Некоторые решения неконструктивной задачи в физике плазмы и нелинейной оптике с использованием конечности скорости распространения регистрируемого сигнала тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

ДАГЕСТАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ' ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

на правах рукописи УДК: 519.675 :(535+534)+519.21 +681.3

АЛИВЕРДИЕВ АБУТРАБ АЛЕКСАНДРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ЗАДАЧИ В ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ И НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОСТИ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РЕГИСТРИРУЕМОГО СИГНАЛА

(Специальность 01.04.04 - физическая электроника)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Махачкала 1998

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Каримов М.Г.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Мейланов Р.П.

кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Муртазаев А.К.

Ведущая организация: Институт общей физики РАН

Защита состоится "/О" ШгОЛ^ 199 2 в 'часов на заседании диссертационного совета К 063.61.04 при Дагестанском государственном университете Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации по адресу: 367025, РФ, Дагестан, Махачкала, ул. Гаджиева 43 а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Даггосуниверси-

тета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор

Ш.А. Гайдаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящей работе рассматривается задача использования скоростей регистрируемых сигналов для томографического исследования, в частности, объектов нелинейной оптики и физики плазмы.

Актуальность темы. В последние годы, бурно развивающиеся наука и техника постоянно сталкиваются с необходимостью исследовать процессы, недоступные или труднодоступные для исследования традиционными методами, что побуждает к поиску новых нестандартных решений, к которым можно отнести рассматриваемые в настоящей работе методы, основанные на использовании скоростей регистрируемых сигналов для томографического исследования пространственно-временной структуры динамических объектов. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы, добавляя к пространственным координатам дополнительную координату - время и, располагая проекциями, снятыми для сигнала, распространяющегося с конечной скоростью, восстановить искомую функцию распределения протяженного источника регистрируемых сигналов. Таким протяженным источником может быть нелинейный объект, в котором внешний лазерный импульс инициирует вторичное акустическое излучение, а так же быстроменяющиеся плазменные объекты, сопровождающиеся как оптическим, так и акустическим излучением. В особых случаях, когда можно обойтись только двумя угловыми (в данном случае «скоростными») проекциями, возможно также томографическое изучение распределенного источника коррелированных квантов, которым может быть как объект с внесенным позитронно-активным препаратом, так и нелинейная среда с лазероиндуцированным вторичным излучением коррелированных квантов.

Относительно степени разработанности вопроса можно сказать, что хотя томография сегодня представляет собой достаточно развитую область, которая уже включила в сферу своих интересов пространства скоростей и

времени (хронотомография, спектротомография, томография сильнорассеи-вающих сред методом баллистических фотонов), использование именно скорости распространения регистрируемого сигнала непосредственно для томографического восстановления делает только первые шаги. Вопрос же о спектре скоростей практически не поднимался. Это в основном объясняется тем, что до последнего времени для этого не было достаточных технических средств. Однако с прогрессом, достигнутым в последние годы в технике научных экспериментов, этот пробел необходимо восполнить, чему и посвящена настоящая работа.

Цель работы. Целью настоящей работы является теоретическое исследование возможности использования скорости распространения регистрируемого сигнала для пространственно-временного томографического исследования динамических объектов и построение практических вычислительных алгоритмов подобного исследования нелинейных объектов плазмы и конденсированных сред.

В рамках этой цели решались следующие задачи:

1. Решение общей задачи учета скорости распространения регистрируемого сигнала для томографии.

2. Решение общей п-мерной математической задачи томографии с использованием пространственно-временных проекций, снятых при различных скоростях несущего информацию сигнала;

3. Решение реконструктивной задачи для ряда конкретных случаев, в том числе для однородных и для простых на пространственно-временной плоскости объектов, с построением вычислительных алгоритмов, которые могут быть использованными в исследованиях нелинейной оптики и физики плазмы, а также в других областях науки и техники;

4. Проверка предлагаемых решений методами математического моделирования и проведение численных расчетов;

Научная новизна.

1. Осуществлено решение задачи томографической реконструкции с учетом скорости распространения регистрируемого сигнала.

2. Проведено общее решение задачи использования скорости распространения регистрируемого сигнала для пространственно-временного томографического исследования динамических объектов.

3. Подробно рассмотрена одномерная пространственная задача томографии, приводящая в сочетании со временем к двумерной задаче томографии. Для этого случая рассмотрена возможность применения теории восстановления однородных объектов, где вместо преобразования Фурье предложено использовать преобразование Хартли.

4. Последовательно рассмотрена возможность исследования среды, в которой внешняя лазерная накачка возбуждает вторичные акустические волны. В рамках этой проблемы проведено решение реконструктивной задачи, используя представимость искомой функции в виде произведения пространственной и временной компонент, с учетом поглощения инициирующего излучения. Проведен ряд численных экспериментов, подтвердивших теоретические выкладки и позволяющих определить возможности практического применения предлагаемой методики. В частности, проводились эксперименты с наложенными на интегральные функции постоянными и стохастическими шумами, в ходе которых выяснилась достаточно хорошая восстанавливаемость искомой функции даже при значительных шумах.

