Свойства штурма нелинейных уравнений на сетях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ип

СП

^ 52

=> а.

пг

о

_ г«~ 1- ■»—

СВОЙСТВА ШТУРМА НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ НА СЕТЯХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ка правах рукописи

Лрядиев Владимир Леонидович

Воронеж 1995

Работа выполнена в Воронежском государственном университе

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ю.В.Покорный. Официальные оппоненты: дсктор физико-математических наук,

Ведущая оргвнизация: Удмуртский государственный

университет.

Защита диссертации состоится 16 мая 1995 г'ода б 15.20 на заседании диссертационного совета К 063. ^8.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 39^693, г.Воронеж, Университетская пл.1, ВГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " 1995 года.

Учений секретарь диссертационного

профессор Б.Н.Садовский;

доктор физико-математических наук,

профессор А.ПДромов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Б диссертации изучаются качественные войства нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка а связных графах. Граф понимается геометрически, как множество з К. , включающее не только вершины, но и все точки ребер (в ругих терминах граф - одномерное клеточное пространство или опологическая сеть). Уравнение на графе скалярно на калсдом ре-ре, решение склеивается во внутренних вершинах из решений на ебрах в соответствии с условиями непрерывности и специальными словиями гладкости, /равнения на графах моделируют целый ряд изических явлений: колебания механических систем, составленных з упругих континуумов (сгрун, стержней), электронные колебания сложных молекулах (в теории рассеяния), процессы в электриче-шх цепях.

Изучение дифференциальных уравнений на графах и краевых 5дач для них началось в первой половине 80-х годов. Первые ре-гльтаты по данной тематике связаны с именами Павлова Б.С., §а-leesa М.Д. (1983), Покорного ».В., Провоторовой E.H. (1983), здонина С. А. (1983), /vficalse £>. (1966). Вторая половина 80-х и (чало 90-х сопровождались появлением в теории линейных ДУ вто-iro порядка на графах ряда важных результатов, из которых сле-гвт выделить аналог теоремы сравнения Ыгурма (Покорный Ю.В., !нкин О.М.), существование и представление функции Грина (По-■рный Ю.В., Пенкин О.М., Карелина И.Г.), исследование асимптота спектра (Завгородний М. Г.). Ряд аналогичных результатов а исключением асимптотики спектра) получен и при исследовании нейных уравнений на графах, допускающих разрывы решений (Ad-

дульмаджид М., Прядиев В.Л.). Перечисленные результаты (прежде всего, аналог теоремы Штурма) создали почву для успевного изуче ния осцилляционных свойств спектра краевой задачи на графе (Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.1., Аль-Обейд А.).

Эффективное применение аналога теоремы Штурма при исследовании . линейных спектральных краевых задач на графах по елужило стимулом к поиску нелинейных аналогов теорем сравнения на графе, открывающих перспективу для изучения структуры спектра нелинейных спектральных краевых задач (на графах). Первые шаги в этом направлении были сделаны Покорным Ю.В. и Карелиной И.Г. (1989-91 гг.). Этой же проблеме посвящена и настоящая диссертация.

Цель работы состоит I) в доказательстве аналогов теорем Штурма о сравнении и о перемежаемости для нелинейных дифферент альных уравнений второго порядка на отрезке; 2) в доказательств! эффективности использования этик аналогов, во-первых, при изучении соответствующей спектральной краевой задачи, во-вторых, для получения априорных оценок на положительное решение соответствующей краевой задачи; 3) в доказательстве аналогов теорем Штурма для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на графах.

Методика исследования. В диссертации используются качественные методы как классической теории ОДУ, гак и теории ОДУ на графах.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить: а) доказательство аналогов теорем Штурма о перемежаемости и о сравнении для выделяемого в работе класса нелинейных дифференци-

1ьных уравнений второго порядка на отрззке; | описание спектра •соответствующей краевой задачи через спектры сдельных (в смысле замени нелинейносгей их предельными значе-¡ями) линейных краевых задач;

1 вывод априорных оценок на положительное репение соответствую->й краевой задачи; доказательство аналогов указанных выше теорем Штурма для вы-ляемого в диссертации класса нелинейных уравнений на графе.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит тео-тический характер. Результаты могут найти применение при ис~ едовании спектров как нелинейных краевых задач на графах, так нестандартных краевых задач на отрезке, решения которых могут рять гладкость или непрерывность.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-лись:

на IУ Уральской региональной конференции "$ункционально-диффе-нциальные уравнения и их приложения". - Уфа, 1989, в Х1У школе по теории операторов в функциональных пространст-х. - Новгород, 1989,

на III Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению диффе-кциальных уравнений". - Дрогобыч, 1991,

в школе "Теория функций. Дифференциальные уравнения в матема-ческом моделировании". - Воронеж, 1993,

яа конференции "Современные проблемы механики и математической зики", - Воронеж, 1994,

ia весенней Воронежской математической иколе "Понтрягинские гния - У". - Воронеж, 1994,

также на семинаре по качественной теории краевых задач (проф.

