Некоторые особенности моделей спинового стекла с отсутствием отражательной симметрии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

На правах рукописи

Грибова Надежда Виталиевна

* * > => ч.

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛЕЙ СПИНОВОГО СТЕКЛА С ОТСУТСТВИЕМ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ СИММЕТРИИ

Специальность 01 04 07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

•/■ I,

^ ; I ¡1 ^ ' ~

Троицк - 2005

Работа выполнена в Институте физики высоких давлений им Л Ф Верещагина Российской академии наук

Научный руководитель'

Доктор физико-математических наук Е Е. Тареева

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук профессор Е Г Максимов

Доктор физико-математических наук

профессор

Б И Садовников

Ведущая организация:

Математический институт им В А Стеклова Российской академии наук

Защита диссертации состоится 03 октября 2005 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 002 097 01 при Институте физики высоких давлений им Л Ф Верещагина РАН по адресу 142190, г. Троицк, Московская область.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института физики высоких давлений им. Л Ф Верещагина РАН

Автореферат разослан «.2?» Z^. f С / ¿3.2005 г.

хг

Ученый секретарь диссертационного совета

К.ф.-м.н м В. Магницкая

71Ш

Общая характеристика работы Актуальность темы

Спиновые стекла в последние тридцать лет являются источником идей и методик расчета, послуживших основой для теории "сложных систем", которая находит свор применение не только в физике аморфных материалов, но и в задачах оптимизации в вычислительной технике, а также в биологии, социологии, экономике и финансах. Поведение сложных систем не может быть реконструировано на основе анализа только одной из составляющих "компонент", здесь необходим подход, учитывающий коллективное поведение всей системы. Одной из характерных черт такой системы является существование большого числа устойчивых и метастабильных состояний, или, другими словами, большого числа ее возможных реализаций.

В последнее время снова возрос интерес к неизинговым спиновым стеклам с нарушенной отражательной симметрией, теорию которых связывают с теорией реальных структурных стекол. На сегодняшний день удовлетворительной микроскопической модели перехода жидкость-стекло не существует, несмотря на огромное количество данных реальных и компьютерных экспериментов, а также наличие ряда феноменологических теорий.

Когда говорят о связи теории спиновых стекол с теорией реальных структурных стекол, обычно подразумевают два аспекта. Во-первых, ожидается, что теория переходов в определенном классе спиновых стекол даст возможный сценарий стеклования в реальных многочастичных системах. Во-вторых, предпринимаются попытки создать модельную теорию перехода жидкость - стекло в системах частиц с центральным взаимодействием, используя методы теории спиновых стекол.

В действительности существует и третий аспект указанной связи: развиваются подходы, в которых переход в мультипольное стекло возникает как составная часть перехода жидкость - стекло. При этом в сценариях разных авторов физический смысл

упорядочивающихся переменных различен. Изучаемые в настоящей работе задачи могут быть полезны в связи с первым и третьим аспектами.

Как показали работы последних лет, экспериментально наблюдаемые характеристики релаксационных процессов в реальных стеклах достаточно хорошо описываются уравнениями теории взаимодействующих мод. Подобные уравнения получаются и при исследовании динамики спиновых стекол. Наиболее близким по сценарию к реальным стеклам является класс спиновых стекол с отсутствием отражательной симметрии, в которых "статический" переход (нарушение репличной симметрии - НРС) сопровождается скачком параметра порядка при температуре Тс, причем решение, возникающее в результате первого этапа НРС (1НРС), оказывается устойчивым, а полная схема Паризи не работает. Динамический переход в этих моделях происходит при температуре Т^ > Тс. В результате этого динамического перехода система оказывается "пойманной" в состоянии, менее энергетически выгодном, чем достигаемое в результате НРС, и остается в нем надолго. К таким моделям (являющимся как бы прототипом реального с текла) относятся, в частности, р-спиновая модель, ориентацион-ные стекла, модель Поттса с беспорядком и другие среднеполевые модели. Некоторые из этих моделей (особенно р-спиновая сферическая модель) были подробно исследованы уже в середине 90-х годов. Исследование других активно ведется и в настоящее время.

Среднеполевые модели, несмотря на свою простоту, играют большую роль в понимании механизмов, которые приводят к большому числу возможных реализаций системы, а также породили новые понятия, такие как нарушение репличной симметрии и ультраме-тричную структуру состояний.

Отметим, что в литературе, касающейся среднеполевых моделей, считается, что переход из парамагнитной фазы в фазу спинового стекла происходит по одному из двух сценариев. Первый сценарий описывается решением с бесконечным НРС, характеризующимся непрерывным параметром порядка, который появляется при переходе (здесь он равен нулю) и непрерывно возрастает

с понижением температуры. Самым известным примером такого поведения является модель Шеррингтона-Киркпатрика [1]. Во втором сценарии, например, в модели со случайной энергией, фаза спинового стекла характеризуется устойчивым решением с одним этапом НРС. В таких моделях отсутствует отражательная симметрия, а параметр порядка либо непрерывно возрастает от нуля, либо изменяется скачком. Примером 1НРС решения с непрерывным параметром порядка принято считать модель Поттса с тремя и четырьмя состояниями [2], а также сферическую р-спиновую модель в сильном магнитном поле [3]. Примерами 1НРС решения с параметром порядка, изменяющимся скачком, служит модель Поттса с пятью и более состояниями [2], сферическая р-спиновая модель в слабом магнитном поле [3] и др.

В данной работе мы будем исследовать модели с отсутствием отражательной симметрии, наиболее близкие к реальным стеклам.

Цель работы

Задачей диссертации является теоретическое исследование моделей с взаимодействием типа квадрупольного, как аксиальным, так и неаксиальным. При этом основное внимание обращено на следующие вопросы:

• Влияние отражательной симметрии на то, каким образом возникает реплико-симметричное решение в фазе спинового стекла.

• Разработка нового подхода к моделям Поттса с тремя и четырьмя состояниями, основанного на использовании операторов квадрупольного момента. Этот подход, с одной стороны, приводит к модели, эквивалентной модели Поттса, с другой стороны, позволяет более полно и точно исследовать эти модели.

