Некоторые вопросы теории инвариантных тензоров и К-теории однородных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ (

УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ имени ПАТРИСА ЛУМУМБЫ

На правах рукописи

КОЗЛОВ Владимир Анатольевич

УДК 514.764.212 + 514.765 + 515.140

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ИНВАРИАНТНЫХ ТЕНЗОРОВ И К-ТЕОРИИ ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВ

(01.01.04 — геометрия и топология)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва—1990

/ .

Работа выполнена в Московском ордена Трудового Красного Знамени областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской.

Научный руководитель —

доктор физико-математических наук, профессор О. В. Мантуров.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Д. В. Алексеев-ский,

кандидат физико-математических наук, доцент Б. Т. Левшенко.

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится « » С^Л^йЯ^йЛ- 1990 г. в час. на заседании специализированного совета

К 053.22.23 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в ордена Дружбы народов Университете дружбы народов имени Пагриса Лумумбы (Москва, ул. Орджоникидзе, 3).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы (117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6).

Автореферат разослан « » 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических паук, доцент

В. Л. КЛЮШИН

он;ая характеристика работа

Актуальность темы. Теория инвариантов н теория инвариантных тензоров, как иэрестно, играгот важную роль в геометрии, алгебре, физике, механике. Вопросы, связанные с изучением инвариантов и инвариантных тензоров, рассматривается с середины, XIX века. Опубликование в конце XIX века известной работы Д. Гильберта значительно ослабило интерес к ним, Новый интерес я теории был обусловлен созданием и развитием теории представлй-иий.

С этого времени известны две класспчсские.задачи теории представлений, тесно связанные с инвариантными тензорами и пн-. сзриантаыи;

I.Задача о разложении тензорного произведения двух неприводимых представлений в сумму неприводимых компонент.

2.Задача о разложении на неприводимые компоненты ограничения представления группы G на подгруппу И /задача об ограничении/.

Г.Вейлем решена задача о разложении р-Т1 тензорной степени простеЯпих нетривиальных представлений классических групп. Разложение описано в терминах симметризаторов Dira особых элементов группового кольца симметрической группы S(p) в связывающих со всякоfl инвариантной относительно представления Ф р -лшойной функцией $ /ковариантннм тензором валеитпо-стп р / новые Ф -инвариантные функции *>i, • Повтор-

ное прсгенение сиыиетризаторов Jtp>,x~,— а функциям п}, !ГЬ ... соответственноt оставляет их боз изменения. В отом скисло говорят, что функции etj,^.j-,jfj-,... имеют тепы симметрии Dira ы , JST» ... соответственно. Простейаимя прспрамп спммотризато-ров слуаат операторы симметрирования я альтернирования. *' ■

Вычисление линейно независимых Ф -инвариантных тонэороо, обладаяцих симметрией Ehra, тесно связано о двумя сформулированными выгэ класспчосккмп задачами теория представлений п, ой- • кот m, в общем вддо является чрезвычайно трудной задача Я. Подтоку приставляют интерес даао ее частные случал, особешто а которых вычисления maio довостл до ira min., налрпяр, при е-п-борэ прздстовленпй особого вцца.

Поставга задачу о вычислении bcdx лпиэГдо птзмпсп-пгл га» парпаптгах тснзсроп, ршаряяптпшг отгтосстолгпо прясоодгаэппоп> ' прздстппясипл группа Яп SLf'vfC) .

Исследование инвариантных тензоров /полилинейных форы/ ..риооедшенного представления имеет важное математическое значение. Среди таких тензоров особое место отведено симметрическим и кососимметрическим, принадлежащим простейшим типам симметрии. Как известно, коэффициенты характеристического полинома, матрицы присоединенного представления являются инвариантами, т. е. инвариантными симметрическими формами. Кососимметрические ин-. вариантные формы используются при описании когомологий групп Ли. • Представляет интерес рассмотрение инвариантных тензоров других типов симметрии.

В связи с последними замечаниями, постановка задачи является актуальной.

