Монотонные отображения матриц и операторов

Ефимов, Михаил Александрович

Монотонные отображения матриц и операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Ефимов, Михаил Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Монотонные отображения матриц и операторов»

Автореферат диссертации на тему "Монотонные отображения матриц и операторов"

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова»

На правах рукописи УДК 512.643

Ефимов Михаил Александрович

Монотонные отображения матриц

и операторов

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2013

005549858

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М .В.Ломоносова».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Гутерман Александр Эмилевич,

доктор физико-математических наук, профессор.

Кожухов Игорь Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор (ФГАОУ ВПО Национальный исследовательский университет «МИЭТ»); Богданов Илья Игоревич, кандидат физико-математических наук, доцент (ФГАОУ ВПО Московский физико-технический институт (государственный университет)).

ФГБОУ ВПО Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится 11 апреля 2014 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова», по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В.Ломоносова по адресу: Москва, Ломоносовский проспект, д.27, сектор А.

Автореферат разослан 7 марта 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.84, созданного на базе ФГБОУ ВПО МГУ имени М.В.Ломоносова, доктор физико-математических наук, профессор Иванов Александр Олегович

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация посвящена изучению отображений матриц и операторов, монотонных относительно группового частичного порядка.

Исследование отображений, сохраняющих матричные инварианты, началось с работы Г. Фробениуса1, в которой получена характеризация линейных биективных отображений пространства матриц, сохраняющих определитель. Эта характеризация помогла Г. Фробениусу решить задачу Р. Дедекинде? о разложении группового определителя на множители.

Доказательство характеризационной теоремы у Фробениуса было комбинаторным и достаточно сложным. В 1949 году Ж. Дьёдонн^ предложил новый подход к изучению линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, базирующийся на основной теореме проективной геометрии. Это был один из первых общих методов решения подобных задач. Дьёдонне получил характеризацию биективных линейных отображений, сохраняющих вырожденные матрицы над произвольным полем.

Эти результаты заложили основу интенсивного и плодотворного изучения линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, продолжающегося по сей день. Подробную информацию об отображениях, сохраняющих матричные инварианты, можно найти в обзорных работал? 5 6.

Частным случаем отображений, сохраняющих матричные инварианты, являются монотонные матричные отображения, то есть отображения, сохраняющие некоторое отношение частичного порядка.

Изучение отображений, монотонных относительно данного частичного порядка, часто оказывается полезной при изучении свойств этого порядка7. При этом наиболее интересен вопрос полной характеризации монотонных отображений при некоторых дополнительных условиях на отображение (линейность, аддитивность, биективность, непрерывность и другие). Примеры подобной характеризации монотонных отображений могут быть найдены в par

1 Фробениус Г. Теория характеров и представлений групп. Харьков: Гос. науч. техн. изд. Украины, 1937. - С. 106-127.

2Dedekind R. Gesammelte Mathematische Werke. Vol. II. New York: Chelsea, 1969.

3Dieudonne J. Sur une généralisation du groupe orthogonal à quatre variables // Arch. Math. - 1949. - Vol. 1. - P. 282-287.

*Гутерман А. Э., Михалёв А. В. Общая алгебра и линейные отображения, сохраняющие матричные инварианты // Фундамент, и прикл. матем. — 2003. — 9, №1, С. 83—101.

'•Pierce S. and others. A Survey of Linear Preserver Problems // Linear and Multilinear Algebra. - 1992. - Vol. 33. - P. 1-119.

*Li C.-K., Taing N. K. Linear preserver problems: A brief introduction and some special techniques // Linear Algebra Appl. - 1992. - Vol. 162-164. - P. 217-235.

rBaksalary J. K., Pukelsheim F., Styan G. P. H. Some properties of matrix partial orderings // Linear Algebra Appl. - 1989. - Vol. 119. - P. 57-85.

ботах Г. Долинара и Ж. Маровта8, А.Э. Гутермана9 10, П. Легиша11, П.Г. Овчинникова12, П. Шемрла13 14 и многих других авторов.

Исследуемые в диссертации частичные порядки были введены посредством групповой обратной матрицы, которая является одним из возможных обобщений понятия обратной матрицы на вырожденные матрицы.

Первые результаты в области обобщенных обратных матриц принадлежат Э.Г. Муру15, который ввел обобщенные обратные для конечных квадратных и прямоугольных матриц. Впоследствии Р. Пенроузом16 с применением другой техники были отдельно изучены псевдообратные Мура для квадратных матриц, и доказана единственность обратной. Полученные обобщенные обратные матрицы стали называть обратными Мура-Пенроуза.

Известно много обобщений17 18 обратной матрицы: левые и правые обратные, обратные Дрейзина, обратные Ботта-Даффина, групповые обратные и другие.

Отметим, что на пространстве матриц Mn(F) можно ввести много различных упорядочиваний. Например, для упорядоченных полей может использоваться элементарный порядок (Л < В, если ^ а для поля комплексных чисел — порядок Левнера (А < В если В — А — эрмитовая неотрицательно определенная матрица).

Наряду с указанными порядками в последние годы вводятся и активно исследуются другие матричные отношения частичного порядка: порядок Харт-

'Dolinar G., Marovt J. Star partial order on B(H) // Linear Algebra Appl. 434 (2011), 319-326.

9Guterman A. Linear Preservers for Drazin star partial order // Comm. in Algebra. — 2001. - Vol. 29, no. 9. - P. 3905-3917.

10Гутерман А. Э. Монотонные аддитивные отображения матриц // Математические заметки. — 2007. — 81, №5, 681-692.

llLegiSa P. Automorphisms of Мп, partially ordered by rank subtractivity ordering // Linear Algebra Appl. - 2004. - Vol. 389. - P. 147-158.

la Ovchinnikov P. G. Automorphisms of the poset of skew projections // J. of Functional Analysis. - 1993. - Vol. 115. - P. 184-189.

"Semrl P. Order-preserving maps on the poset of idempotent matrices // Acta Sci. Math. (Szeged). - 2003. - Vol. 69. - P. 481-490.

