Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Матвеева Татьяна Александровна

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики математико-механического факультета Санкт-Петербургского Государственного Университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ -

Доктор физико-математических наук, профессор Рябое Виктор Михайлович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ -

Доктор технических наук, профессор Меньшиков Григорий Григорьевич

Кандидат физико-математических наук, доцент Кузьменков Валерий Алексеевич

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Петербургский Государственный Университет путей сообщения

Защита состоится » сентября 2003 г. в ~ часов на заседании

диссертационного совета Д 212.232 49 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском Государственном Университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Петродворец, Университетская пр., дом 28, математико-механический факультет СПбГУ. Аудитория 4526.

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского Государственного Университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская набережная, дом 7/9.

Автореферат разослан « » ш/Р-^/Я- 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.232.49, профессор

А.А. Архипова

И ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Операционное исчисление играет важную роль при решении прикладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике. Операционные методы на основе интегрального преобразования Лапласа позволяют в ряде случаев сводить исследование дифференциальных, разностных, некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач. Любой операционный метод включает в себя обращение преобразования Лапласа, т.е. нахождение решения интегрального уравнения

]е-"1/(г)Л = Р(р) (1)

о

по известному изображению Р(р). Существуют таблицы соответствия функций-оригиналов /(/) и /•"(/?), но они не могут охватить все встречающиеся на практике случаи. Точное обращение преобразования Лапласа задается формулой Рима-на-Меллина'

/(')=Г^ Г>0. (2)

Зачастую она неприменима или сложна в применении для некоторых функций из-за необходимости вычисления интеграла (2). Поэтому возникает задача численного обращения преобразования Лапласа После построения вычислительного метода должно следовать исследование условий сходимости, устойчивости, трудоемкости построения, фактической реализации, определение скорости сходимости, ускорение сходимости в случае необходимости, нахождение оценок погрешности и определение возможных точек разрыва (величины скачка).

Цель работы. Разработка общего подхода к построению квадратурных формул (КФ) обращения преобразования Лапласа; построение квадратурных формул наивысшей степени точности (КФНСТ), изучение их свойств и оценок погрешности; построение КФ с наименьшими оценками погрешности; построение обобщенных КФНСТ (ОКФНСТ) и их применения; определение точек разрыва и скачков оригинала по его изображению с помощью КФНСТ и метода Виддера.

Методика исследований. В работе широко используются теория интегральных преобразований, теория функций комплексного переменного, теория приближения функций и общая теория приближенных методов.

Научная новизна и практическая значимость работы. В диссертации получены следующие новые результаты; 1) общий принцип построения КФ обращения и их оценки погрешности; 2) построение КФ с наименьшими оценками погрешности; 3) показано, что КФНСТ обладают почти неулучшаемыми оценками погрешности; 4) алгоритм построения КФНСТ на компьютере (приведен более простой способ вычисления их коэффициентов), получены некоторые формулы характеристик дельта-ядра, порождаемого КФНСТ; 5) рассмотрен случай комплексной скорости убывания изображения и новые формулы операционного исчисления; 6) изучены оценки погрешности КФНСТ и получены смещенные оценки через многочлены Лагерра; 7) алгоритм построения ОКФНСТ и их применение; 8) предло-

^ГнмГиОн1йЬИАя1 библиотека |

С.Петербург / у) .

жен способ определения скачков оригинала с помощью КФНСТ и метода Видде-ра.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре кафедры вычислительной математики СПбГУ, на кафедре высшей математики Волжского политехнического института ВолгГТУ и на конференции «Перспективы развития Волжского региона» в г. Твери.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1 -7]. В совместных работах научному руководителю принадлежат оценки погрешности КФНСТ [1], общие оценки погрешности произвольной КФ [2], описание основных свойств КФНСТ [3], общий принцип построения КФ обращения [4], более простой способ вычисления коэффициентов КФНСТ [5], построение ОКФНСТ [7], диссертанту - смещенные оценки погрешности через многочлены Лагерра, принцип построения оптимальных КФ [1], построение КФ с наименьшими оценками погрешности [2], алгоритм построения КФНСТ на компьютере, случай комплекснй скорости убывания изображения и новые формулы операционного исчисления [3], построение КФ обращения преобразования Лапласа, отличных от КФНСТ, на основе аппроксимации функции Хевисайда и их оценки погрешности [4], определение точек разрыва оригинала с помощью КФНСТ (одна или две точки разрыва) и скачков оригинала в них [5], оценки погрешности ОКФНСТ, применение ОКФНСТ к решению интегральных уравнений вязкоупру-гости с дробно-экспоненциальными ядрами [7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, приложения и списка литературы. Объем работы 117 страниц. Список литературы включает 70 наименований.

Основное содержание диссертации. В первой главе рассматривается задача обращения преобразования Лапласа (1) с помощью КФ.

Пусть при некотором 5>0 функция <р,{р) = /^^(р) регулярна в полуплоскости Яе(р)>0. Для вычисления интеграла Римана-Меллина (2) в формуле обращения применим квадратурную формулу вида

1 С+100

2л 1'

IX (л*/')+*» (О

(3)

с узлами рк„, коэффициентами А^ и погрешностью г„(/). Комплексные числа ры предполагаются попарно различными и удовлетворяющими неравенству Яе (/?,„)> 0, а коэффициенты - произвольные комплексные числа. КФНСТ получаются как частный случай формул (3), если потребовать равенства нулю погрешности £„(г) для функций <р1{р)= р~', у' = 0,1,...,2л-1. В этом случае узлы ркп суть корни уравнения Рп'>'(1/рь)= 0,

о,»*. №

I*;

Коэффициенты КФНСТ можно вычислить по формуле [1] А (-1Г'("-1)!(2Я + 5-2)

Узлы КФНСТ при любом s > 0 попарно различны, расположены в полуплоскости Re {р)> О и удовлетворяют неравенствам [2]

л + j-l < |/7fa| <2n + í-2/3, (6)

а поведение коэффициентов А1п при п—>к> характеризуется асимптотической формулой | Аы |=0(з.764" п-'}.

Узлы и коэффициенты КФНСТ удовлетворяют системе уравнений

* , J = 0,1,-,2h-1, (7)

из которой они также могут быть найдены. Однако такой способ построения КФНСТ весьма трудоемок и крайне неустойчив.

Существуют таблицы узлов и коэффициентов КФНСТ. Однако их использование на практике затруднительно по следующим причинам: 1) необходимость ввода таблиц в компьютер; 2) небольшие значения числа узлов и, для которых построены КФНСТ; 3) отсутствие нужных значений параметра s; 4) недостаточное количество значащих цифр в таблицах.

Построение КФНСТ. Узлы КФНСТ суть корни уравнения P¡f\\/p) = 0. Коэффициенты многочленов /^''(х) по абсолютной величине быстро возрастают. Учитывая неравенства (6), сначала введем новую неизвестную р по формуле р = p/(2n + s-2), а затем все коэффициенты полученного из (4) многочлена по степеням р разделим на л", что значительно уменьшит разброс модулей коэффициентов по сравнению с исходным многочленом (4). После этого находим корни многочлена стандартными средствами пакета Maple с требуемой точностью.

Утверждение. Справедлива рекуррентная формула

л-2РУ>(х) = (апх + Ь„)рМ(х) + с„рМ{х), п = 1,2,..., где а„=п, bn=cn=n/(2n + s-2).

