Некоторые осесимметричные задачи нелинейной теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГБ ОД

9 л •<.- На правах рукописи

* з шр тг

МАНСУРОВА Светлана Евгеньевна

НЕКОТОРЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Специальность 01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-1 Петербург 1998

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформированного твердого тела Санкт-Петербургского

государственного университета.

Научный руководитель:

- доктор физико-математических наук, профессор К.Ф.Черных

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор В.А.Постнов

- доктор физико-математических наук, профессор П.Е.Товстик

Ведущая организация: Институт проблем машиноведения РАН.

Защита состоится " 3 » йН1998 г. в Ш часов на заседании диссертационного совета К.063.57.13 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198904, Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл., 2.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан " ^ " \Л/ Г&- 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А.Нарбут

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. I! настоящее время в различных отраслях промышленности и технике широко используются изделия из аластомеров, которые по своим физическим свойствам качественно отличаются от традиционных конструкционных материалов. При деформировании эластомеры способны испытывать большие (до 1000 %) деформации в упругой области. Они также имеют малую объемную сжимаемос.гь и большую податливость при сдвиге. Отношение жесткостей эластомеров на сдвиг а сжатие составляет 10_4-10~3, что позволяет во многих задачах считать материал несжимаемым.

В связи с широким использованием резиновых изделий в механике получили развитие новые направления — нелинейная теория оболочек, теория тонкого эластомерного слоя и теория сдоистых резиноармированных конструкций. Однако число точных решений нелинейных задач, имеющихся во всех опубликованных работах но нелинейному поведению материалов и конструкций, крайне невелико, причем они относятся к телам простейших геометрических форм яри простейших граничных условиях. В связи с этим особое значение приобретают численные методы решения нелинейных задач.

Целью работы является решепие рядаосесимметричных задач теории упругости в нелинейной постановке, установление пределов применимости различных приближенных теорий для рассматриваемых классов задач, а также создание работоспособного механизма, позволяющего исследовать нелинейную деформацию тел вращения при больших деформациях и нагрузках для широкого спектра геометрических фор»! и граничных условий.

Лаучпая новизна изложенных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:

1. Исследованы осесииметричяые задачи нелинейной теории оболочек а постановке теории упругости б-з привлечения оболочечных гипотез. Материал предполагается несжимаемым, в качестве функции анергии деформации рассматривается неогуковский потенциал, Сравнение полученных результатов с решениями, получаемыми по нелинейной теории тонких оболочек, показывает допустимость использования последней при решении задач на линейном участке диаграммы "нагрузка—осадка" даже для достаточно толстых оболочек. В закритической и близкой к критической областях расхождение результатов становится существенным вследствие чувствительности модели в этих

областях к используемым допущениям.

2. Получены деформированные конфигурации и же.сгкосткые характеристики нелинейного сжатия модели амортизатора, геометрическая форма и граничные условия которой отвечают реальному амортизатору. Сравнение этой модели с моделью теории оболочек показывает существенное различие жест-костных характеристик, особенно около критической точки диаграммы и за ней, и качественно различный характер деформирования вблизи торца, имеющего меньший радиус.

3. Исследованы задачи ©сесимметричного сжатия тонкого аласхомерного слоя для сжимаемого и несжимаемого материалов; проведено сравнение с решениями линейной теории тонкого слоя. Полученные результаты подтверждают известные экспериментальные данные о нел инейном характере диаграммы

."нагрузка—перемещение" даже при малых деформациях и ограничивают использование линейной теории слоя деформациями порядка 3-5 %.

4. Исследована жесткость изделия в зависимости от величины коэффициента Пуассона материала, в также влияние размеряв конечных элементов и пришлого упругого потенциала на точность решения.

Практическая ценность. Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение, Результаты расчетов могу.г быть использованы для предсказания повод«кия изделий из эластомеров при больших нагрузках и деформациях. Полученные данные позволяют наметить область допустимого применения различных приближенных теорий для соотв«тствующия классов задач при варьировании материала, формы, размеров деформируемого тела и условий на его границах.