145emri P. Automorphisms of B(H) with respect to minus partial order // J. Math. Anal. Appl. 369 (2010), 205-213.

15Moore E. H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bull. Amer. Math. Soc. — 1920. - Vol. 26. - P. 394-395.

16Penrose R. A generalized inverse for matrices // Proc. Cambridge Philos. Soc. — 1966. — Vol. 62. - P. 673-677.

17Ben-Israel A., Greville T. Generalized Inverses: Theory and Applications. New York: Hohn

Wiley and Sons. — 1974.

lsPiziak R., Odell P. L. Matrix Theory: From Generalized Inverses to Jordan Form.

Chapman & Hall/CRC, 2007. P. 548.

вига19, также известный как минус-порядок, порядок Дрейзина?0, бриллиантовый порядок21, левый и правый *-порядки22 и другие.

Цель работы

Исследование свойств и характеризация монотонных отображений, заданных групповой обратной матрицей. Перед автором стояли следующие задачи:

• Получить характеризацию аддитивных отображений матриц над произвольным полем, мотонных относительно группового порядка.

• Изучить свойства нелинейных монотонных отображений матриц и решить задачу характеризации этих отображений на специальных множествах матриц.

• Ввести операторный аналог частичного порядка, заданного групповой обратной матрицей, и доказать характеризацию аддитивных монотонных отображений операторов на гильбертовом пространстве.

Научная новизна

Представленные в диссертации результаты являются новыми и получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации следующие:

• Доказана характеризация аддитивных отображений, монотонных относительно порядков, заданных групповой обратной матрицей.

• Введены и построены спектральные ортогональные разложения произвольных матриц, изучены их свойства и взаимосвязь с рассматриваемыми частичными порядками.

• Получена характеризация инъективных отображений диагонализуемых матриц и непрерывных инъективных отображений комплексных матриц, монотонных относительно порядков, заданных групповой обратной матрицей.

• Решена задача о характеризации аддитивных биективных строго монотонных отображений линейных ограниченных операторов на гильбертовом пространстве.

19Hartwig R. Е. How to partially order regular elements // Math. Japónica. — 1980. — Vol.

25, no. 1. - P. 1-13.

mDrazin M. P. Natural structures on semigroups with involution // Bull. Amer. Soc. — 1978. - V. 84. Jftl. - P. 139-141.

nBaksalary J. K., Hauke J. A further algebraic version of Cochran's theorem and matrix partial orderings // Linear Algebra Appl. — 1990. — Vol. 127. — P. 157-169.

™Baksalary J. K., Mitra S. К. Left-star and right-star partial orderings// Linear Algebra Appl. - 1991. - Vol. 149. - P. 73-89.

Основные методы исследования

В диссертации используются методы теории матриц, теории операторов, комплексного анализа, а также изобретенный автором метод спектральных ортогональных матричных разложений.

Теоретическая и практическая ценность работы

Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны специалистам по абстрактной и линейной алгебре, теории матриц, теории колец, математической статистике, вычислительной математике, квантовой механике.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ имени М.В.Ломоносова:

(1) научно-исследовательский семинар по алгебре под руководством проф. В.Н.Латышева (2012-2013, неоднократно);

(2) семинар «Кольца и модули» под руководством проф. В.Н.Латышева, проф. А.В.Михалева (2010-2013, неоднократно);

(3) семинар «Теория матриц и ее приложения» под руководством А.Э.Гутермана (2010-2013, неоднократно);

а также на всероссийских и международных конференциях:

(1) XVII международная научная конференция «Ломоносов-2010», Москва, 12-15 апреля 2010 г.;

(2) XVIII международная научная конференция «Ломоносов-2011», Москва, 11-15 апреля 2011 г.;

(3) XIX международная научная конференция «Ломоносов-2012», Москва, 9-13 апреля 2012 г.;

(4) Международный алгебраический симпозиум, посвящённый 80-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ и 70-летию профессора А.В.Михалёва, Москва, 15-18 ноября 2010 г;

(5) 3-я международная конференция «Матричные методы в математике и их приложения», МММА-2011, Москва, 22-25 июня 2011 г.;

(6) международная конференция «Полугруппы и приложения», Уппсала, Швеция, 30 августа - 1 сентября 2012 г.

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в девяти работах, список которых приводится в конце автореферата [1-9].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из четырёх глав, первая из которых вводная, и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 144 страницы. Список литературы содержит 69 наименований.

Краткое содержание работы Глава 1

В первой главе изложена история вопроса, показана актуальность темы, сформулированы основные определения и полученные результаты. Также описаны краткое содержание и структура диссертации.

Пусть Mn(F) обозначает пространство квадратных матриц порядка п с коэффициентами из произвольного поля F, GLn(F) — множество невырожденных матриц, ^ — некоторое отношение частичного порядка на М„(F). Кроме того, обозначим А < В при А, В е Af„(F), если А ^ В, А ф В.

Определение. Пусть М С М„(F). Отображение Т: М —> М монотонно относительно ^-порядка, если для любых матриц А, В € М из А < В следует Т(А) < Т(В).

Определение. Пусть М С М„(F). Отображение Т: М —> М строго монотонно относительно с-порядка, если для любых матриц А,ВеМ условия А< В и Т{А) < Т(В) эквивалентны.

Определение. Групповая обратная матриц^3 Л® к матрице А — это матрица, удовлетворяющая следующим соотношениям:

а )ЛА«Л = Л; б = Л«; в)АА* = А*А.

Оказывается, существование групповой обратной матрицы для данной матрицы А тесно связано со значением индекса матрицы А.

Определение. Матрица А 6 Мп(F) имеет индекс I (Ind А — I), если гкЛ! = rk Al+l и I есть наименьшее натуральное число с таким свойством.

33Mitra S. К. A new class of g-inverse of square matrices // Sankhya. Ser. A. — 1963. — Vol. 30. - P. 323-330.