• Построение решения с одним этапом НРС для моделей с различным квадрупольным взаимодействием и исследование устойчивости этих решений.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Сформулировано правило симметрии для характера появления стекольного порядка в среднеполевых моделях спинового стекла в случае симметричных реплик, связанное с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау.

• Рассмотрено поведение модели с аксиальным квадрупольным взаимодействием вблизи точки неустойчивости ее реплико-симметричного (РС) решения и показано, что вблизи этой точки существует более выгодное решение, соответствующее первому этапу нарушения реиличной симметрии. Существенно, что, несмотря на отсутствие отражательной симметрии, 1НРС решение ответвляется от РС решения непрерывным образом.

• Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя состояниями, опирающийся на изотропный случай ква-друпольной системы с неаксиальным взаимодействием. Впер-

< вые показано, что 1НРС решение перестает быть устойчивым при некоторой температуре и происходит фазовый переход. Тем самым подтверждена гипотеза Гросса, Кантсра, Сомпо-линского [2].

• Предложен новый подход для описания модели Поттса с четырьмя состояниями, в основу которого положено использование матриц, аналогичных матрицам квадрупольного момента.

• Впервые была предложена и решена новая точно решаемая модель - сферическая модель Поттса с тремя состояниями.

Практическая ценность работы

Исследуемые в диссертации модели спиновых стекол являются

прототипом реальных стекол, а описание переходов в них - прото-

типом перехода жидкость - стекло. Как уже отмечалось, последовательной теории перехода жидкость стекло в настоящее время не существует. Полученные в настоящей работе новые результаты могут быть использованы при построении такой теории. С другой стороны, целый ряд результатов получен в этой работе впервые и является также вкладом в теорию спиновых стекол.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Характер появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля связан с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау. Если в чистой системе переход к упорядоченной фазе является переходом второго рода (нет члена ф3), то в соответствующей неупорядоченной системе реплико-симметричный стекольный порядок появляется при определенной температуре как результат фазового перехода. Но если переход в чистой системе - первого рода (присутствует член ф3), то в неупорядоченной системе параметр порядка стекла существует при любой температуре и возрастает непрерывно при понижении температуры. В этом случае четкий фазовый переход не наблюдается.

2. В модели квадруиольного стекла с аксиальным взаимодействием, несмотря на отсутствие отражательной симметрии, 1НРС решение ответвляется от РС решения непрерывным образом.

3. Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя и четырьмя состояниями, опирающийся на изотропный случай квадрупольной системы с неаксиальным взаимодействием.

4. В модели с тремя состояниями при некоторой температуре, ниже перехода в стекло Поттса, происходит второй фазовый переход.

5. Предложена новая точно решаемая модель - сферическая модель Поттса с тремя состояниями. Показано, что введение - сферических условий восстанавливает отражательную симметрию.

Апробация работы

По материалам диссертации опубликованы 4 статьи в реферируемых журналах. Результаты работы докладывались на следующих международных и российских конференциях: Фазовые превращения при высоких давлениях (Черноголовка, 2000); XXXII Совещание по физике низких температур (Казань, 2000); The Fifth Liquid Matter Conference (Констанц, Германия, 2002); XXXIII Совещание по физике низких температур (Екатеринбург, 2003); International conference on magnetism (Рим, Италия, 2003); The Sixth Liquid Matter Conference (Утрехт, Голландия, 2005), на Школе молодых ученых (Туапсе, 1999, 2002, 2004), а также на семинарах Теорот-дела ИФВД РАН.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Общий объем составляет 98 страниц. Библиографический список содержит 88 наименований.

Основное содержание диссертации

ВоВведении обоснована актуальность темы, излагается научная новизна работы и приводится основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава представляет собой обзор литературы по теории спинового стекла. Из большого числа теоретических работ по спиновому стеклу в обзоре представлены лишь те из них, которые имеют непосредственное отношение к настоящей работе. В

первой части обзора дано определение спинового стекла, приведена фазовая диаграмма магнитного диэлектрика, в котором экспериментально наблюдалось состояние спинового стекла. Описаны характерные признаки магнитного фазового перехода в это состояние. Во второй части главы рассмотрена модель Шеррингтона-Киркпатрика [1] с бесконечным дальнодействием. На ее примере введены основные методы, используемые в данной работе: метод реплик, исследование устойчивости решения, нарушение реплич-ной симметрии. Отмечены трудности этой модели в случае симметричных реплик, такие как неустойчивость решения и при низких температурах отрицательное значение энтропии. В третьей части главы кратко рассмотрена р-спиновая модель стекла Изинга, как ее дискретный, так и сферический варианты.

Во второй главе обсуждается влияние отражательной симметрии на то, каким образом возникает реплико-симметричное решение. Рассмотрена система квадруполей с гамильтонианом:

Н = + + (1)

1 ф

где д = -2,У = - /у2), 3 = 1, Зх = 1,0, -1; З2 = 2 -

V2 = 2 + <5, <5У — УЯ — У> а '/ > 0 параметр регулировки.

Константы взаимодействия распределены по закону Гаусса:

-21

1Р

(2)

Для этой модели представлен гамильтониан Гинзбурга-Ландау в терминах флуктуационных полей ч>\\

-ЯЦ И(1 + V2) + - 1/3) + <р?(1 + г,2)2/4 + ...] (3) 1

Из этого выражения, видно, что поведение системы принципиально различается для случаев /у = 1/\/3 и ?/ ^ 1/л/3- Применяя

кТ/и

Рис. 1: 1) - 2) Параметры порядка т = \тп\, <7'/2, р в случае г] = 1/л/З при 1) /0 — 0> 2) = 1.5; 3) теплоемкость при а) Лй/] = 0 ; Ь) ^¡3 = \.Ь.

