Некоторые обратные задачи математического моделирования технологических процессов термической обработки сталей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

л

ГОСКОМИТЕТ СССР ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.В.ЛОМОНОСОВА

АКИМЕНКО Виталий Владимирович

НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Физический факультет Кафедра математики

На правах рукописи УЖ 536.24.02

ТЕРМИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ СТАЛЕЙ

Москва 1991

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им.М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор ГЛАСКО В.Б.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор КУРОЧКИН Ю.В. кандидат физико-математических наук БУЛЫЧЁВ Е.В.

Ведущая организация: Московский инженерно-физический . институт

Защита состоится " июиЛ_1991 г. в _/<Г час.

НО мин, на заседании Специализированного Совета № 2 отделения экспериментальной и теоретической физики в Московском Государственном университете им .1.1. В. Ломоносов а по адре.у 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ им.М.В.Ломоносова, физический факультет, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан "/б " _1991 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета № 2 Отделения экспериментальной и теоретической физики

кандидат физико-математических,

наук П.А.Поляков

-■ Общая характеристика работы.

а, '. ¡Л.:;Н I *

Отдел ; „ . . ■

кссе-ртлций I Диссертация посвящена математическому моделированию физических процессов, связанных о технологиями термической обработки сталей, решению обратных задач типа оптимального управления, задач типа интерпретации данных физического эксперимента и построению численных алгоритмов решения этих задач.

Актуальность темы. Возрастающий уровень требований.к качеству работы различных установок, протекания различных техно-; логических процессов о одной стороны, и развитие мощных численных методов решения соответствующих задач и средсть вычисли-' тельной техники - с другой, обуславливает необходимость й возможность применения математического моделирования к анализу указанных явлений. Разработка математической, теории регуляризации для решения обратных задач сделала возможным использование метода математического моделирования в решении задач типа оптимального управления и интерпретации данных физического эксперимента.

Тема настоящей диссертации, относящаяся к этому направлению научного исследования является тем самым актуальной. Ее . актуальность определяется также и конкретной областью приложений. Решение проблем поверхностного упрочения стальных образцов путем создания биметаллических материалов, изучение процессов структурообразования в металлах при закалке с целью получения наиболее полной информации о физических параметрах образуемой структуры а получения в определенном смысле оптимальных режимов быстрого охлаждения позволяет выходить на более высокий по эффективности уровень технологии производства; создавать обоазцы с ноеымп, заранее прогнозируемыми свойствами.

Целью работы является математически корректная постановка задач оптимального управления и интерпретации данных физического эксперимента, относящихся к классу обратных, разработка на этой основе регуляризуицих алгоритмов и разработка, в результате проведения математического эксперимента методики планирования физических экспериментов, вынесение рекомендаций по выбору оптимальных редимов некоторых технологий.

Научная новизна полученных результатов состоит в реализации и частичном математическом обосновании достаточно полной математической модели процессов термо-упруго-пластического де-

v

формирования в биметаллических образцах и процессов структуро-образования и уцруго-нластического деформирования в монометаллических образцах при высокотемпературной обработке.

В рамках этой математической модели и на основе фундаментальной теории регуляризации А.Н.Тихонова дается математическое обоснование корректнооти постановки задач оптимального управления и интерпретации данных физического эксперимента, что отражено в соответствующих теоремах. Специфика рассматриваемых в диссертации обратных задач для конкретных технологических процессов приводит к необходимости разработки специальных 'регу-ляризирувдих алгоритмов. Для решения связанных о этим вариа- . ционных задач применяются в частности градиентные метода, в некоторых случаях доказаны теоремы о дифференцируемости соответствующих функционалов и нахоздении явного вида их градиента; вырахенного через решения сопряженных задач.

Практическая ценность работы оцределяется тем, что ена выполнена на основе прямого сотрудничества с научной лабораторией предприятия АВТОЗил. На основе проведения ряда математических экспериментов вынесены практические рекомендации по вы-

бору оптимальных режимов нагрева биметаллических образцов, псу-' вышающие эффективность работы индукционных установок; разрабо-. таны методы проведения физического эксперимента по измерению температурного поля, поля остаточных напряжений и остаточного распределения перлитной компоненты при закалка с целью определения с заданной точностью физических параметров образуемой структуры; вынесены рекомендации по выбору оптимальных режимов поверхностной и сквозной закалки на мартенсит с целью получеши образцов с заданными 'свойствами.

