Неасимптотические методы статистики случайных процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академ)Я наук Украши Ордена Трудового Червоного Прапора Гнсштут математики

На правах рукспжл

Бондарев Борис Володимирович НЕАСИМПТОТИЧН1 МЕТОДИ СТАТИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕС1В

Спешальшсть 01.01.05. — xeop'iH ймовфностей та математичнз статистигр

Автореферат дисертацЯ íia здобуття паукового стугтеия доктора сЫзяго-матенатичнп* наук

Kit e-I'."' >

Робота внкананз у Дснецьхому держа -.кому утпеерсктег! Офщшш ононенти :

доктор ф131!ко-1!агеиатичн!!х на}К, прсфесор TypCiH А.Ф, доктор фгажо-чатематнчпих наук, прсфесор Кяоясв П.С, доктор фЬпко-матенатичннх тук, професср Л!ньков Ю.Н.

_ЯQCLUCbfOt

Пров(диа оргашзлщя: 1нсгигут проблем передач! ¡нфоршшШкадемЯГ наук

Захист днеертаци идбудеться " Л_ " i'O'tO 199 3_ г.

о годши на зладант спецЬлЬованоТ ради Д 015.50.01

при Тиституп математики АН УкраТш: за адрссою: 252601 м. Khje вул. Терещенкшська , 3.

3 дпеерташгю можпа озчайочитнер у б|бл:отец| шетптугу.

Авгпоеферат poaicjiajio " " ____log г.

Пмсиий сскретар

■•' !телko'i ради.

:пк ор <J>Lw>-!темптччиич наук

Гуся к Л

: ти.-^!

Актуалыйсть роботи. ГБсля того, як у 1937 рощ на конфе ренин з теорп ¡Ыов1рностей у Женев! (Шайтан зачитав доклад, присвячений розроблешй Гм те-орИ надШннк ¡нтервалш, питания побудови надШиоТ облает! стало нев1д'емшш пунктом будь-якого статнстичного дослщження. Це поясшост1>ся тим, що у бшьшост випадыв важливо знати не -ильки оп'шку неведомого параметра, але й вказати область, в яий приблизно повгашо знаходитися справжнс значения параметра. Побудована за результатами спостережень, така область може змжюватися В1Д виб1рки до виб!рки, вона с випадковою , отже можна гопоритн про нмовфшсть того, що область покривае справжнс значения параметра. Вибираючн у > О, ми маемо можлив>сть поставите за мету, побудупати правило, яке дозво-ляе поставити у В1дл0в1'дшсть результатам спостережень таку область у "парамет-ричнш" множит, що з нмовфшстго 1 - у справжнс значения параметра буде знаходитися у ци область Величина I — у мае наз'ву коефщкнт мдшносп.

Пехай X — спостереження над вишдковнм елементом розподьд якого мостить исшдомнй параметр 0о е 0 — параметричшй нножип. Пехай 0{д) — яка-небудь оцшка параметра во- Знаючн розподьл 0(х) , за даким у > 0 неважно побудупати шдШшш ¡нтервал для 0о з коефщкнтом над1йност1 1 - у. На жаль ( за рьдккншм винзтком — др!б Стыодентл 1 т.д. \точпий розподи оцшки 0(х) нев|домнй доел ¡д пику, гаму доводиться оЗгрунтовуюти вибз'р меж на шдпоз(дкпх гршщчпих розподьлах,-що, природно, не да? правильно! уявн про пмовфцкть покриття, яка шдрЫтсться Ыд справжньо! на доданок, пкнй характеризуешь швидк!стю зопкносл до граннчного розпод!лу. Встанояитн оцшху ивидкост! мжносп — виписати ксефнненти навпъ у шпадку иеззлежннх спостережень скшченнодирност! параметра — задача, пов'язаиа 3 певпими труднощзми, не кажучл в;ке про винпдкп залежних спостережень I фушпиональннх вярЬшш ощшозлпою параметра, для яких ц! метоли зняходяпс:! у сгаш позробок та ми млечэ лише деяк! рззриигеш результат-У рол! параметра мохе фп'урувати елемзнт функционального простору. ОкрЫ того, у наГюшли .отладках невьдомий параметр 0о входить до оцшки ншндкосп зб1жнасп таким чином, що взагал! немоаслнпо ксристуватнся грпшмнимя теоремами для побудови надпит;,-областей. Дссить розглянутп з ше! точхч гору побудову нядЬ'ших областей для иев1домо1" ймойрноеи 0 < р с 1 у схем! Бермулль Нер!зн!сгь ПеррШссена у даночу мшадку мае вигляд

), то няднЧнкй пг.ерпал для невЬо'.гаго /) псоудупати за допомсго'о иядаио! нер!виост1 B3.mil пгмохдапл Газом з Ш'м лзд1йнкй 1»лер5ял ( оолаег. ) г".:'?-лясться дссягь легко ».юяша по^дугап» кз сс;го;:1 скспоквяйляышх «»^.«ипт^ дли й;го^'рност) »¡¡лтчегага Hop.4cn.nwt р{зявп( снЫгсп П он/пюр,--¡"".у г..'"-чиною за зростг.К!Чяй Тяг, V ^чнадду ехг-«« П^,•¡гул.'! т

нер1>-ч!сть гягл».1

очевидно, якшо нема «1екнх опр:орних оншох для р ( р > щ > 0 , р,> — Н-.о"..'

1'я

> Л) Й 2ехр[-Л ),

тут р — нев!дома ймошртсть каступу подН А, Гп — к1льк!сть настань подН А у серн з п незалежних випробувань.

Нехай у > О — моле, Яг > V- > Тод| 3 ймов!ршстю не менш шж 1 - у

маемо

п ^ п ^

Так при у = 0,02, Яу < 2,15 сунД вданачити, що подана методика побудови зидшннх областей дае можл!шсть отримуватн позитнвний результат навить у тих випадках, коли Ыдпошдннх граничит теорем немае. Останшй фактор ма« особли-ве значения тд час статнстичного доыпдження динам1чних систем. Щц час внв-чання поводження стохастичних дннамачних систем не менш важлива наступна задача, у деякому внгляд! зворотна до задач! побудови надшно! облаем п кла-сичш'й статистшп. Тсбто, нехай у метршу вщповщного простору |е(0 зб^гаеться, якщо с — О, до |о (/) — випадког-ого процесу, "влаштояаного" проятше, п!ж (/). ( Наприклзд, у випадку стохастичного принципу усереднення, процес — роз^'язання вщповадпоГ детермшогано! системи ). ТТостагимо наступну задачу:

магочи задану ймовфшств покриття, треба розрахуватн по |с(/) меж) облает!, в якш буде знаходитися $с (0 — траектория руху шшдноТ стохаетнчноТ'снстсми _ Побудуиавшн в1дпошдш експоненщалый нертносп, ми мае.чо можливють позитивно □¡Д1юшст11 на поставлене запитанни навпь у тих кшадхах, коли вщпав'дш гранича! цггсграли для нормоваш! р13.ш!щ Ы1Ж £е(0 та £о(0 не ыають мкця.

