Устойчивость газодинамических течений, содержащих ударные волны тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

Глава I. Распад]; плоской ударной волны в идеальной двупа-раметрической среде с произвольным уравнением состояния .19

§ I.Ударные поляры в идеальных двупараметрических средах с произвольным уравнением состояния.

Свойства косых скачков

§ 2.Распад плоской ударной волны на косые возмущения

Глава П. Нелинейная неустойчивость спонтанно излучающей ударной волны .44

§ I.Возмущения потока за слабо искривленной поверхностью ударной волны

§ 2.Уравнение слаболинейных возмущений спонтанно излучающей ударной волны (основное уравнение)

§ З.Интегро-дифференциальные уравнения системы взаимодействующих амплитуд. Трехамплитудное взаимодействие

§ 4.Условия трехамплитудного резонанса как достаточные условия неустойчивости спонтанно излучающей ударной волны

§ 5.Корректность вывода основного уравнения

Глава III. Устойчивость плоских автомодельных течений в расширяющихся областях относительно двумерных во зглущений .75

§ I.Применение приближения геометрической акустики для исследования устойчивости одномерных течений в расширяющихся областях

§ 2.Отражение волнового пакета от границ области течения

§ 3.Устойчивость течения газа в задаче о сильном взрьюе

§ 4.Устойчивость течения газа перед движущимся поршнем.

Глава 1У.Околорезонансные колебания газа, двицущегося в канапе переменного сечения.95

§ I.Высокочастотный низкочастотный резонансы.

§ 2.Уравнение околорезонансных колебаний

§ 3.Исследование уравнения околорезонансных колебаний

§ 4.Исследование уравнения околорезонансных колебаний (продолжение)

Выводы.

Одной из наиболее сложных и актуальных проблем, возникающих в современной авиационной и ракетной технике, является расчет высокотемпературных течений газа. Такие течения возникают в камерах сгорания и соплах авиационных и ракетных двигателей, а также в областях за отошедшей ударной волной пере/!; телами, движущимися в атмосфере с большими сверхзвуковыми скоростями [ ^ -* 5" ] • Сложность расчетов высокотемпературных течений газа или смеси газов обусловлена необходимостью учитывать разнообразные физико-химические процессы, протекающие при высоких температурах. К таким процессам относятся, например, химические реакции, приводящие иногда к образованию жидких и твердых фаз в продуктах сгорания, ионизация и диссоциация отдельных компонент исходной смеси, фазовые переходы между жидкими и газообразными фазами и т.д. Неравновесный, в общем случае, характер этих процессов приводит к необходимости совместного рассмотрения уравнений кинетики и механики сплошной среды £5""" 9]- Система этих уравнений является очень сложной и с трудом поддается решению даже при использовании современных ЗВМ. Учитывая, что значения кинетических коэффициентов в широком диапазоне температур и давлений известны недостаточно хорошо, а расчеты газодинамических течений с учетом уравнений кинетики требуют больших затрат машинного времени,проблема расчета высокотемпературных течений,особенно в прикладных задачах,требует приближенных методов решения. Возможность приближенного описания высокотемпературных течений состоит в том, что во многих случаях характерное время релаксации много меньше характерного газодинамического времени, так что.все физико-химические процессы можно рассматривать как равновесные ["1, 15"] • в этом случае уравнения кинетики можно решать без учета движения среды и переносить полученные результаты на изучаемые течения. Дальнейшие упрощения состоят в том, что высокотемпературная смесь газов, состояние каждой компоненты которое определено на основании предварительного термодинамического расчета, заменяется одной фиктивной средой со специально подобранным уравнением состояния. Обычно эта среда считается идеальным двупа-раметрическим газом ¡/1649].

Произвольность уравнения состояния приводит к тому, что некоторые общепринятые положения динамики идеального совершенного газа для рассматриваемой среды становятся неверными. Это, в частности, относится к свойствам плоских ударных волн, которые в двупара-метрической среде с произвольным уравнением состояния могут не суао-дз Интересно, что в ществовать в силу своей неэволюционности настоящее время экспериментально обнаружены среды, плоские ударные / волны в которых обладают такими свойствами • Поэтому изучение плоских ударных волн в двупараметрических средах с произвольным уравнением состояния представляет интерес не только как изучение математической модели поверхностей сильных разрывов в высокотемпературных потоках, но и как исследование реально существующих объектов. Устойчивость плоских ударных волн в линейном и нелинейном приближении, возможность распада неэволюционных ударных волн, влияние неоднородности потока на устойчивость ударных волн - эти и другие смежные вопросы изучаются в 1-Ш главах диссертации.

Замена реального высокотемпературного потока смеси газов идеальной двупараметрической средой с произвольным уравнением состояния позволяет качественно изучать сложные нестационарные и нелинейные процессы, протекающие в высокотемпературных газовых смесях, например, резонансные явления в камерах сгорания двигателей. Простейшая модель такого процесса рассмотрена в 1У главе диссертации.

