О степени трансцендентности некоторых полей, порожденных значением эллиптической функции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московский государственный университет _имени м.в.ломоносова_

Механико-математический факультет

На правах рукописи ШЕСТАКОВ Сергей Олегович

уда 511

О СТЕПЕНИ ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТИ НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЙ, П0Р01ДЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОИ ФУНКЦИИ.

01.01.06 - теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 1991

Работа выполнена на кафедре теории чисел механико-математического факультета Московского государственного университета им." Ы.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, доцент

Ю.В.Нестеренко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, доцент

кандидат физико-математических наук, доцент Я.М.Холявка.

Ведущая организация - Институт математики Академии Наук Беларуси.

Защита диссертации состоится \QuMWS- 1992 г- в 16-00 на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при Московском государственном . университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-03.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж). • Автореферат разослан {Ц МйА 1992 г.

Ученый секретарь - специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук

В.Н.ЧуОариков

•ттЗ

л

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность теш. Одним из направлений исследдований в теории трансцендентных чисел является оценка степени трансцендентности полей, порожденных значениями аналитических функций. Наиболее исследована в этом отношении показательная функция. Первый результат в этой области был получен в 1882 году Ф.Линдеманом: он доказал [1J, что если а/0, то-deg tr ®(а,еаШ. В 1934 году А.О. Гельфонд [2] и Т.Шнайдер [31 независимо друг от друга решили седьмую проблему Гильберта, доказав, что если р и р., линейно не-

р 7 р 7 й

зависимы, 7«с, j?0, то deg tr«o(p1,p2,e ,е 2 .

Пусть а.....а и |3,,...,р - два набора комплексных чисел,

1 р 1 qa,P1 а р линейно независтих над с, а_=©(е ,...,е р q). В 70-е годы Д.

БроуНвелл 141, М.Вальдшмидт 151, Г.В.Чудновский [б] и другие получил;: ряд последовательно улучшавшихся оценок степени трансцендентности полей о., il (а,,...'.а ) и а. (а,,... ,ар,Р1,... ,Pq). Наиболее сильные на сегодняшний день оценки получены Г.Диасом 17),[8],

1 .LIndemann P. Uber die Zahl %. Math.Ann. 20 (1882)

213 - 225.

2.Гельфонд А.О. О седьлой проблеле Д.Гильберта. ДАН СССР 2(1934) 1- 6.

3.Schneider T. Transzendenzuntersuchmgen pertodlscher Functlonen.I. J.reine angew.Math. 172(1934) 65 - 69.

4.Brownawell D. Gelfond'3 method for algebralc indépendance. Trans. Amer. Math. Soc. 210(1975) 1 - 26.

5.Waldschraldt M. Indépendance algebrlaue par la methode de G.V Choodnovsky. Scmln. Delange-Plsot-Poltou 1974/75 J6G8.

б.Чудновский Г.В. Алгебраическая независилостъ нескольких значений показательной функции. Мат. заметки 15(1974) 661-572.

ï.Diaz G. Grande degres de transcendance pour des familles d'exponentielles. C.n.Acad.Scl. Paris 305(1987) ser I 159-162.

8.Dlas G. Grands degree de transcendance pour des familles d'e.vponetiL 1е11ез. J.Number Tlieory 31(1939) 1-23.

Ю.В.Нестеренко [91 и П.Филицпоном [101 путем привлечения в теорию трансцендентных чисел методов общей теории исключения и коммутативной алгебры. Они показали, что если числа с^.р^ удовлетворяют некоторым естественным арифметическим условиям,' то справедливы оценки "

deg tr a. i Cpq/(p+q)];

deg tr а. (а1.....ар). » [(pq+p)/(p+q)];

deg tr а.(а,.....ap,pi,...,pq) > pq/(p+q).

В частности, из второго утверждения следует, что для алгебраических чисел аир, deg p-=cD2, имеет место неравенство

deg tr ©(аР.аР.....а^ ) » [^1].

a для кубической иррациональности р числа а^ и а^ алгебраически независимы (Гельфонд [11], 1948 г.).

Пусть теперь ¡p(z) - эллиптическая функция Вейерштрасса с алгебраическими инвариантами gg и g3, решеткой периодов Cl и кольцом . эндоморфизмов Л. В 1937 году Т.Шнайдер [12] доказал эллиптические аналоги теоремы Линдемана и седьмой проблемы Гильберта.

