Арифметические свойства периодов абелевых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

а

Сп;

! чц-

МОСКОВСКИ Г0СУДАРСТВШ1Ш УНИВЕРСИТЕТ т. 1/..В.Л0К0И0С0ВА

ИШШО - ШИ/АТКЧЕСШ ФАКУЛЬТЕТ

Нз правах руког УДК 511.

ВАСИЛЬЕВ КИРШ ГЕННАДЬЕВИЧ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЕРИОДОВ АбЕЛЕВЫХ ФУНКЦИИ

01.01.06 - катеиэтическая логика, алгебрэ и теория чисел

АЕТорефзрзт диссертации на соискание ученой степени кандидата фигикс-катекатических наук

Москва.1996

1бота выполнена на кафедре теории чисел механико -матического факультета Московского государственного ерситета им. М.В.Ломоносова.

|учлый руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Ю.В.Нестеренко.

гадальные оппоненты - доктор физико - математических

наук, профессор В.X.Салютов, кандидат физико - математических наук, А.Я.Янченко.

дутая организация -

институт математики АН Беларуси

пита диссертации состоится /Гасе^ЛсУ /99?Р ч 05мин на заседании диссертационного совета Д. 053.05.05 Московском государственном университете М.В.Ломоносова по адресу ; 119899, ГСП, Москва, Ворбьевы МГУ, механико - математический факультет, гория 14-08.

диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-яатического факультета МГУ ( Главное здание, 14 этаж ). дареферат разослан // еЛЛ-Ю^о^Ь--с^р /99?.?

$ секретарь зртационного совета 3.05.05 при МГУ

эр физико - математических наук,

зссор В.Н.Чубариков

Общая характеристика работы.

Актуальность теш.

Аналитический метод, разрэботзнный А.О.Гельфэю Т.Ынейдером в теории трансцендентных чисел был применен к изучению чисел, связанных с абелевнми <3 Т.Инейдером. В работе г11» в частности, доказано, что среди квазипериодов, связанных с алгебраически определенны] збелеЕю; функций, найдется по крайней мере трансцендентный.

Кзк хсреыс известно, абелевы функции одной г яеляются эллиптическими фушадаки. Арифметические периодов и квазипериодов эллиптических функций изучалис. работы f Г1, так, Т.Ынейдер в работе [2] доказал, периода и КЕазипериоды, связанные с алге определенной эллиптической функцией,

трансцендентным.

Д.В.Массер в работах гЗ],г4] доказал ряд теорем трансцендентности квэзипериодов, соотве

неспециэльннм периодам абелевых функций двух кс переменных.

[I] Schneider Т. Zur Theorie der Abelschen Funktion und Integrale. J. Reine und Angew. Math. 183, 1 1941. p.110-128. f2] Schneider T. Transzendenzuntersuchungen period Funktionen 1Г. Transzendenzeigenschaften ellipt Funktionen. J. Reine und Angew. Math. 172, 1934, [3] Masser D.W. On the periods of abelian functions two variables. Mathematika. Vol.22. part.2 1975.

тросы алгебраической независимости периодов эллиптических ций впервые рассматривались Г.В.Чудновскш в 1975 г. Б те [5] он анонсировал ряд результатов о существовании по ней мере двух алгебраически независимых чисел среди горах наборов, включающих периода эллиптической функции, шериоды и значения показательной функции. М.Вальдавдт в ге [6] опубликовзл доказательства некоторых результатов, ¡ированных в [5].

просы алгебраической независимости квазипериодов, шных с абелеЕыми функциями многих комплексных переменных пс пор оставались неисследованными.

яь работы - доказать существование •двух алгебраически исимых квазипериодов, получить соответствующие

¡ественные результаты и вывести следствия об ¡рзической независимости значений бета и гамма функций »а в рационалыш точках.

Masser D.W. The transcendence of certain quasi-periods associated with abeiian functions in two variables. Compositio mathematica. Vol 35, Fask 3. 1977. p.239-258.

Чудновский Г.В. Алгебраическая независимость постоянных, связанных с экспоненциальной и эллиптической функциями. Доклада АН Укр. ССР, сер. А, 1976, J68, С.697-700.

Waldschmidt М. Les travaux de G. V.Cudnovskis s»i les nombres transcendants. Lecture notes in mathematics. Vol.567, 1976. p.274-292.

Нестеренко Ю.В. Об алгебраической независимости алгебраичес сих степеней алгебраических чисел. Мат.сб. 1984 Т.123 (165) №4

Метода исследования. В диссертации применен знали метод Гельфонда - Шнейдера для абелевых и квазипериод функций. Количественные оценки получены с при элементов коммутативной алгебры и общей теории исключег колец многочленов с целыми коэффициентами.

Научная новизна. Работа носит теоретический х Основные ее результаты являются новыми. Ре диссертации могут быть полезны специалистам Мое государственного университета им. Н.В.Ломоносова, и математики Alt Беларуси.

