Некоторые вопросы математического моделирования аустенитно-перлитного фазового превращения при закалке тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

МОСКОВСКИ!! ГОСУДАРСТВЕННЫ!! УНИВЕРСИТЕТ пм, Ж. В. ЛОМОНОСОВА

Фпзпчсскпн факультет Кафедра ¡математики

На правах рукописи УДК 536.2i.02

ЩЕПЕТИЛОВ Алексей Валериевич

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ АУСТЕИИТИО-ПЕРЛИТНОГО ФАЗОВОГО ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ ЗАКАЛКЕ

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации иа соискание ученой степени кандидата физико-втгемагических наук

Москва 1994

Работа вьшолнепа на кафедре математики физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ГЛАСНО В. Б.

Официальные опионепты:

доктор физико-математических наук, профессор ВИНОКУРОВ В. А.,

кандидат физико-математических наук, доцент МУЗЫ ЛЕВ Н. В.

Ведущая организация: Институт металловедения и физики металлов.

Защита состоится г. в ..(.ь?.......1 час.

на заседании Сисцнализпровашрго совета К 053.05.18 при МГУ по адресу: 119399, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ шт. М. В. Ломоносова, физический факультет, аудитория ^Щ?/,

С диссертацией ложно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан «

У

Ученый секретарь Специализированного Совета К 053.05.18, доктор фпзлко-матеыатыческих паук. Ц^А. ПОЛЯКОВ

'¿.с.*—? С—-Ч

.. ' ■

Общая характеристика работа.

Диссертация посвящена математическому моделированию физически* процессов, связанных с технологиями термической обработки сталей, реюешт обратных задач типа оптимального управления, задач типа интерпретация давних физического эксперимента и построению численных алгоритмов решении этих задач.

Актуальность тени определяете* прекде всего тем, что математическое моделирование физических процессов я явлении с поиощьв ЭВМ служит в настоящее время альтернативным (часто - преимущественных) до отношение к физическому эксперименту способом познания их природы. С другой стороны, реализация этого способа предполагает знание параметров модели, описывающей реальный физический процесс. Задачи определения таких параметров до косвенной информации, в случае их недоступности физическому'эксперименту, относятся к числу обратных к, как правило, некорректных. Решение их невозможно без разработки фундаментальных математических вопросов в рамках теории регуляризации А. Н. Тихонова. Названным выше зада-чая хаи раз и посвящена настоящая диссертация.

Научная новизна работы определяется тем, что в ней впервые доставлена и решена обратная задача определения параметров фазового аустенитко-лерлитного превращения в рамках известной в литературе математической модели данного процесса. Исследован вопрос о единственности ее ревели, разработан х апробирован в математическом эксперименте двухступенчатый алгоритм дня его пояска. Кроме этого в работе впервые рассмотрен вопрос о единственности решения прямой задачи для указанной математической модели и получены две теоремы, дашие такую единственность при различных предположениях о коэффициентах фазового превращения. Получена также теорема существования решения прямой задачи, давшая большую глад-

з -

гость решения по сравнению с тон, которая была ранее известна в литературе.

Практическая ценность работы состоит в том, что на основе предложенного в ней алгоритма решения обратной задачи определения параметров разового превращения может быть проведен конкретный физический эксперимент, призванный показать, насколько точно при наилучшем подборе параметров имеющаяся математическая модель аустенитно-перлитного превращения,. основанная на правиле аддитивности Шейля, способна предсказывать данный физический процесс и быть использована для решения заДач управления закалкой стальных деталей с целью получения наилучшей микроструктуры.

Апробация работы. Основные научные результаты работы докладывались автором на международной научной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва, 1991) к на заседаниях кафедры математики физического факультета МГУ в 1991 -1993 годах.

Публикации. Основное содержание проведенных исследований отражено в публикациях [1] - [5].

