Некоторые классы подмногообразий однородных Ф-пространств и периодических пространств с умножением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

СОГЛАШЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ОР-ПРОСТРАНСТВ

И ПРОСТРАНСТВ С РЕГУЛЯРНЫМ УМНОЖЕНИЕМ.

§ I. Ор -пространства и пространства с регулярным умножением.

§ 2. Римановы метрики на однородных

Ср-пространствах.

§ 3. Локальное изучение ср -пространств и пространств с регулярным умножением

§ 4. О глобальном изучении пространств с регулярным умножением

§ 5. Подпространства ср -пространств и пространств с регулярным умножением

ГЛАВА II. ЗЕРКАЛА Ф-ПРОСТРАНСТВ.

§ I. Постановка задачи

§ 2. Зеркала редуктивных однородных пространств и общие тройные системы Ли

§ 3. Локальная классификация зеркал Ф-пространств полупростых компактных групп Ли

§ 4. Зеркала ср -пространств классических компактных групп Ли типа В^

§ 5. Зеркала Ор -пространств компактных групп Ли типа Г)^

§ б. Зеркала Ор -пространств компактных групп Ли типа Ап

§ 7. Зеркала Ор -пространств компактных групп Ли типа С п.

§ 8. Основная теорема классификации зеркал однородных ор -пространств компактных групп Ли классических типов

ГЛАВА III. ЦЕНТРЫ И ГЛОБАЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ

ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ С УМНОЖЕНИЕМ.

§ I. Представление центра пространства с регулярным умножением

§ 2. Центры пространств типа

§ 3. Центры пространств типа С п

§ 4. Центры пространств типов В е. и Dg

§ 5. Основная теорема о центрах классических пространств с умножением.

§ б. Основная теорема классификации особых периодических пространств с умножением

§ 7. Доказательство теоремы 3.

§ 8. Вычислительный алгоритм глобальной классификации периодических пространств с умножением типов Eg и Еу

ГЛАВА 1У. ТОРЫ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ

С УМНОЖЕНИЕМ.

§ I. Некоторые технические конструкции: когомологии Галуа и т.п.

§ 2. Сопряженность максимальных торов периодических пространств с умножением

Основное содержание настоящей работы составляет исследование трех классов подпространств однородных периодических Ср -пространств и периодических пространств с умножением - зеркал, центров и торов.

Изучение подмногообразий, обладающих некоторой дифференциально-геометрической структурой, индуцированной с объемлющего многообразия, является традиционным, но не утратившим актуальности направлением в геометрии. Исследования такого рода восходят к классическим теоремам о связи дифференциально-геометрических инвариантов многообразий и их подмногообразий /например, формулы Гаусса и Кодацци/. Поэтому естественно, что различные классы подмногообразий привлекают внимание многих математиков. Можно указать как на классические работы Э.Картана [10] , так и на современные работы А.М.Васильева [3-5] , А.Сейгла [57,58] , Л.В.Сабинина [21] , С.Хелгасона [47] и других. При этом особое внимание уделялось подмногообразиям однородных пространств ввиду той исключительной роли, которую такие пространства играют в геометрии после открытия в 1925-26 гг. П.А.Широковым и Э.Картаном симметрических пространств [10,45] . Изучались вполне геодезические подмногообразия редуктивных однородных пространств /см. уже цитированные работы [3-5,57,58,10] /, автопараллельные подмногообразия [1б] , локально симметрические подмногообразия [40] . В последнее время /1980-1982/ появились работы, описывающие симметрические и обобщенные симметрические подмногообразия евклидова пространства [46] /см.также Добавление б в [13] /.

Особое значение для нашего исследования имеют две работы Д.Леунга [50,51] , в которых описан специальный класс вполне геодезических подмногообразий римановых симметрических пространств /см.также продолжение этих работ [52,53] /. Подмногообразия, описанные Д.Леунгом, являются множествами неподвижных точек инволю-тивных изометрий объемлющего симметрического пространства и называются зеркалами. Отметим, что локальный вариант этого понятия введен Л.В.Сабининым в 1958 г. в [19] , и постановка задачи первой главы диссертации отчасти стимулирована его работами [19, 20,22] .

