Некоторые методы решения задач динамики излучающего газа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА. I. Неявная схема для совместного решения уравнений энергии и переноса излучения в задачах с радиационно-кондуктивным теплообменом

§ I. Общая схема решения задач радиационной газовой динамики.

§ 2. Построение неявных схем для совместного решения уравнений энергии и переноса излучения в задачах с радиационно-кондуктивным теплообменом

§ 3. Исследование устойчивости неявных разностных схем.

§ 4. Примеры расчетов на ЭВД.

ГЛАВА П. Методы осреднения двумерного уравнения переноса излучения

§ I. Осреднение двумерного уравнения переноса излучения по направлениям полета фотонов и приближенный метод учета угловой зависимости

§ 2. Осреднение двумерного уравнения переноса излучения по углу и по частоте в случае коэффициента поглощения 92 о = 4 (>;)•£,(т,/)

§ 3. Примеры численных расчетов.

ГЛАВА Ш. Численное исследование развития лазерной плазмы вблизи поверхности мишени при умеренном давлении окружающего газа

§ I. Постановка задачи и метод численного решения

§ 2. Динамика развития плазменного факела

I. В последнее время в науке и технике все чаще приходится иметь дело с высокотемпературными газодинамическими процессами. Эти процессы играют существенную роль в некоторых задачах управляемого термоядерного синтеза, в исследованиях явлений, происходящих в лазерной плазме, в сильноточных излучакщих разрядах, в задачах по вхождению космических летательных аппаратов в атмосферы планет, в астрофизике и т.д. Во многих случаях невозможно определить газодинамические параметры (скорости, плотности, температуры), не зная полей излучения, и наоборот, нельзя определить поля излучения, не зная газодинамических полей.

Перенос тепла излучением начинает существенно влиять на ход процессов, когда температура среды достигает I эВ = = П600°К. В случае, если температура не слишком высока, а плотность среды не слишком низка, плотность энергии излучения и давление излучения пренебрежимо малы по сравнению с давлением и энергией вещества. Однако, поток энергии за счет излучения сопоставим с потоками энергии за счет других механизмов переноса. Связано это с тем, что поток энергии излучения по порядку величины равен с С/ , где V - плотность энергии излучения, а с - скорость света. Поэтому, несмотря на малость I/ , с (У может быть велико за счет большой величины о , ив расчетах газодинамических параметров необходимо учитывать поток излучения.

В этом случае система уравнений радиационной газовой динамики (ИД) имеет вид [I]:

2) уэ ^ ~ ~ (рч-иьГ)

3) £ --р&гГЬО + & гГ + &

4) (Л^ъаЛ!^ + =

V/ = Л1]/ЛЛ о 431 и

В этой системе уравнений использованы следущие обозначения: - время, и^ - вектор скорости, у? - плотность среды, р - давление, ц/ - искусственная вязкость, £ - внутренняя энергия, Т- температура, % - коэффициент теплопроводности, б — вклад в уравнение энергии различных источников тепла, \д/ — вектор потока энергии излучения, спектральная интенсивность энергии излучения, Л - единичный вектор направления полета фотона, V) - частота фотона, З^р- коэффициент поглощения фотонов частоты 9 , Т^ спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела: з т о*

В системе (I) - (4) пренебрегается рассеянием излучения по сравнению с его поглощением, предполагается наличие локального термодинамического равновесия в веществе, равновесие между веществом и излучением необязательно. Предполагается, что время прохождения светом исследуемого объема много меньше характерного времени задачи, что позволяет использовать квазистационарную форму уравнения переноса излучения (4).

Систему уравнений радиационной газовой динамики следует дополнить граничными условиями. Различные типы граничных условий для уравнений (I) и (2) приведены, например, в книге А.А.Самарского и Ю.П.Попова [2]. Для уравнения переноса излучения (4) в случае выпуклых областей без учета частичного отражения на границе Г граничные условия задаются в виде: где 1ь - вектор нормали к границе области, X"*"- интенсивность приходящего извне излучения. Этот случай рассматривается в настоящей работе. Для невыпуклых областей граничные условия строятся более сложным образом [3].

Если в уравнении энергии не учитывается электронная и молекулярная теплопроводность, то оно не нуждается в граничных условиях. Если вблизи границы нет излучения, то можно пользоваться обычно задаваемыми для уравнения теплопроводности граничными условиями [2]. В общем случае для построения граничных условий для уравнения энергии необходимо учитывать поток тепла через границу как за счет электронной и молекулярной теплопроводности, так и за счет излучения.

Более по,дробно математическая постановка задач РГД изложена в работах [1,4-6].

2. Как видно из системы уравнений (I) - (3), излучение вносит вклад только в уравнение энергии, поэтому решение задач РГД в этой постановке естественным образом разбивается на три этапа [7,8,9]:

1) решение уравнений газовой динамики (I) - (2);

2) решение уравнения переноса излучения (4);

3) определение температуры из совместного решения уравнения энергии (3) и уравнения переноса излучения (4).

Методическая часть диссертации посвящена последним двум этапам. Что касается методов решения уравнений газовой динамики, то автор в своих расчетах использовал ранее разработанные алгоритмы, поэтому их изложению уделяется мало внимания. Более подробно эти методы изложены в работах [2,10-16].

