Некоторые свойства многомерных поверхностей в евклидовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ЛКДЦЕШЯ ШШ{ СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕШК ИНСТИТУТ MTEr-iAT.mt

Но правах рукоплсн УДК 513,73

\

БОДРЕ'ГКО Ирина Ивановна

НЕКОТОРЫЕ СВОЙС1ЛД ЖОГО'ЖИШХ ПОВЕРХНОСТЕЙ В ЕВКЛИДОВЫХ 11РеГ/ГРД1ГСТЗЛ2 (01.01.04 - геомйтрая и топология)

Автореферат

диссертации на соискэш? учоной степегп кандидата физико-штематсмески.* каук

Новосибирск - 1ЭЭ1

Р«2от8 випошека на кафэдра даакрг. но£ ыитвмв'ИШ! Волгогрэдсюто государственного университета.

Научный доювддагехь - доктор физнкс-к^лоыатычесзшх наук,

профессор ВЛЧОлхшьга. Официальные оппоненты: доктор физико-матештичеезеих наук,

профессор Е.В.Шыкин; кандидат (¿«зшю-иатеиатическш: наук В. А. Александров. Ведущая организация - Омский государствзгашй ушшерсата?.-

Защата состоится "__,_____1391 года

в__ч£о, на заседамм специализированного совета

К 002,23.02 в ^статуте математики СО АН СССР по адресу; 630090, т. Новосибирск; 50, Университетский проспект» 4.

С дагсерподгай мозио ознакомиться в библиотеке Шститутс. математики СО Д!1 СССР.

Автореферат разослав "____"_ 1991 год/..

■ />

Ученый секретарь /

спвциадизЕШванного совета

к. ф.-ы. н*. ( / '/ В.В.Иване:;

1

общая ^лтристшл. работы

."Значительное место в геометрических исследованиях занимают вопросы, связанные с внешней геометрией многомерных поверхностей. Откатам лишь некоторые направления!

изучение погархностей с привлечением касательного и нормального расслоений и метрик на них, аналогичных метрикам Сасаки ( Л.А.Борясеяко и др.);

исследование свойств поверхностей методом внешних форм ,(Ю.Лумисте, М.Вяльяс и др.)!

классификация поверхностей в зависимости от их зкешне-геометричееккх характеристик проводится такхе в работах Чена, Ли и др.

3 реферируемой работе предлагается метод исследования п-мершх поверхностей г" в (п +. р)-мерном еваслидозом пространстве е1 1 о помов!ь» кривых на поверхности, который ч.«-клочается в следующей. На поверхности г" рассматривается кривая г, вдоль которой строится специальный сопровоздащдй

репер Фреке с т, т, . > и находятся Фор-

(1) ;(«>

мулы Френе. В процессе построения вводится ряд новых инвариантов поверхности вдоль кривей!

с -нормальное крученкз -• и с, , = , относитель-

ное кручение л 1 я ™ > ° ~ 1 - Ч' поверхности

р" с кп+р вдоль кривой у. Поденные•дарахтеристини используются в дальнейшей для описания классов многомерных поверхностей я изучения юс строения.

Например, если кривая г - но^лальное сечение поверхности г" с ьп+р в точке * по направлению I , то возникают такие характеристики, как нормальная кривизна к м с х, о, нормальное кручение * н с х, о, второе нормальное кручение к н 2 и др. Первые две из .них, к ы сх, о и * ^ сх, 15, вводились другими способами в случае двумерных поверхностей и поверхностей коразмерности два. Остальные характеристики ранее не рассматривались.

в реферируемой работе развит новый метод исследования многомерных поверхностей: -

1. Построек специальный репер Френе и найдены формулы Френе для кривой г порядка »< + ч на поверхности г" с е"+р.

2. Определены новые внешнегесметрические характеристики поверхности вдоль кривой ? I с- -нормальное кручение

* N с г ' " " 4-1 8 относительное кручение а ^ , '____(О

3. Получены формулы для вычисления введенных инвариантов.