В диссертационной работе для каждого наперед заданного типа симметрии в явной форме строятся тензоры валентности 5 и 6, указанного в постановке задачи вцца, с симметрией £Ьга.

Дня валентности рй к такие вычисления проведены А.М.Борзе-

юго4\

, Изучение инвариантных тензоров обычно, так или иначе, свя-аано с однородными пространствами, исследование которых с разных точек зрения имеет важное значение для различных областей математики и ее приложений. В частности, изучениз однородных пространств может осуществляться средствами К-теории.

К-теория является экстраординарной теорией когомологий и, тесно связана с геометрией', ее источники имеют геометрическую' природу. К-теория однородных пространств связана с теорией прз-дставленнй.

При изучении гомотопических инвариантов в К-теории однородных пространств возникает необходимость иметь удобные модели, описываемые в терминах геометрии и компактных групп Ли. Во второй части диссертационной работы ставится задача о моделях обраэуцнх в кольце к*(й/н), С н Н - компактные группы Ли.

Реиенвз етой задачи для однородных пространств б/Н , в кэ-сзетиой степени дано О.В.Ыаитуровым1, Показано, что для некото« •

I. Еорэенсо Л,Ы., Вычпсленш кнварвантнш теизоров прадот&вло-; пса тзм^простшс алгобр //Некотор. праа. двфрервнц, гооыет-р».« и., 1985:- С.46-57.» доп. в ШШ1 25.06.65, 8=4531-85.

Кшгуров'О.В, Образущиа в вошдекснои К-фуш»оре компакт-4 Ш одаородапй пространств //»гатей* с борща.- Ц., 1973,-Т.90.-01,- С.48-66. ■

рого достаточно широкого класса однородных- пространств построение образующих s сводится к задачш теории представлений, которыэ ыогут Оыть решены В ЯВНОЙ (ЬорУв алгоритмически. Но применение этого алгоритма дажб в простейших случаях связано со значительными трудностями. Поэтому более удобное, технически легко разрешимое решение задачи о моделях образующих КТО/Н) по-прежнему представляет интерес*

В случае произвольных компактных групп Сг и H такая За-., дача сложна. Естественно рассматривать вначале более узкие классы групп G и M , ограничивая при этой способы йлояення

И в & .

Так, актуально получить решение указанной задачи для пространств Stl(M)/St<(2), где вложение ÎV(i) в éU(f)) задано про-нзвольньаг линейным неприводкуш представлением.

Применяемые в налей работе метода теории представлений Ш» гут быть использозшш для получения когомологической инфорУа-Ц!Ш об однородных пространствах. Третья часть диссертации содержит вычисление полинома Пуанкаре однородного пространства &U(fJ)/SU(3) , где группа Ли SVH) илозена в StctW) о произвольного неприводимого представления.

Отыэтки, что вычислении полиноиов Пугшкара одкородгая Пространств посвяцен ряд работ, в частности 0.В.МантурОЕй,\ А.Т. . Йоиэнко4), Доен Vyiшя \ Доан Купль^ напел полшош Цуепкарэ почта всех иеашшзтричеекпх компактных pir:inonux однороднее про С г- ' ранств о неприводимой стационарной подгруппой. Однако попробоО указанной выго пространство 5U(f')/SMÎi) остался открытии.

Tanioi обраэоы, вычпсленсо полигона'Луонкарз однородная пространств SUt (t))/SU(b) представляет штороо. '

1. îiurrypoB О. В. О полпноиах Пуанкаре некоторая од^ородгох про^ странств //Тр. ссмкпара по сзпторп. и тензора, спаасзу / И*7 т.И.В.ЛоглзпосоDа.- !i., 1968.« шт«Х1У,- С.20-32.

2. Sosaitw) А.Т. Полгнога Пугжпрэ некоторых одкорэд^пз вроет» • рглств //Тр. csaincpa по вэгггорл. a îctnopn, епадпзу /ЩУ гз* EJ.B.Jbt-эггосопа.- И., 1970.- пзт.ЗС^- С.12в-ГВ2.

