Некоторые свойства многомерных поверхностей в евклидовых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК СССР СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЯ ИНСТИТУТ МТЕМА7ИКЙ

На правах рукописи УДК 513.73

БОДРЕНКО Ирина ¡'ваноБна

НЕКОТОГЫЕ СВОЙСТВА ШОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ 3 ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ (01.01.04 - геометрия и топология)

Автореферат

дл^ертазтаи на соискание ученой степени кандидата флзико-математичесгах наук

\

Новосибирск - 19Э1

Реботе выполнена ив ксфедре даскре нсГ; матеиьтики Волгоградского государственного университета.

Научный руксгодагаль - доктор фаэико-иатематичсских наук,

профессор В Л1.Фоменко. Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Топоногов; кандидат физико-математических паук, доцент В.В.Славский. ,

Ведущая организация - псковский государственный университет.

Защита состоится " " ЩСЪ»^___1991 ГОда

в 'V чей. на заседании специализированного совета К 002-23.02 в Институте математики СО АН СССР по адресу: 630080, г. Новосибирск, 90, Университетский проспект» 4.

С диссертацией иошо о?::а1.о/мться в библиотеке Ииститутй математики СО АН СССР.

Автореферат разосл».. " •• _________¿231 года.

секретарь еез/долизнрованкого сове та к, й.-ь:. н.

/ / /7

/ / V В.В.Иввис

V./ и-^^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ^туа льностп_тему. Значительное место з геометрических исследованиях занимают вопросы, связанные с внеазней геометрией многомерных поверхностей. Отметим лишь некоторые направления:

изучение поверхностей с привлечением касательного и нормального расслоений и метрик на них, аналогичшх метрикам Сасяки ( А.А.Ворисенхо и др.)!

исследование свойств поверхностей методом вкешшлх форм (Ю.Лумнсте, М.Вяльяс и др.)!

классификация поверхностей в зависимости от их внекне-геометрическкх характеристик проводится также в работах Чена, Ли и др.

В реферируемой работе предлагается метод исследования п-иерных поверхностей г" в (и + р)-мерном евклидовом пространстве е"+р с помощью кривых на поверхности, который заключается в следующем.- На поверхности г" рассматривается кривая г , вдоль которой строится специальный'сопровоздакидай

репер Фрике с т, ..., т, г^, —, ? э и находятся фор-(1)

мулы Срене. 3 процессе построения вводится ряд новях инвариантов поверхности вдоль кривой:

-нормальное кручение « м , = ч-Г , относительное кручение а , 1 = 1, м , с « ГГ~ч, поверхности с.о ^ г

г" с ел41' вдоль кривой г. Полученные характеристики используются в дальнейшем для описания классов многомерных поверхностей я-изучения их строения.

Например, если кривая г - нормальное сечение поверхности г" с ьп+р в точке х по направлению 1 , то возникают такие характеристики, как нормальная кривизна * ь с о, нормальное кручение * м Сх> °» второе нормальное кручение

"иг у 15 1£еРБые дае из.шх1 к м Сх' ° и * ^ Сх' вводились другими способами в случае двумерных поверхностей и поверхностей коразмерности два. Остальные характеристики ранее не рассматривались.

Ш^к^абота_и_ее_научная_новизна. В реферируемой работе развит новый метод исследования многомерных поверхностей: -

1. Построен специальный репер Френе и найдены формулы Френе дая кривой г порядка т + ч на поверхности кп с еп+?.

2. Определены новые внекнегеометрические характеристики поверхности вдоль кривой г I с -нормальное кручение

* N а г ' " " 4-1 ' относительное кручение а ^ ,

'_ __и)

1= 3 , »а j 1,

3. Получеш формулы для вычисления введенных инвариантов.

4. Сформулированы и доказаны теоремы, классифицируйте поверхности к" с еп+р с нулевым нормальным кручением, несулгле соарлкеннуо координатную сеть.

5. Найдено достаточное условие представлений о/г^чсности рп с Еп*р в виде ргяшгова произведения гиперпове^одродей евклидовых пространств.

. 6. Определен и изучен класс В-гювархнаст$£л 7. Классифицированы поверхности с нулевым чтеодази-ческим кручением в Ег+Р.

Приложения. Работа носат теоретический, характер. Ре-

зультэты диссертации являются новыш н могут быть прпменеш к исследованию ¡слэсссв гногомерных поверхностей, вцделяеуых ограничениями на внешегеометрические характеристики, введенные в работе.

Матодака_иссле£сг нпя. В работе используются традиционные методы геоиетрип. В ■частности, суцествошг/ю роль играмт исследования систем уравнений Гаусса-Петерсона-Ксдацщ:-Риччи.

оты. Результаты диссэртгГцип докладывались и сбсундались на итоговых научгах конференциях Во.'тогр адского госуншзерснгета (1988 - 1990), на научных ссшшарах в Харьковском и Новосибирском госутзэрситетях, на Всесовз-ной конференции по геометрий и анализу в г. Новосибирска

(1989), на Всесоюзной совещании молодых ученых по даф$ерен-циальной геометрии, посвящсннон 80-ти летаю Н.В.Ефимова

(1990).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликояа-]ш в пята работах, список которых находится в конца автореферата .