Перейдем к более подробному описанию изучаемых явлений. Удар-.,/ ную волну будем называть устойчивой, если произвольное начальное возмущение её поверхности затухает со временем. В случае неограниченного роста начальных возмущений ударная волна считается неустойчивой. Возмущения поверхности ударной волны порождают возму-жения газодинамических величин в области за ударной волной. Хотя эти возмущения являются уходящими, они могут возвращаться на ударную волну, отражаясь, например, от неоднородностей потока. Тем самыг, появляется дополнительный фактор, влияющий на характер поведения возмущений поверхности ударной волны. Поэтому вопрос об устойчивости ударной волны можно ставить только в связи с конкретным течением газа, содержащим рассматриваемую ударную волну. Естественным выглядит предположение о том, что влияние собственно свойств ударной волны (точнее краевых условий на ней) является определяющим в вопросе устойчивости, в случае, когда ударная волна является плоской и соединяет два однородных состояния газа, заполняющего все пространство.

В такой или эквивалентной постановке задача об устойчивости ударной волны была рассмотрена в работах [ХО - , причем исследование проводилось в линейном приближении. Авторами [310 - аз] было показано, что качественный характер поведения возмущений поверхности ударной волны при больших временах зависит от значений параметра ^р/1?) Р )н - безразмерной производной вдоль ударной адиабаты. Здесь ^ - поток массы через скачой, £ - плотность, р - давление. А именно, при \ и Ъ где М - число Маха за ударной волной, начальные возмущения поверхности ударной волны неограниченно растут, т.е. ударная волна является неустойчивой. При /^М,2- -1- М^ ^ ^ Ъ ^ 1 > где

V + И2--"!) отношение плотностей до и за ударной волной, начальные возмущения затухают, т.е. ударная волна устойчива. Наконец, при

А 0 кЛ ; ^

ХМ <0 4. ■—5-7а. возмущения поверхности ударной волны представляют собой сумму двух волн постоянной формы, движущихся с одинаковыми скоростями одна вверх, а другая вниз по ударной волне и остаточного члена, затухающего со временем. Этот последний режим, представляющий собой нейтральный случай в теории устойчивости, был назван в [5/0] режимом спонтанного излучения зву- V/ ка разрывом, т.к. ударная волна без каких-либо внешних воздействий способна сколь угодно долго излучать звуковые волны постоянной интенсивности.

Характер развития со временем возмущений поверхности ударной волны тесно связан с понятием корректности задачи о распространении слабых возмущений газодинамических величин в области за ударной волной. Процесс распространения возмущений описывается уравнениями акустики с краевыми условиями на ударной волне и соответствующим образом выбранными начальными данными . Задачи о решении систем дифференциальных уравнений с частными производными, удовлетворяющих начальным и краевым условиям, называются смешанными краевыми задачами. Корректность (эволюционность) смешанных краевых задач понимается в смысле определения данного в [3.9 "30 . Вопрос об эволюционное™ той или иной системы уравнений важен потому, что только эволюционные системы могут описывать реально существующие физические объекты.

В [3.0-й"3] было показана что если ударная волна неустойчива, то соответствующая смешанная краевая задача неэволюционная.е. допускает решения, ограниченные по пространственной координате в каждой фиксированный момент времени ~Ь и сколь угодно быстро растущие со временем по закону • Величина А обратно пропорциональна длине волны возмущения. При помощи построения диссипативных интегралов энергии

ЪЛ в работах [Вбыло показано, что рассматриваемая смешанная краевая задача становится корректной для устойчивых ударных волн. Для спонтанно излучающих ударных волн доказать корректность соответствующей смешанной краевой задачи авторам удалось только в случае специальных начальных данных. Это говорит в пользу сделанного в [^О] предположения о у том, что оставаясь в рамках линейной теории невозможно дать ответ на вопрос об устойчивости спонтанно излучающей ударной волны. v Первой работой по изучению нелинейных свойств ударных волн в двупараметрических средах с произвольным уравнением состояния, явилась работа , где было показано, что неустойчивая по линейной теории ударная волна монет распадаться на скачок уплотнения и волну разрежения (подобно распаду произвольного разрыва), причем образующийся .скачок уплотнения является устойчивым (Аналогичные результаты были получены в последствии Г.Я.Галиным). Факт распада неустойчивой ударной волны, а также существенно двумерный характер возмущений, приводящий к неустойчивости ударных волн, наводит на мысль о возможности распада неустойчивой ударной волны и . на косые возмущения с образованием на ударной волне тройной конфигурации. х/ Тройные точки в сверхзвуковых потоках совершенного газа являются предметом многочисленных исследований но образование их возможно только в результате внешнего воздействия. В главе I диссертации исследуется возможность существования тройных конфигураций, состоящих только из возмущений, уходящих от тройной точки. Традиционным аппаратом, применяемым при расчете тройных конфигураций, являются ударные поляры [36] - кривые, описывающие возможные ударные переходы в косых скачках уплотнения из данного фиксированного состояния. В § I главы I выводится уравнение ударной поляры для идеальной двупараметрической среды, удовлетворяющей условиям теоремы Цемплена. При выводе предполагалось известным уравнение соответствующей ударной адиабаты. Общий вид ударных адиабат в идеальной двупараметрической среде был предложен в рабоподобными кривыми, не противоречат законам термодинамики. Ограничения, накладываемые на вид ударных адиабат условием существования решения задачи о структуре сильного разрыва были получены в