С 60-х годов возник интерес к различным обобщениям симметрических пространств: Р|0 -пространствам, пространствам с регулярным умножением и т.п. Ор-пространства были введены В.И.Ведерниковым [6-7] , пространства с регулярным умножением - А.С.Фе-денко [33,34,37-39] . Важность изучения таких пространств обусловлена тем, что эти пространства являются наиболее естественным обобщением симметрических. Методы их изучения расширяют и углубляют методы изучения симметрических пространств. Число работ по обобщениям симметрических пространств велико, поэтому мы укажем на обзор В.И.Ведерникова и А.С.Феденко [8] и в дальнейшем отметим лишь исследования, прямо или опосредованно связанные с результатами настоящей работы.

В рамках общего направления изучения индуцированных структур подмногообразий естественно возникает задача описания различных классов подмногообразий, обладающих индуцированной структурой Ор -пространства или пространства с регулярным умножением.

Другое направление исследований, приводящее к этой же задаче, обусловлено развитием методов неассоциативной алгебры в геометрии /см.обзор Л.В.Сабинина в [п] /. Особую роль здесь сыграли работы О.Лооса [54,55] . Лоос показал, что геометрия симметрического пространства полностью определяется алгебраическими свойствами структуры гладкой левой квазигруппы с тождествами идемпотентности, левой дистрибутивности и левой обратимости. Отсюда возникла естественная задача изучения геометрических свойств различных гладких неассоциативных структур /и, следовательно, их "подструктур"/. Существенным продвижением на этом пути явилось построение А.С.Феденко [33-35,37-39] и О.Ковальским [13, 48,49] теории пространств с регулярным умножением /в терминологии Ковальского - регулярных $ -многообразий/. Подход А.С.Фе-денко позволяет строить теорию пространств с регулярным умножением по той же схеме, что и теорию групп Ли. Вводятся понятия подпространства, фактор-пространства, центра цространства с регулярным умножением. В наиболее полном виде эти результаты содержатся в книге [39] .

Локальная характеризация подпространств пространств с регулярным умножением получена в [39] . Поэтому основной интерес представляет выделение и изучение наиболее важных с геометрической точки зрения классов подпространств. Описанию трех таких классов и посвящена настоящая работа.

Сформулируем теперь основные результаты диссертации. Для удобства чтения мы сразу введем определения тех подмногообразий, которые изучены в работе.

Определение I. Вложенное подмногообразие В ри-манова многообразия М называется зеркалом, если £ есть связная компонента множества неподвижных точек некоторой инволютив-ной изометрии и полно относительно индуцированной римановой метрики.

Прежде чем следовать далее, отметим, что определение пространства с регулярным умножением дано на с.19 настоящей работы. В дальнейшем изложении мы используем также понятие группы сдвигов пространства с регулярным умножением /см.с.20 диссертации/. Определение 2. Пусть М -пространство с регулярным умножением, -его группа сдвигов, О,'- & - "квадратичное отображение", определенное формулой йс*) = в;', хем

Центром пространства М называется подпространство

2(м) = 0.и(г(&» , где 2(&) ~ центр группы &• • Пространство М называется абелевым, если М = 2Г(М) .

Определение 3. Пусть М -пространство с регулярным умножением, & - его группа сдвигов, 0|0-автоморфизм группы б- вида • Пусть К -связная подгруппа Ли в инвариантная относительно автоморфизма 0|0 . К -орбита точки О 6 М называется подпространством 2-го рода в М . Определение 4. Тором пространства с регулярным умножением называется компактное абелево подпространство 2-го рода.