Пусть a1t...,a и pt.....р - двз набора комплексных чисел,

линейно независимых над z и над л соответственно. Обозначим через поле, порожденное над о всеми числами чча^), 1Шр, U&q, для которых c^Pjgfl. Положим (а,.....ар), кз=к1Ф1.....Pq)>

Э.Нестеренко Ю.В. О степени трансцендентности некоторых полей, порожденных вначенияли экспоненциальной функции. Мат. заметки 46(1989) /63 40 - 49.

10.Ptilllppon P. Crlteres pour l ' Indépendance algébrique. Publ.Math.IHES 64(1986) 5-52.

11.Гельфонд A.O. Об алгебраической независимости алгебраических степеней, алгебраических чисел. ДАН СССР 64(1949)277-280.

12.Schneider Т. Arithmetiscfie Untersuchungen elliptischer Integra le. Nath.Ann. 113(1937) 1-13.

к^к^а,.....cip.p,.....pq), x1=pq/(p+2q), T2=(pq+p)/(p+2q), t3=

=(pq+2q)/(p+2q), тд=(pq+p+2q)/(p+2q).

Ряд авторов (Д.Массер, Г.Вюстхольц [131,[14], М.Вальдшмидт [153, Д.Броунвелл [163, Р.Таббс [173) получили оценки степени трансцендентности полей о< 1Ш4. Наилучший доказанный результат deg tr к т±-1, 1Ш4.

Лля теории трансцендентных чисел представляют также гатерес оценки мери алгебраической независимости чисел в^.,.,8 , то есть оценки сш1зу значения многочлена в точке <Q1.....в ) в зависимости от степени многочлена и величины его коэффициентов. Так, в 1950 г. А.О.Гельфонд и Н.И.Фельдман [183 впервые получили оценку меры алгебраической независимости чисел cJ3 и cJ3 для алгебраического а и кубической иррациональности р. Впоследствии эта оценка улучшалась (Г.В.Чудновский [193, Д.Броунвелл [203). Наилучший на

13.Masser D., Wusthols G. Fields of large transcendence degree generated by values of elliptic functions. Invent.Math. 72(1983) 407 - 463.

U.Masser D., Wustliolz G. Algebraic independence of

values of elliptic functions. Math.Ann.'276(1986) 1 - 17.

15.Waldschmldt M. Algebraic independence of values of exponential and elliptic functions. J.Indian Math.Soc. 48(1984) 215 - 228.

16.Brovmavvell D. Large transcendence degree revisited.I. Lecture Notes In Math. 1290(1987) 159 -174.

17.Brownawell D., Tubbs R. Large transcendence degree revisited.il. Lecture Notes In Math. 1290(1987) 175 -188.'

18.Гельфонд A.0..Фельдман Н.И. О лере взаилной трансценден тности. некоторых чисел. Изв. АН СССР сер.мат, 14(1950)493-500.

19.Чудновский Г.В. Мера взаилной трансцендентности для некоторых ¡пассов чисел. ДАН СССР 218(1974) 771 - 774.

20.Brownawell D. On the Gelfond-Feldsnan measure of

algebraic independence. Сотр. Math. 38(1979) 355 - 368.

сегодняшний день результат доказан в 1987 г. Г.Диасом ГП: 1п1Р(аР,аР )1 > -exp(cTD).

Цель работы. Получить для эллиптической функции Вейерштрасса ряд результатов, подобных доказанным для показательной функции, а именно :

1.Оценить'степень трансцендентности полей, порожденных над <а числами ^(c^Pj) и, возможно, а± и /3^, 1Шр, Hjsq.

2.0цеш1ть мору алгебраической независимости чисел ¡р(и|3) и •4>(ар2), если р(и) - алгебраическое число, а (3 - кубическая иррациональность.

> Методика исследований. Используется метод Гельфонда-Шнайдера с применением теории исключения, разработанной Ю.В.Нестеренко для решения задач теории трансцендентных чисел, и оценок кратностей нулей многочленов на алгебраических группах ■ (Д.Филиппон).

