Некоторые математические задачи высокотемпературной нитроцементации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИ» ГОСУДАРСТВЕННЫ!!] УНИВЕРСИТЕТ им. М. В, ЛОМОНОСОВА

Физический факультет

На правах рукописи

СТЕПАНОВА Инна Эдуардовна

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ВЫСОКОТЕМПЕРАТУРНОЙ НИТРОЦЕМЕНТЛЦИИ

Специальность: 01.01.03 — математическая

физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1992 г.

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор фнз.-мат. наук, профессор

В. Б. Гласно

Официальные оппоненты: доктор фаз.-мат. наук, профессор

А. С, Леонов

кандидат фнз.-мат. наук, доцент . ■ Н. В. Музылев

Ведущая организация: Государственный подшипниковый завод № 1 Защита состоится « /§ » ^хС^а«^ 1993 г. » часов

на заседании Специализированного совета № 2 ОЭТФ физического факультета МГУ /К 053.05.18/ по адресу: 119899, Москва,

С диссертацией можно-ознакомиться в научной библиотеке физического факультета МГУ.

Ленинские горы, физический факультет МГУ, ауд. С^Л

Автореферат разослан «

»

199 г.

Ученый секретарь Спецна

совета 1( 053.05.18, канд. ^¿П. А. Поляков

ОБЦАЯ ХШКГЕРЛСТ:та РАБОТЫ

Диссертация посвящена'математическому моцелирг.п'ляию лонврт них технологических процессор высокотемпературной нитропеменг-ч ций, решению на «гой основе возникающих задач оптимизации п раз работке соответствующих алгоритмов.

Актуальность. Математическое моделирование физических, в том числе технологических, процессов является в настоящее время широко распространениям методом разработки новых я корректировки действукадих технологий. Его преимущество перец физическим экспериментом состоит, во-первых, в том, что физический процесс в числовом отображении может бы.ь воспроизведен и проанализирован в экстремальных условиях, не допускающих вмешательство с помощью измерительных приборов; во-вторых, оказывается возможным многократное воспроизведение процесса при различных управляадих параметрах, что дает возможность выбрать их опгимальнне в том или ином смысле значения.

Тема настоящей диссертации, относящаяся к этому направлению научных исследований, является, тем самым, актуальной. Ео актуальность определяется также и областью приложений.

Высокотемпературная нитротментация - один яз.способов химико-термической обработки стальных деталей, подвергающихся в процессе эксплуатации контактным напряжениям и циклической нагрузке. Высокотемпературная нигроцементацяя стальных образцов способствует их поверхностному упрочнению; она является наиболее эффективной технологией в условиях крупносерийного и массового производства.

Целью работы является математически корректная постановка возникающих задач оптимизации, относящихся к классу обратных, создание на этой основе комплекса регуляризируяййс алгоритмов и разработка в результате математического эксперимента рекомендаций

•JL

'¡.', шсюру лгглмальных параметров. .

Научная новизна подученных результатов определяется тем, что :ыи ироцесеа высокотемпературной нигроцементации впервые рассмотри' круг вопросов единственности определения параметров -математц-чьйкой модели. При анализе проблема единственности метод оценок карлемановского типа "обобщается на случай системы двух линейных дифференциальных неравенств.

Научная новизна определяется такае тем, что для высокотемпературной нитроцеыентацш впервые предложены номограммы, связывающие с управляющие параметры с выходными характеристиками.1

Решение нелинейных задач прямого отображения базируется на хорошо разработанную в трудах различных авторов теорию и методику разностных схем различных типов. При математическом обосновании корректности постановок применяется фундаментальная теория регуляризации А.Н.Тихонова, Однако специфика рассматриваемых в диссертации задач управления приводит к формулировке специальных ре-гуляризирущих алгоритмов их решения.i

Практическая ценность работы определяете тем, что она выполнена на основе прямого сотрудничества с производственным объединением АВТ0-31Ш. На оснозе-серии математических экспериментов вынесены практические рекомендации цо выбору оптимальных параметров процесса нитроцементации. Результаты работы были отражены в •Отчете.-представленном ПО ЗИЛ в I9SI году '[ 7].

Апробация работы. Основные научные результаты Диссертации были доложены на-Международной конференции по некорректнам задачам в естественных науках (Москво, 19-25 августа 1991 г.), а также на научных семинарах кафедры математики физического факультета Iffy в 1990-199^ гг. и на московском семинаре по некорректным задачам на факультете ВМК МГУ' в 1992 г.

Публикации, Основные результаты диссертации.отраяены е

публикациях 1-7.

...^'РЛ-тура диссертации. Диссэртация состоит, помимо введения и заключения, из 4-х глав и 3-х приложеиий. В первой главе исследуется адекватность махематшеской модели высокотемпературной нитроце^ентацаи реальным физическим процессам. Вс второй глава анализируется единствейносгь решения обратнчх задач по определению параметров модели и управления. В третьей главе рассмотрены вопросы разработки численных алгоритмов. В четвертой главе изложены результаты по управлению высокотемпературной нитроцементации. В приложениях приведены описания и тексты ЭВМ-программ.

