Некоторые дифференциальные неравенства на графах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Карелина Ир ига Георгиевна

НЕКОТОРЫЕ даШРЕВДШЬШЕ НЕРАВЕНСТВА. . НА ГРАФАХ"

01»01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соиокаииэ ученой степени кандидата физиво-иатеиатичйских нйун

Воронея 1992

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор Ю.В.Покорный.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Г.В.Радзиевси1й, доктор физлко-математн^аскнх наук Профессор Л.И.Перов».

Ведущая организация: Саратовский государственный утте

ситет.

Защита состоится 10 ноября 1932 года в 15 часов 20 кинут на заседании специализированного совета К 063,48,09 по привуж дению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежское государственном университете по адресу: 39-1060, г.Воронеж, Университетская пл., I, ВГУ, математический факулъ тет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослал " ¿¿щс^гЛ/^Л- 1202 года

Ученый секретарь специализированного совета К 063.48.02

В.Г.ЗадорогашЯ

POCCir^G!".:';..- . '

SilS/üiUüKÄ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТ1Ш РАБОТЫ

Актуальность тад». Некоторые важные задачи математической физики (колебания упругих сеток,,колебания в электрических и гидравлических сетях, процессы в системе одномержк волноводов, элёктфоише колебания сложных молекул и ттр.} ягогуг бить описаны с помощь» обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, заданного на геометрическом графе Г" с (в других термитах - на пространственных сетях).

Первые математические публикации для таких задач появились в Г983 году ( Павлов B.C., Фаддеев К.Д., Покорный D.B., Провоторова E.H.). В ятих работах, также, как и в работе ' • /V-icai.se S. ( 1986 г.) , использовались традиционные метода, что приводило либо к простым, либо к сложно описываемым результатам. Последовавшая далее серия работ Ю.В.Покорного и . его учеников основана на новом подходе, связанном с введени- , ем понятия скалярного уравнения на графе и разработке начес-.; твенных методов анализа для таких уравнений, что привело к достаточно полной линейной теории: изучена неосцилляция та-' ких уравнений, теоремы-сравнения типа теорем Штурма, аналоги задачи П'турма-Лиувилля, условия положительности функция Грина и пр. Для нелинейных уравнений на графах и краевых задач для них первые результаты получены при участии автора настоящей работы. Оказалось, что применение общих методов нелинейного анализа требует значительно более глубокого изучения функции Грина линейных задач: условия еэ непрерывности,' специальные двусторонние оценки и т.д. Именно этому Kpyiy вопросов посвящена настоящая работа.

Целью работа является исследование нелинейных краевое задач для обыкновенных дифференциальных уравнений на графах н необходимый для этого -качественный анализ линейных задач.

Методика и сследования. В диссертации используются метода качественной теории краевых задач и современного анализа (теории гсоложителышх операторов в пространстве ç конусом, топологические методы^ вращение векторного поля)и др.)

Научная новизна, Вов результаты диссертации являются нобьрли. Наиболее важные из них?

- необходаиость неосцилляции дифференциального оператора для неотрицательности функции Грина }

- необходимое и достаточное условие непрерывности функции Грнна краевой задачи ira графе ;

- аналоги классических теорем Ктурма о перемежаемости нулей для нелинейной задачи на графе j

- условия существования полокительных решений краевой задачи на rpaije в случае положительных нел1Мсйностсй.

Практическая и теоретическая значи/.ость. Работа Носит . теоретический харантер. Ее результаты могут использоваться в качественной теории краевых за^эч, в теории кнтегральнш операторов, в нелинейном анализе задач на графах.

Апробация работы. Сонорные результаты диссертации .докладывались на следукцих конференциях:

- на Республиканской кон^еревдни "Теория и численные методы решения краевых задач длт,терснцналышх ураснеипП".-Рига, 1988 ;

- на Х1У шноле тю теории операторов в функциональны;: пространствах.- Новгород, (c.'f>? ;

, - на Украинской научной кон|ереюдии "Разрнвные дштмн-

ческие системы",- Ивано-Франковск, 1990 ;

- на Всесоюзной конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики".- Владивосток, 1990 ;

- на Воронежской весенней математической школе.-Воронеж, 1992 ;

а также на семинаре по качественной теории краевых задач про!. Покорного Ю.В. (1988 - 1992).

Публикации. По теме диссертации Опубликовано 5 работ. Из них.две выполнены"в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат постановка задачи некоторые идей доказательств.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 99 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Йервая глава разбита на три параграфа, вторая и четвертая глава содержат по четыре параграфа, третья глава состоит из двух параграфов. Библиографический список ¿одержит 32 йэ.кменованн л.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается исторический экскурс по теге диссертации,библиографические указания и: краткое из-лощение результатов работы.