Более точно, групповая обратная матрица А" к данной матрице А € М„(F) существует тогда и только тогда, когда А имеет индекс 1, то есть ткА = ткА2. Кроме того, если А" существует, то она единственна24. Подробное описание свойств групповой обратной матрицы можно найти в монографиях17 25.

В диссертационной работе изучаются частичные порядки на множестве матриц, заданные при помощи групповой обратной матрицы.

Определение (Хартвиг19). Пусть А,В е М„(F). Тогда А^В для произвольных матриц А а В, если и только если rk(S — А) — хкВ — rk А Полученное отношение называется минус-порядком.

Определение (Митра24). Пусть А, С е A/n(F). Тогда А < С, если и только если А = С или Ind А = 1, АА* = CA* = А'С.

Заданное отношение рефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то есть является частичным порядком. Однако, этот порядок достаточно беден, так как все матрицы, индекс которых больше 1, максимальны. Для устра-

сп

нения этого недостатка Хартвигом и Митрой было введено отношение J

порядка, расширяющее ^-порядок.

Определение. Нилъпотпентным разложением матрицы А 6 Mn(F) называется такое представление А — Ca+Na, что CaNa = NaCa = 0, Ind Ca = 1, Na нильпотентна.

Определение (Хартвиг, Митра26). Пусть А,Ве М„(F). Тогда А < В, если

I _

и только если Ca < С в и Na^Nb-

Определения различных матричных порядков и их свойства детально описаны в работе Митры, Бхимасанкарама и Малика27.

Определение. Пусть А,В& Мп(F). Матрицы А и В ортогональны (А ± В), если AB — В А = 0.

Рассмотрим следующее свойство отображений, тесно взаимосвязанное с

иMitra S. К. On group inverses and the sharp order // Linear Algebra Appl. — 1987. — Vol. 92. - P. 17-37.

"Rao C. R., Mitra S. K. Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: Wiley. 1971.

иHartwig R. E., Mitra S. K. Partial orders based on outer inverses // Linear Algebra Appl. - 1982. - Vol. 176. - P. 3-20.

"Mitra S. K., Bhimasankaram P., Malik S. B. Matrix partial orders, Shorted Operators and Applications. Series in Algebra, V. 10, World Scientific, 2009.

монотонностью относительно ^-порядка:

Определение. Пусть М С M„(F). Отображение Т: М —> М назовем 0-аддитивным, если для любых матриц А, В € М со свойствами А ± В, Ind А = 1, имеем:

а) Т(А) JL Т(В)-, б) Т(А + В) = Т(А) + Т(В). Глава 2

Вторая глава посвящена изучению линейных и аддитивных отображений матриц, монотонных относительно частичных порядков, заданных групповой обратной матрицей.

В первом параграфе доказана полная характеризация линейных отобра-

К СП

жений, монотонных относительно и ^-порядков. Ранее были охарактеризованы линейные биективные отображения над произвольным полем, моно-J en

тонные относительно <- и С-порядков:

Теорема (Богданов, Гутерман28). Пусть F — произвольное поле, п> 3, Т: М„(F) —> М„(F) — биективное линейное отображение, монотонное относительно <- (<-) порядка. Тогда существуют а £ F \ {0} «Pe GLn( F) такие, что Т{Х) = аР~1ХР для всех X е М„(F) или Т(Х) = aP~1XtP для всех X е Мп(F).

Автором был предложен метод, позволивший снять ограничение биектив-ности. При этом ограничений на размер матриц нет, а ограничение на основное поле — его характеристика должны быть отличной от 2. Сформулируем полученный характеризационный результат:

Теорема 2.1.10. Пусть F — произвольное поле, charF ф 2, п ^ 1 — целое число, а линейное отображение Т: Мп(F) —>■ М„(F) монотонно относи-

Í СП

тельно (или порядка. Тогда Т имеет один из двух видов, указанных ниже (а € F, Р е GLn{¥)):

1) Т(Х) = аР~1ХР для всех X 6 M„(F);

2) Т(Х) = aP~1XtP для всех X (Е Мп(F).

Здесь и далее для удобства чтения используется нумерация теорем, определений и лемм, совпадающая с нумерацией в диссертации.

28Богданов И. И., Гутерман А. Э. Монотонные отображения матриц, заданные групповой обратной, и одновременная диагонализуемость // Математический сборник. 2007. Т. 198. №1. С. 3-20.

Следствием доказанной характеризации является автоматическая биек-тивность ненулевого линейного монотонного отображения. Кроме того, оказывается, что для линейных отображений монотонность относительно

сп

порядка эквивалентна монотонности относительно ^-порядка.

Во втором параграфе с помощью развитой техники исследуются более общие аддитивные отображения. Доказана следующая теорема:

Теорема 2.2.8. Пусть F — произвольное поле с числом элементов |F| ^ 3, п ^ 2 — целое число, аддитивное отображение Т: Мп(F) —» Мп(F) моно-

tt СП

тонно относительно порядка. Тогда Т имеет одну из следующих

форм:

1) Т(Х) = аР~1Х^Р для всех X б M„(F);

2) Т(Х) = аР~\Х*)*Р для всех X £ М„(F);

(здесь а € ¥, Р € GLn(¥), ¡р: F —>• F — инъектпивный эндоморфизм поля ¥).

В теореме 2.2.8 под применением эндоморфизма поля к матрице понимается его поэлементое применение.

Далее в параграфе показано, что эндоморфизмы кольца матриц моно-II

тонны относительно ^-порядка. В качестве следствия теоремы 2.2.8 получено новое доказательство характеризации всех эндоморфизмов кольцаM„(F). Подобная характеризация для алгебр известна как теорема Нетер-Сколема?9.

Теорема 2.2.11. Пусть F — произвольное поле с числом элементов |F| ^ 3, n ^ 2 — целое число, Т: Мп(F) —М„(F) — эндоморфизм кольца матриц Мп{F). Тогда существуют такая матрица Р е GL„(F) и эндоморфизм <р: F F поля F, что Т{Х) = Р~хХ*Р для всех матриц X <= М„(F).