5. Исследована реконструктивная задача для случая представимости интегральных функций в виде потока коррелированных квантов. Для этого случая предложено два практических метода решения задачи: двухэтап-ный цифровой и аналоговый. Для каждого из этих случаев проведена оценка возникающего в процессе решения статистического шума и выведены формулы, позволяющие его устранить. Проведен ряд

численных экспериментов, позволяющий оценить работоспособность предлагаемой методики.

Научная и практическая ценность работы определяется как актуальностью тематики, так и новизной результатов.

Результаты проведенных исследований имеют большое практическое значение для развития техники исследования динамических объектов. В частности, объектов плазмы, а также нелинейных конденсированных сред, возбужденных ультракороткими лазерными импульсами. Следует отметить, что плазменные объекты в связи с их нестационарностью и нестабильностью, являются труднодоступными для исследования. По этой причине разработка новых методик их исследования является весьма актуальной задачей.

Кроме того, полученные математические результаты, в частности, свойства операций произведения и столкновения математических потоков, могут быть использованы для других задач теории вероятностей.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Учет скорости распространения регистрируемого сигнала необходим для быстроменяющихся объектов и возможен по полученным формулам.

2. Использование скорости распространения регистрируемых сигналов может позволить исследование внутренней структуры различных сред по предлагаемому томографическому анализу вторичного акустического излучения, инициируемого импульсным лазерной источником, а так же плазменных объектов по излучаемым ими электромагнитным и акустическим волнам, распространяющимся с различными скоростями.

3. Учет поглощения инициирующего излучения при оптоакустическом пространственно-временном исследовании необходим и возможен по полученным формулам.

4. Восстановление функции распределения стохастических событий по потокам коррелированных квантов возможно по предлагаемой методике.

Вклад автора в получение результатов и изложенных в диссертации выводов заключается в том, что он внес основной вклад во все этапы математического и вычислительного исследования и отраженного в научных публикациях, как единоличных, так и с соавторами. Им выведены основные формулы, приводящие рассматриваемую реконструктивную задачу к задаче Радона, ее решение для случая представимости искомой функции в виде произведения функций от одной переменной, восстановления искомой функции с учетом поглощения инициирующего излучения, а так же основные формулы оценки и нейтрализации статистического шума для случая стохастической эмиссионной корреляционной томографии. Автору принадлежат также компьютерные программы проведенных численных экспериментов.

Достоверность и обоснованность основных научных выводов подтверждается строгим математическим решением сформулированных задач, результатами собственных модельных экспериментов, а также в сравнении с некоторыми работами других авторов.

Апробация работы и публикации. Результаты исследований докладывались на конференциях международного оптического общества ЬАЬБ, проведенных в 1994 году в Минске (Беларусь) и в 1996 году в Йене (Германия). Основные результаты опубликованы в 8 публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения. Работа изложена на 184 страницах. Она содержит 40 рисунков и 3 таблицы. Список цитируемой литературы составляет более 260 наименований отечественных и зарубежных источников 1917-1997 годов издания.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении рассматривается актуальность рассматриваемых в диссертации вопросов, отмечается научная новизна и практическая ценность результатов; приводятся основные положения, выносимые на защиту, и кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе проведен краткий обзор существующего положения в области томографии, в частности, томографии в исследованиях физики плазмы и оптики. В первом параграфе этой главы дан подробный обзор и систематизация томографических методов, как уже нашедших широкое практическое применение, так и находящихся на стадии лабораторных разработок. Во втором параграфе приведены основные положения математического обеспечения современной компьютерной томографии от базовых теорем до практических алгоритмов реконструкции, включая рассмотрение основных задач с неполными данными. В третьем параграфе рассмотрены особенности томографического исследования физических объектов, в частности объектов физики плазмы. Шестой параграф посвящен хронотомографии - относительно молодой области томографии, зародившейся в работах Г.Г. Левина и Г.Н. Вишнякова и представляющую собой томографию с выходом во временную координату с приложением к улучшению качества высокоскоростной фотографии. (Здесь, однако, следует отметить, что в работе ее авторы обратили внимание на возможность использования хронотомографии и в других приложениях.) В пятом параграфе раскрываются особенности томографии быс-тропротекающих процессов, в частности, необходимость учета скорости интегрируемого сигнала. Этот параграф частично сформирован на основе научного материала, полученного автором. Завершают главу выводы, в которых кратко говорится о проделанной работе.

Во второй главе настоящей работы описывается возможность томографического исследования, используя скорость интегрируемого сигнала.

