Моделирование резинокорда с применением к задаче качения шины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Демидович, Павел Николаевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М В ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
На правах рукописи
УДК 539 3
ДЕМИДОВИЧ ПАВЕЛ НИКОЛАЕВИЧ
МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗИНОКОРДА С ПРИМЕНЕНИЕМ К ЗАДАЧЕ КАЧЕНИЯ ШИНЫ
■с,
01 02 04 - механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва - 2007 г
Работа выполнена на кафедре Механики композитов Механико-Математического факультета МГУ им М В Ломоносова
Научный руковрдитель доктор физико-математических наук,
профессор С В. Шешенин
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор А С Кравчук
доктор физико-математических наук, ст науч сотр С Г Пшеничнов
Ведущая организация Институт механики сплошных сред
"Уральского отделения РАН (г Пермь)
Защита состоится «28» сентября 2007 года в 16 00 часов на заседании диссертационного совета Д501.001.91 при МГУ им. М В Ломоносова, расположенном по адресу 119991, РФ, ГСП-1, г Москва, Ленинские горы, Главное здание, Механико-Математический факультет, аудитория 16-10
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-Математического факультета МГУ (Главное здание, 14 эт)
Автореферат разослан «24» августа 2007 г
Ученый секретарь
диссертационного совета,
доктор физико-математических наук,
профессор,
Шешенин С В
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Автомобильная шина является высокотехнологичным изделием Разработанная методами механики деформиру-i емого твердого тела (МДТТ) трехмерная модель шины востребована прежде всего при решении прикладных задач, важных для промышленности Однако проблемы, возникающие в процессе моделирования шины, имеют и чисто научный интерес Модель должна описывать сильную неоднородность в структуре шины, состоящей из резинокорда и резины, анизотропию, достаточно сложную геометрию изделия, разнообразие условий эксплуатации Также важно, чтобы Модель позволяла решать различные контактные задачи для системы «колесо — дорога». Максимально полно учесть особенности строения и поведения автомобильной шины можно при ее численном моделировании как трехмерного вязко-упругого тела Наиболее подходящем численным методом является метод , конечных элементов (МКЭ)
I Расстояние между кордными нитями существенно больше, чем расстояние между волокнами традиционных композитов Однако непосредственная аппроксимация на уровне корда требует столь мелкой дискретизации рабочей области, что решение возникающих систем уравнений является непосильной задачей для компьютерных комплексов настоящего дня и ближайшего будущего Поэтому широко используются гомогенизация и различные приближенные модели К ним относятся модель кольца на упругом основании, модель эффективного кордного волокна, модель эффективного резинокордного слоя и др Наиболее простой расчет упругих модулей резинокорда производят при плоском напряженном состоянии, а методами теории оболочек определяют напряженно-деформированное состояние (НДС) шины в статической и динамической постановках
В развитии механики шин и резинокордных композитов участвовали отечественные и зарубежные специалисты, в частности, J Rotta, F Böhm, В JI Бидерман и Б JI Бухин, R Ridha, Т Akasaka, S К Clark, Э И Гри-голюк и Г М Куликов, J Padovan, Н Rothert, А Е Белкин, Б Е Победря и С В Шешенин и многие другие Ими разработаны различные модели шины, применяемые при решении многих задач. Многообразие в подходах к расчету шины делает актуальным теоретико-экспериментальный анализ существующих моделей с целью выявления ограничений в их применении Практически важным является синтез различных моделей с целью повышения их универсальности Также с практической и с теоретической точек зрения представляют интерес исследования различных численных методов в их приложении к решению динамических контакт-
ных задач (например, задачи о наезде колеса на твердое препятствие) Вышеизложенное ^определяет актуальность темы диссертации
Основными целями диссертационной работы являются сравнительный анализ различных моделей резинокорда, применяемых в инженерной практике, строгое описание эффективных свойств резинокорда на основе методики осреднения, построение экспериментально-расчетной методики определения упругих модулей резинокордных пластин, теоретическое и опытное обоснование адекватной модели резинокорда, в которой жесткости на растяжение, изгиб, сдвиг и поперечное сжатие задаются независимо, построение оболочечно-трехмерного конечного элемента, формулировка и реализация контактной задачи Научная новизна работы определена тем, что
- проведен сравнительный анализ методик для определения упругих модулей резинокордных пластин,
- по результатам опытов на растяжение образцов с различными кордными углами поставлена и численно решена обратная задача определения упругих модулей компонент — обрезиненного корда и резины,
- для моделей эффективного волокна и эффективного резинокордно-го слоя экспериментально-аналитически исследована возможность согласованного учета изгибных, растягивающих и сдвиговых жестко-стей резинокорда, из чего сделан вывод об актуальности описания резинокорда оболочечно-трехмерными элементами,
- описаны эксперименты, необходимые для задания материальных констант резинокорда в рамках предложенной модели резинокорда,
- для резинокорда построен слоистый конечный элемент, в котором жесткости на изгиб, растяжение, сдвиг и поперечное сжатие задаются независимо,
- построен программный модуль для расчета НДС шины при ее динамическом контакте с твердой дорогой для случаев стационарного и нестационарного качений
Достоверность полученных результатов обусловлена корректно поставленными экспериментами, статистической обработкой опытных данных, экспериментальным обоснованием оболочечно-трехмерной модели резинокорда, использованием строгих математических методов и проверенных численных алгоритмов Результаты численных экспериментов согласуются с решениями аналогичных задач, полученными другими методами
Практическая ценность диссертации заключается в разработанной экспериментально-расчетной методике определения упругих модулей резинокорда и приложении полученных результатов к решению практиче-
ски важных контактных задач Указанная методика и созданный программный модуль использовались при выполнении работ по грантам РФФИ и АФГИР
На защиту выносятся:
1 экспериментально-расчетная методика определения эффективных модулей резинокорда,
2 построенная и экспериментально обоснованная оболочечно-трехмер-ная модель резинокорда,
3 постановка и программный модуль решения задач о контакте колеса с дорогой в динамической постановке для случаев стационарного и нестационарного качения
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 14 и 15 Международных симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2003 и 2004г г (г Москва), на Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 95-летию со дня рождения А А Ильюшина в 2006 г (г Москва), на научных конференциях «Ломоносовские чтения» в 2003, 2004 и 2006 г г в МГУ им М В Ломоносова (г Москва), на научных семинарах кафедры «Механики композитов» (под руководством профессора Б Е Победри)
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 9-ти научных публикациях
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введе-1 ния, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы Работа изложена на 113-ти страницах машинописного текста, содержит 42 рисунка, список использованных источников из 101 наименования
Краткое изложение диссертации
Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения
В Обзоре литературы рассмотрены вопросы механики шин и описаны работы отечественных и зарубежных авторов, относящиеся к теме диссертации
Первая глава посвящена экспериментально-аналитическому анализу различных методов определения упругих свойств резинокорда
В § 1.1 рассмотрена структура легковой шины, приведена классификация шин по строению каркаса, показаны различия между диагональными и радиальными шинами Далее описывается строение основного материала шины — резинокордного слоя Обсуждаются трудности, возни-
кающие при изучении резинокорда Указывается, что серьезные осложнения обусловлены значительном — на несколько порядков — различием в механичеких свойствах резины и корда, практической несжимаемостью
резины, геометрической нелинейностью, характерной для эксплуатационных нагрузок Приводится экспериментальная зависимость напряжения от относительного удлинения при одноосном растяжении плоского образца, из чего сделан вывод о допустимости применения упругих моделей резинокорда (см рис 1).
Модель резинокорда, основанная на технике осреднения, обсуждается в § 1.2 Однослойный резинокорд,
Рис 1
Рис 2
у которого кордные нити расположены параллельно, моделируется как волокнистый композит Двухслойная пластина обладает иерархической структурой, как показано на рис 2, так что на втором этапе резинокорд гомогенизируется как слоистый композит Для случая плоско-напряженного состояния модель двухслойного резинокорда можно упростить и
рассматривать один «±(^>-слой», как показано на рис 3 Плоская модель основана на гипотезе о жестком сцеплении между слоями В опытах на одноосное растяжение межслойными эффектами можно пренебречь вдаг ли от кромок образца
В §1.3 подробно рассматриваются наиболее популярные приближенные методы расчета плоских модулей резинокорда Для сравнительно- рис д го анализа были выбраны следующие соотношения
формулы Аказака-Нггапо
Еь = Ес1с + £3(1 - 7с) 4 Ед 3 Ъ
С?ьт = в^-1 = 0 25 ■ Ет ^ьт = 05
уравнения На1ргп-Тзаг
Еь = Ес1с + Ед(1-Ъ) 0ЬТ =
= + иьт = ^сТс + ^(1 - 7с)
и формулы Соидк-Тацдогта
Еь = Ес1с + Ед( 1 - 7с) Оле = С?в(1 - 7с)
42?3(1 — 7с) [Ед'Ус + Ед{1 — 7с)] _ (3)
ЕТ =-ЗЕсУс + 4Ед(1 — 7с)
Индексы сиг обозначают корд и резину соответственно Направление вдоль волокна обозначено буквой Ь, а поперечное направление — индексом Г, 7с — объемная концентрация корда Модули задаются в системе координат, когда одна из осей направлена вдоль корда Из соотношений (1) выводятся расчетные формулы для плоской модели двухслойных образцов
т71
Сип = с4 Еь + Ет, Сп22 = С2 й2 Еь + ~
С2222 = Ел, + Ет, С1112 = 0 (4)
тр
С2212 = о, С1212 = С2 52 Еь + —
здесь с = сов^ф) и в = вгп((/з) — функции кордного угла <р, равного по определению половине угла между волокнами Направления 1 и 2 являются главными, как показано на рис 3 В заключительной части параграфа установлено, что два слоя резинокорда не симметричны относительно срединной плоскости, следствием чего является взаимное влияние крутки и растягивающего усилия Для случая шины, обжатой на поверхность, это означает отсутствие симметрия в пятне контакта, что согласуется с наблюдениями
В работах Б Е Победри и В А Молькова развита модель волокнисто-слоистого композита как среды, периодической по трем направлениям Краткому описанию модели посвящен §1.4 Преимуществом такого подхода является в частности то, что он позволяет рассчитать все упругие модули, а не только «плоские», хотя и с разной степенью достоверности Полученные расчетные схемы были впоследствии применены для резинокорда С В Шешениным и С А Маргаряном Модифицированный автором программный модуль далее используется для сравнительного анализа различных моделей резинокорда
В §1.5 описывается серия экспериментов на одноосное растяжение двухслойных образцов, проведенных с целью сравнительного анализа, «плоских» модулей резипокорда и определения поперечного модуля. Опыты проводились в Институте механики МГУ на испытательной машине фирмы ZWICK. Автор выражает благодарность сотрудникам НИИ механики П.В.Чистякову и А. В. Муравлеву за содействие в организации экспериментов. Схема опыта и внешний вид установки представлены на рис. 4. Использовались двухслойные пластины размером 320 X 80 х х 2 мм. Испытанные образцы были однотипными, т. е. совпадали по структурным и геометрическим характеристикам своих компонент. Различия касались только кордных углов ip, принимавших значения 0°, 10°, 15°, 20°, 25°, 30°, 40°, 60° и 90°. Концентрация волокон, определяемая как отношение объёма корда к объёму слоя, составляла 12% (7с — 0.12). Также имелись контрольные двухслойные пластины без корда для измерения модуля резины. Для каждого образца была определена экспериментальная зависимость а ~ с, характерный вид которой представлен на рис. 1. Эффективный модуль Юнга аппроксимировался методом линейной регрессии. В результате была получена эмпирическая зависимость от кордного угла ip. Аналогичные зависимости были
вычислены для некоторых приближенных моделей. Результаты сравнения представлены на рис. 5, График Hornogenization simplified соответствует «формуле смесей». Кривая Hornogenization вычислена в рамках модели, описанной в §1.4. Линии FE 2D Link elements и FE 3D Link elements соответствуют двух- я трехмерной модели. Они были получены в результате численного моделирования опыта на одноосное растяжение методом конечных элементов. По результатам экспериментальной про верки инженерных методик был сделан вывод об их достаточной точности при вычислении модуля Юнга для практически важных углов > 20°.
