Некоторые вопросы существенно бесконечномерного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРА1НИ ШСГИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рухопису

ЮГДАНСЬКИ Й Юра ВЬсторович

ДЕЯК1 ПИТАНИЯ СУТТевб НЕСК1НЧЕННОВИМ1РНОГО АНАЛ13У

01.01.01 - Магемагачшй аналЬ

АВТОРЕФЕРАТ дисертздц на здобупя паукового ступени доктора фшахо-математичння наук

Кн1в-199б

ÄKcepraxjiero e рукопко

Робота виконша в Надюкалькому техтчному ушверсигет! Украши "Кшвсышй та/нтехштавай шстатут"

ОфщШю ополента: доктор фшосо-ттталгошх наук, ирофесор Ейдвлькен С.Д.,

---~ доктор ф;з12<с-к£уе1';гтачкк2 шук

Кочубей А. Н.,

доктор фЬяко-матемагачнкл наук, професор Феллер М.Н.

Провщиг устгнозг: Нггоональмнй Угпверситет ¡м. Тараса Шевченка

Захист в1дбудеться " Ф об 1S96 року о годин! на гасадгшя спедшпзоггш! ради Д 0L66.01 при 1исютут1 катематш® HAH Украши за здресогс: 252601, Кше-4, МСП, вул.Тероденхшська, 3.

3 дисертащею можна ознайомитись в 616л107еш шсштуту

Автореферат розкяано " S" Q5" JSS5 року

Вчений секретар (Л? ___

свеашазозако! ради //

доктор фшжо-мат«матнчнщ наук Гусах Д. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальность теми, Дисертгдш прнсвкчеко дссл1д>:<е.'ясо р!з-иш£ задач для диферешиалышх ршяянь з суттгЕс нескмиея-нозамрникн сперггорамл як у лшйксму простор!, так I на най-прсстшзк келшшша многсвндах.

У простор! фуихщй схшчекковиюркого аргументу лшйипй однорщшгй еяштичнЕЙ диферекц!алышй зграз (дал1: днфереи-д12лький оператор) другого порядку же Еетляд:

5р Асх)ги"(х), (1)

де Д(Г) - додатинй лшшняй оператор при кожному 32 « Ця фор-гтугл яказуг кг один з кожязввк шляхш узатальиення покяття елштеткого язферегегиалького оператора другого порядку ка запало:* фумхцй кескшченнознгаркого аргументу. При пг-с:-г; уза-г«ьнекк1 /ЧСс) - додатннй ядериий лЬайнпй оператор у пльберто-иому простор! аргументу. Дяферешиаяьт ршняння з такими опера-торгмз кзерша буяо розгяянуто з роботах Ю.Л. Дадецакого,

3 какого бо:<у, у зипадку яескшчезшсзнгарного аргументу !с-нуе ДЕфереивдадъкнй оператор другого порядку, що не когсе бута вкладено з цг узагалъкекня. Меза йда про оператор Лапласа-Лев! (Л.-Л.), яккй у простор! на функшяж к ласу С"* (за Фреше)

зшначепо за формулою: 2

= ^ |faC«>. (2)

n —> со

Цей оператор був запропонозаннй П.Лев! у 1922 poai в робот!, в якгй ним буяо сродозжено дослздгзсеняя P.Faro (1919 р.) гармо-шчнш фупкцШ ira гильбертовом/ простор!. У роботах Р. Га го та П.Лев! буяо знайдено розз'язок задач! Д!рЬсл8 у пльбертозй ку/d для в1дповщ1НХ ршнянь Лапласа (Р.Гато) га Пуассона (П.ЛезО.

У подалъшому вей напрямок дослгджень внявнвся майже забутки.

В5дродясезшя цього напр ямку починагтъся з середнни 50-я ро-к!з 1 пов'язане г ш'ям Ю.М.Полмцука. Ним отрикако р!зиомам!тт результата, що стосуготься теори фуккщокалших середшх та кра-ёовеск задач для ршнянь з оператором Л.-Л. на Ьетегралышх фугек-цЬналая. 3 1965 року нескЬгчегКоаяшрш елштичк! рЬкякш: з операторами Л.-Л. рвзглшуто в роботах М.Н.Феллера. Ним доведено едкшсть розз'кжу вщповцшо! задач! Д1ркле, досждясено р!зиома-штн! ршшшяя з оператором Л.-Л., шбудовано у вщповшкт функ-цюнальних просторах диферевд1альш операторы будь-якого паршго порядку, що породнен! дафереищалмявд экразом Л.-Л. У 19671974 рр. з' является цикл пубяжацш Г.€. Шилова, у якта оператор Л.-Л. бут розгляиут® з точки зору теорМ комутатЕзнии кормованих кЬюць. Досдшжешш Г. €. Шилова буш продовжеш у роботах

A.С.Немировськсго, ¡.Я.Дсрфмам, В. Я.Сккнряаюго. Ними було за-пропсзюзако дещо вш варшгга озыачеиш оператора Лапласа, блкзьхого за характером та свом вяасгавостям до оператора Л.-Л. та досладжено р!зломгшгш задач! для ршдаш» з давда операторами. Оператор Л.-Л. та його иоднфжаиН дсстджув&шсъ в роботах

B.В.Калыпна, В. В.Сэколозсьхого, В.А.Народнцьжого.

Йшшрюсй аспекта оператора Л.-Л. розгяянуто а роботах

У.Назе8а\«/а, Н.Н.Кио, К.Зайо, Г.Н1с1а, Ы.ОЫа.

До р!вняш> з оператором Л.-Л. приводить де*ш задач! теори нядпровщносп (Н.Н.Боголюбов, R.Haag, МЛТЫггшз, А.\УеЬг1) та теори керованих систем (Ю.М.Полщук). Новкй с плеск штересу до оператора Л.-Л. иов'язаний з роботою Ь.АссагсЦ, ¡*.01Ы1Ьсо, 1Л/.Уо1оу1сЬ (1993 р.), у якШ було помчено зв'язок мик гармо-

шчнкмн за Лев1 функцЬгми з розв'язкамн р1вншшя Янга-Мшлса. Ця робота шсшрувала с ер ¡го нешодавшх публгкацш Л.Аккард1 та О. Г. Смолянова.