Первая глава посвящена описанию изучаемого . обьекта, здесь также приводятся основные свойства функций Грина стллрноЛ краевой задачи и некоторые результата тео-

рии полуупорядоченных пространств, существенно используемые в дальнейшем.

Связный открытый граф шеэт по определению

.следующую структуру. Он состоит из набора ^ ^ непересекающихся прямолинейных интервалов (ребер) и совоку-"пности \3 ( Г) некоторых их общих концов (внутренних вершин). Множество 9 Г остальных концов ^ (< = 1,-т.) -относительная граница V . Срязное переселение Р с тобтл открытым множеством из й^ называется подграфом Р ..

Ка графа Г рассматривается обыкновенное ди$ференци-альное. уравнение второго порядка

^^¿Ёг5* ' СП

Функции с^,С) и О ) предполагаются равномерно непрерывными ва каждом ребре ^ <ч'= 1,-тО , а'функция рс-) -имеюцей равномерно непрерывную первую производнув ка каздом .ребре ^¿С^*1и иЦ р(-эс) >0.

' гс Г

Каждое у. ыетризовано нормой пространства Я , Для любой функции и

Г^ IV через Ц^сэс) обозначается ее сужение на ребро ^ ..Уравнение (!) на каждом ребре ^ - обычное скалярное - '

Под понимается производная функции и ¿С-У при ори-

ецтаци'и в одном из двух возможных направлений. От выбора ориентации' ^ • зависит дшь знак первой производной

а знал выражения -- (р Сх) ) но зависит. Пожтому для яа-

с!х ' с (.IX.

данля уравнения (. I) пет необходимости с<итать исхо.цшЯ грар ориедтироЕШпгш.

Оод решением уравнения (I) понимается функция ■и : К 1 , удовлетворяющая (I) на каждом ребро »

а со ¡внутренних вергшнах а е Т] ( Г") -.условиям непрерывности

чс'с а.) « -и^ (О.) ( с, ¿С Же о)) с I*) I условиям гладкости

' 1П

^¿(О-и/са + ОУ-О. аЗСХ.

Здесь чероз ¿ГСс«-) обозначено тожество индексов робер, .

11

- набор по-

Гсотпч?лышх чисел, приписываемый каздоЯ вертинв О,"3(Г) , ;ерез + - производная функций -I*. (<) 8 точке а

три ориентации ^ в направлении "от а '

Включение условий (Iх) и в определение уравнения

I) на графе - главная особенность.постаноькй задачи, позво-ряидая -распространить скаляр ни Л подход на существенно неаД-юмерныЯ объект.

Под краевой задачей «а графе пойшиет уравнение' <Д) в ючетанни с кагоши-нибудь условиями на д Г . (Например, а Э 1 задаются однородные краевые условия

к (6). О с<.еЗГ)

(в болеь'короткой записи -и ^ = 0 ) ияи неоднородные условия

С-ёеЭГз. '

«

Во Б т о р о 11 гж'ве изучается функция Грина краевой задачиШ,С2), определяемая пак ядро интегрального спирвтора, обращающего эту задач/, то есть

• ЧНГ)

_ ж •

где у. = г\:кг).

ОТ,

Теорема 2.1. 7 невырожденной краевой задачи

и-*.*!, л<-\'дГ"°

существует функция Грина ,' единственная в классе •

непрерывных на . Г х (Г) функций и такая, чго

■ 1° с. о ли 5 = БР£ А СГ}(го есть ^ лехит внутри-одного из ребер)., тс функция . д сое) = ССз?,'^") удовлетворяет услОБИ»<2>, однородному /рашетт .'Ьк/ - О при

гс ф 5>0 , и для ее эо сумма проиивелных в точке Зс= , посчитенних в обоих направлениях "ст £>0 равно ~ i/р{ (5С) >

2° если ао£ "ЗСГ) (то есть $0 янлнотси одно», из внутренних пар'лин'Г) и ¿л - одко из ребер, пр; микаюцих к , то функция

а сое) = 1ип Ст(х,5)

удовлетворяет условиям (2), однородному уравнению и -и.-О на -» а-прл сс = s0 справедливо равенство

г1

'Теорема 2.1 обходит вопрос о непрерывности функции ■(лХгг^Б^ по совокупности переменные на всем множестве Г7»« 'Г 1 не обсудгдя поведение функции Грина л окрестности множеств Гх а при ае "3(1'). Поэтому естественным дополнением к теореме 2.1 является