4. Сформулирована в доказаны теорем, классифшдарзчпдае поверхности к" с ЕМр с нулевым нормальным кручекаец, несуа^е соарлкегшу-о координатную сеть.

5. Найдено достаточно'.: условие представления щ^рдноотв с еп*р в виде ризданоэа проазведакия гипорповсузаа^ей

евклидовых пространств.

. 6. Определен и изучен класс В-почерхност$фл 7. Классифицированы поверхности г2 с нул^вым^теодаза-ческим кручетюи в е24р.

Прилохгтв. Работа косат те оретичеаагй характер. Ра-

зультатн диссертации являются новыми и когуг быть примерят: к исследованию классов люгомеряых поверхностей, выделяемых ограничениями на внекнегеоиетрические характеристика, введенные в работе.

ш. В работе используются традиционные метода геометрии. В частности, существенную роль игргэт исследования систем уравнений Гаусса-ГСетерсона-Кодаищя-Риччи.

Апробац1?я_рабо'га. Результаты диссертация докладывались и обсуждвлись на итоговых научшх конференциях Во.'то^'р адского госушверснтета (1988 - 1950), на научных семинарах в Харьковской и Новосибирском госунизерсатетах, на Всессш-ной конференции по геометрии и анализу в г. Новосибирске

(1989), на Всесоюзной совещании молодых ученых ао дифференциальной геометрии, посвященной 80-ти лети» Н.В.Ефгшора

(1990).

[¡■¿бликауии. Основные результата диссертация опубликовв-ш в пята работах, список которых находится в когпде автора-ферата. .

Диссертация содорпт 82 страницы машинописного текста, постоит из введения, четырех глав я списка цитировано;! литературы тз 16 наименований.'

Главы вмевт следуетде названия! Гл, I. Формулы Фраке для кривой нэ поверхности, Гл. 2. Поверхности г" в с нулевым норцальянм кручением,

несунузе сопряженную зеординатну» сеть. Гл. 3. Строение поверхностей г" в еп+р> с сопряженной координатной сеть» Оез кручения. ■ ,

Гл. 4. Использоо^^ла иквзряентов * . _ , ?а а л

* п» о* ^ а у

и>

дли описбння других глассоь поверхностей.

СОЛЕРДШИК РАЗОТЫ Во взсдениз дается обзор основного содерканвя дксиарха-

74311.

Цз.шэ первой глаза катаю хер. но.чучэшй погиг клшюгбо-штртеегаи характеристик п-кзрш>й исгзрггвате адедь крздзоы.

В §• 1.1 и^ииодятсд нзобгодшю сагдаккя на геоида шгого-цэршх позх'рхяоегйй в евдаздозы* прссгрл'.ствс!»

В § 1.2 стрслтое Г., «• г,- еДШ£№ШХ( ЕОЭКШХ) янх вйкгоршг колей, б окреетаоетя точна х « р" вдоль кривой кг р" сг , ЩфВИв т 03'Ш£ ~ Т т

(1) (*>

кесателыгкь к г" , дг%грг ч ~ к . »..., К - нормаль-

1

кко к р" . Дел их построения расеуатршвптси дее ивкшмальика лияейж; яазашсаике васт&и вгкторлах пикай в окрзстпооти точка к вдоль кривой г «

г, ^.т..... 7Т,='"3 -Г,

и

к , о .... о т4"1 г, сг>

где V - ковц^ьш-доа к/Щттщхратишв в гп , т - едшшчяоэ касьти.чьиое векторю« пал у вдоль кривой г, о - асвяряанткоа

дофференцароваиае в иормальноЗ обжзностл с ег,+р ,

г ъ с т. т> ✓ иъ ст, тэи, ь - вторая флэдивантальная форма оозсрхностш.

