Некоторые инварианты и дуальные пары представлений аффинных алгебр Ли и групп петель тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

; 9 Я 9

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЯРОСЛАВСКИЙ ОРДЕНА ТЕ7Д0В0Г0 КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГССУДАРСТВЕНШЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ем. .УЕИНСКОГО

На правах Р7ксписп УЖ 51Э.45»-519.46

Рыбников Григорий Леоквдовэт

ЕЕКТОРШЕ ИНВАРЕАЕШ И ДШЬШЕ ПАШ ПЕЕЖТШННЙ А5ФШН1 АЛГЕБР ЛИ И ГЕ7ШГ ПЕТЕЛЬ

0Г.0Г.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ дассертацлз на соискание ученой стспеш кандидата фпзлко-ыатеыаютеских наук

Ярославль 1992

Работа выполнена на механико-математическом факультете Ы1У

Научный, руководитель - доктор физико-математических наук

Рудаков Алексей Николаевич .

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

на заседании специализированного совета К ПЗ.27.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ярославском ордена Трудового Красного Знамени государственном педагогическом институте имени Ушинского по адресу: 150000, г. Ярославль, улица Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЯШИ.

Автореферат разослан 1¿¿>Á$4ZJK 1992 г.

Т .

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук В.Г.Шендеровский

профессор Онищик Аркадий Львович кандидат физико-математических наук Фейгин Борис Львович

Ведущая организация - Петербургское отделение

Математического института имени Стеклова РАН

Защита состоится

Tif^f**

имгкая

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Предмет исследования. В рзбОТб ИЗУМЯТСЯ ПрвДСТаВЛЗНКЯ

аффинных алгебр Ли и груш петель, образующие дуальные пары, а также их векторные инварианты. ,

Цель исследования состоит в распространении классических результатов, относящихся к конечномерным группам и алгебрам Ли, па бесконечномерный случай.

Актуальность. Одним из основных методов в теории представлений является изучение алгебры сплетавши операторов в некотором естественном представлении изучаемой группы. В случае, когда эта алгебра порождена действием другой группы в том же пространстве и представление полупросто, мы имеем дело с дуальной пэроя представления двух групп.

Обизизвестным примером дуальной пары является левое и правое действие конечной группы в групповой алгебре. Ешэ один замечательный пример - V = В®". = С1(Я), С, = Sn. представление v.. полной линейной группы в V является n-й тензорной степенью тождественного представления. а симметрическая группа Sn действует в V перестановками сомножителей. Возникающая здесь связь между представлениями симметрической и полной линейной групп была исследована еда И.Шуром около 1900 года и премененз им к анализу представлений полной линейной группы. Эти идеи были существенно использованы и в классической книге Г.Вейля1 , вьпгедаей в 1939 году. :

Понятие векторного инварианта классической группы являет-

'Вегль Г. Классические группы, их инварианты и представления. - М.: ИЛ. 1947.

ся одним кз основных в книге Вэиля. Под классической группой С мы понимаем полную линоаную, симплектическую или ортогональную группу конечномерного пространства Н над полем с, снабженного в двух последних случаях невырожденной билинейной формой, соответственно коеосимкетрической или симметрической. Векторный инвариант - это С-инвариантныя полином от координат нескольких векторов х1е и (и нескольких ковекторов и" в случае С = <ЗШ)). Явное описание векторных инвариантов образует базис дая изложенной в книге Вейля теории представлений классических груш.

Теорию векторных инвариантов использовал и Р.Хау в серии

2

работ о дуальных парах. Первая из них вышла в виде препринта в 1976 году и оказала немалое влияние на развитие теории представлений. Хау заметил, что знание векторных инвариантов обеспечивает единый подход к построению многочисленных дуэльных пар представлений классических групп. Он рассматривает (вообще говоря бесконечномерное) пространство V, алгебра операторов в котором содержит в качестве всюду плотной подалгебры алгебру Вейля-Клиффорда прямой суммы нескольких экземпляров пространства V? (и 8* в случае С = С1(3)), с суперсимметричной билинейной формой. Поскольку алгебра Вейля-Клиффорда является'квантованием кольца супермногочленов, то С-инваризнтны в ней легко описать, пользуясь теоремой о векторных инвариантах. Явные формулы показывают, что соответствующие операторы в пространстве V возникают из действия алгебры Ли другой классической

2Ноие Ft. Remarks on classical Invariant theory // Trans, of the AMS. 1989. 7.313. N2. p.539-570.