Одна из трудностей решения системы уравнений (I) - (4) связана с многомерностью уравнения переноса излучения. Интенсивность излучения зависит от . " дополнительных переменных: частоты V) и направления полета фотона Л. Если ввести Л/к частотных интервалов (групп) и взять Nр точек по углу, то для определения поля излучения придется решать А/к*А/р уравнений вида (4), в то время как остальных уравнений в системе (I) - (3) всего 2 , где т. - геометрическая размерность пространства.

Вторая трудность решения задачи состоит в следующем. В правую часть уравнения энергии входит поток V/ , для определения которого необходимо решать уравнение переноса излучения. Поэтому наиболее простым способом решения является решение с использованием явных схем, когда поток и/ определяется по данным с предыдущего временного слоя. Однако, такие схемы часто требуют для устойчивости счета очень малого шага по времени.

Особенно ощутимым это становится для областей с большой оптической толщиной, в которых выполняется приближение лучистой теплопроводности [I]. В этом случае применение явной схемы для решения уравнения энергии эквивалентно применению явной схемы для уравнения теплопроводности, что накладывает жесткое ограничение на шаг по времени [2,17].

В работах [18,19] получено достаточное условие устойчивости явной схемы для совместного решения одногруппового уравнения переноса излучения для плоского слоя и уравнения энергии без учета теплопроводности: г <-&— , где <о - постоянная Стеорана-Больцмана.

Указанные трудности решения задач динамики излучающего газа придают особую ценность различным приближениям, которые, позволяя существенно упростить поставленную задачу, дают решения, близкие к результатам, полученным при использовании более точных моделей. Среди приближенных способов следует отметить приближения лучистой теплопроводности, оптически тонкого слоя [1,4,7], серой материи 7), диффузионное приближение [1,3,4,7,20-22], приближения Эдцингтона и Шварщильда-Шустера [1,23-24]. Последние три предполагают приближенный учет угловой зависимости поля излучения. Их использование в численных расчетах позволяет качественно верно оцределять интегральные характеристики поля излучения. Поэтому при решении двумерных задач в настоящее время часто поток энергии излучения И/^ определяют из системы уравнений диффузии излучения <¿¿1/^ угияА и» - сэе,р и>> = -оэе,; и^

А/ ОПуОЛЬ и^ о - I где и^р - спектральная плотность излучения абсолютно черного тела.

Заметим, что при решении двумерных уравнений (5) возникает новая трудность - необходимость использования итерационных методов решения уравнений эллиптического типа, что требует большого объема вычислений, особенно в случае неравномерных неортогональных сеток-. и непостоянных по пространству коэффициентов поглощения .

В общем случае для расчета задач динамики излучащего газа приходится решать систему уравнений (I) - (4).

3. Методы решения задач РГД рассматривались рядом авторов. Методы решения одномерного уравнения переноса излучения (4) в различных геометриях предложены в работах [7,16,20,2532]. Среди них следует отметить методы характеристик, метод характеристик с интерполяцией, ¿^»ПЗЗцг методы.

Решение двумерного уравнения переноса излучения значительно более трудоемко. Можно использовать методы дискретных ординат ( $п,1>ЗпГ методы, метод характеристик, метод конечных элементов) [20,33-39], методы Монте-Карло [40,41]. Однако, при использовании методов дискретных ординат (кроме метода конечных элементов) в двумерных задачах недостаточно подробная сетка по угловой переменной может привести к значительным количественным и качественным ошибкам, обусловленным эффектом луча [33,42]. Эффект луча возникает в том случае, когда область, в основном генерирующая излучение, мала,и направления, вдоль которых вычисляется интенсивность излучения, выбраны неудачно. Одним из способов борьбы с эффектом луча является специальный выбор сетки по угловым переменным.

Так, например, в работах [35,36] интенсивность излучения вычисляется с помощью решения двумерного уравнения переноса методом дискретных ординат по шести лучам, специально выбранным из физических соображений.

Редкая сетка по угловой переменной, содержащая четыре луча, параллельных осям координат, используется при решении двумерной задачи ЕГД с осевой симметрией в работе [43]. При этом решение уравнения переноса вдоль каждого луча проводится в приближении плоского слоя. Такой способ может быть использован для решения некоторых задач, в которых не требуется точный учет поля излучения, а размеры зоны, в основном ге-нерируицей собственное излучение плазмы, близки к размерам всей исследуемой области.

Другим средством борьбы с эффектом луча является использование методов с осреднением по угловой переменной: диффузионного приближения [1,4,7], квазидиффузионного метода [7,19, 44-46], уравнений, полученных в работе [47].

В работе [47] предлагается определять поле излучения в , двумерных задачах ЕГД из решения самосопряженного уравнения Владимирова [3], проинтегрированного по угловой переменной внутри телесных углов, на которые разбивается сфера направлений. Метод является более точным, чем диффузионный. Однако, его применение, особенно в многогрупповом варианте, приводит к большому объему вычислений, связанному с решением двумерных эллиптических уравнений.