В ней поставлены и решены общая n-мерная и общая пространственная одномерная задачи, приводимые в сочетании со временем соответственно к п+1-мерной и двумерной задачам томографии.

Отмечено, что из-за ограниченного числа разноскоростных регистрируемых сигналов, при практической реализации приходится сталкиваться с предельно ограниченным числом угловых проекций. В рамках этих условий проведены решения для ряда априорных ограничений, накладываемых на искомую функцию. Приводятся результаты модельных экспериментов, из которых следует возможность технической реализации предлагаемых методик.

Для искомой функции f(x,t), однородной на плоскости пространственно-временной плоскости (x,t), вслед за R.J. Gardner'oM, Р. МсМиНеп'ом и K.J. Falconer'oM показано, что решение обратной томографической задачи сводится к системе нелинейных интегральных уравнений, численное решение которой может быть осуществлено по методу Тихонова-Филлипса. Вышеупомянутые ученые использовали в качестве базового преобразования преобразование Фурье. В настоящей работе предложено воспользоваться преобразованием Хартли, обладающим ортогональностью и полнотой, свойственными преобразованию Фурье и, в то же время, определенном и отображающимся в области вещественных чисел. Преимуществом преобразования Хартли является то, что, оставаясь полностью вещественным, оно позволяет в численных алгоритмах сократить число необходимых вычислений примерно в 2 раза. К недостаткам преобразования Хартли следует отнести его некоторую сложность применения в n-мерных областях, однако сегодня эта проблема успешно преодолевается.

Для искомой функции, задаваемой в виде произведения временной и пространственной компонент f(x,t)=X(x)T(t), показано, что для ее восстановления может быть достаточно всего двух разноскоростных проекций, а само решение сводится к решению уравнения Фредгольма первого рода.

С(у)Л(х,у)

Лх,у) =-, (1)

1 ~С(у)а(у)Р,(х)

- где С(у) = —(1-ехр( -а(у))), (2)

а(у)

х

= | (3)

о

(с)

<а(у)>=0.5 (ае[0.04; 1.32]) <а(у)>=\0 (ае[0.8; 26.3]) <а(у)>=4 (ае[0.3; 10.6])

Рисунок 1. Моделирование оптоакустического восстановления при различных значениях коэффициента поглощения инициирующего лазерного излучения.

а) исходная функция распределения оптоакустического источника /о(х,у); Ь) результат моделирования оптоакустического отклика]\(х,у)\ с) результат обработки оптоакустического отклика/(х,у)по формулам (1-3). Здесь а(у) - интегральный коэффициента поглощения лазерного излучения вдоль оси Ох. Ось Ох выбирается вертикально, а ось Оу - горизонтально.

(а)

Последовательно рассмотрена, так называемая, оптоакустическая томография, зародившаяся на рубеже восьмидесятых-девяностых годов в работах A.A. Карабутова и др. Для этого случая проведено решение реконструктивной задачи, с учетом поглощения инициирующего излучения. Приводятся результаты численных экспериментов, которые подтвердили теоретические выкладки и позволяют определить возможности практического применения предлагаемой методики.

Типичные результаты моделирования двумерного оптоакустического восстановления при различных значениях коэффициента поглощения а инициирующего лазерного излучения показаны на рисунке 1. В подписи к этому рисунку приведены также основные формулы учета лазерного поглощения.

Третья глава посвящена стохастической эмиссионной корреляционной томографии, то есть томографии, в которой требуется найти распределение стохастических событий по их интегральным потоком, снятых двумя датчиками с учетом скорости распространения сигнала. Такая задача, например, может иметь место в позитронно-эмисионной томографии, а также в томографии, основанной на нелинейно-оптических эффектах, связанных с многофотонными генерациями.

В этой главе предлагаются два практических метода решения поставленной задачи - двухэтапный цифровой и аналоговый.

Для каждого из этих методов проделано математическое обеспечение, основанное на теории вероятностей. Для этого определены следующие операции над математическими потоками событий - умножение потоков и столкновение потоков, которые обладают рядом полезных свойств и могут быть использованы и в других задачах теории вероятности.

Приводятся результаты численных экспериментов, полностью подтверждающие теоретические выводы. Типичные результаты моделирования восстановления плотности распределения стохастических рождений коррелированных квантов методом столкновения потоков показаны на рисунке 2.

a) b) с)

Рисунок 2. Результаты численных экспериментов по моделированию восстановления плотности распределения источников коррелированных квантов методом столкновения потоков.

a) исходная плотность fo(x,y) распределения источника коррелированных квантов.

b) функция fi(x,y), полученная в результате столкновения потоков.

c) функция f(x,y), полученная из fi(x,y) после вычета нелинейной поправки.

В обоих модельных экспериментах интенсивность суммарных потоков к полагалась равной 0.05с/Ах, а время экспозиции t=3 105 Ах/с.