В §1.6 исследована обратная задача определения модулей обрезинен-ного корда и резины по известному продольному модулю резинокорда. Показано, что для решения задачи достаточно одних лишь опытов на одноосное растяжение двухслойных образцов с различными кордными
Рис 5
углами Искомые модули Е? и Ес были вычислены с помощью модифицированного метода Ньютона
ДП+1
Еп+1
И
Еп
Е"
— т
Л(а) (Е^Е^)-Е^)
(дН{1) дЩг) \
дЕд дЕс
дНт дЩ2)
\ 9Еа дЕс )
-1
(5)
здесь Е^ и Е^р взяты из опытов и соответствуют двум разным углам <рх и (¿>2) Е1д, Е1С — г-ые приближения для модулей резины и корда, т — итерационный параметр, улучшающий сходимость алгоритма (обычно он принимался равным 0,5) Расчетная схема, по которой модули резино-корда вычисляются через модули его изотропных компонент, обозначена как Н Таким образом, функция Н(ЕС, Ег, (р) может быть соотнесена с любой приближенной моделью из рассмотренных в §1 5 Численный эксперимент был проведен с использованием метода осреднения, рассмотренного в §1.4 Выбор обусловлен во-первых тем, что по результатам §15 метод продемонстрировал хорошую аппроксимацию опытных данных. Во-вторых, указанная модель позволяет находить все (а не только «плоские») модули резинокорда Поскольку в этом случае аналитическая форма у функции Я отсутствует, дифференцирование проводилось тоже численно Была установлена сходимость схемы (5) для следующих пар углов 0°/25°, 0°/90°, 10°/90°, 25°/60° и некоторых других При этом
расхождение между значениями вычисленного модуля резины и измеренного в эксперименте не превысило 7-ми% Далее, метод был проверен на контрольном образце с (р = 20° по следующей схеме
(Щ
ехр трехр\ VI ' Ч>1 )
(Ед, Ес)
(20°)
сравнить с
^(20°)
(6)
Д ^ И
д
О ^
Рис б
В этом случае ошибка оказалась в районе 3-х%. Вообще, обратный алгоритм показал хорошие результаты, когда хотя бы один из кордных углов достаточно мал (< 25°) Расходимость при больших углах можно объяснить тем, что при больших углах продольная жесткость резинокорда слабо зависит от модуля корда Ценность предложенной методики состоит в том, что она позволяет сравнительно дешево определить свойства обрезиненного корда, которые не совпадают с его первоначальными свойствами
Проблема определения поперечного модуля резинокорда на сжатие и жесткости резинокорда на изгиб обсуждается в §1.7 Были рассмотрены две модели резинокорда модель эффективного волокна (левый рис 6), применяемая для определения «плоских» модулей резинокорда, и модель эффективного слоя, которая используется при моделировании качения шины (правый рис 6) Подробно исследован модуль на поперечное сжатие С помощью конечно-элементных расчетов в рамках моделей эффективного волокна была изучена зависимость модуля от концентрации корда Установлено, что формулы, применяемые для вычисления Ет, удовлетворительно аппроксимируют модуль Ез, если концентрация корда не превосходит 15-ти%
Далее, рассматривалась трехмерная конечно-элементная модель резинокорда как среды, периодической по двум направлениям, представленная на рис 7 Изучена зависимость поперечного модуля от отношения 1>1 /Хз длины и ширины ячейки периодичности Установлено, что только при малых концентрациях корда (до 15%) допустимо этой зависимостью пренебречь С ростом относительного содержания корда зависимость
*Х,1
ч ы Щс'/
/ <13 •шу /
Рис 7 Ячейка периодичности модуля от отношения Ь\/Ьз становится более выраженной, что важно,
поскольку для практического значения L1/L3 = 2 77 концентрация существенно больше 15-ти% Поскольку сама модель эффективного волокна не представляется адекватной для вычисления поперечного модуля ре-зинокорда Ез, для определения модуля Ез были поставлены опыты на сжатие резинокордных пластин Эксперименты проводились в Институте механики МГУ на испытательной установке фирмы ZWICK (рис 4) Выли использованы те же двухслойные образцы, описанные в §1 5 Образец закреплялся на плоской станине, расположенной в рабочей части машины, и прессовался с помощью цилиндрических инденторов Всего в опытах применялось два однотипных стальных индентора с различными диаметрами d\ = 45 мм и d2 = 22 мм В результате были получены экспериментальные зависимости а ~ е, по которым методом линейной регрессии был определен модуль Е$хр При сравнении его значения с измеренным в §1 5 модулем Е^р, установлено Е^хр ~ 2 Е%?р Сделан вывод, что модуль Е2 нельзя аппроксимировать по приближенным формулам, принятым для расчета модуля Ет Нельзя применять и саму модель эффективного волокна Это означает, что для определения модуля Ез из решения задачи на ячейке периодичности необходимо задавать реальную структуру корда Однако, вероятно надежнее модуль Е3 определять экспериментально В тоже время отмечено, что для определения «плоских» модулей модель эффективного волокна является вполне приемлемой
Для модели эффективного слоя (правая часть рис 6) была подробно исследована проблема определения эффективной толщины h Из условия E^f ~ Elxp было выведено неравенство 0,7 < h/H < 1,0, где Н — полная толщина пластины, h — толщина эффективного слоя С другой стороны, из условия совпадения изгибных жесткостей, рассчитанных по модели эффективного волокна и модели эффективного слоя, получено h/H < 0,5 Жесткость на изгиб Dexp была определена также из опыта, схематично представленного на рис 8 Для сравнения, эффективная жесткость на изгиб f рассчитывалась в рамках двухслойной модели эффективного слоя с использованием гипотезы эффективного волокна В результате было получено
Dexp и 7000 мм} Deff и 10000 мм1. (7)
те экспериментальная жесткость еще меньше, чем дает гипотеза эффективного волокна В итоге сделан вывод о невозможности выбрать толщи-
Рис 8 Схема опыта на изгиб
ну эффективного слоя так, чтобы достаточно хорошо аппроксимировать и модуль Ез, и жесткость на изгиб
К сожалению, современный уровень вычислительной техники не позволяет более детально учесть строение шины при решении краевых задач и отказаться от модели эффективного слоя Однако, если моделировать резинокордный слой специальным конечным элементом, то тогда жесткости на растяжение, изгиб, сдвиг и сжатие можно задавать независимо
В §1.8 изложен способ моделирования резинокорда с помощью обо-лочечно-трехмерного элемента, схематично показанного на рис 9 Модель резинокорда при растяжении и изгибе, получаемая методом осреднения, записывается так
^и — Аир<эер<2 + вирдкРЯ (2)
Ми = ВЫРдер(2 + Оирс^крд
Узлы в вершинах
(8)
Рис 9
здесь Ии и Ми — усилия и крутящие моменты в плоскости пластины, ерд и кр<э — растяжения, сдвиги и крутки, АиРО — растягивающие и сдвиговые эффективные жесткости, DxJPQ — эффективные изгибы, В^2]Рд — эффективные жесткости взаимного влияния Растягивающие, изгибные и смешанные жесткости , задаются выражениями
+Я/2
АЫР<3 = £ | Рнря
+Я/2
в(1) - £2
-Я/2 +Я/2
-Я/2 +Я/2
(9)
В(2) _ _3
£>ырсз ~ £
-Я/2
ЬРиРЯ ^з , Е>иРЯ = £3 | —СзЯирО
¿С3
-Н/2
здесь Рир(э и Яирс} находятся из решения задачи на ячейке периодичности Интегралы берутся по периодической ячейке Для резинокорда интегрирование ведется поперек толщины, а локальные задачи являются одномерными
Отметим, что жесткости на растяжение и изгиб можно также определить из экспериментов. Формулы (8), (9) годятся для нескольких слоев резинокорда Для одного слоя формулы (8) упрощаются
Ни = Аирдер,э , Ми = £>ирс}крс}
Выражение энергии имеет вид
а2) = НАирде)^ + НъОиРЯк1ик2Рд (10)
Построение конечного элемента для резинокорда было проведено в четыре этапа
1 аппроксимация энергии (10) при помощи функций формы срединной плоскости и узловых переменных в срединной плоскости,
2 аппроксимация энергии поперечного обжатия,
3 применение три-линейных функций формы для аппроксимации энергии поперечного сдвига,
4 выражение узловых неизвестных срединной плоскости через узловые перемещения в вершинах трехмерного элемента (см рисунок 9) Далее, в качестве примера было продемонстрировано применение слоистого элемента в моделировании резинокорда
В выводах к параграфу отмечено то преимущество оболочечно-трех-мерного элемента, что матрица жесткости элемента выражена в терминах продольных, изгибных и поперечных жесткостей резинокорда, которые задаются как независимые входные параметры Особенно целесообразно использование этого элемента для моделирования резинокорда с текстильным кордом
Во второй главе излагается методика решения задач стационарного и нестационарного качения шины с использованием полностью Лагран-жевого подхода и полностью трехмерных конечных элементов
В §2.1 осуществлена постановка краевой задачи в начальной области
о
У, отнесенной к моменту ¿о В текущий момент времени Ь пвина занимает объем V В уравнении движения использован первый тензор Пиола -Киргоффа Г
ООО
V Р(г) =РИ, геУ (11)
здесь К = ЩХг,Х2,Х3,1) — радиус-вектор материальной точки в актуальной конфигурации, в начальной конфигурации радиус-вектор обозначен как г = хгкг, через Хг,г — 1,2,3 обозначены декартовы коорди-о
наты хг в момент Ьо, Р — плотность в начальной конфигурации Также
т о