Диссертация изложена на Ь'7 стр., из которых 20 стр. составляют рисунки. Список литературы содержат 70 наименований.

Содержание диссертации

Во введении на основе краткого.обаора работ по математического моделированию технологических процессов (ТП) дается общий анализ проблемы, характеризуются этапы полного математического моделирования процесса, приведены краткое содержание диссертации по главам и основные результаты.

В первой главе изложена математическая модель процесса нитро-цементании, которая описывается системой двух нелинейных уравнений параболического типа, и исследуется проблема адекватности этой модели экспериментальным паяном.

ОсаоЕиые соотношении модели имеют виц:

--г,?*) ,о\*х*.С)

(й

££( О с , О £ г . ¿-к ' ■ '

II - / С(л.г) , г,/х) ^с^х)

^ * / *

В налим случае полагаем (первая краевая зацача по

азоту). Здесь с(х,т) , - концентрации углерода и ^зога

соответственно в тощее с координатой. х в момент времени 2" ,

р, , - коэффициенты диффузии, , ^ кинетические коэффициенты масоообмена, Сасх) , Уе(г) _ начальные содержания углерода и азота, Ссу(г) . М - потенциалы окрукавдеЗ среда по углероду и азоту соответственно.

Коэффициенты диффузии и коэффициент масоообмена углерода полагались равныш:

А • (*<* +С, + • , Г : ■

- (Iо е*/> ,

/,-/.3'-'о'-еуГтЩ)' & \

где -¿ц - температур^., К. • '

Установлено, что модель (I) хорошо описывает реальные физические процессы при высоких температурах ¿"^ 840°С) и . при больших длительностях процесса ( Т г* 5 час).

В главе предлагается также модель нитроцеменгации, утагывгэ-щф? поглощение асота. Такая модель оказывается возможной, если допустить, что с праве д шва так называемая "теория реактивной диффузии", При этом уравнение в системе (I), описывающее рррцесс насы-дзаад азо^оа, записывается в виде

И 2- Гп (с у. V 7 - ¿га/ (;;;

где пС - коэффициент поглощения азота, которнй может бить кап положительным, так и отрицательным. Численный эксперимент показал, что эта модель позволяет получить,жёлаемнй профиль угпароля в конце процесса с площадкой постоянной концентрации.

Математическое моделирование предполагает, что технологичен кий процесс монет быть ошгсая системой уравнений с известными краевыми условиями и параметрами, значения которых не всегда известны. В последнем случай часто можно воспользоваться методом обратных задач, алгоритмы решения которых дает теория регуляризации.

В главе Д рассматриваются вопросы единственности решения обратных задач по определению функций в модели (I), входящих" в начальные н граничные условия, а также рцраяаших зависимость коэффициентов .диффузии и массообмена от концентраций угле^зда и азота. Как известно, существуют обратные задачи различных типов, и применительно к технологическим процессам рассматриваются следупгае.

1) Задачи типа интерпретации данных наблюдений; к ним относятся задачи идентификации математической модели и инструментальные. Особенностью постановки этих задач является тот факт, что она может быть описана операторным уравнением- вида-:

■ (4)

где 4 - некоторый оператор, хеХ , У ~ элементы некоторых метрических пространств X я / .

2) Задачи типа синтеза некоторого несуществующего объекта и типа управления Некотором физическим шп технологическим процессом. Задачз технического, проектирования часто'объединяют оба этих типа. В гакях задачах операторное уравнение обычно не имеет смысла. Дело в том, что. по смыслу задачи,, гелаеыый,- "идеальный", эффект -у

хотя и может быть задан то«но, вовсе не обязан принадлежать множеству отображений пространства X с пошиью оператора 4 . характеризующего реальные свойства управ:1яомого или синтезируемого объоЕ;та. Таким образом, естественно^ оказывается вариационная постановка:

^^¡/у (4х' Р . ' (5)

где г? - жалаемы! эффект.

При этом . может быть не единственным.

Исследуемые нами задачи, связанные с моделью (I), - это либо задачи интерпретации, либо задачи управления. К первоаду типу относятся обратные задачи по нахождению коэффициентов диффузии Л ,

(гак называемые коэффициентные обратные задачи). Ко второму типу относятся задачи определения функций, входящих в граничные и начальные условия (граничные и ретроспективные обратные задача). В разделе 2.I приводятся вспомогательные теоремы а леммы, необходимые для доказательства теорем единственности для граничных и ретроспективных за- . дач. При этом наш обобщается метод карлемановскшс оценок на случай система .двух линейных дпфференцзалшых неравенств.