группы (или супергруппы). Если речь идет об алгебре Клиффорда суммы нескольких экземпляров пространств Ч к 1* и, соответственно» пространство 7 конечномерно» то этих рассуждения: достаточно, чтобы установить наличие дуальной пары. Случая бесконечномерного V сложнее3.

Среди бесконечномерных групп и алгебр Ли наиболее близки к конечномерным группы петель4 и аффинные алгебры Ли3. Понятие классической аффинной алгебры Ли было предложено Фэгнгольдом и Френкелем®. Там же для них построены представления, аналогичные спинорному представлению и представлению Вейля конечномерных ортогональной и симплектической груш. Частный случай -спипорноо представление ортогональной аффинной алгебры Ли -был получен ранее Френкелем7.

Отталкиваясь от (связанной со спиноряоя) вертексноа кои-

3Ноое R. Transcending classical Invariant theory // J. oi the AMS. 19S9. v.2. N3. p.535-552.

4Прессли Э.. Сигал Г. Группы петель. - М.: Мир, 1990.

sKac V.G. Infinite dimensional Lie algebras (an Introduction). - Progreis In Math., v.44. Boston: Blrkhauser. 1934.

^elngold A.J.. Irenkel I.B. Classical aiilne algebras // Adv. In math.. 1985. v.56. N2. p.117-172.

7Frenkel I.B. Two constructions oi aiilne Lie algebra representations and boson-fermlon correspondence in quantum ileld .• theory // J. Funct. Anal.. 1981. v.44. p.259-327.

струкцки представления аффинных алгебр Ли, Френкель8 построил первый пример дуальной пэры представлений еЗфданых алгебр Ли типов А^13 и А^13. Дальнейшие примеры получены автором настоящей работы.. - •

Научная новизна диссертации определяется ТвМ, ЧТО Е НвВ впервые:

1. Получен список фермионных дуальных пар представлений классических груш петель и аффинных алгебр Ли.

2. Найдены образующие и соотношения колец векторных инвариантов групп CKn.cíltJl) и Sp<2n,cl[t]]).

Практическая ценность работы. В диссертации рассматриваются теоретический вопросы. Результаты и конструкции диссертации могут нзяти применения как в теоретической физико. так и в дальнейших математических исследованиях аффинных алгебр Ли и .групп петель.

Апробация диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались па 3 Всесоюзной школе по алгебрам Ли (Москва, 19S7), на семинаре по теории представления в университете города Бшюфельда (Германия) и на 'научно-исследовательских семинарах в МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11-31.

Urenkel I.B. Representations of affine Lie algebras. Kecke modular forms anfl Korteweg-de Vrles type equations // Lecture Notes in Hath.. vC933. Springer-Verlag. Berlin anfl ftew York. 1952- p.71-110.

объем и структура диссертации. Диссертация (65 стр., библиография 15 наименований) состоит из введения и трех глав. В первой главе приведены необходимые предваротельные сведения и построены фермионныв дуальные пэры. Вторая и третья глзбы посвящены изучению векторных инвариантов соответственно групп Бр<2п.<с[[1]]) и Шп.с(тП.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИЙ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются основные шли работы, а также дается обзор структуры послодукшх глав. Основное поле на протяжении всей работы - поле комплексных чисел с.

В первых двух параграфах главы 1 собраны необходим© предварительные сведения об аффинных алгебрах Ли и о группах петель. В § 1.3 построены фзрмионнью дуальные пары представления классически групп петель.