За ЕсЫа циг.ш причинами задача побудови скспонешцальких нерщпостей при дослаженш дингмНпшх систем с актуальною та важливого на практящ. Розробш такого наяряму 1 прнсвячеиа дисертаци.

Мета риботп. Мето!<1 робота с розробка метод! в побудови скспоненцюлышх нср'иигостей у стохастичних дннамнпшх системах : при ощпшваиш невщомнх па-рамсгрш у СДР, при дослщженш принципу усереднення у стохастичних системах, при перевфщ стохастичних гшогез, а також при плгарамстрпчшм ощшлвашп неЫдомих д^янь у «стермшовакому середовчщь Меюзи доСл'даашя. У робот! використввуються методи теори стохастичних дн-({1ер;нц!0лыг.!х рвнякь, парабол!чнкх, елшнг-пшх та ппер&шчних р1впяиь з час-тншпшя гюх!дннмн другого порядку, ыстоди пЦсумусапня слабко залежних ви-нддковнх елематв у функщональипх просторах, а також способа теорН стоха-стнчноТ апроксвмацП.

Наукова иотина. У днеертанп вперше встановлено скспонснц!альш нершност! при ом1шовлшн яев!до,\!их параметры у СД.Р, при оцЬщ! розв'язания задач! Дирихле. Запропоновано-споаб побудови експоненщальинх ксршлостеГ! у стохастнч-нкх саегем.'.х, якнй грунтуеться на абсолютн!й непсрерпност1 М1р, породхеннх ¡•1\5в'»ланнйм та збурннч щхзцесом. Дослйжсно оД1Нкп неведомою п:1раметра, ■.•уч.т«11.1!катпв1!0 пхишого до "шуму".

При дослщженш .принципу усереднення у стохастпчних системах побудотаю над/йн/ облает', в яках 13 задпною ймомрнпстю буде зплходптися розв'я.т": гэтилткпгр! системи. Мсж1 облает! розраховано по роза'язку уссре,!;нспО| спстемн, яка с детермтопаною. Розглянуто як випядки збурення процессами з незллежничн приростами, так 1 гипадки збурення процесамн, пи задовольншоть умопу сильного, або р1впом1рно сильного перемннуолння. З'ясоваш умови, з яких усереднення початкоооТ стохастичноТ систем)! з залежшетю в'щ усього мпнулого дас детермпгогану систему марк1вського типу.

Дослщ-жепо питания усереднення у стохастпчних системах, як'| описуюгься р!вняпнями з частинними похщними парабол1чпого та пперболншого типу.

ПоСудовано експонешшльш лерЬносп для статистики А.Н. Колмогорова у випадку кусково-неперервно! гшотетичноТ функцп розподьчу для статистик О ч

юп (V та шл' де 0о — неш'дошш параметр у а'м'Г функцш розподту, коли спостереження зв'язаш у сташонарну посл!Дов1псть, яка зддовольняе яку-небудь з умов слабкоТ залежное«.

Встановлспо оцпжи "розрахункових" швидкостей та "розрахунковпх" д>чпь у стохастпчних системах.

Теоретична та практична цппнеть роботи. Методи, розроблсш у дисертанп, е:ки-взються при статистичному дослщжешп стохастичпих систем, я)а можна описатп диференишльннми ршшшями, як звичайшг.чи, так \ ршшипямп з частшшлмн похщними при випадкових д'шнпях духе загального виду.

Запропоногаш методи достижения у стохастичгпгх системах дозволяють • використовувати у розрахунках пронеси, простое побудоват, шж пох!дш, частковнм внпадком £ ш'дпот'дь на традиншне питания ¡яженерш : насильки малпм повинен бути параметр с > 0, щоб розв'язання початково! стохастичноГ системи можна було шдмшити розз'язанням усереднсно! детермшовано! системи. Ексгюнетиалмн нершгосл, побудова;п для статистики Л-Н.Колмогорова, для статистики у випадху слабко залежннх спостережень дають можл]ш!сть ефективно перев!рят>г статиетичт ппотвзи про функщю розподглу.

У випадку гшотетичноГ ам!, залежноГ в!д невщомого параметра, побудокша позитивна виправка до яка дозволяе в!р1ншс розрахуват1> критичний ртень

при перев'фщ парамегричних ппотез непараметричними засобамн. Таким чином, запропоноваиа методика перев1ркя ппогез про иалежшеть функцй розподьту спостережевд! випадкояо! велдошпи параметричтй ймТ фуикцн"! роз>юд!лу. Запро-поноваш засоби неглрамстричного оцтювання "розрахункових" дааиъ дозволяють учинитн "як1снин" аяаш'з пепедшки системи у детермшояаному середовшц!. Розро -лен! у дисертацИ методи анал!зу стохастичпих систем ефективт та легко реалЬуготься при застосуваннях , а залрононован! засоби досл!джения можуть бугн використаш не т1льки при досл1джеин1 свор1диених ситувщй, а тапок стати основою для досл1пжемня ситуаиШ, не зрушеких у и!й робот!.

Лпробашя роботи. Результат« яисертаиЛ цоповтаднея м Ш та V М1»кзрод;тх Е|лыиоськчх конфр.ретнях з теср!\ ймт'.фчк^.ей та см'л'.чи*!: <

1432 та 1985 >, га РсспуЛчкйнськИ ковф:!«!'.!;!! «»••«гичив"; ' >;•> ч>5<

ртияиь ( ЮМ ) 1« та VI !»-.ч»1«гико-«кс».-'лт!ум»> " 'О'

ймошрносгсй та математично! статистики ( 13S2, 1992 ), на I Всесвшиюму конг-peci товариства ¡м. Бернулл1 ( 1986 ), на Всесоюзшй науково-техшчшй конфе-реищ! з м'икнародною участю членш РЕВ "Застосування статистичних метод!в у виробництш та управлшш" ( 1990 ), на I та II Донецьких конференщях "Ймошршсш модал! процейв у керуванш та надшносп" ( 1978, 1990 ), на ceMiHapi "Асимптогичш метода статистики" Московского державного ушверснтету ¡м. ALBJIomouocobj ( 1984 ), на Респуйшканському ceuiuapi з теорп ймовфностен та математично! статистики Кшвсысого державного ушверситету ¡м. Т.Г.П1еачеш;о ( 19S4 ), на семшарах Е1ддшу Teopil ймоьзрносгей та математично! статистики 1кститугу пршсладноТ матеыатихи та мехашки АН Укра1ни ( 1977 - 1992 ), на друпй Укра?ясько- Угорськш хояферекцп з теорН ймов1рлостей та математично! статистики (1992 X

Пу<шк,!1ш. Результат днсергацН опу&нкоЕаы у 23 друкозаних роботах. Структура та сб'ем робот. Дисергащя складаеться з вступу, трьох роздшв та списку л;тератури, якай мостить у cc6i 150 найменувань в1тчизияних та закордон-них aBTopis. Ззгальшш сбсаг дисергацП разом з списком лЬератури — 358 сторшок.

КОРОТКИЙ 3MiCT ДИСЕРТАЦН-

У ЕСтуп! сформулымяна мета робота, визначеш П задач!, наукова та практична вага, В1нуле;и" основш положения, як! виносятъся на захист.

