Мультипликаторы интегралов Фурье с узким интервалом действия и сходимость почти всюду дилатаций оператора свертки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

(V, '-,*.■ !:>л-

Стц-п

о ™ '•) о 3

дальневосточное отделение российской академии наук институт прикладной математики

На правах рукописи

ВЕРБИЦКИЯ ВИКТОР АЛЕКСАНДРОВИЧ МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ИНТЕГРАЛОВ ФУРЬЕ С УЗКИМ ЙГГЕРВАЛОМ ДИГТВИ!Т И

сходимость почти всюду далтлиш оператора свертки.

01 01. 01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Хабаровск 1У93

Работа выполнена на кафедре высшей математики Хабаровского государственного технического университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В. Д. Степанов

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

С. К. Водопьянов - кандидат физико-математических наук, Н.Н. Пустовойтов

Ведущая организация - Московский униЕэрситет Дружбы народов

им. П. Лумумбы

Защита состоится " 9 " апреля" 1993 года в 10 часов на заседании специализированного совета К 002.06.12 в Институте прикладной математики ДВО РАН по адресу 680042 г Хабаровск, ул. Тихоокеанская, 153.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики ДВО РАН

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук )) М, Ш. Браверма:

0Б1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Хорошо известна задача о мультипликаторах интегралов Фурье в пространствах ЛеЗега. Она заключается в определении условий, при выполнении которых опер?тор, соответствующий умножении в образах Фурье на заданную функцию С мультипликатор ), будет ограниченным отображением из одного лебегова пространства в другое. Теоремы о мультипликатэрах несомненно представляют интерес как самостоятельный объект исследования, так и в смысле приложения к вопросам сходимости.

Цель работы. Предложить методы, позволяющие исследовать ограниченность мультипликативных операторов в лебеговых пространствах. Определить условия сходимости почти всюду дилатаций операторов свертки.

. Методика исследования. Основными методами исследования являются методы математического анализа и теорит/ фуг :ций. Важную роль в наших исследованиях играет метод комплексной интерполяции и теория аппроксимации функций.

Научная новизна и практическая ценность. 1. Получены новые многомерные теоремы об ограниченности в лебеговых пространствах мультипликаторов интегралов Фурье с узким интервалом действия . Результаты дополняют классические теоремы И. Хиршмана и С. Г. Михаила." 2. Най.-ен интервал ограниченности максимального оператора для интегральных средних Бохнера-Рисса. 3. Доказана эквивалентность ограниченности максимального оператора дилатаций свертки и их сходимости почти всюду к единичному оператору.

Аппробация работы. Результаты работа докладывались на сешша-

рах "Функциональный анализ" Хабаровского политехнического института, на семинарах Института прикладной математики ДВО РАН, Математического института РАН им В. А. Стеклова, Воронежского государственного университета, на Северо-Кавказской школе-семинаре (Тебер-да, 1988 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С1-43, список которых приведен в конце автореферата.

Стуктура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Первая глава разбита на три параграфа, вторая и третья главы содержат по два параграфа. Далее идет список литературы, содержащий 63 наименования. Такая структура диссертации позволяет оптимально, с точки зрения автора, расположить материал. Объем диссертации - 86 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении.приведен краткий обзор литературы и сформулированы основные результаты.

В 'первой главе изучаются мультипликаторы интегралов Фурье с узким интервалом действия. Первая теорема о мультипликаторах была доказана К. Марцинкевичем для тригонометрических рядов в 1939 г. . Используя результаты Ж. Марцинкевича, С. Г.Михлин в 1956 г. получил условия, обесточивающе ограниченность мультипликативного оператора кз в I. 11я всех р { С1, с Э. Дальнейшие упрощения и обобдени):

г г

этих уоловк:': 'ь:ул\ даны Л. Хермандером в рамках теории операторов, инвариант;!'-'*.. относительно сдвига. -Обобщения теорем С. Г. Мнхлнна п Л. Хермапдера были сделаны П. К. Лизоркиным. Дальнейшие результаты получены в работах С. Игара, В.Литтмэна, Мак Карти,Н. Ривьера,

-5Г. О. Окикколу и других авторов.