Полагая дг =*.„, = \/ры , получим равенство x¡„ P„w (хы) = -—-—r^i'OJ. в

2n + s~2

итоге вместо формулы (5) - более удобную формулу вычисления коэффициентов КФНСТ: +

Итак, КФНСТ построена.

Если искомый оригинал /(/) является комплекснозначной функцией, то его изображение F{p) при вещественных значениях р уже не будет вещественным числом, а потому значения параметра s не обязательно вещественны. Пусть •!=а + /г>,где а и Ъ вещественные, причем а > 0. Очевидны соотношения

= ,<ь - ¡a-i [cos(¿> 1п/)+г sin(¿ In/)], так что в случае комплексного числа s КФНСТ будет точна для функций

/(')= w-rfcosíé ln/)+;sin(6 ln/)l, j = 0,1,...,2и-1.

+ j + ib)

Положим а +¡3=1/Г ( а + / Ь ). Напишем цепочку соответствий:

—^ = -^ехр(-Ь 1пр )+/""' (а + !'/?) [««(Ь 1пг)+ / ьт(Ь 1п/)].

Р" Р°

Разделяя вещественную и мнимую части, получим следующие новые формулы операционного исчисления:

(««(б 1пр))/р" [асоз(Ь 1п/ 1п?)],

- (зт(б 1пр))/р" + г°ч [/Зсов^ 1пг )+авт(б 1п/)]. из которых легко находим изображения функций сов(Ь 1п() и I'1'1 зт(б 1п/).

Во второй главе рассмотрены КФ обращения Лапласа с наименьшими оценками погрешности. Известна

Теорема 1 |3]. Пусть оригинал /(/) и его изображение таковы, что при некотором $>0 функция 'Л, (/>) = р'^(р) регулярна в полуплоскости 11е(р)>0, и пусть Акп - произвольные комплексные числа, а ркп - произвольные попарно различные комплексные числа, такие, что Ке(р,„) > 0 и \ Рь,\>1, к = 1,2.....п. Тогда

оригинал /(/) представим в виде (3), и если к тому же (рХр) регулярна при \р\>\/г, г > 0, то для значений /,р, таких, что 0 < 1<р<г, погрешность £„(/) удовлетворяет неравенству

| *„(/)| <М„<х„(/), (8)

где

мр=

2 7Г

1/2

; X Акп Рь,

(ЧрТ

1/2

(9)

Г(т + $)

Если, кроме того, функции <рХр) регулярна при | р + 1/(2г)| > 1/(2г), то для значений 0 <К р < 1 + г, погрешность £■„(/) удовлетворяет неравенству:

1^.(01 „,<{'), (10)

т:(0=

К-0', -

1-0 и

т1'_!__уА

(ЧрТ

1/2

(И)

В оценках погрешности (8), (10) первый сомножитель зависит только от изображения, а второй - только от КФ. Естественно рассмотреть поведение величин ег„(/), г), в том числе и при возрастании числа узлов, а также задачу выбора КФ, для которых эти величины были бы по возможности малы.

В случае КФНСТ в силу равенств (7) в формулах (9) и (11) нижние пределы суммирования по то и у следует заменить на 2п. Узлы КФНСТ попарно сопряжены, как и соответствующие им коэффициенты, и поэтому стоящие под знаком модуля в формулах (9), (11) числа вещественны. Из неравенства (6) следует, что при

.5>0 и п>2 узлы КФНСТ удовлетворяют условию |ры|> 1, так что применима ранее сформулированная теорема.

В случае 5 = 1 величина <т*(/) представима в виде

А, (1)-1X0-1¡Ркп)"

{Чр?

1/2

где Ьт(х) - многочлены Лагерра. Модули чисел 1-1/р^ меньше единицы (хотя с ростом л быстро стремятся к ней), и при т-уоо [1я(1)|->0 (1„(1) =0(т'щ), т->°о), поэтому при фиксированном я коэффициенты ряда ограничены и ряд сг*(г) сходится при |г/р|<1. При этом /,р могут возрастать.

Далее рассматривался случай 5 = 1. Результаты вычислений показывают быстрое стремление к нулю величины а„(р) (ст„(/) < ст„ (р)) при возрастании числа узлов КФНСТ, но нельзя не учитывать неустойчивость процесса, которая характеризуется быстрым возрастанием коэффициентов Аы.

Фиксируем узлы ры КФ (3) и поставим задачу минимизации величины

I

тжО

1

-ЕЛл/С

(12)

т\

с помощью выбора коэффициентов А^.

Возьмем в качестве ркп узлы КФНСТ, а искомые коэффициенты представим в виде А^ = акг+ ¡Ьы. Очевидно, что

3? = 1 -^-Еи.+'А,)*:

т-0\ "К

1

где х1п = \/рь,- Запишем условие минимума величины стл2, приравнивая к нулю все частные производные по яу„, Ъ1П,) = 1,2,...,и:

где

Ы\ к-1

п п

ы *«1

с, = ехр (*,„) + ехр(х)п); Ь, = ехр(х,„) - ехр(х/л);

(13)

«у* = (1 - хт **» )"' + (1 - х)п Хь,)-'; р1к = / ((1 - Х1П Хь, )*' - (1 -хы)"')..

Подставляя решение системы (13) в формулу (12), находим искомые значения а,. Вычисления показывают, что с увеличением числа узлов значения 5П и ст„(р), соответствующие КФНСТ, быстро сближаются.

Рассмотрим задачу минимизации величины ап (12) с помощью выбора и узлов, и коэффициентов в предположении симметричности искомой КФ. Эта задача нелинейная и решения в явном виде не допускает. Для численного решения ее был использован метод прямого поиска. Вычисления показывают, что с ростом числа узлов искомые формулы быстро приближаются к КФНСТ.

Из полученных результатов следует, что при возрастании числа узлов КФНСТ обладают практически неулучшаемыми оценками погрешности.

В третьей главе рассмотрены три наиболее естественных подхода к построению КФ обращения преобразования Лапласа.

Первый способ. Выберем произвольные попарно различные числа к = 1,2,...,л в полуплоскости Re(p)> О и построим КФ вида (3) точную для функций <p,{p)=p'J, j = 0,1,...,л-1. Коэффициенты Лы определяются однозначно и могут быть найдены, например, из системы (7) при j = 0,1,...,и-1. Таким образом, построены интерполяционные КФ. Далее можно потребовать, чтобы формула (3) имела наивысшую степень точности, т.е. равную 2л-1 (КФНСТ). Способы построения таких формул указаны в главе 1.

Отметим, что лишь при s = 1 КФНСТ точно восстанавливают значения /(+ 0),/(оо) оригинала (если они существуют).

В случае натурального s КФНСТ тесно связаны с аппроксимациями Паде функции ер: при s=m-n+ 2 узлы КФНСТ суть полюса аппроксимации Паде R„(p)/Q„(p) типа [m/л], т.е. корни уравнения Q„{p) = 0. Для функции ер существуют аппроксимации всех типов (m,n¿0), определяемые формулами Перрона Rm (р) = ¡F, ( - т, - т - п, р); Q„(p) = ¡F, (- л, - т - п, - р). Следовательно, при натуральном 5 многочлены р" fj'\l/p) и Q„(p) имеют одинаковые корни (это утверждение верно для произвольных целых .v). В случае произвольного s первый из них можно рассматривать как обобщение второго.

