Нахождение решений одного класса сингулярно возмущенных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

г I

АКАДЕМИИ НАУК СССР

ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ СО АН СССР

Специализированный совет К 002.23.02.

На правах рукописи

МИЩЕНКО Евгения Васильевна

УДК 537.533.3+517.926.4

НАХОЗДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ

01.01.02 - дифференциальные уравнения и уравнения математической физики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 1990

Габота выполнена и Институте математики СО АН СССР

Научны!' руководитель

- доктор физико-ыатс этических наук, профессор А.М.Блохин

Официальные) оппоненты

Ведущее учреждение

- доктор физико- математических наук, профессор А.Б.Васильева

- доктор физико- математических наук, профессор А.А.Сапаргалиеь

- Московский энергетический институт

1990 г.

Защита диссертации состоится в ___ "__

о ____ часов на заседании специализированного совета К 002.23.02

по присуждения ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте математики СО АН СССР ( 630030: Новосибирск-90 Университетский проспект, 4).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан "_" 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-ыатематическ наук, доцент

Общая характеристика работы

Актуальность теш. Во многих задачах физики к математл-I возникает необходимостью исследовании зависимости от малого фаметра решений начальной или'краевой задачи для диф$еренци-•ьного сингулярно-возмущённого уравнения. Под сингулярны.., воз-■щением здесь понимается наличие малого параметра в множителе 1И старшей производной уравнения.

В работах МЛиВищка, Л.АЛюстернш- , А.Б.Шабата, А.Б.Ва-льевой,. М.В.Кецццша, О.А.Олейник, В.ВазоЕа, А.Найфэ изуча-об вопросы зависимости решений краевых и начальных задач от лого параметра £ , «являющегося множителем цри старшей оизводной, исс" здовались условия, при которых решения допре-кьной ( £ ^ О ) задачи стремится к решению предельной £= 0 ) задачи, разрабатывались методы построения решения зиде формального ряда по степеням малого параметра и цоказы-юя асимптотический характер такого ряца.

Больше:; интерес предстс;;лякт такне уравнения, в которых г £= о "порядок не понижается, но.уравнение приобретает ту иную особенность. Такие уравнения изучались М.Лайтхиллом, С .А. Ломовым, Г.Карриером.

В настоящей работе рассмотрены уравнения такого типа. Изу-тся поведение решений задачи Коши с сингулярными начальными ными для уравнения второго порядка, известного в электрон-оптике под названием паракоиального уравнения,- а также для внений более высокого поряг'1.

Цель паботы. нчйти решения параксиального уравне!,',! од-здного и с правой часть», исследовав поведете этих решений 1зи гообой гочки л вне её окрест но о», выделить круг задач

х которым также применим метод, пр'еддта.'лнмй:в работе дяя ре-пения параксиального-уравнения.

Сб::;ая метоппка исследования. ¿.'работе использут^ся методы решения кнтогралы;нх уравнен^ Вольтера;второго рода, а такав результаты классической теории обыкновенных уравнений.--'

¡•лучная ночизна, теоретическая к .практическая данность. В работе предложен новый метод решения параксиального''уравнения. Выделен класс сингулярно- вовмуаеГ.лх. уравнений порядка

п -- £ . также решаемых с помощью, предложенного метода.Най-К0"и условия на праву® часть и начальные данные,-.обеспечивающие однозначную представимость решений в вице рядов. :

Полученные результаты являются новыми и.могут быть использованы в теории сингулярно-возмущенных уравнений,.в теории аберраций, а также при расчете аберраций конкретных ©лектрон-НО-ОПТИ , ТСКИХ ЛИНЗ. . ' "'/"

Апробация результатов." Результаты работа докладывались на 4 школе .молодых ученых Сибири, и Дальнего. Востока (г.Ново-

с '.,"•"

сибпрск, 1987 г,), на семинаре кафедры математики физического факультета Московского государственного .университета.под руководством профессора'А.Б.ВасильеЕОЁ, на семинаре по нелинейным задачам под руководством чл,-корр.- АН СССР А.Ф.Сидорова в ¡Ш- , ституте математики и механики УЩ АН СССР,1, ка 2 Всесоюзной конференции "Новые;подходы к решению-дифференциальных уравнений" (г.Дрогобыч, 1983 г.) у. на семинара под руководством профессора С.А.Ломова в'Московском энергетическом институте.

Публикации. Основные, результаты диссертации опубликованы в работах, список которых -помещен в конце автореферата.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из вве-

ценил, пункта "Некоторые пон; .ля электронной оптики", четырех глав, заключения, списка литературы и излозона на '¡^ страницах. Г:- пы дополнительно разбиты на пункты. Нумерация формул ведется отдельно для кавдой главы. Нумерация тьорем и лемм сквозная. Спиоок литературы оодержит 45 наименований.