Решение двумерных эллиптических уравнений, как уже отмечалось, представляет непростую задачу. Можно использовать различные итерационные методы, предложенные в книгах [17,48]. Хорошо зарекомендовал себя Л-итерационный метод [49], который дает лучшую скорость сходимости, чем методы наискорейшего спуска, минимальных невязок [48]. Скорость сходимости р метода где А/ - число узлов сетки по одному пространственному направлению. В отличие от методов верхней релаксации, обобщенно-попеременно-треугольного метода [48] он не требует знания априорной информации о спектре разностного оператора.

Рассмотрим ряд алгоритмов, посвященных эффективному понижению размерности уравнения переноса излучения.

Среди них следует прежде всего отметить квазидиффузионный метод, который был первоначально предложен в работе [45] и в настоящее время широко используется душ решения одномерных задач [7,19,44,46]. В квазидиффузионном методе понижение размерности уравнения переноса происходит благодаря осреднению по угловой переменной. При известных коэффициентах квазидиффузии поток энергии излучения VIопределяется из уравнений, не зависящих от направления полета фотона.

В работах [50,51] приведены примеры использования квазидиффузионного метода дня решения двумерных задач нейтронной физики. Однако, его применение для решения двумерных задач ЕГД приводит к большому объему вычислений, связанному с решением на некоторых временных слоях двумерного уравнения переноса излучения.

В работе [52] предлагается использовать для решения одномерных задач потоковые уравнения, получающиеся в результате осреднения уравнения переноса по угловой переменной и яв-лявдиеся в некотором смысле аналогом системы уравнений квазидиффузии.

Ряд работ посвящен осреднению уравнения переноса излучения по частоте. В работах [53,54] предлагается моментный метод осреднения по частоте одномерного уравнения переноса излучения. Возможно его обобщение на решение двумерных задач.

Осреднение по энергиям потоковых уравнений [52], хорошо описывающих поведение потока энергии излучения для плоского слоя, проводится в работе [55]. В работе [56] предлагается проводить осреднение по энергиям фотонов для разностной формы записи системы уравнений квазидиффузии. При этом оказывается эффективным использовать метод замораживания осреднен-ных коэффициентов. Возмогло обобщение метода [56] на случай решения двумерных задач [8,9].

В работах [44,57] предложен эффективный способ осреднения по энергиям фотонов для одномерных и двумерных задач в случае, когда коэффициент поглощения представим в виде 36^ = = (])) (^у5) • При этом частотная зависимость интенсивности излучения переводится в угловую. В работе [ 58] предложена приближенная схема использования этого метода для задач, обладаниях сферической симметрией- Метод был. успешно применен для решения одномерных практических задач [59-61]. Использование осреднения [44] для решения двумерных задач в случае = (^-/^(Т1 ^о) облегчает учет частотной зависимости. Однако, поскольку геометрическая размерность уравнения переноса не меняется, для решения двумерных задач требуется много вычислений.

Важной проблемой является построение неявных схем для совместного решения уравнения энергии и уравнения переноса излучения.

В работе [19] рассмотрена неявная схема, основанная на выделении из дивергенции потока излучения главных частей, выражающихся через температуру и имевидах различный вид в случаях равновесного состояния и при наличии температурных пиков, когда отсутствует равновесие между веществом и излучением. Однако, в случае промежуточного оптического состояния приходится для сохранения устойчивости ограничивать временной шаг.

В случае, когда в уравнении энергии не учитывается теплопроводность, были построены другие неявные разностные схемы, предложены методы их решения.

В работах [62,63] предлагается использовать метод Ньютона-Канторовича для совместного решения уравнения энергии и уравнений, описывакхцих перенос излучения.В статье [62] построены чисто неявные итерационные разностные схемы для совместного решения уравнений переноса и энергии в стационарном случае и совместного решения уравнений диффузии излучения и энергии в нестационарном случае.

Построение неявной схемы решения задач динамики излучающего газа, использующей для решения уравнения переноса метод Монте-Карло, проводится в работе [64].

В работах [7,65] предлагается неявная разностная схема для совместного решения уравнений энергии без учета теплопроводности и переноса излучения для одномерных задач. Используются квазидиффузионный подход [45] и осреднение по энергиям фотонов для разностной формы записи уравнений квазидиффузии [56]. Проведено обобщение этой схемы на случай совместного решения двумерных уравнений диффузии излучения и энергии[8,9].

Разработке устойчивых методов совместного решения уравнений энергии и уравнений, описывающих перенос излучения, посвящены также работы [66,67].

При решении ряда задач, например, задач о развитии плазменного факела при облучении'металлической мишени лазером на некоторых стадиях процесса, некоторых задач ЛТС и других необходимо учитывать электронную теплопроводность. В работе[68] предлагается неявный метод решения задачи о радиационно-кондуктивном переносе энергии в одномерном по пространству нестационарном случае. Задача рассматривается в двухтемператур-ном приближении, учитывается электронная и ионная теплопроводность.