Описанная схема пригодна только для s > 0, поскольку при s < 0 функция уже не является оригиналом и не существуют моменты функции ерр~', входящие в условия ортогональности многочленов Р„('*(х).

Второй способ. Пусть /¡(х)=1'' _ функция Хевисайда. Очевидно равен-

[1, 1 < Л <00

ос

ство /(/)= {/(*) dh(x/t), в котором интеграл понимается в смысле Римана-

0

Стилтьеса. Построим некоторое приближение к функции Хевисайда h(x) вида

п

йДх)=]£—[l-exp(-a,x:)], Re (а,) > 0. Далее, полагая h(x/t)<* h„(x/t), придем к ы а,

приближенной формуле

/('Ь/Л') = ]/ЫА,(*/')= 7 !*,*•(«,/<). (14)

о ' 1-1

Таким образом, построена КФ (14) обращения преобразования Лапласа. Третий способ. Пусть изображение F(p) ограничено в полуплоскости Re(p) > 0 и целые неотрицательные числа шил удовлетворяют неравенству п-т> 2. Построим аппроксимацию R„{p)/Q„{p) Паде типа [m/и] для функции ер, а затем подставим ее вместо ер под знак второго интеграла в формуле обращения Рима-на-Меллина

л С+1® « ч С+100

/(0 = ^ = — /е^/ОФ- (15)

2?Г'с-,« 1 с-,*,

В результате получим приближенное равенство

/('4^7 ^.ршар. об)

t 2я-i „J„ ß„(/>)

При сделанных предположениях интеграл в формуле (16) существует. Положим s=т - п + 2. Очевидно, что s < 0. Так как число s целое, то корни уравнений Q„(p) - 0 и P^{l/p) = 0 совпадают. Из результатов работы [2] следует, что при любом фиксированном значении s (s <0) существует наименьшее натуральное число л0, что при любом п> п0 все корни уравнения P^'\l/p)=0 расположены в полуплоскости Rc(p)> 0. Следовательно, при л>л0 все полюса ры (к = 1,2,..., п) аппроксимации Паде простые и их вещественные части положительны. В таком случае разложение аппроксимации Паде на простейшие дроби имеет вид

= ———. Пусть число с, входящее в (15), удовлетворяет неравенству Qn(p) м Р-Ры

О < с < с', где с' = min Re ). В этом случае интеграл в формуле (16) легко вычисляется с помощью теоремы о вычетах и, таким образом, построена КФ обращения /(') - '„,(/> <) = 7 t Вь. F{PJt). (17)

I А=1

Отметим, что КФ (17) является частным случаем формулы (14) при специальном выборе узлов и коэффициентов.

Пусть при | р | -> оо величина | F{p)| убывает не медленнее, чем l/| p |. В этом случае вместо (16) записываем приближенное равенство

2ггг с-.« QnXP) р V' )

в котором интеграл существует и при т = я -1. Получающаяся при этом квадратурная формула совпадает с КФНСТ для s = 1.

Описанные три подхода построения КФ обращения приводят, вообще говоря, к различным формулам с различными свойствами. Свойства КФНСТ изложены выше. Перейдем к описанию свойств формул (14) и (17) в предположении, что s < 1. В случае s < 0 число п предполагается достаточно большим, для того чтобы выполнялось неравенство с'= min Re(pbI)> 0.

*=1, Л

Приближение (14) для функций f(t) = tk,к = 0,1,... равно

ÄU

~ аГ

Очевидно, что равенства единице первых несколько чисел ск, к = 0,1.....л, определяют алгебраическую степень точности КФ (14), равную л, (которая не выше 2и-1)и /„(f) = о{ при t ->■ 0. Если существуют значения /(О),/(ю) оригинала /(/), то /„(О с0 /(/) при /-»0, t со. Поэтому естественно потребовать

равенства с0 = 1, чтобы формула (14) точно восстанавливала предельные значения оригинала.

Если оригинал /(г) убывает по экспоненциальному закону, тогда изображение F{p) регулярно в некоторой окрестности точки р = 0 и

/.(0= X 0,1,...

*=0 kit ,=1

Из равенств d0 = di =...= dmi = 0 следует, что /„(г) = о( ), t -» оо.

Будем говорить, что оператор /„ имеет порядок (т, +1, л, +l), если /„(') = °(г<'"'+2)) при г-»да и /„(г) = о(/"'*') при / -> О, (т.е. выполняются равенства d0 =d, =...= dm< =0, с, =1, Аг = 0,1,...,л,). Число m, + л, +2 назовем рангом оператора (14). Очевидно, что он не превышает 2п. Варьируя условиями при малых и больших /, можно строить различные приближения /„(/).

Для исследования поведения приближений /„„(/,/) при t ->0 и / -»•оо запи-

" В

шем формулу (17) в виде /(f)* £ — <px{pkjt), <р,(р) = pF{p).

»•1 Ркп

Рассмотренные свойства КФ (14) применимы к частному случаю (17). Введенные в рассмотрение числа ск и dk, которые определяют поведение приближения /„ „(/", г) соответственно при t -> 0 и / оо, запишутся в виде

«» = *! I <*» - t pi, к = 0,1,....

<=1 Р,„ .-I

В работе [4] доказано, что ct=l, Л: = 0,1.....т + п, dt=0,k = 0,l,...,n-m-2 и

<*„_.._, *0, т.е. /„„(/, г)=0(Г"+,),при /->0 и /„,„(/,/)=0( Г<"-т)), при / -»-со. Из этого следует, что оператор /„„(/, /) квадратурной формулы (17) имеет порядок (л-/и-1, л + m + l) и ранг, равный 2п. Так как КФ точна для функций-оригиналов f{t) = tk, к = 0,1,...,/л + л, то ее алгебраическая степень точности равна т + п. Очевидно, что с ростом т алгебраическая степень точности КФ растет и достигает наибольшего значения 2п-1 при т = п-1, что соответствует 5 = 1 (КФ (17) при этом превращается в КФНСТ).

В четвертой главе рассмотрено построение обобщенных КФНСТ и их применение к решению интегральных уравнений вязкоупругости с дробно-экспоненциальными ядрами.

Пусть а - произвольное положительное число. Потребуем, чтобы формула (3) была точна для функций <р(р) = р'°т, т = 0,1,...,2n-1, что равносильно выполне-

л J

нию равенств: YA^ - —-.-г, т = 0,1,...,2л -1.

м Г (s + am)

Числа pl° суть корни многочлена а>,(х) = j~j(jc — /»¿f), определяемые одно-

ы

значно из условий ортогональности

Je'p~4(P~~ dp = 0, m = 0,1,..., л-1

c-im

и удовлетворяют неравенствам Re(pA"n° )>0. В случае о = 1 получаются описанные выше КФНСТ, узлы которых попарно различны.

ОКФНСТ целесообразно применять для восстановления длительных, но медленно изменяющихся во времени оригиналов, что соответствует а < 1. Свойства ОКФНСТ. Пусть Г(г) - гамма-функция Эйлера. При любых положительных ans функция 1/Г( s + oz) представима всюду абсолютно и равномерно

00

сходящимся рядом l/r(.i + az)= £ y'/J) z1. На множестве регулярных на некото-

у=о

ром круге | l j £ г функций рассмотрим оператор s, = ]Г .