метод реплик и считая реплики симметричными, получаем выражение для свободной энергии:

1?(1 + г?)я + /<1га\пф} (4)

Здесь £ = ] — , /о =

ф = ехр(-21?1) + ехр(??1) [ехр(г?2) + ехр(-1?2)], 8

кт

Рис. 2: 1) - 2) Параметры порядка |ш|, д, д1/2, р в случае

г} — 0.5/\/3 при 1) = 0; 2) J(¡|J = 1-5; 3) теплоемкость при

а) Ъ/.] = 0 ; Ь) ^/З = 1.5; с) ]0/3 = 2.

01 А)+ 1)

02 = ?7л/3^2[2(1 + г,2) -(р + д)] + 77УЗ

А)

кТ)

+ гг^Д

Параметрами порядка являются "намагниченность" т ~ {{Я + V V )T)J, параметр стекла q ~ ({(Q+r}V){Q + Vv))т}J и вспомогательный параметру ~ {{(1 — т/2)(5 —2?/1связанный с алгеброй операторов. Для этих параметров из условия экстре-

мума свободной энергии получены следующие уравнения:

Рассмотрены случаи как регулярного, так и случайного взаимодействия. Для случайного взаимодействия получено высокотемпературное разложение параметров порядка и выражение для теплоемкости. На рис. 1, 2 представлено поведение параметров порядка и теплоемкости для различных значений г/ и различных отношений ./о/.7.

Сформулировано своего рода правило симметрии для характера появления стекольного порядка в среднеполевых моделях спинового стекла в случае симметричных реплик. Это правило связано с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау. Если в чистой системе переход к упорядоченной фазе является переходом второго рода (нет члена ф3), то в соответствующей неупорядоченной системе реплико-симметричный стекольный порядок появляется как результат фазового перехода. Но если переход в чистой системе - первого рода (присутствует член ф3), то в случайной системе параметр порядка стекла возрастает непрерывно при понижении температуры.

В третьей главе рассмотрена модель системы аксиальных ква-друполей со случайным взаимодействием. В начале главы коротко описаны экспериментальные работы по квадрупольному стеклу. Описан подход, предложенный Тареевой, Рыжовым и Лу-чинской [4] для такой модели, основанный на гамильтониане:

(6)

1

где С} = Ъ3\ — 2, 3 = 1,У2 = 1,0,-1, а константы связи распределены с вероятностью

Р(<7,;) = (^)-1ехр[-4/272].

Такая система характеризуется параметрами порядка та = {{Qa)т)J и ^ = {(ЯаЯ?)т)з.

3.0

я25

X

ч

к 2.0-|

О с

2 15 о.

| 1.0

я а

Я 0.5

0.0

ч ♦

|р V-

чг ч 1

\чге

ч ___

3.0 -2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

0.0

0.0 0.5 1.0 15 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

т

Рис. 3: Поведение параметров порядка жнрс = М, Р, Р + V и т в

ТкТ

= =у- для случая с первым этапом нарушения репличной симметрии и параметров порядка хрс = |х'| и дрс = р' для ренлико-симметричного случая.

В данной главе предложено развитие этого подхода. Поскольку реплико-симметричное решение [4] оказалось неустойчивым, то проведен первый этап нарушения репличной симметрии по стандартной схеме.

Получены выражения для свободной энергии и параметров порядка для первого этапа нарушения репличной симметрии:

р г2ж2 Ь2

= + — + - (-тир2 +(р + «)2(т - 1) + 4(р + V)) -

ИкТ

~Чп/с^Ф"1^), (9)

где р и р + V два возможных значения

у/2п

Ф = 2ев + в"2", г2

в = <2/^ + ¿г-уД +-(р + ь-2 + х).

Параметры х,р,у и т удовлетворяют уравнениям, выражающим условие экстремума функционала (9) по этим переменным (ш' = у

г , р/^Ф™-1®'

р + " = (И)

2

(12)

Фт

+ - р2) = (13)

Поведение параметров порядка представлено на рис. 3 в сравнении с параметрами для реплико-симметричного решения. Для параметров порядка при высоких температурах существует только разложение, совпадающее с реплико-симметричным.

Далее мы исследуем поведение 1НРС решения около точки ветвления Тс. Для этого свободная энергия разложена около реплико-симмстричного решения. Найдено значение температуры в точке ветвления Ье — Установлено! что в этой точке решение с 1НРС непрерывно ответвляется от РС решения, несмотря на отсутствие отражательной симметрии в этой модели. Далее показано, что

1НРС решение устойчиво в окрестности точки ветвления относительно дальнейшего нарушения симметрии.

В четвертой главе развит теоретический подход для описания стекла Поттса, опирающийся на изотропный случай квадру-польной системы с неаксиальным взаимодействием. В первой части главы представлено состояние дел в теории стекла Поттса на данный момент. Отмечено, что в литературе в целом считается, что для моделей с тремя и четырьмя состояниями 1НРС решение появляется в результате фазового перехода, непрерывно возрастает от нуля и является устойчивым до нуля температур. Однако существует гипотеза Гросса, Кантера и Сомнолинского [2], согласно которой предполагается наличие еще одной, более низкой критической температуры, при которой 1НРС становится неустойчивым и появляется новое решение, возможно, с бесконечным нарушением симметрии.

Т

Рис. 4: Параметры порядка V, т как функции Т= Щ-.

Для того чтобы разрешить эту проблему, во второй части главы предложен подход, основанный на матрицах квадрупольного момента. Построен гамильтониан для модели Поттса с тремя со-

Рис. 5: А„¡,1 и энтропия в зависимости от температуры (Т=

стояниям [5]:

(14)

где

Я = 3^-2, У = Л(/2-/2), Л = 1, Л = 1,0,-1;

<32 = 2-<д, у2 = 2 + д, С}У = УС} = У (15)

Константы связи распределены с вероятностями

= (^7)-1ехр[-(7у)2/272].