Проведенное в § I исследование ударных поляр, уравнение котота скорости с потоке) показало, что в двупараметрической среде с произвольным уравнением состояния косые скачки уплотнения обладают рядом отличительных свойств. Так максимальное давление, которое можно получить ударным переходом из фиксированного'начального состояния, может достигаться не в прямом, а в косом скачке. Если в совершенном газе фиксированному углу поворота скорости в косом скачке уплотнения соответствуют два ударных перехода (с сильной и слабой ударной волной), то в среде с произвольным уравнением состояния число различных ударных переходов, приводящих к повороту потока на один и тот же угол, может достигать четырех и более, хотя состояние газа за прямым скачком уплотнения, движущимся с заданной скоростью, определяется однозначно. Важно отметить, что для всех этих ударных переходов существует решение задачи о структуре разрыва.

В § 2 главы I на основании свойств ударных поляр рассматрива-! ется задача о распаде плоской ударной волны на косые возмущения с ; образованием тройной конфигурации. Доказано, что неустойчивые ударные волны распадаются на скачок уплотнен ия и волну разрешения, причем интенсивность этих возмущений зависит от скорости ^ движения тройной точки по разрыву. При оо построенное решение показано, что ударные переходы, описываемые

ЦО . рых записывалось в переменных Р (давление) и Ч9 (угол поворо' соответствует распаду неустойчивой ударной волны на плоские возмущения и совпадает с ["3 5 J . Спонтанно излучающие ударные волны также могут распадаться на косые возмущения, но в отличие от неустойчивых ударных волн наряду с распадом на скачок уплотнения и волну разрежения, возможен и распад на два скачка уплотнения, в зависимости от значения параметра & и скорости Л движения тройной точки по скачку.

Общность свойств неустойчивых и спонтанно излучающих ударных волн, проявляющаяся в нелинейной области, т.е. возможность распада спонтанно излучающей ударной волны на косые возмущения, говорит о возможной неустойчивости спонтанно излучающей ударной волны в нелинейном приближении.

Вопрос о нелинейной неустойчивости спонтанно излучающей ударной волны рассматривается во П-ой главе диссертации. Б § I главы П описан механизм возникновения возможной неустойчивости. Согласно линейной теории, малые начальные возмущения поверхности ударной волны представляют собой сумму двух волн фиксированной формы, движущихся вверх и вниз по ударной волне с одинаковыми постоянными сокростями, и остаточного члена, убывающего со временем. Эти воз-' мущения порождают уходящие от скачка звуковую и энтропийно-вихревую волны, взаимодействие которых необходимо учитывать в нелинейном анализе. Это взаимодействие порождает возмущения второго порядка малости по амплитуде, падающие на ударную волну, и, в свою очередь, искажающие форму её поверхности. Этот процесс самовоздействия спонтанно излучающей ударной волны может привести к её неустойчивости. Далее в § I показано, что начиная с некоторого момента времени, определяемого выбором начальных возмущений поверхности ударной волны, возмущения газодинамических величин в области за ударной волной можно описывать в приближении геометрической акустики, выразив их через текущие возмущения поверхности ударной волны. Поэтому через текущие возмущения поверхности ударной волны можно выразить и возмущения газодинамических величин второго порядка малости, падающих на ударную волну.

На основании решения задачи об изменении формы поверхности рассматриваемого разрыва под действием падающих на него возмущений, в § 2 выводится самосогласованное интегродифференциальное уравнение, описывающее слабонзлинейные возмущения поверхности разрыва (уравнение 2.2.16). Оно определяет эволюцию формы ударной волны под действием возмущений, порожденных этой же волной.

Исследование уравнения (2.2.16) проводится в §§ 3-5. Пусть в начальный момент времени возмущения поверхности ударной волны представляют собой сумму двух гармоник с волновыми числами К^ , К^ и амплитудами Ало , А • В результате нелинейного взаимодействия этих гармоник образуются возмущения, характеризующиеся волновыми числами Тп^-ЫпКд, и амплитудами А^ , гдеоп} п - произвольные целые числа. В § 3 главы П выводится система обыкновенных интегродиффек, ренциальных уравнении, описывающая взаимодеиствие амплитуд п^щ ч

Далее в § 3 доказано, что если отношение волновых чисел Т, - К^ К^ есть специальным образом подобранная величина, то во все моменты времени до некоторого , зависящего от амплитуды и длины волны начального возмущения, уравнение (2.2.16) эквивалентно системе только трех обыкновенных интегродифференциальных уравнений (система 2.3.6), описывающих эволюцию гармоник с волновыми числами , Ко'К^ + Кд. • В результате дальнейших преобразований, система (2.3.6) приводится к более простому виду (2,4.4). Условие, допускающее подобное приведение, есть, как это показано в § 4, условие неустойчивости спонтанно излучающей ударной волны. Это доказывается путем построения асимптотики системы (2.4.4) в окрестности точки обращения решения в бесконечность и проведением численных. расчетов, подтверждающих выход решений системы (2.4.4) на построенную асимптотику. Полученные условия неустойчивости есть ограничение на кривизну ударной адиабаты в точках, соответствующих спонтанно излучающим ударным переходам.