В разделе 2.2 с помощью лемм и теорем раздела 2.1 доказывается единственность решения некоторых граничных и гранично-ретроспективных задач, которые возникают в том случае, когда к конечному результату процесса н к .динамике последнего в приповерхностной области предъявляются определенные требовании. Нами были исследованы три вида задач по определению управляющее параметров процесса яятроцеменгацпи.

В пункте 2.2.1 доказывается теорема единственности решения . задачи по определению углеродного и азотного потенциалов окружающей среды. и начальных распределений углерода и азота по известным ' Езмер-зшигл в.некоторой дкутрвнпвй точке и конечному состояюга слоя.

ййоцем обозначении: = ^С.,(х), л^ху/ ^/1) г /¿еу/ГУ

Яс^/г)}, I = [%(<), %(Т)1 у* (г)I

¿с . - обльсть значений ¿/^г, г) , бу - область значения Л/7*,г) при (X, V) е <? * £о,е] х Го, г], к * /с(*,г).л/&,г)} > г / У1(г,г),

Теорема Т. Пусть | с- [С '{Го, ?])]*

и йгнкшш Д' ^ /л, У г) * А, ' о , / <и<. * А >о, йг

известии.

Тогда воктор-фушсщш г * ¿¡¿[С*1 [С*(£о, £])] <

х£с'('со,£])]* определяется условиями (I) и условиями: л^г; - ' ;

и(х*,т) • 0*Г*Г, (В)

однозначно. .

В пункте 2.2.2 исследуется вопрос однозначной■разрешимости ' обратноЛ задача по определении потенциалов окружающей среда при известных начальных распределениях а эволюции процесса в нокотороЛ точке ос о отрезка

Теорема 3. Пусть в (2) «йгнкпчи О, , ^г, / = 1,2, удовлетворяющие условиям, теоремы (I), ^/г; <? Г С*(Со, £3)]* -известии. Пусть запаха ^/г) ^ ( С* {С0,Т1)*: •■

• ' и(1в, Т) (7).

Тогда существует'не более одного решена» задачи;. (I). (7)

; Г.' /¿Г, Ъ] ГсГго,?7)]*. ,

В пункте 2.2.3 ..ррощгтея доказательство'теоремы единственности в .задаче определения.ко^ЭДишинтов каосбоОмеяа.углерода и азота. В отличие от 2,2.1 и 2,2,2, доказывается лишь легкальлая теорема единственности. • ■ *

Теорема 3;- ГГусть фщешш..' г?, АЛ ^/Г] -

извыстш и удовлетворяв условиям теорем I и 2. Пусть, кроме того, задана векгор-{ушшия (Т) £ [С( ])~]г и выполняв гея условия:

¿н (£') (''у (°) , 2«/</ - ^4/. (о) ( 2г'(х) -¡¿н'х), ги/х)} ).

Тогда существует такое £ >о , что функция и (г,Г) в и функции рт(Т), ц) , входящие в граничное условие:

= 3(г)(Г1' Щ-е > ^

¿„у.™/? у

определяются одаозначно.

• Раздел 2.3 посвящен изучению однозначной разрешимости коэф- , фациентных обратных задач. С помощью метода карлеыаиовских оценок в пункте 2.3.1 нами доказана теорема единственности в задаче цо определению параметров материала при химико-термической обработке стали. Подобная обратная задача (типа интерпретации) возникает при технологической обработке цилиндрической загот^ки, которая имеет (или должна иметь) неоднородную в поперечном направлении структуру, например, в пределах приповерхностного слоя. Процесс диффузии описывается, тогда'следующим образом: •

ШО,Х) = ^ (Т), и/1, т) = , О 0 (8)

в предположении, что , с = 1,2, <2,, ¥(*) известны.

Теорема 4. Пусть р(*) е С*(Гс, £]), >/>°>о . Предположим такие, что ±о 6 С? * Г11 ^ у > Тогда при заданных ^¿(т) • 0 ~ 1.2, , может суще-

ствовать не более одного решения задачи (8) ] удг, г), р/з.)/ е е У= ¡и- и, И*, Ьт, V**, 1/,т, г/гг* , ^гг, йг^ * с (Г°'

3 пункте 2.3.2 рассматривается проблема определения коэффициен-тов.диффузии при наличии полной информации о полях концентраций углерода и азота. .

Теорема 5. Пусть и г) СУ?)

известны вскщу в области Пусть также из-

вестны ■и 1ял Со, т]

и выполнены условия: Т - /У'р # <2 , —' >» ,

. С = 1,2. Тогда коэффициенты диффузии Д/^ иг)<£ с'(£ * ¿г)■ Рг(у\,1/г)ё С'

где </, - область значений 7/,/у, г) , 4 - область значений г/2 (х, г) яри (л, г) $ £ определяются из (I) однозначно.