Апробация работы. Основные научные результаты рабиты представлены на научной конференции "Ломоносовские чтения" /Москва, МГУ, 1991/ и международной научной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" /Москва, 1991/, а также на заседаниях кафедры математики физического ф^-та МГУ в 1988 и 1991 годах. Некоторые практические вывода опробированы экспериментально на предприятии АВТОЗЙЛ.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в публикациях [4-^ .

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В'первой главе рассматривается математическая модель процесса индукционного нагрева биметалла, во второй главе решается задача оптимального нагрева биметаллического образца, в третьей главе рассматривается обратная задача интерпретации данных физического эксперимента по определению физических параметров структуры при закалке, в четвертой главе рассматривается обратная задача оптимального управления охлаждением при закалке с целью получения материала с заданной структурой.

Диссертация изложена на 132 страницах, из которых II стр. составляют рисунки. Список литературы содержит 76 наименований.

Основное содержание работы

- Введение содержит обзор научных работ, посвященных проблемам, затрагиваемым в диссертации, кратко формулируются основные вывода, полученные в работах других авторов. Во введении дается краткое содержание постановки задач, их физическое содержание; отмечаемая новизна подхода к решению поставленных физических.задач, кратко формулируются основные выводы и полученные в работе результаты.

. Глава I посвящена математическому моделированию индукционного нагрева биметаллических образцов. В задаче рассматривается достаточно длинный цилиндрический образец из композиционного материала, 'помещенный в высскодосгаточаое электромагнитное поле соленовда. Шлеталл состоит из обычной, широко используемой в технике стали, на поверхность которой наносится слой из более качественной -стали, обладающей повышенными высокопрочностными характеристиками, благодаря этому повклаются механические свойства образца, эффективность использования его на практике. Образец нагревают до температуры поверхности 1200°С.

I. В силу аксиальной' симметрии задачи и сделанных предположений о. длине образца, система разрешающих уравнений квазистационарной задачи термо-уцруго-пластичности включает в себя элементы [I] , [2] :

« ~ / (» ->-г \ 1 / ¿9 12. <м (и. 'Э"Т

(5) "> а

V

£(*•*) * ¿г ./^ ш/"Vт(г*,4)) И (ъ* 4) г*4г*

о (

= ? / ^/(т(гУ)) г*,-Ь) г * ^ «1

ш

нЫ) - им ® ; ЁО.У-/Щ'

для

. I £ [О, < I

где - температура, И - напряженность магнитно-

го поля, £ - напряженность электрического поля, Д (т) -теплопроводность, - теплоемкость, - плотность,

2Г(т) - удельная проводимость, /'(Ту - магнитная проницаемость для ^ -материала. Сила тока в соленоиде подчиняется гармоническому закону

I--

ко = т-о

Т (-0 - квадрат амплитуда, ^ - циклическая частота переменного тока.

2. Уравнения теории пластического течения для изотропного линейно упрочняющегося материала в квазистационарном приближении [з] :

А йс* \ \

гп + г---

О

. <« .1*>т

4 <1 Ь 4

Jf, = .77Г {(и »Ы) «Ц - - — •

- ' <1' Efт)^ 4 « (£(7))"

/ ' '» » А' л ^ ^ ^ Jт ч /Л" * ) а ^ с1 Т

II »

С'сп / -Г ' ^

| с!б^г г ^ = О ; о

= (-к V + К-* ^ )) ; ^ - (I )у

, <Ч , (ч 1'*>

где , с/ , а компоненты приращений тензора

■ 1 V

напряжений, тензора деформаций, вектора смещений ( £ -компоненты); £ (~г) - модуль ЮНга; коэффициент Пуассона; .

141

с1(т) - коэффициент объемного расширения; Е^Ст) - касательный коэффициент в области пластичности; 0/т (т) - мгновенный

, С

предел текучести.