В силу алгебры операторов, гамильтониан эквивалентен стандартному представлению модели Поттса. Ранее модель с этим гамильтонианом исследовалась только для случая симметричных реплик, и решение оказалось неустойчивым. Поэтому в этой главе мы развили подход и продвинулись дальше. В рамках первого этапа нарушения репличной симметрии получены выражения для свободной энергии, параметров порядка и энтропии. Поведение параметров порядка представлено на рис. 4. Параметры порядка

разложены около точки НРС, найдено значение точки ветвления и получены малые решения. Исследована устойчивость 1НРС решения на всем интервале температур. Показано, что при некоторой температуре одно из собственных значений матрицы устойчивости Kepi становится отрицательным и, следовательно, 1НРС решение перестает быть устойчивым относительно дальнейшего нарушения симметрии. Тем самым подтверждается гипотеза Гросса, Канге-ра и Сомполинского [2]. При этом полученная температура выше температуры, при которой энтропия становится отрицательной (см. рис. 5), и наше решение не выходит из физической области.

В тре!ьей части главы предложен аналогичный подход к модели Поттса с четырьмя состояниями. Пос1роены матрицы аналогичные Q и V, но с использованием вращагельного момента J = 3/2. Одна матрица выбрана таким образом, чтобы она была пропорциональна Jz, другая пропорциональна 3J2 — J(J + 1), а третья матрица построена из соображения взаимной ортогональности. Для этой модели получены выражения для свободной энергии и параметров порядка для случаев PC и 1НРС. Из разложения параметров порядка для 1НРС найдена точка ветвления и показано, что параметр Паризи, характеризующий деление на группы в НРС, в ней достигает своего максимального значения, равного 1. Таким образом, эта модель является пограничной между моделями Поттса, где 1НРС решение ответвляется непрерывно от нуля и теми, где оно появляется скачком.

В пятой главе рассмотрена сферическая модель Поттса с тремя состояниями. Для этого использовано ее представление с помощью операторов квадрупольного момента (15) с гамильтонианом (14). Из алгебры матриц очевидно выражение Q2 + V2 = 4. Это соотношение является ключевым и позволяет ввести непрерывное "сферическое" обобщение для дискретной модели Поттса с тремя состояниями:

E(Qf + Vi2)=4N. (16)

г

Модель точно рстггегга с использованием свойств больших случайных матриц. Найдена критическая температура 4 t'2 — 1, для

средней свободной энергии получены соотношения (к = 1):

</(Г)>а„ = -Т-2^-2Т1п2, Т>ТС, (17)

</(Г)>в, = -47 + |+Г1п^, Т<ТС. (18)

Теплоемкость на узел равна 4£2 для Т > Тс, и 1 для Т <ТС. Энтропия при низких температурах отрицательна и логарифмически расходится при Т —> 0. Это нефизическое поведение является типичной проблемой сферических моделей. Вычислен параметр порядка стекла, соответствующий наибольшему собственному значению 27:

41 =<&2 >,32 =< V? > ■ Легко показать, что = <72 = Я и

-7 = 2- ТД

Далее к модели применяется реплико-симметричный подход и получаемое решение совпадает с точным, а поведение модели аналогично сферической модели ШК. В чистой модели без случайного взаимодействия наблюдается разрыв в теплоемкости при критической температуре. Тем самым продемонстрировано, что использование непрерывных переменных (со сферическими условиями) превращает фазовый переход первого рода в фазовый переход второго рода, восстанавливая, таким образом, отражательную симметрию.

В Заключении приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В Приложении приведены некоторые слагаемые из разложения свободной энергии около точки ветвления (к Главе 3).

Основные результаты и выводы

В данной работе рассмотрены модели с отсутствием отражательной симметрии, тот малоизученный подкласс таких систем, который характеризуется отсутствием скачка 1НРС решения. Эти

модели объединяет также и то, что они представлены с использованием операторов квадрупольного момента. Для некоторых моделей это дало возможность принципиально повысить точность их решения, чю в свою очередь разрешило многолетние сомнения. Отметим основные результаты, полученные в этой диссертации.

1. Сформулировано правило симметрии для характера появления стекольного порядка в среднеполепых моделях спинового стекла в случае симметричных реплик. Это правило связано с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау. Если в чистой системе переход к упорядоченной фазе является переходом второго рода (нет члена ф3), то в соответствующей неупорядоченной системе реплико-симметричиый стекольный порядок появляется при определенной температуре как результат фазовою перехода. Но если переход в чистой системе первого рода (присутствует член ф3), то в неупорядоченной системе параметр порядка стекла существует при любой температуре и возрастает непрерывно при понижении температуры. В этом случае четкий фазовый переход не наблюдается.

2. Рассмотрено поведение модели с аксиальным квадрупольным взаимодействием вблизи точки неустойчивости ее реплико-симметричного решения и показано, что вблизи этой точки существует энергетически более выгодное решение, соответствующее первому этапу нарушения репличной симметрии. Исследовано поведение параметров порядка с 1НРС. Доказано, что в окрестности точки ветвления новое решение является устойчивым относительно дальнейшего нарушения репличной симметрии. Это первая модель без внешнего ноля, в которой решение для параметра порядка с 1НРС непрерывно ответвляется от РС решения при отсутствии отражательной симметрии.

3. Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя состояниями, опирающийся на изотропный случай ква-

друполыюй системы с неаксиальным взаимодействием. Подробно исследовано решение с 1НРС для этой модели. Получены выражения для свободной энергии, параметров порядка и энтропии. Впервые показано, что решение перестает быть устойчивым при некоторой температуре, и тем самым подтверждена гипотеза Гросса, Кантера, Сомполинского [2]. Полученная температура оказалась выше температуры, при которой энтропия становится отрицательной, и, тем самым, решение остается в физической области.

4. Впервые предложен новый подход для описания модели Потт-са с четырьмя состояниями, в основу которого легли матрицы, аналогичные матрицам квадрупольного момента. Изучено поведение параметров порядка для PC и 1НРС случаев. При этом в точке ветвления параметр стекла q появляется непрерывно, а параметр т, отвечающий за разделение на группы при НРС, достигает своего максимального значения, равного I. Тем самым показано, что модель является пограничной между моделями, где параметр порядка стекла с 1НРС непрерывно растет от нуля и моделями, где он появляется скачком.

5. Впервые предложена и решена новая точно решаемая модель -сферическая модель Поттса с тремя состояниями. Решение, полученное с использованием свойств больших случайных матриц, совпало с реплико-симметричным решением для этой модели. Показано, что наличие сферического условия восстанавливает отражательную симметрию.