Стр2ктура_и_объен_работа. Диссертация содержат 82 страницы машинописного текста, состоит пя введения, четырех глав и списка цитировано® литературы н 16 някшлювзнлй.

Главы пмеют следующее названия: Гл. I. Формулы Фрзне дня кривой на поверхности. Гл. ?.. Поверхности г" в еп+1> с нулевым нормальный кручением,

несупле сопряженную кординатную сеть. Гл. 3. Строение поверхностей гГ| в еп+р> с сопряженной координатной сетью без кручения.

Гл. 4. Использование ¡жварпснтои ь с< в а ^

(1)

дая списания других классов поверхностей.

СОДЕРЖАНИЕ РАЗОМ По взеде!шя даетсл обзор основного содеркзкяя дйссврлЗ-

цяп.

Цель» перкой главы является подучсше иовиз вжвдагсо-характеристик п-кораой поэерхкоотз вдоль кргазоЗ» В Е 1.1 Приводятся К00520ДЯУ/10 СВ6Д8НЙЯ НЗ ТСОрйЯ кюгс-

покирлзгостей в еэкяздояиг прзсграяс'д&ис. 13 § 1.2 строятся г., 4 ч с-данкчнш:, взсямио ергогонэль-тх иекторюг пел;;;": в о;гростнос1'и точка'* е р" вдоль кривой у на гп с е"+р . Первое м из низ - т ,..., т

(1 > (»)

ижсотзлмгее к гп , другие ч - ? £ ,, - норнаяь-

* Ц

»же к г" . дяя иу построения риссадтразаятсл дае нотшэлыгкз линайдо иеаавЕсаа«! састеыа ьакгирБих подай в окрастнсота

х ВДОЛЬ прйВОй Г »

т, \уг, .... 7 и~'1 т,

а

К , о .... о т4-1

где V - коиар^кгдоэ дайечезодфоаакяз в г" , т - единичное касьи-лыюе векторное пола вдоль кривой г, и - ¡«ззарпанткон

доЭДкфшщарован.ие в нормальней связности рп <= еп+р ,

? ■ ь ст, т> ✓ нь ст. тэя, ь - вторая фундаментальная форма аозэрхносга.

сг>

В качестве т берется векторное поле т , п г< >

Векторное поле т ( , соответственно) выбираем в линейно» (Ч

подпространстве, натянутом на первые к ноктсрниг поло» система с 13 ( сгу , соответственно), ортогонально подпространству, нятянутому на первые с: к - 1> векторное поле системы С1> (сг> , состветствешю).

Такаы образом, получены специальные формулы Френэ длл крявоа г порядка т ♦ <1 на поверхности г" с ег,+р :

7 я я т + ь С т, т>,

(1) <г> (О С)

7 » - *1 Т . * *2 7 + Ь с 7 , 75,

(я) (1> Чз) С) (Э>

v.. т » - * ,7 + ь с т, т>,

(я.) ) (3 ) (м)

УТ ^ - ' % Т + " N,1 «2 •

% Чг - - А^ г - V „ н>г,

v- * я - л, 7 - « . ? •

В 1> 1.3 сия'лгеи геоызтр;гческий смысл шшариймго;;, у я-;: ьукшда и описании классов поверхностей«

В § 1.4 наЯдени фориулы для гичисления -нормульног;; кручения * и о г , -г - ГГ'^Г .

Параграф 1.5 посвящен изучат:» второго нормального кручения м л поверхности вдоль кривой.

13 параграфе 1.6 находится формула дяя вычисления геодезического крушения поверхности в точке по заданному направлению.

Во второй главе изучаются п -иврдце поверхности р" класса с3 в е"+р , несущие сопр:шонну» коорданатную сеть и удовлетворяющие условию

к Сх, О * О, » „ (х, и » О , v х е Рп, v I е I Нг'. с 33 М М я

Доказательства теорьы 2.1 и.2.2 составляют основное содержание глвбы 2. .

1'ооро5ла 2.1. Пусть поверхность г" в еп+р класса с" шсйт в окрестности вдэдэА точка сопряженную координатора сеть, удовлетворяет'условии сэ> и не приводом. х'отда

Г'1 с ЕГ1+1 с ЕП-,?1

Теорема 2.2. Пусть поверхность г" в еп+р класса с3 несет в окрестности казадой точки сопряненную координатную сеть, удовлетворяет условию сзЬ и не лезаат в еп+1 . Тогда к" распадается ка рагаяово произведение ь сфср

к х, „n-iL ..л+р . . .

1 х . . . х ь с Е £ I, , V, + . . . + к, » п,

х L

s J с: e~j j , J с i, L , L » 2, min In, p>.

В третьей главе вводится следующее понятие специальной координатной сети без гфучения. Координатная сеть < l > " з:а f" назззвается координатной сетью без кручения, если нормальное кручение певэрхзшоти к" = еп+р по направлению х1 ,

i » 1, п, касательному к координатной линии ljl в точке л , равно нулю для v х <= г" .

