Моделирование взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды методом крупных вихрей. тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

005016099

На правах рукописи

Ткаченко Игорь Вячеславович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТЕЛ И ГИДРОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ МОРСКОЙ СРЕДЫ МЕТОДОМ КРУПНЫХ ВИХРЕЙ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени г доктора технических наук

3 МАЯ Ж\2

Санкт-Петербург - 2012

005016099

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет».

Официальные оппоненты: Руховец Леонид Айзикович, доктор физико-

математических наук, профессор, СПб ЭМИ РАН, директор

Исаев Сергей Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, СПбГУГА, профессор

Рыжов Владимир Александрович, доктор технических наук, профессор, СПбГМТУ, профессор

Ведущая организация: Военно-морской инженерный институт

(филиал) ВУНЦ ВМФ «Военно-морская академия им. Н.Г. Кузнецова»

Защита состоится «22» мая 2012 года в 14:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.228.02 ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет» по адресу: 190008, ул. Лоцманская, 3.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет».

Автореферат разослан « 3 » елЛ. 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

С.Г. Кадыров

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Совершенствование образцов морской техники и средств освоения океана требует создания новых подходов в решении комплексной проблемы - взаимодействия технического объекта с окружающей морской средой. Возникает необходимость решения сопряженной задачи и проведения фундаментальных и прикладных исследований в области геофизики, океанологии и кораблестроения.

Основной особенностью морской среды является пространственно-временная неоднородность ее гидрофизических полей. Для нее характерно наличие областей, в которых наблюдается резкое изменение поля плотности по глубине. Стратификация приводит к возникновению внутренних волн (ВВ), которые вступают во взаимодействие с другими физическими явлениями в океане.

Для задач корабельной гидродинамики наибольший интерес представляют процессы, обусловленные силой тяжести и сдвиговой неустойчивостью: волновые и турбулентные движения, которые влияют на интегральные и локальные гидродинамические характеристики.

Математические методы моделирования взаимодействия морских объектов и морской среды в большинстве случаев носят частный или упрощенный характер. Они основываются на потенциальных моделях течений, либо на моделях вязкой жидкости, недостаточно полно учитывающих влияния друг на друга пикноклина и свободной поверхности. Имеются определенные трудности в использовании методов лабораторного исследования. Поэтому создание обобщенной математической модели взаимодействия тела и гидрофизических полей морской среды, описывающей внутренние и поверхностные волны, турбулентные процессы в стратифицированной среде, дающей возможность получить интегральные, локальные и спектральные гидродинамические характеристики, является актуальной задачей. Полученные на ее основе решения имеют как важное практическое значение (повышение эффективности и безопасности эксплуатации корабельной техники, в первую очередь подводных устройств, освоение шельфовой зоны арктических морей России и просторов Мирового океана), так и фундаментальное, связанное с изучением физических процессов, протекающих в океане.

Целями работы являются:

• Разработка обобщенной математической модели взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающей движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы воздух - морская среда, на основе метода крупных вихрей (Large Eddy Simulation - LES).

• Создание методов решения задач гидродинамики стратифицированных сред, ограниченных свободной поверхностью,

• Адаптация и разработка подсеточных моделей турбулентности, описывающих неоднородные течения жидкости.

• Изучение и оценка взаимовлияния гидродинамических процессов морской среды и гидродинамических полей тел на основе теоретических и численных исследований.

Методы исследования. Решения поставленных задач базируются на методах математической физики, а именно на решении осредненных по пространству аналогах уравнений Навье-Стокса (метод крупных вихрей), и численных методах, в основе которых лежат метод Петрова-Галеркина и метод конечных элементов, которые позволяют получить решения сходящиеся к точным. В тоже время, выбранная стратегия математического моделирования дает возможность исследовать потоки стратифицированной жидкости в наиболее общей постановке задачи - рассматривать реальные профили стратификации, учитывать ветро-волновое взаимодействие, взаимодействие поверхностных и внутренних волн, описывать процессы обрушения волн, генерации и коллапс турбулентности.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• Разработана обобщенная математическая модель взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающая движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы раздела (интерфейса) воздух - морская среда, на основе метода крупных вихрей.

• Создана новая подсеточная модель турбулентности для описания стратифицированных течений жидкости на основе анализа волновой и турбулентной составляющих энергетического спектра (спектра Ламли)

• Предложена модифицированная подсеточная смешанная динамическая модель турбулентности с регуляризирующей процедурой на основе разложения в ряд Тейлора.

• Разработан новый конечно-элементный метод решения уравнений гидродинамики тела и динамики морской среды.

• Разработан программный комплекс Р1о\уРЕ8 для решения задач гидродинамики корабля и динамики океана на высокопроизводительных компьютерных системах.

• Произведена верификация моделей турбулентности и показано, что пространственно-временную неоднородность лучше описывают модели турбулентности на основе метода крупных вихрей.

• Показано, что при образовании внутренних волн в океане в результате взаимодействия приливного течения с подводной возвышенностью аномалии на свободной поверхности обусловлены выносом к поверхности гребнями ВВ более плотных водных масс.

• Показано, что гравитационные течения, возникающие на склонах шельфа, носят сложный пространственно-временной характер, тип которого, может быть определен путем анализа характерных масштабов течения.

На свале глубин доминирует турбулентный характер движения. На подъеме - волновой.

• В рамках модели вязкой жидкости получено, что поверхностные волны (волны Стокса) могут является источником возникновения ВВ. В результате их взаимодействия поверхностные волны выглаживаются. При этом более высокие моды появляются в спектрах внутренних и поверхностных волн.

• Показано, что ветро-волновое взаимодействие может приводить к образованию внутренних волн при небольших глубинах залегания пикнокли-на (20-40 м). При этом на свободной поверхности спектр носит волновой характер, в то время как на уровне пикноклина спектр имеет волновой и турбулентный характер

• Получено, что стратификация оказывает влияние на сопротивление тел и приводит к появлению дополнительной моды в частотном спектре коэффициента сопротивления.

• Выявлено, что характерные частоты природных внутренних волн существенно меньше (на порядок) частот корабельных внутренних волн. Анализ спектров гидрофизических полей позволяет установить природу источника образования ВВ.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

• Предложена обобщенная математическая модель взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды.

• Разработаны новые подсеточные модели турбулентности для описания стратифицированных течений жидкости.

• Разработан программный комплекс для выполнения распределенных вычислений в области гидродинамики корабля и океана, используемый в научных организациях, в заведениях высшего профессионального образования.

• Получены оценки влияния гидрофизических полей морской среды на локальные и спектральные гидродинамические характеристики тел.

• Получены характерные значения безразмерных частот натурных и корабельных ВВ. Показано, что модальная структура внутренних корабельных волн существенно отличается от структуры натурных ВВ.

Достоверность результатов, полученных в результате численных расчетов, оценивается сопоставлением с известными данными экспериментальных исследований, расчетами других авторов и натурными наблюдениями.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены и получили положительную оценку: на отечественных и международных научных семинарах СПбГМТУ (2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011 гг.), ИПФ РАН (2009, 2010 гг.), ИСП РАН (2011 г.), СПб ФИО РАН (2009, 2011 гг.), университета г. Ростока, ФРГ (2005, 2006, 2011 гг.), ЦНИИ Кораблестроения, КНР (2011 г.); всероссийских и международных конференциях «IX Всероссийский конгресс

по теоретической и прикладной механике» (2006 г.), «НЕВА-2007», «Потоки и структуры в жидкостях» (2007, 2009 гг.), «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (2008, 2010 гг.), «Крыловские чтения» (2009 г.), «МО-РИНТЕХ» (2009 г.), «Облачные вычисления: образование, научные исследования, разработки» (2010, 2011 гг.), "ERCOFTAC Int. Symp. ЕММ6", Италия (2005 г.), "Turbulence and shear flow phenomena", США (2005 г.), "EUROMECH-469", ФРГ (2005 г.), "Fluid Mixing 8", Великобритания (2006 г.), "SubSeaTECH 2007", Россия (2007 г.), "SuperFast-2008", Россия (2008 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 61 работе. Из них 1 монография и 41 статья, 1 доклад, 16 тезисов докладов. 4 работы выполнено в личном авторстве, доля в остальных от 25 до 90%. В рецензируемых научных журналах и изданиях опубликовано 15.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 253 наименований. Работа изложена на 316 стр., содержит 8 таблиц и 100 рисунков.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

• Обобщенная математическая модель взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающая движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы (интерфейса) воздух - морская среда, на основе метода крупных вихрей.

• Новая подсеточная модель турбулентности для описания стратифицированных течений жидкости, полученная на основе анализа волновой и турбулентной составляющих частей спектра (спектра Ламли).

• Модифицированная подсеточная смешанная динамическая модель турбулентности с регуляризирующей процедурой на основе разложения в ряд Тейлора.

• Новый конечно-элементный метод решения уравнений гидродинамики тела и динамики морской среды.

• Программный комплекс для решения задач гидродинамики корабля и динамики океана на высокопроизводительных компьютерных системах.

• Результаты исследования формирования природных внутренних волн, вызванных приливными течениями над подводными возвышенностями, гравитационными течениями на шельфе, поверхностными волнами и вет-ро-волновым взаимодействием.

• Результаты изучения взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды.

• Результаты изучения основных отличий в структуре внутренних природных и корабельных волн.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, сформулирована цель исследования и намечены решаемые задачи. Отмечено, что исследованию влияния ветровых волн на динамику и гидродинамику тела посвящено большое количество публикаций, в том числе труды А.Н. Крылова, В.В. Семенова-Тян-Шанского, С.Н. Благовещенского, Дж. Лайтхилла, А.Н. Холодилина, И.К. Бо-родая, Ю.А. Нецветаева, Я.И. Войткунского, А.Н. Шебалова, В.В. Луговского, М.П. Тулина, Р.В. Борисова. Причины появления натурных поверхностных волн и методы их описания рассмотрены в работах отечественных и зарубежных авторов Н.Е. Кочина, Л.Н. Сретинского, A.C. Монина, E.H. Пелиновского, А. Слюняева, Д.Ю. Чаликова, О.М. Филлипса, А.Ю. Бенилова, С.С. Зилитинке-вича, С. А. Торпа, М.М. Заславского.

Подчеркивается, что для более полного исследования взаимодействия тел и морской среды необходимо учитывать пространственно-временную неоднородность гидрофизических полей. Упоминается, что теоретический и экспериментальный анализы возбуждения внутренних волн (ВВ) различными источниками, генерации ими турбулентности были выполнены Дж. Стоксом, А. Лове, О.М. Филипсом, К. Хассельманном, Дж. Майлсом, С.А. Торпом, Л.А. Островским, А.Я. Басовичем, В.В. Бахановым, В.И. Талановым, Ю.И. Троицкой, Ю.Д. Чашечкиным, Ю.З. Миропольским, Г.Н. Ивановым, Я.И. Войткунским, Ю.В. Разумеенко, В.В. Васильевой, В.И. Букреевым, В.А. Городцовой, И.В. Стуро-вой, Е.В. Ерманюком, O.A. Дружининым, О.Д. Шишкиной. Первоначально основное внимание ученых было направлено на изучение самих внутренних волн, их взаимодействия с поверхностными волнами и механизма генерации турбулентности. Дальнейшие направления исследований были связаны с гидродинамикой тел, движущихся в стратифицированной жидкости.

Излагается краткое содержание последующих глав.

В первой главе приводится материал обзорного характера, посвященный гидрофизической структуре океана и основным гидродинамическим процессам, протекающим в нем. Анализируются масштабы и характерные виды движений в океане. Даются результаты теоретических исследований О.М. Филипса, К. Хассельманна, Л.А. Островского, А.Я. Басовича, В.В. Баханова, В.И. Таланова о видах взаимодействия внутренних и поверхностных волн, которое может приводить к резонансному эффекту или выглаживанию свободной поверхности. Рассматриваются основные виды сдвиговой и конвективной неустойчивости в однородных и стратифицированных средах, условия роста малых возмущений, основные характеристики турбулентных стратифицированных течений и их отличия от однородных потоков жидкости.

Анализ экспериментальных и теоретических исследований Ю.И. Троицкой, Ю.Д. Чашечкина, Е.Я. Сысоева, Ю.В. Разумеенко, В.В. Васильевой, В.И. Букреева, В.А. Городцова, И.В. Стуровой, Е.В. Ерманюка, О.Д. Шишкиной, Дж. Спединга, X. Робей, Е. Хопфингера позволяет выявить ряд основных закономерностей, появляющихся в интегральных и локальных гидродинамических

характеристиках, при буксировке тел в стратифицированной среде. При движении тел в пикноклине или вблизи него происходит возрастание коэффициента волнового сопротивления. Формирующиеся при этом внутренние волны условно разбивают на четыре группы: стоячие волны (область заблокированной жидкости); волны, обусловленные неустойчивостью отрывной зоны; волны, возникающие вследствие коллапса вихревого следа; волны, порожденные турбулентными эффектами («случайные волны»). В спутном следе плохообтекае-мых тел выделяют семь типов течений, среди которых следует отметить нестационарный вихревой след, дорожку дискретных кольцевых вихрей с системой присоединенных ВВ, турбулентный след с анизотропными вихрями.

В конце главы делается вывод о необходимости решения комплексной задачи гидродинамики тела и морской среды, учитывающей их взаимодействие.

Во второй главе приводятся математические модели описания неоднородных течений жидкости. Рассматриваются полные уравнения движения вязкой жидкости, состоящие из уравнения неразрывности, уравнений переноса импульса (уравнений Навье-Стокса), уравнение переноса безразмерной плотности f = {pw~Pt)/(ph- Pi), где pw - плотность жидкости, р,, рк - плотности легкой и тяжелой жидкости, полученного из уравнений диффузии соли и баланса тепла в предположении о линейной зависимости поля плотности от температуры и солености; уравнения движения, записанные в приближение Буссинеска; уравнения движения невязкой жидкости и уравнения, описывающие потенциальные течения. Анализируются достоинства и недостатки различных подходов описания стратифицированных течений. Так, модели потенциального волнового движения жидкости, как показано в работах В.В. Васильевой, Н. Г. Кузнецова и О.В. Мотыгина, могут быть эффективно использованы для определения интегральных гидродинамических характеристик тела, взаимодействующего со скачком плотности. При этом делается переход к двухслойной модели среды, что исключает рассмотрение натурных профилей плотности. Линейная волновая модель позволяет описывать распространение ВВ при произвольном профиле стратификации, однако, исследование нелинейных эффектов на ее основе представляется проблематичным.

Особое внимание во второй главе уделяется моделированию турбулентных стратифицированных потоков. Приводятся описания метода прямого численного моделирования турбулентности (непосредственное решение уравнений Навье-Стокса - DNS), метод на основе уравнений Рейнольдса (временное осреднение уравнений Навье-Стокса - URANS) и метод крупных вихрей (пространственное осреднение уравнений Навье-Стокса - LES). Анализируются различные модели турбулентности (полуэмпирические модели Ф. Спаларта, Б. Лаун-дера, Д. Уилкокса, Ф. Ментера, Г. Меллора и др., подсеточные модели Дж. Смагоринского, Д. Лилли, М. Германо, Цанга, гибридные модели М.Х. Стреле-ца и др.), их возможности воспроизводить течения, интересные с точки зрения судостроения, применимость этих моделей для описания стратифицированных потоков жидкости и способы моделирования пристеночных течений.

В главе описываются методы моделирования свободной поверхности: метод слежения за свободной границей, в котором деформируется область течения, и методы фиксации свободной поверхности (метод объема жидкости - Volume of Fluid - VoF, метод определения уровня - Level of Set - LS), основанные на модели многофазной среды. Анализируются возможности моделей описывать обрушение поверхностных волн.

В конце главы делаются выводы об ограниченных возможностях потенциальных и линейных волновых моделей описывать стратифицированные течения жидкости.

Третья глава посвящена разработке обобщенной математической модели взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающей движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы раздела (интерфейса) воздух - морская среда, на основе метода крупных вихрей.

В начале главы упоминаются известные результаты о разрешимости задачи Навье-Стокса, из которых следует, что начальные и граничные условия, а также граница области, должны быть достаточно гладкими, дифференцируемыми и согласованными, а ее численное решение предпочтительнее осуществлять на основе вариационной процедуры (или слабой формулировки), для которой доказано существование слабых решений.

Уравнения неразрывности, импульса и переноса плотности рассматриваются в неинерциальной системе координат ox,x2xi, связанной с телом и в начальный момент времени совпадающей с неподвижной ОХ/Х2Хз. Такая постановка задачи позволяет изучить произвольное движение тела в стратифицированной среде. В ходе пространственной фильтрации в уравнениях импульса и переноса

_5G5 iSGS

плотности появляются подсеточные напряжения Ти и поток скаляра Jу которые моделируются на основе осредненных значений относительной скорости.

Для описания положения границы (интерфейса) морская среда - воздух используется метод объема жидкости - VoF.

Плотность многофазной (в данном случае двухфазной) среды записывается в виде суммы

P = aapa+awpw

где р„ - плотность воздуха, р„ - плотность морской среды, сса - объем воздуха в ячейке (элементарном объеме) и ccw - объем морской среды.

Объемное содержание воздуха аа можно выразить через объемное содержание воды aw, aa = \ — aw. Тогда, полагая, что плотность воздуха постоянна ра = const и воспользовавшись определением безразмерной плотности морской среды, плотность двухфазной жидкости можно представить с следующем виде P = Pa+a»{Pi-Pa) + aj{ph-p,)

Аналогичное выражение справедливо и для динамической вязкости Ц ju = Ht, + aw{nl-fia)+awf{fiH-til) где Ца - динамическая вязкость воздуха, jU,, Цк - значения динамической вязкости легкой и тяжелой жидкости. В результате, уравнения движения вязкой

стратифицированной жидкости с учетом границы раздела морская среда - воздух в неинерциальной системе координат принимают вид

'4 _

3 =0 (1) сЦ

д("г) / \ д(иг) 1 д(р) дг("г) дт™ , х

д! +\\и''/Аи<<1 дх1 " дх]дх1 Эх. (3)

где (...)д - оператор пространственного осреднения, и0 - компонента вектора скорости перемещения подвижной системы координат (скорость полюса), иг-компонента вектора относительной скорости, и. - компонента вектора переносной скорости, й)/ - компонента вектора угловой скорости вращения подвижной системы координат, р - давление, V - кинематическая вязкость жидкости, £>5 -коэффициент диффузии, g. - компонента ускорения свободного падения, />) = (1иа/(1г + £чк<1(о]/(11хк +ечк<Х)](£ыа>!х1) + 2£ик(1)1иГ1 - инерционная сила, £1/к -тензор Леви-Чивита, = -аБ^кп - сила поверхностного натяжения, а - коэффициент поверхностного натяжения, <5/г - дельта-функция, определенная на границе раздела морская среда — воздух, к , п - кривизна и нормаль к поверхности раздела. Функция является индикаторной. В уравнении (4) учтено, что турбулентный обмен между фазами отсутствует.