- б -

Ю.В.Покорный, НИИ математики ВГ7).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 145-ти страницах и состоит из введения и трех глав, разбиты в целом на II параграфов. Библиографический список содержит наименования.

СОДВРНАНИЕ РАБОТЫ

Во введэнии приводятся комментарии исторического характер! по рассматриваемой в диссертации теме, библиографические указа' ния и краткое изложение результатов диссертации.

В первой главе рассматривается дифференциальное уравнение

= о (х&ХеК.), (I)

в котором

р(.>еС.(Х) , (хбХ\ (2)

$<и-)/ (и.бК), (3)

(4)

где

^¿Р0^'"*0 ' (5)

а Т - множество положительных и непрерывных на 112- функций, неубывающих на (-со ; 0] и невозрасгающих на [0; +оо ). В дальнейшем для всякого уравнения вида (I) предполагаются выполнены-ми условия.

После изучения вопроса о продолжаемости решений уравнения (I) в случае X =01 (оказывается, .что они продолжаемы на

Л) до-

казывается следующая теореме сравнения.

Теорема 1.1. Пусть (3=1,2) - решение задачи

и/'+р^иН-Са^. («.') =о (04X4)

1ричем ^ (•)>() на (0;Е-). Пусть либо АД = А2 , о^ * , либо , 4 /А2. Тогда если р, (О > ра (О

и [0;^ , на [0; +оо ) и на

Я, то

возрастает на (0; 2. ); 2°. на

Затем на основе этой теоремы устанавливается более общий

ракг:

Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремн 1.1. Пусть

Рч<*)>РаА> (б)

^(ч')»^"') Си/бЮ, (7)

£и>0), (8)

•де я М^С") определяются такке, как и (см. (5)).

'огда если хотя бы одно из неравенств (б)-(8) является строгим [а всем соответствующем промежутке, то имеют место оба пункта ■тверждения теоремы 1.1.

Несмотря на возможную нелипшяцевость оказывается,

[то решение начальной задачи для уравнения (I) непрерывно зави-ит от р('), что позволяет на базе теоремы 1.2 установить сле-;ующую теорему.

Теорема 1.3. В условиях теоремы Г.2 ^СО/ ^(0 не убивает на (оД); ^(О^^С-) на [0;1].

Условия (2)~(4) не позволяют на основе общеизвестных факт теории обыкновенных дифференциальных уравнений решить вопрос о единственности решения задачи Коши для уравнения (I), что, понятно, вносит некоторый дискомфорт в исследование уравнения (I Поэтому в заключительном параграфе первой главы приводится отв на этот вопрос, и он, как показывается, решается положительно.

По поводу исследований, проведенных в первой главе, следу< заметить, что первоначальным импульсом к ним послужил результа: И.Бихари ( £Нас1. sc-l.ma.iK. Ки.п<£. - 1985. - 20, № - Р. I! 19). Расшифровка этого тезиса следующая. Главным (и единственным) утверждением, содержащимся в этой работе И.Бихари, являете немного ослабленный вариант теоремы 1Л; а именно, при доказате льсгве теоремы 1.1 в этой работе предполагалась и существенно использовалась диптицевость ^-(О. Что же касается теорем 1.2 и 1.3, го эти утверждения в работе И.Бихари не содержатся, в то время как необходимость в них появляется при изучении соответсг вующей спектральной задачи-(см. ниже задачу (9)).

Вторая глава иллвстрирует "дееспособность" теорем сравнения, доказанных в первой главе, применительно к исследованию спектральной задачи

( }, - вещественный спекрадьный параметр). Оказывается, в частно' сти, что спектр А! задачи (9) (т.е. множество значений А , при которых задача (9) имеет решение, обладающее положительной производной в нуле) допускает описание через спектры следующих дву> "предельных" задач:

Xf(O)gio) pU")U- = 0 (04X4&) U.Co> = o=u.C^ » СЮ)

и."+Х€'Си,Ц./)рСу.)и. =o (O^x^l)

58 6" (u.LL') - кусочно-постоянная функция, равная (+ oo )« £ (+ <Х> ), vp (- оо )£(+ сро), ЦЗ (- оо со ) И ЦЗ (+ оо)«

00 ). соответственно, в первой, второй, третьей и четвер-)й координатных четвертях плоскости (и, и.'). А именно, верна

Л

Теорема 2.1. Пусть ^ (•) ^ С') # c^ons-t На R . Пусть

, QO оо

и - упорядоченные по возрастанию последовате-

>ности собственных значений, соответственно, задач (10) и (II). гсгь для лвбого к=о,оо А^ - это множество тех X , для кото-IX задача (9) имеет решение, обладающее, во-первых, положитель->й производной в нуле, во-вторых, ровно к: нулями в (0;t ). Tola Su-P и — А* для всех

=075о.