Автор не встречал универсальных устойчивых методов совместного решения уравнений энергии с учетом теплопроводности и переноса излучения в термодинамически-равновесном случае, когда задача может быть рассмотрена в однотемпературном приближении, более простом с вычислительной точки зрения»

В заключение литературного обзора приведем ряд работ, посвященных численному исследованию процессов, протекающих при взаимодействии лазерного излучения с веществом конденсированной среды. Первоначально процессы исследовались с помощью одномерных моделей в работах [69-77]. Применение такого упрощенного подхода позволяет получить.полезную качественную и количественную информацию об изучаемом процессе. Однако, область применимости одномерных газодинамических.моделей ограничена. Они могут использоваться только на начальных стадиях, когда газодинамическое расширение еще существенно одномерно, и поперечные размеры плазменных образований не превышают характерных размеров лазерного пятна. В условиях большой длительности лазерных импульсов и сравнительно небольшого пятна фокусировки существенное влияние на всю картину в целом оказывают эффекты объемного расширения. В работах [35,36,7882] решение задачи о развитии лазерной плазмы вблизи поверхности твердого тела при давлениях окружающей среды р £ I атм проводится в двумерной осесимметричной постановке. Процесс описывается в эйлеровой системе координат, при решении уравнений газовой динамики используются методы Годунова [10], крупных частиц [III, FLIC [12,13]. При расчетах плазма предполагается нетеплопроводной, но излучащей [35,36,78,81,82], или, напротив, учитывается электронная теплопроводность, а собственное излучение не учитывается [79,80]. В работе [79] задача рассматривается в двухтемпературном приближении.

Подробный обзор теоретических и экспериментальных работ по исследованию низкотемпературной лазерной плазмы при повышенных давлениях окружающей среды и возможностей ее практического использования сделан в статье [83]. Основное внимание уделяется теоретическим аспектам развития лазерной плазмы вблизи металлических поверхностей в азотной среде при интенсивное тях лазерного излучения 50 * 10® МВт/см^ (А= 1,06 мкм). Анализ основных теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению явления лазерного пробоя (начальной стадии процесса), содержится также в обзорах [84,85] и монографиях [86,87].

В работах [88-92] впервые численными методами проводится исследование динамики лазерной плазмы вблизи мишени при высоких давлениях азотной среды (30 * 100 атм) на следующей стадии развития процесса-стадии установления. Плазма предполагается нетеплопроводной, но излучащей. Результаты численного исследования хорошо согласуются с экспериментом [93,94].

Численное и экспериментальное исследование показало, что образующаяся плазма обладает рядом интересных свойств, влияющих на поверхность металла. В некотором диапазоне давлений и интенсивностей излучения процессы развитого испарения (то есть механического разрушения поверхности) практически отсутствуют. Это позволяет использовать процесс взаимодействия лазерного излучения с веществом при высоких давлениях окружащей среды для поверхностного упрочнения стали [95] и синтеза нитрида титана в азотной среде [96]. Однако, создание и подцержание высокого давления в окружающей мишень среде сталкивается с рядом технических трудностей. Как показывают численные и экспериментальные исследования, характер развития процесса при давлении I атм не позволяет использовать лазерное излучение для этих технологических применений. Поэтому вызывает интерес характер развития процесса при умеренном давлении окружающего газа. Была проведена серия экспериментальных работ [83], однако теоретически процесс исследован недостаточно.

4. Несмотря на большое количество работ, посвященных методам решения задач динамики излучаицего газа, указанные трудности полностью не решены.

Определение потока энергии излучения в двумерных задачах остается трудоемкой процедурой. Его непосредственное определение из многогруппового уравнения переноса излучения, уравнений квазидиффузии, уравнений [47] требует большого объема вычислений. Использование диффузионного цриближения не всегда позволяет получить достаточно точный результат. Трудоемкость решения двумерных задач усугубляется в случае сложного характера зависимости коэффициента поглощения от частоты.

Разработаны эффективные методы совместного решения уравнения энергии без учета теплопроводности и уравнения переноса излучения, однако, методам решения задач с радиационно-кондуктивным теплообменом в литературе должного внимания не уделялось. Решение уравнения энергии по явным схемам в этом случае накладывает жесткое ограничение на шаг по времени для устойчивости. К неустойчивости может привести как аппроксимация потока излучения, так и аппроксимация кондуктивного потока на предыдущем временном слое. Универсальных устойчивых неявных разностных схем для задач в однотемпературном приближении с равнозначным радиационным и кондуктивным теплообменом до настоящего времени не существовало.

Среди задач ЕГД особого внимания заслуживает исследование развития лазерной плазмы в результате взаимодействия лазерного излучения с веществом при умеренном давлении окружающего газа. Исследование этой задачи с помощью численного моделирования представляет как научный интерес - для лучшего понимания характера развития процесса, так и практический, в том числе в связи с технологическими применениями лазерного излучения для поверхностного упрочнения стали [95] и синтеза нитрида титана в азотной среде [96].

Перед автором настоящей диссертации стояли следущие задачи:

1. Разработка неявных устойчивых методов совместного решения уравнения энергии и уравнений, описыванзцих перенос излучения для одномерных и двумерных по пространству задач в случае, когда радиационный и кондуктивный обмен в среде равнозначны.