использованы тензор Коши Г, градиент места Р якобиан преоб-
0 о
разования начальной конфигурации в текущую 3 = (IV/аУ Через V и V обозначены градиенты в начальный и текущий моменты соответственно Начальная и актуальная граничные поверхности тела Е (соответственно
Е) разбиты на четыре части — ¿-¡и и Ес У Ер и Еех£ На Ер с нормаг
лью N приложено внутреннее давление р (JV Т = —р N), так что на недеформированной поверхности с нормалью п выполнено соотношение
п P = -pJn F'1 = -р JxN, г €ЕР (JB = cffi/dE) (12) о
Внешняя поверхность Yiext шины свободна от нагрузки
П Р = О, Г ehext (13)
О
На S« заданы перемещения
res« (14)
причем положено, что Rq = Q r + vt, где Q = [^j^j -
матрица поворота Компонента переносной скорости удовлетворяет соотношению (здесь через d обозначена осадка колеса) vnep — cj Rtire (1 — d) Контактные условия на поверхности Ес сформулированы в §2 2
При записи вариационного уравнения, 2-ой тензор Пиола — Кирго-
о
фа S был использован для подобласти Vrc > занимаемой резинокордом о
В подобласти Vr, которая заполнена резиной, применялся 1-ый тензор Пиола — Киргофа Р
Р(и) V (w- w0)TdV +
о
S(u) e(w — w0)dV +
PR (w-w0)dV=
0 0 0 Vr Vre К
0
0
(го - го0) dY,p + ¿>с(и) (-ш - ги0) d^S,
2 2
Здесь ги — гио — возможное перемещение, удовлетворяющее нулевому граг ничному условию на £„, Бс — вектор контактных усилий, существенно нелинейно зависящий от перемещения, двойное скалярное произведение обозначено как двоеточие. Задание 8с(и) дано в следующем параграфе с помощью контактного алгоритма
Определяющее соотношение для резины записано через потенциальную энергию деформирования V/, которая разбита на сумму потенциал лов, характеризующих сдвиг и объемную деформацию
Р = 1Г = '№аНваг + 1Г»о1 (15)
Сдвиг аппроксимировался потенциалом Муни - Ривлина ИГ.Неаг = С10(Т1(С)-3) + СО1(12(С)-3) + С2О(Т1-3)2 + Сзо(11-3)2 (16)
здесь ^(С), 1-2,(С?), /3(6) — приведенные инварианты тензора деформации, определенные в виде
Та = ^=(5^1)173= « = 1,2,3
Объемный потенциал задавался следующем образом
Фпл = (17)
где X — модуль объемного сжатия и / или параметр штрафа
Определяющее соотношение для резинокорда задавалось в скоростях
5 = Сгс • £о (18)
здесь модули Сгс считались постоянными, £о = 1/2(6? — 2"), С? = РтР
Использовалось также определяющие соотношение для резины, записанное в скоростях
92ги о
Р = ^ (V 4) (19)
Таким образом была сформулирована нелинейная краевая задача в частных производных — соотношения (11) - (14) плюс условия контакта — на нахождение вектора Л (или вектора перемещения и = И — г) Задача решалась с помощью дискретизации по параметру t! так что определялся вектор АН = — В? Удерживая лишь члены, линейные относительно приращения перемещения Аи = и1+А± — и*, запишем
.о ,о_ А ч о
ЪЁ'
V №Аи) =МД, (20)
о
Преобразуем краевые условия на Ей
Аи = Д-К0, г еЕи (21)
и краевые условия на £р (давление считается постоянным)
тг • АР(Аи) = -рД^-ЛГ) (22)
В результате было получено
V [Ст . (V Д«т)т] = Р ДГ
Ст = C{Rm) (23)
Аит = Rm+1 - Rm, Rm = R(tm), tm = mAt, m = 1,2,
Аппроксимация граничного условия (22) производилось на внутренних итерациях, которые являются одновременно и итерациями контактного алгоритма
Для уравнения движения и граничных условий верны следующие приближенные соотношения
V [С™ (V Aum,s)r] = р (Hm's - Я"1"1) (24)
Aum's = (AR°)m, г € (25)
п [Ст (V Awm'*)r] = -р (j^'5"1 ЛГ*'8"1 - J^JV™-1) (26)
здесь через s обозначен номер текущей итерации, Aum,s - s-ая итерация вектора Аит, так что Аит,° — Аит~1 Приращение перемещения Аит в левой части (26) соответствует s-ой итерации, в то время как правая часть отнесена к (s — 1)-ой итерации
Так была осуществлена постановка задачи движения шины относительно неподвижной системы отсчета Однако известно, что задачу удобнее решать в системе отсчета, которая вращается вместе с колесом Для этого случая полное ускорение было представлено как сумма ускорений относительного, центробежного и Кориолисова
а = uj х [и> х (г + и)] — 2ш х vr + аг
или в приращениях
Да = ш х [ш х (А«)] — 2а? х Avr + Aar
где и и Аи - относительное перемещение и приращение относительного перемещения по вращающейся системе, аг и г>г - относительные скорость и ускорение соответственно аг г»г u> считалась постоянной
Был рассмотрен следующий класс задач шина катится стационарно и наезжает на препятствие небольшого размера Соответственно, приближенно полагалось, что угловая скорость вращения обода колеса не
изменяется из — const Приращения относительных скорости и ускорения выражались через приращение перемещения
Да = АгАи - A2v{t) - (А3 + l)a(i) Av = [(1 - <5) a(t) + 5 a(t + At)} At
где Ai,A2, Аз и <5 — известные константы метода Ньюмарка.
Все члены с Aum,s добавляются в матрицу жесткости, остальные -в правую часть Сформулированное выше справедливо как для нестационарного, так и стационарного вращения. Различие заключается в том, что в последнем случае производная по времени заменяется дифференцированием по углу <р
Уравнение движения в приращениях в случае стационарного вращения использовано в виде
о г52Л it
[C™(Rm)AUp<q} з + Рь?0-^- = 0 (27)
Здесь учтено, что вектор поворота имеет единственную координату, отличную от нуля ш = (0,0,w) и ш = const На начальном шаге т = О решалась статическая задача о раздувании шины внутренним давлением с учетом центробежных сил
[C/jM(HTO)A«Pl,]ij + Рш^хЧ = О [C3^(Rm) Aup,i]j=0 (28)
I = 1,2 , г,р|?)=1,2,3
здесь пренебрегается изменением геометрии вследствии надува шины внутренним давлением В уравнении (27) учтено изменение центробежных сил в результате относительных перемещений шины, вызванных контактом с дорогой Наличие последнего члена в уравнении (27) существенно усложняет решение задачи при больших скоростях поскольку приводит к потере сильной эллиптичности (положительной определенности) краевой задачи и результирующей линейной системы алгебраических уравнений
В §2.2 описан контактный алгоритм для решения задач в приращениях на основе закона Кулона, записанного следующем образом
если <?n < 0 и |£т| < тогда А и? = О,
ST АиТ (29)
если от/ < 0 и = &|о"лг| тогда . . = — тт-г
здесь вектор напряжения разложен = егдг .¿V + вт на тангенциальную вх и нормальную <тдг N составляющие Используемый контактный алгоритм впервые был предложен А С Кравчуком Полагалось, что контакт колеса с дорогой описывается уравнением /(И, 4) = 0 таким образом, что ышна расположена в области пространства, соответствующем неравенству /(-й, €) > 0 Граничные условия условия на контактирующей поверхности имеют вид
если f(Rm+1's~1,tm) > 0 тогда п [Ст (V Дит'8)т] =0,
если /(К™-1-1'3-1,^) < 0 тогда п [Ст (уДит'8)г] = Д(1725с)т'8
здесь через в™'8 обозначена 5-ая итерация для вектора напряжения контактной поверхности, вычисленного для момента времени £т Правая часть А(расписывается следующим образом
Д(-7вЯс)т,в = - (7Е5Гс)т
здесь = + N Д^ решения системы (29) был
использован итерационный метод на основе оператора проектирования Итерации сг^+1'8 вычислялись по формулам
дт+1,в = + ДгДи^'8-1]
здесь через ¿н обозначено расстояние от узла до препятствия Оператор проекции был выбран в виде
р 1/Т \ _ / °> тн > 0
(8Т, т^цф-ч (зо)
Рг(5т) = I Щ^ >
где Ддг и Рт ~ параметры итераций В качестве начального приближения можно положить Д(1/25,с)т+1'° = - О/е^с)"1""1 Однако числен-
ные тесты показали, что начальные значения не играют существенной роли для контактного алгоритма
Контактный итерационный алгоритм на каждой итерации "я" приводит к линейной задаче Для решения этой внутренней задачи использовались как итерационный, так и прямой методы Если внутренний метод
итерационный, то оба алгоритма, рассмотренные в совокупности, составляют так называемый двухступенчатый метод Главной его особенностью является то, что для достижения высокой общей точности достаточно небольшого числа внутренних итераций В численных экспериментах пороговая точность внутренних итераций задавалась равной 0,5 или 0,7 Для решения внутренней задачи нами также применялся прямой метод Это позволило сделать вывод об оптимальности выбранной точности внутреннего итерационного процесса, поскольку при ее дальнейшем повышении время расчета увеличивалось без существенного улучшения результирующей точности Более того, для плохо обусловленных матриц жесткости (для модели шины этого свойства избежать не удается) излишне сильное требование к точности внутренних итераций приводит к расходимости алгоритма
Скорость сходимости метода (30) продемонстрирована на графиках 10 На верхнем рисунке построена зависимость числа внешних итераций, необходимых для для достижения точности 0 01, от контактных итерационных параметров Для расчета оба итерационных параметра выбирались равными Коэффициент трения принимался равным 0 8 Нижняя диаграмма демонстрирует зависимость времени счета (в минутах) от контактных итерационных парат метров Можно заметить качественную корреляцию обоих графиков, од нако минимумы не совпадают Обе кривые не являются монотонными, что затрудняет априорную оценку оптимальных значений для параметр ров итерации.