Апробация работы. Основные результаты дис докладывались на 111 международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" (Тула,19Э€ семинаре по диофантовым приближениям и на нау исследовательском семинаре кафедры теории чисел меха] математического факультета МГУ.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в рзботзх, перечисленных в конце реферата.

Структура и обьец работы. Диссертация состоит из вве, 5 параграфов. Текст диссертации изложен на 61 ст Список литерэтуры содержит 27 наименований.

Содержание работы.

Во введении (параграф I) дается обзор результате исследуемой проблеме, формулируются основные ре диссертации и некоторые га следствия.

Пусть а - полная решетка в комплексном пространст АбелеЕой функцией по отношении к л называется мер функция f (z) от переменной z=(z1,... .z ) . такая что

{(г+\) = т(г) для всех хел. (1) и решетки л называются периодами абелевой функции г(г). диссертзции мы предполагаем, что множество всех таких ций образует конечно порожденное поле ? над с степени сцендентности £. Следовательно, существуют алгебраически Еисимые абелевы функции а.....а и функция в

1 9

Сраическэя над с(л)=сса , ...,а ) такие, что у=с(а.в).

1 д

»лее, из (I) следует, что дифференциальные операторы .... д- не выводят из поля с ( а . в), так что все частные

д

зводше функций а и в яеляются абелевыки функция?® по тению к решетке л. Мы предполагаем, что <зеи(о)*о, где 1-

ицэ Яксби функций а1.....а , и поле ? определено над

к а алгебраических чисел в следующем смысле. Во-первых, ция в алгебраическая над а (а), во-вторых, операторы

____д~ не еыеодят из поля а(а,в).

9

! определяем квэзипериодическую функцию по отношению к л мероморфную функцию г (г), такую что для каждого х<=л

ость п(г.х) = нг+х)-и2) (2)

зтся постоянной. Отсюда следует, что

' д

(шериодическая функция г называется алгебраически деленной, если эти производные лежат в А(а.в). Например,

ш функциями будут все переменные т.г.....и их линейные

гаации с алгебраическими коэффициентами. Число пал) вается квазипериодом функции Пг), соответствующим х. щестЕуют 2g алгебраически определенных квазипериодических ий н......н„ , таких что н,(о) = ...=н, (о)=о,

1 2д 1 2д

авенство (2) имеет вид

/у.

H ( z+x. ) =H ( 2 )+u. , i . 1 = 1.....2g ,

i j i i j

Образующие Л. det о ^0 0=((uij))' десертации доказаны две теоремы айв. Теорема а.

?ые g+i различных строк .гарнцу о б совокупности игебрзическа незабисижг числа.

я доказательства во втором и третьем п; фтации строится некоторый нетривиальный многоч шщентами из z[o], где и - трэнсцендентг [периодов о . Этот многочлен зависит от g дай а1 ( z ),..., а ( z ) и от g+1 квазшерисдкческих Ь соответствующих Еыбрэншгм строкам матриц лпшентн зависят от растущего параметра n и выбра построенный многочлен как мероморфная функция Ф( г высокого порядка на некотором подмножестве точек {роке того, с использованием невырожденности матриц она вспомогательная лемма, из которой, в ч; ■ют алгебраическая независимость функций a5(z),... ),...,h(z) и существование некоторой 1ВОДНОЙ функции Ф(z ) , отличной от нуля в некоторо 'ки л. Далее, с помощью вспомогательной леммы Mai ■л Лейбница и Коши модуль указанной производной :у. Из этой оценка при отрицании утверждения тес ет существование некоторого кногочленз из яого от нуля в точке о и принимающего в это! 1Точно малое значение при достаточно большом :етра n. Так что выполняются условия леммы А.0.1 плотней последовательности многочленов, что всту] шоречие с трансцендентностью числа ы. П<

Ь'.

торечие доказывает теорему а.

трицу квазипериодов о, связанную с гиперзллга эй у2= 1 -х" (п—з) рода [целая часть чжи

) выбрать в виде

а. =а где k=k( i ) = 1.....n-1 , ,

и k) in 2j 2

некоторая образующая мультипликативной группы корне?

№ п.

этому из теоремы а выводится следующее утверндение.

Следствие ai. Joe подлнохество из элелетоб множества чисел

, где k=i,...,n-i, ^2} содержит

(раически незабили.«ых числа. ?аведливы соотношения

"(а),В(а,ь) - гаша и бета функции Эйлера.

му в( п ' 2 ^ »■ • • • ® [ ' т) выражаются в налыш функций с алгебраическими коэффициента:

>^>г( п ) "",Г( п ] • Так что шеет место

Следствие а2.

:шъ п?з целое число, j. Тогда среди чисел

i jj j найдутся döa алгебраически незадисит.

:вдз при п=з,п=4 с учетом равенства

гНК^МП^ИШзГ

ится утверждение Г.В.Чудновского об алгебр исимости каждого из значений

г

:сла л .