В заключительной части главы построен пример 2.2.12 линейного монотонного отображения матриц 2x2 над полем из двух элементов, не пред-ставимого в том виде, который получен в теореме 2.2.8. Также приведены примеры неаддитивных монотонных отображений (примеры 2.2.13, 2.2.14).

Глава 3

В третьей главе изучаются нелинейные монотонные отображения. В первом параграфе вводятся специальные разложения матриц, тесно связанные с жордановой нормальной формой, названные спектральными ортогональными разложениями. Через КА(\) обозначим общее количество жор-дановых блоков матрицы А, отвечающих собственному числу A, F — алгебраическое замыкание поля F. Заметим, что Брес(Л) = {А € F | Ка{А) > 0}.

"Пирс Р. Ассоциативные алгебры. 1986. М: Мир. 543 с.

Определение 3.1.15. Пусть F — произвольное поле, A S M„(F), А = СА + Na — нильпотентное разложение матрицы А. Тогда £д(0) = Na, и для всех

А О матрица S\(X) = Х\ такова, что IndX\ = 1, Х\ < А, Кхх(Х) = Ка(Х) и Кхх(р) = 0 Для всех р е F \ {О, А}.

= sa+e(* + 1) ~ при всех А е F;

•Si(A) = S\(X) - \S\(X) при всех А е F.

Это определение корректно, так как матрица Х\ с указанными свойствами существует и единственна для каждого А ^ 0 (лемма 3.1.14).

Теорема 3.1.17. Пусть А € Mn(F).

1. Если A i Spec А С F, то S*i(A) = 0 при i = 1,2,3.

2. гк(5д(А)) = degXA(z — А) является кратностью корпя А в характеристическом многочлене ха-

3. S\(А) ± S{([i) для всех А ф ц, г, j = 1,2,3. _

4. Si(A)Sj(A) = Si(A)Si(A) = Sji(A) для всех А € F, г — 1,2,3.

5. Матрица S\(А) идемпотентна при всех А € F.

6. Матрица S\(А) нилъпотентна при всех А € F.

7. л = £ Si(A) = ЕМ(А) + ^(А)), В = £ ^(А).

AeP As" AeF

Определение 3.1.18. Будем называть разложения вида

AeF AeF

спектральными ортогональными матричными разложениями.

Отметим, что спектральные ортогональные разложения могут быть использованы для вычисления многочленов от матриц, а ненулевые элементы разложения конкретной матрицы являются базисом в линейном пространстве значений многочленов от этой матрицы. Более того, введенные разложения оказываются эффективным инструментом исследования свойств рассматриваемых порядков и монотонных отображений. В частности, справедлива следующая теорема:

Теорема 3.1.20. Пусть А е Мп{F).

1. Если А коммутирует с некоторой В 6 M„(F), то SlA(X) коммутируют с В при всех А 6 F и i = 1,2,3.

2. Если Ind Л = 1 и А ортогональна некоторой матрице В, то

а) все матрицы S^iА) ортогональны В,

б) Si+B(А) = &А(А) + Sj,(A) при А Ф 0 и i = 1,2,3,

в) S'A(А) 1 S3B{fi) при всех А, ц <Е F \ {0}, г, j = 1,2,3.

3. Если А ^ С для некоторой С £ Мп(¥), то при всех Л С Р \ {0} имеем I И

2 < £ 5с(А)> г = 1,2. В частности, ^ &с(\) при А ф 0 и

АеЛ АеЛ

¿ = 1,2.

Через обозначим множество матриц индекса 1. Во втором параграфе при помощи спектральных ортогональных разложений получены два важных свойства биективных строго монотонных отображений множества Ц(Р) в себя: сохранение ими жордановой формы, с точностью до замены собственных чисел, и эквивалентность монотонности введенному автором понятию 0-аддитивности отображения.

Теорема 3.2.14. Пусть Р = отображение Т: Ц(Р) —* является

биективным и строго монотонным относительно <-порядка при дополнительном ограничении Т(ХЕ) = АЕ для всех А € Р. Тогда для произвольной матрицы А 6 \ Мо существует матрица Ра £ СЬп(¥) такая, что Т{А) = Р^АРа.

Здесь под Мо понимается множество матриц, имеющих единственный жорданов блок с ненулевым собственным числом. Отметим, что на множестве Мо монотонное отображение может быть определено произвольным образом (лемма 3.2.12), то есть биективное строго монотонное отображение на множестве 1^(Р) может быть достаточно «диким».

Теорема 3.2.18. Пусть Р = Р и отображение Т: 1*(Р) -> 1*(Р) является биекцией. Тогда отображение Т строго монотонно относительно <порядка в том и только том случае, когда отображения Т и Т-1 одновременно являются 0-аддитивны,ми.

В третьем параграфе доказана характеризация инъективных неаддитивных монотонных отображений множества диагонализуемых матриц в себя. В этом случае результат оказывается значительно более структурированным, чем в случае множества всех матриц индекса 1. Напомним, что матрица А £ МП(Р) называется диагонализуемой, если существует Р £ вЬп(Р) такая, что Р~гАР — диагональная, 2?п(Р) — диагонализуемые матрицы из М„(Р).

Теорема 3.3.1. Пусть поле Р алгебраически замкнуто, п > 3, итективное

отображение Т: Т>„(¥) —> 2>„(Р) монотонно относительно ^-порядка. Тогда существуют матрица Р £ С?£П(Р), ненулевой эндоморфизм /: Р —» Р и а: Р —У Р — итективное отображение с условием а(0) = 0 такие, что

Т(А) = ]Г<т(Л)Р-х(£%(Л)УР для всех А € Р„(Р),

Аег

или

Т(А) = 5](т(А)Р-1[(^(А))/]'Р для всех А € Ъп{Ъ).

ЛеР

В качестве следствия теоремы 3.3.1 получена характеризацкя строго монотонных отображений диагонализуемых матриц в себя. Приведен пример нетождественного строго монотонного отображения на ограничение

которого на Т>п(¥) тождественно (пример 3.3.5). Также показана существенность условия инъективности (пример 3.3.6).