У робот! 1977 року автором дисертацН було заяропоновало клас днферешцалънтс операторов другого порядку, що узагаль-шоють оператор (2) та успадковутотъ у« основт властнвост1 ос-тагеп>ого.

Вшдовшшй дпференщалыпш вираз другого порядку ("ел1п-тичний суттево нескиченновимрний оператор") було внзначено за формулою

(¿1000= си.'&)), (3)

*

де^ - фшсованнй (або залежний вщоГ - внпадок зишни коеф1-Шент1в) лшшшш невщ'емний функцюнал на банановому простор! ВС(Н) самоспряжених обмеясегаос оператор1в в зчпсленновпм1рному дШсному г1яьбертовому простор! Н . При цьому припущено, що ус! оператори з скЬгченного рангу (а тому 1 у« компакпа)

належать до його ядра.

До числа таких операторш належить I оператор Л.-Л. Оператор (3) успадковуе уел основт властпвост! оператора Л.-Л. (лейб-кщшська властпвкть: I ¿(^>о

для будь-яко! цплщдрггчно! фунгаш И. класу С^ ) 1 це в значтй мр! впзначае спецнф^чга власпгвосп р1вшшь з такими операторами.

Тому дослшження гшференц1альннх ршшпш з суттево нескш-ченновнмрними операторами е актуалышм як з точки зору загаль-но! теори неск1нченновим1рного аналЬу, так ! зважагочи на можлшп застосування в теори внпадкових процесш, в теори надпровщносп, при дослхдженш ршняютя Янга-МЬыса.

Мета роботи - дослиження ефектш, шо виникають у задачах для диференгиалъних рЬнякь з суттево неск1нченловим1рними елш-пгчнимн операторами та побудова суттево нескшченновим1рного по-верхневого середнього (природного аналога класичного поверхне-

аовими. В н1й зокрема:

- встадювлено достатш умови коректносп задач Кош! для рш-шпсня теплопровцлосп з нерегулярннм елштичним оператором та для суттево нсскшчешювж-прмого парабол1чного р1вик}тя ¡з збурен-ням оператором першого порядку;

- знайдено нов1 достали умовн побудови гингругш за формулою Чернова;

- запроваджено суттево нескигченновим1рний елиттичннй оператор на поверхш скигчетю! корозм1рност1 у гшьбертовому простор! та дослшжено коректшсть зада-ц Коип для вишовщиого р1в-кяння теплэпровшностц

- знайдено розв'язок першоТ крайово! задач1 для суттево нес-к1нченновим1рних равняю. Лапласа та Пуассона у строго о пук лих областях гшьбертова простору;

- лобудовано суттево нескЬгчетювш-прш поверхнев1 середш для функцш на строго опуклих поверхнях плъбертова простору та отрнмано вшповиш аналоги класичних формул Грша;

-. дослшжено другу крайову задачу для суттево нескимен-новим1риого р!вняння Лапласа у строго опуклих областях гильбертова простору.

вого штеграла).

Вс1 результата, шо вихладен! в днсертацп, е

У робот! викорисгано методл теорН ево-люцшних ргвнянь, зокрема пшгруп операторш, диференшально1 ге-ометри, опуклого анал1зу та суттево несктчогнозт-прного анал1зу.

Теоретнчна та практична тпнтпсть. В дисертаци дослщжено Hoei ефекти, що пов'язат з суттево нескитченновимршин дифе-реншалышми ршняннями. Розроблено noei методы, що даготъ мож-ливють розв'язувати суттево нескшченновшйрш диферени1альт р1вняння як у лшйному npocTopi, так i на нелшшзшх поверхнях. Отримано суттево нескшченновгопрний аналог класичного поверх-невого штеграла. Результата дисертаци моясуть бути використат при дослшжент вазкливих проблем физики.

Апробатя роботи. Результата робота доновщались: на 11-тш школ1 з теори операторш у функцюнальних просторах (м.Челя-бшськ, 1986 р.), на Кримськш математичнш школ1-си>шоз1ум:1 з спектральнпх та еволгоцШних задач (I - 1990 р., III - 1992 р., Y -1994 р., YI - 1995 р.), на Ктвському ceMiHapi з функщоналыюго анал1зу (1нсппут математики HAH Украши, кершники: акадеюк HAH Украши Ю.М.Березанський, проф. М.Л.Горбачук), на семЬ Hapi з теори випадковпх пронес ¡в та розподШв у фушапоналъних просторах [нсппуту математики HAH Украши (кер^вник - академгк HAH Украши Ю.Л.Даленький), на семшар! "Числення Маллявена та його застосування" Гнсштуту математики HAH Украши (керш-ник - д.ф.-м.н. А.А.Дороговцев), на ceMiHapi "АлгебраТчга структу-ри в математнчтй фиищ" Нащонального техтчного ушверситету Украши "КП1" (кершннк - академж HAH Украши Ю.Л.Далець-кий).

Пубткацп. Ос но в га результат днсергаии опубликовано в роботах [1-14].

Дисертацш складаеться з вступу, трьох глав та списку л1гератури, що мктитъ 154 найменування. Повний об'ем робота - 267 сторшок машинописного тексту. ЗМ1СГ РОБОТИ У встуш об1рунтовано актуальшсть теми, дано короткий ог-ляд результатов, що маютъ безпосередне вщношення до теми робо-

ти, вккладено змют дисергацп.

Перша глава присвячена досллдженню задач1 Коии для па-рабол1чгак р1внянъ з суттево иескщчешювю-йрш£ми 1 нерегулярни-ми елштичними операторами для функцЫ на плъбертовому просторь

У § 1.1 дослшжено додатш лЬпйш функгцонали на банахово-му простор! Ё>, (Н) самоспряжених обмежених операторш, шо д1-готь на внхидному сепарабельному нескшчетювим!рному дшсному гигьбертовому простор! Н •

Озшчешы 1.1.1. Лшшний обмежешш функцюнал ^ '•6С(Н)-»К назвемо суттево нескшченновим1рним, якщо ус1 скигченновимрн! оператора з ВС(Н) належать до його ядра.

Конус додатних суттево нескшченновим^рних лшшних функ-шонал!в позначено через ,1С н = } (Ц) ; конус уск додатних лпшгнмх функцюналтв на (Ц ) позначено через ^ = 5 (И) .