Основные результаты диссертации составляют теоремы 2.1,2.2, 2.3,3.1,3.2,4.2. Дадим формулировку этих теорем. Отметим, что в формулировке теоремы 2.1 участвует введенное автором понятие отражающего подпространства в общей тройной системе Ли /см.§ 2 гл. II/.

Теорема 2.1. Пусть М=(г/Н -односвязное редуктивное однородное пространство такое, что алгебра Ли ф допускает Ао1(&") -инвариантную билинейную положительно определенную симметричную форму К • Предположим, что группа & эффективно действует на

Н * а бстественно-редуктивная & -инвариантная римано-ва метрика на М индуцирована формой К • Тогда существует взаимно однозначное соответствие между отражающими подпространствами в общей тройной системе Ли пространства М и его зеркалами. Соответствие задается равенством ^ =

Из теоремы 2.1 выводится Теорема 2.2. Пусть М = &/Н -односвязное регулярное однородное 0|0 -пространство, У) -соответствующая локальная тройка, Предположим, что группа б- полупроста, компактна и эффективно действует на М » а & -инвариантная риманова метрика на

М индуцирована формой Киллинга алгебры Ли ф . Тогда существует взаимно однозначное соответствие между зеркалами в М » обладающими структурой подпространства, и подтройками Сф^ локальной тройки» гДе -подалгебра неподвижных точек некоторого инволготивного автоморфизма § , перестановочного с

Замечание. Определение локальной тройки Ор-пространства вводится по аналогии с определением ортогональной симметрической алгебры Ли, соответствующей симметрическому пространству /см,с. 23 настоящей работы/.

Теорема 2.2, является основой для явной классификации зеркал периодических римановых Ср -пространств классических компактных групп Ли, полученной в теореме 2.3. Теорема 2.3. есть объединение результатов предложений 2.1. - 2.5. В качестве иллюстрации приведем результат предложения 2.1. /остальные не имеют принципиальных отличий/.

Сначала напомним, что в [39] доказано, что всякое однородное периодическое Ор -пространство с основной группой SOO-1) локально изоморфно однородному 0)0 -пространству вида

SOC^/WCn^x• • • xV(n,) х S(0(nt+4)x oow) • г где wcnl)=0(2di)nsp(ni), П=1>Ч+«*+1 + п*+г • /I/ u-1

Будем говорить, что однородное Ор -пространство, локально изоморфное пространству /I/ имеет тип или, при YI-2.Y. + '1 /соответ ственно при YI»22. /•

Предложение 2.1. 1/Лгобое однородное риманово Ср -пространство, которое может быть изометрично вложено в односвяз-ное периодическое однородное риманово 0|Э -пространство типа как подпространство, являющееся зеркалом, г локально изометрично пространству x|so(n-p* W(n\>$(ОС^*ОК+Л)} , где t.,m.t>о, f^+m^n,, t-i,• i=i

2/. Любое разбиение п\+£.-Пи 1=1,.,«+2, определяет зеркало, обладающее структурой подпространства однос-вязного периодического риманова -пространства типа Ч

Перейдем теперь к изложению результатов о центрах. Основным объектом исследования в настоящей работе является специальный класс пространств с регулярным умножением - периодические пространства с умножением.

Определениеб. Пространство с регулярным умножением называется периодическим пространством с умножением, если для всех симметрий 5Х (эс£М) существует целое К >4 /не зависящее отх / такое, что = и Для всех Целых Ь 0<£<К 9

Ъ^ i tolM

Простое, но важное утверждение представляет собой Лемма 3.1. Пусть М -односвязное периодическое пространство с умножением, Qr -его группа сдвигов. Тогда существует автоморфизм ОР односвязной накрывающей группы » такой,что

Эта лемма является основой нахождения центров пространств с классическими группами сдвигов /теорема 3.1/. Лемма 3.1. позволяет свести задачу о центрах к решению уравнения

CP(9) = &9> £€Z(£) в группах SU. (Л) , Sp(n) » SO (и.) • Последнее решается с использованием классификации автоморфизмов этих групп в [39] .