Условие пластического деформирования означают выполнение

' 1

сразу двух условий:

нарушение хотя бы одного из них означает чисто упруго деформирование; ¿¿Р - параметр Удквиста [з] . 3. Система включает начальные условия:

<*> I о

Т = Т {г)

Ч--о

Граничные условия:

эт

эг

= 0 } [Т]1 = о ; =° }

1=0

111

ТмМ + Ш&У-Т-*)! .

= о ; [Ю/ = ° ; [ «¡Г-- М] =0

ЪН 37

I

И

1

= о , =0 ; Г^,^ .-О;

Чг-о

Л

Здесь _ коэффициент теплоотдачи с поверхности; с* _ пос-

/Л

тоянная Стефана-Больцмана, / - степень черноты тела; п -число витков соленоида на единицу длины.

В принятой модели обратное влияние поля деформаций на 'значение температурного поля не учитывается. Это позволяет разделить вопросы существования и единственности решения для температурно-электромагнитной задачи и упруго-пластической задачи. Поскольку в работах других авторов был достаточно подробно-проведен анализ существования и единственности решения температурно-электромагнитной задачи, в диссертации рассматриваются вопросы разрешимости только для упруго-пластической задачи, применительно к биметаллу.

Сначала рассматривается чисто упругое деформирование

' с1 £■= о . При помощи линейных тождественных цреобразований

■У

проводится редукция исходной постановки к системе инте1ро-диф-ференциалъных уравнений относительно компонент 4иг и линейным относительно ^ выражениям для определения с1 , ¿у

Система имеет вид

ч>

к (г -зг) - рА -л + I Ж Ч*

сЦг= (I $ Тг -^г-*^ + ('¿к)^ еш)

- '¿Ш чг-¿"М) - ¡г) / Т «Ъ * ,

(I)

У 2 £ !

Теорема 1.1. Пусть выполнены условия на коэффициенты сис-. теглы (I): Г : _

О<о Гео < Й< / '<>% ^ с"Ы<*,)¡о<£* « е<*<" у

1М 6 ¿г

Тогда решение системы (I) существует и единственно.

Решение нелинейной смешанной упруго-пластической задачи ищется при помощи итерационного метода дополнительных деформаций, описанного в [з] . На калдой итерации решается линеаризованная система вцда (I) с измененными коэффициентами и При выполнении условий Г и равномерной сходимости итерационного процесса, существует я единственно решение смешанной упруго-пластической задачи.

В результате конечно-разностной аппроксимации системы (I) получаем линейную систему уравнений вида

В1Г = А и f X (£,и) -- / (2)

где - вектор-разностнсе решение (I), А - трехдиагоналъ-ная матрица, X, у? , - известные векторы. Пусть выполнена условия Г , тогда справедливы

Теорема 1.2. Для сходимости итерационного процесса

-1 у ^ "■' и - А + - А сГ достаточно, пто(!ы пьполнялось

условие ( Т, А'1*')* * < ±

Теорема 1.3. Пусть выполнено условие (х + , а'Х)) / О , тогда решение (2) представимо в виде

' -> г' 7 ( А ?> &

и - к + К'Х))

При выполнении условий теоремы 1.1 и нарушении условий

теорем 1.2; 1.3 используется менее экономичный общий алгоритм —» 1 ~*

решения системы (2)

Во второй главе рассматривается задача об оптимальном управлении высокотемпературным нагревом биметаллических заготовок.

В качестве управляющих параметров процесса выступают динамические параметры индуктора амплитуда и частота тока, заданные на некотором множестве Р : ]* = ( ГМ, е Р Задача оптимального управления состоит в таком выборе , чтобы начзев поверхности образца до заданной температуры 1200°С проводился за минимальное время, при условии что поле внутренних напряжений в образце не цревышает предельно допустимых. При помощи функции Ф ( ■{! р)

где & 3 - предельно допустимый уровень интенсивности напряжений, соответствующая задача оптимального управления формулируется как:

£ - время окончательного нагрева образца, Для решения задачи (3) проводится разбиение сегмента на а/, сегментов

- дк = Икч ,4*1 , соответственно разбиение Р яа Д

ы — ...