Для будь-яко! послиовиосп додатних «дерних операторш, що

задовольшготъ умовн Бр Ап= С0П5£; ИА^Ц -+0 функшонал

С*-*" С (його область визначення у* в (Н) ) шс-

п ™ Г п. с

ля продовження за теоремою М.Г.Крейна на увесь Ё>С(Н) являе со-

бою приклад функцюналу з Т . При Ап~— Р ( Р - ортопроек-

^ . 1|г П» Г»»

тори, традицйшш функцюнал "Лалласа-Лев1".

Твердх<ешчя î. Î.2. Будь-гаетй j & J мозкиа представши у ви-глядк £ "ji*¿2 . де 5рА(0 здерний), а

Jc и . Цей розклад единый.

У подальшсму згихлнву роль вщпраготь спешальш класп

гшозхин у просторах сператорш-.

Ознхчеаня Î.Î.3. Мнояащу % С будемо

иаятат

Чг. С

мгйгхе кашжшою, якщо \fi>0 3 компакта множина J{C { Ну] т а числа П^Ш ¡Ci (0, ос ) так}, що Л+@п - g -cirica для (тут Qn с = - множима ycix скш-

ченяов!пяр1ПЕ oneparopis з Н2} , ранг яких не перевихдуе П

а норма не перевшцуе С ).

Сукуптсть маяже компгктнпх шдмнозкин в { Hj И2 } будеко познзчати через Ж tf^J 7ЭГСН)='ЭТВД Н) . Май;::е компакта пщмиожнин успадксвують cepbo традпцШгас: влзсшзо-creâ ксгтактнтс шдмногпш.

Оснознпй результат § Î.1 - теорема про представления суттево нескщчеинсшя-йрних додапшх фунжщоналш.

Теорема 1.1.6. H ехал £ б Хс н ( H ) . Тод1 для будь-яко! се-парабельно! шдмнозгсшш X ^ £>с СИ) iciiye посл1дозшсть додатних скшченновитрних операторш |Дт} така, що !|/4mil

SpAm=lljl (VW€/V) та ¿'mjSpAmC для VC6X

прпчому збЬзгасть SpA^^O^J (' ) ршном^рна на будь-якш най-лсе компакт! пй шдмнояшш Ж С X .

У § 1.2 отрпмано достатга умови розв'язност! ршняння тепло-ripoBuutocii з нерегуяярннм елштичнин оператором.

У вшповщюст! до робота [Аиербух В.И., Смолянов О.Г., Фом1п1 C.B. Труды ММО, 1972. - т.27, с.247-262] шд нерегулярным елштнчннм диференщальнпм оператором другого порядку

розутемо оператор, що "визначений за формулою (3), де £ У , але не може бути зведеннм до виг ляду (1).

У вцщовшюст! до тверджекня 1.1.2 нерегудярний елштичнпй оператор (3) допускае (еднне) представлешхя у вигляд1

С1 ас)сх> = £ 5р Аги'сх)+| 00 (Ъ."(X)),

^ . ^ (4)

де о3 6 1СИ.-

Через 01 позначимо множину функцш класу

СЧН) , що

задоаольняють умови:

1) для Чъ.€(к> ЗЖ^ТХСН) така.що

гс"(-х) е ^ для | ||а|| <(}] ;

// * ** <>

2) 11 Со ршношрно неперервна на обмежених множинах в п. Цей клас функцш - шдалгебра в

счн).

Прикладами функцш алгебри 01 е функцп ввду: = 4 ) . де Ьт £ Ь/Н);

Т" - компактный лзтйннй оператор в Н ; С^ТК*"-?-Н) 1а | £)-р1вношрно неперервна на обмежеких множинах в Н

(твердження 1.2.3).

Розглянуто задачу Кош для ршнягаш теплопровишосп з оператором (4): "

¿Хи(х.*) , (5)

^ (X, О) ~ -йт И(зсЪ) = усх) .

¿-><9+ ' (6)

Теорема 1.2.5. Нехай ~Т £ (0л<х>) ; ^ £ 01 га ¡снуготьтак1

стал! С>0- .шо \\Ч>Ы * С ехр ||х1|2)

для Ух € Н . Тод1 задача Кош (5)-(6) мае на штервал! (.0, Т)

розв'язок, що може бути поданим у вихляли

к.С$ ^'сРА Л

де = - таха послиовтсль додатгап: скшченновгоар-

Ш2С операторш (що залеяапъ вад та сС ), що || II 0 та $р Ап - IIсо || для \/цё.А/ ; уИ-^ (г/ас) - гауссова мра в Н з корреляцшннм оператором А .

Нехай ¿О, = & - клас функцш, що впзначеш та неперер-вш в 2 - Н * Г<9, Т) (тут Т б СО, +- ) ), двга неперервно дн-ференцйовш за ЗС , неперервно диференцшовш за £ у та щдлягаготь таким умовам:

а) УиеО, ЗС>0,

а е [0, 2тЙдП ^ 1ак1, Щ0 неР5вн1сть Селр(а||х||г)

виконуеться при \/(Х,Ь)£ 2 ; б) 6 \/0.>0 юнуе таке

Ж£Ж(Н) ,Ш0 и^Сх^еТС при_Усх^)€Вй*ЙТ).

Теорема 1.2.19. Задача (5)-(б) мае у клас1 не бигьш, як

один розв'язок.

Розв'язок задача Коип, то отримгно в теорем 1.2.5, належить до класу . Крт того, р'пзнотрт збЬгппстх» на И початкових умов <р спрнчшие р!вном1рну збЬкшсть на Н * [О, Т)

1х розв'язкЬ. У цьому розумшш молена казата про коректшеть задач1 (5)-(6) у хлас! функцШ

У § 1.3 результата, що отрнмаш вшце, застосовуються для ви-падку суттево неск1нченновнм1рного ритютя X, ) •

Через позначено шдалгебру фЬппшх функцш в (Я. через X * 2 замикалня за нормою р1вном!рно1 збшносп.

Твсрдженоя 1.3.3. Неяай дпференцьалышй впраз визна-чено за формулою (3); ^ Тс н • "Год! У^ £ : <рб X I тому вшначено лжшннй оператор : 01 X • Оператор допускав замихаяня та Л е генератором ^С^-твгрупи сгисюв

т\ь) на X (тут для «>б та ^ЬФ^У-ТЬ)^^

у гсСх^Ь) - розз'&зок задач! (5}-(6)).