3. Доан Г\уть. Полппоп Пусляпрэ nomarrrr? 5дг.зрэгг?зх ргпггэ-vjx прострспств с пепрпзодеяй стацпэпарпой группой //Труда сЗ-шиарз по пэиторп. л ?еягзрт. еяалпэу /П7 ст,U.D.Гзгзгэсэсз»• ' й., 1930,- сгя.М,- C.33-S3. • ■g"-"

&JS7 .....• .-

Пель работы состоит в применении теории представлений к 'ранению задач теории инвариантных тензоров, К-теорнм и теории когомологий однородных пространств.

Научная новизна. Все результаты диссертационной работы шдадагся новыми. Впервые построены в явном вида все дкнейно независимые ковариантные тензоры валентности 5; инвариантные относительно присоединенного представления алгебры с

валентности 6. при л«2. , с заданный илом скьй^траа га. Распределение остальных тензоров валентности 6 получено о . соиощь» операций Адамса.

Продложен новый способ построения образующих олеыентов в кольцо К*(Ви(>!)/5Щ))еа , где влогениз ¡311(2) в БИ (М) задело с поиоць» произвольного неприводимого представлошш. Способ основан на пркмеяения упомянутых операций Адаиса,

Впервые найдены образукциа в алгебра вецествшшх когогэ-йОП!й и полиномы Пуанкаре однородного пространства Зи{М)/£1ф), . где группа Ли влозена в произвольна иеприЕо-

дшдш представлением.

Основные результаты диссертации:

I. Распределены по типам скжагрии ]&га вое лшойыо иеза-вкошшо зонзоры валентности 5 н 6, инвариантные отиэситольло . присоединенного представления алгебры Ли с ¿(и*,С} . Дано они-сшшэ всех инвариантных относительно приаоодшешюго прэдета-алгебры Лл яшшГаш исааоистих солшюэШ^х

■ , Сэра ЯЧЧЪЛ.Х?) 15 п.-г ,

произвольный, заданный наперод тш егхаотраа £кга. Вгп фор^и еэтиазгши с явном виде с поиоцыо Скглгетризйторав Елга а фухп:-, ЦПА -

-,ст слад ыатрицы/. Распроделснко тсагоро й£лс:т;оота б ьрли>£ Коху^ссо штодгиг.з ссорил представлений и сйарл^Л Ади:аа»

Продлоген способ, о поиоцьв Еогорзго ноегрзс^и обра-асуща I! полило гдз гругаа 1л 511(5)

лооШаш иаираводса^ продет ылеш^и, •

йрэсгоСи^ иотрхзпадьици продстехясзЕса. Бг-азк^а о ссл^С рэ лараггори Чзраа о»нг образуете:. Рсзгзсз ои^гйгэ е п'сгз всоргз прадатамеакЭ я операций Адслэа,

8® ЕаГдгяз полшага Пуслварз »сдеэрсдаоро ирэстр^гтей » • гдз стйцпонараая подгрусга БП(Ь>) саоз®га о

Ш(Ш врэЕзгзньпш вэправодога! прадставлетхеи. ■■ Л ч' ■ ,:Г .

Г'этоды работы. В диссертации применятся иетодо TGOpnn представлений групп и алгебр Ли, разработанные Э.Картоном, Г. ВэГлои, Е.В.Дянкпнъи, принцип включения О.В.Мзнтурова, аппарат сплгстризаторов Dira, нетоды K-Toopira, тсорона Л.Картона.

Практическое п теоретическое значешэ работы состоит э t возможности применения результатов и использованных иотодоп s рзпенгоз задач геонэтрии, других областей математики а оо приложений. Полученные результат« дают известную инфор;?ацга о дпу-г:я простых и полупростых группах п могут быть непользовега для дальнейших вычислений.

Результаты диссертации »лгут также составить основу спец-. sypea.