Перший роздЬт носить иазву "Експоненщальш HepiBiiocri у стохастичних системах з нгаер&ртшм часом Оцшкп невдампх лараметр]в". g !. HEPiSHOCTi ВЕЛИКИХ ВВДХИЛЕНЬ ДЛЯ НЕПЕРЕРВННХ ПРОЦЕДУР CTOXACTH4HOI АПРОХСИМАЦ)! ТА IX ВИКОРИСТАННЯ.

Теорема 1. Нехаа р'шняння £(х) - 0 мае едшшй розв'язок &а |i?o I £ N < + <= — вщома апргариа ошнка, R(jr) така, то

у - еа Р s й(х> u - е„\ v > о

Л'(') — розэ'взок стохасгачного двферешналыгого рГемяиня

dX(l) = R(X(t))dt + <J,(X(-))d*{t) + /X(0) = 0-

неперервка процедура Ройнса-Монро вщшу'кання Со, о-(А'(-)). ft (У(-)л) — нгупгреджуюч! фуныдоналн, тод! мае Mictie оценка

Р { sup ' ( 1 + ( X(t) - Х0 I > S

Т < ( < + ■» ' • . ■

£ 4ехр { - ( Л.Т.Л', р 1 + —-}.

" - 2d' [ 1-iov)

число Ейлсра, | /,(,V(• \u)| <</<■+*,•

e

С < +м,

N > О,

л + 1

о» +1 = вп + ^ [ад - (?«,(■). ^т^д* ' =

р (RJTJffi) = КГ a{v ~

0<a<^,0<ß<v.

Оцшки под!бного вигляду отрнмаш тд цас оштовання невдомого параметра у cuoci СДР.

t) = а, %(•).»„) dt Sey))dW(t) + !Г, ile4.fi) ~v У"**

— тут|0о| .5 JV < + м — невщомнй параметр, = | %go(t), 0 < t < Т j — TpaeKTopin, яку ми cnocrepiracMO. Розглянено дв> пропедуря ощнгаланъ :

d *(0 = ГТТК,« - Ы-Ь ®М) dt\5a' m - ^перервна,

^ J д 0

п J 8 О

— дискретна процедура^ також неперервна та дискретна процедура Робшса-Мон-ро знаходження оцшкн неведомого параметра у сгохастпчшй задзщ ТЧтсз.

<% = Л ds + <г(Л^(«л)) dw ад

CW)i = (^)l = V (4 '»' (0) = (0)

'( = 0 's = 0

Цим питаниям присвячеш теорсмп 2, 3, 4 § 1 глзви I.

У § 2 першо! главл у випадку лишгаого входження »еэд??'сго параметра у снос р1вняння побудоваш ощнки вигляду />(vf|0r - 0О| > R\ < С,ехр(- CjEßj + C^exp{C47-"j Teopc.al. Нехай спостерп-аеться = ® s < -

'%(') = "('•%,«) dt + d?(f), f0a(O) = 0. d 5 (О = ст (i)i/iv (0 + / / (Гл) v (rfiyft), fe | < /V ■ ; год! мае Mi'cue оп!нка

■V.

p( vT pr - > R\ S 2exp(-~i + 2exp{

s rf < ■+ « ,

йе,

exp

aii 1*4

де

аУд)

0(1)

sq<+»,

( ! )

LM.SM

У ряд! випадкЬ можна побудупяти ехп'ттенс:лл11го сгадку по Т оц!нху другого доданку у (I) :

а) с (.') = 1, / 0, и2(Гл) а л";.

б) a'(t) - лг'Г — .г> .

frf

8) "2(X)l = e = "2(Л) L - * • PH * = U ^ Л- - 4 •

i?(x + b - а) = а2{х), b > a, b - а — перюд. Таким чипом , иадшшш штервал ыо,кна, наириклад, побудувати для сносу сигля-ду а(х) — sinхРезультатн внгляду (1) отрныал! тахож ш'д час розгладаиля стоха-стнчноТ задач! Гурса — теорема 2 § 2

У § 3 розглянуто задач! оцшюзання нев!доьшх параметров у р^вняннях внгляду

^ = Оо abXgJfi) + £'(*).

X (0) = | (0) = О,

тут £ '(0— гаусшськнй npouec.Af £ '(I) = 0, JU ,(í,s) — його корглящйш функщя, -Ц , { рд. (/) ¡ — вадшидно власу! фуикци кореляцшного оператора з ядром >te). Вважиоться невщомимн спостсркачу як ,(t,s), так й а((,х). Пехай

+ <» г X

2 f / <р.(0 (í)f 0(^(0)

я - 1 = 1 - °

вт _ —.

т

v¿

Теор&ма i. Лехай р^вняшы a{tJCeJt)) - j Rt • (tA) Z (5) ds мае едииий розв'язок , f?0 | s Л' < . + ю , тод'| для е > О Р\Г7 \9Т - Оо j> R j £ 2ехр {-(« - е j +

4 exp¡£ Г)[Мехр{ J 2 + N ' . (2)

— тут Al — максимальна вдасие чисто ('аба його оцшка зверху ) коредяцишого оператора 3 ^дром R^ .(í,s),

Кь ф) - / ЗДЛ

s о s

Лаиедено приклади гауавськнх процейв, коли Другой доданок у иравШ части! <2> мохна оашят)! таким чином, щоб bin при Т ■* + ю Шближався ехспо-кенщаяьно шввдко 'до нуля. Розглянуто також питания оц!нюваннй немдомйго параметра вдо мультипликативно входить у "збурений" шум. СаМе па ре-am-auií ?B/t) : О S f s Т ¡,

де —-розд'язок задаЧ1 Кошидбо гочатково-крайово! задач1 для р!вняння " и-1

+ 2 4ÍV') dt + / (f¿fti(0) Л - 0о i (1) dt

— де iíj. {О, А - !л /(/л)— Ыдом! функиИ,

7 (0— центрозаний гаус1вський пронес з виомою кореляц|Гшою ф>!ч:1иь'!опл(гл').01ип\осты:я (1еи1д»мпй параметр С» Прононуегься oniima:

т

1 11 От ~ тМ $ фЛ, де ¿(Т) о

С*,« = + / о / л,

з* г о I °

= ; / о ((,т)Л (^О^тйг,

70 о '

5(Т) = / Н(и)Л, О (у) — вщпоз1дна функшя Грша, вщшукана по однорушй о

. задач!

й1п * = 0 Л

з такими ж крайовнми та початковими умовами, що й для (3).

Теоремп 2. Мае м!с«г одагеа

о1 <, 02г

01а < т-1-

Р

1 + е ° 1

г1_ехр|_А1П.г

1С (Г )1

- ехр I --^-ЙХ rvTTT -1]3|, 0<£<1

2 С (Г)

С (Г ) — оцпша -?1 — максимального власиого числа оператора з ядром Л (г,5).