Система уравнений (1)-(4) дополняется начальными и граничными условиями, постановка которых детально рассмотрена в работе.

Параметризация подсеточных напряжений и потоков скаляра осуществляется на основе моделей добавочной вязкости Смагоринского, в основе которой лежат градиентно-диффузионная гипотеза и гипотеза длины смешения

дх, дх:

_ _ ' -11 '

¿(Л

где у5С5 = /^|5| = (С5Д)2|51, |5| = , С5 - коэффициент Смагоринско-

го, 5с5С5 = 0.4 н-0.7 - турбулентное число Шмидта, а также смешанной динамической модели, представляющей собой комбинацию модели добавочной вязкости и модели подобия Бардина, в которой мгновенное поле аппроксимируется с помощью фильтрованного

-г = )Л)Д - >д ((", >Л)Л) - 2(С,А)2Н(5.у)д

Как показывает практика расчетов, смешанная динамическая модель обладает численной неустойчивостью. Для повышения ее эффективности при вычисление динамического коэффициента Смагоринского С5 вводится осреднение числителя и знаменателя по гомогенным направлениям (•••)„

я

5 (МиМи)н

где

Д = 2А - тест-фильтр. Определение гомогенных направлений для сложных пространственных течений представляется проблематичным. Альтернативный путь повышение численной устойчивости состоит в отсечение нефизических выбросов константы С3. Минимальное значение С8 принимается равным нулю. Верхний предел константы С^ варьируется между 0.01 и 1 без объяснений.

Процедура отсечения выбросов в смешанной динамической модели может быть получена математически строго.

Наиболее критичным в численных расчетах является вычисление тензора Ну, который содержит двойную и тройную фильтрации. Используя разложение

в ряд Тейлора в окрестности точки Хк, после операции фильтрации можно получить следующую оценку

4 ~ (^)д ~ 4 Ьч

Здесь пренебрегается членами четвертого порядка малости ~о(Д4). Для подавления численной неустойчивости значения слагаемых необходимо ограничить следующим образом

й<-ъ

Ч 4 «

\ у/А' \ у/д 4 "

л ч' \ ч /д л

(5)

4 ч \ 4 ч

Основным преимуществом такой оценки является ограничение компонент 11ц и (Ц^У , на основе тензора который дает устойчивые решения даже в случае

использования численного фильтра. Дополнительных расчетов в такой процедуре ограничения не требуется. Проверка работоспособности предлагаемой модели приводится в главе 5.

Для случая неоднородной жидкости Лилли предложил модифицировать вычисление подсеточной вязкости путем введения в нее функции плавучести /5(/?<), где Ш = ^/(¿и^/сЬст) - число Ричардсона, /V1 = -($/ р)(1р/<1х3 - квадрат частоты плавучести (Вяйсяля). В результате, подсеточная вязкость определяется соотношением =С^Д2|5|/Х(/?;). Вид функции /¡(Ш) определяется видом спектра. В модели Смагоринского-Лилли используется колмогоровский спектр, который не учитывает волновой составляющей. Функция плавучести в этом случае принимает вид

Если воспользоваться спектром Ламли Е(к) = Скетк'5П +СиЫ2к'3, где е -скорость диссипации турбулентной кинетической энергии, к - волновое число, Ск = 1.6 и С„ = Ск - постоянные, то на основе анализа уравнения баланса энергии можно получить зависимость для функции плавучести, учитывающей волновую составляющую спектра

Л (Л'") = (1 - Ы/СВ1Г (1 - Ю/Я^ )"' (6)

где СВ1 =0.273 - константа, полученная теоретическим путем и имеющая значение близкое к критическому числу Ричардсона Шс. Верификация предлагаемой модели приводится в главе 5.

В конце главы делаются краткие выводы о разработанных математических моделях.

Глава четыре посвящена построению конечно-элементного метода решения уравнений динамики вязкой несжимаемой неоднородной жидкости, ориентированного на высокопроизводительные вычислительные системы.

В начале главы дается краткий обзор современных численных методов и их анализ. Основное внимание уделяется методу конечных элементов, который позволяет решать задачу в слабой формулировке. Отмечается, что в теоретическое развитие метода конечных элементов существенный вклад внесли И.Г. Бубнов, Б.Г. Галеркин, Г.И. Петров, М.В. Келдыш, Дж. Оден, Л.А. Оганесян, Л.А. Руховец.

Для стабилизации численного решения несжимаемых уравнений Навье-Стокса используется схема расщепления по времени, согласно которой на первом этапе определяются промежуточные значения поля скорости щ. Полученные й; не обеспечивают выполнение уравнения неразрывности на шаге л, так как давление берется с шага п — 1. Поэтому, вводится поправка давления 8р для коррекции поля скорости, являющейся решением уравнения Пуассона. После нахождения поправок 5р корректируются значения полей скорости и давления. На последних этапах находится безразмерная плотность и объемная фракция жидкости аш.

Для построения пространственной дискретизации вместо системы уравнений (1)-(4) вводится обобщенное дифференциальное уравнение в частных производных

С^ + ©<р + 5 = 0в Qx[0,rl (7)

dt

где <р = {(м,)д,(р)д'(/)д'а-} ~ обобщенное решение, Т> - нелинейный дифференциальный оператор, С - коэффициент, S - источниковый член, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.

Использование метода Петрова-Галеркина в слабой формулировке позволяет получить дискретный аналог (7) вида

" in-l

д/.Х_Г— + Adv -ф +К ■ Dif 'ф + Grad 'ф- M 'S (8)

At

где ф - аппроксимация решения, M - матрица масс, Adv - матрица, аппроксимирующая конвективный нелинейный оператор, Dif - матрица, аппроксимирующая оператор диффузии, Grad - матрица, аппроксимирующая оператор градиента, К - коэффициент. Интегралы, входящие в выражения (8), вычисляются аналитически. В качестве базисной функции используется линейная интерполяция L' на элементе в форме тетраэдра. Проекционная функция, удовлетворяющая условию ортогональности, записывается в виде W' = 4L' -1. Численная схема имеет второй порядок точности.

Метод Петроа-Галеркина является разновидностью проекционных методов, для которых доказана теорема, согласно которой полученные решения сходятся к точным.

Для решения систем линейных алгебраических уравнений используется метода сопряженных градиентов.

Стратегия распараллеливания расчетов осуществляется двумя путями: декомпозицией расчетной области на подобласти и (или) декомпозицией матриц систем линейных алгебраических уравнений.

В последней части главы приводится обзор методов построения расчетных сеток и основные возможности современных пакетов вычислительной гидродинамики. Описывается пакет FlowFES, разработанный автором для решения задач динамики вязкой несжимаемой неоднородной жидкости на высокопроизводительных вычислительных системах с использованием технологии MPI.

В пятой главе производится верификация предлагаемой математической модели, численного метода, URANS и LES моделей турбулентности, программного комплекса.

Оценка работоспособности моделей турбулентности в однородной среде производится для двух классов течений - струйное течение в трубе и внешнее отрывное обтекание тел.

Однородное струйное течение в канале смесителя. Процесс смешения исследован в канале цилиндрического смесителя. Под процессом смешения в данном случае понимается растворение жидкости (пассивного скаляра), истекающей из сопла, в спутном потоке трубы. При этом плотности жидкостей по-

лагаются близкими по значению. Для моделирования смешения нестационарные уравнения Рейнольдса и уравнения метода крупных вихрей дополняются уравнением для переноса коэффициента смеси.

Для верификации подсеточных моделей турбулентности в настоящем работе используются a posteriori тесты. Результаты численных расчетов сравниваются с экспериментальными данными, полученными методами лазерно-доплеровской анемометрии (ЛДА) и лазерной индуцированной флуоресценции (ЛИФ) в университете г. Ростока. Измерения и расчеты были выполнены для классического струйного смесителя, состоящего из сопла диаметром d, расположенного вдоль оси трубы диаметром D. На характер струйного течения наибольшее влияние оказывают отношение расходов жидкостей спутного течения к струйному QD/Qd и отношение диаметров Did. При Dld<\ + QDIQd течение в смесителе носит струйный характер (режим 1). При Dld>\ + QDIQä возникает мощное рециркуляционное течение вблизи стенок трубы за соплом (режим 2). Наиболее сложным с точки зрения моделирования является режим 2.

Произведены оценки трех LES моделей (Смагоринского, динамической модели Смагоринского - DGM и смешанной динамической модели с регуляризи-рующей процедурой (5) - DMM) и трех URANS моделей (к-е, SST и модели рейнольдсовых напряжений - RSM) для двух соотношений расходов QD!Qd = 5 и QD!Qd = 1.3, которые соответствуют режимам 1 и 2. Числа Рейнольдса =Udd/v = 10", где Ud - скорость истечения из сопла, и Шмидта Sc = 103 принимались одинаковыми в обоих случаях.

Рис. 1. Эволюция во времени коэффициента смеси / в точках х/£) = 1.6, г//? = 0.25 и 0 = О;?г, режим 2: а - расчет по методу крупных вихрей, ОММ модель; б - эксперимент ЛИФ.

Расчеты, выполненные по методу крупных вихрей для режима 2, показывают, что в рециркуляционной зоне течение носит ярко выраженный нестационарный автоколебательный характер, о чем свидетельствуют записи реализаций коэффициента смешения в двух точках (рис. 1, а). Увеличение и уменьшение концентрации пассивного скаляра в двух диаметрально противоположных точ-

ках относительно оси трубы совершается в противофазе. Аналогичное явление наблюдается и в эксперименте (рис. 1, б). Период колебаний составляет около 6.8 сек, что очень близко к значениям ЛИФ измерений.

—•—experiment 1-2-1 1 i ■ i —•—experiment

—о— experiment rms —о— experiment rms

-■-k-eps 1.0—♦—DMM

SST ' _o- DMM, rms

0,0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 r/D

б

0,0 0.1 0,2 0,3 0,4 0,5 r/D

a

Рис. 2. Профили осредненного по Рейнольдсу коэффициента смеси и его среднеквадратичных пульсаций (а) и аксиальной компоненты осредненной скорости и ее пульсаций (б), Re<i = 104, D/d = 5, режим 2, сечение x/D= 1.6. /0 и м0 значения коэффициента смеси и скорости на оси смесителя в соответствующем поперечном сечении х / D .

Наилучшее согласование с экспериментом в URANS расчетах для обоих режимов течения показывает SST модель, к-е и RSM модели в целом хуже предсказывают поведение скаляра (рис. 2).

Из анализа результатов расчетов по методу крупных вихрей следует, что для режимов 1 и 2 DMM хорошо воспроизводит как осредненные значения коэффициента смеси и скорости, так и их среднеквадратичные пульсации (рис. 2). Динамическая модель Смагоринского воспроизводит процесс смешения гораздо хуже. Результаты, получаемые по модели Смагоринского существенно зависят от выбора значений константы Cs. Наибольшие различия наблюдаются на

начальном этапе развития струи.

Как показывает анализ мгновенных линий тока, топологию течения лучше воспроизводит метод крупных вихрей. URANS расчеты предсказывают формирование только двух крупных симметричных вихрей. Согласно LES расчетам рециркуляционная зона состоит из множества вихрей различного масштаба и совершает нестационарные периодические осцилляции. Качественно схожая картина наблюдается и в эксперименте. Анализ Фурье показал, что частота длинноволновых осцилляции лежит в диапазоне 0.15 и 0.2 с"1, что согласуется с данными ЛИФ измерений. В URANS расчетах нестационарные эффекты и длиннопериодические колебания не воспроизводятся.

Отрывное обтекание тел потоком однородной жидкости. Отрывное обтекание тел потоком однородной жидкости на сегодняшний день изучено доста-

точно хорошо. Одним из наиболее популярных тел для тестирования моделей турбулентного движения жидкости является сфера.

Обтекание сферы. В настоящей работе исследовано обтекания сферы однородным потоком жидкости для двух чисел Рейнольдса ReD =u0D/v = 1.4 -104 и ReD = 1.14 ■ Ю6, где и0 - скорость набегающего потока, D - диаметр сферы. Первый случай соответствует докритическому режиму обтекания. Второй -сверхкритическому режиму. Для описания течения вблизи стенок в LES расчетах по модели Смагоринского и URANS расчетах по к - £ модели использовался метод пристеночных функций. Сопоставление значений коэффициента сопротивления сферы С0 = /fD/(o.5pwo^D2/4), где RD - сила сопротивления, с данными лабораторных исследований показывает, что при числа ReD =1.4-104 расхождение с экспериментом составляет 10%. Для числа Reo = 1.14-106 значение С0 лежит внутри интервала разброса экспериментальных данных. Занижение сопротивления в LES при малых числах Рейнольдса может быть объяснено использованием пристеночных функций, которые справедливы для описания развитого турбулентного течения.

Топология течения в целом хорошо согласуется с данными экспериментальных наблюдений и расчетами других авторов. LES расчет дает угол схода вихрей для докритического режима обтекания 85° и 120° для сверхкритического.

Изменение коэффициента сопротивления во времени носит нерегулярный характер. Анализ Фурье показывает, что при докритическом режиме обтекания в частотном спектре коэффициента сопротивления CD наблюдаются две характерные моды St = 2nnD/Tu0 = 0.071, где п - частота, Т -время наблюдения, и St" 1.3-1.93 (рис. 3). В экспериментальных исследованиях значения 1-ой низкочастотной моды варьируются в диапазоне St = 0.19 -¡-0.2, а 2-й высокочастотной моды — в диапазоне St = 1.8 — 2.5. Интересно отметить тот факт, что в настоящих LES расчетах и расчетах других авторов в спектре CD достаточно ярко выражен третий пик St = 1.3.

Рис. 3. Частотный спектр коэффициента сопротивления CD сферы, ReD = 1.4-104, LES, модель Смагоринского.

Обтекание эллипсоида вращения. Течение за эллипсоидом вращения также хорошо изучено.

В литературе приводятся экспериментальные и численные результаты исследований двух режимов обтекания эллипсоида: при различных статических (постоянных) углах атаки и при совершении им поворота по углу атаки.

В настоящей работе с помощью метода крупных вихрей и модели Смаго-ринксого рассчитано обтекания однородным потоком жидкости эллипсоида вращения с отношением длины к диаметру L/2R = 6:l. Исследовано обтекание эллипсоида, расположенного под статическими углами атаки а к набегающему потоку, в диапазоне 3° - 30°, и при совершении им нестационарного поворота по углу атаки а от 0° до 30" в течение 11.0 безразмерных временных единиц (t* = tu0/L) по линейному закону. В обоих случаях число Рейнольдса

принималось равным Re = u0L/v = 4.2 • 106.

Расчеты обтекания эллипсоида при постоянных значениях угла атаки показывают, что при а меньше 5° массивного отрыва с поверхности эллипсоида не наблюдается. При углах атаки свыше 10° начинает формироваться пара вихревых жгутов, сходящих с кормовой оконечности эллипсоида. Линии срыва вихревых жгутов непостоянны во времени и перемещаются на поверхности эллипсоида относительно продольной оси симметрии. При дальнейшем увеличении угла атаки отрывное явление охватывает практически всю засасывающую поверхность тела. В кормовых сечениях в плоскости шпангоута течение выглядит как отрыв пары вихрей. Вниз по течению с поверхности эллипсоида сходит пара вихревых жгутов.

На рис. 4 показан график изменения положения точки отрыва потока в окружном направлении в поперечном сечении jc/L=0.729 в зависимости от угла атаки. Положение точки отрыва оценивается по величине окружной скорости. При больших углах атаки рассчитанный угол отрыва потока ф практически совпадает с экспериментальными значениями. Расчеты, выполненные Кимом и др. по URANS моделям турбулентности, несколько завышают угол схода вихрей с поверхности тела на 3-10°.

Интегральные гидродинамические характеристики (коэффициенты нормальной

Рис. 4. Изменение положения точки отрыва потока в окружном направлении в поперечном сечении x/L=0.129 в зависимости от угла атаки, оцененное по окружной скорости: 1 - эксперимент, 2 - SST URANS модель, 3 - S-A URANS модель, 4 - LES модель, 5 - LES модель, поворот эллипсоида по углу атаки в потоке жидкости.

силы Cn = 2Rn/pulnR1 и момента Cm = 2М/ри\пКгЬ ) как метод крупных вихрей, так и URANS модели предсказывают практически с одинаковой степенью достоверности (рис. 5, а). На малых углах атаки URANS модели несколько занижают силу и завышают момент, в то время как LES дает значения весьма близкие к экспериментальным. На больших углах атаки оба подхода занижают силу и завышают момент. На рис. 6 вертикальными линиями показаны среднеквадратичные отклонения коэффициента нормальной силы от среднего значения, полученные LES расчетом. Экспериментальные данные лежат внутри доверительного интервала LES метода.

Рис. 5. Коэффициенты нормальной силы Сп в зависимости: а - от угла атаки, 1, 2 - эксперимент, 3 - SST URANS модель, 4 - S-A URANS модель, 5 - LES модель; б - при совершении телом поворота в потоке жидкости, 1 - эксперимент, 2 - эксперимент, гипотеза квазистационарности, 3 - SST URANS метод, 4 - DES метод, 5 - LES метод.

LES расчеты показывают, что при динамическом изменении а угол отрыва потока ф с поверхности эллипсоида увеличивается на 1015° по сравнению с обтеканием при статических углах атаки (рис. 4), что хорошо согласуется с экспериментом.

Анализ поля завихренности и траекторий движения жидких частиц показывает, что массивный срыв потока с поверхности эллипсоида начинается в момент времени t* - 5 . По окончании поворота начальная точка отрыва располагается в сечении x/L=0.25 от носовой оконечности эллипсоида. С поверхности эллипсоида срываются два крупных вихревых жгута (рис. 6).

Из оценки интегральных гидродинамических характеристик следует, что метод крупных вихрей несколько завышает изменение коэффициента нормальной

Рис. 6. Траектории движения жидких частиц при совершении телом поворота в потоке жидкости на моменты времени г*=Шо/Ь=11.

силы во времени по сравнению с экспериментом (рис. 5, б). Кривая Сп приближается к экспериментальной только на завершающих этапах поворота.

Интересно отметить, что на начальных этапах маневрирования коэффициент нормальной силы, полученный по гипотезе квазистационарности экспериментальным путем, существенно отличается от данных, измеренных в процессе поворота, от настоящих LES расчетов и DES расчетов Ри и Хино. Рассчитанный момент Cm хорошо согласуется с экспериментальными данными.