Апробация диссертации. Основные результаты докладываяпзь па нпу'шом сомкнарз кафедры геометрии и топологии "СПИ км.Н.К. КрупскоП, на XI конкуренции î-ододцх ученых Университета дружбу народов кч.П.Дут*у;гбы, на IX Всесоюзной гесм-этрэтоской rton-£зронцит| /г.Кгаинеп, 1963/, на семинара кгфедрч матоматпчсспо-го анализа УДИ км.П.-Цумумби /1389г./.

Публикации. Основное содержание диссертации OTpstcîiO а О опубликованных работах автора.

03i.au дпесертпцип. Д::ссэртацга[шая работа состой1 sds-д?икя, двух глаз, заялпченкл, списка литературч гг содэрт::? Т!-0 страниц налкнопкеного тогсета.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Взэден::э состой пз двух параграфов. В §1 сдался праттсиЯ псторичаскпП обзор рассматрюаешсс в работе вопросов и обзор Л1тгор-1туры. §2 содер-пгт описание математического аппарата: догм определения и формулировки ОСНОВНЫХ ПОНЯТиЛ и тоорзн тсоргп! • представления групп я алгебр Ли, гаварг.антнкх тензоров л К-то-ория. 0{ср!!>'лпровш| пргзщкп шелвчения О.В.Кантурова я описали ' некоторые задача теории представления и кнвари?:гпшх тензоров, которые иогут быть рэвенн с понощь» принципа звлеченкя. Дале о ставятся задачи, рассматриваешь о диссортсияк, обоспосниаот-ся гтх актуальность, перечисляется ословнн-э результаты п отмечается кх новизна. _

5

Глава Г. Типы симметрии тензора валентноатн 5 я 6, шгш^антных относительно присоединенного представления алгебры Ли .

Б данной главе решается задача о построении в явной фор-рссх лииеГио независимых копариалгинх тензоров указанного 3 пйэваиин вида, :принадлежащих некоторому типу симметрии Dira.

В §1 приводятся сведения, необходимые d дальнейшем, Известно, что всякий коваришшшй тензор валентности р> ыоено считать полилинейной формой от р векторзв-аргуман-тов. Следующим образом из МЧ^.—Др) шгно построить тензор, 1з-'эещий симметрию.

Среди элементов 21аг-тг %), ат- числоше коэффициенты/ группового кольца симметрической группы S(p) на р символах выделяются некоторые элементы p-, у,... , называет« си-ьщетризаторами Dira, Они являютоя примитивными ццоипотеитааи, . т.о. , рЛ f i , ... и oí,ji>î"|... НО ыогут быть раз-

Л0Е01Ш в сугцу двух ненулевых щсипотетов. Действие сюшегри-оатора в пространстве р' -линейных форы /тензоров/определяется правилом .'

при отоы повторное применение симметризатора и функции (I) оотшзит ео без изменения. В этой смысла фориа (I) имеет тип ci2-ií2Tpiüi ûira . Otl-otio!, что оператору üira сохраняют сьо'й-cîeo формы быть инвариантной относительно представления Ф .

Пусть °Рс arffsÊ(a,C))- присоединенное представление алгебрц

ли де^су . •

В §2 распределяется по типам симметрии все г.оЕ&риштш.) ■тюКло негавкомио Ср « инвариантные тензора валентностей S п 6. В сяучао тензоров валентности Б рс^знкз получено в кхяй Л ioíohko, Ф -сшарпангноя полплсшГлая ф/ищ-.п

, Ул, К».....)(s€£Í(n/í)¡ Sp - овнач&от след, останься Ф -кнвариааггпоИ п поело прглецзпся i: ccft скашрюсгора -•Ciro, что вправзданЕв и для функций фХ<Ха*

. h . . С погоцьэ стих фушщкП u rscoïopui еп^лстрша-

торав Йп'г дзд ес^цого и сзотрэсгп сосгз t'yinaç-s, обладоар окагатразП Йп»а. Дзпаасио, что пахучош^з ¿jritou^ яс&агся ю-изть&ьц лкю/ло ь-эйаъксЕДйа у дрург,э итзРло заягоя? ег ш-сгрзшж. - ,