р - и Р > где определение узлов сетки осуществляет- .

К-1

« . ,

ся при помощи функциональных условий нагрева поверхности образца до заданной температура ~Тк ■' , , р) - ~Т~к функции управления аппроксимируются при помощи кусочно-постоян-. ннх функций, имеющих вид: *

А

ты -- I 1к- (/Г^)-, о<тк<1* ■ ■ (4)

где ^ С-ь) - функция Хевисайда, 1к , - постоянные знача- . ния параметров на интервале 4 £ йк. , X* - априори заданная величина, //'"7 - конечный, дискретный набор заданных частот. Замкнутое, ограниченное множество кусочно-постоянных функций [1(0, -?(.*)] образуют компактное множество Р .

Автоматизированный принцип поиска уцравляпцих функций осуществляется последовательно", на каждом множестве ,

при помощи решения специальной вариационной задачи

. № ' (4)'

Ч ! / - !г> 12}о (5)

где ¿(ТА) = {(* 1-т, Ы * % (т, Чг)) , - мгно-

венный предел текучести.

Полученное решение является первым приближением для решения (3).

¿Теорема 2.1. Пусть решение задачи (3) существует, функции [к-О, f(~l)} представлены в еидэ кусочно-постоянных

функций, определены на компактном множестве _Р , функционалы в (3) и (4) непрерывно зависят от I (Ч) , тогда существует устойчивое решение задачи (3), являющееся пределом регуляризован-ной последовательности, минимизирующей функционал в (3) на каждом временном сегменте А* .

При решении вариационной задачи (4) частота рас-

сматривается как параметр, при фиксированном значении которого цроводится минимизация Фк* по Хк методом проекции градиента. Производная функционала вычисляется явно в приближении, когда б^ • является интенсивностью чисто упругих напряжений. В соответствующей теореме формулируются условия существования и явный вид производной функционала, выраженной через решения сопряженных задач, Решение задачи (3) осуществляется при помощи метода проекции градиента, но с приближенным

л

вычислением производной функционала -Ь на ЭВМ.

Результаты численного эксперимента показали, что оптимальным является двустадайный режим индукционного нагрева биметалла - когда переключение амплитуда и частоты тока индуктора происходит при переходе поверхностным слоем образца точки фазового перехода 2 рода - точки Кюри. В диссертации для определенных параметров образца рассчитан оптимальный режим управ-г

■ •

ления и графики интенсивности напряжений в различных точках образца, как функции времени, в течение всего процесса, распределение накопленной пластической деформации в момент окончания нагрева.

В третьей главе рассматривается задача об определен™ параметров структуры материала при закалке.

В задаче рассматривается трехфазная модель образуемого при закалке материала, описывающая распад аустенитной компоненты

на перлитную и мартенситную. Кинетика образования фаз описывается на основе моделей Дконсона-Мелла, Мадаи с поправкой на неизотермичность процесса распада и учетом влияния напряжений на фазовые переходы: для стали марки 40:

. у - «Р (., ¡(^(т^у е ». г/ ь) ,

"¿О {

12Сг»0 = !■-(зоо-т) + а- # + ь /

где т* , Тг / Ть - соответственно долевые объемы перлитной,

мартенситной и аустенитной компонент, б5- 3. - средние

а

напряжения, 3?) р) А, & , Ф - физические константы. Для опи-.сания процессов термо-упруго-пластичности применяется математическая модель описанная в Главе I с некоторыми поправками;

а) в уравнении теплового баланса учитывается скорость вы-

2

деления скрытого тепла О = £ с/ ; б) в уравнениях тео-

1

рии пластического течения изменяется общий закон деформирования;

(| к, ^ -) +3 ** (1-ь)</уо-

<Лк - коэффициент объемного расширения К -фазы, обусловленный переходом аустенит - к -фаза, взятый при ~т = О V ; ^ и К2 - коэффициенты, определяющие величину дополнительных пластических деформаций, обусловленных соответствующими аусте-

нит- К -фаза переходами.