Установлено, что наилучший выбор итерационных параметров повышает эффективность метода до 25% Однако следует учесть, что в случае нелинейного анализа существенная доля полного расчетного времени затрачивается на формирование глобальной матрицы жесткости С другой стороны, настройка оптимальных итерационных параметров возможна с помощью упрощенных предвари-
3530-
ё 2.5-
Contaet iterative parameter
Contact iterative parameter
Рис 10
тельных расчетов. В качестве тестового расчета была решена задача о колесе, катящемся по твердой плоскости. При больших значениях параметров поведение контактного алгоритма оказалось неустойчивым. Монотонную схсдгшостъ можно получить, ограничив область значений параметров итерации окрестностью единицы. В более сложных задачах, например при наезде на цилиндрическое или сферическое препятствие, оказалось, что для достижения устойчивой сходимости и сокращения времени счета итерационные параметры следует выбирать существенно меньше.
В §2.3 описана конечко-элемент-ная модель радиальной шины, в которой использованы резинокорд-ные слои трех типов. Слой, примыкающий к ободу колеса, соответствует каркасу шины и имеет кордный угол ВД:!. Над ним расположены два резин окордных слоя с углами которые моделируют бре-кер шины. Четвертый слой моделирует область, расположенную непосредственно под протектором, которая укреплена нейлоновыми нитями. Все слои однородны, и их механические свойства определялись по методике, развитой в [7]- Важными элементами модели являются резиновые прослойки. Рассмотрены случаи: прослойки отсутствуют или расположены лишь между резинокордными слоями.разных типов («модель 1») и резиновая прослойка также разделяет слои брекера («модель 2»),
Для второй модели получено несимметричное распределение давления в пятне контакта., что согласуется с экспериментальными данными. Напротив, в рамках первой модели окружное направление является главным и распределение усилий в зоне контакта остается симметричным.
Конечно-элементное разбиение иллюстрирует рис.11. Количество узлов по толщине равно восьми для первой модели И дер яти для второй. Равномерная; в окружном направлении сет-
к а показана на рисунке 12. Для вычислений мы использовали следующее разбиение: от 6 до 9 узлов по толщине шины, от 47 до 67 узлов в меридиональном направлении и до 144 узлов в окружном направлении.
Для построения сетки в меридиональном сечении была написана программа. Она работает с произвольным числом слоев и произвольным числом граничных поверхностей, которые задаются координатами своих узлов. На толщину отдельного слоя также нет ограничений. После успешного разбиения плоского сечения полученная сетка распространяется на весь объем, занятый шиной.
В §2.4 с помощью численных экспериментов исследована работоспособность построенных выше моделей. Процесс моделирования наезда на препятствие следующий. На первом этапе решается задача об установившимся качении колеса. Найденное решение используется как начальное условие при рассмотрении дальнейшего качения. Установлено, что упругая модель накладывает известное ограничение на максимальную скорость, для которой возможно получить решение. Было проведено боль-п.гое число тестовых вычислений для случая стационарного качения в линейно-упругой постановке. Оказалось, что предельная скорость вращения, при которой вычислительные алгоритмы демонстрируют устойчивость, зависит от размера конечно-элементной сетки, коэффициента Пуассона и того факта, является ли конечно-элементное разбиение титл равномерным или неравномерным в окружном направлении.
В большинстве тестов принималось, что динамический радиус колеса составляет 93% от начального радиуса. В задаче об обжатии неподвижной шины на твердую поверхность итерационный алгоритм сходится для коэффициента Пуассона, меньшего или равного 0.497. Большая устойчивость алгоритма наблюдалась при и ~ 0.495, ио опять же для случая неподвижной глины. Было определено, что предельное значение коэффициента Пуассона, при котором работают прямые методы, составляет 0.49. При прямом методе на решение системы из 46000 линейных уравнений было затрачено приблизительно 3.3 мин. (процес-
Рж:. 13. Деформирование сетки при наезде на цилиндрическое препятствие. Ск-ть - 70 км/ч, ко-эфф.трения - 0.8., кордный угол брекера - 25°
сор РеггЬштЗ с тактовой частотой ЮНг), причем потребовалось 500МЬ оперативной памятиг Максимальный размер системы, решенной нами при и = 0 49 итерационно, составлял 260000 уравнений при требуемом объеме памяти всего лишь в 187М6 Были проведены тестовые расчеты для выяснения влияния сил инерции на сходимость метода Установлено, что максимально допустимый размер обращаемой матрицы существенно зависит от угловой скорости вращения колеса В завершении параграфа с помощью рисунков продемонстрированы возможные распределения нормальных и касательных составляющих поверхностных усилий в зоне контакта колеса с дорогой
В Заключении кратко сформулированы итоги работы
- Рассмотрены и Проанализированы на предмет корреляции с опытными данными известные приближенные подходы к определению «плоских» модулей резинокорда
- Построена замкнутая расчетно-экспериментальная методика определения «плоских» упругих модулей резинокорда, на основе лишь опытов на одноосное растяжение плоских образцов Модули резины и корда определяются путем решения обратной задачи с помощью модифицированного итерационного метода Ньютона
- Предложен конечный элемент, отражающий специфические свойства резинокордного композита, в котором независимо задаются продольные модули, изгибные жесткости и жесткости на поперечное сжатие
- Осуществлена постановка контактной задачи стационарного и нестаг ционарного качения для колеса, катящегося по твердой дороге, с учетом силы трения в рамках закона Кулона Линеаризация задачи качения по времени осуществлена с использованием метода Ньюмарка, записанного в приращениях Применен двухступенчатый итерационный алгоритм решения контактной задачи Проведены численные тесты для случаев стационарного и нестационарного движения, в случае наезда на препятствие
- Численно исследована зависимость результатов решения контактной задачи от скорости вращения колеса Получены распределения контактных усилий в зоне контакта,
Основные результаты диссертации.
1 Осуществлено обоснование и построение оболочечно-трехмерной модели резинокорда,
2 Разработаны механическая модели и численный алгоритм для моделирования стационарного и нестационарного качения шины
Список публикаций по теме диссертации
1 Демидович П H, Шешенин С В О вычислении свойств резинокорда// Тезисы науч конф «Ломоносовские чтения» — г Москва МГУ, апрель 2003г — С 48-49
2 Демидович П. Н., Шешенин С В., Чистяков П В. Об определении механических свойств резинокордного материала // 14-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов» — Т 1 - г Москва- НИИШП, 20-24 октября 2003г - С 137-141.
3 Шешенин С. В, Демидович ПН. К определению эффективных свойств резинокорда // Тезисы науч конференции «Ломоносовские чтения» — г. Москва МГУ, апрель 2004г. — С 161-162
4 Шешенин С В , Демидович П. H Анализ методов определения упругих свойств резинокорда // 15-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов» — Т. 2 — г Москва НИИШП, 18-22 октября 2004г — С 195-197
5. Шешенин С В , Демидович П H Применение метода осреднения для построения слоистого конечного элемента//Сб тр Междунар симп по проблемам механики деформируемых тел, посвященного 95-летию со дня рождения А А Ильюшина.— M . URSS, 19-20 янв 2006г.— С 432-437.
6 Демидович П H, Михаленко А П, Шешенин С В Построение слоистого конечного элемента резинокорда // Тезисы науч конф «Ломоносовские чтения» — г Москва МГУ, апрель 2006г — С 61
7 Демидович П. Н. Теоретико-экспериментальное определение эффективных свойств резинокорда — M . Моек гос ун-т, 2007 — 29 с — Деп в ВИНИТИ РАН 09 04 2007 №400-В2007
8 Шешенин С В., Демидович П H Трехмерное моделирование стационарного и нестационарного качения шины — M Моек гос ун-т, 2007. - 22 с - Деп в ВИНИТИ РАН 12 07 2007 №720-В2007
9 Шешенин С. В , Демидович П H, Чистяков П В , Муравлев А В Определение модулей резинокорда при плоско-напряженном состоянии // Вестник Моек Ун-та Сер. 1, Математика, Механика — 2007 - № 5 - С 4&-53
Введение
Обзор литературы.
Глава 1. Механические свойства резинокорда
1.1. Структура шины.
1.2. Гомогенизация резинокордного слоя.
1.3. Эффективные механические свойства резинокорда при плоском напряженном состоянии.
1.4. Эффективные модули резинокорда как трехмерной периодической среды
1.5. Экспериментальное определение эффективных модулей резинокорда при плоском напряженном состоянии.
1.6. Обратная задача определения модуля корда
1.7. Эффективные модули резинокордного слоя как среды, периодической в плане.
1.8. Моделирование резинокорда с помощью слоистого элемента.
Глава 2. Контактная задача о качении шины
2.1. Моделирование качения шины с помощью трехмерной нелинейной теории упругости.
2.2. Формулировка контактного алгоритма.
2.3. Конечно-элементная модель радиальной шины.
2.4. Результаты численных экспериментов.
Актуальность и интерес изучения резинокордных композитов и пневматических автомобильных шин обусловлены, во-первых, потребностями промышленности, а во-вторых, сложностью объекта исследования, не позволяющей на сегодняшний день удовлетвориться какой-то одной основополагающей "шинной теорией". Различные модели шин, разрабатываемые методами механики деформируемого твердого тела (МДТТ), постоянно совершенствуются - и с неизбежностью усложняются. Для решения возникающих задач, в том числе контактных, привлекают все доступные мощности вычислительной техники, в последнее время отдавая предпочтение методу конечных элементов (МКЭ). К основным аспектам, которые необходимо учитывать при моделировании шин, следует отнести большие геометрические искажения в процессе эксплуатации шины, её сильную неоднородность и малую сжимаемость резины. Чтобы учесть все особенности напряженно-деформированного состояния (НДС) шины, крайне необходимо вычленить характерные моменты. Весьма плодотворным оказался взгляд на шину как на оболочечную структуру. В рамках теории оболочек удалось решить множество шинных задач. Сами модели проделали большой эволюционный путь от простейший двухслойной оболочки, моделирующей каркас и брекер шины, до анизотропной многослойной i моментной оболочки, основанной на геометрически нелинейной теории Тимошенко.