Описание структуры позитивного спектра задачи (9) дает Теорема 2. 2. Пусть А^" - множество тех \ , для кото-

х положительное на (0; L ) решение задачи (9) единственно, а

"+ д . + \ А /+

с =:Л0\ЛС> . Тогда \ 1"+

. л£ Лс тогда и только тогда, когда, во-первых, для некоторого выполнено тождество

во-вторых, X =jj.0; . если ХсА"^ , то множество неотрицательных на (0; t ) реше-

ний задачи (9), во-первых, является подмножеством реиений задачи (10), во-вторых, в случае, когда ^ (0^(О^сопэЪ на [0; + схз )хС5., представляет собой отрезок'в СНО;^] , одним из концов которого является тождественный нуль, а в про тивоположном случае - замкнутую полупрямую в С^ЕО;^] с на чалом в тождественном нуле.

Наконец, в качестве еще одного приложения теорем 1.1-1.3 приводится вывод априорных оценок на положительное на (0;Ь ) ре шение задачи

и/'ч-рО^О-О^Си.'^о

а Со) = о = '

Точнее говоря, доказывается

Теорема 2.3. Если выполнено неравенство,

О/Гч-т/г) • Ср. ум< ^

в котором ^ к р - соответственно, минимальное и максимальное на значения р (•), то положительное на (0;£. ) решение за-

дачи (12) существует, единственно и удовлетворяет неравенству ¿.(04 ^в (•). в котором Ф(-) и ^ (О положительны на

(0;2-), имеют простые нули в точках 0 и £ и допускают явное описание через р (•), £ (•), (•) и в .

В третьей главе уравнение типа (I) рассматривается на графе. Во избежание недоразумений мы приведем здесь понятие (открытого связного геометрического) графа и дифференциального уравнения на нем. (Здесь и далее мы следуем уже сложившейся в теории дифференциальных уравнений на графах терминологии - см., напри-

- и -

«ер, работы Покорного К).В. и Пенкина О.М. (ДУ, 1989, Т. 25, № 7; ПАН СССР, 1989, Т. 309, № б)).

Пусть ^ , ^ , ... , ^ - открытые интервалы из К."1 такие, но 0 при (здесь - замыкание в й*").

ч) ^ О

1усть А - некоторое подмножество множества общих концов интер-¡алов ^ , , ... , ^ . Если множество

вязно, то его мы будем называть открытым связным еомегрическим графом (а в дальнейшем, пре-ледуя краткость, просто графом).

Интервалы называются ребрами графа Г , их объединение ¿означается через ^.(Р). Общие концы ребер , вошедшие в Г т.е. точки из А ), называются внутренними вершинами Г (их мно-есгво обозначается через Ц (Г)), а концы ребер, не вошедшие в , называются граничными вершинами Г (их множество обозначает-а через ^Г ). Ниже всегда предполагается, что

Для любой вершины а графа Г через I (а.) обозначается тожество | . Ниже всегда предполагается, что

зли а.е'ЗГ , то 11 (а)| =1 .

Договоримся для определенности рассматривать в дальнейшем в только евклидову норму и порождаемую ев топологию. Всегда, >гда речь будет идти о топологии графа Г (или она будет иметь-[ ввиду), то будет подразумеваться, что на Г рассматривается шология, индуцированная из

Циклом графа называется его подмножество, гомеоморфное ок-жности. Если граф не имеет циклов, то он называется графом-де-вом.

Если сх я i - различные точки из замыкания Г графа Г f то путем графа Г , соединяющим точки о. и ?> , будем называть граф-дерево Г0 такой, что ГеЕ Г , »(а; 6} Дт^еЗСГ). Для графа-дерева Г путь графа Г , соединяющий различные точки о. и ft из Г , определяется однозначно, и его в этом случае договоримся обозначать через Г (а-Д).

Чтобы определить дифференцируемые на R. (Г) функции, зафиксируем на Г произвольную ориентацию его ребер. Точнее говоря, поставим в соответствие каждому ребру ^ один из двух коллинеарных ему единичных векторов; обозначим этот вектор через Будем говорить, что функция U_(0 дифференцируема на

если для любого и любого существует и

конечна )

Для воякой функции ll(-) и любых аеЭ(Г)и'ЭГ и lelCa]

/ ^ под а) будем понимать предел (Эи_/ЭЬ^ ) (х) при х->сц

где - сО/\\ g -сЦ, a & - конец интервала ft. , отличный

от a.