В четвертом параграфе решена задача характеризации инъективных непрерывных монотонных отображений множества всех матриц над полем комплексных чисел в себя. За счет непрерывности и использования ряда результатов комплексного анализа, удается показать, что инъективное монотонное отображение автоматически аддитивно, и более того, полулинейно.

Теорема 3.4.1. Пусть п ^ 3, отображениеТ: Мп{С) —> Мп{С) инъектив-но и непрерывно. Пусть также выполнено хотя бы одно из условий:

а) Т монотонно относительно ^-порядка;

сп

б) Т монотонно относительно ^-порядка;

в) Т является О-аддитивным.

Тогда существуют Р 6 СЬп(С), а е С \ {0} такие, что

Т(Х) = аР~гХР для всех X <Е М„(С), или

Т(Х) = аР~1Х^Р для всех X е Мп(С), или

Т(Х) = аР~хХР для всех X € Мп(С), или

Т{Х) = аР~1Х1Р для всех X € Мп{С),

здесь X — матрица, полученная из X поэлементным комплексным сопряжением.

В случае отсутствия условия непрерывности аналог характеризационного результата неверен, в работе построен пример 3.4.4, подтверждающий этот факт.

Глава 4

В четвертой главе введен аналог порядка, порожденного групповой обратной матрицей, для множества ограниченных операторов в банаховом пространстве и изучены соответствующие аддитивные монотонные отображения.

В первом параграфе вводится определение ^-порядка на операторах в банаховом пространстве.

В работе П. Шемрла14 отношение ^-порядка было перенесено на случай ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве.

Пусть F — поле вещественных или комплексных чисел, X — банахово пространство над полем F, В(Х) — совокупность линейных ограниченных операторов на пространстве X.

Оператор Р € В(Х) будем называть идемпотентом, если Р2 — Р, через Ij(X) обозначим множество всех идемпотентов, I £ Ii(X) — тождественный оператор.

Определение 4.1.1 (Шемрл14). Пусть А, В 6 В(Х), X гильбертово. Положим Л1IB, если найдутся такие идемпотенты P,Q, что ImA = ImP, Кег А = Кег Q, РА = РВ, AQ = BQ.

Определение 4.1.2. Пусть А,В € В(Х). Положим А < В, если А = В, или найдется такой идемпотент Р € В(Х), что Im Л = ImP, Кег Л = КегР, РА = РВ, АР = BP.

В работе доказывается корректность введенного определения, антисим-

метричность и транзитивность отношения ^-порядка, его совпадение с матричным определением для конечномерных пространств, изучены другие «

свойства ^-порядка на операторах.

Обозначим через 1а(Х) множество таких Л € В(Х), что существует идемпотент Р с условиями Im Л = Im Р и Кег Л = Кег Р.

Теорема 4.1.8. Пусть А, В 6 В{Х). Тогда следующие условия эквивалентны:

1) А к В;

2) А = В или существует такое прямое разложение пространства X в сумму замкнутых подпространств X - Xi®X%, что линейные операторы А, В: Х\ © Х-1 —Х\ ® Х2 имеют следующие матричные представления:

где А\: Х% —>• Х\ и В\: Xz —> Х% — ограниченные линейные операторы, А\ инъективен, Im Л = Х\;

3) А = В или A G 1ДХ), А±(В- А).

Во втором параграфе доказана характеризация аддитивных биективных отображений на множестве линейных ограниченных операторов в гильберто-

вом пространстве, строго монотонных относительно ^-порядка.

Пусть Н — гильбертово пространство над полем F вещественных или комплексных чисел, dim Н > 1. Приведем формулировку известной теоремы Овчинникова12 о монотонных отображениях множества идемпотентов в себя.

Теорема 4.2.6. Пусть (р: h{H) —> h{H) — биективное отображение, строго монотонное относительно стандартного порядка но идемпотен-тах. Тогда существует S: Н —> Я — линейный или полулинейный обратимый ограниченный оператор такой, что iр{Р) — SPS'1 для всех Р € 11(Я) или <р(Р) = SP'S'1 для всех Р е Ii(Я).

Полученный характеризационный результат состоит в следующем: Теорема 4.2.7. Пусть Т: В(Н) —»• В(Н) — аддитивное биективное отображение, строго монотонное относительно <-порядка. Тогда существуют такие а € F\ {0} и S: Н Н — линейный или полулинейный обратимый ограниченный оператор, что Т(А) = aSAS~l для всех А е В{Н) или Т(А) = aSA*S~1 для всех А € В{Н),

Построены примеры, показывающие существенность условий биективно-сти и аддитивности (примеры 4.2.8, 4.2.9).

В третьем параграфе изучаются биективные строго монотонные отображения на ортогональных идемпотентах и их линейных комбинациях. Более

точно, определим множество I¡(Я) = {Л е В(II) \ А = Р< € Ii(#),

»=1

Pi ± Pj при i ф j}.

Теорема 4.3.2. Пусть биективное отображение Т: I¡(Я) —> I¡(H) строго

монотонно относительно <-порядка. Тогда существуют a: F —> F — би-екция, <т(0) =0, и S: Н Н — линейный или полулинейный обратимый ограниченный оператор такой, что

т (е а<р<) = 5 (е 5-1

для всех Pi, Pi -L Pj при г ф j, или для всех Pi, Pi A. Pj при i ф j-

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Гутерману Александру Эмилевичу за постановку задач и всестороннее внимание к работе.

Автор благодарен профессору Александру Васильевичу Михалёву и профессору Вячеславу Александровичу Артамонову за полезные дискуссии и комментарии, а также всему коллективу кафедры высшей алгебры МГУ имени М.В.Ломоносова за доброжелательное отношение.

Работы автора по теме диссертации

[1] Ефимов М. А. Монотонные отображения матриц и теорема Нетер-Сколема // Вестник Московского университета. Математика. Механика. 2012. Т. 67. №5. С. 46—66. Translated by Moscow University Mathematics Bulletin. 2012, Vol. 67(5-6). 221-223.