Лемма. Пусть изображение F(p) и функция <рАр)~ Р* F(p) пРи некотором s> 0 регулярна в полуплоскости Re (р) > 0. Если функция P„Jj)~ <р, ( Г1'") регулярна на круге \ t\<r, то функция i//(t) = Г"1 ^а, s, Ра1(0 ~ целая, а соответствующий оригинал равен t1'1 t//(t").

Теорема 2. Пусть при некоторых a,s> 0 функция Pa,(t) = <ßs(t~v°) регулярна на круге | t\<r, и пусть Akll, pkrl -узлы и коэффициенты ОКФНСТ, причем |/>^°|<1. Тогда соответствующая функция-оригинал представима в виде

/(0 = i^[t (18) и для любых чисел tup, удовлетворяющих 0 <t" <р<, г, справедлива оценка

| eXf)\*M„p<Tn{f.p\

где Malp=i±]\pJPe-fdJ\

у

1/2

^„^Дня-аю) *=> ) ;

Справедлива более простая, но менее точная оценка величины а„(Г",/?):

-НА» Л

i\

1/2

я=гДГ (s + am) w

Ч у

Вычисления по ОКФНСТ можно проводить при любых t, однако оценки погрешности справедливы лишь при ограниченности 0 < t° < р < г.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и к тому же функция Ра!(/) не имеет особых точек правее прямой Re(/)>-r, г >0. Тогда искомый оригинал представим в виде (18) и для любых чисел tup, удовлетворяющих неравенству 0<t"<p<t" + r, справедлива оценка погрешности

где М„й1=[±-1)\р.,{ч.ре"\гае

ИрГ

т-2п ,^2r\J )Г(5 + а/) ы

Числа Рь)" будут ограничены по модулю при возрастании т, если для

всех Л справедливы неравенства |1- <1. Доказательством этого неравенства

мы не располагаем, хотя при проведенных вычислениях они всегда выполнялись.

Описанные ОКФНСТ позволяют с большой точностью восстановить дробно-экспоненциальные функции и интегралы от них, широко используемые в наследственной механике твердых тел. Использование на практике таблиц затруднительно как из-за необходимости ввода таблиц в вычислительную машину, так и из-за отсутствия необходимых значений параметров и наличия ошибок в таблицах.

В пятой главе рассмотрено поведение приближенного решения в случае разрывных оригиналов. Предположим, что /(*) имеет единственный конечный разрыв в точке г и существуют конечные односторонние пределы /+о)(0 = = /и){1 + 0). = /ы(< - 0)J = 0,1,... Предположим, что оригинал /(х) в интервалах (0, 0 и (г,со) допускает представление в виде сходящихся рядов:

" №4 л ™

= 0<х<1, = *>/. (19)

}! ^-о 7!

я

Далее всюду считаем $ = 1. Положим f^nJ р^ехр(~pk„),J = 0,\,...

Приближение к искомому оригиналу, полученное с помощью КФНСТ, можно представить следующим рядом

т=/.(0+1 'у(/+м(')-/-ш(о) А, +

Л-0

+ I <'/-"'(0 £ (-1)У- ЛГ "1 • (20)

Числа для достаточно больших значений п с ростом ] быстро убывают, как и последний сомножитель во второй сумме разложения формулы (20). Остановимся на способе нахождения точки скачка оригинала. Пусть, например, к = 3 и известны значения /„(?) для номеров и,,л2,и3. Исходя из (20), запишем систему уравнений относительно неизвестных г, /_(?), /+(')"/-('):

/-(')+ (Л(0-/-(0К,г/.,('). 7 = 1.2,3. (21)

Из системы (21) находим уравнение для нахождения точки / скачка оригинала:

Однако, кроме корня, являющегося точкой скачка оригинала, уравнение (22) может иметь и другие корни. В связи с этим, используя другие значения /„(г), например, для л4,л5,л6, запишем систему уравнений, аналогичную (21) при у = 4,5,6 и получаем новое уравнение для определения точки скачка оригинала, аналогичное (22). Точка скачка оригинала находится как общий корень этих уравнений.

Значения оригинала слева от точки и величины скачка оригинала и его производных можно найти как решение системы линейных уравнений (20) после подстановки в нее значения /. ^ Далее в главе 5 приведено обобщение описанного метода определения скачков

в случае двух точек разрыва, которое ввиду его громоздкости здесь не приводим.

Введем два оператора Виддера:

я+1 ( * \л+|

5„(Л<)=(-1)"^тт^г^МО. « = 1.2,-. (23)

л!/ пм

Если функция /(*) непрерывна в точке х = /, то при и а> приближения /) и 5„(/, /) сходится к /(/).

Пусть функция /(дг) имеет единственный конечный разрыв в точке 7 и пусть существуют конечные односторонние пределы /_и)(')> _/ =0,1,... Предпо-

ложим, что оригинал /( х) в интервалах (0, /) и (?,<») допускает представления в виде сходящихся рядов (19). В этих предположениях при л-+°о справедливо асимптотическое представление в виде ряда по степеням \/4п [5]:

»;0г,0=Ьг('+о)+/(г-о)]/2+ +1/^ [л/2/(Зл/^Х/(' + /(' - 0))+'/л/2^(/'(' + 0)-/'(? - 0))]+...

Следовательно, в точке разрыва №„(/, /) сходится к [/(< + 0)+/(;-0)]/2 со скоростью \/4п. Очевидно, в точке непрерывности оригинала скорость сходимости такая же, если производная разрывна, а в случае непрерывности производной процесс сходится со скоростью 1/л. Дальнейшее увеличение гладкости оригинала не увеличивает скорости сходимости, т.е. метод Виддера быстро насыщаем. а Пусть вычислены значения величин (), у = 1,2,...,к, где числа лу = и0 й] -

целые, а рациональные числа удовлетворяют неравенству < <... < ¿к. Соч ставим линейную комбинацию

И«.*./, 0-1 с,* *.,(/■.<) (24)

1-1

с коэффициентами с1к, определяемыми из системы линейных алгебраических уравнений

= ¿Г =°> = 0.....2 с» = 0 , где « = 1/2.

7=1 7-1 7=1

Решение этой системы легко находится: с)к = —~—7 > 3 =1,2,...,Аг.

В результате придем к соотношению

1У(п,к,Г,1)-[/(1 + 0)+/(/-0)^2 =0{пк/2\ п —► со. Заметим, что для справедливости этого утверждения достаточно включения /еС" на (0, г) и

Следовательно, за счет выбора и0 и к линейная комбинация (24) позволяет определить значение [/(/ + 0)+ /(/-0)]/2 с требуемой степенью точности.

Вычисление величин >ГЛ(/,и 5'„_|(/,/) непосредственно по определяющим их формулам (23), содержащим производные изображения высокого порядка, затруднительно. Один из возможных путей преодоления этой трудности состоит в ' применении предложенных в [6] методов «численного» дифференцирования преобразования Лапласа с привлечением значений изображения на комплексной плоскости.