Программа, реализующая алгоритм решения задачи, позволяет решать оее-симметричпые нелинейные задачи деформирования тел вращения достаточно произвольной геометрической формы при различных граничных условиях. Характеристики материала могут быть заданы произвольным упругим потенциалом, являющимся функцией главных инвариантен метрического тензора деформации. При атом возможно рассматривать тела, построенные из разнородных материалов (например, слоистые конструкции).

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и сопоставлением результатов с решениями тех же задач другими (численными или точными) методами. Для задачи о сжатии тонкого еластомер-

ного слоя с проскальзывай!« м получены точные нелинейные решения для сжимаемое и несжимаемого материалов. Сравнение численных решений с точными показывает совпадение результатов до 4-5 злаков при деформации до 80-90 %.

Кроме того, при получении каждого из решений достигалась внутренняя сходимость результатов, то есть совпадение 4-5 знаков в решениях, полученных при разбиении на конечные элементы, »двое различающиеся по размерам, а также при увеличении числа гауссовых точек интегрирования.

Отдельные результаты подтверждены вкспериментальнымм данными.

Апробацпя работы. Содержание диссертационной работы было доложено по частям на XXV — XXVIII научных конференциях "Прикладная математика в процессы ^праллеляя** СПбГУ (С.-Петербург, 1994, 1995, 1996, 1997); на XXXII семинаре "Актуальные проблемы прочности", посвященном памяти В.А.Лихачева (СПб, 299С>); на семинарах СПбГУ по численным методам в механике деформированного твердого тела под руководством профессоров Ю.М.Д&яя, К.Ф.Чершдха.

Работа в делом докладывалась на семинаре Санкт-Петербургского университета по численным метода»! в механике деформируемого твердого тела.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В первой главе ставится задача пелшге&юй осесимметричзой деформации тел вращения исходя из принципа виртуальных перемещений и рассматривается алгоритм е.е рептения на основе численных методов. Вторая глава посвящена исследованию нелинейного сжатия конических амортизаторов. В третьей главе рассматривается деформация тонкого слоя. В приложении приводятся описание программы, реализующей рассмотренный алгоритм, и текст »той программы.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Она содержит 163 страницы машинописного текста, включая 11 таблиц и 47 рисунков. Библиография насчитывает 127 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введеннн дается краткий обзор работ, посвященных решению нелинейных задач теории оболочек и тонкого еластомерного слоя различными теорети-

ческими в численным методами.

Полученные в работе численны« решения нелинейного сжатия конических амортизаторов сравниваются с решениями нелинейной теории тонких оболочек. Один из вариантов этой теории базируете.! на геометрической гипотезе Кирхгофа, модификация которой позволяет учесть изменение толщины оболочки при деформации, существенное для оболочек из эластомеров деформационное утонение. Этот вариант нелинейной теории тонких оболочек был предложен К.Ф.Чериыхом-(1980). Другой вариант (С.А.Кабриц, К.Ф.Черных, 1996) учитывает, кроме изменения толщины, возможность поперечного сдвига нормального волокна оболочки и обобщает идеи С.П.Тимошенко и Е.Рейсснера.

Еще одна вариант теории оболочек рассматривается в работах П.Е.Товетика, где решение строится с помощью асимптотического метода. В одной из работ П.Е.Товстик проводит сравнение ясесткостных характеристик сжатия конической оболочки, построенных ао трем указанным тзоршш. Получено совпадение результатов на линейном участке диаграммы и существенное их расхождение в закритической области. Автор объясняет это чувствительностью задачи к виду исходных уравнений.

Аналогичные результаты получены в предлагаемой диссертационной работе при сравнении различных теорий оболочек с численным решением на основе трехмерных уравнений теории упругости.