[2] Ефимов M. А. О ^-порядке на множестве линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве // Матем. заметки. 2013. Т. 93. №5. С. 794-797. Translated by Mathematical Notes. 2013. Vol. 93(5). 784-788.

[3] Гутперман А. Э., Ефимов M. А. Монотонные отображения матриц индекса 1 // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2012. Т. 405. С. 67-96. Translated by Journal of Mathematical Sciences (New-York). 2013. Vol 191(1). 36-51. M.A. Ефимову принадлежат главы 2, 5, 6. А.Э. Гутерману принадлежат главы 1,

8,4-

[4] Ефимов М. А. Линейные отображения матриц, монотонные относительно

i сп

<, < - порядков // Фундаментальная и прикладная математика. 2007. Т. 13. №4. С. 53-66. Translated by Journal of Mathematical Sciences (New-York). 2008. Vol. 155(6). 830-838.

[5] Ефимов M. А. Аддитивные отображения матриц, монотонные относительно порядков, заданных групповой обратной матрицей // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. №6. С. 23-40. Translated by Journal of Mathematical Sciences (New-York). 2013. Vol. 193(5). 659-670.

[6] Guterman A. E., Efimov M. A. Monotone maps on diagonalizable matrices // Mathematical Inequalities and Applications, accepted, 2013, MIA-3536. M.A. Ефимову принадлежат главы 1, 2, 3. А.Э. Гутерману принадлежит глава 4-

[7] Ефимов М. А. Монотонные отображения матриц, заданные групповой обратной // XVII Международная научная конференция «Ломоносов-2010», Тезисы докладов, 1, МАКС Пресс, Москва, 2010.

[8] Ефимов М. А. Частичные порядки на алгебре матриц и их аналоги для гильбертовых пространств // XVIII Международная научная конференция «Ломоносов-2011», Тезисы докладов, 1-2, МАКС Пресс, Москва, 2011.

[9] Ефимов М. А. О частичном порядке, задаваемом связанными идемпотен-тами в гильбертовом пространстве // XIX Международная научная конференция «Ломоносов-2012», Тезисы докладов, 1-2, МАКС Пресс, Москва, 2012.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж ¡00 экз. Заказ № /9

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ефимов, Михаил Александрович, Москва

ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова»

На правах рукописи УДК 512.643

04201458505

Ефимов Михаил Александрович

МОНОТОННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МАТРИЦ И ОПЕРАТОРОВ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук, профессор А.Э. Гутерман

Москва - 2013

Оглавление

1 Введение 4

1.1 Общая характеристика работы..............................4

1.2 Краткое содержание работы..................................15

2 Аддитивные и линейные монотонные

отображения матриц 26

2.1 Линейные отображения................... 26

2.2 Аддитивные отображения.................. 41

3 Нелинейные монотонные отображения 60

3.1 Спектральные ортогональные

разложения матриц ..................... 02

3.2 Биективные отображения

матриц индекса 1....................... 78

3.3 Инъективные отображения

диагонализуемых матриц.................. 92

3.4 Непрерывные отображения

комплексных матриц.....................102

4 Расширение группового порядка на линейные операторы в банаховом пространстве 110

4.1 Определение группового порядка на линейных непрерывных

операторах в банаховом пространстве...........111

4.2 Аддитивные монотонные отображения операторов

в гильбертовом пространстве................120

4.3 Монотонные отображения

на ортогональных идемпотентах

и их линейных комбинациях ................132

Глава 1

Введение

1.1 Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Диссертация посвящена изучению отображений матриц и операторов, монотонных относительно некоторых специальных частичных порядков. Исследуемые порядки были введены посредством групповой обратной матрицы, которая является одним из возможных обобщений понятия обратной матрицы на вырожденные матрицы.

Пусть Мп(¥) обозначает пространство квадратных матриц порядка п с коэффициентами из поля СЬп{¥) — полная линейная группа (обратимые матрицы из Мп(¥)), С — поле комплексных чисел, через сЫ; А обозначен определитель матрицы А, А1 — транспонированная матрица. Через Е^ будем обозначать матрицу с 1 в позиции (г, .у) и нулями в остальных, Е — единичная матрица, через 8рес(Л) обозначим спектр матрицы А, то есть множество всех ее собственных чисел.

Обобщенные обратные матрицы

Первое упоминание об обобщенных обратных операторах может быть найдено в работе Фредгольма 1903 года (см. [25]), в которой вводятся псевдообратные интегральные операторы, позже охарактеризованные Гурвицем в работе [35]. Кроме того, обобщенные обратные для дифференциальных операторов использовались Гильбертом в работе [33] при исследовании свойств обобщенных функций Грина.

Изучение обобщенных обратных для дифференциальных и интегральных операторов привело к появлению понятия обобщенных обратных матриц. Фактически, первые результаты в этой области принадлежат Муру, который ввел обобщенные обратные для конечных квадратных и прямоугольных матриц (см. [45]). Впоследствии Пен-роузом с применением другой техники были отдельно изучены псевдообратные Мура для квадратных матриц, и доказана единственность обратной. Полученные обобщенные обратные матрицы стали называть обратными Мура-Пенроуза (см. [49]).

Определение 1.1.1. [49] Пусть А Е М„ип(С) — прямоугольная матрица. Матрица О е Мщт{С) является обратной матрицей Мура-Пенроуза, если выполнены следующие равенства:

1) АСА = А;

2) ОАО = С;

3) (Ав)* = АС]

4) {в А)* = С А.

Для любой матрицы А 6 Мт^п{С) существует ровно одна матрица С Е М„;?П(С) такая, что выполнены свойства 1) - 4) в определении 1.1.1. Обозначим эту матрицу через А^ = С.

Если рассматривать только часть свойств из определения 1.1.1, то

можно получить другие обобщения понятия обратной матрицы. Так, если матрица С удовлетворяет соотношению 1), то С называется обобщенной обратной (записывается как А"). Отметим, что А~ это не конкретная матрица, а любая матрица со свойством АА~ А = А. Если же матрица С удовлетворяет соотношениям 1) и 2), то С называется рефлексивной обобщенной обратной, и обозначается А~.