Структура диссертации.' Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух дополнений и заключения. В первой главе рассматривается правило Шейля для обобщения изотермического закона фазового аустенитно-перлитного превращения ж две известные в литературе интерпретации этого правила. Во второй главе изучается вопросы корректности постановки задачи об аустеннтно-перлитнок превраше-нии в протяженном стальном образце.. В третьей главе предлагаются несколько постановок обратной задачи об Определении коэффициентов аустенитно-перлитного превращения по результатам косвенных измерений и для одной из постановок доказывается теорема единственности решения обратной задачи. В четвертой-главе предлагаются

<

численные алгоритмы решения рассмотренных в глава 3 обратных задач

к приводятся результаты расчетов на ЭВМ по этим алгоритмам. В до. U W

полнении 1 рассматривается вопрос о связи решении краевой задачи, описывающей процесс обработки стаял, предшествующий при необходимости закалке - цементацию, в двух случаях: постоянного коэффициента диффузии и коэффициента диффузии, линейно зависящего от концентрации углерода. В дополнении 2 собраны формулировки некоторых известных результатов, относящихся к теории параболических уравнении и теории функций действительного переменного, используемые в основном тексте.

Объем диссертации составляет 104 страниц, из которых 4 страницы составляют рисунки. Список литературы содержит 51 наименование, Основное содержание работы. Во введении кратко изложено состояние изучаеной проблемы и основные результаты диссертационной работы.

Глава 1 посвяшена. физическим основам рассматриваемых в дальнейшем математических моделей. В ней рассматриваются происхождение уравнения Джонсона - Мела - Аврами, описывающего изотермическое превращение аустенита в перлит, а таххе правило Шейля, обобщающее изотермический закон превращения на неизотермический случай. Уравнение Джонсона - Иела - Аврами имеет вид:

(1)

гае в - температура, 6(0), а(0) - коэффициенты аустенитно - перлитного превращения, 6(0) « 0 при в j [р^З » f (О " перлита в момент времени t.

Существуют две естественные возможности обобщения изотермического закона превращения на нежзотермичесхкй случаи - в = 8(t). Пусть изотермически* зажок превращения имеет вид: F(t) = /(в,<). Пусть r(0,F) - время образования доли перлита F при постоянной

температуре 9, Тогда F(t) в неизотерюгческом случае мохет бить ' нахдено хз одного из следующих двух уравнения:

J-(S.CiO),F (О>)"1н^<0СО,О (2)

LmMt))~~h , (3)

Эти две возможности, вообще говоря, неэквивалентны и в работе привален соответствующий пример. Однако, если в (2) средний член имеет факторизованный вид g(&)q(F) , то уравнения (2) и (3) эквивалентны. В частности, для изотермического закона превращения (1)

^»■WT* ; .(4)

я ecni а(в) = coast, то уравнении (2) и (3) эквивалентны.

В работе, если не делается специальных оговорок, рассматривается именно этот случав, а яри допущении а(0) f const применяется уравнение (3) rax более употребительное в литературе.

Во второй главе изучается корректность постановки задачи об аустенитно-перяитнох превращения для иоздли с распределенный! параметрами . Рассматривается краевая задача для уравнения теплопроводности с тепловым источником, определявши скорость» превращения аустенита в перлит:

(x,i)eQT (5)

F(x, О = 1 - exp (- (/oW(*,r))ir)e), UO eQT (6) в(г,0)'ф{г), le'fl (7)

teCO.T), zeM, ' (8)

rne QT (0,Г) xfl, Q - область в Я3, занимаемая образцом, п - внеи-ндя к 00 нормаль, cv - теплоемкость единичного объема стали, к -

е

теплопроводность стали, е - теплота аустенитно - перлитного превращения в единице объема, А - ¡коэффициент теплообмена с внешней средой.

Теорема 2.1 Пусть выполнена следующие условия ^(i.t) е С1+№(дйх [0,Г]), а > 1. bip) € Cliphp2], ф(г) > р2, dQ е С^, ф(.х) е С^^СЙ), гае при а > 1 ц - jLmin{l,a-l} н р произвольно из интервала (0,1) при о=1. Пусть, крона этого, выполнено условие согласования граничных и начальных данных:

ЛС^-б^х.О))*-^!), геП.

Тогда для задачи (5)-(8) существует по крайней пере одно решение (0,F>eZW, гае

Наоборот, л&бое классическое решение задачи (5)-(8) принадлежит ZM и для него выполняются априорные опенки:

гпе С одно я то хе для всех &(-) > лежащих в некотором шаре пространства С\[рьр^\.