Пусть /(х) в точке г имеет разрыв первого рода. В работе [7] была доказана

Теорема 4. Пусть оригинал /(/) имеет ограниченную вариацию на отрезке [0,Т] при любом Т>0, его изображение равно Р{р) и производная /'(/) также является функцией-оригиналом. Тогда при I > 0 справедлива формула

Отсюда получаем приближенную формулу для вычислений скачка:

+ (25)

Вместо правой части приближенного равенства (25) можно взять функцию Фп(/)=(-е//)"для которой при и—>°о справедливо асимптотическое разложение в виде ряда по степеням 1/л/л вида

Скорость сходимости этой величины к пределу, равному величине скачка оригинала, невелика, поэтому следует применять алгоритм ускорения сходимости, использованный выше при вычислении величины [/(/+0)+/(/-0)]/2 с помощью формулы (24).

Итак, найдены значения /(< + 0)+ /(/-0) и /(г + 0)-/(/-0), а тем самым и '

/(/ +0), /(/ — 0). Можно найти точку скачка методом, аналогичным формулам (21), (22). /

Предположим, что мы определили точку а, в которой оригинал имеет скачок первого рода, равный /(а + 0)-/(а-0), и нам известны значения /(а + 0), /(а-0). Допустим, что /'(г) также является функцией-оригиналом, у которой в точке I = а существуют односторонние пределы наряду со всеми производными.

Изображение по Лапласу производной /'(<) равно

О 0 о

Очевидно, задача определения скачков производной решается применением описанных выше методов применительно к изображению /¡(р).

Аналогичным образом ставится и решается задача определения скачков последующих производных, на чем мы останавливаться не будем.

Укажем другой способ построения разложений №„(/, /). Запишем оператор Виддера №„(/, г) в виде сингулярного интеграла

^»(Л 0 = 1 *»(*)/('*)<& С ядром ы„(х) =—-х" ехр(-их). о п\

Представив промежуток интегрирования в виде объединения двух промежутков (0,1) о (1,оо), получим представление

= /-(0+± ^' (л('Ч0-+ X ^ , (26) 1=0 1=1

гае =— £ -С» .<7,.,=-К-1) \.пя.

Изучено поведение коэффициентов !/„_,, 77„, при п-> оо и получено приближенное равенство

»'„(л 0 « лМ уяЛ +</;(/) "..,+/.(0 к.„ -"я,о)+ '/'(01«7.., - V.,) -

= [/(' + <>)+/(>~0)]/2 + 1/^2^ +1/(2")] + '/-(0 [ 1/(2И)-№]. Следовательно, применим ранее описанный способ ускорения сходимости с помощью построения линейной комбинации нескольких приближений, найденных методом Виддера, с коэффициентами с)к.

Возможен другой способ определения характеристик оригинала в точке разрыва на основе разложения (26): пусть вычислены значения (/,/) для п = п0с1,,

I

У = 1,2,...Д. Запишем для них к разложений вида (26) и поставим задачу определения из них величины /_(/). С этой целью найдем числа с1к, удовлетворяющие

системе уравнений к к к к к к 2Л» = !> £ с,к Чо =0. Г »7 , =0, £ Сд ^, =0, 2 С1к г, г =0, X с)к V г =0 (27)

7=1 ¡=I у-1 у-1

и так далее до тех пор, пока не запишем ровно к уравнений. Затем, как и ранее, составляем линейную комбинацию (24), которая с высокой точностью приближает искомую величину /_ (/).

Для вычисления величины скачка /+(/) -/_(/) числа с]к находятся из системы

уравнений (27), все правые части которой равны нулю, за исключением единицы во втором уравнении. Если поставить единицу лишь в правой части третьего уравнения, то определим величину ([/+(г)-/.'(')] и так Далее. Предлагаемый метод весьма эффективен и более устойчив.

I

15

Список цитируемой литературы

1. Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Минск, 1968. 296 с.

2. Bruin M.G., SaffE.B., Varga R.S. On the zeros of generalized Bessel polynomials // Indagat. Math. 1981. Vol. 43, № 1. P. 1 - 25.

3. Рябов B.M. Свойства квадратурных формул, применяемых для обращения преобразования Лапласа // ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29, № 6. С. 941 - 944.

4. Zakian V. Properties of Im„ & Jm„ approximants and applications to numerical inversion of the Laplace transforms and initial value problems // J. inst. math. appl. 1975. Vol. 50, №1. P. 191 -222.

5. Рябов B.M. О точности вычисления значений и скачков оригинала методом Виддера// Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 15. С. 35 - 38.

6. May С.Р. Saturation and inverse theorems for combination of a class of exponential-type operators //Can. J. of Math. 1976. Vol. 28, № 6. P. 1224 - 1250.

7. Рябов B.M. Вычисление значений и скачков оригинала с помощью формул Виддера // Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 1. С. 114 - 116.

Список работ по теме диссертации

1. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Об оценках погрешности квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2000. №25. С. 7 - 11.

2. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа с наименьшими оценками погрешности. Деп. в ВИНИТИ от 25.12.00 № 3256ВОО. М., 2000. 14с.

3. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О некоторых свойствах квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. № 1.С. 16-23.

4. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О свойствах некоторых квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. №9. С. 17-23.

5. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О квадратурных формулах обращения преобразования Лапласа и их применении к определению скачка оригинала // Вопросы мат. анализа. Красноярск. 2002. Вып. 5. С. 61 - 69.

6. Матвеева Т.А. Специальные квадратурные формулы приближенного обращения преобразования Лапласа и их приложения // Перспективы развития Волжского региона. Тверь. 2002. Вып. 4. С. 236 - 241.

7. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Обобщенные квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. № 25. С. 23-33.

L

I

I

I

ЛР № 040815 от 22 05.97.

Подписано к печати 04.06 2003 г. Формат бумаги 60X84 1/16 Бумага офсетная Печать ризографическая. Объем 1 уел п.л Тираж 100 экз. Заказ 2937 Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр , 26.

I \

ь I I о к и

о

S

i I

I

i

Введение

Глава 1. Квадратурные формулы наивысшей степени точности и их свойства

§ 1. Основные свойства КФНСТ

§ 2. Построение КФНСТ

§ 3. Связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р)

§ 4. Поведение дельтообразных ядер, порождаемых квадратурными формулами обращения преобразования Лапласа

§ 5. КФНСТ в случае комплексного числа s

Глава 2. Квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа с наименьшими оценками погрешности

§ 1. Оценки погрешности произвольных квадратурных формул

§ 2. Оценки погрешности КФНСТ

§ 3. Квадратурные формулы с фиксированными узлами, имеющие наименьшие оценки погрешности

§ 4. Оптимальные квадратурные формулы с наименьшими оценками погрешности

Глава 3. Общий подход к построению квадратурных формул обращения преобразования Лапласа

§ 1. Первый способ построения квадратурной формулы

§ 2. Второй способ построения квадратурной формулы

§ 3. Третий способ построения квадратурной формулы

§ 4. Оценки погрешности квадратурных формул

Глава 4. Обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности

§ 1. Дробно-экспоненциальные функции Работнова

§ 2. Обобщенные квадратурные формулы

§ 3. Свойства ОКФНСТ

§ 4. Оценки погрешности ОКФНСТ

§ 5. Представление ОКФНСТ сингулярным интегралом и исследование соответствующего дельта-ядра

§ 6. Некоторые применения ОКФНСТ

§ 7. Примеры использования ОКФНСТ и оценок погрешности

Глава 5. Вычисление скачков оригинала по известному изображению

§ 1. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью

КФНСТ в случае одной точки разрыва

§ 2. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью

КФНСТ в случае двух точек разрыва

§ 3. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью метода Видцера

Задача обращения преобразования Лапласа состоит в нахождении решения интегрального уравнения

00

Jexp (-pt)f(t)dt = F(p), (0.1) о где функция F(p) - известное изображение, /(/) - искомый оригинал. Соответствие между оригиналом и изображением будем обозначать f(t) +F(p). Будем считать, что функция F(p) регулярна в полуплоскости Re (р) > 0, чего всегда можно добиться сдвигом по параметру р, что равносильно умножению оригинала на соответствующую экспоненту. Как правило, методы обращения используют не само изображение F(p), а функцию (ps(p)= ps F(p) при некотором числе s (не обязательно вещественном).