Обтекание крыла малого удлинения. Расчеты течения за изолированным крылом удлинением А,=1 с профилем NACA 0012 выполнены в диапазоне углов атаки а от 0 до 37° при числе Рейнольдса Re = u0b/v = 6.9 106 , где и0 -скорость набегающего потока, b - хорда крыла. LES расчеты по модели Смагоринского проводились на сетке состоящей из 20 миллионов ячеек.

Степень адекватности расчетов определялась сопоставлением численных и экспериментальных значений коэффициентов приращения силы сопротивления АСХ = СХ—СХ

Рис. 7. Коэффициенты приращения силы сопротивления АС, (а), подъемной силы Су (б) и момента mv (в) в зависимости от угла атаки

а для однородной жидкости, Re = 6.9 106. 1 -эксперимент, 2 - линейная теория, 3 - нелинейная теория, 4 - LES модель, 5 - среднеквадратичные отклонения.

(где Сх и Сх - коэффициенты

сопротивления при текущем и нулевом углах атаки соответственно), вызванного наличием угла атаки, подъемной силы Су и продольного момента т. (рис. 7). Там же показаны результаты, полученные классическими методами теории крыла: потенциальная модель обтекания крыла в линейном и нелинейном приближениях. В целом до-

стигнута приемлемая сходимость численных и экспериментальных результатов. Коэффициент mz удается хорошо воспроизвести во всем диапазоне углов атаки. Оценка доверительного интервала LES метода показывает, что экспериментальные значения интегральных характеристик лежат внутри него.

С?

б

Рис. 8. Развитие гидродинамического следа за крылом обтекаемым под а = -20° потоком однородной жидкости для Re = 6.9 106: а - траектории движения жидких частиц, б - энергия подсеточных пульсаций к' = kSGS/ul = 106.

Структура течения за крылом во многом определяется гидродинамическим следом. Компьютерная картина траекторий движения жидких частиц одного из торцевых вихрей подтверждает, что при отрицательном угле атаки (а = -20°) след имеет устойчивую тенденцию к поднятию (рис. 8, а). Направление поперечного перемещения следа качественно согласуется с результатами вихревых моделей и с данными физических экспериментов. При изменении знака угла атаки направление поперечного смещения вихревого следа также изменятся на противоположное.

Анализ интенсивности вихрей следа показывает быстрое ее снижение вниз по потоку за крылом. На расстоянии, приблизительно равном хорде, эта интенсивность падает на порядок. На рис. 8, б показано мгновенное поле подсеточ-

7 SGS

нои кинетическои энергии /с в следе, из анализа которого следует, что эта турбулентная характеристика убывает медленнее, чем завихренность, и для нее характерна значительная неоднородность.

Рис. 9. Мгновенные траектории движения жидких частиц возле крыла на цилиндрической поверхности, Яе=6.5 106: а - структура подпорного вихря, б -трехмерный образ траекторий движения жидких частиц.

иу м/с

-0.2

02

0

Течение за крылом удлинением А = 0.36£>, расположенного на цилиндрической поверхности, длина которой составляла 6.1 Ь^ исследовано для числа Рейнольдса 11е=6.5'106.

0.5

1.5

2

сек

На рис. 9 показаны мгновенные траектории жидких частиц, которые де-

Рис. 10. Эволюция вертикальной компоненты скорости монстрируют сиза крылом на цилиндрической поверхности в точках 1- стему вихрей, обра-хх!Ь = 0.05, х2 !Ь = 0.024, хъ!Ь = 0.95 и 2 - х,/6 = 0.05, зующихся возле

Можно выделить подпорный вихрь, состоящий из нескольких маленьких вихрей, торцевой вихрь и спиралевидный вихрь вблизи задней кромки. Качественно картина вихреобразования согласуется с экспериментальными данными и расчетами других авторов.

Был получен интересный результат относительно динамики спиралевидного вихря. Расчеты показывают, что срединный вихрь совершает высокочастотные перемещения относительно своей оси. Анализ реализаций горизонтальной и2 и вертикальной иъ компонент скорости в точках хх1Ъ = 0.05, х2/Ь = ±0.024, хъ!Ь = 0.95 показал, что в горизонтальной плоскости вихрь совершает незначительные высокочастотные перемещения (рис. 10). В вертикальной плоскости вихрь совершает значительные перемещения, период которых составляет 1.8 с.

Возможность модели описывать стратифицированные течения вязкой жидкости оценена на примере решения двух задач: динамики внутренних приливных волн над подводным препятствием и формировании стратифицированного течения жидкости в канале под действием гравитации.

Динамика внутренних приливных волн над подводной возвышенностью. С помощью метода крупных вихрей и модели Смагоринского с функцией плавучести (6) воспроизведен эксперимент Митсуура и Хибия, в котором исследовались приливные внутренние волны с периодом Т прилива М2, формирующиеся в районе Штелльваген Банки, Массачусетский залив. В эксперименте профиль плотности полагался линейным, частота плавучести - N = 1.02 рад/с. Внутреннее число Фруда составляло Гг = мтах/Л'Я =0.06 , где итах - амплитуда продольной скорости перемещения подводного препятствия, Н - высота канала. Отношение высоты подводного препятствия к высоте канала -/г / Н = 0.5 . Отношение длины препятствия к высоте канала - 11Н = 3.3.

х2/ Ь = -0.024, хъ!Ь- 0.95.

крыла на цилиндрической поверхности.

с в

б Е г

Рис. 11. Временная эволюция поля плотности (изопикны), вызванная приливом М2, в районе Штелльваген Банки, вертикальный разрез, моменты времени: а - б - 0.75Г, 1.57'эксперимент, в - г - 0.75Г, 1.5ГЬЕ8. Показан фрагмент области.

х/Н

На рис. 11 показаны рассчитанные линии равной плотности (изопикны) для моментов времени 0.757 и 1.5Т, которые сопоставляются с визуализацией течения. Можно отметить хорошее согласование результатов численного моделирования и экспериментальных данных. Положение рассчитанных вершин (В, Е) и подошв (С, О) внутренних волн практически совпадают с полученными в лабораторных условиях. Некоторые различия наблюдаются в оценке амплитуды волн, что отчасти может быть объяснено размытием слоев краски в эксперименте.

Формирование стратифицированного течения в канале под действием гравитации. Одним из примеров гравитационных течений является течение в горизонтальном канале, вызванное внезапным разрушением вертикальной перемычки, разделяющей в начальный момент времени разные по плотности жидкости.

Развитие такого течения исследовано с помощью моделей метода крупных вихрей (Смагоринского - Лилли — ЬЕ81 и Смагоринского с функцией плавучести (6) -ЬЕ82) и стандартной к — е модели. Соотношение плотностей было принято равным у = 0.993, 5'с=103. Число Рейнольдса, определенное по скорости плавучести иь = , состав-

Рис. 12. Горизонтальное положение фронтов тяжелой ( Lh ) и легкой жидкости ( L, ) в различные моменты времени !*: 1,2 — эксперимент, 3, 4 - расчет по к - £ модели, 5-8 - LES 1 и LES2.

ляло Re = иьН/у = 23438 , H - высота канала.

На рис. 12 показаны положения фронтов тяжелой и легкой жидкости в различные моменты времени t* = t^g(\-y)/H . В целом, к-е модель турбулентности и модели турбулентности LES1 и LES2 дают удовлетворительное согласование с экспериментальными данными. Развитие течения по к-е модели имеет небольшое запаздывание по сравнению с наблюдаемым в эксперименте. Результаты расчетов по моделям LES1 и LES2 хорошо согласуются с лабораторными данными.

Рис. 13. Изопикны на момент времени /* = 5.9: а -к-е модель, б-LESl, в — LES2, г - эксперимент.

Структура течения, рассчитанная по этим моделям, заметно различается (рис. 13). Так, к-£ модель не воспроизводит развитие неустойчивости Кель-вина-Гельмгольца и дает слабо выраженную волновую картину. Модели LES 1 и LES2 позволяют описать неустойчивость Кельвина-Гельмгольца и формирование внутреннего волнения, топология которого схожа с наблюдаемым в эксперименте. При этом LES2 предсказывает несколько более сложную структуру течения в местах контакта тяжелой и легкой жидкостей, чем LES1 (рис. 13, б, в), что позволяет воспроизвести более детально физику процесса, а именно формирование «барашков» при опрокидывании внутренней волны.

На основе проведенной верификации моделей турбулентности можно заключить, что для моделирования стратифицированных течений предпочтительней использовать метод крупных вихрей и модель LES2, которая используется в исследованиях главы 6.

Оценка метода описания свободной поверхности. С помощью метода крупных вихрей, модели Смагоринского и VoF воспроизведен эксперимент Бо-узелха-Хаммоума и др., в котором исследовался гидравлический скачок, формирующийся над призматическим подводным препятствием при числе Фруда Fr = и0/\JgH = 2.3, где и0 - скорость потока, H - высота канала.

На рис. 14 показано возвышение свободной поверхности г\ в районе препятствия. В целом, результаты моделирования можно признать удовлетворительными. Качественное изменение уровня свободной поверхности в расчетах согласуется с экспериментальными данными. Наибольшие различия наблюдаются вверх по течению от препятствия.

В конце главы делаются выводы о целесообразности использования LES подхода для описания пространственно-временной неоднородности гидрофизических полей морской среды и о работоспособности предлагаемых моделей турбулентности, математической модели и программного комплекса.

В шестой главе приводятся результаты исследований влияния параметров морской среды на гидродинамические характеристики морских объектов и отклик морской среды на движение в ней тел. Рассматриваются вопросы моделирования динамики морской среды.

Взаимодействие внутренних приливных волн с подводными возвышенностями. Одной из причин появления ВВ над подводными возвышенностями является приливный форсинг. Подобное явление, например, наблюдается в районе Дредноут банки, расположенной вблизи берегов Суматры, о чем свидетельствуют данные спутниковых наблюдений. На космических снимках зафиксировано две системы ВВ в Андаманском море: пакет длинных одиночных волн (первичные) и пакет коротких кольцевых волн (вторичные). Появление первичных одиночных волн обусловлено взаимодействием пикноклина с возвышением дна между Суматрой и островами Великого Никобара. Причины возникновения коротких кольцевых волн до конца не изучены. Ряд исследователей полагает, что их появление вызвано взаимодействием солитона с вершиной Дредноут банки.

Для ответа на вопрос о механизме образования вторичных ВВ в настоящей работе выполнена серия расчетов в области размером 90x20 км, в центре которой располагается Дредноут банка. Глубина над банкой составляет h=241 м. Максимальная глубина в исследуемом районе достигает #=1000 м. Скорость течения - ио = 0.05 м/с. В расчетах использовался натурный профиль плотности. Число Фруда составляло Fi = uo/Nh = 0.182. Было рассмотрено два периода Г прилива М2. Одиночные волны в исследуемую область не вводились.

1 в

^.08 -06 -04 -О* -

о I . - . . I---1__I......I_ I _

"3-2-10 1 2 3 4

Х/Н

Рис. 14. Возвышение свободной поверхности г\ , направление течения слева на право, /*У = 2.3: 1 — эксперимент, 2 - ЬЕ8-УоР.

-8 km

О

8 km

а

0.8 km

I I

Z/W* \

-0.8 km

8

А

б

-8 km

0

8 km

Рис. 15. Дредноут банка, а - изопикны, вертикальный разрез, б - проявление поля плотности тяжелой жидкости на свободной поверхности. Моменты времени 2 Т. Показан фрагмент области.

Расчеты показывают, что приливный форсинг приводит к появлению корот-коих ВВ над подводными возвышенностями, которые обусловлены гидравлическим скачком (рис. 15). При глубине залегания пикноклина 50-70 м на свободной поверхности появляется отклик в виде колец более плотной жидкости, которые приводят к изменению оптических свойств среды и наблюдаются с систем космического наблюдения. Расстояние между кольцами составляет приблизительно 4.5-5 км, что хорошо согласуется с натурными данными. В поле завихренности также отмечаются аномалии, обусловленные волновым движением.

Гравитационное течение на шельфе. Морским объектам и сооружениям приходится испытывать гидродинамические воздействия, создаваемые океаном в прибрежных морях. Такие воздействия, в частности, обусловлены придонными гравитационными течениями, возникающими на склонах шельфа. Для их исследования произведено моделирование течений в наклонных каналах, в которых тяжелая и легкая жидкость в начальный момент времени разделены перемычкой. Соотношение плотностей было принято у = 0.993, Sc= 10 . Число Рейнольдса, определенное по скорости плавучести иь = ^#(1-/)// , составляло Re = иьН/v = 23438 . Угол наклона канала а варьировался в пределах -10 -г-10° с шагом 5°.

Расчеты показывают, что при отрицательных углах наклона, когда тяжелая жидкость движется вниз по склону, структура течения носит сложный пространственный характер (рис. 16, а, б). Возникают продольные и поперечные внутренние волны, гребни которых обрушаются в результате развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца с образованием зон смешения. При положительных наклонах канала, когда тяжелая жидкость поднимается вверх по склону (рис. 16, в, г) образуются квазидвухмерные ВВ, которые в дальнейшем затухают.

При а <0 в большей части области значения числа Ричардсона меньше критического Ri<0.25, т.е. превалируют турбулентные процессы. При а>0 в большей области течения числа Ri >0.25 и преобладают волновые движения.

Время нарастания неустойчивости Кельвина-Гельмгольца практически одинаково для всех углов наклона канала в выбранном диапазоне его изменения и составляет г* = /-^»(1 -у)/Н ~ 1 .

В дальнейшем эволюция течения определяется углом склона а.

Анализ интегральных масштабов показывает, что при а = -10° отношение масштаба Озмидова к масштабу Колмогорова составляет / Ю77 = 8, что свидетельствует о превалировании сил инерции над силами плавучести. Происходит опрокидывание волн и интенсивное перемешивание. Начиная с углов наклона канала а > -5° плавучесть подавляет крупномасштабные вихри, и в более поздние моменты времени наблюдается вырождение турбулентности, когда масштабы Озмидова и Коррсина меньше масштаба Эл-лисона , Ьс < ЬЕ .

В случае положительных значений а имеет место плавуче-инерционно-вязкий переход, масштаб Озмидова ¿0 приблизительно равен 10 колмогоровским масштабам г/. Вихри в диссипатив-ном интервале в первую очередь подвержены воздействию плаву-

Рис. 16. Мгновенные изопикнические поверхности (/) и изоповерхности поля завихренности (0)2Н /иь) на момент времени

г* = ^/я(1-у)/Я = 10.54: для а = -10° а,

б - (02Н/иь, для а = 10° в, г- (О^/и,,

/

чести. Плавуче-инерционно-вязкий переход наступает в моменты времени Г* = 10.7 и 10 для углов наклона а = 5 и 10°. Для угла а = 10° начиная с момента времени ¿*> 10.5 масштабы флуктуаций за счет сдвига и плавучести становятся одинаковыми ( Ьа / Ьс ~ 2).

Взаимодействие затопленной струи с пикноклином. К появлению природных ВВ приводят также струйные течения, например, геотермальные подводные струи.

Исследования взаимодействия затопленной струи с пикноклином выполнено в кубической области, со дна которой истекает струя диаметром с1. Расстояние между выходным отверстием струи и глубиной залегания пикноклина было

принято \S.15d. Число Рейнольдса составляло Ке = и0с1/у = 2548, где и0 - скорость истечения струи, внутреннее число Фруда - Л' = м0/ЛИ = 0.64.

В настоящей работе изучен режим, при котором струя не пробивает пикно-клин, а тратит свою энергию на образование внутренних волн. Можно выделить следующие этапы взаимодействия погруженной струи с пикноклином: 1 -поднятие тяжелой жидкости в виде «шапки» с образованием кольцевого вихря, 2 - разрушение кольцевого вихря и образования зон смешения, 3 - формирование концентрических внутренних волн. Длина внутренних волн варьируется в диапазоне А/с/ = 4-^-8,аих высота - 2а = 0.15 -ь 0.3, где а - амплитуда волны.

Сопоставление осредненных по времени профилей аксиальной скорости с экспериментальными данными, полученными в ИПФ РАН, показывает приемлемое согласование результатов расчетов с лабораторными исследованиями (рис. 17).

Анализ реализаций горизонтальных и вертикальной компонент скорости показывает, что струя совершает осцилляции вокруг своей оси.

Из спектрального анализа вертикальной компоненты скорости и корреляции вертикальной скорости и безразмерной плотности следует, что на оси струи на глубине залегания пикнослина наблюдается формирование волны первой моды с частотой Бп = 2кги1/Тиа = 0.375 . На расстояние х2 / с/ = 10 от оси струи дополнительно формируется волна второй моды с частотой Бп = 0.625.

Взаимодействие внутренних и поверхностных волн. Исследование взаимодействия поверхностных и внутренних волн в настоящей работе осуществляется путем задания на свободной поверхности регулярной волны Стокса второго порядка, которая в последующие моменты времени свободно деформируется. В расчетах было принято, что длина волны 3 м, амплитуда - 0.1 м, волновое число - 4.6 рад/м, период - 1.36 с, частота - 4.6 рад/с, фазовая скорость - 2.2 м/с, скорость дрейфа - и0= 0.4 м/с. Толщина слоя жидкости (морской среды) -Н = 0.5 м. Глубина залегания пикноклина - /г = 0.2 м, что соответствует натурной глубине 30 - 40 м. В начальный момент времени полагалось, что внутрен-

a/cf

Рис. 17. Осредненные по времени профиля аксиальной скорости на горизонте h/d = 280. umm - максимальная скорость на оси трубы.

ние волны отсутствуют. Числа Рейнольдса и Фруда составляли Кс = и0Н/у = 2-Ю5 и /7;' = м0/УУЯ = 1.82 соответственно.

а б

Рис. 18. Вид свободной поверхности (а) и изопикнической поверхности (б) / = 0.5 на момент времени 3Т.

Расчеты показывают, что ВВ появляются после первого периода. Их крутизна больше поверхностных волн (рис. 18). Амплитуда ВВ составляет а1И, = 1.45^ от амплитуды поверхностных волн. При этом длина внутренней волны практически равна длине поверхностной волны. После второго периода происходит трансформация внутренних и поверхностных волн. Поверхностные волны выглаживаются. Их амплитуда составляет 0.7 6ат от первоначальной, а длина - 0.892^. Амплитуды ВВ при этом практически не меняются. Несколько уменьшаются их длины - 0.93А1И, от первоначального значения.

Из анализа гидродинамических и гидрофизических полей на уровне свободной поверхности и на глубине залегания пикноклина следует, что первые два периода параметры волны Стокса сохраняются. Имеет место лишь небольшое затухание амплитуды поверхностной волны вследствие действия сил вязкости. Внутренняя волна формируется с запаздыванием на ?* = Ги0/# =0.74. В дальнейшем при г* > 1.65 , после второго периода, появляются более короткие поверхностные и внутренние волны.