Исследованиями деформации конических амортизаторов различными методами, в числе которых отметим метод Ритпа, метод сеток, метод конечных алемеитов и другие, зшщмшщсь Э.б.Лааендея, А.Я.Жислин, С.И.Дымников, Е.А.Гозман, М.И.Сниегс, М.А.Лейканд, М.Г.Гуриелидзе и др.

Среди указанных методов наиболее перспективным является метод конечных влементов, разработанный в трудах Ж.Аргириса, О.Зевкевича, Лж.Одела и других. Среди отечественных работ, посвященных этому методу, отметим монографии В.А.Постнова и Й.Я.Хархурима (1974), Л.А.Розипа (1977), В.Г.Корнеева (1977), А.С.Сахарова (1982) и Р.Б.Рикардса (1988).

В развитие теории тонкого эластомерного слоя большой вклад внесли работы В.И.Малого, в которых задача сжатия плоского слоя была сведена к решению краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца. Несколько позже в работах К.Ф.Черныха и Л.В.Миглякоаой было показано, что к аналогичной краевой задаче сводится расчет криволинейного слоя с жесткими лицевыми поверхностями, причем не только для сжатия, но а для других видов деформации — при

изгибе и сдвиге.

Результаты упомянуты! работ явились существенным вкладом в создание теории тонкого вл&стомерното слоя- Впоследствии двумерные уравнения стали широко применяться в задача* расчета эластоиерных изделий. Укажем, в частности, работы В.И.Малого и Н.С.Гусятииекой, К.Ф. Черпыхаи Л.В.Миляковой, В Л.Бидермана и Г.В.Мартьяновой, М.А.Лейканда, В.А.Тихонова и других авторов. Дальнейшее развитие теории эластомерного слоя было дано в работах В.М.Малькова, в которых учтена деформация лицевых поверхностей, рассматриваются динамические задичи и др. проблемы.

Экспериментальное исследование свойств гонкого эластомерного слоя проводили Е.И.Ривня, В. М. Горе пик, В.А.Тихонов, В.А.Щеголев, Э.Э. Лаоендсл, М. А. Лейканд и другие.

В первой главе (§$ 1-6) дана общая математическая постановка нелинейной осесимметричной. задачи теории упругости на основе вариационного принципа Лагратка:

-¿ГШ) ¿V ~ ! <гп $и = (1)

Здесь первое слагаемое объемного интеграла учитывает работу внутренних сил при деформации, второе — работу массовых сил. Поверхностный интеграл учитывает вклад внешней нагрузки <т„, распределенной по поверхности

Под Ф в уравнении (1) понимается удельная энергия деформации (упругий потенциал), которая считается зидапной для рассматриваемого материала. Материал предполагается изотропным, в силу чего упругий потенциал будет являться функцией трех гласных инвариантов метрического тензора деформации Ко-ши.

Материал может считаться как сжимаемым, тал н не сжимаемым. В последнем случае коэффициент Пуас сона р — 0.5, и напряжения яе полностью определяются упругим потенциалом. Деформация при атом должна происходить таким образом, чтобы сохранялся первоначальный объем тела. Условие несжимаемости учитывается с помощью замены в уравнении (1) вариации упругого потенциала па вариацию

5(Ф + |р!п/Д (2)

Здесь р — произвольная фуш-ция, которая является дополнительной неизвестной величиной в задаче. Таксй вариант учета несжимаемости материала был

рассмотрен в работал Дж.Оденаи КФ.Черныха,

В §§ 2 и 3 дается описание метода конечных влеиентов (МКЭ), который применяется для дискретизации уравнения (1). Используются четырехугольные изо-параметрические конечные (элементы, имеющие четыре узловые точки в своих вершинах. Компоненты вектора перемещений внутри каждого конечного »лемен-та аппроксимируются через свои значения в узлах этого влемента с помощью билинейных функций, описанных в работах О.Зенкевича, Дж.Одеиа и др. В случае несжимаемого материала, следуя рекомендации Дж.Одена, для функции р внутри влемента применяется аппроксимация нулевого порядка, т.е. функция считается постоянной в элементе. Такую аппроксимацию для р при использовании билинейных четырехугольных или л,шейных треугольных алемен-тов использовали в своих работах Э.Э.Лавенделл, С.И.Дымшшов, М.И.Сниегс, А.Г.Эрдманис и др.