В пункте 2.3.3 устанавливается единственность нормального решения обратной задачи в случае линейной модели для коэффициентов диффузии.

Дусть вектор-функция п{гс,г1 удовлетворяет в £) */о,г)

следущим условиям: , гГ ■ р.(Ы.т)%г ( - ;

. = ?с(а) , 0£СГ< £ ; (9)

V-(0,1) р /гУ, г) = £° £Т ] : ** ¡Шт, ; . маГрвда ио

г) * % =/--вектор-ЙГНКЦШ!.

ю

К и) * с и ¿зл I*. ~г * а, А,г = А* -- 0)

Г, ~и) - >

Агг Г, и) -- 7, с, г (х, Г ) + (1 Т)г/, + а г, г (х, Г) иг .

Причем 'о<». г) * Я, 4» Ъ и) о, А* (х. Г, и) г 4

о

Л, / = 0,3 - константы.

Предположим, что точное решение и{г,т) есть функция из множества: V" • ¡У', У* : М; е ^'г '(&), (!»,/> ц/итх/) <м ,.< = /лг>м ■

М - положительная консгаяга.

Введем векгор-|уши(ига - / Д ^ Г) , Ок,,- С*,?),

Пусть функции и (*, г) , (1,г) , (Л,V) £ $ - известны. Требуется определить коэффициенты уравнений в задаче (9). Будем искать $(х,т) в пространстве 3 :

Взедем ,цля любо,'! пары элементов и г йпшцию ¿") : .(*,¥) ' 2 Д,+&+ а^-* (П)

Нами показано, что (II) является скалярным произведением в ¡Г . Обозначя:.« £ " /3 е 2 ;. с <]>„ * рв(*,т) , о« * 5к,< (я,т) < От,,;

// * , > Оы'УП7, , "

Теорема 6. Минимальное по норме пространства 2 рашэниб экстремально;! задача 2* I-*'<'"/, где 7/Т) * *'¡/¿* и - /о Л[1^0]* ' » а. значит, а задачи (9), опреде-

ляется на £ однозначно. . ■

3 ■ В пулрхэ 2.3.4 устанавливается однозначность определения ' ^шсцй'••' Д*,;- • в модоли (10), воли' они не зависят от <* и Г , т.е.- равны тождественно коиогавтом в 6 . Такой одучай часто

встречается tía практика. Введем обозначения:

= üc ¡ + 7h,¡ и, ~t~ Си.¿ (12)

Ц 3 Ц Д ^ I ^ (13)

Будем различать .две модификации; Ы) и (j$) ■ когда взаимодействие углерода и азота определяется суммой концентраций. При этом искомой величиной будем считать JX - j >

l = 1,2 с постоянными при (фиксированной температуре компонентами. (}) : Üi,¿ 4 Яг ¿ , но üc¡¿ извелтны из косвенных наблюдений диффузионных полей. В этом случае искомой величиной является ■

pji - ¡Qu > 5>,¿ j , где компоненты также постоянны. Обозначим через Мр множество значений Д (или ), Af'v - множество решений (12) при краевых условиях второго или третьего рода и дополнительных условиях: Vi(o,z) - ft (Т). Пусть д е Мр Очевидно, условие и е Мя обэспечивает. существование решения обратной задачи. ' ' '•. Определение. Назовем диффузионные поля в случае ( ) вырожденными в некоторой подобласти области (3 ' , если в этой, подобласти

з С либо + а%р. при некотором <Z ^ О ,

^ сс*

1,2. ' Назовем диффузионные поля в случае ( fi) вырожденными в некоторой подобласти области $} , если я этой'.подобласти'

У = i,2. ¿-¿к, : - !

Теорема 7. Пусть кб Д, известно в некоторой.окрестности ■ любой-точки' Х/л/zs^'f5 а'm^Fimmiti-.ййщ,'вввв-.

рожденны (в случае; в случае )) . Тоща рвшегшо обрагнцх

к!

задач: рл (зли ) единственно.

В пункте 2.3.5 используется другое представление о структуре 7>,- , вытекающее из физико-технологических данных. Оно состоит в том, что взаимное влияние диффузионных нолей может определяться относительно малой добавкой к "осн-зному" коэффициенту ¿10/1 • Этому соответствует асимптотическая модель:

где £ ' - малы:: параметр. .Мы установили однозначность определения £¿{1^), I = 1,2, ^ = 1,2, ¿V/ из (13) при некоторых дополнительных условиях.

В главе 'Л изучаются вопросы численного решения обратных задач, описываемых моделью (I) и различными дополнительными условиями (разделы 3.1, 3.2).