Публикации

1. Н.В. Грибова, Е.Е. Тареева, Нарушение репличной симметрии в аксиальной модели квадрупольного стекла. ТМФ 131 стр. 479 - 489 (2002)

2. N. V. Gribova, V. N. Ryzhov, Т. I. Schelkacheva, Е. Е. Tareyeva, Reflection symmetry in mean-field replica-symmetric spin glasses.

Physics Letters A 315, p. 467 - 474 (2003)

3. N.V. Gribova, V.N. Ryzhov, E.E. Tareyeva, Low-temperature phase transition in three-state Potts glass Phys. Rev. E 68, p. 067103-1 067103-4 (2003)

4. N.V. Gribova, V.N. Ryzhov, E.E. Tareyeva, New exactly solvable model: "spherical" Potts model, принято к печати в Physics Letters A, cond-mat/0404609

5. H.B. Грибова, E.E. Тареева, К теории фазы квадрупольного стекла в смешанных кристаллах о — р — Фазовые превращения при высоких давлениях, сборник тезисов, 13 - 15 июня, 2000, Черноголовка, 13/4

6. Н.В. Грибова, Е.Е. Тареева, Нарушение репличной симметрии в модели квадрупольного стекла. XXXII Совещание по физике низких температур, сборник тезисов, 3-6 октября, 2000, Казань, стр. 44

7. N.V. Gribova, E.E. Tareyeva, Replica symmetry breaking in guadrupole glass models. The Fifth Liquid Matter Conference. Abstract book, 14 -18 September, 2002, Konstantz, Germany, p. 221

8. H.B. Грибова, B.H. Рыжов, E.E. Тареева, Фаза стекла в модели Поттса. XXXIII Совещание по физике низких температур, сборник 1езисов, июня, 2003, Екатеринбург, стр. 228

9. N.V. Gribova, E.E. Tareyeva, Quadrupole glass m,odel and the role of reflection symmetry. International conference on magnetism, Abstract book, 27 July - 1 August, 2003, Rome, Italy, p. 210

10. N.V. Gribova, New approach to Potts spin glass models. The Sixth Liquid Matter Conference, Abstract book, 2-6 July, 2005, Utrecht, the Netherlands, p. 248

Литература

[1] D. Sherrington, and S. Kirkpatrick, Phys. Rev. Lett. 26, 1782 (1975)

[2] D.J. Gross, I. Kanter and H. Sompolinsky, Phys. Rev. Lett. 55, 305 (1985)

[3] A. Crisanti and H.J. Sommers, Z. Phys. В 87, 341 (1992)

[4] E.A.Lutchinskaia, V.N.Ryzhov and E.E.Tareyeva. J.Phys.C: Solid St. Phys. 17, L665 (1984)

[5] E.A. Лучинская, E.E. Тареева, ТМФ 70 477 (1987); ТМФ 87, 473 (1991); ТМФ 91, 157 (1992)

!

i

i

i

i

РНБ Русский фонд

2006-4 12186

Заказ № 1558 Подписано в печать 24 08 05 Тираж 100 экз Уел п ч 0,84

ООО "Цифровичок", тел (095) 797-75-76 \vw\v с(г ги ; е-тай т/о@с(г ги

Введение

1 Обзор литературы, посвященной спиновым стеклам. Модели, методы

1.1 Несколько общих слов.

1.2 Модель Шеррингтона Киркпатрика и основные методы, используемые в данной работе.

1.3 Модель изинговского стекла с р- спиновым взаимодействием. Дискретный и сферический случаи.

2 Отражательная симметрия в реплико-симметричных спиновых стеклах

3 Модель квадрупольного стекла

4 Модель стекла Поттса

4.1 Обзор литературы. Результаты, гипотезы, проблемы.

4.2 Новый подход к модели Поттса с р = 3.

4.3 Модель стекла Поттса с р = 4.

5 Сферическая модель Поттса с тремя состояниями. Точное решение 79 Заключение

Актуальность темы. Спиновые стекла в последние тридцать лет являются источником идей и методик расчета, ставших основой для теории "сложных систем", которая находит свое приложение не только в физике аморфных материалов, но и в задачах оптимизации в вычислительной технике, а также в биологии, социологии, экономике и финансах. Поведение таких систем не может быть реконструировано, опираясь на анализ только одной из составляющих "компонент", здесь необходим подход, включающий в себя коллективное поведение всей системы. Одной из характерных черт такой системы является существование большого числа устойчивых и метастабильных состояний, или, другими словами, большого числа ее возможных реализаций.

Модели в приближении среднего поля, несмотря на свою простоту, играют большую роль в понимании механизмов, которые приводят к такой сложной структуре, а также породили новые теории, такие как нарушение репличной симметрии и ультраме-тричную структуру состояний [1, 2].

В последнее время снова возрос интерес к неизинговым спиновым стеклам с нарушенной отражательной симметрией, теорию которых связывают с теорией реальных структурных стекол. На сегодняшний день удовлетворительной микроскопической модели перехода жидкость-стекло не существует, несмотря на огромное количество данных реальных и компьютерных экспериментов, а также ряд феноменологических теорий.

Когда говорят о связи теории спиновых стекол с теорией реальных структурных стекол, обычно подразумевают два аспекта. Во-первых, теория переходов в определенном классе спиновых стекол рассматривается как дающая возможный сценарий стеклования в реальных многочастичных системах (см., например, [3]-[5]). Во-вторых, существует ряд попыток создать модельную теорию перехода жидкость-стекло в системах частиц с центральным взаимодействием [6]-[8], используя методы теории спиновых стекол.

В действительности существует и третий аспект указанной связи: развиваются подходы, в которых переход в мультипольное стекло возникает как составная часть перехода жидкость-стекло [9, 10]; причем в сценариях разных авторов физический смысл упорядочивающихся переменных различен. Рассматриваемая в настоящей работе задача может быть полезна в связи с первым и третьим аспектами.