Сколь угодно быстрое нарастание возмущений поверхности плоской неустойчивой ударной волны означает, что появление участка неустойчивости на криволинейной ударной волне приведет к её разрушению, т.к. влияние (возможно стабилизирующее) криволинейности ударной волны и неоднородности течения за ударной волной начнет сказываться по прошествии конечного времени, связанного с характерным размером неустойчивого участка поверхности разрыва и скоростью звука, тогда как характерное время нарастания возмущений, определяемое только их амплитудой и длиной волны, может быть сделано сколь угодно малым. Поэтому понятие неустойчивости, сформулированное для плоских ударных волн и связанное только с видом краевых условий на ударной волне, переносится на ударные волны произвольной формы и приводит к неустойчивости течения за рассматриваемой ударной волной, независимо от геометрии задачи в целом.

Наоборот, течение, ограниченное устойчивой в каждой своей точке ударной волной, в целом может быть неустойчивым. Более того, раз^ деляющая два однородных состояния газа плоская ударная волна,для которой и было введено понятие устойчивости, должна, с физической точки зрения, рассматриваться как некоторое предельное состояние. (Например, в задаче о поршне, вдвигаемом в газ, оно возникает при Ь схо , в стационарном сверхзвуковом потоке - на достаточно большом удалении от источника возмущений, служащего началом изуг чаемому скачку уплотнения). Поэтому устойчивость плоской ударной ; I волны, ограничивающей два однородных состояния, зависит от того, | пределом какого физически реального течения она является. Так, 1 например, в[2.1] было показано, что в задаче о поршне, вдвигаемом в газ с постоянной скоростью, критерий устойчивости течения, возникающего между ударной волной и поршнем, совпадает с условием устойчивости плоской ударной волны, полученным в^ОДз].

Рассмотренное в [ЗЛ] течение является частным случаем плоских одномерных течений в расширяющихся областях. Течениями в расширяющихся областях будем называть такие течения, характерный линейный размер которых неограниченно растет со временем. Встречающиеся в газовой динамике течения в расширяющихся областях содержат, как правило, ударную волну, в качестве одной из своих границ [Ш] . С ростом характерного линейного размера неоднородности потока до и за ударной волной уменьшаются и в пределе, при *Ь ос , образуются два однородных состояния, соединенных плоской ударной волной. Влияние существующей при всех конечных временах слабой неоднородности потока на устойчивость течения в расширяющейся области и ограничивающей его ударной волны изучается в главе Ш диссертации.

Вопрос об устойчивости того или иного газодинамического течения сводится к определению характера поведения малых возмущений рассматриваемого течения. При больших временах процесс распространения малых двумерных возмущений по плоскому одномерному течению в расширяющейся области может быть описан в приближении геометрической акустики 2-] . Это означает [ И, ¿/3, ¿-(^ , что каждый бесконечно малый элемент волнового фронта распространяется в виде волнового пакета вдоль своей траектории (луча) независимо от соседних элементов. Поэтому для определения возмущений достаточно знать уравнения лучей и изменение интенсивности волновых пакетов при движении вдоль них.

Применение приближения геометрической акустики для анализа устойчивости было предложено в[¿-131] , где исследовалась устойчивость однородных течений в расширяющихся областях. Течения, рассматриваемые в диссертации, являются неоднородными и нестационарными. Поэтому лучи перестают быть прямыми линиями, а амплитуда волновых пакетов изменяется при движении вдоль лучей. Б качестве критерия устойчивости выбирается поведение при-Ь-^ <?° полной энергии Е волнового пакета, пропорциональной произведению его длины и- квадрата амплитуды. Связь между неограниченным ростом величины Е и неограниченным ростом точного решения соответствующей системы гиперболических уравнений доказана • Применение геометрической акустики к исследованию устойчивости течений в неограниченных областях проведено в

В § I главы Ш выводится система уравнений геометрической акустики, описывающая процесс распространения малых двумерных возмущений плоского одномерного течения расширения. Эта система состоит из уравнений, задающих поле траекторий волновых пакетов (уравнения лучей), закон изменения волнового вектора вдоль каждой траектории и уравнение изменения полной энергии Е волнового пакета. Это последнее уравнение представляет собой акустический аналог .Закона сохранения волнового действия гии цц и переходит в закон сохранения энер-, если рассматриваемое течение стационарно. В § 2 исследован процесс взаимодействия волнового пакета с границами области течения, позволяющий определять величины полной энергии и волнового вектора в отраженной волне. Показано, в частности, что при взаимодействии волнового пакета с устойчивой по Дьякову ударной волной, полная энергия убывает. В § 3-4 полученные результаты применяются для анализа устойчивости плоских автомодельных течений в расширяющихся областях ¿И . Вопрос устойчивости автомодельных течений представляет самостоятельный интерес, являясь довольно трудной зада-чей[^-^8 , требующей применения численных методов. Однако в работах ¿/^-¿-/^¡рассматривались течения со сходящимися ударными волнами. Исследование же устойчивости сферическо-симметричного течения в задаче о сильном взрыве ^9"] было проведено с ошибками [5"О] - В .§ 3-4 построена качественная картина поля лучей и исследован характер движения волновых пакетов по лучам с учетом взаимодействия с гарницами потока. Показано, что течение, образующее в задаче о сильном взрыве, - устойчиво. В задаче о поршне, вдвигаемом в газ, энергия волновых пакетов убывает, если поршень двигается замедленно, и неограниченно растет, если поршень движется ускоренно.