Для вштадку нерегулярного оператора (4) покачено таку злас-

тквкть розз'язку задач! (5)-(б): яхщо ¿'.рр^С { К (1|Х-Х0||

то для ¿>'¿„ = -2— розз'язок для Узг^ И.

о II со II ' *

_Шзгрупа ирк ¿И мудггашкагиБка:_

7%) 0« гг)= Т«5«:)*. ■ Т<^)1Г СУч^еХ;

У § 1.4 отрнмано допомЬкний результат - достаппо умозу ¡спу-вання швгрупи.

Теорема 1.4.1. Нехай СЬ £ (Д ) С ¡Д -+ со) ) - од-

ношраметрична сш'я обмежених дшшних операторш у банахозому простор! X ; 1| £>(•£)!! ¿1 I Ь(0) = 1 • Нехай 2) - щ!льшш в X, лбйлшгй многовнд, на як ому внзкачено я!шйшш оператор Д та кезш'емна функа!я ^ : 2) ~>^ . Нехай викоиуготься так! укозн

1) №2)с2) д^ Ц€[оло)

2) 3 о}+р>1 так!, що кершшстъ )Ь(^)ЭС--Ь(£<-б)х || ^ мае м!сяе для век

3) таке, идо нершшеть виконуеться для та У € & \

4) для X £ 2) ; V £ € (0, ^ ) наг мкце нерштсть:

|| ЬШэс-эсН ;

б) 3 функцш : ¿^) *2) така-

' V £ € [0,1 ") та У ос € 2) ВЕжонуються умови:

•Ц £ (Ьа)х- х)~Ах ||

для Ухб2) : <^(Ь}х)->'0 при ±-±0+ ;

для \/х ; £ б :

> СЬ^Л**)-^ при п . (7)

Теш ДЛЯ У"£ 6 [о. + «5) ¡снуе &(£) ;

У(£)- (С^)-твгрупа сгискш в X та у^^ — Д #

У тому випадку, якщо умову (7) не вдаетьог задоволыштп, георема запшгаегься справедливого в ослаблетй форм!: швгрупа

# лИ

ОД}»

) кнуе та Л е обмеженням ц ге-

Ь -> да 2 л

нератора \]'(0) 113 лишний многовпд ¿у .

Теорема 1.4.1 у повиому вар!ант1 засгосовуегься дат при доведет» теорема 2.3.7, а в ослабленШ форм1 при доведенш теореми 1.5.4.

У § 1.5 розглянуто суттево нескшчезшовшйрщ елиггачт оператора Ь гмшшет коефнпентамп:

Доведено, що при вщносно слабкнх обмеженнях на воображения £ днференщальннй впраз (8) впзначае дпферешиаль-ний оператор у простор! 07$ — X .

Тверджеяш 1.5.1. Нехай ^ : Н-»-^ ц таке, що ^0>(В>)€.Х

Для Ь (Н).Тод1/(реХ лля •

Для вшображень спец1ального виг ляду:

¿¿с)« £ в<ксх)^к Ок 6 ^С.н. > е О-о****0' К* ) ОТрИМаНО такий Р®37"

льтат..

Теорема 1.5.4. Нехай £ ' Н —► У внзначене за формулою (9). Год! в X кнуе С^-швгрупастискш \/(Ь) , для

яхо! У'СО)! = >С .

, .

Детаяьшше розглянуто випадок вщображення ос

<Мс.и>

3 дкю метою доведено аналог форму ли М.Када.. Нехай (Х'= 01 | ^р ОС ' замикання

за нормою ршномирно\ збЬкносп. Тод1 СС -алгебра, а X * X ~ модуль.

Нехай - твгрупа в аг , що пов'язана з за-

дачею (5)-(6).

Твсрджашя 1.5.13. Нехай Н- > = ^ :

визначене за формулою (3); Т^СЬ) " в^овиша шв-

групав X ^ ^ еСС; Тод1 на X визначено обмеже-

ний оператор С^СО-/,)"1 . причому для X маемо:

о о

Наступив твердження е насадком формулы (10).

Тверджеыия 1.5.15. Нехай с(& Э£ ~>0¡¿^ Те н •

Тод1 Ы,(') • генератор (С0) -швгрупи стаскав :Х~*Х,

що визтачена за формулою (\/<5) гс )(х) = [Т^^ЗуХ))^] (ГС),

де для \foze Ц Ь С'; ос) е оберненою функшею до функцц €

О

У друтШ глав1 дослшжуеться задача Конп для р1вняння

П>Ь ^ 5 ^х (П)

на поверхт скиченно! корозм1рносп у г1льбертовому простор! Н • •При цьому поверхню $ (II даш называемо лрипустимою) визначено як поверхню стлыюго ршня скшченного набору функщй

..,»»): $= П, 19к Умови: 8* « СрС-Ю^

- фштп та Ln$ Г(х> = ГЧ^зс),..., >0

( г

- визначних Грама) забезпечують Н гладюсгь та обмежегасгь (тут i в подальшому символом Cp(G) позначено клас функцш з С K(G ) , для якпх U (•) piBHOMipno неперервна на G ).

Вкладення S Q Н дозволяе ототожнити дотнчлий npocTip Тж S з шдпростором в Н ; самоспряженому обмеженому оператору А в Т S молена посгавити у вщповщшеть оператор

А ® 0 € 6> (Н) > що узгоджгно з розкладом Н = Тж S ©(Т-S )

С 2

Це дозволяе для 1С б С CS) штерпретувати як

оператор в Н ( V - шдуковала вкладенням зв'язгасть Лев1-Чив1та

на S ).

Означения 2.1. ti. Домовнмось, що *Z¿ € ÚZ CS) , яасицо It е Ср CS) ( V ^ > - piBHOMipHO неперервне на S ) та icuye 71е?П(Н),ДЛЯяко1 С72п)(х^€71 дляуск OCéS-,

Ol(S)- щдалтебра в CpCS) П замикаиня за кормою pÍBHO-MÍpHoI збЬкносп позначЕмо через X£S) .

У § 2.1 розгдянуто зв'язок мдж алгебрами

ton

та ÜlCS)

(вцщов5дно X та X(S) )•

Тверджеоня 2.1.11. Нехай 5 - припустила поверхня в Н та функци §Ke(k0 (К-i,2,м) . Тод1

ÜL0> => é ÜlCS)) i

(и« X) =» 6 xcs^).

