L., Kim Y. И J. Opt. Soc. Am. A. 1987. V. 4. P. 1055.

166. Lin N. Technical Report, Dept. of Mech. And Prod. Eng.- National University of Singapore, 1993.

167. Lin N., Lee H.P., Lim S.P., Lee K.S. Wave Scattering from Fractal Surfaces // Journal of Modern Optics. 1995. V. 42, № 1. P. 225 241.

168. Ogilvy J.A. Theory of Wave Scattering from Random Rough Surfaces.- N.Y.: Adam Hilger, 1991.

169. Henri L., Felson L.B. Directions in Electromagnetic Wave Modeling.- N.Y.: Plenum Press, 1991.

170. Jordan L., Hollins R.C., Jakeman E. II Appl. Phys. B. 1983. V. 31. P. 179.

171. BallR., Blunt M. //J. Phys. A. 1988. V. 21. P. 197.

172. Bourelly C., Chiappetta P., Torresani В. I I J. Opt. Soc. Am. A. 1986. V. 3. P. 250.

173. Sinha S.K //Physica D. 1989. V. 38. P. 310.

174. Горбачев А.А., Потапов A.A., Тараканков С.П. Дистанционная диагностика динамических систем на основе нелинейного рассеяния электромагнитных волн // Нелинейный мир. 2004. Т. 2. № 5-6. С. 310 314.

175. Jaggard D.L. On Fractal Electrodynamics: // In: Recent Advances in Electromagnetic Theory / Ed. by H.N. Kritikos, D.L. Jaggard. -N.Y.: Springer Verlag, 1990. P. 183 -223.

176. Jaggard D.L. Fractal Electrodynamics: Wave Interaction with Discretely Self — Similar Structures // In: Symmetry in Electrodynamics / Ed. by C. Baum, H.N. Kritikos. L.: Taylor & Francis, 1995.

177. L. Guo, C. Kim, "Study on the Two-Frequency Scattering Cross Section and Pulse Broadening of the One-Dimensional Fractal Sea Surface at Millimeter Wave Frequency", Progress In Electromagnetics Research, PIER 37, 221-234, 2002

178. Sayles R.S, Thomas T.R., Berry M. V., Hannay J.H./I Nature. 1978 V.271, №5644; V. 273, №5663.