Основой для построения фермионных дуальных пзр является спинорное или фермионное представление ортогональной группы петель О(И,с) (или скрученной ортогональной группы петель 6(№,с)т, где г - автоморфизм второго порядка). Мы рассмотрим три основных случая отображений двух классических групп штель в ортогональную, таких, что образы этих отображений - коммутирующие между собой подгруппы. &ги случаи:

' 1)0(п.с) —► О(тпИ.с) «--0(ш,с)

Т1 т . тг

2) С1(п,с)т —► 6(2пшИ,с) <-БШ.с),

Т1 гг

3) Бр(гп.с)—► 6(4тпЛ,с) «-Бр(2т,с) .

В первых двух случаях т1, тг и т - либо тождественные автоморфизмы, либо автоморфизмы порядка 2.

- б -

Поскольку пространство представления группы петель в са-тривкальпом случав бесконечномерно, то нам нужно уточнить воняли дуальной пары. Скажем, что вполне приводимые представления и групп С1- и С2 в пространстве V образуют дуальную пару, если операторы <>1 ) и о-2<£^) коммутируют при любы? ^ -г Сг и * Сг, к для любого огоратора А. КОМЫуПгф'/ЮЦвГО со всеми операторами вида ), и лобого конечномерного подпространства У0с V, наидзтся оператор В из алгебр,!, порожденноя операторами вида такой, что А<у) - В(у) при любом

▼ в V

В случае, когда представления и образуют дуальную пару, разложение пространства V в сумму неприводимых относительно действия Сх х о, подпространств всегда имеет вид (1)' у= ® Vе,0® ^,

J-l }

■где в пространство реализовано неприводимое представление группы СА (1 а 1,2), и зти представления при различных 3 (и одипзкозеи 1) попарно но эквиваленты. В действительности, существование такого разложения равносильно тому, что с-1 и <>г образуют .дуальную пару. Таким образом, дуальная пара устанавливает взаимпо-однозначнов соответствие между некоторым множеством неприводимых представлений группы С1 и некоторым множеством неприводимых- представлений группы С£.

Обозначим через Сх и С, два группы петель, отображенные в ортогональную как в одном из случаев 1)-3), через ^ и -ограничения на них спияорного представления. В §1.3 доказана

ТЕОРЕМА 1.1. Представления и <?2 групп Сх и С2 образуют дуальную пару.

Доказательство теоремы обобщает предложенный Френкелем

метод построения дуально а пары представления аффинных алгебр Ли типов и А^1' в вертексном пространстве. Вводя подходя-■ щую градуировку в нашем фэрмионнои пространстве, мы используем формулу Бвплл - Кацз для характеров неприводимых представления групп петель и следующую го нее формулу для ряда Пуанкаре ( в выбранной градуировке ) пространства особых векторов данного веса. Формула для ряда Пуанкаре имеет мультипликативный вид, что позволяет сравнить ее с формулой для характера неприводимого представления второй группы петель в глазной градуировке ( которая отличается от выбранной нами сдвигом ). Тают образом доказывается, что разложение пространства У в сумму неприводимых модулей--имеет вид (1} и, следовательно, кы инеем дело с дуальной парой.

Следующие» две главы по зависят друг от друга. Глава 2 посвяшена нахождению образующих и соотношения кольца векторных инвариантов группы Зр<2п,сП1;Ш, а а главе 3 решается та же задача для группы СКп.^Л [ Ш).

Пусть С - одна из этих груш. Вектором назовем элемент свободного модуля над с[Ш] ранга 2п (в случае С = 5р(2п,«ШШ) или п (в случае С = СКп.спг]])), б котором С естостеенно действует, ковектором - элемент двойственного над с[и)1 С-модуля. Векторным инвариантом над <с[ Ш ] группы С будем называть поливом над с[Ш) от координат нескольких векторов и нескольких коЕекторов, инвариантный относительно действия группы Векторным инвариантом над с или просто век-• торт&а инвариантом группы С ш будем называть С-цвддризнтнка полином язд с от когффишюнтов в разложении по степени| % координат нескольких Бекторов и нескольких ковекторов, Взметам,

что в случае С » Sp(2n,c[[tîJ) ковектори прообразуются так же, как векторы, так что их можно не рассматривать.