5 -1 першого розд!лу прнсвяченнй пошчреншо результат^ теореми 1 § 3 на вппадок б1дьш складних систем. Розглянуто р'шняння шшшх порядкт, перша початково-крайова задача для квазъч'шШного парабоЛ1чтго р1в!штя, стохасгнчна задача Д1р1Хле, а також яиалопчш постановки для гшербол!чиих систем. [Ндгедадш результата знаГшми свое воображения у теоремах I, 2, 3, 4 та прикладах, иаведеннх у § 4 розд'иду I

■ Яз зак1кчеиня розд!лу / у § 5 розглянуто пропедури стохасгичноГ апроксимлш'1 — багатовим!риа иепергрзна процедура Роббпгса-Монро, результат дослдосення яко! п!дсумовано у теорем! 1 — е поширення вшговмв теореми 1 § 1 на багатовикнрний випадок. (На в&мшу в!д шхористаного у § 1 нартшгального методу, метод момелт1в, що вякористовуйться у § 5, дозволив подолати трудноиЛ пов'язап! з вим1рн'1стю простору, отриматп в!дпошдн1 експоненцЬльн! перепоет!, але з дето пршнм ступеней спадания 1з зросташйм Я — у лохазняху експоиентп злм!еть Л сто!ть Я , та нескШченна процедура Роб5Ыса-Моиро. Якщо спостертасться розв'язаинч стохастнч-ного парабол!чного р!вняння

/ ((,*)) ,'1 - ! К (хл>) $ (<У) <(у Л + а (и? (',*)) <1* (О 1

хе)0

Щтукання розв'язку задач! Дирихле п

3 г sSu

«(t*)^ - * M. « (t*)U.4B = ° - '

D — деяка обмежена область в R , SD — Ii достатньо гладка межа.

Теорема 2 . Нехай п

v |z р < 2 «v Ч 2/ s 1оР = / и2(*)</г < N <+«, .

у«=1 о

ja (Uz) р S (То (.г), ; a0(x)dx < Cl < +

00

(/ (*,z) - / (ад), z - к) а /У Jz - «|3, р > О

т0д1

/>(< few - u | > «1 s С,, ехр| - | V« / С3 ), 14-1

де К0 = [ C(inesD) J + р, стал: Cj, Cj С як! виписаш у явному вигляд!.

Другий розд/л носнть назву "Усереднення у стохастичних системах. Експо-ненщальи! оцшхи ймов1рност1 вдаилення розв'язх) . § 1. Розглянемо у R 1 стохастичке днферешцальне р!вняннп d |е(<) = £ [ a(t£t(f))dt + a (^(«»rfw (0 + О)

+ / / (/><) ? (л«л) 1 £е(о) =.*о

де функцН о((д), о (<,*), / (f,*") — иевипадков!', f > 0 — мзлий параметр, w (() — стандартний BiHepie пронес,

V (АО = V (Л/) - я (A)/, v(A<) — незалежна в!д iv(/) пуассонова м!ра, М V (Л,0 = ж (Л)1 Нехай виконан! умови

1a{tji) Р + |o(U) Р + / 1/(<аи) Ря (Л<) SC .

UM - a(tj>) Р + )t; (tjc) - a (f,v) p + f I{ (LXM) - / frv//) p л (</«) S £ ^ -">• p, piBnOMipiro .за C,,v кн^е^границя ■

lim — f a((jc)di = а0(д:), Г - + ю T С

X(t) — розв'язок задач! ^ = a0(X (()), X(0) = Xo

Теорема 1. Нехай

, г, 1 '

P (сД 1 = sip

О < I « 7

юд|. якщо (О (£,Т)е 4 < D < expj - iT j,

^ J t a ( -До (T)) - a (Xo (t)) 1 dx vF "

ч м * *- тI*Л3

| 0 < < « Г * [

£ 4ехр( - -Ац- { ^ | у*, | - О - СТ ]| . . (2)

Алалогичну нед.^д^зд. $ усередненн1 у стохастичнш задач! Гурса

^ * [ + Фи*/«')) ТГ^]'

| IX ¡0, | I ££(*,0) = = О ; (3)

'Ш V — в1нер<>?? поде, у даному випадку ' . А+Т с+Г

щЫ 1га — 1 / Фж) (¡х <1у, Т •» + « . г« й с

•* д: >

я (£,ТД) тр I I / / К I, I, г^)) - ч/ ^ад) ] а л I

а <

— розч'язак "усередненоГ задач! Гурса.

аа{г{я#)\ 0,Г ]х [ 0,.5 1 (х,0) = 2(0^) = 0

аг2

дх ду

Теорема 2. Якщо 0 < р (е,ГЛ) Уе 5 Р < ехр| - /Л'5|, то Я'Р |1(|, | ) -

0 (КГ О <5 »

5 ^гг е*Р1 I ехР I -¿"I - О } 2} (4)

Зауважимо., що оцшки .(2) та (4) ¡снують 1 у тих випадках, коли зб!жмос1!.нормо-.'.ваних' р1зниць .;'.'*.■.•"" '•'■'■'•.'..

"'•'..■ '" *.е .'. . • • • . .. ..

. д6'тдфшдних.5зйфузш1шх процеав може 'I не бути, .тобто'нер1вносп (2)'та.(4) '..' '.можна використовувати при побудов1.надшних "смуг" 1 в тнх випадках, коли-. . Стандартна Методика пойудови'1гад1Йних областей, яка грунтусться на застос\-' .йан'н! лранйчних.теорем| неприпустима. '. " " • - .

• ■ "У '.§ '2 ■ ;рлзд1лу '11 дослШжуюгься ¡питанця усереднення. та побулот/\-ксп(> ■ченн1рльниЧ- нершностей у -стохасшчиих рара(х>я1чнич. т.а.Чин^^лгших.сустемлх . .•Нер1^нл!-л1'.зигляду''(2>; '(«О'-поб^лои-пй при усередненч! у "зала.-п.Ки»;!'.' ,

dt (M) 1 i i-u le (M) Cft + Л (US, (U)) л 1 +

n

+ 2 "i (U?e (u)) tf^W , (5)

tt('»*) | = ^ i £ > 0 — малий параметр ,

Чг " = 2 + Д ¥<•*) -fx] 4 " '

Нехай у нсвипадковнх коеф!щентт р!вняння (5) iciiye середне за часом

lira - / Д = а,:(х), Ц * 1л

Г - » Т ° ' 1

I т -

lim - s Ь.а^с) dt = ЬЛх), i = Ut, т - » Т о

1 Г

lim — / c{tjc) dt = с (л), Г - » Т"

1 Г

lim — / A {trxs) dt = Л (x,z) Г - » Т"

piBHOMipHO за хс R", ге Л1 Нехай

п 2 "

Lx и = 2 «у (х) + 2 Цх) jft 4 с(х) н - "усередненчй" опера-

тор,

л 2 (1

• Я ri

V « =у2 [ V*) « 1 - S ^ « 1 + ? С-*)"

— оператор, сполучений до Нехяй и (f,x) — розв'язок задач) Коти

~ А(хд),-й(1л)j' '«f (4'

■ p.tiix) =' /' tA(s/r ,W(V0) - й(х,И(4\х)) ] </.?' + . IV? О . .

npitpvchiHOitno величини

0°,

. /?г = • Г / Лс] < «г ;

о <./ <>r L л„ • ' •. . J

/V- • ■ f i >,('•*) <'* ]'

О « г < f' L ■ &>.'■ * ' ' • 1

я

а, = sup 2 / М < |2 tlx < г с R1 /=1

дар sup |Л( l И*) Р.

