Некоторые применения методов А.О. Гельфонда в теории чисел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЗЕРСИТЕТ имени И.В.ЛСИСНССОЗА

Иеханияо-матеыатичоски* факультет

На правах рукописи

ПОПСЗ АНТСН СРЫЗИЧ

УДК 511

НЕКСТСГЬЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДОВ А.О.ШЬФОНДА В ТЕОРИИ ЧИСЕЛ

(01.01.06 - иатеыатическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-катеиатическшс наук

Москва 1991

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

¡¡аучнш; руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Н. И. Фельдман СТ!'Ш;альные оппоненты: доктор физико-математических наук С. В. Конягин,

кандидат физико-матештических наук А. А. Шмелёв

Ведущая организация: механико-математический факультет Саратовского государственного университета

Защита дъс-сегтации состоится " ^^ " I J992 г.

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета №2 по математике при Московском государственном университете /Д.053.05.05/ UO адресу: II9899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МПГ, механико-математический факультет, ауд. 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 эта*).

Автореферат разослан "

Ъч „ ¿Ut&Q-pfl 1992 г>

Учёный секретарь В. Н. Чубариков

специализированного Совета Д.053.05.05 при 1)ГУ доктор физико-математических наук

В М.

СЕШАЯ ' ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

т )

Актуальность теми. После доказательства Ш. Эрштом ''

?)

трансцендентности числа € и С. Линдеманом ' теоремы о линейной независимости над /К значен™ Функции е1 в различных алгебраических точках в теории чисел началось систематическое изучение арифметических свойств значений аналитических функций, удовлетворяющих тем или иным дифференциальным или функциональным уравнениям. Например, функция является решением дифференциального уравнения = у и функционального уравнения |(«-1 + 'Н3.)= К^О "

В начале нашего века внимание исследователей привлекли функции

п. : в и. =1

Они удовлетворяют функциональным уравнениям

Чакалов , построив для функции ^(2.) аппроксимации Па-дэ, доказал линейную независимость над мнимым квадратичным полем ][ чисел1;Та(<ц).....где а е , ,

1)

' Hermite C. Sur la fonction exponentielle. - C. R. Acad.

Sei., Paria, 1373, v.77, p.18-24, 74-79, 226-233, 285-293.

2) . " _

'Lindeman F. Uoer die Zshl "Jl . - Math. Ann., 1882, v. 20,

p.213-225.

3)

Tschakàloff L. Arithmetische Éigenschaften der -unendlichen Reihe & CC . - Math. Ann., 1921, v.80, p.62-

74, v.84, p.100-114.

..., cu e | , + о, 6 {o."^ х , i < к д i и ,кТ

^ t . Лотоцкий, используя первый метод Гельфонда, доказал ^ ,

что если О. ~> I, d € Q(C), d 00* 0, то Фа ООе

— S)

в (Qfi). Доказательство Лотоцкого опиралось на идеи работы ,

в которой было доказано, что отличная от полинода целая Функция, принимающая значения из IL в точках { а.*1 } н 6 ¡¡.j , где <Х е frj , О. > I, должна иметь достаточно большой рост.

В последние два десятилетия эти исследования были продолжен' t- работах Бундшу, Валлизера, Штиля. Бундау и Штиль ^ получяли ряд оценок снизу для расстояния между значениями функций ^ в точках некоторого мнимого квадратичного поля Т к числами этого же поля. Рассматриваемые в этих работах функции удовлетворяли функциональным уравнениям

^ К*) + QU) ,

где о.с , а, , а е. I , Q е I [z] , ia-i > i.

Позднее Щткль ^ получил оценки мер линейной, незавксимос-

^ Лотоцгай А. В. Сб иррациональности одного бесконечного произведения. - Мат. сб., 1943, т.12/54/, с.262-272. ^Гельфонд А. 0. О функциях, целочисленных в точках геометрической прогрессии. - Мат. сб., 1933, т.40, вып.1, с.42-47. ^Bundschuh Р. Ein Satz über ganze Funktionen und irrationalitätsaussogen. - Invent-. Math., 1970, v.9, p.175-184. ^ Stihl T. Irrationalitätsnasse für Werte der Lösungen einer Funktionalgleichung von Poincare. - Arch. Math., 1963, v.41,

P- 551-537. 8)

Stihl T. Arithmetische Eigenschaften spezieller Heinescher Reihen. - Kath. Ann., 1984, v.2b8, p.21-41. 2

ти над j[ для совокупности значений б точках поля j[ Функций, удовлетворявших уравнениям

где Q , Р € J U ] , ^ £ I , ! <V I < I, J - оператор: 7 ? (?) = f. 2) • Уравнениям такого вида при <J, = У«, удовлетворяют функции (i) и (2) .