Как отмечалось выше, использование идеальной двупараметричес-кой среды с произвольным уравнением состояния в качестве модели высокотемпературной смеси газов позволяет качественно изучать нестационарные явления в высокотемпературных потоках, например, околорезонансные акустические колебания в камерах сгорания и дозвуковых соплах. Суть явления резонанса состоит в том, что падающие на вход резонатора (камеры сгорания или сопла) периодические возмущения вызывают, при определенных частотах, резкий рост возмущений газодинамических величин внутри резонатора. Нарастание амплитуды акустических возмущений может привести к образованию скачков уплотнения, движущихся вдоль резонатора, резкому повышению температуры за ними, и, как следствие, к сбоям в работе соответствующего устройства. Поэтому с практической точки зрения весьма важно уметь определять резонансные частоты в зависимости от параметров течения, размеров резонатора, а также предстазывать характер около-резонанснвх колебаний движущегося газа. При этом, в соответствии с изложенным выше подходом к описанию высокотемпературных течений, вместо реальной смеси реагирующих газов и паров топлива, можно рассмотреть идеальную двупараметрическую среду со специально подобранным уравнением состояния и изучать акустические колебания этой среды.

В многочисленных работах ["54- 62-] » посвященных резонансным явлениям в одномерных резонаторах, предполагалось, что содержащийся в резонаторе идеальный газ покоится, а поперечное сечение резонатора постоянно. Резонатор шедолзгался закрытым^-5"?? либо открытьм с одного конца [57,5"60, £-( . Колебания газа вызывались либо периодически с малой амплитудой движущимся поршнем, либо возмущениями давления на открытом конце. Скорость поршня предполагалась малой 54-5*4, 57-59, 62-] или конечной [5*5,60]. Проводился учет демпфирования [^ГЧ3 5"на закрытом конце резонатора и учет влияния слабой диссипации Наряду с линейными резонансами, т.е. резонансами основной гармоники 90-62. ("соответствующей колебаниям газа с частотой внешних возмущений), рассматривались и квадратичные резонансы £, т.е. резонансы гармоники, соответствующей колебаниям с удвоенной частотой внешних возмущений и образующейся в результате нелинейного взаимодействия основной гармоники. Установлена зависимость амплитуды возмущений газодинамических величин в канале от амплитуды внешних воздействий. Показано, что периодические решения уравнений нелинейных колебаний могут содержать разрывы. Околорезонансные колебания газа в резонаторе слабопеременного (линейно расширяющегося или линейно сужающегося) сечения, изученные в^'З] , не привели к отличным от^БЧ") результатам в силу того, что газ предполагался покоящимся.

Б главе 1У диссертации рассматриваются околорезонансные колебания идеального совершенного газа, движущегося по каналу переменного сечения. Рассматриваемое течение предполагалось стационарным, изэнтропическим, дозвуковым и описывалось в квазиодномерном приближении. Колебания газа вызывались падающими на левый конец канала слабыми периодическими звуковыми возмущениями. Краевые условия на концах канала посредством коэффициентов отражения связывали падающие и отраженные возмущения.

В § I главы 1У получены условия на частоту внешних возмущений и значения коэффициентов отражения, необходимые и достаточно для возникновения линейного резонанса в рассматриваемой системе. Показано, что низкочастотные внешние возмущения могут приводить к возбуждению одной (или в крайнем случае, нескольких) кратных гармоник, а высокочастотные резонансные возмущения приводят к возбуждению всех кратных гармоник, что соответствует рассмотренным ранее резонансным явлениям в покоящемся газе^-бзГ).

В § 2 на основании методики, предложенной в£5чД выведено нелинейное уравнение околорезонансных колебаний газа для случая ре-зонансов второго порядка. Все околорезонансные режимы разбиты на два класса, соответствующие устойчивым и неустойчивым (по линейной теории) стационарным течениям в канале.