Означения 2. í. 12. Припусгаму поверхнго будемо наливати по-верхнего класу Ül^ . якщо £ ^ П Ср(Н) та 1снуе

£ тСН)така, що Cg^6>, Т)^) 6 ^ при V^e S; \/j€6lt (b^íoceHlflxlU:!} ).

Теорема 2.1.12. Я кто S - поверхня класу Ol^ , то для будь-яко! функци h, е ОС СS) ¡снуе фушад1Я V£ 0lQ , для яхо! = (при цьому для Ite X(S) icHye продовзяення з простору X )-

Процедура продовження визначае лшшний неперервний оператор L : XCS) X , то пов'язаний з оператором обмеження

рХЭ1Г»—»•^is^€ ~Х(5)~сшввщно1яенням: id .--

У § 2.2 розгляиуто загальга властивосп суттево нескшченно-вимрннх елштичних операторш на припустамих поверхнях. Щ операторы визначено за формулою:

у якш i а Г , a (S^ic) (ОС) штерпретуемо як оператор в И . JC.H. -

Твердоеехия 2.2.1. Нехай О - припустпма поверхня в Н ue CpCS) та VeCp CS£-продовження 1С у £ -окш 5£ поверхга S • Тод] для ОС 6 S> мае мкце р!вшсть:.

де векторие поле У (воно визначене в S^ при достатньо малому 6 > О ) мае в иг ляд:

УОО=

ГСХ)

/V Г Coci •

(13)

0

(тут Г£с)- вщпов1дна матрица Грама).

Лема 2.2.3 (пришит максимуму). Нехай - припустпма

поверхня в И класу бСрСЮ) ; "W" - вшкрита множина

в Л <У топологи, що мдукована вкладениям S Н ); ^ € Cp(S)j на W" . Тода S^pli = iu^ ц, .

о

Оператор '. CQ (S) С (S)> шо визиачений за форму-j р Р

лого (12), допуска« замикання та задовольняе умозу дисипатнвност!.

Твердженвя 2.2,4. Нехай S - припустила поверхня класу С^;

UfveCpCS)(n€ñ/)'J2ltL-*0 i Ji^u^nf ршною'рнонаб..

Тод1 ITs 0 •

Лемг 2.2.5. Нехай S - прнпустима поверхня класу С . Тод1 2

для будь-яко5 ueCpCS) маемо: , де i|n||=

= Sup I-uc»!. S

У § 2.3 дослщкеко задачу Komi для р1вшшня

Dt . х

(14)

у гигьбертсвому простор! Н .

Тут 2 - векторне поле на Н , на яке накладено так! умогя (у подальшому так! векторш поля вщноекмэ до класу (Л^ ): а) - фЬптне векторне поле класу Ор(Н) ;

• б) €ТЗгСН);

в) {(Т^'^Ь СхЗУ^О I =

Георема 2.3.7. Нехай - ддференц^альнпй вир аз, що ешнз-чено за формулою (3) £ у ) ; £ • векторне поле класу 01 0. Тод1 коректно визначено лнпйнвй оператор : X ,

вш допускас замикання ! його замикання е генератором (С^ ) -ша-групи стиск!в у простор! X -

«

Задачу Копт! для р!вняши (11) д ос лишено и § 2.4. Це досл!дл:ення потребуе б!лгт жоре псих умов на пезерхнзо ¡э .

Озязчеяия 2 (и.2.4.1). Будемо називатн 2£ ( Ся -

вшкрита множила в Н ) функщею класу (¡К)» якщо

не Ср(С); Н"<Г=о I хе С!} е т Сн ) та

{ О'Со, | И «<31 е тСЮ.

Озтчеаая 3 (п.2.4.1). Припустиму поверхню 5 домовнмось називати поверхнего класу 01^ , яюцо юнуе окш поверхш Б , у якому дк ё 01 Св£); I ок е СИСЬ,) ¿,2.п>).

Для поверхш класу векторне поле у , що визначене в окол1 поверхш 5 за формулою (13), моясе бути продовжене

^до векторного поля класу , що визначене на всьому Н Це дозволяе пов'язати з задачею Кош! для р1вшшня (11) на поверх-т 5 задачу Коип для ршняння (14) в усьому простор! Н . Через \/Ц) позначимо вдаювщну твгрупу з генератором ¿ + 2 ■ Тод1 у простор! ХС&) визначено однопараметричну сгм'ю операторш

?°\/&)>£}Ле I: р : Х~+Х(5) - визначеш вшце

оператора продовження та обмеження.

Теорема 2.4.3. Нехай о - поверхня класу Ск^ в Н ; Ус ^ . Тод1 оператор : коректно визначено за форму-

лого (12),'а однопараметрична сш'яоперагорЬ УГ(Ь)**р°\/(ОвС е мульгншпкагивною (5^)- швгрупого в ХС£) з генератором .

У § 2.5 розглянуто дежи пршсладн поверхонь класу .

Тверджеыыя 2.5.2. Нехай Ь1>...> Б^ - обмежеш нев1д'емн! самоспряжеш оператора в И ; Ь^ £ с< I > О у

14 К1+...-*Кх£Рп 5 (15)

(тут 4>0} К,"еА/у>О ).

Тод1 поверхня {х належигь до класу С^ .

Твердження 2.5.3. Нехай Ь, С с Ь^СЮ ; Ь>«><1>0 та ¡снуе таке £ >0 ' , що

б.Сь-с^п (£,+«> > Ф0

1бСЬ-С)ПС-£5£) =0".

Теш поверх] 1Я 5 = [эг|(Ьэс)х)=(Сзс^ос) = \ | належить до класу Ос± .

Для сфери отримано формулу:

г £Ш -1М!}

де

Х<Г5); ^ € X

- продовження фушаш на весь прост¡р И ЛЬ) - твгрупа в X з генератором .

У третШ глав1 дослхджено крайов! задач!, що пов'язаш з сут-тево нескЬмекновкмрннмн елшпгшкми операторами.

Задачу Д1р1хле для ршнянь Лапласа та Пуассона у гильбертов ¡й куга було розглянуто вперЩе ще в роботах Р.Гато та П.Лепи Детальшше цго задачу для оператора Лапласа-Лев! та Його модиф1-кацШ було розглянуто в роботах Ю. М. Полшука, М.Н.Феллера, Г.е.Шплова, ЬЯ.Дорфман, В.Я.Сшшрявого.