Координатная сеть ( Lt ) " на f" называется специальной, если ковариантная производная в нормальной связности гг' в е"+р от нормального векторного поля ь с ха> х^з, взятая в направлении х^ , касательном к з точке х, 1 »< j, i,j => п, коллинеарга ь с х , х±з для v х е f". ь - вторая фундаментальная форма к" в еп+р .

Обозначим через rc множество поверхностей f" в erwp зитасса с3 , несущих в окрестности кзпдой точки специальную сслря;лппгум координатную сеть Сеэ кручения. В f 3.1 доказаны слодущ'лв ле^ш:

Лейла 3.1. Поверхности пз множества fcc имеют плоскую нормальную связность.

Лежа 3,2, На поверхностях пз множества Rc в озсрест-;:ссп* каядой точки существует оснащение Родрига < п^ > £,

для которого вторые квадратичные формы поверхности имеют вид: П с Uj ) • J ь1 С Х±, Х± 3 dt/du1, Ь1 С ХА, X Э К О, i = 1, п , п с г. о 1 £ ь1 С ХА, *L J du'du1, а" » const, п , с ш i., p.

В парагпй^з з»а дехпрано дсстэточксз условие прэдставлз-ютя f" с Enlp в р-т;п5?сг-т прсазведвквя ишсрпозерхностеа ОВКЛИДОГ!! ap-OrpoKGTJj.

Тзсрзиа 2.1, Пут»:, пов^ргтость р" в еп*р класса с3 1ГОС9Т в окрас-тоста кэдоЗ тэчта епецязльну» сопряженную координатную сеть без кручения. Тогда f" представша в виде ршчново арсизиадеипл l гиперповерхностей

с" с-^! г-П+Ь г-П + р -

Р » I 1 у . . . >: Р I. с Ь £ Е , к + . . . + к • п.

к к + 1 ----

I .) - Г J , J • " 1 , П, и ■ 1, Л11п 4», р>

В четвертой гля^е изучаются классы поверхностей с поыо-г/ыо шшпрпэ:гтов * ы сг' ^ , а ^ , которые поягшгатся,

если в к^гюств!- кривой у рассмотреть геодезическую гг1 на поверхности гг' , доходящую через точку х «г г " в нанрэплении I т^гГ|.

Обозначим г'с.о через т , к"- натуральный параметр } г} .

Поверхность гп класса с4 в к"+р назовем В-поверх?. э-стьв, если нормальное векторное голе

Г)уС 1< 1Т, л > / ¡1. ст, и II) параллельно в нормальной связности вдоль любой геодезической

Теорема 4.1. На В-поверхкостях и только ка них вдоль любой геодезической / г{ выполняются соотношения:

' N. г г "

£ ? I г > * N. 1 ; " с '

С 1 > о п

- , з^висяаьл, воойгде говоря, от геодезической ,

а (и 5 »ч СО ' 'и

Во второе* гл-'Д-и 0 п-:;у'<;(;«■■:! /¿•умьр:-!;'..' зддорх-

аосги »••'* с ну.тевим геодезмчьеш: вручавши г. »" н-фоч-.»»,

1 о

что геодезическим зсручениеы поверхности г11 с еп+р в точке х по направлению ь называется кручение * сх, о геодезической гд в точке х как кривой в еп+р .

Теорзма 4.2. На сфере с е3 с е2+р (пли ее часта) п нз открытой части поверхности Веронэзе v2 с е3 <= е2+р , я только иэ них выполняется условие

к Сх, 4.3 X О, « Сх, »О, V х е Р2, V V е Т Г2.

д х

где к Сх, 13 - кривизна геодезической г как кривой в е2+р.

В зт'лтете автор вырагзет глубокую благодарность арс^гссору В.Т.Фсиэнхо за постановку зьдача и научное руководство .

ПуСллзсации по теис диссертации:

1. Водренко И.И. О двумерны:* к -поверхностях в четы-рэг?ор7гсу ерклидовои пространстве //Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.II.G7, 0299 - В 87.

2. Водрекко И.И. Формулы Френэ поверхностной полосы на р" а еп /./Рукопись деп. з ВИНИТИ 27.07.88 , 6086 - В 88.

3. Бовпснко II.К. О нормальном верчении п-аерноЭ поверхности а //г,-х^гв хЯЙЮТ 03.02.63 , 744 - В 89.

4. Бодро:а:о У.й. Г^.^р.хнсз?:: з е"+р с щявжл нормальная яручзпат, ггкуг^г есгграЕеннул ноорданатчую сэть //?укопнсь дои. и КЕКП1 IП.01,5'], 053 - 3 90.

5. Бодром л ii.it. С поверхностях, несущих сопрязеннуп координатную суть Сзз кручения //Тезисы докладов Всесоюзного совещания молоднх ученых по дафферонцлальноЭ гесметрпк, посвященного 80-летио Н.В.Ефяиоза (29 сэнт.- 5 окт.1950 г.)

и