При этом дифференциальные уравнения в (I) заменятся их конечно-разностными аналогами, а область непрерывного изменения переменных х "л Т - конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой, где И - шаг сетки по .х , лг-шг сетка по Т . Для вычисления полеЗ концентрате! в нужных точках б рамках вариационно.! задач;; мы применяли неявную разностную схему с погрешностью аппроксимации

На каждом ноаом временном слое, ввиду нелинейности системы, реализовывался ,цво;1яо:1 итерационны;! процесс, начальные значения .для которого брались с предшествующего слоя.' Естественная структура внешней итерационной процедуры дается формулами:

(и,, V?) -о -> г/^-у л, ЫГ> - * Здесь п ьг определяются формулами (13). -

Внутренняя итерационная процедура, разрешающая каждое из .двух изолированных ка 5-ом шагэ уравнении относительно 11-, лзбо соответствует методу просто;! итерации, , на каздом К, -ом шаге

I л

которого коэЪрщшнты берутся на предшествующей итерации. Сходимость описанного двойного итерационного процесса ранее изучалась другими авторами. Если указанный процесс расходится, рекомендуется вести расчет с фиксированным числом итераций.

Задача (5) в вариационной постановке может, как известно, оказаться некорректной, и тогда целесообразно обращение к сглаживающему функционалу А.Н.Тихонова:

= Ру (**> у)ф . (15)

где - стабилизатор.

Соответственно, вместо задачи (5) решаете сла.дуняая:

Хг = О %$1п{[Ру(А*, у) (16)

где значение параметра ы.-=ы($) согласуется с погрешностью сходных данных либо, в задачах управления, с допуском. При решении задачи (16) необходимо минимизировать функционал (15). Поскольку да вычисление градиента этого, в нашем слупае -неявно заданного нелинейного функционала, требуется довольно продолжительное время, мы воспользовались безградиентным методом минимизации Розенброка.

В разделе 3.3 производится проверка эффективности разработанных алгоритмов на конкретных примерах обратных- задач. Были поставлены эксперименты по нахождению коэффициентов в гшейноЯ модолг (10).. 3 этом случае стабилизатор А.Н.Тихонова полагался равнпм 2{ак<) з ¿¿сь*,-

К-о (■'

Алгоритм проверялся также при определении начальных и гретгагсс условий. Граничные и начальные ^(¡шш при этс.л задавались параметрически ?. стабилизатор бал равен сумме квадратов соотозтствуи-дих параметров.

' Наги было установлено, что .разработавши! аягори5:л 'шслэшюгс. рж&шл обратных задач оказывается с.§5екГ2аш&а в прг_лсн-Ш1а ка!: к .

коэффициентным, так и к гранично-ретроспективным обратным задачам. Погрешность во входных данных имитировалась по формулам:

, (17)

■ ¿К

где X; - значение функции, содержащей входную информацию в ¿-ом узле (по а: или по Г], У - уровень погрешности, V- число узлов, $ - случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [-1,1]. В результате модельных расчетов да-,нн оценки допустимой погрешности ¿Г •

В главе 17 рассмотрены два варианта управчения высокотемпературной нитроцементацией: программное и информационное. В первом .случае оперативное управление технологическим процессом осуществляется с помощью вычислительной техники, когда специализированная или универсальная ЭВМ'работает на линии с производственной установкой. Возможен

и другой подход — информационное управление, ь особенности при решении задач проектирования технологических процессов и установок, например, в научно-исследовательских институтах. На основе многократного моделирования устройства или процесса при различных управлявших параметрах составляются номограммы, отражающие зависимость"-функционалов качества от управляющих параметров. Такие номограммы могут служить для выбора оптимальныг'-кон-струкций'в различных условиях, а такг.е для информационного управ--ления технологическим процессом. • ■ .

Целью математического моделирования и проводимых на его основе математических экспериментов может смгь разработка номограмм различных уровней, связывающих управляющие процессом параметры с . выходными характеристиками качества нигроцемептации. Такие номограммы мьгут оптимизировать ^работу на уровне проектирования техно-£)Гкческого щюцасса з конкретных производственных условиях.

С другой стороны, программы для ЭВМ, реализуппяе математическую модель процесса, могут служить составной частью систем, управляющих процессом в реальном времени, поскольку машинное время воспроизведения результата нитроцементадаи при заданных управляющих пяпаметрах значительно меньше реального времени нитроцементации.

В разделе 4.1 описывается способ построения номограмм в простейшем случае управления, когда погеншалы окружающей среды и температура постоянны во времени.

К числу физических параметров ( р ), "управляющих" процессом нитроцементаши в атом случае, отнесем следующие:

1) Се, Х> - начальные содержания углевода и азота в металле, %,

2) è - температура печи, при которой происходит насыщение,

3) Се*/,. , f/oxp - окружающие углеродный и азотный потенциалы печи, %.

р - f Со, ¿Jo , t, Coy. , j.