В качестве т борется впкгсртоэ поле г , а •г} • (')

Векторное поле т ( , соответственно) выбирнем в динрЯко» (*>

подпространстве, натянутей иа первые ь вактсрилг полей сис~ теин сп ( , ссогвстстееш?о) „ ортогонально подпространству, натянутому н» первые ск - 1> векторное поле систсим <1> (<г> , соотиотстесшю).

Таким образо«, получены спе^олыгае форуулы Френе длл кривой г порядка п + с) на поверхности г" с еП1'р ;

^ * «I 'г + ь с т, т>.

(1) (Я) О) (О

т » - т ■» т + ь с т , т},

г 3 2

<й> С* > (3) (3) (3)

•лт т » - * т + ь с т, 7 3,

(«) " {«-1) (1) {»<>

" " % 7 + • м.1 <г •

«а " * % т " \ ■ * "

т n,<1-1 •<(

3 } 1.3 вдогеясм геометрический скысл инварианте1», уч».-у вуксум и опиез'тш классов поверхностей,

3 5 1,4 найдет формулы душ вычисления О- -яоррялмго!'» ' кручения * г . - " 'ГГч-Т .

Параграф Т .5 посвящен изучедам второго нормального кручения я поверхности вдоль кривой.

В naparpi$o 1.6 нааодетса фо'-луда для вычислении геоде ¡жческсго кручения поверхности в точке по заданному иаправ

ЛЭ1ШХ).

Во второй главе изучаются п -мерхиэ поверхности г" класса' сэ з е"+р , -иесдае сопрягеннув координатную сеть и удовлетворяющие условии

к Сх, О * О, « N (х, t) » О , V Ï е f", V t е TXF"' ' С 3

Доказательства теории 2,1 к.2.2 составляет основное сс-дерязняа -главы 2.

- 1'еорл;з 2.1. Пусть поверхность f" в еп+р класса с3 aieeoî в окрестности жйздой точка сопряженную координату сеть, удовлетворяет усяожю сз> и квприводама.' ¿'огда к" <= Е"*1 С 'Еп+р.

'.Георема 2.2. Пусть поверхность f" в еп+р класса с3

несет в окрестности каждое течки сопряженную коерданитяу] сеть, удовлатворязт у слеша о> пне левит в е"+1 . Тогд. Fn распадаемся на риыалоэо произведение l сфер

F « S 1 x ... :< £> l с E S P , k^ + ... kL « n.

S. J с E J , J » 1, L , h г* Z, r,lin tu, p>,

В третьей главе вводится следующее понятие специально! координатной сета без кручения. Координатная сеть с > ! ;:а f" нввавзэтея координатной сетью без кручения, если нормальное кручение поверхности f" с еп+р по направлению ха ,

а - 1, п, касательно»;? к координатной лишлз в точке х равно нулю дел v * гп .

Координатная сеть < li > " на f" называется специальной, если ковариантная проикводная в нормальной связности f" в от нормального векторного покля ь с х^, ,

кэлтая в направлении Xj , касательном к i.j в точке х, J * J, i, j » n, коялпиеарна ь с xlf x^ для v * e f". ь - вторая фундаментальная форма к" в еп+р .

Обозначим через rc шюяество поверхностей г" в ег>+р класса с3 , несупдах в окрестности зсаздой точка специальную сопряженную координатную сеть без кручения. В J 3.1 доказана следущио ленш:

Лемма 3.1. Поверхности из множества rc тлеет плоетсую корнальнут связность.

Лек is 3,2, На поверхностях из шояествз а. в озсрест-ности кявдой точна существует оснащение Родряга < ^ >

дал которого вторне квадратячшэ фор:,ш поверхности имеют вид:

П С п. Э » V Ь1 С X,, X, > du1«!«1, 1 11

ь1 ( * , Xj ) f О, i » 1, n ,

lit n > я Г В? ь1 С X,» X. У di/du1,

с м 1 11

а^ и const, 1 ■ 1, п , с » Ь, р.