У цвх роботах було отрнмано теорему еднност! для задач! Д!-рЬсле у широкому клас1 областей та формула для розв'язк1в цих 'задач. При цьому розв'язки було отримано т!льки для областей внг-ляду: (Ц - {ос | <с ], де н 1 в Н ("фуидаментальт

облает!").

У дослшжетп, що пропонуеться, цго умову на область послаблено 1 розв'язки задач! Д1рпсле для ршнянь Лапласа га Пуассона отримано при умов! " /з -опуклосп" област1 (див.дал!). Такими областями е, наприклад, строго опукл! обмежеш облает! С] в Из вщпов!дними умовамн гладкое п

Щодо друго! краЛово! задач! для оператора типу Лапласа-Лев1, то и було дослужено В.Б.Соколовським у гшьбертовШ кул!. Проте сам метод ! формула для розв'язку задач! Неймана для рш-няння Лапласа у куда не допускав узагальнення на облает!, що

обмежеш еяшссвдом (иа в ш ишу вщ вщкшшно! задач! Д1р1хле, де таке узагаяьнення в ¡доне) - див.тверджекня 3.6.5.

У дисертацц досщджено другу Кракову задачу для ртвняння Лапласа у строго опуклих обмеженнх областях гильбертова простору Н.

—--У ск1ичетювпм1рному класпчному випадкудосл!дження вщ-

пов1дно1 задач! Неймана в облает! С! С щЬтьно пов'язане з по-

верхневпм штеграяом по нчш~Ь(л . Аналопчна ситу ад ш мае м!сце

! у суттево нескшчешгавигарному випадку: побудовано аналог по-

верхкевого штеграла - поверхиеве середке I на меж! строго

ЪО,

опуклоГ обмеженоГ облает! в И .

Прете з'ясовуеться, що на вщм!ну в!д клаенчно! скшчен-новж-црно! ситу ад !1 умова Г ^ = 0 не е крнтер!ем розв'язносп вишов!дно1 задач! Неймана для р!вняшш Лапласа з крайовою умо-вою ф . -Ця умоза - необхщна, але не достатня - вщповщний приклад наведено у п.3.6.4.

У § 3.1-3.2 дослщжено задачу Д!р!хле.

Озалчатм 3.1.1. Будемо казатн, що поверхня Й нал ежить

до класу ОЬ , якио Б = {зс , де (тобто

£ € СрСБ^ Мьс)|хв ¿^ТООО ) 1 при цьому

осе 5

Озизчевия 3.1.2. Нехай /> визначено за формулою (3) (0^

4 £ 6 5 ). Обмежеиу область С с И з межею 5 класу (X, СМ-

назвемо -опуклою", ямцо \/эсе П виконуеться нершн!сть §(«>1 та (¿(^(-хус О.

Доводиться, що не втрачахт загальносг!, Х> -опуклу область можна задати умовою:

. При цьому э^-э с;=

на 5 ; ihi Н^оИ^О.

Прикладом ¿i -опукяо! облает! е строго опукла обмеясеиа область 0 з И з иежегэ ктасу 0¿ (гтрп цьо.чу (J - [ос lgír)>¿ ] j

<-н1 <0 для aíS )•

о

Теорема 3.Í.Í2. Неяай Q ■ Л -спукла область в И . Тод! :снуе едина фушшья на (2 , що гадовояьняг умози: > О

В С,; S ; 0|с eX(G); rG(í9jG)=-í.

Припьому 0eCpCG) (тут =

'oTlCW)} S = v ¿ :

Функцио 0 будемо називатн фундаментальною óysLOiieia облает! Q .

У тому взшддку, якщо функц!я 0. , що вкзиачае область Q, ííae додагаозу власгазкть: £ , ношг. зробпти еисноноя про бглъш високу стеткь гладкосп футкцп Q' О £ (jl (G ).

Явдо к %zOl0C\ Oi^H) та €Ого e Oi^C).

Теорема 3.2.3. Hexañ С, - JL -опукла область з Н Í $ С ~ позерхня класу Úl4 . ТоД1 для буда-mcoí функдц ф € XCS) icnye едина фукхц1я

£ CGi ) така, що 6

та Qiw.if II визначено га

формулою:

(тут фбХ - продовження vp навесь Н ;T(fc) -швгрупа в X 3 генератором X, )•

Твердясення теореми мае мкце i без додаткоао! умова на по-верхнзэ S (тобто S - поверхня к ласу Oh ), але при пьому ¡ему-

вання продовження греба посту/говати: 1р = Ср | ^ .

Випадок р1вияння Пуассона розглянуто за кдасичного схемою. При цьому доведено, що функцда X ССп ) можна продовжитн на весь простер Н до фушаШ пХ € X (якщо межа 5 нале-жнтъ до класу ), яку не втрачагочи загальност1, можна вважа-

тн фцптною. Зв1дсн робиться веснобок про те, що функцш li^ =

со _

= (- \ TCb^'Hrdt ерозв'язкомривняння Ln

■ о 16 G

У § 3.3 на строго опуклШ обмежетй поверхт в Н побудовано аналог поверхневого шгеграла.

Припускаемо, що Q - обмезкена область в Н , межа яко! S " I QCz)^ 1 з « поверхнего класу Olj_ . Крм того, при достатка малому £>О: е Ot(S£при осе S£nQ . та ¡снуе таке о( >0 , що

< -oil (IV)

для асе S •

За теоремою 2.4.3 у npocTopi X^S) визначено (Cq) -твгру-пу стпскт V/Ci)-

Теорема 3.3.9. Якщо поверхня S задовольняе вшценаведеш умови, то для XCS>i«iye £im ~Vf(t) =W£«>) if та

Wi00) ^ - стала функц!я на £ •

Середне j^Cu) функци <U€ XCS) можна ввзначити як

(природним чином ототожнюемо C°°)i) )• Середне I : X(S}-*1R

- характер алгебри XCS) • Наведено приклад опуклоГ, але не строго отекло! поверхт (виконуються sci вшценаведеш умови на поверхню S Ь замшою умови (t7) на умову. ^(х) ). для яко! твердження теореми 5.3.9 не внконуеться (приклад 3.3.11).