О с г < r z с

п

iiip sup 2 </елг),

О « < < Г , е л" ¡=1

обмежек! та наближаються до нуля за Jx | -» + я п п - п

v 2 2 »¡¡MZjij S N 2 *}, v > О, //<+», г с Я",

/=1 </=1 <=)

2 »?(«:) а В < + га 1=1

Теорема 3. Якщо виконан! перел!чен1 вище умов» та до того ж

aif(U)

0«f<7V, its, 4 U=1 TO

!;c (i /,*) - и (Г,х) P dx > t R , «.

< К < a>

( S«|> / 1 0 « ( Ч Г ft

s •ГТ7п exp (--г—(б)

2D (е)

де Л (с) вшшсано у явному енглядК

Зауважеиня- HcpisuicTb (б) дае можливкггь побудувати над!йиу "смугу" для

t 1*4

|е( - rï) також у тепадку , коли е р£ просто обмежено, тобто умова ре О, ф!гуруюча п!д час доведения слабкоГ з6!жност1

В (i/fjc) - и (trX) ) до деякого гаус1вського процесу дифузМного типу може не vf

мати м]сця.' Аналопчн) (6) нер1вност'1 встановлен! при уссредиенн! в першШ початково-крайовш задач! для стохастичногр параСолтиого та пнербол!чного р1внянь. Доведению цих фактт теореми 1,2 присвячений § 3 роздту II.

4 розд1Лу. II. ирисвячеио досл5дженик> принципу усереднення в системах, припускаючих- залежн^ть вщ всього мииулсго траектор)! руху. Под®»! йапитання вяникагать при досл!джени( ¡нтегро-д!ференц!йнчх систем р!в!шпь з зашзнениям аргументу .

Буде, зокрема, встановлено, то якшо Mipa ff(A). яка вводиться нижче. задовольняе певш умови ( м!ра К(Л) харакюршус залежн1сть я|д мнну.'юю ), ci/tl усереднене рЬняння не буде волпдгт залсл-шс-т oi.( мииулого, Розгпяиемо систему

Ф — множим обмежених функцш <р(з), ¡с ( — О ] ¡з значениями в Я 2 з натвнормою ^

• I И = Ц

— «

де — деяка зл1ченно-адитивна м!ра борел1вських множил напгвоа (- ю, О 1 К(- м, 0 ] = К 2 < + и, б, X (/) — оператор, акий ставить траекторп А' (/), 1е (- оо, + а) п частину на (— ю, ( }Нехан процес Р(1,>р,">) задовольняс закон великих чисел у наступит ^¡.ррш

sup

^еФ^еЮ,-!-»»)

Z I ds - F0 (f)

Т 1

О, Т -» + 00,

тод! вадомо, wo sup |£е(/) - X *(/) | -*• 0, г -» О

0 < ( < г/>

також за HMOBipnieno, тут X E(i) — розв'азок усереднено! задач1 нх £

= £ F(0, X *(•)), * » = ¥>№ * О (8)

В TeopeMi I § 4 встановлено наступний факт:

1 ° 2 '

якщо Иго — / 1K(ds) = 0 , то усереднеле ршняшш (8) не мае залежное!!

г - 1 -г шд ыннулого.тобто с ршнянням "маривського" типу.

Як BiflOMO,специфика ¡¡MocipHiCHoro випадку методу усереднення в, системах, ьигляду (7) Гдзслясться при досл'щженш флухгуащ! розв'язку похщного р1вня.ш1я Ыдносно розв'язку усереднено! систем«. У вкпадку, якщо процес F(t,(p,a>) ( <ре Ф — фаховаиг ) задовольняг уыову сильного або рашюьпрно сильною перемниування, похпзано, що процес

мо.-Г«f 1

"J vr .....

теоремах .

збйгаезься до J(f) — деякого гауавського процесу дифузшного типу..-Б 2 та 3 § 4 було встановлено ехспонетщлыи нер1вност1 .'вигляду ' •

Р

< Г, exp j -С2 Я ■•) + £е*р| - ^ )', : .' : * ' ' ■ " №

« > 0. /) > 0 , ' •

да- уе.ш'ннш с; С3, С'4 впинегм! у яти 'iv wi i«v . ¡ti l г-.';иП1\!0 . Br M-umri .

t/t

pe(0 = дар I VT / [MF(r,0, X '(•)/») - Fo(9г , X £(-)) 1 rfrl ,

0 « t s T 1 ° 1

прямування якоГ до нуля e одшею з вимог при доведет^ слабкоТ збжносп ?е(() , до граничного процесу £(<) може не мати мгсця; разом з там ощнки вигляду (9) дозволяють побудувати в1дпов|дну над)бну "смугу" для Цс(Г/г), 0 £ t < Т.

§ 5 розд!лу II присвячено побудов1 iiepiBHOCTeii типу (9) для стохастичних систем .вигляду

ди,

= с I ис + A(mit ) + а(ШЕ) у (i) 1 (10)

I = <Р(х) . '( = 0

При внхонанн! певних умов теореми I встановлено, що мае Micne оцшка р Í sup / Цг( t/rrx) - U(tjc) \lx > <t C(es,R)\ £ I 0 <s t ч T Rn J

S С, cxp I - Сг R + c3 exp { - C4 rP\ + r{(c) + гг(e),

де r¡(e) та r2(e) наблнжаються до нуля при е -» О, С(е/,Д) записано у явному вигляд!, //(/;*) — розв'язок в1дповщно1 "усередненоГ задач! Kouii. Випадковий про-цес 7(í) — центрований, мае Kiuuesi експоненщальш момент. Аналопчш HepÍBiiocTi встановлено також у випадку початково-крайових задач для пара-бол1чного та гшербол1чкого р1внянь з випадксвпми збуреннямп такими ж , як в piBHHHHi (10). Цим питаниям присвячеш теорема 2 § 5 та теорема 1 § 6.

Останшй § 7 розд!лу И присвячено дослщженню усереднення в пер!одичних випадковнх середовищах. Розглянута, наприклад, задача Д!р1хле

Тх [ хА } &.] = /W + ХА * = D = 0 ' <Ю

К(х) — периодична з передом 1 функшя, яка задовольняе умову О' < К0 s К(х) s K¡ < + с», .

t](x) — випадковий центрований процес. f . Нехай регулярна складова поля / (х) там, що

/ f\x) dx s /о < + о», к = ( [ — Г*, о ' \ о К{х) '

и(х) — розв'язок задач!

К ~ = /(.*), и(0) = ц(1) = 0. (12)

dx

х/,

Нехай г), (/) = V7 Í >) {у) dy, \r¡ | — його норма у L, [ 0J 1, прнчому мае о

м!сце оц!нка

Р | | > R } ¡5 Ci exp ¡ ~C2 R a | <- r(e),

r(c) -» 0 при í -> 0

ТеоремаТ. Слушня ¡'epÍBHicrb

Р ( ^ - 4 I > * Я + ^ V7b72 ( 1 + s К0 2 V Ко'

i' -у а а/у I

s С, схр ( ~ С2 R 1 К0 г | + г(е) X ,du

К(у)

dy.