(iM*MiM§MiMi)

и п = 5 имеем два алгебраически независима среда

следствия ai выводится тагае Следствие аз.

:йъ п-3 целое число, m=£ j, i,.....ib - разл

t из лнохества {i,2,...,n-ib шакие что

При всех j , !се{ 1.....ш},

для либого se{i.....ш-1} существует к, тшое <

г1> - наиеньшй неотрицательный вычет i mod п. гда среди чисел

Ч-^М^).....'Cf)

тся Оба алгебраически независима. фимер, среди чисел

-гЫМт§Мт!Мт§)

следствию з найдутся два алгебраически независимых

5,щ=4111=1,12=2,13=4л4=8).

!ди чисел

следствию з найдутся два алгебраически независимых

7,ш=5,1, = 1, 1г=2,13=4, 1^ = 8, i 5=3) .

значим через m любое из чисел {i,...,2g}, ш0

елнм алгебраическое число х так, чтобы все прс <?в ¿н

• ИТ ' вг лежал1 Б roJI8 ®(Х)(А,В) И точку

rtl +1

— /. . i а 1, . . . . m л О

Ь>= ( 1 , X. О ) € <С

ть г - однородный несмешанный идеал раз =m -h (i ) в кольце z[t,t,t,...,t 1. В дис

О U 1 11 т,Zg

ьзованы числовые характеристики t (i )=н( i) + 1пн( I, определенные в работе [7] и являющиеся не

■щениями понятий типа многочлена, степени мг ты многочлена и модуля значения многочлена в i Теорема в.

w любого о о существуют иг>о , зависщш и

,е,ы, ц шкие что для любого однородного, нес ■ла \сх[t ,t,,t ,...,t , ] разлерност dimi=r-i

Ulli т, с g '

г=2 при услодш m>|g(r-i) выполняется неравенство

г

1 nl I (и) I 2 -firt(I) г ,

Ч = +Е. У = +£.

1 ГП '2 2 т- 3g

теорема доказана в пятом и шестом параграфах да «¡пользованием предложения из параграфа 4 о совмеси и операторов дифференцирования и автоморфизмов ментов на произвольный многочлен от в иенных, образы которого лежат в некотором простом идеале, «азательство проводится индукцией по г, для г=1,2. и этого при достаточно большом параметре s и про том однородном идеале V2[W4i.....t» ;

ВИЯМИ PonZ=(0), d i m?0=г -1 ПРИВОДЯТСЯ К Про

увдие неравенства

vr

t(?0)SS, Inl?0(o)|S-S .

;я произвольного многочлена p«sz[ t0, tг, t^,..., tn 2c оого ограничен некоторой величиной, зависящей от s емме 33 параграфа 6 получена оценка сверху для I р i , и, с помощью предположения индукции, в л графа 6 получена оценка снизу для |р(<3)| при p«i3o . я вывода противоречия строится некоторый многочли Евдиентами из г г t .....t ] от аргументов х,

11 m,2д 1

■ •, у . лежащий в некотором простом V4,...............yj- 38ШСЯ1ЮМ

фнциенты зависят от б и ло и выбраны так, чт

очлена V при совместном действии некоторых

еренцирования и сдвигов аргументов также лежат в

, по крайней мере один из коэффициентов не п

лу з, поэтому V и з не удовлетворяют предло:

графа 4, откуда следует, что существует также к

ззищш л ¿а операторов дифференцирования и к

ментов, такая что л .

помощью леммы 33 оценено сверху некоторое лей частных производных мероморфной функции

Ф(г)=У(о , . ...и ,А.(г) , . . . ,А(г),НЛ2).....Н (

11 л>, 2д 1 д 1 го

екотором подмножестве точек решетки л. лее, с помощью вспомогательной леммы Массера 5 ища и Коши получена оценка сверху для модуля п] (к0.х)1, где ко.х - некоторая точка решетки л, вектора к0б229. Из этой оценки получается против зй 34, доказывающее теорему в. теоремы в выводится следующее утверждение Следствие в 1. сть степень трансцендентности поля

юходит > • • • 1о'Ч,1и'• • • • ст,2д] " '

учлет, порождащие идеал <? размерности о или 1; творяет условию т> | г-г), где г-1=с1шч. гда для любого £>о существует ц'>о, зависящее то.

■,т,g, с,о, и такое, что если max t(R.)iT , где

l<j<N i

v некоторой постоянной,то

г £ d- г + 1) 7 -V

max IR (и) |2ехр -и' Т г ,

1<j<k ' '

I" V 2I-3I +Е-

: хотелось Он поблагодарить моего научного руко] ссора Ю.В.Нестеренко за постановку задачи и все( ь в работе.

Работа по теме диссертации.

Васильев К.Г. Об алгебраической независимости вых интегралов. Мат.задатки, 1996, Т.60, N5, С.681-691.

Васильев К.Г. Мера алгебраической независимости вых функций. Тезисы I г I международной т еменные проблемы теории чисел и ее приложения",!