В § 3-4 проведено исследование периодических решений уравнений околорезонансных колебаний. Выведено условие на разрывах, на основании которого вводятся скачки уплотнения. Доказано, что однородное уравнение околорезонансных колебаний имеет нетривиальное решение в неустойчивом случае, соответствующее результату нелинейного взаимодействия растущей со временем собственной функции линейной задачи. Существование этого решэния приводит к появлению качественных различий в свойствах периодических решений уравнения околорезонансных колебаний. Эти различия состоят в том, что, во-первых, амплитуда А вынужденных колебаний газа в устойчивом случае определяется амплитудой внешнего воздействия и не превышает величины порядка , тогда как в неустойчивом случае величина амплитуды А может быть не связана с и определяться скоростью роста неустойчивой собственной функции линейной задачи. Во-вторых, периодическое решение в^уст.ойчивом случае всегда единственно, а в неустойчивом возможно появление двух решений, одно из которых всегда непрерывно, а второе - разрывно. Эти утверждения, а также вопросы существования периодических , решений и выяснение характера перехода от непрерывных решений к разрывным доказаны путем рассмотрения поля интегральных кривых уравнения околорезонансных колебаний. Показано, что все свойства построенных решений определяются типом особых точек и взаимным расположением сепаратрис уравнения (4.3.7). Полученные результаты справедливы как для случая отрицательных коэффициентов отражения (когда волна сжатия отражается от границ области течения в виде волны сжатия) , так и для случая положительных коэффициентов отражения (когда волна сжатия отражается от границ области течения в виде волны разрежения) . Приведено обобщение полученных результатов на случай краевых условий общего вида (функциональная связь между инвариантами Римана), и наличия внешних распределенных воздействий.

в ы В о д. ы

В диссертации исследованы вопросы устойчивости течений идеальных двупараметрических сред с произвольным уравнением состояния, содержащих ударные волны и рассмотрены околорезонансные колебания газа, движущегося в канале переменного сечения. Получены следующие основные результаты:

1. Построено уравнение и изучены свойства ударных поляр в идеальной двупараметрической среде с произвольным уравнением состояния. Показано, в частности, что задача об определении состояния газа за косым скачком уплотнения может иметь четыре и более решений, а максимальное давление и сжатие могут достигаться не за прямым, а за косым скачком. Выделены области ударных поляр соответствующие разрывам, имеющим структуру.

2. Изучена возможность самопроизвольного распада неустойчивых ударных волк на косые возмущения с образованием тройной конфигурации. Показано, что неустойчивые ударные волны распадаются на скачок уплотнения и волну разрежения, а спонтанно излучающие - на два скачка уплотнения или скачок уплотнения и волну разрежения - в зависимости от скорости центра тройной конфигурации.

3. Выведено самосогласованное уравнение сунбсшлинейных колебаний поверхности спонтанно излучающей ударной волны. Построено неограниченно растущее при конечных Бременах решение этого уравнения, соответствующее взаимодействию двух моногармонических возмущений со специально подобранными длинами волн. Получены достаточные условия неустойчивости спонтанно излучающей ударной волны в виде ограничений на кривизну ударной адиабаты в точках, соответствующих спонтанно излучающим ударным переходам.

4. Приближение геометрической акустики применено к исследованию устойчивости плоских течений в расширяющихся областях. Выведено уравнение для изменения полной энергии £ волнового пакета, распространяющегося по одномерному нестационарного и неоднородному фону (закон сохранения волнового действия). Показано, что величина Е убывает при взаимодействии пакета с устойчивой по Дьякову ударной волной. На основании полученных результатов доказано, что плоские автомодельные течения в задачах о сильном взрыве и замедленно вдвигаемом з газ поршне устойчивы. Если поршень вдвигается в газ ускоренно, то полная энергия £ волновых пакетов неограниченно растет со временем. Построены качественные картины траекторий движения волновых пакетов по рассматриваемым автомодельным течениям.

5. Изучена возможность возникновения резонансных колебаний газа, движущегося по каналу переменного сечения. Показано, что резонансные явления, сходные с рассмотренными ранее возникают лишь при высокой частоте внешних возмущений. Низкочастотные резонансные колебания носят моногармонический характер.

6. Выведено уравнение околорезонансных колебаний газа и проведено исследование его периодических решений в случае устойчивости и неустойчивости основного стационарного течения; изучена качественная зависимость решений от параметров, определяющих близость системы к резонансу.

7. Показано, что в устойчивом случае, качественный характер околорезонансных колебаний соответствует результатам [о4, 57^ , а в неустойчивом случае имеется ряд существенных отличий, а именно: а) Однородное уравнение нелинейных колебаний имеет нетривиальное решение, являющееся результатом нелинейного взаимодействия растущей собственной функции соответствующей линейной задачи; б) Амплитуда вынужденных колебаний газа может определяться скоростью роста собственной функции соответствующей линейной за. дачи, а не амплитудой внешних возмущений; в) Периодическое решение может быть неединственным, причем одно из решений всегда непрерывно, а другое разрывно.

8. Все результаты доказаны для положительных и отрицательных значений коэффициента отражения к обобщены на случай функциональной связи между инвариантами на концах канала и наличия в системе внешних воздействий.

1. Курзинер Р.К. Реактивные двигатели для больших сверхзвуковых скоростей полета (основы теории). Москва "Машиностроение", 1977, 212 с.

2. Соркин P.E. Газотермодинамика ракетных двигателей на твердом топливе. Москва, "Наука',' 1967, 368с.

3. Неустойчивость горения в ЬРД (под редакцией Д.Т.Харрье и Ф.Г.Рир-дона). Москва, "Мир", 1975, 869с.