Кольцо векторных инвариантов над ç[[tJ] задается образующими и соотношениями,, приведенными в книге Вбйля (переход от поля к кольцу формальных степенных рядов никак не отражается на доказательствах). Для группы С «= CTLCn.ctítЛ) образующими (базисными инвариантами) являются всевозможные произведения вектора и ковеитора а для С = Sp(2n.£[[tll) добавля-

ются orne скалярные произведения с помощью основной кососиммет-рической формы: и Заметим, что коэффициенты в

разложении sтих образующих га степеням t являются уже инвариантами над с.

ТЕОРЕМА А. Кольцо ■ векторных инвариантов над с порождено коэффициентами в разложении по степеням t базисных векторных инвариантов над eilt Л.

Bes соотношения между базисными векторными инвариантами над ctltn порождены соотношениями вида û*t!<;a.x?)JMl>iî<a = 0, где |1| = |J| = п+1, в случае G = GLtti.clIt)])« и PíI<xa.x^>latíleI =0, где IXI = 2п+2, в случае С » Sp(2n,c[[t)]) (в последнем случае мы рассматриваем инварианты, зависящие только от векторов). Заметим, что коэффициенты в разложении по степеням t этих соотношений могут трактоваться как соотношения между базисными векторными инвариантами над с.

ТЕОРЕМА В. Все соотношения между, базисными инвариантами над с порождены коэффициентами в разложении по степеням t базисных соотношений между базисными векторными инвариантами над cuti).

Заметим, что теоремы типа А и В верны далеко не всегда даже для классических групп. Так, если рассматривать не только Беютрноз и ковекторное, но и другие естественные представления, то теорэма А перестает быть верной уже для СЬ(1 ,с[£г]1). Для велсгорных инвариантов теорэма В неверна, если С - 51(п.с(Ш]) при п > 2.

В случае С = Бр(2п,с[Ш]) теоремам А и В соответствуют теоремы 2.1 и 2.2, а в случае С = СЬ(п.с[ Ш1) - теоремы 3.1 и 3.2 Диссертации. Доказательство теорем 2.2 и 3.2 использует следуют* прием. Емэсто соотношения в кольце инвариантных многочленов рассмотрим соотношения в пространстве ишззризнткых тензоров от линейных форм па векторах < и ковекторах ). Линея-по упорядочив базисные инвариантные тензоры фиксированного ранга, мы доказываем, что каждый базисный инвариант либо является максимальным из входящих в некоторое стандартнее соотношение, либо является минимальным не аннулируемым некоторым тепзорным произведением векторов < и ксвектсров ). Отсюда легко следует, что любсе соотношение между базисными инвариантами является линеяноя комбинацией стандартных.

Теорема 2.1 выводится из теоремы 2.2 с помощью дуэльной пары, построенной в теореме 1.1. Для группы СХДп.сгиШ такое рассуждение на проходит, поэтому приходится воспользоваться весьма громоздким комбинаторным вычислением пространства инвариантных тензоров.

Основные результаты диссертации - теорема 1.1, опубликованная в 12), и теоремы 2.1, 2.2, 3.1 и 3.2, опубликованные в [3].

Работа выполнена под руководством А.Н.Рудакова, которому

я весьма признателен.

Литература

1. Рыбников Г.Л. Тензорные инварианты алгебры Ли в«2(сШ) и Фундаментальные представления алгебры Ли «р2п. - в кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. 10. <3ап. научн., сомин. ЛОМИ. т. 172). Л.: Наука, 1988. с.137-

. -144.

2. Рыбников Г.Л. Фермионные дуальные пары представления групп петель. - Функц. анализ и его прил., 1992, т.28, вып.1 , С.76-78.

3. Рыбников Г.Л. Векторные инварианты групп СЪ(п,с11г])) и Бр^п.сШ;]!). - Функц. анализ и его прил., 1992, т.26. ВЫП.4, с.75-77. .