Рис. 19. Частотные спектры вертикальной скорости Е (а), безразмерной плотности /<■ и объемной фракции жидкости а (б) в точках х1 / Н = -2, х2/ И = 0 , хъ!Н = 1;0.6: 1 - спектр поверхностного волнения, 2 - спектр внутреннего волнения, 3 - - 4 - - 5«"5'3, 5 - ~ 5>Г7'5, 6 - ~ 5л"5/\

Анализ частотных спектров вертикальной компоненты скорости (рис. 19, а), безразмерной плотности и объемной фракции жидкости (рис. 19, б) показывает, что после второго периода на свободной поверхности можно выделить три волновых моды Sn = 2.63; 4.39; 7.03 в спектре вертикальной скорости и две Sn = 2.2; 3.52 в спектре а . Фазовая скорость поверхностной волны составляет csw/uо = 13.43. В спектре вертикальной скорости внутренней волны можно выделить четыре характерных моды Sn=2.2; 3.95; 5.27; 6.59, а в спектре плотности / три Sn= 2.2; 4.4; 5.27. Фазовая скорость распространения внутренней волны меньше скорости поверхностной волны и составляет ciw/u0 = 11.74. На частотах свыше Sn> 8.3 в пикноклине превалируют турбулентные процессы, о чем свидетельствует характер наклона спектра. Угол наклона спектра безразмерной плотности в инерционно-плавучем интервале описывается зависимо-

с -7/5

стью ~ ¿и , что согласуется с натурными данными.

Взаимодействие поверхностных и внутренних волн носит нелинейный характер и приводит к появлению коротких волн - эффект модуляции.

Ветро-волновое взаимодействие. Огромный фундаментальный и прикладной интерес представляет изучение влияния ветровых волн на образование ВВ.

В настоящей работе исследовано воздействие ветра на стратифицированную жидкость в канале. Максимальная скорость ветра варьировалась г<0=2-10 м/с. В первоначальный момент времени полагалось, что жидкость в канале находится в состоянии покоя. Глубина залегания пикноклина составляла h = 0.1 м, что соответствует натурной глубине 20 м. Числа Рейнольдса и Фруда, определяемые по скорости ветра, составляли Re = «0W/v = 0.5^-10 106 и Fi = u0/NH = 4.55 н- 45.5 соответственно.

Рис. 20. Мгновенное положение свободной поверхности и распределение поля плотности при скорости ветра 5 м/с (а) и формирование вклинивающегося буруна при увеличении скорости ветра до 10 м/с (б). Вертикальный разрез.

Расчеты показывают, что при скорости ветра 1 м/с волнение в канале отсутствует. С увеличением скорости до 5 м/с на свободной поверхности формируются нерегулярные волны (рис. 20, а), максимальная амплитуда которых составляет 0.069 м, а длина 1.49 м. Образовавшиеся поверхностные волны возбуждают волновое движение на пикноклине. Формируются В В, максимальная амплитуда которых - 0.08 м, а длина - 1.71 м. Геометрические размеры внутренних волн превосходят параметры поверхностных волн. При скорости ветра 10 м/с поверхностные волны начинают обрушаться, формируется вклинивающийся бурун (рис. 20, б). В месте обрушения поверхностной волны происходит генерация турбулентной энергии.

Анализ полей подсеточной кинетической энергии показывает, что между пикноклином и свободной поверхностью формируется верхний квазиоднородный слой (ВКС), что хорошо согласуется с данными наблюдений.

Из анализа частотных спектров вертикальной компоненты скорости на уровне свободной поверхности и на глубине залегания пикноклина следует, что на свободной поверхности движение жидкости носит только волновой характер, о чем свидетельствует характерный угол наклона спектра ~Sn~3 (рис. 21). На уровне пикноклина спектр имеет два характерных наклона, соответствующих волновому и турбулентному характеру движения. В нем можно выделить три характерных волновых моды Sri =0.77; 0.98; 1.27. Внутреннее волнение носит более регулярный характер, чем поверхностное, спектр которого сильно заполнен.

Расчеты показывают, что природные ВВ характеризуются большим отношением длины волны к ее высоте Я /2а >80. Короткие ВВ являются неустойчивыми и обрушаются, образовывая зоны турбулентности, которые затем коллап-сируют. ВВ, которые порождаются достаточно короткими поверхностными и ветровыми волнами имеют отношение длины волны к ее высоте Я / 2а ~ 10

Влияние параметров морской среды на гидродинамические характеристики тел исследовано для сферы, эллипсоида вращения и крыла конечного размаха.

Стратифицированное течение жидкости возле плохообтекаемого тела. Обтекание сферы исследовано для чисел Рейнольдса Re = u0D/v = 1.4-103 ;

7.6• 103; 1.14106. Соответствующие им значения внутренних чисел Фруда равны Fi = и0 / ND = 5; 40; °°.

Вблизи сферы характер обтекания практически идентичен случаю однородной жидкости. Вниз по течению вихревые структуры, образующиеся за телом, имеют кластерный характер, то есть представляют собой совокупность вихрей различного масштаба. Область распространения турбулентной кинетической энергии вниз по потоку уменьшается с уменьшением значений внутренних чисел Фруда. В зоне вырождения след имеет квазидвумерную в горизонтальном плане структуру, что хорошо согласуется с данными экспериментальных наблюдений.

Анализ изопикнических поверхностей показывает, что в непосредственной близости от сферы формируется стационарная волна, обусловленная вытесня-

Рис. 21. Частотный спектр вертикальной скорости Е в точках / Н = 0 , х2 / Н = 0 , х3/Н = 1; 0.6 : 1 - спектр поверхностного волнения, 2 - спектр внутреннего волнения, 3 — 5п~3, 4 — Бп~5п. Скорость ветра 5 м/с.

ющим воздействием тела. Ниже по течению наблюдается вихре-волновое взаимодействием, что согласуется с исследованиями других авторов. Имеет место как волновое движение, так и турбулентное перемешивание. Топология вынужденных ВВ зависит от значений П. В случае малых чисел Фруда образуются квазидвумерные внутренние волны, гребни которых ориентированы поперек потока (Рис. 22, а). При больших /ч наблюдаются нерегулярные волны с гребнями, ориентированными вдоль кильватерного следа (Рис. 22, б).

а) ЛгЯ б) Вш&ЩШВШШШ^ш

Рис. 22. Мгновенные изопикнические поверхности, / = 0.2: a -Fi = 5, б - Fi=40.

На малых Fi наблюдается увеличение волнового сопротивления. LES расчеты позволяют выявить и такой тонкий эффект, как уменьшение коэффициента сопротивления по сравнению со значением в однородной по плотности жидкости, которое при Fi = 5 составляет 5.6%, что согласуется с экспериментом.

Анализ частотного спектра коэффициента силы сопротивления CD показывает, что в стратифицированной среде по мимо трех основных мод St = 2nnD/Tu0 = 0.108; 0.87; 1.9, значения которых близки к значениям в однородной жидкости, возникает дополнительная высокочастотная мода St =2.48 (Рис. 23).

Структура течения за хорошо обтекаемым телом вблизи пикноклина. Структура течения за хорошо обтекаемым телом изучена на примере эллипсоида вращения с отношением длины к диаметру LlD = 6. Исследовано обтекание эллипсоида, пересекающего пикноклин при различных углах атаки и располо-

Рис. 23. Частотный спектр коэффициента сопротивления CD сферы, ReD = 1.4 ■ 104, Fi = 5 , LES.

женного над пикноклином с нулевым углом атаки. Принято, что профиль плотности в пикноклине конечной толщины изменяется по линейному закону. Вне пикноклина - плотность постоянна. В первом случае толщина пикноклина составляла h = 2.66/?, частота плавучести - N = 0.3 рад/с, а центр эллипсоида располагался посередине пикноклина, где R - радиус эллипсоида. Во втором случае толщина скачка плотности принята h = 2R, частота плавучести - N = 1.15 рад/с, а тело располагалось на расстоянии h=2R от границы тяжелой жидко-

Результаты численных расчетов обтекания эллипсоида, расположенного над пикноклином при нулевом угле атаки, по методу крупных вихрей сопоставлены с решениями потенциальных течений, полученными В.В. Васильевой. На рис. 24 представлены значения коэффициента волнового сопротивления (Cd - С/) = (йх - Rf)/pulvm , где R, - сила сопротивления, R/

- сила сопротивления трения, V

— объем тела, иа - скорость набегающего потока, в зависимости от числа Фруда Fr = u0/-JgL. Расчеты по методу LES хорошо согласуются с расчетами потенциальных обтеканий в диапазоне малых чисел Фруда 0.05 <Fr< 0.08, когда доминируют волновые процессы. При Fr > 0.1 сравниваемые методы предсказывают различный выход на асимптотическое поведение кривой волнового сопротивления. Это различие может быть объяснено тем, что в LES сопротивление на больших числах Фруда обусловлено отрывом потока в кормовой оконечности с образованием вихревого жгута, которые не воспроизводятся в модели идеальной жидкости. В целом, можно утверждать, что полученные результаты, хорошо согласуются с расчетами по модели потенциальных течений.

Обтекание эллипсоида при различных углах атаки, пересекающего пикно-клин конечной толщины, исследовано для чисел Re = 7-105 и Фруда Fi=208.9. Несмотря на высокое значение числа Fi, расчеты показывают, что в диапазоне 3° <а< 15° приращение коэффициента сопротивления SCd- [cd-Cd°)/Cd°, где Cd, Cd° — коэффициенты сопротивления в стратифицированной среде и однородной жидкости, значительно и составляет 10-20%. При больших углах атаки SCd практически равно нулю. В то же время, приращение подъемной силы Sci = (ci-ci°)/ci° в условиях стратификации, где Cl, Cl" - коэффициенты подъемной силы в стратифицированной среде и однородной жидкости, незна-

сти.

0 05 0.15 1-г

Рис. 24. Коэффициент волнового сопротивления эллипсоида Cd-Cf , расположенного над пикноклином, в зависимости от числа Fr: 1 - расчет потенциального течения, 2 -LES.

чительно и не превышает 3%. Объяснить эффект увеличения сопротивления позволяет анализ поля плотности.

При малых углах атаки смешение слоев стратифицированной жидкости между собой практически отсутствует. В поле плотности наблюдаются волны, вызванные вытесняющим воздействием тела, и возмущения, которые могут быть отождествлены с нерегулярными внутренними волнами. Возникновение волнового движения приводит к появлению дополнительного волнового сопротивления. По мере увеличения угла а слои жидкости начинают перемешиваться между собой, вихревое движение жидкости становится более развитым. При больших углах атаки превалируют процессы смешения, отрыв и вихревой характер движения жидкости, а сопротивление тела в основном определяется сопротивлением формы.

Обтекание эллипсоида, расположенного над пикноклином, исследовано в диапазоне 1.74 < Я <6.96. Расчеты показали, что при значении числа №=1.74 (/7,=о.05) наблюдается максимум приращения коэффициента сопротивления. Максимальная высота внутренней волны, сформировавшейся в кормовой оконечности эллипсоида, наблюдается при /4=1.74 и составляет Л„. = 1.2/? (рис. 25, а). Отношение длины волны к ее высоте А//ги, = 13.3. С увеличением числа Фруда степень относительной выраженности кормовой волны уменьшается и при №=3.48 её параметры: =0.96й и Я//г№ = 24.25 (рис.25, б).

Пикноклин оказывает существенное влияние на параметры течения в следе. В кормовой оконечности эллипсоида формируется вихревой жгут, который по мере удаления от тела всплывает. На расстоянии 6.9£ от кормовой оконечности при числе Фруда №=1.74 вихревой жгут поднимается на высоту 2.4«, отсчитываемую от центра эллипсоида. При числах №3.48 и 6.96 вихревой жгут перемещается на высоты 2.16/? и 1.6/?.

Рис. 25. Траектории жидких частиц в ближнем следе эллипсоида, расположенного над пикноклином, и вид волновой поверхности: а-б - Л'=1. 74, 6.96.

Анализ спектра вертикальной скорости Е и ко-спектра вертикальной скорости и скаляра Е/ показывает, что в ближнем следе эллипсоида, также как и в случае сферы, помимо длинных внутренних волн наблюдаются и пакеты вторичных высокочастотных волн. Количество гармоник возрастает по мере увеличения числа Фруда и по мере удаления точки наблюдения от тела вниз по течению. Если при №2.58 на удалении Ь от кормовой оконечности в спектре Е возникает одна дополнительная мода Бп = 2лпЬ/Ти0 = 18, то при числе Фруда .№6.96 на том же удалении появляется две гармоники: = 5 и 27; на удалении 5£ - три: Бп = 11, 15 и 24. Можно сделать вывод о том, что при больших числах

Фруда вблизи эллипсоида формируются только две системы волн: длинные стоячие и случайные волны.

Влияние жидких границ на обтекание крыла малого удлинения. Для

оценки влияния жидких границ на обтекание крыла малого удлинения решены задачи об обтекании его потоком стратифицированной жидкости и потоком жидкости со свободной поверхностью.

Обтекание крыла конечного размаха удлинением ^=1, имеющего профиль NACA 0012 и расположенного под углом атаки а = -20°, потоком стратифицированной жидкости исследовано вблизи пикноклина конечной толщины и в линейно-стратифицированной среде. Диапазон чисел Рейнольдса Re = u0b/v и Фруда Fi = u0/Nb, варьировались от 3.1105 до 6.9106 и от 1.4 до 34.4 соответственно.

В первом случае параметры стратификации были приближены к натурным данным для Баренцева моря (май 2005 г.). Толщина пикноклина принята равной 0.26. Выше и ниже пикноклина плотность полагалась постоянной, соответствующей значению на границе слоя.

а

Рис. 26. Траектории движения жидких частиц и вид волновой поверхности за крылом, движущимся в стратифицированной среде при угле атаки а = -20° : а -над пикноклином, Ле=6.9Т0б, П=34.4; б - под пикноклином, Ке=3.3-105, №=1.4; в - линейно-стратифицированная жидкость, 11е=З.ЗТ05, F¿=l.4.

При движении над пикноклином середина хорды крыла располагалась на высоте 1.16 от средней линии пикноклина. На рис. 26, а показано развитие гидродинамического следа за крылом. Сопоставляя эту картину с аналогичной для однородной по плотности жидкости, можно установить, что влияние пикноклина, находящегося под крылом, на развитие вихревого следа оказывается ма-

лозначительным. Его структура и параметры всплытия оказываются весьма

близкими: в обоих случаях след поднимается вверх со скоростью 0.03-0.04 от щ.

Турбулентная структура следа также мало отличается от структуры следа в однородном потоке. Волновое движение жидкости проявляется в виде формирования внутренней волны, обусловленной вытесняющим воздействием тела -стоячая волна, и длинной внутренней волны позади тела. Стоячая волна приводит к опусканию пикноклина на величину, не превышающую 0.026. Отношение длины волны к ее высоте - = 73.5 . Амплитуда длинной волны составляет 0.086.

Наиболее сложная динамика течения наблюдается при движении крыла под пикноклином (рис. 26, б), когда середина хорды крыла располагается на глубине 1.16 от средней линии слоя изменения плотности. В данном случае вихревой след поднимается к пикноклину, но не пересекает его (рис. 26, б). При этом образуется система внутренних волн - длинная волна, берущая начало от носовой кромки крыла, и вторичные короткие волны. Максимальное возвышение всей системы волн составляет около 0.26. Длина коротких волн порядка 1-1.5 от 6, высота - 0.176, отношение длины волны к ее высоте 8.8. Форми-

рование коротких волн начинается на расстоянии (5-6)6 от задней кромки крыла.

Анализ частотного ко-спектра вертикальной скорости и скаляра и частотного спектра скаляра в точке, расположенной по середине пикноклина на расстоянии 66 от задней кромки крыла показывает, что низкочастотные моды (длинные волны) существуют как в случае расположения крыла над пикноклином, так и под ним, и наблюдаются на частоте = 2лпЬ/Ти0 ~2. Однако, в спектре поля скаляра крыла, расположенного под скачком плотности, отмечаются две дополнительные высокочастотные моды 5п=4.5 и 10. Ко-спектр имеет два характерных участка наклона. В низкочастотной части наклон кривой пропорционален 5/Г3 (волновой характер), в высокочастотной части - 5п"5/3 (турбулентный характер). В потоке существуют турбулентные структуры, распространяющиеся вдоль жидкой границы. Стратификация препятствует всплытию как крупно, так и мелкомасштабных вихрей.

Расчеты обтекания крыла потоком линейно-стратифицированной жидкости выполнены для чисел Яе=3.1105и П=1А. В этом случае преобладает волновое движение жидкости (рис. 26, в). Вертикальное перемещение торцевых вихрей отсутствует и наблюдается их быстрое размывание (рис. 26, в). Захватываемая вихрями более тяжелая жидкость препятствует их всплытию. Коллапс турбулентного следа происходит на расстоянии около 36 от задней кромки. Топология внутренних волн носит нерегулярный характер. Несмотря на их сложную пространственную структуру, можно выделить три группы волн: стоячую волну, образованную непосредственно вытесняющим воздействием крыла, длинную волну за телом и пакеты коротких внутренних волн. Геометрические параметры стоячей волны следующие: высота волны - 0.36, отношение длины волны к ее высоте - Я/= 5.57. Высота длинной волны составляет 0.236, а отно-

шение длины к высоте Я/Ли, = 34.8. Максимальные длина и высота коротких нерегулярных волн не превышают 1.02¿> и 0.53b соответственно, отношение длины к высоте X/hw = 1.94. Указанные параметры критические, и короткие волны обрушаются, вследствие чего формируются пятна турбулентности. После их коллапса вновь наблюдается волновой характер движения жидкости.

Влияние стратификации на интегральные гидродинамические характеристики крыла малого удлинения носит характер, аналогичный ранее полученному для тел с плавными обводами: при больших углах атаки увеличение сопротивления тела не превышает 3-5%. Однако, падение подъемной силы может достигать 11%.

Сравнение характеристик природных и корабельных внутренних волн показывает, что для природных внутренних волн характерны низкие частоты (5и =0.7-2.2), которые на порядок меньше частот ВВ, вызванных поступательным движением тел (Sn =6-20). Частоты корабельных внутренних волн увеличиваются с увеличением числа Фруда.

Влияние свободной поверхности на обтекание крыла удлинением Х,=1, имеющего профиль NACA 0012, исследовано для угла атаки а = -20°. В первом случае крыло располагалось на глубине h=\.\b, число Рейнольдса и Фруда составляли Re = m0¿/v =З.М05 и Fr= u0/yfgb = 0.1. Во втором случае - на глубине h=0.5b, Re=8.31-10 и Fr= 2.65. Основное внимание в исследовании уделено полевым гидродинамическим характеристикам ближнего следа.