л

В качестве выходных характеристик процесса нитроцементадаи f, , то или иное значение которых (или некоторая зх совокупность) может быть гелвю управления, примем следующие:

1) 7 - время нитроцементации, час,

2) Су, , л'у,. - "базовые параметры" - нижние уровни насыщения эффективна слоев углеродом и азотом, % (в таких слоях

С 7<Су.,

3) /ус - толщины эффективных слоев, соответствующие заданным параметрам ¿V- , ,- мм,

• 4) (,с$4-с . /tefa-J - "полные" толщины диффузионного слоя, Т.е.-расстояние от поверхности до сердцевины, практически не подверженной диффузии- углерода и азота, :т ( - ¿I + 0,05;?, , = л', + 0,05$ в этом случае),

5) , C,o¿ - содержание углерода на поверхности металла, %; этот параметр служит для оценки верхнего уровня насыщения образца углеродом. (По азоту мы принимаем граничное условие первого рода на правом конце). '

£ r / Т ) Cif- i ¿y , /^е с, Afe.V; Ао&ч с 1 Cnci ^ .

'Очевидно, что при данном наборе, физических параметров р указанные вние выходные характеристики связаны между собой зависимостями C = C/r,r), , определяющими поля концентраций.

л

Однако разным набором fi может соответствовать одна и та же комбинация некоторых выходных характеристик у , и в этом, в частности, заложена возможность акономип тошшвно-знергетнчес-ких ресурсов.

■ С помощью построенных яеш номограмм можно выявить функциональную зависимость у = , на основа которой решг-югся задачи управления процессом.

Поскольку в рассматриваемом нами .диапазоне управляющих параметров поля концентраций'1 G(=c,z) и г) связаны слабо, го на номограммах, соответствующих азоту, £o*f - 1,055, а на номограммах, соответствующих углероду, - /Л^ = 0,2%. Влияние элементов друг, на друга проиллюстрировано па рис.' Í . Номограммя построены для фиксированных значений температур (850°С, 930°С), содержания углерода е азота в .стилл ( С- =0,15%, Q,.2%, л/, =0,0%), углеродного и азотного потенциалов ( 0,3; 0,9; 1,0$, v л'еу. - 0,2; 0,3; 0,4%) и усгаяавлизаемах фиксированных значений содержания углерода ч азота в слое Сга , <Sy>. , а том числе и для содерлаяйя углерода и азота, соответствующих общей толщине /«г^.<- .

\ »ч _ ,

•ала Номограшм первого уровня для азста поззоляют уста-

нав;иЬагь,! чго [ : уаелочпйазгея с дсзшгв1и:з;л é и возрас-

танием л^Л/л. . Отсюда ело дует, что одно и то ке Пу,.л>' можно получить при различных режимах управления.

Кроме того, на номограммах первого уровня обнаруживается "аномальный" эффект: одно и то же hy.sj можно получиг;ъ как за счет увеличения л/ру>. , так и за счет повышения температуры, (ср. кривая 3 .для 350°С и кривая I для 930°С на рис. 2). В целом номограммы первого уровня доступны для понимания .динамики процесса, и их можно использовать для априорного проектирования технологии.

Компактное представление о функциональной зависимости дают номограммы второго уровня, которые получают предварительным расчетом пяти функций: hy-cfг) , hy>.vtz), hefa е(т) , ho^ j /г) t С.пКТ) и последующей их заменой на bcf-ч " hofa i.}

V - Т~(Спа{,) , ¡tacuj, с, У " frofruj ct V ( hy>. с, */),

Как показал анализ результатов численного решения задачи (I),'указанные характеристики процесса связаны между собой приближенными формулами:

Л/Лс ^Wv -

а

--й "

Коэффициенты в этих формулах определяются по методу наименьших квадратов- Предлагаемые "номограммы второго уровня" - это графическое изображение указанных зависимостей. Для этих ном .грамм фиксированы лишь значения, . (1 и V0 . пример номограмм второго уровня приь.деи на рис.3. Если отказаться от детадыюй характеристики результатов китрспемектациз, интересуясь лишь П'раыетрами, связанными с границей насыщенного углеродом слоя детали и предположит^, что o .: .(Tj /ief,v,<J , получим номограьын З-аго

уровня. С их помощью можно определять "интегральную" характеристику нитроцементации. Так как по азоту задано граничное условие первого рода, то номограммы 3-его уровня строятся только для углерода. При этом каждому значению л£у>. соответствует свой лист номограммы. На рис. 4 приведены номограммы 3-его уровня.

Непрерывное управление углеродным потенциалом и температурой в некотором классэ кусочно-линейных функций осуществляется с целью большего проникновения углерода вглубь образца. Физический процесс описывается моделью (I), при этом = и

6 "¿(г).

Управляющими параметрами процесса в этом случае являются

Иг), с.