Современный уровень развития вычислительной техники позволяет перейти к трехмерному моделированию. Трехмерное моделирование НДС пневматических шин представляет интерес, по крайней мере, в двух аспектах. Во-первых, в чисто теоретическом, так как ставит достаточно сложные проблемы построения трехмерной модели резинокорда и повышения эффективности вычислительных алгоритмов. Трехмерное моделирование шин является очень серьезным тестом для ряда численных методов. По существу, трехмерное моделирование резинокорда является предметом вычислительной механики [39, 42], когда приходится увязывать свойства механической модели резинокорда (или конечного элемента) с вычислительным алгоритмом. На примере моделирования резинокорда практически видна тесная связь между адекватностью механической модели и работоспособностью численных методов. Если при формулировки модели допущена ошибка только в задании упругих констант, решение получается физически неправдоподобным или получить решение не удается вообще. Например, ошибка в задании поперечного модуля Юнга приводит к перехлестыванию ячеек. Другими словами, численное решение удается получить даже для очень мелкой дискретизации (вплоть до 500 тыс. степеней свободы), если свойства модели (конечного элемента) сформулированы правильно. Во-вторых, трехмерное моделирование интересно в практическом плане, так как позволяет перейти от распространенного расчета шин на основе методов сопротивления материалов к более детальному расчету на основе уравнений теории упругости. В настоящей работе развивается методика расчета напряженно-деформированного состояния ре-зинокордных пневматических шин как на основе уравнений теории упругости (с помощью чисто трехмерных элементов), так и на основе оболочечно-трех-мерных элементов. В связи со стремительным развитием производительности компьютеров такой подход приобретает все больший смысл.
Предлагаемая диссертационная работа посвящена построению трехмерной модели пневматической шипы и ее численной реализации при динамическом нагружении и при контактных граничных условиях на поверхности контакта с учетом трения. Развиваемый подход использует результаты работы [36]. Резинокорд представляет собой резинокордный композит, для моделирования которого применяется математический аппарат осреднения [1, 38], однако для его применения к резинокорду необходимо было решить теоретические проблемы [52].
Задачи, решаемые в данной диссертационной работе состоят в следующем:
1. Строгое описание эффективных свойств резинокорда на основе методики осреднения.
2. Описание резинокорда с помощью оболочечно-трехмерных элементов.
3. Описание экспериментов, необходимых для задания материальных констант резинокорда.
4. Решение обратной задачи для численно-экспериментального определения свойств обрезиненного корда.
5. Формулировка динамической вариационной задачи для полностью Лагранжевого подхода.
6. Численная реализация и проведение вычислительных тестов.
7. Проведение экспериментов для обоснования предложенной оболочечно-трехмерной модели резинокорда.
Работа состоит из введения, обзора литературы, двух глав, заключения и списка литературы. В первой главе дан подробный экспериментально-теоретический анализ упругих свойств основных силовых элементов шины - ре-зинокордных слоев. Описаны проведенные эксперименты на одноосное растяжение, изгиб и поперечное сжатие. Для модуля Юнга на растяжение в плоскости резинокорда опытные данные обработаны в рамках наиболее популярных моделей резинокорда. Сделан вывод о хорошем совпадении результатов различных теоретических подходов. В то же время для поперечного модуля Юнга отмечено недопустимое расхождение между экспериментом и теоретическими значениями. Важный результат состоит в том, что выявлена проблематичность одновременной адекватной аппроксимации эффективных продольных модулей, изгибных жесткостей и жесткости на поперечное сжатие в рамках теории упругости, поэтому в §1.8 предложена оболочечно-трехмерная модель, отражающая специфические свойства резинокордного композита, в котором указанные жесткости задаются независимо. К существенным результатам диссертации также следует отнести теоретико-экспериментальную методику (§1.6) определения упругих модулей корда и резины по экспериментальным измерениям модуля Юнга резинокорда. Для различных кордных углов показано, что для решения указанной задачи достаточно лишь опытов па одноосное растяжение двухслойных резинокордных пластин с различными кордными углами, дающими экспериментальную зависимость эффективного продольного модуля Юнга от кордного угла. Обратная задача восстановления упругих изотропных модулей решена численно, с использованием модифицированного итерационного метода Ньютона.
Во второй главе построена методика и численная реализация решения контактной задачи стационарного и нестационарного качения шины по твердой поверхности с учетом сил трения. Постановка задачи осуществлена в рамках нелинейной теории упругости. Проведена линеаризация системы уравнений методом Ныомарка, записанным в приращениях. Трение задано по закону Кулона. Для описания контактного взаимодействия применяется итерационный метод, построенный с помощью техники квазивариационпых неравенств и впервые предложенный Кравчуком А. С. [26-29]. Построенный таким образом двухступенчатый итерационный алгоритм решения контактной задачи реализован в виде программного Фортран-модуля. Отдельно исследовано стационарное качение шипы. Результаты ее решения используются как начальные данные для расчета неустановившегося движении в задаче о наезде на препятствие. В рамках численного эксперимента проанализирована зависимость результатов решения контактной задачи от скорости вращения колеса. Получено распределение контактных усилий в зоне контакта для модельной геометрии внутренней структуры шины.
Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:
1. Четырнадцатом Международном симпозиуме «Проблемы шин и рези-нокордных композитов» (Москва, 20-24 октября 2003г.).
2. Пятнадцатом Международном симпозиуме «Проблемы шин и резино-кордных композитов» (Москва, 18-22 октября 2004г.).
3. Международном научном симпозиуме по проблемам механики деформируемых тел, посвященном 95-летию со дня рождения А. А. Ильюшина (Москва, 19-20 января 2006г.).
4. Научных конференциях «Ломоносовские чтения» в 2003, 2004 и 2006г.г. в МГУ им.М.В.Ломоносова (г.Москва).
5. Научных семинарах кафедры «Механики композитов» под руководством профессора Б. Е. Победри (МГУ им. М. В. Ломоносова).
По теме диссертации опубликованы работы [19-22, 48, 49, 51, 53, 54]
Обзор литературы
Среди методов расчета НДС автомобильной шины существенную долю составляют методы, основанные на теориях балок и оболочек. Полученные с их помощью теоретические и практические результаты отражены в огромном количестве работ. Первый расчет НДС резинокорда на основе мембранной модели для нужд дирижаблестроения приведен в работе 1913 года [69]. В дальнейшем стратегические запросы авиастроения стимулировали развитие собственно механики пневматических шин. Пионерской по праву можно считать работу Rotta [96], основанную на экспериментальном анализе самолетных шасси. В рамках максимально упрощенной модели автором решены следующие задачи: определение деформации в шине при заданном контакте с грунтом, а также известными боковом сдвиге и наклоне плоскости колеса; определение контактных нагрузок; расчет продольного деформирования боковины шины. Установлена практическая независимость направления контактных сил и области контакта от давления.
В качестве первых попыток применить теоретические наработки к изучению изменения профиля пневматической шины при раздувании можно указать работы [10, 74].
В СССР независимо от зарубежных авторов внутренняя механика шин была развита в работах В.Л. Бидермана. Под его руководством была написана книга [8] по теории и методам расчета, проектирования и испытаний автомобильных шип.
В 50-60 годах прошлого столетия наибольшее развитие получили две расчетные модели шин: кольцо на упругом основании и сетчатая оболочка вращения. Связано это с сочетанием относительной простоты моделей и возможностью получить на их основе практически важные результаты.
Одномерная модель кольца на упругом основании соответствует конструктивным особенностям радиальных шин: практически однозначное разделение на кольцо (беговая часть и брекер) и упругое основание (боковые стенки с меридиональным каркасом). Каждый элемент модели можно считать одно-, двух- или трехмерным, с независимо заданными жесткостями. Например, в работе [63] на основе модели изучались напряжения в катящейся радиальной шине. Кольцо, моделирующее брекерный пояс, наделялось крутильной жесткостью, жесткостью на растяжение и двумя жесткостями на изгиб относительно главных центральных осей поперечного сечения.
В работе Бёма [58] предложена одна из первых рабочих расчетных схем, согласно которой каркас и брекер моделируются мембранами, а распределение усилий между ними задается некоторой функцией. Таким образом автором решена задача о нагружении шины внутренним давлением (осесиммет-ричная задача), а также подробно изучены радиальные и продольные колебания шины (результаты хорошо согласуются с экспериментом). Отметим, что в рамках двухслойной модели касательные напряжения остаются неопределенными.
Для моделирования динамического поведения шины Бём разработал модель точечных масс [62]. Модель учитывает лишь небольшое число свойств реального материала. Кроме того, ее применение требует значительного числа экспериментов. Достоинством такой модели является ее простота, что позволяет рассчитывать нестационарное качение при больших скоростях с использованием маломощных компьютеров.
В.Л.Бидерманом и Э.Я.Левковской [9, 34] также решена задача о деформации радиальной шины внутренним давлением. Для моделирования беговой части шины ими была применена трехслойная ортотропная оболочка с двумя несущими мембранными слоями, соответствующими каркасу и брекеру, и разделяющей их резиновой прослойкой, работающей па поперечный сдвиг. Боковая стенка радиальной шины моделировалась однородной, транс-версально-изотропной безмоментиой оболочкой. В результате удалось вычислить не только относительные удлинения в армирующих элементах шины -слоях каркаса и брекера (меридиональные, окружные и вдоль нитей корда), но также деформации поперечного сдвига в меридиональном направлении в резиновой прослойке между каркасом и брекером. Весьма существенно, что в рамках трехслойной модели можно определить одну из зон со значительным уровнем деформаций поперечного сдвига - зону кромок брекера, с которой обычно начинается разрушение шины.
Комбинация моделей кольца на упругом основании и осесимметричной трехслойной оболочки использована Мухиным О.Н. [37] для решения задачи о локальном нагружении радиальных шин. В такой постановке удается определить два значения НДС для цикла его изменения за оборот колеса: при действии внутреннего давления и в центре контакта шины с опорной поверхностью.