2. Разработка эффективных методов решения двумерного уравнения переноса излучения на основе осреднения по углу и по частоте, являющихся экономичным! с вычислительной точки зрения и обладающих достаточной точностью.

3. Проведение численного исследования развития лазерной плазмы на стадии установления в результате действия на мишень лазерного излучения при умеренном давлении азотной среды.

Основными результатами диссертации являются:

- дальнейшее развитие методов решения задач ЕГД в указанных направлениях;

- решение физической задачи с использованием этих методов.

Разработанные методы могут быть применены также для расчета многих других задач ЕГД.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

Основные результаты и выводы состоят в следующем: .

1. Разработана неявная разностная схема для определения температуры из совместного решения уравнения энергии и уравнений, описывающих перенос излучения в одномерных и двумерных задачах с радиационно-кондуктивным теплообменом. С помощью теоретического исследования и расчетов выявлен класс устойчивых схем.

2. Предложены эффективные методы решения двумерного уравнения переноса излучения, включакщие его осреднение по направлениям полета фотонов с приближенным учетом угловой зависимости. При специальном виде зависимости коэффициента поглощения от частоты, температуры и плотности проведено дополнительно осреднение уравнения переноса по энергиям фотонов^Ме-тоды позволяют во многих случаях получить значение точнее, чем многогрупповой диффузионный.

3. С помощью разработанного алгоритма решения задач с радиационно-кондуктивным теплообменом проведено численное исследование процессов, протекающих в плазме в результате действия излучения неодимового лазера на мишень в среде с первоначальным давлением азота 10 атм. В результате решения двумерной задачи выявлены основные физические закономерности протекания процессов и условия технологического применения.

В заключение автор выражает благодарность

- научному руководителю доктору физико-математических наук Б.НЛетверушкину за предложенную тему, постоянное внимание к работе и обсуждение результатов;

- кандидату физико-математических наук В.И.Мажукину за ценные советы в проведении расчетов и участие в обсуждении результатов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью диссертации являлось развитие методов решения задач радиационной газовой динамики в одномерной и двумерной пространственной постановке, численное решение и исследование задачи о развитии лазерной плазмы вблизи металлической поверхности. В расчетах использовались разработанные автором алгоритмы. Предложенные методы и отлаженные программы могут быть примененц для решения широкого класса задач динамики излучающего газа.

1. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных газодинамических явлений. - М.: Наука, 1966. -686 с.

2. Самарский A.A., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352 с.

3. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. Труды Матем. ин-та АН СССР, 1961, вып. 61. - 158 с.

4. Бай Ши-и. Динамика излучающего газа. М.: Мир, 1968. -323 с.

5. Сэмпсон Д. Уравнения переноса энергии и количества движения в газах с учетом излучения. М.: Мир, 1969. - 206 с.б. Тирский Г.А., Пилюгин H.H. Основы динамики излучающего газа. M.s iffy, 1979. - 148 с.

6. Четверушкин Б.Н. Решение одномерных задач радиационной газовой динамики. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1978, № - 58 с.

7. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н. Решение двумерных нестационарных задач радиационной . газовой динамики. Ж. вычисл. матем. и матем. <|из., 1979, т. 19, № 5, с. 1262-1275.

8. Волчинская М.И., Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Решение двумерных нестационарных задач РГД с использованием эйлеровых переменных. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1981, В 33. - 15 с.

9. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. - 400 с.

10. Белоцерковский 0 .M., Давыдов D.M. Метод крупных частиц -в газовой динамике. M.î Наука, 1982. - 391 с.

11. Jentry R.A., Martin R.E., Daly B.I. An Eulerian Differencing Method for Unsteady Compressible Plow Problems. J. of Comp. Physics, 1966, v. 1, p. 87-118.

12. Герасимов Б.П., Семушин C.A. Расчет на неподвижной эйлеровой сетке обтекания тел изменяющейся формы. Диф. уравнения, 1981, ХУЛ, № 7, с. I2I4-I22I.

13. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод. В сб.: Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973, с. 156-164.

14. Головизин В.М., Самарский A.A., Фаворский А.П. Вариационный подход к построению конечноразностных моделей в гидродинамике. Докл. АН СССР, 1979, т. 235, № б, с. 1285-1288.

15. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. M.ï Мир, 1972. - 418 с.

16. Самарский A.A. Теория разностных схем. M.î Наука, 1983. - 616 с.

17. Четверушкин Б.Н. Об устойчивости явной схемы совместного решения уравнения энергии и уравнения переноса излучения. -В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. : Наука, 1970, т. I, № I, с. 85-99.

18. Гольдин В.Я., Четверушкин Б.Н. Методы расчета переноса излучения в одномерных задачах низкотемпературной плазмы.-М.: Препринт ин-та прикл.математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1970, № 12. 40 с.

19. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1971, - 496 с.

20. Marshak R. Note on Spherical Harmonie Method as Applied to the Milne Problem for a Sphere. I. Bid, 1947, N71, p. 443.

21. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. M.: Атомиздат, I960. - 520 с.

22. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. M.ï ГИТТЛ, 1966. - 391 с.

23. Уинзольд А. Физика звездных атмосфер. M.î ГНИЛ, 1949. - 630 с.