Как показали работы последних лет, экспериментально наблюдаемые характеристики релаксационных процессов в реальных стеклах достаточно хорошо описываются уравнениями теории взаимодействующих мод [11]. Подобные уравнения получаются и в результате исследования динамики спиновых стекол. Наиболее близким по сценарию к реальным стеклам (на что впервые было указано в работах [12]) является класс спиновых стекол с отсутствием отражательной симметрии, в которых "статический" переход (нарушение репличной симметрии - НРС) сопровождается скачком параметра порядка при температуре Тс, причем решение, возникающее в результате первого этапа НРС (1НРС), оказывается устойчивым, а полная схема Паризи не работает. Динамический переход в этих моделях происходит при температуре > Те. В результате этого динамического перехода система оказывается "пойманной" в состоянии, менее энергетически выгодном, чем достигаемое в результате НРС, и остается в нем надолго. К таким моделям (являющимся как бы прототипом реального стекла) относятся, в частности, р-спиновая модель, ориентационные стекла, модель Поттса с беспорядком и др. Некоторые из этих моделей (особенно /ьспиновая сферическая модель) были подробно исследованы уже в середине 90-х годов [3]. Исследование других активно ведется и в настоящее время [13]-[16].

Хотелось бы отметить, что в литературе, касающейся среднеполевых моделей, считается, что переход из парамагнитной фазы в фазу спинового стекла происходит по одному из двух сценариев. Первый сценарий описывается решением с бесконечным НРС, характеризующимся непрерывным параметром порядка [17], который появляется при переходе и непрерывно возрастает от нуля. Самым известным примером такого поведения является модель Шеррингтона-Киркпатрика. [18]. Во втором сценарии, первоначально предложенном Дерридой в модели со случайной энергией (Random Energy Model) [19], фаза спинового стекла характеризуется устойчивым решением с одним этапом НРС. В таких моделях отсутствует отражательная симметрия, а параметр порядка либо непрерывно возрастет от нуля, либо изменяется скачком. Примером 1НРС решения с непрерывным параметром порядка принято считать модель Поттса с тремя и четырьмя состояниями [20], а также сферическую р-спиновую модель в сильном магнитном поле [21]. Примерами 1НРС решения с параметром порядка, изменяющимся скачком, - модель Поттса с пятью и более состояниями

20], сферическую р-спиновую модель в слабом магнитном поле

21].

В данной работе мы будем исследовать модели с отсутствием отражательной симметрии, которые, как уже говорилось, наиболее близки к реальным стеклам.

Цель работы. Задачей диссертации является теоретическое исследование моделей с квадрупольным взаимодействием, как аксиальным, так и неаксиальным. Основной акцент делается на следующие аспекты:

• Влияние отражательной симметрии на то, каким образом возникает реплико-симметричное решение в фазе спинового стекла.

• Разработка нового подхода к моделям Поттса с тремя и четырьмя состояниями, используя операторы квадрупольного момента. Этот подход должен, с одной стороны, приводить к модели эквивалентной модели Поттса, с другой стороны, позволить более полно и точно исследовать эти модели.

• Построение решения с одним этапом НРС для моделей с различным квадрупольным взаимодействием и исследование устойчивости этих решений.

Практическая ценность и научная новизна работы. Исследуемые в диссертации модели спиновых стекол являются прототипом реальных стекол, описание переходов в них - прототипом перехода жидкость - стекло. Как уже отмечалось, последовательной теории перехода жидкость-стекло в настоящее время не существует. Полученные в настоящей работе новые результаты могут быть использованы при построении такой теории. Перечислим эти результаты.

• Сформулировано правило симметрии для характера появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля, связанное с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау.

• Рассмотрено поведение модели с аксиальным квадрупольным взаимодействием вблизи точки неустойчивости ее реплико-симметричного решения и показано, что вблизи этой точки существует более выгодное решение, соответствующее первому этапу нарушения репличной симметрии. Существенно, что несмотря на отсутствие отражательной симметрии, 1НРС решение ответвляется от PC решения непрерывным образом.

• Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя состояниями, опирающийся на изотропный случай ква-друпольной системы с неаксиальным взаимодействием. Впервые показано, что 1НРС решение перестает быть устойчивым при некоторой температуре, и тем самым подтверждена гипотеза Гросса, Кантера, Сомполинского [20].

• Предложен новый подход для описания модели Поттса с четырьмя состояниями, в основу которого легли матрицы аналогичные матрицам квадрупольного момента.

• Впервые была предложена и решена новая точно решаемая модель - сферическая модель Поттса с тремя состояниями.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем составляет 98 страниц.

Заключение

В данной работе рассмотрены модели с отсутствием отражательной симметрии, тот малоизученный подкласс этих систем, характеризующийся отсутствием скачка 1НРС решения. Эти модели объединяет также и то, что они представлены с использованием операторов квадрупольного момента. Для некоторых моделей это дало возможность принципиально повысить точность их решения, что в свою очередь дало возможность разрешить многолетние сомнения. Отметим основные результаты, полученные в этой диссертации.

1. Сформулировано правило симметрии для характера появления стекольного порядка для моделей спинового стекла в случае симметричных реплик в приближении среднего поля. Это правило связано с наличием или отсутствием кубических членов в разложении свободной энергии Гинзбурга-Ландау. Если в чистой системе переход к упорядоченной фазе является переходом второго рода (нет члена </>3), то в соответствующей неупорядоченной системе реплико-симметричное стекольный порядок появляется как результат фазового перехода. Но если переход в чистой системе - первого рода (присутствует член ф3), то в случайной системе параметр порядка стекла возрастает непрерывно при понижении температуры.

2. Рассмотрено поведение модели с аксиальным квадрупольным взаимодействием вблизи точки неустойчивости ее реплико-симметричного решения и показано, что вблизи этой точки существует более выгодное решение, соответствующее первому этапу нарушения репличной симметрии. Исследовано поведение параметров порядка с 1НРС. Доказано, что в окрестности точки ветвление новое решение является устойчивым относительно дальнейшего нарушения репличной симметрии. Это первая модель без внешнего поля, в которой параметр порядка с 1НРС непрерывно ответвляется от PC решения.