С каждой внутренней вершиной а графа Г мы будем связывать в дальнейшем фиксированный набор положительных чисел (ciL(a.)j Lelca)]., Функцию IL(«)> непрерывную на Г и дифференцируемую на будем называть гладкой на Г , если

(a^jfcr*)). (13)

Ниже на Г рассматривается дифференциальное уравнение

под решением которого понимается гладкая на Г функция Ь1(.), удовлетворяющая уравнениям

Предполагается, что р С•) - равномерно непрерывна, положительна и отделена от нуля на каждом , а также, что при любых и и и,' функции и <з.(.,и/) постоянны на каждом^,

а для всякого Хе^(Г) К* .О/ на Е. и где

. д Г $ Сх, и.)/ и, , и.

1^0,0), и.=о ' Наряду с уравнением (14-) рассматривается уравнение

СХеГ> (15)

при тех же условиях на коэффициенты и в предположении, что

^ц>Сх,и.) (хе(1сг)>и.>о)> (18)

где Ц^С',') определяется по ^ С*»О также, как и ^ (•»•) по И*»').

На основе теорем 1.3 и 1.2 устанавливаются следующие две теоремы.

Теорема 3.1. Пусть Г - граф-дерево. Пусть и "^(О

- решения, соответственно, уравнений (14) и (15), причем ^ (0>0 на Г. Пусть в каждой вершине а е'ЫД , Где 6 -некоторая граничная вершина Г , выполнено условие Г (ягСй-} - и.(а,-)) А (и'Гсх^и^^Зу

(здесь V и Л - символы дизъюнкции и конъюнкции, соответственно) Тогда для любой ос

1°. не убывает при X , пробегающем Г(а-,6> ) от сх

до ?> ; 2°.^(0^(0 на Г .

Теорема 3. 2. Пусть выполнены условия теоремы ЗЛ, причем хотя бы одно из неравенств (1б)-(18) является строгим на всем соответствующем множестве. Тогда для любой

1°. 1Г(х )/^(х ) возрастает при X , пробегающем Р(аД ) от сх до 6 ;

2°. ТГ(.)> <$(•) на Г и -Се,} .

Эти две теоремы служат базой индукции при доказательстве еле дующих своих обобщений на случай произвольного графа.

Теорема 3.3. Пусть ^П^г. Пусть 1^(0 и 1Г(0 - решения, соответственно, уравнений (14) и (15), причем ^(-)>0 на Г . Пусть в каждой точке ( где В - некоторая граничная

вершина Г , выполнено условие (19). Тогда для любой ос€'ЗГ\{ё} существует соединяющий точки <Х и путь Г^ графа Г такой, что 1°. тГ(х ) не убывает при X , пробегающей Р^ от а до В> ;

2°. ^(')^у(О на Гл.

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы, причем хотя бы одно из неравенств (1б)-(18) является строгим на всем соответствующем множестве. Тогда для любой о. ,

где & - некоторая граничная вершина Г , существует соединяющий точки о. и Ь путь графа Р такой, что

1°. V (X ) возрастает при К , пробегающем Ра от а до Чз ;

2°. на Г^иШ •

В заключение автор выражает особую признательность своему шому руководителю. Помощь и поддержку проф. Ю.Б.Покорного ав~ ■ трудно переоценить: достаточно отметить, что определение ■а вопросов, исследуемых в данной диссертации, принадлежит ему.

Автор благодарит также участников семинара по качественной 1Ш краевых задач под руководством проф. Ю.В.Покорного за поте обсуждения результатов данной работы. Особенно это отно-я к О.М.Панкину и А.В.Боровских.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: рядиев В.Л. О перемежаемости нулей для нелинейного уравнения ихари на графе : Тез. докл. Х1У школы по теории операторов в ункциональных пространствах, ч. Ш. Новгород, 1989. - С. 13. рядиев В.Л. Теоремы сравнения для одного нелинейного уравнения на графе // Деп. в ВИНИТИ 19.02.91, № 825-В91. - 66 с. рядиев ВЛ, Об априорных оценках решения одной нелинейной раевой задачи : Тез. докл. '! Всесоюзн. конф. "Новые подходы

решению дифференциальных уравнений". Дрогобыч, 1991. ~ . ПО.

рядкев В.Л. Априорные оценки решения одной нелинейной крае-эй задачи // Деп, в ВИНИТИ 05.08.92, № 2577-В92. - 18 с. рядиев В.Л. О спектре одной нелинейной краевой задачи ; Тез. зкл. вколы "Теория функций. Дифференциальные уравнения в атематкческсм моделировании". Воронеж, 1993. - С. 109. зядиев В.Л. Одна нелинейная теорема сравнения иа графе : зз. докл. конф. "Современные проблемы механики и математиче-сой физики". Воронеж, 1994. - С. 81.

аз III от 29.03.95 г. Тир. 100 экз. Форьш 60 X 90 1Дб. ш I п.д. Офсетная лаборатория В1У.