4. Чёрный Г.Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью. Москва, "Физматгиз", 1959, 220 с. "

5. Лунев В.В. Гиперзвуковая аэродинамика. Москва, "Машиностроение", 1975, 327 с.

6. Зельдович Я.Б., Райзер 10.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Москва, "Физматгиз",1963, 686с.

7. Бай-Шьй. Динамика излучающего газа. Москва, "Мир", 1968, 324с.

8. Нигматуллин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. Москва, "Наука",, 1978, 336с.

9. Седов Л.И. Механика сплошных сред. т.1. Москва, "Наука", 1973,536с

10. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. Труды

11. ВЦ АН СССР под редакцией Белоцерковского О.М. Москва, издательство АН СССР, 1967, 400 с.

12. Неравновесные течения газа и оптимальные формы тел в гиперзвуковом потоке. (Сборник статей). Москва, издательство МГУ, 1982,104с.

13. Солтанов Г.А. Сверхзвуковые двуфазные течения. Минск, "Высшая школа", 1972, 479 с.

14. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двуфазных течений в сопла!. Москва, "Машиностроение", 1974, 212 с.

15. Лунев В.В., Магомедов K.M., ПавлоЕ А.Г. Гиперзвуковое обтекание притуплённых конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. Москва, издательство АН СССР, 1968, 202 с.

16. Сверхзвуковое обтекание тел воздухом с учетом равновесных и неравновесных физико-химических процессов. Методы, программы и результаты расчетов (сборник статей). Москва, 1975, 190 с.

17. Голубев В.А. Исследование турбулентной струи высокой температуры. В сборнике "Исследование турбулентных струй воздуха, плазмы и реального газа. Москва, "Машиностроение", 1967, 181с.

18. ДЕ.Гирифельд, Ч.Кертисс, Р.Берд. Молекулярная теория газови жидковстей. Москва, изд.Иностранной литературы, 1961, 929с.

19. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П., Худяков В.А. Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания. т.1. Москва, издательство АН СССР, 1971, 226с.

20. Зуев B.C., Макаров B.C. Теория прямоточных и ракетно прямоточных двигателей. Москва, "Машиностроение", 1971, 367 с.

21. Дьяков С.П. Об устойчивости ударных волн. Е.'ЗТФ, 1954, т.27, j\" 3, с.288-296.

22. Конторович В.М. К вопросу об устойчивости ударных волн. ЬЭТФ, 1957, т.33, й 6, с.1525-1526.

23. Иорданский С.Е. Об устойчивости плоской стационарной ударной волны. ПММ, 1957, т.21, вып.4, с.30-40.

24. Барышников A.C., Бедин А.П., Масленников В.Г., Мишин Г.И.0 неустойчивости фронта головной ударной волны. Письма ШЗТФ, 1979, т.5, вып.5, с.281-284.

25. Барышников A.C., Скворцов Г.Е. Неустойчивость ударных волн, в релаксирущей среде. 1.ТФ, 1979, т.49, вып.II с.2483-2485.

26. Рязкн А.П. Ионизационная неустойчивость ударной волны в ксеноне. Письма ГГФ. 1980, т.6, вып.9, с.516-520.

27. Елохлнцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. Москва, "Наука", 1981, 206с.

28. Годунов С.К. Уравнение математической физики. Москва, "Наука", 1979, 392с.

29. Петровский Г.К. Лекции об уравнениях с частными производными. Москва, ©изматгиз, 1961, 400 с.

30. Годунов С.К., Гордиенко В.М. Смешанная задача для волнового уравнения. Труды семинара С.Л.Соболева, В 2, Новосибирск, 1977, с.5-32.

31. Блохин A.M. Смешанная задача для системы уравнений акустики с граничными условктли на ударной волне. Новосибирск, 1978, Препринт .?> НО ВЦ СО АН СССР, 14с.

32. Марчук Н.Г. Исследование корректности линеаризованной теории ударной волны с помощью интегралов энергии. Новосибирск, 1.979, Препринт J." 153 ВЦ СО АН СССР, 33 с.

33. Блохин A.M. 0 корректности смешанной задачи для системы уравнений акустики с краевыми условиями на ударной волне. Новосибирск, 1979, Препринт tf 141 ВЦ СО АН СССР, 74 с.

34. Тйе PhyiitS о/ Fluids , -/063, 1Г. G, М 9 } ДЬ. 73 6 6

35. Арутюнян Г.М., КарчеЕскпй Л.В.Отраженные ударные волны. Москва, "Машиностроение", 1973, 376 с.

36. Галин Г.Я. Об ударных волнах в средах с произвольным уравнением состояния. ДАН СССР, 1958, т.119, с.1106-1109, 6.1. Mo, I/. 93 3 pp.toi

37. Галин Г.Я. К теории ударных волн. ДАН СССР, 1959, т.127, J," I, с.55-58

38. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. Москва, "Наука", 1981, 447с.

39. Галин Г.Я., Куликовский Л.Г. Об устойчивости одномерных течений газа в расширяющихся областях. Известия АН СССР, М1Т, 1981, J? 2 с.112-120.

40. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика сплошных сред. Москва, Гостехиздат, 1954. 795с.