Пусть теперь (Q»]^*?) -локальная тройка, соответствующая пространству М » Т -максимальный тор группы Qr , R система корней группы (J- относительно тора Т > = * где R^ - система корней полупростой части подалгебры Как обычно, - алгебра Ли тора Т , Д - центральная решетка в f , jj) -фундаментальный симплекс. Мы считаем, согласно [60] , что автоморфизм 0|0 ; Q.-*- такой, чтоо1°Р=(£ , является внутренним и имеет вид

Теорема 3.2, I/. Центры односвязных периодических пространств с умножением типов , F^ » Eg тривиальны. 2/. Центр периодического пространства типа Е6 или изоморфен /соответственно ¿Р^ / тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент группы Вейля такой, что ИТСХЗгХС^ОсАЛО» но , где "W1,

- подгруппа в W » порожденная отражениями , сх (i .

В остальных случаях центр 5Г(М) тривиален. Теорема 3,2. служит основой вычислительного алгоритма глобальной классификации особых периодических пространств с умножением /§ 8 гл.Ш настоящей работы/.

Теорема 4.2. Пусть М -компактное полупростое периодическое пространство с умножением простого порядка. Любые два максимальных тора такого пространства сопряжены в подгруппе изотропии.

Заметим, что теорема 4.2. выводится из полученного в гл.1У критерия сопряженности /теорема 4.1./. На наш взгляд, доказательство теоремы 4.1. отражает специфику перехода от случая симметрического пространства к произвольному периодическому случаю и поэтому представляет самостоятельный интерес. Идея доказательства состоит в рассмотрении группы сдвигов Qr как группы R -точек некоторой комплексной ]R -определенной алгебраической группы G-0 . Тогда вопрос о сопряженности максимальных торов периодического пространства с умножением сводится к проверке некоторого свойства максимальных абелевых алгебраических подалгебр специального вида в алгебре Ли алгебраической группы G-C /точная формулировка приведена на с. 105, диссертации/.

Сделаем несколько замечаний об актуальности задач, решаемых в настоящей работе.

Задача о нахождении зеркал стимулирована, с одной стороны, уже упоминавшимися работами Л.В.Сабинина [19,20] , а с другой -одной проблемой С.С.Чженя [50,5l] .Эта проблема состоит в следующем. Известно, что всякая минимальная поверхность в пространстве постоянной кривизны, содержащая геодезическую объемлющего пространства, инвариантна при симметриях относительно этой геодезической [56] . Чжень поставил проблему обобщения этого принципа на более общие римановы многообразия. Однако из результатов [50, 51] следует, что для решения этой проблемы необходимо классифицировать зеркала в интересующих нас классах римановых многообразий.

Решение задачи описания центров периодических пространств с умножением позволяет получить их глобальную классификацию. Отметим, что в вопросах классификации ранее развивался в основном локальный аспект теории [35,36,39,60] , между тем глобальный вариант также представляет интерес.

Вопрос о торах возникает в рамках подхода к теории пространств с регулярным умножением с точки зрения теории групп Ли

39] . Естественны попытки обобщать теоремы теории групп Ли на пространства с умножением. К первому результату такого рода относится теорема О.Лооса [55] о сопряженности максимальных торов симметрического пространства /т.е. пространства с регулярным умножением порядка 2/. Теорема 4.2. обобщает теорему Лооса. С другой стороны, хорошо известно, что все максимальные плоские вполне геодезические подмногообразия риманова симметрического пространства сопряжены в его группе изометрий [42] . Между тем, максимальный тор пространства с регулярным умножением есть плоское вполне геодезическое подмногообразие относительно канонической связности пространства с регулярным умножением [17] . Поэтому результаты диссертации можно рассматривать как естественное обобщение случая симметрического пространства.