тут = «(*) + 6 ЛГ( f де //(л) =

и(х) — розв'язок "усередненоП' задач! (12). Оцшки вигляду (13) побудоваш у ви-падку першш початкоио-крайоыЯ зада vi для парабол'шного ршпяння ( теорема 2 § 7) •

5(х/г )

й и£

17"

х [ К{х/£) 17] = +

«Д'.о) = "£W) = о, ие(и)|

= о

У даному виладку О <i ¿у < 5 (л) < Sj < + оо, 0 < К0 < Л" (х) < А', < +

u(trx) — узагалший розв'язок 3V3( Ör) усереднено! задач1 - du

я 0 =

. и (tfl) в к (у) = О, и ('**)! = <р(х), = О

I/' (t^c) 5 ll(l^) + £ j7( */£ )

, о Л*

п та ко;:; гг;;;< цосл1Дхеиш усерсднеппя в гшербсшчнш задаЧ1 ( теорема 3 § 7 ) 2

х/£ .) _ А I */е ) U ] = /ftx) + >;(?, дг/£ X

(14)

М«>) = 1'С(1,Ц = 0, = у>(*),

'/ = 0

О < s R(x) äü,< Ч=>, О < S К(х) < Л', < + 00 ,

усереднгие pisstiima i!r.e скглзд . гг ^ sx 2

«((,0) с »(¿,5) а 0, ,7 (,',.*) j ' ' j^l

С J)

a {(t.x) ~ a it,x) + £ ,V( x f ? )

uitrX) — уззталыгай розп'язох з ^ задачМ5).

РоздЬт III носить назву "Експонепшальш нер'шносп шд час иепараметричного оцЬповання. Перейрка траметричних пп.отез непарзмсгричтшн методами. Оццш1 "розрахункозих" дшиь",

§ I. ОкрЫ дискретпих та непгрервннх иипадковпх величии в задачах практики природннм чином вшшкають неперервно-днскретш селичинн. Паприклад, час шсля першого ремонту, проходженггя сигналу кр!3ь фшьтр- обмежник, розподьт довжцнц перегону поданого интервалу внпадковни ¡нтерпалом та iuuie.

У § 1 поставлена задача. Ilexaii {Х^гХ^Хц} - незалежш спостереження за Р, де F^(x) = а + ( 1 - а ) F"(x), 0 < а < I Теорема I. Якщо » 2 ,, ,п~2 ® S u - а Г"2 сIF'Xx) < -ml, m > 2 , а = / x (IF ''(*},

— » 2. — OS

ход!

P { Vi Slip !f„(x) - F{(x) I > r I < .t

< 2 exp I-----T) +

M sup I F"(x) - Fp(x) p

JC 4

+ exp Г 1 + 1,62 Г77Т1 H f1 +

L - а 1 .-r a z

+ (r 114 (i + ш ГШ И f 2 ) + 4 о я i п а

+ С exp {-(r — t5)^ + -L^-t j

В § 2 розглянуто задачу nepesipsii гшотезн про належн!сть флуктупцн розпо.д1лу cnocTepiracMol винядкого! величпнп tiiil неперервних фунхцШ розпод!лу. Г = | F(xß) : ОеВеП , хе Я 1 }

Нехай { J — пезалежш сйостереження за випадковою величиною,

tarye 0ае О гака, то Р j J < ] - F(x,0o), дз On — оцпгка, одерхачп та vero-дом мМмуму ß)„ ( 0 ). В!домо, що

lim Р { а> и 2(б,1 ) > А | s Р { а2 > Д.) ./ it «

Теорема 1 Нехай F(x,0) задокиыте деяк( умовл регулярност!, тпд!

Хп 1 Г

Hm pj ш2д е„) к2 (<?„, 5) > г! < /■^"Tiin-.r; ^ " " "J "п>

де .г» — корть .wig х + 2rx - f = 0 , ям»if лежигь и i!?Tej7nii.ii- ( 1

2 1 11 -1 д (4) = А1п Г1 + 4f f R(usi вп) е. (оп) g(s, оп) dt ds, -

хЪ L 00

де R = min(f,s) - ts,

b¡j(0) = I ~ (X,0 ) dF(x,e ), ¿j - Í/n ,

- » a e¡

оцшка (i) щлком придатка для практичного використання, наприхлад, при. г = 1,41 права частика менша 0,008, при г = 1,23 права частина дор^внюг 0,018. Icnye грубший, але проспший capiaiiT.

Теорема 3.

г д2 | ,

lira Р { а>1 (вп) + Л \вп) > г] < е ' ~ ' ;

п СО

ТУ2 ' '

Д (£у = -2 In [ 1 + я2 So Л fa) «(Л0Я) Я 1 (<?„) g*(s,0„) di ds ] .

Зауваженяя. У бигыносп випадк!в 3¡raítfn ошнку вп у явному вигляд! клдто паука Разом з тим при деякш регулярности címT фукквд'й розподАлу довЬину <?„'- Vn обгрунтовану оцшку можна перетворити таким чином, щоб вона була екв1валенгна 0п .

Лема. Нехай виконаш умови теореми 1. OspÍM того с третя чшшна похщна F(x.0) по 0 , абсолютно цггегрована за 9 е 0, тод!

+ ее

С = вп + /_ „ г W - ) ] я ~Ч" ) Н <x¿* )

р

асимлтотвчно ехв^валентна , Vñ |бц - | -» 0, л -* » Результата пункту 1 мойна перенести такояс па випадок задежннх спостережень. 2 Пехай Х,,Х2*-,Х — спсстереженм за лшшчатич сташопарннм процесом

ее

х i ° = 2 ак(в0> f Í-A • I* — иезалежн! Л« -'»

£с

м|Л.= о, ¡н (¡ - i, £ <£(**) <+"

Кехай Г =• t f : '

S f 2(W) dx < Ю , Of Ge R m, к с Юл 1 i

о

rt /(V) >0 — спектрадыга густинэ процесу X t Еажг.с).'0 псрсв!рити ш;отез> гро те, що спехтральна фун:<шя пронесу Xi калЕжкть сьй Г, тобго зн.-.чггться 'V s в. при яхочу Г(yfitl) будс сам« сгектратьиш фуйпп!.«г.

Нехай

п~ 1

с/ = 2 ** **+, • = + ^ 2 С„ ' аклЯ - пергадогрзма,

*=1

л-1

2 л п я п гД.

Г=1

„ ... • С„ Я 1 „ г Б1П Г Я . .

/'..(А) = ,- --2 С. - — оцшка спектрально) функц!!.

г=1

Нехай л

Л„2(0) = 2 я н-/ (ГЯ(А) - Г(А,0) ]2 /(А,в) £|Л , 2 ° .

0„ — надае Лп (в) ,

п(0) - матриця, Ьц(в) ■-= /о ~~ (Щ / 4(А,0) (Д .

Припуствмо, идо с В '((3), а також, що О — компакт, в - його вкутршжя точка

2

Нехай I — четверти секНвар^ант, / = У|-3/!2=0- Тод1 мае нзступне тверджешы. Теорема 4.