Задачу Неймана для ршняння Лапласа з суттево нескигеен-

новнм!рним елштичннм оператором розглянуто у § 3.4.

Область С} задовольняе умовн § 3.3.

Для 4>а Ol.CS) футгкцья 0)1ъ <р| 6 СрСС,) (днв.Об))

1 тому на Э коректно визначено функции -2- <*> 6 X (б)

'Эл.-

( нормованлй вектор внутршшьо! нормал! до § у точщ ХеБ).

Оператор — припускав замикання

!прицьому Д^ °2>сЪ = II Н| ' (тут 06) - фундаментальна функцш обласи С! ).

Тесрема 3.4.3. Оператор А/ - генератор (С^-швгрупп стнскш 11(1)'-Х^) -+Х($) 1 прицьомудля УэсеЯ \fueXCS) мае мкце формула: ({/(в) ^ ) СО = х))'«.] (ос)

де £ С £; х) = £ (5) - функцк, що обернена до фунмщ

5 (к) - £ [Шг^НЯ'соН! )]<*>с*т.

При цьому для У 1с € X (Б) :снуе

о

Задачу Неймана для р!вняння Лапласа а облает! О? ставимо як задачу пошуку тако! функци К. е С ССл ) , для яко!: И1

(18) (19)

б 2) (Л/) ; > =

I

де Ц?е ХСв) - крайова умова.

Критер!ем розв'язносл задачз (18)-(19) е умоза:

оо

5 ЫСО ^ зб!гаеться . (20)

О

Розв'язок задач! (18)-(19) - адшзй з '»очшстго до стало! ! при цьому СЮ

гс « - ( ^ Х/СЬ) Ч с1Ъ ) + сопи . о

Необхщкого умоБогз розв'язност! задач! (18)-(19) е умоза:

_!<; Ч ~ О.__<20

За анашогкго з задачею (18)-(19) може бути поставлено грета крайову задачу для ршняния Лапласа:

де V, 6 Х(Б) - крайоза умова; Ш).

У тому випадку, якщо ^рбЧ-) < , розв'язок задач! (18)-(22) !шуе для £ ХС5) ; розв'язок единив ! мозке буш поданим у виг лад:

оо ^

с ехр[ 51/<Гг)б^тг] I/а)ч> . о о

У § 3.5 представлено суттево неск!нченновнм!рш аналоги дея-

ких класкчашс формул Грша.

Це формула Х- (>6 1Р \ = $ , що е аналогом класично! фор-Ь Ь

мули Грша ^ Л с1б ■=* 0 иа компактному римановому многовщц №

м

, а також: формула

Л«

ле 1.1Г= Г С1Г1 К(С0«Т а0'с->11);<и€ЛС«, С 'эа гэс; с

то е аналогом класично! форму ли Грша ^ (дис/гГ

а

У § 3.6 наведено серш р!зномаштних прикладов.

Доведено, що область < { | , де ^ визначено за

формулою (15), е -опуклого областю з межего класу 01. , а тому до не'! можна застосуватн вс1 результата § 3.1, 3.2 (п.3.6.1).

При цьому для облает 1 = (ос |(Ъ*:,*:)<4} (тут

I >0 ) мае М1СЦв в'шома формула:

(Я>Ог.Ч)М = О- СЬа.х»)? ] Сх) .

Для фунта ш виг ляду (чаепшний шгпадок форму ли (15)):

¿ = 1 1,1 (тут £>0;

б/У; О.. >£> ) область (Д = { ос \ <11 задозоль-

няе умови, що накладено на область у § 3.3, а тому для не? засто-совуготься також ус! результата § 3.3-3.5 (п.3.6.2).

Для кул! Ьц - {"эс 111 х Ц <Г К ^ отримано шше представления розв'язку задач! (18)-( 19).

Тверджешш3.6.3. Розв'язок задач! (18)-(19) у кул! 6> моК

же бути поданим за формулою:

Ь

Я ч _____^

(23)

-i

Пх(-Х) = - 5 (2tib<f)(e Roz)dt + const . о

KpirrepieM розв'язност! задач! (18)-(19) е piBHOMipua за параметром ОС е SD збЬюнстъ Ьпеграла у правШ частит (23). Необхщного умовою розв'язност! задач! (18)-(19) е умова

(OH*, Ч>) (0) ~ О (24)

При цьому

1С ч = сзь><е)(0) (25)

(тут S0« {*!«*«»RJ )•

У п.3.6.4 наведено приклад фушащ X Св^) > лля яко! задача (18)-(19) не е розв'язною, незважагочи на те, що для не! виконуеться умова (24). Це доводить, що умови (20) та (21) - не еквшалентш.

Проте у клаа гладких функцш на сфер1 умова (20) та (21),

як з ясовуеться, - еквшалентш.

Тверджешя 3.6.6. Нехай ) . Год1 умова

1с У ~ 0 е критерием розв'язносп задач1 (18)-(19) у куМ £> .

Показано також, що р1вгасть (25) не допускае узагальнення на випадок елшсощш.

Тверджеиая 3.6.8. Нехай е н "> £ £ О • ¡снуготь такий оператор ЕЬ € ЬС(Ю) Ь>ыТ>0 та Функция £ (к ле С> »{х|СЬх(зс)<£5 .то Ъг(к (Я£лч)(0).

У висновках коротко сформульоваш основт результата ди-сертацШнЫ робота.

1. Доведено представления нерегулярного елштичного оператора другого порядку як суми регулярного та суттево нескьчченно-ви>арного елштичша операторов (формула (4)).

2. Отримано зображення суттево нескшченновим!рного додат-ного функщоналу в граничнш форм1 (теорема 1.1.6).

3. Знайдено клас початкових умов, що забезпечують розв'яз-шсть задач1 Кош для нерегулярного ршнякня теплопровщност1 та отримано формулу для розв'язку ц1е! задач1 (теорема 1.2.5).

4. Наведено достатш умови на однопараметричну сш'го стис-К1в у б ал аховому простор!, що дозволяють побудувати ^¿у-твгрупу за формулою Чернова та дають точне значения генератора хне! швгрутш (теорема 1.4.1).

5. Встановлено ряд результат щодо суттево нескшчекно-вим1рши елитшчши onepaTopia ¡з змшними коефкпентами (тверд-ження 1.5.1, 1.5.4, 1.5.15).