24. Wick G. Uber ebene d.uffusion probleme. Z. Phys.,1943, Bd. 121» s, 702.

25. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. M.s ИЛ, 1953. 431 с.

26. Владимиров B.C. Численное решение кинетического уравнения для сферы. В сб. î Вычислительная математика, М. : АН СССР, 1958, № 3, с. 8-33.

27. Гольдин В.Я. Характеристическая разностная схема для нестационарного кинетического уравнения. -Докл. АН СССР, I960, т. 133, * 4, с. 748-751.

28. Гермогенова Т.А., Басс Л.П. О решении уравнения переноса методом характеристик. В сб.s Вопросы физики защиты река-торов, 1969, вып. 3, с. 69-77.

29. Никифорова A.B., Тарасов В.А., Трощиев В.Е. О решении кинетических уравнений дивергентным методом характеристик.

30. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т. 12, № 4, с. I04I-I048.

31. Трощиев В.Е., Юдинцев В.§., Федянин В.И. Об ускорении сходимости итераций при решении кинетического уравнения. 2» внчисл. мат ем. и матем. физ., 1968, т. 8, $ 2, с. 452-459.

32. Басс Л.П. Конечно-разностные методы решения уравнения переноса в задачах со сложной геометрией. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1975, Л? 14. - 75 с.

33. Борисов В.М. Использование квадратурных формул Гаусса в задачах радиационной газодинамики. В сб.: Динамика излучающего газа. М.: ВЦ АН СССР, 1974, вып.1, с. 75-80.

34. Зубов В.И., Кривцов В.И., Наумова И.Н., Шмыглевс-кий Ю.Д. Расчет взаимодействия лазерного излучения с алюминиевым сосудом и его парами. Ж. вычисл. матем: ; и матем. физ., 1980, т. 22,$ б, с. I513-1529.

35. Шильников Е.В. Исследование движения газа под действием сфокусированного лазерного излучения. В сб.: Динамика излучающего газа. М.: ВЦ АН СССР, 1981, вып. 4, с. 74-91.

36. Lathrop K.D. Spatial differencing of Transport equation. J. Сотр. Phys., 1969, v. 4, N 4» p. 475-49S.

37. Carlson B.G. The Numerical Theory of Neutron Transport.-Methods of Computational Physics, New-York, 1963, v. 1, p.l-42.

38. Варганова Л.Ф., Гаджиев А.Д. О конечно-разностном методе решения уравнения переноса нейтронов в квазицилиндрических координатах. В сб.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: 1974, т. 5, с. 27-36.

39. Sandford М., Anderson R.C. Two-dimensional implicit radiation hydrodynamics. J. Сотр. Phys., 1973, v. 13, N 1, p. 130-157.

40. Мельниченко А.С.,-Огибин В.Н. Применение метода Монте-Карло к решению спектральных задач лучистого теплообмена. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1977, т. 17, № 4, с, 1068-1074.

41. Lathrop k.D. Ray effects in discrete ordinates equations.- Nucl. Sei.Eng., 1968,32, N 3, p. 357-369.

42. Романов Г.С., Урбан B.B, Расчет параметров импульсного источника света на основе взрывного плазменного генератора.

43. В сб.: Труды 1У Всесоюзной конференции. Динамика излучающего газа. М.: МГУ, 1981, с. 12-20.

44. Гольдин В.Я., Четверушкин Б.Н. Методы решения одномерных задач радиационной газовой динамики. S. вычисл. матем. и матем. физ., 1972, т.12, №4, с. 990-1000.

45. Гольдин В.Я. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения. К. вычисл. матем. и матем. физ., 1964, т. 4,б, с. 1078-1084.

46. Репина Г.Е., Четверушкин Б.Н. Об одном методе решения уравнения переноса излучения в двумерных задачах радиационной газовой динамики. -Ж, вычисл. матем. и матем. физ., 1979,т, 19, № 6, с. I5I3-I520.

47. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 590 с.

48. Четверушкин Б.Н. Об одном .итерационном алгоритме решения разностных уравнений.- Ж.вычисл.матем. и матем.физ.,1976,т. 16, № 2, с. 519-524.

49. Аксенов H.H., Гольдин В.Я. Расчет двумерного стационарного уравнения переноса нейтронов методом квазидиффузии. -Ж. вычисл. матем* и матем. физ., 1979, т. 19, № 5, с. I34I-I343.

50. Гольдин В.Я., Гольдина Д.А., Колпаков A.B. О решении двумерной стационарной задачи квазидиффузии. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1982, }Ь 49.13 с.

51. Гермогенова Т.А., Сушкевич Т.А. Решение уравнения переноса методом средних потоков. В кн.: Вопросы физики защиты реакторов. М.: Атомиздат, 1969, вып. 3, с. 34-43.

52. Шмыглевский ЮД. Расчет переноса лучистой энергии методом Галеркина. Ж. вычисл. матем. и матем, физ., 1973,т. 13, i 2, с. 398-407.

53. Шмыглевский Ю.Д. Моментный метод расчета переноса селективного излучения. В сб.: Динамика излучающего газа. М.: ВЦ АН СССР, 1976, вып. 2, с. 42-60.