В § 4 уравнение (1) путем аппроксимации неизвестных функций с помощью МКЭ и численного вычисления интегралов методом Гаусса приводится к системе нелинейных алгебраических уравнений вида

Р(Х) = 0, (3)

где вектор X составлен из всех неизвестных задачи (узловых перемещений и, в случае несжимаемого материала, функций р в илементах), а вектор-функция У — из соответствующих уравнений.

Для решение системы (3) применяется метод дискретного продолжения решения по параметру в сочетании с линеаризацией по методу Ньютона- Рафсола. При втом на каждой итерации решается система линейных алгебраических уравнений, которая может иметь большой порядок (до 6000 неизвестных). Хранение матрицы производных и решение осуществляется методом прогонки Гаусса с учетом ленточной структуры матрицы системы. Процесс продолжения решения по параметру обеспечивает хорошее начальное приближение для метода Ньютона. В случае, если сходимость метода Ньютона за определенное число итерахцш не достигается, уменьшается шаг движения по параметру (§ 5).

§ 6 посвящен решению ряда тестовых задач. Совпадение численных результатов с аналитическими решениями рассмотренных задач, приведенными: в работе А.Грина и Дж. Адишса, подтверждает правильность работы составленной программы.

Вторая глава ($§ 7-9) посвящена исследованию осесиммегричной деформации конических амортизаторов. В $§ 7 я 8 рассматривается амортизатор, торцы которого скошены по отношению к его срединной поверхности и приварены к жестким металлическим пластинам. При относительно небольшой толщине амортизатора его можао отнести к тонким оболочкам вращения. Для исследования деформации такого рода тел можно использовать нелинейную теорию тонких оболочек, предложенную К.Ф.Черяыхом. В диссертации используются решения задачи по двум вариантом теории оболочек: теории, основанной на модифицированной геометрической гипотезе Кирхгофа (К. Ф. Черных, 1980), и теории с учетом поперечного сдвига и изменения толщины при деформации (С.А.Кабриц и К.Ф.Черных, 1996). Также рассматривается решепие, полученное П.Е.Товстиком асимптотическим методом.

Для сравнения с этими решениями рассматривается модель амортизатора» насколько возможно приближенная к теория оболочек. Лля »того реальная геометрическая форма (рис, 1, А) заменяется формой, у которой торцы совпадают с нормалями к срединной поверхности (рис. 1, Л), яа нижнем торце моделируются условия "заделки", а на верхнем — "скользящего шарнира". При этом перемещения точек верхнего торца оболочки должны быть такими, чтобы: 1) его средняя точка перемещалась на заданную величину Д в осевом направлешш и не смещалась в радиальном; 2) верхний торец мог поворачиваться вокруг своей средней тачки, сохраняя при этом форму прямой линии; 3) относительное удлинение линии верхнего торца было постоянно яо всех его точках. Перемещения точек нижнего торца дояжпы быть такими, чтобы: 1) его средняя точка оставалась неподвижной; 2) все точки лежали на одной прямой линии, причем эта линия должна сохранять первоначальный угод наклона.

Поставленная задача решается исходя из трелмерпых уравнений теория упругости без привлечения оболочечшлх гипотез. Рассматривается несжимаемый материал, описываемый яеогуковским потенциалом:

Жесткостяые характеристики, построенные по различным теориям (1 — теория оболочек типа Кирхгофа, 2— теория оболочек с учетом поперечного сдвига, 3 — теория упругости иа основе МКЭ, 4 — решение, полученное по теории оболочек асимптотическим методом), приводятся на рис. 2. Из рисунка видно, что на линейном участке построенные диаграммы близки, то есть в этой области

теории оболочек работают хорошо, несмотря даже ва то, что рассмотренная оболочка является достаточно толстой. Вблизи критической точки к за ней наблюдается существенное расхождение результатов. Этот факт можно объяснить чувствительностью модели в критической и закритической областях деформирования к различиям в используемых допущениях. Отметим, что исследование аналогичной задачи при уменьшении толщины оболочки в несколько раз не дало сближения жесткостных характеристик в а тих областях.