Научная новизна и практическая ценность.Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Они носят теоретический характер и могут быть применены в различных областях теории чисел.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинарах,по теории чисел и опубликованы в работах автора И ],[2J,[3J.

' Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 40 наименований. Общий объем работы — 101 страница машинописного текста.

СОДЕРХСЛНИЕ РАБОТЫ.

Во введении описывается история вопроса и дается обзор результатов, получешшх предшественниками диссертанта. Здесь se формулируются основные результаты диссертации и кратко излагаются

основные идеи доказательств.

Первая глава диссертации посвящена оценкам степени трансцендентности полей, порожденных значениями эллиптической функции Бейерштрасса Ч>(2). Пусть П - решетка периодов функции 4>(а), Л -кольцо ее эндоморфизмов, а1Р...,а и р1.....Р^ - два набора комплексных чисел, линейно независимых над 2 и над Л соответственно. Обозначим через к1 поле, порожденное над о всеми числами ¡РСа^), 1Шр, для которих «еП. Положим к2=к1 (а^,... ,ар),

»-З^!^!.....«г^01,..........Рч). ' Т1=РЧ/(Р+2Ч)»

^:2=(pq^■p)■/(p+2q), т3=(pq+2q)/(p+2q), гd=(pq+p+2q)/(p+2q).

Основным результатом главы 1 диссертации является

ТТ»ПГ)Т7ИД «

1Л1|Л I .

Пусть а1.....ар и Р1.....Рч тахови, что для некоторых

положительных чисел е1, ег, с0= с0(а1.....ар,р1Р...,р , О.з^е^

и для любых 1с- = (к1 , . . . ,к ) -е 2Р, 1= (11.....1 )е е Л4 СЦСЛО-

вияли 11с1-тах1к11>0, |Ц=тах11^1>0 выполняются неравенства

1п1к,а, + .. .+к а I > -с_1КГ1,

11 р Р о ^ ( 1 )

1Ш11р, + ...+1 0 I > -С-III 2. 1Г1 о

Если. е1 и е2 не очень велики, то

1) при т:,) 3 справедливо неравенство йез 1;г к ^ [т13;

2) при. 1 справедливо неравенство гг к2 ]; 3; при, ту 3 справедливо неравенство с^ кз > [т3 ]; 4; при, 1 справедливо неравенство с1ез 1г к^ > .

Если сравнивать теорему | с результатами Вальдшмидта [15] и Броунвелла [161,117], то во всех случаях условия теоремы 1 более слабые, а утверждения 1 - 3 заменяют оценку а^-1 на Ст±3, -что в случае целого т на единицу лучше. Кроме того, в работах С15], [16],[17] аналитическую основу доказательства составили конструк-

цш с использованием функций многих комплексных переменных. В диссертации же используются функции от одной переменной, что существенно упрощает рассуждения.

Из теоремы 1 в качестве следствия может быть получена Теорема 2.

Пусть А / г и числа а,,...,ат и р1,...,рп таковы, что для некоторых не слишком больших Е,,ег и положительной константы

с и для любых k,.....km,l(,... ,1пе Л с условиями max 1^1 > О,

maxIIjI > 0 выполняются неравенства (1 ). Тогда:

1) если ffiSn > 3- то deS tr "V

2) если Щ > 1, то deg tr «г>

3) если > 1 .то deg tr о^ ПНШр - 1.

Из теоремы 1 имеется еще одно

Следствие.

Пусть р - алгебраическое над Л число степени d u v * 0. Обозначил через к поле, порожденное над о всели числали 0 $ С J S d-1, для которых (3Jv е П. Тогда:

1) если Л = z и d j 3, то deg tr (Ю -

Z) если Л t 2 и d ) 2, то deg tr к > С^-г-].

Основные идеи доказательства теоремы 1 совпадают с идеями, примененной в работе Нестеренко С5 J при доказательстве аналогичного утверждения для экспоненциальной функции.

Выбирается натуральное число m и Еектор ыест+1, такой что его координаты й числа, порождающие соответствующее поле к , алгебраически выражаются друг через друга. Для любого однородного несмешанного идеала I кольца z[X!!=zfx0,... ,х ] можно определить величины t(I) и И(ш)1, аналогичные типу многочлена от ш+1 переменной и его значению в точке ш (точное определение см.' [9] или

текст диссертации). Основу доказательства теоремы 1 составляет Теорема 4.