Теорема 2.2 Пусть для задачи (5)-(8) хроме условий теоремы 2.1 выполнены еще условия а) ж 0):

«) В (9) : - *«/-W € Ох./^Э f

$) для 1 <а< 2 существуют числа такие, что р>1,р3<

Ро

I^COl* <#*(«), Pi<P3<u<Pb

U>2,

B(v)>v> 0, pîiu£p{<pi (если о>2, то условие /?) не нужно).

7

Тогда решение задачи (5)-(8) из класса единственно.

С помощь» теорен 2.1 и 2.2 доказывается устойчивость решения задачи (Б)-(8) к вариацкян параметров фазового перехода:

Теорема 2.3 Пусть для а, и ¿¡(в) выполнены условия теоремы 2.1 и НМс^,,^ равномерно по « ограничены. Пусть для о и 6(0) выполнены условия теорем 2.1, 2.2 и а;-я,

Тогда (sit F() - ш>бые решения задачи (5)-(8), соответствующие ц и сходятся в VJL,0 <Д < р, к (0,f) - решению, соответствующему а и 6, где теореиой 2.1 обеспечивается принадлежность (0,,/;) к ZW лишь начиная с некоторого г.

Кроме этого, доказана следующая теорема единственности решения задачи (5)-(8) при других предположениях о коэффициентах.

Теорема 2Л Пусть й - связная ограниченная область в R3 (которое наделено стандартной евклидовой структурой), имеющая гладкую класса С00 вложенную в Л" границу а КО - неотркцатель-ная, непрерывная х невозрасгашая функция на Л1. Тогда не существует более одного решения 9(z,t) задача (5)-(8) среди функций кз С^тЬС^,,,),

Третья глава посещена обратной задаче определения параметров фазового аустенятно - перлитного превращения по результатам косвенных измерений. Такая задача ставится впервые. Предложено три возможные постановки этой задачи. Пбрвая из них (названная базисной) состоит в определении параметров а(0) и 6(0) непосредственно из уравнения (3) по предполагаемым известными величинам 0(t) и Fit). Для такой постанови доказана теорема-единственности реие-ния обратной задачи.

Определение 3.1 Будем говорить, что р(б) ', pj < 9 <

принадлежит классу Кт, если при т е N справедливо следующее

8

асинптотзгческое представление

т.

»=0

т

1=0

к(0) и а(0) непрерывны, причен 6(0) > О, а(0)>1.-

Определение 3.2 Будем говорить, что 0(0 удовлетворяет условию ач, если ока монотонно убывает, дифференцируема т+1 раз и ^(0) < 0.

Пусть «Вр - отображение, сопоставлявшее функции «(О, удовлетворяющей условию am, функцию /0) в соответствии с (3) при г(0,г), определенной в (4) при ре Km. Обозначим через Рп множество многочленов степени не выше т, определенных на Ььр2]. • Теорема 3.1 Если Ъ(9),а(6) е Pfn РтпКт, 0(0 удовлетворяет условию ат, f(O = »P(0), то заданной даре {0(0,/40} отвечает единственная пара ¡¡(в)={а(0),5(О}-

Однако величина /(<) трудно доступна прямым наблюдениям. По-этону более предпочтительными представляются постановки, в которых отсутствует необходимость измерения величины F(t). Этого можно добиться, дополнив уравнение фазового перехода уравнением, учитывавшим тепловыделение при фазовом превращении:

dF

где т - масса элемента, с - его теплоемкость, е-^- - тепловыделение за счет фазового превращения, Q - считающаяся известной теплоотдача во внешнюю среду. Поскольку F(t),6(t), определяемые из системы (3), (9), завяоп функциональным образом от величины Q(t), то посладяяя может использоваться как управляющий дараметр.

В случае конвективного теплообмена с внешней средой для QU) в (9) можно доложить <}(0 где 3 - температура внешней среды,

s

a h - коэффициент теплоотдачи. В этом случае управляющим параметром при решении обратной задачи становится величина 5.

Более сложная постановка обратной задачи возникает при рассмотрении распределенной системы. Так, краевая задача (5) -(8) задает отображение, сопоставляющее паре {а,1>(0)} функцию в(х,0. Для обращения этого отображения и определения {а, 6(0)} иожно использовать информацию о температуре не во всех точках образца, а лишь в некоторой конечном наборе точек.. В качестве управляющего параметра здесь использовалась температура окружающей образец среды (г,О.