Для рассматриваемой модели управления и для заданной марки стали можно указать дискретную'совокупность управляющих параметров р , характеризущих потенциал Сэ^.^с) , и температуру окружающей среда. Тогда определяемые (I) в конце процесса Г = Г"^ поля концентраций оказываются функционалом от р ; с

у/ -= л?. ' 2елаемые профили углерода -и азота по глубине будем характеризовать двумя реперными точками: = б ' (с заданным значением концентрации Л|/ ) и некоторая точка вблизи поверхности лг, - ¿~ (>у>. со значением ■* ¿у., Развшаемый алгоритм. допускает ¿ацание любого числа ^ репер-

ных точек, однако, как показывают проведенные нами численные зк-

о ■ ■

сперпменты, увеличение числа не приводит к улучшению резуль-

татов. Таким образам, результат нитроцементации характеризуется Зс-.'.аяее заданным набором / , ¿>у., Су> / Лу.

. Пусть "Ь - среднеквадратичная мера допуска на уклонение рас-.., четных концентраций от.требуемых значений рэперных хочек, и задано мнолэство' р , из которого' выбираются управляющие параметра. ■Тогда качестзо'результата нптрэдэыентацад. можно охарактеризовать'

требованием:

Последнее условие включает явные количественные ограничения на компоненты р , соответствующие допустимым на практике значениям. Это обеспечивает корректность постановки задачи квазимшшми--зации в случае ее состоятельности.,

1»{р(т°Ги<>р)< <Г? Р ^ о

С .другой'стороны, условие р & г монет вк-гачать неявп требование к качественному поведению профиля нитроцементации в конце процесса: монотонности кривой С(х) и т.п.

Поиск р осуществлялся методом Розенброка с помощью разработанной нами программы. Основной интерес представляет задача о. таком виборе параметров р , при котором профиль концентрации нужного качества получается за наименьшее время. Соответствует этому требований целевой функционал Ге(ч(/>) может быть определен условием Р(т'*'Ц)р) 4 $* и оптимальное в указанном смысле время насыщения Т получается решением следующей вариационной задачи:

' Т£ ,Р?\ '/А*

Решение этой задачи естественно искать На сетке / Г°[и>}, При каждом решается задача квазиминимизации.

Нами .были доставлены математические экспершенты при фиксированной -¿1 , тогда '.'.'"

¡ С*?- > Спу, > ¿л}$

а также при фвссяроваяной Ьг '■ р *!> > Л*/ Эксперименты показали, что можно наблюдать два характерных типа распределения углерода'в диффузионном слое: один, соответствующий мрпым значениям , имеет достаточно крутой линейный спад

ксчшентрации с глубиной, другой, образующийся при больших отличается приповерхностным слйем с более медленно убывающей концентрацией. Тем самым, регулируя время нитроцементации и выбирая соответствующие параметры, можно обеспечить то качество распределения углерода в приповерхностном слое, которое отвечает принятому при. проектирования решению: рассчитана ли деталь на кратковременное интенсивные нагрузки типа ударного воздействия либо на длительное равномерное нагрунение - что решает задачу повышенной усталостной прочности. Оказывается также, что близкие результаты нлтроаэментацил V) , ¿(л, т) можно получить при различных наборах управляющих гарамегров, включая и общее время Т"Ги/. 'Лменно этот факт позволяет ставить 'задачу о пояске минимального времени нитроцементации'без-потери качества. Назовем .профиль,-.' . . обеспечивающий повышенную сопротивляемость ударному воздействию профилем /4 , а щзофаль,, решающий задачу повышенной усталостной прочности - профилем В . Отмеченные выше характерные особенности, профилей позволят формулировать дополните лыше^условия, определяющие множество Р , для решения задачи оптимизации во времени в автоматическом, режиме. . . '

Задача об.оптимальном времена насыщения без потери качества может быть поставлена аналогично . с включением в число.уп-

р&влящйх параметров "С**"1.:. » > С Одаако автоматизированной выбор. приводит к существенному увеличению . процессорного, зремени ЭВМ.^Оказывается полезным поэтому построение .номограмм, сопоставляющих каждому набору реперных. точек наименьшее время . Тогда поиск оптимального по временя •

режима для каддого £ сводится к решению задачи на />и'» при фиксированной, заведомо оптимальной,.длительности процесса. Основой предлагаемой нами для высокотемпературной нитроцементации номограммы является семейство кривых "¿у С?^.), каждая из которых соответствует одной яз пар значений £¿"у ; ] (рис. 5). В полулогарифмическом масштабе: Г^-7-*" указанные кривые отображаются отрезками прямых. Использование критериев принадлежности профилей углероду к одному из типов (А или В) позволяет отметить на листо номограммы области ( ,

' £ ), в которых слепует ожидать профтли желаемых типов. Каждый лист номограммы отвечает одному из значений Сгс(, : Сл»ё. = 0,82!. Найденное значение Г^ может быть использовано оператором( при расчете на ЭВМ оптимального по качеству значения /Р*.,« ■, соответствующего требуемому £ } С„о1~, , Су,., с помощью алгоритма, разрешающего задачу (18).