54. Немчинов И.В. Об осредненных уравнениях переноса излучения и их использовании при решении газодинамических задач.-Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1970, т. 34, № 4, с. 706-722.

55. Филиппычев Д»С., Четверушкин Б.Н. Об одном способе осреднения уравнений диффузионного типа по энергиям фотонов. -Ж. вычисл. матем. и матем. <|из., 1976, т. 16, № 6, с. I60I-I605.

56. Гольдин В.Я., Четверушкин Б.Н. Эффективный метод решения уравнения переноса излучения в низкотемпературной плазме.-Докл. АН СССР, 1970, т. 195, № 2, с. 315-317.

57. Александров В.А., Епихова Н.В. О расчете структуры ударной волны в селективно излучающем газе. В кн.: Материалы семинара по вычислительной физике. Тбилиси: ТГУ, 1976, с. 35-59.

58. Гольдин В.Я., Кудинова Г.А. Расчет потока энергии излучения в воздухе. S. вычисл. матем. и матем. физ., 1976,т. 16, № б, с. 805-808.

59. Зуев А.И. Применение метода Ньютона-Канторовича для решения задачи о распространении неравновесного излучения. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, т. 13, № 3, с. 792-798.

60. Адеев A.B., Мельниченко A.C. О линеаризации уравнения энергии при совместном решении его с уравнением переноса излучения. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1981, т. 21, № I,с. I07-II2.

61. Fleck J.A.,Commings J.D. An implicit Monte-Carlo scheme for calculating time and frequency dependent nonlinear radiation transport. J. Comp. Phys., 1971, 8 ,1. P. 313-342.

62. Куликов Ю#Н., Четверушкин Б.H. Неявный разностный метод определения температуры в задачах радиационной газовой динамики. Ж. вычисл. матем. и матем. Зиз., 1973, т, 13, № 3,с. 136-146.

63. Трощиев В.Е., Юдинцев В«§. Итерационный метод постоянных поправок для решения задач переноса излучения. В кн.: Вопросы атомной науки и техники.Сер.: Методики и программы численного решения задач матем. физики, 1978, вып. 2(2), с. D-I6.

64. Думкина Г.В,, Козманов М.Ю. Метод характеристик для решения системы уравнений энергии и нестационарного переноса излучения» В сб.: Числ. методы механ. сплошной среды. Новосибирск.: Наука, 1977, т. 8, }Ь 5, с. 53-57.

65. Зуев А.Й., Карлыханов Н.Г, Метод решения уравнений ра-диационно-кондуктивного теплопереноса. S. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, fê 4, с. 910-921.

66. Волосевич П.П., Курдюмов C.ÏÏ., Леванов E.H. Различные режимы теплового нагрева при взаимодействии мощных потоков излучения с веществом. Ж. прикл. мех, и техн. физ., 1972, № 5, с. 41-48.

67. Анисимов С.И., Имас Я.И., Романов Г.С., Ходыко Ю.В. Действие излучения большой мощности на металлы. М.: Наука, 1970. - 272 с.

68. Анисимов С.И., Рахматулина АД. Динамика расширения пара при испарении в вакуум. Ж.экспер. и теор. физ., 1973, т. 64, К» 3, с. 869-876.

69. Козик E.A., Лосева T.B., Немчинов Й.В., Новиков И.В. Дозвуковые радиационные волны, распространяющиеся от преграды навстречу излучению С02 лазера. Квантовая электроника, 1978, т. 5, }Ь 10, с. 2138-2147.

70. Немчинов Й.В., Орлова Т.Н. 0 процессах у поверхности преграды при распространении от нее плазменного фронта навстречу лазерному излучению. Физика плазмы, 1978, }р -с. 949-952,

71. Волчинская М.И., Мажукин В.И., Четверушкин Б.Н., Чур-банова Н.Г. Решение двумерных нестационарных задач динамики излучающего газа. К* вычисл. матем. и матем. (¡из., 1983, т.23, № 5, с. II77-II85.

72. Давыдов Ю.М. Численное экспериментирование методом "крупных частиц". В сб.: Прямое численное моделирование течений газа. М.: ВЦ АН СССР, 1977, с. 72-97.

73. Р0манов Г.С., Станкевич Ю.А. Численное моде л ирование газодинамических процессов, протекающих при воздействии лазерного излучения умеренной плотности потока на металлическую преграду в воздухе. Физика горений и взрыва, 1981, 17, № б, с. 77-88.

74. Романов Г.С., Станкевич Ю.А. Расчет нестационарных несимметричных плазменных факелов в режиме световой детонации.-Докл. АН БССР, 1977, т. 21, № 6, с. 503-506.

75. Бонч-Бруевич A.M., Романов Г.С., Зинченко В.й.,

76. Имас Я.А., Капорский Л.Н., Станкевич Ю.А. Теоретическое и экспериментальное изучение свето-эрозионной плазмы в режиме развитого поглощения. 2« техн. физ., 1981, т. 51, вып. 5, с. 919-924.