Кроме некоторых из свойств 1) - 4) для определения классов обобщенных обратных матриц могут использоваться и другие, например, коммутативность С? и А. Различные определения обобщенных обратных матриц и их свойства можно найти в монографиях [12, 52].

Отметим, что обобщенные обратные матрицы имеют различные приложения. С их помощью можно находить точные и приближенные решения систем линейных алгебраических уравнений, решать разностные и дифференциальные линейные уравнения, определять используемые в физике параллельные суммы матриц (см. [12]). Обобщенные обратные имеют многочисленные применения в математической статистике: решение задачи линейной регрессии, вычисление стационарных точек цепей Маркова, и другие (см. [58]).

В рамках данной диссертационной рабо ты наиболее интересным является случай групповой обратной матрицы.

Определение 1.1.2 (Митра, [40]). Групповая обратная матрица к матрице А — это матрица, удовлетворяющая следующим соотношениям:

а )АЛ*А = А\ б)А*АА* = А*; в)АА* = А* А.

Название «групповая обратная» было введено И. Эрдели в работе [23] в связи с тем фактом, что матрица является обратной для А в абелевой группе по умножению, порожденной А. Оказывается, суще-

ствовапие групповой обратной матрицы для данной матрицы А тесно связано со значением индекса матрицы А.

Определение 1.1.3. Матрица А Е Мп(¥) имеет индекс 1, 1псМ = /, если гкА1 = гкА1+1 и / есть наименьшее натуральное число с таким свойством.

Групповая обратная матрица А* к данной матрице А Е Мп(¥) существует тогда и только тогда, когда А имеет индекс 1, то есть гк А = гк А2 (см. [22, 40]). Кроме того, если А5 существует, то она единственна (см. [41, 54]). Подробное описание свойств групповой обратной матрицы может быть найдено в работах [12, 53].

Обозначим через подмножество матриц индекса 1 из Мп(¥). Заметим, что по определению множество матриц индекса 1 содержит множество идемпотентов, однако, множество матриц индекса 1 шире. В частности, оно содержит все диагонализуемые матрицы и все жор-дановы блоки с ненулевыми собственными значениями.

Отношения порядка на пространстве матриц

Существует много различных упорядочиваний пространства матриц Мп(¥). Например, для упорядоченных полей может использоваться элементарный порядок (А ^ В, если а^ ^ Ь,3), а для поля комплексных чисел — порядок Лёвнера (А ^ В если В — А — эрмитовая неотрицательно определенная матрица).

В последние 40 лет наряду с указанными порядками вводятся и активно исследуются другие матричные отношения частичного порядка.

Определение 1.1.4 (Хартвиг, |31]). Пусть А, В Е Мп(¥). Тогда А^В для произвольных матриц А и В, если и только если гк (В — А) = гкВ — гк А Полученное отношение называется минус-порядком.

Можно дать и другое эквивалентное определение минус-порядка, основанное на применении обобщенных обратных матриц. А именно: Л^В, если и только если существует обобщенная обратная А~ такая, что АА~ = ВА~, А'А = А'В.

Аналогичным образом можно задать ^*-порядок на матрицах, если в качестве А~ рассматривать А^. Полученный ^*-иорядок называют

порядком Дрейзина (см. [21]). Если же А~ = А\ то получаем опреде-»

ление ^-порядка:

Определение 1.1.5 (Митра, [41|). Пусть А, С е Мп(¥), 1пс1 А = 1.

Тогда А ^ С, если и только если АА^ = СА$ = А$С. Кроме того, если А ^ С и А ф С, то А < С.

Если рассматривать только одно из соотношений АА~ = В А" и

А~А = А~В, и добавить условие 1т А С 1т В или 1т Аь С 1т В1,

соответственно, то можно определить односторонний минус-порядок

(совпадающий с минус-порядком), а также односторонние и порядки (не совпадающие с двусторонними).

Другими примерами порядков могут служить бриллиантовый порядок (см. [9]), сингулярные порядки, /-порядки (см. [4]), и прочие.

Следующее разложение произвольной матрицы А 6 Мп(¥) существует и единственно (см. [12, глава 4.8]):

Определение 1.1.6. Нильпотентным разложением матрицы А называется такое представление А = С а + что Са^а = ^лСл = О, 1пс1(74 = 1, NA нильпотентна. И

Отношение ^-порядка является в некоторым смысле бедным, так как любая матрица индекса больше 1 максимальна. Для устранения

этого недостатка Хартвигом и Митрой было введено следующее отношение порядка, расширяющее ^-порядок.

С11

Определение 1.1.7. [32] Пусть А,Ве М„(¥). Тогда А ^ В, если и

й ^ — только если Сд ^ Сц и А[л^^в-

Отметим, что детальное описание свойств различных матричных порядков может быть найдено в монографии [43].

Отображения, сохраняющие матричные инварианты

Исследование отображений, сохраняющих матричные инварианты, началось с работы [3] Г. Фробениуса, в которой получена характери-зация линейных биективных отображений пространства матриц, сохраняющих определитель. Эта характеризация помогла Г. Фробениусу решить задачу Р. Дедекинда (см. [141) 0 разложении группового определителя на множители.

Теорема 1.1.8. (Фробениус, [3],) Пусть Т: М„(С) Л/„(С) - биективное линейное преобразование, АеЬТ(Х) = det X для всех X. Тогда найдутся такие матрицы 6 СЬ„(С) с условием (1еЬ(РС^) = 1, что Т{Х) = РХО для всех матриц X е Мп{С) или Т{Х) = РХ*(Э для всех матриц X € Мп{С).

Доказательство этой теоремы у Фробениуса было комбинаторным и достаточно сложным. В 1949 году Дьёдонне [17| предложил новый подход к изучению линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, базирующийся на основной теореме проективной геометрии. Это был один из первых общих методов решения подобных задач (см. [16]). Дьёдонне получил характеризацию биективных линейных отображений, сохраняющих вырожденные матрицы над произвольным нолем.