3. Развит теоретический подход для описания стекла Поттса с тремя состояниями, опирающийся на изотропный случай ква-друпольной системы с неаксиальным взаимодействием. Подробно исследовано решение с 1НРС для этой модели. Получены выражения для свободной энергии, параметров порядка и энтропии. Впервые показано, что решение перестает быть устойчивым при некоторой температуре, и тем самым подтверждена гипотеза Гросса, Кантера, Сомполинского [20]. Однако, полученная температура оказалась выше температуры, при которой энтропия становится отрицательной, и тем самым решение остается в физической области.

4. Впервые предложен новый подход для описания модели Поттса с четырьмя состояниями, в основу которого легли матрицы аналогичные матрицам квадрупольного момента. Изучено поведение параметров порядка для PC и 1НРС случаев. При этом, в точке ветвления параметр стекла q появляется непрерывно, а параметр ш, отвечающий за разделение на группы при НРС достигает своего максимального значения равного 1. Тем самым показано, что модель является пограничной между моделями, где параметр порядка стекла с 1НРС непрерывно растет от нуля и появляется скачком.

5. Впервые была предложена и решена новая точно решаемая модель - сферическая модель Поттса с тремя состояниями. Решение, полученное с использованием свойств больших случайных матриц, совпало с реплико-симметричным решением для этой модели. Показано, что наличие сферического условия восстанавливает отражательную симметрию.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.- м.н. Елене Евгеньевне Тареевой за предложенную тему, неоценимую помощь и руководство научной работой. Автор благодарит д.ф.-м.н. Валентина Николаевича Рыжова за многочисленные обсуждения и помощь в работе. Автор также благодарен к.ф.- м.н. Т.И. Щелкачевой и к.ф.- м.н. Н.М. Щелка-чеву за поддержку в работе и полезные замечания и коллективу теоретического отдела Института за благожелательное отношение при работе над диссертацией.

1. М. Mezard, G. Parisi and M. Virasoro, Spin Glass Theory and Beyond. (World Scientific, Sigapore, 1987)

2. K.H. Fischer and J.A. Hertz, Spin Glasse. (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1991)

3. J.-P.Bouchaud, L.F.Cugliandolo, J.Kurchan, M.Mezard. Spin glasses and random fields, ed. A.P.Young.(World Scientific, Singapore, 1998).

4. M.Mezard, cond-mat/0005173

5. A.Crisanti,F.Ritort, Physica A 280, 155,(2000).

6. M.Mezard, G.Parisi. J.Phys. A 29, 6515 (1996); Phys.Rev.Lett. 82, 747, (1999).

7. B.Coluzzi, G.Parisi, P.Verrocchio, J.Chem.Phys. 112, 2933 (2000)

8. G.Parisi, F.Slanina. Phys.Rev. E 62, 6554 (2000).

9. S.T.Chui, G.O.Williams, H.L.Frisch, Phys.Rev. В 26,171 (1982)

10. E.E. Тареева, B.H. Рыжов, ЭЧАЯ 31, 184 (2000)

11. W. Gotze, Liquid, freezing and glass transition, eds. J.P.Hansen, D.Levesque and J.Zinn-Justin. (Elsevier, New York, 1991).

12. T.R.Kirkpatrick and D.Thirumalai, Phys.Rev. В 36, 5388, (1987); ibid 37, 5342 (1988); T. R. Kirkpatrick and P. G. Wolynes, Phys. Rev. В 36, 8552 (1987)

13. G.Franzese, A.Coniglio, Phys.Rev. E 58, 2753 (1998); Phil.Mag. В 79, 1807 (1999)

14. J.M.de Araujo, F.A. da Costa, F.D. Nobre, Eur.Phys.J. В 14, 661 (2000)

15. J.M.de Araujo, F.A. da Costa, Eur.Phys.J. В 15, 313 (2000)

16. A. Crisanti, L. Leuzzi, Phys. Rev. Lett. 93, 217203, (2004)

17. G. Parisi, J. Phys. A 13, L115 (1980)

18. D. Sherrington and S. Kirkpatrick, Phys. Rev. Lett. 32, 1972 (1975); S. Kirkpatrick, D. Sherrington, Phys. Rev. B17, 4384 (1978)

19. B. Derrida, Phys. Rev. Lett. 45, 79 (1980)

20. D.J. Gross, I. Kanter and h. Sompolinsky, Phys. Rev. Lett. 55, 305 (1985).

21. A. Crisanti and H.J. Sommers, Z. Phys. В 87, 341, (1992)

22. H.B. Грибова, E.E. Тареева, ТМФ 131 852 (2002)

23. N. V. Gribova, V. N. Ryzhov, Т. I. Schelkacheva, E. E. Tareyeva, Physics Letters A 315 467 (2003)

24. N.V. Gribova, V.N. Ryzhov, E.E. Tareyeva, Phys. Rev. E 68 067103 (2003)

25. N.V. Gribova, V.N. Ryzhov, E.E. Tareyeva, принято к печати в Physics Letters A, cond-mat/0404609

26. V. Canella and J.A. Mydosh. Phys. Rev. B6, 4220 (1972)

27. H. Maletta and P. Convert. Phys. Rev. Lett. 42, 108 (1979)

28. U. T. Hochli, Phys. Rev. Lett 48, 1494 (1982)

29. S.F. Edwards and P.W. Anderson, J. Phys. F 5, 965 (1975)

30. J.R.L.Almeida, D.J.Thouless, J.Phys. A 11 983 (1978)

31. G. Parisi. Phys. Rev. Lett. 43 1754 (1979)

32. E.Gardner, Nucl. Phys. B257 FS14], 747 (1985)

33. V.M. de Oliveira, J.F. Fontanari, J. Phys. A 32, 2285 (1999)

34. Л.Д. Ландау и E.M. Лифшиц, Статистическая физика. Курс теоретической физики, Том 5, 3-е издание (Наука, Москва, 1976)

35. Е.Е. Тареева, Т.И. Щелкачева, ТМФ , 31, 510 (1977)