Особенности строения диагональных шин отражены в модели безмоментиой сетчатой оболочки вращения, предложенной B.JI. Бидерманом и Б.Л. Бу-хиным [7, 11], а также зарубежными авторами [61, 90]. В наиболее простом варианте из модели исключена резина, кордные слои считаются идентичными по строению и размерам. Однако столь сильные упрощения все же позволяют рассчитать плоско-напряженное состояние диагональной шины (например, при надувке), когда усилия в резине много меньше усилий в кордных нитях.
Модель моментной ортотропной оболочки Киргофа-Лява, позволяющая учесть изгиб шины, рассмотрена в работах [59, 66,100]. В работе [91] в рамках многослойной модели решается задача осесимметричного нагружения шипы. В радиальной шине, нагруженной внутреннем давлением, определялась зависимость напряжения в каркасе и брекере от центробежных сил при различных скоростях вращения. Геометрически нелинейная теория Кирхгофа-Лява для многослойной ортотропной оболочки используется в работе [64].
Задача неосесимметричного нагружения радиальной шины как оболочки Кирхгофа-Лява в нелинейной постановке решалась Контанистовым М.П. [25].
Белкиным А.Е. решена задача обжатия шины на поверхности дороги и задача стационарного качения обжатой шины с использованием приближенной теории трехслойных оболочек [2, 3]. Деформации предварительно напряженных оболочек считались малыми. В работе [4] предложено приближенное решение контактной задачи об обжатии шины на плоскость, основанное на интегрировании линеаризованных уравнений теории оболочек. При построении линеаризованной теории предполагалось, что смещения точек шины, переводящие ее из начального состояния (накачанная шина) в конечное (обжатая шина), являются малыми. Для более точной аппроксимации зоны беговой дорожки радиальных шин также автором была предложена модель шипы как пятислойной оболочки [5]. Несущие мембранные слои, моделирующие каркас и два слоя брекера, считались анизотропными и тем самым учитывали различную направленность углов армирования. Экранирующие слои брекера моделировались мембранной оболочкой, отличной от модели рабочих слоев. Преимущество такого подхода по сравнению с трехслойными моделями состоит прежде всего в том, что он позволяет уточнить величины НДС в зоне кромок брекера, которая является потенциально опасной с точки зрения разрушения шины. Кроме того, в рамках модели возможно исследовать НДС резиновой прослойки между слоями брекера. Однако недостатком пятислойной модели по сравнению с трехслойной заключается в требовании при расчетах значительно больших вычислительных ресурсов.
Григолкж Э.И. и Куликов Г.М. построили уточненную нелинейную теорию многослойных анизотропных оболочек типа Тимошенко, которая приводит к решению системы гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных двенадцатого порядка [15, 16]. Хотя в рамках теории поперечные касательные напряжения и тангенциальные перемещения аппроксимируются независимо, с точки зрения использованного смешанного вариационного принципа модель является корректной в том смысле, что соотношения упругости для поперечных касательных напряжений выполняются интегрально как по толщине пакета, так и по толщине каждого слоя. Модель позволяет определить две компоненты относительных удлинений (в окружном и меридиональном направлениях) и три компоненты деформации сдвига. Авторами решены модельные задачи о надувке различных типов шин: диагональных и радиальных; грузовых, легковых и крупногабаритных. Результаты расчетов хорошо аппроксимируют интегральные характеристики шин, в тоже время выявлена неудовлетворительная аппроксимация НДС в зоне кромок брекера. Для преодоления этого недостатка авторами предложены уточнения, которые в свою очередь увеличивают время счета на порядок, однако для современных компьютеров это обстоятельство пе является столь существенным.
Исследование задачи об обжатии шины на твердую поверхность с помощью оболочек типа Тимошенко представлено в работах [18, 33, 80]. Для оболочек принималась или кинематическая гипотеза Тимошенко (линейное распределение перемещений по толщине слоя), или гипотеза ломанной нормали. Задача рассматривалась в вариационной постановке с использованием функционала нелинейной упругости Ху - Васидзу. Дискретизация оболочки проводилась с использованием смешанных оболочечно-трехмерных элементов. Диагональная шина моделировалась четырехслойной перекрестно армированной резинокордной торообразной оболочкой кругового поперечного сечения. Форма пятна контакта предполагалась известной (эллипс), в процессе решения вычислялись его размеры. Первоначально столь существенные упрощения в постановке контактной задачи были прямым следствием вычислительной слабости компьютеров. Сейчас расчет по такой модели актуален па стадии проектирования шины, когда требуется быстрый прикидочный результат. Тем более если учесть, что модель анизотропной оболочки типа Тимошенко выявляет важный эффект несимметричного распределения давления в пятне контакта. Также отметим, что выбор в качестве искомых функций шести перемещений лицевых поверхностей оболочки позволяет рассчитывать оболочку, подверженную произвольно большим перемещениям и поворотам.
Предпринимались попытки использовать цилиндрическую систему координат, например, в работе [65]. Предполагалось, что цилиндрические конечные элементы более точно аппроксимируют геометрию шины, в результате чего удается уменьшить число конечных элементов в окружном направлении. Применение цилиндрических координат продемонстрировано на примере решения задачи о накачке и задачи о контакте с жесткой плоскостью, проведены сравнения с экспериментами. Однако широкого распространения подобный подход не получил, поскольку в рамках более реалистичных моделей шины цилиндрическая система преимуществами не обладает.
В работе [84] Padovan и Zeid рассмотрели контактную задачу стационарного качения шины. Они построили оболочечный контактный элемент и предложили алгоритм, который позволяет учитывать силы инерции для линейных и нелинейных задач. Внешняя нагрузка задавалась либо как силы и моменты, либо как перемещения. Уравнения нелинейной упругости записывались с помощью 2-го тензора Пиола-Киргофа в подвижной системе координат, жестко связанной с катящемся колесом. В качестве критериев контакта были выбраны условие непроникания и условие отсутствия нормального растягивающего усилия. Трение учитывалось с помощью закона Кулона. Эффективность алгоритма изучена в рамках простейшей модели кольца на упругом основании. В дальнейшем исследования были продолжены в работе [85]. Здесь постановка задачи проводилась как во вращающейся, так и неподвижной системах координат, что позволило учесть большие перемещения. Результирующие системы уравнений решались с помощью само-адаптирующейся версии алгоритма Ньютона-Рафсона. Были рассмотрены подходы на основе gap-элементов и на основе граничных элементов. В численных тестах существенной разницы между подходами выявлено не было. Для коэффициента трения ц £ [0.1; 1] установлено малое влияние трения на зависимость полной нагрузки от смещения.
В серии работ [87-89] Padovan развивает описанный выше подход. Теперь шина рассматривается как вязко-упругое тело и моделируются с помощью дробного интегро-дифференциального оператора. Помимо стационарной задачи, также рассмотрена задача о нестационарном качении, для решения которой использован метод Ньюмарка. В численных тестах применялись две модели шины. С помощью модели кольца на упругом основании была определена критическая скорость в рамках двух конечно-элементных схем: чисто оболочечная схема и смешанная оболочечно-трехмерпая схема. Результаты оказались близки: 119.7 км/ч и 120.3 км/ч соответственно. Для расчета частотных характеристик шины и сравнения их с экспериментальными данными была использована двухслойная тороидальноя модель. В рамках упругой модели (без учета вязкости) выявлена возможность резонанса. Введение вязкости уменьшает влияние инерционных сил в окружном направлении. В целом получена хорошая корреляция с экспериментальными данными. Также проведен сравнительный анализ следующих контактных стратегий: метод множителей Лагранжа, метод штрафа, метод коэффициентов влияния и gap-метод. Установлено, что при использовании метода множителей Лагранжа могут получаться осциллирующие решения, когда граничный узел колеблется (в согласии с контактными условиями по смещению и напряжению) между контактной и свободной зонами, так что необходимо применять метод захвата, чтобы предотвратить преждевременное разъединение узлов. При рассмотрении задачи об соударении и а высоких скоростях получено, что использование метода штрафа требует большого числа итераций для стабилизации решения. Ослабить это требование можно путем варьирования значения параметра штрафа. В заключении с помощью вычислительных тестов исследована задача о наезде колеса на препятствие. Для широкого диапазона скоростей скольжения (0.2 км/ч — 119 км/ч) получено, что при столкновении с препятствием возбуждается целый спектр гармонических колебаний шины. Учет вязкости позволяет рассеять высшие гармоники. Напротив, для катящегося без проскальзывания колеса установлено определяющее влияние инерционных сил на характер удара о выступ, особенно для скоростей, близких к первой критической (119 км/ч).
Более реалистичная трехмерная модель шины использована в работах Rothert'a [92-95]. В [92] решается задача о качении надутой шины по твердой плоскости без скольжения в зоне контакта. Исследованы три алгоритма: линейный метод исключения, основанный на квадратичном потенциале; метод нелинейного программирования, эквивалентный использованию лагранжиана, модифицированного в терминах штрафа; и метод вариации граничных условий, записанный в приращениях — это один из прямых методов, подразумевающий коррекцию узлового перемещения в случае проникновения и изменение граничных условий. В работе определялось пятно контакта, причем внутреннее давление не учитывалось. В результате, в центре пятна нарушался контакт. Площадь найденного пятна хорошо коррелировала с экспериментами. Трение учтено в работе [93]. Здесь резина моделируется как нелинейный материал: Е = Ео(1 — осЕ^макс), где Е — модуль Юнга, осе — экспериментальный параметр, емаКс ~ максимальная главная деформация. Для опытной проверки численного метода была изготовлена однородная шина без резинокордных слоев. В результате установлено, что вычисленное в зоне контакта нормальное давление близко к измеренному. Также хорошо согласованы расчетные и наблюдаемые форма и размер контактного пятна, особенно в рамках геометрически и физически нелинейной модели. Отметим, что улучшение результатов по сравнению с [92] достигнуто в том числе благодаря уточнению конечно-элементного разбиения. В работе [94] исследованы различные формы опорной поверхности (наклонная плоскость, вогнутые и выпуклые барабаны) в их влиянии на распределение контактного давления. Показано, что гипотеза прилипания приводит к неверному распределению напряжений в зоне контакта, особенно касательных. Также, рассчитанное без учета проскальзывания пятно контакта оказалось значительно меньше экспериментального. Хорошее согласование с опытами достигнуто при использовании кулоновского закона трения и зависящих от деформации силовых элементов. Наиболее полный анализ с учетом больших деформаций и перемещений, вязкости, трения, неоднородности и физической нелинейности представлен в работе [95]. Геометрия протектора не учитывалась. Эффективность алгоритма была проверена при решении задач стационарного и нестационарного качения для скорости v = 80 км/ч и коэффициента Пуассона v = 0.499. Использовались смешанные оболочечно-трехмерные элементы, так что размер решенной системы составил около 106 уравнений. Резииокордпая структура не рассматривалась и шина моделировалась как однородное тело. Напряжение разлагалось па сумму упругого и вязко-упругого слагаемых. Вязко-упруroe поведение моделировалось с помощью системы из N элементов Максвелла и пружинки, соединенных параллельно. Отметим, что в данной статье авторы вместо 2-го тензора использовали несимметричный 1-ый тензор напряжений Пиола-Киргофа. Было проведено исследование процесса выхода на стационарный режим качения, в результате которого установлено, что для стабилизации движения потребовалось восемь витков колеса. Для упругой и вязко-упругой моделей вычислены максимальные напряжения, которые составили 11.5 Н/мм2 и 25.0 Н/мм2 соответственно.