Теорема 1.1.9. ([17], см. также [18, лемма 1]) Пусть Р произвольное поле и Т — обратимое линейное отображение па Мп{¥), сохраняющее вырожденность (то есть, если сЫХ = 0, то &е1Т(Х) = 0). Тогда найдутся такие матрицы е ОЬп{С), что Т(Х) = РХС2 для всех матриц X Е МП(С) или Т(АЛ) = 1'Х1С} для всех матриц А Е Мп(С).

Эти результаты заложили основу интенсивного и плодотворного изучения линейных отображений, сохраняющих матричные инварианты, продолжающегося по сей день. Примерами работ в этой области являются [1, 8, 15, 27, 28, 39, 50, 60]).

В качестве примера приложений описываемой теории отметим доказательство известной теоремы Моцкина и Тасской, полученное Ом-ладичем и Шемрлом в работе [47|. Это доказательство основано па характеризации линейных отображений, сохраняющих диагонализуемость матриц. Напомним, теорема Моцкина и Тасской утверждает, что матрицы А и В с комплексными коэффициентами одновременно диа-гонализусмы тогда и только тогда, когда каждый элемент матричного пучка ХЛ + ц,В диагонализуем. Первоначально она имела сложное доказательство, основанное на глубоких результатах алгебраической геометрии.

Подробную информацию об отображениях, сохраняющих матричные инварианты, можно найти в обзорных работах [5, 38, 44, 51].

Монотонные отображения

Частным случаем отображений, сохраняющих матричные инварианты, являются монотонные матричные отображения. Предметом изучения данной диссертационной работы являются монотонные отображения, монотонные относительно специальных порядков, заданных

при помощи групповой обратной матрицы. Итак, пусть ^ — некоторое отношение частичного порядка на Мп{F).

Определение 1.1.10. Пусть М С Мп{F). Отображение Т: М М монотонно относительно ^-порядка, если для любых А, В Е М из А ^ В следует Т(А) ^ Т{В).

Определение 1.1.11. Пусть М С Мп{F). Отображение Т: М ->• М строго монотонно относительно с-порядка, если для любых матриц А, В е М условия А < В и Т(А) < Т(В) эквивалентны.

Отметим, что изучение отображений, монотонных относительно данного ^-порядка, часто оказывается полезной при изучении свойств этого частичного порядка, для примера см. [llj. При этом наиболее интересен вопрос полной характеризации монотонных отображений при некоторых дополнительных условиях на отображение (линейность, аддитивность, биективность, непрерывность и другие). Примеры подобной характеризации монотонных отображений могут быть найдены в работах [13, 20, ЗС, 37, 48, 55, 56, 57].

Важным для данной работы отношением на матрицах является ортогональность, см. [55].

Определение 1.1.12. [55] Пусть А, В е Мп(F). Матрицы А и В ортогональны (A _L В), если АВ = В А = 0.

Рассмотрим следующее свойство отображений, тесно взаимосвязан-

ное с монотонностью относительно ^-порядка:

Определение 1.1.13. Пусть М С М„(F). Отображение Т: М М назовем 0-аддитивнъш, если для любых матриц А, В б М со свойствами A JL В, IncM = 1, имеем:

а) Т(А) JL Т(В); б) Т(А + В) = Т(А) +Т{В).

Нам потребуются примеры монотонных отображений. Непосредственная проверка показывает, что справедлива лемма:

Лемма 1.1.14. Следующие отображения пространства матриц ад-

и С71

дитивны и монотонны относительно <-, <- и <-порядков:

1. Та(Х) = аХ, где аеР.

2. ТР(Х) = Р~1ХР, где Р 6 вЬп{¥).

3. Т^-(Х) = Х^, где <р: Р —>• Р — эндоморфизм поля Р.

4. ЩХ) = Х<.

В лемме 1.1.14 под применением эндоморфизма поля к матрице понимается его поэлементое применение.

Цель работы

• Получить характеризацию аддитивных отображений матриц над произвольным полем, монотонных относительно группового порядка.

• Ввести операторный аналог частичного порядка, заданного групповой обратной матрицей, и доказать характеризацию аддитив-

ных монотонных отображений операторов на гильбертовом пространстве.

Научная новизна

• Получена характеризация инъективных отображений диагонали-зуемых матриц и непрерывных инъективных отображений комплексных матриц, монотонных относительно порядков, заданных групповой обратной матрицей.

• Решена задача о характеризация аддитивных биективных строго монотонных отображений линейных ограниченных операторов на гильбертовом пространстве.

Основные методы исследования

Теоретическая и практическая ценность работы

Апробация работы

(1) научно-исследовательский семинар по алгебре под руководством профессора Латышева В.Н. (2012-2013, неоднократно);

(2) семинар «Кольца и модули» под руководством профессора Латышева В.Н., профессора Михалева A.B. (2010-2013, неоднократно);

(3) семинар «Теория матриц и ее приложения» под руководством профессора Гутермана А.Э. (2010-2013, неоднократно);

а также на всероссийских и международных конференциях:

(1) XVII международная научная конференция «Ломоносов-2010», Москва, 12-15 апреля 2010 г.;

(2) XVIII международная научная конференция «Ломоносов-2011», Москва, 11-15 апреля 2011 г.;

(3) XIX международная научная конференция «Ломоносов-2012», Москва, 9-13 апреля 2012 г.;

(о) 3-я международная конференция «Матричные методы в математике и их приложения», МММА-2011, Москва, 22-25 июня 2011 г.;

(6) международная конференция «Полугруппы и приложения», Уп-псала, Швеция, 30 августа - 1 сентября 2012 г.

Структура и объем диссертации

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в девяти работах [61-69].

1.2 Краткое содержание работы Глава 1

В первой главе диссертации изложена история вопроса, показана актуальность темы, сформулированы основные определения и полученные результаты.

Глава 2

В первом параграфе доказана полная характеризация линейных

И СП

отображений, монотонных относительно и ^-порядков. Ранее были охарактеризованы линейные биективные отображения над произволь-

tt СП

ным полем, монотонные относительно <- и <-порядков:

Теорема (Богданов, Гут