41. Укзем Де. Линейные и нелинейные волны. Москва, "Мир", 1977, 622 с.

42. EcKhoff К.$. 0\л blcuéitiiy -fox Simmet п'с hjj¡>tt&ot i t!< Sisitw?. -J. oí J¡-f{tx?HÍcohCL¿ ec^udiio^ j V. 40,

43. EMof-t Zioxeikiltth Oh Me ihlctíly of Voíaícucj сowj^tíSíík oW ínvtSCíо/ füiioís'. 7. of №cot Ntchanccsf ; t К tf 9 ,/>/>. Yo-/-W.

44. Брушлинскии К.В. Об устойчивости сходящейся сферической ударной волны. Москва, 1980, Препринт .? 81 ИПМ АН СССР, 23с.

45. I агаги^ А,Л Oht-cliiyimiomt sí&Uok cohi/^üta \lowi. o-f Fíncete , V.3.Íiv7 , /з/D. </7¿/6 -Hff.49.

46. А. CAeno. 0И sUbiliijf o-f ¿ u/ai/e ^zolov51. сАикг W. Aesonani oíci^a/íí^s' с'и tio*>zol íulzí.

47. Ftuiol Kecfcanícs' , vn.pt. jijo- Щ-Щ52. ktiht 7 7. Az$oha.hi огаСС&коиЗ <и tíouol tula, -ih¿ zoluttOH o-f fyalw's! ес^илК'ои 3. FÍu¿o( A/ec/iaín'c^ -f 9G7 , V. 11 , f>j). ЛТ-З-ЪоЦ.

48. KtíiiH. 1.1. ^oh^Hiixt O-Coüistíc ïdSonahceï ¿и Ûod{do •uíií vuifb v<b>iyiu<j Í40SS-salionae atea. -ЪАМР^^п 6. UA > £54. tfeyryiout b. kkotUit А/. P. /¿esonan ¿ ücousíic osci'6-Ukon sf u,r//i olouTnjn'^ : Sciait We 1 E tu Col

49. Усъоеиег Я. Mw ii Ht&t cj&sí osci ííaícoh^ Си jjCpii. Patíi J. Ftucol HuhMílt, ШЗ, V.S-% pp. AS'í/6.

50. Coeei-и^ \Л/. 7). Weo/ oscilo, кои* о/ zyih'mt pvtnol ly OHidi^MSiouU hobtchtojt wave tfuah^iduatt. J. Atiban cc<¿ йиоI l\pbli<io\ МаЛе'ЖлДсс.* -Яи y I1/ 5s pí a, />/>. '

51. K-iUzcL 7. J. Th(\ol o\olvi -че^оилиces t'n clouo/ luhi?197 <ó , B. 2.1 , U 3 , 1.Ъ0Ъ-Ъ3.4.

52. Крайко А.H., Ни AJI. О приближении нелинейной акустики в задачах о колебаниях газа в трубах. ПММ, 1980, т. 44,вып.I,с.77-88.

53. Ни A.Ji. Нелинейные резонансные колебания газа в трубе под воздействием периодически изменяющегося давления. ПШ, 1983, т.47, вып.4, с.607-618.

54. Сибгатуллин Н.Р. О нелинейном механизме возбуждения ударных волн в ограниченной системе при резонансных поперечных колебаниях. Известия АН СССР ЫГГ, 1976, tf 2, с.131-139.

55. Шкадоз Б.Я. Некоторые методы и задачи теории гидродинамичесустойчивости.Москва, издательство МГУ,1973,Научные труды Ниимех. МГУ, № 25, 192 с.-13664. Абрамович Г.Н. Прикладная газовая динамика. Москва, "Наука", 1976, 888с.

56. Ватажкн A.B., Любимов Г.А., Регирер С.А. Магнитогидродинами-ческие течения в каналах. Москва, "Наука", 1970, 672 с.

57. Лоыцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. "Наука", Москва, 1978, 736 с.

58. Е. М&ъмог, У. ¡(cvciy, А.Bukt. ShUL^ of- иои-иис{охт» Shotk wa/a<? . "Shozk luUt сиио! wo-vzt", -/2 м Ihi Stwyb. , Jeu^sa^ew , -/9И, p.

59. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкын С.Э. Теория колебаний. Москва, "Наука", 1981, 568с.

60. Егорушкин O.A. Распад плоской ударной волны в идеальной дву-'. параметрической среде с произвольным уравнением состояния. Изв. АН СССР, Механика Жидкости и Газа, 1982, У?. 6, с. 147-153.

61. Егорушкин С.А. Нелинейная неустойчивость спонтанно излучающей ударной волны. Изв. АН СССР, Механика Едкости и Газа, 3, 1984, C.IIQ-II8.

62. Егорушкин С.А. Устойчивость плоских автомодельных течений в расширяющихся областях. Изв.АН СССР, Механика Жидкости и Газа, 1983, J& 5, с.152-158.

63. Егорушкин С.А. Околорезонансные колебания газа, движущегося в канале переменного сечения. Изв.АН СССР, Механика Гладкости и Газа, 1984, .?. 4, с.107-115.