ар.

зк

Ни Р

Г Хр

е~ 2

"'К)

ха с ( 6, п / 2 ) Крр!.чь !дх 2 г .

Д 2 (0+1) = Д. 1 л [1 4- хог [ / 2 л / / 2 (А,0) х л -

Усозж0

л л п:1п (/д)

/

о о

ЛР -1 2 2

х в \б) т! (1,0) г а л I

С((,е) = 2 я / / (А.0) л

о

Оц'лта ц1лкои придатпа для практики при г = 4,7, х0 = 1,5 , права часпгна меи-ше 0,02

Нехай I < 0, С - V 2+1 / .т - V 1 / л. Теорема 5.

. л 2 ,п V 2 / л

Ит П

+ Л (0„,<) > г

( С + «Т71г)

Нехай 0 < I с

V 1 - 1,'* ( 1 + чТ^Л/ТТ ) (} - 1/л ) ( 1 + у' 1 -\/я Г С2 2 1

г > 0 таке. то 1 + л

Г / + ГГлТ С + <ГГл

( 1 + С ) > О, тол!

Нт Р

2 (I + О

+

- С + vгTli''

а (*,<?„) В£(С) = [ 1 + л

Ос{С)ГТл С2

А(в„4) > г

Г

г х„

е~ 2~

г <

ч'о>$Хо

I + с

2 С

( С + тГТл-у

С + У2 я

( 1 + Е )

2 (1 + )

Якщо, наггриклад, ( А'^А^—,Л'П ] — спостережеиня у дтскретш момент стацюнариого розз'язаиня ршшшя

- <?0 Л', Л + (/н< (Г), 0 < д < 0о < К < + ее.

¡¡X,

У дапому внпадку О

/(А,0) = --г-

я (А + 0 )

С((,0 ) =

20

2 (

¿1

о А + б

.2 .т

Г(А,0) = ~ огйг В'(0) = -- г -£—^-,

я 0 у л ° ( а + е )"

1 х 2 К Ж

л = —2 + -2— ; / ,„що

- * 1>\У) о о

(Г + Г)(! 'И'Г

1п

0. =

к=\

.." = о'

С „ (6>„' )'

к=\

и {&) , *±1с*>, с (в) =

<10 ' "[а) ¿в2 '

Тод1, у воттадку слушност! гшотези

1" а

+ Д " 2, 15) < 4,7, р г 0,98 .

а 2ивп")

У прошлежному випадку ппотезу вдаидають. .

Параграф 3 'прцглячений пастуший задач1. Нехан | | — спостережения за стацюнарним процесом, як! задовольня-

ють пбо р.сп., або сл. з суспоиенвдалшо швидчич переьпщуванням.

Теорема б. Пехай | X ^ 2~Д'„ ] — задозоли'яють умову ре.п, з коеф!щентом р(1). Тол>'

г

р I и I > ti fri ( s 2 ехр i (i + 1) r«) Ге 1 x

32( 1+ 4C)(Ve - + v )

X 1 +

.....>»

a P1 J 32(1+ 4C)(V? -I,5)(l+- — )

P

2

П

X

x e 32 ( 1 + 4 С ) ( vT - U ) ( I + /n\

В * •

[1/«1 к

тут О < а < i-, B(ajQ = 1 + 2 П ( i ).

к = I x i=l

»

"r„ - » : — - 0 üfel -> o, 2 P (4 < С < + со.

Теорема 7. Якщо виконана умова сильного яеремннування з а (т) < С ехр ( - у mj, тод1 для 0 < ß < - мае Miene оцшка „J2 Р 2 ( 2 - 2 /J )i г , [ С )Ч fl +• 12 у 1

' К > £ 1-2/ 1 S [ 1 + 3'31 1^2} еХР {-3^ ) ]

В § 4 роздиу III розглянута наступна задача. Неха» спостерпаеться X т е - j X e(t), ie [ 0,7" ] ) , де Xe(t) — розз'язох задач! Ковш

^ = a(f,Xe(t)) + ,,( t /с ), Хе( 0) = .v0, (1)

де а (irх) — невипадкопа фуптн'я, невщояа спостериачу ; будемо прчпускатн, то ! a{trx) | < С ( 1 + | л | ),

| а{U) - a(svv) | < L ( | л- - у | + | t - s | ), U< е [ О,Т } Поряд з рпчгашгем (1) рэзглпнемо рпшяшп

= a(f,X0m = ль .

яке описуе рух сисгеиг при вцсутнесп пчпадкопчх /нянь V( t /с), t с [ О,Г ].

Спчшшо a(t,X0(t)) будемо лазг.сати розрахупкочою швнд1пстст руху системп у детер.чшованому ссредовищи У даному параграф! поставлено наступну задачу : по Д' — спостсреженШ траскторп руху системп у швндкохоливпому вннадково-му середогиин ошнпгь швидгЛсть руху п ¡деальному середотпш. Лк ошнку ,т(?,Л'„(г)) с::ьнз.".о фупгчно

«ДО = y£ К, К ' (х5 ) ^^ к< '' h> 0 l!mi E "* 0

На ядро К , (и) будемо иахладати настугай обмеження : К , (и) fe 0,

1 /V +"

"Г S-K t ( ) ds = I, S К Uu)du s С . < +

О \ /*£ / — ОЭ 1

+ »

/

dKJ А/ < С 2 < + 03, Slip К ,£ («) = A'o < + <

"" I - «J < U < + <*>

Припустимо також, що випадкове дшння >/ (t) таке, що М j; (i) = О, ' /е

Р Г sup I / i;(s) </s I > R \ & rt + С' exp j - С ' R ),

1 0 i i < Г 1 0 1 j

С ' > О, С " > О, у > О, Ге - 0 при £ 0.

14 14

Теорема 8. Нехай R -* + м при £ -» 0 так, що £ R, е -* 0, ht = е , тод1

/>Г mp |a£(i) - a(t,X0(t)) |> £ 14 [К£ гСг+лу+С^АоДГ) ]1 s

1о «: < < Г j

£ гс + С ' QXP [ - С " Я£ У )

де С зО^СТ )=^1 + С(1+|л0| + СТ ) exp j СГ |

Як приклад на використання теореыи 8 розглянуто ршняпия

I ^ = d + >/еС) - м %(!)•

j ' ¿7,(0 a /Ve , i) </) ) Л + 4: о( < /г , Ч (0 ) rfv (/)

I ' •

х,{ О) = V ve (0) = О,

де ¿(/л) таке, що xb(t*x) fi — Л х2,

А > О, I ¿(te) - ¿(<У) | < С | А' - у I o(i,x) — piBiiOMipHO обмелена по л- позитивна величина.

§ 5 роздшу Ш присвячено оцшюизншо вилнву келпШпюсп )■ Д-

£о(<Л") — розв'язок задач! ¿)|а

У7 = Ltjc + Mt^ol ¿„(0.x) = >р (х),

'ас :,и

якщо с!)0стер!гасться — розв'язок стохастично! зпдач1

= L + /!(/,<) + а(и££) ,,( f /с),

£Д0д) = *>(*). х с Л с Л,й =

'i f

тут D - деяка hiffo^iiua з — il дсстагзп.о гладка яг^сп,

п ^ n k .