В виду неупорядоченности микроструктуры материала параметры смеси, входящие в уравнения описываются формулами:

= к кмы))

¿(-с,*) * к \и,-ку*к(-гм)

В рамках рассматриваемой модели А х , Аг, и1 , Ы.г не зависит от температуры, а значение и зависит ли-

нейно:

ХХО Л ^ д30 Ло

/ /_■> л ООО- I ~

" -МО--*. Хг^Р

1ооо -т

А + -г-го 3 , 380 ^

1Д9 А3(20*О , ^ = О^з^о-с; , ЮОО'сЗ ,

об, - (/ооо 'с) . При этом значение Л» и известны.

На основании описанной модели формулируется обратная задача об определении вектора физических параметров ^ - [ Л, ( Хг> Х3/ ¿1-, иг р] » заданного на компактном множестве 3 ■= { « ^

л * £ ( />* .

В качестве входной информации используются данные, измеренные в процессе закалки - значения температурного поля на

*

поверхности образца.в течение всего процесса - ,

остаточные распределения, тангенциальных компонент тензора напряжений о^ (1, -Г) , перлитной компонента 7,э (?) в момент окончания процесса ± -

Соответствующая вариационная задача ¡формулируется в виде:

Ь* , а гч ."»./ (ф. [ fl * фг Г/Ы = "У тZ*,*))2-

о

где У- - весовые множители, выбираемые с учетом различия раз-

L

мерности функционалов. Существование предельного элемента минимизирующей последовательности I для функционала

Ф [ р ] -- Ф, Г f J 1- Ф2 [ f> J вытекает из неотрицательности ф , а следовательно его ограниченности снизу и принадлежности минимизирующей последовательности fр""] компактному множеству . Ф Достигает своей нижней грани на предельном элементе JZ* регуляризованной последовательности [р'"'} „ В качестве алгоритма минимизации выбран итерационный метод последовательного спуска по различным группам параметров для различных функционалов:

Лф[?Х'Г1 : iT.ci.rl

« х 1 1 .

где ß - номер итерации. Минимизация функционалов проводится методом проекции градиента. Градиент ^ выписывается точно через решение сопряженной задачи Тг (i,!} :

ЩИ, О ,

Эг - rjr) • '

Г.(и)= А(>,0 > TM bOJJ ; ' >

1 J **

/Л^ • -Ufr/ т-

Цри определенных ограничениях на коэффициенты уравнений

<j

градиент функционала имеет вид:

V; фл ai/f) *i(SS - it.^J-

to ° Э г ' "¿0

p.favJi) 7 * •

Градиент функционала вычисляется приближенно на ЭВМ.

В результате проведения численного эксперимента было установлено, что предложенный алгоритм позволяет восстановить перво-

—> .

начально заданное значение ft с точностью до 0,1%, что является вполне приемлемым для решения обратной задачи. Поскольку любой физический эксперимент связан с погрешностью измерений, практический интерес представляет изучение влияния погрешности

измерения той или иной величины на точность определения физи-$

чоских параметров. Методом решения серии обратных задач для модельных значений Т э, , , заданных с различной точ-

ностью было установлено, что I) наиболее существенное влияние на определение параметров теплопроводности XL оказывает погрешность измерения температурного поля (цриемоемая погрешность Be должна цревышать ^ =0,5$); 2) пивлечение более точной информации о распределении перлитной компоненты с =3^ позволяет использовать грубые измерения поля нацряжений ^ =

в 15 20% и оцределать искомые параметры с погрешности) Таким образам выносятся рекомендации по планирован!® физического эксперимента по определению физических полей Т / £"ее t JL с использованием автоматизированного комплекта по определению' физических параметров -структуры. (В диссертации для наиболее o^isKiix к возможностям современной экспериментальной базы пог-

рошностей измерения 'ът =0,51?, ^ ч1СЙ, последуется зависимость погрешности опродалония параметров от погрешнооти изме-рония .

Чотвортая глава посвящена задаче оптимального охлаждения

прп закалко с учетам влияния напряжений на фазовые цровращэ-

е

ния.

-Для моделирования процесса закалки монометаллического щг-линдричоского образца используетоя математическая модель ^дро-цессов структурообразования п упруго-пластического дефорвдро-паппя, описанная в предыдущих главах. В качестве управляющей функции принимается коэсшпционт теплоотдачи как функция промо-пи входящий в условие теплообмена на поверхности образца.