В четвертой главе описаны разработанные и использованные для конкретных расчетов численные алгоритмы решения прямой и обратной , задач в двух последних постановках.

Задача (3),(9) решалась методом итераций, при котором в правую часть (9) подставляется F[0,-](t) и тогда в левой получается За нулевое приближение при таком методе выбиралось решение системы, полученной "замораживанием" на один временной шаг теплового источника в (9). Метод решения системы с распределенными параметрами (5)-(8) аналогичен.

Главная трудность рассматриваемой обратной задачи состоит в том, что для определения Ь(9) на всем интервале [р^] нужно добиться того, чтобы, во-первых, 6(0 за рассматриваемый интервал времени [0,Т] пробегала все значения из [рьр2]. а, во-вторых, чтобы превращение аустенита в перлит было более или менее равномерно "размазано" в температурной интервале [рьр2]. В противном случае ошибки определения (по крайней мере Относительные) в тех диапазонах температурного интервала, где превращение было мало, будут чрезмерно велики, т, к. малое перлитное превращение вызывает малое тепловыделение, посредством измерения которого, собствен-

но, и определяется параметры фазового превращения. Найпешпдш по этой причине с низкой точностью значениями нельзя, однако, пренебречь, т. к. их слабое влияние на превращение обусловлено конкретным режимом охлаждения, тогда как при другом рекиие охлаждения их влияние иожет стать доминирующим. Эта трудность сохраняется л в случае задачи с распределенными параметрами. Прел-лагавяыв алгоритны яиесг смысл рвгуляризярустих по Тихонову.

Обозначим через * набор управляющих параметров (свой для каждой из двух постановок). Введем функционал КрМ, зависящий, от решения пряной задачи, таким образом, что он обращается в нуль лишь при равномерном тепловыделении во всем интервале и при реали-

зации максимально возможной степени фазового превращения. Пусть Яф(р) функционал квадратичной невязки, получающийся при сравнении расчетного значения температуры при режимах охлаждения У с "измеренным" с некоторой ошибкой значением температуры в эксперименте при тех же режимах охлаждения. Тогда возможен следующий итеративный процесс восстановления параметров р: ' -

♦ея р€Г

где Як Р некоторые естественные ограничения на параметры 4 и р соответственно. В качестве критерия останова при расчете по этому • алгоритму использовалась малость величины ||р*-р|+11|.

Работоспособность данного алгоритма была проверена в численном эксперименте. Для обратной к системе (3),(9) задачи относительная погрешность восстановления параметров фазового превращения р ' приблизительно линейно зависела от погрешности измерения температуры и составила 7% при измерении последней с точностью в 0.1°С. Для задачи с распределенными параметрами эта погрешность составила 10% при измерения температуры с .точностью в 0.0Б°С.

и ...

Дрпрлледае % посвящено одному вопросу, относящемуся ж процессу цементации хелезных иди стальных заготовок, т. е. насте-ню их приповерхностных слоев углеродом. Для данного процесса на практике принимается коэффициент диффузия, линейно зависящий от концентрации углерода. Представляет интерес получение априорной опенки решения описывающей этот процесс краевой задачи для квази-линвиного уравнения через решение соответствувшеи линеинси задачи.

Задача, описывающая процесс цененташш, имеет вид:

<г.оедг • (ю)

ЕЖнА.-ш^гМ^,, О-иЬШ (*,Оей»к(0,т> (11) > '

и(х,О)*и0(т), »ей, (12)

где и(г,0 - концентрация углерода в образце, занимавшем обдасть •Ос Л3, Ят йх(0,Т), «в 1,2,3, - концентрация углерода на

границе й! области А, 1/0(х) • концентрация углерода в начальный момент, п = <п1,п2,пз} - внешняя к дй нормаль, а 0(и)»а+6и, а,6«сой81 ч- коэффициент диффузии. Будем считать, что Ш е с некоторым ОГ б С0.1>,, Мг)еС(1+«)(&Й), /9(г)>0, и0(х) еС(>+°)Ш, и0(.г) >0, а функция

еС^-^Чайх СО.ТЗ), 'м^Ьо

: и при кахдом г не убывает по г. Пусть такие выполнено условие согласования краевых к начальных данных нулевого порядка;

Мею.