В заключении укажем, что обзор литературы не претендует на полноту, поскольку были описаны лишь подходы, аналогичные использованным в диссертационной работе.
Заключение
В заключение подытожим результаты диссертационной работы:
- Рассмотрены и проанализированы на предмет корреляции с опытными данными известные приближенные подходы к определению «плоских» модулей резинокорда.
- Построена замкнутая расчетно-экспериментальная методика определения «плоских» упругих модулей резинокорда, на основе лишь опытов на одноосное растяжение плоских образцов. Модули резины и корда определяются путем решения обратной задачи с помощью модифицированного итерационного метода Ньютона.
- Предложен конечный элемент, отражающий специфические свойства резинокордного композита, в котором независимо задаются продольные модули, изгибные жесткости и жесткости на поперечное сжатие.
- Осуществлена постановка контактной задачи стационарного и нестационарного качения для колеса, катящегося по твердой дороге, с учетом силы трения в рамках закона Кулона. Применен двухступенчатый итерационный алгоритм решения контактной задачи. Линеаризация задачи качения по времени осуществлена с использованием метода Ныомарка, записанным в приращениях. Проведены численные тесты для случаев стационарного и нестационарного движения.
- Численно исследована зависимость результатов решения контактной задачи от скорости вращения колеса. Получены распределения контактных усилий в зоне контакта.
Основными результатами являются следующие:
1. Обоснование и построение оболочечно-трехмерной модели резинокорда;
2. Разработка и программная реализация механической модели и численного алгоритма для моделирования стационарного и нестационарного качения шины.
1. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. — М.: Наука, 1984. - 352 с.
2. Белкин А. Е. Расчет шин радиальной конструкции как трехслойных ортотропных оболочек вращения // Расчеты на прочность. Вып. 30. — М.: Машиностроение, 1989. — С. 40-47.
3. Белкин А. Е., Нарекая Н. Л. Динамический контакт шины как вяз-коупругой оболочки с опорной поверхностью при стационарном качении // Вестник МГТУ. Машиностроение. — 1997. — № 1. — С. 62-73.
4. Белкин А. Е., Уляшкин А. В. Приближенное решение контактной задачи об обжатии шины на плоскую или цилиндрическую опорную поверхность // Изв. вузов. Машиностроение. — 1993.— № 10-12.— С. 14-21.
5. Белкин А. Е. Расчет деформаций в беговой части легковой радиальной шины с учетом межслойных сдвигов в брекере // Изв. вузов. Машиностроение. 1990. - № 3. - С. 6-11.
6. Белкин А. Е. Разработка системы моделей и методов расчета напряжен-по-деформированного и теплового состояний автомобильных радиальных шин: Дис. д-ра техн. наук : 01.02.06 / МВТУ им. Н.Э.Баумана. — М., 1998.
7. Бидермаи В. Л., Бухин Б. Л. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1961. - № 1. - С. 52-57.
8. Бидерман В. Л., Гуслицер Р. Л., Захаров С. П. и др. Автомобильные шины (конструкция, расчет, испытание, эксплуатация) / Под ред. В. JI. Бидермана. — М.: Госхимиздат, 1963. — 383 с.
9. Бидерман В. Л., Левковская Э. Я. К расчету радиальных и опоясанных диагональных шин // Сб. трудов НИИШП. — М.: 1974, — С. 7-11.
10. Бидерман В. Л. // Методы расчета и испытания автомобильных шин. — М.: Госхимиздат, 1957.-С. 16-51.
11. Бухин Б. Л. Теория тонких сетчатых оболочек вращения и ее приложение к расчету пневматических шин: Дис. д-ра техн. наук : 01.02.06 / НИИШП.-М., 1971.
12. Бухин Б. Л. Введение в механику пневматических шин. — М.: Химия, 1988.- 223 с.
13. Власко А. В., Шеачич М. В., Гамлицкий Ю. А. Учет жесткости нити корда при расчете деформации резинокордного слоя // Каучук и резина. 1997. - № 3. - С. 3-5.
14. Гамлицкий Ю. А., Шеачич М. В. Связь окружных и меридиональных деформаций боковины шины с напряженно-деформированным состоянием резины между нитями корда // Каучук и резина. — 1997. — № 4. — С. 3-6.
15. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Расчет радиальных шин на оаснове обобщенной теории Тмошенко // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1984. - № 4. - С. 166-174.
16. Григолюк Э. И., Куликов Г. М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. — М.: Машиностроение, 1988. — 288 с.
17. Григолюк Э. И., Куликов Г. М., Плотникова С. В. Контактная задача для пневматической шины, взаимодействующей с жестким основанием // Механика композитных материалов. — 2004.— Т. 40, J№ 5.— С. 661-674.
18. Демидович П. Н., Шешенин С. В. О вычислении свойств резинокорда // Тезисы науч. конф. «Ломоносовские чтения». — г.Москва: МГУ, апрель 2003г. С. 48-49.
19. Демидович П. Н.; Шешенин С. В., Чистяков П. В. Об определении механических свойств резинокордного материала // 14-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов».— Т. 1.- г.Москва: НИИШП, 20-24 октября 2003г.- С. 137-141.
20. Демидович П. Н., Михаленко А. П., Шешенин С. В. Построение слоистого конечного элемента резинокорда // Тезисы науч. конф. «Ломоносовские чтения». — г.Москва: МГУ, апрель 2006г. — С. 61.
21. Демидович П. Н. Теоретико-экспериментальное определение эффективных свойств резинокорда. — М.: Моск. гос. ун-т., 2007.— 29 е. — Деп. в ВИНИТИ РАН 09.04.2007 №400-В2007.
22. Дюво Г., Лионе Ж. Неравенства в механике и физике.— М.: Наука, 1980.- 384 с.
23. Кольцов А. С. Развитие постановки и методов решения контактных задач применительно к исследованию композитных материалов при больших деформациях: Дис. канд. физ-мат наук: 01.02.04 / Институт механики сплошных сред УрО РАН. — Пермь, 2003.
24. Контаиистов М. П. Расчет шин Р как оболочки Кирхгофа-Лява при неосесимметричном нагружении // Сб. трудов НИИШП. — М.: ЦНИ-ИТЭ нефтехим, 1988. С. 66-77.
25. Кравчук А. С. Постановка задачи о контакте нескольких деформируемых тел как задачи нелинейного программирования // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42, Вып.З. — С. 466-474.
26. Кравчук А. С. Вариационные методы решения контактных задач: Диссертация . д-ра физ. -мат. наук : 01.02.04 / МГУ. М., 1980. - 253 с.
27. Кравчук А. С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхности соприкосновения // Прикладная математика и механика. — 1980. Т. 44, Вып.1. - С. 122-129.
28. Кравчук А. С., Сурсяков В. А. Численное решение геометрически нелинейных контактных задач // Сб. «Механика эластомеров». — 1983. — С. 27-32.
29. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства в механике. М.: МГАПИ, 1997. - 340 с.
30. Кравчук А. С. Развитие метода решения контактных задач с учетом трения при сложном нагружении // Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. - № 3. - С. 22-34.
31. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. — М.: Мир, 1982. — 336 с.
32. Куликов Г. М., Плотникова С. В. Контактная задача для геометрически нелинейной оболочки типа Тимошенко // Прикладная математика и механика. 2003. - Т. 67, № 6. - С. 940-953.
33. Левковская Э. Я. Теоретическое и экспериментальное исследование напряжений и деформаций в брекере шин типа Р: Дис. канд. техн. наук / НИИШП. М, 1970. - 180 с.
34. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. — М.: Наука, 1980. — 512 с.
35. Маргарян С. А. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин: Дис. канд. физ-мат наук: 01.02.04 / МГУ им. М.В.Ломоносова. М., 2000.
36. Мухин О. Н. // Расчеты на прочность. Вып. 15.— М.: Машиностроение, 1971,-С. 58-87.
37. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов.— М.: МГУ, 1984.- 336 с.
38. Победря Б. Е. О вычислительной механике деформируемого твердого тела // Математические методы механики деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1986. - С. 124-129.
39. Победря Б. Е., Мольков В. А. Эффективные модули упругости волокнистых и слоисто-волокнистых композитов // Вычислительная механика деформируемого твердого тела. — 1990. — № 1. — С. 41-63.
40. Победря Б. Е., Шешенин С. В. Трехмерное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин // 8-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов».— Т. 2,- г.Москва: НИИШП, 20-24 октября 1997г.- С. 320-326.
41. Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. — М.: МГУ, 1995.- 366 с.
42. Фильштинский Б. Е., Григолюк Э. И. Перфорированные пластины и оболочки. — М.: Наука, 1970. — 556 с.
43. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости. — Л.: Машиностроение, 1986.- 336 с.
44. Шешенин С. В. Численный анализ квазистатических краевых задач МДТТ: Дис. д-ра физ. -мат. наук : 01.02.04 / МГУ. М., 1990. - 248 с.
45. Шешенин С. В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых краевых задач МДТТ // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 1997. — № 2. — С. 21-26.
46. Шешенин С. В., Маргарян С. А. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния пневматических шин. — М.: Моск. гос. ун-т., 1998.-15 е.- Деп. в ВИНИТИ РАН 15.07.1998 №2221-В1998.
47. Шешенин С. В., Демидович П. Н. К определению эффективных свойств резинокорда // Тезисы науч. конференции «Ломоносовские чтения». г. Москва: МГУ, апрель 2004г.- С. 161-162.