Мультипликаторы в лебеговых пространствах с весами рассматривались Камзоловым А. И. , Буренковым В. И. и их учениками.

И. Хиршман в 1959 г. получил условия, при выполнении которых соответствующий мультипликативный оператор является ограниченным отображением из £рСНЭ в 1.рСйЗ для узкой шкалы лебеговых пространств с показателем р ( (р0;р^), г ль- р0 > 1. Аналогичные результаты были доказаны А. П.Кальдероном и А.Торчинским для мультипликаторов из классов дифференцируемых функций в пространствах N

). Другие обобщения были полученг А.Миячи.

В первой главе диссертации на основе метода комплексной интер поляции предлагается новый способ доказательства ограниченности мультипликаторов. Это позволяет, в частности, рассматривать

мультипликаторы из классов Гельдера.

В § 1.1 первой главы приводятся вспомогательные определения и утверждения, которые используются в следующих параграфах первой главы.

М V

Пусть В - М-мерное пространство точек ,..., х^), ¿^ -

множество мультииндексов а = (а^.....а^ Са^ > 0 ,.1 = 1.....Ю

и |а| = а.+.... , ¡¡¡"||р - норма в лебеговом пространстве

^ СЛИ) ^ ь р ванне Фурье от функции Г е

КОСхЭ = / __ «уЗ ехр(2гиху) dy

N

функций Ьп СР,") - Ь п Ср > 1). Обозначим через КП преобразо-

1

где ху = ]> ^ Говорят, чтс функция пСх) является мульти-

пликаторо. интеграла Фурье для Ьр, если оператор Тш определенный на фукциях Г е п Ьр равенством

KTnfXx) = ш (x)KfKx). (1)

продолжается до ограниченного отображения из Lp в .Определи» пространство Hp как множество функций тСх), для которых конечна норма

Mu = s«Pr BTfflp / ВГп

Мр f { Lp

В § 1.2 рассматриваются мультипликаторы интегралов Фурье для вещественной оси. Здесь с использованием представления функции рядом Фурье и метода комплексной интерполяции получено новое доказательство теоремы И. Хиршмана. На, основе этого подхода доказана теорема, позволяющая изучать мультипликаторы с некомпактным носителем.

ТЕОРЕМА 1. Пусть функция m удовлетворяет услов.иям .

|иСу) Ji А,

1у - у а

|я»Су )-шСу ) 1<А-!---п

Если (3>а, то оператор Ти определяемый равенством С1) является ограниченным отображением из пространства Lp в пространство Lp, т.е.

а) м Мр! для всех р £ f Wda '•' 1-2а 1 = 1а • если 0 < а < "ТГ

1

ЬЗ m i Мр для всех р £ <1,+в) = 1а . если -g- < а < 1

В § 1.3 рассматриваются мультипликаторы интегралов Фурье в пространствах Lp(R*b. Представление мультипликатора m в виде ряда, членами которого являются свертки ю с растяжениями специально подобранной функции К, позволяет свести задачу к изучению ограниченности операторов методом комплексной интерполяции. Таким способом доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 2. Пусть L > 1 - целое число и функция mix) принадлежит классу C(L'. Если для некоторого a s 0 и для любого

-г-

и

мугьтииндекса а е 2" |а| < L справедливо неравенство

íD°SnCхЗ| < С|х|"а то ra i Мр для любого р { ( р0, рд'), где р0= 2 /С1 + 0д), роли

0О = rain < 1, и р0 = ш . если 8Q > 1.

ТЕОРЕМА 3. Пусть 1< L < N/2, L - целое и m 6 CCL:) вне начала N

координат в R . Если для некоторого а е СО;L3 и всех мульти-

индексов а { Z^ с |а| = L справедливо нераве ■ство

I D°mCy) 1< С|х|~а

и гс(х)=0 при |х| > 1, то m « Мр для любого р « ("ТГТЖ' И -^l]

ТЕОРЕМА 4. Пусть гаСх) =0 при |х| > 1 и имеет непрерывные

вне начала координат частные производные до порядка L C2L < Ю

n

включительно. Если для любого мультииндекса а e Z" с |а|< L выполняются неравенства

IDVxíl < Clxl"5"1"', IDSCxJ-D^Cx') I < C|x-x' |^raaxf|x|~'aI, |x |"'a|],

то m 6 Мр для любого p « ( ^1+6) • H-üfbóJ ]'

Вторая глава посвящена интегральны?.! средним Бохнера-Рисса и соответствующему интегральному максимальному оператору.