В случае первого режима влияние крыла на свободную поверхность незначительно. Эта объясняется достаточно большим относительным заглублением крыла и малой скоростью его движения. Свободная поверхность играет роль «твердого экрана» и вихревые жгуты распространяются вниз по течению параллельно ей. Экспериментальные исследования также показывают, что при числах Fr=Q.5672 и й=1.034 максимальное отклонение свободной поверхности

г] составляет не более 3% от длины хорды Ь.

-.... ....... ............. ......................................

Рис. 27. Трансформация свободной поверхности при поступательном движении под ней крыла малого удлинения, Ь=0.5Ь, Re=8313000, Рг=2.65.

Взаимодействие крыла со свободной поверхностью начинается при меньших глубинах и больших значениях чисел Фруда. При числе Рг= 2.65 и А=0.5Ъ наблюдается развитая волновая картина, сопровождающаяся обрушением поверхностных волн (рис. 27). Формируются четыре ярко выраженных волновых пика: первая волна обусловлена вытесняющим воздействием самого крыла и располагается над телом, три последующих коротких волны вызваны взаимодействием гидродинамического следа со свободной поверхностью. Аналогич-

ная структура волнового движения наблюдается и в экспериментальных исследованиях.

Максимальная амплитуда волн в случае второго режима составляет 0.22Ь, длина Я = 2.1 Ь. Вихревые жгуты поднимаются к свободной поверхности со скоростью м3/м0 = 0.072.

Анализ поля завихренности со} показывает, что на свободной поверхности наблюдается вихревое движение, индуцированное вихревым следом за крылом, которое концентрируется на вершинах волн. На свободной поверхности также наблюдаются пятна турбулентности. Несмотря на кажущуюся случайность волнового движения, нельзя не отметить достаточно устойчивую во времени пространственную структуру волн - вниз по течению волны расходятся образуя дуги, центры которых совершает колебания относительно диаметральной плоскости.

В конце главы сформулированы выводы о характерных особенностях природных и корабельных внутренних волн, их отличиях (частоты корабельных ВВ на порядок выше природных), основных проявлениях взаимодействия тел с гидрофизическими полями морской среды (формирование ВВ, коллапс турбулентного следа, увеличение в ряде случаев сопротивления и изменение спектральных характеристик).

В заключении указано, что работа представляет собой решение научной проблемы взаимодействия тел и гидрофизических полей океана, имеющей важное народно-хозяйственное значение. Основные результаты, полученные в работе состоят в следующем:

1. Построена обобщенная математическая модель, описывающая движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы (интерфейса) воздух -морская среда, на основе метода крупных вихрей (LES).

2. Создана новая подсеточная модель турбулентности для описания стратифицированных течений жидкости на основе анализа волновой и турбулентной составляющих спектра (спектра Ламли)

3. Предложена модифицированная подсеточная смешанная динамическая модель турбулентности с регуляризирующей процедурой на основе разложения в ряд Тейлора.

4. Разработан новый конечно-элементный метод решения уравнений гидродинамики тела и динамики морской среды на основе строго математического обоснования.

5. На основе анализа гидрофизической структуры океана и его гидродинамики показано, что наибольшее влияние на гидродинамические характеристики тел оказывают мелкомасштабные процессы и стратификация.

6. Разработан программный комплекс для выполнения высокопроизводительных расчетов в области гидродинамики корабля и динамики океана на суперкомпьютерных системах.

8. Выполнена серия тестовых и верификационных расчетов, показывающих достоверность результатов, получаемых с помощью предлагаемой модели, ме-

тода численного решения и программного комплекса, путем сравнения их с экспериментальными данными и расчетами других авторов.

9. Получены новые результаты взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, а именно:

а). Показано, что при образовании внутренних приливных волн над подводной возвышенностью проявление внутренних волн на свободной поверхности обусловлено выносом к поверхности гребнями ВВ более плотных водных масс, которые меняют оптические свойства свободной поверхности.

б). Гравитационные течения на склонах шельфа носят сложный пространственно-временной характер. На свалах глубин превалируют турбулентные процессы, на подъеме - волновые.

в). Показано, что поверхностные волны продуцируют внутренние волны. В дальнейшем имеет место их взаимодействия, приводящее с выглаживанию свободной поверхности.

г). Показано, что ветро-волновое взаимодействие приводит к образованию ВВ. На свободной поверхности спектр носит волновой характер. На уровне пикноклина - волновой и турбулентный характер.

д). Стратификация оказывает влияние на сопротивления тел, приводит к появлению дополнительной моды в частотном спектре коэффициента сопротивления.

е). Выявлено, что характерные частоты природных внутренних волн существенно меньше (на порядок) частот корабельных внутренних волн. Анализ спектров внутренних волн позволяет идентифицировать источник их образования.

ж) На основе предлагаемой модели получена возможность исследовать взаимодействие тел и гидрофизических полей морской среды в широком диапазоне критериев подобия.

По теме диссертации автором опубликованы следующие основные работы: Монографии:

1. Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В. Компьютерные технологии в корабельной гидродинамике. СПб: ВМИИ. 2010. 20,25 печ.л.

В рецензируемых научных журналах и изданиях:

2. Jahnke S., Kornev N., Tkatchenko I., Hassel E., Leder A. Numerische Untersuchungen zum Einfluss verschiedener Parameter auf die Mischung im koaxialen Strahlmischer mit Hilfe der LES // Chemie Ing. & Techn. 2004.

3. Jahnke S., Kornev N., Tkatchenko I., Hassel E., Leder A. Numerical study of influence of different parameters on mixing in a coaxial jet mixer using LES // Heat Mass Transfer. 2005. № 41. P. 471-481.

4. Kornev N. Tkatchenko I., Hassel E. A simple clipping procedure for the dynamic mixed model based on Taylor series approximation // Communications in Numerical Methods in Engineering. 2006. V. 22. P. 55-61.

5. Jahnke S., Kornev N., Tkatchenko I., Zhdanov V., Hassel E. Large-Eddy simulation and laser diagnostic measurements of mixing in a coaxial jet mixer // Journal of Chemical Engineering Science. 2006. V. 61. P. 2908-2912.

6. Сафрай A.C., Белевич М.Ю., Ткаченко И.В., Гордеева С.М. Моделирование сезонной изменчивости внутренних приливов в Баренцевом море // Навигация и гидрография, № 22. 2006.

7. Tkachenko I., Kornev N., Jahnke S., Steffen G., Hassel E. Performances of LES and RANS models for simulation of complex flow in coaxial jet mixer // Flow, Turbulence and Combustion. 2007. № 78(2). P. 111-127.

8. Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В. Моделирование обтекания тела вращением потоком стратифицированной жидкости на основе метода крупных вихрей (LES) // «Фундаментальная и прикладная гидрофизика» Сб. научн. трудов. 2008. №1. С. 80-87.

9. Гурьев Ю.В., Слуцкая М.З., Ткаченко И.В. Гидродинамические проблемы создания компьютерных тренажеров морских объектов и пути их решения // «Фундаментальная и прикладная гидрофизика» Сб. научн. трудов. 2008. № 2. С. 29-44.

10.Сафрай A.C., Ткаченко И.В. Численное моделирование гравитационных течений жидкости в наклонных каналах // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 2009. № 1. С. 27-38.

П.Стецюк И.В., Ткаченко И.В., Верификация моделей турбулентности для численного моделирования стратифицированных течений жидкости возле плохообтекаемых тел // Морские интеллектуальные технологии. 2009. № 1.С. 46-47.

12.Ткаченко И.В. Моделирование обтекания маневрирующего тела на основе метода крупных вихрей // Труды ЦНИИ им. ак. А.Н. Крылова. 2009. Вып. 49 (333). С. 55-66.

13.Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В. Структура течения за погруженным телом вблизи пикноклина // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 2010. № 1. С. 22-31.

14.Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В., Якушенко Е.И. Влияние жидких границ на обтекание крыла малого удлинения // Изв. РАН, Механика жидкости и газа. 2011. №6. С. 69-80.

15.Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В., Якушенко Е.И. Компьютерные технологии корабельной гидромеханики: состояние и перспективы // «Фундаментальная и прикладная гидрофизика» Сб. научн. трудов. Т. 4. № 3. 2011. С. 8-21.

16.Дукарский А.О., Кисилев Д.Б., Ткаченко И.В., Тряскин В.Н., Тряскин Н.В., Якимов В.В. Математическое моделирование колебаний жидкости в грузовых емкостях газовозов при соударении с ледовым препятствием // Морские интеллектуальные технологии. 2011. № 4. С. 69-75.

Прочие публикации:

17.Shin H., Tkachenko I. The Generation of the Vortex Wake by Artificial obstacles II Schiffbauforschung. V. 43 (2). 2004. P. 59-67.

18.Jahnke S., Kornev N., Tkatchenko I., G. Steffen, V. Zhdanov, Hassel E. Large-Eddy Simulation of Flow Phenomena in a Coaxial Jet Mixer // ERCOFTAC bulleten "Reacting flow predictions and validation". № 64. March 2005. P. 5154.

19.Jahnke S., Kornev N., Tkatchenko I., Zhdanov V., Hassel E. Numerical and experimental study of mixing in jet mixer // Proc. ERCOFTAC Int. Symp. EMM6. 23-25 May. 2005. Sardinija. Italy; Engineering Turbulence Modeling and Experiments 6. Edited by W. Rodi, M. Mulas. Elsevier. 2005. P. 783-792.

20Jahnke S., Kornev N., Tkatchenko I., Zhdanov V., Hassel E. Simulation and Measurement of flow phenomena in a coaxial jet mixer // Turbulence and shear flow phenomena. Marriott Conference Center. June 27-29. 2005. Williamsburg. Virginia. USA; Turbulence and Shear Flow Phenomena TSFP-4. Edited by H. T. Gatski. 2005. V. 2. P. 723-728.

21.Kornev N., Tkatchenko I., Jahnke S., Zhdanov V., Hassel E. LES simulation and measurements of separation flow phenomena in a confined coaxial jet with large to outer velosity ratio // Advances and Applications in Fluid Mechanics. 2007. V.2. Issue 1. P. 1-28.

22.Гурьев Ю.В., Стецюк И.В., Ткаченко И.В. Гидродинамика подводного объекта в стратифицированной среде // Труды Международной конференции "Подводные технологии - SubSeaTECH". 25-28 июня 2007. С.Петербург.

23.Стецюк И.В., Ткаченко И.В. Численное исследование течения за сферой в стратифицированной жидкости // Труды 14-й Международной конференции «Потоки и структуры в жидкостях». 2-5 июля 2007. С.-Петербург. С. 291-293.

24.Гурьев Ю.В., Стецюк И.В., Ткаченко И.В. Моделирование взаимодействия морских объектов с гидрофизическими полями океана // Труды IX Всероссийиской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». 27-29 мая. 2008. С.-Петербург. С. 342-346.

25.Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В. Влияние стратификации на динамику вихревых структур за погруженным крылом // Труды X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». 2010. СПб. «Наука». С. 261-264.

26.Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В. Современные направления развития гидродинамического проектирования корабля // Оборонный заказ. 2010. № 2829. С. 33-35.

Издательство СПбГМТУ, Лоцманская, 10 Подписано в печать 27.03.2012. Зак. 4339. Тир. 80. 2,05 печ.л.

Введение.

1. Гидрофизические и гидродинамические процессы в океане и их влияние на гидродинамику тела.

1.1. Гидрофизическая структура океана.

1.1.1. Поля солености, температуры и плотности в Мировом океане.

1.1.2. Стратификация и её виды.

1.2. Гидродинамические процессы в океане.

1.2.1. Основные уравнения движения.

1.2.2. Крупномасштабные движения в океане.

1.2.3. Волны в океане.

1.2.4. Особенности турбулентных процессов в океане.

1.3. Влияние морской среды на гидродинамические характеристики тел.

1.3.1. Влияние границ раздела на интегральные гидродинамические характеристики

1.3.2. Влияние неоднородности поля плотности на локальные гидродинамические характеристики.

2. Моделирование движения неоднородной жидкости.

2.1. Различные приближения уравнений движения неоднородной жидкости

2.1.1. Уравнения движения вязкой весомой жидкости.

2.1.2. Приближение Буссинеска.

2.1.3. Уравнения движения невязкой жидкости.

2.1.4. Потенциальное движение жидкости.

2.2. Моделирование невязких стратифицированных течений жидкости.

2.2.1. Модель потенциального волнового движения.

2.2.2. Линейная волновая модель.

2.3. Моделирование турбулентных стратифицированных течений жидкости 81 2.3.1. Основные гипотезы турбулентности.

2.3.2. Моделирование турбулентных стратифицированных течений на основе прямого численного моделирования (DNS).

2.3.3. Моделирование турбулентных стратифицированных течений на основе подхода Рейнольдса (URANS).

2.3.4. Моделирование турбулентных стратифицированных течений на основе метода крупных вихрей (LES).

2.4. Описание свободной поверхности на основе модели вязкой жидкости

2.4.1. Метод слежения за свободной границей.

2.4.2. Методы фиксации свободной поверхности.

3. Математическая модель турбулентного движения неоднородной жидкости.

3.1. Основные допущения.

3.2. Математическая постановка задачи динамики вязкой жидкости и обусловленность ее решения.

3.2.1. Функциональные пространства.

3.2.2. Особенность постановки задачи о движении вязкой однородной несжимаемой жидкости и ее разрешимость.

3.3. Уравнения движении вязкой неоднородной несжимаемой жидкости в не-инерциальной системе координат.

3.3.1. Кинематика жидкой частицы.

3.3.2. Уравнения Навье-Стокса в неинерциальной системе координат.

3.3.3. Уравнение неразрывности в неинерциальной системе координат.

3.3.4. Уравнение переноса вариации плотности в неинерциальной системе координат

3.3.5. Уравнения метода крупных вихрей в неинерциальной системе координат.

3.3.6. Уравнения движения вязкой несжимаемой стратифицированной жидкости, ограниченной свободной поверхностью, в неинерциальной системе координат.

3.4. Начальные и граничные условия.

3.4.1. Постановка начальных и краевых условий в общем случае.

3.4.2. Постановка краевых условий для уравнений метода крупных вихрей

3.4.3. Постановка начальных и краевых условий для уравнений, записанных в неинерциальной системе координат.

3.4.4. Постановка граничных условий для решения некоторых частных задач.

3.5. Параметризация турбулентных процессов на основе метода крупных вихрей

3.5.1. Усовершенствованная смешанная динамическая модель.

3.5.2. Усовершенствованная модель Смагоринского-Лилли для стратифицированных течений жидкости.

4. Численное интегрирование уравнений гидродинамики.

4.1. Краткий обзор численных методов.

4.1.1. Метод конечных разностей.

4.1.2. Метод контрольного объема.

4.1.3. Метод конечных элементов.

4.2. Высокопроизводительный конечно-элементный метод решения задачи динамики вязкой несжимаемой неоднородной жидкости.

4.2.1. Схема расщепления и проекционный метод определения поправок давления

4.2.2. Метод Галеркина и слабая формулировка задачи.

4.2.3. Семейства проекционных и базисных функций.

4.2.4. Сходимость и погрешность метода пространственной дискретизации

4.2.5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

4.2.6. Стратегия распараллеливания.

4.3. Методы построения расчетных сеток.

4.4. Алгоритм решения краевой задачи гидродинамики.

4.5. Краткий обзор пакетов вычислительной гидродинамики.

4.6. Пакет корабельной гидродинамики Пом>ГЕ8.

5. Верификация математической модели турбулентного движения неоднородной жидкости.

5.1. Оценка моделей турбулентности.

5.1.1. Однородное струйное течение в канале смесителя.

5.1.2. Отрывное обтекание тел потоком однородной жидкости.

5.2. Оценка модели динамики стратифицированных сред.

5.2.1. Динамика внутренних приливных волн над подводной возвышенностью.

5.2.2. Формирование стратифицированного течения жидкости в канале под действием гравитации.

5.3. Оценка метода описания свободной поверхности.

6. Численное моделирование взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды.

6.1. Моделирование динамики морской среды.

6.1.1. Взаимодействие внутренних приливных волн с подводными возвышенностями

6.1.2. Гравитационное течение на шельфе.

6.1.3. Взаимодействие затопленной струи с гшкноклином.

6.1.4. Взаимодействие внутренних и поверхностных волн.

6.1.5. Ветро-волновое взаимодействие.

6.2. Моделирование взаимодействия морских объектов с гидрофизическими полями морской среды.

6.2.1. Стратифицированное течение жидкости возле плохообтекаемого тела.

6.2.2 Структура течения за хорошо обтекаемым телом вблизи пикноклина

6.2.3. Влияние жидких границ на обтекание крыла малого удлинения.

Совершенствование образцов морской техники и средств освоения океана требует создания новых подходов в решении комплексной проблемы - взаимодействия технического объекта с окружающей морской средой. Эффективное решение такой сопряженной задачи требует проведения фундаментальных и прикладных исследований в области геофизики, океанологии, экологии и кораблестроения и представляет собой важную научно-техническую задачу.

Современная океанология располагает довольно обширными данными о физических процессах, протекающих в океане. Однако присутствие в морской среде технического объекта требует детализации научных сведений о взаимовлиянии динамики океана и гидродинамики тела. Обладание подобными знаниями позволит не только усовершенствовать новые образцы морской техники, но и повысить безопасность и эффективность их эксплуатации.

Основной особенностью морской среды является пространственно-временная неоднородность ее гидрофизических полей. Для нее характерно наличие областей, в которых наблюдается резкое изменение поля плотности по глубине. При определенных условиях (обтекании подводных возвышенностей, приливного форсинга, воздействия поверхностных волн или прохождении технического объекта) на границе скачка плотности (пикноклине) могут возникать внутренние волны (ВВ), которые вступают во взаимодействие с другими физическими явлениями.

Для задач корабельной гидродинамики наибольший интерес представляют процессы, обусловленные силой тяжести и сдвиговой неустойчивостью: волновые и турбулентные движения, которые влияют на интегральные и локальные гидродинамические характеристики. Волновые движения морской среды оказывают влияние на динамику (качка, управляемость) и гидродинамику (ходкость) корабля.