Заключение

В Заключении сформулированы основные научные результаты, выносимые на защиту. •

1) Разработан и реализован на практике итерационно-разностный метод расчета полей концентраций углерода и азота при их совместном насыщении металла. Метод описывается системой двух нелинейных уравнений.

2) С помощью математического эксперимента на ЭВМ на основе сопоставления расчетных данных;с рядом'зкспоримёкт&льнв.■данных установлена адекватность принятой молол*. -процесса реальному в ¡области высок.д температур.

3) В рамкахпредложенной модели поглощения диф^'ядирукртих веществ вследствие химических реакций-показана целесообразность учета этцы фактора .для получения .яелателькых на практике профилей

.из нце иг раций.

4) На основе предложенных математически: постановок рада обратных задач относительно физических параметров материала и процесса, связанных с процессом высокотемпературной нигроцомантации, доказана единственность их решения. Соответствующие теоремы относятся как к случав полной, так и минимальной информации о полях. При этом дано обобщение оценок карлемаяовокого типа на случай системы .двух линейных дифференциальных неравенств.

5) В рамках предложенных математических постановок исследована возможность получения -единственного решения в некоторых задачах управления процессом нитроцемэнтацил.

6) С помощью решения на ЭВМ по методу регуляризации связан-яых с технологией обратных задач показана эффективность цредла- . гаемой методики поиска по косе энным данным о недостающих физических параметрах и дана оценка достаточной погрешности данных.

7) Для управления процессом с помощью, задания уровня углеродного и азотного потенциала атмосферы разработаны три (по степеням компактности) уровня номргр&ш, связывавших управлявшие параметры с выходными характеристиками процесоа. .

8) Разработана и реализована в программе для ЭВМ методика решения задачи управления процессом в 'слуя.ае непрерывного изменения потенциалов атмосферы и температуры печи со временем.

9) Дани количественные оценки распределения диф$ундируюцих веществ в металле при вырокотемпэратуряой нятроцёыеятации и , в ,Ча6тности5'влияние азота на распределение углерода.

Результаты диссертации изложены в следуших рпбстггс

1. Гласко В.В., Степанова Н.Э. О единственности п опппП m коэффициентных задач, связанных с технологическими процессами. -Вестн. Моск. Ун-га, сер. 'Физика, астрономия, 1992, т. 33, № I, с. 20-23.

2. Гласко В.В.,Степанова И.Э. О единственности решения обратной задачи нитроцемэнтации, - Весте., Моск. Ун-та, сер. Физика, астрономия, 1991, т. 32, Ii 6, с. 28-32.

3. Гласко В.В., Степанова И.Э. К обратной задаче для сйстомк квазилинейных уравнений параболического типа. - Деп. в ВИНИТИ,

1991 г., й 1504-дэп.

4. Гласко Е.Б., Степанова И.Э. О единственности решения некоторых обратных граничных задач технологии. - Деп. в ВИНИТИ,

1992 г.. j'6 562, деп.

5. Гласко В.В., Степанова Н.Э., Кальнор В.Д., ГОрасов С.А. Об одней обратной задаче клтроцементации, подписано к печати в Инженерно-физическом журнале, 1992 г.

6. Кальнэр.В.Д., Юрасов Q.P., Гласко В.В., Стэпанова И.Э., Кулик H.H., Звсеев D.H. Номограммы нелинейного процесса нитроцэ-менгашга, подписано к печати в ñ .12, 1992, МИШ.

7. Hay -до-тахнический отчет J& II по теме 15 6/30 1990-1932 гг. "Расчет эффектов упрочнения и оптимизации технологических прсцос-сов при химико-термической обработке материалов", Москва, 1992г., МГУ, физический факультет, кафедра математики.

о у ______8 <г ______

ИомогРаммь; первого УРОВНЯ АН? ШМми 1,2,3

опшгчены кривые при С «ое-0.9-1,о" соответственно. Л--Ь'»/<23к,

[М о/%

4Я <-1 4.0 0,9 0,8 0,7 Об А5 О/,

03

1

Г о 4 В час т

Рнс.2. ^онвгмммь! п?.рього уровня до? N «о,о"'в' ди«ргми

12.3 оиицдивны кривые для N„-0,2; о,3;'о,аУ соответственно-

¿-■Ь-.тзк. в--ЬМгозк. ^

*о.к,о. =0,2%

у а £/>«£

Рис. 4. Яомограмма ?р9?ьегэ уровня N = 0,0"?. Сплошными линиями яаосзраяены кривые, соответствующие Со=0,15%, ггуютиргшми.язшлшля — С, = 0,20%, * - V-= 930°С; о - -Ьс = 850°С. . . ♦ Г .

Pao. 5. Мидель трохстачайного "iujasaqpo" управления режимом печи.