§ 2.1 носит обзорный .характер и посвящен вопросам связанным с ограниченность» средних Бохнера-Рисса 0a, Sg и вопросом сходимости почти "¡сюду.

Важным представителем класса, мультипликаторов интегралов Фурье с узким интервалом действия являются интегральные средние Бохнера-Рисса 0a, определяемые функцией

m СхЭ = (1-|х|2)? <сс > 0)

Вопрос об ограниченности оператора о" б пространствах LpC в зависимости от показателя а изучался многими авторами. Хорошо известно, что при а > оператор 0° является ограниченным оператором в лебеговых пространствах L_ для всех р t 11, а!. Его поведение М—1

для показателей а < изучалось многими авторами. Так Ц. С. Герц указал значения р для которых оператор о° не является ограниченным

отображением в LD. Л. Карлесон и П.Шелин получили точный результат ^ р

для пространств LpCR ) и а > 0. Ч. Фефферман доказал, что при а = 0 оператор о° является ограниченным отображением из Lp в Lp только для р = 2. Другие результаты были получены в работах В. 3. Мешкова и И. Стейна.

Оператор 0й является непрерывным аналогом средних Бохнера-Рис-са Sg, связанных с кратными рядами Фурье. Для средних Sg одной из основных задач является задача о суммируемости S|! почти1 всюду.

В 1923 г. А.Н.Колмогоров построил пример суммируеумой на интервале С-п;п) функции ряд Фурье которой расходится почти всюду. И. Стейн перенес этот результат на сферические с^чдние Бохнера-Рис-са Sp. При решении задачи о сходимости почти всюду средних Sg км использовались максимальные операторы

S^fXx) = sup|S^Cf)Cx)|, M^fHx) = sujj |-^JR|s£( fHx) |2dt|1/2,

ограниченность которых, обеспечивает сходимость почти всюду.

В силу iToro возникает задача об определении интервала I = = Ср такого, что для любого р из этого интервала максимаяь-ные операторы

R 1/2

c£CfXx) = sup|ogCfKx) | и ff4f)Cx) = sup |o^Cf)CxD |2dt |

оыли гч ограничены в L_. to результатов И.Стейна следует, что

ограничен для р { (^-1N-1-^а) • Стейном показана ограниченность М0 только для Следует отметить, что ограниченность максимального оператора исследовалась многими авторами. В частности, А. Карбери показал ограниченность в Ь^СК^З. М.Христ исследовал максимальный оператор при условии а > Отметим еще работу А. Карбери, Рубио де Франсиа и Луиса Вега в которой с использованием весовых неравенств показана сходимость почти всюду дилатаций оператора 0я для функций из с показателем

Р * (2.

В §2.2 второй главы диссертации рассматривается вопрос об ограниченности максимального оператора М^П для интегральных средних Бохнера-Рисса о" в пространстве Ьр в зависимости от величины а. Методом комплексной интерполяции находится интервал I = (2;р ), для значений р из которого является ограниченным отображением из I,,. в !,_.

ТЕОРЕМА 5. Пусть - < а < и р удовлетворяет условию 2 < р < 2Н/(М-1-^а). Тогда найдется константа С зависящая только qт а, р и N такая, что для лсбой пункции Г е 12 /1 Ьр выполняется неравенство

ц^Щр < с|ГВр.

В третьей главе рассматривайте^ вопрос о сходимости почти всюду дилатаций оператора свертки.