Существуют таблицы [7, 8, 10] соответствия функций-оригиналов f(t) и их изображений F[p), но они не могут охватить все встречающиеся на практике случаи.

Точное обращение преобразования Лапласа задается формулой Рима-на-Меллина:

1 c+ioo f(t)=— J exp(pt)F(p) dp, (0.2) l7tl Joo где интегрирование проводится вдоль любой прямой, расположенной правее всех особых точек изображения F(j?). Зачастую она неприменима или сложна в применении для некоторых функций из-за необходимости вычисления интеграла (0.2). Поэтому возникает задача численного обращения. Теория преобразования Лапласа и его обращения изложены в работах [1, 2, 8, 9, 10, 13, 14, 16, 17,45, 50, 51, 53, 55 - 57, 64, 65, 66, 67,68].

Надо обратить внимание на неустойчивость п риближенного обращения преобразования Лапласа, т.е. на неустойчивость оригинала f относительно малых изменений изображения F{p). Это означает, что задача численного обращения относится к классу некорректных задач [47].

После построения вычислительного метода должно следовать выяснение 1) условий сходимости, 2) устойчивости, 3) трудоемкости построения, 4) фактической реализации, 5) определение скорости сходимости, 6) ускорение сходимости в случае необходимости, 7) нахождение оценок погрешности и 8) определение возможных точек разрыва и определение величины скачка. Возможно также применение методов регуляризации [47].

Разработано много различных методов [1, 2, 4, 6, 8, 15, 16, 45, 51, 54, 55 - 57, 61, 68 - 70] приближенного решения уравнения (0.1). При их построении, как правило, исходят из того, чтобы метод был точен для несколько первых функций некоторой заранее фиксированной системы. Если искомый оригинал представим в виде разложения по этой системе функций, то можно надеяться на получение удовлетворительного приближения к нему в результате применения таких методов.

Однако для большинства известных методов отсутствуют какие-либо оценки погрешности, что затрудняет их сравнение друг с другом и выбор конкретного метода при практическом применении. Сравнение различных способов обращения с единой точки зрения, которая позволит сделать заключение о качестве метода, можно сделать на основе рассмотрении порождаемых ими дельтообразных ядер.

Поскольку исходное уравнение (0.1) линейно относительно оригинала, естественно любой приближенный метод обращения считать линейно зависящим от изображения F(p).

В общем случае метод обращения можно записать в виде п т / \/ \

АО *fnm{t) - S S А,(О гЩрАО), ад к=0 7=1 где значения п,т могут быть и бесконечными. Величины Pj{t), А/ ( 0 соответственно «узлы» и «коэффициенты», определяющие конкретный метод. С учетом уравнения (0.1) представление (0.3) можно записать иначе:

00 ( п т 1 \\ АО* Л Е Z (- 0 % (О хк ехр ( - X рJ ( 0) f{x) dx. (0.4)

0 7=1 J

Положим nm , ,

8nm ( X,t) = S I (-1)1 A kj ( 0 J exp ( - X Pj ( 0) • (0.5) k=0j=l

Тогда приближенное равенство (0.4) запишется в виде

00

АО* \snm{xtt)f{x)dx. (0.6) о

Это равенство означает, что параметры ядра (0.5), т.е. величины п, т, Pj{t), Akj(t), желательно подбирать так, что функция Snm(x,t) была близка к дельта-функции в точке х = t или, другими словами, чтобы правая часть (0.6) представляла собой сингулярный интеграл. Для любого метода обращения написать соответствующее ядро (0.5) никакого затруднения не представляет. Изучение ядра (0.5) для конкретного метода позволяет сделать некоторые априорные выводы о точности метода.

В формуле (0.3) достаточно рассматривать лишь положительные конечные значения t, ибо если /(+ 0), /( оо) существуют, то их можно найти по формулам 0) = Пш pF{p), /(qo)= lim pF(p).

00 О

Как правило, любой метод обращения в произвольной точке t > О дает f{t + 0)+f(t-0)/ приближение к величине —---——-- (см. [67]), и тем самым в окрестности точек разрыва оригинала приближенное решение fnm{t) при конечных п,т, являясь суммой конечного числа гладких слагаемых, не может правильно отражать поведение оригинала. Вопросы построения конкретных методов обращения и скорости их сходимости к предельной величине изучались в работах [36, 38, 41, 43].

Существуют различные методы решения численного обращения преобразования Лапласа:

1) сведение уравнения (0.1) к системе линейных алгебраических уравнений относительно искомого оригинала в некоторых точках полуоси t > 0 при помощи квадратурных формул [4, 15];

2) поиск решения интегрального уравнения (0.1) в виде рядов по специальным функциям [2, 19, 31, 51, 59];

3) дельта-методы обращения, в которых приближённое значение оригинала в некоторой точке представляется сингулярным интегралом вида (0.6) с ядром (0.5), приближающим дельта-функцию в точке х = t [67];

4) асимптотические методы обращения, в которых используется информация о расположении и характере особых точек изображения F(p) на комплексной плоскости, привлечение которых в определённом порядке и количестве позволяет строить более точные приближения; однако на этом пути требуется аналитическое задание изображения, что не всегда возможно [2, 4, 29, 45]. Другие подобные аналитические методы обращения рассмотрены в [1];

5) применение квадратурных формул (КФ) для приближённого вычисления интеграла Римана-Меллина вида

I c+гсо й \exp(p)p~s<p(p)dpi*'EAk<p(pk),s>0. (0.7) iKlc-ioo *=1

Узлы рк и коэффициенты ^ выбираются из условий точности формулы (0.7) для некоторого набора функций <р(р). Обычно требуют, чтобы для произвольных узлов рх,р2,.,рп, лежащих в области регулярности изображения, формула была точна для функций ф{р) — P~J, j = 0,1,— 1. Такие формулы называются интерполяционными.

Специальный выбор узлов позволяет получить квадратурные формулы наивысшей степени точности (КФНСТ), т.е. формулы, которые точны для функций ср (р) = p~J, j = 0,1,. ,2п — 1. Построение различных квадратурных формул обращения рассмотрено в [15, 16, 30, 44]. Свойства КФНСТ изучаются в работах [18, 30, 35, 37, 39, 40, 42, 64, 65, 69, 70]. Таблицы узлов и коэффициентов КФ приведены в [15]. Первая глава диссертации посвящена построению КФНСТ, изучению их свойств и нахождению оценок погрешности.