Г 6 . ' "" : :"■• •

Дчя ofi(s?(2,C)) -инвариантных тензоров валентности б получен аналогичный результат: всо 15 линейно незописишх тензороп ?азсого вида с С1С.<матриой Шга строятся из функций ■йрУЛДлЛ1 Xs SfrX^XjS^XsXt, SpViX, SpX»y* S|>XsXÎASpX,ViXiX,Xsk,. Применение аппарата симиетриэатороп Dira оказывается, э силу ого громоздкости, неудобны« при увеличении размерности представления Ф и чаяентности тензоров, поскольку размерности пространств тензоров при этом резко возрастают и гшетроонкз :ct з явном виде представляет определешшч трудности. Поэтому рззенио задачи в оставшихся случаях дано э терминах теории ярэдетавлений.

А именно, присоединенное представление Ф группы Ли действующее в пространстве V«SL(k,C) , в пространство V6 = = V©V® ... ® V /б раз/ - тензоров валентности 6, действует тензорной степенью Ф9' . Поскольку з V действует также группа Ли ЛЦ|1,С) Ф, свои« простейшим представлением, то пространство V6 разлагается в прямую сумму неприводимых подпространств, каждое из которых, как показано Г.Езйлем, определено некоторым симметризатором Dira. Ограниченно представления SLee(H,C) на SLfh.O разлагается на неприводимые так, что всякая неприводимая компонента принадлежит одной из непри-зодп^ых компонент раэло.чонил , причем калдая одно-горняя компонента л этой ограничении свидетельствует о наличии Ф -гавариалтного тензора. Таким образом, тензоры вида (I) пр:шадлеаат пространству неприводимой компоненты, соотзог-стзук^еЛ ^¡метризатору Dira, з разложении .

Указанная принадлежность scox одномерных компонент уста-::or-is:ia при загнои ïv , т.а. получено распрадолгниэ по типам srrr:"j?p!ih Khra остаглихся тензоров валентности 6, Oïïîqti^j, or-р5:пэт-:п!л noracHoiri разложения тензорной степени иродстаалй- ' пил SLC4V) на подгруппу 51.зшшедялпоь о помоцкз слера-•у Л Лг.'мза»

Г^зуЗ. 'Система обрялурдих колы;,! №*(&/К) нокоторях о.гнородачх пространств С/К . 3 стоП глаиз з тсруглг.3 пэмзаэтгг-т групп Ян a гсорна прэд-стазлапЯ рзз^тся задача о гадолях образующих з кольцо K4&/IÛ однородна пространств Or/И , ГДО G - £U(tl), И» £>U(i) - гомпеп- ' rpjrmu Ла и .n::oiom:o SU (2) D SU (il) задано о помспьтэ лп-

7

нойного неприводимого представления • N« clint & . Нал ии-со отмечалось, выбор пространств S\L(ti)($U(.l) обусловлен труднодоступном ь» ¡задачи в случае произвольных компактных групп, псотому оо рсшенио в олучао более простых однородных пространств представляет кнторас.

В §1 продолгаотся начатое со вводоипн описание нзобходп-l-jx сведений из К-теорип и других фактов. Затопи, что ir рассматриваем только комплекснус К-теоркя.

Н&помшш, если К - конечный клеточшй коиплокс.то определяется как суша И*(х)»КЧх) ♦ (¿'ОО , гдо Мв(х) - кольцо классов стабильно оквквалеитних t;oиндексных какторпих расслоений над базой X , "¡¿"(SK), гдо Й'(Х) - подколь-цо кольца К°(Х) , соотолщоа кэ нульузриих олеменгов, a SX -подстройка нед X .

Нй едевинтах кольца UV(X) определено отобрапэш;} , исзивао^ос харалтсрои Чор-ia н эадсйг,ос 1эои*ор$кзу иоццу К*00" Ой /О. - рациональные число/ к кольцом HV(K,Q) - рациэнлвь-jos кого1гологкЛ пространства X .