77. Мадукин В.Й., Углов A.A., Четверушкин Б.Н. Низкотемпературная лазерная плазма вблизи металлических поверхностей в газах высокого давления. Квантовая электроника, 1983,т. 10, № 4, с. 679-701.

78. Райзер Ю.П. Пробой и нагревание газов под действием лазерного луча. Успехи физ.наук, 1965, т. 87, вып. I,с. 29-64.

79. Островская Г.В., Зайдель А.Н. Лазерная искра в газах.-Успехи физ.наук, 1973, т. III, вып. 4, с. 579-615.

80. Райзер Ю.П. Лазерная искра и распространение разрядов. М.: Наука, 1974. - 308 с.

81. Райзер ЮЛ. Основы современной физики газоразрядных процессов. И«: Наука, 1980. - 415 с.

82. Волчинская М.И., Мажукин В.И., Репина Г.Е., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование двумерной задачи о распространении плазменных разрядов. Ж. вычисл. матем. и матем.физ., 1982, т. 22, }Ь I, с. I7I-I77.

83. Волчинская М.И., Мажукин В.Й., Репина Г.Е., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование двумерной эволюции лазерной плазмы вблизи металлической поверхности. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР,1979, 1 118,-17 с.

84. Мажукин В.И., Углов A.A., Четверушкин Б.Н. Численное исследование динамики лазерной плазмы вблизи твердой поверхности при высоком давлении окружающей среды. Докл. АН СССР,1981, т. 256, № 5, с. II00-II05.

85. Мажукин В.И., Углов A.A., Четверушкин Б.Н. О развитии низкАтемпературной лазерной плазмы в азотной среде повышенного давления. Докл. АН СССР, 1981, т. 257, № 3, с.584-589.

86. Мажукин В.И., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование газодинамической стадии развития лазерной плазмы при высоком давлении окружающей среды. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В. Келдыша АН СССР, 1980, № 115. - 18 с.

87. Рыкалин H.H., Углов АД., Низаметдинов М.М. Особенности взаимодействия излучения лазера с материалами при высоком давлении окружающей среды. экспер. и теор. физ., 1975,т. 69, 2, с. 722-731.

88. Рыкалин H.H., Углов A.A., Низаметдинов М.М. пробое газа излучением лазера при малых плотностях потока и высоких давлениях. Докл. АН СССР, 1974, т. 218, № 2, с. 330-331.

89. Углов A.A., Низаметдинов М.М. Об изменении микротвердости сталей при высоких давлениях окружающей среды под воздействием лазерного излучения. Физ. и хим. обраб.матер., 1977,1. К 2, с. 133-136.

90. Галиев А.Л., Крапивин Л.А., Миркин Л.И., Углов A.A. Синтез нитрида титана в атмосфере азота при высоких давлениях и лазерном облучении. Докл. АН СССР, 1980, т. 251, № 2,с. 336-339.

91. Бабаева О.Ю., Четверушкин Б.Н. Об одной неявной схеме решения задач динамики излучающего газа. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1980, к НО. - 21 с.

92. Бабаева О.Ю. Неявная схема для определения температуры при наличии радиационно-кондуктивного теплообмена. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1982, т. 22, №5, с. I434-I44I.

93. Бабаева О.Ю«, Четверушкин Б.Н. Определение потока энергии излучения в двумерных задачах радиационной газовой динамики. М. s Препринт ин-та прикл.математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1981, К 145. - iTc.

94. Бабаева О.Ю., Четверушкин Б.Н. Об учете излученияв двумерных задачах радиационной газовой динамики. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1983, т. 23, № б, с. I5I2-I5I7.

95. Милюкова О.Ю., Четверушкин Б.Н. Численное исследование динамики лазерной плазмы в азотной среде при умеренном давлении. М.: Препринт ин-та прикл, математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1984, $ 57-22С.

96. Бабаева ОД)., Ибраев P.A., Мажукин В.И., Четверушкин Б.Н. Некоторые методы решения двумерных задач РГД на четырехугольных ортогональных сетках. В сб.: У Всесоюзная конференция "Динамика излучающего газа", М., 1983, с. 19-20.

97. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

98. Мажорова О.С. Итерационный метод решения двумерных матричных уравнений. М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1979, }Ь 48. - 21 с.

99. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. - 415 с.

100. Андреев С.И., Гаврилов В.Е. Избирательная способность плотной ксеноновой лампы. S. прикл. спектр., 1970,т.13, К 6,с. 988-991.

101. Мажукин В.И. Численное моделирование задач лазерной плазмы. Дисс. . канд.физ.-мат.наук,М., 1980. - 148 с.

102. Каменщиков В.А., Пластинин Ю.А., Николаев В.М., Новицкий Л.А. Радиационные свойства газов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1971. - 440 с.

103. Калиткин H.H., Кузьмина JI.В., Рогов B.C. Таблицы термодинамических функций и транспортных коэффициентов плазмы.-М.: Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1972. 112 с.

104. НО. Волчинская М.И., Ибраев P.A., Мажукин В.И., Пестря-кова Г.А., Четверушкин Б.Н. Численное моделирование двумерного осесимметрчного плазменного факела. М.; Препринт ин-та прикл. математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1982, № 88, - 24 с.