Существуют обобщенные квадратурные формулы наивысшей степени точности (ОКФНСТ), содержащие в себе указанные выше КФНСТ. Они эффективны, когда функция q)s (р) = psF(p) фактически зависит от ра, а> 0. ОКФНСТ точны для функций <р(р)= р~ат, т = 0,1,.,2и-1. Построение таких формул и нахождение оценок погрешности приведены в четвертой главе. Там же рассмотрены некоторые применения ОКФНСТ к теории наследственной упругости твердых тел.

Ядро ехр(- рх) интеграла (0.1) является целой аналитической функцией, и операция интегрирования, которая выполняет усреднение f с весом ехр(— рх), может значительно сгладить особенности в поведении преобразуемой функции f{t). Поэтому, в задаче обращения по гладкому изображению F(p) необходимо восстановить все возможные неровности поведения оригинала /(/), в частности, определить, в каких точках f(t) может испытывать разрывы и вычислить величину скачка в этих точках искомого оригинала и его производных. Следовательно, метод должен учитывать характер поведения оригинала. Очевидно, что некоторые методы дают хорошее приближение в случае достаточно гладкого оригинала, а в случае разрывного оригинала восстановление по этому методу не имеет смысла. Методы, восстанавливающие разрывный оригинал, рассмотрены в пятой главе.

В диссертации изучаются квадратурные формулы численного обращения Лапласа и их оценки погрешности. Показывается, что наилучшими оценками погрешности обладают КФНСТ. Рассмотрен общий подход к задаче обращения преобразования Лапласа с помощью КФ. Изучены специальные квадратурные формулы (ОКФНСТ) и их применение к наследственной механике твердых тел. Рассмотрена задача определения точек разрыва оригинала, величины скачков оригинала и его производных в этих точках.

В главе 1 рассматривается задача обращения преобразования Лапласа с помощью квадратурных формул. Наивысшей алгебраической степенью точности обладают КФНСТ. Выведена формула для менее трудоемкого вычисления их коэффициентов. На основе изученных свойств приведен алгоритм построения КФНСТ, который численно реализован. и

Значение ^ | Akn | характеризует устойчивость процесса обращения

К= 1 при помощи КФНСТ по отношению к ошибкам задания функции <ps{p)-Как отмечалось выше, задача обращения неустойчива. Следовательно, накапливание ошибок на промежуточных этапах построения может существенно отразиться на конечном результате. Поэтому для построения

КФНСТ с требуемой точностью используем математический пакет Maple V, позволяющий проводить вычисления с переменной точностью.

В этой же главе рассмотрена связь КФНСТ с аппроксимациями Паде функции ехр (р). Изучено поведение дельтообразных ядер, порождаемых этими КФ обращения преобразования Лапласа. Получены новые аналитические формулы некоторых характеристик дельта-ядер.

Если искомый оригинал f(t) является комплекснозначной функцией аргумента t, то его изображение F(p) при вещественных значениях параметра р уже не будет вещественным числом, а потому и значения параметра s не обязательно вещественны. Несомненный интерес представляет изучение КФНСТ в случае комплексного числа s. Этот вопрос рассмотрен в § 5 главы 1.

Во второй главе идет изучение оценок погрешности квадратурных формул. Некорректность задачи обращения преобразования Лапласа влечет за собой невозможность оценки погрешности в общем случае. Однако в предложении точного задания изображения F{p) и наличии некоторой априорной информации о гладкости оригинала f(t) существуют оценки погрешности КФ, которые можно найти в работах [30, 35, 39].

Были построены КФ с минимальными оценками погрешности: рассмотрены случаи оптимального выбора коэффициентов при фиксированных вещественных узлах, или при узлах КФНСТ и для произвольных узлов, и коэффициентов. Естественно, встает вопрос о сравнении оценок погрешности полученных КФ и КФНСТ.

Полученные результаты показывают, что при возрастании числа узлов КФНСТ обладают практически неулучшаемыми оценками погрешности.

В третьей главе рассмотрен общий подход к построению квадратурных формул обращения. Приведены три наиболее естественных подхода к построению квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа, изучены свойства получающихся приближенных методов и получены оценки погрешности.

Четвертая глава посвящена изучению обобщенных квадратурных формул. Показана необходимость применения таких специальных квадратурных формул. Изучены их свойства и на их основе приведен алгоритм построения ОКФНСТ. В связи с неустойчивостью метода обращения рассматривались вопросы сходимости, устойчивости и оценки погрешности ОКФНСТ. Большое внимание в этой главе уделяется применению данных формул к теории вязкоупругости твердых тел.

Пятая глава посвящена методам определения возможных точек разрыва оригинала и величины скачка оригинала в них. Приближенное значение искомой функции-оригинала вычисляется с использованием КФНСТ при различном числе узлов или с помощью методов Виддера.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 23 параграфа, и приложения. Работа изложена на 117 страницах, содержит 7 рисунков и 8 таблиц; список цитируемой литературы включает 70 наименований и расположен в алфавитном порядке. Формулы, теоремы, утверждения, замечания и таблицы нумеруются двумя цифрами: первая совпадает с номером главы, а вторая является порядковым номером внутри главы.

Основные результаты этой главы опубликованы в работе [24]. Автору принадлежит определение точек разрыва оригинала с помощью КФНСТ и скачков оригинала в них.

1. Андрейченко Д.К. Эффективный алгоритм численного обращения интегрального преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 2000. Т. 40, № 7. С. 1030- 1044.

2. Амербаев В.М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагер-ра. Алма-Ата. 1974. 182 с.

3. БейкерДж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М., 1986. 502 с.

4. Белов М.А., Цирулис Т.Т. Асимптотические методы обращения интегральных преобразований. Рига. 1985. 288 с.

5. Библиотека алгоритмов 1516 2006 / / Под ред. Агеева М.И. М., 1981. 184 с.

6. Гиль М.И. Об одном приближенном методе обратного преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 1972. Т. 12, № 2. С. 475 485.

7. Грандштейн И.С., Рыжик КМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1962. 1100 с.

8. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z преобразования. М., 1971. 288 с.

9. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М., 1966. 671 с.

10. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М., 1975. 407 с.

11. Екельчик B.C., Рябов В.М. Об использовании одного класса наследственных ядер в линейных уравнениях вязкоупругости / / Механика композитных материалов. 1981. № 3. С. 393 -404.

12. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М., 1959. 684 с.

13. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. М., 1975. 319 с.

14. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы высшей математики. Минск. Т. I, 1972. 584 е.; Т. II, 1975. 671 с.

15. Крылов В.И., Скобля Н.С. Справочная книга по численному обращению преобразования Лапласа. Минск, 1968. 296 с.

16. Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращению преобразования Лапласа. М., 1974. 224 с.

17. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973. 736 с.

18. Лебедева А.В., Рябов В.М. Асимптотические свойства квадратурных формул для численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1998. № 8. С. 44 49.

19. Лебедева А.В., Рябов В.М. Об обращении преобразовании Лапласа с помощью рядов Лагерра и квадратурных формул / / Методы вычислений. Вып. 19. СПб., 2001. С. 123-139.

20. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Об оценках погрешности квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2000. № 25. С. 7 11.

21. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа с наименьшими оценками погрешности. Деп. в ВИНИТИ от 25.12.00 № 3256ВОО. М., 2000. 14с.

22. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О некоторых свойствах квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. № 1. С. 16 23.

23. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О свойствах некоторых квадратурных формул численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2002. № 9. С. 17 23.

24. Матвеева Т.А., Рябов В.М. О квадратурных формулах обращения преобразования Лапласа и их применении к определению скачка оригинала // Вопросы мат. анализа. Красноярск. 2002. Вып. 5. С. 61 69.

25. Матвеева Т.А. Специальные квадратурные формулы приближенного обращения преобразования Лапласа и их приложения / / Перспективы развития Волжского региона. Тверь. 2002. Вып. 4. С. 236 241.

26. Матвеева Т.А., Рябов В.М. Обобщенные квадратурные формулы численного обращения преобразования Лапласа / / Вестн. С.-Петерб. унта. 2002. №25. С. 23-33.

27. Работное Ю.Н., Паперник Л.Х., Звонов Е.Н. Таблицы дробно-экспоненциальной функции отрицательных параметров и интеграла от нее. М, 1969. 132 с.

28. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977.384 с.

29. Риекстынъш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Рига. Т. I. 1974. 390 е.; Т. II. 1977. 463 е.; Т. III. 1981. 370 с.

30. Рябов В.М. Обращение преобразования Лапласа при помощи квадратурных формул / / Методы вычислений. Вып. 10. Л., 1976. С. 48 60.

31. Рябов В.М. О численном обращении преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 11. Л., 1978. С. 48 57.

32. Рябов В.М. Применение аппроксимаций Паде к обращению преобразования Лапласа / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1979. № 7. С. 41 44.

33. Рябов В.М. Об ускорении сходимости метода Виддера обращения преобразования Лапласа / /Вестн. Ленингр. ун-та. 1981. № 1. С. 53 -58.

34. Рябов В.М. О многочленах, возникающих при численном обращении преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 12. Л., 1981. С. 46-53.

35. Рябов В.М. Оценка погрешности квадратурных формул обращения преобразования Лапласа, связанных с аппроксимациями Паде функции еz / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1984. № 1. С. 42 47.

36. Рябое В.М. О точности некоторых методов обращения преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 14. Л., 1985. С. 59 71.

37. Рябое В.М. О свойствах квадратурных формул, применяемых для обращения преобразования Лапласа / / Методы вычислений. Вып. 15. Л., 1988. С. 63-73.

38. Рябое В.М. Вычисление значений и скачков оригинала с помощью формул Виддера / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 1. С. 114-116.

39. Рябое В.М. Свойства квадратурных формул, применяемых для обращения преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29, № 6. С. 941 -944.

40. Рябое В.М. Свойства квадратурных формул наивысшей степени точности, применяемых для обращения преобразования Лапласа / / ЖВМ и МФ. 1989. Т. 29, № 7. С. 1083 1087.

41. Рябое В.М. О точности вычисления значений и скачков оригинала методом Виддера / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1989. № 15. С. 35 38.

42. Рябое В.М. Поведение коэффициентов квадратурных формул обращения преобразования Лапласа при возрастании числа узлов / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1990. № 15. С. 38-40.

43. Рябое В.М. Вычисление скачков оригинала по его изображению с помощью квадратурных формул / / Вестн. Ленингр. ун-та. 1998. № 1. С. 36-39.

44. Скобля Н.С. О распределении корней многочленов, связанных с численным обращением преобразования Лапласа / / ДАН БССР. 1965. Т. 9, №5. С. 288-291.

45. Слепян JI.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. JI., 1980. 343 с.

46. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М., 1976. 328 с.

47. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М., 1979. 288 с.

48. Цалюк З.Б. Асимптотическая структура резольвенты неустойчивого уравнения Вольтерра с разностным ядром / / Математика. 2000, № 4. С. 50-55.

49. Штраус В Д. Обработка сигналов в редакционных экспериментах / / МКМ. 2000. Т. 38, № 1. С. 105 128.

50. Bellman R.E., Kalaba Р.Е., LockettJ.A. Numerical inversion of the Laplace transform. N.-Y. 1966. 249 p.

51. Boutros Y.Z. Numerical methods for the inversion of the Laplace transforms. Zurich. 1964. 64 p.

52. Bruin M.G., Saff E.B., Varga R.S. On the zeros of generalized Bessel polynomials / / Indagat. Math. 1981. Vol. 43, № 1. P. 1 25.

53. Davies В., Martin B. Numerical inversion of the Laplace transform: a survey and comparison of methods / / J. comput. phys. 1979. Vol. 33, № 1. P. 1-25.

54. Haidar N.H.S. The collocation double series inverse in quasilinear regular-izer form / / J. of inverse ill-problem. 1999. Vol. 7, № 2. P. 127 144.

55. Jagerman D.L. An inversion technique for Laplace transform with application to approximation / / The Bell system techn. j. 1978. Vol. 57, № 3. P. 669-710.

56. Jagerman D.L. An inversion technique for Laplace transform / / The Bell system techn. j. 1982. Vol. 61, № 8. P. 1995 2002.

57. Jagerman D.L. Laplace transform inequalities with application to queueing / / AT&T techn. j. 1985. Vol. 64, № 7. P. 1755 1764.

58. Leopold E. Localisation des polynomes de Bessel generalises / / C.P. Acad. Sci. Serie I. Paris. 1993. Vol. 316. P. 337 340.

59. Luke Y. The special functions and their approximations. Vol. II. 1969. N.-Y. 349 p.

60. May C.P. Saturation and inverse theorems for combination of a class of exponential-type operators / / Can. J. of Math. 1976. Vol. 28, № 6. P. 1224 -1250.

61. Mc. Whirter J. G., Pike E.R. On the numerical inversion of the Laplace transform an similar Fredholm integral equations of the first kind / / J. of Physics. A.: Mathematical and General. 1978. Vol. 11, № 9. P. 1729 1745.

62. Pasquini L. A ccurate с omputation о f t he z eros of t he g eneralized В essel polynomials / / Numerische Mathematik. 2000. Vol. 86, № 3. P. 507 538.

63. Rodrigues A.J. Properties of constants for a quadrature formula to evaluate Bromwich's integral / / J. inst. math. appl. 1976. Vol. 18, № 1. P. 49 56.

64. Rodrigues A.J. An error analysis and convergence of a quadrature formula to invert Laplace transforms II J. inst. math. appl. 1977. Vol. 20, № 1. P. 21-32.

65. Rodrigues A.J. On the accuracy of a quadrature laplace transform inversion and solution of space state equations II J. inst. math. appl. 1978. Vol. 22, № 3. P. 283-296.

66. Talbot A. The accurate numerical inversion of Laplace transforms / / J. inst. math. appl. 1979. Vol. 23, № 1. P. 97 120.

67. Widder D. V. The Laplace transform. Oxford. 1946. 406 p.

68. Zakian V. Application of Jmn approximants to numerical initial value problems in linear differential-algebraic systems II J. inst. math. appl. 1975. Vol. 15, №2. P. 267-272.

69. Zakian V. Properties of Imn & Jmn approximants and applications to numerical inversion of the Laplace transforms and initial value problems / / J. inst. math. appl. 1975. Vol. 50, № 1. P. 191 222.

70. Zakian V., Edwards M.J. Tabulations of constants for full grade Imn approximants / / Math, comput. 1978. Vol. 32, № 142. P. 519 531.