Долью рассматриваемого процесса является образование мар-тенсптной отруктуры. В рамках принятой трехфазовой модели полного распада аустенита на пбрлит и шртеноит, уоловио максимума содержания мартенсита (отвечавдого за упрочение материала) в олое (?] , где ои?*< £ соответствует шшшуцу функционала Фх : е

¿п/Ф^Ь: «Иъ-Г т*е,

Г £ . е*

Во избезанио образования и развития заколочных трещин на поверхности образца ставится условна шницуш накопленной шшо-тической дефохшцяп при помощи функционала 5

и при псилоци дополнительного функционального условия

где - пороговое значение вязкости разрушения, £ -

о

допустимое значение глубины трещины по ГОСТу.

Для предотвращения эффектов обратного упрочения, обусловленных влиянием внутренних напряжений на образование структурных компонент, ставится условие монотонного распределения перлитной компоненты вдоль радиальной координаты с.условием возможного увеличения перлита во внутренних точках образца при помощи функционала ^ (для сквозной закалки на мартенсит):

» »/(Гз

{, "о

(!) = , если < 0

/о 21'

I. и , если

йри помощи функционала ^ (для поверхностной закалки в слое

() ° Коэффициент теплоотдачи ищется на множестве кусочно-постоянных функций Р как решение вариационной задачи:

в случае поверхностной закалки в слое £ = вместо

вводится ^ .

В соответствии с концепцией регуляризации (¡М) аппроксимируется функцией, принадлежащей некоторому компактному мно- ■ хэетву. Сетоент разбивается на Л/ равных частей

1 - . * на этом сепгеяте определяется кусочно-.

-постоянная ограниченная функция аналогично (4), соответственно, на каждом временном сепленте лк определяется значение > е«.,^ , как решение задачи (5), при этом Се ^ -

- {/:«/£. ^ Ц.

Поскольку минимизируемый на компактном множестве функционал Ф является неотрицательным, он ограничен снизу, г- следовательно достигает своей нижней грани на предельном элементе минимизирующей последовательности [ ¿V У на каздом

временном сепленте йк , тем самым 1к является устойчивым решением задачи (5). При минимизации функционала Ф на множествах возникает опасность скатывания решения в точки локального минимума в самом начале процесса закалки. Во избежание этого в задаче на основе качественного анализа полей скорости охлаждения ставится дополнительное функциональное условие, обеспечивающее в начальный момент максимальную скорость охлаждения, при которой отсутствует процесс пластического деформирования. При этом функционал ^о в (5) заменяется на сЦ* :

, если Ф ц

' I • *

Ф . если ср7 < £ ф ф (■ Ц

Вариационная задача (5) решается методом проекции градиента- с щ)»б>ыиенным вычислением производной функционала <Ф<>

эксперимент был поставлен для образца из стали

*

40 диаметром 20 мм, нагретого равномерно до температуры полной аустенизации 860°С, для двух режимов сквозной (режим А) и повер- . хностной (Б) закалки на мартенсит. В диссертации представлены ступенчатые оптимальные функции охлаждения. Об эффективности режимов охлаждения говорит распределение мартенсктной когао-

ненты по радиусу для обеих режимов, остаточные распределения

о

тангенциальных компонент тензора сопряжений - сжимающих на поверхности и растягивающих во внутренних точках образца. В диссертации так же представлены остаточные распределения накопленной пластической деформации.

• Полученные режимы охлаждения дают представления о возможности цроведения более эффективных и оптимальных процессов закалки в условиях производства для широкого класса сталей.

В Заключение сформулированы кратко основные результаты и выводе, полученные в диссертации, представленные к защите.

Основный выводы и результаты, представленные к защите:

1. Разработана математическая модель упруго-пластического деформирования стальных биметаллических образцов при высокотемпературном индукционном*нагреве. Доказана теорема существования и единственности решения системы интегро-дифференциальных уравнений для упругой задачи, рассмотрены вопросы разрешимости упруго-пластической задачи в рамках модели пластического течения. Разработаны и математически'обоснованы эффективные алгоритмы решения рассматриваемой задачи на ЭВМ.