Сравнение деформированных конфигураций оболочки, построенных с помощью трех теорий для фиксированной осадки верхней грани показывает, как используемые теориями предположения сказываются на геометрии деформированной оболочки.

§ 8 посвящен исследованию поведения конических амортизаторов при сжатии в зависимости от некоторых параметров. Варьируются геометрическая форма модели, граничные условия на верхнем и нижнем торцах и толщина. К наиболее важным результатам можно отнести исследование поведения модели, соответствующей реальному амортизатору. Для такой модели торцы являются скошенными по отношению к срединной поверхности (рис. 1, Л) и приваренными к жестким металлическим пд&стшхкам, что в перемещениях соответствует пьгаолнемию условий: 1) точки верхнего и нижнего оснований не смещаются в радиальном направлении; 2) точка нижнего основания неподвижны в оссвом направлении; 3) тачки верхнего основания смещаются в осевом направлении на заданную величину А.

Сравнение жесткостных характеристик построенной модели и модели теории оболочек показано на рис. 3 (А — модель реального амортизатора, В — "оболо-чечная" модель). Из рисунка видно качественно различное поведение построенных диаграмм, особенно на критическом и закритическом участках. Сравнение жесткостных характеристик, построенных для более тонких моделей, показывает сближение кривых на линейном участке, однако расхождение результатов в заирктической области сохраняется и в етом случае.

Деформирование двух рассмотренных моделей происходит качественно различно, что иллюстрируется рис. 4.

В 5 9 результаты, полученные для модели А, сравниваются с экспериментальными данными о сжатии резннометаллического амортизатора, приведенными в работе К.Ф.Черныха. и О.С.Прасниковой. Там же рассмотрена задача сжатия

массивного резянометаллического амортизатора, имеющего малый угол конусности и переменную толщину. Решение сравнивается с данными экспериментов, проведенных в НИИ резиновой промышленности. Получено хорошее совпадение результатов при осадке амортизатора до 20 %.

В третьей главе (§§ 10-11) рассматриваются задачи осевого сжатия топкого слоя из эластомеров для сжимаемого и несжимаемого материалов. В случае сжимаемого материала рассматривается упругий потенциал вида

¿Ф^А^-НСЛИ^Ь (s)

полученный из неогуковсвого потенциала (4) добавлением слагаемого, учитывающего сжимаемость. Потенциалы такого вида известны в литературе и при различных выражениях для q(J, l>) применялись » работах П.Влатца, В.В.Новожилова н Е.В.Михайловой и др, В диссертация использовалось выражение для предложенное в работе В.М.Малькова:

= (6)

Потенциал (5)-(6) обеспечивает переход к обобщенному закону Гука при малых деформациях.

В § 10 рассматривается задача сжатия тонкого кольцевого слоя осевой силой без проскальзывания (лицевые поверхности приварены к жестким металлическим пластинам). Решение получается исходя го трехмерных уравнений теории упругости без привлечения гипотез слоя.

Исследуется зависимость точности решения от размеров конечных элементов для потенциалов (4) и (5)-(б). В последнем случае материал рассматривается при различных значениях коэффициента Пуассона и, близких к O.S. Наблюдается повышение чувствительности решения задачи к размеру элементов в осевом направлении при v —* 0.5. При меньших значениях коэффициента Пуассона и для неогуковского материала зависимость решения от этого размера гораздо меньше. При этом отмечено, что зависимость решения от размера элементов в радиальном направлении весьма слаба для всех рассмотренных потенциалов.