Изучение влияние ветровых волн на динамику и гидродинамику тела, а также гидродинамика тела вблизи свободной поверхности, являются предметом многочисленных теоретических и экспериментальных исследований на протяжении более, чем уже ста лет. Эти вопросы освещены в трудах: А.Н. Крылова, В.В. Семенова-Тян-Шанского, С.Н. Благовещенского, Дж. Лайтхилла, А.Н. Хо-лодилина, И.К. Бородая, Ю.А. Нецветаева, Я.И. Войткунского, А.Н. Шебалова,

B.В. Луговского, М.П. Тулина, Р.В. Борисова и В.Ю. Семеновой. Причины появления поверхностных волн и их динамика рассмотрены в работах отечественных и зарубежных авторов: Н.Е. Кочина, Л.Н. Сретинского, A.C. Монина, E.H. Пелиновского, А. Слюняева, Д.Ю. Чаликова, Дж. Стокса, О.М. Филлипса, А.Ю. Бенилова, С.С. Зилитинкевича, С.А. Торпа, М.М. Заславского.

Другим важным вопросом для исследования взаимодействия тел и морской среды является изучение механики стратифицированной жидкости. Теоретическому и экспериментальному анализу возбуждения внутренних волн различными источниками, их обрушения и генерации ВВ турбулентности посвящены публикации Дж. Стокса, А. Лове, О.М. Филипса, К. Хассельманна, Дж. Майлса,

C.А. Торпа, Л.А. Островского, А.Я. Басовича, В.В. Баханова, В.И. Таланова, Ю.И. Троицкой, Ю.Д. Чашечкина, Ю.З. Миропольского, Г.Н. Иванова, Я.И. Войткунский, Ю.В. Разумеенко, В.В. Васильевой, В.И. Букреева, В.А. Городцо-ва, И.В. Стуровой, Е.В. Ерманюка, O.A. Дружинина, О.Д. Шишкиной. Первоначально основное внимание ученых было направлено на изучение самих внутренних волн, их взаимодействия с поверхностными волнами, механизма генерации турбулентности. Дальнейшие направления исследований были связаны с гидродинамикой тел, движущихся в стратифицированной жидкости.

Рассматриваемая в диссертационной работе проблема взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды является актуальной и одной из важнейших в настоящее время. Математические методы моделирования взаимодействия морских объектов и морской среды в большинстве случаев носят частный или упрощенный характер. Они основываются на потенциальных моделях течений, либо на моделях вязкой жидкости, недостаточно полно учитывающих влияния друг на друга пикноклина и свободной поверхности. Имеются определенные трудности в использовании методов лабораторного исследования. Поэтому создание обобщенной математической модели взаимодействия тела и гидрофизических полей морской среды, описывающей внутренние и поверхностные волны, турбулентные процессы в стратифицированной среде, дающей возможность получить интегральные, локальные и спектральные гидродинамические характеристики, является актуальной задачей. Полученные на ее основе решения имеют как важное практическое значение (повышение эффективности и безопасности эксплуатации корабельной техники, в первую очередь подводных устройств, освоение шельфовой зоны арктических морей России и просторов Мирового океана), так и фундаментальное, связанное с изучением физических процессов, протекающих в океане.

Целью работы является разработка обобщенной математической модели взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающей движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы воздух -морская среда, на основе метода крупных вихрей (Large Eddy Simulation - LES). Для достижения поставленной цели необходимо разработать фундаментальные методы решения задач гидродинамики стратифицированных сред, ограниченных свободной поверхностью, адаптировать и разработать подсеточные модели турбулентности, описывающих неоднородные течения жидкости, получить оценки взаимовлияния гидродинамических процессов морской среды и гидродинамических полей тел на основе теоретических и численных исследований.

Решения поставленных задач базируются на методах математической физики, а именно на решении осредненных по пространству аналогах уравнений Навье-Стокса, и численных методах, в основе которых лежат метод Галеркина и метод конечных элементов. Такой подход позволяет получить решения сходящиеся к точным, что доказывается основной проекционной теоремой. В тоже время, выбранная стратегия математического моделирования дает возможность исследовать потоки стратифицированной жидкости в наиболее общей постановке задачи - рассматривать реальные профили стратификации, учитывать ветро-волновое взаимодействие, взаимодействие поверхностных и внутренних волн, описывать процессы обрушения волн, генерации и коллапс турбулентности. Для оценки достоверности полученных решений результаты численных расчетов сопоставляются с данными экспериментальных исследований и расчетами других авторов.

Учитывая сложность решения поставленных задач и необходимость выполнения большого числа вычислений был разработан специализированный компьютерный код Р1о"\уРЕ8 для выполнения высокопроизводительных вычислений на суперкомпьютерах.

Результаты, полученные в работах, составивших содержание диссертации, и развитые в них методы решения проблемы позволяют понять основные закономерности формирования природных внутренних волн, вызванных приливными течениями над подводными возвышенностями, гравитационными течениями на шельфе и ветро-волновым взаимодействием, оценить их геометрические параметры, топологию, локальные гидродинамические характеристики и спектральные свойства, выбрать критерии, показывающие преобладающий характер движения (волновой или турбулентный), найти основные отличия корабельных вынужденных внутренних волн от природных, показать, что их модальная структура существенно отличается от волн, порождаемых океаном, и получить величину силового воздействия стратификации с учетом вязкости жидкости.

В качестве основных положений на защиту выносятся:

1. Обобщенная математическая модель взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающая движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы (интерфейса) воздух - морская среда, на основе метода крупных вихрей.

2. Новая подсеточная модель турбулентности для описания стратифицированных течений жидкости, полученная на основе анализа волновой и турбулентной составляющих частей спектра (спектра Ламли).

3. Модифицированная подсеточная смешанная динамическая модель турбулентности с регуляризирующей процедурой на основе разложения в ряд Тейлора.

4. Новый конечно-элементный метод решения уравнений гидродинамики тела и динамики морской среды.

5. Программный комплекс для решения задач гидродинамики корабля и динамики океана на высокопроизводительных компьютерных системах.

6. Результаты исследования формирования природных внутренних волн, вызванных приливными течениями над подводными возвышенностями, гравитационными течениями на шельфе, поверхностными волнами и вет-ро-волновым взаимодействием.

7. Результаты изучения взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды.

8. Результаты изучения основных отличий в структуре внутренних природных и корабельных волн.

Диссертационная работа состоит из шести глав и заключения.

В первой главе приводится достаточно обширный материал обзорного характера, посвященный гидрофизической структуре океана и основным гидродинамическим процессам, протекающим в нем. Отмечается, что стратификация, гравитационные ветровые (поверхностные) и внутренние волны оказывают воздействие на гидродинамику корабля. Анализ экспериментальных и теоретических исследований позволил выявить ряд основных закономерностей, появляющихся в интегральных и локальных гидродинамических характеристиках, при буксировке тел в стратифицированной среде. При движении тел в пик-ноклине или вблизи него происходит возрастание коэффициента волнового сопротивления. Формирующиеся при этом внутренние волны условно разбивают на четыре группы: стоячие волны (область заблокированной жидкости); волны, обусловленные неустойчивостью отрывной зоны; волны, возникающие вследствие коллапса вихревого следа; волны, порожденные турбулентными эффектами («случайные волны»). В спутном следе плохообтекаемых тел выделяют семь типов течений, среди которых следует отметить нестационарный вихревой след, дорожку дискретных кольцевых вихрей с системой присоединенных ВВ, турбулентный след с анизотропными вихрями.

Во второй главе приводятся математические модели описания неоднородных течений жидкости, даются различные приближения уравнений движения весомой жидкости, анализируются достоинства и недостатки различных подходов описания стратифицированных течений. Особое внимание уделяется моделированию турбулентных стратифицированных потоков. Приводятся метод описания турбулентных течений на основе уравнений Рейнольдса (URANS) и метод крупных вихрей (LES), различные модели турбулентности. Во второй главе также описываются современные методы моделирования свободной поверхности: метод слежения за свободной границей и метод фиксации свободной поверхности.

Третья глава посвящена разработке обобщенной математической модели взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, описывающей движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы воздух -морская среда, на основе метода крупных вихрей. Упоминаются известные результаты о разрешимости задачи Навье-Стокса, выводятся уравнения метода крупных вихрей в неинерциальной системе координат, что позволяет изучить произвольное движение тела в стратифицированной среде, предлагается модель, описывающая течения стратифицированной жидкости с произвольным профилем стратификации и прилегающего к ней воздуха. Рассматриваются вопросы постановки математически обоснованных краевых условий. Используется новый способ получения смешанной динамической модели с регуляризиру-ющей процедурой на основе разложений в ряд Тейлора, и модели Смагоринского-Лилли для стратифицированных течений жидкости на основе анализа волновой и турбулентной составляющих спектра (спектра Ламли).

Глава четыре посвящена построению конечно-элементного метода решения уравнений динамики вязкой несжимаемой неоднородной жидкости, позволяющего получить теоретически обоснованное решение. Дается краткий обзор современных численных методов и программных пакетов, применяющихся в вычислительной гидродинамике, методов построения сеток. В заключении главы приводится описание возможностей разработанного программного кода FlowFES.

В пятой главе содержатся результаты оценки моделей турбулентности для решения задач внутренней гидродинамики (струйное течение в трубе) и внешнего обтекания (течение возле сферы, эллипсоида вращения при стационарных углах атаки и совершающего маневр, крыла малого удлинения), обсуждаются достоинства и недостатки URANS и LES моделей. Решены задачи о динамике внутренних приливных волн над подводной возвышенностью, о формировании стратифицированного течения в канале под действием гравитации и о возникновении гравитационного скачка на свободной поверхности при обтекании подводной возвышенности. Сравнение результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными и расчетами других авторов показывает хорошую работоспособность математической модели и метода.

В последней шестой главе приводятся решения задач о генерации природных внутренних волн различными источниками: приливным течением над подводной возвышенностью, гравитационным течением на склонах шельфа, затопленной стратифицированной струей, поверхностными волнами и ветро-волновым взаимодействием. Анализируются их полевые, геометрические, энергетические и спектральные характеристики. Оценивается взаимодействие поверхностных и внутренних волн. В этой же главе приводятся результаты моделирования взаимодействия тел корабельной формы (сферы, эллипсоида, крыла малого удлинения) и гидрофизических полей морской среды. Показано, что при движении тела вблизи скачка плотности или внутри него происходит увеличение его сопротивления, которое при определенных условиях может достигать 10-20%. При этом в частотном спектре коэффициента сопротивления возникает дополнительная высокочастотная мода, отсутствующая в спектре однородного обтекания. Положение тела относительно пикноклина оказывает влияние на его гидродинамические поля и форму внутренних волн. Выявлено, что характерные безразмерные частоты природных внутренних волн существенно меньше (на порядок) частот корабельных внутренних волн. Таким образом, анализ спектров внутренних волн позволяет идентифицировать источник их образования.

Основные результаты работы были доложены и получили положительную оценку на: отечественных и международных научных семинарах СПбГМТУ (2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011 гг.), ИПФ РАН (2009, 2010 гг.), ИСП РАН (2011 г.), СПб ФИО РАН (2009, 2011 гг.), университета г. Ростока, ФРГ (2005, 2006, 2011 гг.), ЦНИИ Кораблестроения, КНР (2011 г.); всероссийских и международных конференциях «IX Всероссийский конгресс по теоретической и прикладной механике» (2006 г.), «НЕВА-2007», «Потоки и структуры в жидкостях» (2007, 2009 гг.), «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (2008, 2010 гг.), «Крыловские чтения» (2009 г.), «МОРИНТЕХ» (2009 г.), «Облачные вычисления: образование, научные исследования, разработки» (2010, 2011 гг.), "ERCOFTAC Int. Symp. ЕММ6", Италия (2005 г.), "Turbulence and shear flow phenomena", США (2005 г.), "EUROMECH-469", ФРГ (2005 г.), "Fluid Mixing 8", Великобритания (2006 г.), "SubSeaTECH 2007", Россия (2007 г.), "SuperFast-2008", Россия (2008 г.). Всего по направлению диссертации автором опубликовано 61 работа, из них одна монография и 15 публикаций в рецензируемых научных журналах и изданиях, в частности: «Известия РАН. Механики жидкости и газа» (три публикации), «Фундаментальная и прикладная гидрофизика» (три публикации), «Морские интеллектуальные технологии» (две публикации), «Труды ЦНИИ им. ак. А.Н. Крылова» (одна публикация), «Навигация и гидрография» (одна публикация), "Chemie Ingenieur Technik" (одна публикация), "Heat Mass Transfer" (одна публикация), "Communications in Numerical Methods in Engineering" (одна публикация), "Journal of Chemical Engineering Science" (одна публикация), "Flow, Turbulence and Combustion" (одна публикация).

Основные результаты, полученные в настоящей работе, состоят в следующем:

1. Построена обобщенная математическая модель, описывающая движение вязкой стратифицированной жидкости с учетом границы (интерфейса) воздух -морская среда, на основе метода крупных вихрей (LES).

2. Создана новая подсеточная модель турбулентности для описания стратифицированных течений жидкости на основе анализа волновой и турбулентной составляющих спектра (спектра Ламли).

3. Предложена модифицированная подсеточная смешанная динамическая модель турбулентности с регуляризирующей процедурой на основе разложения в ряд Тейлора.

4. Разработан новый конечно-элементный метод решения уравнений гидродинамики тела и динамики морской среды на основе строго математического обоснования.

5. На основе анализа гидрофизической структуры океана и его гидродинамики показано, что наибольшее влияние на гидродинамические характеристики тел оказывают мелкомасштабные процессы и стратификация.

6. Разработан программный комплекс для выполнения высокопроизводительных расчетов в области гидродинамики корабля и динамики океана на суперкомпьютерных системах.

7. Выполнена серия тестовых и верификационных расчетов, показывающих достоверность результатов, получаемых с помощью предлагаемой модели, метода численного решения и программного комплекса, путем сравнения их с экспериментальными данными и расчетами других авторов, а именно выполнены расчеты: а) течения однородной жидкости в канале смесителя, б) отрывного обтекания тел потоком однородной жидкости (сферы, эллипсоида и крыла), в) динамики внутренних приливных волн, г) динамики гравитационного течения в канале, д) течения в канале со свободной поверхностью. Полученные интегральные, локальные (полевые) и спектральные гидродинамические характеристики хорошо согласуются с экспериментальными данными.

8. Получены новые результаты взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды, а именно: а). Показано, что при образовании внутренних приливных волн над подводной возвышенностью проявление внутренних волн на свободной поверхности обусловлено выносом к поверхности гребнями ВВ более плотных водных масс, которые меняют оптические свойства свободной поверхности. б). Гравитационные течения на склонах шельфа носят сложный пространственно-временной характер. На свалах глубин превалируют турбулентные процессы, на подъеме - волновые. в). Показано, что поверхностные волны продуцируют внутренние волны. В дальнейшем имеет место их взаимодействия, приводящее к выглаживанию свободной поверхности. г). Показано, что ветро-волновое взаимодействие приводит к образованию ВВ. На свободной поверхности спектр носит волновой характер. На уровне пикноклина - волновой и турбулентный характер. д). Стратификация оказывает влияние на сопротивления тел, приводит к появлению дополнительной моды в частотном спектре коэффициента сопротивления. е). Выявлено, что характерные частоты природных внутренних волн существенно меньше (на порядок) частот корабельных внутренних волн. Анализ спектров внутренних волн позволяет идентифицировать источник их образования. ж). На основе предлагаемой модели получена возможность исследовать взаимодействие тел и гидрофизических полей морской среды в широком диапазоне критериев подобия.

Таким образом, данная работа представляет собой решение научной проблемы взаимодействия тел и гидрофизических полей океана, имеющей важное народно-хозяйственное значение.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность профессору, д.т.н. В.В. Васильевой и профессору, д.т.н. Ю.В. Гурьеву за обсуждение полученных в работе результатов.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрены вопросы моделирования взаимодействия тел и гидрофизических полей морской среды. Решены сопряженные задачи океанологии и корабельной гидродинамики.

1. Физика океана. Т.1 Гидрофизика океана. Под ред. Каменковича В.М., ' Монина А.С. М.: Наука. 1978. 455 с.

2. Васильева В.В., Гидродинамика тел на внутренних волнах: Дис. На соискание учен, степени д.т.н. СПб., 1999. 323 с.

3. Thorpe S.A. The turbulent ocean. Cambridge: Univ. Press. 2005. 439 P.

4. Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В. Компьютерные технологии в корабельной гидродинамике. СПб: ВМИИ. 2010. 20,25 печ. л.

5. Ачкинадзе А.Ш., Бесядовский А.Р.,Васильева В.В., Корнев Н.В., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. СПб: Мор Вест. 2007. 551 с.

6. Марчук Г.И., Каган Б.А. Океанские приливы. JL: Гидрометеоиздат. 1977. 296 с.

7. Некрасов А.В. Приливные волны в окраинных морях. Л.: Гидрометеоиздат. 1975.

8. Феддяевский К.К., Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И. Гидромеханика. JL: Судостроение. 1968. 568 с.

9. Khar if С., Pelinovsky Е., Slunayev A. Rogue waves in the Ocean. Springer. 2009. P. 216.

10. Extreme Ocean waves, Editors Pelinovsky E., Kharif C. Springer. 2008. P. 196.

11. Chalikov D., Rainchik S. Coupled numerical modeling of wind and waves and the theory of the wave boundary layer // Boundary-Layer Meteor. 2010. DOI 10.1007/s 10546-010-9543-7.

12. Faulkner D. Rogue waves defining their characteristics for marine design // In: Olagnon M., Athanassoulis GA. Rogue Waves 2000. Ifremer, France, 2001. pp 3-18.

13. Lechuga A. Were freak waves involved in the sinking of the tanker "Prestige"? // Nat. Hazards Earth Syst. Sci. 2006. 6. P. 973-978.

14. Крылов A.PI. Теория корабля. 1913.

15. Семёнов-Тян-Шанский В. В., Благовещенский С. И., Холодилин А. Н. Качка корабля. Д.: Судостроение. 1969.

16. Бородой И. К., Нецветаев Ю. А. Качка судов на морском волнении. Л.: Судостроение. 1969.

17. Справочник по теории корабля. Т. 1-3 / Под ред. Я.И. Войткунского. Л.: Судостроение. 1985.

18. Физика океана. Т.2 Гидродинамика океана. Под ред. Каменковича В.М., Монина А.С. М.: Наука. 1978. 455 с.

19. Vlasenko V., Alpers W. Generation of secondary internal waves by the interaction of an internal solitary wave with an underwater bank // J. Geophys. Res. 2005. Vol. 110. C02019. DOI: 10.1029/2004JC002467.

20. Stokes G. On the theory of oscillatory waves // Trans. Cambridge Philos. Soc. 1847. №8. P. 441-455.

21. Love A. Wave motion in a heterogeneous heavy liquid // Proc. Lond. Math Soc. 1891. №22. P. 307-316.

22. Phillips O.M. The dynamics of the upper ocean. Cambridge: Cambridge Uni. Press. 1966. P. 303.

23. Филлипс O.M. О взаимодействии внутренних и поверхностных волн // Известия АН СССР. ФАО. 1973. № 9. С. 954-961.