Теорема 2.2. Для того, чтобы функция Грина задачи (I), (.2) была равномерно непрерывна по совокупности переменных на П х. Г , необходимо и достаточно, чтобы для каждой внутренней вершины а 6 3( Г') отношение

не зависело от ¿е (ГС (о.) . . •

Р-С(а-)

Оператор не осциллирует на Р , если ни одно решение уравнения и = 0 не имеет нетривиальной зоны знакопостоянства в Г . (Под зоной знакопостоянства С в Других терминах - пучность или 5 -зона) непрерывной на Г* функции кс) понимается либо!'; связный подграф Г0 с Г , для которого и \ - О и 0 при ссе.Г'),

Г.В.Покорным было показано, что из неосцилляции' на 1 следует неотрицательность функций Грина задачй (I), ( 2), На основе теоремы 2.1 установлен обратный 'Такт.

Теорема 3.3, Дли неосцилляции оператора на Г" необходимо и достаточно, чтобы Функция Грина С(сс,й) .задачи С1), (2) была неотрицательна на Г* Г .

Б третьей главо исследуется нелинейное дифференциальное уравнение

. Ь-а-^Сос/и) . сэ[.-£ Г) ' (3)

о непрерывной на Г* Я Функцией { .

Теорема 3.1. Пусть {сх.гс) непрерывна по совокупности нерешенных и равномерно ограничена на Г* К .

Тогда-задача .(31, (2х)разрешима. -• Применение техчиш теории степени отображения дает следующий результат, Обо значим через ЗЗХ множество Функций . ОС(') , каждая из которых удовлетворяет условиям (.2) и при некотором = ^(И) ь (0,1) уравнению

Ю С-Vс. Г). . . •

Теорема 3.2. Пусть'оператор не осциллирует на Г" , Пусть ^(т?,^) непрерывна по совокупности переменных, \Сх.го9 О , • • ••

Тогда для разрешимости задачи СЗ^, (2.) достаточно', • чтобымножество 2ПГС было о1ранпчоно.'

• Следующая теорема установлена с привлечением общо!! теории положительно обратимых операторов.

Теорема 3.3. Пусть Функция '¡(х,и) непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет неравенству

1 | 5 исс)-и + М,

де М. = > О , а функция 'I : Г-+ Я"1 равномерно

епрерывна. Пусть операторы и (Ь-г)и3 е осциллируют.

Тогда задали. СЗ), С2) разрешима.

Условие единственности содержит

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 3.3« Пусть ¡уществует равномерно непрерывная' функция М- : П Д ?акая, что Функция сос,1с) - ■(г.(сс)'и не возрастает по и. зри каждом л е Г . Пусть оператор Ь - 4ь не осциЛ-трует на Г . '

Тогда решение (3),С2) единственно.

В параграфе ■ 2 аналог теоремы Штурма доказывается для «линейного уравнения ■

е

=0 (хеГ); С4)

Наличие в последнем уравнении Лл! требует, вообще говоря» □ведения локальной ориентации каждого ребра, Однако, слёду-ксцая теорема не зависит от гагой ориентации.

Теорема 3.5. Пусть , и, М 'у серого убывает по -и.

. • Тогда для любых двух решений -и (•) Й ^СО уравнения с4) их разность, (гс - V) не имеет ни- одной пучности (зонн знакопостоннства) в Г* .

Еолее сильный аналог теорема Шчурма о разделений нулей установлен для уравнения ■ •

(p(x)-vt') 4- -hcvc^-u = О (ссеГ). C5J

Теорема. 3.6. Пусть "Л- hs убивает по 'te при -t< О к .

каждом Г . Пусть •) - некоторое решение (5} и __ «

Г^ ^ - какая-то его, (+)-пучность (то есть О на

Тогда любое неколлинеарное с tí(-) решение (5), непере секакцеэсл с /и. (•) в Г^ , не может иметь в Г^ положительных значений.

В четвертой главе изучается нелинейная краевая задача

Ltt»^f<íXí,tO . (асе. Г) , и соответствущая ей нелинейная спектральная задача

. ' L'U-Лкзе.'М-? С=сеГ, Л€ R1), = а)

Обозначим через

А множество значений .л > v , при каждом из которых задача (7) имеет хотя бы одно решение. •

Использование теории -ио~вогнутых операторов при изучении задачи С?) в случае возр&ставцвй по и функции f позволило получить следующий результат.