L" = s .««с-») ^ + Д 'W^-

Зм1ста« гсаульитв § 5 pwt'iy 1U € теорема 1, с я га Л г.рл c64iv.ciuu:x тпп t >Л гь г? угг^^ах icojv'vn О д j ста;ш <и; or 1 ч:; у ~ е z рд 'А' с 2: • • i а тс о г с iva ь они;: \.

P f íup í | ЛД/.v) - A(f,x¿0(U) ) \fx > r U С(Д,е) 1 < 1 O s / ^ г n j

< С ' exp j - С " Л '), лг C{R,r) влгшс.ыа у явному г.ш.чяд',,

W = -h SD /[ ^ - , ] Kf (^f) к, )* df

ÍIkujo ük Mipa, яка характернзус в1дхнленнп оцпткн гад оцшювано! фупкцц у §

5 використочувалась метрика I,¡ — xecpií

р(/,'Г) = S"P / |/(í,.v) - pfA-v) | ¿r, п s: Í с Г D

тому що б!льше Ешвчена 2 — reopin приводить p;.i;iy аномалышх ефект1в та уявлень.

В § б роздьпу Ш було розглянуто аналопчну задачу, коли як Mipy сщхилення брали стандарту метрику L i — теори. У мстрнц\ L i — тсорП при менших обмежсннях побудовано перепеть, аналопчну вцттенчднш iiepiEiroCTi § 5, що складае 3míct тсореми 1 § б.

Останшй § 7 роздЫу III прнсвячено Ыдгговцн на анадотш питания у внпадку псршоТ початкого-крайопо!" задач! для пперболЕчного ршиякня. У метрищ L 1 — Tcopií отрпмано аналоп'чний §5 та §6 результат для rinep6o.iÍ4imx систем.

Ociioisiii положения за темою днеертацм надруковзш у наступних роботах . ,

I. Бондарев Б.В. К вопросу о скорости сходимости в принципе усреднештя//Тео-рня случайных процессов.-1980,- Вып.8.-С.7-16.

2. Бондарев Б.В. Неравенства больших уклонений для непрерывных процедур стохастической аппроксимации// Теория случайных процессов-1981. -Вып.9.-С.20-24.

3. Бондарев Б В. Вероятности больших уклонений для рекуррентных оценок неизвестного параметра в сносе стохастического урзвкення//Теория случайных процессов. -1981 -Вып.Ю-С.3-0.

4. Бондарев Б.В. Об оценке неизвестного параметра в сносе стохастического днф-(^еренциального уравнения// Теория случайных пронессов.-1933- лын.М-С.5-9^

5. Бондарев Б.В. Об оценке неизвестного параметра п сносе простейшего стохастического дифференциального уравнения// Теория случайных нроиессоп.-19Я5-!!ып.13.-С10-13.

6. Бондарев Б.В. О .Ч|Юз:-рке сложных статистических гипотез 1.//Теорчя вероятностей и мат. статистикз.-1937- Вып-Зб.-СЗ-К).

7. Бондарев Б.В. О проверке сложных статистических гипотез НУ/Телрня вероятностей и мат. статистика.-1958.-Вып38-С.!п-25.

X. Бондарев Б.В, О доверительном интервале для параметра ш\ча в сюхлекне-ских системах// Марковские случайнее процессы ч их при г/енення: г vi. науч.. сб.- Саратов: Изд-во Саратов, ун-та. IQ.SS. - С. 3-11 .

9. Бондарев Б.В. О проверке статистических гтпо'ет лрп слабо запмР'г/ы?: наблпу-денччх//Теорня пероат носей и мат. c^v.iíiuwn.-V^S.-fiuníVCtM/.

Ю. Бондарев Б.В. О статистике Колмогорова в случае кусочно- непрерывной функции раснределешга//Укр. мат. журн-1988- 40, N 2-С.145-149. II. Бондарев Б.В. Усреднение в стохастических квазилинейных параболических уравнениях//Геория вероятностей и мат. статистика.-19ВУ.Еып.41.-С.16-23. 12. Бондарев Б.В. Об оценке неизвестного параметра косффициента сноса уравнения, возмущенного гауссозскнм шумом//Теория вероятностей и математическая статистика.-1990.-Вып.42.-СЗ-13..

13. Бондарев Б.В. Некоторые вопросы иетриметрическоп статистики слабо зависимых наблюдений//Теория вероятностей и мат. статистика.-1990.-Вип.43.С.-19-26.

14. Бондарев Б.В. Об усреднении в стохастических системах с зависимостью от всего прошлого//Укр. мат. журм-1990. - 42 , N 3. -С.443-451.

15. Бондарев Б.В. 05 усреднении стохастических систем при слабо зависимых воз-му1цениях//Укр. мат. журн.-1990- 42, N 5.- С.593-600.

16. Бондарев Б.В. О принципе усреднения в начально-краевых задачах для стохастических параболических и гиперболических уравнений//Теория случайных процессов и ее прил. -Киек Наук. думка,1980.-С.15-25.

17. Бондарев Б.В. Усреднение в параболических системах, подверженных слабо зависимым случайным возмущениям/Л'кр. мат. журн-1991. - 43, N 2- С.167-172.

18. Бондарев Б.В. Усреднение в параболических системах, подверженных слабо зависимым случайным возмуще1шям//Укр. мат. журн-1991, - 43, N 3.- С315-322

19. Бондарев Б.В. Усреднение в периодических средах при слабо зависимых случайных воздействиях. ¡//Теория вероятностей и мат. статистика.-1991.-Вып.45.-С.12-

20.

20. Бондарев Б.Б. Осереднення в пертд^ших середовищах прислабко залежнкх випадкових буджеишх.й//Теорня вероятностей и мат. статистика-1992,- Вып.46.-СЛ8-24.

21. Бондарев КВ. Оценка параметра нелинейности в'начально- краевых задачах с гауссовскимн возмущениями//Теория вероятностей и её прлменения.-1991^б, N 3,- С553-560. -

22. Бондарев Б.В. Об одном применении метода стохастической аппроксима-щш//Те& докл. VI Советско-Японского симпоз. по теории вероятностей и мат. статистике. Киев, 5-10 авг. 1991r.-C.24.

23. Бондарев ЕЕ Метод малого параметра для параболических и гиперболических систем, возмуженных слабо зависимыми случайными процессамн//Тез. докл. V Мсждунар. Вильнюс, конф. по теории вероятностей п мат. статистике, Вильнюс, 20 июня - 1 июля 1989г.-Т. Ш.-&78-79.

Шдп. до друку 10.12.92. Формат 60x84/16. -Ilaaip друк. Офс.друк. Умоя.друк.арк.- 1,39. Умов.фарб.-п1дб. 1,39. Обл.-вдд.арк. 1,1. "üpuí 100 лрш. Зам. 346. Еежоатсшю.

^ЦдвШейИ* в ММ^-ГЖт'сйатМ АН УкшЬм ¿OÍÍ6ÜJ IüiJb 4, МОП» гул. lépemeHiíiBCH«», 3