Если Xв G/И , G к К - кокпыгшиз rpynmi £х:, го cto-брахонпо

И е)« Cr/и—

опродзлонное формулой i(0)<J М ® , взаимно однознач-

но соответствует /с точностью до гомотопности/ олементу G. K4(G/H) . Здесь Ф н Q - представления группы G- ,с£!«Ф» '•» dL»^"'(j) - матрица, обратная к "Ч' (<j) , б • Ф - - виртуальное продставлонко группы G , ограничение которого на подгруппу И равно нулю. Таюш образом, вычисление элементы, из KY&/H) эквивалентно вычисления виртуальных представлений Q , обргцахцихся в нуль, при ограничении на подгруппу М .

В §2 о помоць» таких представлени ' G строится сксто-ыа образующих в кольца K"(SU(w)/S«(2))©Q однородных пространств кэ указанного класса и вычисляются характеры Черна от юс образующих.

Как известно, всякое лжейноо неприводимое представление группы Ли SUG) определяется схемой Дшкина с . В кольце представлений йSii(£) группы SU(2) , у, ыояно записать в вада полинома от переменной t /I - пр-здетаменк? со схемой о /«<&(*)--PtU).

PaccL-отрп снстоыу операция Адыла fy/lj* 7.0. виртуальных представлений группы , при некоторой

достаточно больпои t . Ограничения (^Д ^«.(tfr), ^t*« (lJV), ...^».li-ife) шфтуальши представлений с » о,*,..., к-а

ыа подгруппу SU(i) прэдставт а виде полшюноэ о? порекзн-пой i :

а образуем формалыпя разности:

w" ^i*« » ■■•» ijuk-j

Эленэнтн

0i • ^(fift)-**«, , i» 0,1,5,..., К-г,

гдэ - рчзультия no пэрояэнной ^ , язл.татся полкном-ггл о? nop3'..'ii:iL'a • обратятся в нуль при ограничении ча

подгруппу SVU) а задгет алоиснтп RHSUUD/z\Ш)),

Тсорз>п, Элоионти ^(0,), составят-

ся систему образуем« э гголщо K*(S«.(fJ)/5U(i))oQ, гдэ группа Ли SU(a) ило^она з &U(tl) с по."оць!5 произгодьного нвпрнзод^* Ъ>гэ прэдсташелпя,

Прч доя&затлльстгэ этой теорг*ч шчислсны хпр?.чтег.ч Чарка оврмгпк* *(9t) i ' *t , „

s,, j и

71^ -ЗГ . (u.i)t '

где C5(i(OJ)- кооДОиц^ип 'Д«|К1*на отображения 1(0;), гозн?:-гащгэ при'отобршх&шя колец когоь-ологиЯ U9i): li^fSUff^.n)-^

wsm ■(aiM0- а^-нГ £ (ЛаЛы-

^п3*»»*"5^;.'-* - пррпггивтте образует ппъца псрстссн- , га гогогалагпй прострглстга %UlH)/!>U(?j , означь? стазязиЕз раэизриостя :«уль, соатаотстаугг^э дян-гоглу t Те Ь - Л 4 я Р4ы <L п N - соотаатстгзэнгто 5 п f/ •тгзрйгэ

п^гздставленяя. ¿Ькаэсто, тто

, с с.та г. o.tnrrs,

Cr!.*3TDJ, trro Еспольговатгэ опэрг^пл Дцсаса оОуалзг:^ . пх сеэйтсоуя: полкзеп Pji+ift), t»o,i,...,i.4 оназггаптсл яар* : »"oprcnraobsiirnciu'' п легко выписывается, с ели пзсэстен irwn> паа u) , который наеден в дйшой работо для лгбого я ,

В §3 результаты §¡2 применяются к однородным пройтрансг-ваи SU(N)/SU(2), в которых группа ¿U(Z) влояена в SU(W) о йомощьо представлений ^ У* * Пойаэано, что в

атих случаях t-i ,

§4 посещен вычислению полиномов Цуанкарэ Однородню: пространств S 1i(ti)/SU(2>), где i^pynna Ли Stt(s) реализована произвольным неприводимый представленной ($> » задающий влогенко tj: SU.(i)-+ £U.(,;),