После формулировки основных результатов диссертации перейдем к изложению ее содержания по главам и параграфам.

1.Адаме Дж. Лекции по группам Ли. М.:Наука,1979. - 144 с.

2. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. М.:Мир,1972, гл. 4-6. -- 334 с.

3. Васильев A.M. Об одном классе аффинных связностей в однородных пространствах. Изв. вузов. Математика.,1959, № 2,с. 41-49.

4. Васильев A.M. О вполне геодезических подмногообразиях однородных пространств. Докл. АН СССР,1959,т.128, № 2, с.223--226.

5. Васильев A.M. С! -связности в однородных пространствах и их вполне геодезические подмногообразия. Докл. АН СССР,1961,т.140, № 2, с.281-283.

6. Ведерников В.И. Симметрические пространства и сопряженные связности. Уч. зап. Казанск. ун-та, 1965,т.125, № 1,с.7--59.

7. Ведерников В.И. Об одном специальном классе однородных пространств. Изв. вузов. Математика.,1972,№ 12,с.17-22.

8. Ведерников В.И.,Феденко A.C. Симметрические пространства и их обобщения. В сб.: Алгебра.Топология.Геометрия.,т.14, М., ВИНИТИ АН СССР,1976, с.249-280.

9. Кобаяси Ш.,Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.:Наука, 1981, т.2. 414 с.

10. Ковальский 0. Обобщенные симметрические пространства. М.: Мир, 1984. 240 с.

11. Мармазеев В.И. Накрытия пространств с регулярным умножением. Изв. АН БССР.Сер. физ.-мат. наук,I976,№ б,с.127-128.

12. Мармазеев В.И. Полупрострые пространства с регулярным умножением и их центры. Изв. АН БССР.Сер. физ.-мат.наук,1980, № 5,с.45-52.

13. Мармазеев В.И. Автопараллельные подмногообразия редук-тивных пространств. Матем. заметки, I981,т.29,№ 5,с.785-791.

14. Мармазеев В.И. Абелевы пространства с регулярным умножением. В сб.: Тез. докл. У1 Прибалтийской геом. конф.»Таллин, 1984, с.75.

15. Рашевский П.К. Теорема о связности подгруппы односвяз-ной группы Ли, перестановочной с каким-либо ее автоморфизмом. -Тр. Моск. матем. об-ва, 1974, т.30, с.3-22.

16. Сабинин Л.В. О геометрии субсимметрических пространств. Научн. докл. высш. школы, физ.-мат. науки,1958, № 3,с.46-49.

17. Сабинин Л.В. О структуре групп движений однородных римановых пространств с осевой симметрией.- Научн. докл. высш.школы, физ.-мат. науки, 1958, №6, с. 127-138.

18. Сабинин Л.В. Геометрия однородных римановых пространств и внутренняя геометрия симметрических пространств. -Докл. АН СССР, 1959, т.129, № 6, с.1238-1241.

19. Сабинин Л.В. Однородные римановы пространства с (11-1)-мерными зеркалами. В сб.: Некоторые краевые задачи обыкновенных дифференциальных уравнений. М.,1970, с.116-126.

20. Серр Ж.-П. Когомологии Галуа. М.: Мир, 1968. 208 с.

21. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир,1969.375 с.

22. Степанов H.A. О редуктивности фактор-пространств,порожденных эндоморфизмами группы Ли. Изв. вузов.Математика., 1967, № 2, с.74-79.

23. Степанов H.A. Основные факты теории (f -пространств. -Изв. вузов.Математика. ,1967, №3, с.88-95.

24. Тралле А.Е. Зеркала Ор-пространств унитарной и симп-лектической групп. Вестн. Белорусок, ун-та,сер.I,физ.,мат.,мех. 1984, № I, с.69-70.