24. Hasselmann К. A criterion for nonlinear wave stability // J. Fluid Mech. 1967. № 30. P. 737-739.

25. Басович А.Я., Баханов В.В., Таланов В.И. Влияние интенсивности внутренних волн на ветровое волнение (кинематическая модель) // Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. Сб. статей. 1982. Горький. С. 8-30.

26. ApelJ.R., Byrne Н.М., Prone J.R. et. al. Observations of oceanic internal and surface waves from ERTS // J. Geophys. Res. 1975. 80. № 4. P. 865-881.

27. Баренблатт Г.И., Беннлов А.Ю. Влияние внутренних волн на неоднородности гидрофизических характеристик поверхности океана // Воздействие крупномасштабных внутренних волн на морскую поверхность. Сб. статей. 1982. Горький. С. 52-74.

28. Ермаков С.А. Лабораторные исследования воздействия внутренних волн на поверхностное волнение. Воздействие крупномаштабных внутренних волн на морскую поверхность. Сб. статей. 1982. Горький. С. 168-188.

29. Mueller P., Hollow G., Henyey F., Pomphrey N. Nonlinear interactions among internal gravity waves // Rev. Geophys. Space Phys. 1986. № 24. P. 493-536.

30. Reynolds O. An experimental investigation of the circumstances which determinate whether the motion of water shall be direct or sinuous, and of a law of resistance in parallel channel // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1883. № 174. P. 935-982.

31. Tong C. WarhaftZ. Passive scalar dispersion and mixing in a turbrlent jet // J. Fluid Mech. 1995. № 292. P. 1-38.

32. Pope S.B. Turbulent Flows. Cambridge: Univ. Press. 2006. P.

33. Бесядовский A.P., Корнев H.B. Введение в метод крупных вихрей. СПб: СПбГМТУ. 2003.

34. Ткаченко И.В. Современные теории турбулентности. СПб: СПбГМТУ, 2010.

35. Rayleigh Lord. On the stability, or instability, of certain fluid motions // Proc. London Math. Soc. 1880. № 10. P. 4-13.

36. Fjortoft R. Application of integral theorems in deriving criteria of stability for laminar flows and for the baroclinic circular vortex // Geofys. Publ. Oslo. 1950. № 17(6). P. 1-52.

37. Squire H.B. On the stability of three-dimensional disturbances of viscous flow between parallel walls // Proc. R. Soc. Lond. 1933. № A142. P. 621-628.

38. Линь Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М: ИЛ. 1958.

39. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя, М.: Наука, 1969, 744 с.

40. Ландау Л.Д. О колебаниях электронной плазмы, ЖЭТФ, 1946, № 16, с. 574.

41. Miles J.W. On the stability of heterogeneous shear flows // J. Fluid Mech. 1961. № 10. P. 496-508.

42. Howard L.N. Note on a paper John W. Miles // J. Fluid Mech. 1961. № 10. P. 509-512.

43. Klaasen G.P., Peltier W.R. The onset of turbulence in finite amplitude Kelvin-Helmholtz billows // J. Fluid Mech. 1985. № 155. P. 1-35.

44. Klaasen G.P., Peltier W.R. The influence of secondary instability in free shear layers // J. Fluid Mech. 1991. № 227. P. 71-106.

45. Smyth W.D., Mourn J.N. Length scales of turbulence in stably stratified mixing layers // Phys. Fluids. 2000. V.12. № 6. P. 1327-1342.

46. Hogg A.M., Ivey G.N. The Kelvin-Helmholtz instability transition in stratified exchange flows // J. Fluid Mech. 2003. № 477. P. 339-362.

47. Thorpe S.A. Experiments on the instability of stratified shear flows: miscible fluids // J. Fluids Mech. 1971. № 46. P. 299-319.

48. Thorpe S.A. Transitional phenomena and the development of turbulence in stratified fluids // J. Geophys. Res. 1987. № 92 (C5). P. 5231-5248.

49. Rayleigh Lord. Investigation of the character of the equilibrium of an incompressible heavy fluid of variable density // Proc. Lond. Math. Soc. 1983. № 14. P. 170-177.

50. Taylor G.I. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes. 1. //Proc. R. Soc. Lond. 1950. A219. P. 192-196.

51. Бенилов А.Ю. О генерации турбулентности в океане поверхностными волнами // Изв. АН СССР. ФАО. 1973. 9. № 3. С. 292-303.

52. LumleyJ.L. The Spectrum of Nearly Inertial Turbulence in a Stably Stratified Fluid // Journ. Atmos. Sci. 1964. № 21. P. 99.

53. Froude W. Experiment upon the effect produced on the wave-making resistance of ships by length of parallel middle body // Trans INA. 1877. № 18.

54. Кочин H.E. О волновом сопротивлении погруженных в жидкость тел / Собрание сочинений, т. 2. Изд. АН СССР. Москва-Ленинград. 1949. С.105.182.

55. Сретенский JJ.H. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука. 1977. 816 с.

56. Tulin, М. P. Ship wave resistance-a survey // Proc. 8th U.S. National Congress of Applied Mechanics. 1978. Univ. of California at Los Angeles.

57. Ekman V. On dead water // Sci. Results Norw. North Polar Expedi. 1893-96. 1904. №5 (15).

58. Vasseur R., Mercier M., Dauxois T. Dead Waters: Large amplitude interfacial waves generated by a boat in a stratified fluid // ARXIV.ORG. 2008. URL: http://arxiv.org/abs/0810.1702.

59. Шишкина О.Д. Сравнение коэффициентов сопротивления тел, движущихся в жидкостях с различными профилями стратификации // Изв. РАН. МЖГ. 1996. №4. С. 4-11.

60. Букреев В.И., Гусев А.В., Ерманюк Е.В. Экспериментальное исследование движения погруженного тела на внутренних волнах // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №2. С. 199-203.

61. Lofquist К.Е.В., Purtell L.P. Drag on sphere moving horizontally through a stratified liquid // J. Fluid Mech. 1984. № 148. P. 271-284.

62. Зацепин А.Г., Гриценко В.А., Кременецкий В.В., Поярков С.Г., Строганов О.Ю. Лабораторное и численное моделирование процесса распространения плотностных течений по склону дна // Океанология. 2005. 45, 1, 187.

63. LighthillJ. Waves in fluids. Cambridge: Univ. Press. 1978. 509 P.

64. Lowe R.J., Rottman J. W., Linden P.F. The non-Boussinesq lock-exchange problem. Part 1. Theory and experiments // J. Fluid Mech. 2005. № 537, P. 101.

65. Сафрай A.C., Ткаченко KB. Численное моделирование гравитационных течений в наклонных каналах // Изв. РАН. МЖГ. 2009. № 1. С. 27-38.

66. Сысоева Е.Я., Чашечкин Ю.Д. Пространственная структура следа за сферой в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1988. № 5. С. 59-65.

67. Чашечкин Ю.Д. Гидродинамика сферы в стратифицированной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1989. № 1. С. 3-9.

68. Ерманюк Е.В. Экспериментальное изучение силового воздействия внутренних волн на неподвижную сферу // ПМТФ. 1993. № 4. С. 103-107.

69. Spedding G.R. The evolution of initially turbulent bluff-body wakes at high internal Froude number // J. Fluid Mech. 1997. V. 337. P. 283-301.

70. Дружинин О.А., Сергеев Д.А., Троицкая Ю.И. Лабораторное и численное моделирование течения в дальнем следе в стратифицированной жидкости // Изв. РАН. ФА0.2006. Т. 42. №5. С. 1-18.

71. Стурова И.В., Сюй Ч., Гидродинамическая нагрузка при колебаниях цилиндра на границе раздела в двухслойной жидкости конечной глубины // Изв. РАН. МЖГ. 2005. № 2. С. 122-131.

72. Mitkin V. V., Chashechkin Yu. D. Experimental investigation of the velocity field near a cylinder in continuosly stratified fluid // Fluid Dynamics, 2000. V. 35. №5. p. 642-651.

73. Gilreath H.E., Brandt A. Experiments on the generation of internal waves in a stratified fluid // AIAA J. 1985. № 5. P. 693-700.

74. Voropayev S.I., Fernando H.J.S, Smirnov S.A., Morrison R. On surface signatures generated by submerged momentum sources // Phys. Fluids. 2007. V. 9. 076603.

75. Bonneton P., Chomaz J.-M., Hopfinger E.J. Internal waves produced by the turbulent wake of a sphere moving horizontally in a stratified fluid // J. Fluid Mech. 1993. V. 254. P. 23-40.

76. Robey H.F. The generation of internal waves by a towed sphere and its wake in a thermocline 11 Phys. Fluids. 1997. V. 9. № 11. P. 3353-3367.

77. Hopfinger E.J., FlorJ.-B., Chomaz J.-M., Bonneton P. Internal waves generated by a moving sphere and its wake in a stratified fluid // Experiments in Fluids. 1991. 11. P. 255-261.

78. Сысоева Е.Я., Чашечкин Ю.Д. Вихревая структура следа за сферой в стратифицированной жидкости // ПМТФ. 1986. № 2. С. 40-46.

79. Motygin О., Kuznetsov N. The wave resistance of a two-dimensional body moving forward in a two-layer fluid // J. Enginer. Mech. 1997. № 32. P. 53-72.

80. Булатов В.В., Владимиров Ю.В. Внутренние гравитационные волны в неоднородных средах. М.: Наука. 2005. 195 с.

81. Городцов В.А., Теодорович Е.В. Излучение внутренних волн периодически движущимся источником // ПМТФ. 1983. № 4. С. 81-87.

82. Городцов В.А. Волны-предвестники при движении источников переменной интенсивности в стратифицированной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №2. С. 97-103.

83. Richardson, L.F. Weather predictions by numerical process. Cambridge Uni. Press. 1922.

84. Колмогоров A.H. Рассеяние энергии при локально-изотропной турбулентности // Докл. Акад. Наук СССР. 1941. №32. С. 19-21.

85. Колмогоров А.Н. Локальная структура турблентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень высоких числах Рейнольдса // Докл. Акад. Наук СССР. 1941. №30. С. 299-303.

86. Orzag S.A., Patterson G.S. Numerical simulation of three-dimensional homogeneous isotropic turbulence // Phys. Rev. Lett. 1972. № 28. P. 76-79.

87. Rogallo R.S. Numerical experiments in homogeneous turbulence // Technical Report TM81315. 1981. NASA.

88. Kim J., Moin P., Moser R. Turbulence statistics in fully developed channel flow at low Reynolds number//J. Fluid Mech. 1987. № 177. P. 133-166.

89. Rogers MM, Moser R.D. Direct simulation of self-similar turbulent mixing layer // Phys. Fluids. 1994. № 6. P. 903-923.

90. Le H., Moin P., Kim J. Direct numerical simualtion of turbulent flow over a backward-facing step // J. Fluid Mech. 1997. № 330. P. 349-374.

91. Birman V.K., Martin J.E., Meiburg E. The non-Boussinesq lock-exchange problem. Part 2. High resolution simulations // J. Fluid Mech. 2005. V. 537, P. 125-144.

92. Birman V.K., Battandier B.A., Meiburg E., Linden P.F. Lock-exchange flows in slopping channels // J. of. Fluid Mech. 2007. V. 577. P. 53-77.

93. Itsweire E.C., Kozeff J.R., Briggs D.A., Ferziger J.H. Turbulence in stratified shear flows: implications for interpreting shear-induced mixing in ocean // Journ. Phys. Oceanogr. 1993. V. 23, P. 1508-1522.

94. Kaneda Y., Yoshida K. Small-scale anisotropy in stable stratified turbulence // New J. of Physics. 2004. 6. 34. http://www.njp.org.

95. Smyth W.D., Winters KB. Turbulence and mixing in Holmboe waves // J. Phys. Oceanogr. 2003. № 33. P. 694-711.

96. Boussinesq J. Essai sur la theorie des eaux courantes // Memoires presentes par divers savants ' l'Acad. des Sei. Inst. Nat. France XXIII. 1877. № 1. P. 1680.

97. PrandtlL. Über die ausgebildete Turbulenz // ZAMM. 1925. N. 5. P. 136.

98. Gulyaev A.N., Kozlov V.Ye., Secundov A.N. A universal one-equation model for turbulent viscosity // Fluid Dynamics. 1993. V. 28. No. 4. P. 485-494.

99. Spalart P.R., Allmaras S.R. A one-equation turbulence model for aerodynamics flow // La Rech. Aerospatiale. 1994. V. 1, P. 5-21.

100. Kim S.E., Rhee S.H., Cokljat D. High-Incidence and dynamic pitch-up maneuvering characteristics of a prolate spheroid CFD validation // 24th Symposium on Naval Hydrodynamics. 2003. P. 609-623.

101. Hanjalic K, Launder B.E. A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows // J. Fluid Mech. 1972. V. 52. P. 609-638.

102. Launder B., Spalding D. The numerical computation of turbulent flow // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1974. V. 3. P. 269-289.

103. Yakhot V., OrzagS.A. Renormalization group analysis of turbulence: 1 Basic theory//J. Sci. Comput. 1986. V. 1. № 1. P. 1-51.

104. Shih T.H., Liou W.W., Shabbir A., ZhuJ. A new ¿-eeddy viscosity model for high Reynolds number turbulent flow Model Development and Validation // Computers Fluids. 1995. V. 23. № 3. p. 227-238.

105. Wilcox D.C. Turbulence modelling for CFD. La Canada. CA: DCW Industries. 1993.

106. Menter F. Two-equation eddy-viscosity turbulence models for engineering applications // AIAA J. 1994. № 32. P. 1598-1605.

107. Tkachenko I., Kornev N., Jahnke S., Steffen G., Hassel E. Performances of LES and RANS models for simulation of complex flow in coaxial jet mixer // Flow, Turbulence and Combustion. 2007. No. 78(2). P. 111-127.

108. Sung C.FL, Jiang M. Y., Rhee B., Persival S., Atsavarpranee P., Koh I. Y. Validation of the flow around a turning submarine // 24th Symposium on Naval Hydrodynamics. 2003. P. 669-681.

109. Mellor G.L., Yamada T. Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems // Rev. Geophys. Space Phys. 1982. V. 20. No 4. P. 851-875.

110. Durbin P. Separated flow computations with the k-e-v2 model // AIAA Jour. 1995. № 33. P. 659-664.

111. Popovac, M., Hanjalic, K. Compound Wall Treatment for RANS Computation of Complex Turbulent Flows and Heat Transfer // Flow Turbulence and Combustion. 2007. № 78. P. 177-202.

112. Kanta L.H., Clayson C.A. An improved mixed layer model for geophysical applications // J. Geophys. Res. 1994. V. 99. P. 25235-25266.

113. Rodi W. Turbulence models and their application in hydraulics. International Association for Hydraulic Research. Delft. Netherlands. 1980. P. 104.

114. Canuto V.M., Howard A., Cheng Y., Dubovikov M.S. Ocean turbulence. Part 1: One-point closure model momentum and heat vertical diffusivities // J. Phys. Oceanogr. 2001. V. 31, P. 1413-1426.

115. Burchard H., Bolding K. Comparative analysis of four second moment turbulence closure models for oceanic mixed layer // J. Phys. Oceanogr. 2001. V. 31. P. 1943-1968.

116. Venayagamorthy S.K., Koseff J.R., Ferziger J.H., ShihL.H. Testing of RANS turbulence models for stratified flows based on DNS data // Center of Turbulence Research Annual Research Briefs. 2003. P. 127-138.

117. Fridman A.A., Keller L.V. Differential equations or turbulent compressible-fluid motion // First International Congress of Applied Mechanics. 1924. Delft. Netherlands.

118. Launder B., Reece G., Rodi W. Progress in developments of a Reynolds-stress turbulence closure // J. Fluid Mech. 1975. № 68. P. 537-566.

119. Gibson M.M., Launder B.E. Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer // J. Fluid Mech. 1978. V. 86. P. 491.

120. Alpman E., Long L.N. Separated turbulent flow simulations using a Reynolds stress model and unstructured meshes // AIAA J. 2005. P. 2005-1094.

121. Scotti, A., Meneveau, C. A fractal model for large edddy simulation of turbulent flow // Physica D. 1999. № 127. P. 198-232.

122. Smagorinsky J. General circulation experiment with primitive equations. I. The basic experiment // Mon. Weather Rev. 1963. No. 91. P. 99-164.

123. Germano M., Piomelli U., Moin P., Cabot W. A dynamic subgrid-scale eddy viscosity model // Phys. Fluids A. 1991. No. 3. P. 1760-1765.

124. Lilly D.K. A proposed modification of the Germano subgrid-scale closure method // Phys. Fluid A. 1992. № 4. P. 633-635.

125. Ghosal S., Rogers M.M. A numerical study of self-similarity in a turbulent plane wake using large-eddy simulation // Phys. Fluids. 1997. № 9. P. 17291739.

126. Meneveau C., Lund T., Cabot W. A Lagrangian dynamic subgrid-scale model of turbulence // J. Fluid Mech. 1996. № 319. P. 353-385.

127. Liu S., Meneveau C., Katz J. On the properties of similarity subgrid-scale models as deduced from measurements in a turbulent jet // J. Fluid Mech., 1994. №275. P. 83-91.

128. Meneveau C., Katz J. Scale-in variance and turbulence models for large-eddy simulation // Annu. Rev. Fluid Mech. 2000. № 32. P. 1-32.

129. Constantinescu G.S., Squires K.D. LES and DES Investigations of Turbulent Flow over a Sphere at Re=10 000 // Flow, Turbulence and Combustion. 2003. № 70. P. 267-298.

130. JindalS., Long L.N., Plassmann P.E., Sezer-UzolN. Large Eddy Simulations around a sphere using unstructured grids // AIAA J. 2004. P. 2004-2228.

131. Wikstroem N., Svennberg U., Alin N., Fureby C. Large eddy simulation of the flow around an inclined prolate spheroid // J. of Turbulence. 2004. № 5. 029.

132. Krajnovic S., Davidson L. Large-Eddy Simulation of the flow Around Simplified Car Model // SAE Papper. No. 2004-01-0227. 2004.

133. BardinaJ., Ferziger J.H., Reynolds W.C. Improved subgrid models for large eddy simulation // AIAA paper. 1980. 80-1357.

134. Zang Y., Street R. L., Koseff J. R. A dynamic mixed subgrid-scale model and its application to turbulent recirculating flow // Physics Fluids A. 1993. № 5(12). P. 3186-3196.

135. Vreman B., Geurts B., Kuerten H. On the formulation of the dynamic mixed subgrid-scale model // Physics Fluids. 1994. V. 6(12). P. 4057-4059.