Валлкзер и Штиль изучали также арифметические свойства последовательных производных целых функций, не являющихся многочленами и удовлетворяющих уравнениям

QOO ,

где Р , Q € 1 [?], Л. е| , (0.1 > I.

Шло доказано , что если С- £ 7L ~ , <¿€-1 , £ С,

■£ - max. (оу Ni+ZN-Z- [з/л/l) , Л/= deg Р-i ^

то среди чисел £(<>!,) , , •••. имеется не при-

надлежащее полю /I . Там же доказывалось, что если Р (г) = = <Х0 (jL , то при oi. ф а.<(Х, Z , можно поло-

жить -t = [5 (Ы - 1)/2]. Для случая Ы= I, & = б</, , ß^ € Хт- > был получен следущий результат . При

9) "

'Wallisssr R. Uoer die arithmetische Natur der Warte der Lösungen einer Funktionalgleichung von H. Poincare. - Acta Arithm. , 1973, v.25, P-81-92.

10) Stihl T., Wallisser Р.. Zur Irrationalität und linearen Unanbhängigkeit der Werte der Lösungen einer ?unktionalgle-ichung von Pcincare. - Jörn, für die reine und ang. Uath.. , 1993, v.34-1, p.98-110.

/К/ среди чисел I, |(ы) .....^"^("О имеется не менее

[6(1- )0 /2 ] линейно независимых над Т . / % = би. 1бе.! / / Ьл. I • В частности, если в- £ ^ÍJ , то ^ = 0./

Отметим, что в работах и аргументы функций,

и коэффициенты многочленов из функциональных уравнений, и приближающие числа в работах ^ лежали в одном мнимом квадратичном поле . Число Со или являлось элементом

у > или было в некотором смысле "близким" к целому. Его знаменатель был мал в сравнении с числителем. По-видимому, до появления работ автора не было известно никаких теорем об арифметической природе чисел Ч>о. («О или Тк («О < если оС и О, не лежат в одном мнимом квадратичном поле. Не было дачсе известно, существуют ли иррациональные числа вида Ф«. С «О, где * е ф ,-а = / ба , в1 Ж ,

/ При (8Х1 <16,1 /1, о1ФаСы)^0, иррациональность чисел 60 следует из результатов Бундау ./

результаты настоящей диссертации дают ответ на ряд подобных вопросов и усиливают оценки работ °'

Цель работы. Целью данной диссертации является исследование арифметических свойств значений функций, удовлетворяющие упомянутым выше и более общим функциональным уравнениям, при, вообще говоря, произвольных алгебраических значениях аргументов и коэффициентов многочленов из функциональных уравнений, а также получение точных оценок для роста функций, целочисленных в точках геометрической прогрессии.

Общая методика исследования. Доказательства теорем в диссертации проводятся хорошо известными в теории трансцендентных чисел первым и Еторым методами А. 0. Гельфонда. Автором предлояен ряд новых технических приёмов, как из области ана-4

лиза, так и из области теории чисел, используемых при применении этих методов. Это и позволило усилить ранее известные результаты.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются ноеы-ми. Доказаны теоремы об арифметических свойствах чисел Ч5«. (.<0 ^(«О/УаСр) 3 & / 41 , где и , Р и а могут

выбираться из произвольных алгебраических полей. Доказана теорема о линейной независимости значений последовательных производных целых функций, удовлетворяющих достаточно общим функциональным уравнениям. Доказана теорема о том, что "почти все" значения шроморфннх решений некоторых классов функциональных уравнений в алгебраических точках ограниченной степени не могут быть алгебраическими числами "достаточно малой" степени. Уточнён результат А. 0. Гельфонда ^' о росте целых функций, целочисленных в точках геометрической прогрессии.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении арифметических свойств значений некоторых классов целых и мероморфных функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по дисфзнтовым приближениям МГУ, на научно-исследовательском семинаре по теории чисел МГУ, на научно-исследовательском семинаре "теория аналитических функций и её приложения" г/ТГУ. Они рассказывались на заседаниях всесоюзной школы "Конструктивные метода и алгоритмы теории чисел" в 19с9 году в Минске.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [~1 - 5] , приведённых в конце автореферата. Среди них работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит ез списка обозначений, введения, четырёх глав и списка цитированной литературы. Обилий объём диссертации 133 страницы. Список литературы содержит 32 названия.

СОДЕРНАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении даётся краткий обзор исследований, связанных с содержанием работы, формулировки доказываемых в диссертации теорем к следствий из них.

В первой главе изучаются арифметические свойства функций

оо

410) = ПС^ а.еК,Ы>1,

Ь. = 1 '

Для й_ £ /X рассматривается величина М (сх) - функция галера от числа <Х . По определенна

, а

М (а) = А П ^

<1 = < ;

где с/ = а . ас<>= <х , а(г>.....аСс,> - сопря-

кённые числа <Х , Д - коэффициент при основного

многочлена числа СС .

Доказываются теоремы I - 3. В них предполагается, что

О. € /К > К. - некоторое алгебраическое поле, содержацее

число С1 , V = с1е<| СС .

Г I, если ЛI С2 (Ц ,

I Г/2, в противном случае;

Д = а Га, ВС) = ММ .

Теорема I. Цусть оС . ^ е 1К- * О- - <1 , - $ <

т . Тогда если 2 <6/5, то К,

и для любых £ £ К. выполнено неравенство

--и^м ^

где Zj = та*(з, L(&)) , а - некоторая постоянная,

зависящая лишь от d , £ и CL .

j

В теоремах 2 и 3 предполагается также, что ol е ¡fc , ы Ф т 0, ^ б -z •

Теорема 2- Если Я <7/4, то 1?й (<=0 £ ЙС к для любых IK, выполнено неравенство

_ 111—— - >7 I \

kw-sl >L м

)

где /j = от.о.У L(~V)) , а ^ = ^ (о.,а) - некоторая постоянная.

Теорема 3. Если 2 < 3/(2+3/тг*0 , то Si,

п для .тоэых ? 6 Щ выполнено неравенство

9

где ае = 3/(з - Л ( 2 + ЗЛТ2-)) , ¿л = Wbax(20, ¿, ( £,) , а = t3 («I, о.) - некоторая постоянная.

Если ¡К. - мнимое квадратичное поле, то неравенство теоремы 2 переходит в неравенство, доказанное Бунину . / Только у Букдчу вместо величины "j, ± (&«. L5Vi стоит произвольное £ > 0, а вместо услоЕяя L = огс.х (з? L ( &)) - условие

L = L(Z)> ¿„(£) •

Отметим, что оценка для приближений чисел («¿)/ получена автором, по-видимому, впервые.

В первой главе доказывается также

Предложение. Пусть ¡¡£ - произвольное алгебраическое поле конечной степени. Тогда содержит бесконечно много чисел <X , I О-1 > I, для которых Л (а, = I •

Приведённое предложение показывает, что теоремы 1-3 находят своё нетривиальное применение в любом алгебраическом поле. Отметим также, что если & ;ксло Пизо-Вщшаярагха-вана, ¡К = (Ц> (а) , то Л (.а , К ^ = I.

Цусть § (г) - отличная от рациональной мероыорфная функция, удовлетворяющая функциональному уравнению

к - <3

где гп<£ Й\1 , а € , 1<=о! >1, | к £ £\СО , т.

Арифметические свойства значений этих функций исследуется во второй главе, таким уравнение удовлетворяют все функции, изучавшиеся в работах 3' 6 ~ Во второй глазе доказывается теорема 4. Ради краткости сфорцулируем здесь несколько более слабое утверждение.

Пусть , 6 , Тогда существует не более конечного числа алгебраических чисел о(,, сС ^ степени не выше

V., , таких, что /<11 £ {о-п}„6 ^ при {: £ £ и все числа ^с^а"") , I г Б , 0-'К.<и.-1, также алгебраические и имеют степень не выше .

При V ^ = I получается утверждение об иррациональности одного из чисел ак) , а при У^ = 2 утверждение о

том, что одно из них не лежит ни в каком квадратичном поле.

Отметш, что арифметические свойства решений столь общих функциональных уравнений, по-видимому, ранее не изучались, а утверждения, подобные приведённому, не были известны даже для функций Фа ( г) .

В теореме 4 величина 5 из сформулированного выще утверждения эффективно оценена сверху.