« 1

Известно, что все эти условия обеспечивают однозначную разрешимость задач* (10)-(12) при

п

Рассмотрим кроме этого линейную задачу диффузии:

i I

t)), (t,t)edBx(0,T) ■ (14)

i '

v(t,0)*Ye(i), *еП, • (15)

где Vo(x),'Vt(i,i),имеют ту же гладкость, что и функции соответственно, и для КоСгЭ.ЦОм) выполнено условно согласования граничных и начальных данных. , .. ' Пусть постоянная К, определяемая начальными и краевыми усйови-' ямн задач (10)-(12) я (13)-(15), такова, что

~u(x,t),v(z,t)<K, (t,t)

Теорема Д1.2 Пусть выполнены следующие условия:

V,(e,t)>l/t(e,<), (r,t)e3ftx(0,r) V0(r)>P0(r), гей M*D(K)

Топ» u(s,i) <j^a? + 2bD{K)v(.z,t) - a), (г,О e{?r.

Теорема Д1.3 Пусть выполнены следующие условия: -

> sf^w'--'1Щ

Vji) < ¡/¡(x,t), ' (i,i) «ЯК (О, Г)

v0(i)<u0(.t), reft

Af = a. 13

Тоща и(г,0 >^/»! + 2Ь(1,0-а|, (г.Ое <?г

Тахим образом, за счет выбора коэффициента диффузии в линейном случае получена двухсторонняя оценка решения нелинейной задачи через решение линейной.

В заключения кратко сформулированы основные результаты и выводы, полученные в работе и выносимые на защиту.

1. Проведен анализ двух различных трактовок так называемого правила аддитивности Шейля, относящегося к обобщение уравнения, описывавшего кинетику превращения аустенита в перлит при изотермических условиях, на неизотермичесхий случай. Показано, что вообще говоря эти трактовки приводят к различным результатам, но в отмеченном конкретном случае эти результаты совпадают.

2. Для указанного случая проведен анализ существования, единственности и устойчивости к вариациям параметров превращения решения краевой задачи для интегродифферекихального уравнения с частными производными, описывавшей аустеннтно - перлитное превращение в стальной образце, при различных предположениях о коэффициентах уравнонля. Полученные результаты дополняют известные ранее в литературе.

3. Впервые поставлена обратная задача об определении функциональных параметров аустеннгно-перлнтного превращения по результатам косвенных измерений. Паны различные постановки этой задачи.

4. Для некоторой базисной постановки доказана единственность решения данной обратной задачи.

5. Для двух возможных постановок разработаны алгоритмы реие-ния, проведены численные эксперименты, подзывающие корректность этих постановок, и оценена разрешавшая способность алгоритмов.

6. Построена двухсторонняя опенка решения задачи нелинейной диффузии (описывающей цементацию железной заготовки) через решения

и

соответствующих линвхных задач,

Основные результаты диссертютщ оцубцихованы в работах;

1. Иепетилов A.B. О некоторых априорных оценках решения задачи нелинейной диффузии.// Вест. Моск. ух-та. Сер.З Физика. Астрономия. 1990. Т.31. Н.4. с.8-12.

2. Гласко В.Б., Иепетилов A.B. Об одной обратной задаче технологии и единственности ее решения.// ХВИ и МФ. 1991, Т.31, N 12, с.1826-1834.

3. Гласхо В.Б., Степанова Н.Э., Щепэтхпов A.B.Кадьнер В.Д. О единственности репения некоторых обратных задач технологии.// Тезисы дохл./ Мехд. хонфер. "Некорректно поставленные задачи.в естественных наукы", Москва, 19-26 августа 1991 г., с. 109.

- 4. Щепетхлов A.B. О применения теоремы Сарда к доказательству единственности репения краевой задачи для одного полулинейного параболического уравнения с нелокальный источником.// Дифференциальные уравнения. 19Ö3. Т.29. Н.8

5. Гласхо В.Б., Иепетилов A.B. Обратная задача бпределения параметров фазового превращения в стали для модели Шеиля.// Вест. Мосх. ун-та. 1994, Т.35, N.1, с.3-8.