136. Misra A., Pullin D.I. A vortex-based subgrid stress model for large-eddy simulation // Phys. Fluids. 1997. № 8. P. 2443-2454.

137. Domaradzki J.A., Saiki E.M. A subgrid modle based on the estimation of unresolved scales of turbulence // Phys. Fluids. 1997. № 9. P. 1-17.

138. Prasad R.R., Meneveau C., Sreenivasan, K.R. The multifractal nature of the dissipation field of passive scalars in fully turbulent flows // Phys. Rev. Lett.1988. №61. P. 74-77.

139. Praskovsky A.A., Dabberdt W.F., Praskovskaya E.A., Hoydysh W.G., Holyn-skyj O. Fractal geometry of isoconcentration surface in a smoke plume // J. Atmos. Sci. 1996. № 53. P. 5-21.

140. Sreenivasan K.R., Meneveau, C. The fractal facets of turbulence // J. Fluids Mech. 1986. № 173. P. 357-386.

141. Burton G.C. Multifractal subgrid scale modelling for large-eddy simulation. II. Backscatter limiting and a posteriori evaluation // Phys. Fluids. 2005. № 17. 075112.

142. Hassel E., Kornev N., Kroeger /7., Tkatchenko, I. Application, development and validation of LES models for simulation of complex flows in a coaxial jet mixer//EUROMECH-469. Dresden. Germany. September. 2005. P. 61-62.

143. Lilly D.K. On the numerical simulation of buoyant convection // Tellus. 1962. V. 14. No. 2. P. 148-172.

144. Oezgoekmen T.M., Iliescu T., Fisher P.F., Srinivasan A., DuanJ. Large-eddy simulation of stratified mixing in two-dimensional dam-break problem in a rectangular enclosed domain // Ocean Modelling. 2007. No. 16. P. 106-140.

145. Deardorff J. W. The use of subgrid transport equations in a three-dimensional model of atmospheric turbulence // J. Fluids Engnrg. 1973. No. 95. P. 429438.

146. Schemm C.E., Lipps F.B. Some results from a simplified three-dimensional numerical model of atmospheric turbulence // J. Atmos. Sci. 1976. V. 33. P. 1021-1041.

147. Schumann U. Subgrid length-scales for Large-eddy simulation of stratified turbulence // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 1991. No. 2. P. 279-290.

148. Deardorff J. W. Stratocumulus-capped mixed layers derived from a three-dimensional model // Boundary-Layer Meteorol. 1980. No. 18. P. 495-527.

149. Piomelli U., Balaras E. Wall-layer models for Large-Eddy Simulations // Annu. Rev. Fluid. Mech. 2002. 34. P. 349-374.

150. Piomelli U., Mo in P., Frziger J.H., Kim J. New approximate boundary conditions for large-eddy simulations of wall-bounded flow // Phys. Fluids A. 1989. № 1. P. 1061-1068.

151. Werner H., Wengle H. Large-eddy simulation of turbulent flow over and around a cube in a plate channel // In: 8th Symposium on turbulent shear flows. 1991. P. 155-168.

152. Balaras E., Benoeci C., Piomelli U. Two-layer approximate boundary conditions for large-eddy simulations // AIAA J. 1996. № 34. P. 1111-1119.

153. Spalart P.R., Jou W.H., Strletz M., Allmaras S.R. Comments on feasibility of LES for wings and on a hybrid RANS/LES approach // In Advances in DNS/LES, ed. C. Liu, Z. Liu, Columbus, OH: Greyden. 1997. P. 137-148.

154. Spalart P.R. Trends in turbulence treatments // AIAA Papper 2000-2306. 2000.

155. Strelets M. Detached-Eddy Simulation of massively separated flows // AIAA Papper 2001-0879. 2001.

156. Travin A., Shur M., Strelets M., Spalart Ph. Detached-eddy simulations past a circular cylinder // Flow, Turbulence and Combustion. 1999. № 63. P. 293313.

157. Constantinescu G., Squires K. Numerical investigations of flow over a sphere in the subcritical and supercritical regimes // Phys. Fluids. 2004. V. 16. No. 5. p. 1449.1466.

158. Constantinescu G., Pasinato H., Wang Y.-Q., Forsythe J.R., Squires K. Numerical investigation of flow past a prolate spheroid // J. Fluid Engnr. 2002. V. 124. P. 904-910.

159. Kotapati-Apparao R.B., Squires K.D., Forsythe J.R. Prediction of a Spheroid

160. Undergoing a Pitchup Maneuver // AIAA. 2003. 2003-0269.

161. Lohner R., Yang C., Onate E. Simulation of flows with violent free surface motion and moving objects using unstructured grid // Intern. J. Num. Meth. Fluids, 2006, DOI: 10.1002/fld.

162. Pascarelli A., Iaccarino G., Fatica M. Toward the LES of the flow past a submerged hydrofoil // Center of Turbulence Research. Proc. Summer Program 2002, P. 169-176.

163. Hino T. Computation of free surface flow around an advancing ship by theth

164. Navier-Stokes equations // Proc. 5 Intern. Conf. Numeric. Ship Hydrodynamics. 1990. P. 103-117.

165. Encyclopedia of computational mechanics. Vol. 3. Fluids. Editors Stein T., de BorstR., Huges T. J. Wiley & Sons. 2004. P. 579-610.

166. Gueller I., Behr M., Tezduyar T. Parallel finite element computation of free-surface flows // Comp. Mech. 1999. № 23. P. 117.

167. Kanarska Yu., Maderich V. A non-hydrostatic numerical model for calculating free-surface stratified flows // Ocean Dyn. 2003. № 53. P. 176-185.

168. Carrica P., Wilson R., Stern F. Single-phase level set method for unsteady vidcous free sutface flows // Mecanica Computacional. 2004. V. XXIII. P. 1613-1631.

169. Yue iW., Lin C., Patel V. Large eddy simulation of turbulent open-channel flow with free surface simulated by level of set method // Phys . Fliuds, 2005. No. 17. 025108.

170. Shin H.R., Makarov B.P., Krishinan H., Ivanov V. Assesment of the volume of fluid method for free-surface wave flow // J. Marine Science and Technology. 2005. No. 10. P. 173-180.

171. Chang Y., Zhao F., Zhang J., Hong F., Li P., Yun J. Numerical simulation of internal waves excited by a submarine moving in the two-layer stratified fluid // J. Hydrodynamics, 2006. Ser. B. V. 18. No. 3. P. 330-336.

172. Hirt C. W., Nichols B.D. Volume of fluid (VOF) method for the dynamics offree boundaries // J. of Сотр. Physics 1981. V. 39 (1). P. 201-225.

173. Martinez J., Chesneau X., Zeghmati B. A new curvature technique calculation for surface tension contribution in PLIC-VOF method // Comput. Mech. 2006. №37. P. 182-193.

174. Muzaferija S., Peric M., Sames P., Schelin T. A two-fluid Navier-Stokes solver to simulate water entry // Proc. 22nd symposium on Naval Hydrodynamics. 1998. P. 638-650.

175. Kleefsman K.M.T., Fekken G., Veldman A.E.P., Iwanowski В., Buchner В. A volume-fluid based simulation method for wave impact problems // J. Сотр. Phys. 2005, No. 206. P. 363-393.

176. Brackbill J. U., Kothe D. В., Zemach C. A continuum method for modeling surface tension // J. Сотр. Phys. V. 100. No. 2. P. 335-354.

177. Тонкое JT.E. Численное моделирование динамики капли вязкой жидкости методом функций уровня // Вестник Удмуртского университета. Механика. 2010. Вып. 3. С. 134-140.

178. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970.

179. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса теория и численный анализ. М.: Мир. 1981.

180. Kim J., Paterson Е., Stern F. RANS simulation on ducted marine propulsor flow including subvisual cavitation and acoustic modeling // Journ. Fluids Engr. 2006. V. 128. P. 799-810.

181. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1987.

182. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука. 1968. 576 с.

183. Strikwerda, J. С. Initial Boundary Value Problems for Incompletely Parabolic Systems. Com. P. Appl. Math. 1977. V. 30. No. 6, P. 797-822.

184. Oliger J., Sunstroem A. Theoretical and practical aspects of some initial boundary value problems in fluid dynamics // SIAM J. Appl. Math. 1978. V. 35. № 3. P. 419-446.

185. Poinsot T.J., Lele S.К. Boundary conditions for direct simulations of compressible flows // J. Comput. Phys. 1992. № 101. P. 104-129.

186. Андросов A.A., Вольцингер HE. Проливы Мирового Океана. Общий подход к моделированию. Санкт-Петербург: Наука. 2005. 188 с.

187. Гурьев Ю.В., Ткаченко И.В., Якушенко Е.И. Влияние жидких границ на обтекание крыла малого удлинения // Изв. РАН. МЖГ. 2011. № 4. С. 4859.

188. Sani R., Shen J., Pironneau О., Gresho P. Pressure boundary condition for time-dependent incompressible Navier-Stokes equations // Intern. J. Numeric. Meth. Fluids. 2006. № 50. P. 673-682.

189. Kornev N., Tkatchenko I., Hassel E. A simple clipping procedure for the dynamic mixed model based on Taylor series approximation // Comm. Num. Meth. Engineer. 2006. Vol. 22. P. 55-61.

190. Chester S, Charlette F, Meneveau C. Dynamic model for LES without test filtering: quantifying the accuracy of Taylor series Approximations // Theoret. Comput. Fluid Dynamics. 2001. A5( 15). P. 165-181.

191. Scotti A., Meneveau C., Lilly D. K. Generalized Smagorinsky model for anisitropic grids // Phys. Fluids. A. V 5. N 9. P. 2306-2308.

192. Kirkpatrick M.P., Mans our NN., Acker man A. S., Stevens D.E. Dynamic turbulence modeling in large-eddy simulations of the cloud-topped atmospheric boundary layer // Centre for Turbulence Research. Annual Research Briefs. 2003. V. 23. P. 15.

193. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Т. 1. М.: Мир. 1991. 504 с.

194. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир. 1986. 318 с.

195. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М.: Энергоатомиздат. 1984. 152 с.

196. Белов И.А., Исаев С.А., Коробков В.А. Задачи и методы расчета отрывных течений несжимаемой жидкости. JL: Судостроение. 1989.

197. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. 1970.

198. Бубнов И.Г. Отзыв о сочинении проф. Тимошенко, удостоенных премии им. Журавского // Сб. Ин-та инж. Путей сообщений. Вып. 81. СПб. 1913.

199. Галеркин Б.Г. Стержни и пластины. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластин // Вестник инженеров. 1915. № 19. с. 897-908.

200. Петров Г.И. Применение метода Галеркина к задаче об устойчивости течения вязкой жидкости // ПММ. 1940. № 4. Вып. 3.

201. Келдыш М.В. О методе Галеркина для решения краевых задач // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. 6. № 6.

202. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир. 1976.

203. НорриД., de Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1981.

204. Шахверди Г.Г. Ударное взаимодействие судовых конструкций с жидкостью. СПб.: Судостроение. 1993.

205. Оганесян JI.A., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван. АН СССР. 1979.

206. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир. 1988.

207. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир. 1990.

208. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. М.: Наука. 1967.

209. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Физ.-мат. Лит. 1994.

210. Ford R., Pain С.С., Piggoí M.D., Goddard A.J.H., de Olivera C.R., Umpleby

211. P. A non-hydrostatic finite-element model for three-dimensional stratified oceanic flows. Part 1 : Model formulation // Monthly Weather Review. 2004. V. 132, P. 2816-2831.

212. Rannacher R. Finite Element Methods for the Incompressible Navier-Stokes Equations. 1999. DFG Report SFB 359.

213. Yang C., Loehner R. Predictions of flows over an Axisymmetrcal Body with Appendages 11 The 8th International conference on Numerical Ship hydrodynamics. Busan. Korea. 2003.

214. Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Сотр. Phys. 1967. № 2. P. 12-26.

215. Langtangen H.P., Mardal K.-A., Winther R. Numerical methods for incompressible viscous flow 11 Advances in Water Resources. 2002. Volume: 25. Issue 8-12. P. 1126-1146.

216. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова H.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа. 1994. С. 544.

217. Савинов Г.В. Исследование сходимости обобщенного метода сопряженных градиентов для некоторых задач алгебры. Дис. на соискание учен. Степени к.ф.-м.н. Ленинград. 1979. С. 121.218. h 11 р : //www .ansys.com.

218. Делоне Б.Н. О пустоте сферы // Изв. АН СССР. ОМЕН. 1934. No 4. С. 793-800.

219. Kim S.-E., Nyiredy R. Assessment of turbulence models for stern and wake flow past a modern VLCC hull form // Fluent Technical Notes TN 115. 2000.

220. Аксенов А.А., Шмелев В.В., Печенюк А.В., Станков Б.Н., Пасечник В.Г. Гидродинамический анализ судна в программном комплексе FlowVision // Рациональное управление предприятием. 2007. № 3.

221. Sagaut P. Large Eddy Simulation for Incompressible Flows. Springer. Berlin Heidelberg New York (2001)

222. Vreman В., Geurts В., Kuerten H. Large-eddy simulation of the turbulentmixing layer // J. Fluid Mech. 1997. № 339. P. 357-390.

223. Barchilon M., Curtet R. Some details of the structure of an axis-symmetrical confined jet with backflow // J. Basic Eng. 1964. № 86. P. 777-787.

224. Villermaux E., Rehab H. Mixing in coaxial jets // J. Fluid Mech. 2000. № 425. P. 161-185.

225. Mortensen M., Orciitch W., Bouaif, M., Andersson B. Mixing of a jet in a pipe // Trans. Inst. Chem. Eng. 1994. № 81 A. P. 1-7.

226. Lima M, Palma J. Mixing in coaxial confined jets of large velocity ratio // In: Proc. 10th Intern. Symp. on Application of Laser Technique in Fluid Mechanics. Lisboa. 8-11 July 2002.

227. Dianat M., YangZ., McGuirkJ. Large eddy simulation of scalar mixing // In: Proceedings of Engineering Turbulence Modelling and Experiments 6. Sardinia. 23-25 May 2005. P. 823-832.

228. Zhdanov V., Kornev N., Hassel E. L1F investigation of the concentration field in the co-axial mixer // Lasermethoden in der Strömungsmesstechnik. GALA Karlsruhe. 16-18 August. 2004.

229. Zhdanov V., Kornev N., Hassel E., Chorny A. Mixing of confined coaxial flows // Intern. J. Heat Mass Transfer, 2006. 3942-3956.

230. Pope S. Ten questions concerning the large-eddy simulation of turbulent flows//New J. Phys. 2004. №6(35). 1-24. DOI: 10.1088/1367-2630/6/1/035.

231. Achenbach E. Experiments on the flow past spheres at very high Reynolds numbers//J. of Fluid Mech. 1971. V. 54 (3). P. 565-575.

232. Constantinescu G. Squires K. Numerical investigations of flow over a sphere in the subcritical and supercritical regimes // Phys. Fluids. 2004. V. 16. № 5. P. 1449-1466.

233. Chesnakas C.J., Simson R.J. Full three-dimensional measurements of the cross-flow separation region of a 6:1 prolate spheroid // Experiments in Fluids. 1994. № 17. P. 68-74.

234. Wetzel T., Simpson R. Unsteady three-dimensional cross-flow separationmeasurements on a prolate spheroid undergoing time-dependent maneuvers // Twenty-First Symp. Naval Hydrodynamics. 1997. P. 161-176.

235. Rhee S.H., Hino T. Numerical simulation of unsteady turbulent flow around a maneuvering prolate spheroid // AIAA J. 2002. № 40(10). P. 2017-2026.

236. Tsai C.Y., Whitney А.К. Numerical study of three-dimensional flow separation from a 6:1 ellipsoid // AIAA Paper 99-0172. 1999.

237. Hedin P.O., Alin N., Berglund M., Fureby C. Large Eddy Simulation of the flow around an inclined prolate spheroid // AIAA Paper 01-1035. 2001.

238. Kotatpati-Apparao R.B., Squires K.D., Forsythe J.R. Prediction of a prolate spheroid undergoing a pitch-up maneuver // AIAA Paper 2003-0269. 2003.

239. Ahn S. An experimental study of flow over a 6:1 prolate spheroid at incidence. Ph.D. Dissertation. Virginia Polytechnic Institute and State Aerospace Engineering Department. 1992.

240. Уинделл Ш. Структура и динамика вихревых нитей // Вихревые движения жидкости. М.: Мир, 1979.

241. Sung С.Н., Yang C.I. Validation of turbulent horseshoe vortex flows // Proc. 17th ONR Symposium Naval Hydrodynamics. Hague. Netherlands. 1988. P. 241-255.

242. Fleming J.L., Simpson R.L., Devenport W.J. An experimrnlal study of a turbulent wing-body junction and wake flow // DTIC Report ADA2433886XSP. 1991. P. 369.

243. Руръев Ю.В., Ткаченко И.В. Моделирование обтекания тела вращением потоком стратифицированной жидкости на основе метода крупных вихрей (LES) // Сб. научн. трудов СПб НЦ РАН «Фундаментальная и прикладная гидрофизика». 2008. №1. С. 80-87.

244. Ткаченко И.В. Моделирование обтекания маневрирующего тела на основе метода крупных вихрей // Труды ЦНИИ им. ак. А.Н. Крылова. 2009. Вып. 49(333). С. 55-66.

245. Руръев Ю.В., Ткаченко И.В. Структура течения за погруженным теломвблизи пикноклина // Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 1. С. 22-31.

246. Mitsuura Т., Hibiya Т. An experimental and numerical study of the internal wave generation by tide-topography interaction // J. Phys. Oceangr. 1990. V. 20. P. 507-521.

247. Birman V.K., MeiburgE. HighResolution Simulations of Gravity Currents // J. Braz. Soc. Mech. Sci. and Eng. 2006. V. 28. № 2. P. 169-173.

248. Long R. Some Aspects of the flow of stratified fluid II. Experiments with two-fluid system // Tellus. 1954. V. 6. № 2. P. 97-115.

249. Еэюова E.B., Сергеев Д.A., Соустова И.А., Казаков В.И., Троицкая Ю.И. Изучение структуры внутренних волн, генерируемых плавучими струями в стратифицированной жидкости // Известия РАН. Серия физическая. 2008. т.72. №12. с. 1817-1820.

250. G.F. Carnevale, М. Bricolini, P. Orlandi Buoyancy- to inertial-range transition in forced stratified turbulence // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 427. P. 205239.

251. Duncan J. An experimantal investigation of breaking waves produced by towed hydrofoil // Proc. R. Soc. Lond. 1981. V. A 377. P. 331-348.