36. P.Goldbart, and D.Elderfield, J.Phys. С 18, L229 (1985)

37. M.Campellone, B.Coluzzi, and G.Parisi, Phys.Rev. В 58, 12081 (1998)

38. E.A.Lutchinskaia, V.N.Ryzhov, T.I.Schelkacheva and E.E.Tareyeva, in Proceedings of the 5th International Symposium on Selected Topics in Statistical Mechanics, edited by A.A.Logunov et al. (World Scientific, Singapore, 1990), p. 170

39. Y. Imry, M.Wortis, Phys. Rev. В 19, 3580 (1979)

40. P.N. Timonin, Phys. Rev. В 69, 092102 (2004)

41. M. Kastner, cond-mat/0412199

42. M.T. Mercaldo, J.-Ch. Angles d'Auriac, F. Igloi, cond -mat/0502035

43. N. S. Sullivan, С. M. Edwards and J. R. Brookeman, Mol. Cryst. Liq. Cryst. 139, 365 (1986)

44. E.A.Lutchinskaia, V.N.Ryzhov and E.E.Tareyeva, J.Phys. С 17, L665 (1984)

45. Е.А.Лучинская, В.Н.Рыжов, Е.Е.Тареева, ТМФ 67, 363 (1986)

46. E.A.Lutchinskaia and E.E.Tareyeva, Phys.Rev. В 52, 366 (1995)

47. Т.И. Щелкачева, Письма в ЖЭТФ, 76, 434 (2002).

48. Е.А. Лучинская, Е.Е. Тареева, ТМФ 90, 185 (1992)

49. T.I.Schelkacheva, E.E.Tareyeva, Phys.Rev.B, 61 3143 (2000); Е.Е. Тареева, Т.П. Щелкачева, ТМФ 121 1666 (1999)

50. Е.Е. Тареева, Т.И. Трапезина, ТМФ 26, 180 (1976); E.E.Tareyeva and T.I.Trapezina, Phys. Lett. 51, 114 (1975)

51. J.C.Raich and R.D.Etters, J.Phys.Chem.Solids 29, 1561 (1968).

52. B.Strieb, H.B.Callen, G.Horwitz, Phys.Rev. 130 1798 (1963)

53. В.Г. Вакс, Введение в микроскопическую теорию ферроэлек-тиков (Наука, Москва, 1973)

54. N.S.Sullivan, M.Devoret, B.P.Cowan and C.Urbina, Phys. Rev В 17, 5016 (1978)

55. F. Reif, E.M. Purcell, Phys. Rev. 91, 631 (1953)

56. I.F. Silvera, Rev. Mod. Phys. 52, 393 (1980)

57. J.C. Raich, R.D. Etters, Phys. Rev 155, 457 (1967)

58. Т.И. Трапезина, ТМФ, 29, 136 (1976)

59. В.А.Москаленко, М.И.Владимир, С.П.Кожухарь, Метод самосогласованного поля в теории стекольного состояния спиновых и квадрупольных систем. (Штиинца, Кишинев, 1990)

60. М.И.Владимир, С.П.Кожухарь, В.А.Москаленко, ТМФ 71, 471 (1987)

61. L.De Cesare, K.Lukerska-Walasek, I.Rubuffo and K.Walasek, Phys.Rev. В 45, 1041 (1992); K.Walasek and K.Lukerska-Walasek, Phys.Rev. В 49, 9960 (1994)

62. K.Walasek, Phys.Rev. В 46, 14480 (1992)

63. Т.К.Kopec. Phys.Rev. В 48, 3698 (1993); ibid 48, 15658 (1994); ibid 48, 16792 (1994)

64. K.Walasek. Phys.Rev. В 51, 9314 (1993).

65. М.М.Вайнберг, В.А.Треногин, Теория ветвления решений нелинейных уравнений. (Наука, Москва 1969)

66. N.S.Sullivan, C.M.Edwards, Y.Lin, D.Zhou, Proc. Int. Conf. on Quantum Fluids and Solids. (Banfi, Canada, 1986), p. 1

67. F. Wu, Rev.Mod.Phys. 54, 235 (1982).

68. E.A. Лучинская, E.E. Тареева, ТМФ 70 477 (1987)

69. E.A. Лучинская, E.E. Тареева, ТМФ 87, 473 (1991)

70. E.A. Лучинская, E.E. Тареева, ТМФ 91, 157 (1992)

71. E. A. Lutchinskaia and E. E. Tareyeva, Europhys. Lett. 17, 109 (1992); Phys. Lett. A 181, 331 (1993)

72. E.De Santis, G.Parisi, F.Ritort, J.Phys. A 28, 3025 (1995)

73. A. Erzan, E. J. S. Lage, J. Phys. С 16, L555, L873 (1983)

74. D. Elderfield, D. Sherrington, J. Phys. С 16, L497 (1983)

75. D. Elderfield, D. Sherrington, J. Phys. С 16, L971 (1983); ibidl6, L1169 (1983)

76. G. Cwilich and T. R. Kirkpatrick, J. Phys. A 22, 4971 (1989)

77. G. Cwilich, J. Phys. A 23, 5029 (1990)

78. A. Montanari, F. Ricci-Tersenghi. Eur. Phys. J В 33, 339 (2003)

79. J. Ashkin, E. Teller, Phys. Rev. 64, 178 (1943)

80. F. D. Nobre, D. Sherrington, Phys. A 26, 4539 (1993)

81. T.H.Berlin, H.Kac, Phys.Rev. 86, 821 (1952)

82. J.M.Kosterlitz, D.J.Thouless, and R.C.Jones, Phys.Rev.Lett. 36, 1217 (1976)

83. D.Elderfield, J.Phys. A 17 L517 (1984)

84. E. J. S. Lage and J.M.Nunes da Silva, J. Phys. С 18, L817 (1984)

85. Y.Y.Goldschmidt, Phys.Rev. В 31, 366 (1985)

86. К. Binder, J.D. Reger, Advances in Physics 41, 547 (1992)

87. M.L.Mehta, Random Matrices and the Statistical Theory of Energy Levels (Academic, New Yorh, 1967), p. 240

88. См., например, Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явления (Мир, Москва, 1973)