В параграфа 3.2 доказяпо достаточное условие представления р" <= ег*П5 в йак? т-личгета орсазввдення гиперповерхностей евклидова. npecxpaijoii»,

Теоремн 3.1. Пуст.', повор-зость г" в е"+р класса с3 кесат в огеростгадг: точка спзцзвльную соирякенкуэ ко-

ординатную сочь без кручения. Тогда f" яредставяиа в виде ряманова црсазшдззял l гиперповерхностей

Q .

..fc. „n+L- ,

F » I 1 > . . . » F I. с E S E , к + . . . + к « ri.

V lr л i -----

1 j - К J . J • 1, n, L » 1, nün (Ii, p>

В четвертой глат,е изучаются классы поверхностна. с поко кгьхз илвприаптов * м ^ ^ , а ^ , которые поя:шзютсл,

вела в качество кривой рассмотреть геодезическую на поверхности г" , проходящую через точку х г " в напраолеиип I *

Обозначим ;' с ^ через т , - натуральный параметр у .

Поверхность г" класса сл в к"+р назовем В-поверх\э-стьв, если нормальное векторное голе

1>тс ь <л , п ✓ у, и 1т, тл|>

параллельно в нормальной связности вдоль любой геодезнчзскоГ

Теорема 4.Г. На Б-поверхкостях и только на них вдаш любой геодезической ,• выполняются соотношения;

" и. а Г -

у

~ 5 > " м.

С1 J ' о Ч

с » turn, t , з<*£мс)1цьн, вообще говоря, от геодезической / ,

г-г с л , ~> " А . <■"' к, , .

Тс, (П1 (15*

Во в-горок i'-'.p-. rpai-; iviiiij «; t".:y<ui-r,--:i /v'jrw.p::«? -■tov?;>f-iiocm <~': с нулсыгм геодезачьсгли /руление«*, i; i" Н'-фпч.'км,

го геодезический кручением поверхности гп с еп+р з точ-5 х по направлению ь называется кручезпзе * д сх, и юдозичоской г0 в точке * как зсривой в еп+р .

Теореиа 4.2. На сфере б3 с е3 ^ е2+р (или ее часта) на открытой часта поверхности Врронезе. v2 с е5 с е2+р , я злько не них выполняется условие

к Сх, О * О, к (х, О • О, V х б Р3, V I « Т Т2. ' . д ' *

(8 к (*, и - кривизна геодезической гд как кривой э е2+р.

В заключение автор виракает глубокую благодарность зофессору В.Т.05оиенко зэ постановку зьдачп и научное руно-здстьо.

ПуСдзкацш по томе диссертации:

1. Бодренко ИЛ1. О двумерны;! к -поверхностях в четы-»люрнсл евклидово« пространства //Рукопись деп. в ВИНИТИ 3.11.07, 8299 - В 87.

2. Водрекко Я.И. Формулы Фрвне поверхностной полосы на " в £га //Рукопись деп. в ВИНИТИ 27.07.Ш, 6086 - В ЙЗ.

3. Бодрвико И. К. О нормальной верчении п-иерной поверх-:>стн в ега //Гу^сву-сь два. в ш-аггд 03.02.89, 744 - В 89.

1. Ь'ОЛрв:(КО К,5*. П1.1>СрХ1!Г>3-АЧ г" В ЕГ,+Р с НуЛвВЫИ 5риаяышм :фзг«в1там; зжеусто соярякэинуя координатную сеть /Рукопись дэа. в 1Дгй®1 13.ОХ.'ЗЗ, 393 - В 90.

5. Водро:иэ Я.й. О поьершостях, несутдах сопрязсэннуя оордяиаоту» езгь баз кручения //Тезиса докладов Всесоюзного овецяния колодах уче!мх по диффоранциальной геометрии, освященного 80-летию Н.Б.Е4"/о:)а (29 сэнт.- 5 окт.1950 г.)