Содержание работа Во введении дан обзор литературы по'изучаемому вопрог * и формулировки основных результатов.

В первой главе рассмотрена задача отыскания двух линейно-независимых решений tr(?) ,иТ(г) параксиального уравнеаия:

d4 ф'(г) d ФЪ) 1 _ NE A3- + ' (1)

удовлетворяющих начальным условиям:

tf(o)=0 ' (2).

uS (о)= i I «у' (о) = О

Зцеоь:$(н)= 2 ^ jj -малый параметр.

Относительно функции Ф(г) предполагаются шполненнми следующие условия:

1) Ф (г) аналитячна на от^зке СО,2., Jy ^ 0 ? 0 '

2)9 О ф С г ) > О при о < z < z

' > о >

3) Ф 7z)* о при о 4 г,-

ф (Ъ) > JU 2 при

ф" I

4)'функция . где , аналитична при и рредставима в следующем вице

оо

Q (ж) TZ 0. '

где

Б пункта 1.1 первой главы рассмотрено неоднородное уравнение:

N С /1 ] - Г (г )

(з)

Показано, если, па отрезке £ 0( Н 03 выполнены условия 1)-4),

то уравнению (3) соответствует интегральное уравнение Вольтер-

па второго рода: х

о "

X. о

? (л (0)й{0)~ а

■ / X Iй ^ 2 V

Гр^И*) - и(|)) _ядр0

уравнения (4).

Следовательно, функции 1? (2 ) >,и> на отрезке С0;2.,] •нахсщятся как решения следующих интегральных уравнений:

о

Основным результатом первой главы является теорема I : Пусть выполнены, предложения 1)-4). Тогда при o¡> г ¿ г для функций (г-) ( uJ ( г-) имеют место представления: 00 г eJ'1 6 / 1

1i7(x) - 2Z1 и o d(x) j C6)

где ^ i^/^l (зс)^(CC-)^J> (x) - некоторые аналитические

функции. ^ ^

При доказательстве теоремы I используем лемму I о вице

повторных ядер и резольвенты- уравнения <4). Ецкнств&ндаоть

представленr"i (6) доказана в теше 2. В пункта 1,3 приведен

другой, реккурентный способ определения коэффициентов р

ti (ас) ¿ ■ (ol) J> (ос) . В пункте 1.4 показано, что вне скре-'J ' « <1 ■ / \ / \

стности нулевой точки функции у (£) (2 ) можно искать в

виде регулярного ряда по степеням параметра ja .

Б главе 2 определяются коэффициенты аберраций 3 порядка. Коэффициенты аберраций определяются из решения следую-

щих задач Кош:

НШ-П('*-> = Н&(-2),

NCCJ* ГС-иТ(г)^^) г ] = Ме (*)

С (о) - С'(о)= о ;

N С Dl ^ Г Ç tf (*) ( * (ъ) í г] + + г [ <иJ (г) ; irСг)-t*T("г) г J -

Ф'7о) Ф"(г)<Г(г)

<Г (г)

= Н0(г) »

rw X ф"(о) ÍS-t X ф"Го>

коэффициенты аберраций Cr/ Г , Е, определяется из решения задач Коти:

NCQ] = ГС a¿ (г) 1, z ] + - ГС с (г) = Нс.(г) ,

G (о) = С'(о)- О ;

К/Г г] - Г С и (ъ) t 4 (ъ y-rite) ,2 > Нр (г) f По) - Г ' (о) = о . "

N[E> Г [ tj Гн)( t в]-

__ -^--а Не (г)

i 6 ф г (г)

2.

Ф" (о)

Е(°) = о , в (0)- -f6 ф,(0)^2 ,

Здесь:

Y -

32 ф(г) г

-i^XlllL. Г <3M't)YURt .

¿6- Ф2ГН) о

Основными результатами глава 2 являются теоремы 2.3.