Теорема 4.2. Пусть функция непрерывна по

совокупности переменных, строго возрастает по -и. при -ti? О и кал-дом xt Г , а функция 4l(.x,-uj --- f(oc,U)/гс убывает по il ;

Тогда множество /V собственных значений задачи (7),

твечаот.мх неотрицательным на Г* собственник функциям, бладаст следущини своПствами: (а> А» связно и открыто }

сб-) при ттдон .X £ /\ задача С?) имеет единствен-[09 репетге 'и.^С.О . При отом ад^сО строго полокитель-

Г"'

!а на 1 ;

(В-* Т!ри №ГДОМ ОС с Г функция и дС-^) строго возрас-^ ■ает го .X $

Сг ; при кзжцом Л* е~А. соответстпугацёз реяенпо

и к (>) задачи с?) является равномерным пределом послодо-

л к

аателъностн. ц. СО » определяемой итерационными равенствами

^(х.и*"1), «О

у 1ЭГ

при к »1, 2, 3,,.. и любом начальной приближений и^СО непрерывно и неотрицательно на Г „

Использование общей теория положительных оператороз

I

дает возможность получить условие существования нетривиальных (то есть вторых") решений задачи (б) в случае

Теорема 4.3.Пусть функция (ос ,гс> удовлетворяет условиям тооре»'н 3.3 и, кроме того, в ¡/полнены условия:

са) '(сэс, непрерывно дифференцируема по к в окрестности, точки и - 0 ;

(б) 1(^,0) г О ; при и? О и

всех х в Г |

с^сх)- (¿,0) - 0 с а-с Г).

Пусть оператор Ь^и ^ и - Сх,0)ц не является нсосциллирутщим, то есть существует нетривиальное репенив

уравнения с зоной знакопостоянства в Г .

Тогда задача (6) имеет строго положительное в Р решение • '

Для случая, когда граф Р является деревом (то есть не содержит циклов) аналогичный факт удалось доказать и дня сильно нелинейной.функции Лез:,й) (когда существует неотрицательная неубывания функция 1и(гО , "й^ЬЬ^+со

Ц-у (-во . лч. '

ЧТО ^СЭС.-и.)^.

Теорема 4.5. Пусть Р - дерево; . Пусть"

» причем удовлетворяет следую-

щим условиям!

(а} ^ (х ■ Непрерывна по совокупности переменных, неотрицательна при к > О и всех хе Г •

Сб) ^(а^-гс) * -(х'б Г, Оби^«),

где функция -А-(к.) неотрицательна, не убывает и

Шн, " Ы^) + - .

С®) 4 (ас , гс) непрерывно дифференцируема по ос в окрестности точки и- О г причем С'Эг, V) =

Тогда задача (6} говеет строго п слабительное в Г решение. .

В конце работы установлен факт, дающий возможность оценить "зазор" между ведущим собственны!.» значением задачи

• Лгсъ)<и (ЯС8)

и другю.ш ее собственными значениями. Дтя этого доказывают-

I •

ся специальные двусторонни в оценки.функции Грима, обеспечи-

заюцие соответствующему интегральному оператору свойство-фокусирования его второй итерации на конусе неотрицательных ia Р функций.

Автор благодарен своему научному руководителя» за руководство работой,'за его постоянное внимание и поддержку.

Агрор тагсха признателен М.Г.Злпгородноку и Боровских A.B. !?а ролпз'ше обсулде.'шя результатов работы.

Основные результата диссертации опубликованы п следующих работах: . • . .

1. Карелина. И.Г. Аналоги теорем сравнения Штурма-для Нелинейных упругих графов// Х1У школа по теория операторов

в функциональных пространствах: Тез, докл.- Новгород,'1989,-0,7,

2. Карелина И.Г. О вторых регссниях нёлтшейкой краевой задачи на графе// Разрывные динамические системы: Тез. докл* • Киев, ЩХ).- С. 19..

3. ¡Сарелина И,Г. О положительных решениях задачи со слабой нелинейностью/ Воронеж-, foc. ун-т. - Воронах, Г991»-12 с,- Деп. в ВИНИТИ 0r.08.SI Г 23Î9-B9I. •

4. Покорный D.B., Карелина И.Г. Нелинейные теоремы сравнен:« на графах// Чат.заметки, 1991.- Т. 50, вып. 2.-С. 149 - Г5Г. '

5. Покорный Ю.В., Каролина 11.Г. О функции Грина задачи Дирихле на гра'е// Докл. АН.СССР, Г99Г.- Т.ЗГ8, (Р 3,512- - ">14. . .

ZZ?¿/m.2r' ТЯРЛШЭХ3' 60x90 ^.^щд.