Если рассмотреть оператор свертки Т с ядром к

ТКх) = / кСуЖх-уМу С2)

то, по аналогии со средними Бс нера-Рисса,- могло поставить вопрос;

при каких условиях дилатачии

Т^ГСх) = Х"М/ кСу/ХЖх-уЭбу 1Г

сходятся почти всюду при \ —♦ 0. Зта задача тесно связана с определением следа функции на границе области. А. П.Кальдерон и А.Зигмунд показали, что если к имеет интегрируемую радиальную мажоранту, то для любой функции Г { Ц С1<р.<в)и для почти всех

и

х £ выполняется равенство

Ит Т^Сх) = ГСхЗ Г к(х)с!х. Х-и-о V

Условие интегрируемости радиальной мажоранты накладывает жесткие ограничения на скорость убывания ядра кСх) при |х| —► о. В работах Ф.Зу, 3.Л'.'циана и Г.С.Шапиро приводятся различные критерии позволяющие ослабить ограничения на скорость убывания кСя). Р. Бэг-би »¿оказал, что если рассматривать сходимость почти всюду для фун-' кций из 1р Ср > 1), то ограничения на скорость убывания ядра кСх) можно'заманить на интегральные критерии, не связанные с радиальной мажорантой. П. А. Бу привел необходимые и'достаточные уловия сходимости почти всюду на К11 дилатаций оператора свертки для функций из Ьр с показателем ,р < 2 . В третьей главе данной работы приводится обобщение этого результата на случай р > 2, который тре- • бует более тонких рассуждений.

В § 3.1 приводится обзор результатов о сходимости почти всю-,.у дилатаций оператора свертки и некоторые вспомогательные утверждения, ксполсзувйые в следующем параграфе.

Введем максимальный оператор М полагая МГСх) = б^Т^Сх)|.

м с

Ср,дЗ, если существует число А такое, что для любой функции Т $ I

Оператор 5, определенный на называется оператором слабого типа

т^'/ла пт>гч тт тта тгп^лй Жтгиг<*и тт Р г Г (

п ягхЗого числа а > 0 выполняется неравенство

ces (z е îê1:. [SfCx) | > a) <

где BesCE) - лебегова uepa. ынохества E.

Основный результатом, §3.2 является тесреиа. обайадгшзя теорему П. А. Бу на случай р > 2.

ТЕОРЕУА 6. Пусть q > 1 я / KxJdx = 1. тогда есяя к ç

R« 4

н -i— + -р- = 1 . тогда следугщге утверздензя эквяза-театям:

(iï для любой функция f t Lp почта всоду выполняется равенство

lin TifCi) = fCx), Х»о*о *

(ii) иахсииальныа оператор И является оператором свгбато ■пгаа (р.р).

Из доказательства теоремы б, кая сдедствае получается

ТЕОРЕМА 7. Пусть f {¿cCxJdx = 1. pQ6 tl,o) а 1 'р0+ l'ç0= 1. H

Ее ля k f L л L. в для р выполнено условие Ci3, то для всех 1 Ч0 о

р € (р0.в ) максимальный оператор И является ограниченным отображением из Lp в Lp.

Работы автора по те<_гэ диссертация

1. О сходимости почтя ьевду дилатацжЗ. оператора свертхи

к единичному оператору. Препринт ЕЦ ДВО АН СССР. 1S87. 20 с.

2. Об ограниченности одного максимального сператсрз для интегральных ср&днпх типа Еохнера-Рпсса. Препринт БД ГВО АН СССР. 1387, 20 с. .

-123. Условия ограниченности для одного класса мультипликаторов интегралов Фурье. Препринт 1993-01 ИПМ ДБО РАН. 1993, 28 с.

4. О мультипликаторах интегралов Фурье с узким интервалом действия. Доклады РАН, 1993, т. 330.

Вербицкий Виктор Александрович

Мультипликаторы интегралов Фурье с узким интервалом действия и сходимость почти всюду дилатаций оператора свертки. Автореферат

Подписано к печати 5.03.93 Формат 60x84 / 16 Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,73. Уч.-изд. г 0,62 Тираж 100 экз. Заказ N Бесплатно

Фотоофсетная лаборатория Хабаровского государственного технического университета.

680035, Хабаровск, ул.Тихоокеанская,136