Н л

Теорема 2: Если на отрезке С О ее á ] функции -rri f И Ч о

7^75 ~гтз аналитичны поя1, и выполнены уоловия l)-4) nJ>.I, Ф / Ф'*

то коэффициенты б С ^ /) представкмы в вида:

оо «1-1 ' Л * с

СП1 (ас) и Гот)С„е (се)« гя:) э (7)

о (г)^ г: d„, (*) ¿7^ f

Теорема 3: Если~на°чсйР®в<й«г -с-о . ос "функции ~~ —^Г

аналитичны по х и выполнены условия 1)-4) п.1.1, то коэффициенты р, С-) Е- представимы в виде:

! РГ?)»хЬ Г,,, (л) и Р (а)

п= о

(8)

£П1 И"* Е ^ (ее.) и

1=0

Доказательство основано на приведенных в п.2.1 лемме Э и её следствии. где исследуется разрешимость.задач Коши:

04 ~ - - ^ л -

г*/

. / , г н0/ ) . . , _ А (о) = * , ^ ф>(о)п*

Ф'г о)^ : *

при этом : 1 Г-Ч I Ъ Ф Л/ •

- Т+ о ;

МСЛ] - г: (ъ^иг), п ЧьЛ(г)фТъ) 1-0

//V ■ Л / / (О)

,А(о)*о ■ А (о) - - —-

при Отом

~ I Ъ ф" ^ ^

^ * "«I = 0

В пучите 2.3 получена необходимые и достаточные условия на правые части и начальные данные, при которых существуют представления (?), (8). Результат сформулирован в виде леи, 4. В пункте 2.4 определены коэффициенты аберраций 3-го порядка при У- 2 ч, .

В главе 3 рассмотрено уравнение (I).имеющее на отрезке две особые точки, такие, что г-о и 2 •

В этом случае функции 'Ц'('г-) ^(г) _ репения. задачи (1),(2), становятся двузначными на некотором отрезке Е 0^2, у. Основной результат главы 3 - получение представ лени.] для функций

лТ ("?--) г5 (?) на отрезке С 0 2 1 , как на прямой ветви, так ; 'й и на отраженной.

В главе 4 выделен круг задач Ковш для син^'дярнс-ЕОзмувен-чнх уравнений порядка л >, I , г.меггдих при стараей производной миожтель вида 9 (2) "><г , которые такке моано решать о помощью сведения к интегральному уразнсшпо Вольтерра второго родя, а решение искать в зицз некоторых разложений' по степеням и(я)» где и (т.) '¿и. Основной результат главы •« сформулирован в виде теореш 4. '

Рассмотрим на отрезке Г о^задачу Кош для уравнения

' §(2) Ф(г

Ф(о)= о , 9'(г)* о } о ¿'г ,

о начальными данными не оодс^яащими^ .

тт

Положим „

V» *

' г (г)

Л- *

/Я" Б(>)

С .. (г) « (Ф'Г**)' ¿<1 '

с,,..,- (*'(*»'"'

Гг)- Ф'4 (г.) ,.....

Теорема 4: Цуоть на отрезке Г о^ г ] функции Ф (г ) О ^ ( г ) ¿ = х ...л, таковы что С-„(х) Г. (а:) ( ох) а-^литичны по ¡г , о, (-г) = ^ Ф'(г) , £ ^ ¿4 £ Тогда X (2) _ решение (9) на отреаке СО( г 1] предотавимо в виде:

с«)

»»О

+ ) ^ ^ ) lisW]

и ' ^ С = О

J = 0

< ;>

(а^Г^ ^ ^ £ (* JL (*)

где функции fLs , ^:s(х) Л(я:); аналитичны по X .

Автор нарекает искреннюю благодарность научному руководители А.Н.Елохкну за постановку задачи и за постоянное внимание к данной работе. '..,.,'".•/'

Работы автора по теме дясоортацки

1. Блохин A.M., Мщенко Е.В. О нахождении решений одного уравнения нения второго порядка, // Дифференциальное уравнения с частно- , т производным!« : Сб. науч. трудов ИМ СО АН СССР.-Новосибирск, 1987.- с.5-20. . - ;

2. Блохин A.M., Мищенко Е.В. О нахоздонии решений одного уравнения второго порядка. Новосибирск, Т986.г51 с. (Препринт /

СО АН СССР, Ин-r математик«, 1? 14).

3. Мищенко Е.З., Блохин A.M. Нахоздогйю решений одного уравнения второго порядка. // Математический анализ и дифференциальные уравнения : Межвузовски!! сборник науч. трудои.- Новосибирск, 1987.-с.89-101. '

4. Мищенко Е.В. О представлении решений одного класса сингулярно возмущенных уравнений. // Дифференциальные уравнения с частными производными : Сб. науч. трудов ИМ СО АН СССР.- Новосибирск , 1989.- с. 125-135.

5. Блохин А.М., Дружинин И.Ю., Мищенко Е.В. Теория и расчет аберраций третьего п одка катодных систем. // Вычислительные проблемы в задачах математической физики : Труды ИМ СО АН СССР, т.18-Новосибирск, 1990 (в печати)