2. На основе модели упруго-пластического деформирования поставлена задача оптимального управления индукционным нагрева.! биметаллических образцов. Разработан устойчивый и эффективный алгоритм решения соответствующей вариационной задачи уп-

*

равления, основанный на концепции регуляризации и градиентном метода минимизации и доказана его устойчивость. Условие существования, явный ввд гтадиента веденного функционала доказываются в соответствующих теориях.

3. В результате проведения численного экспери:.:ента"полу-

двухстэдпйяьге управления индукционным '■

нагревом. Переключение режимов (изменение амплитуды и частоты управляющего тока) происходит в момент прохождения поверхностным слоем биметалла температуры фазового перехода второго рода -точки Кюри. Необходимость увеличения мощности э/м поля индуктора в этот момент времени объясняется потерей поверхностным слоем образца магнитных свойств. Полученные результата слогут служить для коррекции управления соответствующим технологическим цроцессом.

4. Рассмотрена обратная задача о планировании физического эксперимента по определению теплопроводностей и коэффициентов объемного расширения структурных компонент, образующихся при закалке цилиндрического образца - аустенпта, перлита и мартенсита - а также определению коэффициента, обуславливающего влияние внутренних напряжений на образование перлитной компоненты. Разработан и реализован на ЗИЛ устойчивый регуляри-зуюций алгоритм решения обратной задачи, в котором используется градиентный метод минимизации. Доказана соответствующая теорема.о дифференцируемости одного из функционалов.

5. Результаты численного эксперимента легли в основу получения оценок влияния погрешность измерения физических величин (температурного поля на поверхности образца в течбние всей закалки, остаточных распределений по радиусу тангенциальных компонент напряжений и структурных компонент) на качество решения обратной задачи. Установлено, что во-первых наиболее существенное влияние на определение параметров теплопроводности фаз оказывает погрешность измерения температурного поля; во-вторых увеличить точность определения параметров структуры можно с использованием достаточно грубых измерений остаточного поля напряжений, но с привлечением более точной информации о

процентном содержании остаточных структурных компонент. Этот результат имеет практическую ценность, так как увеличение точности измерения поля напряжений требует локальных разрушающих методов и большого статистического объема экспериментальных данных. Разработанный пакет и программ лежит в основе автома-■газированной системе определения физических параметров структурных компонент.

6. На основе концепции регуляризации разработан и реализован на ЭВМ устойчивый алгоритм решения задачи оптимального управления охлаждением при закалке с учетом "влияния внутренних напряжений на кинетику образования структурных компонент. С помощью математического эксперимента изучены ступенчатые режимы охлаждения для поверхностной и сквозной закалки.

Этот результат имеет практическое значение для управления соответствующим производственным процессам.

23

Литература

1.Тихонов А.Н.,Самарский A.A. Уравнения математической физики.М., Наука, 1979.

2.Матвеев А.Н.Электродинамика.М.»Высшая niKojia,I9bO.

3.Биргер И.А.,Шорр Б.Ф.Теркопрочность деталей машин.-М.,Наука,1975.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах :

4.Аки1.генко В.В. ,Гласко В.Б.,Калькер В.Д..Кальнер Ю.В. .Тихонов А.Н. Об управлении охлаждением при закалке с учетом влияния напряжений на фазовые превращения.-I'M, 1991,№5.

Ь.Тихонов A.b..Акименко В.В..Кальнер В.Д.,Гласко В.Б.,Нальнер Ю.В., Нулик H.h.O планировании одного эксперимента по определению параметров материала математическими методами.-I'M, 1991,№4. Ь.Тихонов A.h.,Кальнер В.Д.,Гласно В.Б.,Кулик Н.И..Акименко В.В. Об оптимизации высокотемпературного нагрева биметаллических стальных за готовок.МиТОМ,1990,№2,с.20-27.

7.Тихонов А.Н..Кальнер В.Д.,Шкляров h.H..Гласно В.Б..Кулик Н.И..Акименко В.В.Об эффектах высокотемпературного нагрева биметаллических стальных заготовок.Ш,1990.№3,с.392-401.