48. Шешенин С. В., Демидович П. Н. Анализ методов определения упругих свойств резинокорда // 15-ый международный симпозиум «Проблемы шин и резинокордных композитов». — Т. 2. — г. Москва: НИИШП, 18-22 октября 2004г. С. 195-197.
49. Шешенин С. В., Муравлева JI. В. Об осреднении тонкостенных тел // Изо. РАН. Механика твердого тела. — 2004. — № 4. — С. 129-138.
50. Шешенин С. В. Применение метода осреднения к пластинам, периодическим в плане // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика, Механика. 2006. - № 1. - С. 47-51.
51. Шешенин С. В., Демидович П. Н. Трехмерное моделирование стационарного и нестационарного качения шины.— М.: Моск. гос. ун-т., 2007. 22 с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 12.07.2007 №720-В2007.
52. Шешенин С. В., Демидович П. Н., Чистяков П. В., Муравлев А. В. Определение модулей резинокорда при плоско-напряженном состоянии // Вестник Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика, Механика.— 2007.-№5.-С. 49-53.
53. Шешенин С. В. Трехмерное моделирование шины // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2007. — № 3. — С. 13-21.
54. Шешенин С. В., Кузь И. С., Савельева И. А. О методе пошаговой линеаризации в задачах нелинейной теории упругости // Упругость и неупругость. 4.1. М.: МГУ, 1993.- С. 88-94.
55. Akasaka Т. Structural mechanics of radial tires // Rubber chemistry and technology. 1979. - Vol. 54.
56. В ohm F. Zur Mechanik des Giirtelreifens / / Archive of Applied Mechanics (Ingenieur Archiv). March 1966. - Vol. 35, no. 2. - Pp. 82-101.
57. Bohm F. Zur Mechanik des Luftreifens: Habilit. / TH Stuttgart. 1966.
58. Bohm F. Zur Statik und Dynamik des Giirtelreifens // ATZ.— March 1967. Vol. 69, no. 8. - Pp. 255-261.
59. Bohm F. Ortliche Einebnung eines Cord-Netzes // ZAMM.- 1972. — Vol. 52, no. 11.-Pp. T35-T40.
60. Bohm F. Nichtlineare Schwingungen beim Rollkontakt von Giirtelreifen // CRI-K 1/87, Mitteilung des Curt-Risch-Inst. der Universitat Hannover.— 1987.-Pp. 23-47.
61. Bohm F., Swierczek M., Csaki G. Hochfrequente Rolldynamik des Giirtelreifens das Kreisring-modell und seine Erweiterung // Fortschrittberichte VDI, Reihe 12, Nr. 135.- TU, Berlin: VDI Verlag, 1989.- 68 pp.
62. Brewer H. K. Tire Stress and Deformation from Composite Theory // Tire Science and Technology, TSTCA. — 1973.- Vol. 1, no. 1.- Pp. 47-76.
63. Danielson К. Т., Noor А. К. Finite Elements Developed in Cylindrical Coordinates for Three-Dimensional Tire Analysis j j Tire Science and Technology, TSTCA. — 1997.-Vol. 25, no. 1.- Pp. 2-28.
64. DeEskinazi J., Werner S., Yang T. Y. Contact of an Inflated Toroidal Membrane with a Flat Surface as an Approach to the Tire Deflection Problem // Tire Science and Technology, TSTCA. — 1975. — Vol. 3, no. 1. — Pp. 43-61.
65. Feng K. Statische Berechnung des Giirtelreifens unter besonderer Beriick-sichtigung der kordverstarkten Lagen // Fortschrittberichte VDI, Reihe 12, Nr. 258.- TU, Berlin: VDI Verlag, 1995.- 150 pp.
66. Greer J. M., Palazotto A. Application of total Lagrangian Corotational Finite Element Scheme to Inflation of Tire // Int. J. Solids and Structures. — 1997. Vol. 34, no. 27. - Pp. 3541-3570.
67. Haas R., Dietzius A. Stoffdehnung und Formanderung der Hiille von Pral-1-Luftschiffen // Untersuchungen in Luftschiffban der Simens-Schucker-twerke. — Berlin: 1913.
68. Halpin J. C., Tsai S. W. Effects of Environmental Factors on Composite Materials // Air Force Tech. Report AFML-TR-67, 423. Wright Aeronautical Labs, Dayton, OH, 1967.
69. Halpin J. C., Kardos J. L. The Halpin-Tsai Equations: A Review // Polymer engineering and science. — May 1976. — Vol. 16, no. 5. — Pp. 344-352.
70. Hashin Z., Rosen B. W. The elastic moduli of fiber-reinforced materials // ASME J. Appl. Mech. 1964. - Vol. 31. - Pp. 223-232.
71. Hill R. Theory of mechanical properties of fiber-strengthened materials: I. Elastic behavior // J.Mech and Phys.Solids1964.-Vol. 12.- 199 pp.
72. Hofferberth W. Zur Festigkeit des Luftreifens // Kautschuk und Gummi. — 1956.-no. 9.-Pp. 225-231.
73. Jens-Uwe Gleu. Rolldynamik des Luftreifens mit einer Vielteilchenmethode und der Methode der Finiten Elemente: Dr.-ing. genehmigte dissertation / TU. Institut fur Mechanik. Berlin, 2001.- 266 pp.
74. Jones R. M. Mechanics of Composite Materials. — 2nd edition. — Philadelphia: Taylor&Francis, 1999. — 519 pp.
75. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness // Int. J. Solids and Structures. 1984. - Vol. 20. - Pp. 333-350.
76. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness II: A convergence proof // Q. Appl. Math. — 1985.— Vol. 43.— Pp. 1-22.
77. Kohn R. V., Vogelius M. A new model for thin plates with rapidly varying thickness III: Comparison of different scalings // Q. Appl. Math. — 1986. — Vol. 44. Pp. 35-48.
78. Kulikov G. M., Plotnikova S. V. Geometrically exact assumed stress-strain multilayered solid-shell elements based on the 3D analytical integration // Computers & Structures. 2006. - Vol. 84, no. 19-20. - Pp. 1275-1287.
79. Lewinski TTelega J. J. Plates, Laminates and Shells Asymptotic Analysis and Homogenization. — Singapore: World Scientific Publ, 2000. — 768 pp.
80. Neittaanmaki P., Kravchuk A. Boundary Element Method for the Friction Contact Problems for a Deformed Body and Rough Mobile Punch // Reports of the Dep. of Math. Inf. Tech., No. B9. — Finland: University of Jyvaskyla, 2005. 25 pp.
81. Newmark N. M. A method of computation for structural dynamics // Proc. ASCE. J. Eng. Meek- 1959.- Vol. 8, no. 3.- Pp. 67-94.
82. Padovan J., Zeid I. Finite Element Modeling of Rolling Contact // Computers & Structures. 1981. - Vol. 14, no. 1-2. - Pp. 163-170.
83. Padovan JZeid /., Tovichakchaikul S. Finite Element Analysis of Steadily Moving Contact Fields // Computers & Structures. — 1984.— Vol. 18, no. 2.-Pp. 191-200.
84. Padovan JZeid I., Tovichakchaikul S. Transient and Steady State Vis-coelastic Rolling Contact // Computers & Structures. — 1985. — Vol. 20, no. 1-3. Pp. 545-553.
85. Padovan J. Finite Element Analysis of Steady and Transiently Moving Rolling Nonlinear Viscoelastic Structure -1. Theory // Computers & Structures. 1987. - Vol. 27, no. 2. - Pp. 249-257.
86. Padovan J. Finite Element Analysis of Steady and Transiently Moving Rolling Nonlinear Viscoelastic Structure II. Shell and Three-Dimensional Simulations // Computers & Structures.— 1987.— Vol. 27, no. 2.— Pp. 259-273.
87. Padovan J. Finite Element Analysis of Steady and Transiently Moving Rolling Nonlinear Viscoelastic Structure III. Impact/Contact Simulations // Computers & Structures. - 1987. - Vol. 27, no. 2.- Pp. 275-286.
88. Ridha R. A., Clark S. K. Tire stress and deformation // Mechanics of pneumatic tires / Ed. by S. Clark. — 2nd edition. — Washington, 1981. — Pp. 475-540.
89. Robecchi E. Mechanics of the Pneumatic Tire. Part II. The Laminar Model under Inflation and Rotation // Tire Science and Technology> TSTCA.— Nov. 1973. Vol. 1, no. 4. - Pp. 382-438.
90. Rothert H., Idelberger H., W. Jacobi and G. Laging. On the Finite Element Solution of the Threedimensional Tire Contact Problem // Nuclear Engineering and Design. — 1984. — Vol. 78, no. 3. — Pp. 363-375.
91. Rothert Н., Idelberger Н., W. Jacobi and G. Laging. On the Contact Problem of Tires, Including Friction // Tire Science and Technology, TSTCA. — April-June 1985.-Vol. 13, no. 2.- Pp. 111-123.
92. Rothert H., Laging G. Numerical Results of Tire-Test Drum Interaction // Tire Science and Technology, TSTCA. Jule-September 1986. - Vol. 14, no. 3. - Pp. 160-175.
93. Rothert H., Nasdala L., M. Kaliske and A. Becker. An Efficient Viscoelastic Formulation for Steady-State Rolling Structures // Computational Mechanics. 1998. - no. 22. - Pp. 395-403.
94. Rotta J. Zur Statik des Luftreifens // Archive of Applied Mechanics (Inge-nieur Archiv). January 1949. - Vol. 17, no. 1-2. - Pp. 129-141.
95. Sheshenin S. V., Margaryan S. A. Tire 3D Numerical Simulation // Int. Journal for Civil and Structural Engineering. — 2005. — no. 1. — Pp. 33-42.
96. Simo J. C., Laursen T. A. An augmented Lagrangian treatment of contact problems involving friction // Computers & Structures. — 1992. — Vol. 42, no. l.-Pp. 97-116.
97. Staab G. H. Laminar composites. — Boston, 1999. — 314 pp.
98. Tielking J. Т., Melvor I. K., Clark S. K. A modified Linear Membrane Theory for the Pressurized Toroid //J. Applied Mechanics. — 1971. — Vol. 38. — Pp. 418-422.
99. Zienkieuiicz О. C., Taylor R. L. The Finite Element Method.- 5th edition.— Oxford: Butterworth-Heinemann, 2000. — Vol. 1. — 707 pp.