6. Знайдено д ост and умови р\вном\рно1 коректносп задач! Komi для суттево нескигченновим1рного р!вняння (-xti) =

(¿+ 2 ijy лшШному npociopi (теорема 2.3.7).

7. На поверхш скшченжй корозм^рносл у нескшченно-BHMipHOMy г1льбертовому npocTopi розглянуто суттево иескщченно-вим!рний елштичкий оператор та доведено piBHOMipHy коректтсть задач1 Komi для вцшовшюго ршняння теплопровишосп "^ii (-xt i)-^(Lc^^CXjt) (теорема 2.4.3).

8. Отрнмано розв'язок задач! Дф1хле для ршнянь Лапласа та Пуассона у строго опуклш обласп пльбертова простору (теореми 3.1.12,3.2.3).

9. Побудовано суттево нескмченновнм1рне мулытшлшапшне середне у npocTopi функцш на строго опуклШ поверхш гшьбертова простору (теорема 3.3.9) та отрнмано вишовщт аналога класнчних формул Грма.

10. Дослшжено другу крайову задачу для р1вняння Лапласа у строго опуклш обласп пльбертова простору та узгоджено П роз-в'язшсть з вшювуушм поверхневим середшм.

OcHOBiri результат дисерташ! опублшоваяо в настугошх роботах: *

1. Bogdansky Yu.V., Dalecky Yu.L. Cauchy problem for the simplest parabolic equation with essentially infinite-dimensional elliptic operator //(Suppl.to chapters IY. V): Yu.L.Dalecky, S.V.Fomin. Measures and differential equations in infinite-dimensional space. - Kluwer Acad.Publ., 1991. - pp.309-322.

2. Богданскпй Ю. В. Задача Коше для существенно бесконечномерного параболического уравнения на бесконечномерной сфере //Укр.мат.журн. - 1983. - т.35, N? 1. - С. 18-22.

3. Богданскнй Ю.В. Принцип. максимума для нерегулярного эллиптического дифференциального уравнения в счетномерном гильбертовом пространстве //Укр.мат.журн. - 1938. - т.40, № 1. ■ С.21-25.

4. Богданскнй Ю.В. Задача Ксши для уравнения теплопроводности с нерегулярным эллиптическим оператором //Укр.мат.журн. - 1989. - т.41, № 5. - С.584-590.

5. Богданскнй Ю.В. Задача Коши для существенно бесконечномерного параболического уравнения с переменными коэффициентами //Укр.мат.журн. - 1994. -°т.46, № 6. - С.663-670.

6. Богданскнй Ю.В. Задача Дирихле для уравнения Пуассона с существенно бесконечномерным эллиптическим оператором //Укр.мат.журн. - 1994. - т.46, № 7. - С.803-808.

7. Bogdansky Yu.V., Cauchy problem for the essentially infinite-dimensional heat equation on a surface in Hilbert space //Укр.мат.журн. - 1995. - т.47, № 6. - C.737-746.

8. Bogdansky Yu.V. The Neumann problem for Laplace equation with the essentially infinite-dimensional elliptic operator //Доп. HAH У кражи. - 1995. - N> 10. - C.24-26.

9. Богданскнй Ю.В. Нерегулярные эллиптические дифференциальные операторы для функций бесконечного числа переменных. Принцип максимума. - Киев, 1985. - 10 с. - Деп.в УкрНИИНТИ, bf> 1425 Ук-85Деп.

10. Богданскнй Ю.В. Параболические уравнения с нерегулярными эллиптическими дифференциальными операторами.

Задача Коши. - Киев, 1986. - 10 с. - Деп.в УкрНИИНТИ, № 42 -УквбДеп.

И. Богданский Ю.В. Существенно бесконечномерные гармонические функции и задача Дирихле для ургзкекия Лапласа в гильбертовом шаре. - Киез, 1S86. - 12 с. - Деп.в УкрНИИНТИ, № 41-Ук86Деп.

12. Богданский Ю.В. Задача Дирихле для уравнения Лапласа с существенно бесконечномерным эллиптическим оператором в области, ограниченной эллипсоидом //Tp.XI Всесоюзной школы по теории операторов в функциональных пространствах. Ч.Ш. -Челябинск: Изд-во Челябинского политеки.кн-та. - SS85. - С. 20.

13. Вогдансьхнй Ю.В. Задача Коып для парабошчкого ршнякня з керегулярнвм елнпычгам оператором //Тезн доп.КРОМШ-1. - Кшв. - 1991. - С.54.

14. Bogdansky Yu.V. Dirichlei Problem for Fotooa Equation with Essentially Infinite-Dimensional Elliptic Operator //Ptoc.efthe Fourth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Simferopol. - 1995. - pp.2S0-251.

Богданский Ю.В. Некоторые вопросы существенно бесконечномерного анализа.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физнко-математическнх наук по специальное та 01.01.01 - математический анализ. Институт математики HAH Украины, Киез, 1996.

Защищается 14 научных работ, которые еодерлат теоретические исследования в облает бесконечномерного анализа. Доказана равномерная корректность задача Коши для уравнения теплопроводности с существенно бесконечномерным эллиптическим

оператором на поверхности • конечной коразмерности в бесконечномерном пш>бертозом пространстве. В пространстве функций на ограниченной строго выпуклой поверхности гильбертова пространства кострагко ~ существенно - бесконечномерное - среднее, - ко--

ropos, применеко при исследовании задача Неймана для соответствующего уравнения Лапласа.

Bogdansky Yu.V. Some problems of essentially infinite-dimensioaal analysis.

Doctor of Science Thesis (Physics and Mathematics), specialization - mathematical analysis. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine, Kyiv, 1SS5.

14 scientific papers containing theoretical studies oa infinite-dimeasionai апа!узЬ arc defended. The uniform well-posechess of the Cauchy problem io? the heat equation with essentially infinite-dimensional elliptic operator on a surface of finite codkfiension in an infinite-dimensional Hilbext space h proved. The essentially infinite-dimensicnal mean in the function space on a bounded strictly convex surface in a Hilbert space b constructed and applied to the investigation of the Neumann problem for the corresponding Laplace equation.

Юпочов! слова: нескшченновим!рний аналЬ, оператор Лапла-ca-JleDi, пшрупа оператор is, пapaбoлiчнe ризняння, крайова задача.