Как известно, основным средством вычисления вещественных КогомологиЙ пространств G/H связных компактных групп Ли G и И является теорема А.Картана, применение которой в некоторых случаях сводится к вычисления коэффициентов Дынки-, на отобраяения Ф »где Ф - вложение Ф :W-* G- . Основным результатом является следующая

Теорема, Полином Пуанкаре однородного пространства S>VL(U)I&U{1) t где влокениэ группы Л« SU{b) в SU(H) задало произвольным линейным наприводиша представлении у) , paaca t

р««<,)/«(», i). воли у - ив является самококтрагредиенткым представленкоа о

если У - самоконтрАгредпентно.

Доказательство теоремы в случае, когда (/ - ив является . саыокоитрагредиенттш, состоит в вычкслении коэффициентов Дли-пкна, как былсг отмечено, возникающих при индуцированном отобраяения когомологяА у*: HM(SU(N)tK) H*(SU(3),jj).

Во втором случае доказательство проводятся непосредственно по теореме А.Картана! вычисляется образупцие в алгебр« А.Картана, Существенную трудность здесь составляет определение некоторого числового коэффициента, возникающего при отоб-рааеник когомологяА H*(aii«/),(l)-HVs«(^R). Этот коеффяцвеит н&Имн*

публикации шора по тш дяссершшц

1, Ttími шшмотрии -шюариантта тензоров пятой паясн?-Еюети //ДкМ'арзнц. геоштрня и теория прадетаоленпП полупро-OTiix аягобр Ли,- у», 1565,- С.67-95,- Дзп. о вшсгги 09,11.83, С8443-В, РНЬт., 1986, 4А659 Дзп.

2, О готах сгшыетриц тензоров пятойщявнтностн, юшпрпантгга отнооитолыю прпсоедштшюго представления олгобри Ла //Пр1зщип вмвчения и инвариантные.тензоры,- М,, 1985,- С. 59-67,- Дэп. о ВИНИТИ 21,01,66, Г426-В86, РЗНат., 198б,4А563 Дэп,

D, 0 тензорах пятой валентности, кнварнантных относительно прцсоодшюшюго представления алгебр Ли типа Aj, /^//¡¡¿¿¡фъ-рзнц, геоыетрия сеиэйств лгашй и поверхностей,- Смоленск, 1986,- С,96-105.

4, 0 тензорах валентности 5,6, инвариантных относительно присоединенного представления алгебры Ли sff»t,C) //Тензорные т-.'варианты,- П., 1986.- С.47-61,- Деп. в ВИНИТИ 09.09,86, CS553-B86, РЖат., 1986, I2A896 Деп.

5, 0 вогоиологиях пространств &1L(W)/St<(£) //Инвариантна тса-эори на однородных пространствах,- IJ., 1987,- С.58-67,- Дзп. О ВИНИТИ 25,05.67, £3843-B86, РЖМат,, 1987, 9А647 Дзп.

6, 03 образусцих кольца к (fe/ll) некоторых однородашх Пространств (?/И //йатериали XI конф, иол, ученых Ун-та Другби пародои, Шсква, 15-19 ¡..'ар., 1988 /Ун-т друабц пародой, IJ,, 1988,- Ч.2.- С.130-132,- Деп. ü ВИНИТИ01,07,88, Р5305-Ё88, KTía»., 1988, IIA689 Деп.

7, 0 полшоеах Пу&наарэ носоторих однородных пространств,- В un. IX Всэсоюэ. Геоивтричосваа яонф, /Itaiaieo соит. 198Вт,/1 ' Тоз. сообп(. КЕамют Егцища, 1988,- 0.151-155,

0, Образущ'лэ гольца l¿*(C»/H) некоторых когяаатпых одаорэд-гхх просгр?лста О/II //Гпзараанти дг^эрзиц. группи,- II,, 1Ггз.- С, 100-117,- Дзп, и BÜHliTH, 20.ll.ca, ГС355-ПСЗ. ПГЬл.» 1ССЭ. ЗДБ10 Д«и V

Vby*S