Полученное численное решение поставленной задачи сравнивается с решением линейной теории слоя для потенциалов (4) и (5)-(б). Проведенные расчеты показывают допустимость применения линейпой теории слоя при спсатип до 3-5 %. Жесткостные характеристики тонкого слоя, построенные для несжи-

маемого материала, приводятся на рис. 8, где прямая линия соответствует линейному решению теории слоя.

В § 11 рассматривается задача сжатия тонкого цилиндрического слоя с проскальзыванием, которая задается следующими граничными условиями на лицевых поверхностях: перемещения точек нижнего основания в осевом направлении равны пулю, точки верхнего основания смещаются в осевом направлении на заданную осадку Д, касательные напряжения на лицевых поверхностях отсутствуют. Боковые поверхности свободны от нагрузки.

Для данной задачи для потенциала (5)-(б) приводится точное решение, которое сравнивается с решениями, полученными численно. Сравнение показывает хорошее совпадение результатов (до 4-5 знаков) при сжатии слоя до 80-90 %.

В заключении сформулированы полученные в диссертации результаты.

В приложении! приводятся описание программы, реализующей численное решение поставленной задачи, и фрагменты этой программы, составленной на языке Т\иЬо-Рызса1 7.0.

НА ЗАШИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1) построение и исследование нелинейного поведения при сжатии различных моделей конического амортизатора вращения из неогуковского материала, среди которых модель, приближенная к модели теории оболочек, и модель, отвечающая форме и граничным условиям реального амортизатора; установление пределов применимос-га нелинейной теории оболочек на примере рассмотренных задач;

2) решение задачи о сжатии массивного резиноподобного амортизатора переменной толщины, которое хорошо согласуется с экспериментальными данными, предоставленными НИИ резиновой промышленности;

3) исследование ряда задач об осевом сжатии тонкого слоя для несжимаемого материала и сжимаемого материала при значениях коэффициента Пуассона, близких к 0.5; установление пределов применимости линейной теории тонкого слоя на примере рассмотренных задач;

4) исследование на основе задачи нелинейного сжатия тонкого слоя влияния размеров конечных элементов и принятого упругого потенциала на точность решения;

5) разработка и реализация алгоритма решения осесимметричной задачи нели-

tfaioft теории упругости на основе вариационного припципа Лагранжа для жмвемого и несжимаемого материала с помощью метода конечных элемен-в в сочетании с методом дискретного продолжения решения по параметру.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

брпц O.A., Мансурова С.Е. Осесимметричная деформация тел вращения из сжимаемого и малосжимаемого материала // Современные вопросы физики lexauimn материалов. СПб, 1997, с. 281-288.

нсурооа С.Е. Осесимметричная деформация тел вращения из несжимае-х и малосжимаемых материалов // Тезлсы докладов XXXII семинара "Ак-шъвые проблемы прочности", СПб, 12-14 нолб. 1996, с. 128. нсурова С.Е. Численная: реализация метода конечных элементов на призе осесимметричной задачи теории упругости в условиях несжимаемого сериала {[ Вестник Хакасского гос. уя-та, 1996.

В

Рис. 1. Модели конического резтюметаллического амортизатора

Рис. 2. Диаграммы "нагрузка—осадка" для оболочки вращения.

Рис. 3. Диаграмма "нагрузка—осадка" различных моделей конического амортизатора

Рис. 4. Деформированные конфигурации различных моделей амортизатора.

Рис. 5. Диаграмма "иагрута—осадка" тонкого дтастомерного слоя

ЛР № 040815 о г 22.05.97 г.

Подписано к печати 26.02.98 г. Усл.-печ.х 1,0. Тираж 100 т Заказ 226.

НИИ хпмнпСПбГУ. Отсчатапо в от деле опера птиоГтолщ-рафш! НИИ хпмииСПоГУ. 198904, Сашсг-Пегероург, Старше Петфгоф, Университетский пр.2.