Доказательство теоремы 4 проЕодится вторим методом А. 0. Гельфонда. Этот метод, насколько известно автору, для исследования арифметической природа значений решений рассматриваем« здесь функциональна уравнений до сих пор не применялся.

В третьей главе получены результаты о линейкой независимости значений целых функций и их производных, удовлетворяющих некоторым функциональны!,5 уравнениям. В связи с тем, что формулировка теоремы 5, доказываемой в главе 3, несколько громоздка, здесь будут приведены л:5шь три наиболее интересных, с точки зрения автора, следствия из неё.

3 г тех: следствиях будет предполагаться, что ][_ - некоторое мнимое квадратичное поле, или доле рациональных чисел, ¡К. - некоторое алгебраическое поле конечной степени, со-

дерлачее 1 , ^ =[К.-'1] . О- € К , |а|> I, «Iв

£ ¡К, , с1 * 0,

Г &а/,(с0/еп.1д.1 а е Т

Следствие I. Пусть Р , С? € Й£ [2] , ¿'з^ р> = )У I,

|(аь) = + QcO.

Тогда при любом S в ¿Ы среди чисел I, имеется более чем

(^-О^с-Ю)

линейно независимых над ]|_ .

Следствие I существенно сильнее результатов Баллнзера и Штшхя . Если в следствии I положить ¡ft. = J_ к N =

= I, то получается

Следстзяе 6. При át |\J среди чисел I, , |G0 •

¿''^(d.) имеется более чем S /^ju^l + 6ЛТ3-)) линейно незашсишх над jf .

При $ > 15 (ч этот результат сильнее теорема Ваишзера -Штиля, сформулированной Еыше на стр. 4. /Нетрудно проверить, что I - Я = I/JW- . /'

Следствие 8. Пусть ■№ £ üv , t¡0 . • • •. Ci-i € К ,

Х-Вк = ' , %(t)= Г-

к =0 ' К = о '

Ü £í( i и при всех Л £ {N % ) ф и. Пусть тайже

ос.

f"00= 1+ иГ/п хс<хг)

Тогда среди чисел -ГО) , -F (d. о.14"^ ткется не ме-

нее [(m-- i) /n> 1 линейно независимых над jl_ .

При К J_ этот результат такхе не был ранее и?весте:;. В четвёртой главе уточняется результат А. 0. Гельфонда

Им для а е N , О-> I» бьиш доказаны два утверждения.

1) все целые функции ^ , удовлетворяющие условиям

А. если п. е N , то ^ (аЛ) 6 Ж

Б. если 2 р 0, то

^ €(|г|) = О

11 ] ^ ста

являются многочленами;

2) существует цел&ч функция Ч5 . не являсцатая многочленом, такая, что (р(Та-и') 6 Ж при всех п. 6 /К/ и

Приведённая теорема является довольно точной, но всё же между оценками роста для ^(г) и. ФСй) имеется некоторый зазор. Автором получены следующие результаты.

Пусть ¡! - некоторое мнимое квадратичное поле, & € ,

|а|>1,

СО _ л

и-г1

КГ 1

зг = ¿гса) = П 0 ~ а" ^

Здесь {х} обозначает дробную часть действительного числа X .

Теорема е. Цусть О-в Ж- . I, а о - такая целая

1

функция, что при любом пе N • Пусть также су-

ществуют > 0 и последовательность Я. -д такие, что при всех 'О £ ¡¡4 ' ^ > ' выполнены неравенства

1й| < < 10.1 ~

Тогда ^ - многочлен.

Теорема V. г#с?ъ а. е • Тогда существует

целэя функция Н5 , не являшаяся многочленом и обладающая следукщгми свойствами:

1) при любом пе N справедливо включение Ф(ап) 6 ~Ц ,

2) для лкЗого 6 •> 0 при С О

1тгах 11?(г) | * (и-СЮ + Я ^ ехр(£ а/ч е* |а |) . иий

2УБЯ11КАЩ»' ПО ТЕ?® ДИССЕРТАЦИИ

1. Попов А. Е). Арифметические свойства значений некоторых бесконечных произведении. // Диофаятовы приближения, ч.2,

Москва. Изд-во Моск. ун-та, 1586, с. 63 - 78.

2. Попов А. Ю. О функциях, целочисленных в точках геометрической прогрессии. // Матем. замзтки, 1889, т. 46, $ 3, с. 68 - 73.

3. Попов А. Ю. О решениях некоторых функциональных уравне-12