Для любого целого г, 0*г<г, существует положительная константа \ , такая что если I - однородный несмешанный идеал кольца 2[X], 11(1)=пн-1-г, то

1п11(ш)1 ) -X К1)'1/(х~:г).

г

Доказательство теоремы 4 проводится индукцией по г. При г=0 утверждение очевидно. Для г>1 осуществляется переход от произвольного однородного несмешанного идеала к однородному простому идеалу р той же размерности. Предполагается, что значение идеала р в точке й мало. С помощью аналитической конструкции удается построить много полиномов специального вида, лежащих в идеале р.

Факторизуя кольцо гш по идеалу р и переходя к полю частных факторкольца, находим» что образы полиномов, построенных с использованием вспомогательной функции, с одной стороны, равны нулю, а с другой стороны, являются значениями производных некоторого многочлена в точках алгебраической группы (произведения эллиптических кривых). Таким образом, получен многочлен невысокой степени, имеющий много нулей высокого порядка на алгебраической группе. Применяя теорему Филиппом, находим алгебраическую подгруппу, заданную полиномами невысокой степени и содержащую много нулей этого многочлена. Используя лемму о строении алгебраических подгрупп произведения эллиптических кривых и возвращаясь к кольцу 2Ш с учетом свойств идеала р, получаем противоречие с неравенствами (1), что и завершает доказательство теоремы 4.

Для вывода теоремы 1 из теоремы 4 предполагается, что степень трансцендентности рассматриваемого поля меньше, чем утверждается. Тогда множестьо нулей идеала, порожденного однородными

многочленами, обращающимися в ноль в точке й, имеет небольшую размерность. Это позволяет применить теорему 4 и показать, что если однородный многочлен Р, тип которого невелик, не лежит.в этом идеале, то его значение в точке ш не слишком мало. Дальнейшее доказательство теоремы 1 повторяет с некоторыми упрощениями индуктивный переход теоремы 4.

Оценкой меры алгебраической независимости комплексных чисел 7),...,7п называется такая функция Ф(х,у), что для любого отличного от тождественного нуля•многочлена Р кольца гсх ,...,х ] выполняется неравенство IP(j1,... ) l>0(degV,H(P)). Глава 2 диссертации посвящена количественным результатам - оценке мери алгебраической независимости некоторых чисел, связанных с эллиптической функцией.

основным результатом главы 2 является Теорема 3.

Пусль P(z) - эллиптическая функция Бейертрасса с комплексны л умножением, v € 0\0 или (3 алгебраическое число степени 3. Тогда существует константа с=с(ч,$,П), такая что если Р * s[x,y], Р / О, deg Р = D0, Н(Р) = Н0, TQ= DQ+ In HQ, то lnip(!p(pv),!p(p2v))l > -exp(cD0T0).

Ранее оценок меры алгебраической независимости чисел :p(pv) и Ф(Р2у) получено не было.

Доказательство теоремы 3 сходно с доказательством утверждения 2 теоремы I. Оно также проводится индукцией по размерности множества нулей идеала I и использует те же методы и технические приемы. Отличия связаны с тем, что рассматривается конкретный случай. Шагов индукции делается только два. Выбор всех чисел ах алгебраи-

ческими позволяет на первом шаге получить, более сильную оценку значения идеала с одномерным множеством нулей чем та, что следует из теоремы 4 (это связано с некоторыми изменениями конструкции вспомогательной функции). Использование этой усиленной оценки на втором шаге индукции приводит к нетривиальной оценке значения идеала с двумерным множеством нулей, откуда непосредственно следует утверждение теоремы 3..

Автор глубоко признателен своему научному руководителю Ю.В.Нестеренко за постановку задач и оказанную помощь во время работы.

' РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 .Шестаков- С.О. О степени трансцендентности некоторых

полей,, порожденных значения*и эллиптической функции. Вестник Моск. Ун-та, сер.1, 1991 J63 30 - 36.

2.Шестаков С.О. О хере алгебраической независимости некоторых чисел. Вестник Моск. Ун-та, сер.1, 1992 №2 8-12.

3.Шестаков С.О. О степени трансцендентности некоторых полей, порожденных значениями эллиптической функции. Деп. ВИНИТИ, 1992 г., 64 стр.