В диссертации также приводятся результаты исследования поведения среднеквадратичного отклонения восстановленной функции от времени наблюдения.

В четвертой главе подробно описывается разработка и проведение рассматриваемых во второй и третьей главах настоящей работы численных экспериментов. Обосновывается выбор языка и среды программирования, определяется место конкретных модельных экспериментов в общей систематизации.

В заключении приводятся основные выводы, сделанные в настоящей

работе.

ВЫВОДЫ

На основании материала, приведенного в настоящей работе, можно сделать следующие выводы:

6. Осуществлено решение реконструктивной задачи Радона с учетом скорости распространения регистрируемого сигнала. Такой учет становится необходимым, когда эта скорость является сопоставимой со скоростью процессов в исследуемом объекте.

7. Проведено общее решение задачи использования скорости распространения регистрируемого сигнала для пространственно-временного томографического исследования динамических объектов. Отмечено, что так как в большинстве практических приложений разноскоростных проекций может быть от одного до четырех-пяти (с учетом двухстороннего снятия), то это приводит к необходимости использовать априорную информацию об исследуемом объекте. Поэтомукаждый конкретный алгоритм значительно отличается от классических алгоритмов томографии.

3. Получено решение томографической задачи для искомой функции, пред-ставимой в виде произведения пространственной и временной компонент /(х, 0 =Х(х) Т(I). Показано, что задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Рассмотрено использование этого решения для лазерной томографии на основе оптоакустического эффекта. Решена задача аналитического учета поглощения инициирующего лазерного излучения. Проведен ряд модельных экспериментов, полностью подтвердивших теоретические выкладки.

4. Получено решение томографической задачи для искомой функции однородной на плоскости пространственно-временной плоскости (х,г). Показано, что решение возможно при наличии трех-четырех проекций, что соответствует двум разноскоростным сигналам, снятым с двух сторон. Практически это может быть использовано для исследования плазменных объектов и газовых разрядов, а также конденсированных сред, в которых внешняя лазерная накачка вызывает вторичные акустические волны с зависящими от пространственной координаты коэффициентами затухания и запаздывания генерации.

5. Рассмотрена задача определения распределения стохастических событий, порождающих коррелированные кванты. Показано, что ее восстановление возможно по интегральным потокам этих квантов, снятых с двух сторон. Для решения этой задачи предложено два практических метода: двухэтап-ный цифровой и аналоговый. Для каждого из этих методов проведена оценка возникающего в процессе решения статистического шума и выведены формулы, позволяющие его устранить. Проведен ряд численных экспериментов, позволяющий оценить работоспособность предлагаемой методики.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ.

1. Aliverdiev A.A., Karimov М.Н. Using of stream at nonlinear enviroment for investigation of inside structure of bioobjects. Lals94, Minsk, Belarus, 1994, p. 130.

2. Аливердиев A.A. Решение стохастической реконструктивной задачи при помощи теории потоков // Сборник статей студентов и аспирантов университета. Естественные науки, Махачкала: ДГУ, 1995, с.14-17.

3. Каримов М.Г., Аливердиев А.А. О реконструктивной задаче с учетом конечности скорости распространения несущего сигнала // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 15, Вычисл. Матем. и Киберн. 1996, № 4, с. 55-56.

4. Аливердиев А.А., Каримов М.Г. Использование спектра скоростей для томографии II Сборник статей студентов и аспирантов университета. Махачкала: ДГУ, 1996, с. 9-12.

5. Каримов М.Г. Аливердиев А.А. Использование спектра скоростей для исследования динамических объектов // Вестник ДГУ. Естественно-технические науки. Выпуск I. Махачкала, ДГУ, 1996, с.87-89.

6. Karimov M.G., Aliverdiev А.А. The use of speed secondary radiation for laser tomography of bio-objects. Lals96, Jena, Germany, P2-35, 1996.

7. Аливердиев А.А. О возможности использования скорости регистрируемого сигнала для томографического исследования возбужденных сред // Изв. ВУЗов Радиофизика, XL, № 6, 1997, с. 761-768.

8. Аливердиев А.А. Использование спектра скоростей для пространственно-временного исследования высокоскоростных процессов // ЖТФ, 1997, 67, №9, с. 132-134.

Аливердиев Абуграб Александрович

НЕКОТОРЫЕ РЕШЕНИЯ РЕКОНСТРУКТИВНОЙ ЗАДАЧИ В ФИЗИКЕ ПЛАЗМЫ И НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОСТИ СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РЕГИСТРИРУЕМОГО СИГНАЛА

Автореферат

Отпечатано в Институте физики Дагестанского НЦ РАН Подписано в печать 4 июня 1998 г. Усл.печ.л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №23. 367003, г. Махачкала, ул. М. Ярагского, 94