25. Тралле А.Е. Зеркала Op-пространств с классическими компактными основными группами. В сб.: ХУП Всесоюзн. алгебр, конф. Тез. сообщ.,ч.2, Мн.,1983, с.237-238.

26. Тралле А.Е. Зеркала CP -пространств с полупростыми компактными основными группами. Изв. АН БССР.Сер. физ.-мат.наук,1984, № 4, с.27-32.

27. Тралле А.Е. Глобальная классификация особых периодических пространств с умножением. Докл.АН БССР, 1984,т.28, № I, с. 12-14.

28. Тралле А.Е. Глобальная классификация периодических пространств с умножением классических и особых типов. В сб.: Тез. докл. У1 Прибалтийской геом. конф.»Таллин, 1984, с.120.

29. Тралле А.Е. Торы периодических пространств с умножением. Докл. АН БССР ( в печати ).

30. Феденко A.C. Пространства, определяемые эндоморфизмамигрупп Ли ( -пространства).- Труды геом.семинара ВИНИТИ, 1973, вып. 4,с.231-267.

31. Феденко А.С. Особые периодические пространства. В сб.: Материалы 1У Прибалт, геом. конф., Тарту : Изд-во Тартуск. ун-та, 1973, с.128-130.

32. Феденко А.С. Регулярные пространства с симметриями. -Матем. заметки, 1973, т.14, № I, с.ПЗ-120.

33. Феденко А.С. Центр регулярного пространства с симметриями. Вестн. Белорусск. ун-та, 1974, сер. I,№ 1,с.18-22.

34. Феденко А.С. Пространства с симметриями . Мн.: Изд-во БГУ, 1977. 168 с.

35. Фляйшер А.Г. Редуктивные структуры и тройные системы Ли. Изв. АН ЭССР, сер. физ.-мат. наук, 1980,т.29,№ 3,с.254-260.

36. Хамфри Дк. Линейные алгебраические группы. М.:Наука, 1980. 400 с.

37. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. 533 с.

38. Шевалле К. Теория груш Ли. М.: ИЛ,1949, т.1. 315 с.

39. Шевалле К. Теория групп Ли. М.: ИЛ,1958, т.2 -274 е., т.З 307 с.

40. Широков П.А. Постоянные поля векторов и тензоров в Riemann-овых пространствах. Изв. физ.-мат. об-ва., Казань,1925, т.25,с.86-114.

41. Ferus D. Symmetric Submanifolds of Euclidean space. -Math. Ann., 1980, vol.247, p.81-93.47»Helgason S. Totally geodesic spheres in compact, symmetric spaces. -Math. Ann., 1966, vol.165, IT 4, p.309-317.

42. Kowalski 0. Riemannian manifolds with general symmetries. Math. Z., 1974, B.136, H.2, s.137-150.

43. Kov/alski 0. Classification of generalised symmetric Riemannian Spaces of dimension n45« Rozpravy CSAV, 1975, R.85,Sec.3.

44. Leung D.S.P. The Reflection principle for minimal submanifolds of Riemarmian Symmetric Spaces. J. Diff. Geom., 1972, vol.8, p.153-160.

45. Leung D.S.P. On the Classification of Reflective Submanifolds of Riemarmian Symmetric Spaces. Indiana Univ. Math. J., 1974, vol.24, N4, p.327-339.

46. Loos 0. Symmetric Spaces. Uew York: Benjamin, 1969, vol.1. 198p.55«Loos 0. Symmetric Spaces. Hew York: Benjamin, 1969, vol.2. 157p.

47. Lowson H.B. Complete minimal surfaces in S^. Ann. of Math., 1970, vol.92, p.334-374.57»Sagle A. A note on simple anti-commutative algebras obtained from a reductive homogeneous spaces. Hagoya Math. J., 1968, vol.31, p.105-124.

48. Wolf I.A., Gray A. Homogeneous spaces defined by Lie group automorphisms. J. Diff. Geom., 1968, vol.2, N 1-2,p.79-159.